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´ UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAU Coordena¸ c˜ ao de Matem´ atica 1a Lista de Exerc´ıcios - Estruturas Alg´ ebricas II - 2009.2 Professor M´ arcio Nascimento
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Um pouco de hist´ oria
H´a trˆes ra´ızes hist´oricas sobre o desenvolvimento da teoria dos grupos na literatura matem´atica do s´eculo IX: a teoria das Equa¸c˜oes Alg´ebricas, Teoria dos N´ umeros e Geometria. Todas essas trˆes ´areas usaram m´etodos da teoria dos grupos, contudo os m´etodos foram mais expl´ıcitos na primeira ´area. Um dos temas centrais da geometria no s´eculo IX foi a busca por invariantes dentre os v´arios tipos de transforma¸c˜oes geom´etricas. Gradualamente as aten¸c˜ oes foram se focando nas transforma¸c˜ oes propriamente ditas, que em v´arios casos podem ser pensadas como elementos de grupos. Na Teoria dos N´ umeros, j´a no s´eculo XVIII Leonhard Euler tinha considerado os restos das divis˜oes n de potˆencias a por um n´ umero primo fixado. Esses restos tˆem propriedades de grupos. Similarmente, C. F. Gauss em seu Disquisitiones Arithmeticae (1800) tratou extensivamente das formas quadr´aticas ax2 + 2bxy + cy 2 e, em particular, mostrou que classes de equivalˆencia dessas formas, com rela¸c˜ ao a composi¸c˜ao, tinham propriedades de grupos. Finalmente, a teoria das equa¸c˜oes alg´ebricas, traz o mais expl´ıcito conceito de grupo. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) de fato iniciou o estudo das permuta¸c˜ oes das ra´ızes de uma equa¸c˜ ao como uma ferramenta para resolvˆe-la. Essas permuta¸c˜ oes, certamente, foram, por fim, consideradas elementos de um grupo. Walter von Dick (1856-1934) e Heirich Weber (1842-1913) em 1882, independentemente, combinaram as trˆes ra´ızes hist´oricas e deram defini¸c˜ oes claras da no¸c˜ ao de um grupo abstrato. Fonte: Fraleigh, J. B. A First Course in Abstract Algebra
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Grupos Abelianos
Grupos comutativos s˜ao chamados abelianos em homenagem ao matem´atica norueguˆes Niels Henrik Abel (1802 - 1829). Abel estava interessado na solvabilidade de equa¸c˜ oes polinomiais. Em um artigo escrito em 1828 ele provou que se todas as ra´ızes de uma tal equa¸c˜ ao podem ser expressas como fun¸c˜ oes racionais f, g, . . . , h de uma das ra´ızes, digamos x, e se para quaisquer duas dessas ra´ızes, f (x), g(x), a rela¸c˜ao f (g(x)) = g(f (x)) sempre acontece, ent˜ ao a equa¸c˜ ao pode ser resolvida por radicais. Abel mostrou que cada uma dessas fun¸c˜oes, na verdade, permuta as ra´ızes da equa¸c˜ ao. Assim, essas fun¸c˜ oes s˜ao elementos do grupo de permuta¸c˜oes das ra´ızes. Foi essa propriedade de comutatividade nesses grupos de permuta¸c˜oes associadas a solu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes que levou Camille Jordan em seu tratado de ´algebra de 1870 a nomear tais grupos de abelianos. Desde ent˜ ao, o nome tem sido aplicado a grupos comutativos em geral. Abel foi atra´ıdo pela matem´atica quando ainda era adolescente e logo superou todos os seus professores na Noruega. Ele finalmente recebeu uma ajuda do governo para estudar em Berlin em 1825 onde se tornou amigo de August Crelle, o fundador do mais influente jornal de Matem´atica da Alemanha. Abel contribui com in´ umeros artigos para a revista de Crelle durante os anos seguintes, muitos deles no campo de fun¸c˜oes el´ıpticas, cuja teoria ele criou sozinho. Abel retornou para a Noruega em 1827 sem uma “posi¸c˜ao” e cheio de d´ıvidas. Ele n˜ao continuou a escrever trabalhos brilhantes, mas morreu de tuberculose aos 26 anos, dois dias antes, Crelle conseguiu encontrar uma vaga numa universidade em Berlin para Abel.
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Exerc´ıcios 1. Em cada item a seguir, decida se o par (conjunto, opera¸c˜ ao) indicado forma um grupo (e tamb´em grupo abeliano): (a) (R, +), (Q, +), (N, +), (Z, +), (C, +). (b) (R, •), (Q, •), (N, •), (Z, •), (C, •) onde • ´e a multiplica¸c˜ ao usual. (c) O conjunto das matrizes 2 × 2 com entradas reais com a soma usual de matrizes. (d) Idem com o produto usual de matrizes. (e) O conjunto dos polinˆomios de grau exatamente 2 com a soma usual de polinˆomios. (f) Idem com o produto usual de polinˆomios. (g) Idem a composi¸c˜ao de fun¸c˜ oes. (h) O conjunto de todos os racionais com denominador ´ımpar, com a soma usual dos racionais. (i) Idem com a multiplica¸c˜ao. (j) {1, −1} com a divis˜ao. (k) O conjunto dos n´ umeros inteiros com a subtra¸c˜ ao. (l) {2m 3n ; m, n ∈ Z} com a multiplica¸c˜ ao. (m) O conjunto de todas as aplica¸c˜ oes f : X −→ G onde X ´e um conjunto e (G, ∗) ´e um grupo (fixos), com a opera¸c˜ao f ~ g : X −→ G x 7→ (f ~ g)(x) = f (x) ∗ g(x) (n) Um espa¸co vetorial V com a opera¸c˜ ao +. (o) O subconjunto das matrizes invert´ıveis de ordem n × n, com a multiplica¸c˜ ao usual de matrizes. (p) O conjunto de todas as fun¸c˜ oes pares com a adi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes. 2. Seja G um grupo com uma opera¸c˜ao ∗. Mostre que vale as leis do cancelamento (a direita e a esquerda). 3. Dado um grupo (G, ∗) mostre que o elemento neutro ´e u ´nico. Mostre tamb´em que dado um elemento qualquer a ∈ G, o seu inverso ´e u ´nico. 4. Seja (G, ∗) um grupo. Mostre que a equa¸c˜ ao x ∗ a = b possui u ´nica solu¸c˜ ao em G. 5. Seja (G, ∗) um grupo. Dados a, b ∈ G, mostre que (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 . 6. Seja (G, ∗) um par (conjunto, opera¸c˜ ao) tal que (i) A opera¸c˜ao ∗ ´e associativa; (ii) Existe um elemento identidade a esquerda e em em G, isto ´e, e ∗ x = x para todo x ∈ G. (iii) Para cada a ∈ G, existe um inverso a esquerda a0 em G tal que a0 ∗ a = e Mostre que, e ´e tamb´em elemento neutro a direita e que a0 ´e tamb´em elemento inverso a direita para cada a e conclua que tais axiomas definem (G, ∗) como um grupo. Veja que tais axiomas, aparentemente, parecem ser mais fracos que os de grupo, no entanto, s˜ao suficientes. 7. Prove que um conjunto n˜ao vazio G, com uma opera¸c˜ ao ∗ associativa tal que a∗x=b e y∗a=b tˆem solu¸c˜oes em G quaisquer que sejam a, b ∈ G, ´e um grupo. 2
8. Seja (G, ·) um grupo. Considere a opera¸c˜ ao ∗ em G definida por a ∗ b = b · a, onde a, b ∈ G. Mostre que (G, ∗) ´e um grupo e que ´e isomorfo1 ao grupo (G, ·). [Sugest˜ao: considere a aplica¸c˜ ao φ, onde φ(a) = a−1 , a ∈ G.] 9. Seja G = {f : S −→ S ; f bije¸c˜ao}. Considere S = {1, 2, 3, 4}. Descreva o conjunto S4 de todas as bije¸c˜oes f : S −→ S. 10. Sejam (G, ∗) e (H, £) grupos com identidades eG , eH respectivamente. Defina em G × H a seguinte opera¸c˜ao: (G × H) × (G × H) −→ G × H ((g, h), (g 0 , h0 )) 7→ (g, h) o (g 0 , h0 ) = (g ∗ g 0 , h £ h0 ) (a) Mostre que vale a lei associativa em (G × H, o). (b) Encontre o elemento neutro de (G × H, o). (c) Para cada (g, h) ∈ G × H, encontre seu inverso. (d) Mostre que se G, H s˜ao grupos abelianos, ent˜ ao G × H ´e grupo abeliano. 11. Prove que se G ´e um grupo ent˜ao ∆ = {a, b) ∈ G × G ; a = b} ´e um subgrupo de G × G. 12. Seja F o conjunto de todas as fun¸c˜oes reais com dom´ınio R e seja F˜ o subconjunto de F formado pelas fun¸c˜oes tais que f (x) 6= 0 para todo x ∈ R. Nos itens abaixo, determine se o dado subconjunto de F com opera¸c˜ao induzida ´e (1) subgrupo do grupo F com respeito a adi¸c˜ao, (2) subgrupo do grupo F˜ com respeito a multiplica¸c˜ ao. (a) O subconjunto F˜ . (b) O subconjunto de todas as fun¸c˜ oes f ∈ F tais que f (1) = 0. (c) O subconjunto de todas as fun¸c˜ oes f ∈ F˜ tais que f (1) = 1. (d) O subconjunto de todas as fun¸c˜ oes f ∈ F˜ tais que f (0) = 1. (e) O subconjunto de todas as fun¸c˜ oes f ∈ F˜ tais que f (0) = −1. (f) O subconjunto de todas as fun¸c˜ oes constantes de F . 13. Mostre que se H e K s˜ao subgrupos de um grupo abeliano G, ent˜ ao {hk ; h ∈ H, k ∈ K} ´e um subgrupo de G. 14. Prove que, se G ´e um grupo abeliano com elemento identidade e ent˜ ao todos os elementos x ∈ G 2 que satisfazem x = e formam um subgrupo H de G. 15. Mostre que um conjunto n˜ao vazio H de um grupo G ´e um subgrupo de G se, e somente se, ab−1 ∈ H para quaisquer a, b ∈ H. Essa ´e uma caracteriza¸c˜ ao compacta de subgrupos. 16. Sejam (G, ∗), (G0 , ·) grupos e seja φ : G −→ G0 um isomorfismo. Escreva uma prova que conven¸ca um incr´edulo de que se H ´e um subgrupo de G, ent˜ ao φ(H) = {φ(h) ; h ∈ H} tamb´em ´e um subgrupo de G0 . Isto ´e, um isomorfismo leva subgrupo em subgrupo. 17. Sejam G um grupo e x ∈ G. prove que o(x) = o(x−1 ).
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Sejam (G, ∗), (G0 , ·) grupos. Uma aplica¸ca ˜o f : G −→ G0 ´e dita um homomorfismo quando f (a ∗ b) = f (a) · f (b). Quando, al´em de homomorfismo, f ´e bije¸ca ˜o, dizemos que f ´e um isomorfismo entre os grupos G e G0 ou, 0 equivalentemente, que os grupos G e G s˜ ao isomorfos.
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