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Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
2 Aula de hoje
Probabilidade condicional. Teorema da probabilidade composta. Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆencia de acontecimentos Exemplo
Probabilidade Condicional Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
S˜ao conhecidas as seguintes propor¸co˜es relativas `a situa¸c˜ao de emprego dos habitantes (adultos) de uma comunidade, organizadas em fun¸c˜ao do sexo.
Mulheres Homens Total
Empregados 0.47 0.44 0.91
Desempregados 0.05 0.04 0.09
Total 0.52 0.48 1.00
Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso, na comunidade estar desempregada? De entre as pessoas do sexo masculino, qual a probabilidade de se encontrar um desempregado?
Probabilidade Condicional Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado
Defini¸c˜ao A probabilidade condicional de A dado B, ´e dada por:
Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
P(A|B) =
P(A ∩ B) , P(B)
P(B) > 0
Ω
Probabilidade Condicional Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado
Defini¸c˜ao A probabilidade condicional de A dado B, ´e dada por:
Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
P(A|B) =
P(A ∩ B) , P(B)
P(B) > 0
Ω
Teorema da probabilidade composta Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
Teorema Se P(A) > 0, P(B) > 0, ent˜ao, P (A ∩ B) = P (A |B ) P (B) = P (B |A ) P (A)
Teorema da probabilidade total Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
Teorema Se {B1 , . . . , Br } ´e uma parti¸c˜ao do espa¸co de resultados Ω, com P (Bi ) > 0, ∀i. Dado um qualquer acontecimento A, tem-se P (A) = P (A |B1 ) P (B1 ) + . . . + P (A |Br ) P (Br )
AI B 2
A I B1 AI B3
A I Br
Ω
Teorema de Bayes Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
Teorema Se {B1 , . . . , Br } uma parti¸c˜ao do espa¸co de resultados Ω, com P (Bi ) > 0, ∀i. Dado um qualquer acontecimento A, com P (A) > 0, tem-se P (Bi |A ) =
P (A |Bi ) P (Bi ) . n X P (A |Bi ) P (Bi ) i=1
Independˆencia de acontecimentos Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado
Defini¸c˜ao Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se e s´ o se
Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
P (A ∩ B) = P (A) P (B)
Teorema Se A e B s˜ao acontecimentos independentes, ent˜ao: P(A|B) = P(A),
P(B) > 0
P(B|A) = P(B),
P(A) > 0.
Observa¸c˜ao: Se dois acontecimentos s˜ao independentes, o conhecimento de um deles em nada influencia a probabilidade de ocorrˆencia do outro.
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Teorema Se A e B s˜ao acontecimentos independentes, tamb´em o s˜ao A e B, A e B e ainda A e B.
Exemplo de aplica¸c˜ao Probabilidades e Estat´ıstica C Ayana Furtado Aula de hoje Probabilidade condicional Teorema da probabilidade total Teorema de Bayes Independˆ encia de acontecimentos Exemplo
Exemplo Uma pe¸ca electr´ onica ´e produzida em trˆes f´abricas, respectivamente F1 , F2 , F3 . Sabe-se que a f´abrica F1 produz o dobro das pe¸cas produzidas por cada uma das outras f´abricas. Al´em disso, 2% das pe¸cas produzidas pelas f´abricas F1 e F2 s˜ao defeituosas. A percentagem de pe¸cas defeituosas produzidas pela f´abrica F3 ´e de 4%. As pe¸cas produzidas s˜ao enviadas para um armaz´em de distribui¸c˜ao. Qual a probabilidade de se encontrar uma pe¸ca com defeito, de entre a produ¸c˜ao total? Uma pe¸ca ´e defeituosa e n˜ao se sabe a sua proveniˆencia. Qual a origem mais prov´avel?
