Transcript
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO
1. Definição: A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. 4
3 = 81
Exemplo 1 : O produto 3.3.3.3 = 81 pode ser indicado na forma 4
3 = 81
, onde: Base = 3
Expoente = 4
Potência = 81.
Exemplo 2: a) 33 = c) ( − 2 )
3⋅ 3⋅ 3 =
3
=
b) ( − 2 ) 2 =
27
− 2⋅ − 2⋅ − 2 =
−8
3 d) 4
2
=
− 2⋅ − 2 = 3 3 ⋅ = 4 4
4
9 16
BIZU: Cuidado com os sinais.
Número negativo elevado a expoente PAR fica positivo.
Exemplo 3:
(− 2) 4
=
Número negativo elevado a expoente ÍMPAR permanece negativo.
−23 = −2⋅−2⋅−2 = −8
Exemplo 4:
− 2 ⋅ − 2 ⋅ − 2 ⋅ − 2 = 16
Se x = 2 , qual será o valor de “ − x 2 ”?
Observe:
− (2 )
2
=
− 4
, pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado.
→ os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo “-” − x 2 = − ( 2) 2 = − 4 não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 2. Propriedades: Acompanhar pelo quadro resumo entregue a)
n
m
a ⋅a = a
nm
→ Quando tivermos multiplicação de potencias de bases iguais, conservamos
a base e somar os expoentes. Exemplo 5: 2 x ⋅ 2 2 =
2x+ 2
Exemplo.6: a 4 ⋅ a 7 =
a 4+ 7 =
a 11
Exemplo 7: 4 2 ⋅ 3 4 → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 42 ⋅ 34
=
16 ⋅ 81 =
1296
BIZU: Esta propriedade é válida nos dois sentidos. Assim: PROFESSOR: LIMA
a
nm
n
= a ⋅a
m
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
a
Exemplo 8: am an
b)
7
= a ⋅a
n
Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases iguais
a m− n
=
7n
temos que conservar a base e subtrair os expoentes. Exemplo 9:
34 3
=
x
3 4− x e :
a4 a5
=
a 4− 5 =
a−1
BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja am an
(a )
c)
m
n
a m− n
ou
a m− n
=
Exemplo 10: a 4− x =
an
a4 ax
Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para resolver
a m⋅ n
=
am
=
temos que conservar a base e multiplicar os expoentes .
( )
Exemplo.11: 4 3
2
( )
4 3⋅ 2 =
=
46 e b x
4
b x⋅ 4 =
=
b 4⋅ x
BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja
a d)
m⋅n
= a
m
n
a
m n
=a
n m
( )
34 x = 34
Exemplo 12:
x
ou
(3 )
x 4
Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa potencia de
expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. Exemplo 13:
x =
Exemplo 14:
3
x7
Exemplo 15: 25
1 2
2
x1 = 7
=
x
=
25 =
x
1 2
3
5
e x
8
=
3
3
x8
BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja n m
m
a = a e)
a b
n
=
Exemplo 16.: a
n
5
2
=
a5
an , com b ≠ 0 bn
2 Exemplo 17: 3
2
=
22 32
=
4 1 e 9 5
2
=
12 52
=
1 25
BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja PROFESSOR: LIMA
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO a b
f)
n
an
=
b
an
ou
n
(a ⋅ b )n
=
=
n
b
n
a b
2
Ex.:
3
=
2 3
1 1
2
2
2 = 3
1
2
2 3
=
an ⋅ bn
Exemplo 18: ( x ⋅ a )
(
Exemplo 19: 3 x
2
)
x 2 ⋅ a 2 e ( 4x )
=
4
=
3
4
⋅ ( x)
4
=
3
=
43 ⋅ x 3 =
1 3 ⋅ x 2 4
4
64 x 3
=
34 ⋅ x
4
=
2
34 ⋅ x 2 =
81x 2
BIZU::Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja (a ⋅ b )n
=
Exemplo 20: g)
a− n
ou
an ⋅ bn
x⋅
a n ⋅ bn
1
y= x
2
⋅y
1
2
(a ⋅ b ) n
=
= ( x ⋅ y)
1
2
=
x⋅ y
1 an
=
Exemplo 21: a
−3
1 a
=
3
13 a3
=
=
1 2 e 3 a 3
−2
=
3 2
2
=
32 22
=
9 4
=
1 an
1 1 1 Exemplo 22: ( − 4) − 1 = − = −
4
4
BIZU: Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja Exemplo 23: a)
a− n
ou
1 an
=
a−n
1 2 2 1 2 = x − 2 e b) 3 = ⋅ 3 = ⋅ x − 3 2 x 3x 3 x 3
CUIDADO !!!
(− 2) − 3
( 3)
1 a
−3
=
1 − 2 1 3
=
−3
=
=
3
a 1
( − 1) 3 (2) 3
3
13 33
= 3
=
a3 13
=
−1 8
1 27
=
=
a3
BIZU: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função.
PROFESSOR: LIMA
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO EXERCÍCIOS 1) Calcule as potências: a)
62
b)
(-6)2
c)
-6
2
d)
(-2)3
k)
028
e)
-23
l)
132
f)
50
m)
(-1)20
g)
(-8)0
n)
(-1)17
3 2
4
3 2
3
i) −
j) −
3 2
4
h)
3 5
2
o) −
2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
3. Qual é a forma mais simples de escrever: a)
(a . b)3 . b . (b . c)2 3
b)
2
5
x ⋅y ⋅y ⋅x⋅x 7 y
4. Sendo a) 252
7
4
8
a = 2 ⋅3 ⋅7 b) 36
5
b = 2 ⋅3
e
c) 126
6
, o quociente de a por b é: d) 48 −2
5. Calcule o valor da expressão:
e) 42 −1
−2
2 1 1 A = − − 3 2 4 2
6. Simplificando a expressão
1 1 3⋅− 2 4 2 1 3 3⋅− − 3 2
a) − 6 7
c) 6 7
b) − 7 6
d) 7 6
PROFESSOR: LIMA
, obtemos o número:
e) − 5 7
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 7. Quando a = −
1 e b = − 3 , qual o valor numérico da expressão a 2 − ab + b 2 ? 3
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências:
a) 2-3 =
-2
b) 10
c) 4-1 =
=
Exemplos mais complexos:
(
(1) 4 xy x2
(
(2) x.y
)
3 −1
1 4 xy 3 2 x
=
)
1 = 3 xy
3 −2
−3
1 (3) 4 3 a .b
1
1 4xy 3 x2 1
=
2
12
=
( )
x 2. y
a 4 .b 3 = 1
2
(a ) .(b )
3
4 3
=
1 4x 3 y 3
=
1 1 = 3.2 2 6 x .y x .y
=
3 2
1 1 ⋅ 2 3 4xy x
=
3 3
13
a 4.3 .b 3.3 = = a 12 .b 9 1
( − 1) 2
(
(4) − a . y 4
)
3 −2
=
1 − 4 3 a .y
2
1 a . y 3.2
=
( a ) .( y ) 4 2
3 2
4.2
=
1 a .y6 8
ou
=
nº negativo elevado a expoente par, fica positivo.
2
1 12 1 → 4 3 = 4⋅ 2 3⋅ 2 = 8 6 a y a y a y
(
2
(5) 8.y .a
)
−2
1 = 2 8.y .a
2
=
12
(8.y .a ) 2
=
2
12
( ) .a
8 2. y
2 2
2
1 64.y 4 .a 2
=
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos parênteses. −3
1 (6) 2 + 4 1 (7) c + 2
2
1 c+ 2
2
1 = 2+ 4
−3
2c + 1 = 2
2
8 + 1 = 4 =
−3
( 2c + 1) 2 22
9 = 4 =
−3
=
4 9
( 2c + 1) ⋅ ( 2c + 1) 4 ou
3
=
=
1 1 1 1 1 1 = c + ⋅ c + = c2 + c ⋅ + ⋅ c + ⋅ = 2 2 2 2 2 2
PROFESSOR: LIMA
43 64 = 3 729 9 4c 2 + 2c + 2c + 1 4c 2 + 4c + 1 = 4 4
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO c c 1 2c 1 1 4c 2 + 4c + 1 + + = c2 + + = c2 + c + = 2 2 4 2 4 4 4
= c2 + 9.
Efetue:
a)
a 6 .a 4 =
f)
(x 3 )5 =
b)
a8 = a3
g)
( 2 x 2 )3 =
h)
(5a b )
i)
3a 2 = b
j)
2ab3 5x4
k)
1 − 2 3a
c)
2ab 3 c
2 2
3
a c ⋅ b = 2
2 3 3
=
4
2
d)
3x 2 y 3 3 ab = 3 2 3 xy 2 2 2a b
e) ( 3x ) 4 = 10. Sabendo que
4 −2 a = −2 5
−2
=
−4
=
, determine o valor de a.
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: 2n ⋅ 4 = Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir 3 8 ⋅ 2 3n + 1 todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 3 8 por 2. 2n ⋅ 22 = 2 ⋅ 2 3n + 1
Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma base.
2 n+ 2 2 n+ 2 = 3n + 2 = 2 n + 2 − ( 3n + 2 ) = 2 n + 2 − 3 n − 2 = 1+ 3n + 1 2 2
2
−2n
ou
1 2 2n
ou
1 4n
11. Simplifique as expressões: a) E =
3n + 2 ⋅ 3n 3 ⋅ 3n + 1
b) E =
4n ⋅ 2( n − 1) 4( n + 1)
RADICIAÇÃO 1. Definição: A radiciação é a operação inversa da potenciação. PROFESSOR: LIMA
c) G =
25n + 2 ⋅ 100 5n + 1
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO De modo geral podemos escrever: a =
n
3
2
pois
22 =
4
8 =
2
pois
23 =
8
3 8 = 2
Na raiz
bn =
4 =
Exemplo 24: Exemplo 25:
⇔
b
(n ∈
a
e n ≥ 1)
Ν
, temos: índice = 3; radicando = 8 e raiz = 2.
2. Propriedades dos radicais a)
n
⇔
ap
a
Exemplo 26:
n
2 =
3
Exemplo 27: Exemplo 28:
p
5
Essa propriedade mostra que todo radical pode ser escrito na forma de uma potência.
1 3
2
43
=
4
62
=
6
3
2
2
5
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou p
seja a
n
=
a p (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).
n
3
Exemplo : 2
=
5
b)
n
an
c)
n
a⋅b
=
=
n
n
a b
a
n
b
( b)
m
d)
e)
n
=
a
n m
a
n
=
Exemplo 32.:
f)
n
=
5
23 .
n
=
Exemplo 29:
a
Exemplo 30:
a ⋅n b
1n b
a
3
m
=
1
=
bn
12 5
⋅m
=
3
=
Exemplo 33:
3
1 m ⋅ 1
3
3
=
3
=
3
a3 ⋅ 3 b6 a
=
b5
2
b
6 5
2 2
=
21 =
=
a
a3 b
5
2
m
=
bn
3 2
=
23
a6
=
b5
1 ⋅3 2 5
3
a3 ⋅ b6
a6
Exemplo 31
( 5) m⋅ n
=
a1
= =
bn
13 ⋅ 2 5 1
3⋅ 2
=
5
3 =
6
3
2
3
EXERCÍCIOS 12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: PROFESSOR: LIMA
3
2
3
⋅b
ou
6
=
3
a3 b5
a ⋅ b2
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO d) −
1 = 100
a)
1 = 16
b) −
0,01 =
e)
0,81 =
f)
2,25 =
4 = 9
c)
13. Calcule a raiz indicada: a)
9
a3
b)
3
t7
c)
48
4 12
d)
t
14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: 7=
a) b)
4
c)
23 =
d)
5
6
e)
32 =
3
x2 =
f)
1
a5 =
15. Escreva na forma de radical: 1
5
a) 2 5 =
e) a 7 =
2
b) 4 3 = 1
c) x 4 = 1
f)
(a b)
g)
(m n)
3
2
1 4
=
−
1 5
=
3
d) 8− 2 =
h) m − 4 =
16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? a)
10 − 1
b) 10 − 2
c) 10 − 3
d) 10 − 4
e) 1− 10
3. Raízes Numéricas Exemplo 34: a)
144
Devemos fatorar 144
=
=
144 72
2 2 2 2
4 ⋅ 3 = 12
36 18 9 3
24 ⋅ 32 2 ⋅ 3 4
2
4
2
⋅3
2 ⋅3 2
1
2
2
= =
2
=
3 3
1 2 4 ⋅ 3 2 = 144 PROFESSOR: LIMA
Forma fatorada de 144
3
=
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
b)
3
243 =
3
=
35
33 ⋅ 32
3
33 ⋅ 3 3 2
3
3
3
3
3⋅ 3
⋅3 2
2
243 81 27 9 3 1 35
= =
3
3
ou 3⋅ 3 3
ou
= 243
Forma fatorada de 243
Resultados possíveis
2
3 3 3 3 3
3⋅ 3 9
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 4. Raízes Literais 9
a)
x9 = x 2 Escrever o radical
9
x 9 na forma de expoente fracionário x 2 não resolve o problema, pois
nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. Assim teremos: x 8+ 1 =
x9 = b)
3
3
x 14 = 3
x 12 ⋅ x 2
=
3
x 12 ⋅ 3 x 2 12
x8 ⋅ x = x
8
2
⋅ x = x4 ⋅ x
x 12+ 2 pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz).
=
= x
x 8 ⋅ x1 =
3 ⋅3
x2
= x4 ⋅ 3 x2 Exemplos 35: a)
3
27.x 6 = =
3
= 3
3
27 ⋅ 3 x 6
33 ⋅ x 3
3
⋅ x2
= 31 ⋅ x 2 = 3x 2 PROFESSOR: LIMA
6
3
(pois 6 é divisível por 3)
3 27 3 9 3 3 1 33 = 27
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
b)
3
48 ⋅ x 4 ⋅ y 6 = =
3
3
48 ⋅ 3 x 4 ⋅ 3 y 6
23.6 ⋅ 3 x 3+ 1 ⋅ y
6
48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1
3
pois 4 não é divisível por 3
=
3
23 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x 3 ⋅ x ⋅ y 2
= 2 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x3 ⋅ 3 x ⋅ y2
2 3.2.3 = 2 3.6 = 48
= 2 ⋅ 3 6 ⋅ x ⋅ 3 x ⋅ y2 = 2 xy 2 ⋅ 3 6 ⋅ 3 x = 2 xy 2 ⋅ 3 6 x 17. Calcule: a)
3
125 =
e)
6
0=
b)
5
243 =
f)
1
7=
36 =
g)
3
− 125 =
1=
h)
5
− 32 =
i)
7
−1=
c) d)
5
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: a)
3
32 =
d)
7
81 =
b)
3
25 =
e)
8
512 =
c)
4
27 =
f)
8
625 =
19. Calcule a raiz indicada: a)
4a 2 =
b)
36a 2 b 6 =
e) f)
c)
d)
4 2 4 a b = 9 x2 = 100
PROFESSOR: LIMA
g) h)
4
8
5
16a 10 = 25
i)
4
100x 2 =
j)
3
1 = 25 a6 b3
=
121 = 1024 x 5 y 10 =
k)
16 x 4 y2z6
=
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 20. Simplifique os radicais: a) b)
5
432 =
a10 x =
c)
a3b =
e)
3
a 4b2c =
d)
25a 4 x =
f)
1 45 = 3
3. OPERAÇÕES COM RADICAIS 3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais. Exemplo 36:
(1 +
4 − 2) ⋅ 3 = 1 3 =
1)
3+ 4 3− 2 3 =
2)
2 33 3−2 3 = 23−2 3 = 3 3
5
5
5
3
5
5
fatores externos
BIZU: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos os termos da soma. 3)
2 2−3 5
4 2−2 23 5−6 5 = 4−2 2 3−6 5 =
não pode mais ser reduzido
4) 3 2 + 7 − 5 2 − 4 =
( 3 − 5) ⋅
2 + ( 7 − 4) =
− 2 2+ 3
21. Simplifique 12 10 − 6 10 − 8 10 : 22. Determine as somas algébricas: a) b)
73 5 2 − 23 2 − 3 2 = 3 4
5 5 5 5 + − − = 6 2 5 3
c) 53 2 − 83 3 + 2 − 43 2 + 83 3 = d) 85 7 + 4 6 − 125 7 − 104 6 =
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: a) 5 28 − 3 20 − 2 63 + 2 45 =
e)
b) 8 2 − 5 8 + 13 18 − 15 50 − 9 72 =
f) 53 32 −
c) 6 45 − 12 48 + 6 108 − 10 20 = d)
3 1 1 90 − 250 − 10 = 2 4 4
PROFESSOR: LIMA
g)
4
5
96 +
64 −
h) 43
4
5
486 − 24 6 + 94 243 = 23 8 256 + 3 16 − 23 2 + 3 4 = 5 5 486 −
5
2=
81 375 24 + 813 − 103 = 64 729 125
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 24. Calcule as somas algébricas: a) − 10 x + 4 x + 6 x − x =
e)
b)
f)
c)
4a − 3
27 −
81b − 6 9a + 8 144b = 3
8a − 3 1000a =
a 2 x − a 4 x + 3 a 3 − 4a a = 4
a − 5 b − 34 a − 8 b = x2 y y − x + 4 9
g)
x − 100
81x =
d) − 2a 4 a 5 − 12a 4 a + 34 a 9 = h)
25. Considere a =
4
a 4c − 2
4
b 4c 5 c − a4 = 8 16
9m , b = 2 100m , c = − 8 36m e determine:
a) a + b + c =
b) a –( b + c )=
26. Simplifique a expressão −
4
c) a – b + c=
1 a 2 y 4 − y 6 a3 − 2
10
d) ( a + b ) – c=
a 5 y10 .
3.2 Multiplicação: Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 1
º
CASO:
Radicais têm raízes exatas: Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados:
2
º
CASO:
4 ⋅ ( − 2) =
16 ⋅ 3 − 8 =
Exemplo 37:
−8
Radicais têm o mesmo índice: Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos,
simplificando sempre que possível o resultado obtido. 3⋅ 5 =
Exemplo 38: a) b)
3
3⋅ 5 =
x ⋅ y ⋅ 3 x2 ⋅ 3 y 4
=
15 3
x ⋅ y ⋅ x2 ⋅ y 4
=
3
x 3 ⋅y 5
pode parar aqui!
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão: 3
x 3 ⋅ y5 =
3
x 3 ⋅ 3 y 5 = x ⋅ 3 y 3+ 2 = x ⋅ 3 y3 ⋅ y 2 = x ⋅ 3 y 3 ⋅ 3 y 2 = x ⋅ y ⋅ 3 y 2 A ordem dos fatores não altera o produto (multiplicação)
c) 2 2 ⋅ 3 5 = 3
º
CASO:
2 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 5 =
6 2⋅ 5 =
6 10
Radicais têm índices diferentes: O caminho mais fácil é transformar os radicais em
potências fracionárias. Logo em seguida, transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador).
PROFESSOR: LIMA
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Multiplicamos numerador e denominador da fração por 2 e transformamos na fração equivalente
Exemplo 39: a)
b)
3⋅ 2 =
1 32
a⋅ x =
1 a3
4
3
4
1 24
⋅ ⋅
= 3
1 x4
1 ⋅2 2 ⋅2
= a
1 ⋅4 3 ⋅4
⋅
1 24
⋅x
=
1 ⋅3 4 ⋅3
2 34
1 24
⋅
=
4 12 a
4
= ⋅
3 12 x
3 2 ⋅ 4 21 = =
12
4
32 ⋅ 2 =
a 4 ⋅ 12 x 3 =
12
4
18
a 4 ⋅ x3
ATENÇÃO: 2+
-
2 =
2 2 , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois.
( )
por que? 2⋅ 2 = 2 2⋅ 2 = 2 = (2) ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então:
-
2
Conservam os a base e som am os os expoentes.
2⋅ 2 =
2
1 2
⋅2
1 2
regra de
1 +1 2 2
potenciação → 2
=
2
1+ 1 2
2
=
22
=
21 =
2
3.3 DIVISÃO: A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 1
º
CASO:
Os radicais têm raízes exatas.
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. 81 : 3 27 =
Exemplo 40: 2
º
CASO:
9:3 =
3
Radicais têm o mesmo índice.
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. Como os índices das raízes são iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!
3
3
º
CASO:
x3 = xy
x 3 : xy =
Exemplo 41:
20 : 3 10 =
3 3
20 = 10
Radicais com índices diferentes.
PROFESSOR: LIMA
x3 = xy
3
20 = 10
x2 y 3
2
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de potências de mesma base e voltar para a forma de radical . 1
2
2: 2 = 3
Exemplo 424:
3
22
=
2
1 1 − 22 3
=
1 23
3− 2 2 6
=
=
1 26
=
6
2
4. Racionalização de Denominadores Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 4 = 3
4 3 ⋅ = 3 3
4 3
( 3)
4 3 3
=
2
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: 2
(a)
3
2 3
x
(b)
⋅
3
x2
3
x2
2⋅ 3 x2
=
3
1 5
1 5
Temos que multiplicar numerador e denominador por
x
x2
x ⋅
x1 ⋅ x 2
2⋅ 3 x2
=
3
x 1+ 2
=
2 ⋅ 3 x2 3
Temos que multiplicar numerador e denominador por
2
5
x3
5
x3
=
5 5
x3
x2 ⋅ x3
=
5 5
x3
x 2+ 3
=
5
x3
5
x5
=
x 2 , pois 1 + 2 = 3.
5
x 3 , pois 2 + 3 = 5.
2⋅ 3 x2 x
=
x3
3
5
x3 x
O sinal deve ser contrário, senão a raiz não será eliminada do denominador.
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: 2 2 7+ 3 2 7+ 3 2 7+ 3 2/ 7 + = ⋅ = = = 2 2 7− 3 4/ 7− 3 7− 3 7+ 3 7 − 3
(
( )(
) ( ) ) ( ) ( )
(
) (
( 7 − 3 ) ⋅ ( 7 + 3 ) = ( 7 )2 − 27. Calcule: PROFESSOR: LIMA
3
)= (
7 ⋅ 3+ 3⋅ 7 −
7+ 3 2
)
( 3 )2 = ( 7 )2 − ( 3 )2
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO a) 6 7 + 5 7 − 3 7 = b) 5 2 + 3 50 − 2 18 = c) 23 81 + 3 24 + 53 3 = d) 4 5 ⋅ 3 2 = e) 35 2 ⋅ 5 2 = f) 4 3 ⋅ 2 3 = g)
8 10 = 2 5
2 h) 5 − 5 − 4.1.4 =
2
i)
62 − 4.1.5 = 2
6+
28. Simplifique os radicais e efetue: a) 2 2 x3 − x 8x + 8 x3 = b) 43 343 − 23 3 −
3
24 + 3 192 =
c) 4 y x + 3 y 2 x + 3x x − 5 x 3 =
29. Efetue: a) 3a x − 2 x x − 4a 2 x + 9 x 3 =
c) 2 4 x + 8 − 3 25 x + 50 + 4 16 x + 32 =
b) 5 a 5 + 4a 3 − a 4a 3 − a =
d) − 3b a + 7 b 2 a − 3a a − a 3 =
30. Escreva na forma mais simplificada: a)
x. x =
e)
x3 = x2
b) 3 x + x = a− 7 a=
c)
f) x − 3 .x − 4 = x .x 7 =
g) 3
d)
x x
=
PROFESSOR: LIMA
h)
3
a ⋅ 3 a4 =
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO k) 52 ⋅ b 4 =
a⋅ a =
i)
4
j)
( a) ⋅ a 3
2
=
31. Efetue as multiplicações e divisões: a)
3
a 5 . ab .4 a 2b 2 =
d)
xy .3 x 2 y 2 . x3 y =
b)
3
4a 2 x . 4a 2 x 2 =
e)
a⋅3 a⋅4 a =
c)
10
x3 . x =
3
f)
a5 a3
=
32. Efetue: a)
b)
c)
4
a2
8
a3
6
a 3b 2
4
a 5b
4
2
x y 3
d)
=
xy
2 ⋅ 6 27 = 4 9
e) 3 b ⋅ 53 b ⋅
=
f)
3
=
14 b= 3
3.6 125 = 5.4 25
2 , o valor numérico da expressão 3x 2 − x − 2 é: 3 1 2 b) 1 c) -1 d) e) − 3 3
33. Quando x = − a) 0
34. Se x = 3 6 e y = 9 3 : a)
x é o dobro de y;
d)
b) x − y = 1
y é o triplo de x;
e) x + y = 1
c) x = y 35. Racionalize as frações: a)
1 x
PROFESSOR: LIMA
b)
2 x+ 4
c)
3 1−
x
d)
3
4 x
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
1ª Questão: a) 36
h)
b)
36
i)
c)
–36
j)
d) e) f) g)
–8 –8 1 1
k) l) m) n)
2ª Questão:
81 16 81 16 - 27 8 0 1 1 -1
o)
b) 0,01
c) 0,25
9
25
D
3ª Questão: a) a 3 b 6 c 2
b)
4ª Questão:
A
5ª Questão:
A=
6ª Questão:
A
7ª Questão:
73 9
8ª Questão:
a) 0,125
x8
65 4
9ª Questão: a) a 10
d)
8x 3y 4
g)
8x 6
j)
b)
e)
81x 4
h)
125 a 6 b 9
k)
a5
PROFESSOR: LIMA
25x 8 4a 2 b 6 81 a 8
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO c)
4 a 8b c3
10 Questão:
x 15
i)
81 a 4 b8
b)
F = 2n –3
c)
G = 5n+4 . 2
25 36
a=
11ª Questão: a) E = 3n 12ª Questão: a) 1 10 b) − 1 4 13ª Questão: a)
f)
c) d) 3
3 -1 10 b) 2 ⋅ 3 6
a
14ª Questão: 1 a) 72 3 b) 24
2
e) f)
9
10 15 10
c) t 3 ⋅ t
d) t 3
c)
2 35
e)
d)
5 a6
f)
15ª Questão: a) 5 2
c)
4
e)
7 5
g)
1
b)
d)
f)
4 3
h)
1
g) h) i)
-5 –2 -1
3
42
x
1
8
2 x3
3
−
1 2
a
a b
5
m2n
4
m3
16ª Questão: C 17ª Questão: a) 5 b) 3
c) d)
6 1
e) f)
c)
3 4 3
e)
3 7 2
g)
9 28
d)
3 4 5
f)
4 7 3
h)
1 2 5
19ª Questão: a) 2a
d)
x 10
g)
4
11
j)
b)
e)
4a 5 5
h)
4xy 2
k)
a2 b 4x 2
18ª Questão: 5 a) 23 2 b) 53
6ab 3
PROFESSOR: LIMA
0 7
yz 3
c)
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO i) 10 x 1
f)
2 ⋅ ab 2 3
5
20ª Questão: a) a 2 5 x
c)
a ⋅ ab
e)
b)
d)
5a 2 x
f)
22ª Questão: 11 3 a) − ⋅ 2 12
b)
2 5 15
c)
23ª Questão: a) 4 7 b) − 92 2
c) d)
− 12 3 − 2 5
3 10
e) f)
24ª Questão: a) − x
c)
3 − 12 ⋅ 3 a
b)
d)
a 2b c
6⋅ 3 2 5
21ª Questão: − 2 10 d)
− 45 7 − 9 4 6
− 2⋅ 5 2
10 ⋅ 3 4
g) h)
e)
− a x− a a
g)
x 89 . y− . x 6 10
(a 2 − 12a) ⋅ 4 a
f)
− 2 ⋅ 4 a − 13 b
h)
− bc 4 ⋅ c 8
b)
31 m
c)
− 65 m
d)
71 m
27ª Questão: a) 8 7
c)
13 ⋅ 3 3
e)
3⋅ 5 4
g)
b)
d)
12 10
f)
24
h) i)
4 2 1
− 16 a + 87 b
25ª Questão: a) − 25 m 26 Questão:
−
3
2+ 2
3 ⋅ 4 6 + 27 ⋅ 4 3
44 ⋅ 3 3
y a 2
14 2
28ª Questão: a) 2 x 2 x b)
30ª Questão: a) x
d)
b)
4 x
e)
c)
−6 a
f)
31ª Questão: PROFESSOR: LIMA
(7 y − 2 x ) x
b) 28
29ª Questão: a) (a + x) x
5
c)
5 x+ 2
d)
4 a (b − a)
g)
15 x2
j)
7 a2
x
h)
5 a3
k)
5b4
x -7
i)
3 4 a
(3a 2 + 2a − 1) a
1
6
x
a) b)
8 a3
c) ⋅b
2ax ⋅ 3 4a 2 x
32ª Questão: 1 a) 8 a 3 1 b) − 4 12 ⋅b
a
d)
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 4 e) a ⋅ 12 a x5 6a f) x2 y ⋅ 3 x2 y2
c)
1 6 x
e)
5b12 b
d)
2
f)
3 5
b)
2 x− 2 4 x− 4
c)
3+ 3 x 1− x
⋅
5 12 y
33ª Questão: A 34ª Questão: C
35ª Questão: a) x x
PROFESSOR: LIMA
d)
4 ⋅ 3 x2 x
