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TEORIA DA PONTE CAPACITIVA ARTIGO IDEALIZADO E PRODUZIDO POR : KLEBER SALDANHA DE SIQUEIRA ( GRADUANDO EM FÍSICA PELA UFPB ) Da Eletrodinâmica de nível médio temos ciência de que podemos montar circuitoselétricos de medição(quando não temos ao nosso dispor instrumentos adequados para medição)para efetuarmos a medida de grandezas elétricas,como por exemplo corrente,tensão e resitência elétrica.E um exemplo bem claro destes circuitos de medição é o que chamamos de Ponte de Wheatstone que sem dúvida o amigo leitor já teve a oportunidade de estudar na fase final de conclusão do ensino médio.A Ponte de Wheatstone serve basicamente de ferramenta para descobrirmos o valor desconhecido de uma resitência elétrica qualquer.Na figura abaixo podemos ver claramente um destes circuitos. B R₁
R₄ R₅
R₃
R₂ A
V
Sabemos que esta configuração de resistores segue a seguinte lei: R ₁ R ₂ = ₃ R R ₄.Ou seja,se nós sabemos o valor de três resitências,saberemos sem maiores dificuldades o valor de uma quarta.Esta lei : R₁R₂ = R₃R₄,para ser verdadeira,leva em consideração o fato de que a Ponte de Wheatstone pode estar EQUILIBRADA ou NÃOEQUILIBRADA.Estando a ponte equilibrada verificase(através de um voltímetro ou multímetro)que a diferença de potencial entre os pontos A e B é nula,pois possuem o mesmo pontecial elétrico,fatalmente gerando a não circulação de corrente entre os pontos A e B.Já se a mesma não estiver equilibrada,a relação : R₁R₂ = R₃R₄ não se mostra verdadeira. Mas este circuito apresenta a inconveniente limitação de somente operar com resistores???É evidente que não!!!Podemos usar,por exemplo, a mesma teoria elétrica aplicada à Ponte de Wheatstone para descobrirmos o valor da capacitância de um capacitor desconhecido.Se não possuimos em mãos um capacímetro(instrumento para medir capacitâncias de capacitores)podemos usar sem problemas a:TEORIA DA PONTE CAPACITIVA para solucionar o nosso problema.
Observe atentamente a figura abaixo que nos mostra uma típica Ponte Capacitiva.
C₂
C₃ C₅
C₄
C₁
V
Vemos claramente que a configuração da ponte capacitiva segue o mesmo aspecto da Ponte de Wheatstone.Agora,visto o aspecto básico da ponte capacitiva,temos que provar o que foi afirmado anteriormente:que podemos utilizar a mesma teoria elétrica da Ponte de Wheatstone na ponte capacitiva para descobrirmos o valor de uma capacitância desconhecida em função de outras três capacitâncias conhecidas ou determinar o equilíbrio ou não da mesma.Então vamos lá.Observe a prova: C C₃
C₂ C₅
D
B C₄
C₁ A
V
Primeiramente,vamos olhar bem para esta ponte capacitiva e tirar algumas conclusões importantes.
Sabemos que: C₁ = Q ₁ , C₂ = Q ₂ , C₃ = Q ₃ , C₄ = Q ₄ U₁ U₂ U₃ U₄ Como também que: U₁ =(VB–VA) , U₂ =(VCVB) , U₃ =(VDVC) , U₄ =(VAVD) E sabemos muito bem que: Q₁=Q₄ e Q₂=Q₃ Pois C₁ e C₄ estão conectados em série,como também C₂ e C₃.Esta é uma das leis da associação de capacitores que diz:”capacitores ligados em série se eletrizam com as mesmas quantidades cargas”. Se:Q₁=Q₄ e Q₂=Q₃ .Então podemos fazer: C₁U₁=C₄U₄ e C₂U₂=C₃U₃ .Daí: C₁(VB–VA)=C₄(VAVD) equação (i) C₂(VCVB)=C₃(VDVC) equação (ii) Escolhendo agora,arbitrariamente,algum valor de V da primeira equação,vamos isolálo e substituílo na segunda equação.Vamos optar por VD e ver o que acontece.Veja: C₁VBC₁VA=C₄VAC₄VD ∴ VD=C ₄ VA+C ₁ VAC ₁ VB C₄ C₂VCC₂VB=C₃ C ₄ VA+C ₁ VAC ₁ – VC VB C₄ C₄C₂VCC₄C₂VB=C₃C₄VA+C₃C₁VAC₃C₁VBC₃C₄VC Admitindo agora que os pontos A e C da ponte possuem o mesmo potencial,vamos ver em que conclusão chegamos. C₄C₂VCC₄C₂VB=C₃C₄VA+C₃C₁VAC₃C₁VBC₃C₄VC → (Pois VA=VC) C₄C₂(VCVB)=C₃C₁(VAVB) C ₄ C ₂=(VAVB) ∴ Mas se VA=VC,então(VAVB)=(VCVB).Daí: C₃C₁ (VCVB) C ₄ C ₂=1 ∴ C ₄ C ₂ ₃ =C C ₁ C₃C₁
∴
PROVADO
Concluimos então,através de uma demonstração clara e precisa,que a lei que rege a ponte de resistores(Ponte de Wheatstone)é a mesma que rege a ponte de capacitores,ou seja: Quando os ponteciais elétricos nos pontos A e C da ponte forem equipotenciais(tiverem o mesmo potencial)valerá sempre a relação matemática → C ₄ C ₂ ₃ =C C ₁ .Agora,tendo esta relação em nosso poder,podemos dispor de uma ferramenta a mais na análise de circuitos capacitivos. Exercícios de Fixação 1Quais das seguintes pontes capacitivas estão em equilíbrio? a) b) c) 10μF
2,5μF
3μF
2μF
4μF 6μF
7μF
12V
2μF
9μF
2μF
6μF 8μF
1μF
5μF
12V
1μF
12V
d) e) f) 0,4μF
1μF 1,5μF
8μF
20μF
12V
50μF
5μF 4μF
5μF
1/2μF
12V
100μF
16μF
7μF 5μF
0,8μF
12V
2Qual deve ser o valor de x(medido em μF) para que as seguintes pontes capacitivas estejam em equilíbrio? a) b) 2x
(x+5)
(x+1)
x x/2
x² x
(x-2)
(x-3)
(x+1)
V
V
3Quanto vale a carga armazenada pelo capacitor de valor 5 no circuito abaixo?(todos os capacitores são medidos em μF e as resistências em Ω). 5 6
8
3 4,8
2
6
10 3
4Qual a capacitância equivalente entre os pontos A e B do circuito abaixo onde C representa 1μF.
1,6C A
2C
3C 4C
B
5C
1C 5,6C
7C
5O capacitor C₁ do circuito da figura abaixo pode ter a sua capacitância alterada deslocandose uma de sua placas e deixando a outra placa fixa.As placas do capacitor C₁ são paralelas e possuem 0,5mm² de área sendo inserido ar entre as mesmas.Sabendose que inicialmente as suas placas distam 1mm,o que nós devemos fazer para equilibrar o circuito da figura abaixo?Dado:ε₀ = 8,8∙10⁻¹²F/m
C₁
2μF 5μF
6μF
4μF
10V
6Qual a tensão no capacitor de 6C onde C=1μF?
6C
3C 5C
4C
9V
2C
7Determine a capacitância entre os pontos A e B da rede abaixo. Onde K=1μF. K/2
7K/8 B
K 3K
4K
A 8K
5K
9K
8Determine a capacitância equivalente entre os pontos A e B do circuito mostrado na fig.E25.11.Dado:C₁=2μF,C₂=4μF,C₃=8μF,C₄= 4μF.
Questão extraida do livro PROBLEMS IN PHYSICS FOR IIT PROBLEMAS DE FÍSICA PARA O IIT(INSTITUTO TECNOLÓGICO DA ÍNDIA) EDITORA ATLANTIC ÍNDIA 9Encontrar a capacidade C ₀ da bateria de condensadores iguais da figura(fig.161)abaixo.
fig(161)
Questão extraida do livro SELECTED PROBLEMS ON ELEMENTARY PHYSICS PROBLEMAS SELECIONADOS DE FÍSICA ELEMENTAR EDITORA MIR.MOSCOU
10Fezse um cubo de arame,e em cada aresta do mesmo ligouse um condensador de capacidade C (fig.162).Determine a capacitância equivalente entre os pontos A e B.
fig(162)
Questão extraida do livro SELECTED PROBLEMS ON ELEMENTARY PHYSICS PROBLEMAS SELECIONADOS DE FÍSICA ELEMENTAR EDITORA MIR.MOSCOU
GABARITO 1 a,d,e,f 2 a)6μF b)1,2μF 3 ≃ 30,75μC 4 ≃ 6,21μF 5 Aplicarmos uma distância de≃1,46∙10⁻¹⁰m entre as placas de C₁ 6 3,6V 7 ≃ 2,14K 8 8μF 9 C₀=2C 10 2C/3
