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PROBLEMAS DE VALOR DE FRONTEIRA EM ELETROSTÁTICA - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução.
2. Equações de Laplace e de Poisson.
3. Teorema da unicidade.
4. Procedimento geral para resolver a equação de Laplace ou de Poisson.
5. Resistência e capacitância. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Introdução • Na maioria das situações práticas, nem a distribuição de cargas, nem a distribuição de potencial são conhecidas. • Neste capítulo, consideraremos problemas práticos de eletrostática onde somente as condições eletrostáticas (carga e potencial), em algumas fronteiras de uma determinada região, são conhecidas, e é desejável determinar tanto o campo elétrico quanto o potencial escalar elétrico ao longo de toda a região. • Esses problemas são usualmente referidos como problemas de valor de fronteira.
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Equações de Laplace e de Poisson • Considerando um meio linear, temos que
→
→
→
→
∇⋅ D = ∇⋅ ε E = ρ v e →
→
E = − ∇V • Portanto,
∇⋅ − ε ∇ V = ρ v →
→
Equação de Poisson Para um meio não-homogêneo
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ρv 2 ∇ V =− ε
Equação de Poisson Para um meio homogêneo
• Para uma região livre de cargas (ρv=0), temos que Equação de Laplace
2
∇ V =0
Para um meio homogêneo
• A equação de Laplace é de fundamental importância na solução de problemas de eletrostática envolvendo um conjunto de condutores mantidos em diferentes potenciais.
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Teorema da unicidade •
Qualquer solução da equação de Laplace, que satisfaça as mesmas condições de fronteira, deve ser a única solução, independente do método escolhido para determiná-la (analítico, gráfico, numérico, experimental etc.).
•
Antes de começarmos a resolver problemas de valor de fronteira, devemos ter em mente três características que descrevem univocamente um problema: 1. A equação diferencial apropriada. 2. A região de interesse para a solução. 3. As condições de fronteira. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Procedimento geral para resolver a equação de Laplace ou de Poisson 1. Resolver a equação diferencial de Laplace ou de Poisson. 2. Aplicar as condições de fronteira para determinar uma solução única do potencial escalar elétrico. 3. Obter o campo elétrico. 4. Se desejável, encontrar a carga associada e a capacitância.
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Exercícios 1. Em um dispositivo→ unidimensional, a densidade de carga é dada por →ρ v = ρ 0 x. Se E = 0 V/m em x=0 e V=0 V em x=a, determine a VeE . 2. Dois cones condutores (θ=π/10 e θ=π/6), de extensão infinita, estão separados por um espaçamento infinitesimal em r=0. Se → V(θ=π/10)=0 V e V(θ=π/6)=50 V, determine V e E entre os cones.
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Resistência e capacitância • Considerando um condutor, temos
V R= I
Seção reta uniforme →
→
E⋅ d l ∫ R= ∫σ E⋅ d S →
→
Seção reta não-uniforme
• O problema de determinar a resistência em um condutor de seção reta não-uniforme pode ser tratado como um problema de valor de fronteira.
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•
A resistência, de um dado material condutor, pode ser encontrada conforme os seguintes passos: 1. Escolher um sistema de coordenadas apropriado. 2. Considerar V como a diferença de potencial entre os terminais condutores. 3. Resolver a equação de Laplace para obter o potencial escalar elétrico. 4. Determinar o campo elétrico. 5. Obter a resistência.
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• De modo geral, para termos um capacitor, precisamos ter dois (ou mais) condutores carregados com cargas iguais e de sinais contrários. • Os condutores são, por vezes, referidos como as placas do capacitor, podendo estar separados pelo espaço livre ou por um dielétrico. • Considere o capacitor de dois condutores ilustrado na figura 1.
Figura 1 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Os condutores são mantidos sob uma diferença de potencial V dada por 1→
→
V = V1 −V2 = −∫ E ⋅ d l 2
onde se assume o campo elétrico existente entre os condutores e que o condutor 1 está carregado positivamente. • Definimos a capacitância (C) do capacitor como a razão entre o valor da carga, em uma das placas, e a diferença de potencial entre elas, ou seja, →
→
Q ε ∫ E⋅ d S C = = → → V ∫ E⋅ d l
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•
O sinal negativo foi desconsiderado pois estamos interessados no valor absoluto de V.
•
A capacitância é uma propriedade física do capacitor e é medida em Farads (F).
•
C pode ser obtida, para qualquer capacitor de dois condutores, seguindo um desses dois métodos: 1. Assumindo um valor de Q e determinando V em termos de Q (utilizando a lei de Gauss). 2. Assumindo um valor de V e determinando Q em termos de V (utilizando a equação de Laplace).
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• Considerando o primeiro método, precisamos: – Escolher um sistema de coordenadas apropriado. – Atribuir, às duas placas condutoras, as cargas de +Q e –Q. – Determinar o campo elétrico usando a lei de Coulomb, ou de Gauss, e encontrar o potencial escalar elétrico. – Obter a capacitância.
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Exercício 3. Obter as expressões da capacitância considerando os seguintes casos:
e
da
resistência
a) Capacitor de placas paralelas. b) Capacitor coaxial. c) Capacitor esférico.
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Exercício 4. Se a figura 2 representa as seções retas de dois capacitores esféricos, determine suas capacitâncias. Sejam a=1 mm, b=3 mm, c=2 mm, εr1=2,5 e εr2=3,5.
Figura 2 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercício 5. Determine a capacitância de cada um dos capacitores da figura 3. Considere εr1=4, εr2=6, d=5 mm e S=30 cm².
Figura 3 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
