Transcript
Modelo do Pistão Plano
Transdutor circular Comportamento de pistão plano: a >> λ EIXO DE SIMETRIA
ONDA PLANA ONDA DE BORDA
TRANSDUTOR PIEZOELÉTRICO
2a
onda contínua onda pulsada
Modelo do pistão plano x
dS
ψ
r θ
σ y
Q(R , θ , t )
a refletor perfeito
R z
Pistão plano – meio fluido Considerando uma fonte idealizada tipo pistão plano irradiando num fluido, o movimento da partícula é irrotacional e pode ser usado o potencial de velocidade escalar φ. A pressão p e a velocidade v são:
∂φ p = ρ0 ∂t
e
v = − gradφ
respectivamente, onde ρ0 é a
densidade de equilíbrio. Usando o princípio de Huygen, Rayleigh expressou o potencial de velocidade devido a uma fonte com forma arbitrária, como:
1 φ ( R, t ) = 2π
vn (t − r / c) dS onde, vn é a velocidade normal à S r
superfície do elemento de área dS no tempo r/c antes da estimativa de φ e r é a distância até um ponto Q no campo de pressão.
Resposta impulsiva O cálculo do campo de pressão para uma fonte tipo pistão vibrando com uma velocidade arbitrária é feito a partir de um movimento impulsivo. Considerando a velocidade vn uniforme na face do pistão, então:
vn (t − r / c) = vn (t ) * δ (t − r / c) Assim, o potencial de velocidade torna-se:
φ ( R, t ) = vn (t ) *φi ( R, t ) onde,
1 φi ( R, t ) = 2π
δ (t − r / c) S
r
dS
exemplo de vn(t)
A equação de Rayleigh pode ser reduzida a uma integral simples após uma mudança de variáveis. Considerando a figura abaixo, tem-se:
dS = Ω(r ) LdL
dL
S
r 2 = x 2 + L2
L
r
rdr = LdL
Ω(r) x
Q
logo,
dS = Ω(r )rdr
dS
r2
1 Ω(r )δ (t − r / c) φi ( R, t ) = rdr r 2π r1 r1 é a menor distância entre a superfície S e o ponto Q e r2 a maior distância
Em termos do tempo de trânsito r/c, tem-se: r
1 2 φi ( R, t ) = Ω(r )δ (t − r / c)cd ( r / c) 2π r1 isto é,
cΩ(ct ) φi ( R, t ) = 2π =0
se r1 < ct < r2 caso contrário
Q
y r a
dS x
z
potencial de velocidade para a velocidade da face do pistão v(t):
φ ( R, t ) = v(t ) ∗ φi ( R, t ) resposta impulsiva de pressão no ponto Q:
Pressão no ponto Q:
∂φi ( R, t ) pi ( R, t ) = ρ 0 ∂t
p( R, t ) = v(t ) ∗ pi ( R, t )
Resposta impulsiva do potencial de velocidade φi no ponto Q:
c φi ( R, t ) = Ω(ct ) 2π x
Q(x,y)
[(a − y ) 2 + x 2 ]1/ 2 t1 = c
r 2= c.t 2 r = c.t r 1 = c.t1 O a
x t0 = c
Ω (c.t)
y
[(a + y ) 2 + x 2 ]1/ 2 t2 = c
Expressões para os ângulos dos arcos na face do pistão circular plano Região
Limite de Tempo t0 ≤ t < t1
face do pistão (y < a)
t1 ≤ t < t2 t 0 = t = t1
borda do pistão (y = a)
t1 < t ≤ t2 t0 ≤ t < t1
fora do pistão (y > a)
t1 ≤ t ≤ t2
Ω(ct) 2π 2 cos
−1
c 2t 2 − x 2 + y 2 − a 2 2 y ( c 2t 2 − x 2 )1 / 2
π 2 cos
−1
( c 2t 2 − x 2 )1 / 2 2a
0 2 cos
−1
c 2t 2 − x 2 + y 2 − a 2 2 y (c 2 t 2 − x 2 ) 1 / 2
Resposta impulsiva- pistão circular plano face do pistão
.t
1
φi
p 1
Q'
0
0
t1= t 2
t0
(a)
t0
onda plana
0
t1
t0
t1
(b)
(c)
p 1
onda de borda
tempo
tempo
(d)
p=vn( t ) ∗ p i
i
1 ondas de borda
0
0 0 t2 (a)
p=vn( t ) * pi
-1
tempo
face do pistão Φi t1 1
.t
1
-1
0
t1= t 2
Q'
i
t0 t 1 tempo (b)
t2
0 t 0.2 0
t1
t2 -1 tempo (c)
t0
t2
t1
onda plana tempo (d)
na borda face do pistão
.Q'
t0 = t 1
pi
Φi
p=vn( t ) * p i
0,5
0,5
0,6
0
t2
0
t 0 = t1
(a) fora da face do pistão
. Q'
t1
t2
0 0,1
t0
t2
t2
-0,6
t0
tempo
tempo
tempo
(b)
(c)
(d)
p
Φi 0,25
p=vn( t ) * p i
i
0,15
0,05
ondas de borda 0 t2 (a)
0
t2
t1 tempo (b)
-0,02
0 t1
t2
t1
t2
-0,1
tempo
tempo
(c)
(d)
Pressão no eixo acústico
Simulação
4
Pistão circular com 19 mm de diâmetro e velocidade da face igual a 1 ciclo de senóide com freqüência de 2,25 MHz
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2
3
4
5
6
7
8
9 x 10
Experimental
1.5
10 -6
1
Tx (2.25 MHz)
0.5
19mm
0
Rx (0.2 mm)
-0 . 5
5mm
-1
-1 . 5
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 x 10
-6
Pressão num ponto a 5 mm da face do pistão circular e 2 mm fora do eixo acústico
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 x 10
-6
Simulação da onda acústica gerada, no instante 5µs, por um pistão plano de 9.5 mm de raio excitado com um ciclo de senóide na freqüência de 1 MHz
Campo acústico simulado para um transdutor de 9.5 mm de raio e freqüência de 1 MHz em modo transiente (teórico)
Campo acústico produzido por um transdutor de 9.5 mm de raio e freqüência de 1 MHz em modo transiente (experimental)
Comparação entre o campo acústico teórico e experimental
Pressão axial
Resposta pulso-eco θ (y)
x
b
obstáculo
r=ct
transdutor
(yoff , 0) a
0
y Ω(ct)
[(
)
2 θ ( y ) = 2 cos −1 y 2 + yoff − b 2 / 2 yyoff
]
K r ρ0 ∂φi ∂φi E (t ) = − * v(t ) ∗ 2c0 ∂t ∂t
Eco de um refletor pontual Kr = constante do transdutor
Eco de um refletor de raio b que intercepta o eixo do emissor
E (t ) =
ρ0 2
b + yoff
v(t ) ∗ ℜ 0
se y > b-yoff
∂φi ∂φi * θ ( y ) ydy ∂t ∂t
2 θ ( y ) = 2 cos −1 [( y 2 + yoff − b 2 )/ 2 yyoff ]
θ(y) = 2π
se y ≤ b-yoff
Eco de um refletor de raio b fora do eixo do emissor
E (t ) =
ρ0 2
b + yoff
v(t ) ∗ ℜ
onde,
yoff
∂φi ∂φi * θ ( y ) ydy ∂t ∂t −b 2 θ ( y ) = 2 cos −1 [( y 2 + yoff − b 2 ) / 2 yyoff ]
6
x 10
-7
4
Tx/Rx
2
0.2mm
0
19mm
-2
-4
5mm
-6 0 .4
0 .6
0 .8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2 x 10
1. 5
x 10
-5
-4
Tx/Rx
1
0. 5
4mm
19mm
0
-0. 5
5mm
-1
-1. 5 0. 4
0. 6
0. 8
1
1. 2
1 .4
1 .6
1 .8
2
2 .2
2. 4 x 10
-5
Modelos mais sofisticados: elementos finitos Campo de pressão (instante t = 4 µs)
água
transdutor
eixo de simetria
t = 7 µs
t = 9 µs
