Programação Linear - Modelagem

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PROGRAMAÇÃO LINEAR - PL 1 INTRODUÇÃO Programação Linear é uma técnica de Otimização bastante utilizada na resolução de problemas quantitativos que tenham seus modelos representados por expressões lineares, sendo elas equações e/ou inequações. Pela sua simplicidade e a possibilidade de aplicação em uma considerável diversidade de problemas, tornou-se um recurso bastante difundido. Em um modelo de Programação Linear, existe uma combinação de variáveis, cujo objetivo é ser maximizada ou minimizada. Para essa combinação de variáveis de decisão chamaremos de Função Objetivo. Em todo modelo de Programação Linear, existem restrições, representadas por equações e/ou inequações, que indicam uma limitação na situação real, tal como, escassez de recursos, limitações de mercado, etc. Dado um modelo em PL, identificamos sempre um Parâmetro, que são valores fixos e independentes e também as Variáveis de Decisão, sendo elas que poderão assumir diversos valores, de forma a maximizar ou minimizar a função objetivo. Podemos assim resumir a técnica de Programação Linear: - Conjunto de restrições Problema - Função Objetivo RESOLUÇÃO Quanto à resolução de um problema de PL, temos os seguintes casos: a) Para problema com duas variáveis - Solução Gráfica - Solução Análise matemática - Através de um Algorítmo (Método Simplex). b) Para problema com um número qualquer de variáveis - Solução via Análise matemática - Através de um Algorítmo (Método Simplex) Veremos que ao buscarmos a solução de um problema, iremos nos deparar com diversas soluções, que neste caso estarão dentro do que chamaremos de Região Permissível, compondo assim, o conjunto de Soluções Viáveis, porém para nós só será cabível aquela que ao mesmo tempo satisfaz dos as restrições e maximiza (ou minimiza) a função objetivo, nos auxiliando assim, durante a tomada de decisão. Logo, dentro de cada técnica para solucionar nosso problema em PL, sempre buscaremos determinar a Solução Ótima, bem como, analisaremos quão sensível é tal solução. Para tal análise, partiremos para o processo de Análise de Sensibilidade. Sendo assim, iniciaremos mostraremos um problema dentro de uma visão geral, ou seja, partindo do enunciado, montamos as restrições, a função objetivo e em seguida processamos as técnicas de resolução, que aqui serão por método gráfico (apenas com duas variáveis) e o Método Simplex. Áreas de Aplicação: a) b) c) d) e) f) Administração de Produção Análise de investimentos Alocação de recursos limitados Planejamento Regional Logística: custo de transporte, localização de rede de distribuição Alocação de recursos em marketing em diversos ramos 1.1 MODELAGEM DO PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Os problemas de Programação Linear estão entre as aplicações mais bem-sucedidas comercialmente da Pesquisa Operacional; de fato, há considerável evidência de que eles estão entre as aplicações de maior impacto econômico. Ao estruturar problema sob a forma de um modelo matemático, o intuito é de nos ajudar no processo de decisão: que atividades empreender e quanto de cada uma, a fim de satisfazer um dado objetivo. Programação Linear é uma ferramenta de planejamento que nos ajuda a selecionar que atividades (variáveis de decisão) empreender, dado que essas alternativas (diversas alternativas) competem entre si pela utilização de recursos escassos (restrições) ou então precisam satisfazer certos requisitos mínimos. O objetivo será maximizar (minimizar) uma função das atividades, geralmente lucros (perdas). O problema resume-se na maximização (ou minimização) de uma função linear, a função objetiva, sujeita a restrições também lineares. A seguir são apresentados exemplos de modelagem do problema de programação linear. Exemplo 1: Uma fábrica produz dois produtos A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada máquina M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80,00 e cada unidade vendida do produto B gera um lucro de R$ 60,00. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto a demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidade de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições. Resolução: a) Reconhecer as variáveis de decisão. Aqui as variáveis de decisão serão os produtos A e B, pois depende destes a quantidade a ser produzida para que o lucro seja máximo. b) Formular uma tabela. PRODUTO M1 – (horas) M2 – (horas) LUCRO – (R$) DEMANDA A 4 4 80 B 6 2 60 3 TOTAL c) Montar a Função Objetivo e as Restrições Função Objetivo: É maximizar o lucro em função da quantidade de unidades do produto A e B. Logo, assumo a quantidade do produto A, sendo x e a quantidade do produto B, sendo y. Assim, Maximizar: 80x + 60y Restrições: • Escassez de Recursos das máquinas M1 e M2 e o consumo de horas na produção de cada produto A e B. Note que, as máquinas 1 e 2, tem de disponibilidade, 24 horas e 16 horas, respectivamente. Assim, M1 ≤ 24 M2 ≤ 16 Agora precisamos relacionar a disponibilidade das máquinas, com as variáveis de decisão, caso contrário, nossa restrição não terá ligação nenhuma com a tomada de decisão. Sendo assim, uma forma de relacionar, é verificar que cada produto possui um tempo específico para sua produção em cada máquina. Verificando na tabela dos dados, temos: A máquina M1 com relação aos produtos A e B, tem a seguinte relação: M1 = 4x + 6y A máquina M2 com relação aos produtos A e B, tem a seguinte relação: M2 = 4x + 2y Ou seja, 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 • Demanda máxima para a produção do produto B. Como o produto B tem no máximo uma demanda de 3 unidades, eu não poderei produzir mais do que essa quantidade, caso queira maximizar meu lucro. Logo, a representação dessa restrição será: y≤3 • Condição de não-negatividade Essa condição será sempre assumida as variáveis de decisão, pois as mesmas tratam-se de quantidade, não havendo assim, valor negativo. Logo, representamos tal restrição por: x≥0ey≥0 PROBLEMA COMPLETO Maximizar: 80x + 60y Sujeito a, 4x + 6y ≤ 24 4x + 2y ≤ 16 y≤3 x ≥ 0, y ≥ 0 Exemplo 2: A indústria Alumilâminas S.A, iniciou suas operações há um mês e vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, com contratos fechados de fornecimento para todos os três tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média e grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas média e 28 toneladas de lâminas grossa. Devido á quantidade dos produtos da Alumilâminas S.A., há uma demanda extra para cada tipo de lâmina. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ 100.000,00 para uma capacidade produtiva de 8 lâminas finas, 1 lâmina média e 2 de lâmina grossa por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ 200.000,00 para uma produção de 2 lâminas finas, 1 de lâmina média e 7 de lâmina grossa. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? Resolução: d) Reconhecer as variáveis de decisão. Aqui as variáveis de decisão serão os dias nos quais as fábricas de São Paulo e do Rio de Janeiro deverão funcionar, pois depende da quantidade de dias, o custo será minimizado. e) Formular uma tabela. LÂMINAS Fabrica: SP Fábrica: RJ Demanda Placa Fina 8 2 16 Placa Média 1 1 06 Placa Grossa 2 7 28 CUSTO 100.000 200.000 f) Montar a Função Objetivo e as Restrições Função Objetivo: É minimizar o custo em função da quantidade de dias nos quais as fábricas de São Paulo e do Rio de Janeiro produzirem a encomenda. Logo, assumo a quantidade de dias de funcionamento da fábrica de São Paulo, sendo x e a quantidade de dias de funcionamento da fábrica do Rio de Janeiro, sendo y. Assim, Maximizar: 100x + 200y Restrições: • Limitação para a produção de cada tipo de placa em cada fábrica, juntamente com a quantidade a ser produzida exigida a pela demanda. Note que, a demanda exigida em contrato para as placas finas, médias e grossas, são respectivamente de 16, 6 e 28, mas como a industria tem uma demanda extra para cada tipo de lâmina, teremos: PF ≥ 16 PM ≥ 06 PG ≥ 28 Agora precisamos relacionar a demanda exigida, com as variáveis de decisão, caso contrário, nossa restrição não terá ligação nenhuma com a tomada de decisão. Sendo assim, uma forma de relacionar, é verificar que cada fábrica comporta uma quantidade de produto a ser produzido, que somados, não deverão ultrapassar a demanda exigida, dependo do prazo de produção em cada fábrica. Verificando na tabela dos dados, temos: A quantidade de PF com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação: PF = 8x + 2y A quantidade de PM com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação: PM = 1x + 1y A quantidade de PG com relação às fábricas de SP e RJ, tem a seguinte relação: PG = 2x + 7y Ou seja, 8x + 2y ≥ 16 1x + 1y ≥ 06 2x + 7y ≥ 28 • Condição de não-negatividade Essa condição será sempre assumida as variáveis de decisão, pois as mesmas tratam-se de quantidade, não havendo assim, valor negativo. Logo, representamos tal restrição por: x≥0ey≥0 PROBLEMA COMPLETO Maximizar: 100x + 200y Sujeito a, 8x + 2y ≥ 16 1x + 1y ≥ 06 2x + 7y ≥ 28 x ≥ 0, y ≥ 0 EXERCÍCIOS 1) Formular os Problemas de Programação Linear dados a seguir : a) Problema de Alocação de Recursos: Uma fábrica produz dois tipos de produtos: Standard e Luxo. Cada modelo Standard requer 4 horas de corte e 2 horas de polimento; cada Luxo requer de 2 horas de corte e 5 horas de polimento. A fábrica possui 2 cortadoras e 3 polidoras. Sabendo-se que a semana de trabalho da fábrica é de 40 horas e que cada modelo Standard dá um lucro de R$ 3,00 e cada modelo Luxo R$ 4,00 e que não há restrições de demanda, pede-se qual deve ser a produção da fábrica que maximize o lucro. b) Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A produção esperada é de 1800 Kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 Kg por unidade de área plantada de arroz e 2900 Kg por unidade de área plantada de milho. Para atender o consumo interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo 70.0000,0 Kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de 0,20 R$/Kg, o arroz 0,15 R$/Kg e o milho 0,11 R$/Kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que seu lucro seja o maior possível?. c) Um pizzaiolo trabalha 8 horas por dia e faz 16 pizzas por hora, caso faça somente pizzas, e 9 calzones por hora, se fizer somente calzones. Ele gasta 40 g de queijo para preparar uma pizza e 60 g de queijo para preparar um calzone. Sabendo que o total disponível de queijo é de 5kg por dia, e que a pizza é vendida a R$ 18,00 e o calzone a R$ 22,00, pergunta-se: quantas unidades de pizzas e calzones uma pizzaria deve vender diariamente para maximizar a sua receita considerando que ela tenha três pizzaiolos? d) A Esportes Radicais S.A. produz pára-quedas e asa-delta em duas linhas de montagem. A primeira linha tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta, 7 horas. Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa e que o lucro unitário do pára-quedas é de R$ 60,00 e o da asa-delta é de R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximiza o lucro da Esportes Radicais AS. e) A empresa Have Fun AS, produz uma bebida energética muito consumida pelos freqüentadores de danceterias noturnas. Dois dos componentes utilizados na preparação da bebida são soluções compradas de laboratórios terceirizadas – Solução Red e solução Blue – que provêem os principais ingredientes ativos do energético: extrato de guaraná e cafeína. A companhia quer saber quantas doses de 10ml de cada solução deve incluir em cada lata de bebida, para satisfazer as exigências mínimas padronizadas de 48 g de extrato de guaraná e 12g de cafeína e, ao mesmo tempo, minimizar o custo de produção. Por acelerar o batimento cardíaco, a norma-padrão também prescreve que a quantidade de cafeína seja de, no máximo 20g por lata. Uma dose da solução Red contribui com 8g de extrato de guaraná e 1g de cafeína, enquanto uma dose da solução Blue contribui com 6g de guaraná e 2g de cafeína. Uma dose de solução Red custa R$ 0,06 e uma dose de solução Blue custa R$ 0,08. f) A Picolé Lelé Ltda. é a marca local preferida pelos habitantes das Ilhas Calorânicas, que consomem todos os picolés cremosos que a empresa consegue fabricar. No entanto, por se localizar no meio do oceano, a Picolé Lelé Ltda. tem algumas restrições de fabricação, devido à escassez de matéria-prima fresca. Preocupados em maximizar o lucro da firma, seus dirigentes elaboraram o seguinte quadro informativo, para que possamos ajudá-los, por meio do método de PL, descobrir quantos picolés de cada sabor devem ser produzidos diariamente de forma a maximizar o lucro da companhia. SABOR Morango Uva Limão MÁXIMO DISPONÍVEL LUCRO (POR UNIDADE) R$ 1,00 0,90 0,40 QUANTIDADE DE LEITE POR PICOLÉ (Litros) QUANTIDADE DE AÇUCAR POR PICOLÉ ( por 100 gramas ) POLPA DE FRUTA EM CADA PICOLÉ (Litros) 0,45 0,50 0,40 0,50 0,40 0,40 0,10 0,15 0,20 200 150 80