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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia de Produção
André Leme Fleury
Aula 2 - Probabilidade
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Conceitos principais sobre Probabilidade
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Propriedades da Probabilidade
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Exercícios
Conceito: medida da chance de ocorrência de um fenômeno sobre o qual existe incerteza Exemplos 1. Número de alunos na sala entre 14:00 e 14:15 2. Intervalo de tempo entre a chegada de dois alunos 3. Preço de um telefone celular avançado em uma loja
Conceito: Conjunto de todos os possíveis valores que um fenômeno (sobre o qual existe incerteza) pode assumir. Exemplos Ω1 = {0, 1, 2, 3, ......., 120} Ω2 = [0, 2hs[ Ω3 = R+ ou Ω3 = [0, 3.000[, caso o preço seja limitado em R$ 3.000,00
Conceito: Qualquer subconjunto do espaço amostral •
Lançamento de um dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Evento (A): face ≥ 3 A = {3, 4, 5, 6}
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Número de jogos na copa nos quais o Brasil participa Ω = {3, 4, 5, 6, 7}
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Eventos: • Ocorrer no máximo 4 jogos: A = {3, 4} • Ocorrer exatamente 7 jogos: B = {7} • Ocorrer exatamente 8 jogos: C = ø
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Conceito: função definida sobre eventos de um espaço amostral, com as seguintes propriedades:
• P(Ω) = 1
• P(A):
0 ≤ P(A) ≤ 1
• Número de Sucessos / Número de Possibilidades
1.
Lançamento de uma bomba em uma área de 1km2, supondo que a cidade tem 1000 km2 e que a arma tem precisão suficiente para atingir a cidade. Qual a probabilidade da bomba acertar o alvo?
2.
Lote com 12 peças, numeradas, 4 defeituosas. Retiramos 2 peças, sem reposição. Qual a probabilidade de que :
a)
Exatamente 2 sejam defeituosas?
b) Nenhuma seja defeituosa? c)
Pelo menos 1 defeituosa?
3.
Tempo de chegada entre duas mensagens em 1 computador. Queremos calcular a probabilidade da mensagem chegar entre 5 e 10 minutos, supondo que no máximo este intervalo é de 100 minutos.
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P(ø) = 0 Ex: Lançamento de dado, p (face>10)
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Complementaridade: A C Ω, P(AC) = 1 – P(A) Ex: Lançamento de 1 dado: Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {face ≥ 4} AC
= {face < 4}
AC A
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P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) A
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Se A ∩ B = ø, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
A
B
B
4.
Numa classe há 3 mulheres e 12 homens. Sorteia-se 3 pessoas ao acaso. Qual a probabilidade que haja a) Exatamente 2 mulheres b) No máximo 2 mulheres c) Pelo menos 2 mulheres d) supondo-se que dentre os homens haja 3 descendentes de orientais e entre as mulheres haja 1 descendente de orientais, qual a probabilidade de, sorteando-se 2 pessoas ao acaso, haja ao menos uma mulher ou um oriental?
5. Numa classe há 10 mulheres e 25 homens. Dentre as mulheres há 5 orientais e dentre os homens há 7 orientais. Sorteia-se uma pessoa a) Qual a probabilidade de ser uma mulher brasileira? b) Se soubermos que a pessoa sorteada é mulher, qual a probabilidade de ser brasileira? c) Se soubermos que a pessoa sorteada é brasileira, qual a probabilidade de ser mulher?
P(A/B) = P(A ∩ B) P(B)
Probabilidade de A ocorrer, sabendo que B ocorre
6. Teste para detectar uma doença. Sabe-se que: - A probabilidade de dar positivo quando o indivíduo está doente é 98% - A probabilidade de dar negativo quando não está doente é 90% - O teste foi aplicado com um grupo com 8% de doentes a) Qual a probabilidade de dar negativo? b) Deu negativo. Qual a probabilidade de estar são? c) Deu positivo. Qual a probabilidade de estar doente?
7. Suponha que, de todos os indivíduos que compram uma determinada câmera digital, 60% incluem um cartão de memória opcional na compra, 40% incluem uma pilha extra e 30% incluem um cartão e uma pilha. Considere a seleção aleatória de um comprador e sejam A = {compra de cartão de memória} e B = {compra de pilha}.
a) Se o indivíduo comprou uma pilha extra, qual a probabilidade de compra de um cartão adicional?
b) Se o indivíduo comprou um cartão de memória adicional, qual a probabilidade de compra de uma pilha adicional?
8. Uma revista publica três colunas, intituladas “Artes” (A), Livros (B) e Cinema (C). Os hábitos de leitura de um leitor selecionado aleatoriamente em relação a essas colunas são:
Lê regularmente
A 0,14
B
C
A∩B
A∩C
B∩C
A∩B∩C
0,23
0,37
0,08
0,09
0,13
0,05
a) Qual a probabilidade de ler “Artes” dado que lê “Livros” b) Qual a probabilidade de ler “Artes” dado que lê “Livros” ou “Cinema” c) Qual a probabilidade de ler “Artes” dado que lê pelo menos uma d) Qual a probabilidade de ler “Artes” ou “Livros” dado que lê “Cinema”
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BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica. Editora Atual, 2003.
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BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Análise de Variância e Regressão. Ed. Saraiva
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COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidade. Editora Edgard Blucher, 1974.
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COSTA NETO, P. L. O. Estatística. Editora Edgard Blucher, 1977.
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DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências, Editora Thomson Pioneira, 2006
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MONTGOMERY, D.; RUNGER, Engenheiros. Editora LTC, 2009
G.
Estatística
e
Probabilidade
para
