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DETERMINAÇÃO DE POTÊNCIA:
Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais: Exemplos: 1º exemplo:
Termos da potenciação: Base=2 Expoente = 4 Potência = 16 [Resultado da operação] Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
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2º exemplo: 53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)
Termos da potenciação: Base=5 Expoente = 3 Potência = 125 [Resultado da operação] Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
3º exemplo: 35 = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)
Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 35, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira: 3 elevado à 5a potência, ou a 5a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=35
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Termos da potenciação:
Base=3 Expoente = 5 Potência = 243 [Resultado da operação]
EXPLICANDO ALGUMAS PROPRIEDADES.
A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.
Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:
1º ) Produto de potências de mesma base.
Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 115 .
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Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1n=1
(3.3.3).(3.3).(3.3)=33. 32. 32 =33+2+2=37=2187 (3.3.3)=33 (3.3)= 32 (3.3)= 32 Note que 37= (3.3.3.3.3.3.3) =2187 Três elevado à sétima potência.
Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes
2º ) Potência de potência.
(22)3 = 22 . 22 . 22 = 22+2+2= 26 = 64 (22)4 = 22 . 22 . 22 . 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
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3º ) Quociente de potências de mesma base.
Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma: 128 ÷126 = 429981696 : 2985984 = 144 Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes. 128 ÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144 (-5)6 ÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625
Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão
NÚMEROS NATURAIS:
DEFINIÇÕES:
Sejam a R positivo e n N Também podemos definir da seguinte forma:
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Dados um número real positivo a e um número natural n diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an que é igual ao produto de n fatores iguais ao número a.
D1 ) an = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1, onde: an = a.an-1 Da definição anterior decorre que:
D2 ) a1 = a , (a ≠ 0)
Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo, pois não existe produto apenas com um único fator.
D3 ) a0 = 1 , (a ≠ 0)
Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.
POTÊNCIAS ESPECIAIS:
1n = 1 e 0n =0 para qualquer que seja o valor de n , pois an = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 1.1.1. ... .1 = 1 e an = a.a.a.a. ... .a (n vezes), n > 1 0.0.0. ... .0 = 0.
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PROPRIEDADES RELATIVAS ÀS POTÊNCIAS DE MESMA BASE:
Considerando que a base é um número real “a” positivo e o expoente é um número natural “n”, temos que:
Sejam m,n N* e a,b R* positivo então: N1 ) an .am = an+m . Intuitivamente é fácil observar que:
Chamamos esta propriedade de “Propriedade fundamental”: Multiplicação de potências de mesma base. N2 ) an ÷ am = an-m ( a ≠ 0 , n … m )
N4 ) ( a.b )n = an .bn
As propriedades das potências de números naturais também podem ser estendidas para o conjunto dos números inteiros. Veja os exemplos:
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EXEMPLOS PRÁTICOS:
a)
30 = 1
b)
50 = 1
c)
20 = 1
d)
560 = 1
e)
51 = 5
f)
31 = 3
g)
52 = 5.5 = 25
h)
53 = 5.5.5 = 125
i)
54 = 5.5.5.5 = 625
j)
55 = 5.5.5.5.5= 3125
k)
32 = 9
l)
190 = 1
m)
191 = 19
n)
192 = 361
o)
01 = 0
p)
02 = 0.0 = 0
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q)
03 = 0.0.0= 0
r)
04 = 0.0.0.0 = 0
s)
05 = 0.0.0.0.0 = 0
t)
1511 = 151
u)
17 = 1.1.1.1.1.1.1=1
v)
w)
x)
32 . 33 = 9.27=243
32 . 33 = (3.3) .(3.3.3) = 35 = 32+3 = 243
y) z)
(22)3=(2.2)3=43=64
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POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO.
EXEMPLO DE SEQUÊNCIAS DE POTÊNCIAS:
Os matemáticos tiveram várias razões para introduzir essas definições. Por exemplo, a multiplicação de padrões:
Note que ao dividirmos 81 por 3 temos como resultado 27, e da mesma forma ao dividirmos 27 por 3 obtemos como resultado 9, logo concluímos que, a cada divisão os expoentes diminuem sempre uma unidade. O quociente entre os valores sucessivos das potências é constante e igual a 3.
IR PARA O CONTEÚDO POTENCIAÇÃO
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Tópicos do conteúdo:
1 - Potenciação:Histórias e Rimas 2 - Potência de expoente natural: Introdução. 3 - Potência de expoente inteiro. 4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.
Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para
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BIBLIOGRAFIA:
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001. IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998. BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série. GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998. IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
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