Transcript
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Produção
André Leme Fleury
Distribuição de Bernoulli •
A Variável Aleatória (V.A.) de interesse assume dois valores:
X=
1 (sucesso, probabilidade p) 0 (fracasso, probabilidade 1-p)
Exemplo: Se x = presença de defeitos em um automóvel. X=
1 se há defeito 0 se não há defeito
A probabilidade de ocorrer um defeito é 0,03. x
0
p(x) 0,97
1 0,03
E(x) = 0 x 0,97 + 1 x 0,03 = 0,03 Var(x) = (0 – 0,03)2 x 0,97 + (1 – 0,03)2 x 0,03
Distribuição de Bernoulli •
E(x) = p x 1 + (1 – p) x 0 = p
•
Var(x) = (0–p)2 x (1-p) + (1-p)2 x p p2 x q + q2 x p pq(p+q) = pq = p(1-p)
(1-p) = q
Distribuição Binomial •
A V.A. corresponde ao número de sucessos com n repetições de experimentos de Bernoulli.
Exemplo: retira-se n pregos de 1 caixa. Qual a probabilidade de haver k pregos com defeito? _ _ _ _ ............. _ 1 2 3 4 n Cada experimento de Bernoulli corresponde a analisarmos um prego verificando a presença ou não de defeitos (x=1 ou x = 0).
Hipóteses: •
Os experimentos são independentes;
•
Cada um dos experimentos tem a mesma probabilidade p de sucesso
Distribuição Binomial •
Supondo p = 0,3 (probabilidade do prego ser defeituoso e n = 10. Qual é p(x=2)=?
•
p(x=2) = 10 2
(0,3)2.(0,7)10-2
Generalizando: •
p(x=k) = n (p)k.(1-p)n-k k
Distribuição Binomial •
p(x=k) = n (p)k.(1-p)n-k k
•
Seja xj a V.A. com distribuição de Bernoulli - x = B(n,p) (notação)
•
n
x = Σ xj j=1
E(xj) = p (probabilidade de sucesso) var(xj) = p(1-p)
•
•
n
n
n
j=1
j=1
j=1
E(x) = E(Σxj) = Σ E(xj) = Σp = np n
n
j=1
j=1
n
Var (x) = var (Σ xj) = Σvar (xj) = Σ (p(1-p)) = np(1-p) j=1
1. Numa pessoa normal, 60% dos leucócitos são neutrófilos. Se observarmos uma amostra de 10 leucócitos de uma pessoa normal, qual a probabilidade de encontrarmos ao menos 8 neutrófilos?
2. Uma fábrica produz 10 vasos de vidro por dia. Há uma probabilidade constante p=0,1 de produzir vasos defeituosos. Antes de serem enviados para o mercado, os vasos são inspecionados e os defeituosos são separados. A probabilidade de um vaso defeituoso ser mal classificado é q=0,2; a probabilidade de um vaso bom ser mal classificado ocorre com p=0,3.
Determine a função de probabilidade da variável X, número de vasos classificados como defeituosos ao final do dia.
Qual é o número médio de vasos classificados como defeituosos por dia?
3. Cada um de seis consumidores de refrigerante selecionados aleatoriamente recebe um copo com o refrigerante S e um copo com o refrigerante F. Os copos são idênticos, exceto por um código no fundo que identifica o refrigerante. Suponha que não haja uma tendência de preferência entre os consumidores. Então p = P(um indivíduo selecionado prefere S) = 0,5. a) Qual a probabilidade de exatamente 3 consumidores preferirem S? b) Qual a probabilidade de pelo menos 3 consumidores preferirem S? c) Qual a probabilidade de no máximo 1 preferir S?
Distribuição de Poisson •
Considerando uma V.A. discreta, não finita;
•
É possível contar o número de sucessos em um intervalo fixado;
•
Exemplos: • Número de veículos que entram no portão auxiliar da USP entre 07:30 e 08:30; • Número de defeitos em uma chapa metálica de 1m2; • Número de acidentes numa rodovia por mês; • Número de acidentes numa fábrica por mês;
Distribuição de Poisson Hipóteses •
É conhecida uma taxa λ de ocorrências por unidade de medida;
•
Não há duas ocorrências simultâneas do fenômeno;
•
O número de ocorrências em intervalos distintos é independente;
Uma variável aleatória X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ (λ>0) se a f.d.p. de X for
•
P(x; λ) = e- λ (λ)x , x = 0,1,2,.... x!
Distribuição de Poisson Então •
Para xt = número de ocorrências em 1 intervalo de comprimento t,
•
P(xt = k) = e- λt (λt)k k!
4. Seja X o número de animais de um certo tipo capturados em uma armadilha durante um período de tempo. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson com λ = 4,5, de forma que, na média, cada armadilha contém 4,5 animais. Qual a probabilidade de uma armadilha conter exatamente 5 animais? Qual a probabilidade de uma armadilha conter no máximo 5 animais?
5. Em uma superfície aparecem defeitos aleatoriamente à razão de 3 defeitos a cada 4 m2. Qual a probabilidade que um quadrado com 0,5m de lado apresente ao menos um defeito?
Distribuição de Poisson Proposição •
Seja xt uma V.A. com distribuição de Poisson. Então:
a) E(xt) = λ t
B) var(xt) = λt
6. Suponha que 25 erros tipográficos estejam distribuídos por um livro de 400 páginas. Determine a probabilidade de: a) Uma página conter exatamente um erro? b) Duas páginas terem exatamente 2 erros? c) Na página 20 não haver erro e na página 21 haver exatamente 1 erro d) Calcule o número médio de erros por página
7. Os defeitos em um filme fotográfico ocorrem segundo as hipóteses de Poisson, com média de 1 defeito a cada 90cm. Estes filmes são vendidos em rolos de 20 cm que só podem ser vendidos caso não apresentem defeitos. Num lote de 10 destes rolos, qual a probabilidade de encontrarmos: a) Pelo menos três rolos com defeito? b) No máximo 9 sem defeito? c) Qual o número esperado de rolos sem defeitos?
8. [4] A média de acidentes por mês em certa interseção é três. a) Qual a probabilidade de que, em qualquer mês dado, quatro acidentes ocorram nesta intersecção? b) Qual a probabilidade de que mais de quatro acidentes ocorram em um dado mês na interseção?
9. Uma fábrica de rádios faz o controle de defeitos de solda e de acabamento nas peças produzidas. Sabe-se que os números de defeitos de solda e de acabamento são independentes, obedecendo a distribuição de Poisson com parâmetros λ1 = 0,3 e λ2 = 0,2: a) Obtenha a distribuição do número total de defeitos b) Número de lotes de 10 rádios, qual a probabilidade de pelo menos 3 terem no máximo 1 defeito? c) Calcule o número esperado de defeitos no lote?
• Triângulo de Pascal
Observe que: O primeiro elemento é 1; Cada linha tem um elemento a mais que a predecessora; Todas as linhas começam e terminam por 1; Os elementos da linha de ordem n+1 são os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n
