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POTÊNCIA COM EXPOENTE DE NÚMEROS INTEIROS
Vimos no tópico anterior, que trabalhamos somente com números n positivos, pois o conjunto dos números naturais é formado por: N={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, ... } . Agora vamos trabalhar com um novo conjunto, onde poderemos atribuir um significado para à potência an , onde a R+, e n Z é um número inteiro, que pode ser negativo ou igual à zero, pois: Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. De modo que a propriedade fundamental da potenciação am . an = am+n deve ser mantida Vejamos a seguinte igualdade: a0 . a1 = a0+1 =a , logo temos que a0 =1 , e (a ≠ 0). Uma forma prática de entender porque a0 = 1 . Observe a tabela: 24 implica em 2.2.2.2 = 16 23 implica em
2.2.2 = 8
22 implica em
2.2 = 4
21 implica em
2= 2
20 implica em
= 1
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( Veja potências especiais no tópico I) Desta forma, dado qualquer n N* , devemos ter, para a ≠ 0:a-n . a n = a-n + n =a0 = 1 ,
portanto a-n . a n =1, ou seja: Dado um número real a, não nulo, e um número n natural, chama-se potência de base a, e
expoente -n o número a-n , que é o inverso de an , ou seja: Vejamos alguns exemplos números inversos:
Observação: (-a )impar = negativo. (-a )par
= positivo.
Potência de base NEGATIVA, e expoente IMPAR, o resultado é NEGATIVO. Potência de base NEGATIVA, e expoente PAR, o resultado é POSITIVO.
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( a )par
= positivo.
( a )impar = positivo. Potência de base POSITIVA, e expoente PAR o resultado é sempre POSITIVO. Se liga! Quando a base é um número negativo, é necessário escrevê-la entre parênteses. a) (-2)4 = 16 , onde a base é (-2) Compare os seguintes exemplos: a) (-2)4 = (-2) . (-2) .(-2) .(-2) = 16 que é diferente de: b) -24 = -(2 . 2 .2 .2) = -16 que é igual à c) -(2)4 = -(2 . 2 .2 .2) = -16 onde a base é (2)
Logo, se a base não apresentar parênteses, o sinal de negativo será aplicado somente após obtermos o resultado da potenciação. O mesmo fato acontece, se a base esta dentro de parênteses, mas existe um sinal negativo antes dela, como nos exemplos a) e b) acima.
Observação: Apartir da validade da definição para potência de expoente inteiro negativo, todas as propriedades válidas para números naturais, também são válidas para quaisquer expoentes m e n inteiros positivos ou negativos.
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INVERSO DO NÚMERO a ≠ 0 .
Exercícios resolvidos e explicados:
1. Calcule as potências com expoentes em R. a) 34 = 3.3.3.3 = 81
Observe os elementos dados:
A base a=3
O expoente n= 4
Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois 4.4.4.4 = 81 = 34
b) -34 = - ( 3.3.3.3 ) = - 81
Observe os elementos dados: A base a=3
O expoente n= 4
Temos 4 fatores, pois n=4 .
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O sinal negativo é carregado depois dos cálculos. Resultado = - 81 ,pois –( 3.3.3.3) = - 81 = - 34
c) (-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81
Observe os elementos dados: A base a= -3
O expoente n= 4
Temos 4 fatores, pois n=4 .
Resultado = 81 ,pois (-3).(-3).(-3).(-3) = 81 = (-3)4
Agora é a sua vez!
Exercícios propostos: Calcular o valor das potências.
1
-
a ) (+2)2
b) 22
c) -22
d) -(2)2
e ) –(-2)2
2
-
a ) (+3)2
b) 32
c) -32
d) -(3)2
e ) –(-3)2
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3
-
a ) (+4)2
b) 42
c) -42
d) -(4)2
e ) –(-4)2
4
-
a ) (+2)3
b) 23
c) -23
d) -(2)3
e ) –(-2)3
5
-
a ) (+3)3
b) 33
c) -33
d) -(3)3
e ) –(-3)3
6
-
a ) (+4)3
b) 43
c) -43
d) -(4)3
e ) –(-4)3
7
-
a ) (+a)2
b) a2
c) -a2
d) -(a)2
e ) –(-a)2
8
-
a ) (+2)-2
b) 2-2
c) -2-2
d) -(2) -2
e ) –(-2) -2
9
-
a ) (+2)-3
b) 2-3
c) -2-3
d) -(2) -3
e ) –(-2) -3
10
-
a ) (+a)-1
b) a-1
d) -(a) -1
e ) –(-a) -1
c) -a-1
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Calcule o valor das operações com as potências
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IR PARA O CONTEÚDO POTENCIAÇÃO Tópicos do conteúdo:
1 - Potenciação:Histórias e Rimas 2 - Potência de expoente natural: Introdução. 3 - Potência de expoente inteiro. 4 - Potências de números Racionais,Irracionais e Reais.
PRÓXIMO TÓPICO: POTÊNCIAS DE NÚMEROS RACIONAIS,IRRACIONAIS,REAIS. Por enquanto ficaremos por aqui. No próximo artigo vamos descobrir algumas aplicações que envolvem as propriedades do triângulo Aritmético. Se você é aluno, professor, ou simplesmente um apaixonado pela matemática, e gostaria de cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, ou que seja relacionado à educação, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Mande um e-mail para
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BIBLIOGRAFIA: GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Ângela (org). Por trás da porta, que a matemática acontece. Campinas:UNICAMP , 2001. IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
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BIGODE, Antonio José Lopes, 1955 – Matemática hoje é feita assim / Antonio José Lopes Bigode, - São Paulo:FTD, 2000. 5a série. GIOVANNI, José Ruy; 1937 – A conquista da matemática – Nova / José Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998. IMENES, Luiz. ; LELLIS, Marcelo. Matemática. 5a a 8a série . Scipione, 1998.
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