Projeto De Edifícios De Alvenaria Estrutural

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Cimento Portland Mareio Antonio Ramalho Engenheiro Civil (1980). Mestre (1983). Doutor (1990) e Uvre Docente (2001) pela Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de S>o Paulo, onde atualmente é Professor Associado. Leciona disciplinas em nível de graduação e pós-graduação nas áreas de alvenaria estrutural e análise de estruturas de concreto. Também desenvolve pesquisas nessas áreas, com dezenas de trabalhos publicados em revistas, congressos e outros eventos científicos. Tem experiência profissional em cálculo de estruturas de concreto e alvenaria e já ministrou diversos cursos, mini-cursos e palestras em uni-versidades e associa >es de engenheiros no Brasil Foi membro da comissão executiva da nova NB-1 e e diretor do sub-comitê SC 123 Alvenaria Estrutural de Blocos de Concreto do CB-2 da ABNT. Projeto de Edifícios de Alvenaria Estrutural Mareio A. Ramalho Márcio R. S. Corrêa PIN! õfÍt/T?— W V ^ Brasileira dc Cimento Portland PROJETO DE EDIFÍCIOS DE ALVENARIA E S T R U T U R A L © C o p y r i g h t E d i t o r a Pini Ltda. Todos o s direitos d e r e p r o d u ç ã o o u t r a d u ç ã o r e s e r v a d o s pela Editora Pini Ltda. DADOS INTERNACIONAIS PARA CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO (CIP) DO DEPARTAMENTO NACIONAL DO LIVRO R165 Ramalho, Mareio. P r o j e t o d e edifícios d e a l v e n a r i a e s t r u t u r a l / M a r e i o A. R a m a l h o , M a r e i o R. S. C o r r ê a . S ã o P a u l o : Pini, 2 0 0 3 . p . ; cm. ISBN 85-7266-147-6 1. E n g e n h a r i a d e e s t r u t u r a s . 2. A l v e n a r i a . 3. Edifícios. I. C o r r ê a , M á r c i o R. S. II. Título. C D D 624.1 C o o r d e n a ç ã o d e livros: R a q u e l C a r d o s o Reis P r o d u ç ã o editorial: R e n a t a C o s t a Projeto gráfico, e d i t o r a ç ã o e c a p a : C e l i n a Dias Revisão: M ô n i c a C o s t a Editora Pini Ltda. R u a : A n h a i a , 9 6 4 - C e p . 0 1 1 3 0 - 9 0 0 - S ã o Paulo - S P - Brasil Fone: 11 2 1 7 3 - 2 3 2 8 - Fax: 11 2 1 7 3 - 2 3 2 7 www.piniweb.com - [email protected] 1a edição 3- t i r a g e m , 1.000 e x e m p l a r e s , n o v / 0 8 mim tnii.ni Os Autores agradecem à ABCP e ao SENAI o apoio fornecido à divulgação deste trabalho. A alvenaria é um material de construção tradicional que tem sido usado há milhares de anos. Em suas formas primitivas a alvenaria foi construída tipicamente com tijolos de barro de baixa resistência ou de pedra, sendo o projeto baseado em métodos empíricos. Ao longo do tempo, foram desenvolvidas unidades de cerâmica cozida e de outros materiais de alta resistência, no entanto a aplicação de métodos empíricos de projeto e construção se manteve até o século 20. Apenas recentemente a alvenaria passou a ser tratada como um verdadeiro material de engenharia, passando o projeto dessas estruturas a ser baseado em princípios científicos rigorosos. Esse fato foi influenciado por um aumento significativo na pesquisa básica e aplicada ao longo dos últimos 50 anos. O presente texto compreende uma atual e ampla cobertura dos vários aspectos do projeto estrutural e reflete o estado da arte do projeto e prática de alvenaria no Brasil. Uma vez que os princípios do projeto da alvenaria são universais, grande parte do material apresentado é igualmente aplicável à construção em alvenaria em outros países, particularmente naqueles em que as ações sísmicas não são dominantes no projeto. O livro é relevante não apenas para alunos, como também para pesquisadores e engenheiros projetistas, e vem se juntar ao relativamente reduzido número de textos amplos sobre projeto de alvenaria disponíveis na literatura mundial. A.W. Page CBPI Professor in Structural Clay Brickwork The University of Newcastle, Australia Foreword Masonry is a traditional building years. In its early forms, masonry with the design strength being masonry continued material principies. structural units on empirical with the design This has been assisted which has been typically methods. were developed, used for several from low strength Over the years, but empirical It is only recently methods of design that masonry of masonry structures by a dramatic increase an up-to-date, design of masonry and reflects the current state of the art of masonry applicable does not govern to masonry the treated in other countries, as true engineering masonry of the various aspects design and of the practice the bulk of the material presented particularly where seismic is loading design. and joins the relatively are available design are universal, construction The book will be relevant engineers, coverage higher construction and fundamental This text provides of masonry and has been years. comprehensive mud brick or stone being based on rigorous in applied thousand fired clay and other over the past 50 in Brazil. Since the principies equally was constructed well into the 2(7" century. engineering research based material not only to students, small number worldwide. A.W. Page CBPI Professor in Structural The University of Newcastle, Clay Brickwork Australia but also to researchers of comprehensive texts on masonry and practising design which Nota do P a t r o c i n a d o r No ramo das construções as informações técnicas são a chave do trabalho produtivo para q u e m projeta, constrói ou fiscaliza. M e s m o para o incorporador ou investidor, que se atêm a outras matérias, saber o alcance de técnicas construtivas ajuda a refletir sobre os projetos que lhes são propostos. No Brasil, é grande a preocupação com informações sobre sistemas construtivos. No campo do desenvolvimento tecnológico de blocos de concreto para alvenaria estrutural, u m exemplo marcante aconteceu em 1990, quando o Manual Técnico de Alvenaria foi lançado, pela Associação Brasileira de Construção Industrializada, consolidando, pela primeira vez, quase duas décadas de práticas indicadas. Daí para frente, as necessidades foram se multiplicando, passando a exigir aperfeiçoamentos e atualizações constantes que começam nos centros de pesquisa e chegam até aos canteiros de obras. Para atingir e registrar o estado da arte, surge, em 2003, este livro Projetos de Alvenaria Estrutural, de Edifícios voltado aos estudiosos e profissionais de estruturas. Expõe, de forma organizada e didática, questões que até então estavam dispersas e m diferentes artigos técnicos. Os autores reúnem as melhores credenciais para fazer a obra. Mareio Antonio Ramalho, entre outros títulos, é Livre Docente e atualmente Professor Associado, em nível de graduação e pós-graduação, da Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo (USP). Márcio Roberto Silveira Corrêa, com pós-doutorado pela Universidade de Newcastle, Austrália, é também professor de São Carlos. A m b o s desenvolvem pesquisas, participam de obras, e colaboram c o m o sistema brasileiro de qualidade e normalização. A Associação Brasileira de Cimento Portland - A B C P - orgulha-se d e participar d o lançamento, junto c o m o Senai e a Pini, certa de que oferece um instrumento valioso para a e l a b o r a ç ã o d o s projetos de a l v e n a r i a estrutural c o m blocos d e c o n c r e t o , a p r o f u n d a n d o o conhecimento técnico desse sistema construtivo. Eng 9 Renato José Giusti Presidente da Associação Brasileira de Cimento Portland PREFÁCIO XI NOTA D O PATROCINADOR 1 CONSIDERAÇÕES XIII INICIAIS 1 1.1 C O N C E I T O E S T R U T U R A L B Á S I C O 1 1.2 A S P E C T O S H I S T Ó R I C O S E D E S E N V O L V I M E N T O D O S I S T E M A 2 1 . 2 . 1 PIRÂMIDES DE GUIZÉ 2 1 . 2 . 2 FAROL DE ALEXANDRIA 3 1 . 2 . 3 COLISEO 3 1 . 2 . 4 CATEORAL DE REIMS 3 1 . 2 . 5 EDIFÍCIO MONADNOCK 4 1 . 2 . 6 ALVENARIA NÃO-ARMADA NA SUÍÇA 4 1 . 2 . 7 HOTEL EXCALIBUR EM LAS VEGAS 4 1 . 2 . 8 PRIMEIROS EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS NO BRASIL 4 1 . 2 . 9 SITUAÇÃO ATUAL NO BRASIL 6 1.3 C O M P O N E N T E S D A A L V E N A R I A E S T R U T U R A L 6 1 . 3 . 1 UNIDADE 7 1 . 3 . 2 ARGAMASSA 7 1 . 3 . 3 GRAUTE 8 1 . 3 . 4 ARMADURAS 8 1.4 A S P E C T O S T É C N I C O S E E C O N Ô M I C O S 9 1 . 4 . 1 PRINCIPAIS PARÂMETROS A SEREM CONSIDERADOS F*RA A ADOÇÃO DO SISTEMA 9 1 . 4 . 2 PRINCIPAIS PONTOS POSITIVOS DO SISTEMA 10 1 . 4 . 3 PRINCIPAIS PONTOS NEGATIVOS DO SISTEMA 11 1.5 C O N C L U S Ã O 12 2 PRINCIPAIS ASPECTOS Q U A N T O À M O D U L A Ç Ã O 13 2.1 C O N C E I T O S B Á S I C O S 13 2.2 I M P O R T Â N C I A DA M O D U L A Ç Ã O 13 2.3 B L O C O S U S U A L M E N T E UTILIZADOS 14 2.4 E S C O L H A DA M O D U L A Ç Ã O A S E R UTILIZADA 15 2.5 M O D U L A Ç Ã O H O R I Z O N T A L - PRINCIPAIS D E T A L H E S 16 2.6 S O L U Ç Õ E S R E C O M E N D A D A S PARA C A N T O S E B O R D A S 18 2 . 6 . 1 MÓDULO E LARGURA IGUAIS 18 2 . 6 . 2 LARGURA MENOR QUE O MÓDULO 20 2.7 M O D U L A Ç Ã O V E R T I C A L - PRINCIPAIS DETALHES 21 2.8 C O N C L U S Ã O 23 3 ANÁLISE ESTRUTURAL PARA C A R G A S VERTICAIS 25 3.1 P R I N C I P A I S S I S T E M A S E S T R U T U R A I S 25 3 . 1 . 1 PAREDES TRANSVERSAIS 25 3 . 1 . 2 PAREDES CELULARES 25 3 . 1 . 3 SISTEMA COMPLEXO 25 3.2 C A R R E G A M E N T O V E R T I C A L 26 3 . 2 . 1 CARGAS PROVENIENTES DAS LAJES 26 3 . 2 . 2 PESO PRÓPRIO DAS PAREDES 27 3.3 I N T E R A Ç Ã O DE P A R E D E S 28 3.4 I M P O R T Â N C I A DA U N I F O R M I Z A Ç Ã O DAS C A R G A S 30 3.5 I N F L U Ê N C I A D O P R O C E S S O C O N S T R U T I V O 30 3.6 P R O C E D I M E N T O S D E D I S T R I B U I Ç Ã O 32 3 . 6 . 1 PAREDES ISOLADAS 32 3 . 6 . 2 GRUPOS ISOLADOS DE PAREDES 32 3 . 6 . 3 GRUPOS DE PAREDES COM INTERAÇÃO 34 3 . 6 . 4 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL EM ELEMENTOS FINITOS 35 3.7 E X E M P L O S D E DISTRIBUIÇÃO DE C A R G A S VERTICAIS 35 3 . 7 . 1 EXEMPLO 1 35 3 . 7 . 2 EXEMPLO 2 38 3.8 V E R I F I C A Ç Ã O D E D A N O A C I D E N T A L 42 3.9 C O N C L U S Ã O 43 4 ANÁLISE ESTRUTURAL PARA A Ç Õ E S HORIZONTAIS 45 4.1 C O N C E I T O S B Á S I C O S 45 4.2 A Ç Õ E S HORIZONTAIS A S E R E M C O N S I D E R A D A S 46 4 . 2 . 1 AÇÃO DOS VENTOS 46 4 . 2 . 2 DESAPRUMO 47 4 . 2 . 3 SISMOS 48 4.3 C O N S I D E R A Ç Ã O DE A B A S E M PAINÉIS DE C O N T R A V E N T A M E N T O 48 4.4 DISTRIBUIÇÃO DE A Ç Õ E S PARA C O N T R A V E N T A M E N T O S S I M É T R I C O S 49 4 . 4 . 1 PAREDES ISOLADAS 49 4 . 4 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 50 4.5 DISTRIBUIÇÃO DE A Ç Õ E S PARA C O N T R A V E N T A M E N T O S A S S I M É T R I C O S 52 4 . 5 . 1 PAREDES ISOLADAS 52 4 . 5 . 2 PAREDES COM ABERTURAS 53 4.6 C O N S I D E R A Ç Ã O DE T R E C H O S RÍGIDOS PARA O S LINTÉIS 54 4.7 E X E M P L O S D E M O D E L O S PARA E D I F Í C I O S S O B A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 55 4 . 7 . 1 EXEMPLO 1 56 4 . 7 . 1 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 56 4 . 7 . 1 . 2 MOMENTOS FLETORES 58 4 . 7 . 1 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 60 4 . 7 . 1 . 4 TENSÕES NORMAIS 60 4 . 7 . 1 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 62 4 . 7 . 2 EXEMPLO 2 63 4 . 7 . 2 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS 64 4 . 7 . 2 . 2 MOMENTOS FLETORES 64 4 . 7 . 2 . 3 ESFORÇOS NORMAIS 65 4 . 7 . 2 . 4 TENSÕES NORMAIS 65 4 . 7 . 2 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO 67 4 . 7 . 3 CONCLUSÕES GERAIS PARA OS EXEMPLOS 67 4.8 ESTABILIDADE G L O B A L DA E S T R U T U R A DE C O N T R A V E N T A M E N T O 68 4 . 8 . 1 CONCEITOS BÁSICOS 68 4 . 8 . 2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 69 4 . 8 . 3 AVALIAÇÃO DOS ACRÉSCIMOS DE SEGUNDA ORDEM 69 4 . 8 . 4 DESLOCABILIDADE DAS ESTRUTURAS POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 70 4 . 8 . 4 . 1 PARÂMETRO A 70 4 . 8 . 4 . 2 PARÂMETRO YZ 71 4.9 C O N C L U S Ã O 72 5 PRINCIPAIS PARÂMETROS PARA O D I M E N S I O N A M E N T O DE ELEMENTOS 73 5.1 T E N S Õ E S A D M I S S Í V E I S E E S T A D O S L I M I T E S 73 5.2 R E S I S T Ê N C I A À C O M P R E S S Ã O DA A L V E N A R I A 75 5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO 75 5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS 75 5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA 76 5 . 2 . 1 . 3 GRAUTE 77 5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS 78 5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DAS PAREDES 78 5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS 78 5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES 80 5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA 81 5.3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S PARA E L E M E N T O S DE ALVENARIA 84 5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES 85 5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA 86 5 . 3 . 3 ESBELTEZ 87 5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO 87 5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS 88 5.4 P A R Â M E T R O S D E R E S I S T Ê N C I A PARA A L V E N A R I A 89 5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 1 0 8 3 7 89 5 . 4 . 2 PARÂMETROS DA B S 5 6 2 8 91 5.5 P A R Â M E T R O S E L Á S T I C O S PARA A L V E N A R I A 93 6 DIMENSIONAMENTO 95 DE ELEMENTOS 6.1 I N T R O D U Ç Ã O 6.2 C O M P R E S S Ã O 95 SIMPLES 95 6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE 96 6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS 96 6.3 F L E X Ã O S I M P L E S 98 6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5 6 2 8 99 6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 1 0 8 3 7 99 6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO 100 6 . 3 . 4 DIMENSIONAMENTO BALANCEADO 102 6 . 3 . 5 DIMENSIONAMENTO SUBARMADO 103 6 . 3 . 6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO 104 6 . 3 . 7 DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA 104 6.4 C I S A L H A M E N T O 106 6 . 4 . 1 TENSÕES ATUANTES 106 6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS 107 6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO 107 6.5 F L E X Ã O C O M P O S T A 109 6 . 5 . 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 1 0 8 3 7 109 6 . 5 . 2 EOUACIONAMENTO BÁSICO 110 6 . 5 . 3 PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO 113 7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 115 7.1 I N T R O D U Ç Ã O 115 7.2 E X E M P L O S D E C O M P R E S S Ã O S I M P L E S 115 7 . 2 . 1 EXEMPLO 1 115 7 . 2 . 2 EXEMPLO 2 116 7.2.3 117 EXEMPLO 3 7.3 E X E M P L O S DE F L E X Ã O S I M P L E S 117 7 . 3 . 1 EXEMPLO 1 117 S O L U Ç Ã O C O M O AUXÍLIO DE TABELAS 118 7 . 3 . 2 EXEMPLO 2 121 7 . 3 . 3 EXEMPLO 3 122 7.4 E X E M P L O S D E F L E X Ã O S I M P L E S 124 7 . 4 . 1 EXEMPLO 1 124 7 . 4 . 2 EXEMPLO 2 126 7.5 E X E M P L O S D E C I S A L H A M E N T O 128 7 . 5 . 1 EXEMPLO 1 128 7 . 5 . 2 EXEMPLO 2 128 8 EXEMPLO DE EDIFÍCIO DE PORTE MÉDIO 131 8.1 C A R A C T E R Í S T I C A S D O E D I F Í C I O 131 8.2 C A R G A S V E R T I C A I S 132 8.3 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S C A R G A S V E R T I C A I S 134 8.4 A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 136 8 . 4 . 1 AÇÕES DEVIDAS AO VENTO 136 8 . 4 . 2 AÇÓCG CONNCGPONDCNTCG AO DCGAPFIUMO 136 8.5 D I S T R I B U I Ç Ã O D A S A Ç Õ E S H O R I Z O N T A I S 137 8.6 D I M E N S I O N A M E N T O DAS P A R E D E S 140 8.7 D I M E N S I O N A M E N T O D A S V E R G A S 144 8.8 E S T A B I L I D A D E G L O B A L DA E S T R U T U R A D E C O N T R A V E N T A M E N T O 145 8.9 C O N C L U S Ã O 146 ANEXOS - TABELAS DE FLEXÃO 147 REFERÊNCIAS 171 BIBLIOGRÁFICAS 1.1 CONCEITO ESTRUTURAL BÁSICO O principal conceito estrutural ligado à utilização da alvenaria estrutural é a transmissão de ações através de tensões de compressão. Esse é o conceito crucial a ser levado e m conta q u a n d o se discute a alvenaria c o m o p r o c e s s o construtivo para e l a b o r a ç ã o d e estruturas. Especialmente no presente é evidente que se pode admitir a existência de tensões de tração e m determinadas peças. Entretanto, essas tensões devem preferencialmente se restringir a pontos específicos da estrutura, além de não apresentarem valores muito elevados. E m caso contrário, se as trações ocorrerem de forma generalizada o u seus valores forem muito elevados, a estrutura pode ser até mesmo tecnicamente viável, mas dificilmente será economicamente adequada. Assim, pode-se perceber por que o sistema construtivo se desenvolveu inicialmente através do empilhamento puro e simples de unidades, tijolos ou blocos, de forma a cumprir a destinação projetada. Nessa fase inicial, vãos até podiam ser criados, mas sempre por peças auxiliares, como, por exemplo, vigas de madeira ou pedra. É importante mencionar que os vãos criados através desse sistema apresentavam u m a deficiência séria: a necessidade de s e r e m executados c o m dimensões relativamente pequenas. Além disso, existia o problema óbvio da durabilidade, no caso de se utilizar para essas vigas u m material de vida útil relativamente pequena quando comparado ao que era utilizado nas alvenarias propriamente ditas. Esse era o caso, por exemplo, de vigas de madeira utilizadas sobre alvenarias cerâmicas de pedra. É principalmente por causa disso que muitas construções da antigüidade não podem ser apreciadas e m sua plenitude. Exemplos eloqüentes são as construções de Pompéia ou as ruínas de Babilônia. Nessas relíquias, e e m muitas outras de mesma idade, as paredes são originais, m a s os pavimentos e telhados, quando existem, são partes reconstruídas, pois os originais desapareceram c o m o correr dos séculos. C o m o d e s e n v o l v i m e n t o d o sistema construtivo, percebeu-se que u m a alternativa interessante e viável para a execução d o s vãos seriam os arcos. Nesse caso, os vãos poderiam ser obtidos através do conveniente arranjo das unidades, de forma a se garantir o preceito básico da não-existência de tensões de tração de valores significativos. A figura 1.1 (A) apresenta, de forma e s q u e m á t i c a , u m v ã o produzido dentro dessa concepção. Dessa forma p u d e r a m ser executadas pontes e muitas outras obras de grande beleza e durabilidade, obtendo-se um salto de qualidade significativo para o sistema construtivo. Talvez os mais marcantes exemplos de estruturas que utilizaram, de forma generalizada, esse procedimento para a obtenção de amplos espaços internos tenham sido as catedrais góticas do final da Idade Média e começo do Renascimento. C o m os tetos e m abóbadas suportadas por arcos de alvenaria, essas construções aliavam a beleza d a s formas à durabilidade dos materiais. C A P Í T U L O Considerações I n i c i a i s 1 Essas estruturas, quando necessário, foram construídas até mesmo c o m arcos que se apoiavam em outros arcos de contraventamento, evitando-se as tensões de tração de valores elevados e permitindo-se a criação de vãos e pés-direito relativamente grandes. É o esquema que se apresenta na figura 1.1 (B), e que pode ser visto claramente, por exemplo, na parte posterior da igreja de Notre Dame, em Paris. Figura 1.1 - (A) Arco simples1 e (B) Arco contraventado. 1.2 ASPECTOS HISTÓRICOS E DESENVOLVIMENTO DO SISTEMA A alvenaria é um sistema construtivo muito tradicional, tendo sido muito utilizado desde o início da atividade humana de executar estruturas para os mais variados fins. Com a utilização de blocos de diversos materiais, como argila, pedra e outros, foram produzidas obras que desafiaram o tempo, atravessando séculos ou mesmo milênios e chegando até nossos dias como verdadeiros monumentos de grande importância histórica. Outras edificações não têm grande importância histórica geral, mas, dentro do sistema construtivo estudado, acabaram se tornando marcos a serem mencionados. N e s t e texto s e r ã o a p r e s e n t a d o s a l g u n s e x e m p l o s q u e p o d e m ser c o n s i d e r a d o s importantes para o entendimento do desenvolvimento do sistema construtivo e m análise. Não se pretende aqui discutir de forma detalhada a história da alvenaria, mas apenas apresentar um rápido resumo da evolução desse sistema construtivo ao longo do tempo, e m especial destacando-se os seus aspectos estruturais. 1 . 2 . 1 PIRÂMIDES DE GUIZÉ São três grandes pirâmides, Quéfren, Queóps e Miquerinos, construídas e m blocos de pedra que datam de aproximadamente 2600 anos antes de Cristo. A Grande Pirâmide, túmulo do faraó Queóps, mede 147 m de altura e sua base é u m quadrado de 230 m de lado. Em sua construção foram utilizados aproximadamente 2,3 milhões de blocos, com peso médio de 25 kN. ' Associação Brasileira de Construção Industrializada (1990). Por essas características, as pirâmides de Guizé são consideradas grandes monumentos da antigüidade, símbolos da capacidade dos faraós de mobilizarem verdadeiros exércitos de trabalhadores durante longos períodos. Entretanto, do ponto de vista estrutural, as pirâmides não apresentavam nenhuma grande inovação, sendo construídas através da colocação de blocos, uns sobre os outros, de maneira a produzirem a forma piramidal que as caracterizam. 1 . 2 . 2 FAROL DE ALEXANDRIA Construído em uma das ilhas em frente ao porto de Alexandria, Faros, aproximadamente 280 anos antes de Cristo, é o mais famoso e antigo farol de orientação. Construído em mármore branco, com 134 m de altura, possuía um engenhoso sistema de iluminação, baseado em um jogo de espelhos. Do ponto de vista estrutural tratava-se de uma obra marcante, com altura equivalente a um prédio de 45 pavimentos. Infelizmente, foi destruído por um terremoto no século XIV, restando apenas as suas fundações como um testemunho de sua grandeza. 1 . 2 . 3 COLISEO Esse grande anfiteatro, com capacidade para 50.000 pessoas, é um maravilhoso exemplo de arquitetura romana, com mais de 500 m de diâmetro e 50 m de altura. Construído por volta do ano 70 d.C. possuía 80 portais, de forma que todas as pessoas que estivessem assistindo aos espetáculos lá realizados pudessem entrar e sair com grande rapidez. Outra característica interessante, agora quanto ao aspecto estrutural, é que os teatros romanos, ao contrário dos teatros gregos que se aproveitavam de desníveis naturais de terrenos apropriados, eram suportados por pórticos formados por pilares e arcos. Essa característica estrutural lhes conferia uma maior liberdade em termos de localização, podendo estar situados até mesmo nos centros das grandes cidades. 1 . 2 . 4 CATEDRAL DE REIMS t um grande exemplo de catedral gótica. Construída entre 1211 e 1300 d.C. demonstra a aprimorada técnica de se conseguir vãos relativamente grandes utilizando-se apenas estruturas comprimidas. Seu interior é amplo, com os arcos que sustentam o teto sendo apoiados em pilares esbeltos, que, por sua vez, são contraventados adequadamente por arcos externos. As catedrais góticas em geral, e a catedral de Reims em particular, podem ser citadas como os grandes exemplos de estruturas de alvenaria com interiores que conferem sensação de amplitude e grandeza. Ao se adentrar nessas edificações fica claro que, apesar de todas as limitações que os procedimentos empíricos impunham aos arquitetos desses edifícios, as técnicas construtivas que foram sendo refinadas ao longo de séculos acabaram produzindo resultados muito satisfatórios. 1 . 2 . 5 EDIFÍCIO MONADNOCK Foi construído em Chicago de 1889 a 1891 e tornou-se um símbolo clássico da moderna alvenaria estrutural. Com seus 16 pavimentos e 65 m de altura, foi considerado uma obra ousada, como se explorasse os limites dimensionais possíveis para edifícios de alvenaria. Entretanto, por causa dos métodos empíricos de dimensionamento empregados até então, as paredes na base têm 1,80 m de espessura. Acredita-se que se fosse dimensionado pelos procedimentos utilizados atualmente, com os mesmos materiais, essa espessura seria inferior a 30 cm. 1 . 2 . 6 ALVENARIA NÃO-ARMADA NA SUÍÇA Outro marco importante na história das construções em alvenaria é um edifício construído em 1950, por Paul Haller, na Basiléia, Suíça. O edifício, com 13 pavimentos e 42 m de altura, foi executado em alvenaria estrutural não-armada. A espessura das paredes é de 15 cm, para paredes internas, e 37,5 cm, para as paredes externas. Considerando-se esses dados e sabendo-se que as paredes internas é que recebem a maior parte das cargas da edificação, pode-se concluir que o dimensionamento deve ter sido realizado com base em procedimentos não muito diferentes dos que se utilizam atualmente. A largura de 15 cm para as paredes mais solicitadas é exatamente a que se obteria em um dimensionamento convencional utilizando-se qualquer uma das principais normas internacionais. Muito provavelmente a largura das paredes externas, de 37,5 cm, foi adotada em função de características relacionadas ao conforto térmico. 1 . 2 . 7 HOTEL EXCAUBUR EM LAS VEGAS Segundo Amrhein (1998), o mais alto edifício em alvenaria estrutural da atualidade é o Hotel Excalibur, em Las Vegas, EUA. O complexo do hotel é formado por quatro torres principais, com 28 pavimentos, cada uma contendo 1.008 apartamentos. As paredes estruturais foram executadas em alvenaria armada de blocos de concreto e a resistência à compressão especificada na base foi de aproximadamente 28 MPa. 1 . 2 . 8 PRIMEIROS EDIFÍCIOS RESIDENCIAIS NO BRASIL O sistema construtivo em alvenaria é utilizado no Brasil desde que os portugueses aqui desembarcaram no início do século XVI. Entretanto, a alvenaria com blocos estruturais, que pode ser encarada como um sistema construtivo mais elaborado e voltado para a obtenção de edifícios mais econômicos e racionais, demorou muito a encontrar o seu espaço. A cronologia das edificações realizadas c o m blocos vazados estruturais é u m pouco controversa, mas pode-se supor que os primeiros edifícios construídos no Brasil tenham surgido e m 1966, e m São Paulo. Foram executados c o m blocos de concreto e tinham apenas quatro pavimentos, conforme se apresenta na figura 1.2(A). Edifícios mais elevados foram construídos, também e m São Paulo, e m 1 9 7 2 . 0 condomínio Central Parque Lapa tinha quatro blocos com 12 pavimentos e m alvenaria a r m a d a de blocos de concreto, figura 1.2(B). Figura 1.2 - Primeiros edifícios residenciais no BrasiP. U m pouco posterior é o edifício Muriti, e m São José dos Campos, c o m 16 pavimentos. Também foi executado e m alvenaria armada de blocos vazados de concreto. E m alvenaria não-armada, apenas e m 1977 se tem notícia dos primeiros edifícios, com nove pavimentos. Essas edificações foram executadas com blocos sílico-calcáreos, c o m 24 c m de espessura para as paredes estruturais. Dessa forma, apesar de sua chegada tardia, o sistema acabou se firmando c o m o uma a l t e r n a t i v a eficiente e e c o n ô m i c a para a e x e c u ç ã o de e d i f i c a ç õ e s r e s i d e n c i a i s e t a m b é m industriais. C o m u m desenvolvimento mais lento a princípio e b e m mais rápido nos últimos anos. o sistema acabou sendo muito b e m aceito, o que se pode perceber principalmente quando se considera o n ú m e r o de empresas produtoras de blocos, tanto de concreto c o m o cerâmicos, existentes na atualidade. 2 Associação Brasileira de Construção Industrializada (1990). 1 . 2 . 9 SITUAÇÃO ATUAL NO BRASIL Atualmente, no Brasil, o sistema construtivo em alvenaria tem experimentado um grande impulso. Devido à estabilização da economia, a concorrência tem feito com que um número crescente de empresas passe a se preocupar mais com os custos, acelerando as pesquisas e a utilização de novos materiais. Dentro do sistema Alvenaria Estrutural, a alvenaria não-armada de blocos vazados de concreto parece ser um dos mais promissores, tanto pela economia proporcionada como pelo número de fornecedores já existentes. Sua utilização é mais indicada em edificações residenciais de padrão baixo ou médio com até 12 pavimentos. Nesses casos utilizam-se paredes com espessura de 14 cm e a resistência de bloco normalmente necessária é de 1 MPa vezes o número de pavimentos acima do nível considerado. Entretanto, a alvenaria de blocos cerâmicos também ganha força com o aparecimento de fornecedores confiáveis para resistências superiores a 10 MPa. Apesar de, no momento, ser mais utilizada em edificações de poucos pavimentos, pode-se considerar que dentro de algum tempo os blocos cerâmicos passarão a disputar com os blocos de concreto a utilização em edifícios de até 10 pavimentos. 1.3 C O M P O N E N T E S DA ALVENARIA ESTRUTURAL Neste item serão apresentadas algumas características dos principais componentes da alvenaria estrutural. Inicialmente é importante se ressaltar dois conceitos básicos que são aqui necessários: componente e elemento. Neste texto, esses conceitos são mencionados com o significado que possuem na NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 3 . Essa norma de cálculo, entretanto, os apresenta de forma diversa da NBR 8798 Execução e Controle de Obras de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 4 . Assim, torna-se necessário um esclarecimento cabal sobre os significados aqui adotados. Entende-se por um componente da alvenaria uma entidade básica, ou seja, algo que compõe os elementos que, por sua vez, comporão a estrutura. Os componentes principais da alvenaria estrutural são: blocos, ou unidades; argamassa; graute e armadura. Já os elementos são uma parte suficientemente elaborada da estrutura, sendo formados por pelo menos dois dos componentes anteriormente citados. Como exemplo de elementos podem ser citados: paredes, pilares, cintas, vergas, etc. 9 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985). Considerações Iniciais 1 . 3 . 1 UNIDADE Como componentes básicos da alvenaria estrutural, as unidades são as principais responsáveis pela definição das características resistentes da estrutura. Quanto ao material componente, as unidades mais utilizadas no Brasil para edificações de alvenaria estrutural são, em ordem decrescente de utilização: unidades de concreto, unidades cerâmicas e unidades sílico-catcáreas. Quanto à forma as unidades podem ser maciças ou vazadas, sendo denominadas tijolos ou blocos, respectivamente. São consideradas maciças aquelas que possuem um índice de vazios de no máximo 25% da área total. Se os vazios excederem esse limite, a unidade é classificada como vazada. Desse detalhe advêm dois conceitos de grande importância estrutural. A tensão que se refere à área total da unidade, desconsiderando-se os vazios, é chamada tensão em relação à área bruta. Já a tensão calculada descontando-se a área de vazios é chamada de tensão em relação à área líquida. No Brasil, é muito mais comum a referência à área bruta e assim, exceto quando for feita uma observação explícita sobre esse ponto, todas as tensões aqui mencionadas serão referidas à área bruta. Usualmente, os blocos apresentam uma área de vazios em torno de 50%. Dessa forma a conversão da tensão na área bruta para a tensão na área líquida se faz multiplicando-se o primeiro valor por dois. Já quanto à aplicação, as unidades podem ser classificadas de vedação e estruturais. Neste texto apenas estarão sendo tratadas as unidades estruturais. Assim, é importante observar o que está mencionado nas normas brasileiras quanto às resistências mínimas que devem apresentar essas unidades. A NBR 6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural 6 especifica que a resistência característica do bloco à compressão, medida em relação à área bruta, deve obedecer aos seguintes limites: fbK > 6 MPa: blocos em paredes externas sem revestimento; fbk > 4,5 MPa: blocos em paredes internas ou externas com revestimento. Portanto, na prática, só podem ser utilizados blocos de concreto com resistência característica de no mínimo 4,5 MPa. Já a NBR 7171 - Bloco Cerâmico para Alvenaria 6 menciona que para os blocos portantes cerâmicos a resistência mínima deve ser de 4 MPa. 1.3.2 ARGAMASSA A argamassa de assentamento possui as funções básicas de solidarizar as unidades, transmitir e uniformizar as tensões entre as unidades de alvenaria, absorver pequenas deformações 5 Associação Brasileira do Normas Técnicas (1980). 6 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983). e prevenir a entrada de água e de vento nas edificações. Usualmente composta de areia, cimento, cal e água, a argamassa deve reunir boas características de trabalhabilidade, resistência, plasticidade e durabilidade para o desempenho de suas funções. Para o projetista é necessário o conhecimento da resistência média à compressão da argamassa, uma vez que a NBR 10837 especifica diferentes valores de tensão admissível à tração e ao cisalhamento para a alvenaria em função desse parâmetro. No entanto, a resistência à compressão da argamassa não é tão significativa para a resistência à compressão das paredes, conforme ficará claro em item subseqüente. Mais importante que essa característica de resistência é a plasticidade, que realmente permite que as tensões sejam transferidas de modo uniforme de uma unidade à outra. 1 . 3 . 3 GRAUTE O graute é um concreto com agregados de pequena dimensão e relativamente fluido, eventualmente necessário para o preenchimento dos vazios dos blocos. Sua função é propiciar o aumento da área da seção transversal das unidades ou promover a solidarização dos blocos com eventuais armaduras posicionadas nos seus vazios. Dessa forma pode-se aumentar a capacidade portante da alvenaria à compressão ou permitir que as armaduras colocadas combatam tensões de tração que a alvenaria por si só não teria condições de resistir. É interessante ressaltar que a NBR 8798 estabelece quantidades-limite de cimento, cal e agregados para dosagens nãoexperimentais, o que pode ser consultado como referência sempre que necessário. C o n s i d e r a - s e que o c o n j u n t o bloco, graute e eventualmente a r m a d u r a trabalhe monoliticamente, de maneira análoga ao que ocorre com o concreto armado. Para tanto, o graute deve envolver completamente as armaduras e aderir tanto a ela quanto ao bloco, de modo a formar um conjunto único. Segundo a NBR 10837, o graute deve ter sua resistência característica maior ou igual a duas vezes a resistência característica do bloco. Essa recomendação é fácil de ser entendida quando se recorda que a resistência característica do bloco é referida à área bruta e que o índice de vazios para os blocos é usualmente de 50%. Na verdade, seria mais claro se a norma mencionasse que a resistência do graute deve ser no mínimo a mesma do bloco em relação à área líquida. 1 . 3 . 4 ARMADURAS As barras de aço utilizadas nas construções em alvenaria são as mesmas utilizadas nas estruturas de concreto armado, mas, neste caso, serão sempre envolvidas por graute, para garantir o trabalho conjunto com o restante dos componentes da alvenaria. Uma exceção é feita para as armaduras colocadas nas juntas das argamassas de assentamento. Nesse caso, é importante ressaltar q u e o diâmetro deve ser de no mínimo 3,8 mm, não ultrapassando a metade da espessura da junta. 1.4 ASPECTOS TÉCNICOS E ECONÔMICOS Sempre que se fala de um novo sistema construtivo, é imprescindível que se discutam os aspectos técnicos e econômicos envolvidos. Isso significa considerar, para cada um desses itens, as principais vantagens e desvantagens desse sistema. Para tanto, optou-se não apenas por fazer um breve apanhado das principais características da alvenaria estrutural, isoladamente falando, mas, também desenvolver uma série de comparações c o m o processo convencional de produção de edifícios de concreto armado. Dessa forma pretende-se situar a alvenaria estrutural em relação às estruturas convencionais de concreto armado, um sistema construtivo bastante disseminado e muito conhecido, facilitando-se assim o entendimento de algumas características mais marcantes do sistema e m análise. Inicialmente, deve-se ressaltar que a utilização da alvenaria estrutural, para os edifícios residenciais, parte de uma concepção bastante interessante que é a de transformar a alvenaria, originalmente c o m função exclusiva de vedação, na própria estrutura. Dessa forma, pode-se evitar a necessidade da existência dos pilares e vigas que dão suporte a uma estrutura convencional. Assim, a alvenaria passa a ter a dupla função de servir de vedação e suporte para a edificação, o que é, em princípio, muito bom para a economia. Entretanto, a alvenaria, nesse caso, precisa ter sua resistência perfeitamente controlada, de forma a se garantir a segurança da edificação. Essa necessidade demanda a utilização de materiais mais caros e também uma execução mais cuidadosa, o que evidentemente aumenta o seu custo de produção em relação à alvenaria de vedação. 1 . 4 . 1 PRINCIPAIS PARÂMETROS A SEREM CONSIOERADOS PARA A ADOÇÃO DO SISTEMA Nos casos usuais, o acréscimo de custo para a produção da alvenaria estrutural compensa com folga a economia que se obtém com a retirada dos pilares e vigas. Entretanto, é necessário que se atente para alguns detalhes importantes para que a situação não se inverta, passando a ser a alvenaria um processo mais oneroso para a produção da estrutura. Esses detalhes dizem respeito a determinadas características da edificação que se pretende construir, pois não é correto se considerar que um sistema construtivo seja considerado adequado a qualquer edifício. Para maior clareza, apresentam-se a seguir as três características mais importantes que devem ser levadas e m conta para se decidir pelo sistema construtivo mais adequado. a) Altura da edificação No caso da altura, considerando-se os parâmetros atuais no Brasil, pode-se afirmar que a alvenaria estrutural é a d e q u a d a a edifícios de no m á x i m o 15 ou 16 pavimentos. Para estruturas c o m u m n ú m e r o de p a v i m e n t o s a c i m a d e s s e limite, a resistência à c o m p r e s s ã o d o s blocos encontrados no m e r c a d o não permite que a obra seja executa s e m um e s q u e m a de g r a u t e a m e n t o generalizado, o q u e prejudica muito a e c o n o m i a . A l é m disso, m e s m o q u e a resistência dos blocos p u d e s s e ser a d e q u a d a q u a n t o ã c o m p r e s s ã o , as a ç õ e s horizontais c o m e ç a r i a m a produzir tensões de tração significativas, o q u e exigiria a utilização de a r m a d u r a s e graute. E se o n ú m e r o de pontos sob essas c o n d i ç õ e s for muito g r a n d e , a e c o n o m i a da obra estará irremediavelmente c o m p r o m e t i d a . b) Arranjo arquitetônico É claro que as afirmações feitas no item anterior referem-se a edifícios usuais. Para arranjos arquitetônicos que fujam desses padrões usuais, a situação pode ser um pouco melhor, ou b e m pior. Nesse caso é importante se considerar a densidade de paredes estruturais por m 2 de pavimento. U m valor indicativo razoável é que haja de 0,5 a 0,7 m de paredes estruturais por m 2 de pavimento. Dentro desses limites, a densidade de paredes pode ser considerada usual e as condições para seu dimensionamento também refletirão essa condição. c) Tipo de uso Pelo q u e se m e n c i o n a no item anterior, é importante ressaltar q u e para edifícios comerciais ou residenciais de alto padrão, onde seja necessária a utilização de vãos grandes, esse sistema construtivo normalmente não é adequado. A alvenaria estrutural é muito mais adequada a edifícios residenciais de padrão médio ou baixo, onde os ambientes, e t a m b é m os vãos, são relativamente pequenos. Em especial para edifícios comerciais, é desaconselhável o uso indiscriminado da alvenaria estrutural. Nesse tipo de edificação é muito usual a necessidade de u m rearranjo das paredes internas de forma a acomodar empresas de diversos portes. A adoção de alvenarias estruturais para esses casos seria inconveniente, pois essa flexibilidade deixa de existir. Pode-se inclusive considerar que sua adoção seja perigosa, pois c o m o tempo é provável que proprietários realizem modificações sem estarem conscientes dos riscos que correm. 1 . 4 . 2 PRINCIPAIS PONTOS POSITIVOS DO SISTEMA Continuando a discussão sobre os mais importantes aspectos técnicos e econômicos da alvenaria estrutural, a seguir são apresentadas as características que p o d e m representar as principais vantagens da alvenaria estrutural e m relação às estruturas convencionais de concreto armado, e m ordem decrescente de importância. a) Economia de fôrmas Quando existem, as fôrmas se limitam às necessárias para a concretagem das lajes. São, portanto, fôrmas lisas, baratas e de grande reaproveitamento. b) Redução significativa nos revestimentos Por se utilizar blocos de qualidade controlada e pelo controle maior na execução, a redução dos revestimentos é muito significativa. Usualmente o revestimento interno é feito c o m uma camada de gesso aplicada diretamente sobre a superfície dos blocos. No caso dos azulejos, eles t a m b é m podem ser colados diretamente sobre os blocos. c) Redução nos desperdícios de material e mão-de-obra O fato de as paredes não admitirem intervenções posteriores significativas, como rasgos ou aberturas para a colocação de instalações hidráulicas e elétricas, é uma importante causa da eliminação de desperdícios. Assim, o que poderia ser encarado como uma desvantagem, na verdade implica a virtual eliminação d a possibilidade de improvisações, que encarecem significativamente o preço de uma construção. d) Redução do número de especialidades Deixam de ser necessários profissionais como armadores e carpinteiros. e) Flexibilidade no ritmo de execução da obra Se as lajes forem pré-moldadas, o ritmo da obra estará desvinculado do tempo de cura que deve ser respeitado no caso das peças de concreto armado. Dos itens apresentados, pode-se perceber que, e m termos gerais, a principal vantagem d a utilização da alvenaria estrutural reside n u m a maior racionalidade do sistema executivo, reduzindo-se o consumo de materiais e desperdícios que usualmente se verificam e m obras de concreto a r m a d o convencional. 1 . 4 . 3 PRINCIPAIS PONTOS NEGATIVOS DO SISTEMA Apesar de as vantagens apresentadas serem de grande relevância, não se pode esquecer de algumas desvantagens da alvenaria estrutural em relação às estruturas convencionais em concreto armado. Elas se encontram listadas a seguir, também e m ordem decrescente de importância. a) Dificuldade de se adaptar arquitetura para um novo uso Fazendo as paredes parte d a estrutura, o b v i a m e n t e não existe a possibilidade de adaptações significativas no arranjo arquitetônico. Em algumas situações isso se torna um problema bastante sério. Estudos realizados demonstram que ao longo de sua vida útil uma edificação tende a sofrer mudanças para se adaptar a novas necessidades de seus usuários. No caso da alvenaria isso não só é inconveniente como tecnicamente impossível na grande maioria dos casos. b) Interferência entre projetos de arquitetura/estruturas/instalações A interferência entre os projetos é muito grande quando se trata de uma obra e m alvenaria estrutural. A manutenção do módulo afeta de forma direta o projeto arquitetônico e a impossibilidade de se furar paredes, sem u m controle cuidadoso desses furos, condiciona de forma marcante os projetos de instalações elétricas e hidráulicas. c) Necessidade de uma mão-de-obra bem qualificada A a l v e n a r i a e s t r u t u r a l exige u m a m ã o - d e - o b r a q u a l i f i c a d a e a p t a a fazer uso de instrumentos adequados para sua execução. Isso significa u m treinamento prévio d a equipe contratada para sua execução. Caso contrário, os riscos de falhas que comprometam a segurança da edificação crescem sensivelmente. Quanto às desvantagens, deve-se ressaltar a impossibilidade de se efetuar modificações na disposição arquitetônica original. Essa limitação é um importante inibidor de vendas e até mesmo um fator que pode comprometer a segurança de uma edificação durante a sua vida útil. 1.5 CONCLUSÃO Foi apresentado neste capítulo o conceito estrutural de alvenaria estrutural, destacandose a sua capacidade primordial de absorver solicitações de compressão. Foram, também, discutidos aspectos históricos relativos a esse sistema estrutural, incluindo a sua situação no Brasil, em que se percebe o grande impulso que sua utilização tem sofrido nas últimas décadas. De forma resumida f o r a m c o n c e i t u a d o s os c o m p o n e n t e s d a alvenaria, i n d i c a n d o as s u a s características m a i s importantes. Por fim foram discutidos aspectos técnicos e econômicos do sistema estrutural, levantando-se vantagens e desvantagens de sua utilização. Principais Aspectos Q u a n t o à Modulação 2.1 CONCEITOS BÁSICOS A unidade é o componente básico da alvenaria. Uma unidade será sempre definida por três dimensões principais: comprimento, largura e altura (Fig. 2.1). O comprimento e, pode-se dizer, também a largura definem o módulo horizontal, ou módulo e m planta. Já a altura define o módulo vertical, a ser adotado nas elevações. Dentro dessa perspectiva, percebe-se que é muito importante que o comprimento e a largura sejam ou iguais ou múltiplos, de maneira que efetivamente se possa ter u m único módulo e m planta. Se isso realmente ocorrer, a amarração das paredes será enormemente simplificada, havendo u m ganho significativo e m termos da racionalização do sistema construtivo. Entretanto, se essa condição não for atendida, será necessário se utilizar unidades especiais para a correta amarração das paredes, o que pode trazer algumas conseqüências desagradáveis para o arranjo estrutural. Essas conseqüências serão apresentadas, com alguns detalhes, nos itens subseqüentes. Figura 2.1 - Dimensões de uma unidade. Assim, pode-se dizer que modular um arranjo arquitetônico, ou pelo menos modular as paredes portantes desse arranjo, significa acertar suas dimensões e m planta e também o pé-direito da edificação, e m função das dimensões das unidades, de modo a não se necessitar, ou pelo menos se reduzir drasticamente, cortes ou ajustes necessários à execução das paredes. No presente texto a unidade usualmente referida será o bloco, por ser a mais freqüentemente utilizada nas edificações em alvenaria estrutural. 2.2 IMPORTÂNCIA DA MODULAÇÃO A modulação é um procedimento absolutamente fundamental para que uma edificação e m alvenaria estrutural possa resultar econômica e racional. Se as dimensões de uma edificação não forem moduladas, como os blocos não devem ser cortados, os enchimentos resultantes certamente levarão a u m custo maior e uma racionalidade menor para a obra e m questão. 2 o Q) TD c O Esse custo mais elevado se verifica não só em relação à mão-de-obra para execução d o s e n c h i m e n t o s p r o p r i a m e n t e ditos, mas t a m b é m pelo seu efeito negativo no p r ó p r i o dimensionamento da estrutura como um todo. O fato de as paredes estarem trabalhando isoladas, conseqüência praticamente inevitável dos enchimentos, faz com que a distribuição das ações entre as diversas paredes de um edifício seja feita de forma a penalizar em demasia alguns elementos e conseqüentemente a economia do conjunto. Dessa forma, pode-se concluir que uma obra de alvenaria estrutural, que se pretenda racionalizada, deve apresentar todas as suas dimensões moduladas. Ajustes até podem ser realizados, mas em pouquíssimos pontos e apenas sob condições muito particulares. 2.3 BLOCOS USUALMENTE UTILIZADOS Muitos blocos diferentes podem ser utilizados em uma edificação em alvenaria estrutural. Dependendo do tipo de bloco a ser utilizado, maciço ou vazado, cerâmico ou de concreto, existem dimensões usualmente encontradas. A NBR 6136, que trata de blocos vazados de concreto para alvenaria estrutural, especifica duas larguras padronizadas: largura nominal de 15 cm, denominados blocos M-15, e largura nominal de 20 cm, denominados blocos M-20. Entretanto, segundo a norma, os comprimentos padronizados serão sempre de 20 e 40 cm e as alturas de 10 e 20 cm. A padronização adotada, em especial quanto ao comprimento, é adequada à largura de 20 cm, mas revela-se inadequada à largura de 15 cm. Os motivos dessa inadequação serão mostrados com detalhes nos itens seguintes. No Brasil são mais facilmente encontrados blocos de modulação longitudinal de 15 cm e 20 cm. ou seja, comprimentos múltiplos de 15 e 20 cm. Em algumas regiões, especialmente no Norte e Nordeste, é comum o módulo 12 cm, que começa a ser utilizado também no restante de nosso país para edificações de até dois pavimentos. Usualmente, a largura é igual ao módulo longitudinal, mas para o caso de blocos de módulo longitudinal 20 cm, pode-se encontrar larguras de 15 ou 20 cm, de acordo com a padronização apresentada pela NBR 6136. Já em termos de altura, não é comum encontrar-se valores diferentes de 20 cm, exceto para blocos compensadores. Na modulação longitudinal de 15 cm. normalmente são encontrados os blocos com 15 e 30 cm de comprimento, ambos com 15 cm de largura. Com freqüência encontra-se, também, o bloco de 45 cm de comprimento, conforme se apresenta na figura 2.2. Quando se trata do módulo de 20 cm, cujos blocos usuais têm comprimentos nominais de 20 cm, 40 cm, são encontradas larguras de 15 e 20 cm. Para a largura de 15 cm, é também freqüentemente encontrado um bloco especial de 35 cm, um módulo de 15 somado a um módulo de 20, cuja utilização será discutida com detalhes em item posterior. Uma família típica de blocos de modulação longitudinal de 20 cm é apresentada na figura 2.3. Figura 2.3 - Blocos de comprimentos 20. 40 e 35 cm, largura 15 cm e altura 20 cm. Na verdade, poder-se-ia generalizar as afirmativas anteriores mencionando que a figura 2.2 mostra blocos para os quais a largura é igual ao módulo, qualquer que seja esse valor. Já a figura 2.3 mostra uma família de blocos em que a largura é menor que o módulo, também quaisquer que sejam esses valores. Por exemplo, largura 12 cm e módulo 20 cm, em vez da largura de 15 cm que é mencionada. 2.4 ESCOLHA DA M O D U L A Ç Ã O A SER UTILIZADA À primeira vista pode parecer que o único parâmetro a ser considerado na escolha do módulo horizontal a ser adotado para uma edificação seja seu arranjo arquitetônico. Isso porque se adotado o módulo de 15 cm, por exemplo, as dimensões internas dos ambientes e m planta devem ser múltiplas de 15. Assim, pode-se ter 60 cm, 1,20 m, 2,10 m, etc. No caso da utilização do módulo 20. as dimensões devem ser múltiplas de 20 cm. por exemplo. 60 cm. 1.60 m. 2.80 m. etc. Dessa forma o módulo a ser adotado seria aquele que ocasionasse menores alterações e m uma arquitetura previamente concebida ou que propiciasse a concepção de um partido arquitetônico interessante. Realmente, a arquitetura é um ponto muito importante na definição do módulo a ser adotado. Entretanto, o principal parâmetro a ser considerado para a definição da distância modular horizontal de uma edificação em alvenaria é a largura do bloco a ser adotado. Isso porque o ideal é que o módulo longitudinal dos blocos a serem utilizados seja igual à largura a ser adotada. Dessa forma pode-se prescindir da utilização de blocos especiais e evitar uma série de problemas muito comuns, e m especial na ligação de duas paredes, tanto em canto quanto em bordas. Assim sendo, o projetista, antes de sugerir o módulo a ser adotado, deve avaliar o edifício e verificar se a largura conveniente será 15 c m ou 20 cm, ou eventualmente u m outro valor. Somente após esse procedimento é que deve ser discutida a modulação a ser adotada. Todavia, nem sempre é possível definir o módulo apenas seguindo esse procedimento recomendado. Pode ocorrer de não se conseguir u m fornecedor para a modulação mais adequada. O fornecedor dos blocos necessita estar a uma distância relativamente pequena da obra, de forma que se viabilize economicamente o empreendimento. Distâncias muito grandes, normalmente acima de 200 km, tornam o frete proibitivo, na prática a sua utilização. Além disso, o ideal é que existam pelo menos dois fornecedores potencialmente viáveis para uma determinada edificação, a menos que os blocos estejam sendo produzidos no próprio canteiro de obras. A dependência de apenas um fornecedor externo pode representar um perigo significativo quanto a eventuais interrupções no fornecimento ou aumentos abusivos de preços. J á quanto à modulação vertical, a situação é normalmente bem mais simples. Trata-se apenas de ajustar a distância de piso a teto para que seja um múltiplo do módulo vertical a ser adotado, normalmente 20 cm. Esse procedimento usualmente não traz problemas significativos para a compatibilização com o projeto arquitetônico. Além disso, o módulo horizontal adotado e a largura dos blocos t a m b é m não influem na escolha do módulo vertical. Por fim, alguns outros recursos que p o d e m ser adotados, como a utilização de blocos compensadores ou jota adequados, podem fazer c o m que a distância a ser modulada seja de piso a piso, dando uma flexibilidade ainda maior ao pé-direito da edificação. Detalhes mais específicos serão analisados e m item subseqüente. 2.5 MODULAÇÃO HORIZONTAL - PRINCIPAIS DETALHES O primeiro conceito a ser aqui abordado é o das dimensões reais. Q u a n d o se adota u m determinado módulo, aqui chamado de M, esse módulo refere-se ao comprimento real do bloco mais a espessura de uma junta, aqui chamada de J. Portanto, conforme se apresenta na figura 2.4, o comprimento real de um hloco inteiro será 2M - J e o comprimento real de um meio bloco será M - J. Considerando-se as juntas mais comuns, que são de 1 cm, tem-se que os comprimentos reais dos principais blocos serão seus comprimentos nominais (15, 20, 30, 35, 45 cm, etc.) diminuídos de 1 cm (14, 19, 29, 34, 44 cm, etc.). Entretanto, não são tão raros blocos preparados para juntas de 0,5 cm, principalmente nas famílias de módulo 15 cm. Nesse caso os comprimentos reais seriam de 14,5 cm, 29,5 c m e 44,5 cm. Então, as dimensões reais de uma edificação entre faces dos blocos, ou seja, sem se considerar os revestimentos, serão sempre determinadas pelo número de módulos e juntas que se fizerem presentes no intervalo. Dependendo do caso pode-se ter (n ©o M), (n ©© M - J) ou (n <*> M + J). A figura 2.5 ilustra alguns casos típicos. Outro ponto interessante apresentado na figura 2.5 é o fato de os blocos que vão colocados e m cantos e bordas vizinhos estarem "paralelos" ou "perpendiculares", sendo essas definições tomadas em relação a eixos segundo o comprimento das peças. 2M M / J 2M-J J M-J Figura 2.4 - Dimensões reais e dimensões nominais. M M CO 6M + J 7M + J • • • • ! : • • | D D | D D B B 8M-J (A) (B) 9M-J Figura 2.5 - Dimensões reais entre faces de blocos. Quando a dimensão entre blocos de canto ou borda vizinhos é um número par vezes o módulo, os blocos se apresentarão paralelos (Fig 2.5A). Em caso contrário, se a dimensão for um número ímpar vezes o módulo, os blocos estarão perpendiculares (Fig 2.5B). Somente c o m esses conceitos simples apresentados já é possível definir uma das fiadas, por exemplo, a primeira. As demais fiadas devem levar e m conta a preocupação de se evitar ao máximo as juntas a prumo. Portanto, as fiadas subseqüentes são definidas de modo a se produzir a melhor concatenação possível entre os blocos. Isso significa defasar as juntas de uma distância M, obtendo-se a situação mostrada na figura 2.6. Ressalta-se que os blocos de canto estão hachurados apenas para se destacar o seu posicionamento. |DD|Da|DD|aD|gg|DnKO Fiada 2 • •|DD|DD|DD|DD|DD|DDj Fiada 1 Elevação Figura 2.6 - Fiadas 1 e 2 e elevação de uma parede sem juntas a prumo. C o m os conceitos apresentados, a modulação horizontal estará praticamente resolvida na maior extensão das paredes. Apenas podem ocorrer alguns problemas adicionais e m cantos e bordas, especialmente quando o módulo adotado não for o m e s m o valor da largura. Para deixar b e m claros esses detalhes a serem utilizados é que se apresentam no próximo item soluções recomendadas para esses casos. 2.6 SOLUÇOES RECOMENDADAS PARA CANTOS E BORDAS Neste item, procurar-se-á destacar os blocos vazados de concreto, os mais utilizados no Brasil, e que por serem vazados exigem maiores cuidados na disposição a ser adotada e m cantos e bordas. Entretanto, as disposições aqui adotadas podem ser adaptadas c o m facilidade para outros tipos de blocos, inclusive cerâmicos e não-vazados. 2 . 6 . 1 MÓDULO E LARGURA IGUAIS Neste i t e m s e r ã o a p r e s e n t a d o s d e t a l h e s para c a n t o e b o r d a s q u a n d o o m ó d u l o a d o t a d o é igual à largura d o bloco. Esse valor p o d e ser de 1 2 , 1 5 o u m e s m o 2 0 cm. O s detalhes s e r ã o os m e s m o s para q u a l q u e r caso. Entretanto, é importante m e n c i o n a r q u e na g r a n d e maioria das edificações residenciais a largura d e bloco ideal a ser a d o t a d a é de 15 cm. N e s s e caso, o módulo ideal t a m b é m será o de 15 cm. Q u a n d o for possível adotá-lo, os d e t a l h e s de c a n t o s e bordas são muito simples, e m especial q u a n d o se puder utilizar o bloco de três módulos nas bordas. Para maior clareza, apresentam-se nas figuras 2.7 a 2.9 os esquemas de fiadas para esses encontros. É interessante salientar que para os cantos, sempre, e para as bordas, quando se dispõe de um bloco especial de três módulos, são necessárias apenas duas fiadas para esclarecer completamente o detalhe. Já para as bordas executadas s e m a utilização do bloco de três módulos, serão necessárias quatro fiadas para que o detalhe seja completo. Nesse caso, após três fiadas c o m juntas a prumo é que ocorrerá uma fiada c o m junta defasada. Figura 2.7 - Canto com modulação e largura iguais. Figura 2.8 - Borda com modulação e largura iguais, com bloco especial de três módulos. Figura 2.9 - Borda com modulação e largura iguais, sem bloco especial de três módulos. 2 . 6 . 2 LARGURA MENOR QUE o MÓDULO Se o projetista não puder utilizar o módulo e a largura do bloco iguais, será necessário se prever a utilização de blocos especiais para a solução de cantos e bordas. Somente para exemplificar apresenta-se o esquema de fiadas e m u m canto sem a utilização desses blocos especiais. Podese observar que a solução é completamente inadequada, tanto e m relação à continuação das fiadas quanto ao mau posicionamento dos septos. Figura 2.10 - Canto com módulo e largura diferentes, sem bloco especial. Assim, para esses casos, é imprescindível a utilização do bloco especial no qual u m dos furos é especialmente adaptado para a dimensão da largura do bloco, enquanto o outro é um furo c o m as dimensões normais. Por exemplo, para blocos que estejam de acordo c o m a especificação M - 1 5 da NBR 6136, módulo de 2 0 c m c o m largura 15 cm, o bloco especial teria 35 c m de comprimento. Somente c o m a utilização desse tipo de bloco é que se pode realizar corretamente a concatenação de blocos entre as diversas fiadas, conforme se mostra na figura 2.11. F i g u r a 2.11 - Canlo com módulo e largura diferentes, com bloco especial. Também a modulação de uma borda pode ser resolvida com o mencionado bloco especial, de acordo com o esquema apresentado na figura 2.12. Outra possibilidade é a utilização de um bloco especial de três furos, raramente encontrado no mercado. Esse bloco teria de apresentar os furos das extremidades com as dimensões normais e o furo do meio c o m a dimensão adaptada à largura das unidades. Assim, além de não ser c o m u m a sua produção, esse bloco normalmente apresentaria dificuldades de instalação, pois seria muito pesado. Por exemplo, no caso dos blocos seguindo a especificação M-15 da NBR 6136, ele teria 55 c m de comprimento. Entretanto, o esquema de fiadas da borda pode ser simplificado com a sua utilização como se observa na figura 2.13. Figura 2.12 - Borda com módulo e largura diferentes, com bloco especial. Figura 2.13 - Borda com módulo e largura diferentes, com bloco especial de três furos. 2.7 MODULAÇÃO VERTICAL - PRINCIPAIS DETALHES C o n f o r m e j á se m e n c i o n o u , a m o d u l a ç ã o v e r t i c a l r a r a m e n t e p r o v o c a m u d a n ç a s significativas no arranjo arquitetônico. Existem basicamente duas formas de se realizar essa modulação. A primeira, apresentada na figura 2.14, é aquela em que a distância modular é aplicada de piso a teto. Assim, paredes de extremidades terminarão com u m bloco J que tem uma das suas laterais c o m uma altura maior que a convencional, de modo a acomodar a altura da laje. Já as paredes internas terão sua última fiada composta por blocos canaleta comuns. Em casos e m que não se pretenda ou não se possa utilizar blocos J, m e s m o nas paredes externas poderão ser utilizados apenas blocos canaleta convencionais, realizando-se a concretagem da laje c o m uma fôrma auxiliar convenientemente posicionada (Fig. 2.15). Figura 2.14 - Modulação de piso a teto. Figura 2.15 - Parede externa sem bloco J. A s e g u n d a possibilidade d e m o d u l a ç ã o vertical que pode ser utilizada é a aplicação da distância modular d e piso a piso. N e s s e caso, a p r e s e n t a d o na figura 2.16, a última fiada das paredes externas s e r á f o r m a d a por blocos J c o m u m a das suas laterais c o m altura menor que a convencional, de f o r m a a t a m b é m propiciar a a c o m o d a ç ã o d a espessura d a laje. Já as p a r e d e s internas apresentarão, e m s u a última fiada, blocos c o m p e n s a d o r e s , para permitir o ajuste da distância de piso a teto que não estará m o d u l a d a . Este p r o c e d i m e n t o p o d e ser i n t e r e s s a n t e q u a n d o o fabricante d e b l o c o s n ã o p u d e r fornecer b l o c o s J e n ã o se d e s e j a r fazer a c o n c r e t a g e m utilizando-se f ô r m a s auxiliares. O c o r r e q u e o s blocos c a n a l e t a c o m u n s p o d e r ã o ser c o r t a d o s no canteiro, por m e i o de u m a f e r r a m e n t a a d e q u a d a , p e r m i t i n d o q u e os b l o c o s J e o s c o m p e n s a d o r e s p o s s a m ser o b t i d o s c o m relativa facilidade. £F= E^ZHzZT^ —I 2 Z^vEZL^ Figura 2.16 - Modulação de piso a piso. 2.8 CONCLUSÃO No presente capítulo foram apresentadas as características geométricas da utilização da alvenaria, tendo sido discutidos os aspectos relativos às suas modulações horizontal e vertical. Foi mostrada a importância da modulação para a obtenção de economia e racionalidade na edificação e m alvenaria. Foram a p r e s e n t a d a s t a m b é m as d i m e n s õ e s usuais das unidades encontradas no mercado brasileiro, apontando-se para uma relativa vantagem daquelas e m que o módulo longitudinal é igual à largura nominal da unidade. São feitas algumas recomendações para amarração de paredes e m cantos e bordas, sempre c o m o objetivo de evitar-se a presença de junta a prumo, c o m benefícios na interação de paredes e na redução de potenciais fissuras. Por fim são discutidas as opções para a modulação vertical, com destaque para a escolha de pésdireitos a s e r e m praticados, e a eventual n e c e s s i d a d e de a d o ç ã o de um maior n ú m e r o de componentes na família de unidades escolhida. 3 A n á l i s e E s t r u t u r a l para Cargas V e r t i c a i s 3.1 PRINCIPAIS SISTEMAS ESTRUTURAIS A concepção da estrutura consiste e m se determinar, a partir de uma planta básica, quais as paredes que serão consideradas estruturais ou não-estruturais, no presente caso, e m relação às cargas verticais. Alguns fatores podem condicionar esta escolha: utilização da edificação, simetria da estrutura, etc. Esse conjunto de elementos portantes é denominado sistema estrutural. Apenas c o m objetivos didáticos, os sistemas estruturais podem ser classificados e m alguns tipos notáveis. Segundo Hendry (1981), que criou uma classificação que se pode considerar clássica, os sistemas estruturais podem ser nomeados de acordo com a disposição das paredes estruturais nos tipos apresentados nos itens que se seguem. 3 . 1 . 1 PAREDES TRANSVERSAIS Utilizável e m edifícios de planta retangular e alongada. As paredes externas, na direção do maior comprimento, são não estruturais, de forma a permitir a colocação de grandes caixilhos. As lajes são armadas em uma direção, de forma a apoiarem-se sobre as paredes estruturais. Algumas aplicações principais p o d e m ser mencionadas: hotéis, hospitais, escolas, etc. 3 . 1 . 2 PAREDES CELULARES Sistema adequado a edificações de plantas mais gerais. Todas as paredes são estruturais. As lajes podem ser armadas e m duas direções, pois há a possibilidade de apoiarem-se e m todo seu contorno. Suas aplicações principais são e m edifícios residenciais e m geral. Por conferir uma maior rigidez ao conjunto, o sistema de paredes celulares é bastante interessante de ser utilizado, sempre que possível. 3 . 1 . 3 SISTEMA COMPLEXO Trata-se da utilização simultânea dos tipos anteriores, normalmente e m regiões diferentes da planta da edificação. Interessante para edificações onde se necessita de alguns painéis externos não estruturais, sendo, entretanto, possível manter-se uma região interna mais rígida, c o m todas as paredes c o m função estrutural. 1 \ I : : : : : : : Figura 3.1 - Sistema estrutural em paredes transversais. + + J Jti Figura 3.2 - Sistema estrutural em paredes celulares. - 1 r = (U, Figura 3.3 - Sistema estrutural complexo. 3.2 CARREGAMENTO VERTICAL As cargas a serem consideradas e m uma edificação dependem d o tipo e da utilização desse edifício. Por exemplo, e m u m edifício industrial pode ser necessária a consideração de cargas provenientes de pontes rolantes. Neste trabalho, entretanto, as a t e n ç õ e s principais estão voltadas para edificações residenciais. E para os edifícios residenciais e m alvenaria estrutural as principais cargas a serem consideradas nas paredes são: a) ações das lajes; b) peso próprio das paredes. O s valores mínimos a s e r e m adotados para os c a r r e g a m e n t o s p o d e m ser obtidos consultando-se a NBR 6120 - Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações 1 . 3 . 2 . 1 CARGAS PROVENIENTES DAS LAJES As principais cargas atuantes nas lajes de edifícios residenciais podem ser divididas e m ' Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980). dois grandes grupos: cargas permanentes e cargas variáveis. As principais cargas permanentes normalmente atuantes são: a) peso próprio; b) contrapiso; c) revestimento ou piso; d) paredes não-estruturais. J á as cargas variáveis são cobertas pela sobrecarga de utilização, que para os edifícios residenciais variam de 1,5 a 2,0 kN/m 2 . As lajes descarregam todas essas cargas sobre as paredes estruturais que lhe servem de apoio. Para o cálculo dessas ações, dois casos podem ser destacados: a) lajes armadas e m uma direção; b) lajes armadas e m duas direções. Para os casos de lajes pré-moldadas ou armadas e m uma direção, deve-se considerar simplesmente a região de influência de cada apoio, ou seja. os lados perpendiculares à direção da armadura. Nesse caso pode-se imaginar a existência de uma linha, paralela aos apoios, que delimita as regiões de influência. Considerando-se u m vão L, essa linha pode ser tomada nas seguintes posições: a) 0,5 L entre dois apoios do m e s m o tipo; b) 0,38 L do lado simplesmente apoiado e 0,62 L do lado engastado; c) 1,0 L do lado engastado quando a outra borda for livre. Já no caso de ações de lajes maciças, armadas e m duas direções, pode-se utilizar o procedimento das linhas de ruptura, recomendado pela NBR 6118 - Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado 2 . 3 . 2 . 2 PESO PRÓPRIO DAS PAREDES Para considerar o peso próprio das paredes, basta utilizar a expressão: p =Yeh 2 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1978). Em que, p: peso da alvenaria (por unidade de comprimento) y : peso específico da alvenaria e: espessura da parede (bloco + revestimento) h: altura da parede (não esquecer eventuais aberturas) Quanto ao valor de y, o parâmetro mais importante da expressão, devem ser consideradas as condições específicas da alvenaria utilizada. Para os principais tipos presentes e m edifícios residenciais, pode-se m o n t a r a tabela 3.1. Tabela 3.1 - Principais pesos específicos para alvenaria. Tipo de alvenaria Peso específico kN/m3 Blocos vazados de concreto 14 Blocos vazados de concreto preenchidos com graute 24 Blocos cerâmicos 12 3.3 INTERAÇÃO DE PAREDES Numa parede de alvenaria, quando se coloca u m carregamento localizado sobre apenas uma parte de seu comprimento, tende a haver um espalhamento dessa carga ao longo de sua altura. A NBR 10837 - Cálculo de Estruturas de Alvenaria de Blocos Vazados de Concreto 3 prescreve que esse espalhamento deve-se dar segundo um ângulo de 45 9 . Se esse espalhamento pode ser observado e m paredes planas, é de se supor que também possa ocorrer e m cantos e bordas, especialmente quando a amarração é realizada intercalando-se blocos numa e noutra direção, ou seja. sem a existência de juntas a prumo. Isso se dá porque um canto assim executado guarda muita semelhança c o m a própria parede plana, devendo ser, portanto, o seu comportamento t a m b é m semelhante (Fig. 3.4). É claro que somente haverá espalhamento da carga através de u m canto se nesse ponto puderem se desenvolver forças de interação (Fig. 3.5). Se essas forças não estiverem presentes por um motivo qualquer, como a existência de uma junta a prumo no local, evidentemente o espalhamento t a m b é m não se verificará. E não ocorrendo o espalhamento não ocorrerá a uniformização das cargas que atuam sobre essas paredes. Outro ponto e m que se pode discutir a existência ou não de forças de interação são as aberturas. Usualmente, considera-se que a existência de uma abertura t a m b é m represente u m 3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). limite entre paredes, ou seja, a abertura caracteriza a interrupção do elemento. Assim sendo uma parede c o m aberturas normalmente é considerada como uma seqüência de paredes independentes. Entretanto, também nesse caso, costuma haver forças de interação entre esses diferentes elementos e, portanto, haverá espalhamento e uniformização de cargas (Fig. 3.6). Não se pode esquecer que e m casos usuais de janelas ainda se tem aproximadamente 2/3 do pé-direito preenchido com material, sendo que essa altura se reduz a aproximadamente 1/3 no caso de portas. Figura 3.4 - Espalhamento do carregamento em paredes planas e em "L". Figura 3.5 - Interação de paredes em um canto. m I I I I Figura 3.6 - Interação de paredes em região de janela. Dessa forma, é importante deixar bem claro que o procedimento de distribuição de cargas verticais somente pode ser definido após uma clara avaliação desses níveis de interação entre paredes, de modo a não se violar condições reais de trabalho da estrutura. Se for possível a ocorrência de forças de interação relativamente grandes, isso significará um espalhamento do carregamento e, portanto, uma uniformização das cargas entre essas paredes. Em caso contrário, o espalhamento e a uniformização do carregamento podem se dar em níveis muito baixos. 3.4 IMPORTÂNCIA DA UNIFORMIZAÇÃO DAS CARGAS Normalmente, as cargas verticais que atuam sobre as paredes, num determinado nível da edificação, apresentam valores que podem ser muito diferentes. Por exemplo, as paredes internas tendem a receber carregamentos bem maiores que as paredes externas. Mesmo assim, não é recomendável que. para um determinado pavimento, sejam utilizadas resistências diferentes para os blocos. Seria muito perigoso uma troca de resistências, fazendo com que uma parede que necessitasse de um bloco mais resistente acabasse sendo construída com um menos resistente e vice-versa. Isso porque os blocos normalmente não possuem nenhuma indicação explícita dessa resistência, podendo ser facilmente confundidos. Desse modo, a parede mais carregada acaba definindo a resistência dos blocos a serem utilizados em todas as paredes do pavimento. É claro que podem ser previstos pontos grauteados, o que aumenta a resistência da parede mantendo-se a resistência do bloco. Entretanto, o grauteamento não é uma solução para ser utilizada de modo extensivo, devido ao custo e às dificuldades de execução. Portanto, pode-se concluir que quanto maior a uniformização das cargas verticais ao longo da altura da edificação, maiores os benefícios para a economia, pois haverá uma tendência a uma redução das resistências dos blocos a serem especificados. Por outro lado, se a suposta uniformização não ocorrer na prática, pode-se ter uma redução significativa da segurança da edificação. Logo, o projetista deve ter em mente esses parâmetros para considerar a distribuição dos carregamentos verticais, de modo a não onerar em excesso o custo da obra e não comprometer a segurança da estrutura. É bastante claro que, em maior ou menor grau, sempre ocorrerá uma uniformização dos carregamentos ao longo da altura da edificação. Entretanto, quantificar essa uniformização é o ponto relevante da questão. 3.5 INFLUÊNCIA DO PROCESSO CONSTRUTIVO Quando se fala de distribuição de cargas verticais entre as diversas paredes de um pavimento, deve-se levar em consideração que o processo executivo é uma variável de grande importância. Pode-se citar algumas das providências construtivas que mais contribuem para a existência de forças de interação elevadas e portanto uma maior uniformização das cargas verticais, em caso de cantos e bordas: a) amarração das paredes em cantos e bordas sem juntas a prumo; b) existência de cintas sob a laje do pavimento e à meia altura; c) pavimento em laje maciça. A primeira característica apresentada é a mais importante. Quando se utiliza qualquer procedimento de amarração que não seja a colocação dos blocos de forma a se evitar a formação de juntas a prumo, o desenvolvimento de forças de interação, o espalhamento das cargas e logicamente a uniformização desse carregamento, torna-se um procedimento duvidoso. Resultados de pesquisas recentes realizadas no Laboratório de Estruturas do SET-EESCUSP, ainda a serem publicados, indicam que grapas, corretamente colocadas em cantos e bordas com o auxílio de furos grauteados, podem atuar de forma bastante eficiente. Os resultados são realmente muito animadores, podendo-se admitir um comportamento muito próximo daquele que se obteria com a amarração entre as paredes sem juntas a prumo. Entretanto, tendo sido esses resultados obtidos para paredes construídas em escala 1:3, é necessário que se confirmem esses valores através de ensaios em escala real para que possam ser utilizados com segurança. Já alguns outros esquemas de armaduras que muitas vezes são colocadas nos cantos e bordas, como telas ou barras de pequeno diâmetro envolvidos pela argamassa de juntas horizontais, realmente não tem a condição de garantir com segurança a transmissão de forças significativas nos encontros de paredes. Também podem contribuir para uma uniformização das cargas em cantos e bordas as outras providências mencionadas, se bem que num nível de menor importância. Cintas sob a laje e à meia altura e pavimentos em laje maciça trabalham a favor da uniformização pois tendem a aumentar as forças de interação. Entretanto, é difícil quantificar essa influência benéfica, especialmente se for considerada a grande variabilidade dessas providências. Cintas podem ser executadas com diversas alturas e armadas com barras de diversos diâmetros. Lajes também podem apresentar espessuras diferentes e diversos esquemas de armação. Quanto às aberturas, os detalhes construtivos que mais colaboram no sentido do aumento das forças de interação e portanto da uniformização são: a) existência de vergas; b) existência de contra-vergas. Evidentemente, essas vergas e contra-vergas devem ser previstas com uma penetração apropriada nas paredes a que se ligam. Quanto maiores forem essas penetrações melhores condições de desenvolvimento de forças de interação serão criadas. 3.6 PROCEDIMENTOS DE DISTRIBUIÇÃO Para auxiliar a definição da distribuição de cargas verticais, pode-se apresentar alguns dos procedimentos mais indicados. Cada um tem suas vantagens, desvantagens e aplicações apropriadas, o que se tentará destacar nos itens específicos. 3 . 6 . 1 PAREDES ISOLADAS Neste procedimento trata-se de considerar cada parede como um elemento independente, não interagindo com os demais elementos da estrutura. É um procedimento simples e rápido. Para encontrar a carga numa parede, num determinado nível, basta somar todas as cargas atuantes nessa parede nos pavimentos que estão acima do nível considerado. A l é m de simples é t a m b é m muito seguro para as paredes, pois na ausência da uniformização das cargas as resistências prescritas para os blocos resultarão sempre mais elevadas que se a uniformização fosse considerada. O ponto negativo é obviamente a economia, que sai penalizada, pois blocos mais resistentes são também blocos mais caros. Além disso, considerar as paredes completamente isoladas não é verossímil, para a maioria das edificações, pelas razões anteriormente citadas. Isso pode causar uma estimativa errada das ações sobre estruturas complementares, como pavimentos de pilotis e fundações em concreto armado. A recomendação que se pode fazer é que este procedimento de se considerar as paredes isoladas seja utilizado para edificações de altura relativamente pequena, onde os seus efeitos negativos são menos perceptíveis. 3 . 6 . 2 GRUPOS ISOLADOS DE PAREDES Um grupo é um conjunto de paredes que são supostas totalmente solidárias. Geralmente, os limites dos grupos são as aberturas, portas e janelas, conforme se mostra como exemplo na figura 3.7. Neste procedimento consideram-se as cargas totalmente uniformizadas em cada grupo de paredes considerado. Isso significa que as forças de interação em canto e bordas são consideradas suficientes para garantir um espalhamento e uma uniformização total em uma pequena altura. Por outro lado, desconsideram-se as forças de interação nas aberturas, limites dos grupos. Dessa forma, cada grupo definido trabalhará isolado dos demais. É um procedimento bem aceito na literatura internacional. Sutherland (1968) propõe que se divida a laje em triângulos e trapézios e que essas áreas de contribuição sejam levadas a grupos de paredes que estariam trabalhando solidárias. Esse é, e m suma, o procedimento aqui recomendado. Os triângulos e trapézios mencionados nada mais são do que as regiões formadas por linhas de ruptura das lajes de concreto. E as evidências de uniformização do carregamento vertical dentro dos grupos foram levantadas por Stockbridge 4 apuei Hendry (1981) que mediu deformações em paredes na base de um edifício de cinco pavimentos enquanto este era construído. Essas m e d i d a s e v i d e n c i a r a m q u e as cargas a c a b a v a m se uniformizando à m e d i d a q u e os pavimentos eram acrescentados à edificação. PI P3 TEZ: EZZZZZZZZZZZZZ2 G2 G1 G3 P5 P6 Figura 3.7 - Exemplo de grupos de paredes definidos pelas aberturas existentes. Também é u m procedimento simples de ser implementado, se b e m que implique um trabalho um pouco maior do que para o procedimento de paredes isoladas. Basta que todas as cargas a s e r e m aplicadas e m qualquer parede de u m determinado grupo sejam s o m a d a s e posteriormente distribuídas pelo comprimento total dessas paredes do grupo. Encontrada a carga para o grupo correspondente a um pavimento, basta multiplicar pelo número de pavimentos que se encontram acima do nível que se pretende verificar. Usualmente, t a m b é m é u m procedimento seguro, em especial quando as aberturas são consideradas como o limite entre os grupos. Entretanto, como essa definição pode basear-se c m outros parâmetros, o procedimento pode apresentar distorções, dependendo de quais paredes serão consideradas como pertencentes a tal ou qual grupo. Considera-se ainda que produza reações adequadas para eventuais estruturas de apoio, o que é u m detalhe bastante importante a ser considerado. Quanto à economia, sempre se admitindo uma escolha tecnicamente correta dos grupos a serem considerados, é u m procedimento bastante racional e que normalmente resulta e m 4 STOCKBRIDGE. J.G. (1967) A Study of High-Rise Load Bearing Brickwork in Britain. M. Arch.Thesis. Univ.of Edinburgh. especificações adequadas de blocos. A redução das resistências necessárias para os blocos costuma ser bastante significativa em relação ao procedimento das paredes isoladas. Pelas suas qualidades, pode-se considerá-lo um procedimento adequado a edificações de qualquer altura. Entretanto, é fundamental que se avalie corretamente a possibilidade de realmente ocorrerem as mencionadas forças de interação em cantos e bordas, condição fundamental para sua correta aplicação. 3 . 6 . 3 GRUPOS DE PAREDES COM INTERAÇÃO Este procedimento é uma extensão do anterior, com uma sofisticação adicional de modo que os próprios grupos de paredes interagem entre si. Portanto, a diferença entre este procedimento e o anterior, que apenas considerava a interação em canto e bordas, é a existência de forças de interação também sobre as aberturas. Claro que essa interação não pode se limitar a uma uniformização total do carregamento, pois isso eqüivaleria a encontrar a carga vertical total de um pavimento e dividi-la pelo comprimento total das paredes, obtendo uma carga média igual para todos os elementos. Na verdade é conveniente que seja definida uma taxa de interação, que representa quanto da diferença de cargas entre grupos que interagem deve ser uniformizada em cada nível. Além disso, é também importante que se possa especificar quais grupos de paredes estão interagindo, de modo que o projetista tenha total controle sobre o processo. É bem mais trabalhoso que os dois procedimentos anteriormente mencionados. Assim, de forma a reduzir a possibilidade da ocorrência de erros, recomenda-se que seja automatizado através de computadores, até mesmo com a utilização de um programa de planilha eletrônica. Uma sugestão interessante para se considerar essa interação através de um algoritmo seguro e relativamente fácil de ser implementado é apresentada em Corrêa & Ramalho (1994a) ou Corrêa & Ramalho (1998b). Resumidamente trata-se de fazer a distribuição através das seguintes equações: d=(q,-qj*(1-t) I q, = qm + d, ...(3.1) Em que. n = número de grupos que estão interagindo q, = carga do grupo i q m = carga média dos grupos que estão interagindo, calculada pela carga total dividida pelo comprimento total d = diferença de carga do grupo em relação à média t = taxa de interação Quanto à segurança do procedimento aqui exposto, é difícil adotar uma posição simplista. 34 Como devem ser definidos os grupos, quais grupos interagem entre si e ainda a taxa de interação adotada, é um procedimento que exige bastante experiência do projetista e resultados experimentais para a sua utilização. Quando bem utilizado é seguro, produzindo inclusive ações adequadas para eventuais estruturas de suporte. A economia é seu grande atrativo. As especificações de resistências de blocos resultantes de sua utilização tendem a ser as menores entre os procedimentos discutidos até aqui. Especialmente quando se tem paredes de pequenas dimensões e isoladas por aberturas, as diferenças costumam ser muito significativas, mesmo em relação ao procedimento de grupos isolados. De forma semelhante ao procedimento que considera os grupos isolados, é adequado a edificações de qualquer altura. Entretanto, aqui também é fundamental que se avalie corretamente a possibilidade de realmente ocorrerem as forças de interação, tanto em cantos e bordas como nas regiões de aberturas. Serão essas, sem dúvida, as condições fundamentais para sua utilização. 3 . 6 . 4 MODELAGEM TRIDIMENSIONAL EM ELEMENTOS FINITOS Trata-se de modelar a estrutura discretizada com elementos de membrana ou chapa, colocando-se os carregamentos ao nível de cada pavimento. Dessa forma a uniformização dar-se-á através da compatibilização dos deslocamentos ao nível de cada nó. É um procedimento muito interessante que, entretanto, apresenta alguns inconvenientes: dificuldades na montagem dos dados e na interpretação dos resultados, além da definição de elementos que possam representar o material alvenaria. No momento, pode-se afirmar que ainda não é viável para projetos usuais. São ainda necessárias pesquisas adicionais, inclusive com o desenvolvimento de elementos especiais para a simulação da alvenaria, para que realmente possa ser utilizada com eficiência e segurança. 3 . 7 E X E M P L O S DE D I S T R I B U I Ç Ã O DE CARGAS VERTICAIS Para deixar clara a utilização dos três primeiros procedimentos discutidos, apresenta-se neste item dois exemplos de aplicação. Através deles pretende-se demonstrar as principais características de cada procedimento, verificando-se assim as suas peculiaridades quanto à dificuldade do implementação e obtenção de resultados. 3 . 7 . 1 EXEMPLO 1 Trata-se de parte de uma edificação, representada pelos três grupos apresentados na figura 3.7. Será admitido que esses três grupos representem o conjunto de paredes do pavimento, o que é bastante razoável para as comparações efetuadas. O objetivo maior é demonstrar os cálculos necessários para a obtenção dos resultados, além da discussão sobre esses valores obtidos. Dados adicionais sobre comprimentos das paredes e cargas atuantes são organizados na tabela 3.2. Ressalta-se que os valores dos carregamentos são representativos de uma situação típica de projeto e, para a comparação pretendida, são adotados oito pavimentos de altura e espessura das paredes igual a 0,14 m. Tabela 3.2 - Comprimentos das paredes e carregamento atuante por pavimento. Parede Comp. (m) Laje (kN/m) P. prop (kN/m) Tot. dist. (kN/m) Total (kN) P1 2,55 8,50 5.50 14,00 35,70 P2 3,60 14,75 5.50 20,25 72,90 P3 0,75 7,50 5.50 13,00 9.75 P4 3,45 8,75 5.50 14,25 49,17 P5 2,25 17.25 5.50 22,75 51,19 P6 0,40 36.00 5.50 41,50 16,60 Utilizando-se o procedimento das paredes isoladas, para o primeiro pavimento, obtêm-se os valores de carga e tensão especificados na tabela 3.3. Pelos resultados obtidos, pode-se concluir que a variação das tensões nas diversas paredes que c o m p õ e m o citado exemplo é bastante grande. A parede P6, a mais solicitada, apresenta uma tensão 3,2 vezes maior que a parede P3, a menos solicitada. Já quanto à resistência necessária de bloco, a última coluna da referida tabela 3.3 apresenta o valor aproximado calculado considerando-se a utilização de blocos vazados de concreto. Pelos valores obtidos verifica-se que m e s m o que se adotasse o grauteamento da parede P6, procedimento altamente recomendável para esse caso, ainda se obteria uma variação bastante significativa da resistência considerando-se apenas as outras paredes. Isso, obviamente, acabaria por penalizar a economia da obra. Tabela 3.3 - Paredes isoladas, primeiro pavimento. Parede P1 5 Carga Dist. (kN/m) Tensão (kN/m1) Tensão (MPa) Res. Bloco 1 (MPa) 112.0 800,0 0.800 5 7 P2 162,0 1157,1 1,157 P3 104,0 742,9 0.743 4,5 P4 114,0 814,3 0.814 5 P5 182,0 1300,0 1.300 8 P6 332,0 2371,4 2.371 15 Os procedimentos para a determinação da resistência de bloco serão discutidos em capítulos posteriores. Agora, considerando-se grupos isolados de paredes (sem interação), obtêm-se, para o mesmo primeiro pavimento, os resultados apresentados na tabela 3.4. Da análise dos resultados obtidos, pode-se perceber que a situação das paredes e m que a distribuição das cargas dependia de forças de interação em canto e bordas, que neste caso são consideradas, fez com que a tensão se aproximasse de 1 MPa para os dois grupos. Portanto, tensões que no caso anterior variavam de 1,30 a 0,74 MPa foram praticamente igualadas. Apenas a parede P6, que se encontra isolada no grupo G3, já que as forças de interação através das aberturas não estão sendo consideradas, ainda apresenta a mesma tensão elevada que apresentava no procedimento anterior. Quanto à resistência a ser especificada para os blocos que comporão as paredes, ao se considerar apenas os grupos 1 e 2, os valores que variavam de 4,5 a 8 MPa passam a 6 MPa. Já a pequena parede isolada P6, que compõe o grupo G3, deve ser considerada grauteada e armada. Isso faz c o m que o bloco de 6 MPa possa ser utilizado e m todo o pavimento, o que representa uma economia significativa. Tabela 3.4 - Grupos de paredes sem interação. Grupo Comp. (m) C. tot. (kN) C. dist. (kN/m) Tensão (MPa) Res. bloco (MPa) G1 6,15 868,8 141,3 1,009 6 G2 6,45 880,9 136,6 0,976 6 G3 0,40 132,8 332,0 2,371 15 Finalmente, pode-se demonstrar a utilização do procedimento de grupos de paredes c o m interação. Nesse caso, adotando-se uma taxa de uniformização da diferença de carga de 50%, obtêm-se os resultados que se encontram organizados na tabela 3.5. Observando-se os resultados da tabela 3.5, verifica-se que para o primeiro pavimento ocorreu u m aumento muito discreto das tensões nos grupos 1 e 2 para uma diminuição bastante acentuada da tensão no grupo 3. Essa é realmente a situação típica a ser encontrada. Como a parede isolada tinha pequena dimensão, e por causa disso apresentava problemas com tensões muito elevadas, a carga transmitida aos demais grupos não é significativa para acrescer as suas tensões, sendo no entanto suficiente para reduzir de forma significativa a própria tensão. Quanto à resistência a ser especificada para os blocos, sempre considerando-os vazados de concreto, verifica-se que o valor para o pavimento como um todo não se modifica, mantendo-se e m 6 MPa. Entretanto, a parede P6 poderá ser simplesmente grauteada, não se necessitando da utilização de armaduras para resistir à nova tensão obtida. Percebe-se q u e , o b v i a m e n t e , os cálculos n e c e s s á r i o s à o b t e n ç ã o dos resultados organizados na tabela 3.5 são muito mais trabalhosos que para os dois procedimentos anteriores. Entretanto, utilizando-se o recurso de uma planilha eletrônica eles podem ser executados de forma confortável e acima de tudo confiável. Portanto, essa maior complexidade não é tão importante na opção por um ou outro procedimento. O aspecto da segurança é, sem dúvida, muito mais significativo. Tabela 3.5 - Grupos de paredes com interação. Pav. C. média (KN/m) Grupo Carga (kN/m) A Carga (kN/m) G1 8 7 6 5 4 3 2 1 18,10 36,20 54,30 72,40 90,50 108,60 126,70 144,80 C. unif. (KN/m) Tensão (kN/m*) Tensáo (MPa) Bloco (MPa) 17,88 127,7 0,128 1 17,66 -0,219 G2 17,08 -0,513 17,58 125,6 0,126 1 G3 41,50 11,700 29,80 212,8 0,213 1 G1 35,33 -0,437 35,76 255,4 0.255 2 G2 34,15 -1,025 35,17 251,2 0.251 2 G3 83,00 23,400 59,60 425,7 0.426 3 G1 52,99 -0,656 53.64 383,1 0.383 2 G2 51,23 -1,538 52,76 376,8 0,377 2 G3 124,50 35,100 89.40 638,5 0,639 4 G1 70,65 -0,874 71,52 510,9 0,511 3 G2 68,30 -2,050 70,35 502,5 0,503 3 G3 166,00 46,800 119,20 851,4 0,851 5 G1 88,32 -1,093 89,40 638,6 0,639 4 G2 85,38 -2,563 87,93 4 207,50 58,500 149,00 628,1 1064,2 0,628 G3 1,064 7 G1 105,98 -1,311 107,28 766,3 0,766 5 G2 102,45 -3,075 105,52 753,7 0,754 5 G3 249,00 70,200 178,80 1277,1 1,277 8 G1 123,64 -1,530 125,17 894,0 0,894 6 G2 119.53 -3,588 123,11 879,3 0,879 5 G3 290.50 81,900 208,60 1490,0 1,490 9 G1 141,30 -1,748 143,05 1021,8 1,022 6 G2 136,60 -4,100 140,70 1005,0 1,005 6 G3 332,00 93,600 238,40 1702,8 1,703 11 3 . 7 . 2 EXEMPLO 2 O s e g u n d o e x e m p l o a ser discutido é u m edifício de a l v e n a r i a estrutural d e nove p a v i m e n t o s , c o m pé-direito de 2 , 7 2 m d e piso a teto, cuja planta e s q u e m á t i c a a p r e s e n t a - s e na figura 3.8. As paredes portantes externas e as que dividem os apartamentos t ê m espessura de 19 cm, sendo as restantes de 14 c m de espessura. Para se limitar esta discussão aos elementos mais importantes, tomar-se-á a região inferior esquerda da edificação, que aparece e m detalhe na figura 3.9. Essa região foi dividida e m paredes e analisada c o m quatro suposições d e níveis de interação entre os elementos componentes: a) paredes isoladas; b) grupos de paredes sem interação; c) grupos de paredes com taxa de uniformização de cargas igual a 50%; d) grupos de paredes com taxa de uniformização de cargas igual a 100%. Figura 3.8 - Planta completa do edifício. P1 i P3 CO Q. i P5 P7 fi K. P9 P11 OJ £ o CL CL CO 51 CO CL P17 P19 P13 0= P15 I Figura 3.9 - Definição de paredes para região inferior esquerda. Convém ressaltar que a interação adotada no item d corresponde a uma uniformização completa das cargas verticais entre todos os grupos, obtendo-se u m único valor de carga média para todas as paredes. O s grupos foram definidos procurando-se reunir paredes de m e s m a espessura, conforme se apresenta na tabela 3.6. Isso foi feito porque a interface entre paredes de espessuras diferentes precisaria ser realizada através de utilização de armaduras, pela inexistência de blocos especiais adequados à c h a m a d a amarração direta. Conforme já se mencionou, esse é um procedimento sobre o qual há algumas dúvidas quanto à sua eficiência para a distribuição das ações verticais. Assim sendo, seria perigoso considerar que as forças de interação nessas interfaces pudessem se desenvolver de forma completa, a menos que se tratasse de paredes muito pequenas, que dificilmente trabalhariam de forma independente. Tabela 3.6 - Grupos e paredes componentes. Grupo Paredes componentes G1 P2 e P17 G2 P6 e P11 G3 P1 e P4 G4 P19 G5 P10 G6 P9 e P18 G7 P8 G8 G9 G10 G11 P5, P7, P12 e P14 P13 e P16 P3 P15 e P20 Quanto aos resultados obtidos para as quatro simulações mencionadas, eles serão apresentados por parede, independentemente delas estarem ou não agrupadas e desses grupos estarem interagindo ou não. Dessa forma poder-se-á comparar com maior facilidade os diversos resultados obtidos. A tabela 3.7 apresenta u m resumo desses resultados, c o m as diversas simulações, sempre para o primeiro pavimento da edificação, que é o mais solicitado. Com os resultados da tabela 3.7, podem-se observar algumas diferenças muito significativas na carga vertical atuante e m algumas paredes quando se considera o procedimento de paredes isoladas e grupos de paredes. Normalmente são paredes de pequeno comprimento que se encontram adjacentes a uma abertura. Podem-se citar, por exemplo, as paredes P4, P5, P6 e P15. Nesse caso, pode-se afirmar que é fundamental a consideração de u m grupo entre essas paredes e as adjacentes, supondo que as forças de interação sejam suficientes para a uniformização das cargas. Se isso não for feito, será praticamente impossível especificar blocos com resistência razoável. Já para as simulações que envolvem grupos de paredes, as diferenças são menos expressivas, e as maiores cargas ocorrem nas paredes que estão isoladas das demais pela existência de aberturas. O caso mais significativo é a parede P3. A redução do carregamento entre o procedimento de grupos s e m interação e c o m interação de 5 0 % é da ordem de 37%. Caso semelhante ocorre c o m uma parede de grande importância, a P20, que apresenta uma redução de 2 1 % na carga vertical atuante. Tabela 3.7 - Resultados obtidos para as cargas nas paredes. Carga (kN/m) Parede Paredes isoladas Grupos sem Interação Grupos com interação de 50% Grupos com interação de 100% P1 103,9 121,3 149,9 153,5 P2 108,9 117,6 149,5 153,5 P3 260,9 260,9 165,4 153,5 P4 300,8 121,3 149,9 153,5 P5 328,5 166,3 154,9 153,5 P6 309,1 149,3 153,1 153,5 P7 158,8 166,3 154,9 153,5 P8 195,2 195,2 158,1 153,5 P9 155,1 146,0 152,7 153,5 P10 129,1 129,1 150,8 153,5 P11 114,8 149,3 153,1 153,5 P12 97,6 166,3 154,9 153,5 P13 193,4 190,4 157,6 153,5 P14 182,5 166,3 154,9 153,5 P15 577,2 201,3 158,8 153,5 P16 184,0 190,4 157,6 153,5 P17 164,3 117,6 149,5 153,5 P18 140,4 146,0 152,7 153,5 P19 148,8 148,8 153,0 153,5 P20 166,6 201,3 158,8 153,5 Somente como comparação pode-se estimar a resistência à compressão necessária para o bloco e m cada caso simulado, sempre para o primeiro pavimento e considerando-se blocos vazados de concreto. Para tanto, serão utilizadas as tensões obtidas para cada parede, realizandose o dimensionamento e tomando-se o maior valor obtido. O s resultados p o d e m ser encontrados na tabela 3.8. Observe-se que não foi considerada a possibilidade de grauteamento das paredes. Tabela 3.8 - Resistências à compressão do bloco (em MPa). Paredes Isoladas Grupos sem interação Grupos com interação de 50% Grupos com interação de 100% 16 8 6 6 Através dos resultados da tabela 3.8, pode-se perceber que o processo utilizado para a distribuição das cargas verticais influencia, de forma muito significativa, a resistência necessária para os blocos a serem utilizados e, por conseqüência, o custo da obra. Entretanto, não se deve deixar de se considerar o aspecto mais importante a ser analisado: a segurança a ser obtida com o procedimento de análise, o que mostra ser fundamental o desenvolvimento de pesquisa que gere informação sobre a interação de paredes. 3.8 VERIFICAÇÃO DE D A N O ACIDENTAL Ações acidentais são aquelas que estão fora do conjunto normalmente considerado para o projeto de um edifício, como ações devidas a explosões e impactos. Essas verificações ganharam importância após um acidente ocorrido em 1968 na Inglaterra. Um edifício de 23 pavimentos, o Ronan Point, sofreu um colapso progressivo após a explosão de um botijão de gás no 181 pavimento. Pela retirada de um de seus painéis portantes, no caso um painel pré-moldado, as lajes que estavam acima do nível acidentado entraram em colapso, levando à ruína todo um canto da edificação. Existem, basicamente, duas maneiras de se prevenir o colapso progressivo: a) evitar a possibilidade de ocorrência do dano acidental; b) admitir a possibilidade de ocorrência do acidente e evitar o colapso progressivo. Evidentemente a primeira opção nem sempre é viável de ser implementada. Claro que em alguns casos podem ser tomadas providências que minimizem a probabilidade de ocorrência do acidente. Por exemplo a construção de obstáculos que evitem o eventual impacto de veículos em paredes do pavimento térreo. Entretanto, a eliminação completa dessas possibilidades seria no mínimo antieconômica. Quanto à segunda opção, trata-se de evitar que o acidente, e a falha local dele advinda, possam se transformarem uma ruína de parte significativa da estrutura pela progressão de colapsos. Nesses casos os projetistas devem estar atentos à identificação dos pontos em que seria mais provável a ocorrência de um acidente e prover a estrutura de alternativas para a transmissão das cargas. Na prática, isso significa retirar uma parede ou um trecho de uma parede e verificar se o acréscimo dos esforços sobre a laje e demais paredes pode ser suportado pela estrutura. É importante ressaltar dois pontos sobre essa questão: os elementos devem ser retirados um de cada vez e os coeficientes de segurança podem ser reduzidos ou mesmo eliminados. Em casos usuais, um pequeno reforço nas armaduras das lajes e a mudança dos detalhes de armadura normalmente empregados são suficientes para evitar o colapso progressivo após um dano acidental. Ocorre que usualmente as armaduras são interrompidas sobre os apoios, no caso as paredes estruturais. Na eventualidade de uma dessas paredes ser destruída, as lajes que concorrem para ela perdem as condições mínimas de continuarem suportando o seu carregamento, provocando, então, a progressão de um colapso que poderia ser apenas localizado. Portanto, é recomendável que para um edifício de alvenaria, as armaduras do pavimento sejam calculadas para resistir à eventualidade desses acidentes e detalhadas com transpasses sobre todas as paredes. A norma brasileira é omissa quanto a essa questão. Entretanto a BS 5628 - Code of Practice for Structural Use of Masonry - Unreinforced Masonry, Part 1 6 , apresenta uma série de prescrições sobre o assunto em seu item 37. Algumas recomendações são gerais, para edifícios de até quatro pavimentos, e outras são mais específicas, para edificações de cinco ou mais pavimentos. Finalmente é importante salientar que o uso de muito bom senso é imprescindível numa questão que trata de ocorrências tão eventuais. 3.9 CONCLUSÃO Neste capítulo foi inicialmente apresentada uma breve classificação dos principais sistemas estruturais para edificações em alvenaria. Foram destacadas as cargas verticais que usualmente devem ser consideradas no seu projeto estrutural. Na seqüência, foram discutidos aspectos relativos à interação de paredes interconectadas submetidas a carregamentos verticais, d e s t a c a n d o - s e a i m p o r t â n c i a da u n i f o r m i z a ç ã o de c a r g a s entre p a r e d e s s u b m e t i d a s a carregamentos desiguais, bem como a importância do processo construtivo na garantia de transmissão de forças entre paredes através de sua interface comum. Foram apresentados alguns procedimentos para a distribuição de cargas verticais: paredes isoladas, grupos isolados de paredes, grupos de paredes com interação e modelagem tridimensional em elementos finitos. O segundo deles é o indicado pelos autores por aliar fatores como economia, segurança e viabilidade prática em uma medida adequada. São incluídos exemplos de distribuição de cargas verticais com aplicação dos três primeiros procedimentos, discutindo-se as suas características principais e implicações nos resultados produzidos. Finalmente são apresentados conceitos básicos relativos à verificação do dano acidental e a importância de se evitar o chamado colapso progressivo. 6 British Standards Institution (1992). A n á l i s e E s t r u t u r a l p a r a Ações H o r i z o n t a i s 4 o "D 4.1 CONCEITOS BÁSICOS RR C O A l g u m a s c o n s i d e r a ç õ e s são f u n d a m e n t a i s para se e n t e n d e r os p r o c e d i m e n t o s d e distribuição das ações horizontais. Inicialmente, vale a pena discutir uma classificação das estruturas de contraventamento apresentada no CEB-FIP Model Code 1990'. Lá se encontram definidas estruturas contraventadas e estruturas de contraventamento. Isso significa que e m um sistema estrutural global existiria u m subsistema de contraventamento e u m subsistema contraventado. Obviamente, essa é uma classificação que tem por objetivo sistematizar o conhecimento sobre o tema e não descrever o funcionamento real da estrutura da edificação e m análise. Na verdade, é impossível separarem-se elementos que contraventam e elementos que são contraventados. O projetista deve ter e m mente que se algum elemento for retirado do sistema de contraventamento, por qualquer razão específica, será impossível informar isso à estrutura, a menos q u e sejam tomadas providências efetivas para seu desligamento. De fato, quando se considera que uma determinada peça não faz parte da estrutura de contraventamento, isso significa que esse elemento deve ter uma participação de pequena importância. Portanto, a sua eliminação não deve provocar alterações significativas nem nos seus esforços nem nos esforços dos elementos vizinhos. Outro ponto interessante é que se supõe que as ações horizontais sejam distribuídas aos painéis de contraventamento pelas lajes dos pavimentos. Para tanto, as lajes são usualmente consideradas como diafragmas rígidos e m seu próprio plano, embora s e m rigidez transversal. Nesse caso, deve-se tomar muito cuidado para que essa suposição seja respeitada quando da definição do processo construtivo da edificação. Lajes pré-moldadas devem ser utilizadas com restrições, e m especial para edifícios acima de cinco ou seis pavimentos, q u a n d o as a ç õ e s horizontais tornam-se mais significativas. Mas, m e s m o abaixo desse limite, seria interessante se utilizar lajes pré-moldadas c o m capa de concreto moldado in loco, onde armaduras podem ser adicionadas e m duas direções ortogonais. Somente deste modo se pode admitir que haverá u m razoável travamento dos painéis que fazem parte d a estrutura de contraventamento. E m todo caso, lajes moldadas in loco são mais adequadas quando existe a necessidade de se considerar a existência de um diafragma. Por fim, deve-se mencionar outro detalhe importante. Trata-se da simetria da estrutura de contraventamento. Sempre que possível, assimetrias significativas devem ser evitadas. Q u a n d o a ação se dá segundo u m eixo de simetria da estrutura, as lajes apresentam apenas translações nessa direção. Entretanto, e m caso de ações que atuem segundo direções e m que essa simetria não se faça presente, além da mencionada translação ocorrem rotações nos pavimentos. Esses 1 Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991). movimentos de corpo rígido são exemplificados esquematicamente pela figura 4.1. O fato é que assimetrias acentuadas, além de tornarem a distribuição das ações muito mais complicada ao nível do projeto, são inconvenientes para o próprio funcionamento da estrutura, gerando maiores tensões nas lajes e m si, e m seu comportamento de membrana. t í Figura 4.1 - Ação horizontal em contraventamento simétrico e não-simétrico. 4.2 AÇÕES H O R I Z O N T A I S A SEREM CONSIDERADAS No Brasil, as ações horizontais que devem ser consideradas são a ação dos ventos e o desaprumo. Eventualmente podem ocorrer empuxos desequilibrados do solo. Em caso de áreas sujeitas a abalos sísmicos, a sua consideração também é indispensável. 4 . 2 . 1 AÇÃO DOS VENTOS Considera-se que o vento atua sobre as paredes que são normais à sua direção. Estas passam a ação às lajes dos pavimentos, consideradas como diafragmas rígidos, que as distribuem aos painéis de contraventamento, de acordo com a rigidez de cada um. Esse esquema é mostrado pela figura 4.2. Figura 4.2 - Atuação do vento e distribuição para os painéis de contraventamento. Para consideração da ação do vento, deve-se utilizar a NBR 6123 - Forças Devidas ao Vento e m E d i f i c a ç õ e s 2 . D e s s a f o r m a , o b t ê m - s e forças, a o nível de c a d a p a v i m e n t o , que posteriormente serão distribuídas pelos painéis de contraventamento segundo os procedimentos mostrados e m itens subseqüentes. 4.2.2 DESAPRUMO Sugere-se que o desaprumo seja considerado tomando-se por base a norma alemã DIN 1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução 3 . Sua prescrição para esse caso é bastante razoável, sendo o ângulo para o desaprumo do eixo da estrutura tomado em função da altura da edificação, conforme o que se apresenta na equação 4.1.

Figura 4.3 - Ação horizontal equivalente para consideração do desaprumo. 4 . 2 . 3 SISMOS A ação de sismos pode t a m b é m ser considerada através da ação de forças horizontais equivalentes. Para a definição dessas forças deve-se consultar normas específicas, que sejam válidas para o local onde será construída a edificação. 4 . 3 C O N S I D E R A Ç Ã O DE A B A S EM P A I N É I S DE C O N T R A V E N T A M E N T O Para a correta consideração da rigidez dos painéis de contraventamento é recomendável que se leve e m conta a contribuição das abas ou flanges, que são trechos de paredes transversais ligados ao painel. Esses trechos podem ser considerados como solidários aos painéis, alterando de forma significativa a sua rigidez, especialmente o momento de inércia relativo à flexão. A figura 4.4 mostra, para duas situações típicas, como o painel seria ampliado pela consideração das abas. Figura 4.4 - Consideração de abas em painéis de contraventamento. Todos os procedimentos para distribuir as ações horizontais mostrados a seguir podem ser executados com ou sem a consideração das abas. Entretanto, apesar de um pouco mais trabalhosa, essa consideração é bastante interessante. Duas vantagens podem ser destacadas. A primeira diz respeito a uma maior acuidade na determinação da rigidez de cada painel que participa da estrutura de contraventamento. Como os quinhões de carga são distribuídos em função dessas rigidezes, a ausência das abas pode influir negativamente na distribuição das ações, fazendo com que alguns painéis tenham sua rigidez subestimada ou superestimada, causando uma distribuição incorreta dessas ações. Além disso, as abas em geral dobram as inércias dos painéis e, portanto, praticamente dividem por dois as tensões a serem obtidas da análise. Dessa forma, evita-se que apareçam tensões elevadas, inclusive trações, que podem inviabilizar uma estrutura. Essa vantagem é especialmente importante quando se trata da distribuição com a consideração de paredes isoladas, conforme se verá nos resultados apresentados para os exemplos de edifícios que são discutidos no final deste capítulo. As recomendações normalizadas para a consideração dos comprimentos efetivos das abas serão apresentadas posteriormente, junto a outros aspectos relativos às características geométricas dos elementos. Entretanto, é muito importante que se esteja atento à possibilidade de se desenvolverem forças de interação entre a parede e as abas que eventualmente sejam consideradas. Se essas forças não puderem se desenvolver, pela existência de uma junta a prumo, por exemplo, a consideração da aba ou das abas será injustificável. Nesse aspecto o ACI530 - Building Code Requirements for Masonry Structures 4 é bastante explícito, citando situações em que essa consideração pode ser feita. Uma delas é quando não existem juntas a prumo na ligação das abas com a parede. A outra, na eventualidade da existência de juntas a prumo, é quando são tomadas providências adicionais para garantir a existência de forças de interação: utilização de conectores metálicos ou cintas convenientemente armadas e pouco espaçadas para ligar as fiadas. 4.4 DISTRIBUIÇÃO DE AÇÕES PARA C O N T R A V E N T A M E N T O S SIMÉTRICOS No caso de contraventamentos simétricos em relação à direção em que atua o vento que se deseja analisar, haverá apenas translação dos pavimentos. Nesse caso todas as paredes, em um determinado nível, apresentarão deslocamentos iguais. Isso facilita significativamente a distribuição das ações pelos diversos painéis de contraventamento, conforme ficará claro pelos procedimentos descritos a seguir. 4 . 4 . 1 PAREDES ISOLADAS Nesse caso, supõe-se que a existência de uma abertura separe as paredes adjacentes a essa abertura, transformando-as em elementos isolados, verdadeiras vigas engastadas na * American Concrete Institute (1992). extremidade inferior e livres na outra. Entre elas existirá apenas a necessidade de que os deslocamentos horizontais sejam os mesmos ao nível de cada pavimento, devido à existência das lajes de concreto e consideradas como diafragmas rígidos. Considerar paredes de forma isolada é um procedimento de distribuição de ações horizontais que pode ser muito simples e eficiente. Sobretudo em casos de ações que atuem segundo eixos de simetria da estrutura, basta que seja feita a compatibilização dos deslocamentos dos diversos painéis para que se possa encontrar o quinhão de carga correspondente a cada um. Inicialmente deve-se lembrar que cada painel assume um quinhão de carga proporcional à sua rigidez, ou, para painéis de rigidez constante ao longo da altura, simplesmente proporcional ao seu momento de inércia. Dessa forma, pode-se definir a soma de todas as inércias, o que é apresentado na equação 4.3. S I = 11 + I2 + I3 + ... + L ...(4.3) Depois, a rigidez relativa de cada painel será simplesmente: R = I7XI ...(4.4) A ação em cada painel pode ser obtida simplesmente multiplicando-se a ação total em um determinado pavimento, F(ot, pelo valor R , ou seja: ...(4.5) Encontradas as ações ao nível de cada pavimento, resta determinar os diagramas de esforços solicitantes, em especial o momento fletor. Então, as tensões devidas a essa ação podem ser encontradas utilizando-se a expressão tradicional da resistência dos materiais: o =M/W ...(4.6) Em que, M : momento fletor atuante na parede W : módulo de resistência à flexão (W = I / y m â x ) 4 . 4 . 2 PAREDES COM ABERTURAS Outro procedimento que pode ser utilizado consiste em considerar as alvenarias com aberturas como pórticos, sendo as paredes entendidas como pilares e os lintéis, trechos entre as aberturas, como vigas, conforme se apresenta na figura 4.5. O s painéis assim definidos absorverão esforços t a m b é m proporcionais às suas rigidezes, de f o r m a semelhante ao q u e foi descrito anteriormente para o procedimento c o m paredes isoladas. Aliás, quando se fala na consideração de paredes c o m suas respectivas aberturas, não se deve esquecer que algumas paredes não possuirão aberturas, comportando-se como simples paredes isoladas. • • • A Figura 4.5 - Representação de uma parede com aberturas por barras. Esse procedimento evidentemente envolve a utilização de recursos computacionais, mesmo que a estrutura de contraventamento seja simétrica. Para o caso de ação segundo um eixo de simetria da estrutura de contraventamento, poderá ser utilizado um programa para pórticos planos, sem quaisquer recursos especiais. Basta que metade dos diversos painéis da estrutura, pórticos ou paredes isoladas, sejam modelados em um esquema chamado de associação plana de painéis (Fig. 4.6). F/2. F/2 F/2 F/2 • • • n • • • • Figura 4.6 - Associação plana de painéis de contraventamento. Dois detalhes são importantes para esse caso de associação. O primeiro diz respeito à barra que realiza a ligação entre os painéis ao nível de cada pavimento, simulando a laje de concreto. Evidentemente essa barra deve ser suficientemente rígida para que os deslocamentos de todos os nós de u m mesmo nível sejam iguais. Entretanto, essa rigidez não pode ser muito grande, sob pena de impor u m mau condicionamento numérico à matriz de rigidez global da estrutura, inviabilizando a obtenção de resultados coerentes. Recomenda-se que os comprimentos dessas barras sejam pequenos, entre 0,5 m e 1 m, e que sua seção transversal seja a de uma faixa de 2 a 3 m da laje de concreto presente na estrutura. Por exemplo, supondo-se que a laje tenha 0,09 m de espessura, as características da seção transversal dessa barra, e m especial a área, seriam determinadas considerando-se as dimensões 0,09 x 2,00 m. Além do comprimento e da área da seção, as outras características são pouco importantes, devido ao fato de se supor a barra articulada e m seus extremos. Dessa forma o momento de inércia não influi nos resultados a serem obtidos. Apenas se o programa não possuir o recurso de articulação e m extremidade de barra deve-se reduzir esse valor de inércia para que a rigidez à flexão seja desprezível, e m conformidade c o m a hipótese de comportamento de diafragma para a laje. O segundo ponto a ser destacado é a aplicação do carregamento, normalmente metade da ação total do pavimento, apenas no primeiro painel modelado. A distribuição dessa ação se fará automaticamente pela compatibilidade dos deslocamentos, garantindo esforços coerentes e m cada elemento da estrutura. Este procedimento costuma produzir resultados de tensões nas paredes significativamente menores q u e as paredes consideradas isoladamente. Entretanto, deve-se tomar a s devidas precauções para que todos os esforços advindos da análise sejam corretamente considerados. Em especial, deve-se verificar a flexão e o cisalhamento dos lintéis, garantindo o funcionamento da estrutura segundo o modelo idealizado. Observe-se que no caso das paredes com aberturas, os "pilares" estão submetidos à flexão composta com força normal. 4.5 DISTRIBUIÇÃO DE AÇÕES PARA C O N T R A V E N T A M E N T O S ASSIMÉTRICOS Neste caso, quando se aplica a ação horizontal, o pavimento não apenas translada, mas também apresenta uma rotação. Assim sendo, os deslocamentos dos painéis, mesmo para u m mesmo pavimento, não serão os mesmos. Dessa forma existe a necessidade de maiores recursos computacionais para a obtenção de resultados consistentes c o m o fenômeno. Entretanto, os procedimentos de distribuição basicamente continuam os mesmos e serão tratados a seguir. 4 . 5 . 1 PAREDES ISOLADAS Caso o eixo segundo o qual atua a ação não seja de simetria, o procedimento torna-se impraticável d e ser executado s e m u m p r o g r a m a c o m p u t a c i o n a l . N e s s e caso, c o n f o r m e já mencionado, a distribuição precisa levar e m conta a rotação dos pavimentos, inviabilizando o procedimento simples anteriormente descrito para contraventamentos simétricos. Uma alternativa interessante é utilizar u m programa que possua elementos barra tridimensional e um recurso conhecido como nó mestre. Nesse caso, as paredes devem ser discretizadas com u m elemento para cada pavimento da estrutura e todos os nós correspondentes a um pavimento devem ser ligados a u m nó mestre. O aspecto de um modelo deste tipo é o que se apresenta na figura 4.7. Figura 4.7 - Perspectiva de modelo tridimensional para paredes isoladas. O nó mestre é um recurso computacional através do qual as translações no plano do pavimento dos nós a ele ligados são transferidas em conjunto com a rotação normal a esse plano, como se existisse um segmento totalmente rígido entre o nó considerado e o nó mestre (Fig. 4.8). Assim, acaba-se definindo um plano rígido ao nível do pavimento, simulando-se a existência da laje de concreto. Todos os nós do pavimento perdem os referidos graus de liberdade de translação, e também a rotação em tomo do eixo normal ao plano, ficando as rigidezes concentradas no nó eleito como mestre do pavimento. Como também os carregamentos são colocados apenas no nó mestre, após a solução do sistema global de equações do edifício, as translações e a rotação obtidas para o nó mestre são utilizadas para o cálculo dos deslocamentos e rotações de cada nó do pavimento. Dessa forma garante-se total compatibilidade das translações e rotação do plano. Z A Y Figura 4.8 - Nó mestre. 4 . 5 . 2 PAREDES COM ABERTURAS Para as paredes com aberturas, a situação é semelhante ao caso apresentado no item anterior. Os recursos computacionais necessários serão os mesmos, c o m a diferença de que existirão barras horizontais para simular os lintéis (Fig. 4.9). Também aqui todos os nós d e um pavimento devem estar ligados a um m e s m o nó mestre e a ação total d o pavimento estará aplicada nesse referido nó mestre, de forma que o plano do pavimento execute m o v i m e n t o s d e c o r p o rígido. C o n t i n u a s e n d o imprescindível a verificação dos lintéis quanto ao esforço cortante e m o m e n t o fletor. Figura 4.9 - Modelo tridimensional de paredes com lintéis. 4 . 6 C O N S I D E R A Ç Ã O DE T R E C H O S R Í G I D O S P A R A O S LINTÉIS Um detalhe importante, quando se menciona a modelagem de pórticos, é a consideração da dimensão finita dos nós ou os chamados trechos rígidos (Fig. 4.10). Ocorre que a colocação de barras nos eixos dos elementos faz c o m que o comprimento flexível dessas barras seja na verdade maior que o seu comprimento real, e isso tem como resultado painéis mais flexíveis. De fato, pelo menos para os elementos que representam os lintéis, a consideração dos trechos rígidos pode alterar bastante a rigidez de u m painel. Figura 4.10 - Nós de dimensões finitas ou trechos rígidos de barras. Da mesma forma que para o caso das abas, a não-consideração desses comprimentos corretos pode provocar algumas perturbações importantes na distribuição das ações horizontais. Alguns painéis sofrem u m acréscimo significativo de sua rigidez e outros p e r m a n e c e m s e m alterações sensíveis. Dessa forma, os quinhões de carga são também bastante modificados, sendo que a distribuição pode se afastar da realidade. Para corrigir essas distorções, considerando-se os trechos rígidos, existem basicamente dois procedimentos. O primeiro, muito mais eficiente, exige que o programa computacional utilizado incorpore trechos rígidos como recurso de modelagem. Isso significa que quando se define uma barra pode-se indicar, junto às duas extremidades, o comprimento dos trechos sem deformação. Dessa forma, ao montar a matriz de rigidez do elemento, o programa considera apenas o trecho efetivamente flexível, transferindo as rigidezes através de um procedimento padrão de translação de graus de liberdade. Evidentemente os resultados a serem obtidos também serão correspondentes às extremidades flexíveis, onde a consideração dos esforços realmente tem significado. O segundo procedimento, muito menos eficiente, só deve ser utilizado quando o programa não dispuser do recurso anteriormente citado. Trata-se de colocar nós adicionais e dividir os elementos em dois ou três trechos, conforme existam trechos rígidos junto às extremidades inicial e final. Obviamente, os modelos crescem em dimensão e complexidade, existindo ainda um problema a ser resolvido: que características geométricas adotar para esses trechos que não devem apresentar deformação. Se os valores forem muito elevados, a matriz global da estrutura tende a ser mal condicionada, obtendo-se do processamento valores incoerentes. Entretanto, se as características forem relativamente pequenas, o trecho pode apresentar deformações significativas, não sendo a modelagem representativa. Como indicação geral pode-se sugerir que as características geométricas adotadas sejam correspondentes a uma seção com a largura igual à espessura da parede e altura igual ao pédireito da edificação. Dessa forma, as deformações serão desprezíveis e a matriz não deve apresentar problemas de condicionamento numérico, sendo obtidos resultados confiáveis. Entretanto, esse procedimento alternativo somente deve ser utilizado quando não se dispuser do recurso descrito para a alternativa anterior. Para finalizar, é importante citar que o CEB-FIP Model Code 1990 menciona uma forma simples e eficiente de se considerar os comprimentos flexíveis e por conseqüência os trechos rígidos das extremidades. Apesar de serem originalmente prescritos para peças de concreto armado, eles podem ser considerados adequados para os elementos de alvenaria estrutural. E esses valores estão mencionados em capítulo posterior, no qual se encontram agrupadas as características geométricas para elementos de alvenaria. 4 . 7 E X E M P L O S DE M O D E L O S P A R A E D I F Í C I O S S O B A Ç Õ E S HORIZONTAIS Neste item serão analisados dois edifícios residenciais com sete e dez pavimentos, em alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto. Em todos os exemplos, as paredes têm espessura de 14,5 cm. Serão consideradas as ações do vento segundo as direções dos eixos X e Y, indicados nas plantas do pavimento tipo. As paredes, bem como seus respectivos lintéis, são identificados por PX, LX, PY ou LY, conforme sejam paralelos à direção do eixo X ou Y, seguidos por seus números. Para o processamento utilizou-se o sistema em elementos finitos descrito em Ramalho (1990). Para a consideração do pavimento como diafragma rígido, o programa dispõe do recurso do nó mestre. Além disso, existe a possibilidade de se considerar trechos rígidos pela translação de rigidezes, sem a necessidade de utilizar barras e nós adicionais. Nos exemplos apresentados optou-se por localizar o nó mestre no centro geométrico dos pavimentos, para facilitar a aplicação das ações. Levando-se e m conta a pequena assimetria das estruturas analisadas, o que faz c o m que as rotações sejam praticamente nulas, somente serão analisados resultados dos painéis paralelos ã direção do vento considerada, apesar dos modelos construídos serem tridimensionais. São comparados os deslocamentos, esforços e tensões normais nas paredes, modelando-se os edifícios de seis maneiras distintas. A descrição dos modelos é feita na tabela 4.2. Tabela 4.2 - Modelos para os exemplos. Modelo Descrição Trechos rígidos Abas - Sim M1 Paredes isoladas M2 Paredes com aberturas Não Sim M3 Paredes com aberturas Sim Sim M4 Paredes isoladas M5 M6 - Não Paredes com aberturas Não Não Paredes com aberturas Sim Não As ações do vento foram determinadas conforme a NBR 6123. O s comprimentos efetivos das abas foram adotados como sendo de seis vezes a espessura das paredes e os comprimentos dos trechos rígidos foram obtidos c o m base nas recomendações do CEB-FIP Model Code 1990. Já os lintéis mais solicitados foram dimensionados à flexão e ao cisalhamento de acordo c o m a NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 5 . 4 . 7 . 1 EXEMPLO 1 Neste item, é analisado o efeito do vento e m um edifício de sete pavimentos, com pésdireitos de 2,74 m. A planta do pavimento tipo é apresentada na figura 4.11. As dimensões externas d o edifício, e m planta, são de 18,60 m e 22,20 m, nas d i r e ç õ e s n o r m a i s aos eixos X e Y, respectivamente. O módulo de elasticidade adotado foi de 4.480 MPa. As forças devidas ao vento foram determinadas para uma velocidade básica de 45 m/s. O fator topográfico S, e o fator estatístico S 3 são iguais a 1.0. A categoria do terreno é IV e a classe da edificação é B. Os coeficientes de arrasto são 0,99 e 1,03, considerando-se o vento nas direções X e V, respectivamente. 4 . 7 . 1 . 1 DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS Na figura 4.12 são apresentadas as curvas de deslocamentos horizontais obtidas nos modelos M1, M2 e M3. Observando-se as referidas curvas, verifica-se que o comportamento do s Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). conjunto é predominantemente de parede isolada, m e s m o quando são considerados os lintéis. Já na tabela 4.3, são comparados os deslocamentos no topo para todos os modelos e para o vento nas direções X e Y. 0 = ^ Ml i=n PY13 PY14 PY11 PY10 i U o Hl X CL n PY7 PY8 PY9 m x PY6 IO J 0=O cl n L x 2 t • — ' j cd j 0=^ OL X PY5 PY4 PY3 a co LY1 PY2 PY1 Figura 4.11 - Planta do pavimento tipo do exemplo 1. n 7 6 5 T/> 4 '5 > 3 2 2 / / / / / / / 1 M3 1 0 0.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 Deslocamentos X (cm) 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 Deslocamentos Y (cm) Figura 4.12 - Deslocamentos horizontais em X e Y. Tabela 4.3 - Deslocamentos no topo (cm). Direção M1 X 5,97 Y 4,91 M2 M3 M4 M5 M6 1,59 2,92 1,26 12,07 2,19 2,18 7,29 4,31 1,66 3,91 Analisando-se a tabela 4.3, observa-se que na direção X há uma redução maior nos d e s l o c a m e n t o s obtidos nos modelos M 2 e M3, e m relação a M1, indicando u m efeito mais pronunciado dos lintéis nesta direção. O m e s m o é verificado nos modelos s e m abas, quando se comparam M5 e M6 a M4. Ocorre que na direção X há u m número maior de aberturas e, assim, as diferenças percentuais entre os deslocamentos dos modelos c o m lintéis e m relação aos modelos sem lintéis são maiores. Quanto aos trechos rígidos, a maior diferença percentual entre M3 e M2 verifica-se na direção Y. Ocorre que nesta direção os trechos rígidos considerados foram maiores. Entretanto, comparando-se M6 e M5, observa-se que o efeito dos trechos rígidos é mais acentuado na direção X, devido à a p r o x i m a ç ã o dos centros de gravidade das seções transversais das paredes e conseqüente aumento dos comprimentos dos trechos enrijecidos. Por f i m , d e v e - s e r e s s a l t a r q u e a c o l o c a ç ã o d a s a b a s r e a l m e n t e t e m u m efeito extremamente importante, reduzindo praticamente à metade os deslocamentos obtidos. 4.7.1.2 MOMENTOS FLETORES Na figura 4.13, são apresentados os diagramas de momentos fletores e m algumas paredes nos modelos M1, M2 e M3. O s momentos fletores nos painéis compostos por apenas uma parede nos modelos M2 e M3 foram menores do que no modelo M1, indicando que suas rigidezes, nos modelos c o m lintéis, perderam importância e m relação ao conjunto. C o m o exemplo, podem ser tomados os diagramas da parede PY10. Nas bases das paredes de painéis com aberturas, os momentos obtidos nos modelos M2 e M3 foram menores do que os de M1, devido à ação dos lintéis. Observa-se ainda que os d i a g r a m a s de m o m e n t o s de P X 2 e P Y 8 e m M2 e M 3 a p r e s e n t a m d e s c o n t i n u i d a d e s m a i s pronunciadas do que os diagramas de PX10. Tal comportamento deve-se ao fato de o lintel da parede PX10 ser bastante flexível diante da rigidez dessa parede. Os trechos rígidos provocam uma restrição maior às rotações dos nós dos painéis. Logo, os momentos obtidos no modelo M3 são menores que os momentos de M2, como se pode ver nos diagramas apresentados. Nota-se, inclusive, que as descontinuidades do diagrama de momento de PX10 tornam-se um pouco mais destacadas no modelo M3, e m relação ao modelo M2, pois a rigidez do lintel cresceu. 8 Modelo M1 .Modolo M1 .Modelo M2 Modelo M2 Modelo M3 Modelo M3 > 6 5 4 3 -20 / -15 -10 ^ -5 •2 i > 2 (A) PX2 1 0 5 (B) PX10 10 •350 Momentos fletores (kNm) -140 -70 0 70 Momentos fletores (kNm) Modelo M1 .Modelo M1 Modelo M2 .Modelo M2 Modelo M3 Modelo M3 (C) PY8 12 -10 - 8 - 6 - 4 - 2 -280 -210 0 2 4 Momentos fletores (kNm) 6 (D) PY10 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 Momentos fletores (kNm) Figura 4.13 - Momentos fletores em paredes. 100 Convém ressaltar que as observações feitas nos parágrafos anteriores, relativas aos efeitos dos lintéis c o m e s e m trechos rígidos, continuam válidas nos modelos sem as abas, M4, M5 e M6, que deixam de ser aqui apresentados. 4 . 7 . 1 . 3 ESFORÇOS NORMAIS Na figura 4.14 são apresentados os esforços normais nas bases das paredes, onde ocorrem os valores máximos, para as paredes c o m aberturas. A tendência, para os valores mais significativos, é u m discreto aumento para os casos em que são considerados os trechos rígidos. Isso ocorre porque, com os trechos rígidos, os esforços cortantes nas extremidades dos lintéis tendem a ser maiores, aumentando também os esforços normais nas paredes. • M2 PX1 PX2 PX3 PX9 9 M3 PX13 DM5 PX14 DM6 PX15 PX16 PY1 PY3 PY8 Figura 4.14 - Esforço solicitante normal na base das paredes. 4 . 7 . 1 . 4 TENSÕES NORMAIS Na figura 4.15 são apresentados os gráficos das tensões normais nas paredes PX13, PX14, PY1 e PY2. São comparadas as máximas tensões de tração devidas ao vento, obtidas nos modelos M1, M2 e M3, c o m as tensões de compressão provenientes das cargas permanentes, as quais são denominadas de tensão V. F a z e n d o - s e a c o m b i n a ç ã o d a s t e n s õ e s , c o n f o r m e o s gráficos das figuras a c i m a mencionadas, resulta e m valores que indicam a predominância de tensões de tração nessas paredes, e m alguns desses modelos. Entretanto, estas tensões estão dentro das faixas admissíveis prescritas pela NBR 10837. Já na tabela 4.4 são apresentadas as tensões devidas ao vento nos modelos c o m e s e m abas e as tensões devidas às cargas verticais, incluindo-se as cargas variáveis. Os resultados mostram o efeito favorável das abas, reduzindo-se as tensões praticamente à metade das que seriam obtidas s e m as abas. De fato, nos modelos s e m abas e m algumas paredes as tensões devidas ao vento são maiores que as tensões provenientes das cargas verticais. Já nas paredes modeladas com abas, as tensões finais são unicamente de compressão. Nos modelos M2 e M3, devido à presença dos lintéis e dos trechos rígidos, verifica-se que as diferenças percentuais entre as tensões nas paredes mais e menos solicitadas são menores do que no modelo M1. • Tensão V • Tensão V • Modelo M1 I I Modelo M1 • Modoio M 2 I I Modelo M2 f | Modelo M3 L B Modelo M 3 > 4 1—1—I—I—I—I—I—1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I I I O 110 220 330 440 550 Tensões Normais (kN/m*) 0 100 200 (A) PX13 6» 300 400 500 600 Tensões Normais (kN/m 7 ) (B) PX14 I I Tensão V I I Modelo M1 • Modelo M 2 P B Modelo M3 .5 M 1 • O 100 200 300 400 Tensões Normais (kN/m 7 ) 500 330 440 Tensões Normais (kN/m 2 ) (C) PY1 Figura 4.15 - Tensões normais em paredes. (D) PY2 550 Tabela 4.4 - Tensões normais nas bases das paredes (kN/m2). Parede M1 PX10 PX13 PX14 646 501 PX15 PY1 85 214 PY2 497 PY3 PY10 85 Tensões normais devidas ao vento M2 M4 M3 M5 974 290 278 375 272 239 958 416 Tensões cargas vert. M6 857 358 362 525 282 111 153 169 211 205 686 113 169 393 233 180 571 1275 349 199 502 383 213 719 148 593 218 584 156 408 158 233 518 708 650 456 396 973 666 609 953 525 4 . 7 . 1 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO Nas tabelas 4.5. e 4.6 são apresentados os momentos fletores e os esforços cortantes máximos nos lintéis mais solicitados. Nos modelos s e m abas os momentos e cortantes são e m geral maiores, tendo e m vista as paredes serem relativamente mais flexíveis. A maior área de aço necessária para combater a flexão foi de 0,93 cm* no lintel LX5 e 0,91 cm 2 para o lintel LY1 no modelo M2. No modelo M5, a área de aço necessária no lintel LX5 foi de 1,11 cm 2 . Em todos os lintéis, tanto nos modelos com abas como nos modelos s e m abas, as tensões de cisalhamento atuantes são menores que as tensões admissíveis especificadas pela NBR 10837 para dimensionamento sem armaduras transversais. Tabela 4.5 - Momentos (kN ~ m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos com abas. Modelo M2 Lintel Nível Modelo M3 Momento máximo Cortante máximo Nível Momento máximo Cortante máximo LX1 3 12,42 4,94 3 10,69 4,73 LX5 3 21,34 6,61 2 19,00 7,39 LY1 4 21,00 9,55 3 20,24 14,05 Tabela 4.6 - Momentos (kN ~ m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos sem abas. Modelo M5 Lintel Modelo M6 Nível Momento máximo Cortante máximo Nível Momento máximo Cortante máximo LX1 3 13,88 5,93 2 11,12 4,76 LX5 2 25,27 8,05 2 22,59 8,82 LY1 3 23,29 10,71 2 22,14 15,16 4 . 7 . 2 EXEMPLO 2 Neste item será analisado um edifício de dez pavimentos, com pés-direitos de 2,72 m. A planta do pavimento tipo é apresentada na figura 4.16. Suas dimensões externas são 15,90 e 22,05 m nas direções normais a X e Y, respectivamente. O módulo de elasticidade adotado foi de 6.400 MPa. x CL 1PY23 JL lO,PY21co cl PY18 PY17 D fggJí PY19 PY20 <0 •RT Jl n n X CL 5 . PY16 u m PY12 - / / / • "-7 • / / 4 / / • 1400 -1120 -840 / 5 /? / / /.•' / / ' / / / ' ] / 6 /' /•• / / 7 / / / / 8 t / Modelo M2 9 !j / m 1 t ílO 1 / -9 / I ' / •8 Modelo M l 10 / / 3 >1 Z 2 1 A -560 -280 0 280 Momentos lletores (kNm) Figura 4.18 - Momentos fletores em paredes. 4 . 7 . 2 . 3 ESFORÇOS NORMAIS Na figura 4.19 comparam-se os esforços normais nas bases das paredes. O que se pode perceber é que. de forma semelhante ao exemplo anterior, a utilização de trechos rígidos tende a aumentar os esforços normais para as paredes que apresentam valores significativos, em especial a PY16. IM2 PX8 PX9 PX10 IM3 DM5 PY1 DM6 PY3 PY8 PY16 Figura 4.19 - Esforços normais na base das paredes. 4 . 7 . 2 . 4 TENSÕES NORMAIS Na figura 4 . 2 0 são c o m p a r a d a s as m á x i m a s tensões de tração devidas ao vento, determinadas nos modelos com abas, com as tensões devidas às cargas verticais permanentes atuantes nas paredes PX9, PY3, PY4 e PY8. Os gráficos apresentados mostram a predominância das tensões de tração em algumas seções dessas paredes, que em geral são inferiores às admissíveis pela NBR 10837. Entretanto, para a parede PX9, no modelo M3, seus valores são mais elevados que os admitidos pela referida norma. No modelo M1, as tensões de tração são predominantes apenas na parede PY8 e nos dois primeiros níveis. I I TcfisAo V I I Mcxlolo M1 ( D Modelo M2 ! | Modelo M3 10 9 8 7 6 M | 5 2 4 3 (A) PX9 280 560 840 (B) PY3 2 10 1120 1400 10 • 270 540 8 7 1080 1350 • Teivsao v I I Modelo MI QÊI Modelo M2 I Modelo M3 Tensão V f ~ l Modelo M1 H Modelo M2 I Modelo M3 9 810 Tensões Normais (KN/m*) Tensões Normais (kN/m*) 6 vt I 5 Z 4 3 2 1 (C) PY4 0 260 520 780 (D) PY8 1040 1300 0 Tensões Normais (kN/m") 190 380 570 760 950 Tensões Normais (kN/m1-) Figura 4.20 - Tensões normais nas paredes. Na tabela 4.8 são apresentadas as tensões devidas às cargas verticais, incluindo-se as cargas variáveis, e as tensões devidas ao vento nos modelos c o m e sem abas. Considerando-se as tensões devidas às cargas variáveis, nos modelos c o m abas as tensões finais nas paredes são unicamente de compressão, o que não ocorre para os modelos sem abas. Tabela 4.8 - Tensões normais nas bases das paredes (kN/m2). Parede Tensões normais devidas ao vento PX8 M1 750 M2 513 PY8 873 665 PY17 1142 830 682 1530 PY23 1121 820 631 886 Tensões cargas vert. M3 475 M4 938 M5 667 M6 623 487 1674 849 608 997 1168 983 1432 1168 983 1333 1430 Análise Estrutural para Ações Horizontais 4 . 7 . 2 . 5 VERIFICAÇÃO DOS LINTÉIS À FLEXÃO E AO CISALHAMENTO O s momentos e cortantes máximos nos lintéis mais solicitados, nos modelos com abas, são apresentados na tabela 4.9. A máxima área de aço necessária foi de 1,40 cm 2 no lintel LY2. Neste exemplo, as tensões de cisalhamento atuantes nos lintéis ainda poderiam ser resistidas s e m armaduras transversais. Tabela 4.9 - Momentos (kN m) e cortantes (kN) máximos nos lintéis - modelos com abas. Modelo M2 Lintel LX1 LY1 LY2 Modelo M3 Nível Momento máximo Cortante máximo Nível 4 4 7 15,84 9,58 8,61 7,38 7,59 6,16 3 2 5 Momento máximo Cortante máximo 13,84 9,87 5,07 5,19 6,39 5,56 4 . 7 . 3 CONCLUSÕES GERAIS PARA o s EXEMPLOS Como se pode observar dos resultados obtidos para os exemplos desenvolvidos, algumas conclusões são bastante claras. Inicialmente é importante destacar que a consideração das abas reduz de forma significativa os valores dos deslocamentos horizontais previstos e ainda os valores das tensões devidas às ações horizontais nas paredes. Sua consideração, portanto, é altamente recomendável. Quanto às paredes c o m aberturas, obtém-se uma redução bastante significativa das tensões nas paredes, mas os lintéis precisam ser armados para resistir aos esforços de flexão devidos à ação dos ventos. É claro que os lintéis já possuem uma armadura construtiva para servir como vergas, mas a situação se diferencia devido à inversão do sentido do momento no caso dos ventos. Assim, torna-se necessária a colocação de armaduras inferiores e superiores. Ainda quanto às armaduras, uma constatação importante é que os lintéis não ultrapassaram os limites para tensões de cisalhamento da NBR 10837, mesmo quando foram considerados os trechos rígidos. Aliás, as diferenças verificadas pela consideração dos trechos rígidos nos lintéis são significativas, mas não alteram de forma drástica os valores obtidos. Talvez sua maior atuação seja nos deslocamentos horizontais a serem obtidos. Portanto, a recomendação que se pode fazer é que inicialmente o projetista tente considerar as paredes isoladas, não se esquecendo de acrescentar a contribuição das abas. Se com essa consideração estiverem sendo obtidos deslocamentos muito grandes ou as tensões nas paredes estiverem apresentando grandes trações, então se deve pensar no modelo de paredes com aberturas. Não se deve esquecer que a consideração das paredes c o m aberturas vai resultar na colocação de armaduras adicionais, algumas vezes inclusive para o cisalhamento, nos lintéis. Dessa forma, pode-se dificultar a execução da obra e penalizar a economia a ser obtida com a adoção do sistema construtivo. Assim, deve-se verificar se não é possível evitar tais situações, adotando-se um modelo mais simples e ainda seguro para a análise e o dimensionamento da estrutura. 4 . 8 E S T A B I L I D A D E G L O B A L D A E S T R U T U R A DE CONTRAVENTAMENTO A verificação da estabilidade global de uma estrutura de contraventamento é recomendável para qualquer edificação e indispensável para edifícios em que, em razão do número de pavimentos ou outro motivo qualquer, haja suspeita sobre sua condição de deslocabilidade. Por exemplo, para os casos de edifícios nos quais a grande maioria das paredes estruturais esteja orientada segundo uma só direção, pode ocorrer que a deslocabilidade seja inaceitável para a outra direção, mesmo que a edificação apresente poucos pavimentos. Dessa forma, é importante estar atento aos problemas de segunda ordem, principalmente quando se utiliza o sistema estrutural chamado de "paredes transversais", mencionado anteriormente. 4 . 8 . 1 CONCEITOS BÁSICOS Imagine-se uma estrutura submetida simultaneamente a uma carga vertical e uma ação horizontal. É fácil concluir-se que haverá um acréscimo do momento fletor inicial, chamado de momento de primeira ordem, representado pelas cargas verticais atuando nos deslocamentos produzidos pelas ações horizontais, conforme se mostra na figura 4.21. Figura 4.21 - Momento de segunda ordem. Esse acréscimo, chamado momento de segunda ordem, somente não ocorreria se a estrutura pudesse ser considerada indeslocável, o que é impossível quando se considera que qualquer material tem sua flexibilidade. Esse é o caso dos edifícios em geral, e de alvenaria em particular, que se encontram submetidos a ações verticais e horizontais. Essas estruturas devem, portanto, apresentar acréscimos de esforços de segunda ordem, tanto maiores quanto maior a sua deslocabilidade. Análise Estrutural para Ações Horizontais 4 . 8 . 2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO Torna-se aqui importante mencionar um conceito discutido no CEB-FIP Model Code 1990 para as e s t r u t u r a s d e c o n t r a v e n t a m e n t o . Trata-se de uma c l a s s i f i c a ç ã o q u a n t o à deslocabilidade da estrutura considerada, que pode ser classificada em deslocável ou indeslocável. Obviamente não existem estruturas indeslocáveis, do ponto de vista rigoroso, posto que submetidas a determinada ação todas apresentariam algum deslocamento. Mas a classificação indeslocável pode ser adotada quando os acréscimos de segunda ordem representam menos de 10% dos esforços de primeira ordem. Trata-se, na verdade, de uma simplificação, que consiste em se chamar uma estrutura pouco deslocável de indeslocável. Entretanto, essa classificação é muito importante, pois, como se verá a seguir, é tomada como base para se decidir se é ou não necessário que a análise de uma determinada estrutura seja feita em teoria de segunda ordem. 4 . 8 . 3 AVALIAÇÃO DOS ACRÉSCIMOS DE SEGUNDA ORDEM A avaliação do acréscimo de esforços devido à consideração da segunda ordem é sempre um processo iterativo. Para tanto existem processos, que podem ser chamados de rigorosos, em que são feitas alterações na matriz de rigidez e no vetor de cargas, dentro de um programa computacional de pórtico plano ou tridimensional. Podem ainda ser utilizados processos simplificados, como, por exemplo, o chamado processo P-O. No caso dos processos rigorosos, é necessário que se tenha acesso a um programa computacional que permita a consideração da segunda ordem, ou não-linearidade geométrica. Esses programas não têm ainda uma utilização disseminada, pelo menos para análises usuais. E x i g e m u m a entrada de d a d o s n o r m a l m e n t e mais c o m p l e x a e a p r e s e n t a um t e m p o de processamento relativamente elevado, motivos pelos quais têm utilização mais restrita a casos especiais. Já no processo P-D a análise é feita com a utilização de um programa de pórtico convencional, ou seja, sem a consideração da não-linearidade geométrica. Os dados são mais simples e o tempo de processamento de cada etapa muito menor. Conforme mencionado, trata-se de um processo iterativo. Na primeira etapa a estrutura é analisada com a atuação simultânea das ações verticais e horizontais, obtendo-se os deslocamentos dos pontos nodais. Através desses deslocamentos são calculados acréscimos de momento fletor ao longo da altura do edifício e esses acréscimos são transformados, por equilíbrio, em forças horizontais equivalentes que são somadas às ações originais. A estrutura é novamente processada e com a obtenção dos novos deslocamentos são calculados novos acréscimos de esforços e ações horizontais. O processo continua até que os a c r é s c i m o s obtidos para d e s l o c a m e n t o s , esforços ou ações s e j a m suficientemente pequenos de modo que se possa considerar que o procedimento convergiu ao seu resultado final. Assim sendo, os esforços obtidos no último processamento já estarão computando os acréscimos devidos à consideração da segunda ordem. O processo P-B apresenta resultados muito satisfatórios e seu desenvolvimento pode ser automatizado, sendo que o tempo total de processamento não deve ultrapassar o tempo de solução de um programa que efetivamente considere a não-linearidade geométrica. Como os dados de entrada e os recursos computacionais utilizados são mais simples, pode-se considerar que ele se qualifica como uma alternativa bastante interessante. 4 . 8 . 4 DESLOCABILIDADE DAS ESTRUTURAS POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS Foi mencionado que para estruturas com acréscimos de esforços devidos à consideração da segunda ordem menores que 10% dos de primeira ordem, a estrutura pode ser considerada indeslocável. Nesse caso não haverá necessidade de a análise ser realizada em teoria de segunda ordem, podendo ser utilizado um procedimento convencional em primeira ordem, sem a necessidade de diversas iterações. É, sem dúvida, o procedimento mais confortável. Entretanto, é necessário saber se os referidos acréscimos realmente se limitam aos mencionados 10% para a estrutura em análise. Nesse caso pode-se lançar mão de procedimentos simplificados que indiquem se uma estrutura pode ou não ser considerada indeslocável. O próprio CEB-FIP Model Code 1990 apresenta uma solução para o mencionado problema: o parâmetro a. Outro procedimento, que se pode considerar mais adequado, é o parâmetro yz. A seguir esses parâmetros são discutidos com maiores detalhes. 4 . 8 . 4 . 1 PARÂMETRO a O parâmetro a pode ser avaliado de acordo com a expressão: ...(4.7) Em que, a : parâmetro de instabilidade H : altura total do edifício P : peso total da edificação E l : rigidez à flexão do sistema de contraventamento Considera-se que o acréscimo de esforços de segunda ordem será menor que 10% se o referido parâmetro for: a - 0,7: para sistemas compostos apenas por pilares-parede a - 0,6: para sistemas mistos a - 0,5: para sistemas compostos apenas por pórticos Quando o parâmetro o. exceder os valores apresentados, o projetista deve necessariamente providenciar a análise do edifício em teoria de segunda ordem, de forma a avaliar corretamente o acréscimo nos esforços. 4 . 8 . 4 . 2 PARÂMETRO y, O outro procedimento, ainda mais interessante, é o chamado parâmetro yz. Trata-se de um estimador do acréscimo de esforços devidos à consideração da segunda ordem e por esse motivo é mais adequado que o parâmetro a anteriormente citado. Com a sua utilização conseguese estimar o efeito de segunda ordem apenas com o resultado do cálculo da estrutura submetida às ações verticais e horizontais. É como se estimarem os valores de convergência de um processo P-D apenas com os resultados da primeira etapa. Sua expressão é a seguinte: ...(4.8) Em que, AM : acréscimo de momento devido aos deslocamentos horizontais M, : momento de 1 ! ordem Dessa forma, calculado o parâmetro pode-se avaliar a deslocabilidade da estrutura. Analogamente ao que já foi mencionado, pode-se estabelecer, considerando-se o limite de 10%: Y, - 1,10: estrutura indeslocável yz > 1,10: estrutura deslocável Aqui a vantagem do yz torna-se evidente. Em especial porque o parâmetro é um bom estimador do acréscimo de segunda ordem até, pelo menos, o valor 1,20. Assim sendo, pode-se, obtido um valor entre 1,10 e 1,20, utilizar o próprio parâmetro como multiplicador de esforços de primeira ordem para a obtenção dos de segunda ordem, ou seja: M2 = Y, M, ...(4.9) Em que, M , : esforços de 1? ordem M 2 : esforços finais de 2- ordem yg : parâmetro com valor entre 1,10 e 1,20 4.9 CONCLUSÃO O presente capítulo apresentou conceitos relativos à análise de estruturas de edificações em alvenaria submetidas a ações horizontais. Inicialmente foram discutidas as ações usualmente consideradas, com destaque para as devidas ao vento e ao desaprumo. Foi enfatizada a importância de consideração das abas ou flanges na composição das seções transversais dos painéis de contraventamento, devido à sua significativa contribuição na rigidez e na resistência desses painéis. Foram discutidos procedimentos para a distribuição de ações horizontais para contraventamentos simétricos e assimétricos, analisando-se o processo das paredes isoladas e o de paredes com aberturas, bem como as suas implicações nas duas referidas situações. No caso das paredes com aberturas foi introduzido o conceito de nós de dimensões finitas, como elemento de enrijecimento dos painéis. Foram ainda discutidos os recursos de modelagem encontrados em alguns programas computacionais, que permitem um aumento da eficiência da análise, tanto sob o ponto de vista da representatividade da estrutura como na elaboração e no processamento dos modelos numéricos. Foram introduzidos dois exemplos de modelagem de edifícios submetidos a ações horizontais, comparando-se os resultados obtidos com os procedimentos alternativos apresentados e as suas implicações no desenvolvimento do projeto estrutural. Por fim foi discutida a questão da estabilidade global da estrutura de contraventamento, apresentando dois procedimentos simplificados para a avaliação da relevância dos efeitos de segunda ordem. Destaca-se a superioridade do parâmetro y2 sobre o parâmetro a, devido à possibilidade que aquele possui de apresentar uma estimativa para os efeitos de segunda ordem. Principais Parâmetros para o D i m e n s i o n a m e n t o de Elementos 5.1 TENSÕES ADMISSÍVEIS E ESTADOS LIMITES c A segurança de uma estrutura pode ser entendida como a capacidade de suportar as diversas ações previstas durante a sua vida útil, garantida sua possibilidade de funcionar conforme sua destinação. Todas as teorias que permitem introduzir o conceito de segurança baseiam-se na hipótese de que o comportamento estrutural é determinístico. Isto significa que para um mesmo corpo, sob as mesmas condições de vinculação, a repetição de uma solicitação ao longo do tempo produziria as mesmas respostas estruturais, ou seja, as mesmas deformações, tensões, esforços e deslocamentos. O método das tensões admissíveis introduz a segurança no projeto estrutural mediante o estabelecimento de um coeficiente de segurança interno y_. É imposta a condição de que as maiores tensões na estrutura não ultrapassem valores admissíveis, estabelecidos de forma empírica, a partir da divisão de tensões de ruptura ou de escoamento pelo coeficiente y4. A aplicação desse método pode ser resumida por: S < R / Yj n eu ...(5.1) Em que, S : máxima tensão atuante y : coeficiente de segurança interno R : tensão de ruptura ou de escoamento do material Este método tem algumas deficiências que podem ser consideradas sérias: a) impossibilidade de se interpretar o coeficiente yt como um coeficiente externo: b) preocupação exclusiva com a relação serviço-ruptura; c) adequação apenas para o comportamento linear. Também se pode conceituar a segurança de uma estrutura com a introdução da idéia de estado limite. Segura é a estrutura que, durante a sua vida útil, não atinge nenhum estado limite. Esses estados limites podem ser definidos como: a) estado limite último (ELU); b) estado limite de serviço (ELS). O estado limite último corresponde ao esgotamento da capacidade portante da estrutura e pode ser ocasionado por diversos fatores: perda de estabilidade do equilíbrio, ruptura, colapso, deterioração por fadiga ou excesso de deformação plástica que inviabilize a sua utilização como estrutura. o Já o estado limite de serviço está relacionado a exigências funcionais ou de durabilidade da estrutura e pode ser causado por excesso de deslocamentos, deformações, danos ou vibrações. A segurança é introduzida mediante a verificação dos estados limites de serviço e através de coeficientes de segurança externos ye relativos aos estados limites últimos. O estabelecimento dos coeficientes yc é feito de maneira empírica. A vantagem do método dos estados limites sobre o das tensões admissíveis é que ele permite a definição de um critério direto para resistência e para as condições de serviço da estrutura. Atualmente, um aperfeiçoamento verificado para o método dos estados limites consiste em se considerar que os parâmetros geométricos, mecânicos e de solicitação das estruturas não são determinísticos, sendo representados por variáveis aleatórias contínuas. A inclusão de conceitos probabilísticos permite considerar incertezas relativas ao carregamento, à resistência dos materiais e à representatividade do modelo de análise empregado. O dimensionamento com base nos estados limites pode ser resumido da seguinte maneira: - Sd > 0 ...(5.2) Em que, R d = R k / ym: resistência de cálculo S d = S( y, x F k ): solicitação de cálculo e Y,: coeficientes de ponderação R k e F k : valores característicos de resistência e ação Geralmente os valores característicos são escolhidos de modo que 95% das resistências verificadas na estrutura excedam R k e 95% das ações aplicadas sejam menores que F k . Assim, a probabilidade de ruína é dada por: P [ R r i - S d < 0] = p ...(5.3) É necessário determinar os valores dos coeficientes ym e Y, compatíveis com o valor de u p" pré-fixado. Para que isso seja feito, além de conceitos estatísticos, são utilizados também valores empíricos baseados na experiência de construção acumulada e em ensaios de laboratório. A norma brasileira NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 1 , assim como a norma americana ACI 530 - Building Code Requirements for Masonry Structures 2 , adotam o método das tensões admissíveis para a introdução da segurança estrutural. Entretanto, a BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry 3 já adota os estados limites. ' Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 2 American 3 Concrete Instituto (1992). British Standards Institution (1992). De fato, seria interessante se a norma brasileira adotasse o conceito dos estados limites. Além de ser mais adequado, por permitir melhor conhecimento da segurança da estrutura, esse é o conceito que serve de base para as demais normas existentes no País. até mesmo para algumas que complementam o próprio emprego da alvenaria como sistema estrutural. Por exemplo, a NBR 6136 - Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural 4 fala explicitamente em resistência característica do bloco de concreto. Além disso, é impossível a utilização da NBR 8681 Ações e Segurança nas Estruturas* para edificações de alvenaria estrutural. 5.2 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DA ALVENARIA A resistência à compressão é, obviamente, o parâmetro de resistência mais importante para a alvenaria estrutural. Dessa forma, não é de se estranhar que muitos trabalhos tenham sido desenvolvidos para quantificá-la. Aqui, procurar-se-á apresentar um panorama geral sobre esse aspecto de grande importância. 5 . 2 . 1 INFLUÊNCIA DOS COMPONENTES NA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO A seguir, se faz um breve resumo sobre a influência de cada componente sobre a resistência à compressão da alvenaria. O principal objetivo é dar noções qualitativas, ou até mesmo quantitativas, sobre a maneira como cada um desses componentes atua no sentido de aumentar ou reduzir a referida resistência. 5 . 2 . 1 . 1 BLOCOS Dentre os fatores que exercem influência na resistência à compressão dos painéis de parede, a resistência dos blocos tem caráter predominante. De forma geral, quanto mais resistente o bloco, mais resistente será a alvenaria. Existe um conceito muito importante quando se trata da influência da resistência dos blocos na resistência à compressão das paredes. É a "eficiência", ou seja, a relação entre a resistência da parede e a resistência do bloco que a compõe. A relação 5.4 exprime matematicamente esse conceito. n = f Em que, f p w : resistência da parede f0 : resistência do bloco 4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1980). 5 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1984). ...(5.4) A eficiência costuma variar bastante, dependendo da sua forma, material e até mesmo da resistência dos blocos. Normalmente, quanto mais resistente for o bloco menor será a eficiência e vice-versa. Também se pode considerar que usualmente os blocos cerâmicos apresentem uma eficiência menor que a dos blocos de concreto. Além disso, características dos outros componentes podem influir na eficiência parede-bloco. Considerando-se os casos mais comuns no Brasil: paredes executadas com blocos vazados de concreto ou cerâmicos (resistência entre 4,5 e 20 MPa), não-grauteadas e c o m argamassas usuais, pode-se estimar que a eficiência apresente os valores que constam da tabela 5.1. Tabela 5.1 - Valores da eficiência parede-bloco. Bloco Concreto Cerâmico Valor m í n i m o Valor m á x i m o 0,40 0,20 0,60 0,50 5 . 2 . 1 . 2 ARGAMASSA É interessante se destacar pelo menos dois fatores quando se trata da influência da argamassa na resistência à compressão das paredes: a espessura da junta horizontal e a resistência à compressão da argamassa. Quanto ao primeiro aspecto, está bem estabelecido que a espessura da junta precisa se situar dentro de limites muito estreitos. Ela não pode ser muito pequena, pois isso poderia permitir que, por falhas na execução, pontos das superfícies dos blocos acabassem se tocando. Obviamente, essa situação provocaria uma concentração de tensões que prejudicaria a resistência da parede. Entretanto, desde um trabalho pioneiro de Francis (1971) foi comprovado que a resistência da parede decresce c o m o aumento da espessura da junta horizontal. Isso se explica porque com o aumento da espessura diminui o confinamento da argamassa. E é exatamente esse confinamento que torna a argamassa pouco suscetível à ruptura, mesmo que a sua resistência à compressão, medida em corpos-de-prova cilíndricos, seja relativamente baixa. Assim, segundo Sahlin 6 apud Camacho (1995), a cada aumento de 0,3 c m na espessura da argamassa há uma redução de 15% na resistência da parede. Numa concordância implícita c o m esses fatos apresentados, a NBR 10837 especifica que a espessura da junta horizontal entre blocos deve ser igual a 1 cm, a menos que se justifique tecnicamente a adoção de u m outro valor. Quanto à resistência à compressão da argamassa, conforme já se afirmou e m item anterior, esse parâmetro não influi de forma tão significativa na resistência à compressão da parede. Apenas se a resistência da argamassa for menor que 3 0 % ou 4 0 % da resistência do bloco é que essa influência pode ser considerada importante. Por exemplo, segundo os resultados obtidos por 6 SAHLIN, S. (1971). Structural Masonry. Gomes (1983), para paredes construídas com blocos de 7,5 MPa, variando a resistência da argamassa em torno de 135%, verificou-se que o acréscimo de resistência para as paredes foi de apenas 11,5%. A própria BS 5628 corrobora esse fato quando indica que, por exemplo, para blocos de 7,0 MPa, ao se aumentar a resistência da argamassa de 6,5 MPa para 16,6 MPa, a resistência à compressão da parede cresce apenas 6%. Na verdade, argamassas exageradamente resistentes podem apresentar até mesmo um efeito contrário ao desejado, reduzindo a resistência final da parede. Dessa forma parece interessante a recomendação de Gomes (1983), que concluiu que a argamassa de assentamento deve ter como resistência um valor entre 7 0 % e 100% da própria resistência do bloco. Pode-se até mesmo afirmar que para argamassas com resistências em torno de 50% da resistência dos blocos dificilmente haverá uma queda significativa na resistência da parede. 5.2.1.3 GRAUTE A influência do graute na resistência das paredes deve ser computada levando-se em conta duas situações distintas. Quando o grauteamento ocorre em blocos vazados de concreto, esse preenchimento, realizado com um material muito semelhante ao material do próprio bloco, pode ser avaliado de forma relativamente simples. A utilização do graute leva a um simples aumento da área líquida da unidade, podendo o acréscimo de capacidade portante da parede ser quantificado sem grandes complicações. Trata-se, na verdade, de se promover um aumento na resistência da unidade, proporcional à área grauteada, obtendo-se por conseqüência um aumento da resistência da parede, sempre se considerando a já mencionada eficiência bloco-parede. Por exemplo, tomando-se um bloco de concreto de resistência na área bruta igual a 6 MPa, com 5 0 % de vazios, e realizando-se o preenchimento de seus furos com um graute de resistência igual à do material que compõe o bloco, ou seja 12 MPa, obtém-se na verdade um bloco com resistência à compressão na área bruta 12 MPa. Dessa forma, tomando-se 0,5 como o valor de eficiência bloco parede-parede, pode-se estimar que a resistência da parede seja da ordem de 6 MPa, sempre em relação à área bruta. Caso o grauteamento não fosse utilizado, a resistência estimada para a parede seria da ordem de 3 a 3,5 MPa, dependendo do valor da eficiência bloco-parede que fosse tomado. Já para os blocos cerâmicos, essa avaliação torna-se mais complexa. Por se tratarem de materiais diferentes, ainda que de mesma resistência, fica mais difícil prever com clareza a resistência final do conjunto bloco-graute. O comportamento do conjunto dos dois materiais poderia ser influenciado negativamente, por exemplo, pelas diferentes características elásticas de cada um. Entretanto, Garcia (2000), que realizou ensaios em dez paredes grauteadas, concluiu que a situação não deve ser muito diferente daquela que se observa para os blocos de concreto. Foram utilizados blocos cerâmicos com resistência aproximada de 10 MPa e definidos dois esquemas de grauteamento, com cinco paredes rompidas para cada caso. Os resultados obtidos mostram que considerar o graute como uma redução da área de vazios dos blocos, conforme o que se sugeriu para os blocos de concreto, não parece muito distante da realidade. Mas, como os exemplares ensaiados são poucos e seriam necessários estudos complementares para corroborar esses resultados iniciais, é importante que essa consideração seja feita com cuidado, de modo a se evitar uma redução significativa do nível de segurança. 5 . 2 . 1 . 4 ARMADURAS De fato, o aço nas estruturas de alvenaria acaba tendo sua capacidade pouco aproveitada na resistência à compressão, pois a tensão usualmente fica limitada a valores bem abaixo da tensão de escoamento do material. A imposição de limites relativamente baixos para as tensões no aço é explicada pela necessidade de se evitar uma fissuração excessiva, bem como garantir a aderência entre as barras de aço e o graute que as envolve. Entretanto, essa limitação leva a uma contribuição menor do que aquela que se poderia esperar, especialmente porque a resistência à compressão dos outros componentes da alvenaria é relativamente elevada. Assim sendo, usualmente não é interessante do ponto de vista da relação custo-benefício se utilizar esse recurso para aumentar a resistência à compressão. Na verdade a alvenaria armada parece mais adequada quando se necessita conferir ductilidade à estrutura, aumentar o limite normalizado para a esbeltez de paredes ou quando se necessita de acréscimo muito localizado de resistência. 5 . 2 . 2 AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO DAS PAREDES Alguns procedimentos podem ser utilizados para uma avaliação da resistência à compressão das paredes de alvenaria. A seguir são apresentados três deles, sendo que são discutidas as principais vantagens e desvantagens de cada um. 5 . 2 . 2 . 1 ESTIMATIVA ATRAVÉS DA RESISTÊNCIA DE PRISMAS Prismas sao elementos obtidos pela superposição de um certo número de blocos, normalmente dois ou três, unidos por junta de argamassa e destinados ao ensaio de compressão axial, conforme se apresenta na figura 5.1. A estimativa da resistência de paredes através do ensaio de prismas é o procedimento adotado pela NBR 10837, sendo também permitido pelo ACI 530. É extremamente interessante e representa um avanço significativo do ponto de vista de se obter um método de dimensionamento válido para praticamente qualquer condição de unidade, argamassa ou mesmo graute. Obviamente, é importante que os prismas sejam executados nas mesmas condições verificadas na construção. Devem ser mantidos materiais e mão-de-obra, para que se possa ter resultados representativos do que realmente ocorre durante a execução. J^Carga Bloco Argamassa Bloco Figura 5.1 - Prisma de dois blocos. U m outro ponto positivo desse procedimento é que os ensaios podem ser realizados c o m facilidade por qualquer laboratório minimamente equipado e que realize controles usuais para estruturas de concreto armado. Até mesmo através de uma prensa manual, instalada no próprio canteiro de obras, pode-se controlar a resistência ã compressão de prismas, obtendo-se um procedimento de verificação simples, barato e eficiente. A NBR 10837, em seu item 5.3.1, é enfática na especificação do prisma como resistência básica da alvenaria estrutural de blocos vazados de concreto, e podem-se reproduzir as suas palavras textuais "As tensões admissíveis para a alvenaria não-armada e para a alvenaria armada devem ser baseadas na resistência dos prismas (fp) aos 28 dias ou na idade na qual a estrutura está submetida ao carregamento total. Nas plantas submetidas à aprovação ou usadas na obra, deve constar claramente a resistência (fp) na idade e m que todas as partes das estruturas foram projetadas". E é importante ressaltar que, apesar da NBR 10837 ser uma norma voltada especificamente aos blocos vazados de concreto, não há nenhuma incoerência conceituai em estender esse procedimento a unidades de outros tipos ou material. Aqui também se pode utilizar u m conceito que já foi apresentado no item 5.2.1.1. Trata-se da "eficiência", neste caso que se analisa uma relação entre a resistência do prisma e do bloco que o compõe. Essa relação pode ser escrita matematicamente como na equação 5.5. f - F Normalmente esses valores da eficiência prisma-bloco, para a prática corrente no Brasil, ...(5.5) variam de 0,5 a 0,9 para os blocos de concreto e de 0,3 a 0,6 no caso dos blocos cerâmicos. Da mesma forma que no item 5.4.1.1, a eficiência tende a ser menor quando se aumenta a resistência do bloco e viceversa. Também semelhante é o comportamento e m relação ao material que compõe os blocos blocos de concreto tendem a apresentar uma eficiência significativamente maior que os cerâmicos. Existe ainda uma terceira relação entre resistências que é de grande importância e que não deixa de ser também uma eficiência: a relação entre a resistência da parede e do prisma. É uma relação muito importante porque, mesmo sendo o dimensionamento e o controle feitos com base na resistência do prisma, o que interessa em última instância é a resistência da parede. E a resistência do prisma é sempre maior que a da parede, porque com o aumento do número de juntas que se verifica na parede, inclusive com a adição de juntas verticais que não existem no prisma, a resistência do painel tende a cair. Tomando-se um amplo conjunto de ensaios já realizados no Brasil, verifica-se que essa relação de resistência parede-prisma situa-se por volta de 0,7 tanto para blocos de concreto como para blocos cerâmicos. Esse número é corroborado implicitamente até mesmo pela NBR 10837, quando são observadas as expressões para dimensionamento com base na resistência de prisma ou de parede. Por fim, resta mencionar que a norma brasileira que regulamenta o método de ensaio dos prismas é a NBR 8215 - Prismas de Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural - Preparo e Ensaio à Compressão 7 . 5 . 2 . 2 . 2 ESTIMATIVA ATRAVÉS DOS COMPONENTES A estimativa da resistência à compressão das paredes através dos componentes é um procedimento muito bom, mas que apresenta um inconveniente sério para um país de dimensões continentais e com grandes diferenças regionais. Seria preciso uma boa padronização desses componentes para que o número de ensaios necessários a essa estimativa fosse razoável. Em caso contrário, a caracterização do material demandaria um número de ensaios que acabaria praticamente inviabilizando o próprio procedimento. A estimativa da resistência através dos componentes é o principal método utilizado pela BS 5628, que apresenta tabelas para a resistência característica à compressão das paredes em função do tipo de argamassa e da resistência das unidades. Por exemplo, se forem tomados os blocos vazados com relação entre a altura e a menor dimensão na horizontal entre 2,0 e 4,0, os valores da resistência característica serão os da tabela 5.2. É interessante ressaltar que a BS 5628 não se refere a prismas. Quando se tratar de uma alvenaria especial, a resistência à compressão deve ser obtida de ensaios de paredes com pelo menos 1,20 m de comprimento por 2,40 m de altura. Também o ACI 530 se utiliza deste procedimento como uma das alternativas para o cálculo da resistência à compressão. Podem-se apresentar, por exemplo, os valores especificados para unidades de concreto pelo ACI 530.1 Specifications for Masonry Structures3, organizados na tabela 5.3. A diferença em 7 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1983). 8 American Concrete Instituto (1992). relação à BS 5628 é que o ACI 530 menciona a resistência de prisma como a alternativa para a estimativa da resistência à compressão da alvenaria, num procedimento semelhante ao admitido pela NBR 10837. Tabela 5.2 - Resistência da alvenaria - Blocos vazados com altura/largura entre 2,0 e 4.0. Tipo da argamassa Resistência à c o m p r e s s ã o d o s blocos ( N / m n r ) ' 2,8 3.5 5 7 10 15 20 2 35 (i) 2.8 3.5 5 5.7 6.1 6.8 7.5 11.4 («) 2,8 3,5 5 5,5 5,7 6,1 6.5 9,4 (üi) (iv) 2.8 3.5 5 5.4 5.5 5,7 5.9 8.5 2.8 3.5 4.4 4.8 4.9 5.1 5,3 7,3 'Obs.: 1 N/mm? = 1 MPa. Tabela 5.3 - Resistência da alvenaria baseada na resistência das unidades e da argamassa. Resistência à compressão na área líquida das unidades de concreto (psi)4 Argamassa tipo M ou S Argamassa tipo N 1250 1900 2800 3750 4800 1300 2150 3050 4050 5250 Resistência à compressão da alvenaria na área líquida (psi)* 1000 1500 2000 2500 3000 *Obs.: 145.45 psi = 1 MPa. 5 . 2 . 2 . 3 MODELOS TEÓRICOS DE RUPTURA Vários pesquisadores elaboraram formulações matemáticas para a determinação teórica de u m modelo de ruptura de paredes em alvenaria. A seguir, serão comentadas as contribuições dadas por alguns deles, que trabalharam c o m prismas moldados c o m tijolos e c o m blocos vazados preenchidos c o m graute. S e g u n d o G a l l e g o s (1989), os primeiros e s t u d o s q u e se t e m c o n h e c i m e n t o foram realizados por Paul Haller e m 1959, baseados e m uma análise elástica do sistema bloco-argamassa. Entretanto, chegou-se a resultados absurdos, e m que as resistências dos prismas resultavam maiores que as resistências dos blocos. Posteriormente, H i l s d o r f apud Muller (1984) e Francis etal. (1971) elaboraram modelos matemáticos também considerando o comportamento elástico dos componentes tijolo e argamassa. Francis etal. desenvolveram u m modelo teórico para a ruptura de prismas de alvenaria submetidos a esforços de compressão axial. Supuseram a ocorrência de tensões de tração nos tijolos provocada pela excessiva deformação da argamassa, conforme a figura 5.2. Isso é explicado pela existência 0 HILSDORF. H. K. (1969) Investigation info failure mechanism of brick masonry loaded in axial compression. de diferentes módulos de elasticidade dos materiais usados para a execução dos prismas. Francis et ai se basearam na deformação unitária dos materiais para fundamentar o seu modelo, enquanto que Hilsdorf baseou-se nos esforços resistidos pelos materiais. Entretanto, adotaram as m e s m a s hipóteses para as formulações das suas teorias: a) as unidades estruturais eram constituídas por tijolos sólidos; b) relação de Coulomb entre o valor da resistência à tração biaxial e à resistência à c o m p r e s s ã o uniaxial, d e f i n i n d o a envoltória de ruptura d o tijolo s u b m e t i d o ao carregamento triaxial; c) esforços de tração laterais uniformes na altura da unidade; d) esforços de tração laterais iguais nas direções x e z ; e) aderência perfeita entre a argamassa e o tijolo. y a Figura 5.2 - Estado de tensões atuantes nos blocos e nas juntas de argamassa. No comportamento do prisma, ao ser submetido a um estado de compressão axial, é suposto que a argamassa, por ter módulo de elasticidade menor, tende a deformar-se mais do que o bloco, submetendo-o a tensões de tração. Q u a n d o essas tensões ultrapassam a resistência à tração dos blocos, ocorre a fissuração da peça e sua conseqüente ruptura. No modelo de Francis et ai, os pesquisadores deduziram u m equacionamento puramente teórico envolvendo, além das resistências individuais dos componentes, as características reológicas e mecânicas referentes a cada um. O modelo foi estudado para prismas e foram admitidos os equilíbrios de forças de tração lateral nas unidades e de compressão lateral nas argamassas, ou seja, a compatibilidade das deformações laterais nas unidades e na junta de argamassa. Outros autores, entretanto, verificaram a existência de grandes variações entre os valores teóricos obtidos c o m essa formulação e os experimentais. Essas variações, segundo Hendry (1981), ocorreram devido a aproximações feitas para a obtenção d e determinados parâmetros. Ele t a m b é m critica a utilização desse modelo para a obtenção da tensão de ruptura de paredes c o m blocos amarrados, uma vez que toda a sua formulação foi feita para prismas. Segundo Aly (1991), outros pesquisadores continuaram o estudo sobre os modelos de ruptura já apresentados e os aperfeiçoaram. No decorrer das pesquisas, alguns autores como Hamid e Drysdale (1979) começaram a estender os estudos para prismas de blocos vazados de concreto preenchidos com graute. Para isso, novas considerações tiveram que ser formuladas. Através de ensaios laboratoriais, Hamid e Drysdale (1979) verificaram que a ruína de prismas de blocos de concreto grauteados, submetidos à compressão axial, inicia-se com o aparecimento de fissuras verticais nos blocos. Essas fissuras se estendem com o aumento do carregamento, provocando, muitas vezes, o descolamento das suas faces e o rompimento do graute. O aparecimento de fissuras nos blocos ocorre principalmente devido à maior deformação lateral do graute e da argamassa em relação à do bloco, à medida que se aumenta o carregamento, provocando, assim, a sua ruptura prematura. Assim, os autores se basearam nas seguintes hipóteses para o desenvolvimento das suas teorias sobre o comportamento dos blocos grauteados submetidos a esforços de compressão: a) aderência perfeita nas interfaces bloco-argamassa-graute; b) distribuição proporcional de esforços verticais entre o bloco, a argamassa e o graute, em função do módulo de elasticidade de cada material; c) distribuição uniforme das tensões laterais para cada um dos materiais ao longo da altura; d) teoria de ruptura de Mohr (envoltória de Coulomb) adotada para expressar a ruptura do bloco de concreto submetido a um estado biaxial de tensão; e) o graute é suposto como tendo as mesmas características de um concreto convencional sob um estado de compressão triaxial. Dois modelos de ruína foram propostos, dependendo do componente que primeiro atinge a sua tensão de ruptura sem confinamento: o graute ou o conjunto bloco-argamassa. Quando o graute atinge primeiro a sua capacidade de resistência a esforços de compressão não confinada, grande expansão lateral ocorre devido a deformações inelásticas provocadas pela sua microfissuração. As faces do bloco tendem a impedir essa deformação e a confiná-lo, resultando em um estado de tensões de tração. Essas tensões associadas às tensões de tração provocadas pela deformação da argamassa provocam a ruptura prematura das faces dos blocos, conforme figura 5.3. Quando as faces dos blocos atingem a sua tensão máxima à compressão antes do graute atingir a sua tensão de compressão não confinada, o graute se encontra submetido a deformações elásticas. Portanto, as faces dos blocos irão apenas restringir as deformações da argamassa e a tensão de ruptura apresenta outro valor. Nesse caso, a resistência da parede será controlada tanto pela ruptura das faces dos blocos quanto pela resistência do graute. Para graute muito resistente ou com grandes seções transversais, é possível que mesmo após a ruptura dos blocos o conjunto permaneça resistindo a cargas mais elevadas. De fato, n e n h u m dos métodos teóricos apresentados tem condições de prever c o m razoável segurança a resistência de paredes à compressão. Isso pôde ser comprovado por Garcia (2000). Assim, o objetivo de mencioná-los aqui é muito mais discutir as suas hipóteses e os seus mecanismos de ruptura, esses sim bastante interessantes, do que aproveitar as expressões que foram deduzidas. Aliás, essas expressões n e m são aqui apresentadas principalmente pelas razões expostas acima, podendo ser encontradas com detalhes em Garcia (2000). w w, Z Bloco Graute 7 Prisma Argamassa Z7T Figura 5.3 - Estado multiaxial de tensão de um prisma grauteado. 5 . 3 C A R A C T E R Í S T I C A S G E O M É T R I C A S P A R A E L E M E N T O S DE A L V E N A R I A Para que se possa discutir as características geométricas de elementos de alvenaria, é importante se apresentarem os conceitos de parede e pilar. Segundo a NBR 10837, a parede é u m elemento laminar vertical, apoiado de modo contínuo e m toda sua base, c o m comprimento maior que cinco vezes a sua espessura. Já o pilar, ainda segundo a NBR 10837, é u m elemento estrutural semelhante à parede, mas no qual o comprimento é menor que cinco vezes a sua espessura. Em caso de seções compostas por retângulos (L, T ou Z), a limitação é para cada ramo. A figura 5.4 ajuda a entender a diferença citada. Figura 5.4 - Parede e pilar. A diferenciação desses elementos resistentes e m paredes e pilares é importante não apenas para as características geométricas a serem citadas, mas também para o dimensionamento. Os valores das máximas cargas de compressão que podem ser admitidas para esses elementos variam de acordo com essa classificação mencionada. Obviamente, isso ocorre porque a parede tem uma característica laminar mais acentuada, podendo resistir a esforços maiores que o pilar, que apresenta uma característica mais marcante de elemento linear. 5 . 3 . 1 ESPESSURA EFETIVA PARA PILARES E PAREDES PORTANTES Nos casos usuais, a espessura efetiva de uma parede de alvenaria é sua espessura real, portanto, descontando-se revestimentos que possam estar presentes. Entretanto, algumas normas, dentre elas a BS 5628 e a NBR 10837, permitem que se considere uma espessura efetiva equivalente quando se tem a presença de enrijecedores. A expressão genérica para o caso seria a equação 5.6. Quanto aos valores de Ô, a tabela 5.4 e a figura 5.5 devem esclarecer adequadamente a questão. ...(5.6) E m que, t p i : espessura real da parede Ô : coeficiente de multiplicação apresentado pela tabela 5.4 t e ,: espessura efetiva Tabela 5.4 - Coeficiente Ô*. u/t. t./tp. = 1 t./tp. = 2 t. /tp, = 3 6 1.0 1.4 2,0 8 1,0 1.3 1.7 10 1,0 1.2 1.4 15 1,0 1.2 >20 1.0 1.1 1.0 1.0 *Obs.: é possível a interpolação de valores. pn • r • • • •1/ • / • Figura 5.5 - Parâmetros para cálculo da espessura efetiva de paredes. Esses enrijecedores são muito utilizados especialmente e m edifícios industriais, nos quais é necessário se aumentar a espessura das paredes tanto para se satisfazer os limites de esbeltez, que serão vistos e m item subseqüente, quanto para reduzir os problemas c o m a instabilidade do elemento no dimensionamento. Ocorre que para esses edifícios a altura das paredes precisa ser relativamente grande, de forma a satisfazer características de uso dessas edificações. É importante mencionar que parede e enrijecedores devem ser executados simultaneamente e deve haver amarração entre os blocos na ligação entre eles. Em todo caso, algumas normas também apresentam valores absolutos mínimos para a largura efetiva de paredes portantes e pilares. A NBR 10837 menciona 14 c m para as paredes armadas, subentendo-se que esse limite valha também para as alvenarias não-armadas. O ACI 530, no seu item de dimensionamento empírico, especifica 20 cm, exceto para edificações de apenas um andar, para as quais o mínimo é 15 cm. Recomenda-se que esses limites mínimos de espessura absoluta sejam utilizados com bom senso. Existem casos e m que eles se revelam muito conservadores. 5 . 3 . 2 ALTURA EFETIVA A altura efetiva de paredes e pilares de alvenaria, aqui d e n o m i n a d a heJ, é u m dos parâmetros importantes para o cálculo da esbeltez de um elemento. A NBR 10837, o ACI 530 e a DIN 1053 - Alvenaria: Cálculo e Execução 1 0 apresentam prescrições muito simples que p o d e m ser resumidas nos itens seguintes: a) quando existe travamento na base e no topo, a altura efetiva deve ser a própria altura real da parede (hcf = h); b) quando a extremidade superior estiver livre, a altura efetiva será duas vezes a altura real do elemento (he. = 2 h). O ACI 530 acrescenta que nos casos e m que se puder calcular os pontos de inflexão da elástica da posição deformada, a altura efetiva deve ser a distância entre esses pontos. A BS 5628 é menos conservadora nas suas recomendações. Suas prescrições podem ser resumidas no seguinte: a) quando existe travamento "reforçado" na base e no topo, a altura efetiva deve ser 7 5 % da altura real da parede (h^ = 0,75 h); b) quando existe travamento "simples" na base e no topo, a altura efetiva será a própria altura real do elemento (h 10 Deutsch Industrie Normen (1974). = h). A BS 5628 considera travamento "reforçado" uma laje de concreto moldado in loco, ou outro e s q u e m a equivalente, que esteja presente e m pelo menos u m dos lados da parede. O travamento "simples" será considerado basicamente para pavimentos de madeira, o que não é usual para o Brasil. Entretanto, essa recomendação pode ser interessante quando se estiver considerando telhados de madeira. Nesse caso. desde que corretamente fixados à alvenaria, eles podem ser considerados como um travamento, se bem que u m travamento "simples". O trabalho de Haseltine & Moore (1981) traz interessantes considerações sobre esse tópico, inclusive com detalhes sobre os travamentos "simples" e "reforçados". 5.3.3 ESBELTEZ A esbeltez é definida usualmente pela divisão da altura efetiva pela espessura efetiva, ou seja, X = h e! / t e| . A NBR 10837 apresenta, para esse parâmetro, os valores limites que estão organizados na tabela 5.5. Tabela 5.5 - índices máximos de esbeltez da NBR 10837. Tipo de Alvenaria Não-armada Armada Não-estrutural Elemento Paredes Pilares Pilares isolados Paredes e pilares Paredes Esbeltez 20 20 15 30 36 Já de acordo c o m a BS 5628, o coeficiente de esbeltez X não deve ultrapassar 27, exceto nos casos de paredes com espessuras inferiores a 90 m m e e m edifícios com mais de dois andares, para os quais não deve ultrapassar 20. É interessante se ressaltar que a BS 5628 permite a execução de paredes b e m mais esbeltas que a NBR 10837. Além do limite de ?. ser maior, existe a possibilidade de se considerar como altura efetiva 7 5 % da altura real, o que representa uma diferença total de 80%. Por exemplo, se considerarmos u m bloco de 14 c m de largura, a máxima altura de uma parede usual para u m edifício residencial seria 2,80 m, de acordo c o m a NBR 10837. Já de acordo c o m a BS 5628, esse valor da altura máxima seria de aproximadamente 5,00 m. É claro que se trata apenas de u m limite construtivo. Obviamente que e m casos e m que a esbeltez é elevada a redução da resistência da parede será b e m significativa. 5 . 3 . 4 COMPRIMENTO EFETIVO DE ABAS EM PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO Conforme já foi mencionado, abas são trechos de paredes transversais ligados a um determinado painel de contraventamento. As recomendações da NBR 10837 e do ACI 530 para a consideração do comprimento efetivo das abas são muito semelhantes. Na verdade, a norma brasileira é um pouco mais restritiva e suas recomendações um pouco mais complexas, pois dependem da altura da alvenaria sobre um determinado ponto considerado. Essas prescrições são as apresentadas nas equações 5.7 e na figura 5.6. 2 bf - h / 6 e b, < 61: para o caso de seção em T ou I b,-h/16 b, < 61: para o caso de seção em L ou C e ...(5.7) Já o ACI530 é mais prático sobre esse aspecto, especificando apenas que o comprimento efetivo das abas deve ser de seis vezes a espessura da parede para cada lado onde houver aba a ser considerada. Recomenda-se que essa seja a prescrição adotada, pois as recomendações da NBR 10837 tornam a consideração mais complexa, sem acrescentar qualquer benefício significativo. Figura 5.6 - Comprimento efetivo de abas. 5 . 3 . 5 TRECHOS RÍGIDOS PARA LINTÉIS Q u a n d o da distribuição de ações horizontais pelos painéis de contraventamento, mencionou-se a possibilidade de se considerar a dimensão finita dos encontros entre as paredes e os lintéis, na discretização de paredes com aberturas. Essa consideração pode ser feita através do estabelecimento de trechos rígidos para os lintéis. Na ausência de uma especificação especialmente voltada para a alvenaria, pode-se adotar a recomendação do CEB-FIP Model Code 199011, para estruturas de concreto armado, que se encontram apresentadas na figura 5.7. - I I h/2 - I I h/2 Figura 5.7 - Comprimentos de trechos rígidos para os lintéis. " Comitê Euro-lnternacional Du Béton (1991). Principais Parâmetros para o D i m e n s i o n a m e n t o de Elementos 5 . 4 PARÂMETROS DE RESISTÊNCIA PARA A L V E N A R I A O s parâmetros de resistência, quando se considera o ACI 530 e a NBR 10837, são tensões admissíveis. De fato, essas normas ainda são conceitualmente muito semelhantes, sendo que na verdade a NBR 10837 é uma adaptação do antigo ACI 531 - Building Code Requirements for Concrete Masonry Structures' 2 . A diferença conceituai mais significativa entre elas é o fato do ACI 530 considerar as tensões, tanto as atuantes quanto as resistentes, e m relação à área líquida, enquanto a NBR 10837 as considera em relação à área bruta. Entretanto, optou-se por apresentar aqui apenas os parâmetros definidos pela NBR 10837. Entende-se que uma comparação mais interessante será obtida c o m a consideração da BS 5628. A norma inglesa, por ser baseada no método dos estados limites, tem realmente diferenças conceituais muito mais acentuadas e m relação à NBR 10837. Assim, alguns parâmetros de resistência da B S 5628 é que serão resumidos e m item subseqüente. 5 . 4 . 1 PARÂMETROS DA N B R 10837 A tabela 5.6 faz um resumo das prescrições da NBR 10837 para as tensões admissíveis da alvenaria não-armada. De forma semelhante, a tabela 5.7 apresenta as prescrições para a alvenaria armada. Uma consideração importante pode ser feita e m relação à tabela 5.6. Percebe-se que existe a possibilidade de se adotar a resistência de paredes, medida e m ensaio normalizado pela NBR 8949 - Paredes de Alvenaria Estrutural - Ensaio à Compressão Simples 1 3 , para se obter a tensão admissível à compressão para a alvenaria não-armada. E os valores colocados confirmam o valor da eficiência parede-prisma como sendo 0,7. Além disso, através da comparação de valores prescritos nas tabelas 5.6 e 5.7, pode-se verificar que a contribuição da armadura para a resistência à compressão é pequena, apenas 1 2 % a mais no valor da tensão admissível. O u t r o d e t a l h e interessante a ser e s c l a r e c i d o s ã o as linhas que d ã o a t e n s ã o de cisalhamento admissível para o que na tabela 5.7 está sendo c h a m a d o de "pilar parede". Na verdade trata-se de paredes de contraventamento, painéis que recebem ações horizontais. Nesse caso, quando o momento M é relativamente grande e m relação à cortante V, o limite para a tensão de cisalhamento diminui. E o parâmetro escolhido para quantificar essa relação entre o momento e a cortante é o que aparece lá discriminado, ou seja, o momento fletor dividido pelo esforço cortante vezes a altura útil da seção transversal. ,2 American Concrete Institute (1979). ,3 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1985). Por fim, c o m relação à s tensões de contato, a figura 5.8 deve esclarecer a situação. S ã o valores de tensões admissíveis para serem usados e m casos de aplicação de cargas e m áreas relativamente pequenas, ocupando de 1 / 3 da espessura a toda espessura da parede. Nesse caso, devido aos efeitos de confinamento, a tensão admissível acaba sendo mais elevada d o q u e nos casos de cargas distribuídas por todo o comprimento da parede. Tabela 5.6 - Tensões admissíveis para alvenaria não-armada (NBR 10837). Tensão admissível (MPa) Tipo de solicitação 12,0 < t <17,0 Compressão Parede simples para todas as i l tensões de £ 2. cisalhamento 6.2 f. - Vxd Pilares parede o c 0 E CO .c 1 O 0.33 f r S 6.2 - Vigas Peças ílelidas sem armadura Valor máximo (MPa) Vigas s® 0.25 773 V31 ou x' > 50 mm V31 < x* < t Figura 5.8 - Aplicação de cargas em áreas relativamente pequenas. Para encerrar os parâmetros de resistência da NBR 10837, a tabela 5.8 apresenta os valores de tensões admissíveis para as armaduras. Pela observação dos valores lá apresentados se percebe por que a contribuição do aço na compressão é tão pequena. Ocorre que os valores das tensões admissíveis são realmente muito baixos, pelo menos quando comparados aos que são utilizados no concreto armado, por exemplo. Tabela 5.8 - Tensões admissíveis no aço (NBR 10837). Solicitação Tração Armadura Tensão admissível (MPa) Barras com mossas, F* >412 MPa e

o ra <0 ca ro u o K) c o in o o o d C3 ca o 8 b 4 Argamassa tipo (i) Argamassa tipo (il) 2 Argamassa tipo (iii) 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Resist. à compressão da unidade (MPa) Figura 5.9 - Gráfico de resistência característica da alvenaria não-armada - BS 5628. Então, os valores característicos precisam ser multiplicados e divididos por coeficientes adequados para se obter os valores de cálculo, ou valores de projeto. No caso da resistência à compressão de paredes, para se obter os valores de cálculo, deve-se utilizar a expressão 5.8. ...(5.8) Em que, f d : resistência à compressão de cálculo p : fator de redução devido à esbeltez e à excentricidade y m : coeficiente de segurança parcial para o material O coeficiente p pode ser obtido da tabela 5.9, em função do coeficiente de esbeltez X e da excentricidade e x , que é devida ao carregamento. Tabela 5.9 - Coeficiente p - BS 5628. Esbeltez Excentricidade das cargas no topo da parede, e, A = h rf / S0.05 t 0,1 t 0.2 t 0 1,00 0,88 0,66 0,3 t 0,44 6 1,00 0,88 0,66 0,44 8 1,00 0,88 0,66 0,44 10 0,97 0,88 0,66 0,44 12 0,93 0,87 0,66 0,44 14 0,89 0,83 0,66 0,44 16 0,83 0,77 0,64 0,44 18 0,77 0,70 0,57 0,44 20 0,70 0,64 0,51 0,37 22 0,62 0,56 0,43 0,30 24 0,53 0,47 0,34 26 0,45 0,38 - - 27 0,40 0,33 - - • O valor de e , < 1 2 9 0 f p , e concluíram que algumas normas estrangeiras superestimam os valores de E1tv e G r v , adotando ç = 1000. Como valor de referência, é proposto o valor Ç = 750 para alvenaria de blocos de concreto e Ç = 500 a 600 para alvenaria de tijolos cerâmicos. Amrhein (1998) utiliza ç = 750 para o cálculo do módulo de elasticidade, tanto na resolução de exemplos como t a m b é m na confecção de ábacos e tabelas, e o texto da ABCI (1990) sugere o uso de E alv = 1000 f p . Além de todos esses números, a NBR 10837 apresenta valores ainda mais discrepantes, pois prescreve 400 f„ para o módulo de deformação longitudinal e 200 f p para o módulo de deformação transversal para blocos de concreto. Conforme se pode verificar, as sugestões para os valores do módulo de deformação da alvenaria são bastante diversas. A opinião do autor deste texto é que sejam adotados os valores constantes na tabela 5.11. Tabela 5.11 - Módulos de deformação da alvenaria. Bloco Concreto Cerâmico 14 Módulo de deformação Longitudinal E * (MPa) Valor máximo (MPa) soo r p 16.000 Transversal 400 fp 6.000 Longitudinal 600 fp 12.000 Transversal 300 fP 4.500 DRYSDALE. R. G. (1994) Masonry structures: behavior and design. 6.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo são apresentados os principais procedimentos para o dimensionamento de elementos de alvenaria. Para não se estender demais esses tópicos, serão normalmente considerados apenas os procedimentos prescritos pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 1 . Em muitos casos, nos quais isso for interessante, serão mencionadas e discutidas as recomendações do ACI 530 - Building Code Requirements for Masonry Structures 2 e pela BS 5628 - Code of Practice for Use of Masonry 3 , sempre no sentido de estabelecer comparações e apresentar sugestões sobre possíveis aprimoramentos a serem oportunamente agregados à NBR 10837. Neste texto, optou-se por apresentar o s dimensionamentos pelo ponto de vista das solicitações, e não dos elementos em si. Esta opção pareceu mais conveniente, pois elementos do mesmo tipo podem estar submetidos a solicitações variadas, dependendo dos casos específicos que se considere. Por exemplo, uma parede pode estar submetida desde a uma compressão simples até a uma flexão composta oblíqua. De fato, deve-se considerar que na realidade quase todos os elementos presentes numa estrutura acabam sendo submetidos a um estado combinado de solicitações. Paredes submetidas à compressão simples na realidade não existem, pois as excentricidades inevitáveis nas aplicações dos carregamentos têm como conseqüência uma solicitação mais complexa do que a que se imagina inicialmente. O que se admite é que sendo uma dessas solicitações muito pequena em relação às demais, ela possa ser desconsiderada e, por simplicidade, um determinado elemento possa ser dimensionado com segurança através de um procedimento mais simples. Mesmo assim, no início de cada item se apresentam algumas indicações sobre quais elementos são com mais freqüência submetidos àquela solicitação considerada. O objetivo é realizar a ligação entre a solicitação analisada e a situação de projeto na qual ela é provavelmente mais importante. 6.2 COMPRESSÃO SIMPLES A compressão é a solicitação mais comum e a mais simples de ser considerada. No capítulo anterior foram discutidas todas as prescrições necessárias ao dimensionamento de elementos sob compressão simples. Até mesmo o procedimento da BS 5628, uma norma que se baseia nos estados limites, foi discutido com detalhes suficientes para a sua correta aplicação. Portanto, restaria a este item apenas a apresentação de exemplos de dimensionamento. Entretanto, 1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). 2 American Concrete Instituto (1992). 3 Britsh Standards Inslitution (1992). C A P Í T U L O Dimensionamento de Elementos 6 optou-se pela realização de uma comparação entre os dimensionamentos efetuados c o m a NBR 10837, o ACI 530 e a BS 5628, de forma a se verificar as principais vantagens e desvantagens, tanto em relação à economia obtida quanto à complexidade desses procedimentos. Os elementos comumente considerados como submetidos à compressão simples são as paredes e os pilares, sejam eles armados ou não. Dessa forma, fica evidente a importância desse tipo de dimensionamento, já que paredes e pilares são os elementos mais importantes em qualquer estrutura de edifício de alvenaria. Aliás, para edifícios de altura relativamente reduzida, até seis pavimentos em casos usuais, esse é o único dimensionamento necessário na prática. Nem mesmo as vergas sobre aberturas de janelas e portas com vãos convencionais precisariam de fato ser verificadas. Normalmente, qualquer armadura construtiva adotada é suficiente para se garantir a resistência necessária. 6 . 2 . 1 TENSÃO ATUANTE A tensão atuante e m elementos comprimidos será sempre a carga dividida pela área da seção transversal desse elemento. A NBR 10837 e a BS 5628 trabalham com a área bruta da seção dos elementos, portanto desconsiderando a existência de vazios. Já o ACI 530 considera a área líquida, e dessa forma a área da seção transversal deve ser calculada descontando-se a área de vazios. A tensão atuante não sofre nenhuma correção quando o dimensionamento se dá segundo a NBR 10837 e o ACI 530. Essas normas, sendo baseadas no método das tensões admissíveis, não prevêem coeficientes de segurança parciais a serem aplicados aos carregamentos. Toda a segurança está embutida no próprio valor da tensão admissível. Já com a BS 5628 ocorre uma situação diferente. Nesse caso, existem coeficientes parciais de segurança a serem aplicados aos carregamentos, transformando-os de valores característicos e m valores de cálculo. Um resumo dos valores de y, apresentados por essa norma podem ser vistos na tabela 6.1. Tabela 6.1 - Valores de coeficientes parciais de segurança para ações (yf). Combinação Permanente e variável Permanente e vento Permanente, variável e vento Dano acidental Permanente 0,9 ou 1,4 0,9 ou 1,4 1.2 0,95 ou 1,05 Carregamentos Variável Vento 1,6 1.4 1.2 1.2 0,35 Terra/Agua 1.4 1.4 1.2 0,35 6 . 2 . 2 COMPARAÇÃO DE DIMENSIONAMENTOS Não é muito fácil produzir uma comparação consistente de dimensionamentos obtidos pela NBR 10837 e o ACI 530 c o m o resultante da BS 5628. Entretanto, neste item procurar-se-á obter a máxima tensão de compressão à qual pode estar submetida uma parede não-armada de alvenaria estrutural c o m as seguintes condições: Dimensionamento de Elementos a) espessura 14 cm; b) alturas 240, 260 e 280 cm; c) resistência média de prisma de 8 MPa; d) resistência característica de parede de 4,7 MPa; e) contraventamento por laje de concreto armado na base e no topo; f) tensão atuante para 80% de cargas permanentes e 2 0 % de cargas variáveis; g) excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. Essas condições especificadas são típicas para as situações normalmente encontradas em edificações residenciais no Brasil. Através delas obter-se-á um panorama interessante sobre os resultados a serem alcançados pelo dimensionamento segundo as três normas mencionadas. Existe um ponto relativamente polêmico a ser destacado. Trata-se da resistência característica da parede, o parâmetro básico para o dimensionamento segundo a BS 5628, a ser obtida com base na resistência média de prisma. Pode-se adotar, com razoável segurança, que a relação entre a resistência de parede e a resistência de prisma seja 0,7. Isso faria com que 8 MPa para a resistência média de prisma representasse uma resistência média de parede de 5,6 MPa. Além disso, a própria BS 5628 menciona que se pode obter a resistência característica de uma parede dividindo-se a resistência média obtida para dois exemplares ensaiados por 1,2. Portanto, se a resistência média de parede for 5,6 MPa, a sua resistência característica pode ser suposta como sendo da ordem de 4,7 MPa, o valor adotado para as simulações apresentadas. Um último detalhe a ser esclarecido é sobre o coeficiente parcial de segurança a ser adotado para o carregamento, y|( também no caso da BS 5628. Considerando-se a relação entre cargas permanentes e variáveis admitida para o carregamento, pode-se estimá-lo em 1,45, tomandose em consideração os valores apresentados na tabela 6.1. Um resultado parcial interessante é o valor do coeficiente de redução da tensão relativo à esbeltez. A tabela 6.2 apresenta um resumo desses valores para as três alturas de parede adotadas e para as três normas analisadas. Através dela pode-se observar que, apesar das peculiaridades de cada código até mesmo em relação à altura efetiva que deve ser considerada, os valores não são muito díspares, pelo menos quando se toma a NDR 10G37 e a D3 GG28. O ACI 530 é que prescreve alguns valores um pouco mais conservadores. Finalmente, a tabela 6.3 resume os resultados obtidos para a referida tensão máxima que pode ser aplicada na parede segundo as condições anteriormente especificadas. Uma observação dos resultados obtidos permite perceber que a BS 5628 fornece resultados bem mais conservadores que o ACI 530 ou mesmo a NBR 10837. Mesmo considerandose o controle especial tanto para a manufatura das unidades como para a execução da obra, as diferenças chegam a 20% em relação à NBR 10837 e a 30% em relação ao ACI 530. A extensa utilização da NBR 10837, e também do ACI 530, não traz evidências de que a segurança esteja sendo minimizada por esses dois códigos. Então, parece ser o caso de se imaginar que a BS 5628 poderia reduzir u m pouco seus coeficientes. Especialmente o coeficiente ym parece u m pouco exagerado, quando se considera que está aplicado sobre uma resistência característica de parede. Se sua faixa de variação fosse alterada para algo entre 1,8 e 2,3, provavelmente os resultados obtidos continuariam a ser seguros e poderiam ser considerados mais satisfatórios. Quanto à utilização em si, os procedimentos baseados nas tensões admissíveis são realmente mais simples de ser aplicados. Entretanto, até mesmo considerando-se as normas existentes para os demais materiais utilizados e m estruturas, a tendência aos estados limites parece ser irreversível. Ademais, a maior complexidade da BS 5628 não compromete a sua correta utilização, especialmente quando se dispõe de recursos computacionais fartos e relativamente baratos para viabilizá-la. Tabela 6.2 - Coeficiente de redução devido à esbeltez. Altura parede (cm) NBR 10837 ACI 530 BS 5628* 240 260 0,921 0,900 0,820 0,789 0,905 0,888 280 0,875 0,755 0,860 'Obs.: excentricidade das cargas menor ou igual a 5% da espessura. Tabela 6.3 - Máxima tensão na área bruta para a parede exemplo (MPa). Altura (cm) NBR 10837 ACI 530 BS 5628 Controle normal* BS 5628 Controle especial* 240 1,474 1,640 0,838 1,173 260 1,440 1,578 0,822 1,151 1,400 1,510 0,796 1,115 280 'Obs.: tipo de controle tanto para as unidades quanto para a construção. 6.3 FLEXÃO SIMPLES Vigas e vergas são elementos estruturais lineares destinados a suportar e transmitir ações verticais mediante u m comportamento predominante de flexão. Normalmente utiliza-se o termo verga quando o elemento estrutural está colocado sobre vãos de aberturas de portas e janelas. E esses são os elementos mais comuns que estão submetidos à flexão simples numa edificação de alvenaria estrutural. Entretanto, muros de arrimo e paredes de reservatório, que t a m b é m são e l e m e n t o s e n c o n t r a d o s c o m muita f r e q ü ê n c i a n e s s a s edificações, p o d e m ser considerados como submetidos à flexão simples, bastando que as tensões de compressão sejam relativamente pequenas e m relação às de flexão. Portanto, a flexão simples pode ser considerada uma solicitação bastante importante e c o m u m e m edificações de alvenaria. Provavelmente a mais comum, logo após os casos de compressão. Por fim, menciona-se que a notação adotada para os equacionamentos aqui apresentados, sempre que possível, baseia-se na notação utilizada pela NBR 10837. Pretende-se, dessa forma, facilitar a sua utilização, tornando mais direta a identificação das variáveis presentes. 6 . 3 . 1 DIFERENÇAS CONCEITUAIS ENTRE A N B R 1 0 8 3 7 E A B S 5628 No Brasil, a diferença básica entre a análise de elementos de alvenaria estrutural e de concreto a r m a d o está no modelo de cálculo adotado para cada material. A NBR 6118 - Projeto e execução de obras de concreto armado 4 , que utiliza o método dos estados limites, admite, por exemplo, a possibilidade da plastificação da armadura ou deformações no concreto iguais às convencionais de ruptura, na situação última de cálculo. Já a NBR 10837, que adota o método das tensões admissíveis, busca garantir distância apropriada entre as tensões atuantes e as que provocam o escoamento ou ruptura dos materiais. Nesse método, as tensões resistentes devem ser calculadas admitindo comportamento elástico e linear do material. Assim, no caso de elementos fletidos, enquanto o concreto normalmente é suposto trabalhando no Estádio III, a NBR 10837, que fixa as hipóteses de cálculo e m alvenaria, especifica que os mesmos devem ser calculados no Estádio II. Já a BS 5628, que também trabalha com estados limites, acaba admitindo para a alvenaria um comportamento muito semelhante ao do concreto armado. Dessa forma, conforme já se explicou no início deste capítulo, aqui serão apresentadas as hipóteses básicas da NBR 10837, e o equacionamento desenvolvido tomará por base as suas considerações. Se o enfoque fosse o d a BS 5628, todo o equacionamento seria o m e s m o já tradicionalmente apresentado para a flexão simples de elementos de concreto armado. Até m e s m o tabelas e á b a c o s desenvolvidos para o concreto p o d e r i a m ser utilizados, bastando tomar a resistência à compressão adequada. No caso, a BS 5628 menciona que a resistência à compressão da alvenaria na flexão deve ser a metade da prescrita para compressão simples. 6 . 3 . 2 HIPÓTESES BÁSICAS DA N B R 10837 O item 5.2.2 da NBR 10837 é que fixa as hipóteses de cálculo dos elementos fletidos. Para maior clareza, apresentam-se as suas prescrições, que são as seguintes: "...Os componentes fletidos são calculados no Estádio II. Nestes cálculos, as hipóteses básicas são as seguintes: a) a seção que é plana antes de se fletir permanece plana após a flexão; b) o módulo de deformação da alvenaria e d a armadura permanece constante; 4 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). c) as armaduras são completamente envolvidas pelo graute pelos elementos constituintes da alvenaria, de modo que a m b o s trabalhem como material homogêneo dentro dos limites das tensões admissíveis". É interessante ressaltar que no Estádio II supõe-se que a alvenaria não suporte tensões de tração, que deve ser totalmente resistida pelas armaduras. Além disso, o comportamento dos materiais é admitido como sendo linear, ou seja, supõe-se aplicável a lei de Hooke, até os limites admissíveis das tensões. 6 . 3 . 3 EQUACIONAMENTO BÁSICO O equacionamento necessário para a análise de seções submetidas à flexão reta simples, pelo método das tensões admissíveis, pode ser realizado a partir das hipóteses básicas deste método, apresentadas anteriormente. Busca-se conhecer a situação deformada da seção, que pode ser caracterizada pela posição da linha neutra e pela inclinação do plano da seção após a aplicação da solicitação. A figura 6.1 apresenta alguns dos principais parâmetros necessários ao equacionamento mencionado. Figura 6.1 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Simples. As distâncias x e z. respectivamente profundidade da linha neutra e braço entre as resultantes no aço e na alvenaria, serão referenciadas por parâmetros adimensionais k, e k^, relacionados à altura útil: ...(6.1) ...(6.2) Além disso, serão utilizadas duas grandezas auxiliares: a razão de tensões m e a razão modular n. Elas são definidas como: =m ...(6.3) =n ...(6.4) em que f5 e f a l v são as tensões atuantes no aço e na alvenaria. E s e EaJv os módulos de deformação do aço e da alvenaria, respectivamente. O primeiro passo para o equacionamento propriamente dito pode ser a aplicação da lei de Hooke para as tensões atuantes no aço e na alvenaria: ...(6.5) f aV= E *v e a Já a compatibilidade de deformações, de acordo com a hipótese de a seção permanecer plana após a deformação, exige que: _ d - x 1 -k x " k ...(6.6) Utilizando-se a condição de equilíbrio da flexão simples, ou seja, força normal igual a zero, pode-se escrever: ...(6.7) Define-se a taxa geométrica de armadura através da relação: p= bd ...(6.8) Portanto, levando-se em conta as equações 6.3, 6.7 e 6.8, pode-se escrever: m= 2p ...(6.9) Já pela divisão, membro a membro, das equações 6.5, chega-se a: L ...(6.10) Assim, substituindo-se em 6.10 as relações 6.4, 6.6 e 6.9 obtém-se a equação de segundo grau: Kx?+ 2npkx- 2np = 0 ...(6.11) Resolvendo-se a equação e tomando apenas a raiz que interessa, chega-se à posição da linha neutra, dada por: k< = -pn + V(P n ) 2 + 2pn ...(6.12) A área de armadura e a máxima tensão atuante, na alvenaria e nas armaduras, podem ser obtidas pela equivalência do momento fletor atuante e o produzido pelas resultantes de tração e compressão na seção. Considerando-se a resultante de tração na armadura, pode-se escrever: M = fs As k. d ...(6.13) Então, a tensão na armadura iguala-se a: M f = ...(6.14) E a área de aço resulta em: a _ 1 _M ' f.k. d M_ k = * d em que. f ...(6.15) A De maneira semelhante, pode-se calcular a máxima tensão na alvenaria, a partir do momento atuante: M ^ i ^ f ^ b (M)(kid) bf. ...(6.16) em que. Então, pode-se escrever o valor de fa.v, a máxima tensão na alvenaria: f * _ 2 M kx kz bd:' Mas, considerando-se a equação 6.2, o parâmetro k k. = LM3-k) ...(6.17) pode ser também igualado a: ...(6.18) É também interessante se expressar kx e a taxa geométrica de armadura p em função dos parâmetros m e n, o que pode ser realizado tomando-se as equações 6.4 e 6.6 e substituindo-se em 6.10. Assim se obtém: kx = n n+m ...(6.19) Então, utilizando-se a equação 6.9, chega-se a: P= 6.3.4 2m (m + n) ...(6.20) DIMENSIONAMENTO BALANCEADO A situação de dimensionamento balanceado, que corresponde ao melhor aproveitamento dos materiais, é obtida q u a n d o a tensão atuante na alvenaria é igual à tensão admissível à compressão na flexão e a tensão atuante no aço é igual à tensão admissível à tração: Nesse caso, a posição da linha neutra e a taxa de armadura podem ser facilmente obtidas c o m as relações 6.19 e 6.20: ...(6.21) " n + m. P.,= 2mti (m. + n) ...(6.22) A altura útil correspondente a este dimensionamento é obtida através da reorganização da equação 6.16, com a utilização da tensão admissível à compressão na flexão para a alvenaria: M 4> K> x E m que 6.3.5 ...(6.23) Krt. b x f irfv.l corresponde ao dimensionamento balanceado. DIMENSIONAMENTO SUBARMADO No dimensionamento subarmado, que ocorre quando a altura útil disponível é maior ou igual à necessária ao dimensionamento balanceado, d • d b , não são conhecidas, de início, as tensões desenvolvidas na alvenaria, sendo que apenas o aço estará submetido à tensão admissível, ou seja: Então, deve ser utilizado um processo iterativo para a determinação da posição da linha neutra e da área de aço necessária ao elemento. Esse procedimento pode ser realizado c o m o auxílio da planilha de cálculo apresentada na tabela 6.4. O processo iterativo pode ser iniciado c o m o valor de prosseguindo até a convergência deste parâmetro, ou seja, quando a diferença entre a última e a primeira coluna estiver dentro de uma margem considerada satisfatória. Tabela 6.4 - Flexão de seções subarmadas. / k. 1 2 kit» k„= -pn*V(Pn), + 2pn K . K * — > — > — > — > — > — > — > — » — » — > — > — » — > —> — > — > — > Observe-se que ao final deve-se verificar a tensão atuante na alvenaria, com o emprego da equação 6.17, de forma a se garantir que seu valor seja menor que o limite admissível. 6.3.6 DIMENSIONAMENTO SUPERARMADO Caso a altura útil seja menor que a do dimensionamento balanceado, ou seja, d < d^, uma das opções que se pode adotar é o dimensionamento superarmado, no qual a tensão admissível da alvenaria é atingida antes que a do aço. Portanto, tem-se: 'a* ~ ^Ar.l Então, utilizando-se a equação 6.16, com a expressão de kalw que aparece em 6.18, e o valor limite para f a v , obtém-se: ...(6.24) Dessa forma, reorganizando-se a expressão 6.24, obtém-se a equação de segundo grau: t x F f alv.l ...(6.25) Assim, após a determinação de k x 5 , e o correspondente k^ através da equação 6.2, o objetivo é o cálculo da área de aço necessária. Isso pode ser feito através da equação 6.26, obtida quando se isola o valor de m da equação 6.19 e se substitui na expressão 6.9. P=- 2 n (1 - k,) ...(6.26) É claro que, determinada a taxa geométrica de armadura, o valor de A s pode ser encontrado pela equação 6.8. Um último detalhe diz respeito à verificação da tensão no aço. Isso pode ser feito pela equação 6.14, ou seja: f = 6.3.7 M A M "fw ...(6.27) DIMENSIONAMENTO COM ARMADURA DUPLA O dimensionamento da seção retangular com armadura dupla é realizado determinandose inicialmente a parcela do momento fletor que é absorvida pela seção considerando-se armadura simples e dimensionamento balanceado, M 0 , e a correspondente parcela complementar, DM. Esta segunda parcela deve ser absorvida por um binário de forças resultantes de armaduras adicionais, uma tracionada e outra comprimida. 6 A determinação é feita escolhendo-se a raiz da equação que tenha siginificado físico. , / L ) X d-x / ÍWxb X/-5 A/ • W d-d" z — * — Figura 6.2 - Seção Retangular - Flexão Simples - Armadura Dupla. O momento M pode ser obtido da equação 6.16 quando se utiliza f igual ao limite admissível, ou seja: bd 2 M0 = U i ~2 ...(6.28) A correspondente armadura tracionada pode ser obtida da equação 6.15, adotando-se os valores de M 0 e da tensão admissível do aço: 1 LK «,1 Mo ...(6.29) 6 Ib A parcela complementar do momento AM = M - M 0 , pode ser igualada ao momento produzido pelo binário de forças das armaduras adicionais, A., na região tracionada e A..' na região comprimida. Sabe-se, de antemão, que a tensão na armadura tracionada correspondente ao valor para o dimensionamento balanceado, ou seja, é o valor admissível. A tensão na armadura comprimida pode ser obtida através da compatibilidade de deformações, com o auxílio da figura 6.2. x - d' ...(6.30) x-d Da lei de Hooke e da condição de x-d s 4 x- d , obtém-se a tensão na armadura comprimida. ...(6.31) Por equivalência estática do momento complementar com as forças de tração e compressão nas armaduras, considerando-se d - d' o braço de alavanca, obtêm-se as áreas de armadura As2 e A s '. AM _ R A . A^ (d - d') = fs' Au' (d - d') AM AM AM x d - x x 1 f 5 (d - d') " (d - d ' ) " x - d' í, ...(6.32) ...(6.33) ...(6.34) A área de armadura tracionada para o dimensionamento com armadura dupla é igual à soma das parcelas A s l e A r 2 . ...(6.35) 6.4 CISALHAMENTO O cisalhamento ocorre normalmente em conjunto com a solicitação por momento fletor. Vergas, vigas ou paredes que participam do sistema de contraventamento são os elementos nos quais o cisalhamento deve ser usualmente verificado. Essa solicitação também ocorre em paredes de arrimo ou de reservatórios, mas, devido ao fato de esses elementos trabalharem segundo a direção de menor inércia, é muito pouco provável que nesses casos ocorram tensões cisalhantes que ultrapassem os limites admissíveis. 6 . 4 . 1 TENSÕES ATUANTES A NBR 10837 é bastante confusa quando se trata de definir a tensão de cisalhamento atuante. Por exemplo, para elementos de alvenaria não-armada. utiliza expressões como "esforço cortante horizontal" sem que essa direção "horizontal" esteja direta ou indiretamente definida. Ainda apresenta expressões conflitantes, confundindo comprimento da seção com altura útil para o caso das alvenarias armadas. Além disso, se refere à variável utilizada para o cálculo da tensão atuante, t a l v , c o m o " t e n s ã o d e c i s a l h a m e n t o d e r e f e r ê n c i a , p a r a e l e m e n t o s de a l v e n a r i a n ã o armada, e como "tensão convencional de cisalhamento", para elementos de alvenaria armada. Enfim, não contribui em nada para elucidar a correta aplicação de seus preceitos. Para se colocar o cálculo da tensão de cisalhamento atuante em peças de alvenaria em termos claros, o que se pode recomendar é que para elementos não-armados se utilize a expressão: V ...(6.36) Em que, V: esforço cortante A: área da seção transversal do elemento Já para os elementos com armaduras longitudinais, pode-se tomar o seguinte valor: T_V. = V bd ...(6.37) Em que, V: esforço cortante b: largura da seção d: altura útil, ou seja, distância da face comprimida ao centróide das armaduras tracionadas Como referência interessante, menciona-se que a BS 5628 adota sempre a tensão atuante como sendo a força cortante dividida pela área da seção transversal, mesmo no caso de alvenarias armadas. É uma posição defensável e pode ser adotada mesmo por quem pretende utilizar os valores limites recomendados pela NBR 10837. Nesse caso a expressão 6.36 poderia ser considerada tanto para alvenaria armada como para alvenaria não-armada. Já o ACI 530 recomenda que a tensão atuante seja calculada da forma apresentada pela expressão 6.36. ou seja, força cortante divida pela área, apenas quando parte da seção transversal estiver submetida a tensões normais de tração. Caso a seção apresente apenas tensões de compressão, a tensão de cisalhamento atuante deve ser calculada pela expressão tradicional da resistência dos materiais, força cortante vezes momento estático, divididos pela espessura e pelo momento de inércia à flexão. Como última recomendação importante, deve-se observar que no caso de seção transversal em forma de T, I ou L, as abas não devem ser consideradas no cálculo da tensão de cisalhamento. Todo o cisalhamento deve ser absorvido pela alma da seção transversal do elemento. 6 . 4 . 2 DIMENSIONAMENTO COM OU SEM ARMADURAS Apesar de muito confusa na definição da tensão atuante, a verificação e o dimensionamento são fáceis e rápidos de ser realizados pela NBR 10837. Isso pode ser verificado pelo exame da tabela resumo apresentada no capítulo anterior. Para o caso de elementos não-armados. por exemplo paredes do sistema de contraventamento que não tenham armaduras verticais, os limites são absolutos: 0,15 MPa e 0,25 MPa, respectivamente para o caso de argamassas entre 5 e 12 MPa ou 12 e 17 MPa. Portanto, basta comparar o T, obtido com esses limites. alv No caso de elementos de alvenaria armada, deve-se fazer uma distinção entre peças fletidas sem armadura para resistir às tensões de cisalhamento e aquelas que possuem armaduras para resistir a toda tensão de cisalhamento atuante. Dentro de cada um desses grupos ainda é importante se destacar o caso de vigas ou vergas e o caso de pilares paredes. Mais especificamente ainda, para pilares parede, ainda há duas condições: a situação em que o momento fletor é preponderante e a situação em que a força cortante é preponderante. Entretanto, localizado o valor a ser utilizado para o elemento e a circunstância específica que se analisa, não existe nenhuma outra dificuldade a ser considerada pois todos os valores sâo simplesmente definidos em função da raiz quadrada da resistência de prisma. Basta, como no caso das alvenarias não-armadas, comparar o valor de xaV com o limite adequado. 6 . 4 . 3 CÁLCULO DA ÁREA E DISPOSIÇÃO DAS ARMADURAS PARA O CISALHAMENTO Se for necessário prever a utilização de armadura específica para o combate às tensões de cisalhamento, ela pode ser determinada mediante a aplicação da analogia de treliça, como se ilustra de forma genérica na figura 6.3. As bielas de compressão são admitidas com inclinação (3, enquanto as armaduras estão inclinadas de a, sempre em relação ao eixo longitudinal da peça. biela de concreto armadura média A § w a Biela de Compressão Figura 6.3 - Analogia de treliça. A força resultante na a r m a d u r a média, V/sencz, deve ser absorvida pelo conjunto de barras dispostas no comprimento z(cot« + cotfi). Assim sendo, pode-se escrever: V _ z (cota + cotp) sena A j ...(6.38) Então, a armadura transversal é dada por: A =. Vs f s l z (cota + cotp) sena ...(6.39) Admitindo-se que as bielas tenham inclinação (5 = 45° e aproximando z por d a expressão anterior ganha a seguinte redação: A, =. Vs f M d (cota + sena) ...(6.40) Se forem utilizados apenas estribos a 90°, a armadura de cisalhamento necessária será: A 4W" = -V§_ ...(6.41) Essas duas últimas expressões t a m b é m estão presentes na NBR 10837. Na verdade é quase impossível, para os casos usuais, se prescrever armaduras c o m inclinações diferentes de 90°. Portanto, a expressão 6.41 é que realmente tem importância prática para o problema. Para a correta utilização da expressão 6.41, deve-se lembrar que o espaçamento "s" precisa ser considerado e m relação à dimensão dos blocos, pois é totalmente inadequado se prever furos para a colocação das armaduras. Assim, o correto é se adotarem espaçamentos de 20 e 40 c m para blocos de comprimento múltiplo de 2 0 cm, ou espaçamentos de 15 e 30 cm, quando da utilização de blocos de comprimento múltiplo de 15 cm. Além disso, a tensão admissível do aço deve se limitar aos valores apresentados na tabela correspondente do capítulo anterior. Essa observação é importante, pois a NBR 10837 limita essa tensão a valores relativamente baixos, 165 MPa para os casos usuais. Finalmente, ainda c o m respeito à disposição das armaduras, deve-se lembrar que a NBR 10837 especifica que cada linha de fissura potencial precisa ser atravessada por pelo menos uma barra da armadura transversal. Com base nessa prescrição, a figura 6.4 apresenta os espaçamentos máximos a serem observados tanto para o caso dos estribos quanto para as barras dobradas a 45°. O limite de 30 cm é adotado por analogia às prescrições para as peças de concreto armado, fissura fissura Figura 6.4 - Espaçamento mínimo para barras de armaduras transversais. 6.5 FLEXÃO COMPOSTA A flexão composta, em que ocorre interação entre carregamento axial e momentos fletores, é t a m b é m uma solicitação muito c o m u m e m elementos de alvenaria estrutural, particularmente q u a n d o se a n a l i s a m estruturas portantes d e edifícios. Nestes, a l é m de s u p o r t a r as cargas gravitacionais, as paredes que fazem parte do sistema de contraventamento lateral resistem às ações horizontais provenientes do vento e do desaprumo. Este tipo de solicitação t a m b é m ocorre em elementos sujeitos a cargas verticais atuando conjuntamente com ações laterais provenientes do empuxo do solo ou da água, e ainda quando o carregamento vertical é excêntrico e m relação ao eixo do elemento. 6 . 5 . 1 SOLICITAÇÕES COMBINADAS SEGUNDO A N B R 10837 A primeira verificação a ser feita q u a n d o se analisa uma seção submetida à flexão composta é a respeito de eventuais tensões de tração que possam ocorrer. Essa verificação é feita através da seguinte expressão: ...(6.42) E m que, f i l v f : tensão atuante devida à flexão f i l v c : tensão atuante devida à compressão f : tensão admissível à tração da alvenaria não-armada (normal à fiada) Se a relação 6.42 for atendida, isso significa que a seção transversal estará submetida a tensões menores que aquelas que podem ser resistidas pela alvenaria não-armada. Nesse caso, não será realmente necessário se lançar mão de armaduras para resistir a essas tensões, bastando para tanto verificar as tensões de compressão conforme as expressões 6.43 ou 6.44 apresentadas a seguir. Em caso contrário, quando a tensão admissível de tração é ultrapassada, deve-se providenciar armaduras para absorvê-la. Então, será necessário considerar o equacionamento apresentado no item subseqüente para se conseguir a solução do problema. É interessante observar-se que na relação 6.42 a NBR 10837 está implicitamente admitindo que 75% das cargas verticais são permanentes. Tal consideração é, em muitos casos, conservadora. Para edifícios residenciais essa parcela varia de 80% a 85%. Pode-se considerar que é razoável verificar em cada caso qual a parcela de carga permanente e utilizá-la na verificação da tração. Exista ou não tensão de tração acima do limite admissível, as tensões de compressão advindas dos carregamentos combinados devem satisfazer a uma das expressões de interação apresentadas a seguir. Quando para o cálculo das tensões atuantes estiverem sendo consideradas apenas as cargas permanentes e ações variáveis, a verificação será feita através da relação: <1,00 nt/.c f ...{6.43) Em que, r v c : tensão de compressão atuante W • t e n s ã o admissível à compressão f . : tensão de flexão atuante f a y f : tensão admissível de flexão Caso a ação dos ventos também esteja sendo considerada na combinação, a NBR 10837 prescreve que o limite das tensões pode ser acrescido de 33%. Isso significa verificar a combinação através da relação: «V.l < 1.33 ...(6.44) 6 . 5 . 2 EQUACIONAMENTO BÁSICO Quando as tensões de tração ultrapassarem o valor admissível, de acordo com a verificação feita na expressão 6.42, a NBR 10837 prescreve que se deve prever a utilização de armaduras para resistir a essas tensões. É exatamente esse equacionamento que se apresenta neste item. Entretanto, é interessante ressaltar que a solução aqui apresentada é interessante quando as tensões devidas ao esforço normal são significativas em relação às que provêm da atuação do momento fletor. Se a flexão for muito preponderante, o ideal é calcular a armadura através do procedimento apresentado anteriormente para flexão simples, ou seja, ignorando-se a atuação conjunta dos esforços para o cálculo da armadura. Apenas a verificação da tensão de compressão seria realizada considerando-se a combinação dos esforços através das expressões 6.43 ou 6.44. A exemplo do verificado para o caso da flexão simples, o equacionamento da flexão composta no método das tensões admissíveis também é realizado a partir das hipóteses básicas deste método, como a seção que permanece plana após a flexão, a validade da lei de Hooke e o equilíbrio entre os esforços solicitantes e a resultante das tensões na alvenaria e no aço.Também aqui, o equacionamento será desenvolvido considerando-se, sempre que possível, a notação utilizada pela NBR 10837. A figura 6.5 apresenta um elemento submetido à flexão composta no qual as tensões de tração superam as de compressão geradas pela força normal solicitante. h/2 d m cr r q ü j Figura 6.5 - Flexão composta. Com base nos elementos geométricos apresentados na figura, pode-se escrever: c. = ...(6.45) ...(6.46) A tensão f a v , que aparece na figura 6.5, é a tensão total na alvenaria, ou seja, a soma da tensão devida à compressão e à flexão: 'ai* ~ 'ato + ...(6.47) O valor devido à compressão pode ser obtido simplesmente pela divisão da força normal atuante pela área da seção transversal: f = J L em que b: largura da seção bh ...(6.48) Já a tensão devida à flexão pode ser estimada através das expressões 6.43 ou 6.44, dependendo da combinação incluir ou não a ação do vento. Essa é a situação ideal para se obter o dimensionamento mais econômico nos casos usuais de flexão composta em edifícios, em que a tensão de compressão é normalmente significativa. Isso ocorre porque quanto maior a tensão na alvenaria menor a profundidade da linha neutra e isso tende a melhorar o aproveitamento da armadura. Dessa forma, quando a ação dos ventos não estiver sendo considerada, tem-se: ...(6.49) Já para o caso mais comum, pelo menos para os edifícios residenciais, no qual o momento é justamente provocado pela ação dos ventos, pode-se escrever: ...(6.50) Definida a tensão máxima na alvenaria, podem-se integrar as tensões de compressão no plano da seção transversal de forma a se determinar a resultante de compressão C, que é dada por: ...(6.51) Mas a força normal deve ser igual à diferença entre a resultante de compressão C e a tração T. Assim: T = C - N = -Í-IJJX-N ...(6.52) O momento fletor M, por sua vez, deve ser igual à soma das contribuições das forças de tração e compressão. Então, pode-se escrever: ...(6.53) C . C, + T . C, = M Introduzindo na equação anterior os valores de c,, c2 e o valor de C, dado pela equação 6.51, obtém-se: _Lf f jtacíi-4-l+í-í-fJW-NlíA.tf L l2 =M ...(6.54) Reorganizando a equação anterior, tendo como incógnita a profundidade x da linha neutra, obtém-se: 4 - í*bx 2 - 4 - t * b d x + M + N f-iL - tf! = 6 2 \2 J ...(6.55) Assim, a equação do segundo grau 6.55 pode ser escrita, de maneira sintética, como sendo: a2x2 + a,x + a0 = 0 ...(6.56) Em que, Resolvendo a equação 6.56, e tomando apenas a raiz que interessa, isso resulta: x _ • a< • V a » 2 ' 2a, 4a ? a 0 ...(6.57) É óbvio que o valor de x deve ser um número real, positivo e menor que a altura útil da seção. Se isso não ocorrer, o dimensionamento deve ser interrompido. Entretanto, se essas condições forem atendidas, resta estabelecer o valor da tensão de tração no aço. Isso pode ser feito através da utilização de outras hipóteses admitidas para o problema. A manutenção da seção plana permite escrever a seguinte equação de compatibilidade de deformações: ...(6.58) Através da multiplicação de ambos os membros da equação 6.58 pela razão modular, n = E s / E ^ , obtém-se: f ...(6.59) Então, explicitando a tensão na armadura de tração obtém-se: f ~d~x « A tensão no aço deve resultar menor que a tensão admissível, ...(6.60) Caso isso não ocorra, pode-se tentar reduzir a tensão fa. . e reiniciar o processo a partir da equação 6.51. Normalmente essa providência produz bons resultados. Com a redução da tensão de compressão na alvenaria para valores abaixo do máximo permitido, consegue-se reduzir também a tensão no aço, obtendose, como conseqüência, uma área de armadura maior que aquela que seria calculada inicialmente. Ao contrário, também pode ocorrer o caso em que o valor de fs calculado seja muito menor que o valor admissível. Então, a solução será antieconômica, por causa do aproveitamento deficiente da armadura. Essa situação ocorre normalmente quando o valor de x aproxima-se da altura útil d. Nesse caso, a solução seria a utilização de uma alvenaria mais resistente. Aumentandose a tensão iaW aumenta-se também a tensão na armadura, reduzindo-se a área de aço calculada. De qualquer modo, uma vez definida a tensão no aço, pode-se determinar a área da armadura de tração que é dada por: ...(6.61) 6.5.3 PROCEDIMENTO SIMPLIFICADO O equacionamento básico mostrado no item anterior pode ser considerado um pouco complicado para o dimensionamento automático à flexão composta. Sendo assim, pode-se sugerir a utilização de um procedimento simplificado para esses casos. O processo assume que a seção é homogênea, mas que a tração é suportada pelas armaduras. Sua utilização é bastante simples, mas implica considerar que o aço estará submetido a deformações que produzam uma tensão igual à admissível. Isso normalmente não é correto, considerando-se as hipóteses de que as seções planas permanecem planas e que a deformação é proporcional à distância até a linha neutra. Entretanto, Amrhein (1998), que sugere um processo semelhante, tenta justificar que se possa assumir a tensão no aço com seu valor admissível pelos seguintes motivos: a) as seções planas podem não permanecer planas após a flexão; b) a seção é fissurada e as fissuras localizadas que se abrem provocam uma distribuição de tensões diferente da usualmente considerada. M e s m o considerando-se o fato de que essas justificativas não são completamente defensáveis, o procedimento pode ser considerado interessante exatamente pela sua simplicidade. Além disso, os resultados quase sempre são seguros, mesmo para casos-limite. Ele pode ser organizado nos seguintes passos: a) determinação das tensões atuantes de tração, ft, e compressão, f a V bem como a posição da linha neutra, figura 6.6, através das expressões clássicas da resistência dos materiais. f = Ü A f = 1 + -M W _N_ M_ A ' W ...(6.62) ...(6.63) Em que, A: área da seção transversal e W: módulo de resistência à flexão. b) verificação da tensão de compressão na alvenaria, f a V por meio das expressões de interação 6.43 ou 6.44; c) determinação da força total de tração por integração das tensões de tração, que na seção retangular se escreve: T 7 2 f,b(h-x)1 f,b(h-x) T == V 2 ...(6.64) determinação d d) determinação da área de aço. f\ - ==J5,1 A ...(6.65) Exemplos de Aplicação 7 o cu "D 7.1 rr INTRODUÇÃO C Este capítulo t e m por objetivo apresentar alguns exemplos d e aplicação s o b r e os dimensionamentos apresentados no capítulo anterior. Os dimensionamentos são apresentados de acordo com as prescrições da NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto'. 7 . 2 E X E M P L O S DE C O M P R E S S Ã O SIMPLES 7 . 2 . 1 EXEMPLO 1 D e t e r m i n a r a resistência mínima de bloco de concreto que deve ter a parede de alvenaria não-armada, indicada na figura 7.1, sendo dados: t = 14 cm; h = 2,80 m; h = 0,70 SOLUÇÃO: to( = t = 14 c m de acordo c o m a NBR 10837! Esbeltez de acordo c o m a NBR 10837! 70 kN/m Laje Laje 400 cm Elevação i i 1414 cm Corte Figura 7.1 - Exemplo 1 de compressão simples. 1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). O O valor mínimo da resistência de prisma é calculado igualando a tensão admissível à tensão atuante. 0,70 x 400 400 x 14 = 0,05 kN/cm2 = 0,5 MPa / h y L , = 0,20 f R com R = 1 — p ** \,40t/ Então W = 0.20f |( 1 - ( 280 >3 = 0,175 f ^40 x 14; Igualando as duas tensões 0,175 fp = 0,5 MPa, chega-se a uma resistência mínima de prisma de 2,86 MPa, referida à área bruta. Com eficiência de 0,7, pode-se determinar a resistência mínima do bloco. , 4 - 4 2,86 = 4,09 MPa 0,7 Deve-se adotar, então, 4,5 MPa, já que esse é o valor mínimo de resistência de bloco de concreto para que a alvenaria possa ser considerada estrutural. 7 . 2 . 2 EXEMPLO 2 Qual a carga máxima de compressão que pode ser aplicada no pilar de 5 m de altura, contraventado na base e no topo, sabendo-se que a resistência de prisma cheio é de 10 MPa e que ele deverá ser armado com aço CA 50A? Obs.: Sabe-se que a seção transversal do pilar é constituída de dois blocos de 19 cm x 39 cm, compondo uma seção de 39 cm x 39 cm. SOLUÇÃO: As condições de esbeltez máxima e de espessura mínima são atendidas, pois: X = 500/39 = 12,8 < 30 e tél = t = 39 cm > 20 cm A máxima tensão admissível de compressão no pilar é dada por: 3" (JÚ L * = (0-20 f D + 0,30 p f j 1 - 40t, V Para se atingir a máxima carga de compressão admite-se a máxima taxa de armadura, que é de 1%. Assim: r = (0,20 x 1,0 + 0,30 x 0,01 x 16,5) 1 - Então a máxima carga admissível é de ( 500 ^ ^40 x 3 9 ; = 0.241 kN/cm? P = 0.241 x 39 x 39 = 366 ktèso é alcançado com uma área de armadura de 1% de 39 x 39 c m 2 , ou seja, A s = 15,21 cm 2 . Pode-se utilizar, então, 8 .j 1 g 16 mm. 7.2.3 EXEMPLO 3 No exemplo anterior qual a máxima carga admissível no pilar, se for utilizada armadura composta por 4 0 16 mm? SOLUÇÃO: A taxa de armadura, neste caso, é p = 4x201 = 0,53% 39 x 39 A tensão admissível de compressão passa a ser fiK c = (0,20 x 1.0 + 0,30 x 0.0053 x 16.5) 1 _ ( 500 V = 0.219 kN/cm? ^40 x 39j A máxima carga admissível é, então, P = 0,219 x 39 x 39 = 333 kN. Observe-se que uma redução de 50% na área de aço produziu uma diminuição da carga admissível de compressão em apenas 9%. 7.3 EXEMPLOS DE FLEXÃO SIMPLES 7 . 3 . 1 EXEMPLO 1 Projetar as armaduras de flexão de uma viga em alvenaria estrutural, com largura de 14 cm, para vencer um vão livre de três metros. Considerar uma carga de 6 kN/m, uniformemente distribuída, sobre a viga. DADOS: f p = 9.5 MPa = 0,950 kN/cm2 f = 165 MPa = 16,5 kN/cm? Mx d c 14 Figura 7.2 - Exemplo 1 de compressão simples. SOLUÇÃO: E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa n= = 27,63 210000 En„ 7600 A máxima tensão admissível à flexão é dada por: l Jrv.i , = 0.33 x f p = 0.33 x 0,950 = 0,3135 kN/cm* O momento atuante máximo é calculado por: M = 8 i L í i l = 6,75 kN x m = 675 kN x cm 8 D e t e r m i n a n d o i n i c i a l m e n t e a a l t u r a útil q u e c o r r e s p o n d e a o dimensionamento balanceado, tem-se: f a v i = f v i = 0,3135 kN/cm? f, = 7, = 16,5 kN/cm? M t = J f _ = _ Ü L . = 52,63 1m, 0,3135 n k + m„ = 2 A 6 3 27,63 + 52,63 = 0.344 K 0.344 = 1 - - f = 1 — 1 — = 0,885 3 3 d= / _ ? V MKb bxT, I = 31,8 cm Y 0,344 x 0,885 14 x 0,3135 Utilizando-se dois blocos canaleta o b t ê m - s e , c o m c o b r i m e n t o de 7 cm, altura útil, d = 32 cm. Nestas condições deve ser provida a armadura correspondente ao dimensionamento balanceado, cuja área corresponde a: A. = f. x k / b x d = 675 16,5x0,885x32 SOLUÇÃO COM O AUXILIO DE = 1 M cm? TABELAS O mesmo problema, analisado anteriormente através do equacionamento desenvolvido para seções na situação balanceada, pode ser resolvido de modo bastante prático c o m o auxílio de tabelas, como as apresentadas anexas nesta publicação. Assim: a) Resolução através da tabela IA Determinação da altura efetiva correspondente ao dimensionamento balanceado, d b , e da correspondente área de aço, A_. Para a situação de f p = 9,5 MPa e tensão na alvenaria igual à situação-limite, falv = f alv.t' obtém-se da tabela k alv = 20,93 e k s = 0,685. Assim, calcula-se: * = k = _bx_d^ M A, x d M = MxcT 675 = 20,93 >d = 31,8 cm A, x 31,8 = —s — = 0,0685 675 b) Resolução através da tabela >A, = 1.45 cm2 IIC Para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela II C, d e t e r m i n a m - s e os coeficientes K e p correspondentes ao par de tensões na alvenaria e no aço da situação que se deseja dimensionar. Para a situação balanceada, a tabela fornece K = 0,048 e r = 0,00327. Assim, calcula-se: K = ——— = 6 7 5 = 0.048 b x d2 14 x d 2 p= 1 A bxd = >d = 31,7 cm A 2 = 0.00327 14x31,7 »A = 1.45 cm2 Observa-se que na m e s m a tabela podem ser conferidos os valores de k x e k z , calculados anteriormente para a situação de projeto. c) Resolução através da tabelas III O conjunto de tabelas III permite a resolução direta do problema da flexão simples para a situação de dimensionamento balanceado, fornecendo a altura útil e a armadura necessária a esta situação. Assim, para a situação de f p = 9,5 MPa, tabela III C, entra-se com o valor da largura útil, b = 14 cm, e do momento solicitante, M = 675 kN x cm. Interpolando-se os valores de "d" fornecidos, facilmente obtém-se: d = 31,7 cm. Da mesma forma obtém-se o valor do parâmetro p para a situação balanceada, c o m o qual se calcula a área de armadura da seção, na forma: p= A A — = = 0.00327 bxd 14x31,7 d) Resolução >Ar = 1.45 cm2 através das tabelas tipo IV Para a utilização das tabelas de tipo IV, 'Tabela de cálculo à flexão no Estádio II", é necessário saber se a configuração da seção caracteriza a condição de seção superarmada ou subarmada. Caso a seção seja superarmada, deve-se dar entrada pelo parâmetro k m , por se conhecer a máxima tensão na região comprimida. Caso contrário, realiza-se a entrada através do parâmetro nk t , por conhecer-se a tensão na armadura. Para os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular: E aV = 8 0 0 x 9 , 5 = 7600 MPa Es n= 210000 = = 27,63 7600 \ 16,5 0,3135 L n = 52,63 27,63 52,63 O momento máximo atuante na seção é calculado por: M = 8 = = 6,75 kN x m = 675 kN x cm 8 Utilizando a tabela IV, para o valor de k y que mais se aproxima de k .b, calculado, obtémse o valor de k m = 0,153. A partir deste valor, pode-se calcular a altura útil que correspondente ao dimensionamento balanceado, na forma: « J SZ5 =31,7 cm V 0,153 0,í"~ x 0,3135 x 14• k,nxf^xb Nesta mesma linha da tabela, obtém-se n x p = 0,0915, que fornece a área de armadura para esta situação. Assim: A nx p= nx i - = 27,63 x bxd 1 e) Resolução A 14x31,7 = 0,0915 >A = 1,47 cm2 através das tabelas tipo V C o m os dados do exemplo fornecido, pode-se calcular: E a(v = 8 0 0 x 9 , 5 = 7600 MPa ns — a E^ 210000 7600 m = ^ b ft = a27,63 16'5 =52,63 0,3135 Na situação balanceada (fs = f~ e faIv = f ^ ) , pode-se determinar a altura útil necessária, por exemplo através do parâmetro ys. Interpolando-se os valores obtidos nas tabelas de n = 25 e n = 35, e c o m m = m B = 52,63, obtêm-se os valores correspondentes a y s = 18,61 e 100 p = 0,325. Como o momento máximo atuante é de 675 kN x cm, pode-se calcular a altura útil que corresponde ao dimensionamento balanceado, através de: d . , M x t f f^xb . «7SX1M1» V ^ 16,5x14 A área de armadura para esta situação corresponde a: 100 x p = 100 x = 100 x bxd 14x31,8 = 0,325 • A = 1,45 cm? 7 . 3 . 2 EXEMPLO 2 Determinar a armadura necessária a uma viga de alvenaria, cuja seção transversal é apresentada na figura 7.3, submetida ao momento fletor de 315 kN <» cm. DADOS: fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm? f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 Mx 33 G6 19 Figura 7.3 - Exemplo 2 de flexão simples. SOLUÇÃO: E ^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa n= 210000 E* = 27,63 7600 Inicialmente é necessário determinar o tipo de dimensionamento a ser realizado (seção subarmada, superarmada ou c o m armadura dupla). O cálculo inicia-se, então, pela verificação da altura útil necessária ao dimensionamento balanceado. L.. = °-33 = K = x f„= U. = °-33 x 0,3135 ° - 9 5 = ° - 3 1 3 5 kN/cm2 = 52.63 27.63 n + mb 27,63 + 52,63 K k. = 1- — = 1 Ib 3 = 0,344 0,344 — = 0,885 3 315 M • K * K b xf 0,344x0.885 19x0,3135 = 18,6 cm Como a altura útil disponível é maior que a necessária ao dimensionamento balanceado, realiza-se o dimensionamento para seção subarmada. A planilha a seguir organiza os passos do dimensionamento iterativo. Tabela 7.1 - Cálculo iterativo no exemplo 2. Passo kt k. A. nxp k. k. 1 0,8850 0,0685 0,654 0,0288 0,2129 0,9290 2 0,9290 0,0652 0,623 0,0274 0,2084 0,9305 3 0,9305 0,0651 0,622 0,0274 0,2083 0,9306 Em três iterações o processo convergiu, c o m tolerância de 0,01%. Pode-se, portanto, utilizar uma área de aço igual a 0,62 cm 2 . O mesmo resultado pode ser obtido através do emprego de tabelas. C o m o uso da tabela II C, determina-se a área de armadura, A „ na forma: M 315 K = = 0,0152 b x d? 19 x 33* Da tabela, para este valor do coeficiente K, pode-se obter o valor de p = 0,000972, bem como facilmente verificar a tensão na alvenaria e no aço (fVi, = 0,155 kN/cm 2 e f s = 16,5 kN/cm 2 ), que caracterizam a situação esperada (seção subarmada). Assim, a armadura necessária à seção é facilmente obtida como: \ = p x b x d = 0,000972 x 19 x 33 = 0,61 cm? 7 . 3 . 3 EXEMPLO 3 Determinar a a r m a d u r a necessária à s e ç ã o descrita no exercício anterior, q u a n d o submetida a um momento fletor de 1220 kN x cm. Caso necessário, verifique as situações de seção superarmada e c o m armadura dupla, considerando neste último caso um cobrimento da armadura de compressão igual a 4 cm. DADOS: = 0,950 kN/cm? fp = 9,5 9.5 MPa M f = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 O Mx 33 - 1 9 - 4 Figura 7.4 - Exemplo 3 de flexão simples. SOLUÇÃO: E ^ = 800 x 9,5 = 7600 MPa n s l = Eaftf = 27,63 210000 7600 Mais uma vez é necessário determinar a altura útil necessária ao dimensionamento balanceado, agora para a nova situação de carregamento, f«W.i = 0,33 x f p = 0,33 x 0,95 = 0,3135 kN/cm2 n ^ k L,.f = k l( 'b d + mo 0.344 27,63 + 52,63 k, 0.344 = 1 — — = 1 - — — = 0,885 3 3 /__? = b 27'63 = n 52,63 0.3135 M V K*Kb I b x?^ 2 1220 = 3 6 6 8 c m V 0.344 x 0.885 19 x 0,3135 Como a altura útil disponível (33 cm) é menor que a necessária ao dimensionamento balanceado, será realizado o dimensionamento para seção superarmada e também para a situação de armadura dupla. a) Resolução para seção superarmada Como primeiro passo deve-se resolver a equação de segundo grau que fornece a posição da linha neutra para a condição de seção superarmada, a seguir: k 2 - 3k + x 6 X M b x d2x f ^ =0 a x k / + b x ks + c = 0 a= 1 b=- 3 c= 6 x 1220 , .00, = 1,1285 19 x 33 2 x 0,3135 As raízes da equação são: (< = -b ? Vb2-4xaxc 2xa ~ 3 t V 9 - 4 x 1 x 1,1285 2 k x , = 2,56 (não interessa) e k ^ = 0.44 Conhecida a posição da linha neutra, determinam-se a taxa de armadura e, finalmente, a área de armadura necessária à seção. P = Yxn" x T " ^ = Txi^63 x T ^ Ã Ã = °'000630 A , = p x b x d = 0,000630 x 19 x 33 = 3,95 cm? b) Resolução para armadura dupla N o d i m e n s i o n a m e n t o c o m a r m a d u r a d u p l a deve-se inicialmente d e t e r m i n a r o m o m e n t o s u p o r t a d o pela a r m a d u r a simples, c o m d i m e n s i o n a m e n t o balanceado, M 0 . Utilizando os valores d e k b e k / b , já c a l c u l a d o s , t e m - s e : M =J o x k x k g d = 0,3135 jd 1 9 x 3 3 2 2 x 0,344 x 0,885 = 987,39 kN x cm As áreas de armadura tracionada e comprimida (A s e A s ') podem ser obtidas então a partir de: ! ~ L Ai M0 x k M - M0 » * L + x < d - d 1 ')" 987,39 _ 1 2 2 0 - 9 8 7 , 3 9 16,5 x 0,885 x 33 " 16,5 X <33 ~ 4) A, = 2,05 + 0,486 = 2,54 cm ? . _ A 5 " M M o d - x x (d-d') x-d 1 . 1220-987,39 x x 33-0,344 x33 (33 - 4) 1 0,344 x 33 - 4 x _ j _ = ^ ^ 16,5 T a m b é m nas situações de a r m a d u r a dupla ou s e ç ã o s u p e r a r m a d a , p o d e - s e utilizar tabelas para o d i m e n s i o n a m e n t o o u verificação d a s s e ç õ e s . Através d a tabela I, por e x e m p l o , p o d e - s e calcular a a r m a d u r a n e c e s s á r i a n e s t a s d u a s situações. Inicialmente, calcula-se: k . = b x d2 = M 19 x 33 2 1220 = 16,96 Para a s e ç ã o s u p e r a r m a d a , através d a tabela I o b t é m - s e k s = 0 , 1 0 6 8 , o q u e c o r r e s p o n d e a u m a área d e a r m a d u r a c o m p r i m i d a igual a: k x M 0.1068x 1220 , A = — = — = 3.95 cmd 33 Para o d i m e n s i o n a m e n t o c o m a r m a d u r a dupla, d e t e r m i n a - s e : b ^ ° d 19x332 k ^ = 9 8 8 5 8 k N x c m 20,93 = 0,1212 33 f\ — A s = k xMo + r\ _— » d 41 A% = 2.53 cm ? M-M0 % - s = + k ^ x A M _ ~0 , 0 6 8 5 x 9 8 8 , 5 8 d-d' 0.180 x (1220-988,58) d - d' 7 . 4 EXEMPLOS DE FLEXÃO 33 + 0.0606 x (1220 - 988,58) — 33-4 , _ , i = 1,44 cm ? 33-4 COMPOSTA 7 . 4 . 1 EXEMPLO 1 D e t e r m i n a r a a r m a d u r a n e c e s s á r i a à p a r e d e e s q u e m a t i z a d a n a figura 7.5, s a b e n d o - s e q u e o m o m e n t o fletor é d e v i d o a o vento. A p a r e d e está v i n c u l a d a na b a s e e e m s e u topo. DADOS: fp = 9,5 MPa = 0,950 kN/cm2 fs = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 M = 85 kN/m q = 40 kN/m • t = 1 9 cm £ o o CO CM L = 120 cm / d = 20 _ d = 100 cm Figura 7.5 - Exemplo 1 de flexão composta. SOLUÇÃO: E ^ = 800 x 9.5 = 7600 MPa 210000 n= 7600 = 27,63 As máximas tensões admissíveis são dadas por: = 0.225 fp 1 - Vtot, = 0,225 x 0,950 1 - f 280 > ^40x19; = 0,2031 kN/cm2 f, vf = 0,33 x fp = 0,33 x 0.950 = 0,3135 kN/cm2 A máxima tensão devida à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se: L.= N 40x1,2 b~t 120x19 = 0,0211 kN/cm2 Considerando-se a = 1,33, tem-se: L , ^ ^ L , = ^1,33 - ^ J S 0,3135 = 0,3844 kN/cm2 V 0.2031 j C o m o tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que corresponde à máxima tensão admissível pela flexão. f ^ , o que leva a uma tensão de compressão total de: f*v = L , = t , . = 0,0211 + 0.3844 = 0.4055 kN/cm2 A fim de se determinar a posição da linha neutra, x, calculam-se os coeficientes a, b e c da equação de 2 o grau que fornece o valor de x: a = V6 x t x f iV = V6 x 19 x 0.4055 = 1,2841 b = - V2x t x f ^ x d = - V2 x 19 x 0,4055 x 100 = - 385,23 c = N ^ — — d' + M = 48 x ) - 20! + 8500 = 10420 V2 ) Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se x: x d = - b - V b ^ 4 x a x ^ 2xa = 3 0 0 6 c m E então a tensão de tração no aço: f =nxf f L J L = 27,63 x 0,4055 x 100 -30-06 30,06 = 26,07 kN/cm2 Como a tensão no aço é superior à admissível (í 5 = 16,50 kN/cm 2 ) deve-se repetir o processo adotando uma tensão total de compressão na alvenaria menor do que a admissível. Com o novo valor de fafv, recalculam-se os coeficientes a, b e c, a posição da linha neutra, x, e, então, a tensão de tração no aço. Organizando-se as tentativas e os resultados obtidos em uma planilha, obtêm-se: Tabela 7.2 - Tentativas no exemplo 1. u A b c x f. 0,4055 0,3500 0,3000 0,3400 0,3425 1,2841 1,1083 0,9500 1,0767 1,0846 -385,225 -332,500 -285,000 -323,000 -325,375 10420 10420 10420 10420 10420 30,061 35,551 42,615 36,766 36,454 26,07 17,53 11,16 16,16 16,50 Para a condição de f alv = 0,3425 kN/cm 2 obteve-se x = 36,45 cm e fs = 16,50 kN/cm 2 . Nesta situação, pode-se determinar a área de aço, como apresenta a equação a seguir: 1 ftxXxf^ 1 ^19 x 36,45 x 0,3425 2 \ 48J As = 4.28 cm2 Vale lembrar que esta área de armadura deve ser disposta segundo cada lado da parede, pelo fato de a ação do vento poder se dar segundo um ou outro sentido. Deve-se ter o cuidado de manter o CG da armadura de modo a se ter d' = 20 cm. 7 . 4 . 2 EXEMPLO 2 Determinar a armadura necessária ao muro representado na figura 7.6. O momento é devido a empuxo lateral. A parede está vinculada no topo e na base. DADOS: f p = 11.0 MPa = 1,10 kN/cm2 í s = 165 MPa = 16,5 kN/cm2 N = 12 kN/m M = 3,50 kN x m/m Figura 7.6 - Exemplo 2 de flexão composta. SOLUÇÃO: Em. = 800 x 11,0 = 8800 MPa n=- L = EaV =23.86 2 1 0 0 0 0 8800 As máximas tensões admissíveis são dadas por: L , = 0.225 fp 1 - ( Y = 0,2227 kN/cm2 f J U = 0,225 oo 1,10 i _ ^ 4 0260 x14; V40t; L., = 0,33 x f p = 0,33 x 1.10 = 0.363 kN/cm2 A máxima tensão devido à flexão que a seção pode suportar pode ser obtida calculando-se: L.. ** = N bxt 12 = 0.0086 kN/cm2 100x14 Considerando o fator de majoração das tensões admissíveis combinadas a = 1.0: f - f l a _ ^ f L J J = f i ,oo - 0 , 0 0 8 j f 0,363 = 0,3490 kN/cm? l 0,2227 0.2227) j Como tentativa inicial, pode-se admitir que a máxima tensão de compressão é a que corresponde à f ^ , ^ (total aproveitamento da capacidade resistente da alvenaria), o que conduz a uma tensão de compressão total de: f ^ = f vc = f v , = 0,0086 + 0,3490 = 0,3576 kN/cm2 A posição da linha neutra, x, pode ser expressa por uma equação de 2° grau. A fim de determinar esta posição, determinam-se os coeficientes a, b e c da equação que fornece o valor de x: a = V6x t x fiiV = V6 x 100 x 0,3576 = 5,96 b = - V?x t x f V/ x d = - % x 100 x 0,3576 x 7 = - 125,16 (u > \ 2 ) C=N: — - d ' + M = 12 f 14 ^ K ) - - 7 2 + 3 5 0 = 350 Calculando a raiz de interesse da equação, obtém-se: - b - v b*- 4 x a x c x = k xd= ——í— 2xa . „ = 3.32 cm E, então, a tensão de tração no aço: I =nx f * x = 23.86 x 0,3576 7 " 3 , 3 2 = 9.46 kN/cm* 3,32 A tensão no aço é inferior à admissível (f = 16,50 kN / cm 2 ). A área de aço é calculada através da expressão: ,'txXxf„ _ 2 = ' U j _ L ^ 100 x 3,32 x 0,3576 _ 9.46 V 2 } A 5,01 cm>/m ; Podem ser posicionadas, por exemplo, dez barras de 8 m m de diâmetro por metro, configurando A sofo) = 5,00 cm 2 /m. 7 . 5 E X E M P L O S DE CISALHAMENTO 7 . 5 . 1 EXEMPLO 1 Verificar a necessidade de armadura transversal e m uma viga de seção 19 c m °° 40 cm. DADOS: V^lOkN fp = 4 MPa d = 33 cm SOLUÇÃO: T - = ^ = 19T33 = 0,016 k N / c m - 0 , 1 6 MPa "f , = 0,09 V~í = 0,18 MPa - 0,35 MPa o»l p C o m o f cisl < í ctSl não há necessidade de se disporem armaduras de cisalhamento na viga e m análise. 7 . 5 . 2 EXEMPLO 2 Dimensionar as armaduras transversais para a viga representada na figura 7.7. DADOS: f( = 9 MPa (prisma cheio) Aço CA 50A SOLUÇÃO: "fcol, = 0 ', 0 9 / 7p = 0,27 MPa - 0.35 MPa ~f_ CS2 = 0.09VT ' p = 0,75 MPa - 1.00 MPa 16 (N/m JL. 5m Viga 40 kN E o 14 cmi 40 kN io Seção Figura 7.7 - Exemplo 2 de cisalhamento. Pode-se. então, determinar a máxima força cortante admissível na viga (V 2 ) e a máxima força cortante que pode ser absorvida sem armaduras de cisalhamento (V,). V,1 ="fcwl, bd = 0,027 x 14 x 55 = 20,79 kN \J2 =l c n 2 bd = 0,075 X 14 x 55 = 57,75 kN A máxima força cortante atuante é de 4 0 kN, que é admissível, devendo as regiões próximas aos apoios ser armadas para o combate ao cisalhamento. A região central da viga, cerca de 2,50 m, não precisa de armaduras de cisalhamento, já que nesse trecho as forças cortantes são inferiores a V,. Observe-se que essa possibilidade em uma viga de alvenaria armada é bastante diferente de uma viga de concreto armado, em que exige a presença de armaduras mínimas de cisalhamento mesmo e m regiões pouco solicitadas por força cortante. A armadura de cisalhamento, supondo-se estribos verticais, correspondente a V = 40 kN p o d e ser c a l c u l a d a c o m a e q u a ç ã o (6.41). Deve ser o b s e r v a d o e s p a ç a m e n t o m á x i m o de d/2 = 27,5 cm. Supondo-se que o bloco tenha dimensões e m planta 14 c m °° 39 cm, pode-se adotar o espaçamento s = 20 cm. Assim: A 40x20 f, d 16,5x55 = 0,88 cm2 por furo Se for utilizado estribo de dois ramos pode-se adotar 4» 8,0 m m a cada 20 cm. Opcionalmente, c o m estribo de 1 ramo, 0 =12,5 m m a cada 20 cm. As ilustrações encontram-se na figura 7.8. n Região sem estribos N1 o 8,0 (2 ramos) N2 (J> 12.5 (1 ramo) N1 c / 2 0 ou N2 c / 2 0 Figura 7.8 - Opções de armação. 4 E x e m p l o de Edifício d e P o r t e Médio 8.1 C A R A C T E R Í S T I C A S DO EDIFÍCIO 8 o Ü) •O rr C A título de ilustração são aqui desenvolvidos a análise estrutural e o dimensionamento de u m edifício de porte médio de alvenaria estrutural. O edifício possui oito pavimentos tipo, sendo o primeiro apoiado diretamente sobre o solo e os demais em lajes de concreto armado, que, por sua vez, se apoiam e m paredes de alvenaria estrutural de blocos de concreto. O edifício possui ainda um pavimento de cobertura/casa de máquinas e u m ático, que engloba a mesa de motores para o elevador e a caixa d'água da edificação. Para efeito d o vento, admite-se a velocidade básica de 38 m/s, terreno de rugosidade categoria IV e vento de baixa turbulência. A alvenaria será nãoarmada, de acordo c o m a definição adotada pela NBR 10837 - Cálculo de Alvenaria Estrutural de Blocos Vazados de Concreto 1 . O esquema vertical do edifício é mostrado na figura 8.1, e m conjunto com as plantas baixas dos pavimentos superiores. Observe-se que os pés-direitos nos pavimentos tipo são de 2,80 m de piso a piso. Admitindo-se lajes maciças de concreto de 8 c m de espessura, obtém-se paredes de 2,72 m de altura. Neste caso, serão então utilizados o bloco jota e o bloco compensador para ajuste da modulação vertical, conforme discutido no capítulo 2. Todas as lajes possuem 8 c m de espessura, exceto as de fundo dos reservatórios e a da mesa de motores, que têm 10 cm. Esquema vertical Casa de máquinas 27.20 7- pav. 24.00 22A0[— 19.60 S a 16.80 § C\J 14.00 S OJ 11.20 S CM 3' pav. 8.40 S CM 2- pav. 5.60 § CM 1 ! pav. 2.80 £ pav. S pav. 4 ! pav. 14 284 181 14 \ 6 ' / o 8 CM O C OO J 14 Mesa » motores 164 M. motores Cob./c. máq. 284 8 ^25.60 Caixa d'água l_J C. máquinas 14 C. d'água Caixa d'água 14 CM 14:121 14 8 14 V 89 Caixa d'água 256 14 E3 106 89 Figura 8.1 - Esquema vertical e arranjo arquitetônico do ático. A planta baixa do pavimento tipo é apresentada na figura 8.2. C o m base nas dimensões apresentadas, pode-se perceber o módulo horizontal de 15 cm. Admite-se no presente exemplo que todas as paredes sejam estruturais. 1 Associação Brasileira de Normas Técnicas (1989). O 704 88888 I 2 5 õj O 2 ój ÕJ ! 1 14 151 14 45Í91 1 st r NNSSJ 226 14 14 t' 150 14 271 76 J 14 286 91 14 «- |l| N lu n [t11UÍIII |;| 14 14 391 255 91 14 271 45 Hall lu 14 178 196 121 o 14 Sala Dormitório Cozinha ti! o Dormitório Banho E3 E4 44 106 134 106 314 Figura 8.2 - Arranjo arquitetônico do pavimento tipo. 8.2 C A R G A S VERTICAIS Para a determinação dos carregamentos aqui apresentados, foram admitidos o peso específico da parede revestida e m 15 kN/m 3 e o peso específico do concreto 25 kN/m 3 . Para as lajes do pavimento tipo, indicadas na figura 8.3, os carregamentos e as suas características geométricas são apresentadas na tabela 8.1. Por simplicidade admite-se que o carregamento nas lajes de cobertura seja, no total após composição, igual às do pavimento tipo. As escadas foram admitidas com carga total de 3,5 kN/m 2 , com os degraus apoiados e m suas extremidades. A figura 8.3 apresenta, também, as reações nos apoios das lajes, incluindo as reações devidas à escada. Figura 8.3 - Lajes do pavimento tipo e reações (kN/m). Tabela 8.1 - Carregamentos e características geométricas do pavimento tipo. Características geométricas Lajes Cargas (kN/m1) Lx (cm) Ly (cm) Espessura (cm) Sobrecarga Revest. Peso próprio Alv. não-estrutural 150,0 165,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 225,0 300,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 285,0 405,0 8,0 1,5 1.0 2,0 0.0 150,0 240,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 8,0 270,0 178,0 1.5 1.0 2,0 0.0 225,0 105,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0,0 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 330,0 285,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 270,0 128,0 8,0 1.5 1.0 2,0 0.0 L1 = L6 L2 = L5 L3 = L4 L7 = L8 L9 L10 = L11 L12 = L15 L13 = L14 L16 Carga total 4,5 4,5 4.5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 Quanto às cargas devidas à mesa de motores e ao reservatório superior, a figura 8.4 apresenta, em resumo, as cargas lineares aplicadas ao nível da laje de cobertura, incluindo-se o peso próprio das paredes. Para a obtenção desses valores, adotaram-se os carregamentos indicados na tabela 8.2. Tabela 8.2 - Carregamentos e características geométricas do ático. Características geométricas Lajes Lx(cm) Ly (cm) Espessura (cm) Cargas (kN/m2) Sobrecarga Revest. Peso próprio Alv. nãoestrutural Carga total Mesa de motores 195,0 188,0 10,0 5.5 1,0 2.5 0.0 10,0 Tampada caixa 270,0 690,0 8,0 0,5 1,0 2.0 0,0 3,5 Fundo da caixa 270,0 690,0 10,0 14,0 1.0 2,5 0,5 18,0 29.49 24.59 Figura 8.4 - Carregamento total devido ao ático (kN/m). 8.3 D I S T R I B U I Ç Ã O DAS C A R G A S V E R T I C A I S Para a distribuição das cargas verticais foi adotado o procedimento dos grupos isolados de paredes. Na presente análise apenas os trechos compreendidos entre o térreo e a cobertura serão considerados. A nomenclatura adotada para as paredes e os grupos considerados é apresentada na figura 8.5. Observe-se que é evitada a numeração de grupos simétricos. A delimitação de grupos foi feita considerando-se a separação por aberturas. A tabela 8.3 apresenta as características geométricas de cada grupo, b e m como as paredes que o constituem. Dentro do conceito de grupos isolados de paredes interessa determinar a resultante de cargas verticais presente e m cada grupo, em cada nível da edificação. Essa carga é distribuída de maneira uniforme pela área total e m planta do grupo de paredes. A determinação é feita de forma cumulativa do tipo para a base de cada um dos grupos. C o m os resumos de carregamentos aplicados pelo pavimento tipo/cobertura (figura 8.2) e pelo ático (figura 8.3) é possível determinar essas resultantes, t o que se mostra nas últimas duas colunas da tabela 0.3. O s valores apresentados nessa tabela incluem o peso próprio das paredes. Cabe lembrar que as cargas verticais sobre aberturas (reação de lajes e peso próprio de alvenaria) são repartidas igualmente entre os dois grupos adjacentes a essas aberturas. Com base nos resultados apresentados na tabela 8.3, podem-se acumular as cargas verticais em cada grupo, encontrando-se os valores junto à base de cada parede e m cada um dos oito níveis escolhidos para a análise. É o que se apresenta na tabela 8.4, que resume a distribuição de ações verticais no edifício. Com os valores das resultantes em cada nível, podem-se obter as tensões normais e m cada grupo, bastando dividir essas resultantes pela área total da seção transversal do grupo. É o que será feito na fase de dimensionamento da estrutura. Figura 8.5 - Grupos de paredes estruturais. Tabela 8.3 - Grupos de paredes e resultantes verticais. Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Carga Carga vertical Paredes do grupo Comprimento (m) Área (m*) vertical ático tipo/cobertura (kN) (kN) PX1.PY3, PY5 PX7, PX9, PY2, PY4 PX13, PX19, PY1 PX2, PX10, PY7 PX14, PX20, PY6 PX3, PY9, PY11 PX15, PX21, PY8 PY10 PX4, PY13 2,910 5,750 6,960 4,560 4,030 7,270 8,080 1,960 3,440 0,407 0,805 0,974 0,638 0,564 1,018 1,131 0,274 0,482 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 203,74 191.80 0,00 214,82 33,73 69,47 80,63 66,90 65,63 70,94 107,54 20,49 49,06 Tabela 8.4 - Cargas verticais acumuladas em cada grupo. Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cobertura 72 Pav. (kN) 62 Pav. (kN) 5a Pav. (kN) 42 Pav. (kN) 32 Pav. (kN) 22 Pav. (kN) 12 Pav. (kN) (kN) 67.45 101,18 134.91 269.82 236,09 168.63 202.36 33.73 138.95 208,42 277.90 347,37 486.32 555,80 416.84 69.47 161.27 241,90 564,44 322.53 403,17 645,08 483.80 80.63 133.80 200,70 267.59 334.49 468.29 535,19 401,39 66,90 131,25 196.88 262.51 459.39 525,02 328,13 393,76 65,63 345.61 416.55 487.49 700.30 771,24 558,43 629,36 274.68 406.89 514,43 621.97 1052.14 944.60 729,52 837.06 299,35 40.97 81.94 61.46 163,89 102,43 122.92 143,40 20.49 312.94 558,24 362,00 411.06 460,12 607,30 509.18 263.88 8.4 AÇÕES HORIZONTAIS 8 . 4 . 1 AÇÕES DEVIDAS AO VENTO Com base nos dados fornecidos é possível determinar os coeficientes de arrasto para o edifício em análise. Os valores determinados são iguais a 0,95 e 1,36 para as direções X e Y de atuação do vento, respectivamente. Para completar os cálculos das forças atuantes am cada andar é necessário determinar o valor do coeficiente S 2 em cada nível, o que depende adicionalmente da classe da edificação que no presente caso é a B, pois a maior dimensão frontal do edifício está entre 20 e 50 m, tem-se a classe B. Assim é possível montar a tabela 8.5 que contém as forças horizontais devidas ao vento em cada pavimento nas direções X e Y. A avaliação é feita em cada pavimento, considerando-se área frontal que engloba meio pé-direito abaixo e meio acima do pavimento. Observe-se que no caso do 8* nível, a altura considerada acima do pavimento é de todo o ático da edificação, ou seja, 4,80 m e que para a direção Y o retângulo acima do nível considerado possui largura de 2,84 m, e não os 16,04 m ao longo dos demais pavimentos. Tabela 8.5 - Forças horizontais devidas ao vento. Nível 1 2 3 4 5 6 7 8 Cota (m) s2 Pressão (10 a kN/m*) F„ (kN) F, (kN) 2,80 0,71 45,55 27,82 5,60 8,40 11,20 14,00 16,80 0,78 0,82 0,89 54,17 59,95 64,42 68,12 71,30 8.53 10,14 11,23 12,06 12,76 13,35 19,60 22,40 0,91 0,92 74,10 76,61 13,88 32,51 0,85 0,87 33,09 36,62 39,35 41.61 43.55 45.26 38.03 8 . 4 . 2 AÇÕES CORRESPONDENTES AO DESAPRUMO Para determinação das forças horizontais correspondentes ao desaprumo, com base na expressão (4.1) foi utilizada a altura do modelo de 22,40 m. Assim tp = 1/100 x (22,40)"*, ou 9 = 2,113 x io 3 rad. Para os níveis de 1 a 7, deve-se utilizar o peso de cada pavimento acima desse nível, ou seja, P = 988 kN, que é o peso total de cada pavimento tipo (vide tabela 8.3). Assim se chega a uma força equivalente ao desaprumo F d = P x (p= 2,09 kN para as direções X e Y. Para o nível superior, deve-se utilizar o peso total acima desse nível, ou seja, P = 638 kN (vide tabela 8.3). A força horizontal equivalente ao desaprumo é, neste caso, igual a F d = P x

/ = 0,33 fp. f = 165 MPa e EaV = 800 f p AM d-d• T A B E L A I I A - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS fp = 12,5 MPa; f i = 165 MPa; n = 21.00 M1 — - DADOS DO PROJETO \ f = 1 2 , 5 MPa = 1.25 kN/cm1" p jd faV = 0 , 3 3 f p = 4 , 1 2 5 MPa j £ z 1 f, = 1 6 5 . 0 MPa EAV = 8 0 0 fp = 1 0 0 0 0 M P a X N l< d 1 EQUAÇÕES DO PROJETO c • 9 = 210000 MPa .< .1 (V .1 .1 k ' 1 -'KLI • d 1 h - 1 - A . 1 " bxd f-v f. K P 0.033 16.5 0,001 0.00004 0.066 16.5 0,002 0.099 16.5 0.132 16.5 0.165 _ K ~ f xk s np f M xk.xd / (Kx x KJ kx k4 0,001 0,040 0,987 50,295 0,00015 0,003 0,077 0,974 26,494 0,005 0.00034 0,007 0,112 0.963 18,566 0,009 0.00058 0,012 0,144 0.952 14,605 16.5 0,013 0,00087 0,018 0,174 0,942 12,231 0.198 16.5 0,019 0.00121 0,025 0,201 0,933 10,651 0.231 2 16.5 0,024 0.00159 0,033 0,227 0.924 9.524 0.264 16.5 0,030 0.00201 0.042 0,251 0,916 8.680 0.297 16.5 0,037 0.00247 0,052 0,274 0,909 8.025 0.330 16.5 0,044 0.00296 0,062 0,296 0.901 7.501 0.363 16.5 0,051 0.00348 0,073 0,316 0,895 7.074 0,396 16.5 0,059 0,00402 0,084 0,335 0,888 6.719 0,413 16,5 0,063 0,00430 0,090 0,344 0,885 6,563 n.4i a 15.0 O.Ofifi 0.00503 0.10R n.nfifi 0,ft7ft fi.5>5>3 0.413 13.5 0,070 0,00597 0,125 0,391 0,870 5,883 0.413 12.0 0,074 0.00721 0,151 0,419 0,860 5.546 0.413 10.5 0,079 0.00888 0,186 0,452 0,849 5,209 0.413 9.0 0,085 0.01124 0,236 0,490 0,837 4.875 0.413 7,5 0.091 0.01474 0.310 0,536 0.821 4.543 0.413 6.0 0.098 0,02031 0,426 0,591 0,803 4,215 0.413 4.5 0.106 0.03016 0.633 0,658 0.781 3.893 TABELA I I B - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS f p = 11,0 MPa; f s = 165 MPa; n = 23.86 M DADOS DO PROJETO f(i = 11,0 MPa = 1,10 kN/cm 2 jd \ \ kd S í •WV. = 0,33 (p = 3,63 MPa 1= 165,0 MPa S E ^ = 800 f p = 8800 MPa E, = 210000 MPa EQUAÇÕES DO PROJETO 1 lcfr -"1 + f / n * L ' v' \ d p ' K bxd _ A fs x k7 - 1- s / k ' 3 M xk{x d f- f. K P np K k. 2/(KiXKk) 0.033 16,5 0,001 0,00005 0.001 0,046 0,985 44,582 0.066 16,5 0,003 0.00017 0,004 0,087 0,971 23.639 0.099 16.5 0.006 0.00038 0.009 0,125 0.958 16.664 0.132 16.5 0.010 0,00064 0.015 0,160 0.947 13.180 0.165 16,5 0.015 0.00096 0.023 0,193 0.936 11.093 0.198 16,5 0.020 0.00134 0.032 0,223 0.926 9.704 0.231 16,5 0.027 0,00175 0.042 0.250 0.917 8.714 0,264 16,5 0.033 0,00221 0.053 0,276 0.908 7.972 0.297 16,5 0.040 0.00270 0,065 0,300 0.900 7.397 0.330 16,5 0.048 0.00323 0.077 0,323 0.892 6.938 0,363 16,5 0.055 0,00379 0,090 0,344 0,885 6,563 0.363 15,0 0.058 0.00443 0.106 0.366 0.878 6.223 0.363 13.5 0.062 0.00525 0,125 0.391 0.870 5.883 0,363 12.0 0.065 0.00634 0,151 0,419 0.860 5.546 0.363 10.5 0.070 0.00781 0.186 0,452 0.849 5.209 0.363 9.0 0.074 0,00989 0.236 0,490 0.837 4.875 0.363 7.5 0.080 0.01297 0.310 0,536 0.821 4,543 0.363 6.0 0.086 0.01787 0.426 0,591 0.803 4,215 0.363 4.5 0.093 0.02654 0.633 0.658 0.781 3.893 0,363 3.0 0.101 0.04494 1.072 0,743 0.752 3.579 T A B E L A I I C - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS fp = 9,5 MPa; f t = 165 MPa; n = 27,63 DADOS DO PROJETO f p = 9.5 MPa = 0.95 kN/cm ? jd kd f,a v = 0,33f p = 3 , 1 3 5 MPa \ = 165,0 MPa E ^ = 800 f p = 7600 MPa E t = 210000 MPa EQUAÇÕES DO PROJETO n= k = P= f-v f. K E 1 + K= f/n A, bxd P x M M k = 1- f^ K f^xk. A = K_ 3 M f np K - y vk xk x f xkxd k, 2 / (K, X Kx) 0.033 16.5 0,001 0.00005 0.001 0.052 0.983 38.869 0.066 16.5 0.003 0,00020 0,006 0.100 0.967 20.785 0,099 16,5 0,007 0,00043 0.012 0.142 0.953 14.763 0.132 16.5 0,011 0,00072 0,020 0.181 0.940 11.757 0,165 16,5 0,017 0,00108 0,030 0.216 0.928 9,957 0.198 16,5 0.023 0,00149 0.041 0.249 0.917 8.759 0,231 16.5 0.029 0,00195 0,054 0.279 0.907 7,905 0.264 0.00245 0.068 0.307 0.898 7.266 0.889 6,771 16.5 0.036 0.297 16,5 0,044 0,00299 0,083 0.332 0,314 16,5 0,048 0,00327 0,090 0,344 0,885 6,563 0.314 15,0 0.050 0.00383 0,106 0.366 0.878 6,223 0.314 13.5 0.053 0.00454 0,125 0.391 0.870 5,883 0.314 12,0 0,057 0.00548 0,151 0.419 0.860 5.546 0,314 10,5 0,060 0.00675 0,186 0,452 0.849 5,209 0.314 9.0 0,064 0.00854 0.236 0.490 0.837 4.875 0.314 7.5 0.069 0.01120 0.310 0.536 0.821 4.543 0.314 6.0 0,074 0,01543 0,426 0.591 0.803 4.215 0.314 4.5 0,081 0.02292 0,633 0.658 0.781 3,893 0.314 3.0 0.088 0.03881 1,072 0.743 0.752 3.579 T A B E L A I I D - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS fp = 8.0 MPa; f s = 165 MPa; n = 32,81 M DADOS DO PROJETO fp = 8.0 MPa = 0,80 kN/cnf jd J T L E„ = 210000 MPa EQUAÇÕES DO PROJETO í1 ' * f5 = 165,0 MPa M P a E iV = 800 fp = 6400 MPa s d = ° - 3 3 f„ = 2 - 6 4 ' *tv 1 k - o* v d O ' K k - r * b x d " fs x k, 4 * fsxk,x d f-v f. K P np k. k. 2/(KIXK1) 0.033 16.5 0,001 0,00006 0.002 0.062 0.979 33,157 0.066 16.5 0,004 0.00023 0.008 0.116 0.961 17,932 0.099 16.5 0,008 0,00049 0.016 0.164 0.945 12,864 0.132 16.5 0,013 0.00083 0.027 0,208 0.931 10,335 0.165 16.5 0,019 0,00124 0.041 0,247 0.918 8.822 0.198 16.5 0,025 0,00170 0.056 0,283 0.906 7,815 0.231 16.5 0,033 0,00220 0.072 0,315 0.895 7,099 0,264 16,5 0,040 0,00275 0,090 0,344 0,885 6,563 0.264 15.0 0,042 0,00322 0.106 0,366 0,878 6,223 0.264 13,5 0,045 0,00382 0,125 0,391 0,870 5.883 0.264 12.0 0,048 0,00461 0,151 0,419 0,860 5,546 0.264 10.5 0,051 0.00568 0,186 0.452 0.849 5,209 0,264 9,0 0,054 0.00719 0.236 0.490 0,837 4,875 0,264 7,5 0,058 0.00943 0.310 0,536 0,821 4,543 0,264 6,0 0,063 0.01300 0.426 0.591 0,803 4,215 0,264 4,5 0,068 0.01930 0,633 0.658 0.781 3.893 0,264 3,0 0,074 0.03268 1,072 0.743 0,752 3.579 T A B E L A I I E - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS fp = 6,5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40,38 M DADOS DO PROJETO f = 6.5 MPa = 0.65 kN/cm* p jd - f - ifX ^ k_ X í = 165,0 MPa E ^ = 800 f p = 5200 MPa c £ N kd = 0 , 3 3 ^ = 2,145 MPa E s = 210000 MPa EQUAÇÕES DO PROJETO v' ' n- r' ' ?'. ' - ' ' '' - E* E Ic- K' ' d p M F bxd2 = '/2 xk 2 ' xk ' xf *v k - 1 A w bxd / xfc A/f ' fa xktx d 1. K P np K K 2 / (Kz X Kx) 0,033 16.5 0,001 0.00007 0,003 0.075 0.975 27.446 0.066 16.5 0,004 0,00028 0.011 0,139 0.954 15.080 0,099 16.5 0.009 0,00059 0.024 0.195 0,935 10,967 0,132 16,5 0.015 0.00098 0.039 0.244 0,919 8.916 0,165 16,5 0.021 0.00144 0.058 0.288 0.904 7.690 0,198 16.5 0.029 0.00196 0.079 0.326 0,891 6,875 0,215 16,5 0,033 0,00224 0,090 0,344 0,885 6,563 0.215 15.0 0,034 0.00262 0,106 0.366 0,878 6.223 0,215 13,5 0,036 0.00311 0.125 0.391 0.870 5,883 0.215 12,0 0,039 0.00375 0,151 0.419 0,860 5.546 0,215 10,5 0.041 0.00462 0,186 0,452 0,849 5,209 0.215 9.0 0,044 0.00584 0,236 0,490 0.837 4.875 0.215 7.5 0,047 0.00766 0,310 0,536 0,821 4.543 0.215 6.0 0,051 0.01056 0.426 0,591 0.803 4.215 0.215 4.5 0,055 0.01569 0.633 0.658 0.781 3.893 0.215 3.0 0.060 0.02655 1,072 0,743 0.752 3.579 T A B E L A I I F - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS f p = 5.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 52.50 DADOS DO PROJETO f = 5.0 MPa = 0.50 kN/cm ? f«. = 0,33 fP = 1,65 MPa 165,0 MPa EAV = 800 fp = 4000 MPa E = 2 1 0 0 0 0 MPa EQUAÇÕES DO PROJETO n - k = d P = E. 1 1 + f/hxf„ A b x d M K f f *k. x k xd f-v f. K P np K K 2 / (Kz x Kx) 0,033 16,5 0,002 0,00010 0.005 0,095 0968 21,736 0,066 16.5 0,005 0,00035 0.018 0,174 0,942 12,231 0,099 16.5 0,011 0.00072 0.038 0,240 0,920 9,074 0,132 16.5 0,018 0.00118 0,062 0,296 0,901 7,501 0,165 16,5 0,025 0,00172 0,090 0,344 0,885 6,563 0.165 15.0 0,027 0,00201 0,106 0,366 0.878 6,223 0.165 13.5 0,028 0,00239 0,125 0,391 0,870 5,883 0.165 12,0 0,030 0,00288 0,151 0,419 0.860 5,546 0.165 10,5 0,032 0,00355 0,186 0,452 0,849 5,209 0.165 9,0 0,034 0,00450 0,236 0,490 0,837 4,875 0.165 7,5 0,036 0,00590 0,310 0,536 0,821 4,543 0.165 6,0 0,039 0,00812 0,426 0,591 0,803 4,215 0,165 4.5 0,042 0,01207 0.633 0,658 0,781 3,893 0,165 3,0 0,046 0.02043 0,072 0,743 0,752 3,579 T A B E L A I I G - ANÁLISE DE ELEMENTOS FLETIDOS - MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS f p = 3,5 MPa; f% = 165 MPa; n = 75,00 M DADOS DO PROJETO f = 3.5 MPa = 0.350 kN/cm 2 p jt jd s \ kd f ^ = 0.33 f p = 1.555 MPa N X EoV J = 8 0 0 fp = 2 8 0 0 f s = 165.0 MPa = M P a 21 0000 M P a EQUAÇÕES DO PROJETO ; v» c> lc- ' d o ' k - 1 - 1 1 ' * b x d / 3 * 1 - x k, f 9 x k r x d L, t. K p np k. k, 2 / (Kx x K J 0,033 16,5 0,002 0.00013 0.010 0.130 0,957 16,030 0,066 16,5 0.005 0.00046 0.035 0,231 0,928 9.389 0,083 16,5 0.010 0.00068 0.051 0,273 0,909 8.067 0,099 16,5 0.014 0.00093 0,070 0,310 0.897 7.188 0,116 16,5 0,018 0,00120 0,090 0,344 0,885 6,563 0,116 15,0 0,019 0,00141 0,106 0,366 0.878 6.223 0,116 13,5 0.020 0,00167 0,125 0,391 0.870 5.883 0,116 12,0 0,021 0,00202 0,151 0,419 0.860 5.546 0,116 10,5 0.022 0,00249 0.186 0,452 0.849 5.209 0.116 9.0 0.024 0,00315 0.236 0.490 0.837 4.875 0,116 7,5 0.025 0,00413 0.310 0.536 0.821 4,543 0,116 6,0 0.027 0.00569 0.426 0,591 0,803 4,215 0,116 4,5 0.030 0.00845 0.633 0,658 0,781 3,893 0,116 3,0 0.032 0.01430 0.072 0,743 0,752 3,579 TABELA I I I A - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO f p = 12.5 MPa; f s = 165 MPa; n = 21.00 DADOS DO PROJETO L = 0.33fp E * = 800fp . E„ = 210000 MPa d SITUAÇÃO B A L A N C E A D A / ^ s p = 0.00430 V k,^ = 0.344 ^ J M 'yls '1 b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 22.00 29.86 45.57 78.57 157,14 188.57 7,0 43,12 58.52 89.32 154.00 307,99 369.59 10,0 88.00 119.43 182.28 314,28 628.56 754.27 14.0 172.48 234.08 357.27 615.99 1231.98 1478.38 20.0 351.99 477.71 729.13 1257.12 2514.24 3017.09 746.42 1139.27 1964,25 3928.51 4714.21 2828.52 5657.05 6788.46 25.0 549.99 30.0 791.99 1074.84 1640.54 35.0 1077.98 1462,98 2232.96 3849.94 7699.87 9239.84 40.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37 45.0 1781.97 2418.39 3691,22 6364.18 12728.36 15274.03 50.0 2199.96 2985.66 4557.07 7857.01 15714.02 18856.83 55.0 2661.96 3612.65 5514,05 9506.98 19013.97 22816,76 60.0 3167.95 4200.36 6562,18 11314,10 22628.10 27153,83 65.0 3717.94 5045.77 7701,44 13278.35 26566.70 31868,04 70.0 4311.93 5851.90 8931,85 15399.74 30799.48 36959,38 75.0 4949.92 6717,74 10253.40 17678.27 35356.55 42427.86 80.0 5631.91 7643.30 11666.09 20113.95 40227.90 48273.47 TABELA I I I B - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO fp = 11.0 MPa; f5 = 165 MPa; n = 23.86 DADOS DO PROJETO L = 0.33fp E ^ = 800fp . E. = 210000 MPa d SITUAÇÃO B A L A N C E A D A < 4 1 ^ ^ p = 0.00379 y\\ / M. / V Kob = ° - 3 4 4 b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 19.36 26.27 40.10 69,14 138.28 165.94 7.0 37.94 51.50 78,60 135,52 271.04 325,24 10.0 77.44 105,10 160,41 276,57 553.13 663,76 14.0 151.78 205,99 314,40 542,07 1084.14 1300,97 20.0 309.75 420,38 641.63 1106,27 2212.53 2655.04 25.0 483.99 656,85 1002,55 1728.54 3457.08 4148.50 30.0 696.95 945,86 1443.68 2489,10 4978.20 5973,84 35.0 948.62 1287.42 1965,01 3387,94 6775.89 8131.06 40.0 1239,02 1287.42 2566,54 4425.07 8850.14 10620.16 45.0 1568,13 2128,18 3248.28 5600.48 11200.95 13441.15 50,0 1935,97 2627,38 4010,22 6914.17 13828,34 16594.01 55.0 2342.52 3179,14 4852.36 8366.15 16732,29 20078.75 60.0 2707.79 3783.43 0774.71 9950,40 19912,01 23805.37 65.0 3271,79 4440.28 6777.27 11684,95 23369,89 28043.87 70.0 3794,50 5149.67 7860.03 13551,77 27103,54 32524.25 75.0 4355,93 5911.61 9022,99 15556,88 31113,76 37336.52 80.0 4956,08 6726,10 10266.16 17700,27 35400,55 42480.66 TABELA I I I C - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO fp = 9,5 MPa; f5 = 165 MPa; n = 27.63 MJZIP DADOS DO PROJETO L = 0.33f p E * = 800fp . E„ = 210000 MPa d SITUAÇÃO B A L A N C E A D A p = 0.00327 \ k x , = 0.344 ^ 'O AX/ b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 16,72 22.69 34,63 59,71 119,43 143.31 7.0 32,77 44.47 67,88 117,04 234,08 280.89 10,0 66.88 90.76 138.53 238,85 477,71 573.25 14,0 131.08 177,90 271,53 468.15 936.30 1123,57 20.0 267.52 363,06 554.14 955.41 1910,83 2292.99 25.0 417.99 567,28 865,84 1492.83 2985,66 3582.80 30.0 601.91 816,88 1246,81 2149.68 4299.36 5159,23 35.0 819.27 1111,86 1697,05 2925,95 5851,90 7022,28 40.0 1070,06 1452.23 2216,56 3821.65 7643,30 9171.96 45.0 1354.30 1837.97 2805,33 4836.78 9673.55 11608,26 50,0 1671,97 2269.10 3463,37 5971.33 11942.66 14331,19 55,0 2023,09 2745,62 4190,68 7225.31 14450,61 17340,74 60.0 2407.64 3267,51 4987.25 8598.71 17197.43 20636.91 65,0 2825,63 3834,79 5853,10 10091.54 20183.09 24219.71 70,0 3277,06 4447,45 6788,21 11703.80 23407.61 28089.13 75,0 3761,94 5105,49 7792.58 13435,49 26870.98 32245.17 80,0 4280.25 5808.91 8866,23 15286,60 30573.20 36687.84 TABELA I I I D - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO f p = 8.0 MPa; f, = 165 MPa; n = 32,81 MJZ^f DADOS DO PROJETO L = 0.331, E * = 800fp . E, = 210000 MPa d K Í f l _ SITUAÇÃO B A L A N C E A D A p = 0.00275 V 1 ^ = 0.344 3rw> 4>/ a t* ll ^ 4 r 5 b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 14,08 19,11 29.17 50.28 100.57 120.68 7.0 27.60 37.45 57.16 98.56 197,12 236.54 10.0 56.32 76.43 116.66 201,14 402.28 482.73 14.0 110.39 149.81 228.66 394,23 788.47 946,16 20.0 225.28 305-73 466.64 804.56 1609.12 1930,94 25.0 351.99 477.71 729.13 1257,12 2514.24 3017.09 30.0 506,87 687.90 1049.95 1810,26 3620.51 4344,61 35.0 689.91 936.30 1429.10 2463.96 4927.92 5913,50 40.0 901,10 1222.93 1866.57 3218,23 6436.46 7723.76 45.0 1140.46 1547,77 2362.38 4073,07 8146.15 9775.38 50.0 1407.98 1910.83 2916.52 5028,49 10056.97 12068.37 55.0 1703.65 2312.10 3528.99 6084.47 12168.94 14602.73 60.0 2027.49 2751.59 4199.79 7241.02 14482.04 17378,45 65,0 2379,48 3229,29 4928.92 8498.14 16996.29 20395.54 70,0 2759.63 3745,22 5716.38 9855.83 19711.67 23654.00 75,0 3167.95 4299.36 6562.18 11314.10 22628.19 27153.83 80.0 3604.42 4891.71 7466.30 12872.93 25745.85 30895.02 TABELA I I I E - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO f p = 6.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 40.38 DADOS DO PROJETO L MJP^T = 0.33f p E * = 800fp . E, = 210000 MPa 4 V J/j / J K^í I d ^ SITUAÇÃO B A L A N C E A D A p = 0.00224 V k x , = 0.344 ^ / d M b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 11,44 15.53 23.70 40.86 81,71 98.06 7.0 22.42 30.43 46.45 80.08 160.16 192.19 10.0 45.76 62.10 94.79 163,43 326.85 392.22 14.0 89.69 121.72 185.78 320.31 640.63 768.76 20.0 183.04 248.41 379.15 653.70 1307.41 1568.89 25.0 286.00 388,14 592.42 1021.41 2042.82 2451.39 30.0 411.83 558.92 853.08 1470.83 2941.66 3530.00 35,0 560.55 760.75 1161.14 2001.97 4003.93 4804,72 40.0 732,15 993.63 1516.59 2614,81 5229.63 6275.55 45.0 926,62 1257.56 1919.44 3309.37 6618,75 7942,50 50.0 1143,98 1552.55 2369.67 4085.65 8171.29 9805.55 55.0 1384.22 1878.58 2867,31 4943.63 9887.26 11864.71 60.0 1647.33 2235.67 3412.33 5883.33 11766.66 14119.99 65.0 1933.33 2623.80 4004,75 6904.74 13809,48 16571.38 70.0 2242.20 3042.99 4644.75 8007.87 16015.73 19.218.88 75.0 2573.96 3493.23 5331.77 9192.70 18385.41 22062.49 80,0 2928.59 3974.52 6066,37 10459,25 20918.51 25102.21 TABELA I I I F - MOMENTO RESISTENTE PARA O DIMENSIONAMENTO BALANCEADO f p = 5.0 MPa; f s = 165 MPa; n = 52.50 DADOS DO PROJETO L = 0.33fp E * = 800fp . E = 210000 MPa < í f l / J / 1 M r y i / SITUAÇÃO B A L A N C E A D A p = 0.00172 Kx, = ° - V 3 4 4 b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 8.80 11.94 18,23 31,43 62,86 75,43 7.0 17.25 23.41 35,73 61,60 123.20 147.84 10.0 35.20 47.77 72,91 125.71 251.42 301.71 14.0 68.99 93.63 142,91 246.40 492.79 591.35 20.0 140.80 191.08 291,65 502,85 1005,70 1206.84 25.0 220.00 298.57 455,71 785.70 1571,40 1885.68 30.0 316.79 429.94 626,22 1131.41 2262.82 2715,38 35.0 431.19 585.19 893,18 1539,97 3079,95 3695,94 40.0 563.19 164.33 1166.61 2011,39 4022.79 4827.35 45.0 712.79 967.36 1476.49 2545,67 5091.34 6109.61 50.0 879.99 1194.27 1822.83 3142.80 6285.61 7542.73 55.0 1064,78 1445.06 2205.62 3802,79 7605.59 9126.70 60.0 1267.18 1719.74 2624.87 4525,64 9051,28 10861,53 65.0 1487.18 2018.31 3080.58 5311,34 10622,68 12747,21 70.0 1724.77 2340.76 3572.74 6159,90 12319,79 14783,75 75.0 1979.97 2887,10 4101.36 7071,31 14142,62 16971,14 80.0 2252.76 3057.32 4666,44 8045.58 16091,16 19309,39 TABELA I I I G - MOMENTO RESISTENTE PARA o DIMENSIONAMENTO BALANCEADO fp = 3.5 MPa; f, = 165 MPa; n = 75.00 DADOS DO PROJETO L = 0.33fp ^ = 800 f p . E r = 210000 MPa d , I / aJS^ / J / j J M " I SITUAÇÃO B A L A N C E A D A p = 0.00121 X k , ^ 0.344 ^ b d 14,0 19,0 29,0 50,0 100,0 120,0 5.0 6.16 8.36 12,76 22,00 44.00 52,80 7.0 12,07 16,39 25,01 43,12 86,24 103,49 10.0 24,64 33,44 51,04 88,00 176,00 211,20 14.0 48.29 65.54 100,04 172,48 344,95 413,95 20.0 98,56 133,76 204.16 351.99 703,99 844,79 25.0 154,00 209,00 318.99 549,99 1099.98 1319,98 30.0 221,76 300,95 459.35 791,99 1583.97 1900,77 35.0 301,83 409,63 625.23 1077,98 2155.96 2587,16 40.0 394,23 535,03 816.63 1407,98 2815,95 3379,14 45.0 498,95 677,15 1033,54 1781,97 3563,94 4276,73 50.0 615,99 835,99 1275,98 2199,96 4399,93 5279,91 55,0 745.35 1011,54 1543,93 2661,96 5323,91 6388,69 60.0 887.03 1203,82 1837,41 3167,95 6335,89 7603,07 65.0 1041.02 1412,82 2156,40 3717.94 7435.88 8923,05 70.0 1207.34 1638.53 2500,92 4311,93 8623,86 10348,63 75.0 1385.98 1880.97 2870.95 4949.92 9899,83 11879.80 80.0 1579,93 2140,12 3266.51 5631,91 11263.81 13516,57 Tabelas de Flexão TABELA IV - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I K„ K. K, K, K, nK' np 0.033 0.036 0.068 0.074 0.977 5.486 5,264 0.0024 0.0025 0.0030 0.039 0.042 0.973 0.971 0.045 0.080 0.086 0.093 0.073 0.080 0.087 0.094 0.969 0.103 5,068 4,893 4,711 0,048 0.099 0.967 0.110 4,571 0,0053 0.051 0,054 0.057 0.106 0,112 0.119 0.126 0.135 0,143 4,423 4.307 0,0061 0,0068 0,0077 0.975 0.060 0.119 0.125 0.965 0.963 0.960 0.958 0.063 0.066 0.132 0.138 0.956 0.954 0.152 0.160 3.981 3,898 0,069 0.072 0.145 0.152 0.952 0.949 0.947 0.170 0.179 0.945 0.179 0,943 0.940 0.185 0.192 0.938 0.936 0.093 0,199 0,934 0,096 0.099 0.102 0,206 0.213 0.220 0.227 0,931 0.929 0.927 0.924 0.234 0.922 0.241 0.249 0.920 0.917 0.120 0.256 0.263 0.123 0.126 4,183 4,086 0,0029 0.0034 0.0039 0.0046 0,0086 0,0035 0,0040 0,0048 0.0054 0.0063 0.0071 0.0080 0.0089 0.0100 0.0110 3,807 3,723 0.0096 0.0105 0.0117 0.0129 0.188 3.655 0.0140 0.0148 0.198 0.0154 0.0163 0,208 0,218 0,227 3.581 3.512 3.447 3.394 0.0179 0.0195 0.238 3,336 0.0168 0.0183 0.0197 0,0214 0,248 0.259 0,271 0.282 0,294 3,281 3,229 0.0231 0,0249 3.179 3.132 3.087 0.0268 0.0288 3,045 3,004 0.0357 2,960 0.0330 0.0352 0,0379 0.915 0.912 0.305 0.318 0.332 0,344 0.357 2,923 2,887 0,0403 0,0428 0.0440 0.0469 0.270 0.278 0.910 0.907 0.370 0.385 2,853 2,816 0.0454 0.0499 0.0535 0,129 0.132 0.285 0.293 0.905 0.902 0.399 0.414 2.785 2,750 0.0486 0.0514 0.0548 0.135 0.300 2,722 0.0579 0.0643 0.308 0.900 0.897 0.429 0.138 0.141 0.895 0.892 2,690 2,663 2,634 0.0615 0.315 0.323 0.445 0,460 0,0648 0.0688 0.0685 0.0724 0.0771 0.147 0.150 0.330 0.338 0.890 0.887 0,493 0.511 2.610 2,582 0.0723 0,0766 0.0813 0.0863 0,153 0.156 0,346 0.354 0.885 0.882 0.362 0.370 0,0903 0,0953 0.0915 0.0970 0.1027 0.1087 0.165 0.378 0,879 0.877 0.874 2,556 2,531 2,507 2,483 0,0810 0,0855 0.159 0.162 0,529 0.548 0.567 0.587 0.608 2.460 0.1004 0.1149 0.075 0.158 0.078 0.165 0.172 0.081 0,084 0.087 0.090 0.105 0.108 0.111 0.114 0.117 Equações básicas: km = 0.0308 » = "57d 0.0123 0.0136 0.0210 0.0228 0,0247 0.0267 0.0288 0,0310 0.0333 0.0383 0.0413 0.0568 0.0607 T A B E L A I V - TABELA DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I (CONTINUAÇÃO) K K k. k. k, n k, np 0.168 0,171 0.174 0.177 0.386 0,394 0.402 0.410 0.418 0.427 0.435 0.444 0,452 0,461 0.871 0,869 0.866 0.863 0,861 0,858 0,855 0.852 0,849 0,846 0,844 0,841 0.838 0,835 0.832 0.629 0,650 0.672 0.695 0.718 0.745 0,770 0.799 0.825 0,855 2.439 2,417 2.397 2.377 2,358 2.337 2,319 2.299 2,282 2,264 0.1057 0.1213 0.1281 0.1351 0.1425 0.1501 0.1591 0.1675 0.1773 0.1864 0.883 0,916 0.949 0.984 1.020 0,829 0.826 0,822 0,819 0.816 1,058 1.096 1,141 1,183 1,227 0.561 0.570 0.813 0,810 1,278 1.326 2,248 2,231 2.214 2.198 2.182 2,167 2.152 2,136 2,122 2.109 2.094 2.081 0,237 0,240 0.243 0,246 0,249 0.252 0,255 0,258 0.261 0,264 0.267 0,270 0.590 0.600 0.610 0,620 0.631 0.641 0.803 0.800 0.797 0,793 0.790 0.786 0.783 0,779 0,776 0,772 0.768 0,765 1.439 1.500 1,564 1,632 1.710 1.786 1.865 1.959 2.058 2.165 2.279 2.401 0,273 0.276 0.279 0,282 0.285 0,288 0.291 0.294 0.297 0.300 0,718 0.729 0.741 0,761 0.757 0,753 0,749 0.745 0.741 0.737 0.732 0.728 0,724 2,546 2.690 2.861 3,049 3,255 0,180 0,183 0,186 0.189 0,192 0.195 0.198 0,201 0.204 0,207 0.210 0.213 0.216 0,219 0,222 0.225 0.228 0.231 Equações básicas: M Y 0,469 0,478 0.487 0,496 0.505 0.514 0.523 0.533 0.542 0.551 0.651 0,662 0.673 0.684 0.695 0.706 0,753 0.765 0.778 0.790 0.803 0.816 0.829 M k = —r—-r2 f^x b x d 2 2.054 2,041 2.029 2,016 2,003 1.992 1.981 1.969 1.957 1,946 1.935 1,925 1.914 1.904 1.893 1,883 1.873 3,505 3.762 4,076 4.435 4.848 1.863 1.854 1,844 1.835 1.826 n o© M nxk = -—-—— f x b x d 2 0,1113 0.1170 0.1230 0.1292 0.1365 0.1432 0.1510 0.1583 0,1668 0.1747 0,1840 0.1936 0.2037 0.2142 0,1971 0.2071 0.2189 0,2312 0.2441 0.2576 0.2252 0,2367 0.2501 0.2628 0.2760 0.2914 0.3060 0.2718 0.2867 0.3410 0.3600 0.3801 0.4013 0.4260 0.4500 0.4754 0.4245 0.4500 0.4771 0.5052 0.5372 0.5715 0.6084 0.6482 0.6953 0.7423 0.7982 0.8597 0.9276 1.0097 1.0947 1,1985 1.3172 1.4542 A p = — — bxd 0.3042 0.3207 0.3381 0.3585 0.3778 0,5058 0,5395 0.5723 0.6072 0.6483 0,6926 0.7403 0,7918 0.8477 0,9140 0.9805 1.0600 1,1478 1.2452 1.3633 1.4860 1.6366 1.8094 2.0095 T A B E L A V A - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 n = 15 k. 100 p Y. Y- m k. k. 100 p Y. Y-, 0,688 0.706 0,722 0.737 0.750 0,762 0.773 0,783 0,792 0,800 1.76 1,79 1,82 1,85 1.89 1,92 1,95 1.98 2,01 2,04 2.07 2.10 2,13 2,16 2.19 2,22 2,25 2,28 2,31 2.33 0.22 0,22 0.21 0.20 0.19 0.19 0.18 0.18 0.17 0.17 22.04 22.41 3.09 3.11 3.13 3.15 3.17 3.19 3.21 3.23 3.25 3.27 2.36 2.39 2.42 2.44 2.47 2,50 2,52 2,55 2,57 2.60 2,62 2,65 2,67 2,70 2,72 2,75 2.77 2,79 2,82 2,84 71 72 0,319 0.313 0,306 0,300 0,294 0,288 0,283 0,278 0,273 0.99 0.92 0.86 0.80 0.75 0.70 0,66 0.62 0.59 0.56 0.53 0.50 0.47 0.45 0.43 0.41 0.39 0.37 0.36 0.34 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 0,948 0.948 0.949 0.949 0.950 0.950 0.951 0.951 0.952 0.952 0.16 0.16 0.15 0.15 0.14 0.14 0.14 0,13 0.13 0.13 0.12 0.12 0.12 0.11 0.11 0.11 0.11 0.10 0.10 0.10 0.10 0.09 0.09 0.09 0.09 0.09 0.08 0.08 0.08 0.08 0.268 0,263 0,259 0,254 0,250 0,246 0.242 0.238 0,234 0,231 0,911 0.912 0.914 0.915 0.917 0.918 0,919 0,921 0,922 0.923 0.33 0.31 0.30 0.29 0.28 0,27 0,26 0.25 0.24 0.23 18.33 18.71 19.08 19.45 19.82 20.19 20.56 20.93 21.30 21.67 2,86 2,89 2,91 2,93 2,95 2,98 3,00 3,02 3,04 3.06 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 0.227 0.224 0.221 0,217 0.214 0.211 0,208 0.205 0.203 0.200 0.197 0.195 0.192 0.190 0.188 0.185 0.183 0.181 0.179 0.176 0.174 0.172 0.170 0.169 0.167 0.165 0,163 0,161 0,160 0,158 0.156 0.155 0.153 0,152 0.150 0.149 0.147 0.146 0.144 0.143 0.142 0.140 0.139 0.138 0.136 0.135 0.134 0.133 0,132 0.130 0.924 0.925 0.926 0.928 0.929 0.930 0.931 0.932 0,932 0.933 0.934 0.935 0.936 0.937 0.938 0.938 0.939 0,940 0.940 0,941 0.861 0.865 0.868 0.872 0,875 0,878 0,881 0,884 0,886 0.889 0.891 0,894 0,896 0.898 0,900 0,902 0,904 0,906 0,907 0,909 1.76 2.53 3.16 3.71 4.22 4.70 5.15 5.60 6.03 6.45 6.87 7.28 7.69 8.09 8.49 8.88 9.27 9.66 10.05 10.43 10.82 11.20 11.58 11.96 12.34 12.72 13.10 13.48 13.85 14.23 14.61 14.98 15.35 15,73 16.10 16.47 16.85 17.22 17.59 17.96 51 0.808 0.815 0,821 0,828 0.833 0,839 0,844 0,848 0,853 0,857 46.88 22.06 13.89 9.87 7.50 5.95 4.87 4.08 3.47 3.00 2.62 2.31 2.06 1.85 1.67 1,51 1.38 1.26 1.16 1,07 0.953 0.953 0.954 0.954 0.955 0.955 0,955 0.956 0.956 0.957 0.08 0.08 0.07 0.07 0.07 0.07 0.07 0.07 0.07 0.07 25.72 26.09 26.46 26.83 27.19 27.56 27.93 28.30 28.67 29.03 29.40 29.77 30.14 30.50 30.87 31.24 31.60 31.97 32.34 32.71 33.07 33.44 33.81 34.17 34.54 34.91 35.27 35.64 36.01 36.37 36.74 37.11 37.47 37.84 38.21 38.57 38.94 39.31 39.67 40.04 K 0.938 0.882 0.833 0.789 0.750 0.714 0.682 0,652 0.625 0.600 0.577 0.556 0.536 0,517 0.500 0.484 0,469 0.455 0,441 0.429 0.417 0.405 0,395 0,385 0,375 0,366 0,357 0.349 0.341 0.333 0.326 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 73 74 75 76 77 78 79 80 0.942 0.943 0.943 0.944 0.944 0.945 0,946 0.946 0.947 0.947 22.11 23.14 23.51 23.88 24.25 24.62 24.99 25.35 3.29 3,31 3.33 3.35 3,37 3,39 3.41 3,43 3.45 3.47 3.49 3.51 3.53 3.55 3.56 3.58 3.60 3.62 3.64 3.66 3.67 3.69 3,71 3.73 3.75 3.76 3.78 3.80 3.82 3.83 3.85 3.87 3.89 3.90 3.92 3,94 3.95 3.97 3.99 4.00 T A B E L A V B - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I n = 25 m K K 100 p Y. Yriv m K K 100 p Y. Y* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.962 0.926 0.893 0.862 0.833 0.806 0.781 0.758 0.735 0.714 0.679 0.691 0.702 0.713 0.722 0.731 0.740 0.747 0.755 0.762 48,08 23,15 14.88 10.78 8.33 6,72 5.58 4,73 4.08 3,57 0.329 0.325 0.321 0.316 0.313 0.309 0.305 0.301 0.298 0.294 0.890 0.892 0.893 0.895 0.896 0.897 0.898 0.900 0.901 0.902 2.61 2.63 2.64 2.66 2.67 2.69 2.70 2.72 2,73 2.75 0.769 0.775 0.781 0.786 0.792 0.797 0.802 0.806 0.811 0.815 0.819 0.823 0.826 0.830 0.833 0.837 0.840 0.843 0.846 0.848 3,16 2,82 2,53 2,29 2,08 1,91 1,75 1.61 1,50 1,39 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 0.291 0.287 0.284 0.281 0.278 0.275 0.272 0.269 0.266 0.263 0.260 0,258 0.255 0.253 0.250 0.248 0.245 0.243 n. toa(\ U H U 21,56 21,85 22,13 22,42 22,71 23,00 23,29 23,57 23.86 24.15 24,44 24,72 25,01 25,30 25,58 25,87 26.16 26.44 2.76 2.77 2.79 2.80 2,82 2,83 2,84 2,86 2,87 2.89 2,90 2.91 2.93 2.94 2,95 2,97 2.98 2.99 O A1 3.01 3.02 0.446 0.439 0.431 0.424 0.417 0.410 0.403 0.397 0.391 0.385 0.379 0.373 0.368 0.362 0.357 0.352 0.347 0.342 0.338 0.333 0.851 0.854 0.856 0.859 0.861 0.863 0.866 0.868 0.870 0.872 0.874 0.876 0.877 0.879 0.881 0.883 0.884 0.886 0,887 0,72 0,69 0,65 0,62 0.60 0,57 0.54 0,52 0,50 0.48 0,46 0.44 0,43 0.41 0.40 0.38 0,37 0.36 0,34 0.33 2.29 2.31 2.33 2.34 2,36 2,38 2.39 2.41 2.43 2,44 2,46 2.47 2,49 2,51 2,52 2,54 2,55 2,57 2,58 2,60 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 0,15 0,14 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 0,13 0.12 0.12 0,12 0.12 0,11 0,11 0,11 0.11 0.11 0.10 0,10 0,10 27,30 27,59 0.889 12,77 13.07 13,37 13,67 13,97 14,26 14,56 14,86 15,15 15.45 15,74 16.03 16,33 16,62 16,91 17,21 17.50 17.79 18,08 18,37 0.903 0.904 0.905 0.906 0.907 0.908 0.909 0.910 0,911 0.912 0.913 0.914 0.915 0.916 0.917 0.917 0.918 0.919 0.920 0.921 0.921 0.922 0.923 0.924 "0.924 0.925 0.926 0.926 0.927 0.928 0.928 0.929 0.929 0.930 0.931 0.931 0.932 0.932 0.933 0,32 0.31 0.30 0,29 0.28 0,28 0.27 0.26 0.25 0,25 0,24 0,23 0,23 0,22 0.21 0,21 0,20 0,20 0,19 0.19 0,18 0,18 0.17 0,17 0,17 0,16 0,16 0,16 A < C 0,15 0.15 18.66 18.95 19,24 19.53 19.82 20,11 20,40 20.69 20.98 21,27 0.694 0.676 0.658 0.641 0.625 0.610 0.595 0.581 0.568 0.556 0.543 0.532 0.521 0.510 0.500 0.490 0.481 0.472 0.463 0.455 1.75 1.77 1.79 1.80 1.82 1,84 1.86 1.88 1.90 1,92 1,94 1.95 1.97 1.99 2.01 2.03 2.05 2.07 2.08 2,10 2,12 2.14 2.16 2.17 2.19 2,21 2.23 2,24 2.26 2.28 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 1.75 2,50 3,09 3,61 4.08 4,51 4.92 5,32 5.69 6.06 6,42 6.77 7.11 7.45 7.79 8.12 8.44 8,76 9,08 9,40 9,71 10.03 10.34 10.65 10.95 11,26 11,57 11,87 12,17 12,47 1,29 1.21 1,13 1,06 1,00 0,94 0,89 0,84 0,80 0,76 0.238 0.236 0.234 0,231 0.229 0.227 0.225 0.223 0.221 0.219 0.217 0.216 0.214 0.212 0.210 0.208 0.207 0.205 0.203 0.202 0.200 0.933 cO, / O 27,02 27,88 28.16 28,45 28.73 29,02 29,31 29,59 29.88 30,16 30,45 30,73 31,02 31,31 31,59 31.88 32.16 32,45 32,73 3,03 3,05 3.06 3.07 3,09 3,10 3.11 3,12 3,14 3,15 3,16 3.17 3,19 3,20 3.21 3,22 3,24 3,25 3,26 3,27 T A B E L A V C - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I k, 100 p Y. 'U 0,407 0,402 0,398 0,393 0.389 0.385 0.380 0,376 0.372 0.368 0.864 0.866 0.867 0.869 0.870 0.872 0.873 0.875 0.876 0.877 0,40 0,39 0,38 0,36 0,35 0,34 0,33 0.32 0.32 0,31 17,03 17,28 17,53 17.78 18,03 18.28 18,53 18,77 19.02 19,27 2.38 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.47 2.48 2.49 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 0,365 0,361 0.357 0,354 0,350 0.347 0.343 0.340 0.337 0.333 0,30 0,29 0.28 0,28 0,27 0.26 0.26 0.25 0,24 0,24 19,52 19,76 20,01 20.26 20,51 20,75 21.00 21.25 21,49 21,74 2,50 2,51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.57 2.58 2.59 2.60 0,23 0,23 0.22 0.22 0.21 0,21 0.20 0.20 0.19 0,19 21,98 22,23 22.47 22.72 22.96 23.21 23.45 23.70 23.94 24,19 0,302 0.299 0,297 0,294 0.292 0.289 0.287 0.285 0.282 0.280 0.878 0.880 0.881 0.882 0.883 0.884 0.886 0.887 0.888 0.889 0.890 0.891 0.892 0.893 0.894 0.895 0.896 0.897 0.898 0.899 0.899 0.900 0,901 0.902 0.903 0.904 0.904 0.905 0.906 0.907 0,19 0,18 0,18 0,18 0.17 0.17 0,16 0,16 0.16 0,16 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 0,278 0,276 0.273 0,271 0.269 0.267 0.265 0.263 0.261 0.259 0,907 0.908 0.909 0.910 0.910 0.911 0.912 0.912 0.913 0.914 0,15 0,15 0,15 0,14 0,14 0,14 0,14 0,13 0,13 0,13 24.43 24,68 24,92 25,17 25.41 25.65 25.90 26.14 26.38 26,63 26.87 27,11 27.36 27.60 27,84 28,09 28,33 28,57 28,82 29.06 2,61 2,62 2,63 2.64 2.65 2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.81 m K k. 100 p Y. 'U m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.972 0.946 0.921 0.897 0.875 0.854 0.833 0.814 0.795 0.778 0.676 0.685 0.693 0.701 0.708 0.715 0.722 0.729 0.735 0.741 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 1,88 1,89 1,90 1,92 1,93 1.94 1.96 1.97 1.98 2.00 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.625 0.614 0.603 0.593 0.583 0.574 0.565 0.556 0.547 0.538 0.530 0.522 0.515 0.507 0.500 0.493 0.486 0.479 0.473 0.467 0,746 0.752 0,757 0.762 0,767 0.771 0.776 0.780 0.784 0.788 0,792 0.795 0,799 0.802 0.806 0.809 0.812 0.815 0.818 0.821 0,823 0,826 0,828 0.831 0.833 0.836 0.838 0.840 0.842 0,844 1.74 2,49 3,07 3.57 4.02 4.43 4.82 5.19 5.55 5.89 6.22 6.55 6.86 7.17 7.48 7.78 8.07 8.36 8.65 8.93 9,21 9.49 9.77 10.04 10.32 10.59 10.85 11.12 11.39 11.65 11.92 12.18 12.44 12.70 12.96 13.22 13.48 13.74 13.99 14,25 1.74 1,76 1.77 1,78 1,80 1.81 1,82 1.84 1,85 1,86 0.761 0.745 0.729 0.714 0.700 0.686 0.673 0.660 0.648 0.636 48,61 23.65 15.35 11,22 8.75 7.11 5.95 5.09 4.42 3.89 3.46 3,10 2.80 2,55 2,33 2,14 1,98 1,83 1.71 1,59 1,49 1,40 1.31 1,24 1.17 1.10 1,05 0.99 0,94 0.90 0,86 0.82 0.78 0,75 0,71 0.68 0.66 0,63 0.61 0.58 0,846 0,848 0,850 0.852 0.854 0.856 0.858 0.859 0.861 0.863 0,56 0,54 0,52 0,50 0,49 0,47 0,45 0.44 0,43 0.41 14,50 14.76 15,01 15,27 15.52 15.77 16,02 16,28 16,53 16.78 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0.461 0.455 0.449 0.443 0.438 0.432 0.427 0.422 0.417 0.412 2,01 2.02 2.04 2.05 2.06 2,08 2.09 2.10 2.11 2.13 2.14 2.15 2.17 2.18 2.19 2.20 2.22 2.23 2.24 2.25 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2,33 2,34 2,35 2,36 2.37 — — — n = 35 k. 0.330 0.327 0.324 0.321 0.318 0.315 0.313 0.310 0.307 0.304 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 TABELA V D - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I m K K 100p 1 2 0.978 0.957 0,674 48.91 23.94 3 4 0.938 0.918 0.900 0.882 0.681 0.688 0.694 n = Y. Y-r m k. k, 100 p Y. Y* 0,844 0.46 0,45 0.43 0.42 0.41 16.06 16.28 16.51 16.73 16.96 2.25 2,26 2,27 0.40 0.39 0.38 0.37 17,18 17.41 2.30 2.31 2,31 2.32 1.74 1.74 2.48 3.05 3.54 1.75 1.76 1.77 51 52 0.469 0.464 53 54 3.98 1.78 55 0.459 0.455 0.450 0,446 0.441 0,437 0.851 0,853 0,854 0.433 0.845 0.847 0.700 15.63 11.48 9.00 0.865 0.849 0.833 0.706 0.712 0.717 0.722 7.35 6.18 5.31 4.63 4.39 4.77 1.79 1.80 5.13 5.47 1.81 1.82 56 57 58 59 10 0.818 0.727 4.09 5.80 1.83 60 0.429 0,856 0,857 11 12 13 14 15 0.804 0.789 0.776 0.763 0.750 0.732 0.737 0.741 0.746 0,750 3.65 3.29 2.98 2.72 2.50 6.12 6.42 6.72 7.02 7.30 1.84 1.85 1.86 1.88 1.89 61 62 63 64 65 0.425 0.421 0.417 0.413 0.409 0,858 0.860 0.861 0.862 0.864 0.35 0.34 16 17 0.738 0.726 0.714 0.754 2.31 2.13 1.98 1.85 7.58 7.86 8.13 8.40 8.67 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 66 67 68 69 0.405 0.402 0.398 0.395 0,865 0.866 0.867 0.31 0.30 0.29 0.29 70 0.391 8.93 9.19 9.44 1.95 1,96 1.97 1.98 1.99 71 72 5 6 7 8 9 18 19 20 21 22 0.703 0.692 0.758 0.762 0.766 0.769 1.73 23 24 0.682 0.672 0.662 0.652 25 0.643 0.779 0.783 0.786 26 27 28 29 0.634 0.625 0.616 0.608 0.789 0.792 0.795 0,797 1.22 1.16 1.10 1.05 9.95 10.20 10.45 10.69 10.94 30 0.600 0,800 1,00 11,18 31 32 33 34 0.592 0.584 0.577 0.803 0.805 0.808 0.810 0.813 0.96 0.91 0.87 0.84 11.42 11.66 11.90 12.14 0.80 12.38 0,815 0,817 0,819 0.821 0.824 0.77 0.74 0.71 0.69 0.66 12.85 13.08 13.31 13.55 0.826 0.828 0.830 0.831 0.833 0.64 0.62 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 0.570 0.563 0.556 0,549 0.542 0.536 0.529 0.523 0.517 0.511 0.506 0.500 0.495 0.489 0.484 0.479 0.474 0.773 0.776 0.835 0.837 0.839 0.840 0.842 1.62 1.53 1,44 1,36 1.29 0,59 0.57 0.56 0.54 0.52 0.50 0.49 0.47 45 9.70 12.61 13.78 14.01 14.24 14.47 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 0.848 0.850 0,868 0,870 0,871 0.36 0.33 0.32 0.31 0.28 0.27 0.27 2.39 2.40 2.41 20.06 20.28 2.42 2.42 20.50 20.72 20.94 2.43 2,44 75 0,875 0.372 0.369 0.366 0.363 0,876 0,877 0,878 0,879 0.24 0.24 0.23 0.23 21.60 21.82 22.04 22,26 2.48 2.49 2.50 2.50 80 0.360 0,880 0.23 22.47 2.51 81 82 83 84 0.357 0.354 0,881 0.882 0.883 0.884 0.22 0.22 0.21 0.21 0.20 22.69 22.91 23.13 23.34 2.52 2.53 2.54 23.56 2.55 2.56 0,20 0,338 0.336 0,333 0,885 0,886 0,887 0.888 0.889 23.78 24.00 24.21 24.43 24.65 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 24.86 2.61 2.61 2.62 25.95 26.16 26.38 26.59 26.81 85 0.352 0.349 0.346 0,344 0.885 91 92 93 94 0.331 0.328 0.326 0.324 0,890 0,891 0,891 0,892 95 0.321 0,893 0.18 0.18 0.18 0.17 0.17 96 97 98 99 100 0.319 0,317 0,315 0.313 0.310 0,894 0,894 0.895 0.896 0.897 0.17 0.16 0.16 0.16 0.16 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 19,40 19,62 19.84 76 77 78 79 0,873 0,874 2.15 2.16 2.17 14.93 15.15 15.38 15.61 15.83 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 0.26 0,26 0.25 73 74 0.872 86 87 88 89 90 2,18 2.19 2,33 18.30 18,52 18.74 18.96 19.18 0.388 0.385 0.381 0.378 0.375 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 14.70 17,63 17.85 18.07 2,28 2.29 0.341 0,20 0.19 0.19 0.19 21.16 21.38 25.08 25.30 25.51 25.73 2.45 2.46 2.47 2.63 2.64 2.65 2.66 2,66 2.67 2.68 TABELA V E - TABELA UNIVERSAL DE CÁLCULO À FLEXÃO NO ESTÁDIO I I N = 55 m K k. 100 p Y. 'U m K K 100 p Y. •u 1 2 3 4 0.982 0.965 0.948 0.932 0.917 0.673 0.678 0.684 0.689 0.694 49.11 24.12 15,80 11.65 9.17 1,74 2.47 3.04 3.53 3.96 1.74 1.75 1.76 1.76 1.77 51 52 53 54 55 0.519 0,514 0,509 0,505 0,500 0.827 0.829 0.830 0.832 0.833 15.42 15.63 15.83 16.04 16.25 2.16 2.17 2.17 2.18 2.19 0,902 0.887 0.873 0.859 0.846 0.699 0.704 0.709 0.714 7.51 6,34 5.46 4.77 4,23 1.78 1.79 1.80 1.81 1.81 56 57 58 59 60 0,495 0.491 0.487 0,482 0.478 0.835 0.836 0.838 0.839 0.841 16.45 16.66 16.87 17.07 0.718 4.36 4.73 5.08 5.42 5.74 0.51 0,49 0,48 0,47 0,45 0.44 0,43 0.42 0.41 2.20 2.21 2.21 2.22 2.23 11 12 13 14 0.833 0.821 0.809 0.797 0.722 0.726 0.730 0.734 6,05 6,34 0.786 0.775 0.764 0.753 0.743 0.733 0.738 0,742 0.745 0.749 0,752 0.756 68 69 0,474 0.470 0.466 0,462 0,458 0,455 0.451 0.447 0.444 0.842 0.843 0.845 0.846 0.847 2.42 2.25 2,09 1.96 1.83 8.50 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.87 1,88 1.89 1.90 61 62 63 64 15 3.79 3.42 3.11 2.85 2,62 70 0.440 0.724 0.714 0.705 0.696 0,688 0.679 0.671 0.663 0.655 0.647 0.759 0.762 0.765 0.768 0.771 1.72 1.62 1.53 1.45 1.38 8,75 8,99 9.23 9.48 9.71 1,91 1.92 1.93 1.93 1.94 71 72 73 74 0.774 0.776 0,779 0.782 0,784 1.31 1.24 9.95 10.18 10.41 10.64 1.95 1.96 1.97 1.98 10.87 1.99 75 76 77 78 79 80 0,437 0,433 0.430 0.426 0.423 0.420 0.417 0,414 0.410 0,407 0,787 0.789 0.792 0,794 0,796 0.799 0.801 0,803 0,805 0,807 1.03 0.99 0.95 0.91 0.87 11.10 11.33 11.55 11.77 11.99 12.21 12.43 12.65 12,07 1.99 2.00 2,01 2.02 2.03 2.04 2.04 81 82 83 84 85 86 87 38 30 40 0.640 0.632 0.625 0.618 0.611 0.604 0.598 0.591 0.S8S 0.579 2.05 2,05 2.07 88 80 90 41 42 43 44 45 0.573 0.567 0.561 0.556 0.550 0,809 0.811 0,813 0,815 0,817 0,70 0.68 0.65 0.63 0.61 2.08 2.09 2.09 2.10 2.11 91 92 93 94 95 46 47 48 49 0.545 0.539 0.534 0.529 0,818 0,820 0.822 0,824 0.59 0.57 0.56 0.54 13.30 13.52 13.73 13.94 14.16 14.37 14.58 14,79 15.00 2.12 2.13 2,13 2.14 96 97 98 99 0.372 0,369 0.367 0,364 0.362 0.359 0,357 50 0.524 0,825 0,52 15.21 2.15 100 0.355 5 6 7 8 9 10 16 17 18 19 20 21 ?? 23 24 25 26 21 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1.18 1.13 1.08 0.84 0.81 0.78 0.75 0.72 6,63 6.92 7,19 7.46 7.73 7.99 8,24 13.09 — 65 66 67 0,404 0.401 0.399 0.396 0,393 0,390 0,387 0.385 0,382 0,379 0,377 0,374 0.848 0,850 0.851 0.852 0.853 0.854 0.856 0,857 0.858 0.859 0.860 0.861 0.862 0.863 0.864 0,40 17.28 0,39 0.38 0,37 0.36 0,35 0.34 0.34 0.33 0,32 17.48 17.69 17.89 18.09 18.30 18,50 18.70 18.91 19.11 0.31 19.31 2.31 0.31 0,30 0,29 0,29 0.28 0.28 0.27 0.27 0,26 19.51 19.71 19.91 20.12 20.32 20.52 20.72 20.92 21.12 21.32 2.32 2.32 2.33 2.34 0.25 2.24 2.25 2.25 2.26 2.27 2.28 2.28 2,29 2.30 2.35 2.35 2.36 2.37 2.38 2.38 0.865 0.866 0,867 0.868 0.869 0.870 0.871 0.872 0.873 0.874 0.25 0.24 0,24 0.24 0.23 0.23 0.22 0.22 0,21 21.52 21.72 21.92 22.12 22.31 22.51 22.71 22.91 23.11 2.39 2.40 2.41 2.41 2.42 2.43 2.43 2.44 2.45 0,21 23.31 2.46 0.874 0.875 0.876 0.877 0.878 0,21 0.20 0.20 0.20 0.19 23.51 23.70 23.90 24,10 24.30 2.46 2.47 2.48 2.49 2.49 0.879 0.879 0.880 0.881 0.19 0.19 0.18 0.18 24.49 24.69 24,89 25.09 2.50 2.51 2.51 2.52 0,882 0.18 25,28 2.53 Márcio Roberto Silva Corrêa Engenheiro Civil (1979), pela Universidade Federal de Juiz de Fora. Mestre (1983), Doutor (1991), pela Escola de Engenharia Carlos, Universidade atualmente é de Professor Sáo de Sáo Paulo, onde Doutor Fez Pós- Doutorado (2001) na University ol Newcastle, Australia Leciona disciplinas em nível de graduação e pós-graduação nas áreas de resistência dos materiais, atvenana estrutural o análise de estruturas de concreto Desenvolve pesquisa nas referidas áreas, com dezenas de trabalhos publicados em revistas, congressos e outros eventos denfficos no Brasil e no exterior. Tem experiência profissional em projeto de estruturas de concreto e alvenaria Ministrou vários cursos em universidades o associações de engenheiros no Brasil Proferiu palestras em universidades no Brasil o no exterior. Foi membro da comissão executiva da nova NB-1. tendo participado diretamente na redação de alguns de seus capítulos. O presente texto compreende uma atual e ampla cobertura dos vários aspectos do projeto estrutural e reflete o estado da arte do projeto e prática de alvenaria no Brasil. Uma vez que os princípios do projeto da alvenaria são universais, grande parte do material apresentado é igualmente aplicável à construção em alvenaria em outros países. O livro é relevante não apenas para alunos, como também para pesquisadores e engenheiros projetistas, e vem se juntar ao relativamente reduzido número de textos amplos sobre projeto de alvenaria disponíveis na literatura mundial.