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Ricardo Cesare Román Amigo PROBABILIDADES Condicionada P( A ∩ B) P( A | B) = P( B) Teorema da Probabilidade Total
Poisson x e − λt ⋅ (λt ) P ( x) = x! µ ( x ) = λt
σ 2 ( x ) = λt Aproximações: Binomial com p<0,1 ~ Poisson
n
P ( B ) = ∑ P ( Ai ) ⋅ P ( B | Ai )
n⋅ p ~ λ ⋅t
i =1
Teorema de Bayes P ( A) ⋅ P( B | A) P( A | B) = n ∑ P( Ai ) ⋅ P( B | Ai ) i =1
Normalmente: n
∑ P( A ) = P( A) + P( A) i =1
i
Propriedade #1 P( A | B ∩ C ) ⋅ P( B | C ) = P( A ∩ B | C ) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Média µ ( x) = ∑ xi ⋅ P ( xi )
µ a +b ( x) = µ a ( x) + µ b ( x) Variância σ 2 ( x) = µ ( x 2 ) − [µ ( x)]2
σ a2+b ( x) = σ a2 ( x) + σ b2 ( x) DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS Bernoulli µ ( x) = p
σ 2 ( x) = p ⋅ q Binomial ⎛n⎞ P ( x) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ p x ⋅ q 1− x ⎝ x⎠
µ ( x) = n ⋅ p σ 2 ( x) = n ⋅ p ⋅ q
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Uniforme 1 P ( x) = b−a a+b µ ( x) = 2 2 ( b − a) 2 σ ( x) = 12 Exponencial P (T > t ) = P ( x = 0) = e − λt
µ (T ) =
1
λ
σ 2 (T ) =
1
λ2
[
P ( a < T < b ) = 1 − e − λt
]
b a
Normal z = µ ± zα ⋅ σ zc =
x−µ
σ
µ ( z) = 0 σ 2 ( z) = 1 Aproximações:
np ≥ 5 e nq ≥ 5 ~ Normal Poisson com λt ≥ 5 ~ Normal
Binomial com
Ricardo Cesare Román Amigo DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS n : número de elementos k = n : número de classes A : amplitude total A a = : amplitude das classes k
t-Student x−µ t n −1 = s n
t = x a − xb ⋅
AMOSTRAGEM ELEMENTAR Médias µx = µ
σx = σx =
σ
N infinito
µ = x ± tα
n
σ n
2
N −n N −1
⋅
N finito
(
⋅
n
Qui-Quadrado n ⋅ s2 χ2 = 2 Consultar χ n −1 na tabela 2
p⋅q n
COMPARAÇÃO DE MÉDIAS - ANÁLISE DE VARIÂNCIA -
DECISÃO
Erros Tipo I: Rejeitar H0 Verdadeiro Tipo II: Aceitar H0 Falso Médias Distr. Normal z =
x−µ
σ
T : soma total dos valores Q : soma total dos quadrados xi : média da i-ésima amostra
x : média total Estimativa Total
Proporções Distr. Normal z =
Ti : soma dos valores da amostra i Qi : soma dos quadrados da amostra i
k amostras reunidas numa só
n
Pamostra − p p⋅q n
⎛T 2 ⎞ Q − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ nk ⎠ = SQT sT2 = nk − 1 νT Estimativa entre Amostras
Amostra com k médias amostrais
PEQUENAS AMOSTRAS s =∑ 2
(x
)
−x n −1
i
)
s
σ
Proporções µp = p
σp =
; n −1
n a + nb − 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⋅ na ⋅ s a2 + nb ⋅ sb2 ⎝ n a nb ⎠
2
Ti 2 T 2 − k 2 n nk = SQE sE = ∑ k −1 νE i =1
Ricardo Cesare Román Amigo Variação #2: Duas Classificações k Ti 2 T 2 − ∑ nk SQL 2 i =1 n sL = = νL k −1
Estimativa Residual
Média das k variâncias
Ti 2 SQR i =1 n s R2 = = k (n − 1) νR k
Q−∑
k
sC2 =
Propriedade #1 SQT = SQE + SQR
2
2
Variação #1: Tamanhos Diferentes Fk −1;( n )− k ;α ∑i T2 Q− k ni ∑ SQT 2 i =1 sT = k = νT ⎛ ⎞ ⎜ ∑ ni ⎟ − 1 ⎝ i =1 ⎠
i =1
k −1
=
SQE
νE
⎛ k T2 ⎞ Q − ⎜⎜ ∑ i ⎟⎟ ⎝ i =1 ni ⎠ = SQR s R2 = νR ⎛ k ⎞ ⎜ ∑ ni ⎟ − k ⎝ i =1 ⎠
FL =
s L2 s R2
FC =
sC2 s R2
2
F tende a crescer para o caso falso Sempre Unilateral Codificações lineares não afetam o resultado
s E2 =
k n −1
T2 nk
=
SQC
νC
T2 nk SQT − SQL − SQC SQR = s R2 = (k − 1)(n − 1) νR
Se F > Fk −1;k ( n −1);α , s E ; s R ≠ σ
⎞ T2 ⎟− k ⎟ ⎠ ∑ ni
j =1
−
SQT = Q −
Teste F s E2 F= 2 sR
⎛ k Ti 2 ⎜∑ ⎜ ⎝ i =1 ni
∑
T j2
CORRELAÇÃO Pearson n
n
n
i =1
n
S xy = ∑ ( xi − x) ⋅ ( y i − y ) = ∑ xi ⋅ y i − i =1
S xx
S yy r=
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ xi ⎟ n n = ∑ ( xi − x) 2 = ∑ xi2 − ⎝ i =1 ⎠ n i =1 i =1
i =1
i =1
2
⎛ n ⎞ ⎜ ∑ yi ⎟ n n = ∑ ( y i − y ) 2 = ∑ y i2 − ⎝ i =1 ⎠ n i =1 i =1 S xy
2
S xx ⋅ S yy n
r=
n
∑ xi ⋅ ∑ y i
n
n
i =1
i =1
n ⋅ ∑ xi ⋅ y i − ∑ xi ⋅ ∑ y i i =1
⎡ n 2 ⎛ n ⎞ ⎢n ⋅ ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎢⎣ i =1
2
2 ⎤ ⎡ n 2 ⎛ n ⎞ ⎤ ⎥ ⋅ ⎢n ⋅ ∑ y i − ⎜ ∑ y i ⎟ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦ ⎥⎦ ⎢⎣ i =1
Ricardo Cesare Román Amigo n
Teste de Existência de Correlação n−2 t-Student t n−2 = r ⋅ 1− r2
s 2 (a) = t=
Se t > t n − 2;α , há Corr. Positiva Se t < −t n − 2;α , há Corr. Negativa
Teste de Valor de r µ (ℑ) : Tabelado
REGRESSÃO Linear Simples yˆ = a + bx
b=
i =1
n ⋅ S xx
a −α0 s(a)
Intervalo de Confiança (reta) µ ( yˆ ' ) = α + βx'
S xy S xx
(
⎡ 1 x'− x σ ( yˆ ' ) = σ ⋅ ⎢ + S xx ⎢⎣ n 2
Normal
1 n−3
σ (ℑ) =
s R2 ⋅ ∑ xi2
2 R
ICα = yˆ '±t
n − 2;
α 2
n
b=
∑x i =1
i
⋅ yi
n
∑x i =1
2 i
Testes de Hipótese S yy − b ⋅ S xy s R2 = n−2 s2 s 2 (b) = R S xx b − β0 s (b) IC (α ) = b ± t
t n−2 =
n − 2;
α 2
⋅ s (b)
2
⎥⎦
( )
1 x'− x ⋅ sR ⋅ + n S xx
2
Intervalo de Previsão (pontos) ⎡ 1 x'− x 2 ⎤ 2 2 σ ( y '− yˆ ' ) = σ R ⎢1 + + ⎥ S xx ⎥ ⎢⎣ n ⎦
( )
a = y − bx Linear pela Origem yˆ = bx
) ⎤⎥
IPα = yˆ '±t
n − 2;
α 2
( )
1 x'− x ⋅ sR ⋅ 1 + + n S xx
2
