Problema De Resistencia Dos Materiais

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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica PROBLEMAS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS H. Britto 2008 PREFÁCIO Este texto tem a finalidade de prover as disciplinas PEF-2202 – Introdução à Mecânica dos Sólidos, e PEF-2307 – Resistência dos Materiais V, de exercícios de aplicação (com respostas). Este trabalho não teria sido possível sem o apoio zeloso e competente do aluno de pósgraduação, Diogo Carlos Bernardes de Souza, que atuou como assistente de ensino neste Departamento. A ele, os agradecimentos do autor. SUMÁRIO PARTE 1 .......................................................................................................... 1  1.1  1.2  1.3  1.4  1.5  REAÇÕES DE APOIO. ................................................................................................... 1  ESFORÇOS INTERNOS. ................................................................................................. 3  GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS. .............................................. 4  TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS. ................................................................................ 8  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 1. ............................................................... 12  PARTE 2 ........................................................................................................ 15  2.1  2.2  2.3  2.4  2.5  DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS PLANOS. ........................... 15  DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM GRELHAS. ......................................... 23  DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS ESPACIAIS. ....................... 24  PROBLEMAS SUPLEMENTARES. ................................................................................. 26  RESPOSTAS SELECIONADAS DA PARTE 2. ................................................................. 28  PARTE 3 ........................................................................................................ 36  3.1  TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS ISOSTÁTICOS. ................................ 36  3.2  TRAÇÃO E COMPRESSÃO SIMPLES EM SISTEMAS HIPERESTÁTICOS. ......................... 39  3.3  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 3. ............................................................... 46  PARTE 4 ........................................................................................................ 48  4.1  CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS. ......................................... 48  4.2  TORÇÃO UNIFORME. ................................................................................................. 54  4.3  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 4. ............................................................... 57  PARTE 5 ........................................................................................................ 62  5.1  5.2  5.3  5.4  5.5  5.6  5.7  5.8  FLEXÃO E TENSÕES NORMAIS. ................................................................................. 62  FLEXÃO SIMPLES NORMAL (FSN). ........................................................................... 62  VIGAS COMPOSTAS................................................................................................... 66  FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (FCN). ...................................................................... 67  FLEXÃO SIMPLES OBLÍQUA (FSO). .......................................................................... 70  FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA (FCO). ...................................................................... 72  PROBLEMAS SUPLEMENTARES. ................................................................................. 73  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 5. ............................................................... 76  PARTE 6 ........................................................................................................ 81  6.1  CISALHAMENTO NA FLEXÃO. CÁLCULO DE LIGAÇÕES. ............................................ 81  6.2  SEÇÕES DELGADAS. CENTRO DE CISALHAMENTO. ................................................... 84  6.3  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 6. ............................................................... 89  PARTE 7 ........................................................................................................ 92  7.1  DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO. LINHA ELÁSTICA. ........................................................ 92  7.2  RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 7. ............................................................... 98  Problemas de Resistência dos Materiais 1 PARTE 1 1.1 REAÇÕES DE APOIO. Achar as reações de apoio para as estruturas representadas nas figuras a seguir: 1) 40 kN/m 10 kN/m B 2m 30 kN A 60 kNm 3m 3m 3m 2) (Prof. Boanerges) 15 kN/m 45 kN/m A 60 kNm 3m 40 kN 6m 4m 3) 20 kN 3m 120 kNm 180 kNm A 1m B 3m 3m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 2 4) 40.000 kgfm 12.000 kgf/m 2,4 m 8.000 kgf/m 1,6 m 2,6 m B A 4,5 m 2,5 m 5) 2 tf/m 3m 8 tf/m 1m 2m B 35 tfm A 2m 4m 6) 90 kN 30 kN 4m C 3m A 4m B 3m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 3 1.2 ESFORÇOS INTERNOS. Achar os esforços solicitantes nas seções C, D, E, F e G das estruturas a seguir: 7) (Prof. Boanerges) A 5m 7,5 kN/m D 150 kNm E 4m 2m F G 2m B C 4m 4m 1,5 m 1,5 m 8) 720 kN C D 5m senβ = 0,96 cosβ = 0,28 α E A β senα = 0,6 cosα = 0,8 B β 5m G F Problemas de Resistência dos Materiais 4 1.3 GRAU DE HIPERESTATICIDADE EM SISTEMAS PLANOS. Achar o grau de hiperestaticidade dos seguintes sistemas estruturais: 9) 10) 11) 12) Problemas de Resistência dos Materiais 5 13) 14) 15) 16) Problemas de Resistência dos Materiais 6 17) 18) 19) 20) Problemas de Resistência dos Materiais 7 21) 22) 23) 24) Problemas de Resistência dos Materiais 8 1.4 TRELIÇAS PLANAS ISOSTÁTICAS. Achar as forças normais nas barras das treliças a seguir: 25) 1 7.000 kgf 3 1,2 m 2 0,7 m 0,9 m 26) 4 3 1 2,7 m 6 5 600 kgf 2 7 3,6 m 3,6 m 3,6 m 27) (Prof. Diogo) 6 tf 1 4 3 1 tf 5 a 7 2 6 8 2 tf a a 9 a a a Problemas de Resistência dos Materiais 9 28) (Prof. Diogo) 9 2 3 7 4 1 10 1,5 m 11 160 kN 5 1,5 m 8 6 2m 2m 2m 2m 29) 10 tf 9 10 7 11 8 12 6 5 4m 13 14 15 4 3 16 2 1 3m 17 4m 6m 18 6m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 10 30) 1 3 4 2,4 m 6 2 5 8 7 7.500 kgf 2,4 m 9 1,4 m 1,8 m 1,8 m 31) 6.000 kgf 1 3 3m 2 4 3.000 kgf 6 5 7 8 9 3m 10 11 3m 12 4m 4m Problemas de Resistência dos Materiais 11 32) 10.000 kgf 7 5 4 5m 6 3 1 12 m 2 12 m 5m 12 m 5m 33) 18.000 kgf 3 8 5 1 2m 17 14 10 9 2m 15 12 7 4 2m 11 6 2 2m 13 2m 1,5 m 16 19 18 2m 2m 2m 1,5 m Problemas de Resistência dos Materiais 12 1.5 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 1. 1) VA = 60 kN (para cima) VB = 90 kN (para cima) HB = 30 kN (para a esquerda) 4) HA = 11.100 kgf (para a esquerda) VA = 3.080 kgf (para cima) HB = 6.300 kgf (para a direita) VB = 5.920 kgf (para cima) 2) HA = 40 kN (para a direita) VA = 30 kN (para baixo) MA = 750 kNm (sentido anti-horário) 5) HA = 11 tf (para a esquerda) VA = 6,5 tf (para cima) HB = 4 tf (para a esquerda) VB = 13,5 tf (para cima) 3) HA = 34 kN (para a direita) VA = 6 kN (para baixo) HB = 54 kN (para a esquerda) VB = 6 kN (para cima) 6) VA = 280 kN (para cima) HB = 340 kN (para a direita) HC = 250 kN (para a esquerda) VC = 250 kN (para baixo) 7) Seção C D E F G N (kN) -30 0 -30 -66 -66 V (kN) 0 -30 -30 -12 -12 M (kNm) 270 150 90 120 30 (tração embaixo) (tração à direita) (tração embaixo) (tração em cima) (tração embaixo) Seção C D E F G N (kN) 0 -144 -180 -172,8 50,4 V (kN) -180 -108 0 -50,4 -172,8 M (kNm) 2.700 1.980 1.800 1.764 648 (tração embaixo) (tração à esquerda) (tração à esquerda) (tração à esquerda) (tração embaixo) 8) 9) g = 3 17) g = 7 10) g = 1 18) g = 7 11) g = 2 19) g = 0 (isostático) 12) g = 3 20) g = 1 13) g = 6 21) g = 0 (isostático) 14) g = 3 22) g = 0 (isostático) 15) g = 2 23) g = 1 16) g = 45 24) g = 1 Problemas de Resistência dos Materiais 13 25) 26) Barra N (kgf) 1 28) Barra N (kN) 15.000 1 -60 2 -12.000 2 -80 3 -20.000 3 100 4 50 Barra N (kfg) 5 150 1 500 6 40 2 -400 7 -50 3 -500 8 -50 4 800 9 0 5 -600 10 0 6 1.000 11 0 7 -800 Barra N (tf) 29) 27) Barra N (tf) 1 0 1 −4 2 -3,125 2 4 2 3 0 3 −2 2 4 0 4 −2 5 0 5 −4 2 6 -3,125 6 6 7 0 7 3 2 8 0 8 −3 9 0 9 − 2 10 -6 11 -8 12 5 13 -3,125 14 -3 15 -4 16 5 17 -7,125 18 -3 Problemas de Resistência dos Materiais 14 30) 31) Barra N (kgf) 1 32) Barra N (kgf) 3.200 1 7.000 2 2.400 2 −13.000 3 -4.000 3 −7.000 4 3.000 4 −7.000 5 -2.400 5 7.000 2 6 5.000 6 −13.000 7 -8.500 7 7.000 8 -3.000 9 6.800 Barra N (kgf) 1 0 33) Barra N (kgf) 2 0 1 -500 3 0 2 -5.400 4 15.000 3 -500 5 15.000 4 400 6 24.000 5 -2.850 7 -15.000 6 4.250 8 0 7 -5.100 9 -15.000 8 -500 10 0 9 -300 11 24.000 10 0 12 0 11 -2.850 13 -30.000 12 -4.250 14 -30.000 15 0 16 0 17 0 18 0 19 0 Problemas de Resistência dos Materiais 15 PARTE 2 2.1 DIAGRAMAS PLANOS. DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas que seguem: 2) 1) P M* L L 3) 4) p p L L 6) 5) M* P a a b b L L 9) 7) M* parábola do 2º grau p(x) p0 L 8) x p(x) reta p0 x L ⎛x⎞ p ( x ) = p0 ⎜ ⎟ ⎝L⎠ L ⎛x⎞ p(x) = p0 ⎜ ⎟ ⎝L⎠ 2 Problemas de Resistência dos Materiais 16 10) reta 5 kN/m 2 kN/m x 6m 11) p0 p(x) ⎛ πx ⎞ p ( x ) = p 0sen ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ L x 12) p a 3a 2a 13) 6.400 kgf 3.200 kgf/m 12.800 kgfm 4m 8m 4m 14) 12 kN/m 4 kNm 3m 2m 1m 15) 60 kN 50 kN 50 kN/m 120 kNm 2m 2m 4m Problemas de Resistência dos Materiais 17 16) 240 kgf/m 90 kgf 3m 3m 2m 240 kgf/m 17) 120 kN 80 kN 20 kN/m 80 kNm 2m 2m 6m 18) pa p a 2a 19) 45 kN 36 kN/m 27 kNm 1m 1m 3m 20) 20 kN 18 kNm 16 kNm 4 kN/m 2m 3m 2m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 18 21) 8 kN 8 kN 4 kN/m 2m 1m 1m 2m 4m 22) 900 kgf 3m 3m 2m 3m 2m 23) 4 kN/m 6m 22 kN 4m 8m 8m 24) 3,6 m 4,8 m 19.887 kN 4,8 m 4.167 kN 17.820 kNm 3,6 m 4,8 m 3,6 m Problemas de Resistência dos Materiais 19 25) 12 kN 6m 2 kN/m 6m 4m 8m 8m 26) 360 kgf 108 kgf/m θ 2m 540 kgfm 2m 2m 2m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 20 27) 8 kN/m 8 kN 4m 3m 4m 2m 28) P 2a P 2a 3a 5a 29) 700 kN/m 350 kN 1,5 m 525 kNm 0,5 m 2m 1,5 m Problemas de Resistência dos Materiais 21 30) 5m θ 24 kN/m 120 kNm 3m 5m 4m 31) 3 tf/m 3m 3 tf 3m 6 tf 6,5 tfm 2m 32) pa a p a a Engaste Móvel Problemas de Resistência dos Materiais 22 33) (Prof. Diogo) P 34) (Prof. Diogo) 1 tfm 3a 2m 3a 2m 2Pa 2a 2a 2m 35) 8 kN Hexágono Regular Lado = 6 m 8 kN 8 kN Problemas de Resistência dos Materiais 23 2.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM GRELHAS. Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas que seguem: 36) 1 kN 4 kN 3 kN 2m 2m 2m 2m 4m z x y 37) P R 38) z A x q B R y C AB . Carga q uniformemente distribuída (vertical) em p Problemas de Resistência dos Materiais 24 2.3 DIAGRAMAS ESPACIAIS. DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM SISTEMAS Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas que seguem: 39) z x P y 2a a 2P 0,5P 40) 41) 1 kN 1m 1 tf 3m 2 tf 2m 2 kN 2m 2 tf 3m z x 1,5 m 1 tf 1m y 3 kN 2m x 42) y 16 kN 2m 2m 4m 16 kN 4m 20 kN 32 kNm 4m x z z y Problemas de Resistência dos Materiais 25 43) y P P a 2a a P a a a x z 44) (Prof. Boanerges) 3m 4m 2m 3 tf 3 tf 45) 20 kN 10 kN 3m 30 kN y 2m 4m 3m 2m 2m z x Problemas de Resistência dos Materiais 26 2.4 PROBLEMAS SUPLEMENTARES. Traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas que seguem: 46) 300 kgf/m 600 kgf 4m 1,5 m 3m 1,5 m 47) 67.860 N 203.580 Nm 135.720 N 2,1 m 3m 2m 3m 4m 48) 4 tf/m 3m 6m 4m 2m 5m 2m Problemas de Resistência dos Materiais 27 49) 900 kgf/m 3m 900 kgf/m 1m 3m 3m 1m 3m 50) p R θ 5m Problemas de Resistência dos Materiais 28 2.5 RESPOSTAS SELECIONADAS DA PARTE 2. 10) V ( x) = 9 − 2x − x2 4 , M ( x ) = 9x − x2 − x3 12 11) L2 ⎛πx⎞ ⎛πx ⎞ V ( x ) = p0 cos ⎜ ⎟ , M ( x ) = p0 2 sen ⎜ ⎟ π π ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ L 15) 50 kN 60 kN 50 kN/m 2m 120 kNm 4m 2m 110 kN 200 kN 1m 150 50 50 100 V 110 (kN) 120 M (kNm) 125 100 Problemas de Resistência dos Materiais 29 16) p ( x ) = 240 - 80x 90 120 x 210 3m 3m 210 2m 210 90 V (kgf) 150 283,65 1,0635 m Ponto de Inflexão 2,379 m 90 180 M (kgfm) 103,65 Ponto de Inflexão: p = 0 ou V = Vmáx ⎧V ( x ) = 40 x 2 − 240 x + 210 ⎪ ⎨ 40 3 x − 120 x 2 + 210 x ⎪M ( x ) = 3 ⎩ Problemas de Resistência dos Materiais 30 24) 3,6 m 4,8 m 19.887 kN 17.820 kNm 16.656 kN 4,8 m 4.167 kN 4.167 kN 3,6 m 1.395 4,8 m 3,6 m 1.395 5.085 15.825 6.660 5.085 V (kN) N (kN) 8.370 M (kNm) 22.140 17.820 3.231 kN Problemas de Resistência dos Materiais 31 25) 12 kN 6m 2 kN/m 6m 7 kN 4m 10,5 kN 13 kN 8m 11,9 8m 6,5 1,5 kN 4,2 N (kN) 3 7 V (kN) 10,5 6,5 m 7 13 1,5 42 M (kNm) 30 42,25 6,5 m Problemas de Resistência dos Materiais 32 26) 360 kgf 108 kgf/m θ 2m 540 kgfm 440 kgf 170 kgf 2m 440 kgf 2m 440 3m 2m 730 kgf 238 416 190 N (kgf) V (kgf) 848 1,32716 m 86 380 M (kgfm) 57,068 ⎧ N ( θ ) = -440cosθ -170senθ ⎪ Para o trecho curvo: ⎨V ( θ ) = 170cosθ - 440senθ ⎪M ( θ ) = -340 + 340senθ + 880cosθ ⎩ 1,32716 m ( + : tração em baixo ) Problemas de Resistência dos Materiais 33 30) 5m θ 35 kN 24 kN/m 120 kNm 35 kN 3m 37 kN 5m 4m 61 kN 35 35 M (kgfm) V (kgf) N (kgf) 2,04 m 175 49 7 ⎧ N ( θ ) = -35 ( cosθ + senθ ) ⎪ Para o trecho curvo: ⎨V ( θ ) = 35 ( senθ - cosθ ) ⎪M ( θ ) = 175 (1- senθ - cosθ ) ⎩ 71 2,04 m 55 105,02 Problemas de Resistência dos Materiais 34 35) 8 kN 4 3 kN 3 6m 8 kN 6m 6m 6m 4 3 kN 3 4 kN 4 kN 4 kN 4 kN 4 3 kN 3 4 3 kN 3 41) 1 N (kN) 2 2 z V (kN) z 3 y x y x 2 3 2 3 2 M (kNm) 5 T (kNm) 2 4,5 2 z 7 8 x z y x 4,5 y Problemas de Resistência dos Materiais 35 42) y 16 kN 2m 4m 2m 16 kN 24 kN 4m 32 kNm 20 kN 4m 20 kN 16 kN x z 12 kN 20 kN 24 20 12 16 8 12 N (kN) V (kN) 20 80 64 80 64 32 48 64 M (kNm) T (kNm) 20 Problemas de Resistência dos Materiais 36 PARTE 3 3.1 TRAÇÃO E COMPRESSÃO ISOSTÁTICOS. SIMPLES EM SISTEMAS 1) Dimensionar as barras 1 e 2 da treliça da figura. São dadas as tensões admissíveis: σ T = 2.000 kgf/cm 2 (tração) e σ C = 500 kgf/cm 2 (compressão). 1m 1 2 3m 16.000 kgf 4m 2) Achar o coeficiente de segurança para cada barra da treliça da figura. Qual é o coeficiente de segurança da estrutura? 2 ⎪⎧A = 10 cm Dados: ⎨ 2 ⎪⎩σ e = 3.200 kgf/cm 7.000 kgf 1 3 2 0,7 m 0,9 m 1,2 m Problemas de Resistência dos Materiais 37 3) Sendo a barra AB rígida, dimensionar, com segurança 3, o fio 1, com a condição v A ≤ 5 cm . São dados para o fio: σ R = 600 MPa e E = 8 GPa . 1 3,6 m 3 kN 2m A 3m B 4) (Prof. Boanerges) Dimensionar o fio AB de modo a respeitar a tensão admissível de 1.000 kgf/cm 2 , não podendo ocorrer deslocamento vertical em B maior que 1, 2 cm . É dado: E = 2 (10 ) kgf/cm 2 . 5 A 2m 2,8 tfm 3m 1,6 tf B 2m 2m Problemas de Resistência dos Materiais 38 5) As barras AB e CD são rígidas. Dimensionar os fios 1 e 2 sabendo-se que: a) σ e = 4.000 kgf/cm 2 ( s = 1, 6 ) ⇒ σ = 2.500 kgf/cm 2 b) ( θ A )máx = 0, 002 rad c) ( v D )máx = 3,5 cm E = 4 (10 ) kgf/cm 2 . O dimensionamento deve ser feito de modo que os dois fios tenham o mesmo coeficiente de segurança. 5 O módulo de elasticidade do material dos fios é A 2m 1 1 tf B G 3m 2 2 tf H C D 3m 2m 1m 6) A barra BCD é rígida. Achar a área A do fio 1 de modo que v B ≤ 4 cm . Para o fio são dados: σ = 10 MPa e E = 103 MPa . D 1 36 kN C B 4m 4m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 39 3.2 TRAÇÃO E COMPRESSÃO HIPERESTÁTICOS. SIMPLES EM SISTEMAS 7) No sistema da figura, a barra AB é rígida. Achar a força normal nos fio 1 e 2. É dada a rigidez axial dos fios: EA = 104 kgf . A 1 1,5 m 2 B 1.890 kgf 2m 8) Na treliça da figura, as barras 1 e 2 são constituídas do mesmo material ( E = 300.000 kgf/cm2 ) , e têm a mesma seção transversal ( A = 5 cm2 ) . Sabendo-se que seus comprimentos valem L1 = 3 m e L 2 = 5 m , calcular: a) as forças normais N1 e N 2 b) o deslocamento v B do ponto de aplicação da carga c) a tensão normal admissível (de tração) necessária para o material da estrutura 1 2 α α B 22.100 kgf 2 ⎧sen α = 0, 6 ⎨ ⎩cos α = 0,8 Problemas de Resistência dos Materiais 40 9) A barra em forma de U invertido é rígida. Achar as forças normais N1 , N 2 e N 3 nos tirantes, que têm todos a mesma área ( A = 8×10−4 m 2 ) , e são compostos do mesmo material ( E = 9, 6 GPa ) . Achar o deslocamento horizontal h B do nó B. 2 4m 1 4m B 4m 3m 3m 3 4m 150 kN 10) Na treliça da figura, achar as forças nas barras ( N1 , N 2 e N 3 ) . É dado: EA = 104 kN (constante). Sugestão: A barra 2 está tracionada e as demais comprimidas. Escrever o equilíbrio dos nós A e B na direção vertical. Em seguida... A 7m 2 B 1 1 208.600 N 3 12 m 3 12 m 9m Problemas de Resistência dos Materiais 41 11) A barra horizontal da figura é rígida. Os 3 fios verticais têm a mesma área (A) da seção transversal. Achar o valor de A sabendo-se que: a) a tensão admissível do material dos fios vale σ = 1.800 kgf/cm 2 b) a rotação máxima admissível da barra horizontal é de 0, 002 rad Observação: é dado o módulo de elasticidade dos fios: E = 360.000 kgf/cm 2 1 2m 3 2 2m 3m 2m 1.400 kgf 12) A barra horizontal é rígida. Achar a área A dos fios 1 e 2 de modo que v B ≤ 3, 75 cm . Para os fios são dados: σ = 15 MPa e E = 5 (10 ) MPa . 3 7m 1 2 9m 28 kN B 6m 12 m Problemas de Resistência dos Materiais 42 13) A barra poligonal da figura é infinitamente rígida. Os fios 1 e 2 são iguais entre si. Para eles são dados: ⎧⎪σ e = 2.000 kgf/cm 2 ( tensão normal de escoamento ) ⎨ 2 ⎪⎩E = 30.000 kgf/cm ( módulo de elasticidade longitudinal ) Adotando coeficiente de segurança ao escoamento igual a 2, achar a área A dos fios, sabendo-se ainda que o deslocamento vertical do ponto B não pode ultrapassar um valor fixado ( v B ≤ 8 cm ) . 3m 1 2 B 8.200 kgf 5m 4m 14) A chapa retangular da figura é rígida. As 3 barras biarticuladas são exatamente iguais entre si. Achar o valor da área A da seção transversal dessas barras, sabendo-se que a tensão normal admissível do material que as constitui vale σ = 480 kgf/cm 2 , e que a rotação ϕ da chapa deve satisfazer: ϕ ≤ 0, 0025 rad . São dados, ainda para as barras: A = 50 cm ( comprimento ) E = 105 kgf/cm 2 ( módulo de elasticidade ) 3 900 kgf 1 40 cm 2 40 cm 40 cm 30 cm Problemas de Resistência dos Materiais 43 15) A viga da figura é infinitamente rígida. Achar as forças Ν1 e Ν 2 nos fios 1 e 2 sabendo-se que eles têm o mesmo produto EA de rigidez axial. 4.660 kgf 4m 4m 4m α 1 ⎧sen α = 0, 6 ⎨ ⎩cos α = 0,8 2 16) A barra horizontal é rígida. Para os fios 1 e 2 são dados: σ = 2.175 kgf/cm 2 e E = 243.890 kgf/cm 2 e Α1 = Α 2 = Α . Achar a área A dos fios, sabendo-se que o deslocamento vertical v B do ponto B não deve ser maior do que 5 cm . 2m 1 2m 2 9.000 kgf B 2,1 m 2,1 m Problemas de Resistência dos Materiais 44 17) A barra BE é rígida. Os fios 1 e 2 têm a mesma área da seção transversal A. Achar o menor valor possível para A, sabendo-se que: 6 a) A tensão admissível à tração do material que compõe os fios vale σ = 300 (10 ) Pa b) O deslocamento vertical do ponto B não pode ultrapassar 3 cm ( v B ≤ 0, 03 m ) É dado o módulo de elasticidade longitudinal do material dos fios: E = 62,5 (10 ) Pa 9 1m 2 1 3m 864 kN β α 1m E D C B 1m 3m 18) Achar as forças normais nas barras da treliça da figura. A barra 2 é infinitamente rígida. Para as barras 1 e 3 tem-se: EA = 106 kgf . 7m 1 2 17.808 kgf 9m 3 12 m Problemas de Resistência dos Materiais 45 19) A chapa triangular é rígida. As barras 1 e 2 são constituídas do mesmo material, para o qual são conhecidos: E = 103 MPa (módulo de elasticidade) e σ = 40 MPa (tensão normal admissível). Tais barras têm a mesma seção transversal, de área A. Pede-se o valor de A, sabendo-se ainda que o deslocamento vertical do ponto de aplicação da carga não deve ultrapassar o valor 0,10 m ( v B ≤ 0,10 m ) . 2 4m 42.000 N 4m B 1 3m 3m 20) A barra BC é rígida. Para os fios tem-se: EA = 105 kgf . Achar o valor de x para que BC sofra apenas translação. Nessas condições, quais são os valores das forças nos fios e quanto vale a translação? ( P = 1.080 kgf ) 1 2 1,2 m 3 P x B C 0,9 m 1,6 m 1,0 m Problemas de Resistência dos Materiais 46 3.3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 3. 1) A1 = 6 cm 2 A 2 = 40 cm 2 2) s1 = 2,13 s 2 = 2, 67 s3 = 1, 60 s estr = 1, 60 3) A = 0, 75 (10 ) m 2 −4 4) A = 2, 25 cm 2 5) A1 = 1,8 (10 ) m 2 −4 A 2 = 2, 4 (10 ) m 2 −4 6) A = 125 (10 ) m 2 −4 7) N1 = 800 kgf N 2 = 1.250 kgf 8) N1 = 12.500 kgf N 2 = 6.000 kgf v B = 2,5 cm σ = 2.500 kgf/cm 2 9) N1 = 72.000 N N 2 = 96.000 N N3 = 0 h B = 0, 0375 m (para a esquerda) 10) N1 = 62.500 N (compressão) N 2 = 100.000 N (tração) N 3 = 90.500 N (compressão) 11) A = 0, 625 cm 2 Problemas de Resistência dos Materiais 47 12) A = 0, 006 m 2 13) A = 6, 25 cm 2 14) A = 2,5 cm 2 15) N1 = 2.500 kgf N 2 = 1.800 kgf 16) A = 6 cm 2 17) A = 0, 005 m 2 18) N1 = 5.880 kgf N 2 = 21.840 kgf N 3 = 21.000 kgf 19) A = 20 (10 ) m 2 −4 505 = 2,338 m 216 N1 = 400 kgf N 2 = 225 kgf N 3 = 625 kgf δ = 0, 0075 m 20) x = (tração) (tração) (compressão) Problemas de Resistência dos Materiais 48 PARTE 4 4.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS. 1) Achar os momentos estáticos Sα e Sβ . Achar também a posição do centróide. β 30 cm 15 cm α 10 cm 40 cm 10 cm 2) Achar os momentos de inércia Iα das figuras: a) β 24 cm 12 cm α 12 cm 12 cm b) β 30 cm 40 cm α Problemas de Resistência dos Materiais 49 3) (Prof. Boanerges) Achar o momento centrífugo Iαβ : β quadrante de círculo R α ( R = 40 cm ) R 4) Achar I yz . Sugestão: achar antes Iαβ . β z h y G α b 5) (Prof. Boanerges) Achar Iαβ das figuras: a) b) β β quadrante de círculo 30 cm G R 30 cm R α 8 8 cm cm α Problemas de Resistência dos Materiais 50 As figuras de 6) à 16) têm em comum o eixo vertical, Gz , de simetria. Determinar, para cada uma dessas figuras planas, os momentos centrais principais de inércia, I y e I z . 6) z 4 cm y G 16 cm d 9 cm 6 cm 9 cm 7) 12 cm 30 cm 16 cm 8 cm 16 cm 8) 20 cm 10 cm 50 cm 20 10 20 cm cm cm Problemas de Resistência dos Materiais 51 9) 10) 6 cm 24 cm 18 cm 30 cm 18 cm 9 cm 6 12 6 cm cm cm 11) 9 cm 12) 6 cm 15 cm 18 cm 6 cm 30 cm 6 cm 6 cm 18 cm 13) 18 cm 14) 30 cm 90 cm 24 cm 72 cm 30 cm 60 cm 30 cm 72 cm Problemas de Resistência dos Materiais 52 15) 16) 3 cm 12 cm 30 cm 30 cm 15 cm 15 cm 15 cm 40 cm 15 cm 40 cm 40 cm 17) Para as figuras abaixo, achar os eixos centrais principais de inércia, bem como os momentos centrais principais de inércia: a) b) (Prof. Diogo) 60 cm 60 cm a 60 cm a 60 cm a a 18) Achar os eixos e momentos centrais principais para seção transversal abaixo (notar que figura é um losango): 48 cm 50 cm 14 cm Problemas de Resistência dos Materiais 53 Não há nenhum eixo de simetria nas figuras representadas de 19) à 22). Determinar os seus respectivos eixos e momentos centrais principais de inércia. 19) 20) 12 cm 36 cm 20 cm 12 cm 24 cm 12 cm 24 cm 10 cm 22) 21) 30 cm 60 cm 10 cm 30 cm 10 cm 10 cm 30 cm Problemas de Resistência dos Materiais 54 4.2 TORÇÃO UNIFORME. 23) Achar os diâmetros d1 e d 2 . 2 ⎪⎧τ = 800 kgf/cm (tensão admissível ao cisalhamento) São dados: ⎨ ⎪⎩G = 210 GPa (módulo de elasticidade transversal) Seção Transversal 40 kgfm 60 kgfm 2m d1 d2 1m 24) No problema anterior, para os valores de d1 e d 2 calculados, achar a rotação θ da extremidade livre. 25) Achar o valor de d . ⎧τ ⎪ São dados: ⎨G ⎪ ⎩θ Observação: θ c ≤ θ (condição) Seção Transversal 0, 7d T 2a A 1 d a C 2 B Problemas de Resistência dos Materiais 55 26) Calcular o valor máximo do momento T que pode ser aplicado à barra da figura, sabendo que a tensão admissível ao cisalhamento do material da estrutura vale −3 τ = 60 MPa , e que o ângulo de giro máximo permitido é θ = 2,5 (10 ) rad . São dados: A = 1 m , a = 0, 6 m , δ = 0, 03 m e G = 75 GPa . Os apoios (do tipo engastamento) não impedem, por hipótese, o livre empenamento da seção transversal. Seção Transversal δ a T 3A A a 27) Na barra da figura, calcular τ máx na parte aberta da seção e na parte fechada. Em seguida achar, para o conjunto, I t e Wt . Finalmente, calcular o ângulo de giro relativo entre as duas extremidades. O raio médio do tubo é de 9 cm, e o raio médio do perfil aberto vale 27 cm. As espessuras são, respectivamente, 1cm e 3 cm. Admite-se que o empenamento é livre para ocorrer. São dados: M t = ( 388000π ) kgfcm e G = 10 6 kgf/cm 2 . Seção Transversal Mt Mt 400 cm 28) Um eixo de seção circular maciça, de comprimento 1,8 m, e diâmetro 5 cm, transmite uma potência de 270 HP. Qual é, aproximadamente, a menor rotação (em r.p.m.) na qual esse eixo pode operar com segurança? É dada a tensão admissível ao cisalhamento do material que o compõe: τ = 1.700 kgf/cm 2 . ( ) 263 ( ) 363 ( ) 463 ( ) 563 ( ) 663 ( ) 763 Problemas de Resistência dos Materiais 56 29) Um eixo circular vazado transmite uma potência de 250 HP a 800 r.p.m.. Achar o valor de φ , dado τ = 750 kgf/cm 2 . Sabe-se que a rotação entre as extremidades não pode ultrapassar 0,01 rad. ( G = 106 kgf/cm 2 ) Seção Transversal φ T T 0, 7φ φ 1,20 m 30) Achar I t e Wt para as seções a), fechada, e b), aberta: a) b) 0, 4 cm 0, 4 cm 0, 4 20 cm cm 0,8 cm 20 cm 20 cm 31) Determinar τ máx , Wt e I t ( T = 4.000 tfm ) 20 50 cm cm ⎧e = 1 cm (paredes horizontais) ⎪ ⎨e = 2 cm (paredes verticais) ⎪ ⎩e = 2 cm (parede inclinada) 2 e 40 cm 1 60 10 cm cm Problemas de Resistência dos Materiais 57 4.3 1) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 4. Sα = 2.875 cm3 , S β = 25.750 cm 3 αG = 2) a) 1.030 115 = 27,838 cm, β G = = 3,1081 cm 37 37 Iα = 193.536 cm 4 3) Iαβ = −151.978 cm 4 4) b2h2 b2h2 , Iαβ = I yz = − 72 24 5) a) 6) Iαβ = R4 8 d = 13 cm I y = 6.976 cm 4 b) Iα = 5.300.042 cm 4 b) Iαβ = −19.200 cm 4 7) d = 29 cm I y = 94.320 cm 4 I z = 4.896 cm 4 8) d = 45 cm I y = 490.000 cm 4 I z = 110.000 cm 4 10) d = 14 cm I y = 35.964 cm 4 I z = 10.935 cm 4 I z = 65.280 cm 4 9) d = 27 cm I y = 366.336 cm 4 I z = 65.664 cm 4 11) d = 14 cm I y = 13.608 cm 4 I z = 6.156 cm 4 12) d = 25 cm I y = 70.875 cm 4 13) d = 40 cm I y = 5.265.000 cm 4 I z = 43.740 cm 4 I z = 6.075.000 cm 4 14) d = 26 cm I y = 210.816 cm 4 I z = 1.492.992 cm 4 16) d = 25 cm I y = 630.000 cm 4 I z = 4.320.000 cm 4 15) d = 13,5 cm I y = 40.365 cm 4 I z = 81.000 cm 4 Problemas de Resistência dos Materiais 58 17) a) z y 45o G ⎧⎪ I y = 16.200.000 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I z = 7.560.000 cm 50 cm 50 cm b) y z 5 4 ⎧ ⎪⎪ I y = 12 a ⎨ ⎪I = 5 a4 ⎪⎩ z 4 45o G 18) z y ⎧⎪ I y = 360.000 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I z = 640.000 cm G 19) 2 α1 20 cm 3 G 1 α2 10 cm 3 ⎧⎪ I1 = I y = 2.390, 4 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I 2 = I z = 387,35 cm ⎧⎪α1 = 16,845o ⎨ o ⎪⎩α 2 = −73,155 Problemas de Resistência dos Materiais 59 20) 2 1 α1 G α2 ⎧⎪ I1 = I y = 687.859 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I 2 = I z = 89.741 cm ⎧⎪α1 = 28,155o ⎨ o ⎪⎩α 2 = −61,845 21) 2 α1 1 G 17 cm α2 ⎧⎪ I1 = I y = 74.478 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I 2 = I z = 9.856 cm ⎧⎪α1 = 10,9o ⎨ o ⎪⎩α 2 = −79,1 7 cm 22) 2 1 α1 G α2 23) d1 = 2,95 cm ; d 2 = 4, 00 cm 24) θ = 6,35 (10 ) −2 rad ⎧⎪ I1 = I y = 706.869, 2 cm 4 ⎨ 4 ⎪⎩ I 2 = I z = 103.130,8 cm ⎧⎪α1 = 31, 7175o ⎨ o ⎪⎩α 2 = −58, 2825 Problemas de Resistência dos Materiais 60 25) ⎧TA = 0, 2753 T Reações: ⎨ ⎩TB = 0, 7247 T (para a esquerda) (para a esquerda) Condição de ⎧⎪ 3, 6909 T ⎨d ≥ 3 τ ⎪ Segurança ⎩ (região 2 ) Condição de ⎧⎪ 7,3817 T a Deformabilidade ⎨d ≥ 4 Gθ ⎪⎩ θC ≤ θ ( ) 26) Condição de Segurança {T ≤ 1, 728 (10) Condição 6 Nm {T ≤ 1, 620 (10) de Deformabilidade 6 Nm ⇒ Tmáx = 1, 620 (10 ) Nm 6 27) τ máx = 1.800 kgf/cm 2 τ máx = 600 kgf/cm 2 (parte fechada) (parte aberta) ⎧ I t = 1.944π cm 4 Para o conjunto: ⎨ 3 ⎩Wt = 216π cm θ = 0, 08 rad 28) 463 r.p.m. Problemas de Resistência dos Materiais 61 29) Condição de { φ ≥ 5,848 cm Segurança Condição de { φ ≥ 7, 746 cm Deformabilidade ⇒ φmín = 7, 746 cm 30) a) 4 ⎪⎧ I t = 6.524 cm ⎨ 3 ⎪⎩Wt = 480 cm b) ⎧⎪ I t = 8, 283 cm 4 ⎨ 3 ⎪⎩Wt = 10,354 cm 31) ⎧τ máx = 724, 64 kgf/cm 2 ⎪ 4 ⎨ I t = 174.316 cm ⎪ 3 ⎩Wt = 5.520 cm 150 ⎧ ⎪⎪q1 = 207 = 724, 64 kgf/cm Fluxos: ⎨ ⎪q = 145 = 700, 48 kgf/cm ⎪⎩ 2 207 Problemas de Resistência dos Materiais 62 PARTE 5 5.1 FLEXÃO E TENSÕES NORMAIS. Nos problemas que se seguem, desprezar o peso próprio (p.p.) da estrutura, a menos quando dito explicitamente o contrário. FÓRMULA GERAL DA FLEXÃO y,z: eixos centrais principais G N y σ= My Mz N ⎛ My +⎜ A ⎜⎝ I y ⎞ ⎛ Mz ⎞ ⎟⎟ z − ⎜ ⎟y ⎠ ⎝ Iz ⎠ z 5.2 FLEXÃO SIMPLES NORMAL (FSN). 1) Dada uma tora de madeira, de diâmetro D , achar as dimensões B e H da viga de seção retangular que tenha a maior resistência possível ao momento fletor M : B D H M Problemas de Resistência dos Materiais 63 2) Achar a dimensão “ a ”: 600 kgf 4m 3a σ T = σ C = σ = 40 kgf/cm 2 a a 3) Na viga da figura, definir a seção transversal nos 5 casos indicados. Em seguida, fazer uma comparação do consumo de material para os 5 casos. É dada: σ = 80 kgf/cm 2 . 100 kgf/m 5m a) b) c) a d b 3b a e) d) δ 0,8c c b δ= b b 15 Observação: no caso e) a altura b se refere à distância entre os eixos das mesas superior e inferior. 4) Achar a resultante das tensões de tração na área hachurada (equipe de PEF-125): 10 cm M 40 cm M = 104 kNm 10 cm 12 12 12 cm cm cm Problemas de Resistência dos Materiais 64 5) Achar a altura racional da seção (Miroliubov): h=? Dado: 2 cm 1 cm σT 1 = σC 3 1 cm 18 cm 6) Achar o valor mínimo que deve ser atribuído, com segurança, à dimensão “ a ”. São dadas as tensões normais admissíveis do material: σ T = 40 kgf/cm 2 e σ C = 400 kgf/cm 2 . 10 cm a 14,95 kgf/cm a a 60 cm 8m 10 cm 7) Achar o valor da dimensão “ a ”: 14 cm 5.488 kgf 9.947 kgf 4m 4m 2 ⎪⎧σ T = 125 kgf/cm ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 200 kgf/cm 3m 42 cm a a a Problemas de Resistência dos Materiais 65 8) Achar Pmáx . Dados: σ T = 40 kgf/cm 2 e σ C = 80 kgf/cm 2 (Prof. Boanerges). P 2P Seção Transversal: 40 cm ⎧ A = 1.500 cm 2 ⎪ 4 ⎨ I y = 600.000 cm ⎪ 4 ⎩ I z = 350.000 cm G 2m 2m 6m y 20 cm z 9) Achar o valor de F que permite aplicar o maior valor de P . Em seguida achar o maior valor de P (Prof. Boanerges). P 3m 2m 12 cm F 2m 30 cm ⎧⎪σ T = 100 kgf/cm 2 ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 200 kgf/cm 16 cm 8 cm 16 cm 10) Achar A máx . Em seguida, para este valor de A máx , achar Pmáx (Prof. Boanerges): 113,4 kN P 1,6 m 2,4 m ⎪⎧σ T = 64 MPa ⎨ ⎪⎩σ C = 92 MPa 15 cm 30 cm A 18 cm 18 cm Problemas de Resistência dos Materiais 66 5.3 VIGAS COMPOSTAS. Os problemas a seguir dizem respeito à vigas constituídas de dois ou mais materiais diferentes, sujeitas a FSN. 11) A seção transversal da figura, composta de dois materiais diferentes, está sujeita ao momento fletor indicado. Achar as tensões extremas em ambos os materiais. M = 7.545.600 kgf ⋅ cm (tração em cima) 1 60 cm 2 ⎪⎧ E1 = 700.000 kgf/cm ⎨ 2 ⎪⎩ E2 = 3.500.000 kgf/cm M 2 24 cm 16 cm 12) Na viga composta da figura, sabendo-se que E2 = 800.000 kgf/cm 2 e E1 = 400.000 kgf/cm , achar o valor máximo admissível para a carga P . São dadas as 2 tensões admissíveis à tração e compressão dos dois materiais: σ = 200 kgf/cm 2 (material 1) e σ = 700 kgf/cm 2 (material 2). P 2 36 cm 2 1 2m 2m 12 cm 5m 5 cm 50 cm 5 cm Problemas de Resistência dos Materiais 67 13) Para a viga da figura, composta de três materiais diferentes, achar as tensões normais extremas na seção transversal, para cada um dos três materiais. São dados: 5 5 5 E1 = 12 (10 ) kgf/cm 2 , E2 = 3 (10 ) kgf/cm 2 e E3 = 6 (10 ) kgf/cm 2 . 1 60 cm 2 240 cm 3 60 cm 58,8 (10 ) kgf 3 18 m (1.800 cm) 60 cm 5.4 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL (FCN). 14) Achar as tensões normais extremas ( σ máx e σ mín ) na seção transversal: 6 cm 6.048 kgf 48.600 kgf 90 cm 90 cm 18 cm 108 cm 6 cm 6 cm 6 cm Problemas de Resistência dos Materiais 68 15) Qual é o valor mínimo de H para que não haja tração na seção transversal mais solicitada? 10.530 kgf 90 cm H 8m 4m 30 cm 60 cm 30 cm 16) Obter F para minimizar “ x ”. Quanto vale xmín ? (Prof. Boanerges) 1.200 kgf/m F 3m 2 ⎪⎧σ T = 90 kgf/cm Dados: ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 230 kgf/cm 3x 2x Para F = 0 , quanto vale x ? 17) Achar a força F que permite aplicar a maior força P possível. Calcular este maior valor de P (Prof. Boanerges): P 30 cm F 3m 3m ⎧⎪σ T = 800 kgf/cm 2 Dados: ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 1.100 kgf/cm Para F = 0 , quanto vale Pmáx ? 9 9 cm cm Problemas de Resistência dos Materiais 69 18) Achar qmáx . Achar também os valores de P e de “ e ” que permitem obter qmáx . excentricidade q P e eixo 30 cm 2,5 m ⎧⎪σ T = 0 Dados: ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 100 kgf/cm 12 cm 19) O material da viga da figura tem as seguintes tensões normais admissíveis: σ T = 0 e σ C = 180 kgf/cm 2 . Pedem-se: a) valor máximo possível da excentricidade e ; b) o menor valor de P (para e do item anterior) que permite aplicar a máxima carga F . Quanto vale Fmáx ? F 60 cm 4m 4m e 30 cm P P 36 cm eixo da viga 36 cm Para P = 0 , quanto vale Fmáx ? Observação: os três problemas a seguir envolvem casos de tração ou compressão excêntrica normal, ou seja, são casos particulares de FCN, quando V = 0 . 20) Na seção transversal da figura, sujeita a uma compressão excêntrica, achar os valores das tensões normais extremas (máxima tração e máxima compressão): 30 cm 90 cm P = 45.000 kgf 60 cm 60 cm P 53 cm Problemas de Resistência dos Materiais 70 21) Na seção da figura, achar o valor de “ x ” para que a linha neutra (LN) fique na posição indicada: 18 cm LN 4 cm 18 cm P x 9 9 cm cm 22) Achar o valor da distância “ d ” de modo que a maior tensão de tração e a maior de compressão sejam iguais, em valor absoluto: 36 cm 36 cm 15 cm 12 cm d P Sob que condições geométricas da seção transversal a distância d tende a infinito? 5.5 FLEXÃO SIMPLES OBLÍQUA (FSO). 23) Determinar a LN (linha neutra) e as tensões normais extremas na seção do engastamento: 6 cm 24 cm 9.768,96 kgf 3m 2.480,64 kgf 30 cm 6 cm 12 cm 6 cm Problemas de Resistência dos Materiais 71 24) Achar o valor de “a” (Prof. Diogo): 20 kgf/cm a 5m a ⎪⎧ σ T = 125 kgf/cm ⎨ 2 ⎪⎩σ C = 250 kgf/cm 2 a a 25) Achar o valor de “a”: 3.000 kgf 4m 2a σ T = σ C = σ = 900 kgf/cm 2 a 26) Achar o valor máximo admissível para a carga P: P P 4m 60 cm σ = 150 kgf/cm 2 30 cm 30 cm Problemas de Resistência dos Materiais 72 5.6 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA (FCO). Os dois problemas a seguir correspondem ao caso de tração ou compressão excêntrica oblíqua, caso particular de FCO em que V = 0. 27) Achar a L. N. e as tensões normais extremas: P = 2.570.400 N 12 cm P 36 cm 60 cm 15 cm 15 cm 28) Achar as tensões normais extremas na seção: P = 105.408 N 24 cm 30 cm P 72 cm 72 cm Problemas de Resistência dos Materiais 73 5.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARES. 29) Achar o valor máximo que pode ser atribuído, com segurança, à carga P, estando a seção nas posições deitada e em pé. Qual dessas posições resulta a mais eficiente? Justifique. É dada a tensão normal admissível do material (à tração e à compressão): σ = 33 MPa . 30 cm P 30 cm 5m 5m 30 cm 40 cm 30 cm 30) O material que constitui a viga da figura tem como tensões de ruptura: σ C = 60 MPa (compressão) e σ T = 30 MPa (tração). Achar o valor de x para o qual o colapso acontece, simultaneamente, nas fibras mais tracionada e mais comprimida. Para o valor de x calculado, determinar qual é o momento aplicado M * que provoca tal condição limite nessas fibras. Finalmente, para os valores de x e M * assim determinados, achar a força resultante das tensões de tração na seção transversal. 30 cm M* 5m M* 30 cm 20 cm x 20 cm Problemas de Resistência dos Materiais 74 31) Para a viga indicada na figura, formada por dois materiais diferentes, determinar o diagrama de tensões normais na seção transversal crítica, ou seja, a variação de σ ao longo da altura da seção para a seção mais solicitada pelo momento fletor. Dados: E1 = 150.000 kgf/cm 2 e E2 = 750.000 kgf/cm 2 1 20 cm 2 10 cm 1 50 cm 14.700 kgf 2m 4m 10 cm 32) Achar as tensões normais extremas na seção mais solicitada. 60 cm 567 N/cm 8m 60 cm 60 cm 60 cm Problemas de Resistência dos Materiais 75 33) Achar o valor de “b”: ( σ T = σ C = σ = 135 kgf/cm 2 ) 32 kgf/cm b 2m 2m b 34) Provar que a linha neutra coincide com a diagonal AB: P A P h a a b B 35) Achar a L. N. e as tensões normais extremas: 12 cm 5.040 kgf δ 2m 1.008 kgf 12 cm 24 cm δ 117.600 kgf δ = 1 cm Problemas de Resistência dos Materiais 76 36) Na figura a seguir representa-se a seção transversal de uma barra prismática. No ponto médio do lado AB está aplicada uma força P = 76.800 kgf . Achar a posição da linha neutra e as tensões normais extremas na seção: P A B 48 cm C D 50 cm 14 cm Observação: notar que a figura é um losango. 5.8 D 3 , 3 1) B= 2) a = 20 cm 3) a) b) c) d) e) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 5. d = 15,85 cm a = 13, 28 cm b = 6, 386 cm c = 15,83 cm b = 17,12 cm H= D 6 3 (100%) (89%) (62%) (46%) (30%) 4) F = 180 kN 5) h = 12 cm ou h = 6 cm (tração em baixo) 6) a = 13 cm 7) a = 14 cm 8) Pmáx = 1.500 kgf 9) F = 3.252 kgf ; P = 4.878 kgf Problemas de Resistência dos Materiais 77 10) A máx = 2 m ; Pmáx = 283,5 kN 11) ⎧⎪σ máx = 290 kgf/cm 2 Material 1 ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = −10 kgf/cm ⎧⎪σ máx = −50 kgf/cm 2 Material 2 ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = −650 kgf/cm 12) Pmáx = 4.896 kgf 13) ⎧⎪σ máx = 120 kgf/cm 2 Material 1 ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = 72 kgf/cm ⎧⎪σ = 18 kgf/cm 2 Material 2 ⎨ máx 2 ⎪⎩σ mín = −30 kgf/cm ⎧⎪σ = −60 kgf/cm 2 Material 3 ⎨ máx 2 ⎪⎩σ mín = −84 kgf/cm ⎧⎪σ máx = 522 kgf/cm 2 (no engastamento) 14) ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = −710 kgf/cm (seção do apoio simples) 15) H = 259.200 kgf 16) F = 83.250 kgf ( x = 15 cm ) Para F = 0 : x = 20 cm 17) F = 126.000 kgf ( P = 5.700 kgf ) Para F = 0 : P = 3.600 kgf ⎧ P = 18.000 kgf ⎪ 18) ⎨e = 5 cm ⎪q = 5, 76 kgf/cm ⎩ ⎧e = 7 cm ⎪ 19) ⎨ P = 259.200 kgf ⎪ F = 20.412 kgf ⎩ Para P = 0 : Fmáx = 0 Problemas de Resistência dos Materiais 78 ⎧⎪σ = 30 kgf/cm 2 (em cima) 20) ⎨ máx 2 ⎪⎩σ mín = −70 kgf/cm (em baixo) 21) x = 4, 75 cm 22) d = 48 cm d → ∞ quando o eixo principal horizontal da seção transversal fica à meia altura. ⎧⎪σ máx = 400 kgf/cm 2 (ponto A) 23) ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = −352 kgf/cm (ponto B) 34 Campo de tensões: σ = 8 z − y 3 17 L. N. (σ = 0 ) ⇒ z = y 12 LN A y G 17 27 B z 24) a = 20 cm 25) a = 20 cm 26) Pmáx = 3.375 kgf A B Os pontos críticos são B e C, e a L. N. passa pelos pontos A e D C D Problemas de Resistência dos Materiais 79 ⎧⎪σ = 3.350 N/cm 2 27) ⎨ A 2 ⎪⎩σ B = −1.390 N/cm L. N. (σ = 0 ) ⇒ z = 34 + 34 y 35 35 LN A y G 30 34 B z 2 ⎪⎧σ = 303 N/cm 28) ⎨ B 2 ⎪⎩σ C = −819 N/cm B C 29) Seção deitada: P = 435.600 N Seção em pé: P = 535.920 N (a seção em pé apresenta módulo de resistência à flexão maior) 30) x = 80 cm 31) Diagrama de tensões normais na seção mais solicitada: 140 1 60 2 20 σ 300 compressão 100 35 cm tração kgf/cm 2 45 cm 1 180 Problemas de Resistência dos Materiais 80 ⎧⎪σ = −324 N/cm 2 32) ⎨ A 2 ⎪⎩σ B = 300 N/cm A B 33) b = 40 cm ⎧⎪σ A = 6.650 kgf/cm 2 35) ⎨ 2 ⎪⎩σ B = −3.850 kgf/cm ⎧⎪ I y = 2.880 cm 4 Momentos de inércia: ⎨ 4 ⎪⎩ I z = 1.152 cm Campo de tensões: σ = 2.450 − 350 z + 175 y L. N. (σ = 0 ) ⇒ z = 0,5 y + 7 A 6 y G B z ⎧⎪σ máx = σ A = σ B = 128 kgf/cm 2 36) ⎨ 2 ⎪⎩σ mín = σ C = σ D = −64 kgf/cm ⎧⎪ I y = 360.000 cm 4 Momentos de inércia: ⎨ 4 ⎪⎩ I z = 640.000 cm L. N. (σ = 0 ) ⇒ z = −0, 75 y + 10 P A 40 3 G B 10 LN (horizontal) y C D z Problemas de Resistência dos Materiais 81 PARTE 6 6.1 CISALHAMENTO NA FLEXÃO. CÁLCULO DE LIGAÇÕES. 1) Para a seção retangular, sujeita a uma força cortante V , achar a distribuição τ = τ ( z ) das tensões de cisalhamento. Comprovar que a resultante das tensões τ é igual à força cortante V . h 2 P G y h 2 V L V=P z b 2 b 2 2) Para uma seção circular de raio R , sujeita a uma cortante V , achar a tensão máxima de cisalhamento. 3) A viga de madeira da figura é composta por duas partes coladas entre si. Achar qual deve ser a resistência mínima da cola ao cisalhamento (adotar coeficiente de segurança igual a 2). Achar também qual é a tensão máxima de cisalhamento na seção. 12 cm 6.120 kgf 36 cm 4m 12 cm 12 cm 12 cm Problemas de Resistência dos Materiais 82 4) 5 barras prismáticas de madeira, com seção de 12 × 8 cm 2 , são coladas umas na outras, como mostra a figura, para formar a viga AB. Achar qual deve ser a resistência da cola ao cisalhamento, adotando C.S. = 1,5 . 8 cm 10.000 kgf B A 1,2 m 1,8 m 12 cm 5) A viga de madeira da figura é composta por 7 tábuas de seção 10 ×1 cm 2 , coladas entre si. Adotando coeficiente de segurança igual a 3, achar qual deve ser a resistência da cola ao cisalhamento. Achar também o valor da tensão máxima de cisalhamento na seção. São dados os momentos de inércia centrais principais: I1 = 8.725 cm 4 e I 2 = 1.145 cm 4 . 3.490 kgf 3m 1 cm 10 cm Seção Transversal Problemas de Resistência dos Materiais 83 6) Determinar o espaçamento necessário para os pregos utilizados na montagem da viga prismática a seguir esquematizada (cada prego pode transmitir, com segurança, uma força de 120 kgf ): 6 4.960 kgf 48 3m 60 3m ⎛ achar também a tensão ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ tangencial máxima na ⎟ ⎜ seção transversal ⎟ ⎝ ⎠ 6 6 12 6 ( medidas em cm ) 7) Achar o valor mínimo necessário ( t = ? ) para o cordão de solda contínua a 450 : 30 23.700 2 kgf t 3m 2 t 30 t 2 2 t 12 ( medidas em cm ) É dado: τ = 600 kgf/cm 2 (tensão admissível ao cisalhamento da solda) Problemas de Resistência dos Materiais 84 8) Chapas de aço de 2 cm de espessura são cortadas para compor a seção transversal da figura. Dimensionar os cordões de solda contínuos a 450 (1) e ( 2 ) e achar os espaçamentos dos parafusos ( 3) e ( 4 ) . V = 500.000 kgf São dados: Cordão de solda: τ = 1.000 kgf/cm 2 Parafusos: τ = 7.500 kgf/cm 2 e A = 3 cm 2 68 2 ( 3) ( 2) ( 2) cordão de solda 2 t 450 t ds V 62 G y 80 z di 2 ( 4) 2 20 (1) (1) 2 2 12 ( medidas em cm ) 2 20 20 6.2 ( 4) SEÇÕES DELGADAS. CENTRO DE CISALHAMENTO. 9) A seção delgada da figura tem espessura δ << a . Achar a distribuição das tensões de cisalhamento para uma força cortante V , aplicada em ^* : a V 2a ^* δ a a d* a Problemas de Resistência dos Materiais 85 10) Achar a distância d * , que caracteriza a posição do centro de cisalhamento ^* , referente ao problema anterior. 11) Resolver o problema 9) considerando a seção deitada: V 12) Sendo V = 79.200 kgf , achar a distribuição das tensões tangenciais τ : δ = 2 cm V ( constante ) δ 30 cm 10 cm 10 cm 13) Resolver o problema anterior, para a seção deitada, supondo V aplicada em ^* . Achar a distância d * : V ^* d* 14) Achar d * : a ^ * d* 2a a espessura: δ = constante a 2a Problemas de Resistência dos Materiais 86 15) Achar d * : 2a a a ^* δ = cte δ a d* 16) Achar d * : δ a ^* (δ << a ) a 2δ d* 2a 17) Achar d * : a a ^* a d* a 2 a 2 espessura: δ = cte δ << a Problemas de Resistência dos Materiais 87 18) Achar d * (δ = cte ) : 600 a ^* a d* Demonstrar a fórmula aproximada do momento de inércia da figura a seguir: L 2 α G L 2 ⎧Momento de inércia: ⎪ ⎨ δ L3 sen 2α I = ⎪ 12 ⎩ δ << L 19) Achar d * (δ = 1, 20 cm ) : δ 15 cm ^* 15 cm d* 20 cm 20 cm Problemas de Resistência dos Materiais 88 20) Achar d * (δ = cte ) : 3a ^* d* 3a δ 4a 21) Achar d * (δ = cte ) : R ^* δ R : raio médio d* Fórmula: ∫ cos 2 x dx = x sen2 x + + constante 2 4 22) No problema 19) achar a distribuição de tensões de cisalhamento para uma força cortante vertical V = 54.000 N aplicada em ^* : V ^* Problemas de Resistência dos Materiais 89 6.3 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 6. 2 3 ⎛ V ⎞ ⎡ ⎛ 2z ⎞ ⎤ 1) τ ( z ) = ⎜ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎝ bh ⎠ ⎢⎣ ⎝ h ⎠ ⎥⎦ h 2 h − 2 ∫ τ ( b dz ) = V ( demonstrar ) 2) τ máx = 4 V 3 π R2 ( ao nível do centróide ) 3) τ R = 2 (15 ) = 30 kgf/cm 2 τ máx = 15, 625 kgf/cm 2 ( no centróide ) 4) τ R = 1,5 (18 ) = 27 kgf/cm 2 5) τ R = 3 (132 ) = 396 kgf/cm 2 τ máx = 137 kgf/cm 2 6) ( no centróide ) espaçamento: e = 16 cm ( são necessários 150 pregos ) τ máx = 4, 7222... kgf/cm 2 7) ( no centróide ) t = 1,16 cm ⎧d s = 12,11 cm ⎨ ⎩d i = 19,89 cm I = 24.724 cm 4 ds di 8) ⎧⎪Solda (1) : t = 0,965 cm ⎨ ⎪⎩Solda ( 2 ) : t = 2,185 cm ⎧⎪Parafusos ( 3) : e = 11,94 cm ⎨ ⎪⎩Parafusos ( 4 ) : e = 12, 44 cm ⎧d s = 33, 78 cm ⎨ ⎩d i = 46, 22 cm I = I y = 487.084 cm 4 ( cálculo simplificado ) Problemas de Resistência dos Materiais 90 9) 3V 8 aδ F1 τ F2 9 V 16 aδ 3 ⎧ ⎪ F1 = V 16 ⎨ ⎪⎩ F2 = V ( resultantes das tensões ) F1 3V 8 aδ 10) d * = 3a 8 11) 27 V 40 aδ 3 a 4 1 a 4 F2 F1 3V 5 aδ τ 3 ⎧ ⎪⎪ F1 = 10 V ( resultantes das tensões ) ⎨ 1 ⎪F = V ⎪⎩ 2 2 Nas almas a tensão é parabólica e é máxima na altura do centróide. Nas mesas τ é linear. 12) F1 720 F1 9 cm 1.440 τ F2 = V 1.764 F1 = 7.200 kgf 21 cm ( kgf/cm ) 2 I = 9.900 cm 4 ( momento de inércia ) Problemas de Resistência dos Materiais 91 13) d * = 0 F1 τ F1 = 39.600 kgf ( kgf/cm ) 2 F1 2.970 4.000 cm 4 3 ( momento de inércia ) I= parábola do 2º grau 14) d * = 9 a 34 15) d * = 17 a 22 16) d * = 10 a 9 8 17) d * = a 9 3 a 3 18) d * = 19) d * = 10 cm 20) d * = 44 a 17 21) d * = 2 R ( I = 9.000 cm ) 4 ( I = 102a δ ) 3 (I = π R δ ) 3 22) τ1 ⎧⎪τ 1 = 1.125 N/cm 2 ⎨ 2 ⎪⎩τ 2 = 2.250 N/cm V: vértice da parábola V τ2 V F2 F1 F2 F1 V V τ Resultantes das tensões: ⎧ F1 = 11.250 N ⎨ ⎩ F2 = 56.250 N Equivalência estática: τ1 2 ( F2 − F1 ) 0, 6 = 54.000 Problemas de Resistência dos Materiais 92 PARTE 7 7.1 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO. LINHA ELÁSTICA. x p(x) ϕ x w ϕ Linha Elástica: w(x) z ϕ≅ dw (Rotação) dx EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA LINHA ELÁSTICA (E.D.L.E.): d 2 w dϕ M 1 = =− = = κ (Curvatura) 2 dx dx EI ρ ⎧ M > 0 : tração em baixo ⎪V > 0 : horário ⎪⎪ Convenção de sinais ⎨ p > 0 : para baixo ⎪ w > 0 : para baixo ⎪ ⎪⎩ϕ > 0 : horário Observação: o eixo y aponta para fora do plano do papel. Problemas de Resistência dos Materiais 93 1) Achar wC , ϕC , f = wmáx , ϕmáx e ϕmín : 240 kgf/m ( EI = 10 C 4 kgfm 2 ) 4 kgfm 2 ) 1m 4m 2) Achar wC , ϕC , f = wmáx , ϕ máx e ϕmín : 480 kgf/m C 1m ( EI = 10 4m 3) Achar f , ϕ máx e ϕmín : 720 kgfm 4m ( EI = 10 4 kgfm 2 ) 4) Achar wC , ϕC , f = wmáx , ϕ máx e ϕmín : 7.200 kgf 4m 2m ( EI = 10 C 6 kgfm 2 ) 5) Usando a função de McCauley, achar a linha elástica w ( x ) : 2P a P a a ( EI = constante ) Problemas de Resistência dos Materiais 94 6) Achar a linha elástica w ( x ) : M* a b ( EI = constante ) 1 2 L = a+b 7) Achar w = w ( x ) da viga de inércia variável (Prof. Lindenberg): reta p0 I0 I= 1+ x L L 8) Achar w = w ( x ) . Usar a equação diferencial de 4ª ordem: parábola p(x) p0 2 ⎛x⎞ p ( x ) = p0 ⎜ ⎟ ⎝L⎠ EI = constante x L 9) Achar o valor da reação de apoio R . Achar também ϕmáx e ϕmín : 1.200 kgf/m 4m R ( EI = 10 5 kgfm 2 ) Problemas de Resistência dos Materiais 95 10) Achar w = w ( x ) : 1.920 kgf/m 4m ( EI = 10 4m 6 kgfm 2 ) 11) Achar a linha elástica, f = wmáx , ϕ máx e ϕmín : 4.800 kgfm ( EI = 10 6m 5 kgfm 2 ) R 12) Achar R e w = w ( x ) : 3.000 kgf ( EI = 10 3m 2m 5 kgfm 2 ) R 13) Achar o valor de P para o qual wC = 0 . Qual é o problema hiperestático que está sendo resolvido? P 6.000 kgfm 6m 6m C ( EI = 10 5 kgfm 2 ) 14) Achar M * para que ϕC = 0 . Qual é o problema hiperestático equivalente? 6 kN/m M* C EI = constante 6m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 96 15) Achar M A e M B . Achar também a flecha f , e as rotações ϕmáx e ϕmín . P 2a MA a 16) Achar M * e P para que ϕA = 0 e wB = 0 , EI = constante MB ( EI = constante ) . Qual é o problema hiperestático associado? 200.000 N P M* B A 3m 3m 3m 17) Achar M * para que ϕC = 0 , ( EI = constante ) . Qual é o problema hiperestático que está sendo resolvido? P 2a a a C M* engaste móvel 18) Achar o valor da dimensão a de modo que o deslocamento vertical do ponto A seja 5 igual a 7 cm. É dado: E = 2 (10 ) kgf/cm 2 . 4.800 kgf a 4.800 kgfm A 4m 40 cm 2m seção transversal Problemas de Resistência dos Materiais 97 19) Achar o valor da reação R, sabendo-se que, neste mesmo apoio há um recalque δ = 0,1296 m . Considerar apenas as deformações causadas pelo momento fletor. Achar também a rotação ϕ no apoio da esquerda. É dado: EI = 106 kgfm 2 (constante). 2.400 kgf/m δ 6m R 20) Utilizando a equação diferencial da linha elástica, achar a reação no apoio central B, sabendo-se que, neste mesmo apoio, há um recalque de valor δ B = 0, 008 m . É dado: EI = 104 kgfm 2 (constante). Desprezar o peso próprio. 720 kgf 1m 1m A 1m B C 21) Achar a linha elástica w = w ( x ) : P a a a ( EI = constante ) Problemas de Resistência dos Materiais 98 7.2 1) RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DA PARTE 7. wC = 0, 057 m (para baixo) ϕC = 0, 044 rad (horário) f = wmáx = w ( 2 ) = 0, 08 m (flecha) ϕmáx = ϕ ( 0 ) = 0, 064 rad (horário) ϕmín = ϕ ( 4 ) = −0, 064 rad (anti-horário) 2) f = w ( 2, 07732 ) = 0, 080144 m ϕmáx = ϕ ( 0 ) = 0, 059733... rad ϕmín = ϕ ( 4 ) = −0, 068267 rad 3) f = w ( 2,3094 ) = 0, 07390 m ϕmáx = ϕ ( 0 ) = 0, 048 rad ϕmín = ϕ ( 4 ) = −0, 096 rad 4) wC = 0, 0256 m ϕC = 0, 0064 rad f = w ( 2, 734 ) = 0, 02787 m ϕmáx = 0, 016 rad ϕmín = −0, 0128 rad 5P 3 P P 14 3 3 x + x−a + x − 2a + Pa 2 x 18 3 6 9 5) EI w = − 6) w1 = − 7) w '' = − 8) p0 p0 L3 p0 L4 6 w= x − x+ 360 EIL2 60 EI 72 EI M* x ( L2 − 3b 2 − x 2 ) 6 EIL M* w2 = ( L − x ) ⎡⎣ x ( 2 L − x ) − 3a 2 ⎤⎦ 6 EIL p M ⎛pL ⎞ 1 ⎛ L+x⎞ = − ⎜ 0 x − 0 x3 ⎟ ⎜ ⎟ (basta integrar duas vezes!) EI 6L ⎠ E ⎝ I0 L ⎠ ⎝ 6 Problemas de Resistência dos Materiais 99 9) R = 1.800 kgf ϕmáx = 0, 016 rad ϕmín = −0, 011 rad 4 10) EI w = 80 x − 4 − 320 x3 + 17.920 x 11) R = 1.200 kgf EI w = −200 x3 + 2.400 x 2 − 7.200 x ⎧ f = w ( 2 ) = −0, 064 m ⎪ ⎨ϕmáx = ϕ ( 4 ) = 0, 024 rad ⎪ ⎩ϕmín = ϕ ( 0 ) = −0, 072 rad 12) R = 1.296 kgf 3 EI w = −216 x3 + 500 x − 2 + 2.700 x 13) P = 250 kgf (viga com três apoios) 14) M * = 48 kNm 15) M A = 2 Pa 9 ; MB = 4 Pa 9 2 ⎧ ⎛ 6a ⎞ 2 Pa = = ϕ ϕ ⎜ ⎟ ⎪ máx ⎝ 7 ⎠ 21 EI ⎪ ⎪⎪ 2 Pa 2 ⎛ 12a ⎞ = = − ϕ ϕ ⎨ mín ⎜ ⎟ 15 EI ⎝ 5 ⎠ ⎪ 3 ⎪ ⎛ 12a ⎞ 16 Pa = ⎪ f = w⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠ 147 EI ⎩⎪ ⎧ M * = 180.000 Nm 16) ⎨ ⎩ P = 30.000 N 200.000 N 3m 3m 3m Problemas de Resistência dos Materiais 100 17) M * = Pa P a 2a a 18) a = 6 cm 19) R = 3.600 kgf ϕ = −0, 0216 rad 20) RB = 450 kgf 21) EI w = Px3 P 2 7 3 x − a + Pa 2 x − 2a − Pa 2 x + Pa 3 − 6 3 3 6