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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 ˜o Quarta Avaliac ¸a
1. Encontre o volume do elips´oide x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c (Sugest˜ao: Use a transforma¸c˜ao x = au, y = bv e z = cw) 2. Encontre a massa de um arame que est´a sobre a curva r(t) = (t2 − 1)i + 2tj, 0 ≤ t ≤ 1, se a densidade for δ(t) = (3/2)t. (Sugest˜ao: Lembre-se que o comprimento de arco infinitesimal ´e ds = ||r′ (t)||dt. ) 3. Mostre que F = (2x − 3)i − zj + cos(z)k n˜ao ´e conservativo. 4. Encontre o trabalho realizado por F = a (−1, eπ ).
2 2x i + ( 1−x )j y y2
sobre o caminho r(t) = (cos(t), et ) de (1, 1)
5. Qual ´e a rela¸c˜ao entre a circula¸c˜ao no sentido anti-hor´ario e o fluxo exterior para o campo F = (y 2 − x2 )i + (x2 + y 2 )j e a curva C : o triˆangulo limitado por y = 0, x = 3 e y = x. 6. Seja C a fronteira de uma regi˜ao na qual o teorema de Green ´e v´alido. Calcule I (ky)dx + (hx)dy C
com h, k constantes. 7. Suponha que uma fun¸c˜ao n˜ao negativa y = f (x) tenha uma derivada de primeira ordem cont´ınua em [a, b]. Seja C a fronteira da regi˜ao no plano xy que ´e limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gr´afico de f e dos lados pelas retas x = a e x = b. Mostre que I Z b f (x)dx = − ydx. a
C
8. Prove o Teorema de Stokes no plano (equivalente ao Teorema de Green na forma fluxo-divergˆencia) sando o Teorema de Green na forma tangencial.
BOA SORTE!!
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG ´lculo Diferencial e Integral III Ca ˆ nio da Silva Medeiros Professor: Luiz Anto Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009 ˜o da Quarta Avaliac ˜o Reposic ¸a ¸a 2
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1. Uma placa fina de densidade constante cobre a regi˜ao limitada pela elipse xa2 + yb2 = 1, a > 0, b > 0 no plano xy. Encontre o momento de in´ercia da placa em rela¸c˜ao `a origem. (Sugest˜ao: Use a transforma¸c˜ao x = arcos(θ), y = brsen(θ). ) 2. Integre f (x, y) = x3 /y sobre a curva C: y = x2 /2 no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. (Sugest˜ao: Lembre-se que o comprimento de arco infinitesimal ´e ds = ||r′ (t)||dt. ) 3. Calcule a inetral
Z
(1,2,3)
2xydx + (x2 − z 2 )dy − 2yzdz
(0,0,0)
4. Seja C a elipse na qual h´a interse¸c˜ao do plano 2x + 3y − z = 0 com o cilindro x2 + y 2 = 12. O que se pode falar sobre a circula¸c˜ao do campo F = xi + yj + zk ao redor de C? Justifique sua resposta. 5. Use o teorema de Green para encontrar a circula¸c˜ao no sentido anti-hor´ ario e o fluxo exterior para o campo F = (x + ex sen(y))i + (x + ex cos(y))j em rela¸c˜ao `a curva C : o la¸co do lado direito da lemniscata r2 = cos(2θ). 6. Seja A a ´area e x¯ a abcissa do centr´oide de uma regi˜ao R limitada por uma curva C fechada, simples e lisa por partes no plano xy. Mostre que I 1 x2 dy = A¯ x 2 C 7. Prove o Teorema de Stokes no plano (equivalente ao Teorema de Green na forma fluxo-divergˆencia) sando o Teorema de Green na forma tangencial.
BOA SORTE!!
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Aluno(a):___________________________ Data: 03/11/2006 Professor: Jesualdo Período: 2006.1
Quarta Avaliação K ~r, onde ~r(x, y, z) = k~rk3 x~i + y~j + z~k é conservativo. Conclua daí que o fluxo de ∇ × F~ sobre uma semiesfera é nulo.
1. Mostre que o campo vetorial de quadrado inverso F~ =
2. Encontre o trabalho realizado por F~ = (x2 + y)~i + (y 2 + x)~j + zez~k sobre os caminhos de (1, 0, 0) a (1, 0, 1) a seguir: a) o segmento de reta x = 1, y = 0, 0 ≤ z ≤ 1; t b) a hélice ~r(t) = (cos t)~i + (sen t)~j + ~k, 0 ≤ t ≤ 2π. 2π 3. Suponha que uma função não negativa y = f (x) tenha uma derivada de primeira ordem contínua em [a, b]. Seja C a fronteira da região no plano xy que é limitada abaixo pelo eixo x, acima pelo gráfico de f e dos lados pelas retas x = a e x = b. Mostre que I Z b f (x)dx = − ydx. a
C
4. Encontre o fluxo exterior do campo F~ =
1
3 (xz, yz, 1) através (x2 + y 2 ) (1 + x2 + y 2 ) 2 da superfície da calota superior cortada da esfera sólida x2 + y 2 + z 2 ≤ 25 pelo plano z = 3. 1 2
5. Use o Teorema da Divergência para encontrar o fluxo de F~ = y~i + xy~j − z~k através da fronteira da região D, que está dentro do cilindro sólido x2 + y 2 ≤ 4 entre o plano z = 0 e o parabolóide z = x2 + y 2 .
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Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 4ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (3,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. ( 3,1, 3)
∫ 2 xdx −
4 1+ y 2
dy − z 2 dz
(1, 0 , 0 )
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (3,1,3); r r r r b) Achando uma função potencial para o campo F ( x, y, z ) = 2 xi − 1+4y 2 j − z 2 k e aplicando a fórmula ( 3,1, 3)
( 3,1, 3) r r F ⋅ d r = f ( x , y , z ) = f (3,1,3) − f (0,0,0) . ∫
( 0,0,0)
(0,0,0 )
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral dupla. Então calcule a integral. S: Porção do cilindro x 2 + z 2 = 1 entre os planos y = 1 e y = 4 Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. Área de R =
1 xdy − ydx 2 C∫
r r Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela elipse r (t ) = (4 cos t )i + (3sen t ) j , 0 ≤ t ≤ 2π. r r r r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência ( ∫∫SF ⋅ n dσ = ∫∫∫R∇ ⋅ F dV ) para achar o fluxo exterior de r F através da superfície fechada (sem bordo) S , onde S é a fronteira da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e r r r r F ( x, y, z ) = (4 x 3 + 9 xy 2 )i + ( y 3 + e y sen z ) j + (4 z 3 + e y cos z )k .
Questão 5: (3,0 pts) Considere f ( x, y, z ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) . Conclua que a circulação do campo vetorial − 12
r F = ∇f , em volta da circunferência x 2 + y 2 = 4 , no plano z = 0 , orientada no sentido anti-horário quando observada por cima do eixo Z, é nula. r r a) Resolvendo a integral curvilínea ∫ F ⋅ dr ; C r r r r r b) Aplicando o teorema de Stokes ∫ F ⋅ dr = ∫∫ ∇ × F ⋅ n dσ . C
S
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 4ª Prova (A) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
∫ F ⋅ dr C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = y2 i +x2j e
C é a curva fechada simples ligando os pontos (− 1,0) e (1,0) pelo segmento de reta x = 0 e voltando pelo semicirculo x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0 , usando:
d) A definição de integral curvilínea. e) Usando o Teorema de Green. f) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para a superfície do parabolóide x 2 + y 2 − z = 0 abaixo do plano z = 2 , expresse a área da superfície como uma integral dupla e calcule a integral.
Questão 3: (2,0 pts) Considere o campo vetorial F ( x, y, z ) = (sen y cos x)i + (cos y sen x) j + k . a) Justifique que F é um campo vetorial conservativo ou equivalentemente, que a forma diferencial sen y cos xdx + cos y sen xdy + dz é exata; b) Ache uma função potencial, f, para o campo F; c) Calcule a integral ∫ F ⋅ dr , onde C é a curva com parametrização r (t ) = (1 − t , t , t ), t ∈ [0,1] , usando a definição C
de integral curvilínea; (0,1,1) d) Confira o resultado do item c) usando o fato de que
∫ F ⋅ dr = ∫ C
( 0 ,1,1)
(1, 0 , 0 )
F ⋅ dr = f ( x, y, z )
.
(1,0,0) r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo exterior de F através de rS , onde S é a r r r superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 36 e F ( x, y, z ) = (4 x 3 + 9 xy 2 )i + ( y 3 + e y sen z ) j + (4 z 3 + e y cos z )k .
Questão 5 (2,5 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do camr r
r r r po F ( x, y, z ) = x 2 yi + 2 y 3 zj + 3 zk , através da superfície S, na direção da normal exterior n . r r r S: r~ (r , θ ) = (r cos θ )i + (rsenθ ) j + rk , 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π .
(observar que as coordenadas cartesianas em S satisfazem x 2 + y 2 − z 2 = 0 , ou mesmo considerar r ∂~ r ∂~ r ∂θ × ∂r ) n= ∂r~ ∂r~ × ∂θ ∂r
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 4ª Prova (B) – 21 de Junho de 2010
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea
∫ F ⋅ dr C
(circulação do campo F), onde F (x,y) = x2y i +y2xj e
C é a é a fronteira da região no primeiro quadrante, compreendida entre os eixos coordenados e o círculo x 2 + y 2 = 16 com orientação positiva (anti-horária), usando:
a) A definição de integral curvilínea. b) Usando o Teorema de Green. c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique!
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para a superfície do parabolóide x 2 + y 2 + z = 0 acima do plano z = −2 , expresse a área da superfície como uma integral dupla e calcule a integral.
Questão 3: (2,0 pts) Considere o campo vetorial F ( x, y, z ) = ( y sen z )i + ( x sen z ) j + ( xy cos z )k . a) Justifique que F é um campo vetorial conservativo ou equivalentemente, que a forma diferencial y sen zdx + x sen xdy + xy cos zdz é exata; b) Ache uma função potencial, f, para o campo F; c) Calcule a integral ∫ F ⋅ dr , onde C é a curva com parametrização r (t ) = (1 − t , t , t ), t ∈ [0,1] , usando a definição C
de integral curvilínea; (0,1,1) d) Confira o resultado do item c) usando o fato de que
∫ F ⋅ dr = ∫ C
( 0 ,1,1)
(1, 0 , 0 )
F ⋅ dr = f ( x, y, z )
.
(1,0,0) r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo exterior de F através de S ,ronde S é a r r r superfície da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 e F ( x, y, z ) = (5 x 3 + 12 xy 2 )i + ( y 3 + e y sen z ) j + (5 z 3 + e y cos z )k .
Questão 5 (2,5 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do camr r
r r r po F ( x, y, z ) = y 2 i + z 2 j + xk , através da superfície S, na direção da normal exterior n . r r r S: r (ϕ , θ ) = (2senϕ cos θ )i + (2senϕ senθ ) j + (2cosϕ )k , 0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π . 2 (observar que as coordenadas cartesianas em S satisfazem x 2 + y 2 + z 2 = 4 , ou mesmo considerar ∂r ∂r × r ∂ϕ ∂θ n= ) ∂r ∂r × ∂ϕ ∂θ
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – (Boa Copa e Festas Juninas)
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística (UAME) Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ Reposição da 4ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010
Questão 1: (3,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. ( 3, 3,1)
∫ 2 xdx − y dy − 2
4 1+ z 2
dz
(1, 0 , 0 )
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (3,3,1); r r r r b) Achando uma função potencial para o campo F ( x, y, z ) = 2 xi − y 2 j − 1+4z 2 k e aplicando a fórmula ( 3, 3,1)
( 3, 3,1) r r ∫ F ⋅ dr = f ( x, y, z) = f (3,3,1) − f (0,0,0) .
( 0,0,0)
(0,0,0 )
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral dupla. Então calcule a integral. S: Porção do cilindro x 2 + y 2 = 1 entre os planos z = 1 e z = 4 Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. Área de R =
1 xdy − ydx 2 C∫
r r Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela elipse r (t ) = (4sen t )i + (3 cos t ) j , 0 ≤ t ≤ 2π. r r r r Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência ( ∫∫SF ⋅ n dσ = ∫∫∫R∇ ⋅ F dV ) para achar o fluxo exterior de r F através da superfície fechada (sem bordo) S , onde S é a fronteira da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 e r r r r F ( x, y , z ) = x 3 i + y 3 j + z 3 k .
Questão 5: (3,0 pts) Considere f ( x, y, z ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) . Conclua que a circulação do campo vetorial − 12
r F = ∇f , em volta da circunferência y 2 + z 2 = 4 , no plano x = 0 , orientada no sentido anti-horário quando observada por cima do eixo X, é nula. r r a) Resolvendo a integral de curvilínea ∫ F ⋅ dr ; C r r r r r b) Aplicando o teorema de Stokes ∫ F ⋅ dr = ∫∫ ∇ × F ⋅ n dσ . C
S
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! – ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒ Boas Provas ☺ –
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã Aluno(a):___________________________ Data: 04/11/2006 Professor: Jesualdo Período: 2006.1
Reposição da Quarta Avaliação 1. Mostre que o volume V de uma região D do espaço limitada pela superfície orientada S com normal exterior ~n satisfaz a identidade Z Z 1 ~r · ~ndS, V = 3 S onde ~r é o vetor posição do ponto (x, y, z) em D. 2. Verifique o Teorema de Stokes para o campo F~ = x2~i + y 2~j + z 2~k, sendo S a parte p do cone z = x2 + y 2 abaixo do plano z = 1. 3. Sejam M = y/(x2 + y 2 ) e N = −x/(x2 + y 2 ). Se R é a região delimitada pelo círculo unitário C de centro na origem, mostre que I Z Z ∂M ∂N M dx + N dy 6= dA. − ∂x ∂y C R Explique por que o Teorema de Green não é válido nesta instância. 4. Encontre o trabalho realizado por F = eyz~i + (xzeyz + z cos y)~j + (xyeyz + sen y)~k π sobre os caminhos de (1, 0, 1) e (1, , 0) a seguir: 2 πt , z = 1 − t, 0 ≤ t ≤ 1; 2 (b) o segmento de reta de (1, 0, 1) à origem seguido pelo segmento de reta da origem π a (1, , 0). 2 (a) o segmento de reta x = 1, y =
5. Considerando que todas as derivadas necessárias existam e sejam contínuas, mostre que, se f (x, y) satisfizer a equação de Laplace ∂2f ∂2f + = 0, ∂x2 ∂y 2 então
I
C
∂f ∂f dx − dy = 0 ∂y ∂x
para todas as curvas fechadas C às quais o Teorema de Green se aplica.
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