Principios E Fenomenos Da Mecanica

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Sumário 1 2 Unidades e Medidas 1 1.1 Introdução: a abstração por trás da comparação . . . . . . . . . . . 1 1.2 Padrões de medida: a história do sistema métrico . . . . . . . . . . 2 1.3 Medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 O Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Regras de notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Escalas de tempo e distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 A expressão de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7.1 A incerteza de uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2 Medidas indiretas e incerteza combinada . . . . . . . . . . 18 1.7.3 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.4 Relatando uma medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.8 Metrologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.9 Leitura complementar: o problema das longitudes . . . . . . . . . . 22 Cinemática 26 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Fundamentos do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Eixos Coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Descrição Matemática do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Funções-Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Movimento em uma dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Velocidade média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.3 Velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.4 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 2.4 i Sumário ii 2.4.5 2.5 2.6 3 4 Exemplos de movimentos retilíneos acelerados . . . . . . . 57 Movimento em duas ou três dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.1 Vetor posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.2 Vetor velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5.3 Distância percorrida pela partícula: integral de trajetória . . 75 2.5.4 Vetor aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.5.5 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.6 Aceleração centrípeta: vetor de curvatura e centro de curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 As Leis de Newton e Aplicações 98 3.1 A lei da inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2 A primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.1 99 Sistemas inerciais de referência . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 A segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4 A terceira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.5 A Força da Gravidade: O Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.6 Forças de Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.6.1 A Força Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.6.2 A Força de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.6.3 Tração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.6.4 Força de Arraste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.7 Técnicas de Resolução de Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.8 Partículas em Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Energia e Trabalho 112 4.1 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.3 Teorema Trabalho-Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4 Trabalho e energia com forças variáveis . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6 Energia Potencial e Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.1 Forças Conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.2 Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.3 Forças não-conservativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.7 Conservação da Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.8 Curvas de Energia Potencial e Força . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Sumário 4.9 iii Forças externas sobre um sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.9.1 Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.10 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 6 Centro de Massa e Momento Linear 5.1 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas . . . . . . 133 5.2.1 Forças Internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.2.2 Forças Externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3 Momento Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 Colisão e Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5 Energia Cinética, Momento Linear e Colisão . . . . . . . . . . . . . 141 5.5.1 Colisões Inelásticas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5.2 Colisão Elástica 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Rotação 8 146 6.1 Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração Angular . . . . . 146 6.2 Relacionando as Grandezas Lineares e Angulares . . . . . . . . . . 149 6.3 Cinética do Movimento de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.4 Momento de Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.4.1 7 130 Teorema dos Eixos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.5 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.6 Segunda Lei de Newton para Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.7 Trabalho e Energia Cinética de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . 158 O movimento dos corpos rígidos 161 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2 O rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2.1 A cinemática do rolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.2.2 O rolamento: Uma rotação pura . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.2.3 A energia do movimento de rolamento . . . . . . . . . . . . 164 7.2.4 A dinâmica do movimento de rolamento . . . . . . . . . . . 165 7.2.5 As forças de atrito no rolamento . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 175 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.2 O Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.3 O Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Sumário 8.4 9 iv A segunda Lei de Newton para as rotações . . . . . . . . . . . . . . 179 Sistema de muitas partículas 183 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.2 Torque e momento angular de um sistema de partículas . . . . . . . 183 9.3 Torque e momento angular de um corpo rígido . . . . . . . . . . . . 185 9.4 O movimento do giroscópio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 10 A conservação do momento angular 193 10.1 O princípio da conservação do momento angular . . . . . . . . . . 193 10.1.1 Movimento de uma partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.1.2 Movimento de um sistema de partículas . . . . . . . . . . . 195 11 Equilíbrio e Elasticidade 196 11.1 Equilíbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 11.2 Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12 Oscilações 200 12.1 Movimento Harmônico Simples (MHS) . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.2 A Posição no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 12.3 A Velocidade no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.4 A Aceleração no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 12.5 O Sistema Massa-Mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.6 Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.7 Energia no MHS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 12.8 Movimento Harmônico Simples Amortecido (MHSA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 12.9 Oscilações Forçadas e Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 13 Mecânica dos fluidos 218 13.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 13.2 Densidade ou massa específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 13.3 Pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 13.4 Fluidos em repouso e pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 13.5 Como pode-se medir pressão? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.5.1 Barômetro de mercúrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 13.5.2 Manômetro de tubo aberto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 13.6 Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 13.6.1 Demonstração do Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . 224 Sumário v 13.6.2 Aplicação do Princípio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . 224 13.7 Princípio de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.7.1 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.7.2 Peso aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 13.8 Fluidos ideais em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 13.8.1 Fluidos ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 13.8.2 Linhas de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 13.9 Equação da continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.10Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.10.1 Demonstração da Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . 230 13.10.2 Passos para solucionar problemas envolvendo a Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.10.3 Aplicações da Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 231 Prefácio Caros estudantes: este material foi preparado como uma referência auxiliar para o acompanhamento do componente curricular “Princípios e Fenômenos da Mecânica” do Bacharelado de Ciências e Tecnologia da Escola de Ciências e Tecnologia. Assim sendo, ele não deve ser tratado com um livro-texto que expresse oficialmente o espectro e o nível dos assuntos previstos para o componente. De fato, em algumas ocasiões o que será visto nas aulas irá além do que está presente neste material, enquanto que, noutros casos, ele se apresentará mais profundo do que a aula. Ficará claro também que não existe uma unidade no texto. Isso ocorre porque cada professor ficou responsável por um, dois ou três capítulos. Trata-se, portanto, de uma primeira versão. Contamos com as críticas e sugestões dos estudantes para que possamos aprimorá-la de agora em diante. Sejam bem-vindos! Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Prof. Alexandre Barbosa de Oliveira André Bessa Moreira Felipe Bohn Lucio Marassi de Souza Almeida Marcio Assolin Corrêa Manoel Silva de Vasconcelos Neemias Alves de Lima Ronai Machado Lisbôa Tarciro Nortarson Chaves Mendes vi Capítulo 1 Unidades e Medidas André Bessa 1.1 Introdução: a abstração por trás da comparação Como todas as demais ciências, a Física tem como ponto de partida a Natureza. O homem colhe suas impressões da realidade através dos cinco sentidos e a partir dessas impressões ele formula conceitos em sua mente. Então, por meio do raciocínio, o homem busca organizar os conceitos de forma a simplificar seu entendimento do mundo e de si mesmo. Desde a Antiguidade, o homem percebeu que todos os seres (boi, melancia, fogo, estrela, pedra amarela, pedra branca, etc) são distintos entre si. Porém, usando abstração, o homem podia estabelecer comparações entre eles. Por exemplo, usando o critério da quantidade, um pastor estabelecia uma equivalência entre um rebanho de ovelhas e um punhado de pedras, e usava isso para controlar o número de animais que saíam e voltavam do pasto. Evidentemente, um pastor não confundia uma valiosa ovelha com uma simples pedra, mas quando apenas a quantidade estava em jogo, era conveniente fazer a associação entre ovelhas e pedras. Figura 1.1: Para o filósofo grego Aristóteles, as idéias criadas pelos homem não são inatas, mas procedem da experiência, por meio dos cinco sentidos. Em nosso dia-a-dia, estabelecemos uma complicada relação de equivalência entre os seres segundo o seu valor de mercado. Assim, julgamos natural trocar uma cédula de papel onde está escrito “Cinco reais” por um sanduíche. Apesar de não comermos papel, nossa mente estabelece facilmente uma equivalência entre um pedaço de papel e um alimento. Pelo mesmo motivo, não nos sentimos lesados ao trocar um mês de trabalho por algumas cédulas. Analogamente, usando uma balança de pratos, podemos classificar os seres de acordo com a sua massa (vulgarmente chamada de peso). Dizemos que dois corpos têm a mesma massa se, quando colocados cada qual em um prato da balança esta fica em equilíbrio. Esse tipo de comparação é de interesse da Física uma vez que o movimento do corpo vai depender de sua massa, como veremos. Observa-se que, sob determinadas condições, o movimento dos corpos depende apenas de algumas poucas características, como as dimensões espaciais, a massa, o momento de inércia, a carga elétrica, etc. 1 Figura 1.2: Ao passar um grupo de cinco ovelhas, os antigos pastores separavam cinco pedras para manter o controle do rebanho. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 2 Nesses casos, se o corpo é de madeira; se é caro ou barato; se é comestível ou não — nada disso será importante. Às vezes, as dimensões espaciais dos corpos também são irrelevantes para o estudo do movimento. Quando for esse o caso, diremos que o corpo é uma partícula. Por exemplo, quando estudamos o movimento de translação da Terra em torno do Sol, podemos desprezar as dimensões da Terra, tratando-a como partícula. Por outro lado, quando analisamos a queda dos corpos próximos à superfície da Terra, não podemos desprezar as dimensões do nosso planeta. Assim, um corpo poderá ou não ser considerado uma partícula dependendo da situação física de interesse. No entanto, existem corpos na natureza que sempre se comportam como partículas, ou seja, em todos os experimentos realizados até hoje pudemos desprezar suas dimensões espaciais. Essas são as chamadas partículas elementares, como os elétrons e os quarks. Figura 1.3: Em uma boa aproximação, podemos desprezar as dimensões espaciais do planeta Terra para estudar o seu movimento de translação em torno do Sol. Em cada caso, avaliaremos o que é essencial para a descrição do movimento. Se dois corpos possuírem as mesmas características essenciais, diferindo apenas em aspectos irrelevantes, poderemos considerá-los equivalentes. É nesse sentido que devemos entender frases tais como: “Seja uma partícula de massa M”. Entretanto, sempre que possível, tentaremos em nossa análise abordar aspectos que, embora não-essenciais ao movimento, sejam relevantes para compreender o funcionamento da ciência e sua relação com a sociedade. 1.2 Padrões de medida: a história do sistema métrico Podemos medir a massa e as dimensões de alguns corpos por comparação com um corpo padrão denominado unidade de medida. É conveniente usar como padrão um corpo não muito grande e nem muito pequeno comparado ao tamanho típico de uma pessoa. Afinal, é preciso manipular esse padrão para se medirem as coisas. Nada mais natural, portanto, que escolher o próprio homem, ou partes dele, como padrão. Por exemplo, no século XII, o rei Henrique I de Inglaterra fixou a jarda como a distância entre seu nariz e o polegar de seu braço estendido. Em outros reinos, a jarda (ou seu equivalente) era definida em termos de um outro rei. Com o tempo e a ploriferação de unidades de medida (pés, polegadas, etc) os reinos sentiram a necessidade de simplificar os padrões. Assim, estabeleceram relações, tais como: 1 jarda = 3 pés = 36 polegadas. No final da Idade Média, as relações comerciais não respeitavam mais as fronteiras dos reinos. Os padrões antropomórficos se tornaram, portanto, empecilhos para o comércio em larga escala e exigiam a unificação dos padrões de medida para evitar erros e fraudes nas transações. Essa era uma questão decisiva também para a ciência, uma vez que a existência de diversos sistemas de medida dificultava enormemente a comparação entre experimentos. A tendência era a adoção de sistemas de medida naturais, ou seja, baseados em fenômenos físicos que pudessem ser facilmente reprodutíveis. Por exemplo, Figura 1.4: Na frase “Seja uma partícula de massa M” a tal “partícula” pode ser uma maçã, se apenas a massa M da maçã for importante. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 3 foi proposto um padrão de comprimento baseado no movimento do pêndulo e na definição do segundo. Em 1675, o filósofo italiano Tito Livio Burattini denominou essa unidade de metro. Logo após a Revolução Francesa, a assembléia nacional constituinte manifestou a necessidade de se estabelecer um sistema métrico decimal que fosse universal, isto é, não fizesse menção particular a nenhum povo do globo. Um sistema decimal tem a vantagem de ser simples. Por exemplo, 4 248 m = 4,248 km. Porém, 4 248 pés = 118 jardas e 86 400 segundos = 24 horas. Devido às variações do movimento do pêndulo com a localidade, um grupo de especialistas (que incluía nomes como Lavoisier, Legendre e Coulomb) preferiu adotar a definição do metro como sendo a décima milionésima parte da distância entre o Pólo Norte e a linha do Equador ao longo do Meridiano de Paris. A medida do meridiano durou de junho de 1792 ao final de 1798. Por questões práticas, construiu-se uma barra de platina onde foram feitas duas marcações a uma distância de um metro. A barra era mantida de forma a minimizar efeitos de dilatação. Por convenção, o padrão de massa (1 quilograma) correspondia inicialmente a de um cubo de água com volume igual a 1 litro a temperatura de fusão do gelo. Em 1799 essa medida foi refeita a uma temperatura próxima de 4 graus Celsius (a temperatura na qual a densidade da água é maxima). Uma outra barra de platina foi escolhida para representar na prática a unidade de massa. A unidade de tempo (segundo) era dada em termos do dia solar médio, ou seja, a média anual da duração de um dia solar. Assim, 1 segundo era igual a 1/86 400 do dia solar médio. O Brasil foi um dos primeiros países a adotar o sistema métrico francês com a Lei Imperial 1157 de 26 de junho de 1862. Dentre as medidas tomadas, estava: “Art. 2o É o Governo autorisado para mandar vir da França os necessarios padrões do referido systema, sendo alli devidamente aferidos pelos padrões legaes”. O sistema métrico francês evoluiu ao longo dos séculos. Novas unidades e padrões foram incorporados para dar conta dos fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1875, foi reconhecido internacionalmente com a criação do Comite Internacional de Pesos e Medidas (CIPM) e passou a se chamar sistema métrico internacional. Desde a criação do sistema métrico decimal, diversas modificações foram motivadas pela demanda por padrões cada vez mais precisos. Assim, em 1960, o metro passa a ser igual a 1 650 763,73 vezes o comprimento de onda de uma radição de cor laranja emitida pelo átomo de Kripônio (Kr). Note que a definição mudou, mas o tamanho do metro continuou o mesmo. Como dito, o motivo é a capacidade de a nova definição ser mais precisa. Com a nova definição, podia-se medir comprimentos com precisão de uma parte em 109 . Também em 1960, um conjunto de seis unidades básicas foi proposto: metro, quilograma, segundo, ampere, candela e mol (ver a Seção 1.4). A partir dessas unidades básicas, as unidades de todas as demais grandezas poderiam ser derivadas. Esse sistema, denominado Sistema Internacional de Unidades (SI) está em vigor até hoje. Na definição atual, o segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental Os primeiros padrões do metro e do quilograma foram feitos em 1799 e guardados nos Arquivos da República Francesa, dedicados a “todos os homens e todos os tempos”. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 4 do átomo de Césio 133 em repouso e a temperatura de 0 K. A incerteza nessa definição é de espantosos 3 × 10−14 s. Mais recentemente, busca-se trabalhar com unidades definidas em termos de algumas constantes universais. Uma dessas constantes é a velocidade da luz: c = 299 792 458 m/s. Assim, em 1983, o metro passa a ser definido como a distância percorrida pela luz no tempo igual a 1/299 792 458 segundo. O quilograma continua sendo a massa de um bloco padrão, agora feito de uma liga de platina e irídio. Pesquisas estão sendo atualmente realizadas para definir o quilograma em termos de constantes fundamentais. Atualmente, apenas 3 países não adotam oficialmente o Sistema Internacional de Unidades: a Libéria, a Birmânia e os Estados Unidos! A Inglaterra foi forçada a abandonar suas unidades tradicionais em 1o de outubro de 1995 para entrar na Comunidade Econômica Européia. 1.3 Medida de ângulos Uma circunferência é uma figura geométrica simples, pois fica caracterizada por um único parâmetro: o raio. Para se medir ângulos em uma circunferência, podemos usar o próprio raio da circunferência. Digamos que um certo arco é definido em uma circunferência cujo raio vale R metros. Figura 1.6: A definição do radiano: o arco com comprimento igual ao raio. Podemos medir o comprimento do arco. Se o valor obtido para o arco é s metros, então dizemos que o ângulo definido por esse arco vale s/R. O arco que corresponderá a 1 unidade de ângulo é o arco de comprimento igual ao raio. Por ser expressa em termos do raio, essa unidade é denominada radiano (rad) e é a mais natural de se trabalhar. Como sabemos, o comprimento da circunferência é 2πR. Sendo assim, o ângulo correspondente ao círculo completo vale 2π rad. Outras unidades correspondem à divisão da circunferência em um determinado número de partes iguais. Assim, um grau é o ângulo determinado pelo arco com comprimento igual a 1/360 do comprimento da circunferência. Note que um ângulo de θ graus vale πθ/180 rad. Figura 1.5: A figura mostra o padrão de massa usado nos Estados Unidos. Esse quilogramapadrão fica guardado no U.S. National Institute of Standards and Technology (NIST). Capítulo 1 – Unidades e Medidas 1.4 5 O Sistema Internacional de Unidades São sete as unidades básicas do Sistema Internacional de Medidas (SI): metro, quilograma, segundo, ampére, kelvin, candela e mol (ver a Tabela 1.1). Em termos das unidades básicas, podemos escrever a unidade de todas as grandezas que utilizamos em Física. Em particular, na Tabela 1.2 listamos algumas grandezas que utilizaremos nesse curso. Tabela 1.1: Tabela com informações sobre as 7 unidades básicas do SI. Grandeza comprimento massa tempo corrente elétrica temperatura intensidade luminosa quantidade de matéria Unidade Plural Símbolo metro quilograma segundo ampère kelvin candela mol metros quilogramas segundos ampères kelvins candelas mols m kg s A K cd mol Tabela 1.2: Grandezas cujas unidades são derivadas das unidades básicas do SI. Grandeza Unidade área metro quadrado volume metro cúbico densidade de matéria quilograma por metro cúbico velocidade metro por segundo momento linear aceleração metro por segundo ao quadrado força newton torque energia joule potência watt momento angular pressão pascal frequência hertz velocidade angular Plural Símbolo Dimensão metros quadrados metros cúbicos quilogramas por metro cúbico metros por segundo m2 m3 kg/m3 m2 m3 kg/m3 m/s metros por segundo ao quadrado newtons m/s2 m/s kg·m/s m/s2 N joules watts J W pascals hertz Pa Hz Os múltiplos e submúltiplos dessas unidades são construídos utilizando-se os prefixos indicados na Tabela 1.3. Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta colocar o símbolo do prefixo justaposto à unidade. Exemplos: km, cg, mm, MW. O nome da unidade se constrói também por justaposição. Exemplos: quilograma, centigrama, milímetro, megawatt. kg· m/s2 kg·m2 /s2 kg·m2 /s2 kg·m2 /s3 kg·m2 /s kg/(m·s2 ) 1/s rad/s Capítulo 1 – Unidades e Medidas 6 Várias unidades de uso quotidiano são construídas usando-se prefixos. São exemplos: centímetro (cm), milímetro (mm), micrometro (µm), quilômetro (km) e quilowatt (kW). Tabela 1.3: Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade são construídos usando-se os prefixos desta tabela. Nome yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto 1.5 Símbolo Y Z E P T G M k h da d c m µ n p f a z y Fator de multiplicação da unidade 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 109 = 1 000 000 000 106 = 1 000 000 1021 = 1 000 102 = 100 10 10−1 = 0,1 10−2 = 0,01 10−3 = 0,001 10−6 = 0,000 001 10−9 = 0,000 000 001 10−12 = 0,000 000 000 001 10−15 = 0,000 000 000 000 001 10−18 = 0,000 000 000 000 000 001 10−21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 10−24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 Regras de notação O modo correto de escrever uma quantidade é definido pela Resolução Conmetro 12/88, cujo resumo pode ser encontrado aqui. Dentre as normas, citamos as mais importantes: • O nome das unidades deve sempre ser escrito em letra minúscula, exceto em início de frase. Outra exceção é a unidade grau Celsius. Exemplos: watt, newton, metro cúbico. • Para pronunciar, o acento tônico recai sobre a unidade e não sobre o prefixo. Exemplo: micrometro, hectolitro, centrigrama. Exceções: quilômetro, hectômetro, decâmetro, decímetro, centímetro e milímetro. • Entre o valor numérico e a unidade deve haver um espaço. Exemplos: 120 m, 8 g. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 7 • O símbolo da unidade não vai para o plural. Exemplos: 5 cm, 2 kg, 8 h, 10 N. • Ao escrever medidas de tempo, o uso correto para os símbolos de hora, minuto e segundo é: 12 h 30 min 6 s Note que há um espaço entre o valor numérico e a unidade. • Deve-se utilizar um espaço (e não o ponto) como sepador de milhar. Exemplos: 1 kg = 1 000 g, 25 µm = 0,000 025 m. • Aceita-se normalmente o uso das unidades indicadas na Tabela 1.4. Tabela 1.4: Grandezas fora do Sistema Internacional de Unidades, mas ainda bastante utilizadas. Grandeza volume ângulo plano ângulo plano ângulo plano massa tempo tempo velocidade angular 1.6 Nome litro grau minuto segundo tonelada hora minuto rotação por minuto Plural Símbolo Equivalência litros l ou L 0,001 m3 ◦ graus π/180 rad minutos ’ π/10 800 rad segundos ” π/848 000 rad toneladas t 10 000 kg horas h 3 600 s minutos min 60 s rotações por minuto rpm π/30 rad/s Escalas de tempo e distância É interessante situar os tempos e distâncias associados aos diferentes fenômenos físicos em uma linha junto com outras referências de fora da Física. A Figura 1.7(a) e a Figura 1.7(b) mostram uma comparação (em escala logartimica) de escalas de tempo e distância, respectivamente. 1.7 A expressão de uma medida Na Física, o processo de coleta de informações é feito de forma muito controlada e recebe o nome de experimento ou observação experimental. As informações coletadas são denominadas medidas. Dentre os físicos, existem aqueles que são especializados em realizar experimentos: são os físicos experimentais. Os físicos teóricos se concentram na busca de explicações simples para os dados experimentais. Evidentemente, é essencial que haja uma interação constante entre as essas duas grandes áreas da Física. O exemplo mais claro dessa interação é a construção dos enormes aceleradores de partícula, como o RHIC e o LHC. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 8 (a) (b) Figura 1.7: Escalas ilustradas de tempo (Figura 1.7(a)) e de distância (Figura 1.7(b)) . Em 1977, reconhecendo a falta de consenso internacional sobre os aspectos relacionados à expressão de uma medida, o Comitê Internacional de Pesos e Medidas organizou grupos de trabalho junto a diversos laboratórios nacionais para criar normas que permitissem a comparação internacional de resultados de medições. Foi desenvolvida a Recomendação INC-1 (1980), aprovada em 1983 e ratificada em 1986. As noções apresentadas a seguir procuram seguir a edição brasileira dessas recomendações, disponível em [2]. A medição de uma grandeza não se resume à obtenção de um número. É preciso dar uma série de outras informações importantes para se caracterizar o experimento. Primeiramente, é preciso apresentar uma descrição adequada da grandeza que vai ser medida, especificando-se certas condições físicas. A seguir apresentamos alguns exemplos de descrições da grandeza a ser medida. Exemplo 1.1. Aceleração da gravidade ao nível do mar na cidade de Natal. Exemplo 1.2. Tempo de queda livre de uma bola de gude largada do repouso a 3,0 m de altura. Exemplo 1.3. Comprimento de uma barra de chumbo. Note que a especificação da grandeza a ser medida depende da exatidão requerida. Por exemplo, por causa da dilatação térmica, a barra de chumbo do Exemplo 1.3 aumenta de tamanho quando é aquecida. Para pequenas variações de tempera- Capítulo 1 – Unidades e Medidas 9 tura o efeito da dilatação é também pequeno e poderá ser desprezado se o comprimento da barra tiver de ser determinado com precisão de milímetros. No entanto, se desejamos fazer uma medida com precisão de micrometros (1 µm = 10−6 m) será preciso especificar a temperatura (e talvez a pressão) na qual a medida será feita. Nesse caso, a descrição mais adequada seria: Exemplo 1.4. Comprimento de uma barra de chumbo a temperatura T=298,15 K e pressão p = 101 325 Pa. Para completar a especificação da grandeza a ser medida é muitas vezes necessário apresentar uma descrição do aparato e do método de medida. Essas informações têm que fazer parte do relatório de cada experimento. Exemplo 1.5. Alcance de uma esfera de raio 1,5 cm largada de uma rampa de lançamento lisa a partir de uma altura y=130,0 cm. A esfera deixa a rampa horizontalmente a uma altura h=80,0 cm, conforme ilustrado na Figura 1.8. Figura 1.8: Esquema da montagem experimental para a medição do alcance. Uma vez descrita a grandeza a ser medida, realiza-se o experimento e obtémse um ou mais números denominados dados experimentais. No caso do Exemplo 1.3, obtém-se o comprimento da barra de chumbo diretamente por comparação com uma régua calibrada, como sugere a Figura 1.9 Pela Figura 1.9, o comprimento da barra é cerca de 6,2 cm. Evidentemente, não há razão para afirmarmos que o comprimento da barra do Exemplo 1.3 seja exatamente 6,2 cm. Para começar, por inspeção visual não sabemos ao certo se a leitura é 6,20 cm, 6,21 cm, 6,23 cm, etc. Indicar a leitura do comprimento da barra como sendo 6,200 cm ou 6,230 não faz nenhum sentido. Além disso, diversos fatores podem influenciar o resultado da medida e temos que nos preocupar com eles e tratá-los devidamente. Por exemplo, quando a medida envolve a leitura de réguas ou escalas de instrumentos pode ocorrer um erro conhecido como erro de paralaxe. Ele ocorre quando, na leitura de um instrumento, não alinhamos corretamente o olho e os dois pontos que queremos comparar (no caso, a extremidade do bloco e a marcação na régua). Esse efeito está ilustrado na Figura 1.10. Figura 1.10: O erro de paralaxe ocorre quando não há um alinhamento visual correto. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 10 Figura 1.9: Leitura do comprimento de uma barra por comparação com uma régua. No detalhe, a indicação da extremidade direita da barra. Assim, conforme a posição em que nos colocamos, podemos ler diferentes comprimentos para a barra. Nesse caso, o ideal seria repetir o experimento com o alinhamento visual correto. Outro erro comum é colocar a régua na posição incorreta para se medir distâncias verticais, como na Figura 1.11. A maneira correta de proceder é usando um fio de prumo (desses usados na construção civil). O fio de prumo fica, sob ação da gravidade, na posição vertical e serve como um guia visual para colocarmos a régua. Pode acontecer também de a régua não ser confiável por não apresentar os traços equidistantes, possuir marcações apagadas, etc, como na Figura 1.12. Figura 1.12: Exemplo de uma régua pouco confiável. Em medidas de massa, um erro comum é esquecer de zerar a balança antes da pesagem. Em balanças de pratos, isso é feito equilibrando-se os pratos. Efeitos análogos podem ocorrer com todos os instrumentos usados em uma medição. Temos que saber utilizá-los e conhecer as especificações fornecidas pelos fabricantes. Existem efeitos associados a uma mal calibração ou a um mal funcionamento dos instrumentos. Por exemplo, na medida do tempo de escoamento da areia de uma ampulheta, utilizou-se um cronômetro digital com precisão de décimos de segundo. O tempo medido foi de 154,6 s. Após a medida, verificou-se que o cronômetro atrasava 1,5 s a cada minuto. Portanto, o tempo de escoamento não foi 154,6 s, mas um valor maior. Temos que corrigir o tempo originalmente medido. Nesse caso é simples: se em 60 s o cronômetro atrasa 1,5 s, então em 154,6 s ele atrasou cerca de 3,9 s. Assim, o tempo corrigido será: (154,6 + 3,9) s = 158,5 s. Figura 1.11: Posicionamento incorreto da régua para se medir uma distância vertical. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 11 Outros efeitos são intrínsecos ao experimento. Um exemplo com circuitos elétricos é ilustrado na Figura 1.13. Deseja-se medir a corrente utilizando um amperímetro. Da relação V=RI, obtém-se I = V/R = 12,0 V/(3,0 mΩ) = 4,0 kA. No entanto, se a resistência interna do amperímetro não for suficientemente pequena (dentro da precisão desejada), será preciso corrigir a leitura da corrente para levar em conta o efeito da resistência não-nula do amperímetro. Note que essa correção depende de um modelo teórico que indique como a medida da corrente depende da resistência interna. São muitas as fontes de erros e nem sempre estamos cientes delas. Noutras vezes, estamos cientes, mas não sabemos como corrigi-las. Por exemplo, em uma corrida de 100 m, o vento exerce um papel importante, embora difícil de se levar em conta. O que ocorre na prática é que não são homologados recordes em competições em que a velocidade do vento é superior a 2,0 m/s. Vamos agora discutir outro tipo de efeito analisando o experimento do alcance, como descrito no Exemplo (1.5). O experimento é realizado reproduzindose as condições experimentais da figura. Solta-se a bola e marca-se onde ela caiu (marca azul na Figura 1.14). Em seguida, mede-se com uma régua o alcance A. Figura 1.14: A marcação azul indica onde caiu a bolinha lançada da rampa (ver a montagem experimental do Exemplo (1.5)). Pela Figura 1.14, A = 26,6 cm. Mais uma vez, não se pode ingenuamente pensar que o alcance vale 26,6 cm e ponto final. O que ocorrerá quando repetirmos a experiência, largando novamente a bolinha da posição prevista? Ao repetirmos esse procedimento algumas vezes, o que obtemos é algo análogo ao ilustrado na Figura 1.15. Figura 1.15: Diferentes marcações para cada realização do experimento. A linha tracejada serve apenas para auxiliar a leitura da componente x (o alcance). E agora? Como expressar o resultado para o alcance? O que se passa é que diversos efeitos influenciam a trajetória da bolinha: o atrito com a rampa, o modo Figura 1.13: Circuito elétrico por onde passa uma corrente. O amperímetro que faz a leitura possui resistência interna não-desprezível. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 12 como a bolinha rola, os pequenos desvios ou empurrões no instante inicial, etc. Se soubéssemos como cada um desses pequenos efeitos influenciam o experimento, poderíamos tentar corrigi-los. Esse procedimento seria extremamente complicado e, muitas vezes, desnecessário. De fato, muitos dos pequenos efeitos citados influenciam o valor medido ora para mais ora para menos e uma maneira simples de reduzir sua influência é repetir o experimento um número grande de vezes e trabalhar com a média das observações. No experimento do alcance, colisões da bolinha com a lateral do trilho podem alterar a direção da bolinha no momento de deixar a rampa. Embora esse seja um efeito de difícil controle, temos boas razões para acreditar que ora a bolinha saia para um lado e ora saia por outro, de forma que esse deslocamento transversal é, na média, igual a zero. A análise feita aqui é parecida com o que fazemos no lançamento de uma moeda: embora não sejamos capazes de controlar quando vai dar cara ou coroa, é razoável admitir que em metade dos casos dará cara e em metade dará coroa. Efeitos desse tipo também fazem a bola cair ora mais longe, ora mais perto. Em uma situação hipotética, o experimentador A realiza o lançamento 9 vezes. As coordenadas x dos diferentes alcances obtidos foram anotados na Tabela 1.5. O Tabela 1.5: Tabela com os 9 diferentes alcances obtidos pelo experimentador A. Observação 1 Observação 2 Observação 3 Observação 4 Observação 5 Observação 6 Observação 7 Observação 8 Observação 9 x1 =26,60 cm x2 =25,20 cm x3 =26,59 cm x4 =26,74 cm x5 =24,88 cm x6 =25,68 cm x7 =25,52 cm x8 =26,10 cm x9 =27,21 cm valor médio da coordenada x é: P9 xi x 1 + x 2 + . . . x9 xA = i=1 = ≈ 26, 06 cm . (1.1) 9 9 Se tivéssemos que escolher um valor mais representativo para o conjunto de dados experimentais obtidos para o alcance, este valor seria xA = 26,06 cm. Em seguida, digamos que o experimentador B, usando uma outra rampa de lançamento com a mesma geometria do primeira, tenha repetido o experimento 8 vezes, como indica a Figura 1.16. Os valores obtidos para a coordenada x do alcance foram resumidos na Tabela 1.6. Novamente, o valor mais representativo para os dados obtidos pelo experimentador B é a média: P8 xi x1 + x2 + . . . x8 xB = i=1 = ≈ 26, 06 cm . (1.2) 8 8 Figura 1.16: Diferentes marcações para cada realização feita pelo experimentador B. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 13 Tabela 1.6: Tabela com os 8 diferentes alcances obtidos pelo experimentador B. Observação 1 Observação 2 Observação 3 Observação 4 Observação 5 Observação 6 Observação 7 Observação 8 x1 =26,35 cm x2 =26,11 cm x3 =25,61 cm x4 =26,62 cm x5 =25,88 cm x6 =25,95 cm x7 =25,75 cm x8 =26,24 cm Nesse exemplo didático, as médias dão aproximadamente o mesmo valor: 26, 06 cm. Apesar de mesma média, os conjuntos de dados obtidos pelos experimentadores A e B apresentam uma diferença marcante: os dados obtidos pelo experimentador B possuem uma dispersão muito menor! Eles estão mais concentrados em torno da média do que os dados obtidos pelo experimentador A. Essa informação tem que ser relatada. Figura 1.17: Comparação entre as observações do experimentador A (azul) e B (verde) para o mesmo experimento do alcance (ver Exemplo 1.5). Por todos os motivos aqui descritos concluímos que o resultado de uma medida não pode ser resumido em um número indicando quanto vale a grandeza. É preciso dar informações acerca dos efeitos que influenciam a medida (na verdade, apenas os efeitos dos quais o experimentador está ciente). Vimos também que podemos caracterizar esses efeitos em três tipos: • Efeitos decorrentes de erros grosseiros de leitura e má preparação do experimento — Esses efeitos devem ser evitados utilizando-se os procedimentos corretos. Uma vez eliminados esses efeitos, podemos dividir os demais em duas classes: • Efeitos aleatórios — Efeitos que ocorrem ao acaso, isto é, de modo não controlado. Tais efeitos decorrem de flutuações experimentais nas condições fí- Capítulo 1 – Unidades e Medidas 14 sicas ou de observação devido a fatores diversos. Os efeitos aleatórios introduzem variações ora para mais, ora para menos no valor da grandeza medida. Por sua natureza, tais efeitos podem ser atenuados repetindo-se o experimento uma série de vezes sob as mesmas condições. Se após n repetições foram obtidos os valores x1 , x2 , . . . , xn , o valor mais representativo para a grandeza medida é a média: Pn xi x 1 + x 2 + . . . xn . (1.3) x = i=1 = n n Quanto mais repetições forem feitas, mais informação teremos e mais representativa será a média. • Efeitos sistemáticos (ou não-aleatórios) — Efeitos que não são atenuados repetindo-se o experimento uma série de vezes. Eles seguem um padrão que pode, em princípio, ser estudado. O valor de uma grandeza deve ser corrigido para dar conta dos efeitos sistemáticos observados. 1.7.1 A incerteza de uma medida Figura 1.18: Após todas as possíveis correções ainda há uma incerteza na medida que precisa ser estimada. Essa incerteza define um intervalo cujos valores compatíveis com a medida. Cientes dos possíveis efeitos que podem influenciar a medida, temos que avaliar quão confiável é o valor medido. Convenciona-se fornecer, além do valor da grandeza, um parâmetro numérico associado à qualidade da medição. Esse parâmetro é denominado incerteza da medida e é geralmente denotado pela letra grega σ (sigma). Ele dá uma informação numérica sobre a dispersão dos valores que poderiam ser razoavelmente atribuídos à grandeza medida. Assim, se x é o valor obtido (já corrigido) para a medida de uma grandeza X, há um intervalo de valores em torno de x que são compatíveis com a medida (ver a Figura 1.18). A incerteza é a “margem de erro” que ouvimos falar quando se divulga uma pesquisa eleitoral: “A pesquisa ouviu 800 eleitores e a margem de erro é de 3 pontos percentuais para mais e para menos”. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 15 Tabela 1.7: Resultado de uma pesquisa eleitoral hipotética. Candidato 1 Candidato 2 Candidato 3 Candidato 4 Brancos e Nulos Indecisos 31% 27% 14% 3% 10% 15% No caso, 3% é a incerteza da pesquisa. Assim, segundo a pesquisa (ver a Tabela 1.7), o candidato 1 pode ter de 28% a 34% das intenções de voto, enquanto o candidato 2 pode ter entre 24% e 30%. Dizemos que há um empate técnico. Porém, a margem de erro não garante que o candidato 1 tenha — com certeza — de 28% a 34% das intenções de voto! A pesquisa não consulta toda a população, mas estima as intenções de voto a partir de um grupo reduzido de eleitores. No caso ilustrado, foram ouvidas 800 pessoas. Na realiade, uma incerteza de 3% está associada a um certo nível de confiança da pesquisa. Nessa mesma pesquisa, uma margem de erro de 4% para mais ou para menos corresponde a um nível de confiança maior. Só teríamos 100% de confiança se afirmássemos que o candidato 1 tem entre 0 e 100 % das intenções de votos. Note que, para serem consistentes, os institutos de pesquisa deveriam dizer também qual o nível de confiança da pesquisa1 . Em metrologia, a recomendação é que se divulgue a incerteza associada a um nível de confiança de 68%. É a chamada incerteza padrão. Daqui para frente, o termo incerteza e a letra σ serão utilizados com o significado de incerteza padrão. Quanto menor σ, mais precisa é a medida. Sendo assim, quando estimamos σ para menos, atribuímos a uma medida um grau de precisão maior do que ela tem, compromentendo a qualidade. Por outro lado, quando estimamos a incerteza para mais, estamos declarando que a medida é menos precisa do que ela é. Isso poderia fazer com que comprássemos equipamentos mais caros do que precisamos ou que descartássemos determinados produtos desnecessariamente. Portanto, o processo de estimar a incerteza deve ser muito criterioso e depende muito da experiência prática de quem faz a medida. Podemos classificar as incertezas em dois tipos de acordo com o método empregado para calculá-la. A incerteza é do tipo A quando for obtida a partir de uma série de observações. Em outro caso, dizemos se tratar de uma incerteza do tipo B. Veremos agora como estimar uma incerteza do tipo A. Digamos que um experimento para medir uma grandeza X foi repetido diversas vezes, obtendo-se após n observações os valores x1 , x2 , . . . , xn . Usando-se argumentos estatísticos mostra-se que uma boa estimativa para a incerteza associada ao conjunto de valores x1 , x2 , x3 , . . . , xn , é a chamada incerteza padrão da média ou desvio padrão da 1 Alguns conceitos e definições aqui apresentados serão mais bem discutidos no curso de Probabilidade e Estatística. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 16 média: v u u σ=t n X 1 (xi − x)2 (desvio padrão da média) , n(n − 1) i=1 (1.4) onde x é a média definida em (1.3). Exemplo 1.6. A medida do tempo de evaporação de uma gota de água foi repetido 4 vezes sob as mesmas condições. Os valores observados foram: t1 = 1,19 s, t2 = 1,24 s, t3 = 1,28 s e t4 = 1,21 s. O valor médio do tempo de evaporação foi t= 1,19s + 1,24s + 1,28s + 1,21s = 1,23 s, 4 (1.5) enquanto que a incerteza da medida é: v u 4 u 1 X t σ= (ti − 1, 23)2 s 4 × 3 i=1 1 p (1, 24 − 1, 23)2 + (1, 28 − 1, 23)2 + (1, 19 − 1, 23)2 + (1, 21 − 1, 23)2 s =√ 12 ≈ 0, 02s. No Exemplo 1.5 (experimento do alcance), a incerteza obtida pelo experimentador A foi σ ≈ 0,26 cm, enquanto que a incerteza obtida pelo experimentador B foi σ ≈ 0,12 cm. Como era de se esperar, uma menor dispersão dos dados obtidos pelo experimentador B levou a um menor valor para a incerteza. Pela expressão (1.4) vemos que a incerteza padrão vai ficando cada vez menor à medida em que n cresce. Assim, se pudéssemos repetir o experimento uma infinidade de vezes seríamos capazes de eliminar os efeitos aleatórios. Na prática, repetimos a experiência tantas vezes quanto necessário para que a incerteza fique dentro da precisão requerida. Recomenda-se evitar o uso do termo erro como sinônimo de incerteza: a quantidade σ na equação (1.4) não é o erro aleatório, mas uma estimativa da incerteza da medida devido a efeitos aleatórios. Agora vejamos como estimar uma incerteza do tipo B. Em muitas situações, não é possível ou não é prático repetir um experimento um série de vezes sob as mesmas condições. Nesse caso, a incerteza da medida é estimada por julgamento científico, baseando-se em todas as informações prévias disponíveis sobre a possível variabilidade do valor da grandeza. O conjunto de informações prévias inclui: dados de medições prévias, especificações do fabricante, a experiência ou o conhecimento geral do comportamento e propridades dos materiais e instrumentos. Isso ocorre, por exemplo, ao medirmos o comprimento de uma barra com uma régua. Nesse caso, poderíamos pedir para diversas pessoas fazerem a leitura, poderíamos utilizar várias réguas, etc, e estimar a incerteza usando a expressão (1.4). Porém, por praticidade é mais vantajoso estimar a incerteza a partir das informações fornecidas pelo fabricante da régua. Uma regra comum utilizada em Capítulo 1 – Unidades e Medidas 17 laboratórios é considerar a incerteza igual como sendo a metade da menor divisão do instrumento2 . Assim, se a régua tem marcações de milímetros e confiamos no fabricante, admitimos que a incerteza da medida é σ = 0,5 mm. Incertezas obtidas por julgamento científico não são necessariamente menos confiáveis do que as obtidas por tratamentos estatísticos a partir de uma série de observações. Mostra-se que, para as situações de interesse prático, as duas abordagens possuem confiabilidades similares. Incerteza relativa Uma incerteza σ = 0,1 mm na medida do comprimento de uma barra pode ser considerada grande ou pequena, dependendo do tamanho da barra e da precisão desejada. Se a barra tem cerca de 1003,2 mm e será usada para medir tecidos, uma incerteza de 0,1 mm é pequena; porém se a barra tem 1,5 mm e será usada como um compontente de um motor de um aparelho odontológico, a incerteza pode ser considerada grande. Para dar uma real noção do tamanho da incerteza σX de uma grandeza X, define-se a incerteza relativa, dada por: σrel = σX . x (1.6) onde x é o valor de X. No caso da barra de 1003,2 mm, com σ = 0,1 mm, tem-se σrel = 0, 1/1003, 2 ≈ 10 = 0, 01%, enquanto que para a barra de 1,5 mm o mesmo σ leva a uma incerteza relativa muito maior: σrel = 0, 1/1, 5 ≈ 0, 07 = 7%. −4 O “valor verdadeiro” de uma grandeza A Figura 1.19 mostra dois conjuntos de dados (azul e vermelho) obtidos por dois estudantes no lançamento de um projétil, como no Exemplo 1.5. O modelo teórico prevê um alcance na posição indicada com um ×. Figura 1.19: Os valores em azul parecem mais corretos, por estarem centrados em torno do valor teórico. Entretanto, o valor teórico não deve ser confundico com o “valor verdadeiro” para o alcance. 2 Essa regra quase sempre superestima a incerteza da medida. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 18 O conjunto de dados azul parece estar centrado em torno do alcance teórico, o que nos leva a pensar que o conjunto de dados vermelho esteve sujeito a algum efeito sistemático relevante. Note, entretanto, que o valor teórico não deve ser pensado como um “valor verdadeiro” para o alcance, uma vez que o modelo teórico pode ser incompleto ou mesmo incorreto. Na realidade, é agora amplamente reconhecido que o “valor verdadeiro” de uma grandeza é um conceito que inexiste, por estar sempre sujeito a dúvidas. Deve, portanto, ser evitado. 1.7.2 Medidas indiretas e incerteza combinada Na maioria dos casos, o mensurando Y não é medido diretamente, mas é determinado a partir de N outras grandezas X1 , . . . , XN através de uma função: Y = f (X1 , . . . , XN ) . (1.7) X1 , . . . , Xn são chamadas grandezas de entrada e Y é grandeza de saída. Exemplo 1.7. Medida do volume de um cilindro. O volume pode ser determinado medindo-se o comprimento L e o raio R. É dado por: V = πLR2 . (1.8) No caso, V = f (L, R). Suponhamos que os dados experimentais associados às grandezas de entrada Xi não sejam conhecidos, mas apenas a sua média xi e sua incerteza σi . Sob certas condições gerais, a melhor estimativa para a média de Y = f(X1 ,X2 , . . .,XN ) é a quantidade: Y = f (x1 , . . . , xN ) . (1.9) Demonstra-se também que a incerteza de Y pode ser estimada a partir das incertezas σi por meio da expressão aproximada:  2  2 ∂f ∂f 2 σY = σ1 + . . . + σN , (1.10) ∂X1 ∂XN onde as derivadas parciais devem ser calculadas em (x1 , x2 , . . . , xN ). É comum referir-se à expressão anterior como a “fórmula para propagação de erros”. Se no Exemplo 1.7 tivermos L = 0, 15 m, σL = 0, 02 m, R = 0, 06 m, σR = 0, 01 m, então: 2 V = π L R = π × 0, 15 × 0, 062 m3 = 0, 001 696 m3 = 1, 696 dm3 . (1.11) Usando que e ∂V 2 (L, R) = πR ∂L (1.12) ∂V (L, R) = 2πL R, ∂R (1.13) Capítulo 1 – Unidades e Medidas 19 obtemos:  2 2
2 σV2 = πR σL + 2πL R σR ≈ 3, 709 39 × 10−7 m6 , (1.14) de modo que σV ≈ 0, 61 dm3 . 1.7.3 Algarismos significativos No experimento do alcance, o experimentador B obteve x = 26, 06 cm e σ = 0,117 685 07. . . cm ≈ 0,12 cm. Pela interpretação de σ, temos um certo grau de confiança de que o valor médio do alcance esteja no intervalo (x − σ, x + σ) , (1.15) 25, 94 < alcance médio < 26, 18 (1.16) isto é: com um determinado nível de confiança. Note que usar σ = 0, 117 685 07 . . . cm ou σ = 0, 12 cm define, em termos práticos, o mesmo intervalo de valores compatíveis com a medida. Pelo fato de a incerteza σ ser uma estimativa, não faz sentido escrevê-la com um número grande de algarismos. Recomenda-se, portanto, arredondar consistentemente o valor da incerteza, escrevendo-a com um ou, no máximo, dois algarismos significativos: Algarismos significativos de uma quantidade são todos os algarismos certos mais o primeiro algarismo duvidoso. Observe que se o experimentador B calcula a média dos valores da Tabela 1.6 usando uma calculadora, o resultado que aparecerá no visor será algo do tipo: 26, 063750000 . (1.17) Tendo em vista o intervalo de valores compatíveis com a medida [dado na Equação (1.16)], concluímos que não faz sentido escrever o valor da média com tantos algarismos. Que o valor médio está em torno de 26, 0 cm não temos dúvida. Além disso, analisando o intervalo definido pela Equação (1.16) acreditamos que 26, 06 cm represente bem o valor médio. No entanto, dentro da precisão obtida não sabemos se a média é 26, 063 cm ou 26, 064 cm. O algarismo 3 em 26, 063 cm e o algarismo 4 em 26, 064 cm não são significativos. O mais correto é parar na segunda casa decimal e escrever x = 26, 06 cm. Assim, no Exemplo 1.7, se escrevemos a incerteza como 0, 61 dm3 , o volume calculado 1, 696 dm3 contém algarismos que não são significativos. Seria mais correto expressar o volume como 1, 70 dm3 . Todos os números em Física provém de algum experimento e, assim sendo, há alguma incerteza associda a esses números (ainda que, nos problemas, ela seja quase sempre omitida). Admitiremos que os números relatados tenham sido escritos utilizando-se apenas algarismos significativos. Por exemplo, se a massa de uma Capítulo 1 – Unidades e Medidas 20 partícula é apresentada como sendo m = 10, 0 g espera-se que esse valor tenha sido obtido com precisão da ordem de 0, 1 g. Se a incerteza fosse superior a 1 g, o mais correto seria declarar m = 10 g. Há regras para se operar com algarismos significativos. Se estas regras não forem obedecidas você pode obter resultados que podem conter algarismos que não são significativos. Para começar, note que algarismos 0 à esquerda não trazem informação alguma. Assim, expressar m = 10 g como m = 0, 010 kg introduz mais algarismos, mas não altera o número de algarismos significativos. Agora vamos supor que você queira fazer a seguinte adição: 138, 164 + 0, 0513 − 23, 7 = 114, 5153 (no visor da calculadora) (1.18) Para determinar o número apropriado de algarismos significativos em cálculos envolvendo soma e/ou subtração, você pode seguir a regra geral [que decorre de (1.10)]: Quando adicionamos ou subtraímos quantidades, o número de casas decimais da resposta deve coincidir com o do termo com o menor número de casas decimais. No exemplo (1.18) observe que a quantidade 23, 7 apresenta apenas uma casa decimal, portanto a resposta final em (1.18) deverá ser aproximada para uma casa decimal: 114,5. Também decorre da Equação (1.10) uma regra geral para o caso de operações envolvendo multiplicação e/ou divisão de quantidades: Quando multiplicamos ou dividimos quantidades, o número de algarismos significativos da resposta final é igual àquele da quantidade com o menor número de algarismos significativos. Considere a seguinte situação: mediu-se o comprimento, a largura e altura de uma prateleira, obtendo-se os valores listados na Tabela (1.8) (as incertezas não foram fornecidas). O comprimento e a largura têm 3 algarismos significativos, enTabela 1.8: Tabela com as dimensões de uma prateleira. Comprimento Largura Altura 1, 10 m 12, 6 cm 1, 3 cm quanto que a altura só tem 2. O volume da prateleira é: Volume = 1, 10 m × 12, 6 cm × 1, 3 cm = 0, 0018018 m3 = 1, 8018 dm3 . (1.19) (1.20) Pela regra, devemos expressar o volume da prateleira utilizando 2 algarismos significativos: Volume = 1, 8 dm3 . (1.21) Capítulo 1 – Unidades e Medidas 1.7.4 21 Relatando uma medida Para relatar o resultado da medida, todas as informações necessárias para a reavaliação da medição devem ser disponibilizadas. O montante de informações depende, é claro, da utilização pretendida. Para os nossos objetivos, o relato da medida pode se resumir ao valor estimado da grandeza e de sua incerteza com a quantidade correta de algarismos significativos e indicando a unidade. Por exemplo, em uma medida da massa de um bloco, podemos ter: m = 100,021 47(35) g m = 100,021 47 (0,000 35) g m = (100,021 47 ± 0,000 35) g . A medida do cilindro deve ser relatada como V = (1,70 ± 0,61) dm3 ou ainda V = (1,7 ± 0,6) dm3 . A medida do alcance deveria ser relatada pelo experimentador B como A = (26,06 ± 0,12) cm ou A = (26,1 ± 0,1) cm. 1.8 Metrologia De acordo com o Escritório Internacional de Pesos e Medidas, a Metrologia é a ciência que abrange todos os aspectos teóricos e práticos relativos às medições, qualquer que seja a incerteza em qualquer campo da ciência ou tecnologia. Tudo o que envolve controle de produção (certificações, padronização), aferição de equipamentos (balanças, taxímetros, radares, velocímetro, etc), controle de qualidade (brinquedos, eletrodomésticos, etc), medições precisas (telecomunicações, comunicações por satétile, GPS, etc) e muitas outras aplicações, tudo isso está relacionado à Metrologia. A Metrologia possui três grandes ramificações: • Metrologia científica: é a parte da metrologia que trata da organização e desenvolvimento de padrões de medida e sua manutenção nos níveis mais elevados. • Metrologia industrial: é a parte da metrologia que assegura o adequado funcionamento dos instrumentos de medição usados na indústria bem como na produção e nos ensaios. • Metrologia legal: tem como objetivo principal proteger o consumidor tratando das unidades de medida, métodos e instrumentos de medição, de acordo com as exigências técnicas e legais obrigatórias. A metrologia está na raiz do processo produtivo, incrementando a produtividade e a competitividade industrial. Hoje em dia, a consciência da cidadania implica em uma forte demanda de serviços relacionados a saúde, segurança e meio ambiente. Segundo o Inmetro, as operações metrológicos correspondem a cerca de 5% do PIB das nações desenvolvidas. Outro dado importante: cerca de 80% do Capítulo 1 – Unidades e Medidas 22 comércio mundial é afetado por padrões, normas ou regulamentos. Vários estudos indicam que o custo com a adequações ao padrões pode chegar a 10% dos custos de produção. Economias em desenvolvimento são particularmente afetadas. Altos investimentos têm sido feitos em metrologia no Brasil para aumentar nossa competitiviade industrial, especialmente no setor de telecomunicações, energético, etc. Dentre as medidas tomadas, podemos citar: implantação de novas áreas (Metrologia Química e de Materiais, Materiais de Referência Certificados); significativo incremento nas atividades de pesquisa e na capacitação em Ciência e Tecnologia, com a absorção de significativo número de doutores; melhoria da infraestrutura laboratorial com ampliação das faixas de medição e introdução de novas grandezas. No último concurso para o Inmetro (2007), foram abertas cerca de 638 vagas, com salário inicial variando de R$ 3.806,57 a R$ 4.652,59. Boa parte dessas vagas exigia apenas curso superior em alguma área de ciência e tecnologia. A metrologia demanda uma forte parceria entre os setores acadêmico, empresarial e o Governo. Há um incentivo muito grande para a formação de pessoal para atuar nessa área. Vale a pena visitar a página do mais recente Congresso Brasileiro de Metrologia (Salvador, 2009) e conferir as 16 áreas que foram temas do congresso. Instituições ligadas à Metrologia no Rio Grande do Norte: • Instituto de Pesos e Medidas do Estado do Rio Grande do Norte (IPEM/RN) • Laboratório de Metrologia da UFRN 1.9 Leitura complementar: o problema das longitudes Um ponto qualquer da superfície da Terra (pensada como uma esfera) pode ser determinado a partir da latitude e da longitude. Por exemplo, as coordenadas do prédio da Escola de Ciências e Tecnologia são aproximadamente 5◦ 50’ S de latitude e 35◦ 12’ W de longitude. Na Figura 1.20, a linha pontilhada marca a latitude e a linha tracejada marca a longitude. Podemos ver a linha do Equador (linha mais grossa) e o Pólo Sul (ponto de encontro dos meridianos na parte inferior do desenho). O eixo de rotação da Terra define os pólos Norte e Sul geográficos. As estrelas estão tão longe que parecem presas a um cenário de forma esférica, tendo a Terra como centro. É a chamada esfera celeste. Podemos perceber a rotação da Terra pelo movimento circular feito pelas estrelas, como indica a Figura 1.21. Para perceber o movimento das estrelas é preciso olhar o céu atentamente por alguns minutos. A Estrela Polar se situa praticamente em cima do prolongamento da linha imaginária que liga o Pólo Sul ao Pólo Norte (bem em cima da cabeça de alguém que mora no Pólo Norte). Uma pessoa se situa em um determinado ponto da superfície da Terra, no hemisfério norte (ver a Figura 1.22). A latitude do lugar é o ângulo φ indicado na figura. É fácil perceber que a latitude pode ser visualmente obtida se soubermos Figura 1.20: Indicação da latitude e longitude da cidade de Natal. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 23 Figura 1.21: Devido ao movimento de rotação da Terra, um observador na superfície vê as estrelas rodando em torno do eixo que passa pelos pólos. A Estrela Polar, por estar sobre o um dos pólos (o Norte) fica sempre parada. localizar a Estrela Polar. De fato, a latitude será o ângulo que aquela estrela faz com o horizonte. No Hemisfério Sul não é possível ver a Estrela Polar e tampouco há uma estrela visível situada exatamente sobre o Pólo Sul. Entretanto, pode-se determinar a posição do Pólo Sul utilizando constelações próximas. Tradicionalmente utilizase o Cruzeiro do Sul. É, portanto, uma tarefa simples se determinar a latitude de um lugar. O mesmo não se pode dizer da longitude. Com a informação da latitude, sabemos se estamos numa região polar, tropical ou equatorial, mas não sabemos sobre qual meridiano estamos. Por exemplo, a latitude de Natal é a mesma de cidades da Colômbia, da Tanzânia, da Indonésia, etc. O problema da determinação da longitude foi por um longo tempo o grande problema das navegações. A partir do século XV, o domínio das navegações era essencial para o desenvolvimento das economias européias. Saber traçar rotas e se localizar nos oceanos dependia do conhecimento da longitude. Tratados como o de Tordesilhas (que separava as terras portuguesas das espanholas por um meridiano) só teriam aplicação prática se fosse possível dizer com precisão onde passam os meridianos. Pela a importância da questão, vários reis prometiam prêmios para quem descobrisse um método razoável de se medir a longitude. A medida da longitude está estreitamente relacionada à medida do tempo. Olhando o sol ou as estrelas é possível saber a hora local com precisão razoável. Exemplo disso são os relógios de sol. Note que um relógio de sol não fornece a hora oficial, dividida em fusos. Por convenção, fixamos o Meridiano de Greenwich como sendo a região com longitude igual a zero. Isso é de menor importância, uma vez que o que nos interessa para o posicionamento global é a diferença de longitudes. Conhecendo-se a hora local e a hora de Greenwich, é possível determinar a Capítulo 1 – Unidades e Medidas 24 Figura 1.22: Podemos saber com precisão quão distante estamos dos pólos: o referido ângulo (latitude) é o ângulo que a Estrela Polar (ou o Pólo Sul) faz com horizonte. longitude (em graus): longitude = hora de Greenwich - hora local × 90◦ duração de um dia (1.22) Assim, se a hora local é 9 h 14 min 00 quando em Greenwich é 12 h 44 min 00, então a longitude do local é: longitude = 3, 5h × 90◦ ≈ +52◦ 300 . 12h (1.23) Convenciona-se denotar uma longitude positiva indicando a letra W (de inglês west, oeste) e uma longitude negativa com a letra E (do inglês east, leste). Assim, indicamos a longitude do exemplo anterior como 52◦ 300 W. A dificuldade técnica do procedimento anterior é conhecer a hora local e a hora de Greenwich simultaneamente. As duas soluções historicamente adotadas foram: • Solução astronômica: prever a hora (de Greenwich) de ocorrência de efemérides (por exemplo, eclipses). Conhecendo a hora de Greenwich em que o evento vai ocorrer e observandose a hora local de ocorrência do evento, calcula-se a longitude. O problema dessa proposta é que há muito poucos eclipses e, portanto, oportunidades para se medir longitudes. Isso era muito pouco prático para a navegação. Uma solução proposta por Galileu foi usar os eclipses das luas de júpiter, muito mais frequentes. Outra solução usava a posição relativa da lua com relação a uma estrela, mas essa técnica demandava complicadas correções para os efeitos de refração na atmosfera, bem como erros de paralaxe (ver a Seção 1.7). Por conta da necessidade de catalogar efemérides e de modo cada vez mais preciso, o perídio a partir do início do século XVII foi de intensa atividade científica com a construção de observatórios e a contratação de astrônomos. Capítulo 1 – Unidades e Medidas 25 • Construir e transportar um relógio que marque sempre a hora de Greenwich. Aqui, o problema é a precisão dos relógios. O erro de 1 min no tempo equivale a um erro de 25” na longitude. Isso equivale a errar a posição de uma localidade em 28 km. A viagem de Cabral de Portugal ao Brasil durou 43 dias. Para ter uma precisão de 100 km seria preciso que o relógio atrasasse no máximo 5 s por dia. Em 1714, o Parlamento inglês ofereceu uma quantia recorde para quem inventasse um método prático de determinação de longitude com erro menor que 0,5◦ . Newton, Huygens, Leibnitz, dentre outros cientistas ilustres fracassaram na tentativa de resolver o problema. O problema foi resolvido por um carpinteiro inglês chamado John Harrison. O problema mais difícil era o de compensar os efeitos de dilatação da mola espiral devido a variações de temperatura. O “relógio marítimo” de Harrison, após 5 meses de viagem, atrasou apenas 1 min 54 s, satisfazendo plenamente as condições exigidas. Pelos seu impacto econômico e pelo tempo que levou a ser solucionado, o problema das longitudes é considerado um dos problemas tecnológicos mais importantes de todos os tempos. Ainda hoje o posicionamento global impulsiona a pesquisa por padrões de tempo cada vez mais precisos. Em breve, atingiremos a precisão da ordem de centímetros na determinação da posição. Isso possibilitará o uso de aparelhos de GPS para guiar e estacionar veículos. Capítulo 2 Cinemática Tarciro Nortarson Chaves Mendes 2.1 Introdução “Tudo é número, figura e movimento.” René Descartes Inciaremos aqui o estudo da Mecânica, que é a parte da Física que se preocupa com a descrição e compreensão do movimento. O problema do movimento foi um dos principais problemas da antiga Filosofia Natural durante séculos, cuja solução levou ao nascimento da ciência Física como a conhecemos hoje que, por sua vez, se constituiu em paradigma para o desenvolvimento da Ciência durante os séculos XVIII e XIX. Pode-se definir o movimento como mudanças num dado sistema físico que tem lugar no espaço durante um certo intervalo de tempo. Naturalmente esta definição não é muito rigorosa, pois não definimos exatamente o que é um sistema físico, espaço, tempo e nem o que entendemos claramente com a palavra mudanças neste contexto, embora devamos ter uma noção intuitiva sobre esses conceitos. Claro está que, para que se possa fazer uma descrição matemática consistente do movimento, todas as “entidades” relevantes (sistema físico, espaço, tempo) devem ser rigorosamente definidas ou, pelo menos, deve-se ter uma prescrição clara de como quantificá-las e operar com elas mediante as Equações matemáticas que expressam as leis físicas subjacentes. Durante o curso aprenderemos como fazer isso: identificar o sistema fisico e descrever seu estado de movimento, bem como fazer previsões de seu movimento futuro. Costuma-se dividir a Mecânica em duas grandes áreas: a Cinemática e a Dinâmica1 . A primeira trata a descrição do movimento em si, sem investigar as causas do movimento observado; os movimentos são prescritos. Sua questão fundamental é como um movimento ocorre. Já a segunda, a Dinâmica, investiga as relações causais que levam a um determinado movimento. Preocupa-se em responder a razão de 1 Costuma-se incluir também a Estática como uma das subdivisões da Mecânica. Não a consideramos aqui porque a Estática é apenas um caso particular da Dinâmica, onde a força e o torque resultantes sobre um sistema (ou sistemas) de partículas são nulos. 26 Capítulo 2 – Cinemática 27 um sistema realizar um movimento específico e não outro. Sua questão fundamental é por que um dado movimento ocorre. Durante a primeira parte deste curso nos ocuparemos da Cinemática. Começaremos com as definições operacionais fundamentais à descrição do movimento: espaço, tempo, referencial e partícula. A partir destas definições definiremos as quantidades derivadas, como posição, velocidade, aceleração e trajetória, em termos dos quais o movimento é diretamente descrito. Aplicaremos então estas definições a alguns exemplos importantes de movimentos prescritos idealizados que ajudarão na fixação dos conceitos e irão ilustrar características gerais a uma grande gama de movimentos realmente encontrados na Natureza. Para a compreensão eficiente do texto aqui apresentado é necessário apenas que o aluno já esteja familiarizado com Funções de uma variável, Cálculo elementar (limites, derivadas e integrais simples) e Vetores. 2.2 Fundamentos do Movimento Já dissemos anteriormente que o movimento pode ser definido como mudanças que tem lugar no espaço durante um certo intervalo de tempo. Mas o que queremos dizer exatamente com esta frase? O que realmente muda? Quando falamos de movimento, especialmente na Mecânica, a mudança observada refere-se à variação da posição de um corpo físico durante um dado intervalo de tempo. Vemos então que, antes de tudo, temos que prescrever como determinar posições de corpos no espaço num dado instante de tempo. Para isso, definiremos os sistemas de referência, que nos possibilitarão especificar a posição ocupada num dado instante por um corpo ou corpos, a partir da especificação de posição e tempo de corpos mais simples, as partículas. 2.2.1 Partículas Imaginemos o tipo de corpo físico mais simples possível. Esse corpo é tal que suas dimensões são desprezíveis quando comparadas a quaisquer distâncias relevantes no problema em questão. Neste caso, esse corpo pode ser representado por um ponto geométrico. A esse corpo chamamos partícula ou ponto material. Em muitas situações práticas o conceito de partícula pode ser aplicado na descrição do movimento de objetos reais. Como exemplo, suponha que queiramos descrever um automóvel em viagem de Natal a Fortaleza. Neste caso podemos considerá-lo uma partícula, pois a distância Natal-Fortaleza é cerca de 520 km, que é muitíssimo maior que o comprimento típico de um automóvel, em torno de 4 m. De fato, se tomarmos um mapa onde essas duas cidades estejam representadas, certamente representaríamos o carro nesse mapa como um ponto. Se, porém, desejarmos descrever os movimentos de manobra desse carro dentro de uma garagem, não será mais possível considerá-lo como uma partícula porque nesse caso suas dimensões são comparáveis as da própria garagem. Como um outro exemplo, se quisermos descrever o movimento da Terra em torno do Sol, poderemos considerá-la uma par- Capítulo 2 – Cinemática 28 tícula, uma vez que o diâmetro da Terra (cerca de 12750 km) é desprezível quando comparado à distância Terra-Sol (cerca de 150 milhões de kilômetros). No entanto, quando desejamos descrever o seu movimento de rotação em torno de seu próprio eixo, a Terra não mais pode ser descrita como uma partícula, pois uma partícula não possui partes que possam girar umas em torno das outras (como, estritamente falando, uma partícula deve ter um volume nulo, não faz muito sentido falar em “partes” de uma partícula). Os exemplos aqui apresentados (dentre muitos outros que se poderia citar) motram claramente que um mesmo corpo pode ou não ser considerado uma partícula, dependendo do problema em questão. Deve-se observar o tamanho do corpo em relação aos demais que tomam parte no problema, as distâncias por ele percorridas e qual a precisão com que se deseja medir as distâncias e os intervalos de tempo. Assim, uma partícula não é apenas um corpo de dimensões desprezíveis, mas um corpo de dimensões desprezíveis em um dado problema. 2.2.2 Sistemas de partículas O objeto físico fundamental da Mecânica é a partícula. As leis e Equações fundamentais dessa ciência são escritas para partículas. Podemos então utilizar as leis da Mecânica para descrever o movimento de qualquer objeto físico, seja ele uma partícula ou não? A resposta é sim. Isso é possível devido a um princípio bastante simples, mas muito importante: qualquer corpo físico pode ser considerado como um conjunto de partículas. De fato, em princípio, qualquer objeto pode ser reduzido a pedaços menores. Tomemos um exemplo. Suponhamos que se deseja descrever um dado movimento de uma folha de papel. Podemos imaginá-la como formada pela união de muitos quadradinhos de 1 mm de lado. Se, no problema em questão, 1mm puder ser considerado um comprimento desprezível, cada quadrado poderá ser considerado uma partícula e o movimento da folha pode ser descrito em termos do movimento de cada partícula que a compõe. Se, por outro lado, 1mm for uma distância relevante, poderíamos considerar a folha como composta de quadrados ainda menores (um centésimo de milímetro, por exemplo), tais que suas dimensões possam ser consideradas desprezíveis, ou seja, cada quadrado possa ser considerado uma partícula e, novamente, a folha de papel pode ser tomada como um conjunto de partículas. Usando essa idéia de que qualquer corpo pode ser considerado como um conjunto de partículas, definamos um outro conceito muito útil em Mecânica: o de corpo rígido. Um corpo rígido é um conjunto de partículas no qual a distância entre quaisquer pares de partículas desse conjunto é sempre a mesma. Uma folha de papel não é um corpo rígido, pois podemos mudar as distâncias entre vários pontos da folha amassando-a, por exemplo. Por outro lado, uma barra de ferro em condições não muito extremas pode ser considerado aproximadamente um corpo rígido. Dizemos aproximadamente por que nenhum corpo na natureza é perfeitamente rígido; trata-se de uma idealização, como o conceito de partícula. Chama-se um sistema físico a qualquer parte do universo que esteja bem definida, ou seja, quando está exatamente estabelecido o que pertence e o que não pertence a essa parte. Em Mecânica, um sistema físico é sempre constituído por um Capítulo 2 – Cinemática 29 ou vários corpos. Como cada corpo é um conjunto de partículas, todo sistema físico (em Mecânica) é um conjunto de partículas ou, em outras palavras, um sistema de partículas. Um sistema de corpos rígidos (mesmo que haja apenas um corpo rígido) é chamado de sistema rígido. Pode-se ser levado a pensar que exemplos aproximados de sistemas rígidos na natureza devem necessariamente se constituir de objetos “duros”, como vigas metálicas, rochas, peças de madeira, etc. Isso está longe de ser verdade. A constelação Cruzeiro do Sul (como qualquer outra constelação catalogada), por exemplo, é um ótimo exemplo de sistema rígido. Constitui-se de cinco estrelas bem separadas, mas onde as distâncias relativas entre elas mantem-se invariáveis há milhares de anos. Constelações como o Cruzeiro do Sul, portanto, constituem um exemplo bem mais eloquente de sistema rígido do que os corpos que encontramos sobre a superfície da Terra, pois estes últimos estão sujeitos a uma série de interferências que os deformam e tranformam ao longo do tempo, provocando variações perceptíveis nas distâncias relativas entre suas partes e, portanto, não mais satisfazendo à definição de sistema rígido. Os conceitos de corpo rígido e de sistema rígido são muito importantes em Mecânica e, futuramente, uma parte considerável deste curso de Princípios e Fenômenos da Mecânica será dedicado ao estudo mais detalhado dos sistemas rígidos. De imediato, porém, esses conceitos nos serão úteis pois os usaremos na definição de referencial, sem o qual é impossível uma descrição consistente do movimento. 2.2.3 Eixos Coordenados Consideremos uma reta sobre a qual escolhemos um ponto O, ao qual chamaremos origem. A reta fica então dividida em duas semiretas que começam na origem. Escolhemos então uma das semiretas para ser chamada de semieixo positivo e nela marcamos uma seta para indicar isso. A outra semireta é chamada de semieixo negativo. A cada ponto do semieixo positivo associamos o número dado por sua distância até a origem. A cada ponto do semieixo negativo associamos o número dado pelo negativo de sua distância até a origem e, à própria origem O associamos o número zero. Desse modo, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre cada ponto da reta e o conjunto dos número reais: a cada ponto corresponde um único número e a cada número, um único ponto. A reta na qual foram especificadas a origem, os semieixos positivo e negativo e a correspondência entre números e pontos, conforme acabamos de descrever, é chamada de eixo coordenado. O número que corresponde a um ponto do eixo é chamado de coordenada do ponto no eixo, ou em relação ao eixo. Desse modo fica claro que a origem tem coordenada zero, os pontos do semieixo positivo tem coordenada positiva e os pontos do semieixo negativo tem coordenadas negativas. As coordenadas são dadas em unidades de comprimento, como o metro (m) ou seus múltiplos e submúltiplos (cm, km, etc.). Neste texto, a menos que se diga o contrário, as unidades das coordenadas serão dadas em metros. Vale notar que a especificação de um eixo coordenado em uma situação concreta exige o uso de réguas para medir distâncias e especificar as coordenadas. Para identificar um eixo coordenado (o que se faz necessário quando vários Capítulo 2 – Cinemática 30 são usados num dado problema) usamos, além do O da origem, uma outra letra que é sempre escrita junto ao semieixo positivo. O eixo é identificado pelo par de letras. Por exemplo, se a segunda letra é X, chamamos o eixo coordenado de eixo OX. A Figura 2.1 mostra um eixo coordenado OX com um ponto arbitrário P e sua coordenada x. Já dissemos anteriormente que uma partícula é representada geometricamente por um ponto geométrico, como o ponto P ilustrado. Assim, descrever matematicamente o movimento de uma partícula equivale a descrever o movimento do ponto P . Em muitas situações práticas um único eixo coordenado é suficiente na descrição do movimento de um dado ponto P , ou seja, uma única coordenada é suficiente para especificar a posição do ponto P . Dizemos então que o movimento é unidimensional ou retilíneo, pois ocorre sobre uma linha reta. Dicutiremos vários casos importantes de movimento retilíneo no estudo da Cinemática. Vejamos agora o caso geral da especificação da posição de um ponto P qualquer no espaço. Ao eixo da Figura 2.1, consideremos mais dois eixos coordenados OY e OZ, todos com a mesma origem O, perpendiculares entre si e ao eixo OX. A esse conjunto de eixos coordenados ortogonais de sistema de eixos OXY Z. Dado um ponto P qualquer, sabemos que existe um único plano Σx perpendicular ao eixo OX e que contém o ponto P . O plano Σx intersepta o eixo OX no ponto Px de coordenada x. Do mesmo modo, existe um único plano Σy perpendicular ao eixo OY e que contém o ponto P . Σy intersepta o eixo OY no ponto Py de coordenada y. Equivalentemente, o plano Σz intersepta OZ no ponto Pz de coordenada z. Dessa maneira, para cada ponto P existe um único conjunto de pontos Px , Py e Pz de coordenadas x, y e z. Isso significa que a posição do ponto P no espaço fica completamente determinada pela trinca ordenada (x, y, z). Dizemos que estas são as coordenadas do ponto P em relação ao sistema de eixos OXY Z. O sistema de eixos coordenados é uma estrutura rígida em relação a qual podemos especificar a posição de qualquer partícula no espaço. A posição de qualquer corpo em relação os eixos coordenados também pode ser especificada, pois para isso é suficiente especificar as posições de todas as partículas que o compõe. Com esse procedimento, portanto, o problema de determinar posições no espaço fica completamente resolvido. 2.2.4 Referencial Refinando melhor a definição de movimento dada no início da seção 2, podemos dizer que: movimento é a variação na posição de uma partícula (ou várias partículas) durante um dado intervalo de tempo. Está claro que essa definição implica sermos capazes de medir tanto a posição de uma partícula como o instante de tempo em que ela ocupa essa posição. Como vimos na seção anterior, o estabelecimento de um sistema de eixos coordenados nos possibilita medir posições de modo inambíguo. Vimos também que para que um eixo coordenado seja útil é imprescindível a existência de réguas para se medir distâncias e, por sua vez, atribuir uma coordenada a um ponto sobre o eixo. De modo análogo, para que possamos determinar o instante de tempo em que uma partícula ocupa uma dada posição, vamos supor que Figura 2.1: Eixo coordenado OX e o ponto P de coordenada x. Figura 2.2: Sistema de eixos coordenados OXY Z e o ponto P de coordenadas (x, y, z). Capítulo 2 – Cinemática 31 dispomos de relógios. Suponhamos que, associado a um sistema de eixos coordenados, temos uma quantidade ilimitada de relógios (tantos quanto forem necessários) todos sincronizados e em repouso em relação ao sistema de eixos. O sistema de eixos coordenados, juntamente com as réguas e relógios, é uma estrutura para medir posições e instantes de tempo. A essa estrutura chamamos sistema de referência ou simplesmente referencial. Um agente fixo num referencial e capaz de fazer medições (ler as réguas e relógios) é chamado de observador. O observador pode ser uma pessoa ou um aparelho programado para realizar as medições. A exigência de que os relógios de um dado referencial estejam sicronizados entre si é para que um único instante de tempo seja atribuído a um dado evento. Quanto à exigência de que os relógios estejam em repouso, não há justificativa na Mecânica de Newton, com a qual nos ocuparemos neste curso. De fato, para Newton, o estado de movimento de um relógio não pode afetar a marcha do tempo por ele medida. Essa idéia, aliás, está extremamente enraizada em nossa concepção de tempo. Vejamos um exemplo. Vamos supor que você resolva sair de casa em direção à universidade. Nesse instante, você compara seu relógio de pulso com o relógio de parede na sala de estar. Ambos marcam exatamente o mesmo horário: 7:40 da manhã. Assim que você chega na universidade, consulta o relógio de pulso e constata que ele marca 8:00 da manhã. Você naturalmente vai inferir que o relógio que ficou em casa marca o mesmo horário e que portanto sua viagem durou 20 min em ambos os relógios (estamos supondo que os relógios não tem defeitos de fabricação ou devido a mau uso e que, portanto, funcionam perfeitamente). Essa natural conclusão, contudo, não está correta. O movimento sempre afeta o andamento de um relógio, qualquer que ele seja. Desse modo, dois relógios inicialmente sincronizados só poderão permanecer sicronizados se permanecerem em repouso um em relação a outro. No exemplo dado, seu relógio de pulso estará de fato um pouco atrasado em relação ao relógio de parede que ficou em casa (embora esse atraso seja praticamente imperseptível). Esse é um resultado importante da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein, que você terá a oportunidade de aprender posteriormente. O que importa para nós no momento é que a definição aqui dada para referencial permite especificar completamente posições e instantes de tempo de modo totalmente consistente para os fins da Mecânica. Nos referimos ao sistema de eixos coordenados como uma estrutura rígida. Em situações práticas, para garantir essa rigidez, nós recorremos a algum sistema rígido de partículas para nele fixar o sistema de eixos. Por exemplo, se pretendemos descrever o movimento de um mosquito numa sala, podemos escolher um dos vértices da sala como a origem O e nas quinas (linha de interseção entre duas paredes ou entre uma parede e o piso ou o teto) que se encontram em O podemos fixar os três eixos coordenados, como indicado na Figura 2.3. No exemplo dado (como em qualquer outro), simplesmente imaginamos os eixos fixos nas paredes. Diríamos que o referencial é fixo na sala, ou na Terra, pois a sala e a Terra formam um sistema rígido. Dissemos que um referencial é um sistema de eixos coordenados munido de réguas e relógios. É comum, porém, não se fazer referências aos relógios na especificação de um referencial. Escolhe-se o sistema de eixos e a existência de relógios Figura 2.3: Sistema de eixos coordenados OXY Z fixos numa sala. Capítulo 2 – Cinemática 32 fica subentendida. Desse modo, quando nos referimos a um dado referencial, costumamos especificar apenas o sistema de eixos. Estamos agora em posição de dar uma definição rigorosa de movimento (no sentido da Mecânica). Vamos apresentar a definição para uma partícula, já que a definição para um sistema de partículas decorre da definição para uma partícula. Uma partícula está em movimento em relação a um dado referencial quando sua posição em relação a esse referencial muda com o tempo. A posição da partícula muda se pelo menos uma de suas coordenadas mudar. No caso de um corpo, dizemos que ele está em movimento se pelo menos uma das partículas que o compõe estiver em movimento em relação ao referencial. Se uma partícula ou um corpo não está em movimento num dado referencial, dizemos que está em repouso nesse referencial. Vemos, pela definição anterior, que o conceito de movimento é sempre relativo a um referencial. Não há sentido em se falar de movimento sem um referencial a ele subjacente, em relação ao qual esse movimento está sendo medido. Ao se falar de movimento, fala-se de mudança de posição e o conceito de posição depende de um referencial. Comumente falamos de movimentos sem mencionar referenciais, mas isso não significa que não os estamos utilizando. Temos o hábito, por exemplo, de localizar referenciais na Terra. Assim, quando dizemos que uma pedra, um carro, ou o Sol se movem, estamos usando um referencial fixo na Terra, embora usualmente não tenhamos consciência disso. Como bem ilustra a citação no início deste capítulo, o movimento é essencial para a compreensão do mundo. Ele é o objeto fundamental da Física, especialmente da Mecânica. Vimos até aqui alguns dos conceitos fundamentais que permitem definí-lo de modo claro e consistente. No próximo capítulo iremos apresentar os conceitos matemáticos que permitirão uma descrição matemática completa do movimento e, assim, nos munirmos de todos fundamentos necessários para atingirmos a compreenção mais profunda possível do movimento, como abordado pela Mecânica. 2.3 Descrição Matemática do Movimento Na seção anterior, discutimos as noções básicas sobre o movimento. Definimos o movimento de uma partícula como a mudança na sua posição com o passar do tempo em relação a um dado referencial, e o movimento de corpos extensos foi definido em termos do movimento das partículas que o compõem. Nesta seção, vamos apresentar os conceitos matemáticos que permitirão uma descrição precisa do movimento e, com os quais, poderemos descrever com a exatidão desejada qualquer tipo de movimento. 2.3.1 Funções-Movimento Suponhamos que temos interesse no movimento de uma partícula que ocorre entre os instantes ti e tf . Esse intervalo é representado por [ti , tf ], onde tf > ti . A pergunta que desejamos responder é qual o conceito matemático que descreve com- Capítulo 2 – Cinemática 33 pletamente o movimento da partícula nesse intervalo. Conhecemos o movimento de uma partícula se sabemos qual a sua posição em cada instante de tempo no intervalo de interesse, ou seja, se conhecemos as coordenadas x, y e z da partícula em cada instante do intervalo [ti , tf ]. Em outras palavras, o movimento fica determinado se possuimos uma regra que, para cada t ∈ [ti , tf ], especifique o valor da coordenada x, uma outra regra que especifique a coordenada y e outra que especifique a coordenada z. No instante t, a partícula pode ter apenas um único valor para a coordenada x (o mesmo vale para as outras duas coordenadas) pois, de outro modo, a partícula estaria ocupando duas (ou mais) posições ao mesmo tempo, o que é absurdo. Em matemática, a uma regra que satisfaça essas características, damos o nome de função; no presente caso, trata-se ainda de uma função contínua no intervalo de interesse. Vamos chamar à função que a cada instante t fornece a coodenada x de fx . Assim, x = fx (t) . (2.1) A Equação anterior deve ser entendida da seguinte forma. Seja o instante de tempo t marcado por um relógio apropriado num dado referencial. Então, se executarmos as operações especificadas pela regra representada por fx , obteremos a coordenada x da posição da partícula nesse instante. Como exemplo, suponha que a regra fx seja: para cada valor de t, em segundos, tome o quadrado desse valor e multiplique por 5 para obter o valor da coordenada x, em metros. Então, de maneira mais compacta, escreveríamos x = fx (t) = 5t2 . É importante frisar que x e t são números, enquanto fx é uma função. x é um número, medido com o auxílio de uma régua, que dá a posição de um ponto em relação a outro ponto escolhido como origem; t é um número lido em um relógio e que representa o tempo decorrido entre o instante em que o cronômetro é zerado e o instante em que a particula se encontra numa posição cuja coordenada no eixo OX é x; fx é a regra que permite calcular x a partir de t. É importante não confundílos. Insistimos nesse ponto porque é comum a utilização de uma mesma letra para especificar tanto a coordenada como a função. No exemplo dado, é comum escrever x(t) = 5t2 . Esta notação, embora comum, não é clara, pois na Equação acima a letra x, que é geralmente usada para representar a coordenada de uma partícula (que é um número), está sendo usada para especificar a função que dá a coordenada da partícula para um dado instante de tempo. Temos, portanto, uma mesma letra representando duas coisas totalmente diferentes em um mesmo contexto. Sempre que possível, neste texto, procuraremos evitar isso utilizando um símbolo para cada conceito. Com um raciocínio inteiramente análogo podemos escrever, para as outras coordenadas, y = fy (t) , z = fz (t) . (2.2) (2.3) As funções fx , fy e fz são chamadas funções-movimento da partícula. Elas são o conceito matemático mais importante da Mecânica. Toda a teoria e os métodos desenvolvidos na Mecânica têm por finalidade encontrar as funções-movimento Capítulo 2 – Cinemática 34 numa dada situação e/ou tirar as informações possíveis dessas funções (quando já conhecidas). O domínio das funções-movimento é o intervalo [ti , tf ] que, geralmente, não é especificado. Em muitos casos de interesse é conveniente extender o domínio a toda reta real, ou seja, [−∞, ∞]. Isso significa que o movimento estudado pode durar um longo intervalo de tempo, desde um passado remoto até um futuro longíncuo. Exemplos desse tipo de movimento são o movimento de um pêndulo simples ou o movimento da Terra em torno do Sol. O contra-domínio das funções-movimento é o conjunto dos números reais. Isso é natural, uma vez que a imagem das funçõesmovimento são as coordenadas da partícula e estas estão definidas sobre os eixos coordenados. Vejamos alguns exemplos de funções-movimento: Exemplo 2.1. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx (t) = 2, fy (t) = 5 e fz (t) = 0. Observa-se que os valores das coordenadas dessa partícula não mudam com o tempo. A partícula está fixa na posição (2, 5, 0) nesse referencial, para qualquer instante de tempo t. Dizemos então que estas são funções-movimento de uma partícula em repouso. Exemplo 2.2. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx (t) = 5t2 , fy (t) = 0 e fz (t) = 0. Vê-se imediatamente que as coordenadas y e z da partícula possuem valor nulo e permanecem inalteradas com o tempo, isto é, y = 0 e z = 0 para qualquer t. A coordenada x varia com o tempo segundo a Equação x = 5t2 . Assim, o movimento da partícula se dá unicamente sobre o eixo coordenado OX. Tratase portanto de um movimento retilíneo. Para t < 0 a partícula se aproxima da origem pelo semieixo positivo (move-se no sentido negativo do eixo), enquanto para t > 0 a partícula se afasta da origem também pelo semieixo positivo (move-se no sentido positivo do eixo). Em t = 0, portanto, a partícula se encontra na origem do referencial e inverte o sentido de seu movimento (do sentido negativo para o sentido positivo); qualquer que seja o intervalo de tempo observado, a partícula está confinada ao semieixo positivo, pois a coordenada x pode assumir apenas valores positivos. Dizemos então que a trajetória da partícula no intervalo de tempo [−∞, ∞] é o semieixo positivo do eixo coordenado OX. Exemplo 2.3. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx (t) = t, fy (t) = 0 e fz (t) = 3t. Neste caso, vemos que a coordenada y é constante e igual a zero, enquanto as coordenadas x e z variam com o tempo. O movimento, portanto, ocorre no plano OXZ. Pelas funções-movimento dadas temos x = t e z = 3t. O movimento também é retilíneo e ocorre sobre a reta que passa pelos pontos (0, 0, 0) e (1, 0, 3), cuja Equação é z = 3x. Dito de outra maneira, a Equação da trajetória da partícula é z = 3x, conforme mostrado na Figura 2.4. Figura 2.4: Trajetória retilínea no plano OXZ. A Equação da trajetória é z = 3x. Capítulo 2 – Cinemática 35 Exemplo 2.4. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx (t) = 0, fy (t) = 2t e fz (t) = 2t − 4t2 . Como a coordenada x é sempre nula o movimento só pode ocorrer no plano OY Z. Usando as esquações para as outras coordenadas, y = 2t e z = 2t − 4t2 , podemos escrever a Equação da trajetória como z = y − y 2 . A trajetória da partícula é uma parábola no plano OY Z, conforme mostrado na Figura 2.5. Exemplo 2.5. Sejam as funções-movimento de uma partícula dadas por fx (t) = sen t, fy (t) = cos t e fz (t) = t/5. Neste exemplo a partícula realiza um movimento circular no sentido horário (quando observado de cima para baixo), com 1 m de raio, no plano OXY . Ao mesmo tempo, ela realiza um movimento retilíneo no sentido positivo do eixo OZ. O resultado combinado dos dois movimentos é uma trajetória helicoidal, como esquematizado na Figura 2.6. Figura 2.5: Trajetória parabólica no plano OY Z. A Equação da trajetória é z = y − y 2 . Nos exemplos 2 a 5 fizemos referência a um outro conceito importante na Mecânica: o de trajetória. Como deve ter ficado claro, chamamos trajetória à linha imaginária percorrida pela partícula no espaço durante um dado intervalo de tempo. Esta linha tem de ser contínua porque as funções-movimento são funções contínuas do tempo. A trajetória é exatamente a figura que veríamos a partícula “desenhar” durante o seu movimento. Nos exemplos 2 e 3 essa figura é uma linha reta (ou semireta), daí o nome de movimento retilíneo. Este movimento pode ser inteiramente descrito usando apenas um eixo coordenado para especificar a posição da partícula (as outras duas coordenadas são irrelevantes). No caso do exemplo 2 este eixo é o próprio eixo OX. No caso do exemplo 3, podemos usar um eixo coordenado que coincida com a reta z = 3x. Este eixo pode ser obtido pela rotação do plano OXZ em torno do eixo OY no sentido horário (quando visto de algum ponto de semieixo OY positivo) de um ângulo θ = arctg 3 ' 71,6o . Com esse processo, obtemos um novo sistema de eixos coordenados OX 0 Y 0 Z 0 no qual o movimento da partícula ocorre inteiramente sobre o novo eixo OX 0 e sua posição é representada pela trinca (x0 , 0, 0), onde x0 é a coordenada da partícula no eixo OX 0 , y 0 = 0 é coordenada da partícula no eixo OY 0 e z 0 = 0 é coordenada da partícula no eixo OZ 0 . Este procedimento ilustra o fato de que, para qualquer movimento retilíneo, é sempre possível encontrar um eixo coordenado paralelo à trajetória e com o qual se pode descrever completamente o movimento. Dizemos, então, que o movimento é unidimensional pois é preciso apenas uma coordenada para descrevê-lo. No exemplo 4, a figura formada é uma parábola. Este exemplo ilustra o caso (dentre inúmeros) de um movimento num plano. Para descrevê-lo é suficiente usar duas coordenadas. Não há como encontrar um novo sistema de eixos coordenados no qual uma das coordenadas seja eliminada, como fizemos no parágrafo anterior para o exemplo 3. Dizemos então que o movimento é bidimensional, pois é preciso utilizar pelo menos duas coordenadas para descrevê-lo. Diferentemente dos movimentos retilíneos, onde as trajetórias são sempre retas, semiretas ou segmentos de reta, as trajetórias nos movimentos bidimensionais podem ter quaisquer formas, definidas apenas pela forma das funções-movimento que determinam as coordenadas. Figura 2.6: Trajetória helicoidal. Capítulo 2 – Cinemática 36 No exemplo 5 mostramos as funções-movimento de um movimento tridimensional, no caso, as que levam a uma trajetória helicoidal para a partícula. Chamamos de tridimensional por que é preciso usar os três eixos coordenados para descrevêlo. Não há meios de, por quaisquer transformações de eixos coordenados, eliminar algum deles e descrever a posição da partícula usando apenas duas (como no caso do movimento no plano) ou uma (como no caso do movimento retilíneo) coordenadas. Os movimentos retilíneo e bidimensional são casos particulares de movimentos tridimensionais, onde duas e uma coordenadas, respectivamente, tornam-se irrelevantes na descrição do movimento. O movimento tridimensional é o mais geral possível, pois esgota todas as trajetórias possíveis que uma partícula pode realizar, para qualquer conjunto de funções-movimento admissíveis. Exceto para uma partícula em repouso (cuja trajetória se reduz a um único ponto) e uma partícula em movimento retilíneo (cuja trajetória é uma reta, semireta ou segmento de reta), determinar a trajetória de uma partícula em movimento em geral não é um processo trivial, pois determinar uma trajetória consiste em descobrir como as coordenadas se relacionam entre si. Consideremos o caso de um movimento bidimensional no plano OXY . Neste caso as coordenadas relevantes para a descrição do movimento da partícula são as coordenadas x e y determinadas pelas funções-movimento segundo as Equações (12.35) e (2.2) x = fx (t) , y = fy (t) . Vamos admitir que fx possua uma função inversa fx−1 (poderíamos escolher qualquer uma das funções-movimento). Então podemos escrever t = fx−1 (x) e a relação entre a coordenada y e a coordenada x será
y = fy fx−1 (x) . (2.4) Esta é a Equação da trajetória de uma partícula num movimento bidimensional. Seu gráfico no plano OXY é uma linha contínua que dá a trajetória da partícula nesse plano. No caso do movimento tridimensional é necessário o uso das três coordenadas para especificar a posição da partícula, de modo que às Equações (12.35) e (2.2) devemos acrescentar a Equação (2.3) z = fz (t) . Seguindo o mesmo procedimento, temos
y = fy fx−1 (x) ,
z = fz fx−1 (x) . (2.5) (2.6) Estas são as Equações da trajetória de uma partícula num movimento em três dimensões. Com estas Equações, para cada valor da coordenada x, conhecemos os valores das coordenadas y e z. O gráfico desse sistema de Equações em relação Capítulo 2 – Cinemática 37 ao sistema coordenado OXY Z é uma linha contínua que constitui a trajetória da partícula em seu movimento no espaço. A dificuldade de se obter Equações da trajetória reside no fato de que nem sempre é possível obter a inversa de uma das funções-movimento. Naturalmente isso não significa que a trajetória não exista, mas simplesmente que não sabemos escrever a Equação (ou Equações) da trajetória. Neste caso, usamos diretamente as Equações (12.35), (2.2) e (2.3) para calcular as coordenadas da partícula para um dado instante t e marcamos o ponto com essas coordenadas no sistema OXY Z. Repetindo esse procedimento para vários instantes de tempo de diferentes, mais ou menos igualmente espaçados num dado intervalo, ver-se-á que os pontos caem sobre uma linha que é a trajetória da partícula no intervalo considerado. Durante este curso de Mecânica daremos uma particular ênfase ao movimento retilíneo. O motivo principal, além de sua simplicidade, é que ele ilustra muitas das propriedades de movimentos mais gerais. Também tem o mérito de modelar muitos movimentos reais encontrados na natureza. Entre os exemplos mais importantes, discutiremos aqui os movimentos uniforme e uniformemente acelerados, as oscilações unidimensionais, etc. Veremos também alguns casos particulares de movimentos no plano, como o movimento de projéteis e o movimento circular, onde algumas grandezas não definidas no movimento retilíneo podem ter grande importância na descrição do movimento de uma partícula ou sistema de partículas em duas e três dimensões, tais como aceleração centrípeta, momento angular e torque. 2.4 Movimento em uma dimensão Na seção anterior nós apresentamos o conceito de função-movimento, com o qual é possível descrever completamente o movimento de uma partícula. Demos alguns exemplos simples de funções-movimento, com os quais pudemos ilustrar movimentos em uma, duas e três dimensões. Neste capítulo iremos nos dedicar exclusivamente ao movimento retilíneo. Definiremos conceitos derivados das funçõesmovimento que são extremamente úteis na construção da trajetória da partícula, como deslocamento, velocidade e aceleração. 2.4.1 Deslocamento Admitamos que uma partícula pode mover-se apenas ao longo de uma reta. Vamos escolher nosso sistema de eixos coordenados de tal forma que o eixo OX coincida com a reta sobre a qual a partícula se move. Neste caso, a posição da partícula é dada pela trinca (x, 0, 0), ou seja, as coordenadas y e z da partícula são sempre nulas. As funções-movimento que determinam as coordenadas y e z, obviamente, também são nulas: fy (t) = fz (t) = 0. Assim, para estudar o movimento da partícula é suficiente estudarmos a Equação x = fx (t) , (2.7) onde, como já sabemos, fx é a função-movimento que dá a coordenada x da partícula no instante t. A coordenada x é geralmente chamada de posição da partícula Capítulo 2 – Cinemática 38 já que, uma vez que as outras coordenadas são sempre nulas, a posição da partícula fica completamente determinada quando conhecemos x. Consideremos um intervalo de tempo [t1 , t2 ] durante o movimento da partícula. Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 sua posição no instante t2 . Definimos o deslocamento ∆x da partícula nesse intervalo como ∆x = x2 − x1 = fx (t2 ) − fx (t1 ) . (2.8) Como a posição é medida em unidades de comprimento o deslocamento, naturalmente, também o é. O deslocamento será posivo se x2 > x1 . Isso significa que o sentido do deslocamento da partícula da posição x1 à posição x2 é o sentido positivo do eixo OX (se o eixo OX aponta para a direita, dizemos que a partícula se deslocou da esquerda para a direita). Se x2 < x1 , o deslocamento será negativo e o seu sentido será o sentido negativo do eixo OX (a partícula se deslocou da direita para a esquerda). Durante um movimento qualquer da partícula podem ocorrer deslocamentos positivos ou negativos. Se, num dado intervalo de tempo [t1 , t2 ], todos os deslocamentos da partícula são positivos, quaisquer que sejam os intervalos de tempo considerados dentro do intervalo [t1 , t2 ], dizemos que o movimento da partícula tem sentido positivo. Se, contudo, todos os deslocamentos são negativos, dizemos que o movimento tem sentido negativo. Pode ocorrer também que num dado intervalo o movimento tenha sentido positivo numa parte dele e negativo em outra. Tomemos um exemplo. Se um observador na Terra acompanhar o movimento de Marte usando um referencial fixo na Terra e projetar esse movimento sobre a ecliptica, observará algo semelhante ao mostrado na Figura 2.7. O planeta passa pela posição x1 no instante t1 e atinge a posição x0 no instante t0 , com x0 > x1 . O deslocamento observado no intervalo [t1 , t0 ] é, portanto, positivo. Do instante t0 até o instante t00 o planeta sai da posição x0 e atinge a posição x00 , com x00 < x0 . No intervalo [t0 , t00 ] seu deslocamente é, portanto, negativo. Assim, nesse intervalo, ele realiza um movimento retrógrado quando observado de um referencial fixo na Terra. Do instante t00 ao instante t2 o planeta sai da posição x00 e atinge a posição x2 , com x2 > x00 . Portanto, no intervalo [t00 , t2 ], o deslocamento observado é positivo. Contudo, como mostrado na figura, x2 > x1 , o que implica que o deslocamento total no intervalo [t1 , t2 ] é positivo. Embora em todo o intervalo [t1 , t2 ] o deslocamento seja positivo, dentro desse intervalo podem ocorrer deslocamentos positivos e deslocamentos negativos. Resulta então que, um deslocamento positivo num dado intervalo de tempo não significa necessariamente que a partícula se moveu apenas no sentido positivo nesse intervalo. Afirmação equivalente se aplica se o deslocamento for negativo num dado intervalo. Com esse exemplo, vemos então que o deslocamento em um intervalo nos dá apenas uma informação global, e não detalhada, do movimento. Se, para um dado movimento, conhece-se apenas o deslocamento da partícula num intervalo [t1 , t2 ], podemos saber qual a distância entre a posição inicial (x1 ) e a posição final (x2 ) da partícula e o sentido do deslocamento realizado, mas não há como dizer de Figura 2.7: Projeção do movimento de Marte sobre a ecliptica (eixo OX) visto de um referencial fixo na Terra. Na figura, t1 < t0 < t00 < t2 . Capítulo 2 – Cinemática 39 que maneira a partícula se moveu nesse intervalo. Ela pode ter se movido apenas no sentido do deslocamento total, mas pode também ter realizado vários deslocamentos no sentido inverso inverso ao do deslocamento total. Como outro exemplo, suponha que alguém jogue uma pequena pedra verticalmente para cima. Consideremos o sentido positivo do eixo OX para cima. No instante t1 a pedra está na posição x1 e inicia o seu movimento no sentido positivo de OX. Vamos supor que, nesse instante, a pedra esteja na origem do referencial, de modo que x1 = 0. Por experiência, sabemos que a pedra subirá até atingir a altura máxima em x0 = h num instante t0 . Após esse instante a pedra começa a mover-se para baixo, no sentido negativo do eixo OX, até retornar à posição inicial num intante t2 . No intervalo [t1 , t0 ], o deslodamento da partícula é ∆x1 = x0 − x1 = fx (t0 ) − fx (t1 ) = h − 0 = h , (2.9) que é positivo. No intervalo [t0 , t2 ] o deslocamento é dado por ∆x2 = x2 − x0 = fx (t2 ) − fx (t0 ) = 0 − h = −h , (2.10) que é negativo. O deslocamento total no intervalo [t1 , t2 ], contudo, é dado por ∆x = x2 − x1 = fx (t2 ) − fx (t1 ) = 0 − 0 = 0 . Vemos que o deslocamento total é zero, embora a partícula tenha se movido nesse intervalo. Note que o deslocamento no intervalo [t1 , t2 ] pode ser escrito como ∆x = fx (t2 ) − fx (t0 ) + fx (t0 ) − fx (t1 ) = x2 − x0 + x0 − x1 = ∆x2 + ∆x1 , ou seja, o deslocamento no intervalo [t1 , t2 ] é igual à soma algébrica dos deslocamentos nos intervalos [t1 , t0 ] e [t0 , t2 ], onde t1 < t0 < t2 . Esta é uma propriedade geral do deslocamento. Vamos generalizá-la para um número arbitrário de intervalos. Seja um intervalo [ti , tf ] durante o qual uma partícula realiza um dado movimento unidimensional. O deslocamento da partícula nesse intervalo será ∆x = xf − xi = fx (tf ) − fx (ti ) . Suponha que façamos medições da posição da partícula nos instantes t1 , t2 , ..., tj , tj+1 , ..., tn−1 e tn , onde ti < t1 < t2 < ... < tj < tj+1 < ... < tn−1 < tn < tf e n é um número natural arbitrário (número de medições realizadas). Seja ℘n o conjunto dos intervalos [ti , t1 ], [t1 , t2 ], ..., [tj , tj+1 ], ..., [tn−1 , tn ], [tn , tf ] tais que [ti , t1 ] ∪ [t1 , t2 ] ∪ ...∪[tj , tj+1 ] ∪ ... ∪ [tn−1 , tn ] ∪ [tn , tf ] = [ti , tf ] , [tj−1 , tj ] ∩ [tj , tj+1 ] = φ , ∀ 0 < j ≤ n , n > 0 (2.11) (2.12) onde φ ≡ [t, t], ti ≤ t ≤ tf , é o intervalo de tamanho nulo. Então, ℘n é um conjunto de partições de [ti , tf ] onde cada elemento de ℘n é um intervalo contido no intervalo [ti , tf ] e cujo número total de elementos é n + 1. O deslocamento da partícula num intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n será dado por ∆xj = xj+1 − xj = fx (tj+1 ) − fx (tj ) . Capítulo 2 – Cinemática 40 Então, o deslocamento no intervalo [ti , tf ] pode ser escrito em termos dos deslocamentos associados a cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n como ∆x = fx (tf ) − fx (tn ) + fx (tn ) − fx (tn−1 ) + fx (tn−1 ) − ... − fx (tj+1 ) + fx (tj+1 ) − fx (tj ) + fx (tj ) − ... − fx (t2 ) + fx (t2 ) − fx (t1 ) + fx (t1 ) − fx (ti ) n X = ∆xn + ∆xn−1 + ... + ∆xj + ... + ∆x1 + ∆x0 = ∆xj , j=0 onde fizemos tf ≡ tn+1 e ti ≡ t0 . Assim, podemos escrever ∆x = n X j=0 ∆xj = n X (fx (tj+1 ) − fx (tj )) . (2.13) j=0 O resultado anterior é válido para qualquer conjunto ℘n de partições de [ti , tf ]. Note que enquanto o tamanho de ℘n é n + 1, o número total de conjuntos de partições possíveis de [ti , tf ], ou seja, o número total de conjuntos ℘n possíveis, é infinito pois existe um número infinito de modos de se dividir o intervalo [ti , tf ] em intervalos tais que satisfaçam as condições (2.11) e (2.12) para qualquer n > 0 (para n = 0 só existe um conjunto possível: o conjunto unitário cujo elemento é o próprio intervalo [ti , tf ]). Podemos enunciar o resultado dado em (2.13) da seguinte forma: no movimento retilíneo, o deslocamento num intervalo qualquer [ti , tf ] é igual à soma de todos os deslocamentos associados a um conjunto arbitrário de intervalos que compõem o intervalo [ti , tf ]. Para finalizar, note também que o deslocamento sofrido por uma partícula é, em geral, diferente da distância total percorrida por ela durante o seu movimento. No exemplo do lançamento vertical há pouco dado, vimos que o deslocamento da pedra no intervalo é nulo, enquanto a distância total percorrida por ela é 2h: uma distância h na subida e outra igual na descida. Neste caso, a distância total s percorrida pela pedra pode ser escrita como s = |∆x1 | + |∆x2 | , (2.14) com ∆x1 e ∆x2 dados pelas Equações (2.9) e (2.10). Não se pode, porém, generalizar esse resultado para um conjunto qualquer de partições de um intervalo [ti , tf ], como foi feito para o deslocamento. Tomando novamente o exemplo do lançamento vertical da pedra, consideremos partições diferentes do intervalo [ti , tf ] ≡ [t1 , t2 ]. Seja o tempo t00 o instante em que a pedra se encontra na posição x00 = h/2 e se movendo no sentido negativo do eixo OX. O deslocamento da pedra no intervalo [t1 , t00 ] será ∆x1 = x00 − x1 = fx (t00 ) − fx (t1 ) = h/2 − 0 = h/2. (2.15) No tempo t2 , como já vimos, a partícula se encontra novamente na posição inicial, de maneira que o deslocamento no intervalo [t00 , t2 ] é dado por ∆x2 = x2 − x00 = fx (t2 ) − fx (t00 ) = 0 − h/2 = −h/2. (2.16) Capítulo 2 – Cinemática 41 O deslocamento total no intervalo [t1 , t2 ] é ∆x = x2 − x1 = ∆x1 + ∆x2 = h/2 − h/2 = 0 e a distância percorrida continua sendo s = 2h. Porém, a soma dos módulos dos deslocamentos nos intervalos [t1 , t00 ] e [t00 , t2 ] é |∆x1 | + |∆x2 | = |h/2| + | − h/2| = h 6= 2h, de modo que s 6= |∆x1 | + |∆x2 | (2.17) quando ∆x1 e ∆x2 são dados pelas Equações (2.15) e (2.16). Em verdade, a inequação (2.17) é válida para qualquer ℘1 = {[t1 , t], [t, t2 ]}, exceto para t = t0 , onde t0 é o instante em que a partícula atinge a altura máxima. Em geral, para um movimento retilíneo qualquer num intervalo [ti , tf ], o resultado (2.17) pode ser generalizado para um conjunto ℘n qualquer como s 6= n X |∆xj | = j=0 n X |fx (tj+1 ) − fx (tj )| . (2.18) j=0 Esse resultado pode parecer não muito útil, já que não nos diz como obter a distância percorrida pela partícula no intervalo de interesse, mas sim como não calculá-la para um movimento retilíneo qualquer. Contudo, nem tudo está perdido. Suponha que façamos o número de partições de [ti , tf ] arbitrariamente grande e, ao mesmo tempo, que o tamanho de qualquer dessas partições se torne arbitrariamente pequeno. Isso significa que o tamanho de um ℘n qualquer cresce indefinidamente (n se torna arbitrariamente grande) e que tj+1 − tj ≤ δt para qualquer [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , onde δt é um número positivo que pode ser feito tão pequeno quanto se queira. Então, no limite n → ∞ e tj+1 − tj ≤ δt → 0 para qualquer [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , a desigualdade dada em (2.18) se torna numa igualdade, isto é, s = lim n→∞ n X j=0 lim |∆xj | = lim ∆xj →0 n→∞ n X j=0 lim |fx (tj+1 ) − fx (tj )| . tj+1 →tj (2.19) Num movimento retilíneo, a distância percorrida por uma partícula num intervalo [ti , tf ] qualquer é igual a soma dos módulos de todos os deslocamentos associados a um conjunto arbitrário de partições que compõem o intervalo [ti , tf ] no limite em que o número de partições vai para infinito e o tamanho de cada partição vai para zero. 2.4.2 Velocidade média Até aqui nossa discussão sobre o movimento se baseou unicamente na obtenção da posição x da partícula para um dado instante de tempo t ou, em outra palavras, no conhecimento da função-movimento da partícula. De fato, de acordo com a definição de movimento dada nas seções 2.2.4 e 2.3.1, conhecer a função-movimento é conhecer o movimento. Toda a informação possível que se pode obter sobre o movimento está contida na função-movimento. Contudo, vimos que é útil buscarmos Capítulo 2 – Cinemática 42 construir algumas grandezas a partir das funções-movimento que auxilam na compreensão do movimento. Uma outra razão (e a mais importante) é que essas grandezas auxiliares são fundamentais para a obtenção das funções-movimento a partir da Leis da Mecânica, pois estas últimas são afirmações sobre a natureza que utilizam grandezas derivadas das funções-movimento e não as próprias funções-movimento. A primeira dessas grandezas, que definimos na seção anterior, é o deslocamento da partícula num dado intervalo do movimento. Vimos que o deslocamento nos fornece uma informação global do movimento da partícula no intervalo de interesse: a variação da posição da partícula (distância entre as posições inicial e final) e o sentido dessa variação (se no sentido positivo ou negativo do eixo coordenado). Há portanto uma infinidade de funções-movimento que para um dado intervalo [ti , tf ] fornecem o mesmo deslocamento, o que implica que o deslocamento por si só não permite discriminar que movimento a partícula realiza. Pode ocorrer também que tenhamos um mesmo deslocamento para vários intervalos diferentes. Isso sujere que busquemos outras quantidades derivadas das funções-movimento que, juntamente com o deslocamento, auxiliem numa descrição mais detalhada do movimento. Com esse fim, definamos a velocidade média de uma partícula num dado intervalo. Considere um intervalo de tempo [t1 , t2 ] com t2 > t1 . Chamamos de duração ∆t do intervalo à diferença ∆t = t2 − t1 . Seja x1 a posição da partícula no instante t1 e x2 a posição da partícula no instante t2 . Então o deslocamento da partícula no intervalo [t1 , t2 ] é ∆x = x2 − x1 = fx (t2 ) − fx (t1 ) . Chamamos de velocidade média da partícula no intervalo [t1 , t2 ] à razão entre o deslocamento da partícula nesse intervalo e a duração do intervalo, isto é, vx = ∆x fx (t2 ) − fx (t1 ) = . ∆t t2 − t1 (2.20) A letra v significa “velocidade”, a barra sobre o v significa “média” e o sub-índice “x” indica que o movimento se dá sobre o eixo OX. Sendo a velocidade média a razão entre um deslocamento e a duração desse deslocamento, a unidade de velocidade média é, naturalmente, a razão entre unidades de comprimento e unidades de tempo. Se usamos o metro (m) para comprimento e o segundo (s) para tempo, a velocidade média será medida em m/s. Uma vez que a duração é positiva (já que t2 > t1 ), o sinal da velocidade média é o mesmo do deslocamento da partícula no intervalo de interesse. A velocidade média é positiva se o deslocamento no intervalo de interesse ocorre no sentido positivo do eixo OX; é negativa se o deslocamento ocorre no sentido negativo do eixo OX e é nula se o deslocamento for nulo nesse intervalo. Do mesmo modo que o deslocamento, a velocidade média nos dá apenas uma informação global sobre o movimento da partícula. Isso significa que, se conhecemos apenas o deslocamento da partícula num dado intervalo, e por conseguinte a velocidade média nesse intervalo, não podemos saber que movimento a partícula Capítulo 2 – Cinemática 43 realizou durante o intervalo em questão, ou seja, não temos como obter a funçãomovimento da partícula. Pode-se perguntar então qual a utilidade de se definir a velocidade média de uma partícula num dado intervalo se, aparentemente, ela não fornece informações melhores que as fornecidas pelo deslocamento nesse intervalo. Na verdade, o fato de a velocidade média ser definida como a razão entre o deslocamento e a duração dá expressão (mesmo que de modo impreciso) à noção intuitiva de rapidez. Como exemplo, consideremos mais uma vez a distância entre Natal e Fortaleza, que é cerca de 520 km. Se uma pessoa fizer uma viagem de carro entre as duas cidades gastará cerca de 6,5 h, enquanto se fizer a mesma viagem de avião gastará aproximadamente 50 min. O deslocamento nos dois casos é o mesmo, mas a duração do deslocamento não. A velocidade média da pessoa viajando de carro é 520 km/6,5 h≈ 80 km/h, enquanto a velocidade média da pessoa viajando de avião é 520 km/50 min≈ 620 km/h. Dizemos então que o avião se moveu mais rapidamente que o carro, pois sua velocidade média é maior que a velocidade média do carro. No exemplo aqui apresentado essa afirmação é uma boa expressão da realidade porque sabemos que um avião, devido a sua natureza, se move bem mais rapidademente que um carro, bem como sabemos qual a distância total percorrida por cada veículo. Se, contudo, o avião fizer o percurso entre Natal e Fortaleza 11 vezes (indo e voltando), o deslocamento final do avião será o mesmo enquanto a duração do movimento (desprezando-se o tempo que o avião permanece em solo) será 11×50 min= 550 min≈ 9,2 h, de modo que sua velocidade média será 520 km/9,2 h≈ 57 km/h, que é menor que a velocidade média de um carro que faz o percurso apenas uma vez. Se dispuzéssemos apenas das velocidades médias, sem saber qual a distância total percorrida em cada caso, não poderíamos dizer que o primeiro veículo (cuja velocidade média foi ≈ 80 km/h) se moveu mais rapidamente que o segundo (cuja velocidade média foi ≈ 57 km/h). Neste caso, a velocidade média não dá uma informação correta da rapidez com que uma partícula realiza seu movimento pois, como o deslocamento, não permite distinguir exatamente o que a partícula faz durante o seu deslocamento. Mesmo assim, a velocidade média é um conceito muito útil, pois a partir dele poderemos definir, mais tarde, o conceito de velocidade instantânea que, esse sim, leva em conta todos os detalhes de um dado movimento e dá um significado preciso para o conceito intuitivo de rapidez (contudo, veremos como fazer isso usando apenas o conceito de velocidade média no caso particular do movimento retilíneo uniforme). Na verdade, a velocidade instantânea vai bem mais além pois, como veremos mais tarde, ela não só define a rapidez com que uma partícula realiza um movimento mas também a própria trajetória da partícula. Movimento retilíneo uniforme (MRU) Dissemos anteriormente que o conhecimento da velocidade média num dado intervalo, por si só, em geral não permite descobrir qual a função-movimento da partícula nesse intervalo. Contudo, existe um único tipo de movimento que pode ser perfeitamente descrito com o conceito de velocidade média: o movimento retilíneo uniforme. Capítulo 2 – Cinemática 44 Considere um intervalo qualquer [t1 , t2 ] com t2 > t1 . A velocidade média da partícula nesse intervalo é dada pela Equação (2.20). Definimos um movimento retilíneo uniforme (MRU) como aquele no qual, qualquer que seja o intervalo [t1 , t2 ], a velocidade média tem sempre o mesmo valor v x ≡ v. De (2.20), portanto, temos v= x2 − x1 , t2 − t1 (2.21) onde x2 = fx (t2 ) e x1 = fx (t1 ) são as posições da partícula nos tempos t2 e t1 , respectivamente. Como o resultado anterior é válido para qualquer intervalo, consideremos o intervalo no qual o instante inicial é t1 = 0 e o instante final é t2 = t. Fazendo x = fx (t) e x0 = fx (0), a Equação (2.62) toma a forma v= x − x0 =⇒ x = x0 + vt , t−0 (2.22) onde x é a posição da partícula no tempo t e x0 é a posição da partícula em t1 = 0. x0 é também chamada de posição inicial da partícula. A Equação (2.22) nada mais é que a função-movimento de uma partícula que realiza um MRU com velocidade média v. fx (t) = x0 + vt . (2.23) Com ela nós podemos obter qualquer informação possível que desejarmos sobre o MRU por ela descrito. Vejamos primeiramente o caso em que v = 0. Da funçãomovimento dada em (2.23), temos x = x0 + 0 × t = x0 para qualquer instante t, isto é, a partícula permanece em repouso na posição x0 durante todo o intervalo [0, t] para qualquer t > 0. Embora esse resultado seja trivial para o MRU, não o é para movimentos mais gerais, já que o fato de a velocidade média ser nula num dado intervalo não implica necessariamente que a partícula tenha permanecido em repouso durante esse intervalo. Consideremos agora uma velocidade média positiva: v > 0. Nesse caso, usando a Equação (2.23), o deslocamento em qualquer intervalo [t1 , t2 ] é dado por ∆x = fx (t2 ) − fx (t1 ) = x2 − x1 = v (t2 − t1 ) . Como t2 − t1 > 0 e v > 0, decorre do resultado anterior que o deslocamento num intervalo qualquer de um MRU é sempre positivo, ou seja, a partícula sempre se move no sentido positivo do eixo OX quando v > 0. Resultado análogo ocorre para v < 0: a partícula sempre se move no sentido negativo do eixo OX quando v < 0. Esses resultados podem ser resumidos na seguinte afirmação: todos os deslocamentos num dado MRU têm o mesmo sentido (positivo ou negativo) ou, dito de outro modo, em qualquer MRU a partícula jamais inverte o sentido de seu movimento. Uma decorrência importante dessa afirmação é que, uma vez que no MRU os deslocamentos nunca mudam de sentido, a distância total que a partícula percorre num dado intervalo é sempre igual ao módulo do deslocamento nesse intervalo. Portanto, para o MRU, a desigualdade em (2.18) se torna numa igualdade, isto é, s= n X j=0 |∆xj | = n X j=0 |fx (tj+1 ) − fx (tj )| (2.24) Capítulo 2 – Cinemática 45 para qualquer conjunto ℘n de partições de um intervalo [ti , tf ] qualquer. Usando a função-movimento (2.23) e o fato de que tf > ti , a Equação anterior leva a s = |v| (tf − ti ) . (2.25) É importante frisar que não é só ao MRU que a Equação (2.24) se aplica. Em verdade, ela é válida para qualquer movimento retilíneo onde os deslocamentos não mudam de sinal no intervalo de interesse. Como exemplo, consideremos o movimento retilíneo descrito pela função-movimento fx (t) = at3 , (2.26) onde a é uma constante positiva. É evidente que este movimento não se trata de um MRU, pois a função-movimento que o descreve é diferente da função-movimento do MRU dada pela Equação (2.23). O deslocamento no intervalo [t1 , t2 ] é
∆x = fx (t2 ) − fx (t1 ) = a t32 − t31 . Como t2 > t1 , o deslocamento dado pela Equação anterior é sempre positivo, qualquer que seja o intervalo [t1 , t2 ] e, portanto, a Equação (2.24) é valida para um movimento descrito pela função-movimento dada pela Equação (2.26). Continuando nossa discussão do MRU, consideremos dois intervalos diferentes, [t1 , t2 ] e [t01 , t02 ], que possuem a mesma duração: t2 − t1 = t02 − t01 . Da funçãomovimento (2.23) ou, o que é equivalente, do fato de que a velocidade média num MRU independe do intervalo considerado, temos x2 − x1 x02 − x01 = , 0 0 t2 − t1 t2 − t1 onde x02 − x01 é o deslocamento da partícula no intervalo [t01 , t02 ] e x2 − x1 é o deslocamento no intervalo [t1 , t2 ]. Como consideramos intervalos de durações iguais, a Equação anterior leva a x02 − x01 = x2 − x1 . (2.27) Desse resultado concluímos que, em intervalos de mesma duração a partícula em MRU percorre distâncias iguais. Esta propriedade costuma ser enunciada na seguinte forma: no MRU a partícula percorre distâncias iguais em tempos iguais (“tempos” aqui significa durações de intervalos). Esta afirmação é, frequentemente, enunciada como uma definição para o MRU. Finalizemos esse estudo do MRU comparando dois movimentos retilíneos uniformes com diferentes velocidades médias. A título de simplificação suporemos que ambas as velocidades sejam positivas, sem perda de generalidade. Sejam os movimentos das duas partículas dadas pelas funções-movimento x = x0 + vt e x0 = x00 + v 0 t , (2.28) com a condição de que v0 > v . (2.29) Capítulo 2 – Cinemática 46 Considerando um dado intervalo [t1 , t2 ], podemos comparar os deslocamentos sofridos por cada partícula nesse intervalo. Das Equações (2.28) e (2.29), temos x02 − x01 v 0 (t2 − t1 ) v0 = = > 1, x2 − x1 v (t2 − t1 ) v de onde concluímos que a partícula de maior velocidade média sofre o maior deslocamento. Como estamos tratando de movimentos retilíneos uniformes, podemos afirmar que a partícula com maior velocidade média percorre uma maior distância, de onde decorre que, a distância percorrida por uma partícula em MRU num dado intervalo é tanto maior quanto maior for sua velocidade média. Comparemos agora o tempo gasto para cada partícula percorrer a mesma distância, ou seja, as durações dos intervalos [t01 , t02 ] e [t1 , t2 ] para os quais os deslocamentos x02 − x01 e x2 − x1 são os mesmos. Usando novamente as Equações (2.28) e (2.29), temos v t02 − t01 = 0 < 1. t2 − t1 v Dessa Equação concluímos que: no MRU, o tempo gasto para uma partícula percorrer uma dada distância é tanto maior quanto menor for sua velocidade média. Essas duas propriedades elementares do MRU é que dão fundamento à noção intuitiva de rapidez. O MRU mais rápido é aquele no qual se percorre a maior distância num dado intervalo de tempo, ou no qual de demora menos tempo para percorrer uma dada distância. Pela análise que fizemos acima, fica claro que o MRU mais rápido é aquele com maior velocidade média e, portanto, o conceito de velocidade média é suficiente para caracterizar a rapidez de um MRU. Para caracterizar a rapidez de quaisquer tipos de movimento é necessário um conceito mais poderoso, ao qual já nos referimos antes: o de velocidade instantânea ou, simplesmente, velocidade. 2.4.3 Velocidade instantânea Vimos que a velocidade média da partícula num dado intervalo [ti , tf ] fornece pouca informação sobre o movimento nesse intervalo, pois existe uma infinidade de movimentos possíveis que podem levar à mesma velocidade média. Isso significa que a velocidade média não é um conceito que permita descrever o movimento com precisão, exceção feita ao MRU, que é o único movimento que pode ser perfeitamente descrito pela velocidade média. Para ilustrar esse fato num movimento retilíneo qualquer, considere o instante tm = (ti + tf )/2; este é o instante médio do intervalo [ti , tf ]. Podemos então escrever [ti , tm ] ∪ [tm , tf ] = [ti , tf ] . Considere um movimento (que chamaremos movimento A) tal que v im = v é a velocidade média no intervalo [ti , tm ] e v mf = V é a velocidade média no intervalo [tm , tf ], com V > v. Então, a velocidade média no intervalo [ti , tf ] é dada por v if = xf − xi ∆xf m + ∆xmi = , tf − ti ∆tf m + ∆tmi Capítulo 2 – Cinemática 47 onde ∆xf m = xf − xm e ∆xmi = xm − xi são os deslocamentos e ∆tf m = tf − tm e ∆tmi = tm − ti são as durações dos intervalos [tm , tf ] e [ti , tm ], respectivamente. Como tm é o ponto médio do intervalo [ti , tf ], então ∆tf m = ∆tmi = ∆t, de maneira que a velocidade média no intervalo [ti , tf ] pode ainda ser escrita como v if = V +v ∆xf m + ∆xmi v mf + v im = = . 2∆t 2 2 Consideremos agora um outro movimento (que chamaremos movimento B) no mesmo intervalo, onde v im = V e v mf = v. Para esse movimento, a velocidade média no intervalo [ti , tf ] será v if = v mf + v im v+V ∆xf m + ∆xmi = = , 2∆t 2 2 que é exatamente a mesma velocidade média do movimento A no intervalo [ti , tf ]. Isso significa que, se soubéssemos apenas a velocidade média no intervalo [ti , tf ], não poderíamos distingir o movimento A do movimento B. Porém, sabemos que os dois movimentos são diferentes porque conhecemos as velocidades médias nos intervalos menores [ti , tm ] e [tm , tf ]. No movimento A a partícula tem velocidade média menor no primeiro intervalo e velocidade média maior no segundo intervalo, enquanto no movimento B ocorre exatamente o contrário. Esse exemplo ilustra um fato importante: conhecer as velocidades médias nos vários sub-intervalos que compõem o intervalo [ti , tf ] nos dá mais informações sobre o movimento do que conhecer apenas a velocidade média no intervalo [ti , tf ]. Consideremos um conjunto ℘n de partições de [ti , tf ], como definido na seção 2.4.1. A velocidade média em cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n é dada por vj = fx (tj+1 ) − fx (tj ) ∆xj = , ∆tj tj+1 − tj (2.30) onde ∆xj = xj+1 − xj é o deslocamento da partícula durante o intervalo [tj , tj+1 ], ∆tj = tj+1 − tj é a duração desse intervalo e fx é a função-movimento da partícula. Seja Vn o conjunto de todos os v j associados a todos os intervalos [tj , tj+1 ] pertencentes a ℘n . O conjunto Vn , portanto, possui n + 1 elementos assim como ℘n e cada elemento de Vn é um número que dá a velocidade média v j num dado intervalo [tj , tj+1 ] pertencente a ℘n . Então, existe uma correspondência biunívoca entre ℘n e Vn : para cada elemento de ℘n podemos associar um, e somente um, elemento de Vn . ℘n −→ Vn [tj , tj+1 ] 7−→ v j . (2.31) Pelo que foi dito no parágrafo anterior, se conhecermos cada v j ∈ Vn para cada [tj , tj+1 ] ∈ ℘n saberemos mais sobre o movimento no intervalo [ti , tf ] e esse conhecimento melhora quanto maior for n e quanto menor for a duração ∆tj = tj+1 − tj de cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . Nesse raciocínio, se conhecemos o conjunto Vn para um dado conjunto ℘n no limite em que n → ∞ e ∆tj → 0, ∀ [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , deveremos ser capazes de distinguir um dado movimento de qualquer outro possível no intervalo [ti , tf ]. Capítulo 2 – Cinemática 48 Consideremos o instante inicial tj ≡ t de um dado intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . Se a duração desse intervalo é ∆tj ≡ ∆t, então o instante final desse intervalo será tj+1 = t + ∆t e a velocidade média associada a esse intervalo será fx (t + ∆t) − fx (t) . ∆t O que acontece com essa razão no limite em que ∆t → 0? Como a funçãomovimento fx da partícula deve ser uma função contínua de t, no limite ∆t → 0 a razão dada na Equação anterior tende a um valor que coincide com o valor da derivada da função fx no instante t. A esse valor, damos o nome de velocidade instantânea ou, simplesmente, velocidade da partícula no instante t. Simbolizando a velocidade instantânea por vx , temos vj ≡ vx = fx (t + ∆t) − fx (t) dx ∆x = lim = . ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt vx = lim (2.32) A velocidade instantânea num dado instante t mede a rapidez com que a posição da partícula varia nesse instante. Dizemos que é instantânea, porque ela é obtida como o limite do valor da velocidade média da partícula num dado intervalo quando a duração desse intervalo tende a zero. Assim como a velocidade média, a velocidade instantânea se mede em unidades de comprimento sobre unidades de tempo. No S.I., a unidade é m/s. Com o conceito de velocidade instantânea, temos uma ferramenta muito poderosa para a descrição de um movimento num dado intervalo [ti , tf ]. Para isso, contudo, precisamos conhecer o valor da velocidade instantânea em todos os pontos do intervalo [ti , tf ]. Consideremos novamente um dado conjunto ℘n de partições do intervalo [ti , tf ]. Cada elemento de ℘n é um intervalo [tj , tj+1 ] sujeito aos vínculos (2.11) e (2.12). Cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n é indexado por um número natural j, 0 ≤ j ≤ n, onde n ≥ 0 está relacionado ao número total de elementos de ℘n , que é dado por n + 1. Portanto, para cada j existe um único intervalo [tj , tj+1 ] correspondente em ℘n . Podemos também indexar um dado intervalo pertencente a ℘n por um número real, por exemplo, o instante inicial tj do intervalo [tj , tj+1 ]. Desse modo, para cada instante tj ∈ [ti , tf ] existe um único intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . Chamemos de Tn ao conjunto de todos os instantes tj ∈ [ti , tf ] associados a cada intervalo [tj , tj+1 ] de ℘n . Então, existe uma correspondência biunívoca entre os elementos de Tn e ℘n : Tn −→ ℘n tj 7−→ [tj , tj+1 ] . (2.33) De (2.31), concluímos que também existe uma correspondência biunívoca entre Tn e Vn , de modo que para cada tj ∈ Tn existe um único v j ∈ Vn , isto é, Tn −→ Vn tj 7−→ v j . (2.34) Deve-se enfatizar que a expressão (2.34) não significa que exista uma velocidade média v j para um dado instante tj , pois isso não faria sentido uma vez que a velocidade média só pode ser definida num dado intervalo. (2.34) significa que existe Capítulo 2 – Cinemática 49 um, e somente um, valor para a velocidade média v j ∈ Vn associada ao intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n indexado pelo elemento tj ∈ Tn . Tomemos agora o limite em que n se torna arbitrariamente grande ao mesmo tempo que a duração ∆tj de cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n se aproxima de zero. Isso significa que os extremos tj e tj+1 do intervalo [tj , tj+1 ] se aproximam idefinidamente um do outro de modo que, no limite, tj+1 → tj para qualquer 0 ≤ j ≤ n, com n → ∞. De (2.33) temos que, no limite, o conjunto Tn se torna um conjunto denso2 onde cada elemento está em correspondência biunívoca com os pontos do intervalo [ti , tf ], ou seja, lim Tn −→ [ti , tf ] tj 7−→ t . n→∞ (2.35) Naturalmente, em (2.35) está implícito que a duração de cada intervalo [tj , tj+1 ] se anula quando n → ∞, isto é, ∆tj → 0 ∀ [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . O que acontece com o conjunto Vn nesse limite? Como a duração de cada intervalo [tj , tj+1 ] pertencente a ℘n tende a zero, cada elemento v j pertencente Vn e associado a cada intervalo [tj , tj+1 ] de ℘n e, por sua vez, a cada elemento tj pertencente a Tn , tende à velocidade instantânea no instante tj . Como, no limite, Tn se torna um conjunto denso segundo (2.35), por (2.34) Vn também se torna um conjunto denso onde cada elemento está em correspondência biunívoca com um elemento do conjunto dos números reais <, uma vez que a velocidade instantânea da partícula pode assumir qualquer valor real. Portanto, lim Vn −→ < v j 7−→ vx . n→∞ (2.36) Combinando (2.34), (2.35) e (2.36), podemos escrever [ti , tf ] −→ < t 7−→ vx . (2.37) O resultado anterior implica que deve existir uma função contínua cujo domínio é o intervalo [ti , tf ] e cujo contradomínio é o conjunto dos números reais que, a cada instante de tempo t associa um único único valor para a velocidade instantânea da partícula. A essa função chamaremos de função-velocidade, por analogia à função-movimento que, a cada instante t, associa um único valor para a posição da partícula. Simbolizando a função-velocidade por f˙x , podemos escrever vx = f˙x (t) . (2.38) Como vimos na seção 2.3.1, para que possamos descrever completamente o movimento de uma partícula num dado intervalo de tempo é suficiente conhecer a função-movimento da partícula nesse intervalo. Para o movimento retilíneo sobre o eixo OX isso implica que a posição x da partícula é dada por x = fx (t) . 2 (2.39) Dizemos que um conjunto é denso quando se pode estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e subconjunto qualquer desse conjunto. Capítulo 2 – Cinemática 50 Uma vez conhecida fx tem-se toda a informação possível sobre o movimento, o que inclue o valor da velocidade instantânea da partícula em qualquer instante t do intervalo de interesse. Isso significa, portanto, que a função-velocidade f˙x não pode ser uma função independente de fx , ou seja, deve-se ser capaz de obter a função-velocidade conhecendo apenas a função-movimento. De fato, este é o caso. Combinando as Equações (2.38) e (2.32), concluímos que a função-velocidade da partícula é dada pela função derivada da função-movimento, ou seja, a função que a cada instante t atribui o valor da derivada de fx nesse instante e esse valor corresponde justamente o valor da velocidade instantânea no instante t. Portanto, d fx (t + ∆t) − fx (t) = fx (t) . f˙x (t) = lim ∆t→0 ∆t dt (2.40) Para finalizar esta seção, vejamos como o deslocamento e a distância percorrida pela partícula no intervalo [ti , tf ] estão relacionados à velocidade instantânea. Consideremos novamente a Equação (2.13), que dá o deslocamento da partícula no intervalo [ti , tf ] em termos dos deslocamentos associados a cada intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . ∆x = n X ∆xj = j=0 n X (fx (tj+1 ) − fx (tj )) . (2.41) j=0 Usando a Equação (2.30), podemos escrever ∆x = n X ∆xj j=0 ∆tj ∆tj = n X v j ∆tj . (2.42) j=0 No limite em que n → ∞ e ∆tj → 0 ∀ [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , o valor da velocidade média v j no intervalo [tj , tj+1 ] se aproxima do valor da velocidade instantânea vx no instante tj = t e a duração ∆tj se torna na diferença infinitesimal (ou no diferencial) dt. Como vx no instante t é dado pela Equação (2.38), a soma anterior se torna uma integral da função-velocidade no intervalo [ti , tf ], isto é, Z tf f˙x (t)dt . (2.43) ∆x = ti Sem perda de generalidade, podemos fazer ti = 0 e tf = t. Se a posição da partícula em ti = 0 é x0 e sua posição em tf = t é x, então seu deslocamento no intervalo [0, t] é ∆x = x − x0 . Da Equação (2.43), temos então Z t x = x0 + f˙x (t0 )dt0 . (2.44) 0 Comparando esta Equação com a Equação (2.39), vemos que o lado direito de (2.44) é justamente a função-movimento da partícula em termos da sua a funçãovelocidade. Se conhecemos a função-velocidade da partícula e sua posição num instante inicial t = 0, esta Equação permite saber qual a sua posição num instante t qualquer. Perceba que o conhecimento da função-velocidade apenas não é suficiente para determinar completamente o movimento da partícula; é preciso dar uma informação a mais: a posição inicial da partícula. Capítulo 2 – Cinemática 51 Para calcularmos a distância percorrida pela partícula, consideremos novamente a Equação (2.19). s = lim n→∞ n X j=0 lim |∆xj | = lim ∆xj →0 n→∞ n X j=0 lim |fx (tj+1 ) − fx (tj )| . tj+1 →tj (2.45) Usando a Equação (2.30), temos n X n X |∆xj | s = lim ∆tj = lim lim lim |v j |∆tj , n→∞ n→∞ ∆xj →0 ∆tj ∆tj →0 j=0 j=0 (2.46) onde usamos o fato de que a duração ∆tj é um número positivo já que tj+1 > tj . Seguindo argumentação semelhante à utilizada na obtenção de (2.43), pode-se mostrar que Equação anterior é justamente a integral do módulo da função-velocidade no intervalo [ti , tf ], ou seja, Z tf ˙ f (t) (2.47) s= x dt . ti Assim, uma vez conhecida a função-velocidade da partícula num dado intervalo de interesse, as Equações (2.43) e (2.47) determinam completamente o deslocamento e a distância percorrida pela partícula nesse intervalo, respectivamente. Façamos agora uma primeira aplicação de (2.44). Consideremos um movimento cuja velocidade instantânea da partícula tem o mesmo valor em qualquer instante t: vx = v. De (2.38), temos que a função-velocidade é uma função constante cujo valor para qualquer t é v. Aplicando (2.44) temos Z t x = x0 + vdt0 = x0 + vt . (2.48) 0 Esta Equação tem exatamente a mesma forma da Equação (2.23) que dá a funçãomovimento de um MRU cuja velocidade média é v. Porém, a Equação (2.48) foi deduzida a partir da Equação (2.44), onde a constante v é a velocidade instantânea da partícula num instante qualquer do intervalo [0, t]. Então, comparando (2.23) e (2.48), concluímos que, num MRU, a velocidade instantânea em qualquer instante de um dado intervalo é igual à velocidade média nesse intervalo. O resultado (2.48) também permite que demos a seguinte definição para o movimento retilíneo uniforme: o MRU é aquele no qual a velocidade instantânea da partícula é constante. Para a distância percorrida pela partícula num intervalo [ti , tf ], a Equação (2.47) fornece Z tf s= |v|dt = |v| (tf − ti ) , ti que concorda exatamente com o resultado (2.25). 2.4.4 Aceleração Nas duas últimas seções nós definimos e exploramos os conceitos de velocidade média e velocidade instantânea. Vimos que a velocidade média mede a variação da Capítulo 2 – Cinemática 52 posição da partícula num dado intervalo de tempo, enquanto a velocidade instantânea mede a radidez com que a posição da partícula muda num dado instante de tempo. Portanto, ambos os conceitos referem-se à mudança na posição da partícula. Nesta seção, nós estudaremos conceitos semelhantes aos de velocidade média e velocidade instantânea, só que aplicados não à variação de posição e sim à variação de velocidade. Estudaremos o conceito de aceleração. No dia a dia nós frequentemente utilizamos esse conceito. Quando se diz que um carro está sendo acelerado, entendemos que o valor de sua velocidade está aumentando com o tempo. Quando, pelo contrário, se diz que um carro está sendo freado, significa que ele está desacelerando e entendemos que o valor de sua velocidade diminue com o tempo. Esta noção intuitiva de aceleração é muito próxima do conceito físico, ao qual daremos uma definição matemática precisa. Consideremos mais uma vez a função-movimento de uma partícula num movimento unidimensional. x = fx (t) . (2.49) Vimos que a velocidade instantânea da partícula é dada pela função-velocidade que, uma vez conhecida a função-movimento da partícula, é obtida por derivação desta em relação ao tempo: vx = f˙x (t) . (2.50) Consideremos um intervalo [t1 , t2 ], onde t2 > t1 . Seja vx1 a velocidade da partícula no instante t1 e vx2 sua velocidade no instante t2 . Definimos aceleração média ax no intervalo [t1 , t2 ] pela razão ax = f˙x (t2 ) − f˙x (t1 ) vx2 − vx1 = . t2 − t1 t2 − t1 (2.51) À quantidade ∆vx = vx2 − vx1 chamamos de variação da velocidade no intervalo [t1 , t2 ] e à quantidade ∆t = t2 − t1 , como já vimos, chamamos de duração do intervalo [t1 , t2 ]. Portanto, a aceleração média é a razão entre a variação da velocidade num dado intervalo e a duração desse intervalo. Vimos que a velocidade se mede em unidades de comprimento por unidades de tempo que, no S.I., é em m/s. A variação da velocidade, portanto, também se mede em m/s. Como a duração se mede em segundos, temos que a unidade de aceleração média é m/s por s, ou seja, m/s2 . Sendo a duração t2 − t1 um número positivo, a aceleração média será positiva apenas se a variação da velocidade no intervalo [t1 , t2 ] for positiva, ou seja, se a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo. Do mesmo modo, podemos afirmar que a aceleração média é negativa somente se a velocidade diminui nesse intervalo de tempo. Se a aceleração média for nula no intervalo [t1 , t2 ], podemos apenas afirmar que a velocidade no instante t1 tem exatamente o mesmo valor que a velocidade no instante t2 . Isso não significa que a velocidade da partícula tenha permanecido constante durante o intervalo [t1 , t2 ], significa apenas que, nesse caso, só com o conhecimento da aceleração média nesse intervalo não é possível saber se a velocidade mudou ou não durante o intervalo. Do mesmo modo que o deslocamento e a velocidade média, a aceleração média dá apenas uma idéia global sobre o movimento num dado intervalo. Para se Capítulo 2 – Cinemática 53 ter uma informação mais detalhada de como a velocidade varia num dado intervalo, precisamos do conceito de aceleração instantânea. Consideremos um instante t durante o movimento da partícula e sua velocidade nesse instante que, pela Equação (2.50), é dada por f˙x (t). Tomemos agora um outro instante t + ∆t, com ∆t 6= 0. A velocidade nesse instante será f˙x (t + ∆t). A variação da velocidade no intervalo [t, t + ∆t] será dada por ∆vx = f˙x (t + ∆t) − f˙x (t) , e a aceleração média nesse intervalo é ∆vx f˙x (t + ∆t) − f˙x (t) = . ∆t ∆t ax = Chamamos de aceleração instantânea da partícula no instante t ao limite da razão anterior quando ∆t tende a zero. Representando por ax a aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração), podemos escrever dvx ∆vx f˙x (t + ∆t) − f˙x (t) = lim = . ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt ax = lim (2.52) Como a aceleração média, a aceleração instantânea se mede em m/s2 . Na Equação anterior vemos que o limite dado só existirá e, portanto, a aceleração instantânea no instante t, se a função-velocidade for uma função contínua de t. Sendo este é o caso, o valor da aceleração num tempo t é dado pelo valor da derivada da funçãovelocidade nesse instante. Podemos dizer então que existe uma função de t que, para cada instante de tempo t atribui um único valor para a aceleração da partícula. A esta função, chamaremos de função-aceleração. Simbolizando a função-aceleração por f¨x , da Equação (2.52) podemos escrever d ax = f¨x (t) = f˙x (t) . dt (2.53) Vejamos agora como obter a variação de velocidade e o deslocamento da partícula num dado intervalo [ti , tf ] quando conhecemos a função-aceleração nesse intervalo. Do mesmo modo que para o deslocamento, é uma tarefa trivial mostrar que a variação da velocidade no intervalo [ti , tf ] pode ser escrita como a soma das variações da velocidade nos subintervalos menores [tj , tj+1 ] ∈ ℘n para um ℘n arbitrário (ver seção 2.4.1). Portanto ∆vx = n X ∆vj = j=0 n  X  f˙x (tj+1 ) − f˙x (tj ) , (2.54) j=0 onde ∆vj = vj+1 − vj , sendo vj+1 a velocidade da partícula no instante tj+1 e vj a sua velocidade no instante tj . Usando a definição dada em (2.51), a aceleração média para um dado inetervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n será aj = ∆vj vj+1 − vj = . ∆tj tj+1 − tj Capítulo 2 – Cinemática 54 Combinando esse resultado com a Equação (2.54), podemos escrever ∆vx = n X ∆vj j=0 ∆tj ∆tj = n X aj ∆tj . (2.55) j=0 Tomando o limite n → ∞ e ∆tj → 0, ∀ [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , a aceleração média aj tende ao valor da aceleração instantânea ax no instante tj e a soma anterior se aproxima de uma integral. Fazendo tj = t e usando a Equação (2.53), o resultado (2.55) no limite n → ∞ e ∆tj → 0 pode ser escrito como Z tf f¨x (t)dt . (2.56) ∆vx = ti A variação da velocidade instantânea da partícula num dado intervalo [ti , tf ] é igual à integral da função-aceleração nesse intervalo. Assim, conhecendo a funçãoaceleração para dado movimento, a Equação (2.56) nos permite saber qual a variação da velocidade em qualquer intervalo onde f¨x esteja definida. Tomemos agora um instante inicial ti = 0 e um instante final tf = t. Seja vx0 a velocidade da partícula no instante inicial ti = 0 e seja vx a velocidade da partícula no instante t. Logo, a variação da velocidade no intervalo [0, t] será ∆vx = vx − vx0 e, de (2.56), poderemos escrever Z t vx = vx0 + f¨x (t0 )dt0 . (2.57) 0 Este resultado afirma que, se conhecemos a função-aceleração em todo o intervalo de interesse e se também sabemos qual o valor da velocidade num dado instante inicial, sabemos determinar qual a sua velocidade em qualquer instante t posterior. Comparando a Equação anterior com a Equação (2.50), concluímos que o lado direito de (2.57) é exatamente a função-velocidade da partícula, isto é, Z t ˙ fx (t) = vx0 + f¨x (t0 )dt0 . (2.58) 0 Uma vez conhecida a função-velocidade, o deslocamento ∆x da partícula no intervalo [ti , tf ] fica completamente determinado pela Equação (2.43). Z tf ∆x = f˙x (t)dt t  Z itf  Z t 0 0 = vx0 + f¨x (t )dt dt ti 0Z Z t tf = vx0 (tf − ti ) + dt f¨x (t0 )dt0 . (2.59) ti 0 Tomando novamente o [ti , tf ] ≡ [0, t], chamemos de x0 a posição da partícula em ti = 0 e de x sua posição em tf = t. Logo, o deslocamento da partícula no intervalo [0, t] é ∆x = x − x0 , de modo que, pela Equação (2.59), temos Z t Z t0 0 x = x0 + vx0 t + dt f¨x (t00 )dt00 . (2.60) 0 0 Capítulo 2 – Cinemática 55 Este resultado mostra que, se conhecemos a posição e a velocidade da partícula num dado instante inicial, bem como sua função-aceleração no intervalo de interesse, a posição da partícula num instante posterior t fica completamente especificada. Ao par x0 e vx0 (posição e velocidade iniciais), num dado problema de Mecânica, damos o nome de condições iniciais do problema. Comparando a Equação anterior com a Equação (2.49), concluimos que o lado direito de (2.60) é justamente a função-movimento da partícula. Z t0 Z t 0 dt f¨x (t00 )dt00 . (2.61) fx (t) = x0 + vx0 t + 0 0 Já comentamos anteriormente (ver seção 2.3.1) que o objetivo fundamental da Mecânica é descobrir a função-movimento num dado problema pois, uma vez encontrada, o movimento da partícula fica completamente especificado. A Equação (2.61) é, portanto, uma solução do problema fundamental da Mecânica. Podemos enunciar essa solução da seguinte forma: se, num dado intervalo, a funçãoaceleração da partícula é conhecida, bem como as condições iniciais do problema, o movimento da partícula fica univocamente determinado nesse intervalo. A Equação (2.61) de fato fornece a classe de todos os movimentos possíveis que são compatíveis com a função-aceleração. Cada movimento dessa classe de movimentos possíveis, no entanto, é determinado pelos valores atribuídos às condições iniciais, o que significa que para cada par (x0 , vx0 ) temos um único movimento possível compatível com a função-aceleração dada. Com essa abordagem, o problema de encontrar o movimento da partícula se resume em encontrar a função-aceleração para essa partícula. Naturalmente, essa abordagem só faz sentido quando encontrar a função-aceleração é uma tarefa mais simples do que encontrar a própria função-movimento diretamente. De fato, em muitas situações importantes, é exatamente isso o que acontece. Um dos motivos para isso, é que a função-aceleração contém menos informação sobre o movimento que a função-movimento, uma vez que à primeira é necessário acrescentar ainda as condições iniciais para determinar o movimento (se assim não fosse ela seria a própria função-movimento), o que pode tornar mais fácil a tarefa de encontrá-la. O motivo principal, porém, está na estrutura da própria Mecânica. A estrutura teórica da Mecânica é composta pelas três Leis de Newton, que serão estudadas com mais detalhes ao longo deste curso de Fenômenos e Princípios da Mecânica. Por ora, basta sabermos que a lei fundamental da Dinâmica (a Segunda Lei de Newton), a partir da qual se resolve praticamente todos os problemas em Mecânica, é uma afirmação sobre a aceleração. Ela diz que, uma vez definido um referencial apropriado (pertencente a uma classe de referenciais chamados de referenciais inerciais cuja existência é determinada pela Primeira Lei de Newton), a aceleração de uma partícula é diretamente determinada pela força que sobre ela atua. Mais precisamente, ela afirma que a aceleração e a força são proporcionais entre si e que a constante de proporcionalidade é uma uma propriedade da partícula e que independe do movimento desta. Em Mecânica, a palavra força é praticamente um sinônimo de interação. Uma partícula só poderá sofrer a ação de uma força se ela possuir uma vizinhança, que é o conjunto de todas as partículas do universo que podem influenciar no movimento Capítulo 2 – Cinemática 56 da partícula em estudo. Essa influência é percebida como uma ação aceleradora sobre a partícula, ação essa a qual damos o nome de força. A uma partícula que não possui vizinhança damos o nome de partícula isolada, que é definida como uma partícula que está infinitamente distante de todas as outras do universo de maneira que nenhuma delas pode influenciar no seu movimento. Desse modo, a força sobre uma partícula isolada tem de ser nula e, por conseguinte, sua aceleração também (quando usamos um referencial inercial). Portanto, se conhecermos como a partícula interage com sua vizinhança, a Segunda Lei de Newton nos dirá qual é sua aceleração. Em geral, isso não significa que tenhamos a função-aceleração diretamente. O que a experiência mostra é que a aceleração da partícula é determinada pela sua posição e velocidade e pelas posições e velocidades das partículas da vizinhança. Isso quer dizer que a aceleração da partícula é determinada, a menos de um fator de proporcionalidade, por uma função das posições e velocidades de todas as partículas envolvidas no problema (partícula+vizinhança); a essa função daremos o nome de função-força. A função-aceleração, no entanto, é uma função do tempo somente. Naturalmente, se conhecermos as funções-movimento de todas as partículas do problema poderemos escrever a função-força como uma função apenas do tempo, de modo que ela seria a própria função-aceleração a menos de um fator constante. Contudo, se conhecermos todas as funções-movimento de todas as partículas do problema, já resolvemos o problema e não há mais necessidade de determinar a função-aceleração para calcular o movimento da partícula a partir da Equação (2.61). Felizmente, existe um conjunto de problemas importantes em Mecânica para os quais podemos encontrar a forma da função-aceleração de maneira relativamente simples, o que permite determinar o movimento da partícula usando a Equação (2.61). Um outro conjunto de problemas, também de grande importância (talvez maior), não podem ser resolvidos usando a Equação (2.61), pois embora neles se possa obter a aceleração da partícula a partir de princípios simples, não há como conhecer a função-aceleração sem que antes se resolva o problema. Para esses problemas, métodos alternativos à Equação (2.61) são necessários e, ao longo deste curso, estudaremos alguns desses métodos. Antes de encerrar esta seção, vale a pena mais um comentário. Desde que definimos a função-movimento no início da seção 2.3, vimos acrescentando outros conceitos auxiliares derivados da função-movimento: deslocamento, velocidade e aceleração médias, velocidade e aceleração instantâneas. A justificativa que demos para a introdução paulatina dessas quantidades foi que facilitariam a descrição detalhada e evidenciação de propriedades importantes do movimento em estudo. De fato, propriedades cinemáticas como rapidez, trajetória, curvatura (para movimentos em 2 ou 3 dimensões) e dinâmicas como força, energia e momento (que estudaremos mais tarde) são definidas a partir dos conceitos de posição, velocidade e aceleração. O fato de que todo problema em Mecânica (direta ou indiretamente) é resolvido a partir da Segunda Lei de Newton e de que esta é uma afirmação sobre a aceleração, mais que justifica todo o processo realizado para a sua definição. Lembrando que velocidade e aceleração são dadas pela primeira e segunda derivadas da função-movimento, respectivamente, pode-se perguntar porque não continuamos o processo que vimos realizando até aqui e definimos outras grandezas Capítulo 2 – Cinemática 57 que sejam dadas por derivadas superiores da função-movimento, como a terceira ou a quarta derivadas, por exemplo. A resposta é que estas grandezas não trariam mais nenhuma informação útil à descrição do movimento. Em verdade, elas não teriam nenhum significado físico, pois as Leis da Mecânica fazem afirmações apenas sobre a função-movimento e suas duas primeiras derivadas. Portanto, estes conceitos são os conceitos necessários e suficientes para a descrição matemática completa do movimento na Mecânica, não sendo necessário buscar outros conceitos derivados da função-movimento além dos de velocidade e aceleração. 2.4.5 Exemplos de movimentos retilíneos acelerados Nesta seção veremos alguns exemplos simples de funções-aceleração que podem ser usadas para a obtenção de funções-movimento e funções-velocidade via as Equações (2.61) e (2.58). Exemplo 2.6. O exemplo mais simples que pode ser dado corresponde, naturalmente, àquele no qual a aceleração é sempre nula em qualquer instante do intervalo de interesse, isto é: ax = 0 . Logo, a função-aceleração é sempre nula e as Equações (2.58) e (2.61) levam a vx = vx0 , x = x0 + vx0 t . (2.62) (2.63) Estas são exatamente as Equações que caracterizam um MRU com velocidade vx0 . De fato, como a aceleração é definida como a a taxa de variação da velocidade um dado instante e, uma vez que ela é sempre nula, a velocidade instantânea da partícula em qualquer instante t não pode variar, ou seja, a função-velocidade deve ser uma função constante. Como vimos anteriormente, esta é a definição de MRU: o movimento no qual a velocidade da partícula é constante. Exemplo 2.7. Consideremos agora o caso em que a aceleração é uma constante não nula, ax = a , com a 6= 0. Neste caso, a velocidade da partícula num instante t será dada por Z t vx = vx0 + adt0 = vx0 + at 0 e sua posição no instante t será Z t 0 x = x0 + vx0 t + Z t0 dt Z0 = x0 + vx0 t + 0 t adt00 0 1 at0 dt0 = x0 + vx0 t + at2 . 2 Em resumo, vx = vx0 + at , 1 x = x0 + vx0 t + at2 . 2 (2.64) (2.65) Capítulo 2 – Cinemática 58 As Equações anteriores descrevem um tipo de movimento muito importante ao qual dá-se o nome de movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Discutiremos esse movimento em mais detalhe depois. Exemplo 2.8. Seja um movimento no qual a função-aceleração é dada por ax = f¨x (t) = −a0 e−t/τ , (2.66) onde a0 é uma constante real e τ é uma constante real positiva. A velocidade da partícula é dada por Z t  u=t/τ
0 e−t /τ dt0 = vx0 − a0 τ −e−u u=0 = vx0 − a0 τ 1 − e−t/τ vx = vx0 − a0 0 e sua posição é dada por Z x = x0 + vx0 t − a0 = x0 + vx0 t − a0 τ t 0 dt 0 Z t Z t0 00 /τ e−t dt00 0  0 1 − e−t /τ dt0 0
= x0 + (vx0 − a0 τ ) t + a0 τ 2 1 − e−t/τ . Em resumo,
vx = vx0 − a0 τ 1 − e−t/τ , x = x0 + (vx0 − a0 τ ) t + a0 τ (2.67) 2 1−e −t/τ
. (2.68) Nas Equações anteriores as constantes a0 e τ são determinadas, como comentamos na seção anterior, pelo tipo de interação que a partícula possui com sua vizinhança e pelo estado de movimento da própria partícula e das partículas que compõem a vizinhança. De um modo geral, a não ser em casos especiais, não se pode atribuir valores arbitrários para essas constantes. Alterar essas constantes significa, em geral, alterar a própria vizinhança da partícula e/ou o modo como essa vizinhança interage com a partícula. Neste último caso, é mais provável que a própria função-aceleração mude de forma, o que acarretaria uma mudança na forma das funções-movimento possíveis. Já as contantes x0 e vx0 , que são as condições iniciais do problema, podem assumir, em geral, quaisquer valores arbitrários, e para cada condição inicial diferente teremos um movimento diferente. Como ilustração, os gráficos mostrados na Figura 2.8 referem-se a às funções-movimento dadas pela Equação (2.68) para duas condições iniciais diferentes. Um caso particular muito importante da função-movimento (2.68) ocorre quando a constante a0 é considerada não mais como uma constante independente, mas sim dependendo da velocidade inicial vx0 ≡ v0 da partícula da seguinte maneira: v0 . a0 = τ Nesse caso, as Equações (2.66), (2.67) e (2.68) tomam a forma v0 (2.69) ax = − e−t/τ , τ vx = v0 e−t/τ , (2.70)
−t/τ x = x0 + v0 τ 1 − e . (2.71) Figura 2.8: Funções-movimento dadas pela Equação (2.68) para diferentes condições iniciais. O gráfico em azul é da funçãomovimento com condições iniciais x0 = 0 m e vx0 = 1,0 m/s. O gráfico em vermelho é da funçãomovimento com x0 = 0 m e vx0 = 0,8 m/s. Os valores dos parâmetros a0 e τ utilizados são: a0 = 1 m/s2 e τ = 1 s. Capítulo 2 – Cinemática 59 O domínio da função-movimento neste caso é o intervalo [0, ∞]. Da Equação (2.71) vemos que a posição inicial (em t = 0) da partícula é x0 e sua posição final (em t = ∞) é x = x0 + v0 τ , de modo que o deslocamento total da partícula durante todo o movimento é ∆x = x − x0 = v0 τ . (2.72) De (2.70) concluímos que o sinal da velocidade jamais muda durante o movimento, de onde se conclui que a distância total percorrida pela partícula nesse intervalo é igual ao módulo do deslocamento da partícula, s = |v0 |τ . Observe que para que a partícula percorra essa distância é necessário esperar um tempo infinito, ou seja, apenas no limite ∆t → ∞, onde ∆t = t−0 = t é a duração do movimento, é que a partícula percorre a distância |v0 |τ , que é finita. Portanto, concluímos que a velocidade média v x = ∆x/∆t da partícula tende a zero no limite ∆t → ∞. Na prática, isso quer dizer que o deslocamento (2.72) jamais é atingido. Se considerarmos, contudo, um intervalo finito [0, t] mas com t  τ , o deslocamento total da partícula nesse intervalo será muito próximo do valor dado pela Equação (2.72). No outro limite, t  τ , podemos aproximar a aceleração no instante t por seu valor em t = 0, e as Equações (2.69), (2.70) e (2.71) assumem a forma v0 , τ v0 vx ≈ v0 − t , τ v0 x ≈ x0 + v0 t − t2 , 2τ ax ≈ − (2.73) (2.74) (2.75) que é aproximadamente um movimento retilíneo uniformemente variado com aceleração ax = −v0 /τ . Combinando as Equações (2.69) e (2.70), temos ax = − vx . τ (2.76) Assim, a aceleração da partícula num instante qualquer depende apenas do valor de sua velocidade nesse instante. A aceleração é proporcional a velocidade e seu sentido é sempre contrário ao sentido da velocidade: se a velocidade aponta no sentido positivo do eixo OX a aceleração aponta no sentido negativo do eixo OX, e vice-versa. Isso significa, portanto, que o valor do módulo da velocidade sempre diminue durante o movimento, ou seja, a partícula está sempre desacelerando e essa desaceleração é tanto maior quanto maior for o valor absoluto da velocidade. A Equação (2.76) é caracterítica do movimento de uma partícula se movento num fluido (líquido ou gás) em repouso e apenas sob a ação viscosa desse fluido. Ela contém toda a informação dinâmica sobre o movimento e, por conseguinte, leva à função-movimento (2.71). Veremos mais tarde no curso que ela representa também um dos modelos mais importantes para a descrição de sistemas onde há dissipação de energia mecânica. Capítulo 2 – Cinemática 60 Exemplo 2.9. Consideremos um movimento onde a função-aceleração é uma função oscilante do tempo dada por ax = f¨x (t) = −a0 cos (ωt + φ) , (2.77) onde a0 e φ são constante reais e ω é uma constante real positiva. Usando novamente as Equações (2.57) e (2.60), a velocidade da partícula no instante t será dada por Z t a0 cos (ωt0 + φ) dt0 = vx0 − [sen u]u=ωt+φ vx = vx0 − a0 u=0 ω 0 a0 a0 vx = vx0 + sen φ − sen (ωt + φ) ω ω e a posição é Z x = x0 + vx0 t − a0 t 0 dt Z t0 cos (ωt00 + φ) dt00 0 Z0 a0 t (sen (ωt0 + φ) − sen φ) dt0 = x0 + vx0 t − ω 0   a0 a0 = x0 + vx0 + sen φ t − 2 (cos φ − cos (ωt + φ)) , ω ω ou seja, a0 a0 sen φ − sen (ωt + φ) , ω ω  a0 a0 a0 x = x0 − 2 cos φ + vx0 + sen φ t + 2 cos (ωt + φ) . ω ω ω vx = vx0 + (2.78) (2.79) O lado direito da Equação (2.79) dá a função-movimento compatível com a funçãoaceleração (2.77). Poderíamos aqui discutir vários movimentos possíveis a partir da especificação de diferentes condições iniciais, mas deixaremos isso como exercício. Contudo, iremos discutir um caso particular de (2.79) que descreve um movimento de extrema importância para a Física. Vamos considerar o caso em que as constantes a0 e φ se relacionam às condições iniciais da seguinte forma: a0 cos φ , ω2 a0 = − sen φ . ω x0 = vx0 Neste caso, as Equações (2.77), (2.78) e (2.79) tomam a forma ax = −a0 cos (ωt + φ) , a0 vx = − sen (ωt + φ) , ω a0 x = cos (ωt + φ) . ω2 (2.80) (2.81) (2.82) A Equação (2.82) descreve um movimento oscilatório com período constante dado por T = 2π/ω e amplitude constante dada por A = a0 /ω 2 . Isso significa Capítulo 2 – Cinemática 61 que para qualquer intervalo de tempo [t1 , t2 ] de duração fixa ∆t = t2 − t1 = T a posição e a velocidade da partícula em t2 têm os mesmos valores que em t1 e que o movimento da partícula é limitado ao intervalo espacial [−A, A], ou seja, a posição x da partícula só pode assumir valores tais que x ∈ [−A, A]. Combinando as Equações (2.80) e (2.82) temos ax = −ω 2 x . (2.83) Portanto, o valor da aceleração da partícula num instante qualquer depende apenas do valor de sua posição nesse instante. A aceleração é proporcional à posição e aponta sempre para a origem do eixo OX. Tomando o sentido positivo do eixo OX da esquerda para a direita, isso quer dizer que se x > 0 a partícula se encontra à direita do ponto O e o sentido de sua aceleração é o sentido negativo do eixo OX; se x < 0 a partícula se encontra à esquerda da origem e o sentido de sua aceleração coincide com o sentido positivo do eixo OX; se x = 0 a aceleração é nula e, se nesse ponto tivermos também vx = 0, então a partícula permanecerá sempre em repouso na origem O. Dizemos então que o ponto O é um ponto de equilíbrio estável. Em Mecânica definimos os pontos de equilíbrio como aqueles para os quais a aceleração da partícula é nula, ou seja, as posições onde ax = 0. O ponto O será de equilíbrio estável se, ao colocarmos a partícula em repouso em O ela permanecer em repouso e se afastarmos a partícula do ponto O ela tender sempre a retornar a ele. Este é exatamente o caso aqui. Veremos futuramente que esta é uma caracterítica fundamental de todos os sistemas ligados, que são definidos justamente como sistemas de partículas nos quais as partículas que o compõem se movem em torno de pontos de equilíbrio estável. Esses sistemas são de longe os sistemas físicos mais importantes, pois a imensa maioria dos sistemas de interesse em Física constituem-se de sistemas ligados. A Equação (2.83) descreve o sistema ligado mais simples possível: o oscilador harmônico simples (OHS). O OHS é a base para a descrição de praticamente todos os fenômenos onde há oscilações: sistema massa-mola, música, ondas sísmicas, movimentos de corpos celestes, absorção e emissão de radiação por átomos e moléculas, etc. Sua generalidade está no fato de que para praticamente todos os sistemas ligados os movimentos das partículas nas proximidades dos pontos de equilíbrio estável podem ser modelados por osciladores harmônicos. Mais tarde, neste curso, aprenderemos mais sobre o OHS e sua aplicação a alguns fenômenos oscilatórios importantes. Movimento retilíneo uniformentente variado Considere um dado intervalo [t1 , t2 ]. Definimos o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) como aquele no qual a aceleração média ax da partícula no intervalo [t1 , t2 ] é sempre a mesma quaisquer que sejam os valores de t1 e t2 , t2 > t1 . Em particular, tomando t1 = 0 e t2 = t, da Equação (2.51) temos ax = vx − vx0 =⇒ vx = vx0 + ax t , t−0 (2.84) onde vx é a velocidade da partícula no instante t2 = t e vx0 é a velocidade da partícula no instante t1 = 0. Comparando a Equação anterior para vx com a Equação Capítulo 2 – Cinemática 62 (2.64), concluímos que a aceleração ax da partícula em qualquer instante num intervalo [t1 , t2 ] qualquer é igual à sua aceleração média ax nesse intervalo. Esta é uma outra definição para o MRUV. Note a semelhança com as definições que demos para o MRU, onde o papel lá realizado pela posição x e a velocidade vx agora é feito pela velocidade vx e a aceleração ax , respectivamente. Fazendo vx0 = v0 e ax = a, podemos escrever a função-movimento (2.65) para o MRUV como 1 x = fx (t) = x0 + v0 t + at2 . (2.85) 2 Esta é uma função polinomial de segundo grau em t. Portanto, um gráfico de x contra t é uma parábola, onde x0 é representado no gráfico como o ponto no qual a parábola corta o eixo dos x. A constante a representa a concavidade da parábola: quanto maior o valor absoluto de a mais fechada é a parábola, quanto menor mais aberta; se a for positivo, significa que a concavidade da parábola é para cima; se a for negativo, a concavidade é para baixo. O parâmetro v0 determina a posição do extremo da parábola em relação à origem do eixo dos t: se v0 /a < 0 o extremo da parábola ocorre num instante à direita do ponto t = 0 do eixo dos t (isso significa apenas que o sentido do movimento é invertido num instante posterior a t = 0); se v0 /a > 0 o extremo está à esquerda, o que significa que a inversão do movimento ocorre num instante anterior a t = 0. Isso fica claro quando olhamos a solução da Equação (2.64) para vx = 0: 0 = v0 + at0 =⇒ t0 = − v0 . a (2.86) Consideremos o caso em que v0 > 0 e a > 0. Tomemos o intervalo [−∞, t0 ]. Então a velocidade vx em qualquer instante t < t0 é negativa, pois v0 + at < v0 + at0 =⇒ vx < 0 . Logo, no intervalo [−∞, t0 ], a partícula se move no sentido negativo do eixo OX. Se agora consideramos o intervalo [t0 , ∞], para qualquer t0 < t temos v0 + at > v0 + at0 =⇒ vx > 0 , o que implica que no intervalo [t0 , ∞] a partícula se move no sentido positivo do eixo OX. Portanto, a partícula inverte o seu movimento em t = t0 . A posição da partícula em t = t0 , 1 v2 xr = x0 + v0 t0 + at20 = x0 − 0 , 2 2a (2.87) é chamado de ponto de retorno do MRUV. Na Figura 2.9 nós mostramos um gráfico de (2.85) com a > 0 e v0 < 0. Chamamos a atenção para que não se confunda o gráfico da função-movimento contra o tempo com a forma da trajetória da partícula. A trjetória da partícula em qualquer intervalo finito é sempre um segmento de reta, qualquer que seja a funçãomovimento, pois estamos tratando de uma partícula que se move apenas sobre o eixo OX. Figura 2.9: Gráfico da posição contra o tempo de um MRUV onde x0 > 0, a > 0 e v0 < 0. Capítulo 2 – Cinemática 63 Consideremos agora o deslocamento ∆x = x2 −x1 da partícula num intervalo [t1 , t2 ] de duração ∆t = t2 − t1 . De (2.85), temos
1 1 ∆x = v0 (t2 − t1 ) + a t22 − t21 = v0 ∆t + a∆t (t2 + t1 ) 2 2
∆x = v0 + at ∆t , (2.88) onde t = (t1 + t2 ) /2 é o instante médio do intervalo [t1 , t2 ]. Combinando o resultado anterior com a Equação (2.64), temos que o deslocamento da partícula que realiza um MRUV num intervalo [t1 , t2 ] é igual ao produto da velocidade instantânea no ponto médio do intervalo pela duração do intervalo. Usando ainda a Equação (2.64) temos (v0 + at1 ) + (v0 + at2 ) vx1 + vx2 = , 2 2 onde vx1 é a velocidade da partícula no instante t1 e vx2 é sua velocidade no instante t2 . Combinando este resultado com a Equação (2.88), podemos escrever v0 + at = vx = ∆x vx1 + vx2 = . ∆t 2 (2.89) Esta é uma propriedade muito importante do MRUV: a velocidade média num intervalo é igual à média aritmética das velocidades instantâneas nos extremos do intervalo. Esta propriedade é válida apenas para o MRUV e para o MRU. No caso deste último, ela é trivial uma vez que v x = vx1 = vx2 = v0 qualquer que seja o intervalo [t1 , t2 ]. Usando a Equação (2.89) podemos ainda encontrar uma relação muito útil entre o deslocamento num intervalo e as velocidades nos extremos do intervalo. A partir da Equação (2.64) pode-se mostrar que a duração ∆t do intervalo está relacionada à variação da velocidade ∆vx = vx2 − vx1 no intervalo por ∆vx = a∆t =⇒ ∆t = vx2 − vx1 . a Inserindo esse resultado em (2.89) temos ∆x = 2 vx1 + vx2 v 2 − vx1 ∆t = x2 , 2 2a de modo que 2 2 vx2 = vx1 + 2a∆x . (2.90) Esta Equação é normalmente conhecida como Equação de Torricelli. Consideremos agora a distância percorrida por uma partícula em MRUV num dado intervalo. Como discutimos anteriormente, a inversão do sentido do movimento ocorre apenas uma vez no instante t0 dado por (2.86). Isso quer dizer que para qualquer intervalo [t1 , t2 ] tal que t0 6∈ [t1 , t2 ], o sentido do movimento permanece sempre o mesmo e a distância percorrida nessse intervalo é igual ao módulo do deslocamento no intervalo. s12 = |∆x12 | = |x2 − x1 | = 2 2 |vx2 − vx1 | , 2|a| (2.91) Capítulo 2 – Cinemática 64 onde usamos a Equação (2.90). Se, contudo, o intervalo [t1 , t2 ] é tal que t1 < t0 < t2 , o sentido do movimento se inverte e a Equação (2.91) não é mais válida. Porém, nesse caso, o deslocamento no intervalo [t1 , t2 ] pode ser escrito como a soma dos deslocamentos nos intervalos [t1 , t0 ] e [t0 , t2 ], ∆x12 = ∆x10 + ∆x02 , onde ∆x02 = xr − x1 e ∆x10 = x2 − xr com xr dado por (2.87). Como já vimos, qualquer que seja o intervalo [t0 , t00 ] ⊂ [−∞, t0 ] ou [t0 , t00 ] ⊂ [t0 , ∞], não há inversão no sentido do movimento da partícula, de maneira que a distância percorrida em cada um dos intervalos [t1 , t0 ] e [t0 , t2 ] é s10 = |∆x10 | e s02 = |∆x02 | . Portanto, a distância total percorrida pela partícula no intervalo [t1 , t2 ] com t1 < t0 < t2 é simplesmente a soma das distâncias percorridas nos dois intervalos, s12 = |∆x10 | + |∆x02 | = |xr − x1 | + |x2 − xr | = 2 2 + vx1 vx2 , 2|a| (2.92) onde usamos o fato de que a velocidade da partícula é nula em x = xr . Existem muitos problemas físicos em que o movimento de uma partícula pode ser modelado por um MRUV. O mais importante deles, talvez, é problema da queda livre dos corpos. No início do século XVII Galileu (1564-1642) fez uma descoberta crucial para o nascimento e desenvolvimento da Física. Ele descobriu que todos os corpos, idependentemente de suas formas, constituição e peso, caem com a mesma aceleração nas proximidades da superfície da Terra (quando são eliminados os efeitos de resistência do ar) e que essa aceleração é constante. Se considerarmos agora o eixo OY com origem em um ponto sobre a superfície da Terra e cujo sentido positivo é para cima, a posição de uma partícula sobre esse eixo fica completamente especificada por sua coordenada y. De acordo com a descoberta de Galileu, qualquer partícula estará então sugeita à mesma aceleração dada por ay = −g , com g > 0. A quantidade g é geralmente chamada de aceleração da gravidade local porque seu valor depende das coordenadas do ponto O (origem do eixo coordenado OY ) sobre a superfície da Terra (latitude e longitude). O valor médio aceito para g sobre a superfície da Terra é g ≈ 9,807 m/s2 . A aceleração é negativa porque o movimento de queda é sempre acelerado no sentido da superfície da Terra e, portanto, no sentido negativo do eixo OY . Portanto, o movimento na direção vertical de qualquer partícula nas proximidades da superfície da Terra é um MRUV, cuja posição y é dada por 1 y = y0 + vy0 t − gt2 . 2 (2.93) Capítulo 2 – Cinemática 65 Se o ponto O está sobre a superfície, então a posição da partícula só pode assumir valores positivos ou zero, y ≥ 0. Consideremos o instante t = 0 como o instante em que o movimento inicia, de modo que qualquer instante posterior do movimento tem valor positivo, t > 0. De (2.86), t0 = vy0 , g e haverá inversão no sentido do movimento se e somente se t0 > 0, ou seja, se inicialmente a partícula se move para cima com velocidade vy0 > 0. Neste caso, de acordo com (2.87), o ponto de retorno é yr = y0 + 2 vy0 . 2g (2.94) Nesse ponto, a partícula começa a mover-se para baixo até que atinja a superfície em y = 0. O deslocamento da partícula durante o intervalo de duração ∆t = tf − t0 necessário para ir de y = yr em t = t0 para y = 0 em t = tf é ∆y = 0 − yr = −yr . De (2.90) vemos que o módulo da velocidade vy2 da partícula ao atingir o solo é dada por 2 2 vy2 = −2g∆y = 2gyr = vy0 + 2gy0 . (2.95) A variação da velocidade no intervalo [t0 , tf ] será ∆vy = vy2 − 0 = vy0 , e a duração da queda será dada por 1q 2 vy2 = vy0 + 2gy0 , ∆vy = −g∆t =⇒ ∆t = − g g onde usamos o fato de que vy2 < 0 pois a partícula está se movendo no sentido negativo de OY nesse instante. A duração total do movimento, que ocorre no intervalo [0, tf ], é então dada por q 2 vy0 + vy0 + 2gy0 tf = t0 + ∆t = , (2.96) g e a distância total percorrida no intervalo [0, tf ] é, usando a Equação (2.92), s12 2 2 2 vy0 vy2 + vy0 = = y0 + . 2g g (2.97) As Equações (2.94) a (2.97) são válidas para a descrição do lançamento vertical, quando o corpo é jogado para cima com uma velocidade inicial positiva. Para obter as Equações para a queda livre, onde a partícula é solta de uma altura y0 = h, basta fazer vy0 = 0 nas Equações anteriores. O caso em que a partícula é atirada com uma velocidade inicial para baixo será deixado como exercício. Para finalizar nossa discussão sobre o MRUV, vamos mostrar que qualquer movimento retilíneo acelerado pode ser considerado um MRUV desde que se observe o movimento durante intervalos suficientemente curtos. Capítulo 2 – Cinemática 66 Seja um dado intervalo [t1 , t2 ] durante o qual a partícula realiza um movimento descrito pela função-movimento x = fx (t), com t ∈ [t1 , t2 ]. Logo, a partícula possui uma função-velocidade e uma função-aceleração dadas por vx = f˙x (t) e ax = f¨x (t) , onde f˙x e f¨x são as funções dadas pela primeira e segunda derivadas de fx , respectivamente. Seja vx1 a velocidade da partícula em t1 = t e vx2 sua velocidade em t2 = t + ∆t, onde ∆t = t2 − t1 é a duração do intervalo. Então, a variação da velocidade ∆vx = vx2 − vx1 nesse intervalo é dada pela Equação (2.56), Z t+∆t f¨x (t0 )dt0 . (2.98) ∆vx = t Suponhamos agora que o intervalo [t1 , t2 ] seja tal que o valor da aceleração da partícula em qualquer instante desse intervalo seja praticamente o mesmo, ou seja, f¨x (t0 ) ≈ f¨x (t1 ) ≈ f¨x (t2 ) , ∀ t0 ∈ [t1 , t2 ] . Neste caso, podemos substituir o integrando em (2.98) por seu valor num instante t00 qualquer do intervalo, isto é, Z t+∆t Z t+∆t 00 0 00 ∆vx ≈ f¨x (t )dt = f¨x (t ) dt0 = f¨x (t00 )∆t (2.99) t t ∆vx = ax , =⇒ f¨x (t00 ) = a00x ≈ ∆t (2.100) onde a00x é a aceleração da partícula no instante t00 e ax é a aceleração média no intervalo [t, t + ∆t]. A Equação anterior diz que a aceleração média no intervalo em questão é aproximadamente igual à aceleração num instante qualquer do intervalo, o que implica que o movimento em questão é aproximadamente um MRUV com aceleração cujo valor no intervalo considerado é ax = f˙x (t + ∆t) − f˙x (t) ≈ f¨x (t) = ax1 . ∆t Assim, a posição x2 e a velocidade vx2 da partícula no instante t + ∆t podem ser obtidos a partir das Equações (2.64) e (2.65) se conhecemos sua posição x1 e velocidade vx1 no instante t: vx2 ≈ vx1 + ax1 ∆t , 1 x2 ≈ x1 + vx1 ∆t + ax1 (∆t)2 . 2 (2.101) (2.102) Portanto, o movimento da partícula no intervalo pode ser aproximado por um MRUV, a menos que ax ≈ 0 nesse intervalo, para o qual a partícula realizaria um MRU. Há apenas duas situações em que isso pode acontecer: se o movimento for exatamente um MRU ao longo de todo o intervalo ou se existe um extremo da função-velocidade Capítulo 2 – Cinemática 67 no interior do intervalo, isto é, se existe um t0 ∈ [t, t + ∆t] tal que f¨x (t0 ) = 0. Podemos então fazer o seguinte enunciado: qualquer movimento retilíneo num intervalo suficientemente pequeno pode ser aproximado por um MRUV com aceleração igual à aceleração ax no início do intervalo, a menos que ax ≈ 0, de onde o movimento pode ser aproximado por um MRU com velocidade igual à velocidade no instante inicial do intervalo. O critério para a escolha do tamanho adequado para duração ∆t depende de cada intervalo escolhido bem como do tipo de movimento estudado. No exemplo 2.8 da seção 4.5 vimos um caso desse tipo, em que o movimento da partícula pode ser descrito como um MRUV para instantes no intervalo [0, t] quando t  τ , como mostrado nas esquações (2.73) a (2.75). Portanto, o critério para ∆t nesse exemplo é ∆t  τ , para qualquer intervalo [t1 , t2 ]. A importância das Equações (2.101) e (2.102) está no fato de que a aceleração pode ser obtida diretamente das forças que atuam sobre a partícula quando usamos referenciais inerciais na descrição do movimento, como veremos em detalhes no estudo da Dinâmica. De um modo geral, é muito difícil obter a função-movimento exata de uma partícula num intervalo [ti , tf ] qualquer de duração ∆tif = tf − ti . Assim, se conhecemos a posição x0 e a velocidade v0 da partícula no instante inicial t0 = ti , as leis da Dinâmica (Segunda Lei de Newton) permitem sabermos qual a aceleração a0 sofrida pela partícula nesse instante desde que saibamos, naturalmente, como a partícula interage com sua vizinhança. Usando as Equações (2.101) e (2.102), podemos calcular a posição x1 e a velocidade v1 da partícula num instante t1 = ti + ∆t1 , com ∆t1  ∆tif . Sabendo x1 e v1 , podemos usar novamente a Segunda Lei de Newton para saber a aceleração a1 da partícula no instante t1 . Recorrendo novamente às Equações (2.101) e (2.102), podemos calcular a posição x2 e a velocidade v2 da partícula num instante t2 = t1 + ∆t2 , com ∆t2  ∆tif , que por sua vez permite sabermos o valor de a2 através da Segunda Lei de Newton e calcularmos as novas posição x3 e velocidade v3 num instante t3 = t2 + ∆t3 . Continuando esse procedimento até o instante tf teremos obtido um conjunto Xn = {x0 , x1 , x2 , ..., xj , ..., xn−1 , xn } de posições e Vn = {v0 , v1 , v2 , ..., vj , ..., vn−1 , vn } de velocidades da partícula em cada instante pertencente ao conjunto Tn = {ti , t1 , t2 , ..., tj , ..., tn−1 , tf }, de maneira que teremos a função-movimento e a função-velocidade da partícula por interpolação de todos os pontos de Xn e Vn em função de Tn . Essa interpolação será tanto melhor quanto maiores forem os conjuntos Xn e Vn , o que implica quanto menores forem os ∆tj = tj+1 − tj . Assim, poderemos conhecer qualquer movimento por esse procedimento, justificando ainda mais a importância do MRUV. 2.5 Movimento em duas ou três dimensões Nas seções 2 e 3 nós fomos iniciados nos conceitos fundamentais que definem e permitem a descrição completa do movimento de uma partícula: os conceitos de referencial e função-movimento. Na seção 2.4 nos dedicamos exclusivamente à descrição de movimentos cuja posição da partícula em qualquer instante de tempo (e portanto o seu movimento) fica completamente especificada quando se conhece Capítulo 2 – Cinemática 68 apenas uma coordenada, ou seja, estudamos os movimentos unidimensionais ou retilíneos. Ao longo da última seção nos dedicamos a desenvolver conceitos derivados da função-movimento, como velocidade e aceleração, que auxiliam bastante na descrição cinemática do movimento e permitem (quando referenciais apropriados são utilizados) obter a função-movimento da partícula a partir das Leis da Mecânica. Discutimos também, em detalhe, alguns tipos de movimento retilíneo de grande importância física, como o MRU e o MRUV. Nesta seção nós iremos fazer um percurso semelhante ao que fizemos na seção 2.4, só que para a descrição de movimentos no plano e no espaço, ou seja, movimentos bi e tridimensionais, que definimos (seção 2.2) como movimentos que precisam de duas e três coordenadas, respectivamente, para serem descritos. É desnecessário dizer que os movimentos em 2 e, principalmente, em 3 dimensões representam a esmagadora maioria dos movimentos encontrados na natureza. Diferentemente do que foi feito até agora, onde nos concentramos no conceito de ponto geométrico para a descrição do movimento de uma partícula, iremos utilizar um conceito matemático extremamente eficiente e poderoso para a representação de um grande número de quantidades físicas: o conceito de vetor. Definiremos então as quantidades fundamentais para a descrição do movimento de uma partícula em 2 e 3 dimensões: o vetor posição, o vetor velocidade e o vetor aceleração, e estudaremos alguns exemplos de movimentos especiais, como o lançamento de projéteis e o movimento circular. 2.5.1 Vetor posição Na seção 2 vimos como representar a posição de uma partícula em relação a um sistema de eixos coordenados OXY Z: a posição fica completamente determinada quando damos a trinca (x, y, z) de coordenadas do ponto P que representa a partícula em relação a OXY Z. Consideremos agora uma outra forma, mas totalmente equivalente, de especificar a posição do ponto P . Considere um vetor cujo módulo é igual ao comprimento do segmento de reta OP e cujo sentido é de O para P , onde O é a origem do referencial, cujas coordenadas são (0, 0, 0), e P é o ponto no espaço de coordenadas (x, y, z) que representa a partícula. Em outras palavras, ele é o vetor que liga a origem do referencial à partícula. A esse vetor, damos o nome de vetor posição. Especificando o vetor posição da partícula estamos especificando a posição da partícula (por isso ele tem o nome de vetor posição). Portanto, o vetor posição pode ser escrito em termos das cordenadas da partícula como r = (x, y, z) − (0, 0, 0) = (x, y, z) . (2.103) Nesta Equação, as coordenadas x, y e z do ponto P dão exatamente as componentes do vetor posição ao longo dos eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Aprendemos que conhecemos o movimento de uma partícula quando para qualquer instante t num dado intervalo [t1 , t2 ] nós sabemos a posição da partícula, isto é, conhecemos suas coordenadas x, y e z em relação ao referencial OXY Z. Essa afirmação nos levou diretamente ao conceito das funções-movimento, que permitem determinar cada coordenada para um dado instante t dentro do intervalo de Capítulo 2 – Cinemática 69 interesse, ou seja, x = fx (t) , y = fy (t) , z = fz (t) , (2.104) (2.105) (2.106) onde fx , fy e fz são funções contínuas de t. Combinando as Equações (2.104), (2.105) e (2.106) com a Equação (2.103), podemos escrever r = f (t) = (fx (t), fy (t), fz (t)) . (2.107) A Equação anterior dá o vetor posição da partícula para qualquer instante t do domínio das funções-movimento das coordenadas. A função f é uma função que a cada instante t fornece o vetor posição da partícula. O domínio dessa função é o mesmo das funções-movimento das coordenadas e o contra-domínio é o conjunto de todos os vetores que ligam a origem do sistema de eixos coordenados a todos os pontos do espaço. A função f consiste numa regra que especifica para cada t um único vetor cujas componentes ao longo dos eixos coordenados dão as coordenadas da partícula. Essa regra diz: cada componente do vetor posição num dado instante t é determinada pela função-movimento associada à coordenada correspondente. A função f é chamada de função-movimento vetorial. Ela tem esse nome porque seu valor para um dado t é um vetor, especificamente, o vetor posição. Já as funçõesmovimento fx , fy e fz usuais, fornecem um número para cada valor de t. Uma outra maneira de representar o vetor posição é escrevê-lo em termos dos vetores unitários com a mesma direção e sentido dos eixos coordenados. Consideremos o sistema de eixos coordenados OXY Z. Seja x ˆ um vetor unitário paralelo ao eixo coordenado OX e que aponta no sentido positivo de OX. Seja y ˆ um vetor unitário paralelo ao eixo OY e que aponta no sentido positivo de OY e seja ˆ z um 3 vetor unitário paralelo ao eixo OZ e que aponta no sentido positivo de OZ . Então, definir o sistema OXY Z, é completamente equivalente a definir esses vetores, que devem satisfazer às Equações x ˆ·x ˆ=y ˆ·y ˆ=ˆ z·ˆ z = 1, x ˆ·y ˆ=x ˆ·ˆ z=y ˆ·ˆ z = 0, x ˆ×y ˆ=ˆ z, y ˆ×ˆ z=x ˆ, ˆ z×x ˆ=y ˆ, (2.108) (2.109) (2.110) onde o símbolo “·” representa o produto escalar entre dois vetores enquanto o símbolo “×” representa o produto vetorial entre dois vetores. As Equações (2.108) e (2.109) definem o que chamamos em álgebra linear de uma base ortonormal. É uma base porque constitui-se de três vetores linearmente independentes em termos dos quais pode-se escrever quaisquer vetores no espaço tridimensional. É ortonormal porque os vetores da base são vetores de módulo unitário e perpendiculares entre si. As Equações (2.110) acrescentam uma outra propriedade à base: cada vetor da ˆ no lugar dos símbolos x Frequentemente se usa os símbolos ˆi, ˆj e k ˆ, y ˆeˆ z para se representar os vetores unitários associados aos eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Optamos por esses últimos porque seus nomes lembram diretamente os eixos coordenados aos quais fazem referência. 3 Capítulo 2 – Cinemática 70 base pode ser obtido a partir do produto vetorial dos outros dois vetores seguindo a regra da mão direita. Em termos dos vetores x ˆ, y ˆ eˆ z, o vetor posição definido pela Equação (2.103) em termos das coordenadas pode ser escrito como r = xx ˆ+yy ˆ +zˆ z. (2.111) Em termos das funções-movimento, de acordo com a Equação (2.107), podemos ainda escrever o vetor posição como r = f (t) = fx (t) x ˆ + fy (t) y ˆ + fz (t) ˆ z. (2.112) Num dado movimento, à medida que o tempo passa, as coordenadas da partícula mudam de acordo com as Equações (2.104), (2.105) e (2.106), o que significa que as componentes do vetor posição nas direções dos vetores x ˆ, y ˆeˆ z mudam segundo as mesmas Equações e que o vetor posição muda de acordo com a Equação (2.112). Como, durante o movimento, apenas as coordenadas do ponto P mudam enquanto as coordenadas de O permanecem constantes, o início do vetor posição fica fixo na origem do sistema de eixos coordenados enquanto seu ponto final (o ponto P ) vai traçando uma linha no espaço, que é justamente a trajetória da partícula. Obter a função f constitui, portanto, o problema fundamental da Mecânica pois, conhecendo-a, conhecemos a trajetória da partícula num dado intervalo de tempo. Mais que apenas a trajetória, a partir da função f podemos saber o sentido do movimento em cada ponto da trajetória e a rapidez com que o vetor r muda a cada instante, o que nos leva à definição de um outro vetor que reúne essas informações para cada ponto da trajetória: o vetor velocidade. 2.5.2 Vetor velocidade Considere que num dado instante t1 a partícula esteja num ponto P1 e no instante t2 esteja num ponto P2 de sua trajetória, com t2 > t1 . Então, os vetores posição r1 e r2 da partícula nos instantes t1 e t2 são dados por r1 = f (t1 ) = x1 x ˆ + y1 y ˆ + z1ˆ z, r2 = f (t2 ) = x2 x ˆ + y2 y ˆ + z2ˆ z, (2.113) (2.114) onde x1 = fx (t1 ), y1 = fy (t1 ) e z1 = fz (t1 ) são as coordenadas do ponto P1 no instante t1 , e equivalentemente para o ponto P2 . Definimos de vetor deslocamento ∆r no intervalo [t1 , t2 ] à diferença ∆r = r2 − r1 = ∆x x ˆ + ∆y y ˆ + ∆z ˆ z, (2.115) onde ∆x = x2 − x1 , ∆y = y2 − y1 e ∆z = z2 − z1 são as projeções do vetor deslocamento da partícula ao longo dos eixos coordenados OX, OY e OZ, respectivamente. Essas projeções têm exatamente a forma de um deslocamento num movimento unidimensional (ver Equação (2.8)), de modo que as chamaremos de deslocamentos ao longo dos eixos ou simplesmente deslocamentos. Da Equação (2.115), portanto, vemos que o vetor deslocamento da partícula no intervalo [t1 , t2 ] Capítulo 2 – Cinemática 71 é o vetor cujas componentes são os deslocamentos da partícula ao longo dos eixos coordenados nesse intervalo. Vimos na seção 2.4.1 que o deslocamento ∆x ao longo do eixo OX, por exemplo, determina a variação da coordenada x da partícula durante o intervalo considerado; que o sinal do deslocamento especifica o seu sentido em relação ao eixo e que seu módulo dá a distância entre as coordenadas da partícula nos instantes inicial e final do intervalo. O vetor deslocamento é exatamente o equivalente vetorial do deslocamento. Ele determina a variação da posição da partícula num dado intervalo e seu módulo determina a distância entre os pontos P1 e P2 que especificam as posições da partícula nos extremos do intervalo. Ele especifica também qual a direção e em que sentido esse deslocamento ocorreu. A direção é a da reta que passa pelos pontos P1 e P2 ou, em outras palavras, da reta secante à trajetória nos pontos P1 e P2 . O sentido é o que aponta de P1 para P2 . Em termos de suas componentes, o módulo do vetor deslocamento é dado por q (2.116) |∆r| = (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 , e sua direção e sentido são dados pelos ângulos diretores δx , δy e δz , que são os ângulos que o vetor deslocamento faz com cada um dos vetores unitários dos eixos coordenados e cujos cossenos são dados por cos δx = ∆y ∆z ∆x , cos δy = , cos δz = . |∆r| |∆r| |∆r| (2.117) Os cossenos dos ângulos diretores são chamados de cossenos diretores e esses cossenos podem assumir valores no intervalo [−1, 1]: valores positivos correspondem a ângulos agudos (0 ≤ δ < π/2), valores negativos correspondem a ângulos obtusos (π/2 < δ ≤ π) e um valor nulo corresponde ao ângulo reto (δ = π/2). Do mesmo modo que o deslocamento usual, o vetor deslocamento dá apenas uma informação global do movimento. Ele apenas “diz” que a partícula partiu do ponto P1 e chegou ao ponto P2 num instante posterior. Não há como saber, conhecendo apenas o vetor deslocamento, como a partícula chegou a P2 partindo de P1 . De fato, existe uma infinidade de maneiras de se ir de um ponto a outro do espaço. Como exemplo, considere uma viagem de Natal a Recife. Se rrec for a posição de Recife em relação a um dado referencial e rnat for a posição de Natal nesse mesmo referencial, nosso vetor deslocamento após a viagem será ∆r = rrec − rnat . Não importa de que maneira façamos nossa viagem de Natal a Recife. Podemos ir por João Pessoa (que é o caminho mais natural) ou podemos ir para Mossoró, depois para Fortaleza, depois para Petrolina e de lá para Recife: o deslocamento será exatamente o mesmo, ∆r = rrec − rnat . Não importa por quais cidades se passou; para o vetor deslocamento o que importa é o resultado líquido da viagem: partida de Natal e chegada em Recife. Dizemos então que, apenas com o conhecimento do vetor deslocamento num dado intervalo, não há como saber qual a funçãomovimento vetorial da partícula. Do mesmo modo que o deslocamento em uma dimensão, podemos escrever o vetor deslocamento num dado intervalo [ti , tf ] como a soma vetorial dos vetores deslocamento associados aos subintervalos menores que compõem o intervalo Capítulo 2 – Cinemática 72 [ti , tf ]. Seguindo exatamente o mesmo raciocínio realizado na seção 2.4.1 para a obtenção da Equação (2.13), podemos escrever ∆r = n X ∆rj = j=0 n X (f (tj+1 ) − f (tj )) , (2.118) j=0 onde ∆rj = rj+1 − rj = ∆xj x ˆ + ∆yj y ˆ + ∆zj ˆ z (2.119) é o vetor deslocamento da partícula no intervalo [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , sendo ℘n um conjunto arbitrário de partições do intervalo [ti , tf ] cujos elementos satisfazem às condições (2.11) e (2.12). Para a distância s percorrida pela partícula durante o intervalo [ti , tf ], pode-se mostrar que s = lim n→∞ n X j=0 lim |∆rj | = lim ∆rj →0 n→∞ n X j=0 lim |f (tj+1 ) − f (tj )| , tj+1 →tj (2.120) onde |∆rj | é calculado segundo a Equação (2.116). Note que ∆rj → 0 se e somente se ∆xj → 0, ∆yj → 0 e ∆zj → 0 simultaneamente no intervalo [tj , tj+1 ] quando tj+1 → tj , o que está garantido pela continuidade das funções-movimento fx , fy e fz . Consideremos agora o vetor velocidade média. Ele é definido com a razão entre o vetor deslocamento ∆r = r2 − r1 no intervalo [t1 , t2 ], t2 > t1 , e a duração ∆t = t2 − t1 do intervalo, v= ∆r f (t2 ) − f (t1 ) = , ∆t t2 − t1 (2.121) onde usamos as Equações (2.113) e (2.114). A partir de (2.115), podemos escrever o vetor velocidade média em termos de suas componentes como v= ∆x ∆y ∆z x ˆ+ y ˆ+ ˆ z = vx x ˆ + vy y ˆ + vz ˆ z, ∆t ∆t ∆t (2.122) onde v x , v y e v z são as velocidades médias ao longo dos eixos OX, OY e OZ, respectivamente, definidas segundo a Equação (2.20). O sentido e a direção do vetor velocidade média são os mesmos do vetor deslocamento, ou seja, eles possuem os mesmos cossenos diretores dados pelas Equações (2.117). Seu módulo q |v| ≡ v = v 2x + v 2y + v 2z mede a rapidez com que a variação da posição da partícula mudou no intervalo considerado. Consideremos novamente o exemplo da viagem entre Natal e Recife. Se fizermos a viagem de carro indo pelo caminho 1 (passando por João Pessoa), gastaremos cerca de 3,5 h para fazer um percurso de 280 km, que corresponde aproximadamente ao módulo do vetor deslocamento entre as duas cidades. Logo, o módulo do vetor velocidade média neste caso é v ≈ 280/3,5 = 80 km/h. Se, porém, escolhermos ir Capítulo 2 – Cinemática 73 pelo percurso 2 (passando por Mossoró, Fortaleza e Petrolina), o tempo de viagem será cerca de 35 h (admitindo que haja parada para descanso) enquanto o módulo do vetor deslocamento é o mesmo, 280 km. Portanto o módulo do vetor velocidade média neste caso é v ≈ 280/35 = 8,0 km/h. Logo, baseados apenas no valor da velocidade média, podemos afirmar que o deslocamento entre Natal e Recife foi realizado mais rapidamente no primeiro caso que no segundo. Contudo, do mesmo modo que o vetor deslocamento, o vetor velocidade média dá apenas uma informação global sobre o movimento. No exemplo dado, o conhecimento dos valores calculados da velocidade média apenas levariam alguém a supor que o valor mais alto (80 km/h) significa que a viagem foi muito provavelmente feita num automóvel, enquanto o segundo valor (8,0 km/h) indicaria que provavelmente a viagem foi realizada a pé ou em algum veículo de tração animal (como uma carroça). Se se dissesse que as duas viagens foram feitas no mesmo veículo, esse alguém concluiria que na segunda viagem o veículo deve ter passado muito tempo parado ou seguiu por um outro percurso muito mais longo do que o normalmente utilizado e, mesmo que lhe fosse dito que este é justamente o caso, não poderia dizer qual foi o caminho real tomado (por quais cidades passou) e como esse caminho foi percorrido (em que trechos o veículo parou, andou mais rapidamente, que direções e sentidos tomou, etc.). Portanto, apenas o conhecimento do vetor velocidade média não é suficiente para definir a trajetória da partícula e nem a rapidez com que ela é percorrida. Para isso, definiremos o vetor velocidade instantânea ou simplesmente vetor velocidade. Considere um intervalo [t1 , t2 ] ≡ [t, t + ∆t]. Então, pela definição (2.121), o vetor velocidade média da partícula nesse intervalo é dado por v= f (t + ∆t) − f (t) ∆r = . ∆t ∆t Definimos o vetor velocidade ao limite da razão anterior quanto ∆t → 0, isto é, ∆r f (t + ∆t) − f (t) dr = lim = . ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt v = lim (2.123) Devido à continuidade das funções-movimento (2.104) a (2.106), o limite ∆t → 0 implica r2 → r1 , o que significa que o ponto P2 tende a ponto P1 e que, no limite, coincidem num único ponto P cujo vetor posição é r = f (t). Portanto, a reta secante à trajetória nos pontos P1 e P2 , que define a direção do vetor velocidade média, tende à reta tangente à trajetória no ponto P quando ∆t → 0. O sentido do vetor velocidade média, como já comentamos, é o mesmo sentido do vetor deslocamento. No limite ∆t → 0, o vetor velocidade média tende ao vetor velocidade no ponto P ; seu sentido dá o sentido do movimento da partícula e seu módulo dá a rapidez com que o vetor posição varia no instante t. Como cada instante t corresponde a um ponto P da trajetória, podemos afirmar que o vetor velocidade é um vetor sempre tangente à trajetória da partícula num ponto P que mede a rapidez com que a posição da partícula varia e que indica o sentido do movimento da partícula nesse ponto. Portanto, se conhecermos o vetor velocidade para cada ponto P , o que significa saber seu valor em cada instante t do intervalo de interesse, podemos construir a trajetória da partícula nesse intervalo. Isso significa que, para cada Capítulo 2 – Cinemática 74 t deve exitir um, e apenas um, vetor velocidade v pois, se assim não fosse, não se poderia definir uma única tragetória para a partícula: se num instante t a partícula pudesse ter um vetor velocidade v0 e outro v00 , por exemplo, num instante t + ∆t ela teria dois vetores posição r0 e r00 , para ∆t suficientemente pequeno, dados por r0 ≈ r + v0 ∆t e r00 ≈ r + v00 ∆t , onde r é o vetor posição da partícula no instante t. Se v0 6= v00 então r0 6= r00 , significando que a partícula estaria ocupando duas posições diferentes no mesmo instante de tempo, o que é absurdo. Existe então uma função que para um t ∈ [t1 , t2 ] permite calcular um único v correspondente cujo domínio é o intervalo [t1 , t2 ] e cujo contradomínio é o conjunto de todos os vetores velocidade tangentes a todos os pontos de todas as curvas contínuas possíveis pertencentes ao espaço definido pelo sistema de eixos coordenados OXY Z. Da definição (2.123), vemos que essa função corresponde exatamente à função derivada da função-movimento vetorial. Representando essa função por f˙, temos, v = f˙(t) . (2.124) Em termos das componentes ao longo dos eixos coordenados, podemos escrever a Equação (2.123) como ∆y ∆z ∆x x ˆ + lim y ˆ + lim ˆ z = vx x ˆ + vy y ˆ + vz ˆ z , (2.125) ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t onde vx , vy e vz são as velocidades instantâneas definidas segundo a Equação (2.32) para cada eixo coordenado OX, OY e OZ, respectivamente. Para um dado instante t, as componentes de v são portanto obtidas a partir de suas funções-velocidade correspondentes, ou seja, v = lim vx = f˙x (t) , vy = f˙y (t) , vz = f˙z (t) . (2.126) (2.127) (2.128) Combinando as Equações (2.124) a (2.128), podemos escrever a função f˙ como f˙(t) = f˙x (t) x ˆ + f˙y (t) y ˆ + f˙z (t) ˆ z, (2.129) que é uma função que a cada valor de t (que é um número) associa um vetor cujas componentes são dadas pelas Equações (2.126) a (2.128). A essa função damos o nome de função-velocidade vetorial. O conhecimento da função-velocidade vetorial num dado intervalo [ti , tf ] é suficiente para determinar o vetor deslocamento e a distância percorrida pela partícula ao longo da trajetória durante esse intervalo. Consideremos novamente a Equação (2.118). Cada termo da soma corresponde ao vetor deslocamento num intervalo finito [tj , tj+1 ] ∈ ℘n de duração ∆tj = tj+1 − tj > 0. Dividindo e multiplicando cada parcela da soma em (2.118) por ∆tj e usando a definição (2.121), temos ∆r = n X ∆rj j=0 ∆tj ∆tj = n X j=0 vj ∆tj , (2.130) Capítulo 2 – Cinemática 75 onde vj é o vetor velocidade média da partícula no intervalo [tj , tj+1 ]. Assim como (2.118), a Equação anterior é válida para qualquer conjunto ℘n de partições do intervalo [ti , tf ]. Tomando o limite de n → ∞ e ∆tj → 0, para qualquer [tj , tj+1 ] ∈ ℘n , o vetor velocidade média vj tende ao vetor velocidade no instante tj = t e a soma anterior tende à integral do vetor velocidade (dado pela Equação (2.124)) no intervalo [ti , tf ], Z tf f˙(t)dt . ∆r = (2.131) ti Sem perda de generealidade, podemos considerar o intervalo [ti , tf ] ≡ [0, t]. Se r0 = x0 x ˆ + y0 y ˆ + z0 ˆ z é o vetor posição da partícula em ti = 0 e r = x x ˆ+ yy ˆ +zˆ z é seu vetor posição em tf = t, a Equação anterior leva a Z r = r0 + t f˙(t0 )dt0 . (2.132) 0 Esta Equação é o equivalente vetorial da Equação (2.44), que é válida para o movimento retilíneo. Comparando esse resultado com a Equação (2.112), vemos que o lado direito de (2.132) é justamente a função-movimento vetorial f da partícula em termos de sua função-velocidade vetorial f˙ e do vetor posição num instante inicial. Combinando (2.112) e (2.129), vemos que (2.132) é totalmente equivalente ao conjunto de Equações Z t f˙x (t0 )dt0 , (2.133) x = x0 + 0 Z t f˙y (t0 )dt0 , (2.134) y = y0 + 0 Z t z = z0 + f˙z (t0 )dt0 , (2.135) 0 para cada coordenada x, y e z da partícula no instante t em relação ao referencial OXY Z. Portanto, a Equação (2.132) afirma que, se conhecemos a funçãovelocidade vetorial da partícula (o que significa conhecer as três funções-velocidade f˙x , f˙y e f˙z ) e sabemos o vetor posição num dado instante inicial (o que significa conhecermos as três coordenadas x0 , y0 e z0 da partícula), seu vetor posição para qualquer t fica especificado, ou seja, conhecemos totalmente o movimento da partícula no intervalo de interesse. 2.5.3 Distância percorrida pela partícula: integral de trajetória Consideremos agora a distância s percorrida pela partícula no intervalo [ti , tf ]. Podemos escrever a Equação (2.120) como n X |∆rj | ∆tj = lim lim |vj |∆tj , n→∞ n→∞ ∆tj →0 ∆rj →0 ∆tj j=0 j=0 s = lim n X lim (2.136) Capítulo 2 – Cinemática 76 onde usamos o fato de que ∆tj > 0 ∀ [tj , tj+1 ] ∈ ℘n . A Equação anterior é justamente a integral Z tf q Z tf ˙ |f (t)|dt = f˙x2 (t) + f˙y2 (t) + f˙z2 (t) dt . (2.137) s= ti ti Logo, se conhecemos as funções-velocidade f˙x , f˙y e f˙z , a Equação anterior nos permite calcular a distância percorrida pela partícula durante o intervalo [ti , tf ]. Diferentemente do vetor deslocamento, que depende apenas das posições final e inicial, a distância percorrida depende da forma da trajetória. Isso sugere que, se conhecermos as Equações da trajetória da partícula, deveremos ser capazes de calcular a distância percorrida pela partícula durante seu movimento. Consideremos novamente as Equações (2.5) e (2.6),
y = fy fx−1 (x) ≡ Ty (x) ,
z = fz fx−1 (x) ≡ Tz (x) , (2.138) (2.139) onde fx−1 é a função inversa da função-movimento fx . Para cada ponto P da trajetória, as funções Ty e Tz fornecem as coordenadas y e z de P se conhecemos sua coordenada x. Logo, se no instante ti a coordenada da partícula em relação ao eixo OX é x = xi e no instante tf a coordenada é x = xf , o conhecimento das funções Ty e Tz no intervalo [xi , xf ] do eixo coordenado OX permite conhecer a trajetória da partícula no intervalo de tempo [ti , tf ]. Eis porque as Equações (2.138) e (2.139) são chamadas de Equações da trajetória. Realizando a diferenciação de (2.138) e (2.139), temos dy = Ty0 (x)dx , dz = Tz0 (x)dx , (2.140) (2.141) onde Ty0 e Tz0 são as funções obtidas pela derivação de Ty e Tz em relação a x. Diferenciemos também as Equações (2.104) a (2.106). dx = f˙x (t)dt , dy = f˙y (t)dt , dz = f˙z (t)dt . (2.142) (2.143) (2.144) Combinando as Equações anteriores entre si, podemos escrever as diferenciais em y e z em termos da diferencial em x, ou seja, f˙y (t) dx , (2.145) dy = f˙x (t) f˙z (t) dx . (2.146) f˙x (t) Comparando as Equações anteriores com as Equações (2.147) e (2.148) segue imediatamente que f˙y (t) Ty0 (x) ≡ , (2.147) f˙x (t) dz = Tz0 (x) ≡ f˙z (t) . f˙x (t) (2.148) Capítulo 2 – Cinemática 77 Deve-se lembrar que nas Equações anteriores x e t não são variáveis independentes, pois estão relacionadas pela Equação (2.104): x = fx (t) =⇒ t = fx−1 (x). Retornando à Equação (2.137), podemos escrever Z tf s= Z q f˙2 (t) + f˙2 (t) + f˙2 (t) dt = x y tf z ti ti " f˙y2 (t) f˙z2 (t) 1+ + f˙x2 (t) f˙x2 (t) #1/2 ˙ f (t) x dt . Combinando o resultado anterior com os resultados (2.142), (2.147) e (2.148), temos Z xf q s= 1 + Ty0 2 (x) + Tz0 2 (x) |dx| , (2.149) xi onde xi = fx (ti ) e xf = fx (tf ). A Equação anterior permite o cálculo da distância percorrida pela partícula no intervalo [ti , tf ] desde que conheçamos as funções Ty e Tz que determinam sua trajetória. Contudo, as Equações (2.138) e (2.139), e consequentemente a Equação (2.149), dependem da existência da função inversa de fx em todos os pontos do intervalo [ti , tf ] o que, em geral, não é garantido para qualquer fx . Frequentemente acontece, no entanto, de a função fx possuir uma função inversa numa parte do intervalo e uma outra no restante desse intervalo. Neste caso pode-se calcular a integral em (2.149) nos sub-intervalos separadamente, usando a função fx−1 correspondente a cada um, e depois somar os resultados para obter a distância percorrida no intervalo todo. Esse procedimento pode ser utilizado para um número arbitrário de subintervalos de [ti , tf ]. Nos problemas que abordaremos, isso sempre será possível. Agora, investiguemos melhor a Equação (2.149). Ela consiste numa integral cujo valor depende do caminho utilizado para calculá-la, ou seja, da trajetória escolhida. Para ilustrar esse fato, consideremos o caso particular em que xi = xf = x0 . Poder-se-ia ingenuamente afirmar que o resultado da integração (2.149) é sempre zero neste caso, pois como o limite inferior é igual ao limite superior de integração, qualquer que seja a função primitiva4 do integrando em (2.149) o valor da integral deve ser a diferença entre os valores da função primitiva no limites de integração, ou seja, se Z q S(x) = 1 + Ty0 2 (x) + Tz0 2 (x) dx , então Z xf =x0 q 1 + Ty0 2 (x) + Tz0 2 (x) dx = S(x0 ) − S(x0 ) = 0 . (2.150) xi =x0 Este resultado está correto, mas ele não representa a distância s percorrida pela partícula porque a integral em (2.150) é diferente da integral em (2.149) pois, em geral, dx 6= |dx|. Isso significa que, em geral, não existe uma função tal que a integral em (2.149) possa ser calculada como a diferença entre os valores dessa 4 Dizemos que uma função F (x) é a função primitiva da função f (x) se, e somente se, f (x) = F (x), onde F 0 (x) é a derivada de F (x) em relação a x. 0 Capítulo 2 – Cinemática 78 função nos extremos de integração; para calculá-la, é preciso especificar o caminho utilizado para ir de xi a xf . Vamos ilustrar isso com um exemplo. Considere uma partícula que permanece em repouso durante o intervalo [ti , tf ] ≡ [0, 2π/ω], onde ω > 0, na posição cujas coordenadas são (A, 0, 0), com A > 0. As funções-movimento da partícula nesse intervalo são x=A, y=0, z = 0, o que implica que as Equações da trajetória são dadas por Ty (x) = Tz (x) = 0 em todo o intervalo [ti , tf ] considerado. Logo Z fx (tf )=x0 |dx| = 0 , s= fx (ti )=x0 qualquer que seja o sinal de dx. Suponhamos agora que a partícula realize o movimento descrito pelas funçõesmovimento x = A cos ωt , y = A sen ωt , z = 0. (2.151) (2.152) (2.153) Por essas Equações, vê-se que o movimento da partícula ocorre apenas no plano OXY , de maneira que a posição da partícula fica completamente especificada se soubermos suas coordenadas x e y apenas. No instante t = 0 a posição da partícula é dada pelas coordenadas (A, 0) e no intante t = 2π/ω ela se encontra novamente na posição (A, 0). Qual a distância percorrida no intervalo [ti , tf ] ≡ [0, 2π/ω]? Elevando ao quadrado as Equações (2.151) e (2.152) e depois somando-as, temos √ y 2 + x2 = A2 =⇒ y = Ty(±) (x) = ± A2 − x2 . (2.154) (+) (−) Temos portanto duas funções Ty no intervalo [0, 2π/ω], Ty e Ty . A função (+) Ty corresponde ao intervalo temporal [0, π/ω], no qual a coordenada y assume (−) apenas valores positivos, enquanto a função Ty correponde ao intervalo temporal [π/ω, 2π/ω], no qual a coordenada y assume apenas valores negativos. Podemos então escrever a integral (2.149) como a soma de duas integrais: Z f (π/ω)=−A r h i x s= 0(+) 2 1 + Ty (x) |dx| + fx (0)=A Z fx (2π/ω)=A r h i2 0(−) + 1 + Ty (x) |dx| , fx (π/ω)=−A onde Ty0(±) (x) = ∓ √ x A2 − x2 (2.155) (2.156) Capítulo 2 – Cinemática 79 (±) é a derivada de Ty (x) em relação a x. A componente x da velocidade num instante t é dada por vx = f˙x (t) = −ωA sen ωt = −ωy . (2.157) Como já sabemos, o sinal de vx dá o sentido do movimento ao longo do eixo OX. Logo, a partícula sempre se move no sentido negativo do eixo OX no intervalo [0, π/ω], pois y ≥ 0 nesse intervalo, o que pela Equação (2.160) implica vx ≤ 0. Assim, qualquer deslocamento associado a qualquer sub-intervalo de [0, π/ω] é negativo, de modo que |dx| = −dx nesse intervalo. Seguindo argumentação idêntica, no intervalo [π/ω, 2π/ω] temos vx ≥ 0 o que implica |dx| = dx. Como  0(±) 2 Ty (x) ≡ Ty0 2 (x) = x2 , A2 − x2 a Equação (2.155) pode ser escrita como Z −A q Z Aq 0 2 s = − 1 + Ty (x) dx + 1 + Ty0 2 (x) dx −A Z AA q Z A dx 0 2 √ = 2 1 + Ty (x) dx = 2A . A2 − x2 −A −A (2.158) Fazendo x = A sen u, então dx = A cos u du e a integral anterior dá Z π/2 s = 2A du = 2πA . (2.159) −π/2 Este é exatamente o comprimento de uma circunferência de raio A e, de fato, a trajetória da partícula no intervalo considerado é uma circunferência de raio A centrada na origem, como se depreende da primeira Equação (2.154). Portanto, embora as posições final e inicial da partícula sejam as mesmas, vemos que a distância percorrida é igual a zero no primeiro caso (a partícula permanece em repouso) e diferente de zero no segundo caso (a partícula se move numa circunferência). Conclui-se então que a integral em (2.149), em geral, dá resultados diferentes para trajetórias diferentes, ou seja, o resultado da integração depende do caminho de integração. A essas integrais damos o nome de integrais de caminho ou integrais de trajetória. Integrais desse tipo são muito importantes em Física e a integral (2.149) é a primeira dentre muitas outras com as quais ainda teremos contato. Veremos que a grande maioria dessas integrais que têm interesse físico têm raiz num conceito fundamental da Mecânica: o conceito de trabalho de uma força, que é definido como uma integral de trajetória. No estudo da Dinâmica, ainda neste curso, voltaremos a esse assunto com mais profundidade. Antes de concluir esta seção, calculemos a distância percorrida pela partícula que segue as funções-movimento (2.151) a (2.153) usando diretamente a Equação (2.137). Para essas funções-movimento, as funções-velocidade são vx = −ωA sen ωt , Capítulo 2 – Cinemática 80 vy = ωA cos ωt , vz = 0 , de modo que no intervalo [0, 2π/ω] a distância percorrida é Z 2π/ω q s = (−ωA sen ωt)2 + (ωA cos ωt)2 + 02 dt 0Z 2π √ sen2 u + cos2 u du = 2πA , = A 0 que é exatamente o resultado que obtivemos usando a Equação (2.149) (como deveria ser) só que com um esforço muito menor. Por que então perdemos tanto tempo na Equação (2.149) ao invés de usar logo a Equação (2.137)? De fato, quando conhecemos as funções-velocidade da partícula, como é o caso aqui, não é vantajoso o uso da Equação (2.149) em detrimento da Equação (2.137). O problema está em quando não conhecemos as funções-velocidade, o que é uma situação relativamente comum. Em muitos casos é mais fácil obter as Equações da trajetória da partícula, ou seja, as funções Ty e Tz , do que encontrar suas funções-velocidade. Se conhecemos ainda alguma informação adicional, como o sentido em que ocorreu o movimento ao longo da trajetória, podemos usar (2.149) para calcular a distância percorrida. Uma outra razão para termos usado (2.149) ao invés de (2.137) é de origem didática. Calculando a distância por (2.149) utilizamos métodos comuns ao cálculo de todo tipo de integrais de caminho, o que será importante mais tarde quando encontrarmos exemplos de integrais mais importantes em Mecânica, Termodinâmica e Eletromagnetismo, que estudaremos em cursos posteriores. 2.5.4 Vetor aceleração Nesta seção vamos estudar a contrapartida vetorial da aceleração definida na seção 2.4.4 para o movimento retilíneo, ou seja, o vetor aceleração. Como o raciocínio para se chegar à sua definição é uma extensão simples do utilizado para se chegar à definição de aceleração em uma dimensão, nos restringiremos a apenas apresentar as definições de uma maneira um tanto lacônica, sem nos preocuparmos com os detalhes das deduções. Se o leitor sentir necessidade desses detalhes, poderá retornar à seção 2.4.4 e à seção 2.5.3, onde as deduções realizadas são muito semelhantes às que são utilizadas para as definições apresentadas nesta seção. Seja v1 o vetor velocidade da partícula no instante t1 e v2 o vetor velocidade da partícula no instante t2 . Definimos o vetor aceleração média no intervalo [t1 , t2 ], com t2 > t1 , pela a razão a= ∆v v2 − v1 f˙(t2 ) − f˙(t1 ) = = . ∆t t2 − t1 t2 − t1 (2.160) Em termos das componentes ao longo dos eixos coordenados OX, OY e OZ, temos ∆vx ∆vy ∆vz a= x ˆ+ y ˆ+ ˆ z = ax x ˆ + ay y ˆ + az ˆ z, (2.161) ∆t ∆t ∆t onde ax , ay e az são as acelerações médias nas direções dos eixos coordenados definidas segundo a Equação (2.51). Capítulo 2 – Cinemática 81 Fazendo o intervalo [t1 , t2 ] ≡ [t, t + ∆t] e tomanto o limite ∆t → 0, o vetor aceleração média definido pela razão dada em (2.160) tende ao vetor aceleração instantânea, ou simplesmente vetor acelaração, no instante t, isto é, f˙(t + ∆t) − f˙(t) ∆v dv = lim = . ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t dt a = lim (2.162) Da definição anterior, para cada instante t, o vetor aceleração é dado pelo valor da derivada da função-velocidade vetorial no instante t, o que significa que a = f¨(t) = f¨x (t) x ˆ + f¨y (t) y ˆ + f¨z (t) ˆ z, (2.163) onde f¨x , f¨y e f¨z são as funções-aceleração que dão dos valores das acelerações ao longo dos eixos coordenados para cada instante t, ou seja, ax = f¨x (t) , ay = f¨y (t) , az = f¨z (t) . (2.164) (2.165) (2.166) A função f¨ é chamada de função-aceleração vetorial. A partir do conhecimento da função-aceleração vetorial num dado intervalo [ti , tf ] podemos obter os vetores velocidade e posição da partícula para qualquer instante desse intervalo. Seja v0 o vetor velocidade da partícula no instante ti = 0. Então, o vetor velocidade v num instante t ∈ [ti , tf ] fica completamente determinado pela Equação Z t f¨(t0 )dt0 , v = v0 + (2.167) 0 que é a forma vetorial da Equação (2.57) obtida para o movimento retilíneo. A Equação anterior é totalmente equivalente ao conjunto de Equações Z t vx = vx0 + f¨x (t0 )dt0 , (2.168) 0 Z t vy = vy0 + f¨y (t0 )dt0 , (2.169) 0 Z t vz = vz0 + f¨z (t0 )dt0 , (2.170) 0 onde vx , vy e vz são as componentes do vetor v e vx0 , vy0 e vz0 são as componentes do vetor v0 . Se, além de v0 , conhecemos também o vetor posição r0 da partícula no instante ti = 0, podemos determinar o vetor posição r da partícula num instante t qualquer do intervalo [ti , tf ] pela Equação Z r = r0 + v0 t + t 0 Z dt 0 t0 f¨(t00 )dt00 , (2.171) 0 que é exatamente o equivalente vetorial da Equação (2.60) obtida para o movimento unidimensional. Em termos das componentes, a Equação anterior é equivalente ao Capítulo 2 – Cinemática 82 conjunto de Equações Z t 0 Z t0 dt x = x0 + vx0 t + 0 Z t y = y0 + vy0 t + dt0 0 Z t0 0 Z z = z0 + vz0 t + f¨x (t00 )dt00 , (2.172) f¨y (t00 )dt00 , (2.173) f¨z (t00 )dt00 , (2.174) 0 t 0 Z dt 0 t0 0 onde x, y e z são as componentes do vetor r e x0 , y0 e z0 são as componentes do vetor r0 . Os lados direitos das Equações (2.167) e (2.171) dão exatamente a funçãovelocidade e função-movimento vetoriais da partícula, respectivamente. Da Equação (2.171), se conhecemos a função-aceleração vetorial no intervalo de interesse bem como os vetores posição e velocidade num dado instante inicial do intervalo, então conhecemos o movimento da partícula nesse intervalo. Isso significa que, se conhecemos 6 números (as componentes dos vetores r0 e v0 ) e 3 funções do tempo (as funções-aceleração f¨x , f¨y e f¨z ) o movimento da partícula fica completamente especificado. Esses 6 números são as chamados de condições iniciais do movimento da partícula. A discussão feita na parte final da seção 2.4.4 sobre a importância da aceleração no movimento unidimensional se aplica inteiramente ao caso do vetor aceleração aqui discutido. A importância da Equação (2.171) reside no fato de que, quando é utilizado um referencial inercial qualquer para se descrever o movimento, o vetor aceleração está relacionado diretamente às interações entre a partícula e sua vizinhança por meio da Segunda Lei de Newton. Quanto às limitações da Equação (2.171), estas são as mesmas levantadas para a Equação (2.60). Embora a Segunda Lei nos dê diretamente o vetor aceleração a partir das interações entre as partículas, ela não nos dá a função-aceleração vetorial porque as interações são escritas em termos das posições e velocidades de todas as partículas do problema (partícula+vizinhança). Isso significa que o vetor aceleração obtido a partir da Segunda Lei de Newton é dado por uma função das posições e velocidades das partículas do problema e não por uma função do tempo, como é o caso da função-aceleração vetorial. Ainda assim, a Equação (2.171) pode ser utilizada para a obtenção do movimento de uma partícula em muitas situações físicas importantes em que podemos encontrar a função-aceleração vetorial. Vejamos alguns desses exemplos. Exemplo 2.10. Considere um movimento cujo vetor aceleração de dado por a = f¨(t) = a0 , (2.175) para qualquer t do intervalo de interesse, onde a0 é um vetor constante. Logo, pelas Equações (2.167) e (2.171), temos v = v0 + a0 t , (2.176) 1 r = r0 + v0 t + a0 t2 . 2 (2.177) Exploremos agora essas Equações para alguns valores do vetor a0 e para algumas condições iniciais. Capítulo 2 – Cinemática 83 1. Seja a0 o vetor nulo (a0 = 0). Então as Equações anteriores tomam a forma v = v0 , r = r0 + vt . (2.178) (2.179) Se escolhermos o eixo OX de tal modo que v = vx x ˆ e r0 = x0 x ˆ, a Equação (2.177) será idêntica ao conjunto de Equações x = x0 + vx t , y = 0, z = 0, (2.180) (2.181) (2.182) que constitui exatamente um MRU com velocidade vx constante ao longo do eixo OX. Logo, o movimento descrito pela Equação (2.177) é sempre um MRU, pois sempre é possível escolher os eixos coordenados de tal forma que a direção do vetor velocidade da partícula (que é um vetor constante) coincida com a direção do eixo OX (ou qualquer outro). 2. Consideremos agora a situação onde tanto a0 , v0 e r0 são vetores não nulos que possuem a mesma direção, por exemplo, a direção do eixo OX. Portanto, a0 = ax x ˆ, v0 = vx0 x ˆ , r 0 = x0 x ˆ e as Equações (2.176) e (2.177) podem ser resumidas a apenas suas componentes ao longo do eixo OX (as outras componentes são nulas), ou seja, vx = vx0 + ax t , 1 x = x0 + vx0 t + ax t2 , 2 (2.183) (2.184) que é um MRUV ao longo do eixo OX. 3. Consideremos agora o caso em que a0 , v0 e r0 não são mais paralelos entre si. Escolhamos o eixo OY de maneira que sua direção seja a mesma do vetor a0 e o eixo OX de tal forma que o vetor v0 esteja no plano OXY . Logo, o vetor r0 também estará no plano OXY e poderemos escrever a0 = ay y ˆ, v0 = vx0 x ˆ + vy0 y ˆ e r 0 = x0 x ˆ + y0 y ˆ, de maneira que a Equação (2.177) em termos das componentes pode ser escrita como x = x0 + vx0 t , (2.185) 1 y = y0 + vy0 t + ay t2 , 2 z = 0. (2.186) (2.187) Dessas Equações vemos que o movimento está restrito a plano OXY , e se constitui da composição de um MRU ao longo do eixo OX e de um MRUV ao longo do eixo OY . Encrevendo t em função de x na Equação (2.185) e substituindo o resultado na Equação (2.186) encontraremos a Equação da trajetória da partícula, y = Ty (x) = y0 + vy0 ay (x − x0 ) + 2 (x − x0 )2 , vx0 2vx0 (2.188) Capítulo 2 – Cinemática 84 que é a Equação de uma parábola no plano OXY . Um problema físico de grande importância no qual as Equações (2.185) a (2.188) se aplicam é o lançamento oblícuo de projéteis. Este consiste no movimento de uma partícula apenas sob a ação da gravidade nas proximidades da superfície da Terra, onde a velocidade inicial v0 da partícula faz um ângulo θ com a direção horizontal, definida pelo vetor x ˆ. Neste caso, as componentes da aceleração e da velocidade inicial da partícula são ay = −g , vx0 = v0 cos θ e vy0 = v0 sen θ , (2.189) onde v0 = |v0 |. Aplicando as Equações (2.189) à Equação (2.188), a Equação da trajetória fica y = Ty (x) = y0 + tg θ (x − x0 ) − 2v02 g (x − x0 )2 . cos2 θ (2.190) Esta Equação descreve uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo, o que implica que há um valor máximo para a coordenada y que corresponde à altura máxima y = ym que pode ser alcançada pela partícula. O ponto de altura máxima, (xm , ym ), é a solução da Equação Ty0 (xm ) = tg θ − v02 g (xm − x0 ) = 0 , cos2 θ o que leva a v02 sen 2θ , 2g v2 = y0 + 0 sen2 θ . 2g xm = x0 + (2.191) ym (2.192) A Equação (2.190) possui duas raízes, que representam os valores da coordenada x para os quais a altura da partícula é zero. As raízes x± são x± = xm ± v0 tm cos θ , onde xm e ym são dados pelas Equações (2.191) e (2.192) e r 2ym tm = g (2.193) (2.194) é o tempo de queda da partícula desde a altura máxima y = ym até a altura y = 0, quando toca o solo. Nesta afirmação fica claro que consideramos o ponto O, origem do sistema de coordenadas, num ponto sobre a superfície da Terra. Logo, apenas valores positivos de y são permitidos. Os instantes de tempo t± correspondentes às raízes x± são obtidos pela combinação das Equações (2.193) e (2.185), o que leva a t± = v0 sen θ ± tm . g (2.195) Capítulo 2 – Cinemática 85 Admitindo que o movimento se inicia no instante t = 0, a única solução aceitável da Equação anterior para y0 > 0 é t+ , pois tm > v0 | sen θ| g neste caso. Para y0 = 0 (a partícula inicialmente está à altura zero) t− = 0, o que corresponde ao instante inicial do movimento. Definimos o alcance A do projétil como o módulo do deslocamento do projétil, ao longo do eixo OX, entre os instantes t = 0 e t = t+ , ou seja, s 2 v0 2gy0 2 A = |x+ − x0 | = |cos θ| sen θ + sen θ + 2 . (2.196) g v0 Para o caso especial em que 0 < θ < π/2 e y0 = 0, o alcance da partícula toma a forma A= v02 sen 2θ . g (2.197) Deste resultado, vemos que o valor máximo do alcance é aquele para o qual sen 2θ = 1 =⇒ θ = π/4 , ou seja, o projétil terá o maior alcance possível, para uma dada velocidade v0 , quando o ângulo entre o vetor velocidade inicial e a direção horizontal (ou vertical) for de θ = 45o . Finalmente, usando a Equação (2.149), podemos calcular a distância total percorrida pela partícula em sua trajetória. Para o caso em que 0 < θ < π/2 e y0 = 0, será deixado como exercício mostrar que o comprimento total da trajetória no intervalo [0, t+ ], com t+ definido pela Equação (2.195), é dado por  v02  s= sen θ + cos2 θ ln (tg θ + sec θ) . g (2.198) Na Figura 2.10 mostramos os gráficos do alcance A e a distância s dados pelas Equações (2.197) e (2.198), respectivamente, em função do ângulo de lançamento θ. Com os exemplos (a), (b) e (c), esgotamos todos os tipos de movimento possíveis descritos pelas Equações (2.176) e (2.177). É fácil ver que o movimento dado no exemplo (c), que contém os exemplos (a) e (b) como casos particulares, contém todas as informações dadas pela Equação (2.177) pois, uma vez que o vetor aceleração é constante, sempre podemos escolher um dos eixos coordenados de modo que sua direção coincida com a do vetor aceleração, bem como podemos escolher um dos outros dois eixos de maneira que os vetores velocidade e posição iniciais estejam no mesmo plano. Figura 2.10: O gráfico em azul mostra o alcance do projétil, dado pela Equação (2.197), e o gráfico em vermelho mostra o comprimento da trajetória dado pela Equação (2.198), ambos em função do ângulo de lançamento θ e em unidades de v02 /g. Capítulo 2 – Cinemática 86 Exemplo 2.11. Considere agora um vetor aceleração cujas componentes são dadas por ax = f¨x (t) = −a0 cos (ωt + φ) , ay = f¨y (t) = −b0 sen ωt , az = f¨z (t) = 0 , (2.199) (2.200) (2.201) onde a0 , b0 e φ são números reais e ω é um número real positivo. Usando as Equações (2.172), (2.173) e (2.174), as componentes x, y e z do vetor posição num instante t serão dadas por   a0 a0 a0 x = x0 − 2 cos φ + vx0 + sen φ t + 2 cos (ωt + φ) , (2.202) ω ω ω   b0 b0 t + 2 sen ωt , y = y0 + vy0 − (2.203) ω ω z = z0 + vz0 t . (2.204) Existem vários tipos de movimento que podem ser descritos pelas Equações anteriores, dependendo dos valores das condições iniciais e de sua relação com as constantes a0 , b0 e φ. Vejamos alguns desses movimentos. 1. Consideremos condições iniciais tais que y0 = z0 = 0 , vy0 = vz0 = 0 , b0 = 0 , a0 6= 0 , a0 a0 x0 = 2 cos φ , vx0 = − sen φ . ω ω (2.205) Neste caso, temos exatamente o movimento descrito no exemplo 2.9 da seção 2.4.5: um oscilador harmônico que oscila em torno do ponto x = 0 ao longo do eixo OX com período T = 2π/ω e amplitute A = a0 /ω 2 . 2. Consideremos as mesmas condições iniciais do exemplo (a), exceto que agora vy0 6= 0. Logo, as coordenadas num instante t serão dadas por a0 cos (ωt + φ) , ω2 y = vy0 t , z = 0. x = (2.206) (2.207) (2.208) O vetor aceleração da partícula permanece paralelo ao eixo OX mas, como agora existe uma componente não nula da velocidade ao longo do eixo OY , o movimento está restrito ao plano OY . A trajetória da partícula não é mais retilínea, como ocorre no exemplo (a), mas segue a Equação   a0 ω x = 2 cos y+φ . (2.209) ω vy0 Na Figura 2.11 mostramos a trajetória de uma partícula que segue as funções movimento (2.206) a (2.207). Figura 2.11: Trajetória de uma partícula dada pela Equação (2.209). Capítulo 2 – Cinemática 87 3. Considere os seguintes valores dos parâmetros y0 = z0 = 0 , vz0 = 0 , x0 = b0 = a0 6= 0 , a0 cos φ , ω2 vx0 b0 , vy0 = ω a0 = − sen φ . ω (2.210) Então, as componentes do vetor posição serão dadas por a0 cos (ωt + φ) , ω2 a0 sen ωt , y = ω2 z = 0. x = (2.211) (2.212) (2.213) Comparando estas Equações com as Equações (2.199) a (2.201), podemos escrever a = −ω 2 r . (2.214) Esta é a versão vetorial da Equação (2.83), que é válida para o oscilador harmônico em uma dimensão. A Equação (2.214) é a Equação do movimento de um oscilador harmônico tridimensional, que se move em torno de um ponto de equilíbrio estável que coincide com a origem O. As funçõesmovimento (2.211), (2.212) e (2.213) descrevem completamente o movimento desse oscilador no caso em que existe uma única frequência ω de oscilação. Neste caso, o oscilador é chamado de oscilador harmônico isotrópico. Embora esteja além de nossos objetivos, pode-se mostrar que qualquer sistema que obedeça à Equação (2.214) só pode descrever trajetórias num plano, de modo que podemos escolher o referencial de tal modo que o plano em que a partícula se move coincida com um dos planos coordenados. Aqui, escolhemos o plano OXY . A Equação da trajetória da partícula é x2 + y 2 + 2xy sen φ = r02 cos2 φ , (2.215) onde |a0 | . ω2 A Equação (2.215) é a Equação de uma elipse centrada na origem com semieixos A+ e A− cujos valores são dados por r0 = r0 | cos φ| A± = √ . 1 ± sen φ (2.216) Na Figura 2.12 mostramos as trajetórias para alguns valores de φ. Para φ = ±π/2 a partícula√realiza o movimento de um oscilador harmônico simples, com amplitude r0 2 e período 2π/ω, ao longo de um dos eixos bissetores aos eixos coordenados, dados pelas retas y = −x e y = x. Para quaisquer outros valores de φ a trajetória da partícula é uma elipse. Para φ = 0, a trajetória é uma circunferência. Discutiremos este caso com mais profundidade logo depois. Figura 2.12: Trajetória de uma partícula dada pela Equação (2.215). A linha azul representa uma trajetória onde a0 /ω 2 = 1 e φ = π/4. As linhas tracejadas vermelha e verde representam os casos limites onde φ = ±π/2. A linha pontilhada representa o caso φ = 0. Capítulo 2 – Cinemática 88 4. Consideremos o caso em que y0 = z0 = 0 , vz0 6= 0 , b0 = a0 6= 0 , vy0 = b0 , ω x0 = a0 , ω2 vx0 = 0 . (2.217) As funções movimento da partícula, portanto, assumem a forma a0 cos ωt , ω2 a0 sen ωt , y = ω2 z = vz0 t , x = (2.218) (2.219) (2.220) e o movimento descrito pela partícula tem exatamente o mesmo aspecto do movimento discutido no exemplo 2.5, onde a partícula realiza uma trajetória helicoidal no espaço. 2.5.5 Movimento Circular Uniforme Consideremos novamente as funções-movimento (2.211) a (2.213). Para φ = 0, vemos que a Equação (2.215) se reduz à Equação de um círculo de raio r0 . Consideremos a0 > 0. Neste caso, as componentes do vetor velocidade da partícula são vx = −ωr0 sen ωt , vy = ωr0 cos ωt , vz = 0 , (2.221) (2.222) (2.223) Para t = 0, a partícula se encontra sobre o eixo OX na posição r = r0 x ˆ com velocidade v = ωr0 y ˆ, o que significa que nesse instante a partícula se move no sentido positivo do eixo OY . Para t = π/2ω, a partícula se encontra sobre o eixo OY na posição r = r0 y ˆ com velocidade v = −ωr0 x ˆ, o que significa que nesse instante a partícula se move no sentido negativo do eixo OX. No instante t = π/ω, a partícula está novamente sobre o eixo OX só que na posição r = −r0 x ˆ com velocidade v = −ωr0 y ˆ, de modo que nesse instante ela se move no sentido negativo do eixo OY . No instante t = 3π/2ω a posição da partícula é r = −r0 y ˆe sua velocidade é v = ωr0 x ˆ, de modo que ela se move no sentido positivo do eixo OX e, enfim, no instante t = 2π/ω a partícula está na mesma posição e com a mesma velocidade que tinha no instante t = 0. Portanto, a partícula se move num círculo em sentido anti-horário para a0 > 0 (se a0 < 0, o sentido do movimento é invertido). O que dizer do módulo do vetor velocidade, v = |v|? Elevando ao quadrado as Equações (2.221) a (2.223) e depois somando-as, temos
v 2 = vx2 + vy2 + vz2 = ω 2 r02 sen2 ωt + cos2 ωt = ω 2 r02 . (2.224) Logo, o módulo do vetor velocidade é constante e dado por v = ωr0 . Isso quer dizer que a rapidez com que a partícula se move é a mesma qualquer que seja o instante de tempo considerado durante o movimento. O leitor atento deve se lembrar de um Capítulo 2 – Cinemática 89 outro movimento que tem essa mesma característica, a de rapidez constante: é o movimento retilíneo uniforme. Contudo, o movimento que estamos discutindo aqui está longe de ser um MRU, pois este é definido como um movimento no qual o vetor velocidade é um vetor constante, o que não é o caso aqui, como se pode ver pelas Equações (2.221) a (2.223). Além do mais, a trajetória do MRU é uma linha reta enquanto a do movimento em questão é uma circunferência. Se o módulo do vetor velocidade é constante neste movimento, o que está mudando então? Sabemos que um vetor é definido por três quantidades: módulo, direção e sentido. Portanto, para que um vetor mude basta que apenas uma dessas quantidades mude de valor. No caso presente, o módulo do vetor velocidade é constante, mas sua direção e seu sentido mudam constantemente com o tempo. A este movimento dá-se o nome de movimento circular uniforme (MCU), pois sua trajetória é um círculo e a radidez com que a partícula a descreve é constante. Podemos explorar essa semelhança do MCU com o MRU para obter as Equações horárias do MCU em coordenadas polares. Seja θ o ângulo que o vetor posição r faz com o vetor x ˆ no instante t. Logo, podemos escrever r = xx ˆ+yy ˆ com x = r cos θ e y = r sen θ , (2.225) e onde r = |r|. Logo, se conhecemos os números r e θ num dado instante, sabemos a posição da partícula nesse instante. r e θ são chamadas de coordenadas polares da partícula. Em termos de r e θ, podemos escrever o vetor r também como r = ru ˆr , (2.226) onde u ˆ r é um vetor unitário definido por u ˆ r = cos θ x ˆ + sen θ y ˆ. (2.227) Comparando estas Equações com as Equações (2.211) e (2.212) e considerando a0 > 0 (sentido anti-horário de rotação), podemos escrever θ = ωt . (2.228) Usando esse resultado nas Equações (2.221) a (2.223) poderemos escrever o vetor velocidade no MCU em termos de r e θ como v = ωr u ˆθ , (2.229) onde u ˆ θ é o vetor unitário definido por u ˆ θ = −sen θ x ˆ + cos θ y ˆ. (2.230) u ˆr · u ˆθ = 0 (2.231) Note que Capítulo 2 – Cinemática 90 qualquer que seja o valor de θ. Isso significa que u ˆr e u ˆ θ , além de vetores unitários, são também ortogonais. Logo, assim como os vetores x ˆey ˆ, os vetores u ˆr e u ˆθ podem ser usados como uma base em termos da qual qualquer vetor no plano OXY pode ser escrito. As Equações (2.226) e (2.229) dão o vetor posição e o vetor velocidade de uma partícula em MCU em termos das coordenadas polares r e θ ou, equivalentemente, escritos na base formada por u ˆr e u ˆ θ . Note que os módulos dos vetores r e v são os mesmos em qualquer instante t, já que r e ω são constantes no MCU, mas a direção e o sentido de cada um muda constantemente à medida que o tempo passa. Note também que, pela Equação (2.231), r e v são sempre perpendiculares entre si. Uma vez que no MCU o sentido de rotação (horário ou anti-horário) não muda, a distância percorrida pela partícula num dado intervalo [t1 , t2 ] é igual ao comprimento do arco varrido pela partícula nesse intervalo. De fato, aplicando a Equação (2.137) para o MCU no intervalo [t1 , t2 ], temos Z t2 Z t2 s= |v|dt = ωr dt = rω (t2 − t1 ) . (2.232) t1 t1 O comprimento do arco varrido pela partícula no mesmo intervalo [t1 , t2 ] é s = r∆θ = r (θ2 − θ1 ) . (2.233) Comparando (2.232) com (2.233), podemos escrever ω= θ2 − θ1 ∆θ = . ∆t t2 − t1 (2.234) Na Equação anterior, ∆θ é a variação angular no intervalo [t1 , t2 ] e ∆t é a duração do intervalo. Comparando a Equação (2.234) com a definição (2.20) para velocidade média num intervalo, vemos que elas são matematicamente idênticas, exceto que em (2.234) ∆θ faz o papel que o deslocamento ∆x realiza em (2.20). Baseados nessa analogia, chamaremos também ∆θ de deslocamento angular. À semelhança da velocidade média num movimento retilíneo, definiremos a velocidade angular média ω num intervalo como a razão entre o deslocamento angular e a duração desse intervalo, isto é, ω= ∆θ θ2 − θ1 = . ∆t t2 − t1 (2.235) Definiremos também a velocidade angular instantânea, ou simplesmente veloci˙ como o limite da razão dada em (2.235) quando ∆t tende a zero, dade angular θ, ou seja, ∆θ dθ θ˙ = lim = . (2.236) ∆t→0 ∆t dt Usando a definição de vetor velocidade dada pela Equação (2.123), temos v= dr d dθ = r0 (cos θ x ˆ + sen θ y ˆ) = r0 (−sen θ x ˆ + cos θ y ˆ) = r0 θ˙ u ˆθ , dt dt dt (2.237) Capítulo 2 – Cinemática 91 onde usamos as Equações (2.226), (2.227), (2.230) e (2.236). Comparando este resultado com a Equação (2.229), concluímos que θ˙ = ω . Combinando esta Equação com as Equações (2.235) e (2.234), poderemos definir o MCU da seguinte forma: uma partícula está em MCU no intervalo [t1 , t2 ] se ela descreve um arco de círculo nesse intervalo e sua velocidade angular num instante t ∈ [t1 , t2 ] é igual à sua velocidade angular média no intertalo, quaisquer que sejam os instantes t1 e t2 , com t2 > t1 . Fazendo t1 = 0, t2 = t e usando a Equação (2.234) temos θ = θ0 + ωt , (2.238) onde θ0 é o ângulo no instante t1 = 0 e θ é o ângulo no instante t2 = t. Esta Equação é formalmente idêntica à Equação (2.23) para uma partícula em MRU, com a diferença de que os papéis lá realizados pela posição x e velocidade v são feitos aqui pelo ângulo θ e a velocidade angular ω. Enfatizamos mais uma vez que isto não significa que os dois movimentos sejam idênticos, pois o MRU é definido como um movimento onde a aceleração da partícula é nula, enquanto o MCU é um movimento acelerado, como deixamos claro na discussão que fizemos logo após à Equação (2.224). Vejamos agora a aceleração no MCU. Como no MCU a direção e o sentido do vetor velocidade mudam com o tempo mas não o seu módulo, a partícula está sujeita à uma acelação que não tem componente na direção do vetor velocidade, ou seja, o vetor aceleração no MCU deve ser sempre perpendicular ao vetor velocidade. De fato, usando as Equações (2.214), (2.226), (2.229) e (2.231), temos a · v = 0, para qualquer instante de tempo t. Como o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória, a Equação anterior mostra que o vetor aceleração no MCU é sempre perpendicular à trajetória. O sentido do vetor aceleração é dado pela Equação (2.214). Ele é sempre contrário ao sentido do vetor posição (quando o centro do círculo coincide com a origem do sistema de coordenadas) o que implica que o vetor aceleração sempre aponta para o centro de curvatura da trajetória que, neste caso, é o centro do círculo. À aceleração que é sempre perpendicular à trajetória e que aponta sempre para o centro de curvatura da trajetória, dá-se o nome de aceleração centrípeta acp . Usando o conceito de aceleração centrípeta, podemos definir o MCU como: uma partícula está em movimento circular uniforme quando em qualquer instante de tempo seu vetor aceleração a é igual à aceleração centrípeta acp e o módulo dessa aceleração é uma constante diferente de zero. Podemos encontrar uma relação muito útil entre a aceleração centrípeta, o raio de curvatura e o módulo do vetor velocidade. Combinando as Equações (2.214) e (2.224) para o caso particular de um MCU, temos acp = −ω 2 r u ˆr = − v2 u ˆr . r (2.239) Capítulo 2 – Cinemática 92 Esta Equação, que diz que a aceleração centrípeta aponta no sentido contrário ao raio vetor, varia com o quadrado da velocidade e com o inverso do raio, pode ser considerada como a definição de aceleração centrípeta. De fato, embora tenhamos deduzido a Equação (2.239) apenas para o MCU, ela é aplicável para qualquer trajetória desde que o raio r e o vetor u ˆ r sejam escolhidos de forma apropriada. Faremos isso nesta próxima seção. 2.5.6 Aceleração centrípeta: vetor de curvatura e centro de curvatura. Qualquer que seja a trajetória da partícula, o vetor aceleração em um ponto P da trajetória pode ser escrito como a soma de dois vetores: um na direção do vetor velocidade, ao qual chamamos de aceleração tangencial at , e o outro perpendicular ao vetor velocidade, que chamamos de aceleração centrípepa acp , ou seja, a = at + acp . (2.240) Para mostrar que o resultado (2.239) é bem mais geral, consideremos apenas movimentos num plano, de maneira que o vetor posição da partícula possa ser descrito apenas em termos das coordenada polares r e θ, de acordo com a Equação (2.226). A Equação da trajetória da partícula tem então a forma r = R (θ) , (2.241) onde R é uma função de θ. O domínio de R é a reta real e o contra-domínio é o semieixo real positivo, incluindo o zero, pois a coordenada r dá a distância da partícula à origem do referencial e, portanto, tem de ser um número positivo. Por exemplo, a Equação (2.215) em coordenadas polares é r = R (θ) = r0 | cos φ| (1 + sen φ sen 2θ)1/2 . (2.242) Consideremos agora o vetor velocidade da partícula numa trajetória descrita pela Equação (2.241). Podemos sempre escrever um vetor A qualquer como o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e sentido que A. Portanto, podemos escrever o vetor velocidade v como ˙ u v = v sgn[θ] ˆv , (2.243) onde v = |v|, u ˆ v é um vetor unitário e sgn[x] = x , |x| (2.244) para x pertencente aos reais. Da Equação (2.243), se o ângulo θ entre o vetor posição da partícula e o vetor x ˆ cresce com o tempo, então θ˙ > 0 (a partícula se move no sentido anti-horário) e v = v u ˆ v ; no caso contrário, θ˙ < 0 (a partícula se move no sentido horário) e v = −v u ˆv . Capítulo 2 – Cinemática 93 Para determinar u ˆ v , consideremos novamente o vetor posição dado pela Equação (2.226). Usando a Equação (2.241), temos r = R (θ) u ˆr . (2.245) Então, o vetor velocidade é v= dr ˙ 0 (θ) u = θR ˆ r + R (θ) θ˙ u ˆ θ = rθ˙ (ˆ uθ + u ˆ r tg ξ) , dt (2.246) onde o ângulo ξ é definido de modo que tg ξ = d [ln R (θ)] . dθ (2.247) Da Equação (2.246), módulo do vetor velocidade pode ser escrito na forma ˙ sec ξ . v = r|θ| (2.248) Nesta Equação fica evidente que escolhemos o ângulo ξ de tal modo que seu cosseno seja sempre um número positivo, pois o módulo de um vetor (no caso, o vetor velocidade) não pode ser um número negativo. Logo, − π π <ξ< . 2 2 (2.249) Combinando (2.248), (2.246) e (2.243), podemos escrever u ˆv = u ˆ r sen ξ + u ˆ θ cos ξ . (2.250) Para um MCU com centro em O, o módulo do vetor posição é constante, ou seja, R (θ) = r0 . Da Equação (2.247) e de (2.249), isso implica sen ξ = 0, de modo que u ˆv = u ˆθ . (MCU) Usando a definição (2.162) de vetor aceleração e combinado esta com as Equações (2.243), (2.248) e (2.250), poderemos escrever, após alguma paciência com manipulações algébricas, h      i dv ¨ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ a= = r sec ξ θ + θ θ + ξ tg ξ u ˆv − θ θ − ξ u ˆρ , dt (2.251) onde d2 ξ˙ = θ˙ 2 [ln R (θ)] cos2 ξ , dθ u ˆρ = u ˆ r cos ξ − u ˆ θ sen ξ , (2.252) (2.253) e θ¨ é a aceleração angular definida como ∆θ˙ dθ˙ θ¨ = lim = . ∆t→0 ∆t dt (2.254) Capítulo 2 – Cinemática 94 Das Equações (2.250) e (2.253) temos u ˆρ · u ˆv = 0 , (2.255) para qualquer valor de ξ, de modo que o vetor u ˆ ρ é um vetor unitário sempre perpendicular à trajetória. Logo, o vetor aceleração dado na Equação (2.251) está escrito como a soma se dois vetores, um paralelo ao vetor velocidade e outro perpendicular ao vetor velocidade. Comparando então as Equações (2.251) e (2.240), podemos escrever h   i ¨ ˙ ˙ ˙ at = r sec ξ θ + θ θ + ξ tg ξ u ˆv , (2.256)   acp = −rθ˙ sec ξ θ˙ − ξ˙ u ˆρ . (2.257) Discutamos estes resultados para o caso em que a aceleração tangencial é o vetor nulo, isto é, at = 0. Pela Equação (2.256), isto fica garantido se n o θ¨ = 0 e θ˙ = −ξ˙ ou tg ξ = 0 . (2.258) Logo, neste caso, a Equação (2.257) fica acp = −rθ˙2 sec ξ u ˆρ . (2.259) Esta Equação mostra que a aceleração centrípeta aponta sempre no sentido contrário ao vetor u ˆ ρ e que seu módulo é |acp | ≡ acp = rθ˙2 sec ξ . Podemos então fazer a pergunta: como se comporta o módulo da aceleração centrípeta, dado pela Equação anterior, à medida que o tempo passa? Poderemos respondê-la calculando a derivada de acp em relação ao tempo, que dá  i h  dacp (2.260) = 2rθ˙ sec ξ 2θ¨ + θ˙ θ˙ + ξ˙ tg ξ = 0 . dt onde usamos as Equações (2.258). Logo o módulo da aceleração centrípeta acp é uma constante. Um movimento onde a aceleração da partícula é toda centrípeta e com o módulo constante é um MCU, como definimos na seção anterior. Podemos então afirmar que a condição necessária e suficiente para que um movimento acelerado seja um MCU é que a aceleração tangencial da partícula seja nula em qualquer instante de tempo. Para o caso especial em que a partícula realiza um MCU com centro na origem do sistema de coordenadas, tg ξ = 0 e θ¨ = 0, o que implica u ˆρ = u ˆr e 2 v ˆr , acp = −rθ˙2 u ˆr = − u r que é exatamente o resultado dado na Equação (2.239). (2.261) Podemos extender o resultado anterior (2.261) para qualquer tipo de trajetória num plano, isto é, podemos escrever a aceleração centrípeta num ponto P de coordenadas polares r e θ numa dada trajetória como acp = − v2 u ˆρ , ρ (2.262) Capítulo 2 – Cinemática 95 onde ρ é o chamado raio de curvatura da trajetória no ponto P . Comparando as Equações (2.257) e (2.262), temos ρ = 1− d2 dθ2 r sec ξ . [ln R (θ)] cos2 ξ (2.263) Vemos que ρ depende unicamente do valor da coordenada θ para um dado ponto P da trajetória, pois tanto r como ξ são determinados por funções de θ segundo as Equações (2.245) e (2.247), respectivamente. Deve-se notar também que, em princípio, ρ pode assumir tanto valores positivos como negativos, dependendo do sinal do denominador do lado direito da Equação (2.263). Logo, o raio de curvatura ρ não significa necessariamente uma “distância”, pois distâncias devem ser estritamente positivas. ρ é a componente do vetor de curvatura Rc ao longo da direção definida pelo vetor u ˆ ρ . Mais precisamente, Rc = ρˆ uρ , (2.264) o que implica |Rc | = |ρ|. Combinando as Equações (2.262) e (2.264) podemos ainda escrever a aceleração centrípeta como acp = −ω 2 Rc , (2.265) 2 d 2 ˙ 1 − . [ln R (θ)] cos ξ ω = |θ| dθ2 (2.266) onde A Equação (2.265) tem a mesma forma da Equação (2.214), porém, o conteúdo físico das duas é bastante diferente. A Equação (2.214) relaciona o vetor aceleração e o vetor posição de uma partícula cujas funções-movimento são dadas pelas Equações (2.211), (2.212) e (2.213). Logo, ela é válida em princípio apenas para os movimentos que podem ser descritos por essas funções-movimento que, como vimos, levam apenas à trajetórias elípticas, circulares ou retilíneas segundo esquematizado na Figura 2.12. Já a Equação (2.265) (assim como a Equação (2.262)) é a definição geral para a componente centrípeta do vetor aceleração (ou simplesmente aceleração centrípeta) num dado ponto de uma trajetória, qualquer que ela seja. Assim, a Equação (2.265) é válida para qualquer conjunto de funções-movimento fx , fy e fz de uma partícula, ou seja, para qualquer movimento que ela realize. Na Equação (2.214), o vetor r é o vetor que liga o ponto O (que é a origem do sistema de coordenadas) ao ponto P (cujas coordenadas dão a posição da partícula). Portando, o vetor r coincide com o segmento de reta OP e seu sentido é de O para P . Portanto, na Equação (2.265), podemos interpretar o vetor Rc como sendo o vetor que liga um dado ponto Oc ao ponto P , ou seja, o vetor que coincide como segmento de reta Oc P e cujo sentido é de Oc para P . Portanto, se rc é o vetor cujas componentes dão as coordenadas de Oc , então a relação entre rc , o vetor posição r da partícula e o vetor de curvatura Rc no ponto P é dada por r = rc + Rc , (2.267) Figura 2.13: Os vetores posição da partícula, do centro de curvatura da trajetória e vetor de curvatura no ponto P . Capítulo 2 – Cinemática 96 conforme esquematizado na Figura 2.13. Combinando as Equações (2.226), (2.227), (2.230), (2.253), (2.264) e (2.267) poderemos escrever o vetor rc em coordenadas cartesianas como rc = xc x ˆ + yc y ˆ, onde xc = r cos θ − ρ cos (θ − ξ) , yc = r sen θ − ρ sen (θ − ξ) . (2.268) (2.269) Ao ponto Oc damos o nome de centro de curvatura da trajetória da partícula no ponto P . As Equações anteriores dão exatamente as coordenadas xc e yc do centro de curvatura Oc em relação aos eixos OX e OY , respectivamente, para um dado ângulo θ (lembre-se que r, ρ e ξ dependem apenas de θ). Vemos, portanto, que para cada ponto de uma trajetória qualquer podemos associar um único centro de curvatura Oc cujas coordenadas são dadas pelas Equações (2.268) e (2.269) o que, em geral, implica que existe um número infinito de centros de curvatura para uma dada trajetória. A exceção é o círculo, que possui um único centro de curvatura que coincide com o seu centro geométrico. De fato, consideremos uma trajetória circular tal que R (θ) = r0 , onde r0 é uma constante. Logo, pela Equação (2.247) temos ξ = 0, o que implica, pela Equação (2.263), em ρ = r0 para qualquer ponto P da trajetória. Usando esses resultados nas Equações (2.268) e (2.269), teremos xc = 0 e yc = 0, de maneira que o centro de curvatura Oc coincide com a origem do sistema de coordenadas para qualquer ponto P da trajetória. Podemos agora dar uma interpretação bastante simples para os conceitos de centro de curvatura Oc , raio de curvatura ρ e vetor de curvatura Rc num dado ponto P de uma trajetória: se colocarmos uma partícula no ponto P se movendo apenas sob uma aceleração centrípeta acp cujo valor nesse ponto é dado pela Equação (2.265), então ela realizará um MCU cuja trajetória é um círculo de raio |ρ| e centro Oc e cuja velocidade angular ω é dada pelo seu valor no ponto P segundo a Equação (2.266). 2.6 Conclusões Neste capítulo nós aprendemos os conceitos básicos sobre o movimento. Vimos que para a descrição de qualquer movimento precisamos antes de tudo definir um referencial em relação ao qual as medidas de posição e tempo são realizadas. Demos então uma definição de movimento a partir do conhecimento da posição da Capítulo 2 – Cinemática 97 partícula em cada instante de tempo dentro de um intervalo de interesse, e ao conceito matemático que contém toda a informação sobre o movimento nós chamamos de funções-movimento que, por definição, são as funções que para cada instante de tempo fornecem a posição da partícula. Dedicamo-nos então ao estudo de movimentos ao longo de uma reta, aos quais demos o nome de movimentos retilíneos, e definimos as quantidades derivadas da função-movimento, a função-velocidade e a função-aceleração, com as quais obtemos a velocidade e a aceleração da partícula para cada instante de tempo. Essas quantidades estão associadas a conceitos como rapidez e sentido de um movimento num dado instante. Estudamos então alguns movimentos retilíneos especiais, o MRU e o MRUV, e discutimos alguns outros movimentos, como o oscilador harmônico e o movimento retilíneo sob a ação de um fluido viscoso, a partir do conhecimento das funções-aceleração correspondentes. Nesse estudo, discutimos o papel das condições iniciais na determinação dos movimentos compatíveis com uma dada função-aceleração. Finalizado o estudo das características básicas de movimentos retilíneos, estendemos todos os conceitos e definições aprendidos para esses movimentos aos movimentos em 2 e 3 dimensões. Definimos os conceitos de vetor posição, vetor velocidade e vetor aceleração, bem como a relação desses vetores com as funçõesmovimento, funções-velocidade e funções-aceleração, respectivamente. A partir das funções-movimento, aprendemos a como obter as Equações da trajetória de uma partícula e a como calcular a distância total percorrida via uma integral de trajetória. Por fim, discutimos alguns exemplos de movimentos no plano, como o lançamento de projétéis e movimentos de trajetória elíptica, enfatizando o caso especial do MCU. Com o estudo das propriedades deste último, introduzimos os conceitos de aceleração tangencial e aceleração centrípeta e, estendendo sua aplicação para quaisquer trajetórias num plano introduzimos os conceitos de centro de curvatura e raio de curvatura num dado ponto da trajetória. Agora que estamos munidos das ferramentas fundamentais à descrição cinemática do movimento, estamos prontos para discutir o movimento num nível mais completo e profundo. Estudaremos, neste próximo capítulo, o movimento sob o ponto de vista da Dinâmica, cujos pilares são as três Leis de Newton. Capítulo 3 As Leis de Newton e Aplicações Neemias Alves de Lima Por que os corpos começam a se mover? O que faz com que a velocidade de um corpo aumente ou a direção de seu movimento seja alterada? A teoria que descreve estes fenômenos é a mecânica clássica, ou simplesmente mecânica. Ela foi fundada por Galileo e Newton e aperfeiçoada por seus seguidores, notavelmente por Lagrange e Hamilton. O sucesso da teoria clássica vai desde a descrição acurada da dinâmica de objetos de cada dia até o entendimento detalhado dos movimentos das galáxias. 3.1 A lei da inércia Galileo (1544-1642) foi o primeiro a desenvolver uma abordagem quantitativa para o estudo do movimento. Ele procurou responder perguntas tais quais - que propriedade do movimento de um objeto está relacionada à força? É a sua posição? É a sua velocidade? Ou é a taxa de variação da velocidade? A resposta a esta questão pode ser obtida apenas a partir de observações; este é um fator básico que separa a física da filosofia propriamente dita. Galileo observou que a força influencia a variação na velocidade (aceleração) de um objeto e que, na ausência de forças externas (por exemplo, atrito), nenhuma força é necessária para manter um objeto em movimento em uma linha reta com velocidade constante. Esta lei básica observável é chamada de lei da inércia. É, talvez, difícil para nós apreciarmos o impacto das novas idéias de Galileo concernente ao movimento. O fato que um objeto em repouso em uma superfície horizontal permanece em repouso a menos que algo que nós chamamos de força é aplicada para mudar seu estado de repouso era, naturalmente, bem conhecido antes da época de Galileo. Entretanto, o fato de um objeto continuar a se mover após a força deixar de ser aplicada gerou dificuldades conceituais consideráveis para os filósofos antigos. A observação que, na prática, um objeto alcança o repouso devido às forças de atrito e da resistência do ar foi reconhecido por Galileo como sendo um efeito colateral, e não o centro da questão fundamental do movimento. Aristóteles, por exemplo, acreditava que o estado natural do movimento era o de repouso. É instrutivo considerar a conjuntura de Aristóteles a partir do ponto de vista do Princípio da Relatividade: as leis de movimento tem a mesma forma em 98 Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 99 todos sistemas de referência que se move com velocidade constante em uma linha reta com respeito uns aos outros. Durante seus primeiros vinte anos, Newton postulou três leis do movimento que forma a base da mecânica clássica. Ele usou elas para resolver uma grande variedde de problemas incluindo a dinâmica de planetas. As leis do movimento, primeiro publicados na Principia em 1687, desempenha um papel fundamental na teoria de Newton da Gravitação; apresentaremos elas a seguir. 3.2 A primeira Lei de Newton Tradução da primeira lei do latim para o português: “Lei I. Todo corpo permanece em estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta a menos que seja compelido a mudar esse estado em virtude de forças exercidas sobre ele.” Esta lei é conhecida como a lei da inércia, porque “inércia” significa resistência a uma mudança, e a lei afirma que um objeto tende naturalmente a manter a velocidade vetorial que tiver. Se F~1 , F~2 , etc, representam as forças individuais exercidas sobre um objeto, definimos a força resultante como X F~ = F~1 + F~2 + F~3 + · · · , (3.1) e lembrando que a variação da velocidade ~v do objeto em relação ao tempo é a sua aceleração, a primeira de lei de Newton pode ser enunciada da seguinte forma: a lei de Newton: Se a força resultante sobre um objeto é zero P “1 ( F~ = 0), então a aceleração do objeto é zero (~a = 0).” 3.2.1 Sistemas inerciais de referência Um ponto importante que deve ser dito acerca da primeira lei de Newton é que ela não é válida para qualquer sistema de referência, isto é, para qualquer observador. Consideremos uma caixa depositada em uma calçada. Há duas forças atuando sobre ela: a força gravitacional F~T exercida pela Terra, e uma força e oposta F~C P igual ~ F = 0. A primeira exercida pela calçada. A força resultante sobre a caixa é zero: lei de Newton afirma que a aceleração da caixa é zero porque a força resultante é zero. A aceleração é realmente zero? A resposta depende do sistema de referência utilizado para medir a aceleração. Se escolhermos um sistema de referência fixo na calçada, então a caixa está em repouso, de modo que sua aceleração é zero. Mas se escolhermos um sistema de referência fixo a um carro que se move com aceleração em relação à calçada, então a aceleração da caixa não é nula. Concluímos assim que a primeira lei de Newton é Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 100 válida para um sistema de referência fixo na calçada, mas não o é para um sistema fixo ao carro. É esta característica que nos leva a definir um tipo especial de sistema de referência chamado de sistema inercial de referência. “Um sistema inercial de referência é um sistema em que a primeira lei de Newton é válida ou P seja, um sistema em relação ao qual ~a = 0 para qualquer objeto com F~ = 0.” Esta definição implica que qualquer sistema que se mova com velocidade constante em relação a um sistema inercial é também um sistema inercial e, consequentemente, qualquer sistema que acelere em relação a um sistema inercial de referência é um sistema não-inercial. Um sistema de referência que usaremos constantemente para estudar a dinâmica de um objeto na superfície da Terra é um com origem fixo em relação a um ponto próximo à superfície da Terra e eixos cartesianos fixos em relação à horizontal e à vertical. Como sabemos, a Terra completa um giro sobre seu eixo em um dia, e completa uma revolução em torno do Sol em um ano. Em virtude do movimento de rotação da Terra em torno de seu eixo, um sistema de referência fixo em sua superfície na linha do equador tem uma aceleração de 0,034 m/s2 dirigida para o centro da Terra, e em razão do movimento orbital, o centro da Terra tem uma aceleração de 0,006 m/s2 dirigida para o Sol. Como essas acelerações são pequenas, seus efeitos costumam ser insignificantes quando usamos as leis de Newton para estudar muitas situações que ocorrem na superfície terrestre. Portanto, admitiremos como uma boa aproximação que um sistema de referência fixo na superfície da Terra é um sistema inercial de referência. Aristóteles acreditava que o estado natural do movimento era o de repouso. É instrutivo considerar a conjuntura de Aristóteles a partir do ponto de vista do Princípio da Relatividade: as leis de movimento tem a mesma forma em todos sistemas de referência que se move com velocidade constante em uma linha reta com respeito uns aos outros. É o estado natural de repouso consistente com o princípio geral da Relatividade? Um observador em um sistema de referência movendo com velocidade constante em um linha reata com respeito ao sistema de referência na qual o objeto está em repouso poderia concluir que o estado natural do objeto é um de velocidade constante em uma linha reta, e não o de repouso. Todos observadores inerciais, em um número infinito de sistemas de referência, chegariam a mesma conclusão. Vemos, portanto, que a conjuntura de Aristóteles não é consistente com este Princípio Fundamental. 3.3 A segunda Lei de Newton A tradução da segunda lei de Newton do latim para o português é: Lei II. A variação do movimento é proporcional à força motriz imprimida e atua na direção da reta segundo a qual a força é dirigida.” Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 101 Na nossa linguagem atual “movimento” é o que chamamos de “momento linear”, o produto da massa P ~ do objeto por sua velocidade, p~ = m~v , e “força motriz” é a “força resultante”, F . Assim a segunda lei de Newton afirma que: X d~p F~ = . dt (3.2) Se supormos que a massa do objeto em estudo é constante segue que: d~p d d~v = (m~v ) = m = m~a, dt dt dt (3.3) e portanto temos o famoso enunciado da 2a lei de Newton: X F~ = m~a. (3.4) De acordo com esta equação, para uma dada força resultante, um objeto com maior massa terá menor aceleração. A massa é a propriedade de um objeto que faz com que ele resista a qualquer variação de sua velocidade vetorial. Como inércia significa resistência a uma variação, a massa que aparece na definição da segunda lei de Newton é também chamada de massa inercial. A segunda lei de Newton proporciona uma definição do conceito de força: força é o que faz com que um objeto acelere. Se existe apenas uma força atuando sobre um objeto, então a aceleração do objeto em relação a um sistema de referência inercial é proporcional ao módulo da força e tem a mesma direção desta. No Sistema Internacional de Unidades (SI) a unidade de força é o “newton” (N), cuja definição a partir da Equação (3.4) é: hX i F~ = [m~a] = 1 kg · m/s2 ≡ 1N (3.5) Se um objeto de massa 1 kg tem uma aceleração de 1 m/s2 em relação a um sistema de referência inercial, então a força resultante exercida sobre o objeto é de 1 N. Podemos usar essa definição para calibrar instrumentos destinados a medir forças. Enfim, comparando a primeira com a segunda lei de Newton, você pode ser induzido a concluir a primeira lei é simplesmente um P caso particular da seP qeu ~ gunda lei. Como F = m~a, segue-se que ~a = 0 quando F~ = 0. Entretanto, utilizamos a primeira lei para definir o tipo de sistema de referência em relação ao qual deve ser medida a aceleração na segunda lei de Newton, ou seja, um sistema de referência inercial. Com esta interpretação, a primeira lei define sistemas de referência inerciais e dá um critério para determinar se um sistema de referência é inercial. Podemos também usar a Equação (3.4) para comparar massas com a massa padrão P ~ e, portanto, medir massas. Suponha que aplicamos uma força resultante F sobre um objeto de massa conhecida m1 e achamos uma aceleração de módulo Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 102 a1 . Podemos a seguir aplicar a mesma força a um outro objeto de massa m2 e achar uma aceleração de módulo a2 . Então, e acordo com a Equação (3.4), m1 a1 = m2 a2 a1 m2 = (mesma força resultante) (3.6) m1 a2 Ou seja, para a mesma força resultante, a razão entre as massas é o inverso da razão entre as acelerações. Embora possamos usar este procedimento para medir uma massa desconhecida m2 , é mais prático determinar a massa indiretamente pela medida do peso do corpo. 3.4 A terceira Lei de Newton A tradução do latim para o português da terceira lei de Newton é: “Lei III. A toda ação se opõe uma reação igual; ou, as ações mútuas de um corpo sobre outro têm sempre direções opostas.” Suponhamos que os objetos a e b exercem forças um sobre o outro; F~ab é força exercida por a sobre b, e F~ba é a força exercida por b sobre a. A terceira lei de Newton afirma que essas duas forças são iguais e opostas, ou F~ab = −F~ba (3.7) Ou seja, se o objeto b exerce uma força sobre o objeto a, então o objeto a exerce sobre b uma força igual e oposta. As forças ocorrem em pares, não pode existir uma força solitária. As duas forças F~ab e F~ba costumam ser chamadas par ação-reação. Uma das forças é chamada força de ação e a outra, força de reação. É arbitrário dizer qual delas é a ação e qual é a reação. Algumas Forças Especiais Para aplicarmos as leis de Newton na resolução de vários problemas de mecânica precisamos definir algumas forças básicas. Hoje sabemos que todas as diferentes forças observadas na natureza podem ser explicadas a partir das quatro interações básicas que ocorrem entre partículas elementares: 1) A força gravitacional responsável pela atração mútua entre os corpos; 2) A força eletromagnética entre as cargas elétricas; 3) A força nuclear forte entre partículas subatômicas; e 4) A força nuclear fraca entre partículas subatômicas durante um certo processo de decaimento radioativo. As forças que observamos no nosso dia a dia entre objetos macroscópicos são devidas às forças gravitacionais ou às forças eletromagnéticas. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 3.5 103 A Força da Gravidade: O Peso Quando um objeto está em queda livre próximo a superfície da Terra, a única força que atua sobre ele é a força gravitacional F~g que a Terra exerce sobre o objeto. P~ Assim, na queda livre, a força resultante é igual à força gravitacional: F = F~g , e P~ aplicando a segunda lei de Newton, F = m~a, obtemos que F~g = m~g (3.8) onde g ' 9, 8 m/s2 é o módulo da aceleração do objeto medido a partir de um sistema de referência inercial. A experiência mostra que qualquer objeto em queda livre em determinado lugar tem a mesma aceleração que qualquer outro objeto em queda livre no mesmo lugar. Isto é, ~g é independente da massa do objeto. A definição de peso P~ de um objeto de massa m é: P~ = m~g ∗ (3.9) onde ~g ∗ é aceleração da queda livre do objeto medida em relação ao sistema de referência da pessoa que toma a medida. Isto significa que o peso de um objeto é proporcional a sua massa e depende do sistema de referência em que é feita a medida. Também, esta definição corresponde à leitura de uma balança de mola em qualquer sistema de referência, quer o sistema seja inercial ou não-inercial. Só quando a medida de um peso é feita em um sistema de referência inercial é que temos P~ = F~g , uma vez que só neste caso temos ~g ∗ = ~g . Nesta disciplina faremos sempre uso da aproximação de que um sistema na superfície da Terra é um sistema de referência inercial, assim P~ = m~g quando o peso for medido a partir de um ponto fixo ou que se desloca com velocidade constante em relação à superfície da Terra. 3.6 Forças de Contato As forças de contato estão tão presentes em nosso cotidiano, que é praticamente indispensável a compreensão do seu comportamento. Um efeito óbvio das forças de contato é impedir que os objetos se interpenetrem. A interação fundamental responsável por esta forças é a força eletromagnética entre átomos e moléculas. Neste nível microscópico, as forças de contato envolvem muitas partículas, são muito complexas e ainda não conhecidas completamente. Felizmente, o comportamento macroscópico de tais forças é muito mais simples. Há uma forma conveniente de descrever as forças de contato entre superfícies planas de dois sólidos. O método envolve a decomposição de uma força de contato em duas forças - uma paralela à superfície de contato e a outra perpendicular a ela tratando cada uma delas como uma força separada. 3.6.1 A Força Normal Se você ficar em pé em um colchão a Terra o puxará para baixo, mas você não afundará no colchão além de um limite. Isso acontece porque o colchão se deforma Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 104 com o seu peso e empurra você para cima. Da mesma forma acontece quando você está sobre o piso, ele se deforma ainda que você não perceba a olho nú, e o empurra ~. para cima. O empurrão exercido pelo colchão ou pelo piso é uma força normal N O nome vem do termo matemático normal, que significa perpendicular. A força que o piso exerce sobre você é perpendicular à superfície do piso. “Quando um corpo exerce uma força sobre uma superfície, a superfície (ainda que aparentemente rígida) se deforma e empurra o corpo ~ que é perpendicular à superfície.” com uma força normal N 3.6.2 A Força de Atrito Quando um corpo está em movimento ou em uma superfície ou em um meio viscoso tal como o ar ou água, existe resistência ao movimento porque o corpo interage com sua vizinhança. Chamamos esta resistência como força de atrito. Forças de atrito são muito importantes na nossa vida cotidiana. Elas permitem-nos caminhar ou correr e são necessárias para o movimento dos veículos automotivos. A força de atrito é a componente paralela da força que uma superfície ou meio exerce sobre um objeto com o qual está em contato. Consideremos um livro sobre uma mesa. Se aplicarmos uma força horizontal ~ F no livro, o livro permanece em repouso se F~ não é suficientemente grande. A força F~at,e que contrabalanceia F~ e mantém o livro parado é chamada de força de atrito estática. Experimentos mostram que esta força surge a partir dos pontos de contato entre a superfície do livro e a superfície da mesa. Se aumentarmos a intensidade de F~ , a intensidade da força F~at,e também aumentará mantendo o livro em repouso no mesmo lugar. A força F~at,e não pode continuar aumentando para sempre, entretanto. Eventualmente a superfície de contato não poderá mais suprir força de atrito suficiente para contrabalancear F~ , e o livro entra em movimento. No instante em que o livro entra em movimento F~at,e atingiu seu valor máximo. Os dados experimentais mostram que F~at,e max é proporcional ao módulo N da força normal exercida por uma superfície sobre a outra: Fat,e max = µe N (3.10) onde a constante adimensional µe (pronuncia-se: “mi, índice e”), chamada de coeficiente de atrito estático, depende da natureza das superfícieis em contato. Em geral, pode-se escrever Fat,e ≤ µe N. (3.11) Quando F~ excede F~at,e max , o livro é acelerado na direção da força F~ . Uma vez em movimento, chamamos a força de atrito de força de atrito cinética F~at,c . Em muitos casos verifica-se experimentalmente que o módulo da força de atrito cinético Fat,c é proporcional ao módulo N da força normal. Em tais casos, podemos escrever Fat,c = µc N (3.12) onde µc é o coeficiente de atrito cinético que, como µe , depende da natureza das superfícies de contato. µc é em geral menor do que µe e é constante para velocidades Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 105 na faixa de aproximadamente 1 cm/s até vários metros por segundo - as únicas situações que consideraremos nos nossos estudos. Valores típicos de µe e µc estão entre 0,03 e 1,0. Atrito de rolamento Sabemos que é mais fácil mover uma geladeira sobre um carrinho com rodas do que arrastá-lo pelo piso. Mas, quanto mais fácil? Podemos definir um coeficiente de atrito de rolamento µr como a força necessária para um deslocamento com velocidade constante sobre uma superfície plana dividida pela força normal de baixo para cima exercida pela superfície. Os engenheiros de transportes chamam µr de resistência de tração. Valores típicos de µr são de 0,002 a 0,003 para rodas de aço sobre trilhos de aço e 0,01 e 0,02 para pneus de borracha sobre concreto. Esses valores mostram o motivo pelo qual um trem que se desloca sobre trilhos gasta muito menos combustível do que um caminhão em uma auto-estrada. 3.6.3 Tração Quando uma corda, um fio, cabo ou outro objeto do mesmo tipo, é presa a um corpo e então esticada, surge uma força T~ orientada ao longo da corda. Essa força é chamada de força de tração porque a corda está sendo tracionada (puxada). A tensão da corda é o módulo T da força exercida sobre o corpo. Uma corda é frequentemente considerada sem massa (ou de massa desprezível em comparação com a massa do corpo ao qual está presa) e inextensível (isto é, ela não se estica, mudando de comprimento). Assim a corda apenas serve para ligar dois corpos. 3.6.4 Força de Arraste Se você coloca sua mão para fora da janela de um carro que se move com alta velocidade, você se dá conta de que existe uma força que o ar exerce sobre um corpo que se move através dele. O que acontece é que o corpo que se move exerce uma força sobre o fluido para afastá-lo de seu caminho. Pela terceira lei de Newton, o fluido exerce sobre o corpo uma força igual e contrária. A força da resistência de um fluido, ou força de arraste, possui direção e sentido sempre contrários aos da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo desta força normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Para baixas velocidades, a força de arraste é aproximadamente proporcional à velocidade do corpo; para velocidades mais altas, ela é aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade. Partículas em Equilíbrio Nesta e nas próximas duas aulas vamos aplicar as leis de Newton para resolver vários problemas de partículas em equilíbrio e de dinâmica de partículas. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 106 Embora as leis de Newton possuam formas muito simples, a sua aplicação em situações específicas pode apresentar grandes desafios. Três princípios úteis para solução de quaisquer problemas referentes às leis de Newton são: 1. A primeira e a segunda leis de Newton se aplicam a um corpo específico. Portanto, você precisa definir logo de início o corpo sobre o qual você está falando. 2. Só importam as forças que atuam sobre o corpo. Portanto, depois de escolher o corpo a ser analisado, você deve identificar todas as forças que atuam sobre ele. Não confunda as forças que atuam sobre esse corpo com as forças exercidas por ele sobre os outros corpos. 3. Os diagramas do corpo livre são essenciais para ajudar a identificar as forças relevantes. Um diagrama de corpo livre é um diagrama que mostra o corpo escolhido ‘livre’ das suas vizinhanças, com vetores desenhados para mostrar o módulo, a direção e o sentido de todas as forças que atuam sobre o corpo e que são resultantes de vários outros corpos que interagem com ele. Estes princípios são a essência das seguintes técnicas de resolução de problemas. 3.7 Técnicas de Resolução de Problemas P~ A segunda lei de Newton, F = m~a, constitui o princípio fundamental para a resolução de um problema. Como a segunda lei de Newton é uma relação vetorial podemos separar-la em suas componentes. Em duas dimensões temos: X X Fx = max Fy = may (3.13) Cada componente origina uma equação que pode ser utilizada em um problema. Uma vez escrito a segunda lei em termos de suas componentes, temos o seguinte algoritmo útil para a resolução de problemas: 1. Desenhe um modelo idealizado do sistema para ajudar a conceitualizar o problema. 2. Categorize o problema: se qualquer componente i P = x, y da aceleração é zero, a partícula está em equilíbrio naquela direção e Fi = 0. Caso contrário, a partícula P está acelerada, e portanto o problema é de não-equilíbrio nesta direção, e Fi = mai . 3. Analise o problema isolando o objeto cujo movimento será analisado. Desenhe um diagrama de corpo-livre para o objeto. Para sistemas contendo mais de um objeto, desenhe diagramas de corpo-livre separados para cada objeto. Não inclua no diagrama de corpo-livre forças exercidas pelo objeto na sua vizinhança. Dica: Use símbolos para cada grandeza utilizando uma notação que facilite a memorização da grandeza. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 107 4. Escolha um eixo de coordenadas coveniente para cada objeto e encontre as componentes das forças ao longo dos eixos. Os eixos devem ser escolhidos de modo a simplificar os cálculos subsequentes. Aplique a segunda lei de Newton na forma de componentes, Equação (3.13). 5. Resolva as equações de componentes para as quantidades desconhecidas. Relembre que você deve ter tantas equações independentes quanto o número de quantidades desconhecidas para obter uma solução completa. 6. Finalize verificando se seus resultados são consistentes com o diagrama de corpo-livre. Também verifique as predições de suas soluções para valores limites das variáveis. Fazendo assim, você pode frequentemente detectar erros em seus resultados. 3.8 Partículas em Equilíbrio Vamos aplicar as técnicas que acabamos de apresentar na resolução de um problema que envolve partículas em equilíbrio. Um corpo está em equilíbrio quando está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em um sistema de referência inercial. Uma lâmpada suspensa, um avião voando em linha reta a uma velocidade constante são alguns exemplos. Exemplo 3.1. Blocos de granito estão sendo retirados de uma pedreira e transportados para cima de um plano inclinado de 15o . Por razões ambientais, o barro também está sendo despejado na pedreira para preencher buracos antigos. Para simplificar o processo, você projeta um sistema no qual o bloco de granito sobre um carrinho com rodas de aço (peso p1 , incluindo o bloco e o carrinho) é puxado para cima sobre trilhos de aço por um balde cheio de barro (peso p2 , incluindo o barro e o balde) que cai verticalmente para o interior da pedreira (Figura 3.1). Desprezando o peso do cabo e os atritos na polia e nas rodas, determine a relação entre os pesos p1 e p2 para que o sistema se mova com velocidade escalar constante. Retirado da referência [5]: Figura 3.1: Balde cheio de barro puxa carrinho com bloco de granito. Vamos resolver este problema seguindo passo a passo o algoritmo de “técnicas de resolução de problemas”: 1. Desenhe um modelo idealizado para o sistema, como mostrado na Figura 3.2. 2. O problema é de equilíbrio de partículas ou de dinâmica de partículas? O carrinho e o balde se movem com uma velocidade constante (ou seja, em linha reta e com velocidade escalar constante), logo cada corpo está em equilíbrio e podemos aplicar para cada um deles a primeira lei de Newton: X X Fx = 0 Fy = 0 (3.14) 3. (e .4) Construa diagrama(s) de corpo-livre para o(s) objeto(s) relevantes para a solução do problema. Os objetos relevantes são o balde e o carrinho. Os Figura 3.2: Modelo idealizado do sistema. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 108 diagramas de corpo-livre são respectivamente apresentados na Figura 3.3 e Figura 3.4: Observe que o problema implicitamente despreza a força de atrito, o enunciado diz que o carrinho tem rodas de aço e está sobre trilhos de aço!!! Revise a seção sobre força de atrito na aula anterior. 5. Resolva as equações de componentes para as quantidades desconhecidas. Para o carrinho temos pela primeira lei de Newton, Equação (3.14): X Fx = T + (−p1 sin 15o ) = 0 logo T = p1 sin 15o Figura 3.3: Diagrama do corpo livre para o balde. (3.15) Para o balde: X Fy = T + (−p2 ) = 0 logo p2 = T (3.16) Substituindo a Equação (3.15) na Equação (3.16) obtemos que: p2 = p1 sin 15o = 0, 26p1 (3.17) 6. Concluímos portanto que o peso do balde com barro é apenas cerca de 26% do peso do carrinho com o granito quando o sistema está equilíbrio. O que aconteceria P se p2 > 0, 26p1 ? E se p2 < 0, 26p1 ? Observe que nem precisamos usar Fy = 0 para o carrinho com o bloco; isso seria útil apenas para obter o valor da força normal n. Você é capaz de mostrar que n = p1 cos 15o ? Dinâmica das Partículas Nesta aula aplicaremos os princípios e técnicas de resolução de problemas que aprendemos na aula anterior para resolver problemas de dinâmica de partículas. Nestes casos, a força resultante sobre um corpo é diferente de zero e, portanto,ele não está em equilíbrio; mas sim em aceleração. A força resultante, dada pela Segunda Lei de Newton, sobre o corpo é igual ao produto da massa pela aceleração do corpo: X F~ = m~a (3.18) Figura 3.4: Diagrama do corpo livre para o carrinho. Como comentamos na aula anterior, usaremos esta relação na forma dos componentes: X X Fx = max Fy = may (3.19) Exemplo 3.2. Você empurra uma bandeja de 1,0 kg pelo balcão do refeitório com uma força constante de 9,0 N. Conforme a bandeja se move, ela empurra um frasco de leite de 0,50 kg (Figura 3.5). A bandeja e o frasco deslizam sobre uma superfície horizontal que está tão encerada que o atrito é desprezível. Calcule a aceleração da bandeja e do frasco e a força horizontal que a bandeja exerce sobre o frasco. Retirado da referência [5]. Figura 3.5: Um frasco de leite e uma bandeja sendo empurrados. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 109 Para se resolver um problema antes de qualquer coisa temos que ter em mente quais as variáveis que se quer conhecer. Neste caso elas são a aceleração da bandeja e a força horizontal que a bandeja exerce sobre o frasco. Estas variáveis estão relacionadas com a segunda lei de Newton, Equação (3.19). Seguindo o algoritmo de “técnicas de resolução de problemas” dado na aula anterior, temos que o primeiro passo para resolver o problema é construir o diagrama de corpo livre para cada um dos objetos envolvidos. O diagrama de corpo livre para o frasco de leite (FL) é apresentado na Figura 3.6. Note que as acelerações do frasco de leite e da bandeja são iguais! As equações do componente x da segunda lei de Newton para a bandeja e para o frasco são: Frasco : X Fx = FB em F L = mF L ax Bandeja : X Fx = F − FF L em B = F − FB em F L = mB ax (3.21) Figura 3.6: Diagrama de corpo livre para o frasco de leite. (3.20) São duas equações simultâneas para as duas variáveis que queremos determinar: ax e FB em F L . (Duas equações e duas incógnitas... é fácil demais!!!) Substituindo a Equação (3.20) na Equação (3.21) podemos obter a aceleração: F − m F L ax = m B ax ax = 9, 0 N F = 6, 0 m/s2 . = mB + mF L 1, 0 kg + 0, 50 kg (3.22) (3.23) Então, substituindo este valor na Equação (3.20) obtemos que: FB em F L = mF L ax = (0, 50 kg)(6, 0 m/s2 ) = 3, 0 N. O Sears&Zemansky [5] apresenta um segundo método para se resolver este problema. Vale a pena conferir! Dinâmica do Movimento Circular Uniforme O movimento circular uniforme (ou aproximadamente) é comum na natureza e em engenhos mecânicos. Exemplos são as órbitas dos planetas em torno do Sol e o movimento de engrenagens, roldanas e rodas. Desde que neste tipo de movimento a direção da velocidade varia, embora seu módulo seja constante, a partícula possui uma aceleração que aponta sempre para o centro do círculo, vimos isto na aula x de Cinemática, cujo módulo é: v2 arad = (3.24) R (movimento circular uniforme) Figura 3.7: Diagrama de corpo livre para a bandeja. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações 110 O índice inferior “rad” é um lembrete de que a aceleração da partícula é sempre orientada para o centro do círculo de raio R, perpendicular à velocidade instantânea. Por isto que esta aceleração é chamada de aceleração centrípeta. Pela segunda lei de Newton se uma partícula está acelerada é porque ela está sujeita a uma força resultante que aponta na mesma direção aceleração. Não é Pda diferente no caso do movimento circular uniforme, como F~ = m~a e ~a aponta P~ para o centro do círculo e possui um módulo v 2 /R, F também aponta para o centro do círculo e seu módulo é X v2 ~ . (3.25) F = ma = m rad R Assim como a aceleração, esta força resultante dirigida para o centro do círculo é chamada de força centrípeta (Figura 3.8). Note-se que a expressão “força centrípeta” não se refere a qualquer tipo de interação, como é o caso com a força gravitacional ou uma força elétrica; indica simplesmente que a força resultante é dirigida para o centro do movimento circular, sem nenhuma referência a origem de tal força. Em alguns casos, é fácil identificar a fonte da força centrípeta, como quando um aeromodelo preso por um fio-guia voa em um círculo horizontal. A unica força que puxa o avião para dentro é a tração do fio, logo esta força sozinha (ou uma componente dela) é a força centrípeta. Quando um carro se move com velocidade escalar constante em uma curva sem inclinação lateral, a força centrípeta que mantém o carro sobre a curva vem do atrito estático entre a estrada e os pneus. Trata-se do atrito estático, e não do atrito cinético, pois os pneus não estão deslizando em relação à direção radial. Se a força de atrito estático for insuficiente, para uma dada velocidade escalar e um raio da curva, o carro irá derrapar para fora da estrada. Veremos nos exemplos e problemas que seguem a força centrípeta em ação e perceberemos que às vezes a sua fonte não é óbvia. Exemplo 3.3. Um inventor propõe a construção de um pêndulo usando um peso de massa m na extremidade de um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para a frente e para trás, o peso se move em um círculo horizontal com velocidade escalar constante v, e o fio faz um ângulo β constante com a direção vertical (Figura 3.9). Esse sistema é chamado de pêndulo cônico porque o fio de suspensão descreve um cone. Ache a tensão F no fio e o período T (o tempo para uma revolução de peso) em função do ângulo β. Retirado da referência [5] Para achar as duas variáveis, a tensão F e o período T precisamos de duas equações. Estas serão os componentes horizontal e vertical da segunda lei de Newton aplicada ao peso. Encontraremos a aceleração do peso em direção ao centro do círculo usando uma das equações do movimento circular. O primeiro passo para a solução do problema é fazer o diagrama do corpo livre para o peso como mostrado na Figura 3.10. As forças que atuam sobre o peso são a tensão FT o fio e o peso P . A componente horizontal da tensão é a força que produz a aceleração horizontal centrípeta arad . Aplicando a segunda lei de Newton ao peso temos: Figura 3.8: Em um movimento circular uniforme, tanto a aceleração, como a força resultante são orientadas para o centro do círculo. Capítulo 3 – As Leis de Newton e Aplicações v2 R = FT cos β + (−mg) = 0 111 X Fx = FT sin β = m (3.26) X Fy (3.27) ou v2 FT sin β = m R FT cos β = mg x : y : (3.28) (3.29) Destas duas equações tiramos facilmente a tensão FT em função do ângulo β: mv 2 mg FT = ou FT = R sin β cos β (3.30) e que (dividindo as duas equações): tan β = v2 . gR (3.31) Figura 3.9: A situação. Para relacionar β com o período T , usamos a definição de aceleração centrípeta: arad = (2πR/T )2 4π 2 R 4π 2 L sin β v2 = = = R R T2 T2 (3.32) Mas da Equação (3.31) temos que v2 = g tan β, R (3.33) e substituindo esta expressão na Equação (3.32) tiramos que: g tan β = 4π 2 RL sin β T2 (3.34) e portanto, s T = 2π L cos β. g (3.35) Observe que para um dado comprimento L, à medida que o ângulo β diminui o período T se torna menor. Também note que se o ângulo β aumenta a tensão FT = mg/ cos β no fio aumenta. Tendo em vista tal dependência do período com β, o pêndulo cônico não serviria como um bom relógio. (Pensem nisto... que valores teriam o período, a tensão no fio e a velocidade do peso para β = 90o ? Tal situação poderia existir?) Figura 3.10: Diagrama do corpo livre para o peso. Capítulo 4 Energia e Trabalho Marcio Assolin Corrêa Definir o significado de energia para a física é uma tarefa não trivial, principalmente devido as diferentes formas de energia que podem estar associadas a uma partícula ou a um sistema de partículas. Energia térmica, energia elétrica, energia magnética e energia mecânica são exemplos de energias que podem ser transferidas de um objeto para outro em um determinado sistema físico. Pesquisando em diversas literaturas, percebe-se que tentar discutir o conceito de energia separadamente do conceito de trabalho é uma tarefa difícil, pois estas duas grandezas físicas estão intimamente ligadas. Podemos definir a energia como uma quantidade escalar associada ao estado físico de uma partícula ou sistema de partículas que pode ser transformada em trabalho. Contudo, através de analises experimentais percebe-se que a energia associada a um sistema físico fechado e isolado se conserva sempre, ou seja, energia não pode ser criada ou destruída e sim transformada em outros tipos de energia ou trabalho, fato sintetizado pelo princípio de conservação de energia. Na mecânica Clássica existem muitos problemas físicos que necessitariam de um tratamento vetorial adequado e aplicações da cinemática para serem resolvidos. No entanto, com um estudo energético adequado estes mesmos problemas podem ser resolvidos com maior facilidade, uma vez que estamos trabalhando com grandezas puramente escalares. Vamos mostrar esta facilidade no decorrer deste capítulo. E para isso, iniciaremos definindo a energia associada ao estado de movimento de uma partícula (Energia Cinética), o Trabalho e a Potência. 4.1 Energia Cinética Podemos associar uma forma de energia ao estado de movimento de uma partícula. Denominamos esta energia de Energia Cinética o qual vamos simbolizar aqui por Ec . Esta energia está diretamente relacionada a velocidade em que a partícula se encontra em um determinado instante de tempo. Quanto maior a velocidade da partícula maior será a energia cinética, porém esta relação entre Ec e v não é linear, ela segue a seguinte expressão: 1 Ec = mv 2 2 112 (4.1) Capítulo 4 – Energia e Trabalho 113 onde m é a massa e v a velocidade da partícula. Como mencionado anteriormente, dimensionalmente temos, no SI de unidades (ver a Seção 1.4), que [Ec ] = 4.2 kg · m2 = Joule (J) . s2 (4.2) Trabalho Intuitivamente temos em mente o significado cotidiano da palavra trabalho, dizemos que ao deslocar um objeto de uma posição inicial até uma posição final realizamos trabalho. Contudo, em alguma situações, realizar um determinado trabalho não significa deslocar um objeto mas sim dissipar energia “pensando” em um determinado problema. Para a física, o significado de trabalho tem uma formulação matemática bem definida e está diretamente relacionado à força (F~ ) necessária para ~ de um objeto. Podemos entender fisicamente o trabalho (W) variar a posição (d) como a energia transferida para o/do objeto mediada por uma força: ~ W = F~ · d. (4.3) Perceba que a equação (4.3) é um produto escalar entre dois vetores, de modo que o resultado é um escalar (o trabalho). Dimensionalmente, no SI temos que: [W ] = N · m = kg · m2 kg · m · m = =J. s2 s2 (4.4) O produto escalar na Equação (4.3) nos permite realizar algumas análises importantes. Podemos calcular o módulo do trabalho tomando o módulo do produto ~ Desta forma, outra maneira de escrever o trabalho é: escalar (F~ · d). W = F dcos(θ). (4.5) ~ Quando este ângulo Na equação 4.5, θ é o ângulo entre os vetores F~ e d. é zero (θ = 0) temos que cos(0) = 1, assim W = F d. No entanto, quando o ângulo entre os vetores é normal (θ = 90◦ ) então teremos um trabalho dado por W = F dcos(90◦ ) = 0, ou seja, o trabalho é nulo para uma força sendo aplicada normal ao deslocamento do objeto. Desta forma, podemos ter situações em que a força tem uma componente na direção oposta ao deslocamento do objeto, o que levará a um trabalho negativo. Posteriormente, quando for analisado o Teorema Trabalho-Energia Cinética vamos discutir em mais detalhes o que significa trabalho negativo. Exemplo 4.1. Considere um objeto que sofre um deslocamento ∆d~ devido a uma força F~ como mostrado na Figura 4.1. Conhecendo o ângulo θ entre estas duas grandezas físicas é possível calcular o trabalho realizado sobre o objeto. Considerando θ = 60◦ , F = 30N e supondo que o deslocamento da partícula em um determinado intervalo de tempo seja de ∆d = 10m então o trabalho é calculado facilmente por: W = F dcos(θ) = 30N · 10m · cos(60◦ ) = 150J . (4.6) Capítulo 4 – Energia e Trabalho 114 Figura 4.1: Objeto sendo deslocado por uma distância ∆d~ sob influência de uma força F~ . . 4.3 Teorema Trabalho-Energia Cinética Quando uma força constante é aplicada sobre um objeto, esse sofre uma alteração na sua velocidade, uma vez que esta submetido a uma aceleração constante (Segunda Lei de Newton). Podemos associar a variação da velocidade do objeto com sua aceleração a partir de equação do movimento para o MRUV: vf2 = vi2 + 2ad, (4.7) considerando que o deslocamento d está na mesma direção da força, responsável pela aceleração, podemos relacionar esta equação com a Segunda Lei de Newton. Para isso inicialmente vamos resolver a equação (4.7) para a aceleração: vf2 − vi2 , (4.8) 2d onde o sub-índice x refere-se a aceleração na direção do deslocamento (direção x). Substituindo esta aceleração na Segunda Lei de Newton temos: ax = vf2 − vi2 2d (4.9) 1 1 F d = mvf2 − mvi2 . 2 2 (4.10) F = max = m e manipulando a equação (4.9) encontramos, Perceba que o lado esquerdo da equação (4.10) é exatamente o trabalho realizado pela força F~ sobre o objeto e o lado direito é a variação da energia cinética ∆Ec . Assim, temos o teorema trabalho-energia cinética, W = Ecf − Eci = ∆Ec . (4.11) Podemos discutir novamente neste ponto o significado de trabalho positivo ou negativo. Quando a força está na mesma direção do deslocamento do objeto temos um trabalho positivo, deste modo há um aumento na energia cinética. Contudo, quando a força resultante está na direção contrária ao movimento, então teremos um trabalho negativo o que acarreta em uma diminuição da energia cinética da partícula. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 4.4 115 Trabalho e energia com forças variáveis Em muitas situações a força atuante sobre a partícula não é constante, o que influencia diretamente no trabalho realizado. Esta variação da força pode ser tanto em módulo como em direção e sentido. Como vimos anteriormente, força é uma grandeza vetorial e, variando uma de suas componentes, estamos variando o vetor como um todo. Nesta situação o cálculo do trabalho realizado pela força sobre o objeto deve ser ligeiramente diferente do que foi discutido anteriormente. Devemos calcular o trabalho realizado pela força para cada elemento ∆xi (mudamos aqui a variável d para x para facilitar a representação dos diferenciais e integrais) do deslocamento do objeto. O trabalho total será a soma de cada “elemento de trabalho” separadamente. No limite de ∆xi → dxi temos: X Fx ∆xi . (4.12) W = lim ∆x→0 i Por definição este limite é na verdade a integral de Fx ao longo de x. Considerando que o objeto sofreu um deslocamento desde uma posição xi até uma posição xf devido a uma força variável Fx , o trabalho realizado por esta força pode ser calculado como sendo Z xf Fx dx. W = (4.13) xi Como sabemos, calcular graficamente a integral significa obter a área sob uma determinada função gráfica. Assim, considerando uma força Fx que tem um comportamento mostrado na Figura 4.2 podemos calcular o trabalho a partir da área. 4.5 Potência Descrevemos nas seções anteriores as diferentes formas de realizar trabalho sobre um objeto. Muitas vezes estamos interessados em realizar este trabalho em um certo intervalo de tempo ∆t. A partir destas necessidades podemos definir uma outra grandeza física denominada potência. Definimos potência como a taxa temporal da realização de um trabalho: dW P = . (4.14) dt Podemos denominar a equação (4.14) como a potência Instantânea. No entanto, quando um trabalho W é realizado em um intervalo de tempo ∆t podemos calcular a potência média: W Pm = . (4.15) ∆t Tomando uma análise dimensional da equação (4.15) no SI temos: [P ] = N·d J = = W (Watt). s s (4.16) Figura 4.2: Gráfico de Fx vs. x onde representamos uma função variável. A área sob a curva é o trabalho realizado pela força sobre a partícula de acordo com a equação 4.13. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 116 Podemos encontrar em alguns equipamentos, automóveis, entre outros, valores de potência expressos em outras unidades como o Horse Power (hp). A relação entre hp e Watt é: 1 hp = 746 W. (4.17) Temos ainda o cavalo-vapor (CV) que tem uma relação com o Watt dada por: 1 cv = 735, 5 W. (4.18) Existem algumas formas de apresentar a unidade de trabalho, utilizando a definição de potência. Observando a equação (4.14) podemos expressar a unidade de trabalho em quilowatt-hora que é usada no nosso cotidiano nas contas de luz de nossas residências. A relação entre quilowatt-hora e joule é: 1 quilowatt-hora = 1 kW · h = 103 W · 3600 s = 3, 6 × 106 J. (4.19) Podemos reescrever a equação 4.14 em função da força aplicada sobre o objeto e a sua velocidade. Considerando um objeto com movimento linear sujeito a uma força F~ aplicada em uma direção θ com relação a direção do movimento temos: F cosθdx dW = . (4.20) P = dt dt Lembrando que dx/dt = v, temos: P = F cosθ0 , 4.6 4.6.1 dx = F cosθ v = F~ · ~v . dt (4.21) Energia Potencial e Conservação de Energia Forças Conservativas Quando elevamos um objeto de uma altura h0 até uma altura hf realizamos um trabalho positivo dado por W = mg∆h. No entanto, a força gravitacional realiza um trabalho W = −mg∆h, pois a força gravitacional está no sentido oposto ao deslocamento ∆h. Se deslocarmos este mesmo objeto de volta para a altura h0 e calcularmos o trabalho da força gravitacional desde o início do movimento até este momento teremos um trabalho total nulo. Vale ressaltar que isso será independente se a posição final da partícula é exatamente a mesma posição inicial, basta que a altura inicial e final sejam as mesmas para o exposto acima ser verdadeiro. Isso ocorre devido a força da gravidade ser uma força conservativa. Desta forma, podemos definir que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela, sobre um objeto que descreve uma trajetória fechada, for nulo. 4.6.2 Trabalho e Energia Potencial Baseado na definição de força conservativa atuando sobre um objeto, podemos definir uma nova função denominada energia potencial U . Relacionando a energia Capítulo 4 – Energia e Trabalho 117 com o trabalho, podemos definir que o trabalho realizado por uma força conservativa deve ser igual à diminuição da energia potencial: Z 2 F~ · d~s = −∆U , (4.22) W = 1 onde 1 e 2 são as posições inicial e final, respectivamente. Trabalho e energia potencial gravitacional A partir da definição de trabalho da Equação (4.22) podemos calcular o trabalho realizado pela força gravitacional sobre um objeto. Considerando um objeto sendo suspenso de uma altura inicial y = h0 até uma altura final y = hf sujeita a força gravitacional dada por Fy = −mg podemos calcular o trabalho realizado a partir de Z Z hf hf −Fy dy = − W = h0 mgdy, (4.23) h0 Resolvendo a integral temos que: W = mghi − mghf = −∆Ug . (4.24) O lado direito da Equação (4.24) é exatamente a variação da energia potencial gravitacional. Desta forma podemos definir a energia potencial gravitacional da seguinte forma, Ug = mgh. (4.25) Trabalho e energia potencial elástica Com o mesmo procedimento da seção anterior, podemos calcular o trabalho realizado por uma força elástica utilizando a equação 4.13 e substituindo Fx pela lei de Hooke, onde Fx = −kx. Imaginando um sistema físico como o indicado na Figura 4.3, onde um objeto preso a uma mola de constante elástica k é deslocado de uma posição inicial x0 até uma posição xf podemos calcular o trabalho a partir de Z xf Z xf W = Fx dx = −kxdx . (4.26) x0 x0 A solução desta integral é dada por: 1 1 W = kx2i − kx2f = −∆Ue , 2 2 (4.27) onde podemos definir a energia potencial elástica associada a uma mola com constante elástica k da seguinte forma: 1 Ue = kx2 . 2 (4.28) Figura 4.3: Sistema massa-mola onde K é a constante elástica da mola e m a massa da partícula. Neste sistema será desprezado o atrito entre a partícula e a superfície. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 4.6.3 118 Forças não-conservativas Ao empurrarmos uma caixa sobre uma superfície em que o atrito está presente teremos um trabalho diferente de zero quando descrevemos uma trajetória fechada. Neste caso dizemos que a força de atrito não é uma força conservativa, de modo que não temos a possibilidade associar a esta força uma energia potencial. Outro exemplo de força não conservativa é a força de arrasto que surge durante a descida de um objeto em queda livre. Este conceito, associado ao conceito de forças conservativas serão importantes para definir a Conservação da Energia Mecânica que será discutida na próxima seção. 4.7 Conservação da Energia Mecânica Definimos como Energia Mecânica a soma da energia potencial (U ) e da energia cinética Ec de um objeto. A energia potencial pode ser tanto a energia potencial gravitacional (Ug ), energia potencial elástica (Ue ) ou a soma destas duas formas de energias (Ug + Ue ). Assim, Emec = Ec + U. (4.29) Partindo da suposição que temos um sistema isolado (nenhuma força externa atua sobre o sistema) contendo um determinado objeto, e que este sistema está sujeito a apenas forças conservativas, o trabalho realizado sobre um objeto acarretará em uma transformação de uma forma de energia em outra. Por exemplo, quando arremessamos um objeto para cima, desprezando o atrito com o ar, o sistema irá transformar a energia cinética inicial em energia potencial gravitacional. Podemos calcular a variação da energia cinética através do trabalho, ∆Ec = W . (4.30) ∆U = −W (4.31) Lembrando que, e substituindo (4.31) em (4.30) temos: ∆Ec = −∆U (4.32) Os termos ∆Ec e ∆U indicam a variação destas energias em função de duas posições distintas que chamaremos aqui de posição inicial (sub-índice i) e posição final (sub-índice f). Reescrevendo (4.32) em função destes sub-índices ficamos com a forma Ecf + Uf = Eci + Ui . (4.33) Observando (4.33) podemos deduzir que a soma da energia mecânica em qualquer posição e instante de tempo deve sempre constante, deste modo concluimos que a energia mecânica deste sistema é sempre constante. Por outro lado, analizando a variação da energia mecânica (∆Emec ) teremos, para um sistema onde Capítulo 4 – Energia e Trabalho 119 somente forças conservativas estão atuando, a variação da energia mecânica nula, este é exatamento o princípio da conservação da energia mecânica. ∆Emec = ∆Ec + ∆U = 0. 4.8 (4.34) Curvas de Energia Potencial e Força Se considerarmos um objeto sujeito a forças conservativas movimentando-se em uma única direção (x por exemplo), podemos, através de sua curva de energia potencial, obter informações importantes sobre o comportamento da força resultante aplicada no objeto. Para isso, devemos tomar derivada espacial da energia potencial atuante no objeto da seguinte forma, F (x) = − dU (x) . dx (4.35) Como exemplo podemos observar a figura 4.4 onde no primeiro gráfico está representada a energia potencial atuante sobre o objeto em função da posição x. Figura 4.4: Gráfico da energia potencial em função da posição (linha azul) e derivada espacial deste gráfico, indicando a força atuante (linha vermelha) sobre o sistema em função da posição. Podemos observar os mínimos e os máximos desta função que representam as posições onde existem os máximos e os mínimos de potencial, respectivamente. Quando observamos simultaneamente os dois gráficos verificamos que exatamente nestes pontos a força atuante sobre a partícula é nula. Com isso, podemos definir os pontos de equilíbrio onde o objeto pode estar em uma situação estável ou instável. Por exemplo, quando temos um mínimo na energia potencial a força nula indica uma situação onde temos um ponto de equilíbrio estável, ou seja, se o objeto for Capítulo 4 – Energia e Trabalho 120 retirado desta posição através de pequenas forças gerando pequenos deslocamentos, ele tenderá a retornar a esta posição. Contudo, para a situação onde temos um máximo na energia potencial, encontramos uma posição de equilíbrio instável, de modo que pequena perturbação na força acarreta em um deslocamento do objeto, não retornando mais a posição anterior. Se considerarmos um sistema tri-dimensional, onde existe uma componente da força para cada direção de um sistema cartesiano então a força pode ser escrita como sendo Fx = − ∂U ∂U ∂U , Fy = − , Fz = − . ∂x ∂y ∂z (4.36) Assim podemos escrever F~ na forma: ~ , F~ = −∇U (4.37) ~ é um operador definido por onde ∇ ˆ ~ = ∂ ˆi + ∂ ˆj + ∂ k. ∇ ∂x ∂y ∂z 4.9 (4.38) Forças externas sobre um sistema Existem forças externas a um sistema físico que podem influenciar no balanço da energia total. Por exemplo, a força de atrito, atua sobre o sistema dissipando energia na forma de ruído e aumentando a temperatura da superfície e do objeto em questão (aumento da energia interna do sistema). Assim, é importante encontrar a energia total dissipada ou recebida por um sistema físico para descrever corretamente a lei conservação da energia mecânica. Como já discutimos anteriormente, o atrito realiza trabalho sobre o objeto, sendo este um trabalho negativo, pois o atrito atua sempre na direção oposta ao sentido das velocidades relativas de escorregamento no contato, de cada uma das superfícies. O trabalho realizado pela força de atrito (Wext ) é exatamente igual ao negativo da variação da energia interna do sistema (∆Uint ), de modo que ∆Uint = −Wext . (4.39) Com isso a equação 4.33 toma a forma: Eci + Ui − ∆Uint = Ecf + Uf , (4.40) de onde podemos reescrever a Lei da Conservação da Energia como sendo ∆Ec + ∆U + ∆Uint = 0 . (4.41) Este resultado é extremamente importante, pois mostra que apesar de existir variações da energia cinética, potencial e interna de um sistema físico a soma destas variações é sempre igual a zero. Assim concluímos que energia nunca pode ser criada ou destruída, mas simplesmente transformada de uma forma para outra. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 4.9.1 121 Potência Com o conhecimento da Lei da Conservação da Energia é possível expandir nosso conceito de potência. Podemos definir potência como a taxa na qual uma a energia é transformada. Assim,a potência média é calculada na forma, Pmed = ∆E , ∆t (4.42) ou ainda, a potência instantânea na forma: P = 4.10 dE . dt (4.43) Exercícios resolvidos 1. Uma caixa de 15 kg, inicialmente em repouso, percorre uma distância d = 5, 70 m, puxado por um cabo em uma rampa sem atrito, até uma altura h = 2, 5 m, parando em seguida. (a) Qual é o trabalho W realizado pela força gravitacional F~g sobre a caixa durante a subida? (b) Qual o trabalho W realizado sobre a caixa pela força T~ exercida pelo cabo durante a subida? Solução: (a) Para calcular o trabalho realizado pela força gravitacional F~g devemos utilizar a equação (4.5) onde, neste caso, θ é o ângulo entre a força gravitacional e o deslocamento da caixa. Assim, temos que W = Fg dsen(θ). (4.44) Contudo, não conhecemos o valor do ângulo de inclinação desta rampa, porém sabemos que o ângulo entre d~ e F~g é maior que 90◦ de modo que o trabalho é negativo. Fisicamente o trabalho negativo é obtido quando a componente da força que realiza o trabalho está no sentido oposto ao do deslocamento. Observando a Figura 4.5 é possível obter do triângulo-retângulo a relação: dsen(θ) = h . (4.45) Substituindo esta última igualdade e lembrando que Fg = mg, temos que, W = −mgdsen(θ) = −mgh , (4.46) que é exatamente a energia potencial gravitacional, onde o sinal negativo está relacionado a discussão do parágrafo anterior. Substituindo os valores numéricos, vem: W = −(15 kg)(9, 8 m/s2 )(2, 5) = −368 J . (4.47) 2. Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce uma força constante de 1, 8 × 106 N, uma a 14◦ na direção noroeste e outro a 14◦ na direção nordeste, direções estas referentes a direção norte. Com isso o petroleiro é puxado uma distância de 0, 75 km do sul para o norte. qual é o trabalho total realizado sobre o petroleiro? Figura 4.5: Figura referente ao Exercício 1. Considere o atrito nulo entre a caixa e o plano inclinado (figura retirada de[4]). Capítulo 4 – Energia e Trabalho 122 Solução: Considerando a figura 4.6 podemos encontrar a força resultante na direção do deslocamento do navio para posteriormente encontrar o trabalho realizado por estes dois rebocadores sobre o navio petroleiro. Para encontrar a força resultante basta tomar as componentes das forças na direção norte. Forças na direção x: Fx = F2 sen(14◦ ) − F1 sen(14◦ ) = 0. (4.48) Forças na direção y: Fy = F1 cos(14◦ ) + F2 cos(14◦ ) = FR . (4.49) Com isso podemos calcular o trabalho tomando W = FR · d, (4.50) onde d é a distância percorrida pelo navio petroleiro. Assim, substituindo os valores numéricos, temos: W = (1, 8 × 106 · cos(14◦ ) + 1, 8 × 106 · cos(14◦ )) · 0, 75 × 103 J (4.51) = 2, 62 × 109 J. (4.52) 3. Uma força age sobre um objeto de 3, 0 kg, que pode ser tratado como uma partícula, de tal forma que a posição do objeto em função do tempo é dada por x = 3, 0t − 4, 0t2 + 1, 0t3 , com x em metros e t em segundos. Determine o trabalho realizado sobre o objeto pela força de t = 0 até t = 4s. Solução: Podemos calcular o trabalho sobre esta partícula utilizando o teorema trabalhoenergia cinética. Desta forma, basta calcular a velocidade da partícula para os dois tempos determinados e encontrar a variação da energia cinética. O cálculo da velocidade é feito a partir da derivada temporal da posição da seguinte forma: dx = 3 − 8t + 3t2 . (4.53) v= dt Substituindo os tempos nesta última expressão temos v(0) = 3 m/ s e v(4) = 19 m/ s. Desta forma a variação da energia cinética é dada por: 1 1 ∆Ec = Ecf − Eci = mvf2 − mvi2 2 2 1 1 2 = Ecf − Eci = 3 · 19 − 3 · 32 = 528 J. 2 2 (4.54) (4.55) Assim, pelo teorema trabalho-energia cinética temos: W = ∆Ec = 528 J. (4.56) Figura 4.6: Navio sendo rebocado por doi rebocadores indicados pela forças F~1 e F~2 . Capítulo 4 – Energia e Trabalho 123 4. A força que atua em um objeto varia conforme a figura 4.7. Encontre o trabalho sobre o objeto para os seguintes intervalos. (a) x = 0 m até x = 8 m, (b) de x = 8 m até x = 10 m e (c) de x = 0 m até x = 10 m. Solução: O cálculo do trabalho pode ser feito a partir da equação (4.13), desta forma, basta calcular a área sob o gráfico para encontrar o trabalho para um determinado intervalo de tempo. Assim, temos: (a) O trabalho para o intervalo de x = 0 m até x = 8 m é: W = 24 J. (4.57) (b) O trabalho para o intervalo de x = 8 m até x = 10 m é: W = −6 J. (4.58) (c) O trabalho para o intervalo de x = 0 m até x = 10 m é: W = W0−8 + W8−10 = 24 J − 6 J = 18 J. (4.59) 5. Uma força é expressa por Fx = Ax−3 , onde A = 8 N · m3 . (a) Para valores positivos de x, a energia potencial associada a essa força aumenta ou diminui com o aumento de x? (b) Determine a função energia potencial U associada a essa força, de modo que U tende ao zero quando x tende a infinito. (c) Faça um esboço da curva U vs. x. Solução: (a) Como vimos a energia potencial poder ser calculada a partir da integral no espaço da força aplicada ao sistema. Assim, conhecendo a força podemos encontrar U da seguinte forma: Z Z U (x) = − F (x) = − Ax−3 dx (4.60) calculando a integral temos que 1A + U0 , (4.61) 2 x2 onde U0 é uma constante devido a integral ser indefinida, o valor desta constante irá depender das condições iniciais da energia do sistema físico. Observando esta última equação podemos verificar que com o aumento de x temos uma diminuição do potencial U (x). U (x) = (b) Inicialmente vamos tomar x → ∞: 1 A + U0 . (4.62) 2 ∞2 Assim temos que U (x) = U0 = 0 como o próprio enunciado determina. Conhecendo U0 podemos reescrever a função potencial na forma: U (x → ∞) = U (x) = 4 N · m3 . x2 (4.63) Figura 4.7: Navio sendo rebocado por doi rebocadores indicados pela forças F~1 e F~2 . Capítulo 4 – Energia e Trabalho 124 (c) Para fazer o gráfico do enunciado vamos utilizar um programa matemático para resolver a função em um determinado intervalo em x (o programa utilizado para solução deste exemplo foi o Mathematica). Figura 4.8: Potencial vs. a posição para a função do exemplo 5. 6. A Figura 4.9 mostra uma novidade em relógios de parede: O relógio (de massa m) é suportado por dois cabos leves que circundam duas polias e sustentam dos contrapesos, cada um de massa M . (a) Determine a energia potencial do sistema em função da distância y. (b) Calcule o valor de y para o qual a energia potencial do sistema é mínima. (c) Se a energia potencial é mínima, então o sistema esta em equilíbrio. Aplique a segunda Lei de Newton ao relógio e mostre que ele está em equilíbrio para o valor de y obtido no item (b). Este ponto de equilíbrio é estável ou instável? Solução: Para resolver este problema vamos inicialmente considerar que o potencial é nulo para a altura das polias. Assim a energia potencial relacionado aos corpos de massa m e M . Assim temos: (a) A energia potencial é a energia potencial para o relógio somada a energia potencial das duas massas M . De acordop com a Figura 4.9 a altura do relógio é −y e a altura para as massas M é L − y 2 + d2 . A energia é então: p U (y) = −mgy − 2M g(L − y 2 + d2 ). (4.64) Para encontrar os máximos e mínimos da energia potencial podemos tomar a derivada do mesmo em função da posição e igualar a zero. Para verificar se as raízes, ou as posições y, são máximos ou mínimos basta tomar a derivada segunda e verificar se o mesmo é positivo (o potencial neste ponto será um mínimo) ou negativo (o potencial neste ponto será um máximo). No caso: p d dU (y) = − [mgy + 2M g(L − y 2 + d2 )]. dy dy (4.65) Resolvendo esta derivada e igualando a zero para encontrar os máximos e mínimos temos que U 0 (y) = −[mg − 2M g p y0 y 02 + d2 ] = 0, (4.66) Figura 4.9: Relógio com as massas M e m do exemplo 06. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 125 onde y 0 indica a posição dos máximos e mínimos. Isolando y 0 nesta última temos que r m2 y0 = d . (4.67) 4M 2 − m2 Tomando a derivada segunda da função potencial temos que y d d2 U (y) = − [mg − 2M g p ] 2 2 dy dy y + d2 = 2M gd2 (4.68) (4.69) 3 (y 2 + d2 ) 2 Substituindo agora y por y 0 temos que d2 U (y 0 ) 2M gd = 3 . 2 2 m dy ( 4M 2 −m2 + 1) 2 (4.70) Percebemos que a expressão do lado direito da igualdade acima é uma quantidade positiva, de forma que d2 U (y 0 ) >0, dy 2 (4.71) p ou seja, y = d m2 /(4M 2 − m2 ) é um minimo da função pontencial. (c) Aplicando a segunda lei de Newton, podemos mostrar que este sistema está em equilíbrio, para isso vamos tomar o somatório da força atuantes em um ponto do sistema, o ponto em questão será o nó que une a cordas do relógio, como mostrado na figura 4.10. Para verificar o equilíbrio temos que o somatório das forças na direção x e y são nulas. Na direção x pela própria simetria das forças na figura 4.10 é possível verificar esta igualdade. Na direção y temos que: X Fy = 0 . (4.72) Substituindo as forças, vem: 2M gsen(θ) − mg = 0, (4.73) de onde encontramos a relação angular na forma: sen(θ) = m . 2M (4.74) Em termos das distâncias y e d o seno do mesmo ângulo θ é sen(θ) = p y y2 + d2 . (4.75) Igualando estas duas últimas equações temos que m y =p , 2 2M y + d2 (4.76) Figura 4.10: Forças atuantes sobre o nó do sistema relógio. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 126 que é equivalente à equação para a derivada de U (x) em função de y igualada a zero para encontrar os máximos e mínimos. (d) Este é um ponto de equilíbrio estável, pois qualquer pequena variação no ângulo ∆θ fará com que o sistema retorne a posição inicial levando novamente ao ângulo inicial θ. 7. Um bloco de massa m está em repouso em um plano inclinado de θ com a horizontal. O bloco está preso por uma mola de constante elástica k, como mostrado na figura 4.11. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre o bloco e o plano são µs e µd , respectivamente. A mola é puxada muito lentamente, para cima, ao longo do plano, até o bloco iniciar um movimento. (a) Obtenha uma expressão que descreva a distensão d da mola no instante em que o bloco encontra em movimento. (b) Determine o valor de µd de forma que o bloco saia do repouso quando a mola está na condição relaxada, isto é, nem estendida nem comprimida. Figura 4.11: Plano inclinado com ângulo θ referente ao exemplo 07. Figura retirada da referência [7]. Solução: (a) Para encontrar uma função para a distensão d da mola no momento em que inicia o movimento vamos utilizar a segunda lei de Newton. Desta forma podemos observar na figura 4.12 o diagrama de corpo livre do sistema. Fazendo o somatório das forças na direção x e na direção y temos: X Fx = Fm − fat − mgsen(θ) = 0 (4.77) e X Fy = Fn − mgcos(θ) = 0 . (4.78) Utilizando a Equação (4.78) e substituindo a força normal Fn na equação para força de atrito temos que kd − µs mgcos(θ) − mgsen(θ) = 0 , (4.79) onde o primeiro termo é a força devido a lei de Hooke, o segundo é a força de atrito e o terceiro componente é o componente do peso na direção x. Desta forma, podemos isolar d para encontrar a função desejada na letra (a) do exercício: mg d= (sen(θ) + µs cos(θ)). (4.80) k (b) Nesta situação temos o atrito no sistema, de forma que uma variação da energia interna devido a energia térmica surge. Assim podemos escrever a lei da conservação da energia para tentar alcançar o valor do coeficiente de atrito. Assim o trabalho realizado pelas forças externas é Wext = ∆EM + ∆ET , (4.81) onde ∆EM é a energia mecânica e ∆ET é a energia dissipada em forma de calor devido ao atrito. Substituindo a energia mecânica e considerando que tanto no início da análise quanto no final a energia cinética é nula, assim: Wext = ∆Ug + ∆Ue + ∆ET . (4.82) Figura 4.12: Diagrama de força para o bloco sobre o plano inclinado com atrito do Exercício 7. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 127 Podemos escrever, através da conservação da energia que ∆Ug + ∆Ue + ∆ET = 0 . (4.83) Considerando que a energia potencial do sistema é nulo na posição inicial do sistema, então a variação da energia potencial pode ser escrita como sendo: ∆Ug = mgh − 0, (4.84) onde, observando a figura 4.12, temos que h = dsen(θ). Com isso, ∆Ug = mgdsen(θ). (4.85) Com relação a energia armazenada na mola, temos que inicialmente ela encontrase distendida de um valor d e como o enunciado descreve, devemos encontrar µd quando a mola esta relaxada, ou seja a deformação da mola é nula, assim: 1 ∆Ue = − kd2 . 2 (4.86) A energia térmica, como mencionado anteriormente é a energia dissipada pela força de atrito, para encontrar este energia basta calcular o trabalho realizado pela força de atrito durante o deslocamento d do bloco. Com isso podemos escrever ∆ET na forma: ∆ET = −Fat · d = −µd Fn d = −µd mgdcos(θ). (4.87) Substituindo estas ultimas equações na expressão para conservação de energia, temos: 1 (4.88) mgdsen(θ) − kd2 − µd mgdcos(θ) = 0. 2 Portanto o coeficiente de atrito µd tem a forma 1 µd = (tan(θ) − µs ) , 2 (4.89) onde d foi substituído pela expressão encontrada no item (a). 8. Um bloco de madeira (massa M) está conectado a duas molas de massas desprezíveis, como mostrado na figura 4.13. Cada mola tem comprimento não esticado L e constante de mola k. (a) Se o bloco é deslocado de uma distância x, como mostrado, qual é a mudança na energia potencial armazenada nas molas? (b) Qual é o módulo da força que empurra o bloco para fora da posição de equilíbrio? (c) Usando um programa gráfico, trace o gráfico da energia potencial U como uma função de x para 0 ≤ x ≤ 0, 2. Considere que k = 1 N/ m, L = 0, 1 m e M = 1 kg. (d) Se o bloco é deslocado de uma distância x = 0, 1 m e abandonado, com que velocidade ele passará pela sua posição original de equilíbrio? Admita que o bloco está parado em uma superfície sem atrito. Solução Figura 4.13: Sistema com um bloco de massa M preso a duas molas de constantes elásticas k. Figura retirada da referência [7]. Capítulo 4 – Energia e Trabalho 128 (a) Considerando apenas a energia armazenada nas molas temos que inicialmente calcular a elongação de cada uma das molas. Para isso podemos observar a figura 4.13 e mostrar que ∆L = hip − L, (4.90) onde a hipotenusa (hip) é dada por hip = Assim, ∆L = √ √ L 2 + x2 . (4.91) L2 + x2 − L. (4.92) A variação de energia potencial armazenada nas molas é então: 1 ∆U = Uf − Ui = 2 k(∆L)2 . 2 (4.93) O fator 2 está relacionado a energia nas duas molas do sistema físico. A energia armazenada é √ ∆U = k( L2 + x2 − L)2 . (4.94) (b) Para calcular a força basta fazer uma soma vetorial das forças de cada uma das molas, esta força pode ser escrita como sendo, Fm = 2F cos(θ) = 2k∆Lcos(θ). (4.95) Observando a Figura 4.13 podemos escrever cos(θ) = √ x , + x2 L2 (4.96) de modo que x Fm = 2k∆L √ . L 2 + x2 Usando ∆L da solução (a) vem que Fm = 2kx(1 − √ L ). L2 + x2 (4.97) (4.98) Outra forma de resolver este ítem basta derivar a expressão encontrada para a energia potencial, pois F =− √ dU d L = (k( L2 + x2 − L)2 ) = 2kx(1 − √ ). 2 dx dx L + x2 (4.99) (c) Para traçar o gráfico da energia potencial (Figura 4.14(b)), vamos utilizar o programa Mathematica com os parâmetros indicados no exercício. A estrutura do programa pode ser como indicado na Figura 4.14(a). Capítulo 4 – Energia e Trabalho (a) Exemplo de programa na linguagem Mathematica. 129 (b) Saída do programa da Figura 4.14(a). Figura 4.14: Grafico de U vs. x no intervalo indicado no enunciado do exercício 8. Capítulo 5 Centro de Massa e Momento Linear Alexandre Barbosa de Oliveira Neste capítulo serão introduzidas diversas novas grandezas físicas, tais como centro de massa, momento linear e impulso. Todas essas grandezas são extremamente importantes para descrever várias situações da física mecânica que envolve dinâmica ou estática de corpos extensos, ou seja, de corpos que não podem ser aproximados por uma massa pontual. Por exemplo: Como aplicar a segunda lei de Newton para descrever quantitativamente o movimento de um asteróide? 5.1 Centro de Massa O centro de massa (CM) é uma posição geométrica de um objeto que pode pertencer ao seu interior ou não. Portanto, as coordenadas do CM devem ser expressas em unidade de distância (m, cm, mm, etc). Para determinar a Equação matemática do CM devemos separar dois tipos de sistema: (i) Um sistema discreto de partículas, por exemplo: um conjunto de massas pontuais distribuídas no espaço (ver Figura 5.1) e (ii) Um sistema contínuo de partículas, por exemplo: um corpo rígido (ver Figura 5.2). Figura 5.1: Ilustração de distribuição discreta (a) bidimensional e (b) unidimensional de partículas de massas diferentes. Inicialmente será tratado o caso do sistema discreto de partículas como o ilustrado na Figura 5.1. As coordenadas do CM são obtidas realizando uma média ponderada das posições das partículas, cuja ponderação é feita pela massa de cada 130 Figura 5.2: Corpo sólido como exemplo de sistema contínuo de partículas. Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 131 partícula. Portanto, para um sistema de N partículas cujas posições são descritas pelas coordenadas cartesianas (x, y, z): xCM N m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + . . . + mN xN 1 X = = mi xi , m1 + m2 + m3 + . . . + mN M i=1 (5.1a) yCM = N m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + . . . + mN yN 1 X = mi yi , m1 + m2 + m3 + . . . + mN M i=1 (5.1b) zCM = N 1 X m1 z1 + m2 z2 + m3 z3 + . . . + mN zN = mi zi , m1 + m2 + m3 + . . . + mN M i=1 (5.1c) onde o índice i indica a indexação da i-ésima partícula cuja posição é dada por (xi , yi , zi ), a massa igual a mi e M é o somatório de todas as massas mi , ou seja, é a massa total do sistema. No caso da Figura 5.1(a) o sistema é descrito no plano xy. Assim não há a necessidade de envolver a coordenada z no problema. Portanto as Equações (5.1a) e (5.1b) para o CM do sistema ilustrado na Figura 5.1(a) ficam: m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 m 2 x2 + m 3 x3 = , (5.2a) m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 + m4 y4 m1 y1 + m2 y2 = = . (5.2b) m1 + m2 + m3 + m4 m1 + m2 + m3 + m4 xCM = yCM Nas Equações (5.2a) e (5.2b) considere que as coordenadas (xi , yi ) da Figura 5.1(a) tenham aproximadamente o mesmo módulo ou tenham a mesma ordem de grandeza. Isto implica que |x1 | ≈ |x2 | ≈ |x3 | ≈ |x4 | ≈ |y1 | ≈ |y2 | ≈ |y3 | ≈ |y4 | . (5.3) Como a massa m3 é maior do que as outras massas, isto implica que as coordenadas x e y do CM serão mais próximas da posição de m3 . No caso limite de m3 >> {m1 , m2 , m4 }, então m3 x3 >> {m1 x1 , m2 x2 , m4 x4 } e m3 y3 >> {m1 y1 , m2 y2 , m4 y4 }. Sendo assim as coordenadas do CM ficam aproximadamente as mesmas da massa m3 : xCM ≈ m3 x3 = x3 m3 e yCM ≈ m3 y3 = y3 . m3 (5.4) A Figura 5.1(b), mostra um caso unidimensional composto por duas partículas cujas ordenadas são zero e as abscissas de mesmo módulo. Neste caso, as coordenadas do CM ficam: m1 x1 + m2 x2 (−m1 + m2 )x = , m1 + m2 m1 + m2 m1 y1 + m2 y2 = = 0. m1 + m2 xCM = (5.5a) yCM (5.5b) Observando a Equação (5.5a) é possível concluir que se m1 = m2 , então o CM ficará localizado na origem do sistema de coordenadas xy. Novamente, se uma das Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 132 massa for maior do que a outra, m2 por exemplo, fica claro a partir da Equação (5.5a) que a posição do CM ficará mais próxima da massa de maior valor, m2 , neste exemplo. É possível escrever as coordenadas do CM de uma forma mais formal e compacta usando notação vetorial. Para isto considere que a posição da massa mi é dada ˆ Usando as Equações (5.1a), (5.1b) e (5.1c) pelo seguinte vetor: ~ri = xiˆi + yiˆj + zi k. podemos escrever o vetor posição do CM para um sistema de partículas discretas como: ~rCM = xCM ˆi + yCM ˆj + zCM kˆ ! ! N N X 1 1 X = mi xi ˆi + mi yi ˆj + M i=1 M i=1 = N 1 X mi zi M i=1 N N  1 X  ˆ 1 X mi xi i + yiˆj + zi kˆ = mi~ri M i=1 M i=1 ! kˆ (5.6) O sistema contínuo de partículas tal como um corpo rígido possui as coordenadas do CM expressas na forma integral. Para passar as Equações (5.1a), (5.1b), (5.1c) e (5.6) do sistema discreto de partículas, para o sistema contínuo de partículas é necessário o uso da densidade volumétrica do corpo rígido. Seja ρ = massa/volume, a densidade volumétrica do corpo que pode ser constante (uniforme, ρ = constante) ou depender da posição (não uniforme, ρ = ρ (x, y, z)). Considerando um corpo rígido formado por partículas de massas infinitesimais dm cuja posição é (x, y, z), então a média da posição de dm ponderada pela massa dm fica: xCM yCM zCM Z 1 x dm, = M Z 1 y dm, = M Z 1 = z dm, M (5.7a) (5.7b) (5.7c) R onde M é a massa total do corpo rígido, ou seja, M = ρ dV e as coordenadas (x, y, z) pertencem ao interior do corpo rígido. A integral é realizada apenas no interior do corpo rígido. A densidade volumétrica ρ pode ser escrita em função de infinitésimos da massa dm e do volume dV da seguinte forma: ρ= dm ⇒ dm = ρ dV. dV (5.8) Substituindo a Equação (5.8 ), nas Equações das coordenadas do CM para sistema contínuo de partículas (Equações (5.7a), (5.7b) e (5.7c)), podemos reescrever suas Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 133 coordenadas como: xCM yCM zCM Z 1 x ρ(x, y, z) dV, = M Z 1 = y ρ(x, y, z) dV, M Z 1 = z ρ(x, y, z) dV. M (5.9a) (5.9b) (5.9c) Observe que as Equações (5.9a), (5.9b) e (5.9c) foram escritas explicitando a possível dependência espacial da densidade volumétrica, quando ρ não é uniforme. No caso em que ρ é uniforme podemos simplificar as Equações (5.9a), (5.9b) e (5.9c) usando o fato de que ρ = M/ V = constante, onde V é o volume total do corpo rígido. Portanto: Z Z Z ρ 1 1 x ρ(x, y, z) dV = x dV = x dV, (5.10a) xCM = M M V Z Z Z ρ 1 1 y ρ(x, y, z) dV = y dV = y dV, (5.10b) yCM = M M V Z Z Z 1 ρ 1 zCM = z ρ(x, y, z) dV = z dV = z dV. (5.10c) M M V Lembrando novamente que a integração deve ser realizada no interior do corpo rígido e NÃO em todo o espaço. 5.2 A Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas Nos capítulos anteriores, foi estudada a segunda lei de Newton aplicada a uma única partícula de massa m. Este tratamento quantitativo da dinâmica de uma partícula foi imprescindível para entendermos e prevermos o movimento dos objetos. Neste caso, foi visto que a soma de todas as forças atuando sobre uma partícula m está relacionada com sua aceleração ~a, de forma linear, onde o coeficiente de proporcionalidade é a massa m F~ = m~a. (5.11) A aproximação de um objeto real para uma partícula nem sempre é factível e de resultado satisfatório. Por exemplo, não podemos aproximar um sistema discreto de partícula como da Figura 5.1, para uma única partícula. O mesmo ocorre, por exemplo, ao explicar o movimento de um asteróide de forma geométrica arbitrária. Inicialmente será tratado um sistema discreto de partículas e em seguida os resultados serão estendidos aos sistemas contínuos de partículas. Para explicar a dinâmica de um sistema de N partículas podemos aplicar a segunda lei de Newton a cada uma das partículas constituintes do sistema, obtendo o seguinte sistema de Equações: F~R,1 = m1~a1 ; F~R,2 = m2~a2 ; F~R,3 = m3~a3 ; · · · F~R,N = mN ~aN , (5.12) onde F~R,i é a força resultante atuando sobre a partícula i e mi e ~ai são a massa e a aceleração da partícula i, respectivamente. No caso de sistemas de partículas Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 134 é importante separar as forças que atuam sobre cada uma das partículas em forças internas e externas. A classificação de forças internas e externas do sistema depende fortemente do sistema tratado! Inicialmente será abordado o caso de forças internas e em seguida forças externas. 5.2.1 Forças Internas Todas as forças internas do sistema obedecem à 3ł Lei de Newton, ou seja, obedecem à lei da ação-reação. As forças internas são forças que as partículas do sistema exercem uma sobre as outras. Exemplos de forças internas são as forças gravitacional e elétrica entre as partículas (ver Figura 5.3). Na Figura 5.3, F~i→j é a força que atua sobre a partícula j devido à alguma interação (gravitacional ou elétrica, no caso da Figura 5.3) com a partícula i. Em termos da lei de ação-reação podemos dizer que F~1→2 é a força que a partícula 1 “exerce” sobre a partícula 2 (ação) e F~2→1 é a força que a partícula 2 “exerce” sobre a partícula 1, embora não haja contato físico. As ilustrações da Figura 5.3(a), são baseadas na força de atração gravitacional (F~g ) existente entre um par de partículas de massa mi e mj , separadas por uma distância d (F~g ∝ mi mj /d2 ). No caso da Figura 5.3(b), a força existente entre as partículas é de origem elétrica (F~e ) que pode ser atrativa ou repulsiva dependendo do sinal das cargas qi e qj (F~e ∝ qi qj /d2 ). Figura 5.3: Ilustração de forças internas de um sistema composto por três partículas; (a) atração gravitacional entre as massas m1 , m2 e m3 ; (b) atração e repulsão eletrostática entre as cargas q1 , q2 e q3 . Como as forças internas podem ser tratadas pela 3a. Lei de Newton, então ~ Fi→j = −F~j→i para qualquer par ij. Levando esta relação em consideração, o somatório das forças internas dos sistemas da Figura 5.3 tem o seguinte resultado: F~1→2 = −F~2→1 ; F~1→3 = −F~3→1 ; F~2→3 = −F~3→2 ⇒ F~1→2 + F~2→1 + F~1→3 + F~3→1 + F~2→3 + F~3→2 = 0. (5.13) Este resultado pode ser generalizado para qualquer sistema de partículas (discreto ou contínuo), ou seja, o somatório das forças internas de um sistema qualquer de N partículas é sempre nulo: N X internas F~i→j = 0. (5.14) i,j; i6=j Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 135 Note que o somatório na Equação (5.14) é realizado com i e j variando de 1 até N, de tal forma que i 6= j. Se i = j estaremos somando a força que uma partícula “exerce” sobre ela mesma. 5.2.2 Forças Externas As forças externas são forças cujos agentes estão fora do sistema tratado. Portanto, as forças gravitacional e elétrica também podem ser tratadas como forças externas. Por exemplo, considere que o sistema em estudo é composto apenas pelas partículas 1 e 2 na Figura 5.3. Então, as forças gravitacional ou elétrica entre as partículas 1 e 2 são consideradas como forças internas (F~1→2 e F~2→1 ) e as forças que atuam sobre as partículas 1 e 2 oriundas da interação com a partícula 3 são consideradas como forças externas (F~3→1 e F~3→2 ). Todas as forças internas de um sistema obedecem a 3a. Lei de Newton, mas nem todas as forças que obedecem a 3a. Lei de Newton podem ser consideradas como forças internas dos sistema! Após estabelecer a diferença entre forças internas e externas de um sistema vamos retornar ao problema da dinâmica de um sistema discreto de partículas (Equação (5.12)), onde aplicamos a segunda lei de Newton individualmente às partículas. Observe que os termos F~R,i , onde i = 1, 2, 3...N, possuem contribuições de forças internas e externas interna externa F~R,i = F~R,i + F~R,i . (5.15) interna = As forças internas dependem das posições das partículas, ou seja, F~R,i interna ~ (~r1 , ~r2 , ~r3 , . . . , ~rN ). Isto implica que as Equações (5.12) são acopladas e FR,i portanto não podem ser resolvidas independentemente. Assim é necessário resolver as Equações deste sistema simultaneamente. Para isto vamos somar todas as suas Equações, resultando em F~R,1 + F~R,2 + F~R,3 + · · · + F~R,N = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · · + mN ~aN , externa interna externa interna interna externa ~ ~ + · · · + F~R,N + F~R,N = + F~R,2 ⇒ FR,1 + FR,1 + F~R,2 m1~a1 + m2~a2 + · · · + mN ~aN . (5.16a) Usando o fato de que o somatório de todas as forças internas de um sistema é sempre nulo (Equação (5.14)), podemos reescrever a Equação (5.16a) como externa externa externa = m1~a1 + m2~a2 + · · · + mN ~aN , (5.17) F~R,1 + F~R,2 + · · · + F~R,N ou de modo resumido N X i=1 externa F~R,i = N X mi~ai . (5.18) i=1 O lado esquerdo da Equação (5.18), é o somatório apenas das forças externas atuando no sistema, ou seja, é a força externa resultante atuando sobre o sistema externa (F~sistema ) externa externa externa externa + F~R,2 + · · · + F~R,N = F~sistema = F~R,1 N X i=1 externa F~R,i . (5.19) Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 136 O significado físico do lado direito da Equação (5.18) está relacionado com a dinâmica do CM. Para mostrar isto é necessário voltar à Equação das coordenadas do CM do sistema (Equação (5.6)). Derivando duas vezes em relação ao tempo a Equação (5.6), obtemos o seguinte resultado: ! N N N 1 X d2 1 X d2~ri 1 X d2~rCM = ~aCM = 2 mi~ai = mi 2 = mi~ai dt2 dt M i=1 M i=1 dt M i=1 ⇒ M~aCM = N X mi~ai . (5.20) i=1 O resultado mostrado na Equação (5.20) é válido apenas nos casos de sistemas que conservam a massa, isto é, a massa total do sistema M e a massa individual das partículas é constante no tempo. Portanto, a Equação (5.20) mostra que o lado direito da Equação (5.18) está relacionado com a aceleração do centro de massa do sistema. Usando os resultados das Equações (5.19) e (5.20), pode-se reescrever a Equação (5.18) da seguinte forma externa F~sistema = M~aCM . (5.21) Apesar da Equação (5.21) ter sido deduzida para um sistema discreto de partículas, vale ressaltar que esta relação também é válida para um sistema contínuo de partículas. Observe que a Equação (5.21) tem a forma vetorial e pode ser decomposta nas direções x, y e z externa Fsistema
externa Fsistema
externa Fsistema
x y z d2 xCM , dt2 d2 yCM , = M (aCM )y = M dt2 d2 zCM = M (aCM )z = M . dt2 = M (aCM )x = M (5.22a) (5.22b) (5.22c) A Equação (5.21) é a segunda lei de Newton para um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. Esta Equação nos permite concluir que o movimento de translação do CM de um sistema qualquer (discreto ou contínuo) de partículas é o mesmo de uma única partícula, cuja massa é igual à massa do sistema, cuja posição é a mesma do CM e está submetida a uma força externa igual à resultante que atua sobre o sistema. Em outras palavras, o movimento de translação de um conjunto de partículas discreto ou de um corpo sólido pode ser descrito como se toda a sua massa estivesse concentrada no CM e a força resultante do sistema estivesse sendo aplicada no CM. O movimento de translação de um asteróide, por exemplo, é descrito como se toda a sua massa estivesse localizada no seu CM. O movimento de rotação do asteróide será estudado no capítulo seguinte. Existem diversos movimentos de translação de sistemas discretos e contínuos que são explicados pela segunda lei de Newton da Equação (5.21). Por exemplo, o movimento de um corpo sólido como uma pessoa realizando um movimento acrobático como o ilustrado na Figura (5.4). Este movimento pode ser dividido em translação e rotação da pessoa. Naturalmente, observa-se a rotação da pessoa em torno de um eixo cujas propriedades física serão estudadas no capítulo seguinte. O movimento de translação pode ser descrito como Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 137 se toda a massa da pessoa (mp ) fosse localizada em seu centro de massa e a força externa = P~ = mp~g ), fosse aplicada no externa, neste caso a força gravitacional (F~sistema CM. Por isto, vemos o CM realizando um movimento parabólico, assim como uma partícula de massa mp . Figura 5.4: Ilustração do movimento de translação e rotação de uma pessoa durante um movimento acrobático. A translação da pessoa é descrita como um movimento parabólico como se toda sua massa estivesse concentrada no centro de massa. Uma outra situação muito comum vem da Equação (5.21), que pode ser usada para explicar e prever os resultados é o caso de colisões. Nestes casos, em geral, não existem forças externas resultante atuando sobre o sistema, como será mostrado externa = 0 = M~aCM , e isto implica que a nos exemplos a seguir. Portanto, F~sistema aceleração do centro de massa (~aCM ) é nula. Assim o centro de massa irá se mover com velocidade constante qualquer que seja o processo de colisão. Lembre-se que a Equação (5.21) é válida apenas para sistemas que conservam a massa durante todo o seu movimento. O movimento de um foguete é um caso particular de sistema que não conserva a massa. 5.3 Momento Linear Nesta seção, será introduzida uma nova grandeza física chamada de momento linear. O momento linear pode ser associado a uma única partícula ou a um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. A motivação para o estudo desta nova grandeza física está em sua utilidade para resolver problemas principalmente de colisões de uma ou mais partículas. Foi visto em capítulos anteriores situações físicas em que a conservação da energia mecânica é uma ferramenta muito útil na resolução de diversos problemas de física. Como veremos mais adiante existem situações físicas que há a conservação do momento linear, e nestes casos o momento linear pode ser utilizado como uma ferramenta muito útil na resolução do problema. O motivo de chamarmos de momento linear é para distinguir do momento angular que será estudado no capítulo seguinte. É comum falarmos apenas a palavra momento para denominar o momento linear. O momento linear (~p) de uma partícula é definido como p~ = m~v , (5.23) Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 138 onde m e ~v são a massa e a velocidade da partícula, respectivamente. Note que o momento linear é uma grandeza vetorial e sua unidade no sistema internacional é massa × velocidade = kg.m/s. Originalmente a 2a. Lei de Newton para uma única partícula foi expressa usando o momento linear da seguinte forma d~p F~R = , dt (5.24) onde F~R é a força resultante sobre a partícula e p~ seu momento. A Equação (5.24) significa que a força resultante aplicada sobre uma partícula faz variar seu momento linear. Em outras palavras, a única forma de variar o momento linear de uma partícula é aplicando uma força resultante não nula na partícula. No caso de uma partícula cuja massa não varia com o tempo, o lado direito da Equação (5.24) fica d~p d d~v = (m~v ) = m = m~a. dt dt dt (5.25) Desta forma obtemos o resultado da Equação (5.11). O momento linear de um sistema discreto de N partículas (P~ ) é naturalmente o somatório do momento linear de todas as N partículas constituintes do sistema. Portanto, P~ = p~1 + p~2 + · · · + p~N = m1~v1 + m2~v2 + · · · + mN ~vN d~r2 d~rN d d~r1 + m2 + · · · + mN = (m1~r1 + m2~r2 + · · · + mN ~rN ) = m1 dt dt dt dt ! N d X d d~rCM = mi~ri = (M~rCM ) = M dt i=1 dt dt ⇒ P~ = M~vCM , (5.26) onde M é a massa do sistema de partículas e ~vCM é a velocidade do centro de massa. O resultado mostrado na Equação (5.26) foi obtido usando a Equação (5.6) e considerando que a massa total do sistema de N (M) partículas não varia com o tempo. Novamente note a possibilidade de descrever as propriedades físicas de um sistema de partículas, neste caso o momento linear, em função do CM. A dedução da Equação (5.26) foi realizada considerando um sistema discreto de partículas, contudo é possível realizar o mesmo procedimento de dedução considerando um sistema contínuo de partículas. Para isto os somatórios sobre as partículas devem ser substituídos por suas respectiva integrais. Assim, a Equação (5.26) também é válida para sistemas contínuos de partículas, como por exemplo um corpo sólido. A Equação (5.26) significa que o momento linear de um sistema qualquer (discreto ou contínuo) é o mesmo de uma única partícula cuja massa é igual a massa do sistema (M) e cuja velocidade é a mesma do CM. Usando os resultados das Equações (5.26) e (5.21) pode-se reescrever a segunda lei de Newton para um sistema (discreto ou contínuo) de partículas em função do seu momento linear dP~ externa . F~sistema = dt (5.27) Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 139 A Equação (5.27) significa que apenas uma força externa resultante não nula é capaz de mudar o momento linear do sistema de partículas. Em algumas situações físicas a força resultante sobre a partícula ou sobre o sistema (discreto ou contínuo) de partículas é nula. Isto implica que o momento linear não varia com o tempo, ou seja, é constante. Será mostrado nos exemplos resolvidos que este resultado é muito importante para entendermos e prevermos o que ocorre em colisões. 5.4 Colisão e Impulso Nesta seção, será introduzido o conceito de impulso que é uma grandeza física útil na descrição de situações físicas onde a força sobre os objetos é aplicada por um tempo finito. Exemplos destes tipos de situações são as colisões, onde a força sobre as partículas envolvidas na colisão existe apenas durante o intervalo de tempo em que elas estão em contato físico. Também será mostrado como relacionar o impulso ~ está relacionado com a integral com a variação do momento linear. O impulso (I) da força que atua sobre a partícula durante o intervalo de tempo que a mesma foi aplicada. Por exemplo, considere uma bola de futebol colidindo com uma parede (ver Figura 5.5). O impulso da colisão é definido como: Z tf ~ F~ (t) dt, I= (5.28) ti onde F~ (t) é a força que atua sobre a bola de futebol devido à colisão com a parede, ti e tf são os instantes em que a colisão inicia e finaliza, respectivamente. A unidade do impulso no sistema internacional é força × tempo = N.s =kg.m/s3 . Observe que o impulso I~ é uma grandeza vetorial e por isto possui componentes x, y e z: Z tf Z tf Z tf Fz (t) dt (5.29) Fy (t) dt; Iz = Ix = Fx (t) dt; Iy = ti ti ti O gráfico da Figura 5.6(a) mostra uma situação típica da força que atua sobre a bola de futebol durante a colisão. Os tempos ti e tf são os instantes que o contato entre a bola e a parede inicia e termina, respectivamente. Note que a força apresenta um pico que corresponde ao instante de tempo em que a deformação da bola é máxima. Assim, como a Figura 5.6(a) indica, o impulso é a área abaixo da curva. Em geral a expressão matemática para a força F~ (t) pode depender de diversas propriedades físicas dos objetos envolvidos na colisão tais como o material que a bola é feito, a pressão interna da bola, o material que a parede é feita, a área de contato, etc. Por isto em várias situações físicas a força F~ (t) não é conhecida, sendo muito comum realizar uma aproximação, assim como é mostrada na Figura 5.6(b). Nesta figura, os tempos ti e tf são os mesmos da Figura 5.6(a) e o valor da força média Fmed é tal que a área abaixo da curva da Figura 5.6(b) é a mesma da Figura 5.6(a). Portanto, embora a dependência temporal das forças de colisão seja diferente nas Figuras 5.6(a) e 5.6(b) os impulsos possuem o mesmo valor. A Figura 5.6(c), mostra dois gráficos da dependência temporal da força em duas colisões Figura 5.5: Ilustração de uma colisão entre a bola de futebol com a parede. Note que há deformação da bola devido as suas propriedades elásticas. Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear (a) 140 (b) (c) Figura 5.6: Dependência temporal da força existente em colisões. A área abaixo da curva é o impulso dado ao objeto; (a) dependência temporal da força numa colisão real; (b) aproximação da força por um valor médio para facilitar no cálculo do impulso; (c) comparação entre duas colisões reais onde a dependência temporal da força é diferente, mas o impulso é o mesmo. distintas. Na colisão 1 a força é dada por F1 (t) e na colisão 2 a força é dada por F2 (t). A área abaixo de ambas as curvas é a mesma, ou seja, os impulsos em ambas as colisões é o mesmo. Um exemplo real de colisões mostradas na Figura 5.6(c) é uma pessoa pulando do décimo andar de um prédio e colidindo diretamente com o chão, que proporciona um alto valor de força num intervalo de tempo curto (colisão 1, na Figura 5.6(c)) e colidindo com um colchão de ar, que proporciona um baixo valor de força durante um tempo longo (colisão 2, na Figura 5.6(c)). Portanto a colisão 2 exemplifica um tipo de colisão não letal, enquanto a colisão 1 é um tipo de colisão letal. A partir da definição de impulso (Equação (5.28)) é possível correlacioná-lo com a variação do momento linear da partícula. Para isto a segunda lei de Newton expressa com o momento linear (Equação (5.24)) será substituída na Equação (5.28), resultando em: Z tf Z p~f d~p ~ I= dt = d~p = p~f − p~i , (5.30) p ~i ti dt onde p~i e p~f são o momento linear inicial e final da partícula. Lembrando que os instantes inicial e final referem-se à aplicação da força F~ (t) como ilustrado na Figura 5.6. A Equação (5.30) é conhecida como o teorema impulso-momento linear, pois estabelece uma igualdade entre o impulso, numa colisão, por exemplo, com a variação do momento linear da partícula na colisão. Embora o momento linear e a energia cinética sejam duas grandezas físicas distintas que dependem da massa e da velocidade, diferenciando apenas na forma matemática, elas possuem significado Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 141 físico completamente diferente. Esta diferença será esclarecida na próxima seção que abordará os tipos de colisões e suas características. 5.5 Energia Cinética, Momento Linear e Colisão Nesta seção, será mostrado como as novas grandezas físicas momento linear e impulso são úteis na investigação de colisões de uma ou mais partículas. Outra grandeza física que possui papel importante nas colisões é a energia cinética das partículas. É comum, na física, classificarmos as colisões segundo as grandezas físicas que são conservadas no processo de colisão, isto é, aquelas grandezas que permanecem constantes antes e depois da colisão. Por exemplo, existem colisões em que a energia cinética do sistema antes e depois da colisão não possui o mesmo valor, ou seja, não é conservada. Este tipo de colisão é chamado de colisão inelástica. Já em outros tipos de colisões a energia cinética é conservada. Desta forma, o valor da energia cinética antes e depois da colisão é mesmo. Estes tipos de colisões são chamados de colisões elásticas. A conservação do momento linear não influencia na classificação do tipo de colisão, mas tem um papel importante no entendimento da física nos processos de colisões. Observe na Equação (5.23) que o momento linear fornece informação sobre a direção do vetor velocidade, por exemplo, se o momento linear tiver um valor negativo significa que o vetor velocidade é contrário ao sentido positivo adotado. No caso da energia cinética, o sentido do vetor velocidade (positivo ou negativo) não afeta o sinal da energia cinética, pois a mesma possui uma dependência quadrática na velocidade e sempre será positiva 1 Ec = mv 2 , 2 (5.31) onde m é a massa e v é a velocidade da partícula, respectivamente. Nos exemplos comentados será mostrado com mais detalhe a importância do momento linear e da energia cinética nos processos de colisões. Antes de iniciar o estudo das colisões elásticas e inelásticas, que dependem apenas da conservação da energia cinética, serão investigadas as condições em que o momento linear é conservado. A Equação (5.27) é a segunda lei de Newton para um sistema (discreto ou contínuo) de partículas e descreve quantitativamente a taxa de variação do momento linear do sistema. Note que esta Equação é vetorial. Considere o caso que em alguma(s) da(s) direção(ões) (x, y, z) a força externa resultante seja nula, então a taxa de variação do momento linear nesta(s) direção(ões) é nula. Por exemplo, imagine uma situação em que a bola de futebol colide com a parede da forma ilustrada na Figura 5.7, onde a aceleração da gravidade ~g deve ser levada em conta. Neste caso o sistema é composto por uma partícula, a bola de futebol, e um obstáculo, a parede. Na direção x não há força externa resultante antes, durante e depois da colisão. Por isto o valor do momento linear na direção x antes da colisão é o mesmo que depois da colisão. Na direção y há a força gravitacional entre a bola e a terra (que não faz parte do sistema considerado). Por isto a força externa resultante na direção y não é nula e o momento linear na direção y varia com o tempo Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 142 Figura 5.7: Ilustração da colisão de uma bola de futebol com uma parede em que a aceleração da gravidade é levada em conta. A conservação do momento linear da bola ocorre apenas na direção x, pois não há força externa resultante nesta direção. (não é constante). Então, a Equação (5.27) para este exemplo fica dPx = 0 ⇒ Px = constante ⇒ Px,antes = Px,depois (5.32a) dt dPy = −mg ⇒ Py = −mgt + constante ⇒ Py,antes 6= Py,depois .(5.32b) dt Note que para haver conservação do momento linear é necessário que a força externa resultante seja nula (sistema isolado) e a massa do sistema seja constante, isto é, não entra nem sai partícula dos sistema (sistema fechado). Na seção de exemplos comentados serão discutidos exemplos quantitativos como o ilustrado na Figura 5.7. 5.5.1 Colisões Inelásticas 1D Nas colisões inelásticas a energia cinética do sistema (discreto ou contínuo) de partículas não é conservada. Isto significa que a soma da energia cinética de todas as partículas (Equação (5.31)) antes da colisão é diferente daquela depois da colisão. Os casos de colisões que podem ser tratados de forma quantitativa simples são aqueles em que a força externa resultante do sistema é nula. Portanto nestes casos há a conservação do momento linear em pelo menos uma das três direções de movimento. As grandezas físicas antes da colisão recebem um índice i (inicial) e depois da colisão f (final). Considere um sistema (discreto ou contínuo) de N partículas que na direção x a força externa resultante é nula, então podemos escrever a Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 143 conservação do momento linear nesta direção como (Pi )x = (Pf )x ⇒ (p1,i )x + (p2,i )x + · · · + (pN,i )x = (p1,f )x + (p2,f )x + · · · + (pN,f )x ⇒ m1 (v1,i )x + m2 (v2,i )x + · · · + mN (vN,i )x = m1 (v1,f )x + m2 (v2,f )x + · · · + mN (vN,f )x N X k=1 mk (vk,i )x = N X mk (vk,f )x , (5.33) k=1 onde mk é massa da k-ésima partícula, (vk,i )x e (vk,f )x são as componentes x da velocidade da k-ésima partícula antes e depois da colisão, respectivamente. A Equação (5.33) pode ser reescrita em qualquer outra direção (y ou z) contanto que a força resultante externa nestas direções seja nula. A Figura 5.8 ilustra uma colisão inelástica de um sistema composto por dois objetos (projétil e alvo) que podem ser tratados como duas partículas. Antes da colisão o projétil tem velocidade ~vi,p e o alvo ~vi,a . Note que na ilustração da Figura 5.8 haverá colisão em duas situações: (i) quando estes dois vetores velocidades estiverem no mesmo sentido é necessário que |~vi,p | > |~vi,a | ou (ii) para qualquer valor de ~vi,p e ~vi,a quando estes dois vetores velocidades estiverem em sentidos opostos. Figura 5.8: Ilustração de um caso particular de colisão onde o projétil e o alvo possuem seus vetores velocidade em sentidos contrários antes da colisão e no mesmo sentido após a colisão. A ilustração da colisão na Figura 5.8 é um caso particular, pois os sentidos dos vetores velocidades antes e depois da colisão podem ser quaisquer, dependendo do tipo de colisão (elástica ou inelástica). Usando o fato da força externa resultante do sistema, neste caso composto pelo alvo e pelo projétil, ser nula na direção do movimento dos objetos podemos usar o resultado da Equação (5.33) obtendo mp vi,p + ma vi,a = mp vf,p + ma vf,a . (5.34) A Equação (5.34) foi escrita apenas com os escalares, pois a direção do movimento não muda. Note que dada as velocidades do projétil (vi,p ) e do alvo (vi,a ) antes da colisão é possível encontrar mais de uma solução para a igualdade da Equação (5.34). Isto significa que é possível combinarmos, de diferentes maneiras, os valores das velocidades do projétil (vf,p ) e do alvo (vf,a ) depois da colisão para que a Equação (5.34) seja satisfeita. Isto ocorre devido ao fato de termos duas variáveis (vf,p e vf,a ) e apenas uma Equação. Estas situações serão abordadas nos exemplos comentados. Note que o momento linear individual das partículas pode variar, mas o momento linear do sistema permanece inalterado. Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 5.5.2 144 Colisão Elástica 1D As colisões elásticas são colisões em que a energia cinética do sistema (discreto ou contínuo) de partículas é conservada. A energia cinética do sistema antes da colisão (Ec,i ) é igual àquela depois da colisão (Ec,f ). Considere c a energia cinética de uma única partícula (Equação (5.31)). Então para um sistema (discreto ou contínuo) de N partículas cuja energia cinética é conservada podemos escrever Ec,i = Ec,f ⇒ (1) c,i (2) c,i (N ) (1) (2) (N ) + · · · + c,i = c,f + c,f + · · · + c,f ⇒ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + m2 vi,2 + · · · + mN vi,N = + m2 vf,2 + · · · + mN vf,N m1 vi,1 m1 vf,1 2 2 2 2 2 2 N N X X 1 1 2 2 mk vi,k = mk vf,k , (5.35) 2 2 k=1 k=1 + onde mk é massa da k-ésima partícula, vi,k e vf,k são os módulos da velocidade da k-ésima partícula antes e depois da colisão, respectivamente. Agora considere que na colisão ilustrada na Figura 5.8 o sistema conserva sua energia cinética. Isto nos permite escrever a seguinte igualdade: 1 1 1 1 2 2 2 2 mp vi,p + ma vi,a = mp vf,p + mp vf,p . 2 2 2 2 (5.36) Em geral nas colisões elásticas os sistemas físicos, além de conservar sua energia cinética (Equação (5.35)), também conservam o momento (Equação (5.33)). No caso de colisão unidimensional entre duas partículas como ilustrado na Figura 5.8 e dada as velocidades do projétil e do alvo antes da colisão (vi,p e vi,a ), é possível resolver os problema quantitativamente. Desta forma teremos um sistema de Equações formado pelas Equações (5.34) e (5.36) mp vi,p + ma vi,a = mp vf,p + ma vf,a 1 1 1 1 2 2 2 2 mp vi,p + ma vi,a = mp vf,p + mp vf,p . 2 2 2 2 (5.37) No sistema de Equações (5.37) as variáveis vi,p e vi,a são conhecidas e o objetivo é prever os valores de vf,p e vf,a . Assim o sistema é composto por duas Equações e duas incógnitas sendo possível encontrar apenas uma solução. Neste exemplo fica claro a importância das grandezas energia cinética e momento linear na investigação de colisões. Foi visto que nas colisões elásticas a energia cinética do sistema (discreto ou contínuo) de partículas é conservada, enquanto que na colisão inelástica isto não ocorre. A pergunta que fica é qual a propriedade física das partículas para resultar numa colisão elástica ou inelástica? Para responder esta pergunta é necessário observar a interface entre as partículas no momento da colisão. Por exemplo, no exato momento em que o alvo e o projétil colidem na Figura 5.8 existe o contato físico entre estes dois objetos. No intervalo de tempo que ocorre este contato os materiais das partículas sofrem deformação (quer seja no nível microscópico ou Capítulo 5 – Centro de Massa e Momento Linear 145 macroscópico). Isto ocorre como o resultado da conversão da energia cinética em deformação mecânica, ou seja, em energia potencial elástica. Alguns materiais, por exemplo, a borracha ou uma mola, possui a propriedade física de após sofrer deformação mecânica retornar a sua forma original antes da colisão (sem deformação), convertendo a energia potencial elástica em energia cinética. Assim, no exemplo da Figura 5.8 se um dos objetos (projétil ou alvo) for de borracha haverá, durante a colisão, conversão da energia cinética em energia potencial elástica e em seguida a energia potencial elástica será “re-convertida” em energia cinética. Por isto nesta colisão o sistema das duas partículas conserva energia cinética e é chamada de colisão elástica. No caso de materiais que não possuem a propriedade física de retornar a sua forma original (sem deformação), por exemplo, papel não haverá a “re-conversão” de energia potencial elástica em energia cinética. Portanto durante a colisão a energia cinética é convertida em energia potencial elástica e o objeto continua deformado após a colisão. Este tipo de colisão é chamado de colisão inelástica. Vale lembrar que as deformações mecânicas ocorridas nas colisões podem ser de dimensões macroscópicas (como em acidentes de carro) ou microscópicas (como em experimentos de colisões entre átomos). Na prática, mesmo após uma colisão inelástica, há “re-conversão” parcial da energia potencial elástica em energia cinética, de forma que após uma colisão inelástica as partículas ainda se movem com velocidade diferente de zero. Capítulo 6 Rotação Alexandre Barbosa de Oliveira No capítulo anterior foram estudadas diversas grandezas físicas, tais como centro de massa, momento linear e impulso, que estão relacionadas com o movimento de translação de um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. Neste capítulo serão estudadas novas grandezas físicas que estão relacionadas com o movimento de rotação de um sistema (discreto ou contínuo) de partículas. Inicialmente o movimento tratado será puramente de rotação, ou seja, não haverá um movimento misto de rotação e translação. Isto implica que o referencial inercial usado é aquele em que o eixo de rotação do sistema permanece em repouso. A Figura 6.1(a) ilustra um movimento puramente rotativo (o eixo de rotação permanece em repouso), enquanto que a Figura 6.1(b) ilustra um movimento composto por rotação e translação. Para exemplificar a necessidade de distinguir os movimentos de rotação e translação, considere a ilustração da Figura 6.1. Na Figura 6.1(a), a energia cinética da roda é originada apenas da rotação com velocidade angular ω, enquanto na Figura 6.1(b), a energia cinética possui duas contribuições: (i) a rotação das rodas com velocidade angular ω e (ii) a translação das rodas com velocidade ~v . Como foi mostrado no capítulo anterior o movimento de translação de um sistema (discreto ou contínuo) de partículas pode ser descrito pelo movimento do seu centro de massa. Em outras palavras, todas as grandezas físicas (posição, velocidade e aceleração) pertinentes ao movimento de translação do sistema podem ser descritas pelo movimento do seu centro de massa. A descrição do movimento de rotação do sistema é o assunto deste capítulo. 6.1 Posição, Deslocamento, Velocidade e Aceleração Angular Quando mencionamos, no capítulo anterior, que o sistema poderia ser um sistema discreto ou contínuo de partículas não foi feita nenhuma restrição à interação entre as partículas. Desta forma as distâncias entre as partículas que constituem o sistema poderiam ser constante ou mudarem com o tempo. Neste capítulo os sistemas (discretos ou contínuos) de partículas que serão estudados serão aqueles onde as distâncias entre as partículas permanecem fixas, isto é, não variam com o tempo. 146 Capítulo 6 – Rotação 147 Figura 6.1: Ilustração do movimento de rotação; (a) uma roda de bicicleta realizando um movimento de rotação pura, onde o eixo de rotação está em repouso; (b) a bicicleta andando, onde além da rotação das rodas existe o deslocamento linear dos seus eixos de rotação com velocidade ~v . As velocidades angulares das rodas são iguais porque seus raios são iguais. Desta forma quando qualquer partícula (no caso de sistema discreto) ou qualquer elemento infinitesimal de massa (no caso de sistema contínuo) realizar uma rotação de um ângulo ∆θ, todas as outras partículas do sistema também realizaram a mesma rotação. Um sistema contínuo de partículas que possui esta propriedade Figura 6.2: Ilustração do movimento de rotação pura, cujo eixo de rotação é o eixo-z, mostrando as posições inicial e final; (a) sistema discreto de três partículas cujas distâncias entre si são as mesmas antes, durante e após a rotação; (b) corte transversal de um corpo rígido de forma geométrica arbitrária ressaltando a posição e o deslocamento angular de um infinitésimo de massa do corpo rígido. é chamado de corpo rígido. As Figuras 6.2(a) e 6.2(b) ilustram sistemas discreto e contínuo, respectivamente, realizando uma rotação em torno do eixo-z, onde as distâncias entre as partículas permanecem constantes durante a rotação. Na maioria dos exemplos reais o sistema estudado será o corpo rígido, isto é, um sistema contínuo de partículas, como o mostrado na Figura 6.2(b). Nesta seção serão estudados os equivalentes angulares das grandezas físicas associadas ao movimento linear tais como posição, deslocamento, velocidade e aceleração. A posição de um objeto é sempre relativa a algum referencial que definimos por origem. No caso do movimento linear, a origem em geral é um ponto de partida. No caso angular o referencial é um dos eixos cartesianos, em geral o eixo-x, e o sentido positivo é convencionado como sendo anti-horário. Para exemplificar a posição angular de um corpo rígido observe o objeto de contorno pontilhado na Figura 6.2(b). Lembre-se que num corpo rígido as distâncias entre os infinitésimos de massa não mudam, portanto todas as partes infinitesimais do objeto giram em conjunto. Por isto pode-se escolher qualquer parte infinitesimal do objeto para representar sua posição angular. No caso da Figura 6.2(b), a distância entre o infinitésimo de massa e o eixo de rotação (eixo-z) é r. O arco de circunferência descrito Capítulo 6 – Rotação 148 pelo infinitésimo de massa é s, então sua posição angular é definida como sendo s θ= . r (6.1) A posição angular definida desta forma é medida em radianos (rad). Note que o numerador e denominador da Equação 6.1 tem unidade de comprimento, portanto a posição angular é adimensional. A relação entre o radiano com unidades de posição angular é obtida da seguinte forma: comprimento da circunferência 2πr = = 2π rad, raio da circunferência r (6.2) onde a terceira e quarta igualdade foram escritas com base na Equação (6.1). 1 revolução = 1 rev = 3600 = O deslocamento angular é medido subtraindo a posição angular final da inicial. Esta definição é similar àquela do deslocamento linear, ou seja, é a posição final menos a inicial: ∆θ = θf inal − θf inal . (6.3) Na Figura 6.2(b), o deslocamento angular da rotação foi realizado de tal forma que θf inal > θinicial , portanto ∆θ > 0. Desta forma, as rotações no sentido antihorário resultam em deslocamento angular positivo e no sentido horário resultam em deslocamento angular negativo. A velocidade angular da rotação de um objeto é definida pelo seu deslocamento angular por unidade de tempo, similarmente à velocidade linear. Durante uma rotação arbitrária, o objeto da Figura 6.2(b), por exemplo, pode girar de forma constante resultando numa velocidade angular constante ou pode girar com velocidade angular dependente do tempo. Por isto é importante distinguir a velocidade angular média (ωm ) e a velocidade angular instantânea (ω): ωm = ∆θ θf inal − θinicial , = tf inal − tinicial ∆t (6.4) onde θinicial e θf inal são as posições angulares nos instantes tinicial e tf inal , respectivamente. A velocidade angular instantânea é a derivada de primeira ordem no tempo da posição angular. ∆θ dθ = . ∆t→0 ∆t dt ω = lim (6.5) Note que o sinal da velocidade angular depende do sinal do deslocamento angular. Assim, em rotações no sentido anti-horário a velocidade angular é positiva e no sentido horário é negativa. As unidades mais comuns de velocidade angular são radianos por segundo (rad/s) ou revoluções por minuto (rpm) 1 rpm = 2π rad ≈ 0, 105 rad/s. 60 s (6.6) Da mesma forma que a velocidade angular foi definida com a variação da posição angular no tempo, pode-se definir a aceleração angular como sendo a variação Capítulo 6 – Rotação 149 da velocidade angular no tempo. Assim, as definições da aceleração angular média (αm ) e da aceleração angular instantânea (α) ficam αm = ∆ω ωf inal − ωinicial = , tf inal − tinicial ∆t (6.7) onde ωinicial e ωf inal são as velocidades angulares nos instantes tinicial e tf inal , respectivamente. A aceleração angular instantânea tem a forma ∆ω dω = . ∆t→0 ∆t dt α = lim (6.8) Note que se a dependência temporal da posição angular θ(t) for conhecida, então todas as outras grandezas físicas associadas ao movimento angular podem ser obtidas através da derivação temporal. Isto também ocorre com o movimento linear. Uma observação final é que devido ao fato das distâncias entre as partículas, num corpo rígido, permanecerem constantes, todas as suas partes infinitesimais possuem o mesmo valor do deslocamento, da velocidade e da aceleração angular. A posição angular depende da parte infinitesimal do corpo rígido que está sendo observada. 6.2 Relacionando as Grandezas Lineares e Angulares Quando um corpo rígido ou uma partícula executa um movimento de rotação, a mesma descreve um caminho linear dado pelo arco de circunferência s, assim como ilustrado na Figura 6.3. Esta seção é dedicada ao estabelecimento das relações matemáticas entre as grandezas lineares e angular no movimento de rotação. Na ilustração da Figura 6.3, por exemplo, a posição do infinitésimo de massa é dada pelo arco que o mesmo descreve a partir do eixo-x (eixo de referência). Assim, a posição do ponto observado no movimento circular pode ser expressa na forma linear por: s = r θ, (6.9) onde r é a menor distância entre o ponto observado (no caso da Figura 6.3 é o infinitésimo de massa) ao eixo de rotação e θ é a posição angular do ponto observado. Na Equação (6.9) o ângulo deve ser expresso em radianos. Note que quanto mais distante do eixo de rotação, maior será o valor de r, consequentemente o arco de circunferência descrito pelo objeto terá o comprimento maior. Este aumento escala linearmente com r. A velocidade linear do ponto observado num movimento circular é encontrada medindo a taxa temporal de seu deslocamento linear s. Usando a Equação (6.9), encontramos que a velocidade instantânea linear ou simplesmente velocidade linear do ponto observado num movimento circular pode ser expressa por: v= dθ ds = r = rω. dt dt (6.10) Capítulo 6 – Rotação 150 Na Equação (6.10) a velocidade angular instantânea ω deve ser expressa em rad/s. Observe que a Equação 6.10 é válida apenas quando a distância r é constante no tempo, o que é sempre verdade num corpo rígido. Lembre-se que o vetor velocidade linear (~v ) no movimento circular é sempre tangente à circunferência descrita pelo ponto observado (ver Figura 6.3). Portanto podemos escrever o vetor velocidade linear com módulo dado pela Equação 6.10 e direção do versor ˆ = −sen(θ)ˆi + cos(θ)ˆj: θ(t) ˆ ~v = rω θ. (6.11) Outra conclusão importante da Equação (6.10) é quanto mais distante do eixo de rotação, maior será o valor de r e portanto maior será a velocidade linear do ponto observado. A aceleração linear de um ponto observado num movimento circular pode ser calculada pela variação temporal da velocidade linear da Equação (6.11). Portanto, a aceleração linear num movimento circular fica !    dθˆ dθ dω ˆ dθ d~v =r θ+ω = r αθˆ + ω −cos(θ) ˆi − sen(θ) ˆj ~a = dt dt dt dt dt h  i h  i 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = r αθ + ω −ωcos(θ)i − ωsen(θ)j = r αθ − ω cos(θ)i + sen(θ)j   = r αθˆ − ω 2 rˆ (6.12) logo, ~a = rαθˆ − rω 2 rˆ, (6.13) onde o versor rˆ(t) = sen(θ)ˆi+cos(θ)ˆj foi utilizado para simplificar a notação e α = dω é a aceleração angular. Note que ao derivar um vetor com notação polar (Equação dt 6.11) resultou em dois outros vetores que também foram escritos em coordenadas polares (Equação 6.13). É possível reescrever a Equação (6.13) em função dos vetores cartesianos. A Figura 6.3 ilustra geometricamente como o vetor aceleração linear obtido na Equação 6.13 se comporta durante a rotação. O vetor aceleração linear no movimento circular possui duas componentes vetoriais, uma tangente ~atg (na direção ˆ de θ(t)) e outra perpendicular ~ac (na direção de rˆ(t)) ao movimento. Note que ~ac aponta para o centro da circunferência (sinal negativo). O módulo da componente tangencial é o resultado da derivação da Equação (6.10) ~atg = r dω ˆ ˆ θ = rαθ. dt (6.14) A componente da aceleração na direção de rˆ(t) é a aceleração centrípeta:  v 2 v2 ~ac = −rω 2 rˆ = −r rˆ = − rˆ. (6.15) r r 6.3 Cinética do Movimento de Rotação Nas seções anteriores foram introduzidas as grandezas físicas relevantes para o estudo do movimento de rotação. Agora será estudada a cinética do movimento de Figura 6.3: Ilustração do movimento de rotação em torno do eixo-z de um corte transversal de um corpo rígido de forma arbitrária, mostrando as grandezas lineares e angulares. Em especial note os vetores da aceleração e velocidade angular ~v , ~atg e ~ac . Capítulo 6 – Rotação 151 rotação. Portanto, o primeiro passo é obter uma expressão matemática para a energia cinética de rotação. Para obter esta expressão será considerado inicialmente um sistema discreto de N partículas cujas distâncias entre si são constantes, assim como no corpo rígido. Em seguida esta dedução será estendida para um sistema contínuo de partículas, corpo rígido. A energia cinética total (K) de um sistema de N partículas é a soma da energia cinética de cada partícula, portanto N X1 1 1 1 1 2 = mi vi2 , K = m1 v12 + m2 v22 + m3 v32 + · · · + mN vN 2 2 2 2 2 i=1 (6.16) onde mi e vi são a massa e a velocidade da i-ésima partícula do sistema em rotação. Lembre que vi depende da distância da respectiva partícula ao eixo de rotação ri (ver Equação (6.10)). Substituindo a Equação (6.10) na Equação (6.16) temos que: ! N N X X 1 1 1 K= mi (ri ω)2 = mi ri2 ω 2 = Iω 2 , (6.17) 2 2 i=1 2 i=1 onde I= N X mi ri2 (6.18) i=1 é o momento de inércia de um sistema discreto de N partículas. Note que foi possível escrever a Equação (6.17) dessa forma simplificada pelo fato de todas as partículas do sistema possuírem a mesma velocidade angular ω. Isto só é verdade se as distâncias entre as partículas permanecerem constantes ao longo do movimento de rotação. No caso de um sistema contínuo de partículas, um corpo rígido, o cálculo é similar e no lugar do somatório aparece a integral. Considere o corpo rígido ilustrado na Figura 6.3. No sistema discreto realizamos a soma da energia cinética sobre cada partícula, no sistema contínuo (corpo rígido) será feita uma integração sobre o infinitésimo de massa. Cada infinitésimo de massa dm do corpo está localizado a uma distância r do eixo de rotação. Portanto a energia cinética de um infinitésimo de massa é: 1 (6.19) dK = (dm) v 2 , 2 onde v é a velocidade linear tangencial do infinitésimo de massa dm. A energia cinética total do sistema é dada pela integração da Equação (6.19) sobre o corpo rígido: Z  Z Z Z 1 1 1 1 2 2 2 K = dK = v dm = (rω) dm = r dm ω 2 = Iω 2 , (6.20) 2 2 2 2 onde Z I= r2 dm (6.21) é o momento de inércia de um sistema contínuo de partículas e a integração é realizada sobre o sistema (onde há massa). Para obter o resultado final da Equação (6.20) foi usada a Equação (6.10). Observe que o momento de inércia é um fator geométrico, ou seja, só depende das dimensões do objeto e de sua massa, não Capítulo 6 – Rotação 152 depende da velocidade e nem da aceleração angular. É importante ressaltar que o momento de inércia depende do eixo de rotação do sistema, pois isto acarreta numa mudança do valor de r no cálculo de I. As Equações (6.17) e (6.20) são chamadas de energia cinética de rotação. Observe que estas Equações possuem uma similaridade com a energia cinética de translação, onde o momento de inércia I faz o papel da massa e a velocidade angular ω faz o papel da velocidade linear. Lembre-se que este movimento é de rotação pura e deve ser distinguido do movimento de translação. 6.4 Momento de Inércia Nesta seção será mostrado como realizar o cálculo do momento de inércia em sistemas discreto e contínuo de partículas. Inicialmente será calculado o momento de inércia de um haltere relativo a dois eixos de rotação diferentes. Em seguida será calculado o momento de inércia de uma barra delgada relativo a dois eixos de rotação diferentes. A Figura 6.4 ilustra um haltere composto por duas massas m1 e m2 de mesmo valor que estão separadas por uma distância d. No cálculo do momento de inércia será desconsiderado a massa da barra que liga as duas massas. Figura 6.4: Ilustração da rotação de um haltere em torno de dois eixos paralelos, mas em posições diferentes. Aplicando a Equação (6.18) do momento de inércia, para rotação em torno do eixo 1, para sistema discreto de duas partículas da Figura 6.4, obtemos  2  2 d d 1 2 2 I1 = m1 r1 + m2 r2 = m1 + m2 = md2 , (6.22) 2 2 2 onde m1 = m2 = m. No caso do eixo de rotação 2, o momento de inércia fica I2 = m1 r12 + m2 r22 = m1 0 + m2 d2 = md2 . (6.23) O momento de inércia para rotações em torno do eixo 1 (I1 ) é menor do que aquele para rotações em torno do eixo 2 (I2 ). Isto implica que para girar o haltere em torno Capítulo 6 – Rotação 153 do eixo 1 é mais fácil do que girá-lo em torno do eixo 2. Isto se deve ao fato de que o eixo 1 passa através do centro de massa do sistema. A Figura 6.5, ilustra uma barra cilíndrica cujo comprimento L é muito maior do seu raio, ou seja, é uma barra delgada. Na prática esta barra será tratada como uma “linha” de comprimento L. O material da qual a barra é feita é homogêneo de forma que sua densidade volumétrica é constante, isto é, ρ = massa/volume = dm/dV = constante. Aplicando a Equação (6.21) do momento de inércia, para rotação em torno do eixo 1, para sistema contínuo da Figura 6.5 obtemos: Z Z 2 I1 = r1 dm = r12 ρ dV  3 L/2 Z Z L/2 x 2 x dx dy dz = ρA = ρ 3 −L/2 −L/2 = M L3 M L3 1 A = A I1 = M L2 . V 12 AL 12 12 (6.24) Para obter o resultado final da Equação (6.24) foram usadas duas relações: (i) a densidade do material da barra é constante e pode ser escrita como sendo a massa total da barra (M) sobre seu volume total (V): ρ = M ; (ii) volume da barra é escrito V como a área transversal (A) vezes seu comprimento (L): V = AL. No caso do eixo de rotação 2, o momento de inércia fica Z Z 2 I2 = r2 dm = r22 ρ dV  3 L Z Z L x 2 x dx dy dz = ρA = ρ 3 0 0 M L3 1 M L3 A = A = M L2 . (6.25) = V 3 AL 3 3 Portanto é mais difícil girar a barra em torno do eixo 2 do que em torno do eixo 1, pois I2 > I1 . Isto se deve ao fato de que o eixo 1 passa pelo centro de massa da barra. Figura 6.5: Ilustração da rotação de uma barra delgada em torno de dois eixos paralelos em posições diferentes. Capítulo 6 – Rotação 154 Nesses exemplos fica claro que o momento de inércia depende fortemente do eixo de rotação escolhido. Agora será mostrado um teorema que relaciona o momento de inércia entre dois eixos de rotação paralelos entre si, sendo um deles passando pelo centro de massa do sistema. 6.4.1 Teorema dos Eixos Paralelos Para demonstrar este teorema considere o corpo rígido da Figura 6.6. Os eixos de rotação são dois: (i) eixo-z, que passa pela origem do sistema cartesiano e (ii) eixo paralelo ao eixo-z que passa pelo ponto P. O centro de massa do corpo rígido está localizado na origem do sistema cartesiano da Figura 6.6. Existem duas observações que devem ser levadas em conta: 1) O eixo-z de rotação passa pelo centro de massa. p O momento de inércia relativo a este eixo será denominado ICM . Sendo r = x2 + y 2 a distância entre o infinitésimo de massa dm e o eixo-z de rotação e usando Equação (6.21) para o momento de inércia de sistema contínuo de partículas Z Z
2 ICM = r dm = x2 + y 2 dm. (6.26) 2) Pelo fato do centro de massa estar localizado na origem do sistema cartesiano, então todas as suas coordenadas são nulas, isto é xCM = yCM = zCM = 0. (6.27) Recuperando as Equações das coordenadas do centro de massa do capítulo anterior, temos que Z 1 x dm, (6.28a) xCM = M Z 1 y dm, (6.28b) yCM = M Z 1 zCM = z dm. (6.28c) M onde as coordenadas do infinitésimo de massa dm são (x, y, z) e M é a massa total do corpo rígido. Usando o resultado da Equação (6.27) nas Equações (6.28a - 6.28c), temos que Z x dm = 0, (6.29a) Z y dm = 0, (6.29b) Z z dm = 0. (6.29c) Lembrando que as integrais nas Equações (6.28a - 6.28c ) e (6.29a - 6.29c ) são realizadas sobre o corpo rígido. De acordo com a notação usada na Figura 6.6 o ponto P está localizado nas coordenadas (xP = a, yP = b). A distância entre o Capítulo 6 – Rotação 155 q infinitésimo de massa e o ponto P é dada por rP = (x − a)2 + (y − b)2 . Portanto, o momento de inércia relativo ao eixo de rotação que passa pelo ponto P é Z Z   2 (x − a)2 + (y − a)2 dm IP = rP dm = Z Z Z Z

2 2 2 2 IP = x + y dm − 2a xdm − 2b ydm + a + b dm,(6.30) onde as variáveis a e b não participam da integral pois são constantes. R Usando as Equações (6.26) e (6.29a - 6.29c) e o fato de que a massa total M = dm pode-se reescrever a Equação (6.30) da forma IP = ICM + M d2 , (6.31) √ onde d = a2 + b2 é a menor distância entre o eixo-z e o eixo que passa pelo ponto P. A Equação (6.31) é o teorema dos eixos paralelos do momento de inércia. Como ponto de observação fica como exercício verificar a veracidade da Equação (6.31) nos resultados das Equações (6.22), (6.23), (6.24) e (6.25). Figura 6.6: Ilustração de um corte transversal de um corpo rígido de forma arbitrária mostrando as variáveis relevantes para a demonstração do teorema dos eixos paralelos, assim como os eixos de rotação usados. 6.5 Torque Nesta seção, será introduzida uma nova grandeza física de muita utilizada no estudo quantitativo e qualitativo da dinâmica e estática de movimentos de rotação. Para exemplificar isto considere o exemplo de equilíbrio numa gangorra ilustrado na Figura 6.7. Sabemos que se as massas forem iguais, então para equilibrar este sistema os comprimentos entre as massas e o ponto de apoio devem ser iguais. Mas no caso das massas serem diferentes? O comprimento entre o ponto de apoio e a massa (m1 ) localizada no lado esquerdo é d1 . A outra massa (m2 ) deve ser colocada no lado direito numa posição tal que a gangorra fique em equilíbrio. Para isto é necessário que a mesma fique na horizontal, caso contrário a gangorra irá deslizar sobre o ponto de apoio. Qual é a distância (d2 ) entre o ponto de apoio e a massa m2 para que isto ocorra? Para responder esta pergunta de equilíbrio estático é necessário analisar uma grandeza chamada torque. Intuitivamente sabemos que para Capítulo 6 – Rotação 156 Figura 6.7: Ilustração de equilíbrio numa gangorra. equilibrar a gangorra ilustrada na Figura 6.7 é necessário balancear os comprimentos com o valor das massas. Para definir o torque considere o sistema formado por uma barra de comprimento L ligada a um eixo de apoio para rotação que está perpendicular à página (ver Figura 6.8), despreze a ação da gravidade. O movimento de rotação ocorre no plano da página. Para girar a barra é necessário vencer o atrito existente no eixo de rotação. Intuitivamente sabemos que para girar a barra é necessário aplicar uma força perpendicular à mesma (ϕ = 900 na Figura 6.8). A componente de força paralela à barra não interfere no movimento de rotação. Experimentalmente sabemos que é mais fácil girar a barra aplicando uma força na extremidade oposta do ponto de apoio (r = L na Figura 6.8). Quanto mais próximo do ponto de apoio (menor valor de r), maior será a força necessária para girar a barra. A definição de torque (τ ) está associada a localização em que a força perpendicular à barra (F⊥ ) é aplicada e ao seu módulo (6.32) τ = rF⊥ = r F~ senϕ. A componente da força F⊥ é sempre tangente à circunferência descrita pelo movimento de rotação. Note que a unidade de torque é comprimento x força. Portanto, para girar a barra, isto é, para vencer o atrito no eixo, é necessário aplicar um torque mínimo τ0 . Considere que o torque mínimo τ0 = 40 N.m e a distância r = 40 cm, então o valor mínimo da componente perpendicular da força necessária para girar a barra é F⊥ = 100 N. Qualquer força acima deste valor também provocará uma rotação na barra. É possível girar a mesma barra com uma força menor. Para isto deve ser aplicada numa distância r maior. Por exemplo, se quisermos girar a mesma barra aplicando F⊥ = 50 N teríamos que aplicá-la num ponto duas vezes mais distantes para obter o torque mínimo τ0 . Assim, como a velocidade e a aceleração angular possuem natureza vetorial, o torque também tem propriedades de vetores e pode ser escrito na seguinte forma vetorial ~τ = ~r × F~ , (6.33) onde ~r é um vetor que aponta do eixo de rotação para o ponto onde a força é aplicada (ver Figura 6.8) e F~ é o vetor força aplicada. No caso da Figura 6.8 o torque aponta para fora da página e é sempre perpendicular à ~r e F~ . Finalmente é possível entender o problema de equilíbrio da gangorra ilustrado na Figura 6.7. Para haver o equilíbrio estático, ou seja, a gangorra fique parada, é necessário que a soma vetorial dos torques seja nula. Assim o vetor torque provocado pela massa m1 deve ter o mesmo módulo, mas de sentido oposto, ao torque Capítulo 6 – Rotação 157 Figura 6.8: Ilustração do movimento de rotação de uma barra apoiada num eixo, mostrando as grandezas físicas relevantes. provocado pela massa m2 . A força que origina o torque é a força peso. Portanto P1 d1 = P2 d2 ⇒ m1 d1 = m2 d2 , (6.34) A igualdade da Equação (6.34) é a condição necessária do equilíbrio estático na Figura 6.8. Note que a gangorra na horizontal implica que as forças peso são perpendiculares à barra de apoio. 6.6 Segunda Lei de Newton para Rotações Nesta seção será mostrada a lei física que rege a dinâmica de rotação de corpos rígidos. Esta lei possui uma similaridade com a segunda lei de Newton para o movimento linear de uma partícula de massa m. Na seção anterior foram abordadas situações físicas nas quais a dinâmica de todo o objeto não foi levada em conta. Por exemplo, na situação da gangorra os blocos foram aproximados por massas pontuais localizadas na extremidade da barra. No caso da barra da Figura 6.8, a força foi analisada pontualmente e não foi levado em conta o que ocorre ao longo da barra. Considere o movimento de rotação em torno do eixo-z do corpo rígido da Figura 6.9. Esta rotação é o resultado de uma força resultante que atua sobre todas as partículas do corpo rígido. Neste momento a origem desta força resultante não é relevante. Sobre cada infinitésimo de massa (dm) atua uma força resultante infinitesimal (dF~ ). Portanto, de acordo com a Figura 6.9 e usando a definição de torque da Equação 6.32, o torque resultante infinitesimal (dτ ) em cada infinitésimo de massa é dτ = rdF~⊥ , (6.35) onde r é a menor distância do infinitésimo de massa ao eixo de rotação e dF~⊥ é a componente perpendicular ao vetor ~r da força resultante, ou seja, é tangente à circunferência descrita pelo movimento de rotação de dm. Aplicando a segunda lei Capítulo 6 – Rotação 158 de Newton para o movimento linear do infinitésimo de massa dm obtemos que dF~⊥ = (dm) atg , (6.36) onde atg é o módulo da componente tangencial do vetor aceleração linear resultante no movimento de rotação de dm e definida na Equação (6.14). Substituindo a Equação (6.14) e (6.36) na Equação (6.35) temos que Z Z 2 dτ = (dm) rα = αr (dm) ⇒ τ = dτ = α r2 dm = αI, (6.37) onde τ é o torque total sobre o corpo rígido e I é o momento de inércia de um sistema contínuo de partículas (6.21). A integral na Equação (6.37) deve ser realizada sobre o corpo rígido. Como se trata de um corpo rígido a aceleração angular α é a mesma para qualquer parte do corpo, por isso ela não pertence ao integrando. A Equação (6.37) é a segunda lei de Newton para o movimento de rotação. Ela relaciona o torque resultante sobre o corpo rígido com o momento de inércia e a aceleração angular. Ao comparar a segunda lei de Newton para movimento de rotação com aquela do movimento linear pode-se observar que o momento de inércia do corpo rígido faz o papel da massa e a aceleração angular faz o papel da aceleração angular. A Equação (6.37) diz que para girar um corpo rígido em torno de um determinado eixo de rotação com aceleração angular α0 é necessário aplicar um torque τ = α0 I. Portanto, quanto maior o momento de inércia do corpo relativo a um determinado eixo de rotação, maior será o torque necessário para girá-lo em torno deste eixo. Isto significa que quanto maior o momento de inércía, o corpo parecerá mais “pesado” para girar. Note que a Equação (6.37) implica em torque nulo no caso de velocidade angular constante (α = 0) e ausência de atrito. Ou seja, não é necessário realizar torque externo para girar um corpo à velocidade angular constante que não apresenta atrito. Note que a Equação (6.37) só é válida se a distância entre as partículas (sistema discreto) ou infinitésimos de massa (sistema contínuo) permanecerem constantes durante movimento de rotação. A Equação (6.37) não é aplicável, por exemplo, nos casos de um furacão ou um redemoinho onde as partículas se movem umas em relação às outras. 6.7 Trabalho e Energia Cinética de Rotação Em capítulos anteriores foi mostrado o teorema trabalho energia cinética do movimento linear. Este teorema relaciona o trabalho realizado por uma força externa ao sistema com sua variação da energia cinética linear. Para relembrar este teorema considere o sistema como sendo um bloco de massa m. Esta demonstração pode ser realizada em duas situações distintas: • O bloco repousa sobre uma superfície sem atrito, e uma pessoa aplica uma força F~aplicada paralela à superfície, empurrando o bloco para frente; • O bloco está em queda livre sem resistência do ar, onde o peso faz o papel da força aplicada (F~aplicada = F~ = m~g ) sobre o bloco. Capítulo 6 – Rotação 159 Figura 6.9: Ilustração do movimento de rotação da seção transversal de um corpo rígido de forma geométrica arbitrária, mostrando as variáveis relevantes para a dedução da segunda lei de Newton da rotação. Nas duas situações não existe força de atrito, a força externa aplicada ao corpo é não nula e o movimento é unidimensional. Nestes casos o trabalho realizado (W) pela força externa pode ser escrito como Z xf W = Faplicada dx, (6.38) xi onde x é a posição do centro de massa do bloco, xi e xf são as posições inicial e final do bloco e Faplicada é a força externa aplica ao bloco na direção do seu movimento (qualquer componente de força perpendicular à direção do movimento não realiza trabalho). Em ambas as situações (1) e (2) a força aplicada pode ser escrita como: F~aplicada = F~resultante = m~a. (6.39) Note que a Equação (6.39) não é verdadeira no caso de existência do atrito, pois o atrito aparece como uma segunda força externa atuando no bloco. Neste caso, a Equação (6.39) seria escrita da seguinte forma F~aplicada + F~atrito = F~resultante = m~a, (6.40) onde a força de atrito F~atrito é sempre contrária ao movimento do bloco. Portanto, no caso sem atrito a Equação (6.38) fica Z xf Z xf W = Faplicada dx = m a dx xi xi Z xf Z vf Z vf dv dx = m dx = m dv = m v dv dt dt xi vi vi 1 2 1 2 = mv − mv = ∆K, 2 f 2 i (6.41) Capítulo 6 – Rotação 160 onde vi e vf são as velocidades inicial e final do centro de massa do bloco. A Equação (6.41) é o teorema trabalho energia cinética para o movimento linear. Para movimentos de rotação existe um teorema que relaciona o trabalho realizado por um torque externo aplicado com a variação da energia cinética rotacional do corpo rígido. Para encontrar esta relação considere a ilustração na Figura 6.9. A rotação do corpo rígido é o resultado do torque externo devido a componente dF⊥ da força externa resultante que atua sobre os infinitésimos de massa (dτ = dF⊥ r). Seguindo o mesmo raciocínio e considerações feitas para deduzir a Equação (6.41), ou seja, não existe atrito na rotação do corpo rígido da Figura 6.9 e a componente infinitesimal perpendicular da força externa aplicada dFaplicada = dF⊥ (responsável pelo torque) pode ser escrita da seguinte forma dFaplicada = dF⊥ = (dm) atg , (6.42) onde atg é a aceleração tangencial à circunferência descrita pelo movimento de rotação e dm é a massa infinitesimal. No movimento de rotação o deslocamento linear do corpo rígido é descrito por um arco de circunferência. Portanto, o diferencial linear unidimensional dx na Equação (6.38) se torna um diferencial linear de arco de circunferência dx = ds = rdθ. Usando este fato e substituindo a Equação (6.42) na Equação (6.38) temos que o trabalho infinitesimal realizado pela força dF⊥ para girar o infinitésimo de massa dm é: Z θf Z θf Z θf Z θf (dm) rαrdθ (dm) atg rdθ = (dτ ) dθ = F⊥ rdθ = dW = θi θi Z θf dω dθ = (dm) r2 = (dm) r2 dt θi
1 = (dm) r2 ωf2 − ωi2 , 2 θi ωf Z ωi θi dθ dω = (dm) r2 dt Z ωf ωdω ωi (6.43) onde dτ é o torque infinitesimal no infinitésimo de massa dm, atg é a aceleração tangencial do infinitésimo de massa, ωi e ωf são a velocidade angular inicial e final do infinitésimo de massa (que é igual para todo o corpo rígido). O trabalho realizado pela força aplicada sobre todo o corpo rígido é: Z Z Z


1 2 2 1 2 1 2 2 2 W = dW = r ωf − ωi dm = ωf − ωi r2 dm = ωf − ωi2 2 2 2 1 2 1 2 = Iω − Iω = ∆Krot , (6.44) 2 f 2 i onde a integral é realizada sobre a massa do corpo rígido, a diferença (ωf2 − ωi2 ) não depende da massa, por isto não participa da integral, e I é o momento de inércia do corpo rígido relativo ao eixo da rotação. A Equação (6.44) é o teorema trabalho energia cinética de rotação, que relaciona o trabalho realizado por um torque aplicado (devido a uma força aplicada) com a variação da energia cinética de rotação do corpo rígido. Capítulo 7 O movimento dos corpos rígidos Ronai Machado Lisbôa 7.1 Introdução Desde o início do nosso curso, o estudo da Física aparentemente ficou mais complicado. Iniciamos com a cinemática e a dinâmica para uma partícula e depois para um sistema de muitas partículas. Aprendemos que os corpos extensos são analisados como partículas porque o movimento de todas as partículas do corpo é substituido pelo movimento do centro de massa. Portanto, o sistema de muitas partículas tem somente o movimento de translação pura porque vislumbramos apenas o movimento do seu centro de massa. Podemos dizer que a Física complica porque os fenômenos naturais tornam-se mais complexos, mas mais interessantes. Por esse motivo, aprendemos no capítulo anterior que quando o movimento de um corpo extenso não pode ser abordado como uma partícula, isto é, através do movimento do seu centro de massa, devemos levar em conta o movimento de rotação em torno de um eixo fixo. A partir de agora, estudaremos a combinação dos movimentos de translação e de rotação dos corpos extensos e que são observados em situações cotidianas: uma bola num jogo de futebol, a bola de boliche, as bolas de bilhar após uma tacada, as rodas dos automóveis e motocicletas numa estrada, etc. Todos esses exemplos são muito complexos, mas é possível, e necessário, simplificar os sistemas físicos para que possamos interpretá-los. 7.2 7.2.1 O rolamento A cinemática do rolamento Para examinar o movimento mais geral de um corpo rígido é essencial definir um referencial inercial o qual o observador, nesse referencial, verá o corpo rígido se deslocar. Um cordo rígido adequado, nesse momento, tem simetria esférica e um eixo imaginário fixo que atravessa o seu centro de massa, o eixo de rotação (Figura 7.1). Define-se rolamento, o movimento do corpo rígido sobre uma superfície como uma combinação da translação do seu centro de massa em relacão ao referencial inercial e de uma rotação de um ponto material do corpo em relacão ao eixo 161 Figura 7.1: Uma esfera que gira em torno de um eixo imaginário que atravessa o centro de massa. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 162 de rotação. Para um observador num referencial inercial as trajetórias do centro de massa e de um ponto na periferia da esfera são uma linha reta e uma ciclóide, observadas na Figura 7.2. Figura 7.2: Trajetórias do centro de massa e de um ponto na periferia da esfera. A trajetória curva é uma ciclóide. A condição de rolamento é escrita matematicamente por s = θr (7.1) e diz que para uma esfera de raio r, o ponto de contato com a superfície desloca-se de uma distância s enquanto a posição angular do mesmo ponto gira de um ângulo θ em torno do eixo de rotação. Se esse vínculo é satisfeito a esfera rola sem deslizar como mostrado na Figura 7.3. A derivada da equação (7.1) em relação ao tempo é a forma escalar para a velocidade de quaisquer pontos materiais da esfera em relação ao centro de massa vp = ωr, (7.2) onde vp é a velocidade tangencial, ω é a velocidade angular e r é a distância do ponto considerado ao eixo de rotação. Na Figura 7.4(a), temos uma seção reta da esfera e recordamos que a velocidade angular tem natureza vetorial com a direção e o sentido convencionados pela regra da mão direita. Na forma vetorial, a velocidade de qualquer ponto se escreve como ~vp = ω ~ × ~r e, somente no caso particular da velocidade angular ω ~ na direcão do eixo de rotação e perpendicular ao vetor posição ~r a forma escalar é dada pela Equação (7.2). Na Figura 7.4(b), todos os pontos sobre (a) (b) (c) Figura 7.4: Em (a) recordamos que a velocidade ~vp = ω ~ × ~r é uma grandeza vetorial. A esfera translada com a velocidade do centro de massa (b) e gira com a velocidade angular (c). a esfera têm a mesma magnitude e a direção da velocidade do centro de massa ~vcm e na Figura (7.4(c), eles giram com a mesma velocidade angular ω ~ , mas para uma Figura 7.3: Quando a condição de rolamento é satisfeita a esfera tem o deslocamento s = θr. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 163 dada distância r a partir do centro da esfera a magnitude da velocidade ~vp muda de acordo com a Equação (7.2). A resultante vetorial dessas velocidades é ~v = ~vcm + ~vp . (7.3) A partir dessa Equação (7.3) é possível calcular a velocidade resultante de quaisquer pontos sobre o corpo rígido que rola sem deslizar. Na esfera da Figura 7.5, o ponto em contato com a superfície está instantaneamente em repouso (~v = 0) porque ~vcm = −~vp . No topo da esfera a velocidade é máxima ~v = 2~vcm . Esse resultado justifica a imagem borrada na parte superior e mais nítida na parte inferior da logomarca do fabricante do pneu do carro de Fórmula 1. O centro de massa permanece diretamente acima do ponto de contato e se move também, pela distância s = θr, como podemos ver na Figura 7.3. Portanto, derivando a condição de rolamento para o deslocamento, em relação ao tempo, a velocidade do centro de massa é dada segundo a Equação vcm = vp = ωr . (7.4) Figura 7.5: A velocidade resultante em cada ponto da esfera é a soma ~v = ~vcm + ω ~ × ~r. No topo ~v = 2~vCM e no ponto de contato com a superficie ~v = 0. Por esse motivo, nas Figuras 7.4(b) e 7.4(c) tomamos o cuidado de desenhar os vetores velocidades ~vcm e ~vp na periferia da esfera com o mesmo módulo. Exemplo 7.1. A barra mostrada na Figura 7.6 é confinada a se mover de acordo com as trajetórias dos pinos em suas extremidades. No instante mostrado, o ponto A tem o movimento indicado. Determine a velocidade do ponto B nesse instante. A barra tem o movimento vinculado. A velocidade do ponto B é ~vB = ~vA + ω ~ × ~rAB (7.5) onde ω ~ é a velocidade angular da barra e ~rAB é o vetor posição do ponto A ao ponto B. O módulo rAB é o comprimento da barra. Dos dados do problema temos que ~vA = 6ˆi, ~rAB = −4ˆi − 3ˆj e ω ~ = ωˆ z . Substituindo esses valores na Equação (7.5), temos vB ˆj = 6ˆi + [ωˆ z × (−4ˆi − 3ˆj)] (7.6) e calculando o produto vetorial na segunda parcela do lado esquerdo da Equação, nós encontramos a soma vetorial 0 = (6 + 3ω)ˆi vB ˆj = −4ωˆj . (7.7) Igualando as equações para as componentes chegamos num sistema de equações, x : 0 = 6 + 3ω −→ ω = − 2kˆ rad/s y : vB = − 4ω −→ vB = 8ˆj cm/s. (7.8) O sinal negativo para a velocidade angular indica que o sentido é para dentro do papel. Figura 7.6: A haste rígida possui um movimento de translação e rotação. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 7.2.2 164 O rolamento: Uma rotação pura Na sessão anterior escolhemos um eixo de rotação atravessando o centro de massa do corpo rígido. Nada impede que a escolha do eixo de rotação seja deslocado para o próprio ponto de contato, chamado eixo instantâneo de rotação. Nesse caso, o rolamento é possível através de uma rotação pura, onde a velocidade angular do movimento de rotação em torno do centro de massa é igual à velocidade angular da rotação em torno do eixo instantâneo de rotação, pois todos os pontos do corpo rígido têm a mesma velocidade angular ω ~. Num rolamento puro ao redor do ponto de contato, como mostrado na Figura 7.7 a velocidade do ponto de contato é nula porque r = 0 e para um ponto diametralmente oposto a velocidade e máxima, v = ω (2 r) = 2 vcm . Logo, os mesmos resultados quando consideramos o eixo de rotação atravessando o centro de massa. 7.2.3 Figura 7.7: No rolamento puro a esfera gira ao redor do eixo instantâneo de rotação em contato com a superfície. A energia do movimento de rolamento Aprendemos o cálculo do momento de inércia de um sistema de partículas e de alguns corpos rígidos simétricos em relação a um eixo de rotação. Vamos utilizar esse conhecimento para obter a Equação da energia do rolamento de um corpo rígido. Para um observador no referencial inercial a energia cinética do rolamento puro em relação ao eixo instantâneo de rotação, no ponto P da Figura 7.7 é 1 K = Ip ω 2 . 2 (7.9) Recordando o teorema dos eixos paralelos, Ip = Icm + M D2 onde Icm é o momento de inércia de um eixo atravessando o centro de massa, M é a massa total e D é a distância entre o ponto P e o centro de massa do corpo rígido. Desse modo, a energia cinética é reescrita 1 1 1 1 1 2 K = (Icm + M r2 )ω 2 = Icm ω 2 + M r2 ω 2 = Icm ω 2 + M vcm . 2 2 2 2 2 (7.10) A primeira parcela do lado direito da Equação (7.10) é a energia cinética de rotação de um ponto em relação ao centro de massa e a segunda parcela é a energia cinética de translação do centro de massa em relação ao referncial inercial. A energia cinética total de um corpo rígido pode sempre ser calculada com a Equação (7.9) quando conhecemos o eixo instantâneo de rotação ou a partir da soma da energia cinética de rotação mais a energia cinética de translação usando a Equação (7.10). Exemplo 7.2. Uma barra fina e homogênea, de comprimento L e massa M, articulada em uma das extremidades, como mostrado na Figura 7.8, é largada do repouso, de uma posição horizontal. Desprezando o atrito e a resistência do ar, determine a rapidez angular da barra, quando ela passa pela posição vertical. Aplicando a conservação da energia para relacionar as energias mecânicas Figura 7.8: O centro de massa da barra executa uma rotação pura em torno da extremidade pivotada. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 165 inicial e final do centro de massa Kf + Uf = Ki + Ui 1 2 1 2 Iωf + M g ycm,f = Iω + M g ycm,i 2 2 i 1 2 L Iωf + M g (− ) = 0 2 2 (7.11) e explicitando para ωf r ωf = M gL . I O momento de inércia do centro de massa da barra é I = 1/3M L2 , logo r 3g . ωf = L (7.12) (7.13) Esse resultado mostra que a rapidez angular, no movimento de queda livre, não depende da massa da barra, mas somente da aceleração da gravidade e do comprimento. 7.2.4 A dinâmica do movimento de rolamento Um corpo rígido pode rolar sem deslizar mesmo que esteja acelerado desde que as condições de rolamento sejam satisfeitas. Derivando a Equação (7.4) em relação ao tempo obtemos condição de rolamento sem deslizamento acm = α r (7.14) que relaciona a aceleração do centro de massa e a aceleração angular. Exemplos desses rolamentos acelerados são os corpos rígidos sob a ação da força da gravidade como o ioiô e uma bola que sobe ou desce um plano inclinado sem deslizar. Também podemos citar os corpos rígidos que rolam acelerados num plano, mas sob a ação de uma força de atrito estático como uma bola de boliche em contato com a pista ou as bolas de um jogo de sinuca sobre o tecido da mesa. As causas dos movimentos de translação e rotação sobre o corpo rígido são a força e o torque resultantes, respectivamente X F~res = M~acm (7.15) e X ~τres = Icm α ~ (7.16) desde que o eixo de rotação que atravessa o centro de massa seja um eixo de simetria e não mude de direção em relação ao referencial inercial adotado. A aplicação de ambas as equações ficará mais evidente no avançar do curso. Exemplo 7.3. Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima do centro da bola Figura 7.9(a). Determine o valor de d Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos (a) 166 (b) Figura 7.9: (a)Uma bola de sinuca é golpeada por uma força horizontal e acima do centro de massa. (b) O diagrama do corpo livre para a bola de sinuca. para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola. Quando a bola está apoiada sobre a mesa de bilhar as forças que atuantes são mostradas no diagrama de corpo livre da Figura 7.9(b). Na direção vertical, as linhas de ação das forças gravitacional e contato atravessam o centro de massa da bola, o torque é nulo. Não há atrito entre as superfícies, portanto, o torque resultante é da força aplicada durante a tacada τ = F d. (7.17) Aplicando a segunda lei de Newton para os movimentos de translação F = macm (7.18) τ = Icm α (7.19) e de rotação podemos utilizar a condição de rolamento acm = α R, e escrever Fd τ F R= R. = m Icm Icm (7.20) O momento de inércia de uma esfera em relação a um eixo que passa pelo centro de massa é Icm = 2/5mR2 . Portanto, a distância d que a força deve ser aplicada é d= Icm 2 = R. mR 5 (7.21) Atingindo a bola em um ponto mais alto ou mais baixo do que a d = 2R/5 do centro resultará na bola rolando e deslizando. 7.2.5 As forças de atrito no rolamento Força de atrito estático Nas nossas situações físicas os corpos rígidos são considerados indeformáveis bem como as superfícies sobre as quais eles rolam sem deslizar. Essa aproximação teórica da realidade permite-nos dizer que o corpo rígido e a superfície estão em contato apenas por um único ponto. Então, quando o ponto de contato está instantaneamente em repouso isso equivale a condição de rolamento sem escorregamento Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 167 porque v = 0. De outra forma, a velocidade relativa entre o corpo rígido e a superfície é nula, eles não escorregam entre si. Isto implica que, se existe atrito entre as superfícies em contato, ele é necessariamente estático, mesmo se o corpo rígido estiver rolando sobre a superfície. Portanto, enquanto o corpo rígido rola sem deslizar sobre a superfície, o atrito será sempre estático. Uma força aplicada num ponto afastado do eixo de rotação de um corpo rígido pode provocar uma aceleração do centro de massa na direção do movimento e também uma aceleração angular em torno do eixo de rotação. Quando a relação entre as acelerações do centro de massa e angular não satisfizerem a Equação de rolamento sem deslizamento dada pela Equação (7.14), a força de atrito estático opõe-se à tendência de deslizamento no ponto de contato de tal modo que ela pode produzir um aumento ou diminuição da aceleração angular. Devemos enfatizar que se o ponto de contato está sempre instantaneamente em repouso, a variação da energia cinética é nula, daí pelo teorema trabalho energia, o trabalho da força de atrito estático é nulo; logo não há dissipação de energia. Exemplo 7.4. Vários objetos com simetria esférica e cilíndrica descem rolando um plano inclinado de um ângulo ϕ sem deslizar, conforme ilustrado na Figura 7.10. Determine a força de atrito e a aceleração do centro de massa dos corpos rígidos. Figura 7.10: a) Vários corpos arredondados rolam plano abaixo a partir da mesma altura. A secção reta de todos os objetos é ilustrada na Figura 7.11 e no diagrama do corpo livre, nós estabelecemos um eixo de coordenadas solidário ao centro de massa. Os módulos das forças paralelas ao eixo x são a força de atrito estático fe e a componente da força peso Px = m g sen ϕ e na direção do eixo y a força de contato N e a componente da força peso Py = m g cos ϕ. As componentes das forças na direção do eixo y não nos interessam nesse problema, pois a linha de ação dessas forças passam pelo centro de massa da esfera e produzem um torque nulo. Aplicando a segunda lei de Newton na direção do eixo x, X Fx = m acm, m g sen ϕ − fe = m acm , (7.22) onde m pode ser a massa de qualquer um dos ojetos. A segunda lei de Newton para as rotações, no eixo x, se deve somente à força de atrito estático fe porque tem braço de alavanca não nulo, logo X τx = Icm α fe R = Icm α, (7.23) Figura 7.11: O diagrama do corpo livre para os corpos rígidos arredondados. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 168 onde Icm pode ser o momento de inércia de qualquer um dos ojetos. Se a esfera desce o plano inclinado sem deslizar a condição de rolamento acm = αR (7.24) deve ser satisfeita. Portanto temos um sistema de três equações e três incógnitas. Resolvendo para fe na Equação (7.22), e para α na Equação (7.24) e substituindo os resultados na Equação (7.23), (m g sen ϕ − m acm )R = Icm acm R (7.25) determinamos a aceleração do centro de massa acm = g sen ϕ . 1 + mIcm R2 (7.26) Levando essa última expressão na Equação (7.22), finalmente obtemos a força de atrito estático m g sen ϕ (7.27) fe = R2 1 + mIcm Os momentos de inércia desses corpos rígidos em relação do centro de massa podem ser escrito como Icm = γ m R2 , onde γ assume os valores constantes mostrados na tabela 7.1. corpo esfera maciça esfera oca cilindro maciço anel γ 2/5 2/3 1/2 1 Tabela 7.1: A constante γ assume valores diferentes para cada corpo rígido arredondado. Assim, a aceleração independe da massa e do raio dos corpos acm = g sen ϕ , 1+γ (7.28) enquanto a força de atrito estático depende somente da massa fe = m g sen ϕ . 1 + γ −1 (7.29) Para uma esfera maciça, γ = 2/5 e aceleração do centro de massa é acm = 5 g sen ϕ 7 (7.30) que é menor que aceleração da mesma esfera por um fator 5/7 quando comparado à uma superfície sem atrito. A aceleração é menor devido à força de atrito estático da esfera 7 fe = m g sen ϕ. (7.31) 5 Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 169 No exemplo anterior, conclui-se que o atrito cinético é responsável pela rotação do corpo e pela diminuição da aceleração do centro de massa do corpo sólido que desce (ou sobe) sobre o plano inclinado. As equações (7.28) e (7.29) são válidas para qualquer corpo com simetria esférica ou cilíndrica que possa rolar num plano inclinado e tenha o centro de massa coincidente com o centro geométrico. Porém, devido ao momento de inércia dos corpos, os fatores numéricos mostrados na tabela (7.1) são diferentes para cada corpo rígido. Por esse motivo numa competição de vários corpos rígidos arredondados deixando-os rolar do alto de um plano inclinado, aquele que chegará primeiro à base do plano inclinado será o corpo rígido com menor valor da constante γ porque ele terá maior aceleração do centro de massa. Através dos valores de γ da Tabela 7.1 a ordem de chegada na base do plano é: qualquer esfera maciça, qualquer cilindro maciço, qualquer esfera oca e qualquer cilindro oco. Verifique ! Para um corpo rola sobre um plano inclinado a força de atrito estático fe deve ser grande o suficiente para evitar o deslizamento. Nesse caso, seu valor deve ser fe ≤ µe N , onde N = m g cos ϕ. Portanto, a partir da Equação (7.29), obtemos que tan ϕ ≤ (1 + γ −1 )µe (7.32) Para a esfera γ = 2/5, logo tan ϕ = 7/2µe . Conclui-se que para tanϕ for maior que 7/2µe , a esfera deslizará sobre o plano inclinado. Força de atrito cinético Quando o corpo rígido rola com deslizamento, o ponto de contato possui uma velocidade diferente de zero, isto é, há uma velocidade entre o corpo e a superfície. Nesse caso, existe uma força de atrito cinético (fc ) que está relacionado ao movimento relativo das superfícies de contato. Quando isso ocorre, a Equação (7.4) ou (7.14) não podem ser aplicadas, mas a força de atrito cinético atuará até que a condição de rolamento seja satisfeita.Sistematicamente, devemos usar as equações (7.22) e (7.23) com fe trocado por fc . Exemplo 7.5. Uma bola de boliche, de massa M e raio R, é lançada no nível da pista, de forma a iniciar um movimento horizontal sem rolamento, com rapidez v0 = 5, 0m/s. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso é µc = 0, 080. Determine (a) o tempo que a bola leva derrapando na pista ( após o qual ela passa a rolar sem deslizar ) e (b) a distância na qual ela derrapa. (a) Durante a derrapagem, vcm > ωR. Calculamos vcm e ω como funções do tempo, fazemos vcm igual a ωR e resolvemos para o tempo. As acelerações linear e angular são encontradas pelas equações (7.15) e (7.16). Tome o sentido do movimento como positivo. Como existe deslizamento, o atrito é cinético ( e não estático). Isto significa que a energia é dissipada pelo atrito, não se podendo usar conservação da energia mecânica para resolver este problema. A partir do esboço do diagrama do corpo livre para a bola de boliche (Figura 7.12), a força resultante sobre ela é a força de atrito cinético fc , que atua no sentido negativo do eixo x. Figura 7.12: Uma bola de boliche que rola sobre uma superfície com atrito cinético µc . Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 170 Aplicando a segunda lei de Newton X Fx = M acm,x −fc = M acm,x . (7.33) A aceleração tem o sentido negativo do eixo x e acm,y = 0. A força normal é N = M g e permite determinar a força de atrito cinético X Fy = M acm,y = 0 ⇒ N = M g −fc = µc N = µc M g. (7.34) A aceleração do centro de massa é obtida substituindo o resultado (7.34) na Equação (7.33), − µc M g = M acm,x ⇒ acm,x = −µc g. (7.35) A Equação cinemática que relaciona a velocidade linear com a aceleração constante e o tempo é vcm,x = v0 + acm,x t = v0 − µc gt. (7.36) A segunda lei de Newton para as rotações fornece a aceleração angular X τx = Icm α µc M gR = 5 µc g 2 M R2 α ⇒ α = . 5 2 R (7.37) A Equação cinemática que relaciona a velocidade angular com a aceleração angular constante e o tempo é ω = ω0 + αt = 5 µc g t. 2 R (7.38) Portanto, substituindo as equações (7.36) e (7.37) quando a condição de rolamento é satisfeita, a velocidade do centro de massa é vcm = ωR fornece a expressão (v0 − µc gt) = ( 5 µc g t)R. 2 R (7.39) Resolvendo para o tempo t, obtemos t= 2v0 = 1, 8s. 7µc g (7.40) b) A distância percorrida durante a derrapagem vale 1 ∆x = v0 t + acm t2 2 2v0 1 2v0 2 ∆x = v0 ( ) + (−µc g)( ) 7µc g 2 7µc g 12 v02 ∆x = = 7, 8m. 49 µc g (7.41) Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 171 Força de atrito de rolamento Quando os corpos não são idealizados surgem deformações que implicam que as zonas de contato não são pontuais ou lineares, mas abrange uma pequena área. Nesse caso, dizemos que há um atrito de rolamento, como ocorre entre os pneus de um meio de transporte e o asfalto. Na realidade, existe sempre uma ligeira deformação por contato de modo que no rolamento sem deslizamento de um corpo rígido (não ideal) sempre há perdas de energia devido as deformações das superfícies de contato. É devido ao atrito de rolamento e à resistência que ocorre dissipação de energia durante o movimento. Na Figura 7.13(a), ilustramos um instante de uma esfera de aço que rola sobre uma superfície macia e vemos a deformação na parte frontal da esfera que aumenta a região de contato. No diagrama de corpo livre da Figura (7.13(b), força de contato resultante F~r se concentra nessa região mais ex~ , e a força de atrito de tensa, e tem como componentes a força de contato normal, N ~ produz um torque que se opõe a rotação e a força f~e prorolamento, f~e . A força N vocam um deslizamento da esfera sobre a superfície deformada dissipando energia. (a) (b) Figura 7.13: (a) Uma esfera de aço deforma uma superfície macia. (b) O diagrama do corpo livre ilustra as forças que agem sobre a esfera de aço. Exemplo 7.6. 1) Considere, então, uma esfera sólida que rola sem escorregar numa superfície horizontal macia. Mostre que a aceleração do centro de massa é acm = 5 g θ. 7 ~ e f~r originam a força resultante F~r , orientada e apliAs forças de contato N cada como mostra a Figura 7.13.b. O ponto de aplicação de F~r está deslocado de um comprimento λ em relação ao ponto p que representa uma situação de rolamento sem deformação. A segunda lei de Newton para Equação de movimento de translação aplica-se à força de atrito fr = −macm , (7.42) onde o sinal negativo indica que a força de atrito tem o sentido oposto à taxa de variação da velocidade do centro de massa, isto é, a aceleração do centro de massa. A Equação do movimento de rotação é fr h − N λ = Icm α (7.43) Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 172 onde N = mg e para uma esfera Icm = 25 mR2 . Como a esfera rola sem deslizar, a condição de rolamento acm = αR é satisfeita. Após algumas substituições, chegamos a seguinte Equação acm 2 . − macm h − mgλ = mR2 5 R (7.44) onde λ = Rsen θ ∼ = Rθ, para ângulos muito pequenos. Resolvendo para a aceleração do centro de massa, nós encontramos acm = − 5 g R θ. 5h + 2R (7.45) A altura h e o raio da esfera R se relacionam pela expressão h = R cos θ, e como supomos que θ é muito pequeno (isso equivale a dizer que a deformação da superfície macia é ínfima), temos que h ∼ = R. Consequentemente, 5 acm = − g θ. 7 (7.46) 2) Calcule a força externa F~ aplicada ao centro de massa para manter a esfera do exemplo anterior num movimento uniforme. Na Figura 7.14, a força de contato resultante, F~r , deve passar pelo eixo do cilindro de modo que as acelerações de translação e rotação sejam nulas, pois queremos um movimento uniforme. Assim, as equações de movimento ficam F − fr = 0 (7.47) fr R − N λ = 0. (7.48) e Como N = P = mg, encontramos que F = λmg R (7.49) Multiplicando ambos os lados da Equação anterior por R, F R = λmg → M = λP (7.50) onde M = fr R ≡ F R„ é chamado de momento de resitência ao rolamento. A grandeza λ, expressa em unidades de comprimento, é normalmente chamada de coeficiente de resistência ao rolamento, dependendo essencialmente dos materiais em contato. Para corpos rígidos ideais o coeficiente λ é muito pequeno. 7.2.6 Aplicações O ioiô O ioiô, Figura 7.15(a), é um brinquedo que permite estudar as equações de movimento de translação e de rotação e também a conservação da energia mecânica. As Figura 7.14: No movimento uniforme a linha de ação da força de contato resultante passa pelo centro de massa. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 173 (a) (b) Figura 7.15: (a) Ilustração de um ioiô típico. (b) As forças que atuam num ioiô. forças que atuam sobre o disco são: a força peso, P~ , que atua no centro de massa do ioiô e a tensão, T~ , da corda que atua tangencialmente ao raio do ioiô, como está ilustrado na Figura 7.15(b). As equações de movimento de translação mg − T = macm (7.51) T r = Icm α. (7.52) e de rotação Considerando que o ioiô role e não deslize sobre o barbante, a condição de rolamento acm = αr é satisfeita. Substituindo o momento de inércia do disco Icm = 1/2mR2 e resolvendo esse sistema de equações, a aceleração do centro de massa é 2 acm = g, 3 (7.53) portanto, menor que a aceleração de um corpo em queda livre por um fator de 2/3. Se o ioiô possuir uma forma que não é de um disco, a Equação da aceleração será idência à expressão (7.26). As equações do movimento retilíneo uniformemente acelerado fornecem a velocidade e o tempo de queda do disco de uma altura h, a partir do repouso: h = 1 2 gt 2 (7.54) r vcm = acm t → vcm = 2 gh , 3 (7.55) onde conferimos que a velocidade de queda é independente da massa e do raio do disco, como deveria ser. O mesmo resultado é obtido a partir da conservação da energia mecânica. Para tal, comparamos a posição inical do disco, em repouso, com a situação final do disco, após desenrolar todo o barbante, Figura 7.16. Na posição final, o centro de massa do disco se move com velocidade do centro de massa e gira ao redor de um eixo que passa pelo seu centro de massa com velocidade angular ω = vcm /r. No nosso referencial, enquanto o ioiô cai, a energia potencial diminui do seu valor máximo Ep = mgh até zero e a energia cinética aumenta de zero até o seu valor 2 máximo Ec = 1/2mvcm + 1/2Icm ω 2 . Portanto, o princípio de conservação de Figura 7.16: As posições inicial e final de um ioiô. Capítulo 7 – O movimento dos corpos rígidos 174 energia se escreve Ei = Ef 1 2 mgh = mv + 2 cm 1 2 mgh = mv + 2 cm (7.56) 1 Icm ω 2 2 1 vcm 2 Icm ( ). 2 r (7.57) (7.58) Resolvendo para a velocidade do centro de massa, obtemos r gh vcm = 2 . 3 (a) (7.59) (b) Figura 7.17: (a) A força impulsiva age num curto intervalo de tempo. (b) A velocidade do centro de massa tem o sentido invertido, mas a velocidade angular mantém o mesmo sentido. Quando o disco alcança o final do barbante tem um momento linear p~ = m~v orientado para baixo. O movimento para baixo é interrompido e se inverte graças à elasticidade da corda. A duração do tempo t até a inversão do sentido da velocidade do centro de massa é muito pequeno. A energia cinética de translação do disco se converte em energia elástica do barbante que se alonga imperceptivelmente. Esta energia é transferida ao disco como energia cinética de translação com o movimento vertical para acima do seu centro de massa, quando o barbante recupera seu comprimento normal sem deformação. A energia cinética de rotação não muda, já que a velocidade angular de rotação não muda de sentido. Para que o disco mude seu momento linear de p~ a −~p é necessário uma força intensa f (t) que atua durante um intervalo de tempo muito curto t, Figura 7.17(a). O impulso é igual à variação do momento linear e é numericamente igual à área sombreada da Figura 7.17(b). Z I= F dt = ∆p = mv − (−mv) = 2mv. (7.60) Como vemos na Figura 7.17.a, a tensão do barbante T é constante e aumenta bruscamente durante um pequeno intervalo de tempo t. Capítulo 8 Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação Ronai Machado Lisbôa 8.1 Introdução No estudo da cinemática de rotação percebemos a analogia entre as grandezas físicas lineares (s, v, a) e as angulares (θ, ω, α). A partir de agora, vamos ver que existe uma analogia entre as grandezas físicas lineares e angulares na dinâmica de rotação. Na aula anterior aprendemos que os movimentos mais gerais são combinações dos movimentos de translação do centro de massa e de rotação em torno de um eixo. Agora, analisaremos as causas da rotação de uma partícula em torno de um ponto fixo no espaço e encontraremos as equações que governam o seu movimento de rotação. Isso é suficiente para entender o movimento atômico clássico do elétron ao redor do núcleo e com alguma extrapolação até o movimento da Terra em torno do Sol. Esses são os primeiros passos para que na próxima aula sejamos capazes de compreender movimentos de rotações mais complexos como por exemplo, a habilidade dos pilotos sobre as motos cruisers , o princípio de funcionamento dos veículos individuais como os Segway utilizados como um moderno meio de transporte, as cambalhotas de um gato no ar que chega sempre de pé no solo e também a famosa bicicleta do Rei Pelé. 8.2 O Torque Aprendemos que o torque é igual ao produto vetorial entre a posição e a força resultante ~τ = ~r × F~ (8.1) e no SI de unidades é expresso em N.m. A natureza vetorial da Equação (8.1) implica que o torque é perpendicular ao plano formado pelos vetores ~r e F~ e o sentido é dado pela regra da mão direita: o polegar aponta na direção e no sentido do torque quando os outros dedos da mão direita giram ~r para encontrar F~ , mas varrendo o menor ângulo entre eles, Figura 8.1. A forma vetorial é também um 175 Figura 8.1: O polegar aponta na direção e sentido do produto vetorial ~r × F~ . Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 176 meio de resumir as componentes do torque que em coordenadas cartesianas são obtidas a partir do cálculo do determinante, ˆi ˆj kˆ τxˆi + τy ˆj + τz kˆ = x y z . (8.2) Fx Fy Fz Na Figura 8.2, o torque em torno da origem O do referencial inercial é perpendicular ao movimento da partícula que está momentaneamente no plano x0 y 0 . Em termos das suas componentes a magnitude do torque no eixo z 0 se escreve como τz0 = x0 Fy0 − y 0 Fx0 , onde no segundo membro dessa expressão as forças Fy0 e Fx0 são perpendiculares as posições x0 e y 0 , respectivamente. As outras componentes do torque são obtidas usando a Equação (8.2). Figura 8.2: O torque em torno da origem do referencial inercial O está na direção do eixo z 0 perpendicular ao movimento da partícula no plano x0 y 0 . Outra forma de calcular a magnitude do torque é escrevê-lo em função do ângulo entre os vetores posição e força τ = rF sen(θ) = rF⊥ = r⊥ F. (8.3) No movimento mostrado na Figura 8.3, somente a componente da força Fk = F sen θ tangente à trajetória é eficaz na produção da rotação visto que a componente da força F⊥ perpendicular à trajetória passa pelo eixo de rotação e exerce apenas uma tração ou tensão sobre o eixo. Para a força aplicada F~ , o torque é mais efetivo quanto maior o braço de alavanca r⊥ = b = r sen θ. Aplicando a regra da mão direita, o torque é perpendicular ao plano da página e aponta para fora. A seguir, vamos mostrar que no movimento de uma partícula no plano e contendo a origem, o torque e a aceleração angular têm a mesma direção. Em coordenadas cilíndricas polares, a força resultante é F~ = F⊥ rˆ + Fk ϕˆ e a partir da Equação (8.1), o torque da componente F⊥ é nulo, porque o produto vetorial dos unitários são rˆ × rˆ = 0 e rˆ × ϕˆ = zˆ, daí ~τ = rˆ r × (Fk rˆ + F⊥ ϕ) ˆ = rF⊥ zˆ. (8.4) Se usarmos a segunda Lei de Newton para o módulo da força tangencial, Fk = mat e at = αr para aceleração, obtemos ~τ = mr2 αˆ z = I0 α ~, (8.5) Figura 8.3: O torque de uma força move a partícula em torno do ponto O. Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 177 onde I0 = mr2 é o momento de inércia da partícula em torno da origem O. A Equação (8.5) significa que o torque da força resultante tem a direção da aceleração angular da partícula. Se a compararmos com a segunda Lei de Newton, F~ = m~acm , é possível afirmar que o torque na dinâmica da rotação é o análogo da força na dinâmica da translação. Exemplo 8.1. Uma placa metálica quadrada de lado igual a 0, 180 m possui um eixo pivotado perpendicularmente ao plano da página passando em seu centro O ( Figura 8.4.a ). Calcule o torque resultante em torno desse eixo produzido pelas três forças mostradas na Figura, sabendo que os módulos das forças são F1 = 18, 0 N, F2 = 26, 0 N e F3 = 14, 0 N. O plano da placa e de todas esssas forças é o plano da página. Figura 8.4: O torque resultante é a soma vetorial dos torques da cada uma das forças. Usamos a Equação (8.3) para calcular a magnitude de cada torque e aplicamos a regra da mão direita para determinar a direção do torque. Podemos estabelecer o sentido antihorário como positivo. Na Figura 8.4, temos que p (8.6) r1 = r2 = r3 = (0.090)2 + (0.090)2 = 0, 127 m. Os torques das forças são τ1 = −l1 F1 = r1 sen φ1 F1 τ1 = −0, 127sen 135◦ 18 = −1, 62N.m (8.7) τ2 = +l2 F2 = r2 sen φ2 F2 τ2 = +0, 127sen 135◦ 26 = +2, 34N.m (8.8) τ3 = +l3 F3 = r3 sen φ2 F3 τ3 = +0, 127sen 90◦ 14 = +1, 78N.m (8.9) O torque resultante é positivo tendendo a produzir uma rotação no sentido antihorário e tem a direção para fora do papel. X τ = τ1 + τ2 + τ3 = −1, 62 + 2, 34 + 1, 78 = +2, 50N.m. (8.10) Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 178 8.3 O Momento Angular Na Figura 8.5, um partícula de massa m e momento linear p~ = m~v tem sua posição medida em relação à origem O do referencial inercial pelo vetor posição ~r. O momento angular da partícula é igual ao produto vetorial entre a posição e o momento linear, ~ = ~r × p~. L (8.11) As unidades no SI do momento angular são Kg.m2 /s. Figura 8.5: O momento angular em torno da origem do referencial inercial O está na direção do eixo z 0 perpendicular ao movimento da partícula no plano x0 y 0 . O produto vetorial da Equação (8.11) implica que o momento angular tem sempre a direção perpendicular ao plano formado pelos vetores posição e momento linear e o sentido é dado pela regra da mão direita. Na Figura 8.5, se o plano do movimento da partícula coincide com o plano do referencial inercial, então o momento angular em torno da origem é paralelo ao eixo z. As componentes do vetor momento angular em coordenadas cartesianas são obtidas a partir do cálculo do determinante ˆi ˆj kˆ ~ = x y z . L (8.12) px py pz Para uma partícula que se move no plano xy o momento angular é paralelo ao eixo z com uma intensidade Lz = xpy − ypx . Similarmente, a intensidade do momento angular em função do menor ângulo entre os vetores posição e momento linear L = rpsen(θ) = rp⊥ = r⊥ p (8.13) onde p⊥ = p sen(θ) é a componente do momento linear perpendicular à direção r e r⊥ = r sen(θ) é a componente do vetor posição perpendicular ou o braço de alavanca à direção p~, conforme ilustrado na Figura 8.6. Na seção anterior, mostramos que o torque e aceleração angular têm a mesma direção se o movimento da partícula está contida num plano contendo a origem. Agora, mostraremos que o momento angular e a velocidade angular têm a mesma direção nesse tipo de movimento. O raio vetor ~r que liga a partícula à origem e as velocidades ~v e ω ~ se relacionam através do produto vetorial ~v = ω ~ × ~r, (8.14) Figura 8.6: O momento angular de uma partícula em torno do ponto O é perpendicular ao plano do papel. Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 179 implicando que a velocidade ~v está numa direção perpendicular ao plano determinado por ω ~ e ~r. Se escrevermos os vetores nas coordenadas polares: ω ~ = ωˆ ze ~r = rˆ r, a velocidade da partícula é ~v = ωrϕ. ˆ O momento angular nas coordenadas polares ~ = rˆ ~ = I0 ω L r × mωrϕˆ = mr2 ωˆ z =⇒ L ~ (8.15) onde I0 = mr2 é o momento de inércia da massa m em torno da origem O. Essa Equação significa que o momento angular tem a direção da velocidade angular da partícula. Exemplo 8.2. Com uma boa aproximação, podemos supor que a órbita terrestre é circular. Então, aplicam-se as relações da Figura 8.5. A massa da Terra é 5, 98 × 1024 Kg e sua distância média ao Sol é 1, 49 × 1011 m. O período de revolução da Terra em volta do Sol é 3, 16 × 107 s. Assim, (a) qual a velocidade angular média da Terra em torno do Sol e (b) qual o momento angular da Terra em volta do Sol e deste em volta da Galáxia? A relação entre a frequência angular e o período é dada pela Equação ω= 2π 2π = = 1, 98 × 10−7 s−1 . T 3, 16 × 107 (8.16) Portanto, o momento angular da Terra em relação ao Sol é L = mωr2 = (5, 98 × 1024 ).(1, 49 × 1011 ).(1, 98x10−7 ) = 2, 67 × 1041 Kg.m2 s−1 . (8.17) De forma idêntica, o Sol move-se em volta do centro da Galáxia e descreve uma trajetória que é aproximadamente um círculo de raio 3, 0 × 1020 m com uma velocidade angular de 10−15 s−1 . O momento angular do Sol em volta da Galáxia é da ordem de 1055 Kg.m2 s−1 . 8.4 A segunda Lei de Newton para as rotações Quando uma força resultante atua sobre uma partícula, sua velocidade linear e seu momento linear variam d ~ P = F~ . (8.18) dt Analogamente, vamos mostrar que o torque de uma força resultante sobre uma partícula, sua velocidade angular e seu momento angular variam. Derivando ambos os membros da Equação (8.11) em relação ao tempo d~ d d L = ( ~r × m~v ) + (~r × m ~v ) dt dt dt (8.19) e identificamos que a primeira parcela do segundo membro é zero, pois é o produto vetorial da velocidade pela própria velocidade, e a segunda parcela é força resultante sobre a partícula. A Equação fundamental do movimento de rotação é d~ L = ~r × F~ = ~τ . dt (8.20) Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 180 que se traduz como taxa de variação do momento angular de uma partícula é igual ao torque da força resultante que atua sobre ela. Devemos ter a atenção que ~τ tem ~ mas não do vetor momento angular a direção da variação do momento angular dL, ~ L. Na Figura 8.7, ilustramos a mesma partícula em dois instantes distintos a fim de ver claramente as direções do torque e do momento angular. Eles têm a mesma direção do eixo de rotação z, logo da velocidade angular ω ~ . Mas dissemos anteriormente que o torque tem a direção da variação do momento angular, mas na Figura aparentemente o torque tem a direção do momento angular. Adiantamos que a nossa afirmação é correta e vamos justificá-la. Figura 8.7: O momento angular e o torque de uma partícula em torno da origem O. Na Figura 8.8, representamos a trajetória circular da mesma partícula, mas usamos as variáveis da cinemática da rotação: à esquerda temos as relações entre as velocidades e à direita as relações entre as acelerações. Sabemos que o vetor ~v é perpendicular ao plano determinado pelos vetores ω ~ e ~r, isto é ~v = ω ~ ×~r. Derivando Figura 8.8: O momento angular de uma partícula em torno do ponto O. a velocidade em relação ao tempo temos a aceleração da partícula, ~a = d d~ω d~r (~ω × ~r) = ( × ~r) + (~ω × ) =⇒ ~a = (~ α × ~r) + (~ω × ~v ), dt dt dt (8.21) onde associamos a primeira parcela do segundo membro como a aceleração tangencial à trajetória ~at = α ~ × ~r, e a segunda parcela como a aceleração perpendicular à trajetória ~acp = ω ~ × ~v . A expressão para a aceleração nas coordenadas cilíndricas polares assume a forma ~a = αrϕˆ − ωvˆ r = αrϕˆ − ω 2 rˆ r =⇒ ~a = at ϕˆ − acp rˆ, (8.22) Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 181 onde o sinal negativo indica que a aceleração perpendicular é dirigida para o centro da trajetória circular, isto é, acp é a aceleração centrípeta. No movimento circular acelerado, o torque não é nulo e a força que o produz é a força tangencial. Isso fica evidente ao substituir a aceleração (8.22) na Equação no torque (8.20) ~τ = rˆ r × m(at ϕˆ + acp rˆ) =⇒ ~τ = mr2 αˆ z = I0 α ~, (8.23) e recuperamos a Equação (8.5): o torque resultante é igual ao momento de inércia em torno da origem vezes a aceleração angular. Portanto, o torque paralelo ou antiparalelo produz, respectivamente, um aumento ou diminuição da velocidade angular da partícula em torno da origem. Em outras palavras o torque tem a direção da variação do momento angular ou da variação da velocidade angular ~τ = d d~ ~ = I0 α ~ L = I0 ω dt dt (8.24) Entretanto, no movimento circular uniforme, a velocidade angular ω ~ é constante e a aceleração angular é nula, logo o torque também é nulo, pela Equação ou (8.24) . Outra interpretação é que a velocidade linear ~v tem módulo constante, mas muda de direção enquanto a partícula se move na trajetória circular dando origem à aceleração centrípeta. Nesse caso, a força resultante é a centrípeta e o torque é nulo. Na próxima aula veremos que um toque resultante externo nulo significa que o momento angular se conserva ou que ω é constante. Essa é a lei de conservação do momento angular da mesma forma que uma força resultante externa nula leva à lei de conservação do momento linear, isto é, a velocidade linear é constante. Exemplo 8.3. Uma partícula, de massa m, viaja com uma velocidade constante ~v ao longo de uma linha reta que dista b da origam O. Seja dA a área varrida pelo vetor posição da partícula, em relação a O, durante o intervalo de tempo dt. Mostre que dA/dt é constante e igual a L/2m, onde L é a magnitude da quantidade de movimento angular da partícula em relação à origem. Figura 8.9: Ilustração da segunda lei de Kepler, ou lei das áreas. A área varrida é numericamente igual a área de um triângulo. Na Figura 8.9, essa área é 1 dA = (v dt) b. (8.25) 2 Capítulo 8 – Torque, Momento Angular e a 2a Lei de Newton para a rotação 182 Dividindo ambos os membros por dt, obtemos 1 dA = v b = constante dt 2 (8.26) onde, a partir da figura, b = r sen θ. Assim, dA 1 = v r sen θ. dt 2 (8.27) Multiplicando o numerador e o denominador pela massa m, dA 1 = m v r sen θ, dt 2m (8.28) reconhecemos o momento angular L = m r v sen θ, e finalmente mostramos que dA 1 = L. dt 2m (8.29) Como o momento angular L é uma constante, esta quantidade dA/dt também é constante. No curso de gravitação, ela é reconhecida como a segunda lei de Keppler, ou comumente chamada a lei das áreas. Capítulo 9 Sistema de muitas partículas Ronai Machado Lisbôa 9.1 Introdução Quando falamos em sistema de muitas partículas não precisamos nos preocupar em enumerar todos os objetos, pois a nossa primeira suposição é que todos eles são idênticos. Também não é preciso estudar o movimento de centenas ou milhares de objetos, pois como sabemos todos eles transladam juntamente com o centro de massa. Assim, se há forças externas aplicadas sobre cada objeto podemos substituir todas essas forças por uma única força resultante sobre o centro de massa e o sistema se move acelerado em relação a algum referencial inercial. Entretanto, se a força externa resultante não é aplicada sobre o centro de massa, o sistema vai girar em torno um ponto ou eixo do referencial inercial ao mesmo tempo que as próprias partículas do sistemas giram em torno do referencial do centro de massa. Esses movimentos de rotação são primordiais, pois são responsáveis pela formação das galaxias, estrelas, planetas e até buracos negros. O próprio movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo dá-nos a noção de dia e noite, enquanto o de translação, isto é, de rotação da Terra em torno do Sol o ano. 9.2 Torque e momento angular de um sistema de partículas O momento angular de uma partícula é facilmente estendido ao de um sistema de muitas partículas quando usamos o princípio de superposição. Portanto, o momento angular total de um sistema de partículas em relação ao mesmo ponto é definido pela soma vetorial n X ~ i, ~ = L (9.1) L i=1 ~ i é o momento angular da partículo i que compõe o sistema. onde L O torque total das forças externas que atuam num sistema de partículas é 183 Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 184 obtido derivando a Equação (9.1) em relação ao tempo, n n X ~ ~i X dL dL = = ~τi . dt dt i=1 i=1 (9.2) Mas devemos ser cautelosos na interpretação dessa Equação porque no segundo membro, o torque resultante se deve a soma dos torques das forças de vínculos e das forças externas, isto é, n X ~τi = ~τvin + ~τext , (9.3) i=1 onde considerando a hipótese de que a linha de ação das forças de vínculo entre cada par de partícula interajente está dirigida segundo a linha que as une, o torque resultante correspondente é nulo, ~τvin = 0. Assim, a lei fundamental da dinâmica para um sistema de partículas ~ dL = ~τext (9.4) dt que significa que a taxa de variação no tempo do momento angular de um sistema de partículas, em relação a um ponto arbitrário, é igual à soma dos torques, em relação ao mesmo ponto, das forças externas que atuam sobre as partículas do sistema. Na Equação (9.4), o ponto o qual o momento angular e o torque resultantes são calculados é arbitrário, mas deve estar em repouso num referencial inercial. Contudo, se o ponto escolhido é o centro de massa a Equação (9.4) é válida mesmo que o centro de massa não seja inercial, isto é, esteja acelerado. Isso é decorrente da mesma hipótese que a linha de ação da força de vínculo de qualquer partícula está dirigida segundo a linha que as une. Portanto, a força resultante nesse caso, é a força externa em relação ao centro de massa. Isso deve ficar mais evidente ao analisarmos o primeiro membro da Equação (9.1), onde o momento angular total do sistema de partículas é a soma ~ =L ~ int + L ~ orb . L (9.5) A primeira parcela é o momento angular interno em relação ao centro de massa e a segunda é o momento angular orbital do centro de massa em torno da origem do referencial inercial. Para esclarecer o significado dessa última Equação podemos exemplificar com a Figura (9.1), onde a Terra possui um momento angular interno em relação ao seu centro de massa e um momento angular orbital ao redor do Sol. Derivando ambos os membros em relação ao tempo, obtemos a lei fundamental das rotações, ~ int dL ~ orb ~ dL dL = + . (9.6) dt dt dt Vamos analisar algumas particularidades. Na Equação acima, se o centro de massa do sistema esta em repouso em relação à origem do referencial inercial temos ~ orb = 0 e que L ~ int dL ~τext = ~τcm = (9.7) dt Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 185 Figura 9.1: Momento angular orbital e interno do sistema Terra-Sol. implicando que a taxa de variação no tempo do momento angular interno é igual ao torque resultante em relação ao centro de massa do sistema de partículas. A Equação (9.4) é válida quando o momento angular e o torque são calculados em relação a um ponto fixo no sistema inercial. A Equação (9.7) é válida para o centro de massa, inclusive se estiver acelerado. 9.3 Torque e momento angular de um corpo rígido Num corpo rígido as posições das muitas partículas que o constituem são fixas devido as forças de vínculo e as forças externas aplicadas são incapazes de provocar qualquer deformação. Isso traz vantagens no estudo do movimento da rotação porque todas as partes do corpo têm a mesma velocidade angular. Contudo, os resultados obtidos para o momento angular e torque são dependentes do eixo de rotação que passa por um ponto fixo num referencial inercial, ou se passa pelo centro de massa. Na figura 9.2, o corpo rígido gira com velocidade angular ω ~ = ωˆ z em torno do eixo de rotação que possui uma direção fixa no espaço. Um elemento de massa ∆mi numa seção reta do corpo rígido está a uma distância ~ri = ri rˆ do eixo de rotação com uma velocidade ~vi = ωri ϕ. ˆ Portanto o momento angular do corpo rígido em relação ao eixo é X X ~ = ~ = L (~ri × ∆mi~vi ) =⇒ L ∆mi ri2 ω ~. (9.8) i i Tomando o limite do contínuo de ∆m → 0 e o somatório → ∞, temos ~ = I~ω . L onde Z I= r2 dm (9.9) (9.10) é o momento de inércia do corpo rígido em torno ao eixo de rotação. Então, no caso de um corpo rígido plano, que gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao sólido, o momento angular tem a mesma direção que a velocidade angular. Por Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 186 Figura 9.2: Momento angular de um elemento de massa ∆mi de um corpo rígido plano que gira em torno de um eixo fixo perpendicular ao sólido. seguinte, o torque resultante em relação ao mesmo eixo de rotação é ~τ = d~ L = I~ α dt (9.11) que siginifica que o torque tem a direção da aceleração angular. Esses são os mesmos resultados obtidos anteriormente no estudo da dinâmica de rotação de uma partícula cujo o seu movimento no plano contém a origem. Figura 9.3: O momento angular e o toque de um elemento de massa ∆m de um corpo rígido arbitrário que gira em torno de um ponto não têm a mesma direção no espaço. Nem sempre o torque e o momento angular têm a mesma direção, por exemplo, se o corpo rígido possui uma forma arbitrária e gira com velocidade angular ω ~ constante ao redor de um eixo fixo. Essa situação é ilustrada na Figura 9.3. O elemento de massa ∆m é localizado em relação a origem O por ~r e possui velocidade linear ~v = ω × ~r. Visto que o movimento é circular uniforme a força resultante sobre o elemento de massa é a força centrípeta, F~ = ∆m~acp , (9.12) onde a aceleração centrípeta é ~acp = d (~ω × ~r) = (|{z} α ~ ×~r) + (~ω × ~v ). dt (9.13) 0 Essa Equação mostra que a direção da acelereção centrípeta independe da origem e é perpendicular ao plano determinado pelas velocidades ω ~ e ~v . O módulo da força Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 187 é facilmente calculado porque ω ~ e ~v são perpendiculares, F = ∆mωv. (9.14) O torque, em torno da origem O, da força resultante sobre o elemento de massa ~ dL ~τ = = ~r × F~ (9.15) dt tendo a direção e o sentido determinados a partir da regra da mão direita. Nesse caso, o torque tem o sentido horário, como ilustrado na Figura 9.3. A intensidade calcula-se com o auxílio da definição do produto vetorial τ = rF sen(θ + π ) = rF cos(θ). 2 (9.16) onde reconhecemos o ângulo (θ + π/2) entre os vetores ~r e F~ . Substituindo a Equação (9.14) na Equação (9.16), obtemos τ = rF sen(θ + π ) = r∆mωvcos(θ). 2 (9.17) Lembrando que o momento angular, em torno da origem O, é L = r∆mv podemos reescrever a Equação para o torque τ = ωLcos(θ) (9.18) ~ mas na Figura 9.3, cos(θ) = sen(π/2 − θ) é o ângulo entre os vetores ω ~ e L. Portanto, vemos que o torque e o momento angular não têm a mesma direção nesse sistema físico ~ ~τ = ω ~ × L. (9.19) Figura 9.4: A componente do momento angular de um corpo rígido arbitrario que gira em torno de um eixo de simetria tem a mesma direção da velocidade angular. Porém, se o eixo de rotação passa pelo centro de massa do corpo rígido, isto é, é um eixo de simetria, para cada elemento de massa ∆mi há outro elemento de massa ∆mi localizado simetricamente ao eixo de rotação, como ilustrado na Figura 9.4. Consequentemente, o momento angular total pode ser escrito em termos das suas componentes paralela e perpendicular ao eixo de rotação X ~ = ~ k,i + L ~ ⊥,i , L L (9.20) i Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 188 e observamos que as componentes do momentos angular perpendicular ao eixo de rotação são iguais e contrárias, de modo que se cancelam ao somar as contribuições. Por outro lado, as componentes paralelas são iguais e no mesmo sentido e a soma é o momento angular resultante na direção do eixo de rotação, Lk = Icm ωz (9.21) onde Icm é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa. A diferença dessa Equação para a (9.9) é que na última a direção do eixo de rotação pode varia no espaço e o momento angular é independente da origem O porque é calculado em relação ao eixo de simetria. Além disso, a Equação (9.21) é independente da forma do corpo. Então, é importante determinar se o momento angular e o torque são calculados em relação a um ponto em repouso no referencial inercial ou em relação ao centro de massa. Finalmente, para um corpo rígido que gira em torno de um eixo de simetria o torque resultante tem a mesma direção da variação do momento angular, ~τ = ~ dL = Icm α ~. dt (9.22) Para cada corpo rígido, mesmo assimétrico, existem pelo menos três direções perpendiculares entre si, para as quais o momento angular é paralelo ao eixo de rotação ou a velocidade angular de tal modo que as suas componentes ao longo desses eixos são Li = Iωi (i = x, y, z). Esses são chamados de eixos principais de inércia e os momentos de inércia calculados em relação a eles são os momentos de inércia principais. Quando o corpo é simétrico ( esfera, cilindro, quadrado, etc ), os eixos principais P coincidem com os eixos de simetria. Assim, o momento angular ~ ~ . É fácil perceber isso para um bloco quadrado da Figura 9.5 total é L = i Ii ω onde os eixos principais de inércia são também os eixos de simetria. O momento angular ao longo dos eixos principais de inércia enquanto o bloco gira em torno do centro de massa com velocidade angular ω é ~ = Ix ωiˆi + Iy ωj ˆj + Iz ωz kˆ L (9.23) onde ˆi, ˆj, kˆ são os vetores unitários ao longo desses eixos principais de inércia. Figura 9.5: Os eixos principais de um corpo simétrico coincidem com os eixos de simetria. Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 9.4 189 O movimento do giroscópio O pião Quando o torque tem a direção do momento angular ele é capaz de aumentar ou diminuir a taxa de variação da velocidade angular do corpo rígido em torno do eixo de rotação. Mas nem sempre o torque tem a direção do momento angular e o efeito do torque é observado, por exemplo, no pião que gira rapidamente em torno do seu eixo de simetria com a ponta fixa na origem O num referencial inercial. Ao mesmo tempo que o pião gira com uma velocidade angular ω ao redor do seu eixo de simetria ele tem uma velocidade angular de “precessão” em torno do eixo z do ~ faz um referencial inercial. Na Figura 9.6, o momento angular inicial do pião L Figura 9.6: O movimento de precessão do pião em torno do eixo z enquanto gira em torno do seu eixo de simetria. O torque é perpendicular ao momento angular, mas é paralelo à variação do momento angular. ângulo φ com o eixo z. As forças que atuam sobre ele são a força gravitacional F~ = m~g aplicada no centro de massa e a força de reação na origem O. O torque da força de contato é nulo porque o braço de alavanca é nulo, mas o torque da força gravitacional é ~τ = ~r × m~g , (9.24) onde ~r é o vetor posição do centro de massa em relação à origem O. Devido a natureza do produto vetorial, o torque é perpendicular ao plano determinado por ~r e m~g e tem o sentido antihorário. De outro modo, o torque é calculado como ~τ = ~ dL , dt (9.25) indicando que o torque tem a direção da variação do momento angular. Na Figura 9.6 o momento angular do pião é mostrado em dois instantes de tal modo que durante esse intervalo de tempo, ~ = ~τ dt dL (9.26) ~ e ao final do intervalo infinitesimal dt o novo momento angular é a soma vetorial L+ ~ isto é, tem o mesmo módulo, mas direção diferente porque dL ~ é perpendicular dL, ~ ~ a L. Notamos que ~τ , L e ~r giram em relação ao eixo z de um mesmo ângulo infinitesimal dϕ, Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 190 A velocidade angular de precessão é obtida a partir da derivada ωp = dϕ dt (9.27) onde o ângulo infinetesimal dϕ = dL/Lsen(θ). Portanto, ωp = τ rmgsen(θ) rmg = =⇒ ωp = , Lsen(θ) Iωsen(θ) Iω (9.28) significando que a velocidade angular de precessão não depende do ângulo θ e é inversamente proporcional ao momento angular do pião ao redor do seu eixo de simetria. Se o momento angular inicial do pião é grande isso significa que a velocidade angular de precessão é muito pequena e a direção do eixo de simetria do pião varia lentamente e se mantém numa posição fixa em relação ao eixo z do referencial ~ persegue o ~τ na tentativa de se inercial. Costuma-se dizer coloquialmente que o L ~ jamais o alcança. Essa “perseguialinhar com ~τ , mas como ~τ é perpendicular a L, ção” acarreta o movimento de precessão. O giroscópio O giroscópio é um aparelho cuja construção mais simples consiste de um disco livre para girar em torno de um eixo de simetria. A outra extrimidade do eixo é pivotada sobre uma base fixa e é livre para girar em torno do pivô em qualquer direção. Na Figura 9.7 ilustramos um giroscópio típico. Para analisar o movimento do giroscópio é útil escolher um referencial inercial com origem sobre o pivô. Posicionamos o eixo do giroscópio paralelamente ao eixo y do referencial inercial a fim de estudar o comportamento em duas situações: a roda com e sem uma rotação inicial. Figura 9.7: Um giroscópio típico sem a rotação sob a ação de um binário. O torque da força peso tem a direção do eixo y no sentido negativo. Quando a roda não está girando as únicas forças que atuam no giroscópio são a força gravitacional F~ = −M g kˆ aplicada no centro de massa do disco e a força ˆ onde F = M g. A força resultante externa é nula, mas de reação do pivô F~ = F k, essas duas forças formam um binário de braço de alavanca igual ao comprimento Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 191 do eixo ~l = l ˆj. O torque da força de reação do pivô é nulo, mas o toque da força peso em relação à origem O tem a direção do eixo x no sentido negativo ~τ = ~l × F~ = −M lg ˆi. (9.29) A partir da Equação fundamental das rotações ~ = −τ dt ˆi. dL (9.30) percebemos que a variação do momento angular do giroscópio deve ter a mesma direção do torque. Portanto, o momento angular inicial aumenta de zero até um ~ f em incrementos adicionais dL ~ na direção do torque, à medida que o valor final L intervalo de tempo dt cresce. O giroscópio cai girando ao redor do eixo x no sentido Figura 9.8: Um giroscópio típico sem a rotação sofre uma queda girando com uma aceleração angular na direção e sentido do torque resultante. horário com uma velocidade angular crescente até atingir o chão, como mostrado na Figura 9.8 O movimento do giroscópio é diferente quando o disco tem uma rotação rápida em torno do seu eixo de simetria, Figura 9.9. Figura 9.9: Um giroscópio típico com uma rotação rápida tem um movimento de precessão em torno do eixo z. Nesse caso, o momento angular inicial não é nulo e tem a direção do eixo de rotação, mas tal como antes o torque é dado pela Equação (9.29) e a variação do momento angular pela (9.30). Portanto, o torque muda a direção do momento Capítulo 9 – Sistema de muitas partículas 192 angular e do eixo do disco sempre, mas sempre no plano horizontal ( no plano xy ) num movimento de precessão ao redor do eixo z. A velocidade angular de precessão pode ser obtida a partir do mesmo desenvolvimento feito para o o caso do pião, mas o mesmo resultado é obtido a partir da Equação (9.19) que podemos reescrever na forma escalar τ = ωp Lsen(θ), (9.31) e substituindo o torque calculado na Equação (9.29) ωp = lmg τ = . Lsen(θ) Iω (9.32) No giroscópio, quando o atrito entre o disco e eixo é elevado a velocidade angular do disco diminui e a velocidade angular de precessão aumenta. Capítulo 10 A conservação do momento angular Ronai Machado Lisbôa 10.1 O princípio da conservação do momento angular 10.1.1 Movimento de uma partícula Quando estudamos a dinâmica no movimento de translação aprendemos que se a força externa resultante é nula o momento linear é uma grandeza conservada. Isso se traduz como o princípio da conservação do momento linear. Posteriormente, vimos que há analogias entre as grandezas da dinâmica de translação e de rotação. Portanto, se o torque externo resultante é nulo deve existir uma grandeza conservada associada. Seja o torque nulo escrito na sua forma vetorial ~r × F~ = 0. (10.1) A igualdade na Equação (10.1) é satisfeita se F~ = 0 ou se F~ tem a direção de ~r. No primeiro caso, o objeto é livre, isto é, não há força resultante externa capaz de alterar a condição do movimento de modo que ele está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao referencial inercial adotado. Isso significa que o vetor momento linear mantém o módulo, direção e sentido à medida que o tempo avança, Figura 10.1.a. No segundo caso, o torque é nulo pela própria definição do produto vetorial: rF sen(θ) = 0 com θ = 0 (paralelos) ou θ = π (antiparalelos). Fenomenologiamente, o torque é nulo porque a direção da força resultante passa pela origem o qual é calculado não sendo capaz de produzir uma rotação em torno dessa origem. Diz-se que o objeto está sob a ação de uma força central, isto é, uma força cuja linha de ação passa sempre por um ponto fixo chamado centro de força, Figura 10.1.b. Outra forma de expressar a Equação (10.1) é em termos do momento angular, ~ dL =0 dt (10.2) ~ é uma constante do movimento, isto é, L ~ é a grandeza significando que o vetor L conservada no movimento. A Equação (10.2) traduz-se como a lei de conservação do momento angular. 193 Capítulo 10 – A conservação do momento angular (a) 194 (b) Figura 10.1: Quando o torque é nulo a força é nula ou central. Em ambos os casos o momento angular é conservado e perpendicular ao plano do movimento. Quando dizemos que o momento angular é uma constante, o princípio da conservação do momento angular, também pode ser interpretada na seguinte forma ~i = L ~f L (10.3) implicando que o momento angular total em um certo instante inicial é igual ao momento angular em um certo instante final quando o torque externo resultante é nulo. E como o momento angular e o torque são grandezas vetoriais para serem completamente definidos é essencial que os módulos, as direções e os sentidos sejam indicados. Conclui-se que se resultante dos torques externos em relação a um dado ponto se anula, o momento angular do sistema em relação a esse ponto se conserva. Além disso, se uma dada componente do torque resultante se anula, a componente correspondente do momento angular total se conserva, independente das demais componentes. Aliás, na natureza nunca foi observada a violação desse princípio de conservação. Para um objeto livre (F~ = 0) na Figura 10.1.a ou sob a ação de uma força central (~r kF~ ) na Figura 10.1.b o momento angular é perpendicular à trajetória e tem o módulo, a direção e o sentido constantes. Por esse motivo, numa boa aproximação, os movimentos sob a ação de forças centrais como a trajetória dos elétrons em torno do núcleo e até dos planetas ao redor do Sol estão contidas num plano que contém o centro de forças. Um outro exemplo da conservação do momento angular e que enfatiza a sua natureza vetorial é o movimento sob a ação de uma força axial, isto é, uma força cuja a linha de ação sempre passa por um eixo fixo. Na Figura 10.2, temos uma força axial que é orientada para o ponto Q sobre o eixo z. Em relação à origem O, o torque é perpendicular ao plano determinado por ~r e F~ e o momento angular ao plano determinado por ~r e P~ . Portanto, o torque está no plano xy e tem componente nula na direção do eixo z, dLz = τz = 0 =⇒ Lz = constante . dt (10.4) Apesar do momento angular total não ser constante, a sua componente no eixo z é conservada (módulo, direçao, sentido) porque a componente do torque nessa ~ e ~τ em torno da origem O. direção é nula. Por esse motivo, há uma precessão de L Capítulo 10 – A conservação do momento angular 195 Figura 10.2: A componente do momento angular no eixo z é constante porque o torque permanece no plano xy. 10.1.2 Movimento de um sistema de partículas A conservação do momento angular é válida tanto no caso de uma partícula como de um sistema de partículas, incluindo os corpos rígidos. No caso de um sistema de partículas quando o torque externo resultante é nulo, o momento angular do sistema se conserva, ~ dL ~ int = constante = 0 =⇒ L (10.5) τext = dt A aplicação prática da Equação (10.6) justifica o aumento da velocidade angular de rotação de um patinador ao afastar seus braços do corpo. Desprezando a força de atrito entre os patins e o piso, não há a ação de forças externas, logo o torque é nulo. Considerando que o corpo do patinador com os braços abertos gira ao redor de um eixo principal de inércia, o momento angular tem a direção da velocidade angular do patinador, L = Iω. O aumento da velocidade angular quando o patinador aproxima os braços do corpo se explica pela diminuição do momento de inércia. A lei de conservação do momento angular do patinador se escreve Ii ωi = If ωf (10.6) e como If > Ii por ter os braços próximos do eixo de rotação do seu corpo, a velocidade angular deve aumentar ωf > ωi a fim de satisfazer a igualdade da Equação (10.6). Nos movimentos de dos atletas do salto de trampolim e em disância e mesmo de um gato em queda livre que consegue sempre cair de pé, a única força resultante significativa é a força gravitacional. Nesses casos, a força gravitacional atua no centro de massa dos corpos implicando que o torque externo resultante é nulo em relação ao centro de massa. Mas como esses corpos formam um sistema isolado podem alterar as velocidades de rotação em torno do eixo que passa pelo centro de massa através de forças internas para modificar o momento de inércia em relação ao eixo, mas mantendo o momento angular constante. Por isso, os atletas aproximam ou afastam os membros em relação ao centro de massa do corpo para aumentar ou diminuir a velocidade angular no movimento. O gato, por exemplo, faz os mesmo com as patas e enrola ou desenrola a calda para poder girar em torno do seu centro de massa, ainda no ar, para cair seguramente com as quatro patas no chão. Capítulo 11 Equilíbrio e Elasticidade Ronai Machado Lisbôa 11.1 Equilíbrio A dinâmica dos corpos rígidos é regida pelas seguintes equações de movimento dP~ = F~ , dt (11.1) ~ dL = ~τ . (11.2) dt A primeira é responsável pela translação do corpo rígido ou do seu centro de massa sob a ação da força externa resultante, enquanto a segunda, governa a rotação de quaisquer pontos do corpo rígido em torno do centro de massa sob o efeito do torque externo resultante. Caso as forças e torques externos se cancelem as equações de movimento são dP~ =0 dt (11.3) ~ dL = 0. (11.4) dt e dizem respeito aos princípios de conservação do momento linear e do momento angular, respectivamente. Dizemos que o corpo rígido está em equilíbrio quando ~f = L ~ i . O equilíbrio essas leis de conservação são satisfeitas, isto é, se P~f = P~i e L ~ i = 0, isto é, as velocidades linear e angular é dito equilíbrio estático se P~i = 0 e L são nulas em quaisquer instantes e o corpo rígido não translada e nem rotaciona no sistema de referência em que é observado. Portanto, as condições de equilíbrio estático resumem-se no conjunto de equações vetoriais P~ = 0, F~ = 0, ~τ = 0. (11.5) Devemos enfatizar que devido à natureza vetorial da força e do torque, as condições de equilíbrio se extendem as componentes das equações (11.1) e (11.2), Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0, 196 (11.6) Capítulo 11 – Equilíbrio e Elasticidade 197 Figura 11.1: O movimento da tábua é vinculado ao plano xy. O torque resultante está no eixo y. Para o equilíbrio estático e F~ = 0 e ~τ = 0. τx = 0, τy = 0, τz = 0. (11.7) Esse conjunto de seis equações é reduzido a três equações quando o movimento é vinculado ao plano. Por exemplo, na Figura 11.1, o movimento do corpo rígido é solidário ao plano xy, as equações remanescentes são Fx = 0, Fy = 0, τz = 0. (11.8) Nesse caso, uma das componentes da Equação (11.6) simplesmente não exisitirá e, consequentemente haverá somente a componente do torque perpendicular ao plano definido pelas componentes remanescentes da força resultante. A maior parte dos problemas que vamos resolver sobre o equilíbrio estático dos corpos rígidos se deve à tendência ou não do equilíbrio sobre a ação de forças externas e uma delas é a força gravitacional. A força gravitacional atua sobre toda a extensão dos corpos rígidos, mas podemos considerar que a resultante, a força peso esteja concetrada em um único ponto chamado centro de gravidade que é definido simplesmente pelo efeito gravitacional. Nas proximidades da superfície da Terra, onde ~g é o mesmo para todas as partes do corpo rígido, o centro de gravidade coincide com o centro de massa. Esse resultado é uma aproximação que facilita bastante a determinação das condições de equilíbrio porque o sistema de forças gravitacionais é equivalente à força-peso resultante aplicada no centro de massa, que é justamente o centro de gravidade. 11.2 Elasticidade Os problemas de equilíbrio analisados até agora têm três equações e três incógnitas e é possível resolvê-los. Caso existam mais incógnitas que o número de equações temos um equilíbrio indeterminado. Se na natureza os corpos rígidos fossem realmente indeformáveis seria impossível obter a solução desse sistema, mas como dissemos os corpos rígidos são idealizações para facilitar o estudo e a interpretação das fenomenologias observadas. No mundo real, todos os corpos são deformáveis sob a ação de forças externas aplicadas e quando isso ocorre, temos que levar em conta a elasticidade dos corpos que se deformam. Assim, os problemas de equilíbrio indeterminado são suplementados pelas equações da elasticidade. Capítulo 11 – Equilíbrio e Elasticidade 198 A deformação de uma mola obedece à Lei de Hooke, κ=− F ∆L (11.9) onde a constante elástica κ é uma constante de proporcionalidade entre a força aplicada e a deformação provocada e no SI tem as unidades N/m. A lei de Hooke é válida apenas para um pequeno intervalo da força aplicada em torno da posição de equilíbrio. Caso contrário a mola é derfomada definitivamente acima de um limite elástico Le e pode se romper acima do limite de ruptura Lr . Nos corpos reais os átomos interagem com os átomos vizinhos através de forças interatômicas que podem ser tratadas mecanicamente como uma mola cuja a constante elástica simula a rigidez ou maleabilidade do corpo. Desse modo, todos corpos têm uma elasticidade e podem ser tracionados, comprimidos e torcidos. Visto que os corpos rígidos possuem dimensões físicas é conveniente definir a tensão de dilatação como o módulo da força perpendicular por unidade de área Tensão de dilatação = T = F⊥ , A (11.10) onde T no SI tem as unidades de N/m2 . Diferente da força que é uma grandeza vetorial, a tensão é um escalar porque é definida como o módulo da força perpendicular à área como ilustrado na Figura 11.2 . Figura 11.2: O efeito da tensão T = F⊥ /A sobre o cilindro é uma dilatação linear (tração) por unidade de comprimento. Observa-se experimentalmente que na tração e na comprensão, a razão entre a tensão de dilatação e a deformação do corpo por unidade de comprimento, é constante Y= Tensão de dilatação F⊥ /A = , deformação por unidade de comprimento ∆L/L (11.11) onde Y é a constante de proporcionalidade denominada de módulo de Young e no SI tem unidades de N/m2 . Apesar dessa Equação servir para a medida da elasticidade de tração e comprensão, o módulo de Young assume valores diferentes de acordo com o material constituinte do corpo rígido, portanto a escolha desses materiais para fins práticos deve ser condizente com o efeito desejado. Por exemplo, o concreto e a pedra podem suportar tensão de comprensão, mas não suportam tensão de tração. Capítulo 11 – Equilíbrio e Elasticidade 199 A Equação (11.11) assume uma forma diferente quando o corpo é submetido a uma comprensão em todas as direções de modo a provocar uma variação de volume. Na Figura 11.3, vemos que isso é possível se o corpo é imerso em um fluido que exerce uma pressão P sobre todas as partes do corpo, Tensão volumétrica = P = F⊥ . A (11.12) Figura 11.3: O efeito da pressão P = F⊥ /A sobre o cilindro imerso num fluido é uma compresão volumétrica por unidade de volume. A pressão sobre a superfície do corpo imerso é a mesma seja qual for a orientação da superfície. Portanto, a pressão é uma grandeza escalar, não uma grandez vetorial. O efeito da pressão é uma variação volumétrica por unidade de volume do corpo, de modo que definimos o módulo de elasticidade volumétrico B= ∆P Tensão volumétrica =− , deformação por unidade de volume ∆V /V (11.13) onde o sinal negativo é incluído porque o aumento pressão acarreta uma diminuição do volume e B é uma grandeza positiva com unidades N/m2 no SI. O inverso do módulo de compreensão denomina-se compressibilidade 1 (11.14) κ= , B e as unidades são m2 /N. Em todos os casos anteriores, as forças aplicadas são perpendiculares à área do corpo de modo que o efeito das tensões é de provocar uma tração ou comprensão, seja de dilatação ou volumétrica. A componente da força paralela à superfície de um corpo sólido é uma tensão de cisalhamento Tensão de cisalhamento = C = Fk , A (11.15) e provoca uma deformação de cisalhamento X , (11.16) L como apresentado na Figura 11.4. Portanto, o módulo de cisalhamento define-se como Fk /A Tensão de cisalhamento = . (11.17) S= deformação de cisalhamento X/L ∆d = Figura 11.4: O efeito da tensão de cisalhamento C = Fk /A sobre o cilindro sólido é um cisalhamento ∆d. Capítulo 12 Oscilações Lucio Marassi Oscilações podem ser grosseiramente definidas como movimentos que se repetem. Muitos fenômenos físicos estão em uma situação de estabilidade, de equilíbrio; quando alguma perturbação externa retira esses sistemas físicos do equilíbrio, a tendência natural é retornar ao mesmo ponto de equilíbrio inicial, e em muitos casos a busca desse estado requer movimentos repetitivos em torno do ponto de estabilidade original; a esses movimentos, consequentemente, damos o nome de oscilações. Exemplos desses tipos de movimento podem ser encontrados em barcos (sujeitos às ondulações da água), nas cordas de violões e guitarras, nos alto-falantes, nos telefones (o diafragma interno do telefone oscila continuamente pelas ondas sonoras que recebe, durante uma conversa rotineira), nos relógios (muitos deles funcionam através de oscilações dos cristais de quartzo internos), nas antenas de rádio e de tv (os elétrons oscilam continuamente nelas, recebendo as informações, transmitidas em ondas eletromagnéticas pelo ar), e mesmo onde imaginamos não haver oscilações, como as construções onde vivemos e nos deslocamos (os prédios, as casas e as pontes oscilam!). Os átomos e moléculas oscilam também: as moléculas oscilantes do ar transmitem as ondas sonoras, e os átomos oscilantes de um sólido determinam a temperatura deste último. As oscilações podem ser rotineiramente encontradas em catástrofes naturais pelo mundo, como em terremotos ou maremotos (os últimos causados pelas ondas gigantes, ou tsunamis). Vamos a partir de agora estudar os fenômenos oscilatórios, tão predominantes em nosso cotidiano. 12.1 Movimento Harmônico Simples (MHS) O termo oscilação (osc) está associado a uma vibração localizada, enquanto o termo onda está associado a uma propagação de alguma coisa pelo espaço. A definição do termo onda está bastante vaga no momento, mas não podemos avançar mais neste assunto, sem antes nos deteremos nas oscilações, nas vibrações localizadas, estudando seus fundamentos físicos e matemáticos - o que formará a base para posteriormente estudarmos as ondas propriamente ditas. O número de oscilações por segundo determina uma quantidade denominada freqüência (f ). A unidade de freqüência é o Hertz (Hz), equivalente a uma oscila200 Capítulo 12 – Oscilações 201 ção dada em um segundo. [f ] = 1 Hz = 1 osc/s . (12.1) O tempo que um sistema físico leva para dar uma oscilação completa é denominado de período (T ). Exemplo 12.1. Se em um segundo temos três oscilações, em quanto tempo teremos uma oscilação apenas? O tempo para uma oscilação apenas é chamado de período (T ). Usando essa definição, podemos fazer a ‘regra de três’ abaixo: 3 osc → 1 s 1 osc → T (tempo para uma osc) (12.2) Multiplicando cruzado, teremos então a seguinte resolução (lembrando da definição de freqüência, dada anteriormente): (3 osc) · T = (1 osc) · 1s (1 osc) 1 1 osc (1 osc) · 1s T = = (3 osc) = = (3 osc) f f (12.3) 1s Esse resultado nos leva à relação entre o período (T ) e a freqüência (f ), ou seja, um é o inverso do outro: 1 T = . (12.4) f Os dois painéis da Figura 12.1 mostram a análise cinemática de uma partícula, sujeita a um movimento harmônico simples. Medindo sua posição ao longo do tempo, podemos ver como o comportamento oscilatório harmônico se comporta fisicamente. 12.2 A Posição no MHS Iremos a partir de agora estudar a cinemática do Movimento Harmônico Simples (MHS). Começaremos estudando como a posição de uma partícula muda com o tempo, em um movimento oscilatório desse tipo. No MHS, os movimentos são periódicos ou harmônicos, ou seja, repetem-se a intervalos regulares. Para podermos tratar matematicamente um sistema desses, precisamos encontrar uma função matemática que seja periódica. Mas nem toda função periódica leva a um movimento oscilatório. Precisamos seguir as características físicas do movimento oscilatório, para saber qual função matemática periódica usar. Já comentamos antes que o movimento oscilatório é provocado por uma perturbação do estado de equilíbrio de um sistema físico, e que este sistema procura retornar ao ponto de equilíbrio, gerando oscilações em torno deste ponto no processo. Quando uma partícula deste sistema passa pelo seu ponto de equilíbrio e Figura 12.1: Analisando uma partícula sujeita a um movimento harmônico, podemos medir observacionalmente sua velocidade e sua posição ao longo do tempo, como mostrado no painel esquerdo a: partindo do ponto x = 0, vemos como a velocidade da partícula decresce até se anular, no ponto de máximo deslocamento espacial positivo (máxima amplitude positiva, +xm , em t = 0), para então inverter seu movimento, aumentar novamente sua velocidade até o ponto x = 0, e novamente ir decrescendo a mesma até zero, no ponto de máximo deslocamento espacial negativo (máxima amplitude negativa, −xm , em t = T /2 - ou seja, quando o movimento está na metade do seu período T total, medido a partir de t=0); o processo continua, fazendo a partícula oscilar entre os mesmos pontos de forma harmônica - note que o tempo para a partícula sair de uma posição e retornar à mesma posição original é sempre o período T . No painel b vemos como o movimento anterior aparece em um gráfico ‘Posição X Tempo’. Capítulo 12 – Oscilações 202 segue em uma direção, sofre a ação de uma força, que opera no sentido de fazer a partícula retornar ao ponto de equilíbrio original. A esta força damos o nome de força restauradora, e ela apontará sempre em direção contrária ao movimento da partícula (de modo a restaurar a mesma à sua posição anterior, aproximando-a do ponto de equilíbrio). Ou seja, matematicamente esta força restauradora, F~ , terá sinal contrário à posição atual da partícula, ~x(t), e será proporcional ao módulo desta posição (quanto mais distante do equilíbrio, maior a força será, para restaurar a partícula ao seu ponto de estabilidade original). Assim, em módulo, podemos escrever F ∝ −x(t). (12.5) Matematicamente, podemos, ao invés de usar a proporcionalidade (∝), usar a igualdade (=), se utilizarmos uma constante geral (chamemos esta de k) ao segundo termo da equação acima. Deste modo teremos F = −k x(t). (12.6) Usando a segunda lei de Newton, onde qualquer força é o produto da massa da partícula pela aceleração da mesma, e sabendo que a aceleração é a derivada segunda da posição, teremos ma = −kx(t),   k x(t), a = − m   k d2 x(t) = − x(t). dt2 m (12.7) (12.8) (12.9) Como k e m são constantes, substituimos o termo entre parênteses pela constante genérica C , para simplificarmos o tratamento matemático. Fazendo isso e reordenando a equação, podemos reescrevê-la como d2 x(t) + C x(t) = 0. dt2 (12.10) A equação acima é uma Equação Diferencial Ordinária Linear Homogênea de 2 ordem, que tem a solução complexa geral na forma ◦ z(t) = exp(pt), (12.11) onde p é um número complexo, e t é a variável de tempo. Como z(t) é a solução esperada para x(t), tiramos a segunda derivada de z(t) d2 z = p2 z dt2 (12.12) e substituimos a solução complexa geral e sua derivada segunda, 12.11 e 12.12 , na equação original 12.10, obtendo assim p2 z + C z = 0. (12.13) Capítulo 12 – Oscilações 203 Colocando o termo z em evidência, podemos eliminá-lo, obtendo a equação abaixo em relação ao número p: p2 + C = 0. (12.14) A equação acima é √ uma equação do 2◦ grau em relação a p, cujas raízes são obtidas abaixo (onde i = −1) √ p = ±i C. (12.15) √ Como C é um termo constante, chamemos este termo de outra constante genérica, ω (por mera simplificação) de modo que p = ±iω. (12.16) Portanto, a solução geral z(t) da equação 12.10 será uma combinação das soluções usando as duas raízes de p z(t) = a exp(p+ t) + b exp(p− t), z(t) = a exp (+iωt) + b exp (−iωt) , (12.17) onde a e b são constantes reais. Podemos eliminar a constante b e utilizar apenas a raiz p+ para escrevermos a solução z(t), se substituirmos a constante real a pelo número complexo geral xm exp(iφ), onde xm e φ são igualmente constantes. Fazendo assim, teremos então z(t) = {a} exp (iωt) , z(t) = {xm exp(iφ)} exp (iωt) , z(t) = xm exp (i [ωt + φ]) . (12.18) Usando a fórmula de Euler (exp(ix) = cos(x) + i · sen(x)) na exponencial acima, e tomando apenas a parte real (ou seja, o termo cosseno), teremos finalmente a solução x(t) para a equação 12.10, que é precisamente a posição de uma partícula (em função do tempo), sujeita a um movimento oscilatório periódico simples (MHS) x(t) = xm cos(ωt + φ), (12.19) onde x(t) xm (ωt + φ) ω t φ → → → → → → Deslocamento no tempo t Amplitude do deslocamento Fase Frequência Angular Tempo Ângulo de fase Como o período T é o tempo para perfazer uma oscilação completa em uma partícula (de um sistema físico qualquer), podemos dizer que após somarmos T ao Capítulo 12 – Oscilações 204 tempo t inicial, em qualquer posição da partícula, a mesma voltará a essa mesma posição de origem (pois terá completado a volta toda, retornando ao mesmo ponto). Assim, podemos escrever matematicamente que x(t) = x(t + T ). (12.20) Usando a equação 12.19 na definição acima, teremos xm cos(ωt + φ) = xm cos(ω[t + T ] + φ). (12.21) Vemos assim que as fases da função cosseno, de ambos os lados da equação acima, podem ser igualadas. Desse modo ωt + φ = ω[t + T ] + φ, ωt = ω[t + T ]. (12.22) Também sabemos que, se somarmos 2π radianos à qualquer fase, a mesma voltará à quantidade original; assim, utilizando essa informação e o desenvolvimento acima, podemos escrever ω[t + T ] = ωt + 2π, ωt + ωT = ωt + 2π, ωT = 2π. (12.23) Ou seja, da definição matemática da posição da partícula no MHS, chegamos à relação entre a freqüência angular ω e o período T do movimento dessa partícula. Se lembrarmos ainda que o período é o inverso da freqüência (equação 12.4), então podemos escrever que 2π ω= = 2πf. (12.24) T A equação acima mostra que a freqüência angular é diretamente proporcional à freqüência da oscilação, e inversamente proporcional ao período do movimento. Na Figura 12.2 observamos como as quantidades físicas do movimento oscilatório estudadas até agora apresentam-se visualmente, em um gráfico ‘Posição X Tempo’. 12.3 A Velocidade no MHS A velocidade de uma partícula, submetida a um movimento periódico simples (MHS), pode ser definida como a derivada no tempo da posição da partícula, neste mesmo sistema de MHS. Usando a equação 12.19 para a posição da partícula no tempo t, teremos: d [x(t)] d [xm cos(ωt + φ)] v(t) = = . (12.25) dt dt Figura 12.2: No painel a, os dois movimentos apresentam o mesmo período T , e da equação 12.24 concluimos que também terão a mesma freqüência f e a mesma freqüência angular ω; como os pontos de máximo e de mínimo de cada curva estão em sincronia, vemos também que os dois movimentos possuem a mesma fase, e portanto também terão o mesmo ângulo de fase φ; a única diferença entre os dois movimentos é na amplitude dos mesmos (no caso xm e x0m ). No painel b notamos como um dos movimentos possui um período T que é exatamente duas vezes maior que o período do segundo movimento, T 0 ; como o período é o inverso da freqüência, vemos que o movimento de maior período (T ) possuirá uma freqüência menor que que o movimento de período menor (T 0 ), e observamos facilmente este comportamento no gráfico acima. No painel c os dois movimentos têm mesma amplitude e mesmo período (logo, também possuem mesma freqüência e mesma freqüência angular, como observamos anteriormente no painel a); contudo, os movimentos apresentam uma pequena mudança no ângulo de fase φ, e podemos observar como esta diferença se manifesta graficamente, no painel c acima. Capítulo 12 – Oscilações 205 Derivando a expressão acima usando a regra da cadeia (ou seja, derivamos a função, e depois multiplicamos pela derivada do argumento desta função), e sabendo que a amplitude do deslocamento (xm ) é constante, teremos v(t) = −ω xm sen(ωt + φ), (12.26) onde podemos observar que a nova constante, ω xm , representa agora a amplitude da velocidade da partícula. Se chamarmos esta amplitude de vm (onde vm = ω xm ), teremos a equação v(t) = −vm sen(ωt + φ). (12.27) A velocidade será portanto uma função seno, que tem uma diferença de fase de π/2 radianos em relação à função cosseno (que é a função que escolhemos para descrever a posição da partícula). O sinal negativo na equação da velocidade sugere que o “deslocamento” da função cosseno, para virar a função seno, ocorrerá no sentido decrescente do tempo. Ou seja, a velocidade seria obtida do deslocamento da posição da partícula - uma função cosseno - de π/2 radianos para a esquerda (no caso de um gráfico onde o tempo crescesse para a direita). Deslocando-se o gráfico da posição versus tempo, de exatos π/2 radianos, no sentido inverso do tempo, obteremos portanto o gráfico da função da velocidade da partícula no MHS. Como a fração π/2 é igual a 2π/4, e o numerador 2π radianos representa uma volta completa do sistema (que é equivalente em tempo ao período T do movimento), podemos escrever que 2π T π = = . 2 4 4 (12.28) Concluindo que o deslocamento do gráfico ‘posição X tempo’, para se transformar no gráfico ‘velocidade X tempo’, deverá ser de π/2 radianos no sentido inverso do tempo, ou seja, um quarto do período do movimento. 12.4 A Aceleração no MHS A aceleração no MHS é obtida simplesmente derivando a velocidade. Ou seja a(t) = d [v(t)] d [−ω xm · sen(ωt + φ)] d [sen(ωt + φ)] = = −ω xm . dt dt dt (12.29) Derivando a expressão acima, usando a regra da cadeia, teremos a(t) = −ω 2 xm cos(ωt + φ). (12.30) Como a equação 12.19 está contida na equação acima, podemos escrever que a(t) = −ω 2 [xm cos(ωt + φ)], ~a(t) = −ω 2 ~x(t). (12.31) A aceleração da partícula, no MHS, mostra uma propriedade importante desse tipo de movimento: derivando-se duas vezes a posição da partícula, obtemos uma expressão que envolve novamente a posição da mesma. Capítulo 12 – Oscilações 206 A Figura 12.3 apresenta todo o comportamento cinemático do movimento harmônico simples, mostrando como a sua posição, sua velocidade e sua aceleração variam ao longo do tempo, a partir das equações 12.19, 12.26 e 12.30, abaixo repetidas: x(t) = xm cos(ωt + φ), (12.32) 12.5 v(t) = −ω xm sen(ωt + φ), (12.33) a(t) = −ω 2 xm cos(ωt + φ). (12.34) O Sistema Massa-Mola Agora que temos a expressão da aceleração da partícula no MHS (equação 12.31), podemos deduzir a equação da força no MHS, a partir da definição de força clássica (a 2o Lei de Newton): F~ = m [~a(t)] ,   F~ = m −ω 2 ~x(t) , F~ = −m ω 2 [~x(t)] . (12.35) Substituindo a constante m ω 2 pela constante k (ou seja, fazendo k = m ω 2 ), obteremos assim a equação F~ = −k~x(t). (12.36) A equação acima é exatamente a Lei de Hooke (que descreve matematicamente a força do sistema massa-mola). A equação 12.36 acima é matematicamente idêntica à equação 12.6, anteriormente estudada, que como vimos é uma força restauradora (ou seja, é uma força proporcional ao deslocamento da partícula, mas com sinal contrário ao mesmo; é uma força que tende sempre a restituir a posição original da partícula). Concluimos assim que o sistema massa-mola é um sistema MHS, ou seja, é matematicamente um Oscilador Harmônico Simples Linear (OHS Linear). O trampolim de uma piscina ou as cordas de um violino são também exemplos de OHS Lineares; no entanto, tanto no trampolim quanto nas cordas do violino, a flexibilidade (elasticidade) do sistema está acoplada à massa do mesmo - ou seja, a inércia e a elasticidade precisam ser tratadas em conjunto. No sistema massa-mola, como podemos ver a partir da Figura 12.4, o componente inercial (a massa de um bloco) é completamente dissociado do componente elástico (no caso, a mola), fazendo deste sistema o ideal para os estudos básicos sobre os Osciladores Harmônicos Simples Lineares. No MHS, a partir das equações 12.36, 12.35 e 12.24, podemos relacionar a constante k com a freqüência angular ω, o período T e a massa m da partícula. Da definição de k abaixo (equações 12.36 e 12.35) k = m ω2, (12.37) Figura 12.3: Temos acima os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração, ao longo do tempo, de uma partícula submetida a um movimento harmônico simples, de acordo com as equações 12.32, 12.33 e 12.34. Observe que a amplitude das curvas segue estritamente a das equações cinemáticas. Note que o deslocamento no tempo gera uma curva da função cosseno; se deslocarmos a fase desta curva de 90o - π/2 radianos - para a direita, e modificarmos a amplitude de acordo, teremos o gráfico da velocidade ao longo do tempo, que será o da função senoidal (invertida, por causa do sinal negativo da equação 12.33); se novamente deslocarmos o gráfico de 90o - π/2 radianos - para a direita (e modificarmos mais uma vez a amplitude de acordo), obteremos de novo o gráfico da função cosseno, que como vimos era a função periódica do deslocamento (mas neste caso invertida, por causa do sinal negativo da equação 12.34), configurando esta a característica singular do gráfico da aceleração pelo tempo, no movimento harmônico simples. Capítulo 12 – Oscilações 207 podemos reescrevê-la como r k , (12.38) m o que fornece a freqüência angular ω do movimento, a partir da massa m da partícula e da constante k do sistema. ω= Para analisarmos o período do movimento, usamos a equação 12.24 e igualamos ao resultado acima, obtendo r k 2π ω = = , Tr m m T = 2π . (12.39) k Figura 12.4: Mola padrão. Sistema Massa- No sistema massa-mola, como já observamos, a massa do sistema está toda contida no bloco (uma vez que assumimos idealmente que a massa da mola é desprezível), e a elasticidade do sistema está toda contida na mola, sendo representada pela constante k (que descreveria as propriedades elásticas do material da mola). Analisando as equações 12.38 e 12.39, concluimos que se o bloco for muito leve (massa m pequena), e se a mola for muito rígida (constante k grande), o sistema massa-mola em movimento possuirá uma grande freqüência angular ω, e portanto um pequeno período T . Inversamente, se o sistema massa-mola for composto por um bloco muito pesado (grande m) e uma mola muito pouco rígida (pequeno k), esperamos obter uma freqüência angular (ω) muito baixa, e um grande período (T ) para o movimento MHS do sistema. 12.6 Pêndulos Os pêndulos são exemplos de Osciladores Harmônicos Simples (OHS), onde a força gravitacional age como a força restauradora do sistema, provocando o seu movimento periódico. Podemos imaginar um pêndulo simples, onde um objeto pequeno de massa m está preso no teto por um fio de massa desprezível, de comprimento L (Figura 12.5(a)). O sistema massa-fio oscila em um plano bidimensional onde, a cada instante do tempo, o fio esticado perfaz um ângulo θ em relação à linha vertical imaginária do centro das oscilações. As únicas forças atuantes no sistema são a tração T~ do fio e a força gravitacional F~g = m~g atuando no objeto de massa m, sempre dirigida para baixo, na vertical (Figura 12.5(b)). Se decompormos a força gravitacional em um componente perpendicular (Fg cos θ) e outro tangencial (Fg senθ) ao movimento, notaremos que apenas o componente tangencial contribui para o movimento do sistema, pois o perpendicular anula-se com a tração do fio (Figura 12.5(b)). Ainda, o componente tangencial atua como a força restauradora no sistema, propiciando seu movimento periódico (portanto, possuirá um sinal negativo, como na equação 12.36). Contudo, como o movimento pendular é um movimento angular - ou seja, um movimento cujo deslocamento é quantitativamente obtido pela mudança angular ao Figura 12.5: Pêndulo simples. Capítulo 12 – Oscilações 208 longo do tempo - a força restauradora será também uma força angular, chamada de torque (~τ ), e definida como ~τ = ~r × F~ , (12.40) onde ~r é o raio do centro do movimento angular até o objeto (portanto, seu módulo é o comprimento L da corda), e F~ , como já analisamos acima, é o componente tangencial da força da gravidade, com sinal negativo (−Fg senθ). Como o ângulo entre ~r e F~ é de 90◦ , o produto vetorial da equação 12.40 é trivial, e o módulo do torque será então τ = rF, τ = L (−Fg senθ) , τ = −Lmg senθ. (12.41) Relembrando a 2◦ Lei de Newton na forma angular τ = Iα, (12.42) onde τ é a força angular (o torque), I é a inércia de rotação do sistema, e α é a aceleração angular. Podemos substituir o torque encontrado na equação 12.41, e isolar a aceleração angular, obtendo assim − Lmg senθ = Iα,   mgL senθ. α = − I (12.43) Se o a amplitude da oscilação do pêndulo for pequena, ou seja, se o ângulo máximo de oscilação for muito pequeno, podemos fazer a aproximação senθ ∼ θ na equação 12.43, obtendo   mgL θ, (12.44) α=− I onde α é a aceleração angular (o análogo angular da aceleração a(t) do MHS), e θ é a posição angular (o análogo angular da posição x(t) do MHS). Dito isso, podemos concluir que a equação acima é o equivalente angular da equação 12.31, reescrita abaixo ~a(t) = −ω 2 ~x(t). (12.45) Desse modo, a freqüência angular do movimento do pêndulo é facilmente obtida, comparando as duas equações anteriores (onde ~x(t) = θ na equação acima) r mgL ω= , (12.46) I e como ω = 2π/T , obtemos igualmente o período das oscilações do movimento pendular, escrevendo s I T = 2π . (12.47) mgL Capítulo 12 – Oscilações 209 Como I = mr2 , e já vimos que r = L (o comprimento do fio do pêndulo), então I = mL2 . Substituindo na equação acima, obtemos s mL2 , T = 2π mgL s L T = 2π . (12.48) g Considerando a aceleração da gravidade g constante, deduzimos da equação acima que o período de oscilação de um pêndulo simples (T ) só depende do comprimento do fio deste pêndulo (L). Podemos assim√tirar as constantes da equação acima e dizer simplesmente que T é proporcional a L √ T ∝ L. (12.49) Uma conclusão interessante. Para pequenas oscilações (onde vale a aproximação senθ ∼ θ), o período da oscilação do pêndulo não depende da amplitude da mesma, mas apenas do comprimento do fio. Essa conclusão foi descoberta por Galileu Galilei, observando as oscilações dos candelabros da catedral de sua universidade, quando estudava medicina, ainda em sua juventude. Ele usou sua pulsação cardíaca para contar o tempo das oscilações, na época. Mais tarde, Newton mediu observacionalmente os períodos de pêndulos simples, e obteve resultados que comprovavam a equação 12.48 acima, indicando a equivalência entre a massa inercial (m) e a massa gravitacional (mg ). Veja como: O arco descrito pela oscilação de pêndulo (de comprimento de fio L e distância angular θ ao longo do tempo) poderia ser aproximado pela distância X. Sabemos que a relação entre X, o raio de curvatura (L) e o ângulo que perfaz o arco (θ) é X = Lθ. (12.50) Usando a 2◦ Lei de Newton, e substituindo X pela equação acima, escrevemos portanto d2 θ d2 X (12.51) F = ma = m 2 = mL 2 , dt dt onde a massa m acima representa a massa inercial, pois é obtida da 2◦ Lei de Newton do movimento. Já mostramos que a componente tangencial da força gravitacional, com sinal negativo (−mg senθ), é a força restauradora do movimento do pêndulo, e a única que atua no sistema. Como a massa m desta força tangencial está relacionada à atração gravitacional da Terra, ela será a massa gravitacional (escrita a partir de agora como mg ). Igualando a força tangencial do pêndulo com a equação 12.51 acima, teremos d2 θ {m} L 2 = − {mg } g senθ. (12.52) dt Se supusermos que a massa inercial é equivalente à massa gravitacional, então {m} = {mg }. Fazendo isso e considerando pequenas oscilações (senθ ∼ θ) Capítulo 12 – Oscilações 210 reescrevemos a equação acima como d2 θ  g  θ = 0. + dt2 L (12.53) Comparando com a equação 12.35 da lei de força no MHS, reescrita abaixo F~ = −m ω 2~x(t), d2~x(t) = −m ω 2~x(t), m dt2 d2~x(t) + ω 2 · ~x(t) = 0, dt2 (12.54) podemos observar um paralelo matemático claro entre as equações 12.54 e 12.53, levando à conclusão que g , ω2 = L r g ω = , (12.55) L e como ω = 2π/T , teremos o período do movimento do pêndulo s L , T = 2π g (12.56) que é exatamente a equação 12.48 deduzida anteriormente. Ou seja, Newton concluiu, baseado em suas observações sobre o período dos pêndulos, que a equação acima descrevia os fenômenos reais, mas para isso, a equivalência entre a massa inercial e a massa gravitacional precisaria existir, conforme mostramos anteriormente. No início do século XX, Einstein usou a equivalência entre a massa gravitacional e a massa inercial para construir sua Teoria da Relatividade Geral, que permitiu a partir de então equacionarmos o comportamento do Universo, e iniciarmos os estudos da Cosmologia moderna. 12.7 Energia no MHS Antes de estudarmos como se comporta a energia no MHS, precisamos fazer uma breve revisão sobre trabalho e energia potencial no sistema massa-mola (pois já vimos anteriormente que a equação de movimento deste sistema é essencialmente o de qualquer sistema MHS). No sistema massa-mola, a força é dada pela Lei de Hooke F~ (x) = −k~x e o trabalho do sistema é dado pela equação Z xf W = F~ (x) · d~x. xi (12.57) (12.58) Capítulo 12 – Oscilações 211 Se a força atuante no sistema é conservativa (e consideramos este caso ideal aqui), então a variação da energia potencial elástica se relaciona com o trabalho da seguinte forma Z xf ∆U = −W = − F~ (x) · d~x. (12.59) xi Substituindo a força do sistema massa-mola na equação acima, obtemos Z xf (−k~x) · d~x, ∆U = − xi Z xf ~x · d~x, ∆U = +k xi ∆U = 1 2 1 2 kx − kx . 2 f 2 i (12.60) Se tomarmos a referência xi = 0 no ponto onde a mola está relaxada (Ui = 0), teremos a equação padrão para a energia potencial elástica do sistema massa-mola: 1 U (x) = kx2 . 2 (12.61) A energia cinética de qualquer sistema é definida como 1 K = mv 2 . 2 (12.62) Usando as equações para a posição x e a velocidade v do MHS (equações 12.19 e 12.27), abaixo reescritas, x(t) = xm cos(ωt + φ), v(t) = −ω xm sen(ωt + φ), (12.63) (12.64) e substituindo nas equações das energias potencial e cinética acima, teremos e 1 U (x) = k x2m cos2 (ωt + φ), 2 (12.65) 1 K = mω 2 x2m sen2 (ωt + φ). 2 (12.66) Usando a equação 12.38, deduzida a partir da força no MHS e reescrita abaixo, r k ω= , (12.67) m substituimos ela na equação da energia cinética acima, obtendo 1 K = k x2m sen2 (ωt + φ). 2 (12.68) Capítulo 12 – Oscilações 212 A equação 12.68 e a equação 12.65 agora possuem as mesmas variáveis, e podem ser melhor estudadas em conjunto. De fato, relembrando que a energia mecânica de um sistema (E) é a energia potencial somada à energia cinética, teremos então, para o MHS E = U + K,  1 2  2 E = k xm cos (ωt + φ) + sen2 (ωt + φ) . 2 (12.69) Pela trigonometria, sabemos que o termo em colchetes na equação acima é igual a 1, de modo que a energia mecânica do MHS assume a forma simples 1 E = k x2m . 2 (12.70) Ou seja, a energia mecânica no MHS é sempre constante, ou seja, é independente do tempo. Na Figura 12.6-a temos o gráfico ‘Energia X Tempo’, onde observamos a curva constante, horizontal, da energia mecânica total; no mesmo gráfico observamos que o comportamento temporal da energia cinética segue uma função senoidal, enquanto o da energia potencial mostra uma curva cossenoidal, de acordo com as equações 12.68 e 12.65, respectivamente. O gráfico ‘Energia X Posição’ (Figura 12.6(b)) pode mostrar ao mesmo tempo a energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica total no MHS. Vemos que as parábolas de U e K se complementam, e a soma é sempre a constante E. As curvas são completamente simétricas, e podemos inclusive achar o ponto exato no eixo vertical (o eixo das energias) onde a energia cinética é exatamente igual à energia potencial:   1 1 2 1 1 k xm = k x2m . (12.71) U = K = (E) = 2 2 2 4 12.8 Movimento Harmônico Simples Amortecido (MHSA) Até agora estudamos o MHS no caso ideal, ou seja, em sistemas conservativos, onde não havia perda de energia. Nestes sistemas conservativos não havia atrito, nem forças de arrasto, que provocassem qualquer tipo de amortecimento ao movimento. O pêndulo ou o sistema massa-mola, se colocados em movimento, oscilariam indefinidamente. No mundo real, o pêndulo sofre atrito nas juntas do fio com o objeto de massa m e com o teto, e sente a resistência do ar. Nos casos reais, onde o atrito e as forças de arrasto existem, os sistemas oscilatórios perdem continuamente energia, até pararem por completo. Podemos imaginar um sistema constituido por um suporte rígido, que sustenta uma mola e um bloco de massa m ligado à mola. Preso ao bloco teríamos uma haste longa, tendo na extremidade inferior um disco de pequena espessura (chamemos Figura 12.6: O comportamento gráfico, em um sistema harmônico simples, da energia cinética, da energia potencial, e da energia mecânica total, é mostrado nos dois painéis acima. No painel a temos o comportamento das energias em função do tempo, enquanto no painel b observamos as mesmas ao longo da posição. Capítulo 12 – Oscilações 213 este objeto de “pá”). A pá está imersa em um líquido (Figura 12.7). Consideremos a massa da mola e da pá desprezíveis. Quando o sistema massa-mola-pá é posto a oscilar, o mesmo sofre amortecimento, onde a energia mecânica diminui continuamente, transformando-se em energia térmica ao contato com o líquido. Para pequenas oscilações, o líquido exercerá uma força de amortecimento (F~d ) proporcional à velocidade ~v do sistema massa-mola-pá F~d = −b~v , (12.72) onde o sinal negativo indica que a força se opõe ao movimento, e b é a constante de amortecimento - em unidades de kg/s - que depende das características do sistema massa-mola-pá e do líquido. Como a força do sistema massa-mola-pá segue a força já estudada do MHS ~ (F = −k~x), escreveremos então a 2◦ lei de Newton do movimento deste sistema amortecido como F~ = m~a = −b~v − k~x, (12.73) reescrevendo a equação acima e dividindo tudo pela massa m, obteremos     k b ~v + ~x = 0, ~a + m m     d2~x b d~x k + + ~x = 0. dt2 m dt m (12.74)

k , teremos portanto a Equação Substituindo os termos γ = mb e ω 2 = m Diferencial Ordinária Linear Homogênea de 2◦ ordem abaixo: d2~x d~x + γ + ω 2~x = 0, dt2 dt (12.75) que tem a solução complexa geral na forma z(t) = exp(pt), (12.76) onde p é um número complexo, e t é a variável de tempo. Como z(t) é a solução esperada para ~x(t), tiramos a primeira e a segunda derivada de z(t) dz = pz, dt d2 z = p2 z, 2 dt (12.77) (12.78) e substituimos as equações 12.76, 12.77 e 12.78 em 12.75, obtendo assim p2 z + γpz + ω 2 z = 0. (12.79) Colocando o termo z em evidência, podemos eliminá-lo, obtendo a equação abaixo em relação ao número p p2 + γp + ω 2 = 0. (12.80) Figura 12.7: Exemplo de movimento harmônico simples amortecido: um sistema massa-molapá, perfazendo oscilações com a pá imersa em um líquido. Capítulo 12 – Oscilações 214 A equação acima é uma equação do 2◦ grau em relação a p, cujas raízes são obtidas facilmente r  γ 2 γ − ω2. (12.81) p=− ± 2 2 Analisando o termo dentro da raiz quadrada, observamos que se γ2 < ω, teremos uma raiz quadrada de um termo negativo (um número complexo). Este caso é chamado de amortecimento subcrítico, e gera as raízes abaixo r  γ 2 γ 2 p=− ±i ω − , (12.82) 2 2
b podemos ainda substituir o termo da raiz pela expressão (lembrando que γ = m
k e ω2 = m ) s r  2  γ 2 b k 0 ω = ω2 − = − , (12.83) 2 m 2m de modo a reescrevermos as raízes de p como γ p = − ± iω 0 . 2 (12.84) Portanto, a solução geral z(t) da equação do MHS amortecido (equação 12.75), para o caso subcrítico, será uma combinação das soluções usando as duas raízes de p, tiradas anteriormente z(t) = a exp(p+ t) + b exp(p− t), i  h γ i  h γ z(t) = a exp − + iω 0 t + b exp − − iω 0 t , 2  γ 2 0 z(t) = exp − t · {a exp (iω t) + b exp (−iω 0 t)} , 2 (12.85) onde a e b são constantes reais. Podemos eliminar a constante b e utilizar apenas a raiz p+ para escrevermos a solução z(t), se substituirmos a constante real a pelo número complexo geral xm exp(iφ), onde xm e φ são igualmente constantes. Fazendo assim, teremos então  γ  z(t) = exp − t {a exp (iω 0 t)} ,  γ2  z(t) = exp − t {xm exp(iφ) exp (iω 0 t)} , 2 γ  z(t) = xm exp − t exp (i [ω 0 t + φ]) . (12.86) 2
Substituindo γ = mb , usando a fórmula de Euler (exp(ix) = cos(x) + i · sen(x)) na segunda exponencial, e tomando apenas a parte real, teremos finalmente a solução x(t) para a equação 12.75, que rege o MHS amortecido no caso subcrítico:   b x(t) = xm exp − t cos(ω 0 t + φ), (12.87) 2m Capítulo 12 – Oscilações 215 onde ω 0 é a freqüência angular do oscilador amortecido s  2 k b 0 ω = − . m 2m (12.88) No gráfico da solução acima (Figura 12.8), xm marca a amplitude inicial do movimento oscilatório cos(ω 0 t +
φ), que vai gradualmente decaindo no tempo seb t . Desse modo, podemos escrever a energia mecâguindo a fórmula xm exp − 2m nica total (E) para o caso amortecido e compará-la com o caso não-amortecido já estudado anteriormente 1 2 k x =⇒ Caso não-amortecido, 2 m   1 2 b E = k x exp − t =⇒ Caso amortecido subcrítico. 2 m m Figura 12.8: Gráfico da solução da posição em função do tempo, para um movimento harmônico simples amortecido, no caso subcrítico. E = Analisando a freqüência angular ω 0 do caso amortecido (equação 12.88), q ve- k ), e mos que ela é ligeiramente menor do que a do caso não-amortecido (ω = m podemos igualmente ver que ela tenderá a zero quando o coeficiente de amortecimento b for tão grande que  2 k b − = 0, (12.89) m 2m √ b = 2 km. √ Ou seja, se b = 2 km, temos que ω 0 = 0, e o sistema amortecido não oscilará mais; esse é o chamado amortecimento crítico (se o sistema √ for tirado de seu estado de equilíbrio, ele retornará a este sem oscilar). Se b > 2 km, teremos o amortecimento supercrítico (o sistema retorna a seu ponto de equilíbrio também sem oscilar, √ como no amortecimento crítico, porém de modo mais lento). Quando b < 2 km, vemos que ω 0 é maior do que zero, e estamos então no caso do amortecimento subcrítico (o sistema oscila com uma amplitude que decai continuamente no tempo, segundo a equação 12.87). Observe ainda que, se a constante de amortecimento for q √ k 0 nula (b = 0), ou se for muito pequena (b  2 km), então ω = ω = m e x(t) = xm cos(ωt + φ), (12.90) recuperando assim a solução anteriormente estudada do MHS não-amortecido. Podemos então classificar os movimentos harmônicos simples de acordo com o coeficiente de amortecimento (b) dos mesmos, compondo assim a tabela abaixo Coeficiente b b = 0√ b < 2√km b = 2√km b > 2 km Tipo de Movimento Característica amortecimento nulo Oscila sem parar amortecimento subcrítico Oscila até parar amortecimento crítico Retorna sem oscilar amortecimento supercrítico Retorna lentamente sem oscilar Capítulo 12 – Oscilações 216 Exemplo 12.2. O sistema de amortecimento dos carros é composto por um pistão hidráulico dentro de um cilindro. A parte de cima do cilindro fica presa estaticamente ao chassi do carro, enquanto que a parte de baixo é móvel e prende-se às rodas do veículo. Os engenheiros que desenvolveram este sistema precisaram estabelecer um movimento oscilatório ao pistão, para que o mesmo amortecesse o carro - quando este passasse em cima de um quebra-molas, por exemplo. Pergunta: Analise o efeito que cada movimento oscilatório - resumido na tabela acima - teria no sistema de amortecimento de um carro. Qual seria o movimento ideal a ser introduzido no pistão, para um resultado excelente? Resposta: Se o amortecimento for nulo, o carro oscilaria eternamente ao passar por um quebra-molas, o que seria terrível para os passageiros. Se o amortecimento for supercrítico, o carro tenderia a voltar ao estado anterior após passar por um quebra-molas, mas faria isso muito lentamente, de modo que qualquer quebra-molas posterior seria muito desconfortável para todos. Se o amortecimento for muito subcrítico, o carro oscilaria muito até parar. No caso do amortecimento crítico, ou pouco subcrítico (quase tendendo a ser crítico), teríamos o movimento ideal, pois após o obstáculo, o carro retornaria à condição anterior ao quebramolas a tempo de enfrentar novos obstáculos, de modo confortável a todos os passageiros. 12.9 Oscilações Forçadas e Ressonância Imagine-se em um balanço: você dá um impulso inicial e começa a balançar, indo e vindo em oscilações livres. Se nada for feito a partir de então, você sentirá que a cada volta a amplitude da oscilação diminui um pouquinho, e continua a diminuir até que eventualmente o balanço irá parar. Agora imagine que algum amigo seu apareça e comece a empurrar seu balanço, a cada nova volta. As oscilações aumentam de amplitude de repente. Se o seu amigo mantiver a mesma força a cada volta, a nova amplitude se manterá sempre. Se o seu amigo aumentar a força continuamente, mantendo o rítimo certo, a oscilação crescerá cada vez mais em amplitude. Se o seu amigo perder o rítimo de empurrões, de modo a empurrar várias vezes o balanço quando este está ainda retornando, e não empurrá-lo várias vezes antes dele se afastar, as oscilações vão ficar bastante descompassadas, e o movimento ficará bastante complexo. Esse é um exemplo bastante claro de uma oscilação forçada, onde temos sempre atuando duas freqüências angulares: A freqüência angular natural ω da oscilação livre, e a freqüência angular ωd da força externa aplicada (ou seja, a freqüência da oscilação forçada). A equação da posição do oscilador forçado pode ser escrita na forma x(t) = xm cos(ωd t + φ), (12.91) onde a amplitude xm é uma função bastante complexa de ωd e ω. Da equação acima podemos obter igualmente a da velocidade, e a amplitude da velocidade, vm , será máxima quando ωd = ω, condição esta que chamamos de ressonância. Na Figura 12.9 podemos observar graficamente essas afirmações. Figura 12.9: A amplitude de um movimento harmônico forçado aumenta cada vez mais, quanto mais a freqüência natural do movimento (ω) se aproximar da freqüência da oscilação forçada (ωd ). No ponto de amplitude máxima, onde ω = ωd , a razão ωd /ω = 1, no gráfico acima. Note também, na figura acima, que quanto menor o coeficiente de amortecimento do sistema (b), maior será a amplitude de ressonância do movimento. Capítulo 12 – Oscilações 217 A ressonância é um fator muito importante a ser observado em diversos sistemas físicos. Nos aviões, a freqüência angular de oscilação das asas deve ser meticulosamente controlada para nunca se aproximar da freqüência do motor, caso contrário a ressonância asa-motor poderá quebrar a aeronave, causando um sério acidente aéreo. Os prédios, pontes e viadutos precisam ser criteriosamente construidos, principalmente em áreas de terremotos, pois se a freqüência de oscilação das construções se aproximar da freqüência dos terremotos locais, os prédios e pontes desabarão, causando sérios prejuízos e possíveis mortes a centenas de pessoas. O fator de ressonância pode ser usado ainda na afinação de instrumentos musicais, dentre diversos outros exemplos. Capítulo 13 Mecânica dos fluidos Felipe Bohn Os fluidos estão presentes no cotidiano das pessoas e desempenham papéis fundamentais em diversas situações. Relacionado ao aspecto vital, propriamente dito, bebem-se e respiram-se fluidos. Associado ao cotidiano, navios flutuam sobre e aviões voam através de fluidos. Por outro lado, dentro do contexto de tecnologia, a física dos fluidos e diversas aplicações são encontradas em vários ramos da engenharia. Neste capítulo, serão abordados conceitos relacionados aos fluidos em repouso, também denominado hidrostática, da Seção 13.1 a 13.7, tais como pressão em um fluido, princípio de Pascal e princípio de Arquimedes, bem como tópicos associados aos fluidos ideais em movimento, ou hidrodinâmica, como as equações da continuidade e de Bernoulli, serão discutidos nas seções 13.8 a 13.10. 13.1 Fluidos Em contraste com um sólido, denomina-se fluido qualquer substância que pode fluir. Além disto, diferentemente dos sólidos, que sob a ação de uma força, estes reagem com uma força de mesma intensidade e sentido contrário, um fluido caracteriza-se por não apresentar resistência quando submetido às tensões de cisalhamento. Em particular, o termo “fluido” pode ser utilizado para designar tanto gases, quanto líquidos. Como exemplos de fluidos muito conhecidos, destacam-se a água, o ar e o sangue. Menos conhecidos, como fluidos, são o vidro e o asfalto. Até o momento, ao discutir assuntos sobre partículas e corpos rígidos, termos como massa e força foram vastamente utilizados. Entretanto, tratando-se de fluidos, os conceitos mais utilizados são os de densidade e de pressão. 13.2 Densidade ou massa específica A densidade ou massa específica, ρ, corresponde a uma propriedade intrínseca de qualquer substância ou material. Em particular, embora, aqui, seja utilizado um 218 Figura 13.1: Porque a água apresenta tal efeito quando o avião passa sobrevoando próximo ao mar? Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 219 fluido para sua definição, não é necessário que a substância esteja no estado líquido ou gasoso para definir sua densidade. Assim, através da consideração de um fluido qualquer e tomando-se um pequeno elemento de volume ∆V , em torno de um ponto qualquer, cuja massa contida neste elemento de volume é ∆m, tem-se que a densidade, neste ponto, é dada por ∆m . (13.1) ρ= ∆V Mais precisamente, a densidade em um ponto qualquer de um fluido deve ser definida no limite desta razão, quando ∆V → 0. Entretanto, no caso de um fluido homogêneo, ou seja, no qual a massa está distribuída uniformemente sobre todo o volume, a densidade pode ser definida simplesmente como a razão entre a massa m e volume V considerados m (13.2) ρ= . V A unidade de densidade, no SI, é [ρ] = kg/m3 . Entretanto, outra unidade muito empregada é g/cm3 , onde 1 kg/m3 = 1000 g/cm3 . (13.3) A Tabela 13.1 apresenta a densidade de algumas substâncias. É importante salientar que a densidade pode depender de parâmetros como temperatura e pressão. Para os exemplos apresentados na Tabela, é possível observar que a densidade de um gás, como o ar, varia consideravelmente com uma modificação de pressão, enquanto que a densidade de um líquido, como a água, não varia, indicando que os gases são compressíveis. Tabela 13.1: Densidade de algumas substâncias. 13.3 Material Densidade (kg/m3 ) Ar (1 atm, 20◦ C) Ar (50 atm, 20◦ C) Gelo Água (1 atm, 20◦ C) Água (50 atm, 20◦ C) Água do mar (1 atm, 20◦ C) Sangue Al Fe Cu Pb Hg 1,21 60,50 0,92 · 103 0,998 · 103 1,000 · 103 1,024 · 103 1,060 · 103 2,7 · 103 7,8 · 103 8,9 · 103 11,3 · 103 13,6 · 103 Pressão Como citado anteriormente, um fluido pode fluir, de modo que ele acaba por se moldar aos contornos do recipiente que o contém. Porém, este fluido em repouso Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 220 exerce uma força normal sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele. Por exemplo, a força normal à superfície do recipiente que o contém e a força sobre qualquer corpo nele imerso. Embora macroscopicamente observa-se que o fluido esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento, dando origem a estas forças de contato. Assim, como mostrado na Figura 13.2, considerando uma superfície hipotética dentro de um fluido, tem-se que o fluido em torno desta exerce forças normais iguais e contrárias em ambos os lados da superfície. Deste modo, a pressão p, neste ponto da superfície onde a força é aplicada, é definida como p= dF⊥ , dA (13.4) onde dF⊥ é a força normal que atua que atua sobre o elemento de superfície com área dA. No caso da força ser uniforme, ou seja, quando a força está uniformemente distribuída por todos os pontos da superfície, sobre uma área plana, tem-se que p = F⊥ /A. É importante salientar que a força dF⊥ , em um ponto particular do fluido, é a mesma independentemente da orientação da superfície hipotética, ou seja, tem a mesma magnitude qualquer que seja a sua direção. Assim, a pressão é uma grandeza escalar, não tendo propriedades direcionais. A unidade de pressão, no SI, é [p] = N/m2 ≡ Pa, chamada de Pascal. Equivalentemente, outras unidade podem ser empregadas, como atmosfera (atm), que indica a pressão média da atmosfera ao nível do mar, o milímetro de mercúrio (mmHg), o torr, em homenagem a Evangelista Torricelli, e, por fim, a libra por polegada quadrada (lb/in2 ). Estas unidades estão relacionadas por 1, 01 · 105 Pa = 1 atm = 760 mmHg = 760 Torr = 14, 7 lb/in2 . (13.5) Exemplo 13.1. Porque, ao andar na neve, fica mais fácil caminhar utilizando-se raquetes, em vez de tênis, nos pés? 13.4 Fluidos em repouso e pressão No caso de um mergulhador, à medida que este mergulha para maiores profundidades, ele sente um aumento de pressão; por outro lado, um alpinista, à medida que alcança maiores altitudes em uma montanha, ele sente uma redução de pressão. Em ambos os casos, a pressão considerada é a chamada de pressão hidrostática, uma vez que se devem a fluidos estáticos, nestes casos, a água e o ar, respectivamente. Sendo assim, para fluidos em repouso, é verificado que a pressão varia de acordo com a profundidade ou altitude. Neste caso, é possível determinar uma expressão geral que relaciona a pressão em um dado ponto e a profundidade/altura. Para tanto, inicialmente, considera-se um fluido em equilíbrio estático em um recipiente qualquer, como mostrado na Figura 13.3. Para este fluido, tem-se que a densidade ρ e a aceleração da gravidade g permanecem constantes em todos os pontos do fluido. De acordo com a Figura, é possível definir um eixo de coordenadas y, que apresenta sentido crescente orientado para cima e y = 0 coincidindo Figura 13.2: Considerando uma superfície hipotética, de área dA, o fluido exerce forças normais iguais em ambos os lados da superfície. Retirada da referência [11]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 221 com a interface fluido-ar. Além disto, considera-se uma pequena porção de fluido, contido em um cilindro hipotético (sua visão lateral é indicada pela linha tracejada no desenho), de bases inferior e superior A, onde y1 e y2 são as profundidades das bases superior e inferior, respectivamente. Como o fluido está em equilíbrio estático, ou seja, está em repouso e a força resultante ele é nula, então sobre a porção delimitada pelo cilindro hipotético, Psobre ~ tem-se F = 0. Neste caso, três forças podem ser identificadas: a força F~1 , que age sobre a base superior e se deve à quantidade de fluido que está acima do cilindro hipotético, a força F~2 , que age sobre a base inferior do cilindro e se deve à quantidade de fluido que está abaixo do cilindro, e m~g , que se deve ao próprio peso da porção de fluido delimitada pelo cilindro hipotético. Considerando as forças indicadas na Figura, na direção y, tem-se X Fy = 0, (13.6) F2 − F1 − mg = 0. (13.7) Uma vez que a densidade do fluido é considerada constante, ρ = m/V , onde m e V são a massa e o volume da porção de fluido delimitado, respectivamente, e como, neste caso, é possível utilizar a aproximação p = F/A, tem-se p2 A − p1 A − ρV g = 0, (13.8) p2 A − p1 A − ρAg(y1 − y2 ) = 0, (13.9) p2 − p1 − ρg(y1 − y2 ) ⇒ p2 − p1 = ρg(y1 − y2 ). (13.10) p2 − p1 = −ρg(y2 − y1 ). (13.11) mas V = A(y1 − y2 ), logo Figura 13.3: Um fluido em um recipiente, onde é definido um eixo de coordenadas y, com sentido crescente orientado para cima e y = 0 coincidindo com a interface fluido-ar, e é delimitada uma pequena porção de fluido, através de um cilíndro hipotético (linha tracejada), com bases de área A, onde y1 e y2 são as profundidades das bases superior e inferior, respectivamente. Neste caso, sobre o fluido delimitado pelo cilindro, são observadas uma força F~1 , sobre a base superior, uma força F~2 , sobre a base inferior e a força gravitacional, m~g , associada à massa do fluido que está no interior do cilindro hipotético. Retirada da referência [10]. No limite (y2 − y1 ) → 0, logo pode-se escrever dp = −ρg. dy (13.12) Embora esta expressão tenha sido obtida considerando-se uma fluido como o da Figura, ela é uma expressão geral que mostra a dependência de p com y, sendo válida para qualquer ρ e g, constantes ou não. No caso discutido até o momento, sendo ρ e g constantes, se p1 e p2 são, respectivamente, as pressões nas alturas y1 e y2 , logo Z Z p2 y2 dp = −ρg dy, (13.13) p2 − p1 = −ρg(y2 − y1 ). (13.14) p1 y1 Considerando y1 = yo = 0, logo p1 = po = pressão atmosférica, e sendo ∆y = −h, conforme a Figura 13.4, tem-se p = po + ρgh, onde po é a pressão atmosférica e h indica a profundidade. (13.15) Figura 13.4: Fluido em um recipiente, onde po é a pressão atmosférica e p é a pressão é uma profundidade h. Retirada da referência [10]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 222 Neste caso, o termo ρgh ou (p − po ) corresponde à chamada pressão manométrica, ou seja, a diferença entre a pressão absoluta p, em uma profundidade h, e a pressão atmosférica po . Este pressão é devida ao líquido acima do nível considerado. Como ponto interessante, tem-se que a pressão em um dado ponto de um fluido, dada pela equação 13.15, depende apenas da profundidade deste ponto, não sendo dependente de qualquer dimensão horizontal, ou seja, independentemente de posição horizontal e do formato do recipiente, como mostrado na Figura 13.5. A Equação 13.14 também pode ser utilizada considerando-se um ponto acima da interface fluido-ar e ela fornece a pressão atmosférica a uma dada distância acima da interface. Sendo assim, considerando y1 = yo = 0, logo p1 = po = pressão atmosférica, e sendo ∆y = h, tem-se p = po − ρgh. (13.16) Neste caso, levando-se em consideração a densidade do ar, ρ = ρar e, mais importante, considera-se que a densidade é uma constante. Na determinação da pressão em situações nas quais ρ não é uma constante ou dependa de h, as expressões 13.15 e 13.16 não devem ser aplicadas. Exemplo 13.2. A expressão 13.12 também pode ser aplicada para gases, como nos casos nos quais ρ depende da altura h. Neste caso, qual é a dependência da pressão em função da altitute? Considerando que o ar é um gás ideal, utilizando-se a equação geral dos gases, tem-se pV = nRT, (13.17) onde p é a pressão absoluta, V é o volume do gás, n = m/M sendo n o número de mols, m é a massa do gás e M é a massa molar do gás, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura. Assim, sendo a densidade ρ = m/V , tem-se PM = ρ. RT Utilizando a Equação 13.12, e substituindo-se ρ, tem-se dp = −ρg dy, (13.18) (13.19) pM g dy, (13.20) RT A integração deve ser feita de y = 0, onde a pressão po é igual à pressão atmosférica, até uma altura y = h, onde visa-se determinar o valor de pressão, logo Z p Z dp Mg h =− dy, (13.21) RT 0 po p dp = − Mg h y| , RT 0 Mg ln p − ln po = − h, RT ln p|ppo = − Mg p = po e− RT h . (13.22) (13.23) (13.24) Figura 13.5: Todas as colunas apresentam a mesma altura independentemente da forma do recipiente. Note que a pressão no topo de cada coluna de líquido é igual à pressão atmosférica, enquanto que a pressão na base de cada coluna possui o mesmo valor p. Retirada da referência [11]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 223 Exemplo 13.3. Um tubo em forma de U, como mostrado na Figura 13.6 contém dois líquidos em equilíbrio hidrostático, onde do lado direito existe água, com densidade ρagua = 998 kg/m3 , e no lado esquerdo existe um óleo de densidade desconhecida ρoleo . Expresse ρoleo em função de d, l e ρagua . Tem-se que a pressão na interface (pint ) óleo-água depende da densidade do óleo acima da interface. No lado direito, a água, à mesma altura, está submetida a uma pressão igual a pint . Isto ocorre pois, como o sistema está em equilíbrio hidrostático, as pressões, em quaisquer pontos no mesmo nível, são necessariamente iguais. Sendo assim, no lado esquerdo, a interface está a uma profundidade l + d abaixo da superfície do óleo, de modo que pint = po + ρoleo g(l + d). (13.25) No mesmo nível, do lado direito, a pressão pode ser escrita como pint = po + ρagua gl. (13.26) Igualando as duas expressões, tem-se 13.5 pint = po + ρoleo g(l + d) = po + ρagua gl, (13.27) ρoleo g(l + d) = ρagua gl, l . ρoleo = ρagua (l + d) (13.28) Figura 13.6: Tubo em forma de U, no qual no lado esquerdo há óleo, que fica mais alto do que a água no lado direito pois sua densidade é menor do que a densidade da água. Como ponto importante, em ambos os lados do tubo, na altura da interface, a pressão é a mesma. Retirada da referência [10]. (13.29) Como pode-se medir pressão? Dentre os inúmeros dispositivos que podem ser utilizados para medir pressão, destacamse o barômetro de mercúrio e o manômetro de tubo aberto. 13.5.1 Barômetro de mercúrio A Figura 13.7 mostra um barômetro de mercúrio, que consiste em um longo tubo de vidro, fechado em uma extremidade, que foi previamente preenchido com mercúrio e, posteriormente, foi invertido em um recipiente que também contém mercúrio. Sendo assim, o espaço acima da coluna de mercúrio contém apenas vapor de mercúrio, de modo que sua pressão é extremamente baixa e pode ser considerada p ∼ 0. Utilizando a Equação 13.15 na interface ar-mercúrio, fora do tubo, tem-se p = po . Dentro do tubo, ao mesmo nível, tem-se p = ρgh, (13.30) logo, considerando as pressões dentro e fora do tubo, no mesmo nível, chega-se a po = ρgh, (13.31) onde ρ é a densidade do mercúrio. Sendo assim, o barômetro de mercúrio mede a pressão atmosférica po diretamente a partir da altura de uma coluna de mercúrio. Ao nível do mar, o valor obtido é po = 760 mmHg. Figura 13.7: Barômetro de mercúrio. Retirada da referência [11]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 13.5.2 224 Manômetro de tubo aberto A Figura 13.8 mostra um manômetro de tubo aberto barômetro de mercúrio, que consiste em um tubo em forma de U que contém um líquido de densidade conhecida ρ, geralmente mercúrio ou água, com uma das extremidades ligadas a um recipiente cuja pressão manométrica deseja-se medir e outra aberta para a atmosfera, p = po . Deste modo, a pressão na interface líquido-recipiente, pode ser escrita como p = po + ρgh ⇒ p − po = ρgh (13.32) Sendo assim, o manômetro de tubo aberto é usado para medir a pressão manométrica de um gás. Neste caso, a pressão manométrica é diretamente proporcional a h. A pressão manométrica pode ser positiva ou negativa, dependendo se p > po ou p < po . Por exemplo, em pneus e no sistema circulatório, a pressão absoluta é maior que a pressão atmosférica, de modo que (p − po > 0). Por outro lado, quando usa-se um canudo para tomar um líquido, a pressão nos pulmões, e na boca, é menor do que a pressão atmosférica, de modo que (p − po < 0). 13.6 Figura 13.8: Manômetro de tubo aberto. Retirada da referência [11]. Princípio de Pascal O Princípio de Pascal pode ser enunciado como: “Uma mudança na pressão aplicada em um fluido confinado é transmitida integralmente para todas as porções do fluido e para as paredes do recipiente que o contém.” 13.6.1 Demonstração do Princípio de Pascal Considerando um líquido incompressível contido em um cilindro, como indicado na Figura 13.9, fechado por um êmbolo no qual repousam bolinhas de chumbo. Neste caso, a atmosfera e as bolinhas exercem uma pressão externa pext sobre o êmbolo e, consequentemente, sobre o líquido. Assim, a pressão sobre um ponto qualquer do líquido é p = pext + ρgh. (13.33) No caso de mais bolinhas serem adicionadas, aumentando pext por um valor ∆pext e como ρ, g e h são constantes, tem-se que ∆p = ∆pext . 13.6.2 (13.34) Aplicação do Princípio de Pascal Uma das aplicações do Princípio de Pascal é o elevador hidráulico, como mostrado na Figura 13.10. Neste caso, tem-se que uma força F~i é aplicada sobre o êmbolo, de área Ai , de modo que a pressão aplicada p = Fi /Ai é transmitida integralmente para Figura 13.9: No interior de um cilindro há um líquido incompressível confinado, com êmbolo submetido a uma pressão externa pext devido às bolinhas de chumbo. Se mais bolinhas forem colocadas sobre o êmbolo, a pext aumentará, fazendo com que o mesmo aumento seja transmitido a todas as porções do líquido. Retirada da referência [10]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 225 todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente, inclusive para o êmbolo de área Ao . Assim, como a pressão nos dois êmbolos é a mesma, sendo pi e po a pressão no êmbolo de entrada e saída, respectivamente, é possível escrever pi = po , (13.35) Fo Ao Fi = ⇒ Fo = Fi , Ai Ao Ai ou seja, Fo será maior que Fi se Ai < Ao . (13.36) Figura 13.10: Dispositivo hidráulico, como um elevador hidráulico, corresponde a uma aplicação do princípio de Pascal. Neste caso, embora a força seja amplificada, o trabalho realizado não é, ou seja, tem-se o mesmo trabalho realizado pelas forças F~i e F~o , de modo que o princípio de conservação de energia não é violado. Retirada da referência [10]. Considerando que o êmbolo de entrada se desloque di e o êmbolo de saída, do e que o volume de líquido deslocado na entrada, ∆Vi é o mesmo deslocado na saída, ∆Vo , tem-se ∆Vi = ∆Vo ⇒ Ai di = Ao do ⇒ do = di Ai , Ao (13.37) de modo que o trabalho, considerando as equações 13.36 e 13.37, pode ser escrito como    Ao Ai di = Fi di , (13.38) W = F o do = F i Ai Ao ou seja, como ponto interessante, o trabalho realizado por Fo tem mesmo valor que o trabalho realizado por Fi e, portanto, o princípio de conservação de energia não é violado. Exemplo 13.4. Em um elevador hidráulico, o ar comprimido exerce uma força em um pistão, que tem uma Seção reta de raio de 5 cm. Esta pressão é transmitida por um líquido incompressível para um pistão de raio de 15 cm. Qual deve ser a força deve haver no pistão maior para levantar um carro com peso de 15000 N? E qual é a força aplicada sobre o pistão menor? A força aplicada sobre o pistão maior, para levantar um carro com peso de 15000 N, deve ser, no mínimo, exatamente 15000 N. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 226 Para determinar-se a força aplicada no pistão menor, primeiramente é necessário obter-se a pressão exercida pelo líquido sobre o pistão maior. Esta é dada por Fo , (13.39) po = Ao 15000 Fo po = 2 = = 212314, 23 Pa. (13.40) πro π(0, 15)2 De acordo com o Princípio de Pascal, toda variação da pressão sobre o fluido será transmitida para todas as partes do fluido, logo é possível inferir que a pressão no pistão de área maior é a mesma que a pressão sobre o fluido de área menor. Assim 13.7 pi = po = 212314, 23 Pa, (13.41) Fi Fi Fi = 2 = = 212314, 23 Pa, Ai πri π(0, 05)2 (13.42) Fi = (212314, 23)(π(0, 05)2 ) = 1666, 67 N. (13.43) Princípio de Arquimedes O Princípio de Arquimedes pode ser enunciado como: “Um corpo completa ou parcialmente imerso em um fluido sofre a ação de uma força, exercida pelo fluido, dirigida de baixo para cima com módulo igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.” 13.7.1 Empuxo Para demonstrar tal princípio, a Figura 13.11(a) mostra uma região do espaço delimitada, dentro de um fluido, na qual as setas representam as forças exercidas pelo fluido vizinho sobre a superfície que delimita a região. Considerando, inicialmente, que esta região delimitada esteja preenchida pelo fluido, de modo que é possível dizer que esta porção de fluido está em repouso, ou seja, está em equilíbrio, a força resultante sobre a porção deve ser igual a zero. Neste caso, a componente x das forças exercidas pelo fluido acaba por se anular. Entretanto, na componente y, a soma das componentes y das forças que atuam sobre a superfície deve ser uma força resultante, de baixo para cima, com módulo igual ao peso mg do fluido no interior da superfície. Ela existe porque a pressão do fluido que envolve a região delimitada aumenta com a profundidade. Assim, a pressão na parte inferior é maior do que na parte superior, resultanto na força com sentido de baixo para cima. Esta força resultante, na direção y, recebe o nome de empuxo. Considerando que a região delimitada seja um cilindro, com bases A e tomando apenas as componentes y das forças atuantes na parte superior e na parte inferior da região delimitada, Fsup e Finf , respectivamente, tem-se que o empuxo, ~ tem módulo dado por E, E = Finf − Fsup , (13.44) Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 227 E = pinf A − psup A = A (po + ρghinf − po − ρghsup ) = Aρg (hsup − hinf ) , (13.45) E = ρliq Vliqdesl g = mg, (13.46) onde ρliq é a densidade do fluido, Vliqdesl é o volume do fluido deslocado, g é a aceleração da gravidade e m é a massa do líquido deslocado. Voltando a Figura 13.11, parte (b), ao substituir a porção de fluido delimitada por um corpo sólido, com forma extamente igual, tem-se que as forças devido à pressão do líquido serão as mesmas. Assim, o empuxo, da mesma forma, será novamente igual ao peso mg do líquido deslocado que abriu espaço para o corpo. Em particular, a linha de ação da força empuxo passa pelo centro de gravidade do fluido deslocado, o que não necessariamente coincide com o centro de gravidade do corpo. Ao contrário da situação anterior, na qual havia uma porção de fluido delimitada e esta estava em equilíbrio, neste situação, onde o corpo sólido é uma pedra, a força gravitacional que age, para baixo, sobre a pedra tem módulo maior que o empuxo, de modo que esta acelera para baixo, afundando. Na Figura 13.11(c), a pedra é substituida por um pedaço de madeira. Da mesma forma, nada mudou, quando relacionada a força empuxo. Entretanto, como a força gravitacional é menor, a madeira acelera para cima, flutuando. Conclusão: em todas as situações é considerada uma região delimitada de volume constante, logo, a força empuxo é igual em todas as situações. Logo, considerando-se a densidade do corpo e do fluido, conclui-se que se ρcorpo = ρf luido , o corpo nem afunda, nem flutua (Ex: balão utilizado para vôos, quando em equilíbrio, deve ter peso igual ao peso do ar deslocado). Se ρcorpo > ρf luido , o corpo afunda (Ex: pedra em um rio) e se ρcorpo < ρf luido , o corpo flutua (Ex: isopor em uma piscina). 13.7.2 Peso aparente Um corpo quando imerso em um fluido parece possuir um peso menor do que no ar. De fato, medindo o peso de um corpo fora de um fluido e, em seguida, dentro, na segunda situação, o que será medido é chamado de peso aparente Pap . O peso aparente é dado por: Peso aparente = Peso real − Empuxo (13.47) Pap = P − E (13.48) Exemplo 13.5. Um iceberg no mar possui grande parte de seu volume escondido abaixo do nível da água. Que fração do iceberg não pode ser vista? Tem-se que o peso de um iceberg de volume Vi é Pi = ρi Vi g, (13.49) onde ρi = 917 kg/m3 é a densidade do gelo. O empuxo E, sobre o iceberg, é igual ao peso da água do mar deslocada, ou seja, E = Pa = ρa Va g, (13.50) Figura 13.11: (a) O fluido que está em volta da região delimitada, dentro do fluido, produz um empuxo resultante para cima sobre qualquer material que ocupe a região. (b) No caso de uma pedra, a força gravitacional é maior que o empuxo, enquanto que (c) no caso de um pedaço de madeira, a força gravitacional é menor que o empuxo. Retirada da referência [10]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 228 onde ρa 1024 kg/m3 é a densidade da água do mar e Va é o volume da água deslocada, que corresponde também ao volume submerso do iceberg. No caso do iceberg flutuante, Pi = Pa , logo ρi Vi g = ρa Va g. (13.51) A fração do iceberg que não pode ser vista é dada por Va ρi 917 Vi − Va =1− =1− =1− = 0, 10 → 10%. Vi Vi ρa 1024 13.8 (13.52) Fluidos ideais em movimento O escoamento dos fluidos reais, geralmente, é muito complexo, como no caso de uma correnteza de um rio, de modo que muitos pontos sobre o assunto ainda não são completamente entendidos. Entretanto, algumas situações podem ser descritas utilizando-se um modelo idealizado, ou seja, considerando o movimento de um fluido ideal. 13.8.1 Fluidos ideais Um fluido ideal apresenta tais características: • Escoamento uniforme ou laminar, ou seja, a velocidade do fluido, em qualquer ponto fixo, não muda, com o tempo, em módulo, direção e sentido. • Escoamento incompressível, ou seja, sendo um fluido ideal, dizer que este é incomporessível implica que sua densidade ρ é constante; • Escoamento não-viscoso ou seja, em um fluido ideal, a viscosidade, que é uma medida da resitência que o fluido oferece ao seu deslocamento, é desconsiderada. Além disto, um objeto se movendo através dele não observa qualquer força resistiva, como forças de atrito ou de arraste, devido à viscosidade; • Escoamento irrotacional. 13.8.2 Linhas de fluxo O escoamento de um fluido pode ser representado por linhas de escoamento ou linhas de fluxo. Mais precisamente, uma linha de fluxo corresponde à trajetória realizada por um pequeno elemento de fluido, chamado de “partícula de fluido”. A Figura 13.12 mostra um exemplo de linhas de fluxo. Enquanto que a partícula de fluido se move, sua velocidade pode variar em módulo, direção e sentido em diferentes pontos. Neste caso, a velocidade é sempre tangente à linha de fluxo no ponto em consideração. Em particular, duas linhas de fluxo jamais se cruzam pois, se o fizessem, uma partícula que chegasse ao ponto de interSeção poderia ter ao mesmo tempo duas velocidades diferentes. Figura 13.12: Linhas de fluxo. No desenho, “fluid element” corresponde ao elemento de fluido, enquanto que “streamline” é a linha de fluxo. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 13.9 229 Equação da continuidade O fato da densidade do fluido ideal não variar ao longo de determinado escoamento leva a uma importante relação denominada Equação da Continuidade. A Figura 13.13 mostra um tubo de escoamento, que corresponde a um feixe de linhas de fluxo e funciona como um tubo pois nenhuma partícula de fluido pode passar através de suas paredes, delimitado por duas seções retas de área A1 e A2 . Nestas seções, as velocidades do fluido são v1 e v2 , respectivamente. Como trata-se de um tubo de escoamento, durante um intervalo de tempo dt, o fluido que estava em A1 se desloca uma distância v1 dt, de modo que um cilindro de fluido com altura v1 dt e volume dV1 = A1 v1 dt escoa para o interior do tubo através de A1 . Neste mesmo intervalo de tempo, um cilindro de volume dV2 = A2 v2 dt escoa para fora do tubo através de A2 . Como tem-se um fluido incompressível, logo ρ = constante, a massa dm1 que flui para o interior do tubo, através de A1 , em um tempo dt, é dm1 = ρdV1 = ρA1 v1 dt. Da mesma forma, a massa dm2 que flui para fora do tubo é dm2 = ρdV2 = ρA2 v2 dt. O princípio de conservação da massa mostra que o escoamento dentro de um tubo de corrente obedece a dm1 = dm2 (13.53) A1 v1 dt = A2 v2 dt (13.54) Q = A1 v1 = A2 v2 (13.55) Vazão ≡ Q = Av = constante. (13.56) logo Esta relação entre a velocidade e a área da Seção reta é chamada de equação da continuidade para o escoamento de um fluido ideal. Tem-se que Q, ou seja, o produto Av corresponde à vazão volumétrica dV /dt, ou seja, a taxa no qual o volume de fluido atravessa a Seção reta do fluido. Neste caso, [Q] = m/s3 . É posível generalizar a Equação 13.56 para o caso do escoamento de um fluido que não é incompressível. Sendo ρ1 e ρ2 as densidades nas seções 1 e 2, respectivamente, tem-se ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 (13.57) 13.10 Equação de Bernoulli Uma importante consequência do princípio de conservação de energia, aplicado a fluidos em movimento, é a chamada Equação de Bernoulli. Esta equação relaciona a pressão, velocidade e altura do escoamento de um fluido ideal, sendo, assim, corresponde a uma importante ferramenta para a análise de diversos fenômenos, como será verificado no final da Seção. Figura 13.13: Um tubo de fluxo com Seção reta variável. Quando o fluxo é incompressível, a vazão permanece constante em todos os pontos ao longo do tubo de fluxo. Retirada da referência [11]. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 13.10.1 230 Demonstração da Equação de Bernoulli A Figura 13.14 mostra um fluido com vazão constante fluindo em um tubo de escoamento. A velocidade na extremidade inferior é v1 e na extremidade superior é v2 . As áreas das seções retas nas duas extremidades são, respectivamente, A1 e A2 e, da mesma forma, as pressões são p1 e p2 . Senso assim, como o fluido é incompressível, de acordo com a Equação da Continuidade, o volume dV que passa através de qualquer Seção reta durante um intervalo de tempo ∆t é sempre o mesmo. O fluido que está entre os dois planos verticais, separados por uma distância L, não muda suas propriedades durante o escoamento, de modo que podem ser consideradas somente as mudanças que ocorrem nas extremidades de entrada e de saída. Para a dedução da Equação de Bernoulli, aplica-se o princípio de conservação de energia a uma quantidade de fluido ideal neste tubo de escoamento, quando ele se move do estado inicial, parte (a) da Figura, para o estado final, parte (b) da Figura. Em particular, a Equação de Bernoulli é estritamente válida para fluidos ideais, ou seja, não há viscosidade, de modo que as únicas forças não-gravitacionais que realizam trabalho sobre o elemento de fluido são as da pressão do fluido circundante. Aplicando o teorema trabalho-energia cinética, W = ∆K, tem-se que a variação da energia cinética do sistema deve ser igual ao trabalho total realizado sobre o sistema. A variação da energia cinética é uma consequência da variação da velocidade do fluido nas extremidades do tubo, e é dada por W = ∆K (13.58) 1 1 (13.59) W = mv22 − mv12 2 2 mas, tem-se que m = ρ∆V , que é a massa do fluido que entra em uma extremidade e sai pela outra extremidade durante um intervalo de tempo ∆t, logo W =

1 2 1 v2 − v12 (∆V ρ) = ρ v22 − v12 ∆V. 2 2 (13.60) O trabalho realizado sobre o sistema tem duas origens. O primeiro, associado à força gravitacional ∆m ~g , sobre o fluido de massa ∆m é Wg = −∆U (13.61) Wg = −mg∆y (13.62) Wg = −(ρ∆V ) g∆y (13.63) Wg = −ρg∆y∆V. (13.64) O segundo corresponde ao trabalho externo realizado sobre o sistema, na extremidade de entrada, para empurrar o fluido para dentro do tubo e pelo sistema, na extremidade de saída, para empurrar o fluido que está mais adiante no tubo. O trabalho realizado por uma força de módulo F , agindo sobre uma quantidade de fluido contida em uma região com Seção reta A para mover o fluido em uma distância ∆x, chamado de trabalho realizado por uma bomba, é Wb = F ∆x = pA ∆x = p(A ∆x) = p ∆V. (13.65) Figura 13.14: Diagrama esquemático de um fluido que escoa, com vazão constante, através de um tubo, partindo da extremidade de entrada, na esquerda, em direção da extremidade de saída, na direita. Em um instante de tempo inicial, uma quantidade de fluido, representada em azul escuro, entra pela extremidade esquerda do tubo e, após um intervalo de tempo, uma quantidade igual de fluido, representada em verde escuro, sai pela extremidade direita. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 231 O trabalho realizado sobre o sistema é, portanto, p1 ∆V , enquanto que o trabalho realizado pelo sistema é −p2 ∆V . Sendo assim, Wp = −p2 ∆V + p1 ∆V, (13.66) Wp = −(p2 − p1 )∆V. (13.67) Assim, somando-se as duas contribuições, tem-se que W = Wg + Wp = ∆K, (13.68) de modo que, combinando as equações 13.60, 13.67 e 13.64, tem-se
1 − ρg∆y∆V − (p2 − p1 )∆V = ρ v22 − v12 ∆V, 2 (13.69) onde, cancelando ∆V e reagrupando os termos, obtém-se a chamada Equação de Bernoulli, dada por 1 1 p1 + ρgy1 + ρv12 = p2 + ρgy2 + ρv22 , 2 2 (13.70) ou, como os índices se referem a qualquer par de pontos ao longo do tubo, tem-se 1 p + ρgy + ρv 2 = constante 2 13.10.2 (13.71) Passos para solucionar problemas envolvendo a Equação de Bernoulli Alguns passos podem ser considerados a fim de facilitar a solução de problemas envolvendo a Equação de Bernoulli. São os seguintes: • Identifique os pontos 1 e 2 mencionados na Equação de Bernoulli; • Defina o sistema de coordenadas, indicando o nível no qual y = 0; • Liste as grandezas conhecidas e desconhecidas na Equação 13.70; • Muitas vezes é necessário utilizar a Equação 13.55 para determinar alguma das grandezas; • Confirme os resultados, verificando se estes fazem sentido. Procure utilizar as unidades em SI, ou seja, Pa, kg/m3 , m/s, entre outras. 13.10.3 Aplicações da Equação de Bernoulli Tubo de Venturi O dispositivo mostrado na Figura 13.15 é conhecido como tubo de Venturi, que é utilizado para medir a velocidade de um fluido incompressível. Determina-se a velocidade de escoamento no ponto 2 se a diferença de pressão p1 − p2 é conhecida. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos 232 Figura 13.15: Tubo de Venturi. A pressão em 1 é maior do que a pressão em 2 pois v1 < v2 . De acordo com a Figura, define-se que A ≡ A1 e a ≡ A2 . Neste caso, como tem-se que y1 = y2 , aplicando-se a Equação de Bernoulli, logo 1 1 p1 + ρv12 = p2 + ρv22 , 2 2 e utilizando a Equação da Continuidade, tem-se A2 v2 . A1 v1 = (13.72) (13.73) Substituindo a expressão 13.73 em 13.72, obtem-se 1 p1 + ρ 2  A2 A1 2 s v2 = A1 1 v22 = p2 + ρv22 , 2 2(p1 − p2 ) , ρ(A21 − A22 ) (13.74) (13.75) sendo que p1 − p2 = ρgh. Tanque de água Considerando um tanque contendo água, com densidade ρ, que apresenta um furo, muito menor do que o diâmetro do tanque, como indicado na Figura 13.16. Determine a velocidade com que o líquido deixa o buraco quando o nível do líquido é h, acima do buraco. Considerando, inicialmente, que a água desce com uma velocidade vo , passando por uma Seção reta A, e depois se move horizontalmente com velocidade v pelo furo, com Seção reta a, como tem-se a mesma vazão, pode-se utilizar a Equação da Continuidade, ou seja, Figura 13.16: A água sai de um tanque por um furo situado a uma distância h da superfície da água. Capítulo 13 – Mecânica dos fluidos Q = av = Avo , 233 (13.76) logo a v. (13.77) A Como a  A, tem-se que vo  v. Sendo assim, aplicando a Equação de Bernoulli em y = 0 e y = h, tem-se vo = 1 1 po + ρvo2 + ρgh = po + ρv 2 + ρg(0). 2 2 Como vo  v, tem-se que vo2 é desprezível, de modo que chega-se a p v = 2gh. (13.78) (13.79) Exemplo 13.6. Quebra-cabeça!!! 1. Porque, em dias de muito vento, janelas estouram e telhados saem voando? 2. Conseguiste explicar o efeito da água na Figura 13.1? 3. Como funciona um vaporizador? 4. Como funciona o tubo de Pitot? Referências Bibliográficas [1] H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica - Volume 1 - Mecânica, 4a edição São Paulo: Edgard Blücher, 2002. [2] INMETRO, ABNT e SBM, com o apoio do GT3/RBC, Grupo Técnico para Incerteza de Medição da Rede Brasileira de Calibração (RBC); Segunda Edição Brasileira do Guia para Expressão da Incerteza de Medição (ISO GUM), ISBN: 85-86768-03-0 (Biblioteca Nacional, G943). [3] J. H. Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros, 1a edição - São Paulo: Edgard Blüher, 1992. [4] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física - Volume 1 - Mecânica, 8a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2008). [5] H. D. Young e R. A. Freedman, Física I - Mecânica - Sears & Zemansky, 12a Edição, Editora Pearson Addison Wesley, New York (2008). [6] Frederick J. Keller, W. Edward Grettys e Malcolm J. Skove, Física Volume 1, 2a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2004). [7] Paul A. Tipler e Gene Mosca, Física Volume 1: Mecânica, 5a Edição, LTC Editora LTC, Rio de Janeiro (2006). [8] Carlos Farina e Marcus V. C. Pinto, Física 1A, Volume 1, Fundação CECIERJ/Consórcio CEDERJ, Rio de Janeiro (2005). [9] Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, Volume 1, (1988). [10] D. Halliday, R. Resnick e J. Walker, Fundamentos de Física - Volume 2 Gravitação, ondas e termodinâmica, 8a Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2008). [11] H. D. Young e R. A. Freedman, Física II - Termodinâmica e ondas - Sears & Zemansky, 12a Edição, Editora Pearson Addison Wesley, New York (2008). [12] M. Alonso e E. J. Finn, Física, Editora Pearson Addison Wesley, Madri (1999). [13] H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica - Volume 2 - Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor, 2a Edição, Editora Edgard Blücher LTDA, São Paulo (1992). 234