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Unifran
Universidade de Franca
Pré-Cálculo
Série de Exercícios
2º. Bimestre
II. Limites
5. Limites e Continuidade
6. Cálculo de Limites
7. Limites e Gráficos
Docente:
Maurício Chiarello
Unifran
Disciplina: Pré-Cálculo
Docente: Maurício Chiarello
Série de Exercícios N. 5
Limites e Continuidade
Gráficos de funções descontínuas
Determinação de limites pelo gráfico
1) Seja a função dada por intervalos:
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em e
;
b) Dê os valores de e de ;
c) Determine o valor dos limites laterais: ; ; ;
.
2) Seja a função dada por intervalos:
a) Admitindo , esboce seu gráfico, verifique se é contínua em
e determine os limites , e , se existente.
b) Faça o mesmo pedido no item a considerando agora ;
c) Observe os gráficos e responda se, independentemente do valor de m, a
função é contínua ou descontínua em x = 0.
3) O gráfico abaixo representa o comportamento da função .
Considere o gráfico e responda:
a) a função é contínua ou descontínua nos pontos , e
?
b) dê os valores de , e de ;
c) determine o valor dos limites laterais: ; ; ;
;
d) existem os limites: , e ? Caso o limite inexista,
explique por que; caso exista, dê o seu valor.
4) Seja a função dada por intervalos:
a) Esboce seu gráfico e responda se a função é contínua em e
;
b) Dê os valores de e de ;
c) Determine o valor dos limites laterais: ; ; ;
;
d) Existem os limites e ? Caso o limite inexista, explique
por que; caso exista, dê o seu valor.
5) Seja a função racional . Esboce seu gráfico e responda:
a) é contínua em ?
b) Qual o valor dos limites laterais e ?
c) Existe o limite ?
6) Seja a função:
Esboce seu gráfico e calcule para que seja contínua em .
Qual o valor do limite , se existente?
7) Seja a função:
Esboce seu gráfico e calcule para que seja contínua em .
Qual o valor do limite , se existente?
Respostas
1) a) Contínua em x = 1 e descontínua em x = 2;
b) e ;
c); ; ; .
2) a) Contínua em x = 2; ; e ;
b) Descontínua em x = 3; ; ; não existe ;
c) Contínua em x = 0.
a)b)
3) a) Contínua em ; descontínua em (descontinuidade do tipo
salto); descontínua em (descontinuidade do tipo interrupção
local)
b) ; ; .
c) ; ; ;
d) existe o e seu valor é: .
Não existe o limite e isto porque .
Existe o e seu valor é: .
Observe que , pois a função é contínua em , mas que ,
pois a função apresenta uma descontinuidade em do tipo
interrupção local.
4) a) Descontínua (do tipo salto) em e descontínua (do tipo
interrupção local) em ;
b) e ;
c); ; ; ;
d) não existe o porque ; existe o e porque
.
5) a) Descontínua em x = 1 (descontinuidade do tipo interrupção local);
b) ;
c) Sim, .
6)
7)
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Série de Exercícios N. 6
Cálculo de Limites
Cálculo algébrico de Limites
I. Calcule o valor dos seguintes limites:
1) 2)
3) 4)
5)
II. Calcule o valor dos seguintes limites:
6) 7)
8) 9)
10) 11)
III. Calcule os seguintes limites no infinito:
12) 13)
14) 15)
Respostas
1) 2) 3 3) 6
4)
5) 6) 32 7)
8)
9) 10) 3/2 11)
A título de ilustração da questão 11, apresentamos abaixo o gráfico da
função . Note a descontinuidade do tipo interrupção pontual em
, cuja ordenada é .
12) 13) 14)
15) 2
A título de ilustração da questão 15, apresentamos abaixo o gráfico da
função , em que se vê a assíntota correspondente ao limite
no infinito calculado.
Observe ainda que o gráfico também mostra que: . Demonstre isso
fazendo o cálculo algébrico do limite infinito negativo.
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Série de Exercícios N. 7
Limites e Gráficos
Esboço de gráfico de funções racionais a partir do cálculo de limites
I. Para cada uma das funções racionais abaixo:
a) calcule os seguintes limites: ; ; e , se
existentes;
b) em seguida, esboce o gráfico das funções utilizando os valores dos
limites obtidos.
1) 2)
3) Seja a função: .
a) Calcule os limites: ; e ;
b) Esboce seu gráfico utilizando os valores dos limites calculados.
II. Para cada uma das funções racionais abaixo, calcule seus pontos
notáveis, os limites laterais à esquerda e à direita dos pontos de
descontinuidade e os limites no infinito. Por fim, esboce seus gráficos.
4) 5)
6) 7)
8)
III. Para as funções racionais abaixo, calcule seus pontos notáveis, os
limites laterais à esquerda e à direita dos pontos de descontinuidade e
os limites no infinito. Por fim, esboce seu gráfico.
9)
Note que esta função admite simplificação algébrica:
10)
Note que esta função admite simplificação algébrica:
Respostas
1) a) ; ; ; não existe ;
b)
2) a); , portanto .
b)
3) a) ; e .
b)
4) ; zero de : .
Limites laterais: ; ; ; .
Limites no infinito: .
5) ; zeros de : e .
Limites laterais: ; ; ; .
Limites no infinito: .
6) ; zeros de : e .
Limites laterais: ; ; ; .
Limites no infinito: ; .
7) ; zero de : .
Limites laterais: ; ; ; .
Limites no infinito: ; .
8) ; zeros de : .
Limites infinitos: ; .
Limites no infinito: .
9) ; zero de :
Limites laterais em : ; .
Limite em : .
Limites no infinito: .
10) ; não possui zero real.
Limites laterais em : ; .
Limite em : .
Limites no infinito: ; .
