Plano De Aula - Relatividade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA INSTRUMENTAÇÃO PARA O ENSINO DE FÍSICA D Professor Paulo Roberto Magnano – [email protected] Acadêmico Claiton Montanha – [email protected] PLANO DE UNIDADE Tema Central: Relatividade Competências e Habilidades: • Ministrar uma aula que desperte o interesse e a curiosidade do alunos. Conteúds Programáticos: • Relatividade Introdução • Relatividae Conceitos • Transformada de Lorentz Recursos: • • • Lousa, giz e apagador Vídeos Simulações Duração: • 4 aulas - Aula 01 – Título: Relatividade - Introdução Objetivo: Ministrar uma aula que desperte o interesse e a curiosidade do alunos. Metodologia: Aula Expositiva. Recursos da aula: Giz Quadro negro TV – Exibição do vídeo - http://www.youtube.com/watch?v=0M7z1t4kdPM Avaliação: · Em sala de aula, os alunos serão avaliados a partir de sua participação e de seus questionamentos. · Os objetivos propostos para a aula serão avaliados após o término da aula e, caso não tenham sido atingidos, outras aulas e atividades serão utilizadas para que os objetivos sejam alcançados. Roteiro da aula: · Apresentação do tema aos alunos: Apresentação do tema aos alunos, recorrendo aos conteúdos estudados anteriormente. · Apresentação da pauta do dia aos alunos: Apresentação do conteúdo Apresentação de um vídeo – Teoria http://www.youtube.com/watch?v=0M7z1t4kdPM da Relatividade – o Tempo · Apresentação do desafio do dia: O desafio do dia é uma atividade final que deve ser resolvida pelos alunos, a fim de favorecer o aprendizado. · Desenvolvimento: História: * Newton Na mecânica de Newton, supõe-se que o espaço e o tempo são idéias completamente separadas e, além disso, o tempo é uma magnitude absoluta, sujeita de uma definição precisa independente do sistema de referência. As leis de Newton são invariantes em qualquer referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um referencial inercial. Para as leis de Newton, não existe uma posição especial ou privilegiada para medir o espaço e o tempo, como também não existe nenhuma velocidade especial ou privilegiada para o referencial (inercial) usado nas medidas. Introdução a relatividade A Física parecia quase que totalmente descoberta no fim do século XIX. Acreditavase que o éter envolvia todas as coisas e, as ondas de rádio e os raios de luz se propagavam nesse meio, assim como o som se propaga no ar por ondas de pressão. Também era entendido que a luz movendo-se com uma velocidade fixa através do éter, e um móvel movendo-se através do éter no mesmo sentido e direção que a luz, este móvel deveria parecer mais lento. E, outro móvel movendo-se através do éter no sentido oposto à luz deveria parecer mais rápido. Várias experiências foram realizadas para comprovar esta teoria, mas todas falhavam neste propósito. Uma das experiências mais famosas foi realizada por Albert Michelson e Edward Morley, nesta experiência realizada com muita precisão e vários cuidados, foi provada a inexistência do éter. Muitas teorias foram apresentadas para tentar adequar o éter a estas experiências. Uma teoria apresentada pelos Físicos George Fitzgerald e Hendrik Lorentz, sugeria que os corpos em movimento através do éter se contrairiam e que os relógios se retardariam. Fitzgerald e Lorentz acertaram em sugerir a contração do espaço e a dilatação do tempo, mas erraram em continuar afirmando a existência do éter. Em junho de 1905, Albert Einstein, físico Alemão nascido em Ulm, apresentou um artigo que resolveria estes conflitos. Ele propôs que o éter não era necessário para explicar o movimento dos corpos, que as leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais e que a velocidade da luz no vácuo é constante nestes referenciais. A teoria apresentada por Einstein em 1905 foi complementada por outro artigo publicado por ele em 1917. Logo, a Relatividadeé formada por duas Teorias: 1) Teoria da Relatividade Restrita ou teoria da Relatividade Especial (1905): s leis da Física são as mesmas em todos os sistemas de referência inercial. 2) Teoria da Relatividade Geral (1917) que se refere a referenciais acelerados e aos campos gravitacionais: a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor para qualquer referencial inercial, ou seja, c = 300 000 km/s. Relatividade de Galileu Uma das mais importantes contribuições de Galileu foi a formulação do conceito de inércia. O movimento de um corpo deixa de necessitar de uma força que esteja sempre a actuar sobre ele. Vem por em causa ainda o preconceito aristotélico que confundia força com velocidade. Segundo esta lei, um movimento rectilíneo e uniforme é tão natural como o estado de repouso. Ou seja se não actuarmos sobre um corpo uma força, este ou permanece parado ou move-se com um movimento rectilíneo e uniforme. O conceito de movimento uniforme e de repouso são conceptualmente idênticos. É de notar que esta lei é depois aproveitada por Newton com a sua primeira lei, ou lei da inércia. O conceito de inércia leva-nos então ao conceito de referencial inercial e ao princípio da relatividade de Galileu: As leis da mecânica são as mesmas em qualquer sistema de referência inercial. Ao dizermos qualquer sistema de referência inercial, incluímos todos os sistemas de referência que se desloquem com velocidades constantes relativamente a um determinado sistema de inércia. - Aula 02 – Título: Relatividade - Conceitos Objetivo: Ministrar uma aula que desperte o interesse e a curiosidade do alunos. Metodologia: Aula Expositiva. Recursos da aula: Giz Quadro negro Avaliação: · Em sala de aula, os alunos serão avaliados a partir de sua participação e de seus questionamentos. · Os objetivos propostos para a aula serão avaliados após o término da aula e, caso não tenham sido atingidos, outras aulas e atividades serão utilizadas para que os objetivos sejam alcançados. Roteiro da aula: · Apresentação do tema aos alunos: Apresentação do tema aos alunos, recorrendo aos conteúdos estudados anteriormente. · Apresentação da pauta do dia aos alunos: Apresentação do conteúdo · Apresentação do desafio do dia: O desafio do dia é uma atividade final que deve ser resolvida pelos alunos, a fim de favorecer o aprendizado. · Desenvolvimento: Conceitos: Evento: • Um evento é algo que acontece em algum lugar, em algum instante. • O seu nascimento, ou a emissão de um flash por uma máquina fotográfica, são exemplos de eventos. Observador: • Um observador é alguém que observa e descreve eventos. • Observadores distintos podem descrever o mesmo evento de maneira diferente. Referencial: • Para descrever um evento com precisão, um observador utiliza um sistema de referência, ou referencial. • Um referencial é constituído de um sistema de coordenadas de posição, utilizadas para especificar o lugar em que o evento ocorre, e de uma escala temporal, utilizada para especificar o instante em que o evento ocorre. • Posições podem ser determinadas com uma régua (para medir distâncias) e um teodolito (para medir ângulos). Tempos podem ser medidos com um relógio. Assim, concretamente, podemos associar um referencial a um observador equipado de uma régua, um teodolito e um relógio. • Observadores distintos podem atribuir ao mesmo evento posições diferentes e tempos diferentes. Espaço-tempo: • No estudo da relatividade, é frequentemente conveniente juntar o espaço de posição (tridimensional) e a escala de tempo (unidimensional) para formar um único espaço, chamado espaço-tempo (tetradimensional). • A cada evento está associado um ponto no espaço-tempo. • A história de um ente qualquer pode ser considerada como uma sucessão contínua de eventos. Portanto, tal história é representada no espaço-tempo por uma linha contínua, chamada linha de mundo do ente. Diagrama de Minkowski: • O espaço-tempo de eventos e as linhas de mundo de entes físicos, podem ser visualizados através de um diagrama de Minkowski. • Não é possivel desenhar em quatro dimensões, portanto precisamos "esquecer" no mínimo uma das direções na posição para fazer um diagrama de Minkowski. • Já que uma folha de papel, ou a tela do computador, são superfícies bidimensionais, uma maior claridade é obtida no desenho se pudermos "esquecer"duas direções na posição. A condição para que isto seja possível é que todos os eventos considerados aconteçam no espaço sobre a mesma linha reta. Isto será o caso para todas as situações concretas consideradas neste texto. • Num diagrama de Minkowski, um evento é representado por um ponto, cujo tempo de ocorrência está dado em abscissa e cuja posição está dada em ordenada. • Num diagrama de Minkowski, a linha de mundo de um ente indica a variação da posição do ente como função do tempo. • Como será visto na apresentação do postulados da Relatividade Restrita, a velocidade da luz no vácuo possui um papel de destaque nesta teoria, por tratar-se de uma constante universal. Por esta razão, é conveniente utilizar uma unidade de distância relacionada com a unidade de tempo de maneira que a velocidade da luz seja igual a um. Um exemplo de uma unidade de distância deste tipo, comumente utilizada na Astronomia, é o ano-luz, que vem a ser a distância percorrida pela luz num ano. Obviamente, a velocidade da luz é então um ano-luz por ano. • Com tais unidades, durante um intervalo de tempo unitário, um pulso de luz se desloca uma distância unitária. Consequentemente, as linhas de mundo de pulsos de luz são retas inclinadas a 45 graus num diagrama de Minkowski. • Também veremos que, de acordo com a Relatividade Restrita, nenhum corpo pode mover-se com velocidade superior à da luz. Portanto, num diagrama de Minkowski, nenhuma linha de mundo pode ter inclinação superior a 45 graus em relação à horizontal. • Já que as coordenadas de posição e de tempo dependem do referencial, deve-se sempre especificar qual observador está medindo os valores representados em abscissa e ordenada num diagrama de Minkowski. Dois Postulados A teoria da relatividade especial é construída a partir do postulado de covariância (ou princípio da relatividade de Einstein) e do postulado da velocidade da luz: As relações matemáticas que expressam as leis físicas têm a mesma forma em todos os referenciais inerciais. O módulo da velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Sob as transformadas de Galileu, as leis da mecânica clássica são covariantes mas as leis do eletromagnetismo clássico não são. A teoria da relatividade especial é construída estendendo a exigência de covariância às leis do eletromagnetismo clássico. Desse modo, as coordenadas de posição e tempo de diferentes referenciais inerciais passam a ser relacionadas não mais pelas transformadas de Galileu e sim, pelas transformadas de Lorentz. Como conseqüência, as expressões matemáticas que expressam certas leis da mecânica são substituídas por outras, com implicações muito interessantes. Por outro lado, como o módulo da velocidade da luz (ou de qualquer outra radiação eletromagnética) pode ser calculado com as expressões matemáticas que representam as leis do eletromagnetismo clássico, esse módulo deve ter o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. - Aula 03 – Título: Relatividade - Conceitos Objetivo: Ministrar uma aula que desperte o interesse e a curiosidade do alunos. Metodologia: Aula Expositiva. Recursos da aula: Giz Quadro negro TV – Exibição do vídeo - http://www.youtube.com/watch?v=WvhXxV1IJB8 Avaliação: · Em sala de aula, os alunos serão avaliados a partir de sua participação e de seus questionamentos. · Os objetivos propostos para a aula serão avaliados após o término da aula e, caso não tenham sido atingidos, outras aulas e atividades serão utilizadas para que os objetivos sejam alcançados. Roteiro da aula: · Apresentação do tema aos alunos: Apresentação do tema aos alunos, recorrendo aos conteúdos estudados anteriormente. · Apresentação da pauta do dia aos alunos: Apresentação do conteúdo Apresentação de um vídeo – Universo Mecânico – http://www.youtube.com/watch? v=WvhXxV1IJB8 · Apresentação do desafio do dia: O desafio do dia é uma atividade final que deve ser resolvida pelos alunos, a fim de favorecer o aprendizado. · Desenvolvimento: Transformadas de Lorentz As transformadas de Lorentz podem ser discutidas considerando-se os referenciais inerciais R e R’ com eixos paralelos, R' se movendo em relação a R com velocidade v e origens coincidentes em t = t' = 0. Segundo as transformadas de Galileu, x' = x − vt. Essa expressão não está de acordo com o postulado que estabelece que o módulo da velocidade da luz no vácuo é o mesmo em todos os referenciais inerciais. De qualquer forma, é apropriada se v << c, ou seja, para os fenômenos descritos pela mecânica clássica. Por isso, a transformada apropriada para valores arbitrários de v deve ter a forma: [1] x' = γ ( x − vt ) com o fator gama tendendo à unidade para v << c. Pela mesma razão, a transformada inversa pode ser escrita: x = γ ( x' + vt' ) Agora, se um raio de luz é emitido em t = t’ = 0 por uma fonte em x = x’ = 0, ele atinge a posição x’ = ct’ no referencial R’ e a posição x = ct no referencial R no instante de tempo t. Aqui deve-se observar que, tanto em R' quanto em R, o módulo da velocidade da luz é c, de acordo com o postulado da velocidade da luz. Com isso, as expressões acima ficam, respectivamente: [2] ct' = γ ( c − v ) t ct = γ ( c + v ) t' Isolando a variável t’ numa dessas expressões e substituindo-a na outra vem, depois de um pouco de álgebra: e com x' = ct' e x = ct nas expressões [1] e [2]: Estas são as transformadas de Lorentz para a situação particular representada na figura. De qualquer modo, essas transformadas permitem calcular as coordenadas de posição e tempo no referencial R’ a partir das coordenadas de posição e tempo no referencial R. Transformadas de Lorentz As transformadas de Lorentz podem ser discutidas considerando-se os referenciais inerciais R e R’ com eixos paralelos, R' se movendo em relação a R com velocidade v e origens coincidentes em t = t' = 0. Segundo as transformadas de Galileu, x' = x − vt. Essa expressão não está de acordo com o postulado que estabelece que o módulo da velocidade da luz no vácuo é o mesmo em todos os referenciais inerciais. De qualquer forma, é apropriada se v << c, ou seja, para os fenômenos descritos pela mecânica clássica. Por isso, a transformada apropriada para valores arbitrários de v deve ter a forma: [1] x' = γ ( x − vt ) com o fator gama tendendo à unidade para v << c. Pela mesma razão, a transformada inversa pode ser escrita: x = γ ( x' + vt' ) Agora, se um raio de luz é emitido em t = t’ = 0 por uma fonte em x = x’ = 0, ele atinge a posição x’ = ct’ no referencial R’ e a posição x = ct no referencial R no instante de tempo t. Aqui deve-se observar que, tanto em R' quanto em R, o módulo da velocidade da luz é c, de acordo com o postulado da velocidade da luz. Com isso, as expressões acima ficam, respectivamente: [2] ct' = γ ( c − v ) t ct = γ ( c + v ) t' Isolando a variável t’ numa dessas expressões e substituindo-a na outra vem, depois de um pouco de álgebra: e com x' = ct' e x = ct nas expressões [1] e [2]: Estas são as transformadas de Lorentz para a situação particular representada na figura. De qualquer modo, essas transformadas permitem calcular as coordenadas de posição e tempo no referencial R’ a partir das coordenadas de posição e tempo no referencial R. - Aula 04 – Título: Relatividade - Conceitos Objetivo: Ministrar uma aula que desperte o interesse e a curiosidade do alunos. Metodologia: Aula Expositiva. Recursos da aula: Giz Quadro negro Avaliação: · Em sala de aula, os alunos serão avaliados a partir de sua participação e de seus questionamentos. · Os objetivos propostos para a aula serão avaliados após o término da aula e, caso não tenham sido atingidos, outras aulas e atividades serão utilizadas para que os objetivos sejam alcançados. Roteiro da aula: · Apresentação do tema aos alunos: Apresentação do tema aos alunos, recorrendo aos conteúdos estudados anteriormente. · Apresentação da pauta do dia aos alunos: Apresentação do conteúdo · Apresentação do desafio do dia: O desafio do dia é uma atividade final que deve ser resolvida pelos alunos, a fim de favorecer o aprendizado. · Desenvolvimento: Contração de Lorentz Sejam R e R' dois referenciais inerciais com eixos paralelos e com R’ se movendo ao longo do eixo X de R com velocidade v. Para discutir a contração de Lorentz seja, ainda, uma régua paralela à direção do movimento relativo dos referenciais e em repouso em R', com extremidades nas posições x'1 e x'2. Em R, a régua está em movimento com extremidades em x 1 e x2. Pelas transformadas de Lorentz: x'1 = γ ( x1 − vt1 ) x'2 = γ ( x2 − vt2 ) O comprimento da régua é dado, respectivamente, em R' e R, por: L0 = x'2 − x'1 L = x2 − x1 com as posições das extremidades determinadas no mesmo instante, ou seja, com t 1 = t2. Desta forma, as expressões acima fornecem: L0 = γ L Aqui, L0 representa o comprimento próprio da régua, ou seja, o comprimento no referencial em que ela está em repouso. Ainda, como v < c vem γ > 1 e L0 > L. Em palavras: o comprimento da régua medido num referencial inercial qualquer é sempre menor do que o comprimento medido num referencial inercial em relação ao qual ela está em repouso. Isso é o que se chama de contração de Lorentz. Para um objeto qualquer, a contração de Lorentz está associada à dimensão paralela à direção da velocidade relativa dos referenciais considerados. Nesse sentido, as dimensões dos objetos são relativas e não absolutas, isto é, dependem do referencial considerado. A contração de Lorentz não vem de qualquer mudança nas distâncias entre os constituintes básicos dos objetos devido a alguma mudança nas forças de interação. A contração de Lorentz é, sim, conseqüência da própria natureza do espaço. A experiência de michelson-morley Michelson e Morley tentaram provar que a luz, a semelhança do som, exigia um meio para se propagar: o éter. E imaginaram que a Terra, em seu movimento, não transportasse o éter. Ou seja, o éter, tal e qual o ar que envolvia o trem, no item anterior, seria imóvel em relação ao espaço sideral. "Sendo a luz um fenômeno ondulatório", esperavam encontrar uma velocidade constante em relação ao éter; e, graças ao movimento da Terra, observadores eqüidistantes a uma fonte de luz deveriam receber a luz em tempos diferentes. Ou seja, em relação a um referencial localizado em terra firme, a velocidade da luz seria diferente conforme a direção considerada. Qual não foi a surpresa quando constataram, através de um instrumento muito "bem bolado", o interferômetro de Michelson e Morley, que tal não acontecia. A teoria ondulatória da luz estava em seu auge e ninguém teve a coragem de negá-la; ou ninguém talvez tenha suspeitado que Newton, dois séculos atrás, poderia estar com a razão. As tentativas para explicar o achado de Michelson e Morley foram todas focalizadas para a estrutura do éter. Afinal, ele poderia estar se movendo junto com a Terra, tal e qual o ar no interior de um trem fechado. Mas a coisa não era tão simples assim. O éter, que fora criado para sustentar a teoria ondulatória da luz, estava atrapalhando-a tremendamente. E a saída para este dilema foi encontrada por Einstein: o éter não interfere na propagação da luz. Esta propaga-se a uma velocidade sempre constante, independentemente do referencial, do observador, da fonte e de tudo o mais. E esta constante era mais do que isso: era uma constante universal c que encaixava-se, perfeitamente, com as equações do eletromagnetismo.