Pfeil, Walter - Pontes Em Concreto Armado

+ <5) ■sen (cp — a) 1+ I cos ô ■cos a ka (3.10.3) oc = inclinação do aterro sobre o plano horizontal <5 = ângulo de atrito entre o aterro e a superfície vertical. Considerando, na Form. 3.10.3, a = (p, ô = 0, obtemos k a = 1, cerca de três vezes superior ao valor obtido com terreno horizontal. No caso de pilares ou paredes de encontros situados nos aterros de acesso à o*>ra, são adotadas as seguintes larguras de atuação do empuxo de terra [5.2]; largura real largura d e cálculo 1m 1 m < b <'f3 m b > 3m 3b P < 3m b 72 — PONTES EM CONCRETO ARMADO A largura é majorada, no caso de peças finas, por causa de um efeito de arco, que aumenta a resistência do pilar ao movimento do terreno, provocando acrés­ cimo do empuxo. No caso de estacas ou tubulões, cravados ou escavados em terreno natural resistente e estável, pode-se dispensar a consideração do empuxo de terra, sobre as estacas ou tubulões [5.2]. 3.11 DESLOCAMENTO DAS FUNDAÇÕES As fundações das pontes são em geral dimensionadas para apresentarem recal­ ques diferenciais pequenos, que produzem nas estruturas efeitos de pequena monta. Assim, quando se projeta uma ponte em vigas continuas, não se consideram des­ locamentos relativos das fundações como um caso de solicitação para projeto. As obras em concreto tem capacidade de adaptação, por fluência, aos recalques diferenciais das fundações, ocorridos no início da vida da obra. Existem casos excepcionais em que os deslocamentos das fundações devem ser previstos no projeto, como, por exemplo, obras situadas em encostas sujeitas a deslizamentos lentos. Em zonas carboníferas ocorrem, por vezes, recalques bruscos de vários cen­ tímetros nas fundações das obras. Nestes casos, as pontes devem ser projetadas com estruturas estaticamente determinadas, prevendo-se nichos para colocação de macacos destinados a renivelar os tabuleiros. 3.12 ESFORÇOS PRODUZIDOS POR DEFORMAÇÕES INTERNAS A quantificação dos esforços produzidos por deformação internas da estrutura é feita com base em dados obtidos experimentalmente. Adiante transcrevemos o texto pertinente da Norma NB1: 3.1.1.4 Variação de temperatura “Supõe-se, para o cálculo, que as variações de temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo quando a desigualdade dessas variações, entre partes diferentes da estrutura, seja muito acentuada. O coeficiente de dilatação térmica do con­ certo armado é considerado igual a 10“ 5 por grau centígrado, salvo quando determinado especificamente para o concreto a ser usado. A variação de temperatura da estrutura, causada pela variação de tempera­ tura da atmosfera, depende do local da obra e deverá ser considerada entre ± 10° e + 15°C em torno da média. Para peças maciças ou ocas com espaços vazios, inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja maior que 70 cm, admitir-se-á que essa oscilação seja reduzida respectivamente para + 5°C ± 10°C; para as peças cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm será feita interpolação linear entre aqueles valores e estes. Em peças permanentemente envolvidas por terra ou água e em edifícios que não tenham, em planta, dimensão não interrompida por junta de dilatação maior que 30 metros, será dispensado o cálculo da influência da variação de tempe­ ratura.” SOLICITAÇÕES DAS PONTES 3.1.1.5 — 73 Retração A deformação específica de retração do concreto será considerado, nos casos correntes, igual a 15 x 10 ~5, salvo nos arcos e abóbodas, com menos de 0,5% e 0,1% de armadura, onde esse valor será aumentado respectivamente para 20 x 10~5 e 25 x 10“ 5. Valores especiais dessa deformação serão usados quando ocorrerem condições excepcionais, como as relativas ao ambiente ou à composi­ ção do concreto. 3.1.1.6 Deformação lenta Quando for necessário levar em conta a deformação lenta do concreto na determinação dos esforços solicitados, poderá ela ser considerada como estipu­ lado na NB 116. Para o cálculo da deformação transversal, permite-se a simpli­ ficação do item 4.2.3.1.2. A consideração da deformação lenta será obrigatória nos arcos e abóbadas com coeficiente de segurança à flambagem menor que 5. 3.13 CARGA NO GUARDA-CORPO A carga de cálculo do guarda-corpo das pontes é um esforço horizontal de 80kgf/m aplicado no corrimão. 3.14 CARGA NO GUARDA-RODAS O guarda-rodas das pontes rodoviárias é dimensionado para uma carga horizontal igual ao peso da roda do veículo, aplicada na aresta superior do guardarodas e suposta atuando numa extensão de 100 cm. 3.15 PROTEÇÃO DE PILARES OU PAREDES Segundo a NB2, os pilares ou paredes de pontes sobre estradas de rodagem deverão ser convenientemente protegidos contra choques de veículos. Esta pro­ teção pode ser feita por meio de barreiras de concreto armado. Outras normas especificam a verificação da resistência do pilar para cargas horizontais representativas de choques acidentais de veículo. 3.16 ATRITO NOS APOIOS /x consideração do atrito nos apoios como carga de cálculo eventual das pontes acha-se esclarecida no item 15 da NB2 que adiante transcrevemos: “15. Os esforços correspondentes ao atrito nos apoios, que geralmente não afetam de modo apreciável a superestrutura, devem sempre ser considerados no cálculo dos aparelhos de apoio, pilares e encontros, admitindo-se que a força de atrito seja de 3% nos apoios de rolamento e 20% nos apoios de escorregamento, da reação devida à carga permanente e à carga móvel, sem levar em conta o efeito do impacto vertical. Permite-se levar em conta os efeitos favoráveis dessas forças de atrito sobre 74 — PONTES EM CONCRETO ARMADO os apoios, adotando-se valores iguais à metade dos acima fixados. Esse efeito favorável, todavia, não pode ser superior à metade da força longitudinal total.” 3.17 SOLICITAÇÕES PROVOCADAS PELAS CARGAS As cargas utilizadas no projeto das pontes produzem solicitações nas seções dos diversos elementos estruturais componentes da obra. O cálculo dessas soli­ citações é feito mediante uma análise do sistema, considerando a geometria das peças e as propriedades elásticas dos materiais. Nas obras de concreto armado estaticamente indeterminadas, é usual fazer-se um cálculo bastante simplificado das solicitações, considerando o material como homogêneo e elástico. As cargas de peso próprio, e as demais especificadas nas normas, correspon­ dem às condições de utilização em serviço. Na primeira metade do século, fazia-se o dimensionamento do concreto armado com as solicitações correspondentes ao estado de utilização em serviço, comparando-se as tensões calculadas com valores admissíveis especificados. Esse critério de dimensionamento, denominado teoria clássica do concreto armado, foi abandonado porque as tensões calculadas em serviço não têm confiabilidade, nem representam os principais parâmetros de comportamento da estrutura. As solicitações provocadas pelas cargas em serviço são, entretanto, utili­ zadas, ainda hoje, para verificar, de maneira aproximada, certos critérios de comportamento em serviço, tais como: fissuração, flechas, flutuações de tensões nas armaduras. 3.18 ESTADOS LIMITES PARA O DIMENSIONAM ENTO DAS SEÇÕES 3.18.1 Conceito dos estados limites Modernamente, o dimensionamento das seções de concreto armado é feito num estado limite, representando o colapso ou uma condição de deformação exagerada. São usados dois tipos de estado limite [18]: a) Estado limite último — os materiais, concreto e aço, são solicitados com tensões iguais às respectivas resistências características, respeitando-se os limites de deformação unitária fixados arbitrariamente. Os coeficientes de segurança são aplicados exclusivamente às solicitações S, e a resistência interna R da seção se exprime em função da resistência caracteristica permanente do concreto (0,85f ck) e do valor característico do limite de escoamento do aço ( f k), utiliza-se assim a equação de esta­ bilidade: R(0,85 f ck, f yk) > y S (3.18.1) b) Estado limite de projeto — Derivado do estado limite último, mantendose os mesmos limites arbitrários de deformação unitária, e solicitando-se os materiais com tensões de projeto que são iguais às tensões caracte- SOLICITAÇÕES DAS PONTES — 75 nsticas divididas por coeficientes de segurança especificos dos materiais. No estado limite de projeto, os coeficientes de segurança são desdobrados, e a equação de estabilidade pode ser escrita sob a forma: S (3.18.2) Utilizando notações simnlificadas, obtemos: (3.18.2a) R ( f c, f s) > S d 3.18.2 Coeficientes de segurança no estado limite último As normas americanas [3] e alemãs [5] utilizam o estado limite último, fazendo variar o coeficiente de segurança em função de dois fatores: a) tipo de ruptura — as rupturas do tipo dútil (por excoamento da arma­ dura) podem ter coeficiente de segurança inferior ao adotado nos casos de ruptura do tipo frágil (por esmagamento do concreto), uma vez que, no primeiro caso, a ruptura é precedida de avisos facilmente perceptíveis, como fissuração, flechas etc. b) combinações de cargas — as combinações menos prováveis de cargas podem ter coeficientes de segurança menores que as combinações mais prováveis. 3.18.3 Combinações de cargas da norma A A SH T O /3/ A norma rodoviária americana considera, no estado limite, as combinações de carga do Quadro 3.18.1. Para levar em conta a influência do tipo de ruptura, as resistências caracte­ rísticas dos m a té ria «ão reduzidas, multiplicando-as pelos coeficientes: flexão...................... 0,90 3.18.4 cisalhamento.......... 0,85 compressão .......... 0,70. Combinações de cargas da norma DIN 1072 São denominadas cargas principais: — — — — carga permanente, carga móvel, efeitos de retração e fluência do concreto, efeitos de recalques prováveis das fundações. [ 5 .2 J $ O H X cn < < «cC w toa E Õ » 3 e i » s * £ o , o g? 'O CO*3 'O >3 «C ~ S »■ 5 2,'C 3 £ I £■»’ ? '§5 J3 o o o o o 0-00 0 0 —0 0 —o o o í h» o o —o o —o o o S? ‘ «3 ——o o o o o —— >3 - o ----- o co co co co —o o o 0 0 —0 0 2 3 Qa I*. —o ——o 9- —o —o kj t* >> - 0,75 para dimensionamento de colunas, no caso de carga axial mínima e momento máximo. /y = 1 ,0 nos demais casos. f f) 1,3 para o cálculo de empuxo lateral de terra exceto quando o empuxo é estabilizante (neste caso jiE = 0,5). PE = 1,0 para pressão vertical de terra. fj = QUADRO 3.18.1 76 PONTES EM CONCRETO ARMADO OOOOO CO r i J SOLICITAÇÕES DAS PONTES - 77 Os coeficientes de segurança adotados para cargas principais sâo: 1,75 — caso de ruptura dútil (com aviso) 2,10 — caso de ruptura frágil (sem aviso). São denominadas cargas suplementares: — — — — — — vento, neve, temperatura, frenagem, atrito nos apoios, efeitos de recalques possíveis. Os coeficientes de segurança adotados nas combinações de cargas principais e suplementares são iguais aos indicados acima multiplicados por 0,9. Casos especiais de cargas, provenientes de fases construtivas das obras, são combinadas com as cargas principais ou principais + suplementares, adotando-se os coefi­ cientes já indicados para esses grupos. As normas alemãs consideram ainda uma carga excepcional decorrente do impacto de um veículo numa peça da estrutura. A verificação dessa carga excep­ cional, somada com as cargas principais, é feita no estado limite último, com coeficiente de segurança y = 1,00. 3.18.5 Coeficientes de segurança no estado limite de projeto O estado limite de projeto foi muito divulgado após sua adoção pelas Recomendações do CEB [2.1], tendo sido adotado por algumas normas nacionais [1-1]A vantagem do coeficiente de segurança desdobrado está em permitir coefi­ cientes diferentes para cada um dos materiais do concreto armado. Assim, o aço, sendo um material dútil, tem um coeficiente de segurança pequeno; já o con­ creto, sendo um material de ruptura frágil, tem um coeficiente de segurança grande, variando com as condições de execução da peça. QUADRO 3.18.2 Coeficientes de segurança dos materiais, no estado limite de projeto M a te r ia l aç° — ys concreto de dosagem racional, fabricado em obra ou usina — y c concreto rigorosamente dosado e controlado (pe­ ças pré-fabricadas em usi­ na) - y c NB 1/77 CEB/72 CEB/78 1,15 1,15 1,15 1,40 1,50 1,50 1,30 1,40 1,40 78 PONTES EM CONCRETO ARMADO — Quanto aos coeficientes de segurança das solicitações, o CEB/72 adota = 1,2 para as solicitações S e devidas a deformações impostas (provocadas por retração, temperatura, fluência, recalques) e y f = 1.5 para as demais solicitações. y (3.18.3) solicitações provocadas pela carga permanente = solicitações provocadas pelas cargas variáveis S£ = solicitações provocadas por deformações impostas (temperatura, retração etc.). Sg = S Nas seções em que a solicitação de carga permanente seja favorável à resis­ tência, considera-se um valor mínimo da solicitação, utilizando o coeficiente 7/ = 0,9: Sj = 0,9 S g + 1,5 S q + 1,2 Sf (3.18.4) A NB1 adota as-mesmas expressões para S d, substituindo o coeficiente 1,5 por 1,4. O CEB/78 adota para a solicitação de cálculo ( S J as seguintes expressões: Sd = Sã 1,35 S g + 1,5 S q + 1,2 S £ = 1,0 S g 4- 1,5 S q + 1,2 S c (3.18.3a) (3.18.4a) O coeficiente y g = 1,0 (Fórm. 3.18.4a) é utilizado quando a solicitação de carga permanente tem efeito favorável na seção considerada. 3.18.6 Combinações de cargas no estado limite de projeto Havendo cargas variáveis de diversas naturezas, o dimensionamento no estado limite de projeto, segundo o CEB/78, se faz com a seguinte solicitação de carga variável: (3.18.5) S = Solicitação variável de base para a combinação estudada. = Solicitação variável usada na combinação de cargas. = Coeficiente de combinação que leva em conta a probabilidade redu­ zida de todas as cargas variáveis atingirem simultaneamente seus valores máximos. Os valores de il/di deverão ser fixados arbitraria­ mente nas normas nacionais específicas. Em princípio, analisa-se um número de combinações igual ao número de cargas variáveis atuantes. Após algumas tentativas, o projetista poderá eliminar combinações que obviamente não sejam determinantes. S . SOLICITAÇÕES DAS PONTES Para o coeficiente i//di, — 79 o CEB/78 recomenda os seguintes valores: garagens de estacionamento de veículos edifícios residenciais .............................. edifícios comerciais .............................. solicitações de vento, neve O valor ipdi, a ser adotado em pontes, pode variar entre 0,6 e 0,8, devendo ser fixado arbitrariamente nas normas nacionais. A NB1/77 adota a expressão (3.18.5), com \jjdi = 0,8, sendo S ql a maior soli­ citação provocada, na seção considerada, por uma carga variável; a Form. 3.8.15, neste caso, se transforma em: S q - 3.18.7 S ql + ° ’8 ( S «2 + S q3 + (3.8.16) "•) Combinações de cargas em serviço (estados limites de utilização) As solicitações em serviço são utilizadas para verificar as condições de com­ portamento das estruturas, tais como: fissuração, deformações, fadiga da arma­ dura, etc. No dimensionamento das fundações, usam-se as cargas em serviço, para calcular as pressões no solo, as quais são mantidas abaixo de valores admissíveis estipulados nas normas. A norma rodoviária americana apresenta nove casos de combinações de cargas em serviço, variando as tensões admissíveis conforme a combinação con­ siderada. A norma brasileira NB 1/77 utiliza a seguinte expressão para as solicitações no estado limite de utilização: S - S g + \j/Sq + (3.8.17) S c. Existindo ações acidentais de diferentes origens, com pouca probabilidade de ocorrência simultânea, a expressão supra poderá ser transformada em: S = S B + {I/ S qi + 0,8 \J/(Sq2 + S q3 + ...) + S e. (3.8.18) Para edifícios, a NB1/77 adota iji = 0,7, dispensando a consideração do vento nos edifícios comuns. Para o caso de pontes, o coeficiente ip deverá ser fixado na norma específica (NB2) ou pelos órgãos usuários (DNER, Rede Ferroviária etc.). Segundo o Código Modelo CEB FIP/1978, as solicitações provocadas pelas cargas em serviço são obtidas combinando as cargas em função da freqüência de atuação. As combinações a considerar são as seguintes: 80 — PONTES EM CONCRETO ARMADO raras freqüentes quase-permanentes S qí S qi i[/u ijj2i ip n S9 + S qí + S g + \pn S ql + m (3.8.19) (3.8.19a) (3.8.19b) u S qi) l , ( t p 2 i S qi) X (\p2i S qi) Sg + solicitação devida à ação variável de base, na combinação estudada; — solicitação devida a uma carga variável genérica; — fator de ocorrência frequente, aplicável à solicitação de uma carga variável genérica ( S qi); fator de ocorrência quase permanente aplicável à solicitação de uma carga variável genérica (SC); ----- fator de ocorrência freqüente aplicável à solicitação S q,. A caracterização de ocorrência freqüente ou quase-permanente é fixada arbi­ trariamente, para cada tipo de estrutura, em função da probabilidade de freqüência de atuação da carga. Para edifícios, por exemplo, considera-se valor freqüente de uma carga variável aquele que é atingido mais de 100 000 vezes durante a vida da obra. O Código Modelo CEB/FIP recomenda os seguintes valores dos fatores de ocorrência: a) cargas de utilização 0,4 0,6 = 0,6 0,2 0,3 0,2 0,0 II O garagens de estacionamento de veículos edifícios residenciais edifícios comerciais b) solicitações de vento, neve ip2i No caso de pontes, os fatores de ocorrência serão fixados, arbitrariamente, nas normas nacionais. A título indicativo, podem ser tomados os seguintes valores: a) cargas de utilização b) solicitações de vento, neve Pu = 0,7 0,2 iP2i = 0 0,0 4 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL EM CONCRETO ARMADO 4.1 4.1.1 INTRODUÇÃO Conceitos de vigas e arcos Denominam-se pontes com vigas aquelas em que os vãos entre apoios são vencidos por vigas, isto é, elementos alongados cujas solicitações internas prin­ cipais são momentos fletores e esforços cortantes (Fig. 4.1.1). Fig. 4.1.1 Conceito de viga: a) esquema da viga A B , com cargas transversais concentradas ( Q ) e distribuídas (q), que provocam reações de apoio; R A, R B. b) equilíbrio do segmento A C , obtido por uma seção ideal m - m; o equilíbrio se faz à custa das solicitações internas V (esforço cortante) e M (momento fletor). Os arcos se diferenciam das vigas pela presença de uma solicitação interna adicional, o esforço axial, provocado por reações horizontais (empuxos) nos apoios (Fig. 4.1.2). 82 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Fig. 4.1.2 Diferença entre viga e arco-. a) viga curva, sem reação horizontal; as solicitações internas axiais são pequenas, os , momentos fletores são grandes; b) arco, com reações horizontais (empuxos); as solicitações internas axiais são grandes, os momentos fletores são pequenos. Estruturalmente, os arcos são mais eficientes que as vigas, uma vez que a solicitação axial de compressão favorece o trabalho de concreto. Com arcos de concreto armado, é possível atingir vãos livres da ordem de 300 m a 500 m, enquanto as vigas de concreto armado ficam limitadas a vãos da ordem de 40 a 50 m. 4.1.2 Tipos de pontes em vigas As pontes em vigas de concreto armado podem classificar-se segundo a dis­ posição das vigas na seção transversal, ou segundo o esquema estrutural de cada viga considerada estruturalmente. m a) b) Fig. 4.1.3 Tipos de seções transversais das pontes em vigas e laje: a) ponte em laje maciça; b) ponte em laje oca; c) ponte com vigas, em número de duas; d) ponte em vigas, em número de três ou mais; e) ponte em viga caixão, com uma célula; f) ponte em viga caixão, com duas ou mais células. Na Fig. 4.1.3 representamos os principais tipos de seções transversais de pontes em vigas. As pontes em lajes (Fig. a) são usadas para vãos pequenos ou médios, quando há interesse em limitar a altura da construção. As pontes em vigas (Fig. b) são as de uso mais corrente em vãos médios, pois permitem o em­ prego de alturas de construção econômicas, com formas relativamente simples. As vigas trabalham ligadas com a laje do tabuleiro, formando vigas T. Nas vigas em forma de caixa (Fig. c), o consumo de formas é superior ao da viga T, podendo entretanto obter-se economicamente alturas de construção menores, graças à SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 83 rigidez a torsão da caixa que propicia melhor distribuição transversal das cargas dos veículos. Quanto ao esquema estrutural, na direção longitudinal da ponte, podemos ter vigas propriamente ditas ou quadros, estaticamente determinados ou inde­ terminados 2*5 M, a ) 1 a 0 ° s a ° ------------- -------------— a r c) "2T b) d) ■ar 2C ° a- Fig. 4.1.4 Esquemas de vigas estaticamente determinadas: a) vigas simplesmente apoiadas; b) vigas simples, com balanços; c) vigas simples, com balanços, ligadas por vigas simplesmente apoiadas; d) vigas com rótulas interpostas (uma rótula por vão). Na Fig. 4.1.4, apresentamos esquemas de vigas estaticamente determinadas. O emprego de uma série de vigas isostáticas (Fig. a) é conveniente quando se deseja premoldar as vigas. A viga simples com dois balanços (Fig. b) é muito empregada em obras de pequena extensão, por exemplo, um vão de 20 a 25 m e dois balanços de 3 a 5 m cada um. As soluções com rótulas (Fig. c, d) per­ mitem fazer vigas isostáticas de grande comprimento; entretanto, as rótulas cons­ tituem pontos fracos, sendo preferível uma solução em vigas contínuas. al b)^ 3 c ) Fig. 4.1.5 Esquemas de vigas contínuas: a) viga contínua de dois vãos, com extremos balanços; b) viga contínua de três vãos, com extremos apoiados em encontros; c) duas vigas contínuas com balanços, ligadas por uma viga simplesmente apoiada. Na Fig. 4.1.5 vêem-se esquemas de vigas contínuas utilizadas em pontes. As vigas contínuas apresentam a vantagem de um estrado sem juntas (Fig. a, b). No caso de vigas muito longas, é conveniente abrir a continuidade, colocando-se um vão simplesmente apoiado, com um apoio simples e um móvel (Fig. c), sendo, este último, destinado a permitir a dilatação da obra. É também usual apoiar-se a viga simples em almofadas de neoprene, nas duas extremidades, obtendo-se, desse modo, mobilidade nas duas juntas do tabuleiro. Na Fig. 4.1.6, vemos dois esquemas de quadros estaticamente determinados; a determinação estática é obtida por meio de rótulas interpostas nas vigas. 84 — PONTES EM CONCRETO ARMADO £ Kig. 4.1.6 Esquemas de quadros estaticamente determinados. Diversos esquemas de quadros estaticamenle indeterminados aparecem na Fig. 4.1.7. í 4 £ ---- 1 1 I * 7 \ " N F * I JL “ 7 Z Kig. 4.1.7 Esquemas de quadros estaticamente indeterminados. Em estruturas de concreto armado, é mais econômico fazer uma ligação contínua do que uma rótula. Nessas condições, deve-se preferir as soluções contínuas, que são em geral mais rígidas e mais econômicas. A interposição de rótulas é, em geral, feita, quando necessário, para reduzir solicitações produzidas por retração e temperatura (esforços parasitários). Em alguns casos especiais, quando as fundações estiverem sujeitas a recal­ ques ou movimentos de certa importância, adota-se uma estrutura isostatica. para eliminar os esforços internos provocados por esses movimentos. Nos casos correntes, entretanto, as fundações são projetadas para terem recalques diferen­ ciais moderados, que podem ser absorvidos pela estrutura. 4.1.3 Tipos de pontes em arco As seções transversais dos arcos adotados em pontes de concreto podem ser em abóbada (arcos achatados de grande largura, comparáveis a lajes curvas), ou arcos propriamente ditos; tanto as abóbadas quanto os arcos podem ser ma­ ciços ou vasados (Fig. 4.1.8). SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 85 a) c) Fig. 4.1.8 Tipos de seções transversais de pontes em arco de concreto: a) abóbada maciça; b) abóbada vasada; c) arcos maciços; d) arcos vasados. Os arcos podem ser isostáticos ou hiperestáticos. Os arcos isostáticos apresentam três rótulas, em geral situadas nas empostas e no fecho (Fig. 4.1.9a). Os arcos hiperestáticos podem ser bi-rotulados (Fig. 4.1.9b) ou bi-engastados. Fig. 4.1.9 Esquemas estruturais de arcos: a) arco isostático (com três rótulas); b) arco bi-rotulado (uma vez hiperestático); c) arco bi-engastado (três vezes hiperestático). A Fig. 4.1.10 apresenta as posições do arco em relação ao tabuleiro da ponte. Os arcos de tímpanos cheios (Fig. a) são usados apenas em pequenos vãos, uma vez que, em vãos maiores, apresentam um aspecto excessivamente pesado. Fig. 4.1.10 Posições do arco em relação ao tabuleiro da ponte: a) arco inferior com tímpanos cheios (o tabuleiro se apoia no. arco por meio de paredes estruturais contínuas); b) arco inferior, com tabuleiro apoiado em colunas ou paredes transversais; c) arco superior, com tabuleiro suspenso em tirantes. 86 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Os arcos inferiores, do tipo da Fig. b, permitem obter soluções de excelente valor estético. Como exemplo disto, pode citar-se a ponte sobre o rio Paraná, ligando o Brasil ao Paraguai, em Foz do Iguaçú. Os estrados suspensos em arcos superiores (Fig. c) são usados quando não há altura suficiente para colocar o arco sob o tabuleiro. Esta solução apresenta a desvantagem de limitar a largura carroçável do tabuleiro. 4.1.4 Principais componentes estruturais das pontes em vigas A superestrutura das pontes em vigas é formada pelos seguintes elementos estruturais: a) vigamento principal, cuja função é vencer o vão livre entre apoios; b) laje do tabuleiro, cuja função primordial é servir de apoio direto para as cargas atuantes; c) transversinas — vigas transversais cuja função é ligar as vigas principais, podendo também servir de apoio para as lajes; d) cortinas — transversinas especiais, colocadas nas extremidades da obra, servindo para apoio da laje e contenção do terreno. Na Fig. 4.1.11a, b, c, apresentamos o desenho de formas da superestrutur? de uma ponte rodoviária com duas vigas principais, sendo as vigas contínuas com extremos em balanço. A seção transversal oferece uma largura útil de 12,20 m, ou seja, com folga de 20 cm em relação à largura da estrada, inclusive acosta­ mentos (7,00 + 2 x 2,50 = 12 m). Nessas condições, a ponte não constitui obs­ táculo psicológico ao motorista, não produzindo, portanto, redução na velocidade de tráfego e na segurança da estrada. A mesoestrutura é constituída de pilares circulares, ligados transversalmente por vigas, formando quadros. As fundações constam de tubulões construídos com auxílio de ar comprimido, com bases alargadas assentes no terreno de boa. qualidade. A transição da ponte para o terrapleno se faz por meio de cortinas e abas laterais, situadas nas extremidades dos balanços das vigas principais. Na Fig. 4.1.12a, b, c, vemos os desenhos de formas de uma ponte ferroviária de linha simples, com passeios laterais, ü s elementos principais da superestrutura são as vigas principais, lajes e transversinas. As vigas principais são solidarizadas com os pilares, formando pórticos, nas direções longitudinal e transversal. As fundações da obra exemplificada são também em tubulões a ar comprimido, com bases alargadas. Nas pontes ferroviárias, devido à maior importância dos esforços longitu­ dinais, é usual o emprego de encontros dotados de grande massa. No exemplo, são indicados encontros de concreto armado, cheios de brita. As pontes ferroviárias podem também ser construídas com estrado aberto, sem laje e sem lastro, com os dormentes de madeira apoiados diretamente nas vigas principais. As pontes com lastro, embora mais onerosas que as de estrado aberto, têm a vantagem de facilitar os trabalhos de manutenção da linha. 4 Z 5 K 5 2 o j b 4 (0 > \cu J <* 2 5 5 2 O -J iu K fc O O 3 L Fig. 4.1.11 Exemplo de ponte rodoviária moderna, em viga continua ae concreto armado, com extremos em balanço: a) elevação; . b) planta. J c) _ SECAO TRANSVERSAL NO VÃO NO APOIO ^ __________ ______________________________________________________ 1 3 0 0 VAR. T VA* 225 I SUPERESTRUTURA DAS PONTES. Foto 4.1.1 VIGAMENTO PRINCIPAL — 89 Exemplo de ponte rodoviária com duas vigas cuminuas, em concreto armado, apoiadas em pilares octogonais. Ponte sobre o rio São Mateus, BRIOI/ES. Projeto do autor. Foto 4.1.2 Exemplo de ponte rodoriária de concreto armado, com vão central em arco superior e vãos laterais em abóbadas contínuas sobre pilares elásticos. Ponte sobre o arroio Pelotas, BR 101/RS. 90 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Foto 4.Í.S l'«nte ferroviária sobre o rio Paraíba, em Resende-RJ. Estrutura em quadros de concreto armado. Projeto: Eng°. Emilio Baumgart Foto 4.1.4 Tabuleiro da ponte da foto 4.1.3, mostrando o lástro e . o passeio lateral. 4.1.5 Elementos acessórios da superestrutura Na Fig. 4.1.11c podem ser observados os seguintes elementos acessórios da superestrutura de ponte rodoviária: GÇ9 9 0 0 _________ L_________________________ 1800 ___________________ , ____________ 1000 4.1.12 Exemplo de ponte ferroviária moderna, em pórtico de concreto armado, com encontros: a) elevação; b) planta. 10 0 0 ___________ '_____________________ L800 ______________________ ; ____________ 9 0 0 c) NO VÃO SEÇÃO TRANSVERSAL ! NO APOlO COTAS Fig. 4.1.12 Exemplo de ponte ferroviária moderna. c) seções transversais, no meio do vão e no apoio. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 93 a) Camada de regularização — destinada a produzir uma superfície de rola­ mento regular e com caimento transversal para drenagem; acha-se representada em concreto, podendo também ser em asfalto. O caimento transversal é obtido com uma camada de regularização de espessura variável. Pode-se também dar o caimento transversal na laje estrutural, usando-se então uma camada de regu­ larização de espessura constante (5 cm a 7 cm). b) Barreiras laterais — limite lateral físico do tabuleiro, impedindo que veículos desgovernados se projetem fora da ponte. A barreira desenhada é do tipo contínuo, em concreto, existindo também modelos metálicos. c) Tubos de drenagem — a drenagem se faz por caimento transversal da pista e escoamento da água em tubos 3" espaçadas de 5 m. d) Pingadeiras — destinam-se a impedir que águas pluviais escoem pela superfície lateral da obra, produzindo manchas. e) Abas laterais — destinadas a fornecer apoio lateral ao terreno, permi­ tindo melhor compactação do aterro junto às cortinas. Os projetos modernos utilizam^com freqüência placas de transição — lajes apoiadas no aterro e um pequeno consolo da cortina, destinadas a eliminar um desnível brusco da pista, na transição do aterro para a ponte (a obra da Fig. 4.1.11 foi desenhada sem placa de transição). Na Fig. 4.1.12c, podem ser observados os seguintes elementos acessórios de uma ponte ferroviária com lastro: a) Lastro de brita compactada, destinado a servir de apoio para os dormentes e os trilhos. b) Banquetas de contenção lateral do lastro. c) Guarda-corpos laterais nos passeios. d) Tubos para drenagem do lastro; a drenagem dos passeios pode ser feita pela extremidade da laje ou por tubos. e) Pingadeiras. 4.1.6 Dimensões mínimas construtivas das peças de superestrutura As dimensões mínimas construtivas das peças de concreto armado depen­ dem dos seguintes fatores: a) espaçamentos mínimos entre as armaduras, de modo a permitir envolvi­ mento das mesmas pelo concreto; b) destribuição das armaduras, de modo a permitir o lançamento do concreto e a introdução da agulha do vibrador até o fundo da viga; c) cobrimento mínimo da armadura, destinado a proteger a mesma contra corrosão. 94 — PONTES EM CONCRETO ARMADO A NB1 fixa os valores mínimos correspondentes às condições (a) e (c). O assunto é abordado em pormenor na Bibl. [17]. Além das condições supra, as normas fixam dimensões mínimas construtivas a serem respeitadas nos projetos. No Quadro 4.1.1, apresentamos as prescrições da norma alemã DIN1075. QUADRO 4.1.1 Dimensões mínimas de vigas e lajes de pontes (DIN 1075), em cm. P eças alma de viga laje do tabuleiro laje sem carga de veículo M o ld a d o “in lo c o ” 25 20 14 P re m o ld a d o ,20 15 12 Para pontes moldadas no local, com seção transversal de duas vigas, do tipo indicado nas Fig. 4.1.3c, e, o DNER está recomendando, para as vigas e lajes, as espessuras construtivas mínimas indicadas na Fig. 4.1.11c. 1.2 4.2.1 SOLICITAÇÕES DO VIGAMENTO PRINCIPÀL Introdução O dimensionamento das vigas principais é feito com as solicitações calculadas para as seções transversais das mesmas. As solicitações mais usuais são momento fletor M e esforço cortante K; em alguns casos, têm importância os momentos torsores T. O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-se cinco seções para vãos pequenos (da ordem de 10 m a 15 m) e dez seções para vãos médios (da ordem de 25 m a 30 m). As solicitações são produzidas principalmente pelas cargas permanentes (peso próprio) e pelas cargas móveis que passam sobre a ponte. Os esforços horizontais atuantes sobre a carga móvel, tais como frenagem e vento, aplicam-se num nível acima do tabuleiro da ponte. Ao serem transferidos para o nível do eixo do vigamento principal e, posteriormente, para o nível dos apoios, esses esforços horizontais produzem momentos, que são equilibrados por componentes verticais de cargas nas vigas e nos apoios. Esses componentes são em geral de valor relativamente pequeno, sendo usual desprezá-las nos cálculos de dimensionamento das pontes. Nas pontes ferroviárias em curva, é necessário considerar o efeito da força centrífuga que produz momento trans­ versal no tabuleiro. 4.2.2 Idealização para o cálculo das solicitações As estruturas das pontes em vigas de concreto armado são formadas por elementos verticais (vigas) e horizontais (lajes), ligados monoliticamente. A aná SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 95 lise da estrutura espacial, embora possível com auxílio de modernos processos de cálculo numérico, é muito complexa para uso profissional corrente. Simpli­ fica-se então a estrutura, decompondo-a em elementos lineares (vigas) e- super­ fícies (lajes). Para cada posição (a) de uma carga unitária sobre o tabuleiro, pode-se deter­ minar uma solicitação S m em uma seção (m) de uma viga principal. Marcando-se em cada ponto (a) do tabuleiro uma ordenada igual à solicitação S m, produzida pela carga unitária (situada no ponto a), obtém-se uma superfície denominada superfície ou campo de influência da solicitação S m. Dispondo-se desta superfície, pode-se calcular a solicitação produzida por um conjunto de cargas, multipli­ cando cada carga pela ordenada da superfície de influência no ponto de apli­ cação da mesma. O emprego das superfícies de influência no cálculo das solicitações das vigas é, entretanto, pouco prático para uso corrente, uma vez que seria necessário desenhar um campo para cada seção de cada viga, e procurar nesse campo a posição mais desfavorável da carga móvel. Substitui-se então o cálculo mais preciso dos campos de influência por um cálculo aproximado, realizado em duas etapas: a) Colocam-se as cargas móveis numa seção próxima do meio do tramo, na posição mais desfavorável para a viga estudada, calculando-se o quinhão de carga da viga, denominado “trem tipo” da mesma. Para seções próximas dos apoios, o quinhão de carga da viga — para a mesma posição da carga móvel na seção transversal — sofre alterações. Para maior simplicidade, admite-se, entre­ tanto, que o trem tipo calculado próximo ao meio do vão não se altera ao longo da viga. b) Com o trem tipo calculado na primeira etapa, procuram-se as posições mais desfavoráveis para as diversas seções da viga estudada, determinando-se, assim, as solicitações mais desfavoráveis nestas seções. 4.2.3 Cargas de peso próprio. Cálculo das solicitações As cargas de peso próprio, tendo posição fixa na estrutura, se prestam a um cálculo mais simples que as cargas úteis, cuja posição no tabuleiro é variável. Em geral, a distribuição transversal das cargas de lajes e transversinas entre as vigas se faz por reação isostática. As cargas aplicadas após o endurecimento da laje do tabuleiro, tais como pavimentação, passeios, barreira lateral, podem ser distribuídas em partes iguais entre as vigas. Uma vez definido o quinhão da carga permanente aplicado em cada viga principal, obtém-se as solicitações da mesma pelo cálculo da viga, o qual nos fornece os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes'em todas as seções. O cálculo das solicitações em estruturas isostáticas não oferece dificuldades, aplicando-se diretamente as definições. No caso de vigas com balanços, há van­ tagem em calcular primeiramente os momentos nos apoios, obtendo-se depois as outras solicitações com aplicação do principio da superposição. Este princípio 96 — PONTES EM CONCRETO ARMADO permite considerar cada tramo separadamentè, levando-se em conta os momentos calculados nos apoios e as cargas aplicadas diretamente sobre o tramo. Os momentos sobre os apoios definem uma reta. denominada “linha de fe­ chamento”, que dá o momento em cada seção do tramo, provocado pelos mo­ mentos nos apoios; a este momento deverá somar-se o produzido pelas cargas apli­ cadas no tramo, o que equivale a “pendurar os momentos de viga biapoiada na linha de fechamento” 5 tf 2,5 tf 5 tf 5 10 10 2 tf 5| L Z 5 _ .7,5 _ m g = 10 t f / m 1 1 U M F T T 1 1 1 1 [ 1 1 1 1 1' 11.1 L U T T T T I r M Fig. 4.2.1 Exemplo de diagramas de solicitações em uma viga isostática de pontes: a) esquema da viga e diagramas dos carregamentos; b) “linhas de fechamento” dos momentos fletores; c) diagrama de momentos fletores M> obtido “pendurando” os momentos isostáticos nas linhas de fechamento; d) diagrama de esforços cortantes V. Na Fig. 4.2.1, apresentamos um exemplo do traçado dos diagramas de mo­ mentos fletores e esforços cortantes, empregando-se a rotina descrita acima. Trata-se de um sistema formado por umà viga AB com dois balanços, tendo SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 97 ainda uma outra viga simples EC apoiada no extremo do balanço BE (Fig. a). A carga distribuída representa o peso corrente da ponte, enquanto as cargas concentradas representam os pesos de transversinas e da cortina de extremidade (ponto D). Os pesos das transversinas de apoio não foram considerados, uma vez que eles não produzem solicitações internas na viga, sendo absorvidos dire­ tamente pelos apoios. Na Fig. b, representamos a linha de fechamento D' A B E C , definida pelos pontos de momento nulo (D ' E' C') e pelos momentos sobre os apoios A e C que valem: M Ã = 5 M = (5 + 1 + 10 x 7,5) 5 + 10 x 52/2 = 530 mtf b x 5 + 10 x 52/2 = 150 mtf Em cada segmento da linha de fechamento, são “pendurados” os momentos devidos às cargas atuantes em cada segmento considerado como viga simples. O momento de viga simples no meio do vão A B vale: 20 202 2,5 x —— h 10 x —- — = 512,5 mtf No tramo EC, obtemos o seguinte momento de viga simples, no meio do vão: 2,0 x ~ 5- + 10 x - = 288,75 mtf O diagrama de momentos fletores se acha representado na Fig. 4.2.1c. Os momentos fletores podem também ser determinados, em qualquer ponto de um tramo, por cálculo numérico, empregando se tabelas que fornecem os momentos de viga simples para diversos tipos de carga (Fig. 4.2.2). q kM (TAB. 4 2 2) t-x l Fig. 4.2.2 Parcelas para cálculo numérico dos momentos num ponto intermediário do tramo: a) momento fletor num ponto intermediário da linha de fechamento: b) momentos isostáticos de uma carga uniforme q \ c,d) momentos isostáticos de uma carga concentrada Q . 98 PONTES EM CONCRETO ARMADO — As Tabs. 4.2.1a, 4.2.4 fornecem elementos práticos para o cálculo dos mo­ mentos de viga simples. TABELA 4.2.1 Vigas simplesmente apoiadas. Expressões analíticas das solicitações provocadas por cargas distribuídas momento fletor esforço cortante q = ordenada máxima da carga c = comprimento de trecho com carga parciat. M V = V M «v Tipo de carga 1 1 1 M 1 1 1 ITTT1 q> qi 1 2 1 2 1 6 - « m a ^v-rTl 111 íT t ^ ^ tT T T T T t^ 1 3 ql2l2 X<>1 1 3 1 3 xál r a n _____ c n n c 7 1x " 6 / c 1 1X 6 / > - © X <, c \ 1 12 xc ( x \2 Í t) L‘ J « 1c 37 1c 37 ©1 0 _X x x\ l ~ 2l + cl) lx /x V + 3 ,+ 4 íO-í) (tT c C K ( t) 0 i © x$c ["*© 1 4 x ;> c Dn »._______ —d " n í [ ‘ - ‘ © 2“ :) 2' t t 1c 2 t i 3“ *C 1X J _ 2' Xic 1c 27 -© -0 h M tM tN x < .l x < ,c 2“ 1X 3 1 X<,1 1 4 1 4 K-© x < . l 1 12 1 4 qi 1X c 3 / / /x V W ‘ H !©* 1c 3 1 X -3] / 0 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — TAB. 4.2.2 Vigas simplemente apoiadas. Solicitações provocadas por cargas distribuídas. C a rg a J x 9 rTTTTTTTTl -- r-r-r-m T i -------ttti nHTTTTr-w 1- x /l Ponto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 í1 ; k— (x /l)2 5 6 7 8 9 K) #*1 *•A t !___ » • H l V = h* = momento fletor = kMq l 2/ 2 esforço cortante = k v q • / 9 = ordenada máxima da carga. M ^rTT TI ITTt^ 4 y [l - ( x / l ) 2} 2.v//(< 1) Valores de 1 000 kM 90 160 210 240 250 240 210 160 90 33 64 91 112 125 128 119 96 57 17 33 49 62 73 78 77 65 41 73 127 161 178 177 162 133 95 49 65 124 169 199 209 199 169 124 65 49 95 132 157 167 157 132 95 49 417 317 219 126 38 -4 2 -8 9 - 169 -213 -240 -250 333 315 264 189 99 0 - 99 189 264 - 315 - 333 250 240 210 160 90 0 90 100 - 210 240 250 Valores de 1 000 k^. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 400 300 200 100 0 - 100 -200 -300 - 400 -500 167 162 147 122 87 42 - 13 -7 8 - 153 -238 -333 83 83 81 74 62 42 - 11 -31 -8 7 - 160 -250 99 T A B . 4.2.3 Vigas simplesmente apoiadas. Momentos fletores M provocados por cargas distribuídas parciais. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 M q c a -1- '*' 1 1 "» 1 1 1 1 fl kMq P /2 = ordenada máxima da carga distribuída = comprimento do trecho com carga parcial = V a lo re s d e 1 0 0 0 k M, p a r a os c a r re g a m e n to s in d ic a d o s c /l Ponto íTTTifTrn ^ c m UU k J 0,1 0,2 0,3 0,4 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3.3 3,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 40 40 40 40 40 40 40 30 12 13 13 13 13 13 13 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 80 90 90 90 90 90 80 50 19 21 30 30 30 30 30 21 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 70 120 150 160 160 160 150 120 70 26 47 53 53 53 53 53 47 26 u n ifo rm e lin ea r r a r r e g a m e n tc ^ r fl 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 0,3 0,7 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 0,2 0,3 0,5 0,7 0,8 1,0 1,2 1,3 1,5 6,3 6,7 6,7 6,7 6,7 6,7 6.7 6,7 6,3 4,0 8,0 12 16 20 24 28 32 26 1,3 2,7 4,0 5,3 6,7 8,0 9,3 11 10 0,7 1,3 2,0 2,7 3,3 4,0 4,7 5,3 5,2 10 15 15 15 15 15 15 15 10 9 18 27 36 45 54 63 62 41 3,0 6,0 9,0 12 15 18 21 23 16 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 11 12 8,7 13 25 27 27 27 27 27 25 13 16 32 48 64 80 96 102 88 54 5,3 11 16 21 27 32 37 36 21 2,7 5,3 8,0 11 13 16 19 20 11 u n ifo r m e linear pa ra b . 2 .u g ra u p a ra b . 2.° g ra u T A B . 4.2.3 cont. Vigas simplesmente apoiadas Momentos fletores M provocados por cargas distribuídas parciais. = kMq l1/ 2 ordenada máxima da carga distribuída c = comprimento do trecho com carga parcial. M q = • c ll 05 P o n to T _L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 V a lo res d e 1 0 0 0 k M, p a r a os c a r re g a m e n to s in d ic a d o s H L | c O n. 11 90 160 210 240 250 240 210 160 90 19 37 53 68 83 68 53 37 19 ' 10 19 27 34 42 34 27 19 10 25 50 75 100 125 140 135 111 65 ^ rfl 8,3 17 25 33 42 35 28 20 11 H l 4.2 8,3 13 17 21 18 14 10 6 TAB. 4.2.4 Vigas simplesmente apoiadas. Esforços cortantes provocados por cargas distribuídas parciais. K = kv q l q = ordenada máxima da carga c = comprimento carregado 01 2 3 4 9 6 7 8 9 1 0 f l ................................... & V a lo res d e y c/1 0,1 3 4 5 6 7 8 9 10 T" □ H I • 2 p a r a os c a r re g a m e n to s in d ica d o s i P o n to 0 1 1 000 k r , CJ L c J 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5 0 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3 3 -9 5 -4 8 l 32 Vigas simplesmente apoiadas. Esforços cortantes protocados por cargas distribuídas parciais. V q c = k y Cjl = ordenada máxima de carga = comprimento carregado. V a lo res d e c /l P o n to TI | X IN I 1 000 kK, p a r a o s c a r re g a m e n to s in d ica d o s m i r> > . j j i -x rtl T -C -H 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 200 100 0 0 0 0 0 0 0 - 100 -200 100 25 0 0 0 0 0 0 0 -2 5 - 100 67 8 0 0 0 0 0 0 0 -8 -6 7 0 300 200 100 0 0 0 0 0 - 100 -200 - 300 150 67 17 0 0 0 0 0 - 17 -6 7 - 150 100 30 4 0 0 0 0 0 -4 -3 0 - 100 400 300 200 100 0 0 0 100 200 300 400 200 113 50 13 0 0 0 - 13 -5 0 - 113 -200 133 56 17 2 0 0 0 -2 - 17 -5 6 - 133 500 400 300 200 100 0 - 100 -200 - 300 -400 -500 250 160 90 40 10 0 - 10 -4 0 -9 0 - 160 -250 167 86 36 11 1 0 - 1 - 11 -3 6 -8 6 - 176 1 0,3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0,4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 0,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 ” ” ” ” ” ” ” ” 3 7 ” ” ” ” ” ” ” ” -8 0 - 180 - 18 -9 3 - 5 -6 4 45 15 7 ” ” ** ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” r ” ” ” ” ” ” - 155 -255 -2 -5 2 - 135 80 27 13 ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” ” -5 5 3 -2 3 -9 3 ” -20 120 -220 -320 14 -2 3 -8 6 173 11 -4 43 - 120 125 ” ” ” ” ” 25 -7 5 - 175 -275 - 375 42 ” ” ” ” 21 ” 32 2 -4 8 - 118 -208 20 10 - 15 -6 5 - 146 - VIGAMENTO PRINCIPAL - 0 ,0 5 3 -0 ,0 5 2 VO CO CO CN r— -, VO o ' WO © © ©' © © •Á ©„ § CO O’ CS VO co. o* 1 o o ' 1 o 1 ©„ © 1 * © © 1 CO VO CO CO © ©' *1 © Q. © 1 •a © 1 © 1 vt o ' 1 © <=> © -0 ,0 0 4 - 0 ,4 4 7 CO £ ■8 103 - 0 ,3 9 5 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. o s Ò. © r- VO oo VO © ©‘ 1 C) © o„ o ' 1 Q. © VO 00 vO 8. © ©. © Q. © 1 ■*3- 00 VO s CO CO r. CO r- ©„ © ■H © <=> © o„ © © ©‘ 1 © © 1 ■vt © © © 1 Ov © 00 VO cn Ov CO N © 1 o ' © 1 00 VO Q V VO o •a © 1 © © •2 co © s © © © o ' ©„ ©' 1 a 8 Q S o lic ita ç õ e s 8 vo ©' ta fck 1 ■a. © ro r~ VO 00 © ■«r © © ©' © © © © "1 vo © © © © © ©„ o (N 00 ■*fr © © •O © co ro © © © © © o ' © 8 8 •n o ' 8 8 © 8 © ta «o § VO © © 1 r-~ -2 § 1 © 1 t" © o n . n CN © 1 VO CJ, o CO u l © o ' •n Tj- -4- CO © 1 •o © 1 °. © «r ^ o ' 1 tT © O, © oo CO Ov •n VO VO o. © VO © •»t © Q. © © ‘' l © © VO Ov vo © 1 © o ' 1 •o o ' 1 © ©' 1 vo © VO CO ov © CO ©~ © © 1 © © o ' 1 co § 9 © © 1 •O © 1 •Õ © 1 •o ro © co VO O O* © n © •O co © c- r~ r- «o © 1 2 VO ©“ 1 © VO © >o ©' 1 © ©“ 1 vo © 1 «o o ' 1 vo © 1 «o o' 1 «O r~~ © © © CO <*> CO ro © © © Q, © 1 ro © 't © co © © 1 co 00 w> co ©‘ 1 Q © © í p © r-~ VO © 8 o ' , © © © CO r~ © 1 © © 1 © © 1 © © 1 © ©‘ + g © © r— © © © o 1 w> co © © 1 Á © — Bd em vigas contínuas de vãos iguais, com carga uniforme © 1 © 1 o ©' 1 1 1 'í © 1 o •a © 1 Q, © 1 VO vr> VO © o ' © ©„ © 1 «o r~- Ov co © o ' 1 io ©" 1 ©, © 1 O. o ' . o ' 1 © 1 © © 1 1 o' CO 1 Cr 104 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Os esforços cortantes são calculados, em cada tramo, com os momentos fletores nos apoios e as cargas atuantes no tramo. No tramo A B , por exemplo, os esforços cortantes nos pontos A e B, são dado por: ?A = 150 - 530 2,5 + 20 10 x 20 530 - 150 10 x 20 ~~2Õ 2,5 + ~T~ + ~ 2 82,25 tf. 120,25 tf. O diagrama dos esforços cortantes se acha representado na Fig. 4.2.1 d. No caso de estruturas estaticamente indeterminadas, o cálculo das solici­ tações pode ser feito por diversos processos, quer manuais quer automatizados. Existe também um grande número de tabelas que permitem o cálculo expe­ dito das solicitações. Em geral, há interesse em determinar, primeiramente, os momentos nos nós, para o que é necessário resolver o sistema hiperestático. Em cada tramo, os momentos nos nós definem uma linha de fechamento, na qual são “pendurados” os momentos de viga simplesmente apoiada. Os esforços cor­ tantes podem ser determinados, em cada tramo, com os momentos dos nós e as cargas aplicadas diretamente no tramo. Observa-se que, uma vez conhecidos os momentos nos nós, a rotina para o traçado dos diagramas de solicitações é a mesma dos sistemas estaticamente determinados. A Tab. 4.2.5 apresenta solicitações em vigas contínuas de vãos iguais, carre­ gados com carga uniforme que em diversas combinações de vãos. 4.2.4 Cargas móveis. Distribuição entre as vigas principais. Trem-tipo. Envoltórias de solicitações. As cargas móveis podem ocupar qualquer posição na largura do tabuleiro. Assim, para cada viga principal, é necessário colocar os veículos na posição mais desfavorável para aquela viga. Numa ponte com diversas vigas principais, a distribuição das cargas móveis entre as vigas depende da rigidez das ligações transversais efetuadas pelas transversinas e pela laje. O conjunto formado pelas vigas principais e transversais de­ nomina-se grelha, cuja análise estática permite determinar as solicitações atu­ antes em cada viga. Denomina-se “trem tipo” de uma viga principal o quinhão de carga pro­ duzido na mesma pelas cargas móveis de cálculo, colocadas na largura do tabu­ leiro, na posição mais desfavorável para a viga em estudo. Nessas condições, o trem tipo é o carregamento de cálculo de uma viga, levando-se em conta a geo­ metria da seção transversal da ponte (número e espaçamento de vigas, posição da. laje do tabuleiro em relação às vigas). SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 105 Para simplificar o trabalho de análise, admite-se que a distribuição transversal de cargas, determinada numa seção próxima ao meio do vão, se mantém inal­ terada para as demais seções da viga, inclusive as seções próximas dos apoios. Essa hipótese envolve imprecisões consideráveis, porém se verifica, através de cálculos comparativos, que os erros nas solicitações são relativamente pequenos. O trem tipo, suposto constante ao longo da ponte, pode ocupar qualquer posição na direção longitudinal. Assim, para cada seção da viga estudada, é necessário determinar as posições do trem tipo que produzem valores extremos das solicitações. Em estruturas muito simples, como vigas isostáticas, as cargas podem ser posicionadas, por intuição, nas posições mais desfavoráveis para cada seção, calculando-se diretamente as solicitações correspondentes. Nos casos mais gerais, empregam-se as linhas de influência, diagramas que permitem definir as posições mais desfavoráveis do trem tipo e ainda calcular os respectivos valores das soli­ citações. Com os valores extremos das solicitações, calculadas nas diversas seções da viga estudada, podem ser traçadas linhas envoltórias das solicitações de carga móvel. Como os valores das envoltórias são determinados para as situações mais desfavoráveis das cargas, quaisquer outras posições de carga produzirão solicitações menores. Assim, si a viga for dimensionada para os valores das envol­ tórias, sua estabilidade fica assegurada para qualquer posição da carga de cálculo. 4.3 4.3.1 LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS E PÓRTICOS Conceito Denomina-se linha de influência de uma solicitação S m, num ponto m, uma linha cujas ordenadas fornecem ós valores de S m para diversas posições de uma carga unitária (Fig. 4.3.1b). Fig. 4.3.1 Conceito de linha de influência: a) esquema de uma estrutura, mostrando a seção (m ); b) a linha de influência fornece a solicitação S m, na seção (m), para qualquer posição de uma carga unitária; c) solicitação na seção (m ), causada por várias cargas Q Sm = + Q 2y 2 + Q 3y 3 ; d) solicitação na seção (m ), causada por uma carga distribuída uniforme q. 106 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Em conseqüência do princípio da superposição, a solicitação S m, produzida por várias cargas Q, é dada pela soma 2 . Q ■y (Fig. c). Para uma carga distribuída q , aplicada entre os pontos a , b da estrutura, a solicitação S m é dada pelo limite b de ^ í/ vAx que, por definição, é igual à integral a 4.3.2 qydx (Fig. d). a Processo geral para o traçado de linhas de influência Um processo geral para determinar as linhas de influência consiste em desenhar os diagramas das solicitações desejadas para diversas posições de uma carga unitária, efetuando-se, depois, uma troca de ordenadas. Esse processo é denominado espontâneo, uma vez que ele decorre da definição de linha de influ­ ência. O processo espontâneo só é conveniente para estruturas muito simples, tornando-se muito trabalhoso em estruturas estaticamente indeterminadas. A 9 C) Fig. 4.3.2 Linhas de influência de reação de apoio de uma viga simples A B : a) esquema da viga, com uma carga Q na posição genérica; b) linha de influência da reação R Á \ c) linha de influência da reação R B Como ilustração do processo geral, apresentamos nas Figs. 4.3.2 a 4.3.4, a dedução das linhas de influência de uma viga simplesmente apoiada A B . Na Fig. 4.3.2a, examinamos as reações de apoio. Para uma carga Q aplicado no apoio A , a reação em A vale Q (ordenada da L I R A igual a l no ponto A ) \ para a carga aplicada em B, a reação em A é nula (ordenada da L I R A nula no ponto B ). Para carga Q aplicada a uma distância x do apoio A , a reação em A vale Q ( l — x) / l . Verificamos que a reação R A decresce proporcionalmente à abscissa da carga, o que significa que a linha de influência é uma reta. Como a reta é definida por dois pontos, podemos traçar a linha de influência de R A na Fig. b. A linha de influência da reação R B é análoga à de R A, estando representada na Fig. c. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. Fig. 4.3.3 VIGAMENTO PRINCIPAL — 107 Linha de influência de esforço cortante numa seção (m ) de uma viga simplesmente apoiada: a) esquema da viga, mostrando a seção (m) e a carga concentrada Q numa posição genérica, à esquerda da seção m ( x < a) ; b) diagrama dos esforços cortantes V para aposição da carga indicada em ( à ) ; c) esquema da viga para uma posição da carga Q à direita da seção m ( x > a ) ; d) diagrama dos esforços cortantes V para a posição da carga indicada em (c); e) linha de influência do esforço cortante na seção (m); f) convenção de sinal para o esforço cortante; g) esforços cortantes à esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga Q Na Fig. 4.3.3, analisamos a evolução dos esforços cortantes numa seção (m), para diversas posições de uma carga Q, ao longo da viga. Na Fig. a, admitimos a força Q aplicada num ponto genérico à esquerda da seção m, obtendo o dia­ grama da Fig. b. Na Fig. c, a carga Q foi suposta aplicada numa seção corrente, à direita da seção (m ), obtendo-se o diagrama da Fig. c. As expressões de Vm nos diagramas das Figs. b, d mostram que o esforço cortante em (m ) varia linearmente com a posição da carga. Por transposição das ordenadas dos diagramas das Figs. b, d, obtemos a linha de influência desenhada na Fig. e. Na Fig. 4.3.4, estudamos a variação do momento fletor em uma seção (m) da viga A B . Para uma carga Q , situada num ponto corrente à esquerda de m ( x < a), obtemos o diagrama de momentos da Fig. b. Observamos que o momento M varia linearmente com a abscissa da carga Q, atingindo um valor máximo 108 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Q a ( l —a)/l, quando a carga atua na própria seção (m). Assim, a linha de influência à esquerda da seção (m ) é uma linha reta, definida pela ordenada zero no ponto A e pela ordenada a( l — a ) / l no ponto (m). Para a carga atuando à direita da seção (m), chegaremos a conclusões análogas, resultando a linha de influência representada na Fig. c. Fig. 4.3.4 Linha de influência do momento fletor numa seção ( m ) : a) esquema da viga A B , mostrando a seção (m) e a carga Q numa posição genérica; b) diagrama de momento fletor, para a posição da carga indicada em (a); c) linha de influência do momento fletor na seção m ; d) convenção de sinal para momentos (momento positivo produz tração na fibra inferior). Em sistemas mais complexos, o emprego do processo expontâneo, ilustrado acima, apresenta inconvenientes práticos, sendo necessário traçar um grande número de diagramas para obter as linhas de influência. As linhas de influência podem, entretanto, ser traçadas com maior rapidez, utilizando os processos baseados em teoremas gerais dos sistemas elásticos. 4.3.3 Linha de influência como deformada do sistema A linha de influência da solicitação S m, na seção m de uma estrutura qualquer, pode ser obtida admitindo-se eliminada, na mesma seção m, a ligação interna que produz trabalho com a solicitação S, e escrevendo uma equação de trabalho virtual envolvendo a carga Q e a solicitação S m. Q. & 15: Fig. 4.3.S Equação de trabalhos virtuais envolvendo a solicitação interna S „ e a carga concentrada Q. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 109 Na Fig. 4.3.5, representamos um sistema elástico no qual a solicitação S m, na seção m , é figurada como um momento fletor. Admitindo-se anulada a resis­ tência a rotação da viga na seção m, e impondo-se uma rotação virtual relativa Aoc (ponto anguloso), o sistema de deforma, apresentando num ponto corrente, onde se aplica a força Q, a ordenada ô. Demonstra-se que M m ■ Aa é igual à energia elástica armazenada no sistema, a qual, por sua vez, é igual ao trabalho das forças exteriores. Chega-se então à seguinte expressão: Q à = M m Aa Mm = Q - L (4.3.1) Resulta que a linha de influência de momento fletor no ponto m é a deformada do sistema para um ponto anguloso virtual aplicado no mesmo ponto m. No caso particular de sistemas isostáticos, a energia elástica armazenada no sistema é nula, uma vez que a estrutura se transforma em cadeia cinemática ao se desfazer uma ligação interna. Nessas condições, a Form. 4.3.1 se obtem diretamente como equação de trabalhos virtuais. A linha de influência, neste caso, é constituída de segmentos retilíneos. Fig. 4.3.6 Deslocamentos virtuais relativos, capazes de provocar trabalho com cada uma das ligações internas, isoladamente: a) deflexão Aa, produzindo trabalho com o momento M ; b) deslocamento transversal relativo Ay , produzindo trabalho com o esforço cortante V: os eixos das hastes se mantém paralelos, caso contrário, haveria trabalho do momento fletor; c) deslocamento longitudinal relativo A x , produzindo trabalho com o esforço axial N . Na Fig. 4.3.6, mostramos esquemas representativos dos deslocamentos vir­ tuais relativos, capazes de produzir trabalho com cada uma das ligações internas, 110 — PONTES EM CONCRETO ARMADO isoladamente. As deformadas dos sistemas, produzidas por esses deslocamentos virtuais, são as linhas de influência das solicitações na seção. Nos sistemas isostáticos, a introdução das mobilidades relativas indicadas na Fig. 4.4.6 transforma a estrutura num mecanismo, de modo que a deformada consta de segmentos retilíneos. Nos sistemas hiperestáticos, a introdução de mobilidade relativa reduz o grau de indeterminação de uma unidade. Assim, a deformada se calcula em um sistema n —1 vezes hiperestáticos. 4.3.4 Linhas de influência de sistemas isostáticos Nos sistemas estaticamente determinados, há interesse em usar a propriedade do item anterior para se ter a forma da linha de influência. Determinando-se o valor de uma ordenada, por um cálculo direto, a linha de influência fica perfeita­ mente definida. Após a introdução da mobilidade, a estrutura isostática transforma-se num mecanismo, donde o processo ser cognominado das cadeias cinemáticas. B A a ’^ - nïïTTïïnTïïïïïïnmT^ b) lira _____ (ml_______ t- 0 fc— ^ LIM m Fig. 4.3.7 Obtenção das linhas de influência de uma viga simplesmente apoiada, pelo processo das cadeias cinemáticas: a) linha de influência da reação de apoio R Á, obtida impondo-se ao sistema um desloca­ mento vertical Av = 1 no apoio A ; b) linha de influência do esforço cortante Vm na seção m , obtida impondo-se um desloca­ mento transversal relativo \ y = 1 no ponto m ; c) linha de influência do momento fletor M m na seção m , obtida impondo-se uma rotação relativa Aa = 1 no ponto m . Na Fig. 4.3.7, vemos a aplicação do processo das cadeias cinemáticas às solicitações de uma viga simplesmente apoiada. A escala da linha de influência pode ser definida pelo valor unitário da deformação virtual relativa (Ay = 1, Aa = 1) ou por valores determinados ciretamente, por exemplo: a) valores 1 e 0 nos apoios, para esforços cortante e reação de apoio (Fig. a, b); b) valor a ■b / l no ponto m, para momento fletor (Fig. c). SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 111 Fig. 4.3.8 Linhas de influência de um sistema estaticamente oeterminado formado por vigas sobre quatro apoios, com duas rótulas interpostas: a) esquema da estrutura, mostrando a seção ( m ) \ b) linha de influência da reação de apoio R Á, obtida impondo ao sistema um desloca­ mento Ay = 1, no apoio A ; c) linha de influência do esforço cortante Vm, na seção m , obtida impondo-se um desloca­ mento transversal relativo Ay = 1, no ponto m ; d) linha de influência do momento fletor M m, na seção m , obtida impondo-se uma rotação relativa Aa = 1, no ponto m; a escala é definida pelo valor a - b / I no ponto m . Na Fig. 4.3.8, exemplificamos a utilização do processo das cadeias cinemá­ ticas num sistema isostático formado por duas vigas simples com balanços, e uma viga biapoiada nos extremos dos balanços intermediários. 4.3.5 Linhas de influência de sistemas hiperestáticos. Processos de cálculo manual O processo indicado no item 4.3.3 permite calcular a linha de influência como deformado num sistema n — 1 vezes hiperestático, obtido introduzindo uma mobilidade na estrutura. O processo permite visualizar a forma da linha de influ­ ência, o que tem grande importância prática, pois o calculista fica sabendo de antemão os tipos de linhas a serem obtidos nos cálculos (Fig. 4.3.9). O processo indicado é, entretanto, pouco prático para o cálculo dos valores numéricos das ordenadas das linhas de influência, pois obriga a resolução de um sistema diferente da estrutura dada. As linhas de influência de um sistema estaticamente indeterminado podem ser obtidas, de maneira muito prática, por um processo, denominado semi-espontâneo, que consiste nas etapas seguintes: a) distribuem-se na estrutura, momentos unitários (por conveniência, pode adotar-se o valor 100 ou 1000) aplicados, cada vez, a um dos nós; b) deduzem-se as expressões das linhas de influência dos momentos sobre os apoios (denominados linhas de influência fundamentais), em função dos coeficientes determinados na alínea (a); 112 — PONTES EM CONCRETO ARMADO c) as demais linhas de influência são deduzidas das linhas de influência fundamentais. o) ■*c ■*D b) c) d) LI M„ Fig. 4.3.9 Visualização das linhas de influência de uma viga contínua como deformada proveniente de um deslocamento unitário imposto: a) esquema da viga contínua, mostrando uma seção intermediária m; b) linha de influência da reação de apoio R B, obtida com um deslocamento unitário Aj = 1 no apoio B : c) linha de influência do esforço cortante na seção m , obtida com um deslocamento unitário relativo A y = 1, na seção m ; d) linha de influência do momento fletor no ponto m, obtida com um deslocamento angular relativo Aa = 1, na seção m . O processo semi-espontâneo utiliza, também, a definição de linha de influ­ ência, porém ordena a sequência de operação, de modo a reduzir o trabalho numérico. 4.3.6 Linhas de influência de momentos fletores de estrutura hiperestática. Cálculo pelo processo semi-espontâneo Numa estrutura estaticamente indeterminada, há interesse em se calcular, primeiramente, as linhas de influência dos momentos nas seções dos nós. Essas linhas são denominadas fundamentais, uma vez que todas as outras podem ser derivadas delas, usando o princípio da superposição. Para o cálculo das linhas de influência fundamentais, pelo processo semiespontâneo, faz-se a compensação de momentos aplicados, cada vez, em um dos nós da estrutura. Essas compensações resolvem o problema hiperestático, permi­ tindo determinar os momentos fletores para qualquer combinação de cargas. As linhas de influência fundamentais são obtidas das linhas de influência de cada tramo, considerado bi-engastado, afetados de coeficientes obtidos na distribuição supra. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 113 E x e m p l o 4.3.6.1 — Calcular as linhas de influência de momentos fletores, pelo processo semi-espontâneo, de uma viga contínua de inércia constante, com três tramos de vãos, /, 4- 1,25/j + l l . S o l u ç ã o . Inicialmente, se procede à compensação dos momentos M = + 1000 aplicados, cada vez, a um nó da estrutura. Tratando-se de uma viga simétrica, com apoios extremos rotulados, bastará distribuir o momento M = 1000 apli­ cado no apoio B. Os coeficientes de distribuição do processo de Cross são obtidos com os coeficientes de rigidez dos tramos: K a 4 1 '[íc = w = ° ’75 f (0’484) = 0,80r (0’516) Na Fig. c, vemos a distribuição de um momento exterior + 1000 aplicado no nó B. Aplicando momentos + 1000 nas seções da viga junto aos apoios inter­ mediários, obtemos os momentos distribuídos da Fig. c. Os momentos indicados representam ações sobre os nós, e são positivos no sentido dos ponteiros do relógio. A linha de influência do momento no apoio B pode ser expressa, em cada tramo, em função das linhas de influência dos momentos de engaste perfeito, as quais se acham tabeladas [7], multiplicadas pelos coeficientes da Fig. c. Tomando para referência da convenção de sinais a seção à esquerda do apoio B , podemos escrever as expressões: Tramo AB LI M g = Tramo BC LI m b = -0,518 Tramo CD LI m b = 0,482 0,134 L I M °A. LI M bc + 0,134 LI M CB' L I M°c d . Para referirmos as expressões acima ao mesmo vão (vão A B = /), devemos multiplicar as ordenadas do tramo B C por 1,25. As ordenadas de linha de influência podem ser calculadas em forma tabular, como indicado no quadro seguinte. Os momentos calculados representam ações sobre os nós, e são positivos no sentido dos ponteiros do relógio. .484 .516 .516 B .484 a 1; C 125 M ? e, «i - + 10 0 0 b) a a 1^ -5 1 6 -484 -2 5 8 “ +13 -1 7 +9 -2 +1 -134 + 66 -3 4 + 5 - 3 -3 2 -2 -4 8 2 - 518 + 1 0 0 0 /'* ' c) 0 125 +8 +1 134 k ---- ---------------- ” 3 -134 C +134 + 4*82 B -4 0 2 UlOOO /r * - 518 A B A-518 -h. D -13 4? " +134 +1000 -zs------------- T ~ * +134 134 +518 s+1000 •v+JA ^ T ■zr +134 - 518 -134 -4 8 2 + 4 82 d) e) f) H F B irrm ^ C ^ r r n A n n ] m ^"T T T ftm D . m “ n g) ^mríTríTTTTI1 !i1IfnTTTTTTTr^^^ a D b c UEU3^ 'W iH l *T? £.v. 4.3.6.1 Obtenção das linhas de influência pelo processo semi-espontâneo: a) esquema de viga, com os coeficientes de distribuição; b) momento + 1 000 aplicado sobre o apoio B (convenção de sinais de Mecânica Racional, momento positivo no sentido dos ponteiros do relógio); c) momento + 1 000 aplicado nas seções da viga, junto aos nós; esses momentos represen­ tam ações da viga sobre o nó, sendo positivos no sentido dos ponteiros do relógio (con­ venção de Mecânica Racional); d) U A/„. convenção de sinais de Resistência dos Materiais: e) L I M m. mesma convenção de sinais de (4 4 ) 5 ^ k) 1 6 0,1923 0,1231 0,1552 0,1847 0,1155 0,0463 - 0,0230 - 0,0922 - 0,0801 - 0,0086 - 0,0569 7 0,0214 0,0429 0,2648 0,0857 0,1071 0,7186 0,1500 0,0714 -0 ,0 0 7 1 - 0,0857 - 0,0747 - 0,0638 - 0,0523 8 0,0131 0,0262 0,0585 0,0523 0,0654 0,0783 0,0910 0,1647 0,0178 -0 ,0 6 9 1 - 0,0603 -0 ,0 5 1 5 - 0,0426 9 0,0059 0,0118 0,0177 0,0236 0,0297 0,0334 0,0413 0,0472 0,0581 -0 ,0 4 1 1 - 0,0358 - 0,0306 - 0,0253 1 2 p r ó p r io ) 1 ° 15 16 17 18 19 20 0 0 0 0 0 0 0 - 0,0066 - 0,0055 - 0,0025 0,0005 0,0035 0,0066 0,8762 0,0214 0,8762 - 0,0166 -0 ,0 1 0 7 - 0,0048 0 ,0 0 ! 1 0,0069 0,0126 0,7589 0,0172 0,7539 g i 2, 0,0 Vão ú til 1 ca rreg . P 1 !] P ii \ 0,0 0 ,0 0,1482 0,0322 0,0390 - 0,0085 -0 ,0 1 5 3 - 0,0069 0,0815 0,0099 0,0183 0,0345 0,0670 0,6345 0,4326 0,0665 0,0869 - 0,0255 -0 ,0 1 8 8 - 0,0025 0,0018 0,0122 0,0225 0,5193 0,0825 0,5193 0,5632 0,0686 0,0959 - 0,0340 -0,0110 - 0,0325 -0 ,0 2 1 0 -0 ,0 0 0 5 0,0021 0,0136 0,0251 0,4100 0,0921 0,4100 0,6821 0,0608 0,0949 - 0,0425 -0,0150 - 0,0323 -0 ,0 2 1 5 -0 ,0 0 0 7 - 0,002! -0 ,0 1 3 9 - 0,0257 0,3078 0,0043 0,3078 0,7865 0,0430 0,0839 - 0 ,0 5 1 0 -0,0119 - 0,0300 - 0,0200 - 0,0020 0,0020 0,0129 0,0209 0,2143 0,0877 0,2143 0,8734 0,0151 0,0629 - 0,0594 -0,0338 - 0,0249 -0 ,0 1 6 1 - 0,0073 0,0016 0,0104 0,0193 0,1306 0,0707 0,1309 0 ,9 3 9 9 - 0,0227 0,0318 - 0,0679 -0,0201 -0 ,0 1 4 8 - 0,0096 -0 ,0 0 1 3 0,0009 0,0062 0,0114 0,0089 0,0420 0,0589 0,9880 - 0,0706 - 0,0092 - 0,0764 0 0 0 0 0 1,0000 -0 ,1 2 8 4 - 0,0602 - 0,0849 0 0 0 0 0,0077 -0 ,0 0 1 3 -0 .0 1 Ç 3 -0 ,0 1 9 4 - 0,0540 - 0,9277 - 0,0540 0,9817 -0 ,0 5 8 1 - 0,0525 -0 ,0 1 4 6 0,0394 0,0190 - 0,0014 -0 ,0 2 1 8 -0 ,0 4 2 1 - 0,0283 0,8369 - 0,0363 0,9252 - 0,0034 -0 ,0 4 4 8 - 0,0401 0,1019 0,0684 0,0350 0,0015 -0 ,0 3 1 9 - 0,0654 -0 ,1 0 6 3 0,7823 -0 ,1 0 5 8 0,8381 0,0357 -0 ,0 3 7 1 0,0791 0,1959 0,1522 0,1015 0,0566 0,0061 - 0,0386 - 0,0863 -0 ,1 0 9 4 0,6125 -0 ,1 0 2 1 0,7278 0,0591 - 0,0294 0,1026 0,0856 0,1461 0,2106 0,1481 0,0056 0,0231 - 0,0394 - 0 ,1 0 1 9 - 0,1019 0,5000 -0 ,1 0 1 9 0,6019 0,0669 - 0 ,0 2 1 7 0,1104 0,0568 0,1015 0,1622 0,1999 0,1226 0,0453 - 0,0321 - 0 ,1 0 9 4 - 0,0353 0,3815 - 0,0863 0,4578 -0 ,0 1 4 0 0,0015 0,0360 0,0684 0,1019 0,1354 0,1633 0,0773 -0 ,0 1 4 3 -0 ,1 0 5 8 - 0,0664 0,2677 - 0,0554 0,3331 -0 ,0 0 6 4 -0 ,0 0 1 4 0,0190 0,0394 0,0599 0,0902 0,1006 0,1207 0,0163 - 0,0883 -0 ,0 4 2 1 0,1631 - 0,0421 0,2052 0,0013 -0 ,0 0 1 3 0,0077 0,0168 0,0258 0,0349 0,0439 0,0529 0,0620 - 0,0540 -0 ,0 1 2 4 0,0723 -0 ,0 1 9 4 0,0917 0,0090 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 -0 ,0 0 6 4 - 0,0408 -0 ,0 1 6 2 -0 ,0 2 1 6 - 0,0270 - 0,0324 - 0,0378 - 0,0432 - 0,0486 - 0,0540 0,0226 0,0529 0,0439 0,0349 0,0253 0,0163 12 - 0,0055 -0 ,0 1 7 7 - 0,0265 - 0,0353 -0 ,0 4 4 2 -0 ,0 5 8 0 -0 ,0 6 1 8 - 0,0706 - 0,0795 - 0,0883 -0 ,0 1 6 3 0,1709 0,1006 0,0302 0,0593 13 -0 ,0 1 0 1 -0 ,0 2 1 2 - 0 ,0 3 1 7 - 0 ,0 1 2 9 - 0,0529 - 0,0635 -0 ,0 7 4 1 - 0,0846 - 0,0952 -0 ,1 0 5 8 -0 ,0 1 4 3 0,0773 0,1688 0,1354 14 - 0,0209 -0 ,0 2 1 2 - 0,0328 - 0,0487 - 0,0547 - 0,0000 - 0,0766 - 0,0875 - 0,0289 -0 ,1 0 9 4 -0 ,0 3 2 1 0,0453 0,1226 15 - 0,0402 - 0,0204 - 0,0300 -0 ,0 4 0 9 - 0,0510 - 0,0611 -0 ,0 7 1 3 - 0,0815 -0 ,0 0 1 7 -0 ,1 0 1 9 - 0,0394 -0 ,0 2 3 1 16 - 0,0086 -0 ,0 1 7 3 - 0,0259 - 0,0345 -0 ,0 1 3 1 -0 ,0 5 1 8 - 0,0601 - 0,0690 - 0,0777 - 0,0863 - 0,0386 0,0091 17 - 0,0265 -0 ,0 1 3 1 -0 ,0 1 9 6 - 0,0262 - 0,0327 - 0,0392 - 0 ,0 1 5 6 - 0,0523 - 0,0389 - 0,0654 -0 ,0 3 1 9 18 -0 ,0 0 4 2 - 0,0084 - 0 ,0 1 2 6 -0 ,0 1 6 9 -0 ,4 2 1 1 - 0,0253 - 0,0295 - 0,0337 - 0,0399 -0 ,0 1 2 1 -0 ,0 2 1 8 19 0,0019 - 0,0259 - 0,0058 - 0,0078 - 0,0097 -0 ,0 1 1 6 -0 ,0 1 3 6 -0 ,0 1 5 5 -0 ,0 1 7 4 -0 ,0 1 9 4 -0 ,0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,0000 0 0 0 0,0167 21 0,0011 0,0023 0,0034 0,0046 0,0037 0,0000 0,0000 0,0092 0,0100 0,0114 0,0062 0,0009 -0,0043 -0,0096 -0 ,0 1 4 8 - 0,0201 - 0,0253 - 0,0306 - 0,0358 -0 ,0 4 1 1 0,0114 - 0,0420 0,0114 - 0,0534 0,0151 22 0,0019 0,0030 0,0058 0,0077 0,0096 0,0116 0,0135 0,0154 0,0193 0,0193 0,0104 0,0016 - 0,0073 -0,0161 - 0,0249 - 0,0338 -0 ,0 4 2 6 -0 ,0 5 1 5 - 0,0603 -0 ,0 6 9 1 0,0193 - 0,0707 0,0193 -0 ,0 9 0 0 0,0134 23 0,0024 0,0018 0,0072 0,0066 0,0119 0,0143 0,0167 0,0191 0,0215 0,0232 0,0129 0,0020 -0,0090 -0,0200 - 0,0309 -0 ,0 4 1 9 - 0,0528 - 0,0638 - 0,0747 - 0,0857 0,0239 - 0,0877 0,0280 -0 ,1 1 1 6 0,0117 24 0,0026 0,0061 0,0077 0,0105 0,0128 0,0154 0,0190 0,0005 0,0281 0,0257 0,0139 0,0021 ^ 0 0 9 7 -0,0215 - 0,0333 - 0,0450 - 0,0568 - 0,0636 0,0904 - 0,0922 0,0257 -0 ,0 9 1 3 0,0257 -0 ,1 2 0 0 0,0100 25 0,0025 0,0050 0,0075 0,0100 0,0125 0,0151 0,0176 0,0201 0,0226 0,0251 0,0135 0,0021 -0,0095 -0,0210 - 0,0325 -0 ,0 4 4 0 - 0,0555 - 0,0670 - 0,0785 - 0,0900 0,0251 -0 ,0 9 2 1 0,0251 -0 ,1 1 7 2 0,0084 26 0,0023 0,0045 0,0057 0,0090 0,0112 0,0135 0,0157 0,0180 0,0202 0,0225 0,0122 0,0018 -0,0085 -0,0188 -0 ,0 2 9 1 - 0,0394 - 0,0497 -0 ,0 6 0 0 - 0,0704 - 0,0807 0,0225 - 0,0825 0,0225 -0 ,1 0 5 0 0,0067 27 0,0018 0,0037 0,0155 0,0073 0,0091 0,0110 0,0128 0,0146 0,0164 0,0183 0,0099 0,0015 -0,0069 -0,0153 - 0,0236 0,0320 -0 ,0 4 0 4 -0 ,0 1 8 8 0,0572 - 0,0655 0,0183 - 0,0670 0,0183 - 0,0853 0,0050 28 0,0013 0,0026 0,0039 0,0051 0,0061 0,0077 0,0090 0,0103 0,0116 0,0128 0,0069 0,0011 - 0,0048 -0,0107 -0 ,0 1 6 6 - 0,0225 - 0,0284 - 0,0343 - 0,0402 - 0,0461 0,0128 - 0,0472 0,0128 - 0,0600 0,0033 29 0,0007 0,0013 0,0020 0,0027 0,0063 0,0040 0,0046 0,0053 0,0000 0,0066 0,0035 0,0005 .- 0,0025 -0,0055 - 0,0086 - 0,0116 - 0,0147 - 0;0177 - 0,0207 - 0,0238 0,0066 - 0,0244 0,0066 -0 ,0 3 1 0 0,0017 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V a lo r e s m á x i m o s p a r a c **t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 “n if o r m e m e n te d i s t r i b u í d a s P on tos fixo s: M o m e n to s m á x im o s n o vão Reações de a >oio n á x im a s M o m e n to s m á x im o s de apoio 0 ,0 6 9 1 * 7 , 1 0 ,0 6 6 9 * /,’ vão 2 : 0 ,272 /, - M , = - M „ = - ( 0 ,1 2 8 4 * + 0 , 1 4 5 1 / ^ g P 1 + M { = + M n 0 ,0 9 6 7 ? ,/,’ = (0 ,0 1 6 7 ? - 0 ,1 2 8 4 * ^ P, Pj 0 ,1 1 0 4 ? ,, / , ’ P i P l + P2 0 ,1 0 4 2 ? /,2 vão 1: 0,194/, A, A , g 2 ca rreg . - 0,0236 0 0 Vão - 0,0291 0 0 C a rg a -0,0370 0 30 1 tf/m -0,0694 0 0 1,0000 -0,0225 0 20 0 ^ 10 -0,0116 10 0 1,0000 *0 ca rg a de 10 ( P eso 14 pa ra ílis tr . í>3 P m áx P m ín 0 ,3 7 1 6 g lx 0 ,4 3 9 8 ? , / , - 0 ,0 8 4 9 ? ,/, 0 ,0 1 6 7 p 3 / , 0 ,4 5 6 7 ? / , - 0 ,0 8 4 9 ? / , 1 ,2 5 3 4 * / , 0 ,6 2 1 7 ? , / , 0 ,7 0 9 9 ? , / , - 0 ,0 7 8 3 p , /, 1 ,3 3 3 4 ? /, - 0 ,0 7 8 3 ? / , /,2 ----- = 0 , 0 6 5 1 / , 2 24 1 0 124 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4.3.9 Linhas de influência de reação de apoio A linha de influência da reação de apoio R B pode ser obtida somando-se as linhas de influência dos esforços cortantes, respectivamente à esquerda e à direita do apoio B. Pode-se também calcular diretamente a linha de influência da reação de apoio com a fórmula: LI R b = 1+ LI M J _ + LI M c LI R° (4.3.7) L I R ° = linha de influência de reação no apoio B , supondo todos os tramos rotulados sobre os apoios. O cálculo, segundo a Fórm. 4.3.7, se encontra no Quadro 4.3.4. 4.3.10 Tabelas de linhas de influência de vigas contínuas de inércia constante Para vigas contínuas de inércia constante, existem tabelas muito completas, que tornam o cálculo manual simples e expedito. Uma das tabelas mais conhe­ cidas é a de Anger [9], Na Tab. 4.3.1, reproduzimos uma das tabelas de Anger, referente à viga contínua de três vãos, com a relação 1 : 1.25 : 1. A tabela reproduzida fornece as ordenadas da linha de influência de mo­ mentos fletores para os pontos 1 a 20. A linha de influência de momentos no ponto 10 é a linha de influência fundamental calculada no Quadro 4.3.1. A linha de influência do ponto 20 é simétrica à do ponto 10, como se depreende da simetria da figura. Observa-se que as ordenadas tabeladas devem multiplicar-se pelo primeiro vão (/,). As ordenadas do ponto 13 podem ser comparadas com os valores calculados no Quadro 4.3.2. A tabela apresenta ainda as ordenadas das linhas de influência de esforços cortantes V e reações de apoio R. Os valores tabelados podem ser comparados com os calculados nos Quadros 4.3.3 e 4.3.4. Na parte inferior da tabela, são apresentadas as expressões dos valores máximos dos momentos fletores e reações de apoio, para cargas uniformemente distribuídas. As ordenadas dos pontos fixos, tabelados na parte inferior à direita, servem para se traçar o diagrama de momentos aplicado no apoio extremo (Fig. 4.3.12). f r - Ã ___ TJ ? --gsgi T - í A--------------3 --------------- S-------------- 7S A B 0 ,1 9 4 t1 Fig. 4.3.12 C D 0 ,2 7 2 t1 = 0 ,2 l8 t2 Utilização dos pontos fixos para traçar o diagrama de momentos fletores provocados por momento M aplicado no apoio extremo. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 125 Os valores calculados na Fig. 4.3.12 podem ser obtidos, facilmente, pelo pro­ cesso de Cross (Ex. 4.3.6b). De fato. o momento —M, aplicado no ponto A , produz o momento + 0,5 M aplicado à esquerda do nó B (Ex. 4.3.6c), resultando os seguintes momentos nos apoios intermediários, indicados sem sinal: M b = 0,482 x 0,50 = 0,241 Mc = M 0,134 x 0,50 = 0,067 M ■ Acham-se também tabelados os diagramas de influência de um momento aplicado no apoio extremo (Tab. 4.3.2). Pode verificar-se que os valores tabelados para os pontos 10 (seção B) e 20 (seção C) coincidem com os calculados acima. As linhas de influência permitem calcular as solicitações provocadas por uma carga concentrada ou distribuída, em qualquer posição. Elas permitem ainda determinar as posições mais desfavoráveis de um conjunto de cargas móveis para as solicitações em uma certa seção. Dado um conjunto de cargas móveis (deno­ minado trem tipo da viga), pode-se determinar, em cada seção, os maiores velores das solicitações M , V positivas e negativas. Esses valores, combinados com os produzidos pela carga permanente, constituem as envoltórias de solicitações da viga. Como, em cada ponto da viga, são determinadas as posições mais desfavo­ ráveis da carga móvel, podemos assegurar que as solicitações atuantes na viga, provocadas pela carga em uma posição qualquer, estarão compreendidas entre os valores limites que constituem as envoltórias. A utilização das linhas de influência será ilustrada no exemplo prático do item 4.4. Os valores máximos, tabelados nara cargas uniformemente distribuídas, permitem a determinação expedita dos maiores valores das solicitações, que podem ser usados no predimensionamento da viga, antes de se calcular as envol­ tórias das solicitações. TAB. 4.3.2 Viga contínua de três vãos (/ + 1,25/ + /), com inércia constante. C o e fic ie n te s d e in flu ê n c ia d e u m m o m e n to M = Seção C o e fic ie n te Seção C o e fic ie n te Seção C o e fic ie n te ____ ________ - 1 000, a p lic a d o n a se ç ã o O . 0 - 1000 1 -8 7 6 2 -7 5 2 3 -6 2 8 4 -5 0 4 5 -3 8 0 6 -2 5 6 7 - 131 8 -7 9 117 10 241 11 210 12 179 13 149 14 118 15 87 16 56 17 25 18 -5 19 -3 6 20 -6 7 21 -6 0 22 -5 4 23 -4 7 24 -4 0 25 -3 3 26 -2 7 27 -2 0 28 - 13 29 -7 126 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4.3.11 Linhas de influência para estruturas com inércia variável O cálculo das linhas de influência, para vigas ou quadros de inércia variável, faz-se seguindo a marcha indicada no item 4.3.9. As linhas de influência funda­ mentais, do tipo do Ex. 4.3.6d, são deduzidas levando-se em conta a geometria da estrutura dada, que determina a rigidez de cada tramo. O grande número de tabelas existentes [7, 8] permite realizar os cálculos com a mesma facilidade que nas estruturas com inércia constante. Uma vez conhecidas as linhas de influência fundamentais, as demais se deduzem, da mesma maneira que em vigas de inércia constante, utilizando apenas as equações de equilíbrio da estática, e as definições das solicitações. E x e m p l o 4.3.11.1 — Consideremos a viga contínua de inércia variável repre­ sentada na figura. Os tramos laterais tem mísulas parabólicas na metade do vão; o tramo central tem mísulas parabólicas simétricas cobrindo todo o vão. •+1000 O S — ------------ n s -------------------- ---------------- a + 434 -4 3 4 -1 8 1 A + I8i +1 0 0 0 . A A ------ A - 566 + 181 M-566 S -1 8 1 ST +181 ✓ + 1000 TTS -1 8 1 + 566 A -1 8 1 -4 3 4 A -5 6 6 _______„ V 1000 + 181 A A ^434 d) E x. 4.3.11.1 Exemplo de cálculo da linha de influência de momento fletor na seção do apoio interme­ diário de uma viga continua com inércia variável: a) esquema da viga contínua, mostrando relações entre vãos e momentos de inércia; b) distribuição do momento + 1 000, aplicado no nó B : c) distribuição do momento + 1 000, aplicado nas seções dos tramos, junto aos apoios: d) esquema da linha de influência do momento na seção B (LI MB). Os momentos de inércia são calculados com a seção geométrica de con­ creto, considerando-se a largura efetiva (b ) da laje [17]. Admitindo-se para a relação das inércias no tramo e no apoio: —s*2- = 0,20, ^apoio calcular as linhas de influência. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 127 S o l u ç ã o : Obtemos nas tabelas os seguintes coeficientes de-rigidez [8] e as porcentagens de distribuição: k° k b a k BC 10,95 = 9,38 4,02 5,01 1,25/, = 7,76 (51 %) = 7,50 (49%) = momento de inércia no meio do tramo central e no extremo do vão lateral. /j = vão do tramo lateral. I O coeficiente de propagação no tramo 6,14 %c — 9,38 BC vale: 0,65. Com estes coeficientes, pode-se fazer a compensação de um momento + 1000 aplicado no apoio B (Fig. b). A distribuição dos momentos 4- 1000, aplicados nas seções da viga junto aos nós, está indicada na Fig. c, sendo os valores decorrentes dos resultados da compensação da Fig. b. A linha de influência de momentos sobre o apoio B se obtém de maneira análoga ao exemplo da Fig. 4.3.10 com as expressões: Tramo AB LI M g = 0,434 L I M° ba Tramo BC LI M = 0,566 L I M Tramo CD LI Mg = 0,181 L I M°c d . b bc + 0,181 L I M CB As linhas de influência de momentos em tramos simples engastados (M) ou engastados e rotulados (M°) acham-se igualmente tabelados [8], permitindo o cálculo das ordenadas da linha de influência fundamental ( L I M B). Comparando os Quadros 4.3.5 e 4.3.1, observa-se que as ordenadas de L I M B são maiores no caso de inércia variável. Isto significa que, aumentando-se a inércia sobre os apoios, os momentos nos mesmos apoios serão aumentados, e, em conseqüência, os momentos nos tramos serão diminuídos. Tal circunstância é muito favorável, pois o momento aumenta na região onde a altura da viga foi também aumentada. A redução da altura (e do peso próprio), no meio do tramo, tem a vantagem adicional de reduzir os momentos de peso próprio. A distribuição do momento -l- 10ÜU, aplicado no ponto B da viga, pode ser feita considerando o carregamento decomposto em carga simétrica e antissimé- o> § 2 3 .260 as S -1 « 2 CQ ^ ^ ^ .047 .041 .170 .031 .017 •o O f .093 f .270 -.088 -.120 -.146 -.156 -.146 -.115 -.064 .065 -.186 .111 -.185 .156 -.156 .185 -.111 .186 -.065 .154 -.028 .089 -.006 ~ -.566 x 1,25 .181 x 1,25 -.074 -.170 oo -.099 -.113 -.117 -.227 -.092 -.066 - -.034 (N -.079 m .434 O VO LZZ -.270 v£> -.253 sá -.212 t-~ -.260 CL Fator o -.152 o ’© « © Tramo Cálculo das ordenadas da linha de influência de momentos fletores na seção sobre j PONTES EM CONCRETO ARMADO o OO Q OU ^ -, 3 “J SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 129 trica. Para carga simétrica, teremos os seguintes coeficientes de rigidez e de dis­ tribuição: “( 10,95 - w) T " 7,76 k BC = (9,38 - 6,14) = 2,59 ± x - ,75%) (25 %). Para carga antissimétrica, obtemos: K a k BC 7,76 - y - (38%) = 12,42 - j - (62 %). = = (9,38 + 6,14) - ~ 5 l^ A distribuição dos momentos é realizada nas Figs, e, f, obtendo-se o resultado final, pela semi-soma das cargas simétrica e antissimétrica (Fig. g). + IOOO ^ _____ _ w r » i - 7 5 0 I- 250 k -IOOO 250 750 +- IOOO + 4000 J. 3 8 1 1- 621 -3 8 0 I -620 -620 -380 -185 185 +- IOOO -5 6 5 -435 E x . 4 .3 .1 1 .1 Exemplo de cálculo de L I M B: e) distribuição do momento 1 000, como carga simétrica; f) distribuição do momento 1 000, como carga antissimétrica; g) combinação das distribuições (e ), (/), fornecendo o mesmo resultado da Fig. b. As demais linhas de influência de momentos são obtidas de maneira análoga à do Ex. 4.3.6.1. 4.3.12 Tabelas de linhas de influência para vigas de inércia variável Encontram-se também publicaras [10] tabelas de linhas de influência para vigas contínuas de inércia variável. A disposição dessas tabelas é semelhante à das tabelas de Anger [9], As vigas, cujas linhas de influência foram tabeladas em [10], são análogas às do Ex. 4.3.11.1, tendo os vãos laterais e central com altura variável em toda T A B . 4.3.3 Linhas de influência para viga contínua de 3 vãos, com inércia variável i 10] I : 1,25 : 1 L inhas de influência dos m om entos fle to re s nos pontos (ordenadas Posição 1 2 3 4 5 6' 7 8 /,) 9 10 11 de carga 0 0 0 0 0 0 0 -0 0 0 0 0 1 0 ,0 8 6 8 0 ,0 7 3 6 0 ,0 6 0 4 0 ,0 4 7 2 0 ,0 3 4 0 0 ,0 2 0 8 0 ,0 0 7 5 0 ,0 0 5 7 0 ,0 1 8 9 0 ,0 3 2 1 2 0 ,0 7 3 8 0 ,1 4 7 7 0 ,1 2 1 5 0 ,0 9 5 3 0 ,0 6 9 2 0 ,0 4 3 0 0 ,0 1 6 9 - 0 ,0 0 9 3 0 ,0 3 5 5 - 0 ,0 6 1 6 0 ,0 5 3 1 3 0 ,0 6 1 4 0 ,1 2 2 8 0 ,1 8 4 1 0 ,1 4 5 5 0 ,1 0 6 9 0 ,0 6 8 3 0 ,0 2 9 6 0 ,0 0 9 0 0 ,0 4 7 6 0 ,0 8 6 2 - 0 ,0 7 4 3 4 0 ,0 4 9 6 0 ,0 9 9 3 0 ,1 4 8 9 0 ,1 9 8 5 0 ,1 4 8 1 0 ,0 9 7 8 0 ,0 4 7 4 - 0 ,0 0 3 0 - 0 ,0 5 3 4 - 0 ,1 0 3 7 0 ,0 8 9 4 5 0 ,0 3 8 8 0 ,0 7 7 5 0 ,1 1 6 3 0 ,1 5 5 1 0 ,1 9 3 9 0 ,1 3 2 6 0 ,0 7 1 4 0 ,0 1 0 2 - 0 ,0 5 1 1 - 0 ,1 1 2 3 - 0 ,0 9 6 8 6 0 ,0 2 8 9 0 ,0 5 7 9 0 ,0 8 6 8 0 ,1 1 5 7 0 ,1 4 4 7 0 ,1 7 3 6 0 ,1 0 2 5 0 ,0 3 1 5 - 0 ,0 3 9 6 -0 ,1 1 0 7 - 0 ,0 9 5 4 7 0 ,0 2 0 2 0 ,0 4 0 4 0 ,0 6 0 6 0 ,0 8 0 8 0 ,1 0 1 0 0 ,1 2 1 2 0 ,1 4 1 3 0 ,0 6 1 5 -0 ,0 1 8 3 0 ,0 9 8 1 - 0 ,0 8 4 5 8 0 ,0 1 2 5 0 ,0 2 5 1 0 ,0 3 7 6 0 ,0 5 0 1 0 ,0 6 2 7 0 ,0 8 7 7 0 ,1 0 0 2 0 ,0.128 - 0 ,0 7 4 7 0 ,0 6 4 4 9 0 ,0 0 5 9 0 ,0 1 1 7 0 ,0 1 7 6 0 ,0 2 3 5 0 ,0 2 9 3 0 ,0 7 5 2 -------- 1!-------0 ,0 3 5 2 0 ,0 4 1 0 0 ,0 4 6 9 0 ,0 5 2 8 - 0 ,0 4 1 4 0 ,0 3 5 6 0 10 0 0 11 - 0 ,0 0 6 4 - 0 ,0 1 2 7 0 ,0 1 9 1 0 0 ,0 2 5 5 0 0 ,0 3 1 8 0 0 ,0 3 8 2 0 0 ,0 4 4 6 0 0 - 0 ,0 5 0 9 - 0 ,0 5 7 3 0 0 ,0 6 3 7 - 0 ,0 2 7 6 0 0 ,0 5 2 9 12 0 ,0 1 1 1 0 ,0 2 2 2 - 0 ,0 3 3 3 0 ,0 4 4 4 0 ,0 5 5 5 - 0 ,0 6 6 5 0 ,0 7 7 6 0 ,0 8 8 7 0 ,0 9 9 8 0 ,1 1 0 9 0 ,0 0 4 9 13 0 ,0 1 3 8 0 ,0 2 7 6 - 0 ,0 4 1 3 -0 ,0 5 5 1 0 ,0 6 8 9 - 0 ,0 8 2 7 - 0 .0 9 6 5 - 0 ,1 1 0 2 -0 ,1 2 4 0 0 ,1.378 - 0 .0 4 4 7 14 0 ,0 1 4 4 0 ,0 2 8 9 0 ,0 4 3 3 0 ,0 5 7 8 0 ,0 7 2 2 0 ,0 8 6 7 -0 ,1 0 1 1 0 ,1 1 5 6 0 ,1 3 0 0 - 0 ,1 4 4 5 0 ,0 6 6 2 15 0 .0 1 3 4 0 ,0 2 6 8 0 ,0 4 0 2 0 .0 5 3 6 - 0 ,0 6 7 0 - 0 ,0 8 0 4 - 0 ,0 9 3 8 0 ,1 0 7 2 0 ,1 2 0 6 - 0 ,1 3 4 0 0 ,0 7 1 5 16 0 ,0 1 1 1 0 .0 2 2 2 0 ,0 3 3 4 0 .0 4 4 5 - 0 ,0 5 5 6 - 0 ,0 6 6 7 0 ,0 7 7 8 0 ,0 8 9 0 - 0 ,1 0 0 1 - 0 ,1 1 1 2 - 0 ,0 6 4 5 17 0 .0 0 8 2 0 ,0 1 6 4 0 ,0 2 4 5 0 .0 3 2 7 0 ,0 4 0 9 0 ,0 4 9 1 - 0 ,0 5 7 2 0 ,0 6 5 4 - 0 ,0 7 3 6 0 ,0 8 1 8 0 ,0 4 9 9 18 0 ,0 0 5 1 0 ,0 1 0 2 0 ,0 1 5 3 0 .0 2 0 4 0 ,d 2 5 5 0 ,0 3 0 6 0 ,0 3 5 8 - 0 ,0 4 0 9 0 ,0 4 6 0 - 0 ,0 5 1 1 0 ,0321 19 0 ,0 0 2 3 0 ,0 0 4 7 0 ,0 0 7 0 0 ,0 0 9 3 0 ,0 1 1 6 0 ,0 1 4 0 0 ,0 1 6 3 0 ,0 1 8 6 • - 0 ,0 2 0 9 - 0 ,0 2 3 3 - 0 ,0 1 4 8 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 ,0 0 1 6 0 ,0 0 3 2 0 ,0 0 4 8 0 .0 0 6 3 0 ,0 0 7 9 0 ,0 0 9 5 0 ,0 1 1 1 0 ,0 1 2 7 0 ,0 1 4 3 0 ,0 1 5 9 0 ,0 1 0 1 22 0 ,0 0 2 9 0 ,0 0 5 7 0 ,0 0 8 6 0 ,0 1 1 4 0 ,0 1 4 3 0 ,0 1 7 2 0 ,0 2 0 0 0 ,0 2 2 9 0 ,0 2 5 8 0 ,0 2 8 6 0 ,0 1 8 3 23 0 ,0 0 3 8 0 ,0 0 7 5 0 ,0 1 1 3 0 ,0 1 5 0 0 ,0 1 8 8 0 ,0 2 2 6 0 ,0 2 6 3 0 ,0 3 0 1 0 ,0 3 3 8 0 ,0 3 7 6 0 ,0 2 4 0 0 ,0 1 7 0 0 ,0 2 1 2 0 ,0 2 5 4 0 ,0 2 9 7 0 ,0 3 3 9 0 ,0 3 8 2 0 ,0 4 2 4 0 ,0 2 7 1 24 0 ,0 0 4 2 0 ,0 0 8 5 0 ,0 1 2 7 25 0 ,0 0 4 3 0 ,0 0 8 6 0 ,0 1 2 9 0 ,0 1 7 2 0 ,0 2 1 5 0 ,0 2 5 8 0 ,0 3 0 1 0 ,0 3 4 4 0 ,0 3 8 7 0 ,0 4 3 0 0 ,0 2 7 5 26 0 ,0 0 4 0 0 ,0 0 8 0 0 ,0 1 1 9 0 ,0 1 5 9 0 ,0 1 9 9 0 ,0 2 3 9 0 ,0 2 7 8 0 ,0 3 1 8 0 ,0 3 5 8 0 ,0 3 9 8 0 ,0 2 5 4 0 ,0 1 9 8 0 ,0 2 3 1 0 ,0 2 6 4 0 ,0 2 9 7 0 ,0 3 3 1 0 ,0 2 1 1 21 0 ,0 0 3 3 0 ,0 0 6 6 0 ,0 0 9 9 0 ,0 1 3 2 0 ,0 1 6 5 28 0 ,0 0 2 4 0 ,0 0 4 7 0 ,0 0 7 1 0 ,0 0 9 4 0 ,0 1 18 0 ,0 1 4 2 0 ,0 1 6 5 0 ,0 1 8 9 0 ,0 2 1 3 0 ,0 2 3 6 0 ,0 1 5 1 29 0 ,0 0 1 2 0 ,0 0 2 5 0 ,0 0 3 7 0 ,0 0 4 9 0 ,0 0 6 1 0 ,0 0 7 4 0 .0 0 8 6 0 ,0 0 9 8 0 ,0 1 1 1 0 ,0 1 2 3 0 ,0 0 7 9 3Ó 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. JA JB Je VIGAMENTO PRINCIPAL — 131 JC JD Reações ile apoio 12 13 14 15 % 16 *10 Esforços cortantes ’■(0.10) (10.20) Mom entos M om entos com c a r­ com cargc gas p a rcia is uniformes uniform e g '\ C a rg a no C a rg a no 1 2." tra m o tram o Os momentos máximos nos pontos 1 a 4 podem ser obtidos multiplicando o momento máximo M s pela relação dos coeficientes indicados na Fig. 4.4.1. Fig. 4.4.2 Esforços cortantes de carga móvel em viga simples: a) posição da carga móvel para V0 máx; b) posição da carga móvel para V 3 máx; c) envoltória dos esforços cortantes máximos provocados pela carga móvel distribuída; d) envoltória dos esforços cortantes máximos provocados pelas três cargas concentradas. 144 PONTES EM CONCRETO ARMADO No caso dos esforços cortantes, a inspeção das linhas de influência (Fig. 4.3.12a, b) mostra que os esforços cortantes máximos provocados pela carga móvel dis­ tribuída variam segundo os coeficientes da Fig. c. Para cargas concentradas, pode ser admitida uma variação linear da envoltória de esforços cortantes má­ ximos, a qual é a favor da segurança, obtendo-se a envoltória da Fig. d. E x e m p l o 4.4.2.1 — Uma passarela, com vão simplesmente apoiado de 20 m, tem um peso próprio de 3 toneladas força por metro linear. A carga útil é de 300 kgf/m2, aplicada numa largura de 2,25 m. Calcular as envoltórias de mo­ mentos e cortantes de peso próprio e carga útil. Solução: a) Diagramas de peso próprio Momento no meio do vão' 3 x 202/8 = 15 mtf O diagrama de momentos é uma parábola. Esforço cortante no apoio: 3 x 20/2 = 30 tf O diagrama é linear, anulando-se no meio do vão. b) Envoltórias de carga útil A carga útil vale 2,25 x 0,3 = 0,675 tf/ml. Momento no meio do vão: 0,675 x 202/8 = 33,8 mtf A envoltória de momentos é uma parábola. Esforço cortante no apoio: A envoltória de esforços cortantes segue os valores da Fig. 4.4.2c g = 3 tf/m 1 m 1 m m m m m 1 m I N 1 1! I I a) / s. 1 20 m A ______ _ ] Mg E x . 4 .4 .2 .1 Cálculo das envoltórias de momentos e esforços cortantes de uma viga simplesmente apoiada, sujeita a carregamento uniformemente destribuído. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. 4.4.3 VIGAMENTO PRINCIPAL — 145 Pontes ferroviárias Nas pontes ferroviárias, as posiçoes carga determinantes das solicitações mais desfavoráveis em cada seção, são obtidas por tentativas. Para cargas do tipo Cooper, existem tabelas que fornecem o eixo da locomotiva a ser colocada em cada seção, para produzir, na mesma, o momento fletor máximo. Acham-se também tabeladas as solicitações máximas produzidas em tramo simplesmente apoiado, por cargas móveis do tipo Cooper. 4.5 DETERMINAÇÃO APROXIMADA DAS ENVOLTÓRIAS DE SOLICITAÇÕES EM VIGAS CONTÍNUAS Os valores rigorosos das envoltórias de solicitações de estruturas contínuas são determinadas por pontos, com auxílio das linhas de influência. As envoltórias dos momentos positivos podem ser representadas, aproxima­ damente, por trechos de parábolas, definidas pelos valores calculados nos pontos 4, 8, 12, 15 (Fig. 4.5.1). As envoltórias de esforços cortantes podem ser representadas, aproxima­ damente, por segmentos retilíneos ligando os valores determinados para os pontos 0, 4, 10, 15 (Fig. 4.5.2). Fig. 4.5.2 Envoltórias aproximadas de esforços cortantes em viga contínua. E x e m p l o 4.5.1 — Uma ponte rodoviária de classe 24 tem as dimensões indi­ cadas na figura. O peso próprio é de 10 tf/m, cabendo 5 tf/m a cada viga prin­ cipal. Calcular os diagramas de momentos fletores e esforços cortantes, para carga permanente, bem como as envoltórias aproximadas para carga móvel com impacto, para o tem-tipo simplificado do anteprojeto (Fig. 4.6.3c). 146 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4 8 10 20 4--------------- 1----- Z?----------------------------------- 2 . i E x . 4 .5 .1 = 2 0 . 0 0 ffl - ,________ P - 2 0 .0 0 m Cálculo aproximado das envoltórias de momento e esforços cortantes de uma viga contínua a) seção transversal; b) esquema da viga. a) Diagramas de carga permanente. A carga permanente por viga principal é de 5 tf/m. O momento fletor no apoio intermediário vale Solução: - 5 x 202/8 = - 250 mtf Momento fletor nos pontos 4 e 8; M . = «4 M . = g» 24 0,4 x 250 + — 250 = + 140 mtf 25 - —0,8 x 250 + 25 ^ 250 = - 40 mtf Esforços cortantes nos pontos 0, 4 e lOe; Ko _ C V. 20 ■ X 2 - li o =5 x X = 37,5 - 5 250 20 X K *- J 20 250 + 20 2 Os diagramas estão representados nas Figuras c. d g - E x . 4 .5 .1 5 tf/m Diagramas de solicitações de carga permanente c) diagrama M g: d) diagrama V f . SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 147 b) Trem-tipo de carga móvel. Para o cálculo do trem-tipo simplificado, o peso do veículo pode ser redu­ zido para 24 - 0,4 x 6 x 3 = 16,8 ti A faixa principal de tráfego é encostada na barreira lateral, estando sua resul­ tante a 25 cm do eixo da viga. E x . 4 .5 .l e cálculo do trem-tipo simplificado da viga principal. A faixa secundária ocupa uma largura de 2,75 m, até o eixo da outra viga principal. Admitindo o peso do veículo reduzido a uma única carga, obtemos. q = Q 0,4 x 3 x 4.25/4.50 + 0,3 x 2,752/2 x 4.50 = 1.39 tf/m = 16.8 x 4.25/4.5 = 15.87 tf XA = 0 , 1 2 5? Z E\ qio 0,096 f 11111111111 rm- = 1,4 - 0,7% 1 = 1,4 - 0,7% x 20 = 1,26 d) Solicitações de carga móvel com impacto, nos pontos 4, 8, 10 (Fig. 4.5. lf). Solicitação ', + y , + yd) h = 3 Q lt y mtd (>g S T O 1 L B L B (y e) R C L 1, STO 2 L B L C (y d) R C L 1, - , C H S , R C L 2, -, 2 + , 3 1,5 x, 0,1 lm C H S , 1 + , R C L 1, x , R T N Ç y m ti). M„ LBLA Fig. 4.6.5 Cálculo do momento M m, provocado por três cargas concentradas, utilizando-se a O programa indicado se refere à calculadora H P - 97. L I M. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 163 As áreas das linhas de influência, nos tramos, podem ser obtidas dos dia­ gramas de momentos fletores para cada vão carregado (Tab. 4.3.2), desde que o tramo esteja totalmente carregado. As linhas de influência dos pontos 9, 11, 12 apresentam, entretanto, inversão do sinal nos tramos a que pertencem os pontos, devendo então carregar-se apenas parte desses tramos. O cálculo das áreas parciais pode ser feito assimilando-as a parábolas ou triângulos, como indicado na Fig. 4.6.6. Fig. 4.6.6 Linha de influência com carregamento parcial do tramo: a) linha de influência de momentos ( L I M ) , exemplificada para o ponto 9; b) carga móvel distribuída q, colocada para se obter o maior momento positivo; c) carga móvel distribuída q, colocada para se obter o maior momento negativo; d) determinação do ponto de ordenada nula na linha de influência; e) área da parte positiva da linha de influência no tramo 0 - 1 0 ; f) área da parte negativa da linha de influência no tramo 0 -1 0 . Aplicando-se a sistemática da Fig. 4.6.6 às linhas de influência de momentos dos pontos 9, 11, 12, obtemos: P o n to a a /l °’2 + 12 0,7 + 3Uo A'IP 0,0581 x 0,27 = 0,0078 0,80 x 0,0327 x 0,73 = 0,0191 = °’25 — 0,062 x 0,25 = 0,0078 0,80 x 0,0394 x 0,75 = 0,0236 0 ,1 = 0,75 0,1209 x 0,75 = 0,0455 0,80 x 0,0014 x 0,25 = 0,0003 °-7 + W 0’1 = 0 ’73 11 +h 2 2 O cálculo da área A r, assimilada a um triângulo (Fig. 4.6.6e), é obviamente a favor da segurança. O cálculo da área A ~ , assimilando a curva a uma elipse, 164 — PONTES EM CONCRETO ARMADO produz resultados muito próximos dos valores exatos. A soma das áreas ( A + + A ~ ) deve igualar o momento no ponto, para o vão carregado com carga uniforme, o qual pode ser obtido na Tab. 4.3.2. Nos pontos calculados acima, as discrepâncias encontradas são da ordem de 10%. O cálculo numérico das envoltórias de momentos da carga móvel é feito nos Quadros 4.6.5 e 4.6.6. Para os momentos negativos nos pontos 1 a 6, as cargas concentradas po­ deriam estar posicionadas no balanço à esquerda do ponto 0, ou no tramo 10-20. Para dirimir as dúvidas, foram calculados os valores dos momentos nas duas posições das cargas concentradas, adotando-se apenas a posição correspondente ao maior valor do momento. Os momentos calculados acham-se nos parênteses do Quadro 4.6.5. A fim de definir as parcelas de cargas distribuídas nos tramos e nos balanços é conveniente esquematizar as linhas de influência mais representativas (Fig. 4.6.7) mm il 1111111111 h iimimi] ti IH ; m i d, iiüiinii rmniTin mntr 13 Q 15 Fig. 4.6.7 Esquemas das linhas de influência de momentos, desenhadas com a finalidade de definh­ as parcelas de cargas distribuídas nos vãos e no balanço, a serem incluídas nos quadros 4 6.5 e 4.6.6. 0,0310 0,0078 0,0151 0,0820 0,0318 0,0134 0,1268 0,0629 0,0117 o 0,1610 0,0839 0,0100 o 0,1809 0,0949 0,0084 o 0,1657 i 0,1833 0,0959 0,0067 o 0,0869 0,0050 o 0,1259 0,0680 0,0033 o 0,0626 0,0390 0,0017 o + + + + 3 x 11,19 x 20 11,19(5 + 3,5 + 2) OO OO 240,5 Tf O 00 © 241,3 SO r- 217,1 r-~- Tf 166,7 OO m 88,9 Os - 3 x 11,19 x 20 C a rg a o S in a l Envoltórias de momentos no tramo SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL ’naécl' na para três cargas concentradas espaçadas de 1,5 m. a) esforço'cortante positivo; b) esforço cortante negativo. O esforço cortante no ponto (m ) é dado por: V „ = 3Q y mU influência de esforços cortantes, 168 — PONTES EM CONCRETO ARMADO para esforço cortante nos pontos tramo 0-10: 0d e 10e, para a carga distribuída P o n to V a lo r e x a to V a lo r a p r o x im a d o E rro 0d 0,4398 0,47 1% Kte 0,5602 0.53 5% q atuando no Os esforços cortantes nos pontos do balanço são determinados diretamente, considerando-se a primeira carga concentrada na extremidade do balanço: 4.6.9 Reações de apoio V = 11,19 ~ 11,2 tf Vb = V0e = 11,19 x 3 + 2,88 x 5 = 48,0 tf. Rq provocados pela carga móvel 11,19 x 2 + 2,88 x 5/2 = 29,6 tf As reações de apoio provocadas pela carga móvel podem ser obtidas com as linhas de influência respectivas, procedendo-se de maneira análoga à indicada para os esforços cortantes. A linha de influência de reação no ponto 0 é igual à L I V0íl, somando-se + 1 às ordenadas no balanço à esquerda de 0, para se incluir o esforço cortante à esquerda do apoio 0. A reação máxima vale: R o = Vo d + <7 x 5 = 61,0 + 2,88 x 5 = 75,4 tf. A reação mínima é obtida carregando-se o tramo 10-20 e o balanço à direita do ponto 30: R0 = - 3 x l 1,19 x 0,107 - 2,88 x 25 x 0,8 x 0,1094 - y 2,88 x 5,02 x 0,0067/20 ~ - 10 tf. No cálculo acima, a ordenada média 0,107, referente às cargas concentradas, foi calculada com o programa da Fig. 4.6.5. •2 VIGAMENTO PRINCIPAL — 169 oo © © m (N rí + II II + ©' I o Fig. 4.4.8b Fig. 4.4.9 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. Os o” st ©' X § S ® O' CÎ o r-~ O VI ©' C*7 m Ö X + o «o o 1 ° T o. +' — X ° 8 8 Cl t X ® Tf Os © 1 Tf © ©' Os vi 04 © ©' Tf Os © ©' Tf Vl © ©' ©' £ " * ® t d p©r ©' 2 so" Tf © © © rs so so' rs r~ Vi © © rs °\ rn m X oo 4. 1 = 1,24 significa um acréscimo de 24% nas solicitações pro­ vocadas pelas cargas móveis. Nos balanços, o vão a considerar na Fórm. 3.4.1 vale / = 5,0 m obtendo-se: 172 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Ç> = 1,4-0 ,7 % 5 = 1,37 Para os momentos negativos, provocados no primeiro vão pelas cargas si­ tuadas nos balanços, podemos considerar a média aritmética do balanço e do vão: l = y (5 + 20) = 12,5 1,4 —0,7 % 12,5 = 1.31

a b K

1,5% t c = 0,24 / / * <4-8-3) tc = (4.8.3a) 0,45y f f ~k, interpolando-se linearmente para valores intermediários de pv p t = A J b nd = menor porcentagem geométrica da armadura longitudinal no trecho de comprimento 2h, a partir do apoio. As modernas edições do CEB e da AASHTO consideram um único valor de rc, dado pela Fórm. 4.8.3a, tendo em vista que as armaduras transversais mí­ nimas especificadas e as regras de prolongamento de armaduras até o apoio tornam desnecessária a redução de xc em função de p r Quando se considera o efeito favorável do momento fletor (Fórm. 4.7.4a), adota-se t, = 0. A solução com xc = 0 corresponde ao esquema de treliça com bielas comprimidas inclinadas a 45°, sendo conhecida como a teoria clássica do cisalhamento. A Fórm. 4.7.3 pode também ser expressa em função de um coeficiente r]t de redução: Pt (4.8.1a) 1,15 V fs (4.8.4) A tensão de cisalhamento r tv da Fórm. 4.7.4 ou 4.7.4a é usada, preliminar­ mente, para verificar se as larguras previstas para as vigas são satisfatórias do ponto de vista do cisalhamento. As normas prescrevem valores limites de x 0i [17], No caso de estribos verticais, a NB1 recomenda: ^ um = °'25 £ 45 kgf/cm2 (4.7.4b) yC As Recomendações do CEB e a NB1 estipulam, para o cálculo da armadura transversal, reduções nos esforços cortantes provocados por cargas superiores situadas próximo aos apoios. A verificação da resistência do concreto (Fórm. 4.7.4b) se faz com o maior valor do esforço cortante, sem reduções. A norma AASHTO [3] considera o cortante máximo calculado numa seção à distância d da face do apoio, tanto para o cálculo da armadura, como para verificar a resistência do concreto. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 179 Com a Fórm. 4.7.3 ou a 4.7.3a, pode-se determinar a área de armadura trans­ versal (estribos) para cada seção. Em cada trecho em que foi dividido o tramo (por exemplo, décimos do vão), obtém-se a área total de armadura transversal (estribos), multiplicando-se os valores p ,, determinados para as seções da extre­ midade do trecho, pelo comprimento A^. do trecho: A, = P,- Ax (4.8.5) O valor A t, calculado em cada seção, pode ser usado até o meio dos trechos contíguos. A armadura de ferros dobrados A ta, disponível em cada trecho, é então subtraída da área total necessária, obtendo-se como saldo a área de estribos necessários A Jncc no trecho. As barras inclinadas trabalham teoricamente com maior eficiência que as barras verticas (estribos) na absorção dos esforços de cisalhamento; este fato é levado em conta, multiplicando-se a área A tx por um fator de ampliação (sen oc + cos a). A área necessária de estribos é, então, dada por: A ,n e o = A, ~ A ,a (Sen <* + COS « ) (4.8.6) A Fórm. 4.8.6 aplica-se a grupos de barras dobradas, nos quais o espaçamento longitudinal entre barras não ultrapasse a metade da altura útil da viga. No caso de um grupo de barras longitudinais dobradas à mesma distância do apoio, for­ mando uma linha isolada de barras dobradas, adota-se a fórmula A , n*c = A, ~ A " ' sen a (4.8.7) Nos casos particulares de grupos de barras dobradas a 45° e a 60°, a Fórm. 4.8.6 nos dá: A 1 nec At At45 \ T ^ 4n .c = 4 - 4 6 0 x U 7 (4.8.6a) (4.8.6b) Determinando-se, em cada trecho, a área necessária de estribos, pode-se calcular o seu espaçamento para a bitola escolhida. O detalhamento final dos estribos é feito levando-se em conta algumas reco­ mendações (Fig. 4.8.2): a) pelo menos 40% do esforço de cisalhamento deve ser absorvido por estribos; b) nos trechos entre os apoios e a distância 0,8 d dos apoios, a totalidade do esforço transversal deve ser absorvida por estribos; c) o espaçamento máximo entre os estribos deve ser inferior à metade da altura útil da viga (0,5 d), não podendo ultrapassar 30 cm; 180 — PONTES EM CONCRETO ARMADO d) os estribos de vigas de pontes devem ser fechados, conferindo à seção uma certa resistência à torsão; e) o diâmetro dos estribos deve ser suficiente para dar rigidez aos mesmos, evitando-se o emprego de andaimes para sustentá-los: os estribos usados nas pontes de concreto armado variam de 3/8", nas vigas com cargas leves, até 3/4" nas vigas com cargas pesadas. Da recomendação da alínea (a), pode resultar que as barras dobradas, dis­ poníveis em um trecho, sejam superabundantes. Essas barras poderão ser anco­ radas na direção longitudinal ou então prolongadas e dobradas em outro trecho, no qual haja carência de barras dobradas. Promove se assim um remanejamento das posições de barras dobradas, respeitando-se, naturalmente, a cobertura das envoltórias de flexão. Fig. 4.8.2 Regras de distribuição e ancoragem das armaduras longitudinais das vigas de pontes. Encontrando-se, em cada trecho da viga, uma combinação satisfatória de estribos e barras dobradas, prepara-se um esquema do tipo indicado na Fig. 4.8.1b, o qual serve de base para os desenhos construtivos da armação, com o que se conclui o projeto da viga principal. O Código Modelo CEB [2.4] adota as seguintes limitações para as tensões nas armaduras transversais: estribos /.= A Vf < 5 000 Vf kgf/cm2 (4.8.8) SUPERESTRUTURA DAS PONTES. barras dobradas VIGAMENTO PRINCIPAL — 181 0,7 f s < 0,7 y y ^ kgf/cm2 Para atender às limitações supra, a Fórm. 4.8.6 deverá ser alterada para: Anec = A, ~ °>7 A Jsen a + cos *)• (4.8.9) Nos casos particulares de grupos de barras dobradas a 45° e a 90°, a Fórm. 4.8.9 nos dá: A t nec = 4 - 1)14 A l4S A t nec = A , ~ i.io a (4.8.9a) (4.8.9b) , 60 Apesar das vantagens teóricas obtidas com ferros longitudinais dobrados, os ensaios revelam que estes ferros constituem apoios muito estreitos para as bielas inclinadas (treliça de cisalhamento), provocando fissuração do concreto. Quando a armadura transversal consta apenas de estribos (verticais ou inclinados), as bielas inclinadas de concreto apoiam-se na armadura longitudinal, que apre­ senta uma largura suficiente de apoio. Além disso, os ferros longitudinais do­ brados dificultam a concretagem, provocando segregação do concreto. Pelas razões expostas, a tendência moderna é de dimensionar toda a armadura trans­ versal sob forma de estribos. 4.9 4.9.1 CÁLCULO DE ARMADURAS DO VIGAMENTO PRINCIPAL. EXEMPLIFICAÇÃO Introdução Neste item, faremos o dimensionamento das armaduras das seções mais representativas do vigamento principal da ponte da Fig. 4.1.11, cujas envoltórias de solicitações foram calculadas no item 4.6.11. Vamos admitir, no exemplo, os seguintes materiais: a) concreto C220, isto é, resistência característica, b) aço CA-50, podendo ser do tipo A ou f ck = 220kgf/cm2; B. Para o dimensionamento das seções, usaremos, neste exemplo, os coefici­ entes de segurança desdobrados do CEB (1972): coeficiente de solicitações coeficiente do concreto yf = 1,5 7c = 1,5 coeficiente do aço y, = i,i5 Quando a carga permanente atua como elemento estabilizador, adota-se 7/ = 0,9. 182 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4.9.2 Dimensionamento a flexão, sem efeito de fadiga As seções sujeitas a momento positivo funcionam como vigas T, uma vez que a laje do tabuleiro também contribui para a resistência à flexão. Na Fig. 4.3.17b, acha-se desenhada a seção da viga T na parte central dos tramos, onde a largura da alma é de 40 cm. Geralmente, nas vigas T de pontes de concreto, a largura total da mesa de compressão é superabundante, em decor­ rência de seu dimensionamento como laje do tabuleiro. O dimensionamento da viga T é, entretanto, feito com a largura efetiva b e. Vamos calcular a armadura de flexão, na seção 15, onde atua o maior momento positivo, em serviço. M g+m = 671 mtf. A altura total vale h = 2,25 m. Admitimos um valor para a altura útil, por exemplo d = 2,15 m, verificando posteriormente se este valor é aceitável. O dimensionamento da viga T faz-se admitindo inicialmente, uma viga retangular com largura b = 4,05 m. Na Tab. 26 de [17], obtemos os parâmetros de cálculo dos materiais: fe = 125kgf/cm2 fs = 4350 kgf/cm2 = 2,9%. J S Para o dimensionamento da armação, usamos a Tab. 30 de [17]: Md ^ f cb d 2 1,5x671 nn„ 1250 x 4,05 x 2,152 ~ °’°43' Obtemos y / d = 0,043, donde y = 0,043 x 2,15 = 0,09 m < 0,25 m. Nessas condições, toda a área comprimida encontra-se na mesa, e o cálculo pode prosseguir como em seção retangular: f As = k y-b d = 0,043 x 2,9% x 405 x 215 = 108,6cm2. J S Pode também usar-se a Tab. 29 de [17]: A, = M d z -c . 1,5 x 671 0,997 x 2,15 x 4,35 107,9 cm2. Obtém-se um dimensionamento aproximado, a favor da segurança, supondo a resultante dos esforços de compressão atuando no meio da laje, vale dizer: = 2,15 - 0,125 = 2,03 m. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. M, _ A ° ~ z ■ VIGAMENTO PRINCIPAL — 183 114,3 cm2. 1", obtendo: 111,5 cm2. A colocação dos ferros na alma ( b 0 = 40 cm) obedece a diversos requisitos construtivos, a saber: a) espessura de recobrimento da armadura, destinado a oferecer proteção mecânica e química ao aço; b) espaçamentos entre barras, nas direções horizontal e vertical; c) distribuição das barras, de maneira a permitir a entrada do concreto e do vibrador até as camadas inferiores. Para o recobrimento da armadura (estribos), admitindo um meio ambiente que não seja fortemente agressivo, podemos adotar uma espessura de 2,5 cm, a qual deverá ser garantida por espaçadores de concreto ou de matéria plástica. O espaçamento entre as barras de armadura de uma camada horizontal é determinado pelas seguintes condições (NBl): a) 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado; b) diâmetro da barra; c) espaçamento mínimo construtivo 2 cm. Admitindo diâmetro máximo do agregado 2,0 cm 3/4"), concluímos que o espaçamento entre barras deve ser igual a 1" —2,54 cm. Admitindo ainda, para os estribos, diâmetro igual a 3/8" ^ 0,95 cm, verifi camos que, na largura de 40 cm, é possível colocar um número n de barras igual a; 2(2,5 + 0,95) + (2n - 1)2,54 < 40 cm n = 6. 3 ) Fig. 4.9.1 Distribuição das armaduras longitudinais nas seções usadas para dimensionamento: a) seção 15, b) seção 10, As As = 2 2 0 1" C A 5 0 \ = 2 5 0 1" 0150. 184 PONTES EM CONCRETO ARMADO A distribuição da armadura encontra-se na Fig. 4.9.1a. Para que se possa calcular a armadura como concentrada no seu centro de gravidade, a distância deste ponto à face inferior da armadura deve ser inferior a 6% d (NB1 6.3.1.2). Essa distância pode ser obtida com a expressão: [6 x 0,5 + 4(2 + 4 + 6 + 8)] = 9,6 cm < 0,06 x 2,15. A distância do centro de gravidade da armadura à face inferior da viga vale: 9,6 + 0,95 + 2,5 = 13,1 cm. No valor arbitrado para a altura útil, havíamo? admitido essa distância igual a 10 cm. Podemos agora repetir o dimensionamento com o valor mais preciso de d: d = 225 — 13 = 212 cm. Obtemos a armação: Ar = 108,6 215 212 110,1 cm2. Verificamos que a armadura adotada é suficiente. A armadura da Fig. 4.9.1a poderia ser disposta de maneira mais compacta, colocando-se 5(f> na 2.“, 3.“ e 4.a camadas. Obtém-se também maior compacidade grupando-se as barras em feixes. Para as demais seções sujeitas a momentos positivos, podemos adotar um número de barras proporcional aos respectivos momentos fletores de cálculo. Sob ação dos momentos negativos, as seções funcionam com retangulares, apresentando compressão na face inferior e tração na face superior. A seção de maior momento negativo é a 10, cujo momento em serviço vale —696 mtf; a lar­ gura da seção é b = 100 cm e a altura total h = 225 cm (Fig. 4.1.11c). Admitindo altura útil d = 215 cm, e empregando a Tab. 30 de [17], obtemos. d As = = fJp Íd l2 k -y-b d 1,5 x 696 = 0,181 1250 x 1,0 x 2,152 = 0,201 s x 2,9% x 100 x 215 = 125,3 cm2. J S Pode também usar-se a Tab. 29 de [17]: A. M 1,5 x 696 = 124,0 cm2. = z • a.i _ 0,9 x 2,15 x 4,35 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. Adotando armadura (f) VIGAMENTO PRINCIPAL — 185 1", necessitamos de As = 25 1" = 126,8 cm2 Parte da armadura negativa deve ser colocada na laje, para evitar a fissuração da mesma sob cargas em serviço. A armadura pode ser disposta como indicado na Fig. 4.9.1b, não devendo ocupar uma largura de laje superior a 0,25 Z0, sendo l0 a distância entre os pontos de inflexão da viga principal, de cada lado do apoio. As quatro barras da camada superior, correspondentes à largura de viga 40 cm, serão estendidas a toda a extensão dos tramos, fazendo-se emendas por justaposição. Quatro pares de barras estarão disponíveis como armadura transversal; essas barras poderão ser dobradas a 45° e ancorádas por aderência na parte inferior da viga. Como, entretanto, esta ancoragem se faz em zona de grande densidade de armação, deve-se dar preferência à dobragem de barras positivas ancoradas na face superior da viga. As demais seções sujeitas a momentos negativos têm largura variável entre b Q = 100 cm e i 0 = 40 cm. Como, entretanto, a largura tem pequena influência na área de armação A s (como se pode perceber na Tab. 29 de [17], pela pequena variação de z em função de /x), podemos tomar números de barras proporcionais aos valores da envoltória de momentos. Nas seções em que a carga permanente atua como estabilizante, os coeficientes de segurança a adotar para as solicitações Esta situação existe nas seções 0, 1, 8, 9, 10, 11, para momentos positivos, e nas seções 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 13, para momentos negativos. Nestas seções, para efeito da envoltória simples de armação, os momentos de cálculo são dados por: M d = 0,9 M g -I- 1,5 ( p M q . Procedendo da forma indicada acima, obtém-se a envoltória simples de armação, do tipo indicado em linha tracejada na Fig. 4.8.1a. Na exemplificação acima, foram adotados os coeficientes de segurança das Recomendações CEB/72 (Quadro 3.18.1, Fórms. 3.18.3 e 3.18.4). Poderemos também adotar, nos projetos de pontes, os coeficientes das novas Recomendações CEB/78 (Quadro 3.18.1, Fórms. 3.18.3a e 3.18.4a). No dimensionamento feito acima, o coeficiente de segurança de carga per­ manente (y ) foi admitido constante ao longo da estrutura. Num cálculo mais rigoroso, podem considerar-se os dois valores alternativos (por exemplo y g = 1,35 e y g = 1,00) para cada segmento da viga, obtendo-se duas curvas de momentos y g M g, em vez de um único diagrama. Praticamente, pode proceder-se da seguinte forma: 186 — PONTES EM CONCRETO ARMADO a) calculam-se as solicitações de carga permanente para a carga de cada tramo agindo isoladamente; b) para cada seção, combinam-se as solicitações provocadas pela carga de cada tramo, multiplicadas pelo coeficiente y g adequado (por exemplo y g = 1,35 ou y g = 1,00), conforme o efeito seja desfavorável (y = 1,35) ou favorável ( y g = 1,00) à segurança. O processo acima pode ser adotado para momentos fletores, esforços cor­ tantes e reações de apoio, obtendo-se, para cada solicitação de carga permanente, dois valores de projeto. 4.9.3 Critério de físsiiração, sob cargas em serviço O dimensionamento da armadura é feito no estado limite de projeto, sendo necessário verificar as condições de bom comportamento em serviço, entre elas a condição de fissuração. Para pontes situadas em ambiente não especialmente agressivo, a abertura máxima nominal das fissuras, em serviço, fica limitada a 0,2 mm (NB1, 4.2.2). A verificação pode ser feita com os ábacos de [17], correspondentes às fór­ mulas empíricas do CHB, para o caso de cargas repetidas. 4.9.4 Deslocamento horizontal das envoltórias de armação As envoltórias simples de armação, descritas no item 4.9.2, sofrem um pro­ cesso de deslocamento horizontal, para atender à ancoragem das bielas compri­ midas utilizadas nas treliças ideais de dimensionamento da armadura transversal. O deslocamento horizontal a t , no caso de estribos verticais, é dado pela fór­ mula (NB1 4.1.1.2): 5 = 1,5 - l,2ií, > 0,5, (4.9.1) sendo o coeficiente rj, definido na Fórm. 4.8.4. Não há, entretanto, necessidade de calcular um valor de a, para cada seção, podendo tomar-se um valor constante para cada tramo ou trecho da viga. A escolha da relação a j d , para cada região do vigamento, pode ser feita com os valores do Quadro 4.9.1. QUADRO 4.9.1 Valores simplificados da relação a jd segundo a norma NB1. V alor d e rjt T ip o d e a rm a d u ra tra n s v e r sa l < estribos verticais, com ou sem ferros dobrados estribos inclinados a 45° 0,6 1,00 0,75 0,6 a 0,8 > 0,8 0,75 0,50 0,50 0,25 SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 187 A armadura da viga deverá cobrir a envoltória deslocada, com os compri­ mentos de ancoragem das barras marcados para além dos pontos da envoltória deslocada. Além da cobertura da envoltória deslocada, parte da armadura deve ser prolongada até o apoio, como indicado na Fig. 4.8.2. 4.9.5 Fadiga das armaduras longitudinais As flutuações de tensões, em serviço, das barras de armadura longitudinal devem ficar limitadas a valores admissíveis (A 1", ancorada nos apoios intermediários, e admitindo para a alma da viga uma largura média b 0 = 60 cm, obtemos: _ 4 S| _ 6 x 5,07 60 x 215 P l~ b J ~ Na Tab. 34 de [17], com tc = A área At f ck = 0,24%. 220 kgf/cm2 e p( = 0,24%, obtemos: 3,9 ä 4,0 kgf/cm2 = 40 tf/m2. de armadura transversal (estribos) é dada pela fórmula: 4 1,15 b 0 (4.9.2) Entrando na fórmula acima com b 0 em metros, r 0d e xc em tf/m2, f s em tf/cm2, obtemos A t em cm2 por metro linear da viga. Considerando os valores numéricos % = 40tf/m2 e f yk = 5,0 tf/cm2, chegamos à expressão: A((cm2/m) - 4 0 (tf/m2) 5,0/1,15 b 0 (m). (4.9.2a) Aplicando a Fórm. 4.9.2a, podemos calcular as áreas de armadura trans­ versal (estribos), da forma indicada no Quadro 4.9.2. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 189 QUADRO 4.9.2 Tensões nominais de cisalhamento no estado limite de projeto transversal A (estribos verticais). Seção a b Õe °u 1 2 3 4 5 6 V Vi (t0 (tO (m) *0. (tf/m2) (cm2/m) 28 74 121 149 118 90 64 39 53 78 42 111 182 224 177 135 96 59 80 117 0,40 0,60 0,80 0,80 0,60 0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 49 86 106 130 137 157 112 69 93 136 0,8 6,3 .12.1 16,6 13,4 10,8 6,6 2,7 4,9 8,9 K Seção 1 8 9 10, 10„ 11 12 13 14 15 (y = 1,5) e área de armadura V Vd (tf) (tf) *o (m) «0. (tf/m2) A (cm2/m) 103 127 155 183 200 164 13 f 99 69 39 155 191 233 275 300 246 197 149 104 59 0,40 0,40 0,70 1,00 1,00 0,70 0,4 0,4 0,4 0,4 180 222 153 128 140 164 229 173 121 69 12.9 16.8 18,2 20,2 23,0 20,0 17,4 12,2 7,5 2,7 Nota — No Quadro 4.9.1 foi adotado yg — yq = 1,5. Para um cálculo mais rigoroso das solitações de projeto devidas à carga permanente, veja-se a nota ao final do item 4.9.2. As armaduras transversais de cálculo devem atender a valores mínimos, destinados a evitar ruptura brusca da viga, após a fissuração do concreto. Os valores mínimos especificados nas normas, para um trecho de viga de compri­ mento A x , são: aço CA-25 4 ml„ = 0,257o b 0 A x (4.9.3) aço CA-50 A tmín = 0 ,1 4 °/o b 0 A x No caso de aço CA-50, exprimindo-se b 0 em metros, a armadura transversal mínima vale (no exemplo, adotamos o mínimo 0,15%): aço CA50 K A . t min A t 0,40 0,60 6,0 9,0 min (cm2/m) = 15 b ( m) 0,70 10,5 0,80 12,0 1,00 15,0 m cni2/m As armaduras transversais, além de sua função principal de resistir aos esforços de tração produzidos pelo cisalhamento, são também utilizadas para absorver esforços muitas vezes não considerados nos cálculos, tais como: a) momentos fletores transversais transmitidos pela laje do tabuleiro à alma da viga; b) esforços decorrentes de diterenças de temperatura entre as faces da alma da viga, ou entre esta e a laje do tabuleiro. 190 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Para atender às solicitações supra, são muitas vezes adotadas armaduras construtivas mínimas. O DNER recomenda, para pontes do tipo do nosso exemplo, uma armadura construtiva mínima formada por estribos simples 03/8" CA-50 espaçados 15 cm, o que equivale a: A , min = 2 o j y 1 = 9>5 cm2/m. (4.9.4) Introduzindo no Quadro 4.91 as armaduras das Fórms. 4.9.3 e 4.9.4, obtemos em cada seção a armadura por metro linear a ser obedecida nos desenhos. A armadura determinada em cada seção pode ser adotada até o meio dos segmentos adjacentes. A armadura transversal poderá constar apenas de estribos, ou de estribos e ferros dobrados, procedendo-se da maneira indicada no item 4.8.3. Nos segmentos de viga adjacentes aos apoios, de comprimento igual a 0,8 d (~ 2 m), são colocados apenas estribos, uma vez que os ferros dobrados nessa região não oferecem boa ancoragem para as bielas inclinadas. Segundo a norma AASHTO [3], o dimensionamento dos estribos poderia ser feito com o esforço cortante calculado à distância d da face do apoio. No Quadro 4.9.3, calculamos os estribos junto aos apoios, utilizando o valor do esforço cortante no apoio teórico, o que apresenta uma certa folga. QUADRO 4.9.3 Cálculo dos estribos junto aos apoios. Seção 0 0 10 10 esq. dir esq. dir. 4» (cm/m) 12,1 16,6 20,2 23,0 2 2 2 2 E s tr ib o n ec e ssá rio E sp a ç a m e n to a d o ta d o aço C A 5 0 (cm) estribos 3/8 estribos 3/8 estribos 3/8 estribos 3/8 cada cada cada cada 23 cm 17 cm 14 cm 12 cm 20 15 10 10 4.9.8 Critérios alternativos para o cálculo da armadura transversal A parcela subtrativa tc da Fórm. 4.9.2 pode ser tomada com um valor inde­ pendente do percentual da armadura ancorada nos apoios, dado pela Fórm. 4.8.3a. Por outro lado, é também possível adotar rc = 0, caindo-se então na chamada teoria clássica do cisalhamento. As normas alemãs recomendam o emprego da teoria clássica, no caso de pontes. A cada valor de tc adotado no projeto, corresponde um deslocamento lateral dado pela Form. 4.9.1 ou pelo Quadro 4.9.1. Admitindo-se xc = 0 (teoria clássica), obtém-se a j d = 0,5 no Quadro 4.9.1. Considerando como representativa, na viga de nosso exemplo, a tensão t0(J = 130tf/m2, obtemos os seguintes valores: SUPERESTRUTURA DAS PONTES. tc = r]t = xc 4 kgf/cm2 = 6 kgf/cm2 r\t — VIGAMENTO PRINCIPAL — 191 0,70 0,54 a jd = a jd = 0,75 1,00. Em resumo, poderiam ser adotados os seguintes critérios alternativos para determinação da armadura transversal de cálculo: rc = 0, a jd = 0,5; xc = 4 kgf/cm2, a jd = 0,75; xc = 6 kgf/cm2, a jd = 1,00. 4.9.9 Fadiga das armaduras transversais Nas armaduras transversais, há também necessidade de se verificar a flu­ tuação de tensões com cargas de serviço. Nas barras dobradas, as flutuações de tensões admissíveis são as mesmas da armadura longitudinal (Arrs = 1800 kgf/cm2), porém nos estribos, as flutuações admissíveis são reduzidas a A a s = 1400 kgf/cm2, em vista da forte curvatura dessas barras nos cantos da viga. As malhas soldadas não devem ser usadas como armadura transversal de vigas de pontes, a menos que as variações de tensões fiquem limitadas a Aà = 800 kgf/cm2, com cargas em serviço [5.4], Nos estribos verticais, as tensões nas armaduras variam entre 0 e uma tensão máxima de tração, mesmo quando há inversão do sinal do esforço cor­ tante. A tensão nos estribos segue um diagrama aproximadamente bilinear, sendo representada pela fórmula: Aplicando-se a fórmula acima com os valores dos esforços cortantes Vg e e V , obtém-se a expressão da tensão máxima nos estribos, quando a armadura transversal ztt(cm2/m) é constituida de e s t r i b o s v e r t i c a i s : _ _9_ + CpV - T M A , ■d (4.9.6) Havendo inversão de sinal dos esforços cortantes em serviço (F + q> V ), as tensões nos estribos variam entre 0 e o valor máximo obtido na Fórm. 4.9.6. Se não houver inversão de sinal dos esforços cortantes em serviço, a variação de tensões é dada por ^ e Sl = < P ( K ^ . - V qmíJ / A t - d . (4.9.7) Quando a variação de tensões Acr ultrapassar Aer = 1400 kgf/cm2, multipli­ ca-se a área de armadura transversal por A o / A a (fator de fadiga). Nos Fechos do vigamento com e s t r i b o s e J e r r o s d o b r a d o s , o cálculo do efeito de fadiga pode ser feito para cada armação, considerando a fração do esforço cortante que toca a cada uma delas. 192 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Os ferros dobrados são em geral utilizados em regiões sem inversão do sinal do esforço cortante, de modo que a variação de tensões na armadura é provocada pelo esforço cortante de carga móvel. Em casos excepcionais onde o ferro dobrado fique comprimido, pode-se avaliar a tensão de compressão na armadura admitindo que a tensão média de compressão na biela inclinada é aproximadamente igual ao dobro da tensão con­ vencional de cisalhamento ( 0 ,3 °Á b d . A armadura suplementar cipal As: Ah (4.11.6) não deve ser inferior a 50% da armadura prin­ Ah > 50% A s. (4.11.7) Quando a carga do consolo se transfere para o corpo da viga, há necessidade de transferir uma parte da carga para a parte superior da viga, o que se consegue com uma armadura As, (Fig. 4.11.2b). E x e m p l o 4.11.3.1 — Calcular o dente de uma viga simplesmente apoiada, usando os coeficientes de segurança do CEB/72. O esforço cortante a ser resis­ tido vale: V = 88 tf; yf V = 1,5 x 88 = 132 tf PONTES EM CONCRETO ARMADO 198 S olu ção: a = Vamos aplicar a Fórm. 4.11.2. 30 cm; = 122 cm; h i c d = 157k gf/cm2; W = P, — d ~ 115 cm; b = 220kgf/cm2; 1 %: - °>55 y f s - ) '1 + 0,64) Adotemos uma largura f ck * 24 kgf/cm2. = 0,50 m. 132 = 0,56 x 1,15 = 236 tf/m2 < 24 kgf/cm2A articulação do apoio poderá ser: a) de concreto 0,20 x 0,40, a = 88 = 1.110 tf/m2 a; 110 kgl/cmz 0,2 x 0,4 b) de neoprene 0,30 x 0,40, 88 0,30 x 0,40 - 732 E x . 4 .1 1 .3 .1 73 k8f/Cml Armação de um dente de viga, com rótula de concreto ou de neoprene. a) fôrma e armação dos dentes; b) polígono de forças representando o equilíbrio entre os esforços atuantes (AO e resistentes; c) solução alternativa para ancoragem da armadura III. SUPERESTRUTURA DAS PONTES. VIGAMENTO PRINCIPAL — 199 Reconhecemos, na figura, três direções principais de armaduras. I e II são prolongamentos dos ferros inferiores e servem para pendurar a viga no dente; III é a armadura do consolo propriamente dito. Admitimos micialmente a força y f N deslocada para a direção 11, sendo o momento y f N x a absorvido pela armação íll: xa x 0,85 h t y fN m fs ' A seguir, decompomos a força y f N nas direções I e II, como indicado na Fig. b, onde o polígono de forças é fechado por uma contribuição do concreto. 1 2 u y rN \ = / s -2 Com os dados numéricos do problema, encontramos: 132 x 0,35 = 10,4 cm2 (4 0 3/4" CA-50). 4,35 x 0,85 x 1,20 Adotamos dois estribos horizontais abertos e ainda um suplemento de 4 0 (Illa) prevendo uma folga para esforços horizontais transmitidos pela rótula. Distribuídos na altura de cada dente, devemos colocar estribos horizontais com uma área total: y A m ca 5,2 cm2. Colocamos cinco estribos horizontais 0 3/8" (na figura desenhados apenas no dente superior), cuja área vale 7,1 cm2. Em seqüência, obtemos: 132 = - - - - - = 21,5 cm2 (8 0 3/4"); 1 4,35^2 A. ^ 132 = 4 ^ 2 = 15’2 Cm2(6<^ 3/4")- As armações I e II provêm de ferragem de flexão da viga prolongada até o apoio. Referindo ao dente superior, a armadura III deve estar ancorada para a direita da linha vertical II e para a esquerda da linha vertical N . Para a esquerda da linha vertical N , os estribos horizontais são colocados de modo a envolver a projeção horizontal dos apoios. 200 PONTES EM CONCRETO ARMADO Na figura c, indicamos uma alternativa para a posição III, consistindo em se soldar uma barra transversal junto às extremidades dos 4 3/4" CA-50. A posição II, no dente superior, deve estar ancorada para cima da ljnha horizontal III, enquanto a armadura I deve estar ancorada para a esquerda da linha vertical N . Estas ancoragens são obtidas, levando-se as barras até a parte superior da viga, como indicado no desenho. MESOESTRUTURA DAS PONTES. PILARES EM CONCRETO ARMADO 5.1 INTRODUÇÃO A mesoestrutura das pontes é constituída dos pilares, cuja função consiste em transmitir as cargas da superestrutura (estrado) para a infraestrutura (fun­ dações). . A cada linha transversal de apoio do estrado correspondem, geralmente, dois ou mais pilares, ligados, quase sempre, por vigas horizontais, formando um quadro transversal. A escolha do número de pilares e vigas depende de diversos fatores, tais como: largura do estrado, altura dos pilares, natureza da fundação etc. As pontes com estrutura principal constituída de pórticos ou quadros têm ligações das vigas com os pilares monolíticas, formando nós rígidos. Quando a superestrutura da ponte é constituída de vigas ou lajes, simples ou contínuas, suas reações são transmitidas aos pilares por intermédio de apa­ relhos de apoio, que se dividem em dois tipos: a) apoios que só permitam rotação da viga (rótulas), feitos de aço, concreto ou chumbo; b) apoios que permitam rotação e translação das vigas, feitos de aço (roletes ou pêndulos), concreto armado (pêndulos) ou placas de materiais elastoméricos. 5.2 TIPOS CONSTRUTIVOS DE PILARES DE PONTES Antes do advento do concreto armado como material de construção, os pilares das pontes eram construídos em concreto ciclópico ou alvenaria de pedra. Como 202 — PONTES EM CONCRETO ARMADO esses materiais praticamente não resistem à tração, os pilares eram construídos com dimensões transversais e peso próprio consideráveis. Após o desenvolvimento do concreto armado, no início deste século, os pilares de pontes são quase sempre construídos com este material. Fig. 5.2.1 Tipos de pilares usados em pontes com várias vigas principais: pilar em forma de parede transversal; b) solução em 4 pilares ligadas por viga superior de contraventamento; c) solução com 2 pilares ligados por travessa, na qual se apoiam as vigas principais inter­ mediárias; d) esquema de pórtico de vários andares, em pilar de grande altura. a) No projeto de pontes com várias vigas principais, os apoios das vigas podem ser constituídos por pareaes transversais (Fig. ó.2.1aj ou pilares separados ligados por vigas transversais (Fig. b, c). Em função da altura do pilar, poderão ser adotadas vigas transversais, em diversos níveis, formando um pórtico de vários andares (Fig. d). Fig. 5.2.2 Tipos de pilares usados em pontes com vigamento principal em viga caixão: a) b) c) d) pilar em forma retangular ôca, pilar com dois fustes circulares, ligados por viga transversal superior; pilar com dois fustes circulares sem vigamento transversal; idem, para viga caixão de grande largura, adotando-se mais de dois fustes de pilar. r ~ / 0 670 Fig. 5.2.3 Exemplo de ponte em viga caixão, com pilar central único em seção circular. Viaduto soBre a Avenida Brasil, em Bonsucesso, Rio de Janeiro. Projeto do autor (1950). a) seção e vista longitudinal; b) corte e vista superior ( A - A ) c) seção transversal. 204 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Nas pontes em vigas caixão, os pilares têm, em geral, as formas indicadas nas Figs. 5.2.2a, b. Pode-se melhorar o aspecto estético da Fig. b eliminando a viga transversal, como indicada na Fig. c, resultando entretanto, maiores solici­ tações transversais nos pilares. Nas vigas caixão de grande largura, pode haver conveniência em usar 3 ou mais fustes circulares (Fig. d), para não produzir soli­ citações exageradas na travessa de apoio embutida dentro da viga. Na Fig. 5.2.3, apresentamos uma solução com pilar único de seção circular, muito adequada para obras urbanas (ver a Foto 5.2.1). Foto 5.2.1 Vista inferior do viaduto da Fig. 5.2.3. A Fig. 5.2.4 mostra uma ponte rodoviária em viga caixão, com pilar formado por duas seções quadradas ligadas por uma parede transversal (ver a Foto 5.2.2). As exigências construtivas dos pilares são as mesmas indicadas nas alíneas (a) a (c) do item 4.1.6. Entretanto, como nos pilares há menor interesse que nas vigas em concentrar a armadura, podem ser adotados maiores valores dos espa­ çamentos mínimos entre as barras, recomendados nas normas americanas, resul­ tando em maior facilidade construtiva: MESOESTRUTURA DAS PONTES — 205 I4 0 l_________ VARIAVEL____________> 30-Q SECÃO TRANSVERSAL CORTE A -A — ^— [ 4 Fig. 5.2.4 Exemplo de ponte rodoviária, em viga caixão, com pilar único, formado por duas seções quadradas ligadas por parede transversal. Ver a Fig. 2.5.6. Ponte sobre o rio Paraguai, em Cáceres, BR70 MT. Projeto do autor (1956). Foto 5.2.2 Vista inferior da ponte da Fig. 5.2.4. 206 — PONTES EM CONCRETO ARMADO No easo de grupamentos de barras (limitados a 3 ou 4 barras de diâmetro até 1", eventualmente até 1 1/8"), o espaçamento entre feixes deve ser superior ao diâmetro equivalente (diâmetro de barra com área igual à do feixe). As dimensões externas de pilares de pontes são em geral superiores aos mínimos necessários para permitir uma boa concretagem. No caso de pilares com seção retangular alongada, recomenda-se uma largura mínima de 30 cm a 40 cm. Em pilares de seção oca, a espessura da parede não deve ser inferior a 20 cm. 5.3 PROCESSOS CONSTRUTIVOS DE PILARES Os pilares de pontes em concreto armado são construídos de baixo para cima em concretagens sucessivas ou contínuas. O concreto é, em geral, elevado em uma torre auxiliar ou por meio de guindastes, sendo depositado nas fôrmas e compactado por vibração. Quanto ao tipo de fôrmas utilizadas, podem ser distinguidos três processos construtivos: a) fôrmas convencionais, com andaime auxiliar; b) fôrmas saltantes; c) fôrmas deslizantes. O processo de fôrmas convencionais é o mais empregado, sendo econômico em pilares de pequena altura, até cerca de 10 m. 0 I. ■■■ W2ZZ2ZZZZZZZM .......................... L ' Fig. 5.3.1 Processo de formas saltantes, para execução de pilares. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 207 O processo das fôrmas saltantes consiste em uma fôrma desmontável de painéis metálicos ou de madeirit, com altura da ordem de 3 m, a qual é içada para nova posição após a concretagem de cada segmento do pilar, de altura pouco inferior à altura das fôrmas. Após a desforma, o conjunto de fôrmas é parcialmente desmontado e levantado por meio de uma torre auxiliar (Fig. 5.3.1). O processo de fôrmas saltantes é muito econômico para pilares de altura média (10m a 30 m), podendo a seção transversal ser constante ou variável. O processo de fôrmas deslizantes consiste em uma fôrma desmontável, de painéis metálicos ou de madeira, com altura da ordem de 1 m, a qual é empur­ rada para cima, continuamente, por meio de macacos hidráulicos, que forçam o deslizamento da fôrma na superfície do concreto recém colocado e vibrado. Trata se, pois, de um processo contínuo de concretagem, no qual as fôrmas só são desmontadas ou retiradas na parte superior do pilar (Fig. 5.3.2). Fig. 5.3.2 Processo de formas deslizantes, para execução de pilares. 5.4 5.4.1 ESFORÇOS ATUANTES NO S PILARES Tipos e combinações de esforços atuantes Os pilares estão sujeitos a esforços verticais e horizontais. Os esforços verticais são produzidos pelos seguintes fatores: 208 — PONTES EM CONCRETO ARMADO a) Reação de carga permanente R g ; b) Reação de carga móvel R q. Como a carga móvel ocupa posições variáveis, determina-se uma reação máxima e uma mínima; em alguns casos, a reação mínima pode ser negativa, isto é, de sentido oposto à ação da gravidade; c) Reações verticais nos pilares provocadas pelo efeito de tombamento do vento atuando na superestrutura; d) Peso próprio do pilar e vigamento transversais. Os esforços horizontais são os descritos no Capítulo 3. Para fins de dimensionamento dos pilares, os esforços horizontais podem ser grupados da seguinte maneira: a) esforços longitudinais atuantes no estrado: — frenação ou aceleração; — empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas; — componente longitudinal do vento; b) esforços transversais atuantes no estrado; — vento; — força centrífuga (pontes em curva horizontal); — impacto lateral (pontes ferroviárias); — componente transversal de empuxo nas cortinas (pontes esconsas); c) esforços parasitários: — efeito da variação de temperatura do vigamento principal: — efeito da retração do concreto do vigamento principal; d) esforços que atuam diretamente sobre os pilares: — empuxo de terra; — pressão do vento; — pressão de água. Para o dimensionamento, combinam-se os valores máximo e mínimo das reações da superestrutura com os valores dos esforços horizontais compatíveis. Assim, a reação máxima de carga móvel é combinada com o maior valor da força longitudinal no estrado e com a ação do vento sobre a ponte carregada. A reação mínima de carga móvel se associa à frenação correspondente ao veículo isolado ou à carga parcial do estrado, e à ação do vento sobre a ponte descarregada ou parcialmente carregada. Naturalmente, a parte do estrado que se considera jarregada, para o cálculo dos esforços horizontais, é a que apresenta o carrega­ mento capaz de produzir a reação mínima no apoio correspondente ao pilar que se dimensiona. A fim de simplificar as possíveis combinações de carga, é comum, no caso de pontes rodoviárias, associar-se a reação mínima de apoio com a força longitudinal devida à frenação do veículo-tipo (30% de seu peso) e com o esforço do vento sobre a ponte descarregada. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 209 5.4.2 Outros critérios para combinação das cargas As normas alemãs [5] consideram, para o dimensionamento das estruturas, dois tipos de carregamento: a) carregamento principal, formado pelas cargas permanentes e cargas móveis, somadas a solicitações de fases construtivas; b) carregamento principal + carregamento secundário, formado pelo carre­ gamento principal adicionado dos outros efeitos atuantes. Face à menor probabilidade de atuarem as combinações mais desfavoráveis da alínea (b), as normas alemãs adotam, para este caso, coeficientes de segurança 10% abaixo dos empregados na alínea (a). As normas rodoviárias americanas [3] consideram, nos projetos, diversos grupos de combinações de cargas, utilizando coeficientes de segurança menores nas combinações menos prováveis. Segundo o Código Modelo CHB, as solicitações, produzidas por diversas cargas, são combinadas segundo as fórmulas dos itens 3.18.5 a 3.18.7 5.5 SOLICITAÇÕES NOS PILARES DE PONTES DE ESTRADO CONTÍNUO 5.5.1 Introdução Numa ponte com estrado contínuo, isto é, sem juntas deslocáveis, todos os pilares ficam presos no vigamento da superestrutura, estando, portanto, sujeitos a certas condições de compatibilidade de deformação. A distribuição, entre os pilares, dos esforços horizontais atuantes na superes­ trutura não é, em geral, estaticamente determinada. Os problemas, entretanto, se resolvem com as condições de compatibilidade indicadas acima. 5.5.2 Distribuição, entre os pilares, dos esforços longitudinais que atuam no estrado Nas pontes com estrado sem juntas deslocáveis, quando o estrado sofre um deslocamento horizontal, como a ele estão ligados os topos dos pilares, estes sofrem o mesmo deslocamento. O esforço aplicado ao topo de cada pilar è igual ao produto do deslocamento por um coeficiente k , denominado coeficiente de A û A n n rr n f r A n A A _ . -J n n 1 ! fí f ! 1 7777, *777 / L 7777,: '■777 Fig. 5.5.1 Distribuição do esforço longitudinal aplicado ao estrado. \ 210 — PONTES EM CONCRETO ARMADO rigidez ou rijeza do pilar; se todos os pilares sofrem o mesmo deslocamento, o esforço transmitido a cada pilar será proporcional à sua respectiva rijeza. O esforço F;, num pilar genérico i, é dado pela expressão (Fig. 5.5.1): F. (5.5.1) Geralmente, cada apoio é constituído por, pelo menos, dois pilares que formam, com a viga ou as vigas de contraventamento, um pórtico na direção transversal do estrado. Assim, o esforço horizontal do estrado, que é dividido pelos pilares proporcionalmente a suas rijezas, deve também ser dividido pelo número de pilares que constituem cada apoio. 5.5.3 Rigidez dos pilares, sujeitos a um esforço horizontal na extremidade superior Para fixar idéias, consideremos um pilar engastado na base e livre no topo (Fig. 5.5.2). Denomina-se flexibilidade ô a deformação do topo do pilar quando submetido a um esforço unitário (Fig. 5.5.2a). A rijeza k do mesmo pilar è o esforço que produz uma deformação unitária no topo do pilar (Fig. 5.5.2b). Na Fig. 5.5.2c representamos o pilar submetido a uma força F. A deformação A do pilar pode ser expressa em função do coeficiente de flexibilidade: A= F ■ô F = Ao Por outro lado, usando a definição da rijeza, obtemos: F = k ■Á Comparando as expressões supra, obtemos: (5.5.2) Fig. 5.5.2 Conceitos de flexibilidade e rigidez de um pilar: a) esforço unitário aplicado no topo do pilar; a deformação representa a flexibilidade <5; b) deformação unitária aplicada no topo do pilar; o esforço necessário é a rijeza k do pilar; c) esforço F aplicado no topo do pilar, produzindo a deformação A. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 211 No caso de um pilar com inércia constante, obtemos: <5 = 1 Ë7 3 EI (5.5.3) k = L3 Quando os pilares apresentam inércia variável, o cálculo das flexibilidades se faz por integração numérica, ao longo do eixo do pilar, da conhecida expressão dos trabalhos virtuais: ô MM = (5.5.4) Js. EI Calculada a flexibilidade, obtém-se a rijeza pela Fórm. 5.5.2. Fig. 5.5.3 Esquemas para cálculo da rigidez de um pilar com inércia variável, engastado na base e livre na extremidade superior. A flexibilidade (á) é dada pela Fórm. 5.5.4, e a rigidez (k ) pela Fórm. 5.5.2 Admitindo-se uma variação linear da dimensão transversal (na direção do esforço H) , ou seja, uma variação de inércia segundo uma parábola cúbica, po­ demos obter a rigidez com os valores da Tab. 5.5.1, calculada pelo autor. TAB. 5.5.1 Coeficiente de rigidez de pilar com dimensão transversal h variável linearmente (variação de inércia segundo uma parábola cúbica). k I J ‘l p 1 2 3 4 5 7 = 8 10 12,5 15 17 20 25 30 50 3.00 2,55 2,30 2,16 2,04 1,90 1,86 1,74 1,68 1,60 1,52 1,50 1,44 1,32 1,23 212 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Para pilares com uma variação qualquer de inércia, a rigidez pode ser calcula­ da numericamente, com auxilio de calculadoras programáveis. Estudos com­ parativos, realizados pelo autor, mostraram que a Tab. 5.5.1 atende com boa precisão aos principais casos de pilares maciços ou vazados utilizados em pontes. E x e m p l o 5.5.3.1 — Um pilar de ponte ferroviária, com altura de cerca de 80 m, tem a geometria indicada na Fig. a, com as seguintes propriedades geomé­ tricas das seções brutas de concreto; / t = 96,92 m4 I2 IJI2 = 16,19 m4 = 5,99. Comparar a variação de inércia da seção bruta de concreto, ao longo da altura do pilar, para as configurações geométricas representadas nas Figs. b, c, e para as leis algébricas das Figs. d, e. S o l u ç ã o : Os cálculos do exemplo são realizados numericamente, conduzindo às curvas representadas na figura. E x . 5 .5 .3 .1 Variação do momento de inércia I (referido ao eixo x - x ) , ao largo da altura de pilares com diversas configurações geométricas, porém com mercias iguais nas extremidades, a) pilar retangular ôco de espessura de parede constante e dimensão longitudinal variável linearmente; b) pilar retangular ôco de espessura de parede variável e dimensão longitudinal variável linearmente; c) pilar em forma de I, com espessura de parede constante e dimensão longitudinal variável linearmente Os casos representados nas figuras a, b, c, correspondem a situações cons­ trutivas adotadas' nos projetos, enquanto nos casos d, e, a variação de inércia é indicada por leis algébricas (variação linear ou parabólica de 1//.). Observa-se que a curva do caso c (variação linear da dimensão longitudinal) representa, com boa aproximação, os casos a, b. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 213 214 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 5.5.4 Rigidez de pilares com apoio elastoménco na extremidade superior Quando as articulações são feitas por meio de aparelhos ae apoio de bor­ racha (neoprene), o método de cálculo sofre uma pequena modificação, devido à contribuição da flexibilidade da borracha para a deformação total do pilar. Consideremos um pilar flexível, em cujo topo existe um aparelho de apoio de borracha, e sejam L e hn as alturas respectivas do pilar e do apoio de borracha. Se aplicarmos ao topo da placa de borracha uma força horizontal H = 1 tf, esta provocará no aparelho de apoio uma deformação ô n, como o aparelho de apoio está ligado ao pilar, a força solicitará, também, o topo do pilar, deslocando-o de Sp, de modo que o conjunto (aparelho de apoio) + pilar sofrerá uma deformação total ò n + ô p. a= G„ A, Fig. 5.5.4 Deformação transversal de um apoio elastomerico. Ver a Fig. 5.6.1 para o caso de apoio fretado. Fig. 5.5.5 Deformação de um pilar com apoio de neoprene. Expressão do coeficiente de flexibili­ dade á e da rijeza k. Consideremos a placa de neofrene sujeita a um esforço horizontal H = 1 tf. A deformação angular da placa de borracha de altura hn vale y = Sendo G n o módulo de elasticidade transversal da borracha (neoprene) e área da projeção horizontal da placa de neoprene, obtemos: ô j h n. An a MESOESTRUTURA DAS PONTES — 215 1 =75 An = Gn y An = Gn An • Resulta então: <5. = (5.5.5) G A . A deformação total do pilar, com apoio de neoprene, sob ação de uma carga horizontal unitária no topo, é, por definição, a flexibilidade: ó = h G„n A„n L3 + „ • 3 EI (5.5.6) A rijeza do pilar é definida como o inverso da flexibilidade k = 1 L3 hn G n A n + (5.5.6a) 3 EI altura de neoprene no aparelho de apoio. = módulo de cisalhamento do neoprene (pode ser tomado, aproxima­ damente, igual a 10kgf/cm2 = 100tf/m2). = área do apoio de neoprene. hn — Gn An Como se ve, a deformação da placa de borracha aumenta a flexibilidade do pilar, reduzindo, portanto, sua rigidez. 5.5.5 Rigidez de pilares biengastados Quando o pilar é bi-engastado o procedimento é análogo, podendo a rijeza, para um esforço horizontal aplicado em seu topo, ser calculada como o inverso da flexibilidade, ou obtida diretamente de tabelas. Para o caso particular de pilar bi-engastado de inércia constante, a rijeza é dada pela expressão (Fig. 5.5.6): (5.5.7) Fig. 5.5.6 Rijeza de um pilar bi-engastado, sem apoio lateral na extremidade superior. 216 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 5.5.6 Influência da posição das cargas na distribuição do esforço longitudinal entre os pilares O cálculo da distribuição do esforço longitudinal entre os pilares é geral­ mente feito admitindo que o esforço horizontal longitudinal seja aplicado no eixo de simetria do estrado. No caso de pontes rodoviárias, por exemplo, admi­ te-se que o veículo-tipo, ao freiar, esteja circulando no centro da pista de rolamento. Esta simplificação é admissível, considerando serem, em geral, pequenas as lar­ guras das pontes em relação a seus comprimentos. Nos casos de pontes ferroviárias de mais de uma via, ou de pontes rodoviárias de grande largura em relação a seus comprimentos, justifica-se o estudo do efeito da frenação em plano vertical não coincidente com o que passa pelo eixo de simetria longitudinal do estrado. Para estes casos poderá empregar-se a teoria estudada no item seguinte. 5.5.7 Distribuição, entre os pilares, dos esforços transversais atuantes no estrado Devido à grande rigidez que as lajes concedem, no plano horizontal, ao estrado da ponte, este pode ser considerado, sob a ação de esforços transversais, como um disco sobre apoios elásticos. Numa ponte rodoviária esconsa, representada esquematicamente na Fig. 5.5.7a, as forças transversais atuantes são o vento W e o empuxo E sobre as cortinas dos extremos em balanço. No caso de uma ponte em curva, temos os esforços anteri­ ores e ainda a força centrífuga F (Fig. b). FC Fig. 5.5.7 Distribuição dos esforços transversais entre os pilares. a) esforços transversais em ponte esconsa; b) idem em ponte curva; c) deslocamento provocado, no pilar por uma rotação em torno do centro instantâneo de rotação 0. E = empuxo de terra; w = pressão do vento: FC — força centrífuga. Essas forças, referidas a um certo ponto do plano horizontal, produzem uma resultante Fres e um momento resultante Mrei. Os estrados em causa, sob a ação dessas resultantes que atuam em seus planos horizontais, comportam-se como discos rígidos sobre apoios elásticos, os quais são constituídos pelos pilares. Sob a ação do momento M res, o estrado gira em torno de um ponto O ; cada pilar P, distante x do ponto O, sofre um deslocamento perpendicular o í x , MESOESTRUTURA DAS PONTES — 217 â reta O P , sendo oc o ângulo de rotação. Ao deslocamento do pilar corresponde um esforço k ax na direção do deslocamento, sendo k a rijeza do pilar para deslocamentos horizontais no topo, na direção considerada. O equilíbrio do sistema exige: £/cax = üc£/cx = 0 E/cax2 = aEfcx2 = £fex = 0 M res. As equações acima são iguais às obtidas no problema de flexão simples, em Resistência dos Materiais. Tem-se, assim, um problema análogo ao da flexão simples, em que a area da seção e represeniaaa por um conjunto de áreas ele­ mentares, cada uma igual à rigidez k de um pilar. A consideração da rijeza do estrado corresponde à hipótese da conservação da seção plana durante a flexão; o ponto 0 corresponde ao centro de gravidade das áreas representadas pelas rijezas dos pilares. Se no ponto 0 aplicarmos um esforço horizontal, o sistema sofrerá uma translação, como se verifica pelo princípio de Maxwell. Nessas condições, se referirmos todos os esforços horizontais atuantes no estrado ao ponto 0, teremos um problema análogo ao da flexão composta. Esses esforços horizontais, refe­ ridos ao ponto 0 , têm uma resultante ( F rJ e um momento resultante (AfreJ, ou seja, uma resultante (Fres) aplicada com uma excentricidade (e) em relação ao ponto O. Sendo A a soma das riiezas. e 1 a soma dos momentos de inércia de cada rijeza, reieridos ao ponto 0 (centro de gravidade das rijezas), tem-se: A = Xk I = E á x 2. O quinhão de cada pilar na distribuição dos esforços é dado pela conhecida fórmula de flexão composta: a + = M. ~res | M res = kF_ 1 Yk -+ e ■x ± I/c x 2 (5.5.8) A primeira fórmula representa a tensão em um ponto, como se sabe da Resis­ tência dos Materiais. Como cada área elementar é representada pela rijeza k de cada pilar, o esforço F, no mesmo pilar, é dado pelo produto crfc, chegando-se assim à Fórm. 5.5.S. A parcela devida à rotação tem direção, em geral, diferente da parcela devida à translação, por isso aparece o sinal de operação vetorial. Na fórmula acima, 218 — PONTES EM CONCRETO ARMADO foi admitido que a rijeza de cada pilar não variasse com a direção; entretanto, geralmente, os pilares de cada linha transversal de apoio são ligados por vigas, formando pórticos, cuja rijeza varia para diferentes direções. Embora possa ser estabelecida uma solução analítica rigorosa para esse caso geral, é preferível quando necessário, resolver o problema por aproximações sucessivas. Nos casos comuns, para se obter a distribuição dos esforços, basta consi­ derar uma rijeza longitudinal e uma rijeza transversal. A rigidez transversal é calculada levando-se em conta as ligações transversais dos fustes dos pilares, formando quadros. O cálculo de distribuição dos esforços transversais é, muitas vezes, feito por processos bastante simplificados, como veremos no exemplo numérico do item 5.6 5.5.8 Cálculo dos esforços decorrentes de deformações internas do estrado (esforços parasitários) Sob a ação da retração do concreto, o estrado se encurta. Sob ação da temperatura, o estrado se alonga ou se encurta conforme a temperatura cresça ou decresça. Dada sua ligação com o estrado, os pilares são obrigados a acom­ panhar esses movimentos, resultando esforços aplicados nos topos dos pilares. O efeito da retração pode ser assimilado a uma diferença de temperatura. Quando todos os pilares sobre os quais o estrado se apoia são elásticos, os movimentos de alongamento ou de encurtamento processam-se nos dois sentidos da direção longitudinal do estrado e há, evidentemente, um plano perpendicular a essa direção, no qual não se processam deslocamentos. O deslocamento ò , de cada pilar P, é proporcional à sua distância x do plano indeslocável: S = fíx, sendo /? um coeficiente de proporcionalidade. O esforço em cada pilar é dado pela expressão sistema exige que IP = 0 I kx = F = k p x, e o equilíbrio do 0, pois não há esforços exteriores aplicados no estrado. O ponto indeslocável 0 fica, pois, situado no centro de gravidade das rijezas, coincidindo com o ponto já determinado quando se estudou a distribuição, entre os pilares, dos esforços transversais atuantes no estrado. Conhecida a distância x de cada pilar ao ponto indeslocável, o deslocamento de seu topo é dado pela expressão a,A P x , na qual ar é o coeficiente dè dila­ tação térmica do concreto armado (10~5 por grau centígrado) e AP a variação de temperatura em graus centígrados. O esforço aplicado no topo de cada pilar, devido à retração e à variação de temperatura, é dado pela expressão: MESOESTRUTURA DAS PONTES — 219 F = k - a. A T (5.5.9) x Conforme suas rijezas, os esforços parasitas nos pilares podem assumir valores consideráveis. Em geral, quanto mais hiperestática a estrutura, maiores se tornam os efeitos dos esforços parasitários. Quando, por exemplo, um pilar é ligado rigidamente na viga principal, o efeito da temperatura pode aumentar de quase 100% se a viga for bastante rígida para realizar um elevado grau de engastamento do pilar. Sob a ação da variação de temperatura, o estrado pode alongar-se ou encur­ tar-se, mas a retração causa sempre encurtamento do estrado. Freqüentemente, a fim de evitar assimetria de armação dos pilares, considera-se uma variação de ± 25°C, nos cálculos das solicitações, sendo que 15°C correspondem à retra­ ção, e 10°C à variação de temperatura. 5.5.9 Empuxo de terra nos pilares Quando os pilares apresentam em seu topo pêndulos ou outros tipos de apa­ relhos móveis (de rolamento ou de deslizamento) os empuxos de terra que rece­ bem devem ser resistidos pelos próprios pilares, isoladamente, e, nestes casos, eles se comportam, devido a seu angastamento na fundação, como vigas em consolo. Nos pilares cujo topo é dotado de rótula ou apoio de borracha, ou engastado na superestrutura, o empuxo de terra provoca reação horizontal na ligação do pilar com a superestrutura. O problema que então se apresenta é resolvido pelo artifício de separação das deslocabilidades. - 0_ iI 77/777 777777 777777 77777777 ^ ) 777777 777777 R1 777/777 Fig. 5.5.8 Distribuição do empuxo E entre os pilares (pilar com apoio não deslocável na extremidade superior): a) esquema admitindo o estrado apoiado norizontalmente, obtendo-se uma reaçao K l no topo do pilar; b) aplicação do esforço-R, na estrutura real. No caso representado na Fig. 5.5.8, o pilar extremo PI está submetido a um empuxo horizontal E. Admitindo um apoio fictício no topo do pilar Pl, surge, no mesmo, uma reação R v calculada admitindo o pilar engastado na base e rotulado na extremidade superior. Como o apoio é ficticio, aplica-se a força —R l à estrutura, distribuindo-a entre os pilares; a parcela recebida pelo pilar Pl é 220 — PONTES EM CONCRETO ARMADO dada pela expressão —R l k 1/ Z k . A reação efetiva na parte superior do pilar PI é então dada por: (5.5.10) No caso de pilar com almofada de neoprene na parte superior, a reação P, (calculada com pilar engastado na base e rotulado na parte superior) é inicial­ mente reduzida pela flexibilidade do apoio de neoprene, supondo o estrado indeslocável; obtém-se a reação: G„An R 1 ------^2------ = R K + K 1 ------------- ^2_______ GnA n 3El K kn = rigidez do apoio de neoprene; kp = (5.5.11) L rigidez do fuste do pilar. A reação final, considerando-se a deslocabilidade do tabuleiro, é dada por: R, Fig. 5.5.9 Distribuição do empuxo superior). 5.5.10 E + k„ (5.5.12) entre os pilares (pilar com apoio de neoprene na extremidade Pressão de vento e água nos pilares Sob a ação dos esforços horizontais provocados pela pressão do vento e da água, cada conjunto de pilares, geralmente constituindo um pórtico transversal MESOESTfíUTUfíA DAS PONTES _ 221 por apoio, comporta-se como engastado na fundação e elasticamente apoiado na superestrutura, provocando, portanto, reações em seus topos. É comum, entretanto, no dimensionamento dos pórticos transversais cons­ tituídos pelos pilares, ser desprezada a redistribuição pelo estrado dos esforços produzidos pelo vento e pela àgua diretamente sobre os pilares. Nessas condi­ ções, os pórticos são dimensionados para resistir aos esforços transversais de vento e pressão d’água neles aplicados. 5.6 5.6.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS HORIZONTAIS NOS PILARES DE UMA PONTE RODOVIÁRIA DE ESTRADO CONTÍNUO. EXEMPLIFICAÇÃO Introdução Seja a ponte rodoviária da Fig. 4.1.11, cujos pilares são apoiados em tubulões a ar comprimido. Os pilares formam, com os tubulões, uma estrutura aporticada contínua, parcialmente enterrada. No Cap. 6, veremos que é possível considerar, nos deslocamentos horizontais dos tubulões, as pressões horizontais decorrentes do apoio lateral oferecido pelo terreno, na parte enterrada dos tubulões. Demons­ tra-se que os tubulões se comportam como se estivessem engastados a uma certa profundidade do terreno. Para maior simplicidade, entretanto, consideremos, neste exemplo, os pilares como engastados na seção de transição do pilar para o tubulão. Nas alíneas seguintes, calcularemos os esforços horizontais que atuam sobre a ponte, e a distribuição dos mesmos entre os pilares. 5.6.2 Força longitudinal devida à frenagem Sendo a ponte de nosso exemplo uma ponte rodoviária de classe I, com pista de rolamento de 12,20 m de largura, o carregamento total do estrado, com carga uniformemente distribuída faz-se, de acordo com a NB6, admitindo uma faixa de 3,00 m de largura carregada com 0,5 tf/m2 e o restante da pista (uma faixa de 9,20 m de largura) com 0,3 tf/m2. De acordo com NB6, o veículo-tipo para pontes rodoviárias de classe I é constituído por um caminhão com o peso de 36,00 tf. Os valores da força longitudinal serão os seguintes: a) para estrado com carga uniformerrtente distribuída: 5 %(0,5 x 3 -t- 0,3 x 9,20)75 = 15,98 ~ 16 tf. b) para estrado com a carga do veículo-tipo isolado: 0,30 x 36 = 10,8 tf. Para o dimensionamento dos pilares será adotado o primeiro valor, por ser o mais desfavorável. 222 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 5.6.3 Esforços devidos ao vento SendcTa ponte de nosso exemplo em tangente e sem esconsidade, a ação do vento será considerada, inicialmente, como força transversal. Apresentando as vigas principais 2,25 m de altura, a barreira lateral 0,90 m de altura, a altura total de obstrução ao vento vale 3,05 m; o esforço do vento sobre toda a ponte, no caso de estar descarregada de veículos, será. 0,15 x 3,05 x 75,00 = 34,3 tf. Para a ponte carregada, a altura de obstrução é constituída por 2,35 m, correspondente à altura das vigas principais mais 10 cm de pavimentação, e por 2,00 m correspondente aos veículos; admitindo veículos sobre toda a extensão da ponte, o esforço total do vento sobre o estrado, será: 0,10(2,35 + 2,00)75,00 = 32,6 tf. Havendo pouca diferença entre os casos de ponte descarregada e carregada, será adotado apenas o primeiro caso (mais desfavorável), no dimensionamento dos pilares. Segundo o critério simplificado da norma AASHTO [íjT para pontes em lajes e vigas ate 38 m de vão, podemos considerar o esforço total do vento agindo na direção transversal, e ainda, simultaneamente, as seguintes porcentagens do esforço total agindo longitudinalmente: vento na superestrutura 25% vento na carga móvel 40%. Nessas condições, a parcela longitudinal do vento, poderá ter os valores: a) ponte descarregada: 0,15 x 0,25 x 3,05 x 75 = 8,6 tf; b) ponte carregada: 0,10(2,35 x 0,25 + 2,00 x 0,40)75 = 10,4 tf. Neste exemplo, verificamos que o esforço longitudinal do vento é da ordem de grandeza do esforço de frenagem. 5.6.4 Esforços devidos ao empuxo nas cortinas Na ponte do exemplo, as cortinas dos extremos em balanço têm 13,00m de largura e 2,25 m de altura; o empuxo de terra sobre as mesmas, de acordo com a teoria de Rankine, será: MESOESTRUTURA DAS PONTES — 223 e = Y p ™* b h = T k° y b h 2 = T x 13 x 2>252 = 39,5 tf. O empuxo devido à carga móvel distribuída, situada sobre o aterro, para uma ponte rodoviária de classe I, é dado pela Fórm. 3.10.2. Admitindo a carga móvel distribuída atuando numa largura de 12 m (pista + acostamentos), obtemos: E q = ka q b h = -J-(0,5 x 3 + 0,3 x 9)2,25 = 3,2 tf. 3 Como a ponte não apresenta juntas de dilatação no estrado, é usual considerar-se que os empuxos devidos ao aterro se equilibram, adotando-se, para cálculo dos pilares, apenas o empuxo diferencial devido à carga móvel aplicada sobre o aterro, em um dos extremos da ponte, no caso, 3,2 tf. A consideração do equilíbrio dos empuxos na cortina é, entretanto, discutível, devendo a obra ser estável sob ação de um empuxo unilateral E a na cortina, po­ dendo omitir-se neste caso os efeitos da carga móvel (caso de ponte sem tráfego, com p aterro encostado apenas em um lado). 5.6.5 Distribuição entre os pilares dos esforços longitudinais que atuam no estrado Os esforços longitudinais que atuam no estrado da ponte em estudo são: frenação 16,0 tf empuxo diferencial na cortina componente longitudinal do vento 3,2 tf 10,4 tf. O esforço longitudinal total distribui-se pelos pilares da ponte na propor­ ção de suas respectivas rijezas. Utilizando as Fórms. 5.5.3 e 5.5.6a, determinamos a rigidez dos fustes dos pilares. Para os pilares P 2 e P3 (com rótulas de concreto), obtemos, por fuste de pilar: k2 3E I Lr 3 x 2,1 x 106 x 491 x 10“4 = 309,3 tf/m; 103 3 x 2,1 x 106 x 491 x 10"4 = 604,2 tf/m. 8,03” Os pilares P l e P4 têm apoios de neoprene fretados com lâminas de aço. As dimensões externas dos aparelhos (25 cm x 90 cm) incorporam 3 mm de camada de proteção das chapas de fretagem (Fig. 5.6.1). Utilizando as dimensões líquidas de neoprene indicadas na Fig. 5.6.1, e a Fórm. 5.5.6a, obtemos os seguintes valores, para 'rigidez dos pilares extremos: 224 — PONTES EM CONCRETO ARMADO k\ = 0,024 8,03 zrr + 3 x 2,1 x IO6 x 491 x 10' 100 x 2181,4 x 10 K 0,024 Ï00 x 2181,4 x 1(T4 + 3 x 2,1 = = 362,9 tf/m; 664,8 tf/m. 5,03 Fig. 5.6.1 Vista isométrica do apoio de neoprene dos pilares P 1 e P 4 , com seção transversal. Os apoios são constituídos por duas lâminas de neoprene, com 12 mm de espessura, fretadas com chapas de aço. O conjunto é revestido, externamente, com uma camada protetora de neoprene, com espessura de 3 mm. As dimensões líquidas de neoprene, a utilizar nos cálculos, são indicados na figura. QUADRO 5.6.1 Distribuição entre os pilares do esforço longitudinal de frenagem e empuxo diferencial. P ila r 1 2 3 4 I k k F (tf/m) ■Lk (tf) 362,9 309,3 604,2 664,8 .19 .16 .31 .34 3,65 3,07 5,95 6,53 1,00 19,2 Os esforços apresentados na última coluna do Quadro 5.5.1 são os que atuam longitudinalmente em cada par de pilares. Para o dimensionamento de cada fuste dos pilares, tomar-se-á a metade do esforço. MESO ESTRUTURA DAS PONTES — 225 O esforço longitudinal de vento (10.4 tf) é distribuído entre os pilares da mesma forma que o de frenagem + empuxo diferencial. Os pilares também deverão ser verificados para o empuxo de terra unilateral na cortina extrema (39,5 tf), cujo efeito pode ser combinado apenas com as cargas permanentes da estrutura (caso de ponte com aterro de um só lado, sem tráfego). 5.6.6 Distribuição pelos pilares dos esforços transversais atuantes no estrado No exemplo que estamos considerando, o único estorço transversal atuante é devido ao vento. Calcularemos os efeitos referidos ao centro de gravidade das rijezas, considerando a rijeza transversal, de cada pórtico, proporcional à rijeza relativa de seus respectivos pilares. Os valores destas rijezas foram determinados no item 5.6.5. Tomando o pilar P 3 como origem das abscissas, obtemos os valores do Quadro 5.6.2. Fig. 5.6.2 Esquema para cálculo do centro de gravidade miladas a áreas ( k v k 2, k 3, &4). G das rijezas dos pilares. As rijezas são assi­ QUADRO 5.6.2 Centro de gravidade das rijezas. P ila r R ije z a D istâ n c ia ao re la tiv a k p ila r P 3 1 2 3 4 .19 .16 .31 .34 £ 1.00 O centro de gravidade D istâ n c ia a o k .x k .x2 p o n to G x (m) 8,55 4,00 0 -6,80 384,75 100,00 0 136,00 39,25 19,25 -5,75 - 25,75 5,75 620,75 x(m) 45,0 25,0 0 -20,0 G das rijezas fica localizado à distância do pilar X° £ k ■x = ““£fc 5,75 1,00 = 5,75 m . P 3: 226 — PONTES EM CONCRETO ARMADO A ação do vento atua com uma excentricidade vidade das rijezas: e = 12,50 - xg = e em relação ao centro de gra­ 12,50 - 5,75 = 6,75 m. Os valores porcentuais de distribuição do vento são obtidos com uma fór­ mula análoga à da flexão composta, na qual o momento de inércia do conjunto de rijezas, referido ao ponto G, vale: / = 2 k ■x 2 = 620,75 - 1,00 x 5,752 = 587,7. Aplicando a Fórm. 5.5.8, obtemos os coeficientes: Pi 0,19 1+ lw - * 39'25 = 0,26 0,16 1 + ( 4 £ r x 19’25 587,7 = 0,19 0,31 = 0,29 0,34 ‘ - ' w * 5J5 5,75 x 25,75 587,7 = 0,25. As porcentagens acima calculadas, multiplicadas pelo valor total do vento atuante sobre o estrado, indicam o esforço recebido por cada par de pilares. São obtidos os esforços abaixo, calculados para o caso de ponte totalmente carregada: p 1 P2 0,26 x 34,3 = 8,9 tf 0,19 x 34,3 = 6,5 tf 0,29 x 34,3 = 10,0 tf P, 0,25 x 34,3 = 8,6 tf. Nas estruturas com estrado descontínuo, principalmente quando apresen­ tam juntas com mobilidade relativa, o efeito do vento deve ser calculado, sepa­ radamente, para cada trecho e distribuído pelos pilares correspondentes. Em uma ponte com superestrutura de vigas isostáticas, cada pilar receberá o esforço do vento correspondente à metade de cada vão para o qual serve de apoio. É usual se adotar, para estruturas contínuas, o mesmo critério adotado para vigas isostáticas, o que conduz a resultados por vezes muito diferentes dos reais. Aplicando esse critério simplificado ao nosso exemplo, isto é, adotando porcen- MESOESTRUTURA DAS PONTES — 227 tagens de distribuição do esforço total proporcionais aos comprimentos dos vãos, encontraremos os seguintes valores: p 5 + 10 t = 15 m 20% 6,7 tf P2 10 + 12,5 = 22,5 m 30% 10,3 tf P3 22,5 m 30% 10,3 tf P 4- 15 m 20% 6,7 tf 5.6.7 Esforços nos pilares devidos a uma variação de temperatura de ± 25°C O esforço recebido por um pilar, devido a uma variação de temperatura de AT(°C), é dado pela Fórm. 5.5.9: F = k a t A T x, na qual k representa a rijeza do pilar, a, o coeficiente de dilatação térmica do concreto e x a distância do pilar ao ponto indeslocável do estrado, o qual coincide com o ponto G da Fig. 5.6.2. Para a solução deste problema, utilizamos os valores calculados nos itens anteriores, observando ser necessário usar os valores absolutos das rijezas. Obtém-se os seguintes resultados para AT = 25°C, a, = 10-5oC -1 : QUADRO 5.6.3 Esforços provocados por variação de temperatura AT = 25°C. P ila r 1 2 3 4 I x (m) 39,25 19,25 -5,75 - 25,75 k (tf/m) 362,9 309,3 604,2 664,8 /■(tf) 3,6 1,5 -0 ,9 -4,3 -0,10 Observa-se que a soma dos esforços, provocados pela temperatura + retra­ ção, dá resultado nulo, uma vez que tais esforços são produzidos por ações internas, sem qualquer interferência de solicitações externas. O resíduo —0,10, obtido no quadro acima, provém de aproximações do cálculo numérico. 5.6.8 P Esforços nos pilares devido ao empuxo de terra Considerando a ponte de nosso exemplo, vemos que seus pilares extremos 1 e P 4 estão sujeitos ao empuxo de terra do talude dos acessos. O coeficiente 228 — PONTES EM CONCRETO ARMADO de empuxo ativo é dado pela Fórm. 3.10.3, na qual se obtém a= (p, ka = 1, fazendo (5 = 0. Para o caso de pilares situados em saias de aterro, as normas adotam uma largura majorada do pilar para levar em conta um efeito de arco no solo, o qual aumenta a área de reação do pilar ao deslocamento do aterro. Essa largura ideal b t é fixada arbitrariamente nas normas alemãs [5.2], com os seguintes valores: bt = 3b bj — b < 3 m, para b < 3m , para b > 3 m. Com a largura ideal b- = 3 x 1,0 m = 3,0 m, obtemos os seguintes valores para os empuxos ativos nos pilares extremos: P x £ , = 0,5 x 1,0 x 1,8 x 4,02 x 3,0 = 43,2 tf P4 £ 4 = 0,5 x 1,0 x 1,8 x 3,02 x 3,0 = 24,3 tf. 800 Consideremos inicialmente a ação do empuxo de terra apenas sobre o pilar PI (Fig. 5.6.3a). a) Fig. 5.6.3 Esquema para cálculo do empuxo de terra no pilar P 1: a) dimensões do pilar e diagrama do empuxo de terra; b) diagrama simplificado do empuxo de terra; c) diagrama de momentos com pilar suposto apoiado horizontalmente na extremidade superior (reação /?,); d) redução da reação /?j devida ao apoio elastomérico (estrado admitido indeslocávêl hori­ zontalmente); e) redução da reação horizontal superior, devido à deslocabilidade do estrado; momentos finais no pilar, considerando a reação efetiva R . Supondo o pilar apoiado na parte superior, podemos calcular o momento fletor na base, utilizando as tabelas publicadas em diversos manuais. Admitindo, para maior simplicidade, que o diagrama de pressões de terra se estenda até a base do pilar (Fig. b), obtemos o valor do momento M [ (Fig. c): M\ MESOESTRUTURA DAS PONTES — 229 43,2 x 5 3 A reação Rl 2,25 25 \ = 25,9 mtf. 64 I 0,6 no apoio rotulado, suposto indeslocável, vale (Fig. c): R l 5,0 3“ = 43,2 1 25,9 8,0 8,0 5,76 tf. Essa reação é, entretanto, fictícia, uma vez que o pilar está apoiado elasticamente no apoio de neoprene, e este apoio, por sua vez, está contido elasticamente pelo tabuleiro. Supondo inicialmente o estrado indeslocável, a reação absorvida pelo neo­ prene valerá (Fig. d): g „a R _ n n 1 k. + kp K G„ A . + 3E I L3 21,814 ~ 5,76 21,814 3 x 2,1 x 106 x 0,0491 = 3,46 tf' 0,024 + 8,03 Considerando agora que o estrado também está apoiado elasticamente nos pilares, obtemos o seguinte valor para a reação efetiva no topo do pilar (Fig. e): RyY T Y p ( 1 “ = 3 ’ 4 6 <1 - ° ’19) = 2 ’8 0 tf - O momento final na base do pilar vale: M = £ y - « L — 43’23 X 5 - 2,8 x 8 = 49,60mtf. A primeira parcela da fórmula acima representa o momento fletor na base, admitindo o pilar livre na extremidade superior. Na ponte de nosso exemplo, os pilares internos são também afetados pelo empuxo de terra nos pilares extremos. Se for considerado o efeito simultâneo das reações nos topos dos pilares 1 e 4, como estas possuem sentidos opostos, sua resultante provocará momentos menores nas bases dos pilares. Na prática, entretanto, a segurança aconselha o dimensionamento dos pilares, considerando a ação do empuxo, separadamente, em cada extremo, porque podem apresentarse circunstâncias nas quais o empuxo atue apenas sobre os pilares de um dos extremos da obra. 230 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Admitindo o empuxo de terra agindo apenas no pilar Pl, teremos um esforço de 2,8 tf aplicado no tabuleiro (o esforço se refere a um fuste de pilar). Resultam os seguintes esforços nos pilares intermediários (por fuste): P2 2,8 x 0,16 = 0,45 ^ 0,5 tf P3 2,8 x 0,31 = 0,87 ~ 0,9 tf. Para termos uma idéia comparativa, imaginemos que o pilar PI não tivesse apoio de borracha. Neste caso, a reação efetiva no topo do pilar seria: R, (i - Yi^j = 5,76(1 “ 0,19) = 4,67 tfO momento final na base do pilar seria: M = E -y— R -L = 43,2 X y - 4,67 x 8,0 = 34.7 mtf. As solicitações provocadas no pilar P4, pelo empuxo de terra, se calculam de maneira análoga ao pilar Pl. 5.6.9 Resumo dos esforços atuantes nos topos dos pilares, provocados pela superestrutura QUADRO 5.6.4 Resumo dos esforços nos topos dos pilares (tf). P ila r P\ P2 P3 P4 Frenagem + empuxo diferencial Variação de temperatura ± 25°C Vento longitudinal Empuxo de terra 1,8 3,6 1,0 * 1,5 1,5 0,8 0,5 3.0 0,9 1,6 0,9 3,3 4,3 1,8 H, por fuste de pilar long r 6,4 4,3 6,4 9,4 Vento transversal, por pórtico (cálculo simplificado) 6,7 10,3 10,3 6,7 Nota: Para os pilares extremos, considerar separadamente o empuxo de terra em cada pilar. Os esforços provocados pelo empuxo nos pilares extremos não estão indicados. 5.7 5.7.1 SOLICITAÇÕES NOS PILARES DE PONTES DE ESTRADO COM JUNTAS DESLOCÁVEIS Introdução Os tabuleiros das pontes longas são providos de juntas, destinadas a limitar o valor dos movimentos provocados por retração e variação de temperatura. Nas pontes em concreto armado, convém limitar o comprimento sem juntas a cerca de 100 m, a fim de reduzir a probabilidade de fissuras de retração do con- MESOESTRUTURA DAS PONTES — 231 ereto. Com os vigamentos em concreto protendido, é possível construir exten­ sões superiores a 300 m sem juntas. Na Fig. 5.7.1, vemos esquemas de pontes com juntas no tabuleiro, obtidas dispondo-se, nas vigas principais, consolos com rótulas fixas ou apoios móveis. Modernamente essas rótulas são feitas, com mais freqüência, em apoios de neo­ prene fretados. Fig. 5.7.1 Esquema de pontes com dois trechos contínuos, separados por juntas no tabuleiro: a) solução com duas juntas no tabuleiro (viga simplesmente apoiada); b) solução com uma junta no tabuleiro. Freqüentemente, os projetos prevêm juntas no tabuleiro, com espaçamentos inferiores aos indicados acima, a fim de atender a finalidades construtivas como por exemplo, utilização de vigas pré-moldadas. As vigas pré-moldadas são mais empregadas em concreto protendido, no qual se elimina o perigo de fissuração durante o transporte. Muitas obras, entretanto, têm sido construídas com peças pré-moldadas de concreto armado, com vãos da ordem de 15 m até 20 m. Nas pontes com superestrutura formada por vigas pré-moldadas, é muito conveniente apoiar todas as vigas em almofadas de neoprene fretadas. Após a concretagem das transversinas e lajes, resulta um tramo apoiado em 2n almofadas de neoprene, sendo n o número de vigas. Os tramos são em geral independentes uns dos outros, havendo uma junta na laje do tabuleiro, sobre cada pilar. Fig. -5.7.2 Esquema de ponte com tramos independentes, apoiados em almofadas de neoprene. 5.7.2 Distribuição dos esforços transversais Havendo juntas no tabuleiro, conforme os esquemas das Figs. 5.7.1, 5.7.2, a formulação teórica da distribuição dos esforços transversais é menos precisa que no caso de tabuleiro contínuo. 232 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Por esse motivo, utiliza-se em geral uma solução simplificada, atribuindo a cada apoio o esforço transversal correspondente à sua área de influência (área compreendida entre os pontos médios dos tramos adjacentes) 5.7.3 Distribuição dos esforços longitudinais Nas pontes em que o tabuleiro apresenta trechos contínuos separados por juntas (Fig. 5.7.1), é usual distribuir os esforços longitudinais separadamente em cada trecho, desprezando a transferência de esforços nas rótulas com apoios de borracha. Nas pontes com tramos isolados (Fig. 5.7.2), pode se também adotar esse critério simplificado, dividindo os esforços horizontais de cada tramo entre os dois pilares adjacentes. Em lugar dos processos simplificados, expostos acima, é possível realizar formulações mais rigorosas da distribuição dos esforços longitudinais, levando em conta a rigidez dos apoios de neoprene. Os problemas podem resolver-se, de maneira conveniente, pelo processo iterativo de Cross. 5.7.4 Distribuição dos esforços longitudinais numa cadeia de vigas isostáticas, apoiadas sobre almofadas de neoprene e pilares elásticos Na Fig. 5.7.3a, vemos o esquema de uma cadeia de vigas isostáticas apoiadas sobre almofadas de neoprene e pilares elásticos. Admitimos o tramo h —i car­ regado com uma força horizontal (suposta positiva no sentido indicado), resul­ tando, em cada almofada da viga h —i, o esforço + F. Imagina-se, inicialmente, que os pilares tem apoios horizontais na extremi­ dade superior (Fig. b). Neste caso, os apoios laterais dos pilares h, i terão um esforço F. A iteração tipo Cross consiste em liberar, de cada vez, o topo de um pilar, redistribuindo o esforço de contenção do apoio horizontal. Na Fig. c, vemos a liberação do apoio horizontal do pilar i. O esforço F liberado se distribui entre o pilar i e duas séries de dois apoios de neoprene; uma série no tramo h — i e outra no tramo i —j . Os coeficientes de distribuição são proporcionais aos respectivos coeficientes de rigidez: pilar 2 apoios de neoprene em série, lado esquerdo 2 apoios de neoprene, em série, lado direito kp = 3E I/L 3 1 1 1 -------b ----k nihL knhi. 1 1 (5.7.1) .(5.7.2) (5.7.3) MESOESTRUTURA DAS PONTES — 233 coeficiente de rigidez do pilar, para carga horizontal aplicada no topo (suposto pilar de inércia constante). k nih = rijeza do apoio de neoprene do pilar i, lado esquerdo. k nij — rijeza do apoio de neoprene do pilar i, lado direito. kp — » 2F Fig. 5.7.3 Iteração tipo Cross, aplicada à distribuição de esforços longitudinais. a) cadeia de vigas isostáticas, sobre apoios de neoprene e pilares elásticos, com um esforço horizontal -|-2F aplicado no tramo h - i ; b) sistema principal, obtido fixando-se horizontalmente os topos dos pilares; c) distribuição proveniente da liberação do topo do pilar (i); as almofadas do pilar i recebem uma carga negativa, enquanto os apoios afetados nos pilares adjacentes recebem carga positiva do mesmo valor. A expressão da rijeza da série de dois apoios de neoprene decorre do fato de que a flexibilidade é a soma das flexibilidades dos apoios individuais. Na Fig. 5.7.3c, observa-se ainda que o coeficiente de propagação do esforço de um apoio de neoprene para o outro do mesmo tramo é igual a —1. E x e m p l o 5.7.4.1 — Consideremos a ponte da Fig. 4.1.11, supondo o tabu­ leiro interrompido sobre os pilares P 2 e P3; em cada um desses pilares passamos a ter dois apoios de neoprene iguais ao da Fig. 5.6.1. Vamos calcular a distribui­ ção do esforço de frenagem entre os pilares. 234 — PONTES EM CONCRETO ARMADO E x .: 5 .7 .4 .1 Exemplo de distribuição de esforços de frenagem em ponte de tabuleiro descontínuo. Esquema da estrutura, com os esforços iniciais aplicados nos apoios de neoprene (pilares supostos apoiados horizontalmente na extremidade superior). O esforço de frenagem da carga distribuída, em cada trecho do tabuleiro, vale: Solução: 0,05(0,5 x 3 + 0,3 x 9,20)25 = 5,33*tf. Como o tabuleiro é apoiado em um par de pilares, vamos considerar a me­ tade do esforço acima (2.66 tf) correspondendo, em cada apoio, a um fuste de pilar. Admitindo os pilares com apoios horizontais na extremidade superior, cada almofada de neoprene recebe 1,33 tf. Cálculo dos coeficientes de rigidez: a) 1 almofada de neoprene (Fórm. 5.5.5) " 1 _ <5* GnA n h 100 x 2181,4 x 10“4 0,024 908,9 tf/m; b) conjunto de 2 almofadas de neoprene em série (Fórm. 5.7.2), no caso particular de as almofadas serem iguais: - kn 908,9 = 454,4 tf/m; 2 c) pilares, engastados na base e livres na extremidade superior (Fórm. 5.5.3): 3 x 2,1 x 106 x 0,0491 8,03 604,2 tf/m P2 309,3 tf/m P* 2474,6 tf/m MESOESTRUTURA DAS PONTES — 235 Cálculo dos coeficientes de distribuição: 1 2 A p o io kp \K 4 3 k % k 0/ /o k % k 7o 604,2 454,5 — 57 43 — 309,3 454,5 454,5 25 37 37 604,2 454,5 454,5 40 30 30 2474,6 454,5 — 84 16 — I 100 100 100 100 No quadro seguinte, apresentamos a distribuição dos esforços, pelo processo iterativo de Cross. i>l 57% P2 43% 37% 1,33 - 1,49 -0,34 1,33 1,28 <- - 1,12 -* 1,12 x->• -0 ,6 0 0,60 -0 ,2 6 0,17 -0,10 -0,03 -0 ,0 1 - 1,97 - 1,28 -0 ,9 0 -0 ,4 2 0,26 -0 ,1 7 -0 ,0 7 -> 0,07 0,05 «- -0,0 5 -0 ,0 2 -* 0,02 0,01 <- -0,0 1 0 26% 37% 30% 1,33 1,33 0,80 -0 ,8 0 - 1,28 1,28 0,49 4r~ -0 ,6 0 -> 0,20 -0 ,1 2 -0,1 7 -0,0 1 0 -> 40% -1 ,0 6 -> 0,05 0,02 <- -0 ,0 2 -0,0 1 -> 0,01 0 16% -0 ,8 0 -0,65 -0 ,2 7 -0 ,0 8 -0 ,0 2 -*• -2 ,0 9 0,80 -0 ,3 4 -0 ,4 9 -» 0,49 0,08 <- -0 ,0 9 -0 ,2 0 ->■ 0,20 0,03 (- -0 ,0 3 -0 ,0 6 -> 0,06 0,01 ><- -0,01 -0 ,0 2 -> 0,02 0 -0 ,0 1 0 84% 1,33 0,34 0,17 -0 ,0 6 30% 1,33 0,60 -0,0 5 0 - 1,48 -0 ,4 9 -0 ,2 0 0,06 -0 ,0 3 P4 PZ 0 -> -1 ,7 9 -0 ,4 1 -0 ,1 7 -0 ,0 5 -0 ,0 2 0 - 2,44 236 — PONTES EM CONCRETO ARMADO O processo apresenta rápida convergência quando as rijezas das almofadas de neoprene são pequenas em relação às dos pilares. Os esforços finais aplicados por fuste de pilar são: Pilar Esforço 1 2 3 4 1,97 1,48 2,09 2,44 tf E x e m p l o 5. 1. 4. 2 — Consideremos um tabuleiro formado por quatro tramos simples, apoiados em almofadas de neoprene. Admitimos a mesma seção trans­ versal da superestrutura da Fig. 4.1.11c, sendo todas as almofadas iguais à da Fig. 5.6.1. Os pilares intermediários têm l,00m e altura de 8,0 m; os apoios extremos são em almofadas de neoprene assentes em encontros rígidos. Calcular a distribuição, entre os pilares e os encontros, do esforço de frenagem do veículo, aplicado no tramo 3-4. Para uma linha de fustes, teremos a metade do esforço, ou seja 0,5 x 10,8 = 5,4 tf, correspondendo 2,7 tf a cada apoio de neoprene. Solução: Os mesmos do pilar coeficientes de distribuição dos pilares intermediários são os do exemplo anterior; P2 fuste do pilar série de 2 apoios 40% 30% série de 2 apoios 30% Sendo os encontros infinitamente rígidos, todos os esforços a ele enviados são absorvidos, sem retorno. No quadro seguinte, apresentamos a distribuição dos esforços, pelo processo iterativo de Cross. 1 2 100% 30% 0 0 ,2 4 -0 ,2 4 0 ,0 2 <- - 0 ,2 4 30% 30% 0 0 0 ,8 1 -0 ,8 1 - 0 ,2 4 -» 0 ,3 8 <- -0 ,1 1 •*- -0 ,0 2 -0 ,1 5 -0 ,0 3 0 0 -0 ,3 7 -0 ,3 2 0 0 ,0 2 - 0 0 0 ,1 1 -0 ,1 1 40% 3 -0 ,0 1 — 0 ,5 1 40% 30% 0 ,1 1 0 ,0 7 <- -0 ,0 7 -0 ,0 2 -> 0 ,0 1 4- 0 ,8 1 1 ,0 5 4- -1 ,0 5 - 0 ,3 8 -»■ 0 ,3 8 -0 ,8 1 - 0 ,5 0 -0 ,0 9 - 0 ,0 7 -> 0 ,0 2 - 0 ,0 2 0 - 0 ,0 1 1 ,6 9 40% -> 100% 30% 0 - 1 ,4 0 - 1 ,0 5 0 -*• 1 ,0 5 0 - 1 ,0 5 - 0 ,0 2 - 1 ,1 8 0 ,0 7 -0 ,0 2 -0 ,0 3 -0 ,0 2 -*• -0 ,0 1 0 -* 0 ,0 2 0 0 ,0 1 0 - 5 2 ,7 0 -* 1 ,0 8 0 ,0 2 -0 ,0 1 30% 2 ,7 0 - 0 ,2 4 -0 ,3 8 -+ -0 ,1 1 4 - 1 ,5 9 0 MESOESTRUTURA DAS PONTES — 237 Os esforços aplicados nos fustes dos pilares têm os seguintes valores. Pilar Esforço 1 2 3 4 5 0,37 0,51 1,69 1,59 1,18 tf b) E x . 5 .7 .4 .2 5.8 Exemplo de cálculo de distribuição do esforço longitudinal, em ponte com estrado descon­ tínuo, apoiado em almofadas de neoprene, com encontros rígidos nas extremidades: a) esquema longitudinal da obra; b) seção transversal, mostrando os apoios das vigas sobre almofadas de neoprene. DIMENSIONAM ENTO D O S PILARES DE PONTES 5.8.1 Introdução O dimensionamento dos pilares consiste, geralmente, em: a) verificar se as dimensões admitidas para a seção de concreto são satis­ fatórias ; b) determinar a área e a distribuição das armaduras longitudinais, trans­ versais e de introdução dos esforços (armaduras locais nos pontos de apli­ cação de cargas concentradas); c) desenhar os pormenores da armação, atendendo aos objetivos funcionais e de simplicidade construtiva. 238 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Os pilares de pontes acham-se solicitados pelos esforços verticais e por importantes esforços horizontais, que se decompõem em esforços longitudinais e transversais. Os esforços longitudinais, provenientes do tabuleiro, aplicam-se no topo do pilar, na junção com a viga principal. Os momentos fletores, associados com a transferência desses esforços, da pista de rolamento ou do eixo da viga para o nível do topo do pilar, são, em geral, de importância secundária, produzindo pequenas variações nas reações de apoio. Os esforços transversais, provenientes do tabuleiro, são também transferidos para o nível do topo do pilar, produzindo um binário equilibrado por reações nos apoios do pilar. Essas reações podem ser absorvidas diretamente pelos fustes de pilar (caso de pilar em forma de quadro) ou produzir momentos fletores trans­ versais (caso de pilar com paredes transversais). Hl. Fig. 5.8.1 Esforços transversais provenientes do tabuleiro. A transferência dos esforços transversais, para o nível do topo do pilar, cria um momento transversal M : a) os acréscimos de reação de apoio, provocados pelo momento M , são absorvidos pelos fustes de pilar: b) os acréscimos de reação, provocados pelo momento M, são considerados com um momento fletor transversal que permanece constante até a base do pilar. Os pilares de pontes são dimensionados a flexão composta oblíqua, levando-se em conta o efeito das detormações, que produzem acréscimo nos momentos fletores (efeito de flambagem). Como o concreto armado não é um material elástico, tanto o dimensionamento propriamente dito. como o efeito de flam­ bagem, são estudados em regime inelástico. Ereqüentemente, dada a complexidade do problema geral, recorre-se a processos aproximados, permitidos em normas, e cuja aplicabilidade se demonstra através de cálculos comparativos. 5.8.2 Momentos fletores transversais em pilares aporticados Os pilares aporticados simétricos, formados por duas colunas e vigas hori­ zontais, podem ser facilmente resolvidos pelo processo das compensações simul­ tâneas, indicado na Fig. 4.3.16. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 239 No caso de pórticos formados por três ou mais pilares, a resolução pode ser feita, em geral, pelo processo das compensações sucessivas, indicado na Fig. 4.3.15. E x e m p l o 5.8.2.1 — Calcular os momentos fletores nas vigas e colunas do pórtico do pilar P 2 da Fig. 4.1.11, supondo o tubulão engastado numa seção intermediária, com o comprimento de 6 m. Adotar os esforços do Quadro 5.6.4, e supor uma pressão transversal de 200kgf/m2 aplicada em cada coluna do pórtico. E x . : 5 .8 .2 .1 Cálculo de um pórtico pelo processo das compensações simultâneas: a) geometria do pórtico; b) esquema estrutural; c) cargas atuantes; d) esquema usado para o cálculo do pórtico; e) momentos fletores transversais. Solução: O esforço longitudinal atuante, em cada coluna, vale 4,3 tf, já incluído a componente longitudinal do vento. Esse esforço produz, na base do pilar, o momento longitudinal M 2 = 4,3 x 10 = 43 mtf. O tubulão acha-se parcialmente enterrado, sendo o engaste na seção inferior uma situação fictícia para cálculo das solicitações da parte não enterrada. A deter­ minação dos momentos da parte enterrada do tubulão se faz considerando as reações laterais do terreno. As cargas transversais, atuantes no pórtico, acham-se representadas na Fig. c. O processo das compensações simultâneas aplica-se à Fig. d, correspon­ dente à metade da estrutura. Coeficiente de distribuição: 240 PONTES EM CONCRETO ARMADO Nô 1 Nó 2 viga k k ~ 61 1 coluna k - 1 1 viga k = coluna k tubulão k - J K L 6 x 0,0432 = 0,0432 (89%) 6,00 0,0491 8,80 = 0,0056 (11%) 0,0432 (56%) = 0,0056 0,1886 6,6 (7%) = 0,0286 (37%). Momentos de engaste perfeito, devidos à carga distribuída, na estrutura suposta sem deslocabilidade: M 21 = - M 12 .= 0,2 x 10 x 8,8/12 = 1,47 mtf. Momentos de engaste perfeito, provocados pela translação da coluna: M * = M*2 = (5,15 + 0,2 x 5) x 8,8/2 = 27,06 mtf, M 2*3 = M 3*2 = (5,15 + 0,2 X 10) x 6,6/2 = 23,6 mtf. A seguir efetuamos a compensação de momentos, não havendo necessidade de anotar as parcelas de momentos das vigas. 3 2 23,6* 0,37 0,07 0,11 23,6* 1,5 27,1* -3 ,7 3,2 - 0,2 0 -1 ,5 27,1* 3,7 - 3 ,2 0,2 0 19,3 <- -1 9 ,3 1,2 - -1 ,2 44,1 1 3,1 27,9 <-» 26,3 O diagrama de momentos transversais encontra-se na Fig. e. O momento transversal na base do pilar vale 27,9 mtf. Face à grande rigidez das vigas transversais, obtém-se um valor aproximado deste momento supondo a viga infimtamente rígida, com o que se chega ao valor M 2* calculado acima. Os momentos calculados para o tubulão só têm validade na parte não enter­ rada do mesmo. Nas seções abaixo do terreno, é necessário levar em conta a reação lateral do terreno. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 241 5.8.3 Flexão composta sem tlambagem Os efeitos de 2.a ordem tornam-se muito pequenos nos; pilares pouco esbeltos. Para pilares com índice de esbeltez X < 35, pode-se dimensionar a coluna apenas com as excentricidades de primeira ordem, desprezando-se as de segunda ordem. O limite X < 35 foi adotado nas Recomendações CEB/1972, sendo modifi­ cado para X < 25, no Código Modelo CEB/78, por inspiração das normas ameri­ canas. Como a fixação do limite é arbitrária, e a norma NB1 adota X <40, conti­ nuaremos a utilizar, nesse texto, o limite X < 35, abaixo do qual o efeito de 2.a ordem pode ser desprezado. Nos pilares de pequena esbeltez (X < 35), não há necessidade de se considerar os efeitos de segunda ordem no cálculo das solicitações. As seções dos pilares são, então, verificadas em flexão composta, no estado limite de projeto. Como os pilares de pontes estão em geral sujeitos a solicitações longitudinais e trans­ versais, temos o caso de flexão composta oblíqua. Para as seções de uso corrente na prática, existem diagramas de interação que permitem uma solução expedita do dimensionamento. Para seções retangulares, acham-se publicadas coleções de ábacos [18] que permitam resolver uma grande variedade de situações. Para seções circulares com armadura axialmente simétrica, o dimensiona­ mento é feito em flexão composta reta, com o momento resultante das solicitações longitudinais e transversais. Existem, igualmente, coleções de ábacos permitindo resolver a maioria das condições da prática. Os pilares octogonais podem ser dimensionados com circulares, considerando-se o diâmetro do círculo inscrito. Quando não se dispõe de tabelas ou ábacos, o dimensionamento a flexão composta oblíqua é feito por cálculo gráfico-numérico, procedendo-se, por tentativas, com as posições arbitradas para a linha neutra, até se obter compatibilização dos esforços internos com as solicitações atuantes na seção [17]. Existem tam­ bém soluções programadas em computadores. As normas americanas [3] apresentam uma solução empírica aproximada, que pode ser usada em lugar do processo de tentativas descrito no parágrafo anterior. Para colunas com carga axial importante (v > 0,1), o coeficiente de segu­ rança das solicitações em flexão composta oblíqua (yftXy) pode, ser expresso em função dos coeficientes de segurança com excentricidade apenas em uma direção (yftX, yrJ: 1 1 + 7 yf xy y.x f,y 1 (5.8.1) 7 / o = coeficiente de segurança de solicitações, admitindo-se a carga axial de projeto ( N d) atuando com excentricidades em duas direções (ex , e y); = coeficiente de segurança de solicitações, admitindo-se a carga axial de projeto ( N d) atuando apenas com excentricidade e x\ 242 — PONTES EM CONCRETO ARMADO coeficiente de segurança de solicitações, admitindo-se a carga axial de projeto ( N d) atuando apenas com excentricidade e y ; = coeficiente de segurança das solicitações, admitindo-se a carga axial de projeto ( N d) sem excentricidade, o que constitui uma situação puramente teórica. yf y = yf o Os coeficientes y f y podem ser obtidos em ábacos ou tabelas de dimen­ sionamento a flexão composta reta [18], O coeficiente y f 0 é dado pela fórmula: yf ,o = ^ £(1 + c°)- (5.8.ia) A Fórm. 5.8.1 é originária das normas russas. Para colunas com pequena carga axial (v < 0,1), a estabilidade em flexão composta oblíqua pode ser avaliada, admitindo-se um diagrama linear de inte­ ração entre as excentricidades iniciais máximas admissíveis nas duas direções principais. Este diagrama conduz à seguinte fórmula de interação: - e&x-.. e 0x máx. + g°y < 1. (5.8.2) % máx. e ox máx. = excentricidade obtida em flexão composta reta, no estado limite de projeto, com a carga axial N d atuando somente com excentricidade e l x ( e ly = 0). As Fórms. 5.8.1 e 5.8.2 acham-se representadas no estado limite de projeto, podendo também utilizar-se no estado limite último. Nas pontes, há necessidade de combinar as reações máximas ou mínimas com os momentos fletores compatíveis. Como o efeito da compressão axial é, em geral, benéfico para o concreto armado, há necessidade de se verificar as solicitações axiais devidas à carga permanente com os dois coeficientes de segu­ rança, a saber: 7y máx. y g min. N B 1 /7 7 1,4 0 ,9 C E B /7 2 1,5 0 ,9 C E B /7 8 1,35 1,00. Freqüentemente, no dimensionamento das seções dos pilares, os casos de carga mínima são determinantes para o cálculo das armaduras necessárias. Os valores máximo e mínimo da força axial de projeto podem ser obtidos com as expressões: N. y' 9 max. ' ■N g + ylq N„ (5 .8 .3 ) MESOESTRUTURA DAS PONTES — 243 = Nd y g mín. - N e + y q - N q min. (5.8.3a) Um cálculo mais preciso dos esforços normais de carga permanente pode ser feito aplicando os coeficientes y9máx e y gmin ao peso de cada tramo ou segmento da estrutura, conforme este aumente ou diminua a reação de apoio considerada. As excentricidades utilizadas no dimensionamento denominam-se excentri­ cidades de primeira ordem (c,) sendo constituída de duas parcelas: a) excentricidade inicial e 0, calculada com a geometria teórica da estrutura b) excentricidade adicional ou acidental e a, destinada a cobrir as incertezas quanto ao ponto de aplicação do esforço normal, tomada igual a 3Õ a2cm E x e m p l o 5.8.3.1 — Um pilar isolado de ponte, do tipo indicado na Fig. 5.2.2c, tem seção circular de diâmetro externo 1,20 m e altura de 5,0 m, sendo engastado na base e considerado livre na extremidade superior. No topo do pilar atuam os seguintes esforços: = 220 tf 0,5% fc 0.8 % Nj 607500 = 0,8 % 125 = 39 cm2 7T X 1202 0,5 % A c = 0,5 % — - r ----- = 56.5 cm2. Adotamos: A s , m in = 56,6 cm2(20<£3/4" = 57,0 cm2). Espaçamento entre os ferros longitudinais: s - E x . 5 .8 .3 .1 n x 110 20 18 cm < 40 cm. Exemplo de dimensionamento de pilar circular sujeito a flexão composta: a) geometria do pilar e posição das cargas: b) esquema do ábaco utilizado no dimensionamento; c) seção transversal do pilar, indicando a armadura. ,): 246 — PONTES EM CONCRETO ARMADO E x e m p l o 5.8.3.2 — Uma coluna de seção retangular, com armadura em aço CA-50 concentrada nos cantos, tem as seguintes características adimensionais na seção da base: v = 0,3 ejb = ejh 0,35 = 0,42 Considera-se o estado limite de projeto, com os 'coeficientes de segurança do CEB/72. Determinar a porcentagem mecânica de armadura necessária, com o ábaco 7.2.1 de [18]. Com esta armadura, verificar o coeficiente de segurança y f xy da Fórm. 5.8.1. a) No ábaco 7.2.1 de [18], obtemos co = 0,2; b) Os coeficientes y f x , y f y da Fórm. 5.8.1 são obtidos com o ábaco 3.6 de [18]. Entrando no ábaco com co = 0,2, e j b = 0,35, obtemos: Solução: 0,54 1,5 0,30 v = 0,54 Repetindo a operação com co = 0,2, ejh yf 0 = 0,42, obtemos: 0,48 1,5 = 2,4. 0,30 0,48 O coeficiente obtemos: 2,70. é dado pela Fórm. 5.8.1a. Sendo conhecido o valor v = 0,3 v = 1,5 N 0,3 fcA TA Jc c N 7/ , o 15 (1 + co) = 4 4 “ U = 6. 0,3 c) Aplicando a Fórm. 5.8.1, obtemos: - 1 ~XT 1 1 1 + 2,4 6 1,61. O valor exato é y f xy = 1,5. Vemos assim que, neste exemplo, a Fórm. 5.8.1 produziu resultado com boa aproximação (erro de 7%), embora do lado não conservador. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 247 5.8.3.3 — Repetir o problema 5.8.3.2 para v = 0,1, = 0,80, aplicando as Fórms. 5.8.1 e 5.8.2. Exemplo ejh Solução: ejb = 1,5, a) No ábaco 7.2.1 de [18], obtemos co = 0,3; b) No ábaco 3.6 de [18], obtemos: = 0,3 ejb = 1,5 v = 0,12 co = 0,3 ejh = 0,8 v = 0,30 a) O coeficiente yf0 y/,* 0,12 = 0,10 1,5 = 1,6 V f.,= 0,30 1,5 = 4,5 0,10 vale: >7,o U 1,3 = 19,5; 0,1 c) Aplicando a Fórm. 5.8.1, obtemos' f f iXy — j j T fT + "4^ j — 1,26. ÍÕ3” O valor exato é y f x y = 1,5. Verificamos que, neste exemplo, a Fórm. 5.8.1 produziu resultado conservador, com aproximação razoável (erro de 19%). d) Para aplicar a Fórm. 5.8.2, determinamos as excentricidades relativas máximas, em flexão composta reta, com auxílio do ábaco 3.6 de [18]. Entrando no ábaco com v = 0,1, cu = 0,3, obtemos: 0,17 = 1,7. 0,10 Como os valores de b e h não foram dados, não podemos calcular a excen­ tricidade acidental, razão pela qual aplicaremos a Fórm. 5.8.2 com as excentrici­ dades relativas de primeira ordem, obtendo. 15_ 1,7 08 1,7 1,35 > 1. A condição de estabilidade da Fórm. 5.8.2 não é satisfeita. Neste exemplo, vemos que a Fórm. 5.8.2 fornece um critério conservador. 5.8.4 Flexão composta com flambagem em uma direção Acontece com freqüência, nos pilares de pontes, que o indice de esbeltez seja superior a 35 na direção longitudinal e inferior a 35 na direção transversal. 248 — PONTES EM CONCRETO ARMADO A menor esbeltez na direção transversal se deve à facilidade de realizar contraventos, quer por vigas (Fig. 5.2.1d), quer por paredes (Fig. 5.2.1a). No caso considerado, o dimensionamento se faz com flambagem apenas em uma direção. 5.8.5 Pilares com flambagem em uma direção. Processo rigoroso Sendo o concreto armado um material inelástico e sujeito à fluência do concreto, o cálculo rigoroso dos efeitos de segunda ordem (flambagem) é bastante complicado. Procede se por tentativas, adimitindo valores numéricos iniciais para os deslocamentos transversais, no estado limite de projeto, e corrigindo-os até encontrar uma situação em que duas posições sucessivas sejam praticamente coincidentes. Neste caso, o pilar será considerado estável se nenhuma seção apresentar deficiência de resistência interna, em relação às solicitações no estado limite de projeto, calculadas levando em conta os deslocamentos transversais (efeito de 2.“ ordem). Em pilares muito esbeltos, os deslocamentos transversais podem crescer indefinidamente nas sucessivas etapas de iteração. Teremos então o caso de instabilidade inelástica. Em cada uma das etapas de iteração, o cálculo da nova linha deformada se faz utilizando curvas momento-curvatura de cada seção da coluna. Como estas curvas, por sua vez, dependem do esforço normal aplicado na seção, o volume de trabalho numérico torna o processo inviável para cálculos manuais. O processo descrito acima é uma extensão para o regime inelástico do pro­ cesso de Vianello, largamente utilizado em problemas de estabilidade elástica [27]. Graças ao emprego de programas de computação, é possível resolver situa­ ções bastante genéricas, tais como colunas de pontes, com inércia variável, engas­ tadas na base e com contenção elástica na parte superior. O efeito de fluência do concreto, sob ação de cargas de longa duração, pode ser levado em conta por meio de dois conjuntos de curvas momento-curvatura, sendo um conjunto para cargas transitórias e outro para cargas de longa duração, com fluência. Concluído o processo iterativo descrito acima, verificam-se as seções mais desfavoráveis sob o efeito concomitante das excentricidades longitudinais esta­ bilizadas (isto é. com efeito de 2.“ ordem) e das excentricidades transversais (calculadas com a geometria original do sistema). O processo rigoroso será retomado no item 5.9, com a descrição de um pro­ grama de computação para os cálculos numéricos iterativos em regime inelástico. 5.8.6 Pilares com flambagem em uma direção. Processos Aproximados. Comprimento efetivo de flambagem Os processos aproximados para determinação do efeito de flambagem tem a finalidade de permitir uma solução simplificada, abordável por cálculos ma­ nuais. MESOESTRUTURA DAS PONTES _ 249 A simplificação é, em geral, feita em duas etapas: a) lenteUra ^ redUZ'r ° CaS° estudado a uma coluna bi articulada equivab) o efeito de flambagem na coluna bi-articulada é resolvido, admitindo-se uma forma particular da linha deformada (por exemplo, uma senóide) chegando-se então a fórmulas que permitem a determinação dos incre­ mentos produzidos nas excentricidades iniciais, com auxílio de coeficientes empíricos. Para reduzir o caso estudado a uma coluna bi articulada, utilizam se em geral, as relações obtidas na teoria da estabilidade elástica. As soluções obtidas com a teoria de estabilidade elástica são. evidentemente, aproximadas, uma vez que o concreto armado é um material inelástico. ° comprimento da coluna bi-rotulada equivalente chama-se comprimento efetivo de flambagem le da coluna. O comprimento efetivo le corresponde à disancia entre os pontos de inflexão da linha elástica da estrutura real, sob efeito das cargas consjderadas. Diversas tabelas foram publicadas em [17]. com a fina­ lidade de facilitar o cálculo do comprimento efetivo de flambagem. E x e m p l o 5.8.6.1— Calcular o comprimento de flambagem, no plano da tigura, dos pilares do pórtico indicado na figura. a T a ^ ^ Íd e de inércia do Pilar no Plan° d* figura se obtém com b - 0,70 h = 0,60 Para calcular a inércia da viga b jb hf / h T / = o,012 6 w4. usamos a Tab. 24 de [17]: = 0,3/0,7 = 0,428 ] = 0,3/1,5 = 0,20 f k = °’0505 / = 0,0505 x 0,7 x 1,503 = 0,119 m4. Ex. 5.8.6.1 250 PONTES EM CONCRETO ARMADO Com a Tab. 22a de [17], obtemos: fe, = 0 k2 1 0,012 6 2 8 5 0,119 0,033. Entrando com esses valores na Tab. 22a de [17], chegamos a: Iß = 1,01, le = 8,08 m, 2 = 3,46 x 8,08/0,6 ä 47. No plano perpendicular ao da figura, encontramos: le = 2 X 8 = 16 m, á = 3,46 x 16/0,7 = 79. E x e m p l o 5.8.6.2 — Uma ponte com viga principal em forma de caixa, tem os pilares retangulares ocos engastados nas fundações e no vigamento principal. Determinar os comprimentos de flambagem dos pilares no plano da Fig. b (direção longitudinal). Ex. 5.8.6.2 MESOESTRUTURA DAS PONTES — 251 Momento de inércia dos pilares: Solução: 4 x 2,53/12 = 5,21 3,2 x 2,0712 = -2 ,1 3 3^08 m4. O tabuleiro da ponte pode ser assimilado a uma viga / assimétrica. Para calcular o momento de inércia da seção, tomámos inicialmente como referência um eixo horizontal a meia altura, marcando a partir deles as distâncias verticas y. Área A Ay y 7,40 x 0,22 = 1,63 0,60 x 3,00 = 1,80 3,40 x 0,15 = 0,51 3,94 1,5-0,11 = 1,39 0 1,5 - 0,08 = 1,42 2,26 0 - 0,73 1,53 Ay2 '0 3,15 0 1,03 4,18 0 1,35 0 1,35 I 0 representa o momento de inércia central de cada elemento de área. O centro de gravidade fica a uma distância y , medida a partir da meia altura, igual a: = W = ° '388m' O momento de inércia referido ao centro de gravidade da área total, vale: I = I'.Ay2 + 2 /0 - A y 2 = 4,18 + 1,35 - 0,59 = 4,94m4. Vamos fazer um cálculo aproximado do comprimento de flambagem, com auxílio da Tab. 22 de [17]. Para os pilares extremos, consideremos um pórtico simples, simétrico (Fig. c), com altura dos pilares 36 m e as dimensões reais da estrutura. Obtemos: k1 = 0 1 2“ 2 le 3,08 36 30 = 0,26 4,94 = 1,09 / = 1,09 x 36 = 39,2 m. Para pilar intermediário, podemos também usar o esquema de cálculo da Fig- (c), com altura do pilar 40 m, tomando, porém, para a viga uma inércia dupla da real, pois o pilar se acha elasticamente engastado em dois vãos de viga. /cj = 0 252 — PONTES EM CONCRETO ARMADO J_ 3,08 2 40 lt 30 = 0,117 9,88 = 1,03/ = 1,03 x 40 = 41,2 m. E x e m p l o 5.8.6.3 — Um pilar de ponte, engastado na base e suposto livre na extremidade superior, tem uma seção variável como indicado na figura. Determinar o comprimento efetivo de flambagem, desprezando a contri­ buição da ferragem nas propriedades geométricas das seções. Solução: Na Fig. a vemos uma seção do pilar no plano onde é maior o efeito de flambagem. Em (c) indicamos as seções transversais com os eixos em rela­ ção aos quais se calculam as propriedades geométricas.Na sua parte superior, o pilar apresenta uma parte maciça para receber os esforços transmitidos pelo aparelho de apoio. Para cálculo de flambagem, vamos entretanto considerar o trecho A C oco até o topo do pilar. f - - 2' ÃS t . r.- o,82 tj4 'Ç /3 , o. 9 S 3 .7 3 5 V « V - 1 ,1 ,6 2 I. 1* o,9 i. X« S 2 ,6 — • I. A-.oo 4 .3 0 rai Cb) E x . 5 .8 .6 .3 a) Cálculo das propriedades geométricas: Trecho AC (C) MESOESTRUTURA DAS PONTES — 253 2,85 x 1,63/12 = 0,972 2,15 x 0,953/12 = 0,154 I 0 = 0,818 = 0,82 m4 2,85 x 1,60 = 4,56 2,15 x 0,95 = 2,04 A c = 2,52 m2 Trecho C D Parte superior Ac = 3,25 x 1,7 I = 3,25 x 1,7712 = 1,33 m4 = 1,62 / 0, Parte inferior 4 = 3,25 x 3,0 Trecho / = 3,25 x 3712 = 7,3 m4 = 8,9 / 0. DE Ac = / = 4,0 x 4,3712 = 26,5 m4 = 32,61 0 . 4,0 x 4,3 b) Primeira aproximação, trecho le = AC suposto engastado na base. 2 x 11 = 22 m c) Segunda aproximação, incluindo o trecho constante: 1,62 + 8,9 2 I 10 = CD, admitido com inércia 5,26 / 0. Este caso é resolvido com a Tab. 21 de [17]: a/le = 5,50/16,50 = 0,333 I 0/ I = 1/5,26 = 0,19. Interpolando na tabela, para o caso K ~ le I x = I 0, obtemos: = 3,75 3,75 E x 5,26 10 _ (2 x 16,5)2 le2 = 2 x 16,5 71 7 3 ,75 X 5,26 n 2E l 0 23,34 m. d) Terceira aproximação, cálculo numérico por aproximações sucessivas (processo de Vianello). Dividimos o pilar em quatro trechos de compri­ mento 5,5 m e organizamos um quadro numérico com aproximações sucessivas da linha elástica deformada. 254 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Na primeira linha, aparecem os pontos A a E, notando-se em C e D as descontinuidades dos momentos de inércia, cujos valores colocamos na segunda linha. Na terceira linha, números proporcionais à elástica ensaiada. A coluna é engastada em £ e livre no ponto A , onde aparece a maior flecha. Na quarta linha colocamos y = 14 —y. Para uma carga aplicada axialmente, os momentos fletores são proporcio­ nais a y. Com os valores proporcionais aos momentos, aplicamos a analogia da viga (Mohr). O diagrama de cargas da viga análoga é representado por y / 1 (quinta linha). Esse diagrama é substituído por cargas concentradas junto aos pontos limites dos trechos, conforme as expressões deduzidas na Fig. d (sexta linha). As cargas concentradas representam deflexões Aa da elástica nos pontos limites dos trechos. Com as cargas concentradas, calculamos os esforços cortantes nos trechos (sétima linha), os quais representam as inclinações a da elástica nos trechos. Finalmente, na oitava linha, obtemos momentos- fletores, que representam as flechas y 1 causadas pelos momentos proporcionais a y (quarta linha). Na nona linha, fazemos o quociente entre as flechas calculadas yj e as admi­ tidas (y). A variação dos valores deste quociente é muito grande, sendo necessário fazer outras tentativas para encontrar afinidade entre as elásticas y e yr No quadro numérico, apresentamos mais duas tentativas, onde a relação y l / y resulta mais uniforme ao longo do pilar. Adotamos um valor médio: ^ = 12,6 y 6/0 12,6 -õ£ 96/0 = As flechas y ,, correspondem à carga 1 x Para uma carga qualquer N , obtemos: 12,6 96 O N E. 1 EI valor da carga critica é obtido fazendo EIr N ... = 7,62 -42- = n2 yl Ein ^ = y, donde o valor: MESOESTRUTURA DAS PONTES — 255 Pz Z, = -^ ( z P ,+ P i.) Xz= -^ .(z P z + P ) .4 2 I 1 1 3 4 5 6 y 14 0 0 6 8 6 6 35 1 Pontos II Id 1 V// Act a 7 8 yi 9 yiiy 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 ti 7 8 9 y y = 180 —y v il Aa a yi y ily y y = 24 —y y if Aa a Vi inm B 97 179,23 82,23 12,8 Cesq - C Cd ir . Desq 1,62 1 £>d ir . E Fator 32,6 32.6 Io 8,9 1 13 3 11 11 28 D 43,10 6,78 15,01 1,45 16,46 17,69 0 14 0,40 0,427 1,23 1,25 l llo cl/6/o 18,94 62,04 1.25 20,19 1,25 6,70 1,25 0 cP/6/o 10,2 ~ 180 80 100 0 0 100 560 100 1.369 996 2.365 12,5 13,1 24 0 0 14 10 14 14 78 189,4 137 326,4 13,7 13,6 I = / 160 420 8,09 638 20 139 99 218 155 16 16 0,2 23,8 2 22 2,67 19 13,5 30 88 21,2 23,4 2,2 11 25,6 12,8 71 = 22 71 5,5 16 16 171 187 9,35 22 58 111,4 0 180 5,5 16 1 179 20 160 = 25,04 m. 0 ( P / 6 /0 0 24 0,735 0,735 2,2 2,2 2,2 0 P l& Io 256 — PONTES EM CONCRETO ARMADO índice de esbeltez do pilar, na direção considerada: _25,04 _ V 0,82/2,52 Na direção normal à considerada na Fig. a, verifica-se que À < 35, resultando que o pilar deverá ser dimensionado a flambagem em uma direção. 5.8.6.4 — Uma coluna está sujeita à carga axial N e ao peso pró­ (tf/ml). Determinar o efeito do peso próprio na carga crítica. Exemplo prio g Solução: Da teoria da estabilidade elástica, obtemos a seguinte expressão aproximada da carga crítica: 2 (a) O comprimento efetivo de flambagem é dado pela expressão: / (b) e Admitindo um pilar engastado na base e rotulado na extremidade superior, com comprimento 15 m, seção circular cheia de diâmetro 1,20 m, E = 120 000 kgf/cm2, obtém-se: L = 2 x l 5 = 30m Aj = 4 X 30/1,20 = 100 / = 0,1018 m4 q = 2,4 X 1,13 = 2,71 tf/m n 2 X 1,2 X 106 X 0,1018 = ------------- 3Õ*----------- = 1340 tf MESOESTRUTURA DAS PONTES — 257 t N+q-P E x . 5 .8 .6 .4 t N+q-P Exemplo da influência de uma carga longitudinal distribuída efetivo de flambagem. (q) sobre o comprimento E x e m p l o 5.8.6.5 — Uma coluna de inércia constante acha-se engastada na base e elasticamente apoiada na extremidade superior. Determinar a influência do apoio superior na carga crítica da coluna. E x . 5 .8 .6 .S Exemplo do efeito de apoio lat irai elástico no comprimento de flambagem de um pilar a) geometria inicial do pilar, com carga axial N ; b) geometria deformado do pilar, com efeito de 2.” ordem. 258 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Solução: Equação diferencial da elástica: d 2y N ■JT + dx nr r' kô (a) y — “rrr X. ' EI Solução geral da eq. (a): y = k ô -J T x N N + Ci sen / £ 7 x + C2 cos /— x. (b) Condições de contorno do problema: x= 0 y = o x = L y = ô dy x = L dx = 0. As condições de contorno permitem determinar as constantes de integração, e conduzem à seguinte equação transcendental: kL kL N N N L2 tg j ^ V - -1=0. EI (c ) ~ EI O valor da carga crítica se obtém por tentativas, arbitrando valores para até satisfazer a eq. (c). O comprimento efetivo de flambagem (le) é então dado por: I = VX Para Para k k k N (d) JEI = 0 , obtém-se / = 2 L . = oo, obtém-se le = 1,4 L. = rigidez da mola de apoio lateral, na parte superior da coluna. Admitindo-se L = 40 m, / = 0,309 m4, e (d), le = 62 m ~ 1,55 L. k = 10 tf/m obtém-se, com as eqs. (c) E x e m p l o 5.8.6.6 — Uma viga de ponte está apoiada num pêndulo e num pilar engastado na base. Determinar a influência da inclinação do pêndulo sobre a carga crítica do pilar. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 259 x L 1 7m r pi E x . 5 .8 .6 .6 Exemplo do efeito de um pêndulo (pilar P 2 ) sobre o comprimento de flambagem de um pilar (El). A componente horizontal da reação do pêndulo amplia o deslocamento lateral ô, aumentando o comprimento efetivo de flambagem. Solução: ü problema é análogo ao do Ex. 5.8.Ó.5, fazendo-se Observa-se. que o pêndulo tem efeito desfavorável para a resistência à flambagem do pilar P l, uma vez que as deformações transversais do pilar são ampliadas pela componente horizontal da reação do pêndulo. Admitindo-se L í = 22 m, L2 = 2,5 m, N % = 1400 tf, N 2 = 410 tf, obtém-se, por tentativas: Se não houvesse o pêndulo, o comprimento de flambagem seria 5.8.7 2 L l. Pilares com flambagem em uma direção. Processo aproximado do CEB/78 [2.5] Diversos processos aproximados foram desenvolvidos para calcular o efeito de flambagem em colunas bi-rotuladas, de seção e armadura constantes, sujeitas a um esforço axial também constante. O CEB [2.3, 2.4] assimila o efeito de flam­ bagem a uma excentricidade complementar ec, que se soma às excentricidades inicial e 0 e acidental e a, resultando a excentricidade final 260 — PONTES EM CONCRETO ARMADO «,o. = ‘’o + e a + e c. excentricidade inicial e 0 é calculada com as cargas atuando na estrutura, com sua geometria teórica inicial. A excentricidade adicional ou acidental ea destina-se a levar em conta imper­ feições geométricas da estrutura e incertezas quanto aos pontos de aplicação das cargas. Nas estruturas esbeltas (2 > 35), a excentricidade adicional é tomada igual a A e- = 30Õ ^ 2Cm' <5 8'5) A soma das excentricidades inicial ( e Q) e acidental ( e a) denomina-se excen­ tricidade de primeira ordem (e,), a qual se refere à geometria inicial do sistema. Fig. 5.8.2 Expressão aproximada da excentricidade complementar e c, em coluna bi-articulada de inércia constante: a) coluna bi-articulada, com carga axial aplicada com excentricidade de primeira ordem e = Cp + j , b) momentos fletores ao longo da coluna da Fig. a; c) seção da coluna no ponto de momento máximo, com a curvatura 1/r correspondente ao estado limite de projeto; a curvatura é dada pela expressão: 1 = |e0J, adota-se, para o cálculo do efeito de segunda ordem, uma excentricidade equivalente: eo = 0,6 e 02 + 0,4 e 0 , > 0,4 e 0 i . (5.8.7) O efeito da fluência do concreto, sob ação de cargas permanentes ou outras cargas de longa duração, pode ser assimilado a uma excentricidade complementar de fluência ecc, expressa pela fórmula: (5.8.8) ec c Ng eig N e esforço normal de longa duração, produzindo fluência no concreto; = excentricidade de primeira ordem (inclusive excentricidade acidental) da carga N ; — carga de flambagem dada pela fórmula de Euler, admitindo-se seção homogênea e material elástico: A, n 2 E, I 10 £ L (5.8.9) momento de inércia da seção bruta de concreto; módulo de deformação longitudinal do concreto (módulo secante para a c - °,4 a 0,5 f ck)\ E c pode ser obtido, aproximadamente, com a fórmula (kgf/cm2). 262 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Ec ä (5.8.10) 16500 V f ck + 80 ou no Quadro 4.10.3; (pt = coeficiente de fluência do concreto, correspondente ao período entre o início do carregamento e a estabilização de fluência. Segundo o CEB [2.4], o efeito da fluência só precisa ser considerado para A > 70. Uma vez calculados os valores das excentricidades totais, na direção onde existe flambagem, o dimensionamento, nas seções mais desfavoráveis se faz em flexão composta oblíqua, com as seguintes excentricidades: direção com flambagem direção sem flambagem e tol — e t + e 2 = ( e 0 e = et = + ea) + (ec + e cc) e 0 + ea. A norma brasileira NB1 (4.1.1.3.3) adota a Fórm. 5.8.4, substituindo o fator 0,5/v < 1 por l/(v + 0,5) < 1, limitando seu emprego ao caso de colunas com seção transversal simétrica constante (inclusive armadura), força normal cons­ tante' ao longo do comprimento, e À < 80. E x e m p l o 5.8.7.1 — Um pilar tem as dimensões e as cargas indicadas na figura. A metade da carga vertical é de longa duração, enquanto as cargas hori­ zontais são transitórias. Coeficientes de fluência (p, ^ = 2,0. Dimensionar a seção da base do pilar, com concreto C200 e aço CA-50, usando os coeficientes de segurança do CEB/72. S o l u ç ã o : a) índices de esbeltez nas duas direções principais. Na direção longitudinal, obtemos: X = 3,46 I J h = 3,46 x 28/1,0 = 97. Na direção transversal, temos um quadro de dois andares. Utilizando a Tab. 22 de [17], obtemos: Iv = 0,4 x 1,253/12 = 0,0651 m4 Ip = 1,0 x 0,83/12 = 0,0427 m4 9 x 0,0651 x 7 + 4 x 0,0427 x 5 9 x 0,0651 x 7 + 0,0427 x 5 le ä 7 X = 3,46 x 8,0/0,8 = 34,6 < 35- Verificamos que, na direção transversal, não há necessidade de considerar efeito de flambagem. MESOESTfíUTUfíA DAS PONTES _ 263 A- A y B-B U 40 c-c u 80 E x . 5 .8 .7 .1 Exemplo de cálculo de um pilar de ponte, com efeito de flambagem na direção longitudinal: a) vista do pilar, no plano transversal da ponte, com as cargas-, b) vista do pilar, no plano longitudinal da ponte, com as cargas, c) seção transversal na base do fuste do pilar, mostrando a armação. b) Momento fletor transversal na base do pilar , ^ sse mornento fletor é calculado com o processo das compensações simul­ tâneas, obtendo-se o valor: M .rans = 23 « ltf 23 0,80 200 + 30 ’trans 0,14 m. c) Excentricidades na direção longitudinal. Excentricidade inicial : e 0 = 6 X 14/200 = 0,42 m . Excentricidade acidental: ea 28,00 300 0,093 m > Excentricidade complementar (Fórm. 5.8.4): h_ 30 264 _ PONTES EM CONCRETO ARMADO Nj V = 1»5 x 200___ = 0,33 1 13 0 x 1,0 x 0,8 f b h ~ J C 282 5,6 x K r* =O M m . excentricidade complementar de « * os esforços horizontais s ã o transitórios, a reduz-se à excentricidade acidental. e lg E . Ic = e £ £ £ * £ d " c a rg a T = 0>03 m = 16500^/280 = 276000 kgf/cm2 = 2,76 x 106 tf/m2 = 0,8 x 1,03/12 = 0,0667 m4 EI N * = 10 2 7 6 x _ 1 0 ^a 0 6 6 7 _ = 2297tf = 10 - f t 282 N = 100 tf e =0,03 exp (I '^ 222 9*1 ^ 1 0 0 - 1J = 0,003 m- Excentricidade total da carga na base do pilar . e i = eo + ea + e c + e cc = 0,42 + 0,093 + 0,44 + 0,003 = 0,96 m. d) Dimensionamento da seção da base. o dimensionamento é feito em flexão composta obliqua, podendo utiltzat-se oS ábacos do autor [18]. Nt V ‘ 'lo n g e e tr a n s " fcbh = 0,96 m = 0,12m ’ _ 1,5 x 200 = 0 33 1130 x 1,0 x 0,8 ‘,.J h = °'96/1-° “ °-% e„ .Jb- 0,12/0,8 - 0,18. Admitindo armadura concentrada nos cantos, empregamos o ábaco 7.2,1 de [18], obtendo, por interpolação entre v - 0,3 e u, . a> = 0,56 MESOESTRUTURA DAS PONTES — 265 p = = 0,56 x 2,6% = 1,46% o) J S A sl = 1,46% x 100 x 80 = 116,5 cm2 (24 0 1 ".= 122 cm2). A distribuição da armadura longitudinal acha-se indicada na Fig. c. 5.8.8 Pilares com flambagem em uma direção. Processo aproximado da AASHTO [3] As normas americanas consideram o efeito de 2.a ordem através de um coeficiente de amplificação (k) da excentricidade inicial. No caso da Fig. 5.8.2a, a excentricidade total é dada por: «,<* = kK (5.8.11) + ea). O fator de amplificação é adaptado das normas de estruturas metálicas (19), usando-se a expressão: k C = l- N J N " (5.8.12) lt C = coeficiente tomado, de modo geral, igual a 1, podendo, no caso repre­ sentado na Fig. 5.8.2c, ser adotado C = 0,6 + 0,4 > 0,4 (5.8.13) e Oz N d = yf -N Ncrit = carga crítica inelástica da coluna, no estado limite; iVcrit pode ser representado por uma expressão empírica análoga à fórmula de Euler: = N cih (5.8.14) le E I = V J S + EJ. 1+ X X ( 5 .8 . 15) 1+ X = relação entre a carga de longa duração e a carga total. Os valores de E c podem ser obtidos no Quadro 4.9.3, observando-se, entre­ tanto, que as normas americanas utilizam valores mais conservadores, dados pela fórmula aproximada (unidades kgf/cm2): 266 — PONTES EM CONCRETO ARMADO £c ~ 15000 y j f ck . (5.8.16) O processo aproximado descrito pode ser usado para colunas com índice de esbeltez até X = 100, exigindo-se um cálculo rigoroso para colunas com X > 100. As normas americanas não utilizam a excentricidade acidental e a, impondo, entretanto, valores mínimos à excentricidade adotada no dimensionamento da seção, em cada direção. Para colunas com estribos, adota-se: e,o, > 0,1 h > 1". A Fórm. 5.8.11 foi, entretanto, escrita com a excentricidade acidental defi­ nida nas Recomendações do CEB/72. Comparando as Fórms. 5.8.3 e 5.8.9, observa-se uma diferença fundamental entre os processos aproximados do CEB e das normas americanas. A excentricidade complementar e c do CEB (Fórm. 5.8.3) não depende da excentricidade inicial e 0, enquanto, pelas normas americanas, a excentricidade complementar é proporcional a e 0 + e a, como se pode ver pela expressão seguinte, derivada de 5.8.3 e 5.8.9: ec = ( k - 1) ( e 0 + ea). (5.8.17) E x e m p l o 5.8.8.1 — Resolver o Ex. 5.8.7.1 utilizando a expressão aproximada das normas americanas para a excentricidade complementar (Fórm. 5.8.15). S o lu çã o : Utilizamos a Fórm. 5.8.10 para calcular o coeficiente de majo­ ração da excentricidade inicial (direção longitudinal): N cri* li = 2,5(1 + tf/.2 1- NJ N - cr,« *2 x 2’7 x 106 x y g g - - 604,6 tf 2,5(1 +0,5) 282 1 = 1,99. 1 - 1,5 x 200/604,6 A excentricidade total na direção longitudinal vale e.o, = k ( e 0 + e a) = 1,99(0,42 + 0,093) = 1,03 m. O resultado foi ligeiramente superior ao do Ex. 5.8.7.I. Em geral, quando as excentricidades iniciais são grandes, o processo apro­ ximado da AASHTO conduz a excentricidades totais maiores, observando-se o oposto quando as excentricidades iniciais são pequenas. 5.8.9 Pilares com flambagem em duas direções ortogonais A solução rigorosa do problema da flambagem numa direção oblíqua é muito traoalhosa, pois, além das iterações descritas no item 5.8, -são necessárias diversas MESOESTfíUTURA DAS PONTES — 267 tentativas para determinar a direção da linha neutra compatível com as solici­ tações e as propriedades das seções. As soluções rigorosas são abordadas em programas de computação. As soluções aproximadas são também difíceis de estabelecer, uma vez que uma seção não pode atingir os alongamentos limites (Fig. 5.8.1b) simultaneamente em duas direções principais. Uma formulação empírica, de utilização bastante simples, é o processo de interação das excentricidades iniciais e n, que consiste no seguinte: a) Considerando as solicitações atuantes em apenas uma direção principal, determina-se, com auxílio de ábacos ou tabelas, a excentricidade total máxima etot admissível na seção mais desfavorável, para cuja armadura se admite um valor estimado. Calcula-se, outrossim, levando em conta a esbelteza da coluna na direção considerada, a excentricidade comple­ mentar e c. A excentricidade inicial máxima, na direção estudada, vale: «om*.= e ,o, ~ e c ~ (5.8.7) b) Repete-se o procedimento na outra direção principal, obtendo-se um valor e0máx correspondente; c) A coluna, com as dimensões e armaduras supostas no projeto, é conside­ rada estável se as excentricidades de primeira ordem atenderem à equação: eox 0 * m ax. + % < i (5 .8 . 18) U > , m ax. A equação supra corresponde a um diagrama linear de interação entre as excentricidades iniciais em duas direções principais. A expressão 5.8.18 é uma extensão da fórmula de interação 5.8.2, para o caso de pilares com flambagem. As curvas de interação, determinadas por processos rigorosos, têm o aspecto indicado na Fig. 5.8.3, observando-se que o diagrama linear de interação cons­ titui uma solução conservadora para o problema. Fig. 5.8.3 Curvas de interação das excentricidades iniciais (l0x, l0y), para colunas curtas ( I J h < 35) e colunas esbeltas ley/b ). Os diagramas retilíneos de interação representam'soluções conservadoras. 268 — PONTES EM CONCRETO ARMADO E x e m p l o 5.8.9.1 — Verificar a seção da base do pilar do Ex. 5.8.6.1, to­ mando a largura 0,60 m em vez de 0,80 m. Considerar o comprimento de flambagem, na direção transversal, igual a 8,0 m. S o l u ç ã o : a) Excentricidades na direção transversal: Excentricidade inicial = 23/200 = 0,115 m e0 Excentricidade acidental = 8,0/300 = 0,027 m > 0,60/30; ea Excentricidade complementar ec = 5,6 x 1 0 - ^ = 0,06 m; U,o Excentricidade complementar de fluência e lg = e a = e cc „ = 0,027 7 1 = 7594 tf O 00 J o h *V li o 5: / = 1,0 x 0,63/12 = 0,0180 0,80/30' = 0,027 m f / 2 x 100 \ exp ^7594 - 100J —0; Excentricidade total da carga na base do pilar e tot = e o + ea + e c + e cc — 0,12 + 0,03 + 0,06 = 0,21 m . b) Excentricidades na direção longitudinal: etot = e o + ?a + e c + e cc = 0,42 + 0,093 + 0,44 + 0,003 = 0,96 m. c) Excentricidade máxima, em flexão reta, na direção transversal. Utiliza­ mos o ábaco 3.6 de [18], com: b A sl = 1,0 m h = 24 cj) 1" = 122 cm2 = 0,60 m MESOESTRUTURA DAS PONTES — 269 122 100 x 60 p CO = fJ L ^ 1,5 x 200 . X o X o f cb h i 2,6 = 0,44. 0,6 ' No ábaco, obtemos: v ■e / h = 0,43 0,43 x 0,6 0,44 0,59 m. A excentricidade inicial máxima vale: e0 m-x = 0,59 - (0,03 + 0,06) = 0,50 m. d) Excentricidade máxima, em flexão reta, na direção longitudinal. Obte­ mos a mesma relação: v e /h = 0,43, 0,43 x 1,00 0,44 eo 0,98 m, má*. = 0.98 - (0,093 + 0,44 + 0,003) = 0,44 m. e) Aplicação dá Fórm. 5.8.8: 0,12 0,42 + = 1,19 > 1,0. 0,50 0,44 Vemos que a seção admitida não satisfaz, sendo necessário aumentar a área de ferragem. Adotando A , = 4 x 8 1" CA-50, e repetindo os cálculos, obtemos: 8 f) o) = ~z~ 0,78 = e 1,04, v = 0,44, v — = 0,54 (ábaco 3.6 de [18]). g) Direção transversal : 0,54 x 0,6 = 0,74 m 0,44 eomá*. = 0.74 - (0,03 - 0,06) = 0,65 m. 270 — PONTES EM CONCRETO ARMADO h) Direção longitudinal: 0,54 x 1,00 = 1,23 m 0,44 eomáx.= 1,23 - (0,093 + 0,44 + 0,003) = 0,69 m. i) Aplicação da Fórm. 5.8.8: 0,12 0,42 + 0,65 0,69 0,79 < 1,0. Verificamos que a condição de estabilidade é satisfeita. 5.9 5.9.1 PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO ELETRÔNICA PARA CÁLCULO DE FLAMBAGEM EM UMA DIREÇÃO Descrição do processo de cálculo Os programas de computação destinam-se a realizar os cálculos numéricos do processo rigoroso descrito no item 5.8.5. Consideramos o pilar representado na Fig. 5.9.1, engastado na base e livre na extremidade superior, com seção transversal variável e cargas aplicadas em diversas posições. Por conveniência, dividimos o pilar em n segmentos de igual comprimento L/n = l v Hn Mn JL JL N„ - r 2 1^ - "2 - "l ////■/////// o) d) Fig. 5.9.1 Pilar de inércia variável sujeito a cargas diversas, axiais e transversais. Elementos para o cálculo numérico dos efeitos de 2.a ordem. a) geometria do pilar e posições das cargas; b) deslocamento lateral do pilar provocado pelo momento e cargas laterais; c) momentos fíetores de primeira ordem ( M l0 a M ln) e de segunda ordem ( M 20 a A/2n); d) curvaturas provocadas nas seções do piiar pelos momentos de primeira e segunda ordem, representados na Fig. c. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 271 Sob ação do momento fletor aplicado no topo (M J e das cargas horizontais j, H 2, . . . , H n), o pilar fica sujeito a momentos fletores M l (M10, M n , , M ln), denominados momentos de primeira ordem, uma vez que são calculados com a geometria original do pilar (eixo vertical). Os momentos fletores, entretanto, dão origem a deslocamentos laterais y (y1; y 2, ..., y n), indicados na Fig. 5.9.1b, os quais, por sua vez, geram momentos adicionais (H M2 = 2. N ■y , denominados de segunda ordem, uma vez que são produzidos pela deformação do sistema. Na Fig. 5.2.9.1c, acham-se indicados os momentos de primeira ordem Mj (M10, M jj , ..., M ln) e os de segunda ordem M 2 (M20, M21, ..., M2J. Os momentos M2 são dados pelas seguintes expressões: M20 = Nn'yn+ Nn-i ' yn-l M 2i = + ••• + N1' F l N n(yn- y l)+ N n-i(yn- i ~ y ô + ••• (5.9.1) + u 2(y2 - y j . Na Fig. 5.2.9.1d, acham-se representadas as curvaturas l / r ( l / r 0, l / r 1, . . . , l / r j provocadas pelos momentos M, + M2. Com essas curvaturas, é possível calcular novos valores dos deslocamentos laterais y , obtendo-se em conseqüência, novos valores dos momentos de segunda ordem M2 e das curvaturas 1/r. Estes ciclos de cálculos são repetidos, em várias iterações, podendo a coluna apresentar os seguintes comportamentos: a) Os deslocamentos laterais y convergem para valores estabilizados; a coluna considera-se então bem dimensionada se nenhuma seção apre­ sentar deficiência de resistência interna em relação às solicitações atuantes, levando-se em conta os efeitos de segunda ordem; b) Os deslocamentos laterais y crescem indefinidamente; neste caso, a coluna apresenta um caso de instabilidade inelástica. A realização das iterações numéricas descritas acima depende de dois pro­ blemas fundamentais, a saber: a) cálculo das curvaturas 1/r em função das solicitações (problema da lei física); b) cálculo dos deslocamentos laterais em função das curvaturas (problema geométrico). 5.9.2 Determinação da curvatura em função das solicitações O cálculo das curvaturas 1/r, em função das solicitações, é feita para cada seção do pilar, supondo-se conhecidos: a) geometria da seção; 272 — PONTES EM CONCRETO ARMADO b) armaduras; c) parâmetros de resistência e deformação do concreto e do aço. Para cada valor do esforço normal relativo v, determinam-se, por cálculos numéricos iterativos, os valores da curvatura correspondentes aos momentos atuantes na seção. Se desejarmos, poderemos traçar curvas momento-curvatura do tipo indicado na Fig. 5.9.2. M Fig. 5.9.2 Curvas momento-curvatura para uma seção intermediária do pilar, em função da força normal relativa (v). Nos programas de computação, o cálculo de 1/r é feito em sub-rotinas específicas para cada forma de seção, distribuição de armadura e parâmetros físicos dos materiais. 5.9.3 Cálculo dos deslocamentos laterais, em função das curvaturas O cálculo dos deslocamentos laterais y pode ser feito por um processo baseado no método das diferenças finitas, usando-se a fórmula de Taylor: / (x; + /,) = /(X f) + /'(x ,)/! + f " { x t) V + ■ (5'9'2) O deslocamento y„ no ponto n é, então, determinado pela expressão seguinte, considerando-se apenas três termos da série [2.3]. yn = y „ - t + h y ' n- i + li 2 onde y „- y * - y n-2 2*1 (5.9.3) MESOESTRUTURA DAS PONTES _ 273 sVn — 11 — n—1 Aplicando sucessivamente a Form. 5.9.3, obtemos os seguintes valores: = /, 2 1 2ro y2 = Para iniciar os cálculos dos sucessivos valores de y l , y 2 , ...,y n, podem ado­ tar-se, como valores iniciais, as curvaturas provocadas pelos momentos de pri­ meira ordem; nas etapas seguintes, determinam-se as curvaturas provocadas pelos momentos M 1 + M r O problema geométrico, exposto neste item, pode também ser resolvido assimilando a deformada do pilar a uma sucessão de arcos de círculos, cada um com o raio de curvatura média de um segmento e 1 [27], O programa de computação eletrônica é organizado de modo a repetir os cálculos das ordenadas y v y v ..., y n até que a diferença entre duas etapas con­ secutivas seja menor que um valor prefixado. Pode-se também fixar “a priori” o número de iterações a serem processadas. 5.9.4 Dados de entrada no programa de computação para coluna engastada na base e com apoio lateral elástico na extremidade superior. Resultados de saída. O programa referido neste item trata de colunas de seção constante ou variável, engastadas na base, e com apoio horizontal elástico na extremidade superior (Fig. 5.9.4), sujeitas a cargas verticais e horizontais em diversos níveis. Os cálculos são efetuados no estado limite de projeto [17, 18]. O efeito da fluência do concreto não é considerado. Dados de entrada no programa. a) Dados gerais: NDIV — número de segmentos em que o pilar deve ser dividido. Se o pilar for de geometria uniforme este dado é igual a 1. NTA — número de taxas de armadura (porcentagem geométrica cu), ao longo da altura do pilar. 274 — PONTES EM CONCRETO ARMADO NC — número de pontos de ordenadas distintas com cargas aplicadas. IEXE — índice de controle do tipo de coluna, dependendo da fixação da extremidade superior, a saber: livre rotulada, com apoio lateral fixo rotulada, com apoio lateral elástico IE x E = IE x E = IE x E = 0 1 - 1. A extremidade inferior da coluna é engastada. RIG — valor do coeficiente de rigidez do apoio lateral elástico na extre­ midade da peça (zero para extremidade supêrior livre, infinita para apoio lateral fixo). b) Dados de carregamento: COTC — cotas de aplicação de carga (vertical e/ou horizontal). EXC — excentricidade de carga vertical, no topo do pilar, em relação ao eixo da peça indeformada. VÈRT — valor da carga vertical. HORZ — valor da carga horizontal. c) Parâmetros de resistência dos materiais, no estado limite de projeto: FCCD — resistência de cálculo do concreto a compressão. FYD — resistência de cálculo do aço. d) Dados de geometria do pilar: d.l) Se N D IV = 1 (pilar de seção uniforme) L = comprimento do pilar B — base da seção do pilar H = altura da seção do pilar TB — espessura da parede ao longo da base T H = espessura da parede ao longo da altura R E C O B — recobrimento da armadura. d.2) Se NDIV # 1 (pilar de seção variável) Devem ser dados todos os elementos acima, referentes a cada segmento em que foi dividido o pilar. e) Dados de armadura das seções: OM — porcentagem mecânica de armadura (ca) PH — porcentagem de armadura ao longo da altura MESOESTRUTURA DAS PONTES — 275 PB porcentagem de armadura ao longo da base COTF — cota máxima atingida por uma taxa de armadura a partir da base. Os resultados de saída do programa referem-se às seções médias dos seg­ mentos em que foi dividido o pilar. No caso de pilar com seção constante, o programa divide automaticamente o pilar em 10 segmentos. O programa imprime os seguintes elementos: momento fletor, raio de curvatura, flecha lateral. A comparação dos sucessivos resultados da flecha lateral permite avaliar-se a convergência do processo iterativo para uma posição estabilizada. O programa emite mensagem, acusando seção deficiente, quando as tensões ou deformação em qualquer seção ultrapassarem os valores limites. Não havendo mensagem, sabe-se que as seções estão com dimensões e armaduras suficientes. Os cálculos são efetuados no estado limite de projeto. E x e m p l o 5.9.4.1 — Verificar o dimensionamento a flexão composta com flambagem no plano longitudinal de um pilar com inércia variável ao longo do comprimento, engastado na base e com extremidade superior livre. E x . 5 .9 .4 .1 Flexão composta de um pilar de ponte com flambagem em uma direção: a) vista no plano longitudinal da ponte, com as cargas, a dimensão longitudinal varia linearmente com a altura; b) vista no plano transversal da ponte, a dimensão transversal é constante; c) seção transversal no topo do pilar; d) seção transversal na base do pilar, as espessuras das paredes são constantes. 276 — PONTES EM CONCRETO ARMADO a) Número de seções de cálculo. O pilar foi dividido em seis segmentos, em cujas seções médias são calculados os momentos, as flechas e os raios de curvatura, verificando-se ainda, se tensões e as deformações obtidas em cada seção estão dentro dos limites admis­ síveis. b) Dados de carregamento: COTC = 37,8 m VERT = 334$ tf = HORZ = 131 tf N = H M EXC N , + e ___ LLL + - 5^ - = 0,035 + 0,185 = 0,220 m. 3345 30 a ~ c) Dados dos materiais: Aço: CA-50 Concreto: f ck = 1800 tf/nr. d) Dados de geometria do pilar (Fig. a) L = 37,80 m B = 8,50 m H = variável Seção no topo (Fig. c) Seção na base (Fig. d). e) Dados de armadura das seções: Foram adotados 3 níveis distintos de armadura ao longo do comprimento do pilar. No terço inferior: armação face externa: armação face interna: 5/8 armação face externa: armação face interna: (j) (j) No terço central: No terço superior: armação face externa: armação face interna: (j) cada 20 cm 1/2 cada 20 cm 1/2 cada 20 cm 1/2 cada 20 cm 1/2 cada 20 cm (j) 3/8 cada 20 cm. (j) S o lu çã o : Inicialmente, vamos verificar o índice de esbeltez do pdar, na direção longitudinal. O comprimento de flambagem se calcula com a Tab. de [19]. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 277 /„ 1 ~ l = 8,50 x 3,653 - 7,90 x 3,053 8,50 x 5,553 - 7,90 x 4,953 ~ ’ ' 2L -£=■ = 2 x 37,8 - 86,2m. V* V7’6 Raio de giração da seção da base, na direção longitudinal: , ( 1 8,50 x 5,553 - 7,90 x 4,953 V /2 1 _ \ 12 8,50 x 5,55 - 7,90 x 4,95 J ~ ^ _ ’ m' índice de esbeltes do pilar: À 86,2 = i 2,26 38,2. O pilar do exemplo tem esbeltez pouco superior ao limite abaixo do qual o efeito de 2.a ordem pode ser desprezado. A solução do problema, com programa de computação, é apresentada na listagem reproduzida no texto. Verifica-se que a partir da quinta iteração já houve convergência para a posição estabilizada do pilar. Não tendo surgido mensagem relativa a deficiência em nenhuma seção, conclui-se que elas estão com dimensões e armaduras compatíveis com os esforços aplicados. De acordo com a listagem, observamos que o momento máximo obtido na seção média do segmento da base é 5380,4 mtf e que a flecha máxima no topo é 0,030 m. Sabendo que o peso do pilar até a seção acima referida é 621,$ tf, concluímos que a excentricidade total nesta seção é: e ._ = 5380,4 = 1,356 m. 3345 + 621,5 Para fazermos uma análise comparativa, calculamos a seguir as parcelas da excentricidade total, referidas à seção média do segmento da base do pilar: 0,035 x 3345 + 131 x 34.65 = 1,174 m 3345 + 621,5 0,185 x 3345 “ 3345 + 621,5 ec = etot = 0,156 m —>’i —0,030 —0,001 = 0,029 m e o + ea + ec = 1.174 + 0,156 + 0,029 = 1,359 m. 278 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Conforme era esperado, devido ao pequeno índice de esbeltez do pilar, o valor da excentricidade complementar é de pequena importância em relação às excentricidades de primeira ordem. Tal fato pode ser observado pela pequena diferença entre o momento fletor calculado na Ia iteração e nas iterações subseqüentes. A excentricidade complementar obtida representa apenas 2,2% das excen­ tricidades de primeira ordem: eo '+ 5.9.5 0,029 = 0,022. 1,174 + 0,156 Generalização do programa de computação O programa descrito no item 5.9.3 pode ser generalizado para colunas com ligações mais complexas. fr 4 " Fíg. 5.9.3 Deslocamentos transversais de um pilar com engaste elástico na base. No caso de pilares com engastamento elástico na base (Fig. 5.9.3), o valor do deslocamento lateral y , numa altura x (Fig. 5.9.1a), é acrescido, em cada iteração, de uma parcela: A y = or x = M 20 , M io (5.9.5) k sendo k a rigidez a flexão do engaste elástico. Na Fig. 5.9.4, vemos um pilar de ponte com um apoio horizontal elástico na extremidade superior. MESOESTRUTUfíA DAS PONTES — 279 Fig. 5.9.4 Pilar de ponte com apoio horizontal elástico na extremidade superior: a) geometria do pilar; b) esquema das cargas e apoio elástico; c) deformadas possíveis do pilar. Nesse caso, a programação é mais complexa, uma vez que os cálculos itera­ tivos deverão atender a duas condições: a) diferença entre dois valores consecutivos de deslocamentos laterais y menor que um valor prefixado; b) reação horizontal superior, compatível com deslocamento horizontal no tipo, tendo em vista a rigidez do apoio horizontal. 5.9.6 Efeito de fluência do concreto O efeito da fluência do concreto pode ser levado em conta, modificando-se a lei física deste material sob ação das cargas de longa duração (Fig. 5.9.5) Considerando-se o efeito da fluência, podem ser calculadas novas curvas M —1/r (Fig. 5.9.2), as quais são utilizadas com as cargas de longa duração. Fig. 5.9.5 Leis físicas de deformação do concreto, sob cargas transitórias e cargas permanentes, a) curva de ensaio rápido ec0 = ; b) curva para carga de longa duração; C £c = EcO + £cc = J Í - (* + <*>)• 280 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 5.10 5.10.1 PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO ELETRÔNICA PARA CÁLCULO DE FLAMBAGEM EM DUAS DIREÇÕES. Introdução Quando os pilares apresentam esbeltez superior a 35 nas duas direções principais, o cálculo rigoroso de estabilidade se faz considerando a flexão com­ posta oblíqua com efeito de 2.a ordem. 5.10.2 Extenção do programa de flambagem em uma direção O programa de flambagem em uma direção, discutido no item 5.9, pode ser estendido para análise do efeito de 2.a ordem nas duas direções. : ; - m m Fig. 5.10.1 /. Geometria de coluna, sujeita a flexão composta oblíqua, com efeito de flambagem em duas direções. Em cada etapa de cálculo, a geometria do sistema é analisada através das projeções da deformada nos dois planos principais. Definida a geometria, em uma iteração da deformada, calculam-se os mo­ mentos longitudinais e transversais em cada seção. A seguir, cada seção é analisada a flexão composta oblíqua, em uma subrotina do programa, verificando-se a condição de segurança, e obtendo-se valores das curvaturas nas duas direções principais. MESOESTRUTURA DAS PONTES — 281 Com os novos valores das curvaturas, obtém-se, por integração numérica, novos valores das deformações, que definem a geometria da iteração seguinte. O processo iterativo prossegue até que duas etapas consecutivas de iteração produzam geometrias praticamente coincidentes. A coluna será considerada estável se o processo iterativo for convergente e se as condições de segurança forem atendidas em todas as etapas. 5.11 PILARES DE VIADUTOS SUJEITOS A IMPACTO DE VEÍCULOS 5.11.1 Introdução Os pilares de viadutos (passagens superiores a rodovias), colocados junto às pistas de tráfego, estão sujeitos, eventualmente, ao impacto de veículos desgo­ vernados. Para garantir o viaduto contra o perigo de ruína, poderão ser adotadas duas medidas: a) proteger os pilares com barreiras de resistência adequada; b) armar os pilares para resistir ao choque. As barreiras de proteção poderão ser de concreto ou de aço, devendo ser dimensionadas para desviarem os veículos desgovernados, evitando impacto contra o pilar. A fim de reduzir a probabilidade da colisão, aumentando portanto a segu­ rança da, estrada inferior, a prática americana recomenda colocar os pilares late­ rais além do acostamento. No caso de a estrada inferior apresentar duas pistas independentes, o pilar situado no canteiro central deverá ser protegido com bar­ reiras. 5.11.2 Critério para cálculo de pilares a choque de veículos A norma alemã DIN 1072 [5.2] considera o efeito de choque de veículos equivalente a uma carga estática aplicada a 1,2 m de altura acima da pista, com o valor: a) na direção do tráfego 100 tf b) na direção normal do tráfego 50 tf. A verificação de estabilidade é feita, separadamente, nas duas direções prin­ cipais, com o coeficiente y f = 1 aplicado à soma das cargas principais (peso próprio e carga útil) e do efeito de choque. A norma DIN 1075 [5.1] recomenda armadura em duas camadas para os pilares sujeitos a choques de veículos (Fig. 5.10.1). Nas faces afetadas pelo choque (até 2m acima do nível da pista), a verificação do pilar a flexão com­ posta é feita desprezando-se a resistência a compressão da camada externa de concreto (hachuriada na figura) e da camada externa de armação (contida na área hachuriada). PONTES EM CONCRETO ARMADO IC cm é !2 c m 282 Fig. 5.11.1 Pormenores de armação de pilares sujeitos a impacto de veículos [5.1]. O dimensionamento para choque de veículos é desnecessário nos seguintes casosa) pilares maciços, com dimensões transversais superiores a 1,60 m na di­ reção do tráfego e 1,20m na direção normal ao tráfego; b) pilares paredes ou pilares ocos, com dimensões transversais superiores a 3,0 m na direção do tráfego e 0,90 m na direção normal ao tráfego. Dados de entrada no programa de computação. E x . 5 .9 .4 .1 PECA DE EXTREMIDADE LIVRE DADOS DO CARREGAMENTO COTA DAS CARGAS (M) CARGA HORIZ 0 CARGA VERTICAL (T) EXCENT C. VERT. (M) 37.80 1„1.00 3345.00 0.220 RESISTÊNCIAS DE CALCULO DOS MATERIAIS ACO CONCRETO - 43478.000 T/M2 1200.000 T/M2 DADOS GEOMÉTRICOS DA PECA PECA DE SECAO NAO UNIFORME ****»*«****•*•»»***•*«*****•« COMPRIMENTO - 37.800 N. DIV BASE (M) ALTURA (M) 1 2 3 4 5 6 8.50 8.50 8.50 8.50 8.50 8.50 5.40 5.08 4.76 4.45 4.13 3.81 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 TAXAS DE ARMADURAS VALOR OM 0.035 0.036 0.029 0.030 0.025 0.026 ESPESSURAS TB (M) TH (M) PERC PH PERC PB COT. MAX (M) 0.19 0.19 0.18 0.17 0.16 0.15 0.31 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 6.300 12.600 18.900 25.200 31.500 37.800 U.300 0.300 0.300 0.300 0.300 0.300 RECOB (M) COTA DIV (M) 0.120 0.120 0.150 0.150 0.120 0.120 3.15 9.45 15.75 22.05 28.35 34.65 /..y . 5 . 9.4.1 C á lc u lo ite ra tiv o da posição esta bilizada do p ila r. 1. ITERACAO ************* ******************************************************************************** OBS. FLECHA COTA TOPO FLECHA COTA MED. N. MOMENTO RAIO DE DIVISÃO MEDIA DIVISÃO TOPO CURVATURA DIV (M) (M) (M) (M) (M) (MT) * * * ************************************************ ********** ******************** BAS1 0.000613 3.150 6.300 0.001227 16179.68 5275.050 1 0.002856 9.450 12.600 0.004486 24610.34 4449.750 2 0.006727 15.750 18.900 0.008969 3624.450 47600.00 3 0.011642 22.050 0.014314 25.200 2799.150 44500.00 4 28.350 0.017450 0.020586 31.500 41300.00 1973.850 5 TOPO 0.024223 34.650 0.027860 37.800 1148.550 3810Ò.00 6 * * * ***************************************************************************** 2.. ITERACAO ************* ************** *->***************************************•************************* OBS. FLECHA COTA TOPO FLECHA COTA MED. N. MOMENTO RAIO DE DIVISÃO MEDIA DIVISÃO TOPO CURVATURA DIV (M) (M) (M) (M) (M) (MT) * * * ************ ************************************ *********************** *••**• BASE 3.150 0.000660 0.001321 6.300 15024.79 5373.009 1 9.450 0.003096 21855.77 12.600 0.004870 4538.898 2 0.007308 15.750 0.009745 18.900 3698.866 47600.00 3 0.012614 22.050 0.015482 25.200 44500.00 2855.452 4 28.350 0.018815 31.500 0.022147 2009.418 41300.00 5 TOPO 34.650 0.025979 0.029812 37.800 1160.714 38100.00 6 * * * ************ ************************************ ***************************** 3. ITERACAO ************* * * * ********************************************************* ************** ****** OBS. FLECHA COTA TOPO FLECHA COTA MED. N. MOMENTO RAIO DE DIVISÃO MEDIA DIVISÃO CURVATURA TOPO DIV (M) (M) (M) (M) (MT) (M) * * * ************************************************************************ ****** 1 2 3 4 5 6 5379.916 4545.050 3703.720 2858.862 2011.429 1161.370 14949.55 21688.26 47600.00 44500.00 41300.00 38100.00 0.001327 0.004897 0.009799 0.015564 0.022256 0.029949 6.300 12.600 18.900 25.200 31.500 37.800 0.000664 0.003112 0.007348 0.012682 0.018910 0.026102 3.150 9.450 15.750 22.050 28.350 34.650 BASE TOPO MESOESTRUTURA DAS PONTES — 285 4. ITERACAO ************* * * * .» H t* » * * .» ..* .. N. MOMENTO RAIO DE FLECHA COTA TOPO FLECHA COTA MED. OBS. DIV CURVATURA TOPO DIVISÃO MEDIA DIVISÃO (M) (MT) (M) (M) (M) (M) * * * *********** ********************************************************#*######## 1 5380.400 14944.31 0.001328 6.300 0.000664 3.150 BASE 2 4545.480 21676.63 0.004899 12.600 0.003114 9.450 3 3704.060 47600.00 0.009803 18.900 0.007351 15.750 4 2859.100 44500.00 0.015570 25.200 0.012687 22.050 2011.570 5 41300.00 0.022263 31.500 0.018916 28.350 6 1161.416 38100.00 0.029957 37.800 0.026110 34.650 TOPO * * * ************************* ********* ************************************** ****** 5. ITERACAO ********* * ** * * * ***************************************************************#*######_###### N. MOMENTO RAIO DE FLECHA COTA TOPO FLECHA COTA MED. OBS. DIV CURVATURA TOPO DIVISÃO MEDIA DIVISÃO (MT) (M) (M) (M) (M) (M) * * * **************************************************####### ******************** 1 2 3 4 5 6 5380.430 4545.507 3704.080 2859.114 2011.577 1161.419 14943.99 21675.91 47600.00 44500.00 41300.00 38100.00 0.001328 0.004899 0.009803 0.015570 Ò.022263 0.029958 6.300 12.600 18300 25.200 31.500 37.800 0.000664 0.003114 0.007351 0.012687 0.018917 0.026110 3.150 9.450 15.750 22.050 28.350 34.650 BASE TOPO 6 INFRAESTRUTURA DAS PONTES 6.1 INTRODUÇÃO A infraestrutura das pontes é constituída pelas fundações, cuja função é trans­ ferir para o solo as solicitações atuantes na estrutura. As fundações podem ser classificadas em dois grupos: diretas e profundas. As fundações diretas, em geral feitas em concreto armado, são executadas diretamente sobre o solo portante, em profundidades adequadas, dentro de esca­ vações. Os elementos de lundação são de dois tipos, blocos e sapatas. Em geral, as fundações diretas são construídas a pequena profundidade, donde os nomes de fundações razas ou superficiais. As fundações profundas são utilizadas, via de regra, quando o solo portante se encontra a uma profundidade que torna pouco prática a execução de escava­ ções. As fundações profundas mais utilizadas são: estacas, tubulões e caixões. 6.2 FUNDAÇÕES DIRETAS 6.2.1 Tipos construtivos As fundações diretas empregadas nas pontes são de dois tipos: blocos e sapatas. O material empregado é quase sempre o concreto armado. Os blocos são construídos com altura suficiente para se dispensar uma armadura de cálculo, embora em geral se coloque uma armadura construtiva horizontal, junto à face inferior. As faces laterais dos blocos podem ser verticais, inclinadas ou em degraus, como indicado na Fig. 6.2.1. A seção de apoio na base pode ser quadrada, retan­ gular, poligonal ou circular. A inclinação mínima das paredes, que permite a dispensa de armadura de cálculo, depende da pressão no solo e da resistência do concreto. Em condições INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 287 usuais, recomenda-se para os blocos uma inclinação lateral tg /? > 1,7 a 2,0, colo­ cando-se uma armadura construtiva, por exemplo malha 0 5/16 cada 20 cm na face inferior. As fundações com tg /S < 1,5 são consideradas como sapatas, rece­ bendo a r m a d u r a de cálculo. Fig. 6.2.1 Tipos de blocos de fundação, conforme as faces laterais: a) verticais; b) inclinadas; c) em degraus. A armadura de flexão de um bloco pode ser dispensada quando a tensão de tração no corpo do bloco for inferior à tensão admissível (ãcl). Essa condição pode ser verificada com a fórmula !£ f< iL + 1 p ( 6.2. 1) = pressão vertical no terreno; õ cl — tensão admissível a tração do concreto, a qual pode ser tomada igual à metade da resistência à tração. <7c t 2 fc, 20 U (6.2.1a) As sapatas são projetadas com menor altura que os blocos, havendo neces­ sidade de uma armadura de cálculo. Elas podem ter altura constante ou variável (Fig. 6.2.2), sendo as seções das bases do mesmo tipo que as dos blocos. a) b) Fig. 6.2.2 Tipos de sapatas de fundação em concreto armado: a) altura constante; b) altura variável. 288 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 6.2.2 Processos construtivos As fundações diretas são, geralmente, executadas dentro de escavações, pro­ curando atingir-se a camada de apoio considerada satisfatória. Na maioria dos casos, as escavações requerem um escoramento especial para evitar desmorona­ mento. Em terrenos permeáveis, quando o nível d'água fica acima da cota de fundação, é necessário fazer esgotamento da cava de fundação, por meio de bombas de sucção. Em escavações de grande área. pode-se fazer o rebaixamento do lençol d’água por meio de poços filtrantes, bombas de sucção ou bombas submersas. Uma vez atingido o terreno de fundação, procedesse a limpeza superficia do mesmo, concretando-se sobre ele uma camada de cerca de 10 cm de concreto magro, que servirá de fôrma da face inferior da fundação direta. Na Fig. 6.2.3, exemplificamos uma seqüência construtiva de fundação direta. Fig. 6.2.3 Processo construtivo de fundação direta: a) escavação com escoramento e esgotamento: 1 — superfície do terreno em processo de escavação 2 — poço para coleta e remoção de água 3 — bomba de sucção 4 — ensecadeira para suporte das faces laterais da escavação b) final da escavação e concretagem da fundação direta: 6 — camada de concreto magro sobre o terreno de fundação 7 — fundação direta 8 — pilar c) fundação concluída com remoção do escoramento e reaterro: 9 — reaterro da cava de fundação 6.2.3 Cálculo das pressões no solo de fundações Nos blocos e sapatas de fundação direta, a distribuição de pressões verticais na face do terreno depende da rigidez relativa da fundação e do solo. Para fins de análise, adota-se um diagrama convencional, calculando-se as tensões com as fórmulas de Resistência dos Materiais (Fig. 6.2.4). INFRAESTRUTURA DAS PONTES 289 Fig. 6.2.4 Pressões verticais no terreno. Diagrama linear convencional: a) compressão centrada; b) compressão com pequena excentricidade; c) compressão com grande excentricidade. No caso de compressão centrada (Fig. 6.2.4a), a pressão do terreno é dada por: N P = ~Ã - A = (6-2-2) área da superfície de apoio da sapata no terreno. No caso de compressão com pequena excentricidade (Fig. 6.2.4b), as tensões de bordo p são dadas pela conhecida fórmula da flexão composta: N , M P = ~ÃT± W W (6-12a) = momento resistente da superfície de apoio da sapata no terreno. A tensão máxima corresponde ao sinal + da fórmula supra. No caso de compressão com grande excentricidade (Fig. 6.2.4c), a Fórm. 6.4.2a indicaria uma pressão negativa em um dos bordos, o que é fisicamente impossível, pois não existe resistência a tração entre o terreno e a sapata. Nessas condições, o equilíbrio é obtido com um diagrama linear de pressões atuando em apenas uma parte da seção. O cálculo da pressão máxima p, e da extensão da parte da área comprimida, pode ser muito facilitado por tabelas numéricas, como por exemplo as Tabs. 6.2.1 e 6.2.2. Fundação de base retangular. Carga com dupla excentricidade (e x , e y). Coeficientes k de pressão máxima no solo, não considerando tensões de tração entre a fundação e o solo. C o e fic ie n te s k , e m fu n ç ã c d e e j a e e j b < 50% a 3.17 2.97 2.80 2.63 2.48 2.34 2.21 2.08 1.96 3.61 3.38 3.17 2.98 2.80 2.64 2.49 2.35 2.21 2.08 4.14 3.86 3.62 3.39 3.18 2.99 2.82 2.66 2.50 2.36 2.22 A 4.77 4.44 4.15 3.88 3.64 3.41 3.20 3.02 2.84 2.68 2.53 2.38 .16 .18 .20 .22 Área comprimida > 50% a • b 2.79 2.48 2.63 2.20 2.34 2.48 2.08 2.21 2.34 1.96 1 2.08 2.21 1.84 K96 L2.08 1.72 1.84 1.96 1.60 1.72 1.84 Área toiaimente comprimida 1.48 1.24 1.36 1.00 1.12 1.24 .10 C Tv CT\ Cu o VO ON HO oo Kj 00 to 1— Cn ò oo. —1 OO »—* I—* p cn o « u> 00 Kj b o l o b o o o to o 5.51 6.01 5.57 5.19 4.84 4.53 4.24 3.98 3.74 2.52 3.32 3.13 2.95 2.78 .24 .26 .28 9.38 8.52 7.81 7.21 6.69 6.23 5.81 5.43 5.09 4.78 4.49 4.23 3.98 3.75 3.54 3.33 10.4 9.47 8.68 8.01 7.43 6.92 6.46 6.04 5.66 5.31 4.99 4.70 4.43 4.17 3.93 3.70 11.7 10.7 9.77 9.01 8.36 7.78 7.26 6.79 6.37 5.97 5.62 5.28 4.98 4.69 4.42 4.17 .30 .32 .34 13.4 15.6 18.8 12.2 14.2 17.0 11.2 15.6 13.0 14.4 10.3 12.0 13.4 9.55 11.2 8.90 10.4 12.5 8.30 9.68 11.6 7.76 9.06 10.9 7.27 8.49 10.2 6.83 7.97 9.56 6.42 7.49 8.99 6.04 7.05 8.46 5.69 6.64 7.96 5.36 6.26 7.51 5.05 5.90 7.08 4.76 5.56 6.67 .36 .38 0,30 0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,16 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 e jo e jb .40 cu cn o to to H- h-» ► —» H- b— to bo Ò N 4b Kj ö oo Ö o o O O o o o o oo to to t o to b— H-» ► —* b— » 1—» bo Cn Kj vo bo Ò n 4». lo b-» 4». o VO to Os o •P. 00 to Os K) 00 U b w O o O/i 0n Os ON JO .14 CU •— cO /»l ♦ — t/1 M K> .12 5.55 5.15 4.79 4.47 4.18 3.92 3.68 3.46 3.25 3.06 2.88 2.72 2.56 7.75 7.10 6.56 6.08 5.66 5.28 4.94 4.63 4.35 4.08 3.84 3.62 3.41 3.22 3.03 ■b Cn 4b VO ÒN on u> bo o u> K j 4b 2 9 0 — PONTES E M CONCRETO A R M A D O TAB. 6.2.1 a. o to to bo VO 3> »X ON » i' U» P VO o ON Kj bo 4b o cr» oo oo 4b OO 00 bo ON i ^ f r õ 3 oo to to to lo vo O N 4b o to to « *0 I—‘ Os 4b oo oo to to to vo VO 4b o o vo oo lo oo •V Òs 4b to Î-* oo J— ÒN b—* 4b Kb j H- ö VO -o 4 to o >- 1— ►-* lo p o ^3 II » 9 o ; g. te o fb 4b oo oo to to to to to >—* cn oo ÒN *. to oo O vo On oo vo on 4b 4 to Os o H- 4b 4b lo OO ► — j— b—> p í—• to h-» Ö o vo o Kj 8. 4b oo oo to to to to to K j bo ÒN 4b to b—• —1 vo 4b to ON -o *-* Área comprimida inferior a 50% da área de apoio. Área comprimida superior a 50% da área de apoio Area totalmente comprimida H > 05 292 — PONTES EM CONCRETO ARMADO No caso de área parcialmente carregada (Fig. 6.2.4c), para evitar o risco de tombamento, recomenda-se que pelo menos a metade da área da sapata esteja comprimida. Quando esta condição não é verificada, aumentam-se as dimensões da base da fundação. 6.2.4 Pressões admissíveis nos solos de fundações diretas Nos terrenos para fundações diretas, as pressões admissíveis podem ser determinadas por meio de sondagens, ensaios de penetração estática, ou prova de carga direta sobre o terreno (veja-se a norma brasileira NB 27, Prova de carga direta sobre terrenos de fundação ’)• O ensaio padrão de penetração (SPT = standard penetration test), das sondagens usualmente empregadas, fornece números que permitem uma avalia­ ção da tensão admissível do solo. TAB. 6.2.3 Pressões admissíveis para fundações diretas em solos (Valores indicativos). ----------------------------R e s is tê n c ia à p e n e tr a ç ã o T ip o d e solo (SPT) N ú m e r o d e g o lp es" R e s is tê n c ia à c o m p r e ss ã o sim p le s P re s sã o a d m iss ív e l (kgf/cm2) (kgf/cm2) N Argila muito mole Argila mole Argila média Argila rija Argila dura Areia fofa fina Areia fofa grossa Areia média fina Areia média grossa Areia compacta fina Areia compacta grossa Areia muito compacta < 2 2 a 4 4 a 10 10 a 15 > 15 5 5 5 a 10 5 a 10 10 a 25 10 a 25 > 25 < 0,25 0,25 a 0,50 0,50 a 1,0 1a 2 > 2 — — — — — — 1,0 a 2,0 2,0 a 3,5 4,0 1,0 1,5 1,0 a 2,5 1,5 a 3,0 2,5 a 5,0 3,0 a 5,0 6,0 Nota 1 — A resistência à penetração é o número de golpes de um peso de 65 kgf, caindo de uma altura de 75 cm, necessários para cravar 30 cm no solo um barrile e amostrador padronizado de 4,5 cm de diâmetro. Nota 2 — As pressões admissíveis em kgf/cm2 são da ordem de N/5. Nota 3 — Nas fundações situadas abaixo do lençol d'água, em terrenos arenosos, os valores do quadro acima devem ser reduzidos à metade. Nota 4 — No caso de cargas excêntricas, as pressões de bordo admissíveis são as do Quadro 4.2.1 acrescidas de 30%. As pressões admissíveis nos terrenos de fundação podem ser calculadas com a teoria da Mecânica dos Solos, baseando-se, em geral, na resistência à INFRAESTRUTURA DAS PONTES _ 293 ruptura do material, no caso de argilas, e nos recalques diferenciais prováveis, no caso de areias. Nos casos correntes da prática, entretanto, é usual o emprego de pressões admissíveis do tipo das indicadas na Tab. 6.2.3. Nos casos de materiais rochosos ou pedregulhos, não é possível realizar sondagens de percussão, recorrendo-se, então, a sondagens rotativas. Para as fundações diretas assentes nesses materiais, podem ser usadas as tensões indicati­ vas da Tab. 6.2.4. TAB. 6.2.4 Preções admissíveis para fundações diretas em materiais rochosos. M a te r ia l P re ssã o a d m is s ív e l (kgf/cm2) 6.2.5 Rocha viva, sem descomposição ou fissuras, tais como: granito, gnais, basalto etc. 50 Rochas laminadas, com pequenas fissuras estratificações, tais como: xistos, ardósias. 35 Solo concrecionado. 15 Pedregulhos compactos e misturas compactas de areia e pedregulho. 8 Pedregulhos fofos e misturas de areia e pedregulho. 4 Profundidades mínimas das fundações diretas. Efeito de erosão As fundações diretas devem ser construídas a certas profundidades mínimas, da ordem de 1 metro, para se evitar, por exemplo, efeitos de expansão de solos devido à variação de umidade superficial, erosão de águas pluviais etc. Em fundações construídas nos leitos dos rios, têm capital importância os efeitos de erosão, durante as cheias, podendo produzir rebaixamento de vários metros, no caso de materiais arenosos. As fundações devem, então, ser colocadas em cota inferior à do rebaixamento provável do leito. Um grande número de acidentes em pontes pode ser atribuído à erosão. A maior parte das pontes medievais, em arcos de cantaria de pedra, foi destruída por solapamento das fundações insuficientemente profundas. O estudo preciso da erosão só pode ser feito em modelos reduzidos, poden­ do-se, então, apreciar os efeitos das enchentes e da implantação das fundações na caixa do rio. 294 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Havendo outras pontes no rio em estudo, as medidas de rebaixamento de fundo do rio durante as cheias poderão fornecer dados de grande valia no pro­ jeto das fundações da nova obra. A profundidade atingida pelo efeito de erosão no fundo do rio depende de diversos fatores, entre eles: — tipo de material do fundo do rio; — velocidade das águas; — diferença de nível d’água, entre o nível normal e o de cheias. As observações em diversas obras têm mostrado que a erosão durante as cheias pode provocar um rebaixamento do fundo do rio da ordem de grandeza da diferença de nível d’água normal para a cheia. Em alguns casos excepcionais, o rebaixamento observado foi igual a três vezes a diferença de nível d’água. 6.2.6 Dimensionamento das sapatas de fundação, em concreto armado Consideram-se sapatas de fundação os elementos do tipo da Fig. 6.2.1, nos quais tg /? < 1,5. As sapatas são dimensionadas pelas teorias correntes de concreto armado, calculando-se, entretanto, as solicitações em certas seções de referência, determinadas empiricamente, para atender à distribuição bidimen­ sional das solicitações. Para o dimensionamento a flexão, utilizamos as regras aproximadas do CEB [2.2], aplicáveis a sapatas com a relação h /l entre 0,5 e 1,5. 0,5 < (tg /i = y ) < 1,5. Quando tg /? > 1,5 caímos no caso de bloco, sendo em gerai desnecessária uma armadura de cálculo. Quando tg /I < 0,5, a sapata pode ser calculada como laje em balanço. Fig. 6.2.5 Seção de referência Sm para o cálculo da armadura de flexão das sapatas retangulares. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 295 Em sapatas retangulares, os momentos fletores são calculados, em cada direção principal, numa seção de referência S m situada à distância 0,15« da face da coluna (Fig. 6.2.5), determinando-se a armação com a geometria da seção na face do pilar, limitando-se, porém, a altura a 1,5 vezes o comprimento da sapata medido a partir da face do apoio. Quando a armadura é predominante em uma direção, a armadura na direção secundária deve ser pelo menos igual a 20% da armadura principal. A armadura de flexão é prolongada até a face da sapata, devendo estar total­ mente ancorada numa seção à distância h da face do pilar (l > h), ou na vizinhança da face da sapata (/ < h). a) Fig. 6.2.6 Ancoragem das armações de sapata: a) para l < h, a armadura deve estar totalmente ancorada na visinhança da face da sapata: b) para l > h, a armadura deve estar totalmente ancorada numa seção à distância h da face do pilar. Nas sapatas de base quadrada, as armaduras podem ser distribuídas unifor­ memente nas duas direções ou dispostas com maior densidade numa faixa de largura igual à largura da coluna + duas vezes a maior altura da sapata. Nas sapatas retangulares, a armadura A v paralela ao maior lado, pode ser distribuída uniformemente na largura b '; a armadura A 2, paralela ao menor lado deve ter maior densidade numa faixa próxima do pilar (Fig. 6.2.7). a' ------ 1 ----------- - ^ A 1‘ - =7 m £ r ' m a -, 1 n " b = m h ; i a+ 2h Fig. 6.2.7 Distribuição das armaduras em sapatas retangulares. 296 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Os momentos fletores são calculados admitindo-se diagrama linear de pres­ sões no terreno. Quando o peso próprio da sapata e do terreno sobrejacente são computados na pressão do terreno, as parcelas respectivas podem ser deduzidas no cálculo da armadura da sapata. Os momentos negativos são pouco usuais em sapatas; quando existem, coloca-se armação negativa, detalhando parte da armadura positiva em forma de estribos. Com o momento fletor na seção S m, se determina a armadura A s, em cada direção da sapata, sendo também necessário verificar a tensão de escorregamento da armadura, por se tratar de região de elevados esforços cortantes. A tensão de escorregamento, no estado limite de projeto, é dada por; _ ____ _ d ___ 0,9 d -n -u bd (6.2.3) = esforço cortante de projeto na seção S m de referência número de barras de armação na seção u5= perímetro de uma barra da armação. Vd n — ¥>bd Para barras de alta aderência (barras com indentações transversais), o valor deve ficar abaixo do valor limite dado pela expressão; (6.2.4) O limite supra é cerca de 70% do limite correspondente adotado para vigas, justificando-se a diferença pela concentração de cargas sob a coluna, enquanto o cálculo de Vd admite distribuição uniforme da carga em toda a largura da sapata. Para verificação da sapata a esforços transversais, utilizamos as regras das normas americanas [3]. A verificação de cisalhamento em sapatas é determinada pelas duas condições seguintes, prevalecendo a mais desfavorável: a) cisalhamento, considerando a sapata como viga larga, adotando-se, em cada direção, a tensão nominal de cisalhamento (Fórm. 4.7.4) na seção à distância d da face do apoio, com a largura total da sapata. Será dispen­ sável o emprego de armadura transversal se 750d < 75c. b) punção, verificada numa seção crítica perpendicular ao plano da laje, de perímetro mínimo, e distante pelo menos d/2 da face do pilar. A tensão de punção é dada por: (6.2.5) u = d = perímetro da seção crítica altura útil na face do pilar INFfíAESTRUTURA DAS PONTES — 297 Nas sapatas alongadas, face aos esforços horizontais atuantes, a tensão de punção não é igual em todas as faces do pilar. Daí, a conveniência de se verificar a punção na face mais desfavorável, calculando-se o esforço cortante numa seção crítica v — v indicada na Fig. 6.2.8. A tensão de punção será então dada por: 25d Vd K dv ( 6. 2 .6) esforço cortante de projeto na seção largura da seção v — v altura útil da seção v — v. v —v bv= b+ d t ------------- 1 d Fig. 6.2.8 Verificação de punção em uma sapata retangular alongada. A seção mais desfavorável (v, v) fica à distância d /2 da face do pilar, tendo largura b v = b + d e a altura dv. Será dispensável o emprego de armadura transversal quando a tensão75d for inferior a (tensões em kgf/cm2): ^ (6.2.7) < Se a tensão de punção ultrapassar o valor supra, deverá ser colocada uma armadura transversal, do tipo indicado na Fig. 6.2.9, com capacidade de absorver um esforço cortante igual a 0,75 Vd, com a tensão des projeto / , < 3000 kgf/cm2 (NB1 4.1.5.2). A tensão de punção, nas seções com armadura transversal (NB1 5.3.1.2), fica limitada ao valor (tensões em kgf/cm2): 75d <75 d lim y r. ( 6. 2 . 8) 298 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Fig. 6.2.9 Armadura transversal de punção em sapatas. E x e m p l o 6.2.6.1 — Calcular a armação necessária para a sapata de funda­ ção com as dimensões indicadas na figura, para um diagrama trapezoidal de pressões no solo, sendo a pressão de bordo p - 30 tf/m2 e a pressão na aresta oposta 5 tf/m2. Aço CA-50, concreto C200. Coeficientes de segurança do CEB/72. m - m O o v- v ■ 150 T 100 ! 250 T 5 0 0 cm 1 24 0 I/2 - C .2 O E x . 6 .2 .6 .1 Exemplo de dimensionamento de uma sapata de fundação: a) geometria da sapata; b) diagrama de pressões no terreno; localização das seções críticas para momento fletor (seção m - m ) e punção (seção v - v); c) seções transversais em m - m e v - v , mostrando a armadura principal (16 0 3/4"); d) seção longitudinal da sapata, mostrando a armadura principal (16 0 3/4") e a armadura secundária (24 0 1/2"). S o l u ç ã o : O dimensionamento a flexão é feito na seção momento fletor em serviço na seção m vale (Fig. b): M = 2,5 x 2,652( 16,8/2 + 13,2/3) = 224,7 mtf. Estimamos a altura útil da seção m: m —m (Fig. a). O INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 299 0,10 = 2,00 - 0,10 = 1,90 m. d ^ h - Nas Tabs. 26 e 30 de [17], obtemos, com os coeficientes de segurança do CEB/72: 113 kgf/cm2 f c = ** As - M * - f d2 J C L = 2, 6 % f, 1,5 x 224,7 = 0,033 1130 x 2,5 x 1,92 = 0,033 x 2,6% x 250 x 190 = 40,8 cm2 (16 $3/4" CA-50 = 45,6 cm2). Para armadura transversal, podemos adotar 5 cm2/m CA-50 ($ 1/2" cada 25 cm), o que corresponde a 27 % da armadura longitudinal. Para verificar a tensão de escorregamento da armadura, calculamos o esforço cortante na face do pilar: V. = 1,5 30 t 17 2,5 x 2,5 = 220,3 tf ~ K = (W 75bd l im d tu - 14 220300 , , ç . ,, 2 = 0,9 x 190 x 16 x , x 1,9 * ° ’5 kgf/Cm 28,8 kgf/cm2. U Vemos que a condição de escorregamento está satisfeita. O dimensionamento a esforço cortante se faz na seção à distância da face do apoio: b0 d 1,5 x 30 x 2,5 x 0,5 = 17,3 tf/m2 < 75c. 2,5 x 1,30 O efeito de punção é verificado na seção Esforço cortante em serviço na seção v: V Altura útil dv = 1,5 x 2,5 ^22,5 + na seção v: v —v da Fig. 6.2.8. 98,4 tf. d = 2m 300 PONTES EM CONCRETO ARMADO dv = 1,90 - 0,60 x 0,90/2,40 = 1,68 m . Tensão nominal de punção na seção 1.5 x 98,4 2.5 x 1,68 _ K _ 7S d v: K A 35,1 tf/m2. Aplicando a Fórm. 6.2.7, obtemos: Lá = = 9>4 kgf/cm2. Vemos que não há necessidade de armadura transversal de punção. 6.2.7 Influência dos recalques das fundações diretas nas solicitações da mesoestrutura e da superestrutura Sob ação das cargas, as fundações diretas apresentam recalques verticais, que podem produzir efeitos importantes nas estruturas. Nas obras isostáticas, os recalques não produzem momentos fletores. Quando, entretanto, forem previstos recalques importantes, é conveniente prever no projeto a possibilidade de renivelamento do tabuleiro. Nas regiões carboníferas da Eu­ ropa, onde são possíveis recalques da ordem de decímetros, as pontes são proje­ tadas com superestruturas isostáticas, prevendo-se nichos especiais para permitir elevação do tabuleiro com macacos hidráulicos. Nas superestruturas hiperestáticas, as diferenças de recalques entre apoios (recalques diferenciais) provoca momentos fletores nos vigamentos. Nas condi­ ções usuais, os recalques diferenciais são pequenos e se processam gradualmente, podendo ser absorvidos pela plasticidade do concreto do vigamento da ponte. Em vista disso, não se consideram, em geral os momentos fletores provocados por recalques diferenciais das fundações. Quando existe possibilidade de recalques diferenciais importantes e bruscos, é preferível projetar uma superestrutura isostática. 6.2.8 Influência da rigidez à rotação das fundações diretas nas solicitações da mesoestrutura e da superestrutura Quando as colunas apoiadas nas fundações diretas são rotuladas na base, os momentos na base são nulos, independentemente da rotação das fundações. Nas estruturas hiperestáticas, com colunas engastadas nas fundações diretas, a rigidez a rotação das fundações influi nos momentos fletores da estrutura. Denomina-se grau de engastamento de um pilar numa fundação a relação: e K kF + k p (6.2.9) tNFRAESTRUTURA DAS PONTES — 301 rigidez à rotação por flexão da fundação (momento necessário para pro­ vocar rotação unitária). = rigidez a rotação por flexão do pilar. kF = kp < (£ ) Fig. 6.2.10 Vão ij de uma estrutura, com apoio extremo j de grau de engastamento e conhecido. Sistema principal, com engaste perfeito em i, engaste elástico em j. Se tivermos um vão externo i - j de uma estrutura, com apoio externo j de grau de engastamento e conhecido (Fig. 6.2), os parâmetros utilizados no pro­ cesso de Cross são dados pelas seguintes expressões, considerando-se o sistema principal engastado em (i) e com engaste elástico em (/'): a) coeficiente de rigidez: k = ÍJ’e k k ‘k J ~ 16.2.10) ‘ k ^ - e k * b) coeficiente de propagação do momento: ; -o . £ - ( £ ' Aü 6 . 2. 11) c) momentos de engastamento perfeito para cargas transversais: k.k.n — M = 1’ e) k ‘k j ~ k ‘j e M . k k . — e fe?. 1 (6.2.12) (6.2.13) d) momentos de engastamento perfeito para deslocamento transversal recí­ proco dos apoios: 302 — PONTES EM CONCRETO ARMADO As sapatas de fundação são geralmente projetadas com altura ampla, para evitar tensões elevadas de punção. Nessas condições pode-se considerar que a rotação de uma sapata, sujeita a um momento fletor, seja determinada apenas pelo solo, admitindo-se a sapata infinitamente rígida. Fig. 6.2.11 Sapata apoiada em solo, sujeito à ação de um momento fletor. Admitindo-se, numa sapata qualquer, que as pressões do solo sejam propor­ cionais aos recalques, (Fig. 6.2.11b), escrevemos: P1 M a_ h 2 kn - z 1 M (a) (b) K I0 = momento quadrático da seção da base da sapata. A rigidez a flexão da sapata rotação 0 = 1 , donde: kF é o momento necessário para provocar uma kF = kn - I 0. (c) Os ensaios de carregamento de sapatas, de diversas dimensões e formas, mostram, entretanto, que o coeficiente não é constante, variando com o solo, a forma da sapata, a profundidade etc. Em conseqüência a rigidez das sapatas se exprime por fórmulas empíricas. No caso de sapatas de base retangular (Fig. 6.2.11a), a rigidez a flexão pode ser expressa pela fórmula: INFfíAESTfíUTUfíA DAS PONTES — 303 , kF = 3,0 , K k n ^ (6.12.16) - l 0 = coeficiente empírico de forma k n = coeficiente de proporcionalidade entre pressão vertical p do solo e o recalque z ( p - k n ■z ) , obtido em ensaios de placas quadradas de lado ~ 3,0 m. a = lado da sapata (metros) 10 = 6 a 3/ U K A Fórm. 6.12.16 foi deduzida pelo autor, com base na formulação de Opladen [36]. O coeficiente empírico de forma, para sapatas retangulares apoiadas em areia ou cascalho, tem os seguintes valores, independentes da relação b / a : a 0,305 0,5 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 K 0,33 0,35 0,5 0,6 0,7 1,0 1,3 1,5 m No caso de sapatas retangulares apoiadas em argilas preadensadas, o coefi­ ciente de forma só depende da relação b / a : b/a K 1,0 1,2 1,5 2,0 1,0 0,95 0,90 0,83 2,5 3,0 oo 0,80 0,77 0,67 Os coeficientes de reação vertical (k n), referidos a uma sapata quadrada de 3,0 m de lado, podem ser obtidos na Tab. 6.10.3. 6.3 ESTACAS DE FUNDAÇÃO 6.3.1 Tipos construtivos As estacas usadas nas fundações podem ser de madeira, aço ou concreto. As estacas de madeira são, em geral, de madeira roliça. As madeiras mais utilizadas em estacas, no Brasil, são: eucalipto, aroeira, ipê, guarantã. Em obras não provisórias, as estacas de madeira devem atender aos seguintes requisitos construtivos: a) possuirem eixo retilíneo, com os seguintes desvios máximos: 2,5 cm para cada 3 m, 15 cm para o comprimento total; b) não estarem sujeitas a ciclos de umedecimento e secagem, que produzem apodrecimento; isto se consegue, colocando-se o topo das estacas abaixo do nível d’água permanente; c) serem protegidas, com peças metálicas, na cabeça e na ponta, para não sofrerem danos durante a cravação. 304 — PONTES EM CONCRETO ARMADO As estacas de aço são formadas por perfis laminados, simples ou compostos. Na Fig. 6.3.1 são indicados os principais tipos de estacas metálicas. Fig. 6.3.1 Principais perfis utilizados como estacas metálicas: a) perfil H ; b) perfil /; c) duplo /; d) trilho simples; e) três trilhos soldados; f) perfil composto de duas chapas dobradas e soldadas longitudinalmente. A experiência mostra que as estacas mteirameme enterradas não são ata­ cadas pela corrosão. Nas fundações situadas na caixa do rio, freqüentemente uma parte da estaca metálica fica desenterrada, sendo então necessário protegê-la com encamisamento de concreto. As estacas de concreto podem ser pré-moldadas ou moldadas no local. As estacas pré-moldadas são executadas em concreto armado ou protendido, e pos­ teriormente cravadas. As seções mais usuais de estacas pré-moldadas aparecem na Fig. 6.3.2. Fig. 6.3.2 Seções transversais de estacas premoldadas de concreto: a) b) c) e) retangular: octagonal; circular; circular oca Na Fig. 6.3.3, apresentamos pormenores de forma e armação de uma estaca de seção retangular oca. Observa-se a disposição de furos para aplicação de jato de água, como elemento auxiliar de cravação, em terrenos arenosos. O tubo de saída do jato de água pode ser na ponta da estaca, como indicado na figura, ou nas faces laterais, junto .à ponta da estaca. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 305 A 40 l' A-A J 0 3 / 8 - C.7cm 0 3 /8 " C.14e 7cm. Fig. 6.3.3 Estaca pré-moldada oca, com furos para cravação com jato d'água. Pormenores de forma e armação. As estacas da Fig. 6.3.3 foram usadas na ponte da Fig. 2.5.6. As estacas moldadas no local podem ser de camisa perdida ou recuperável. Na Fig. 6.3.4 são indicados esquemas de alguns tipos usuais de estacas. As estacas com camisas perdidas (Fig. a, b, c) permitem inspeção visual das camisas antes do enchimento com concreto. As estacas com camisa recuperável (Fig. d) não permitem essa inspeção visual, de modo que sua execução exige cuidados espe­ ciais, a fim de se evitar descontinuidade do fuste. 306 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Fig. 6.3.4 Tipos de estacas de concreto moldadas no local: a) estaca tubada; 1 — camisa metálica perdida 2 — ponta metálica perdida 3 — enchimento de concreto; b) estaca tubada; 4 — camisa metálica de parede fina cravada com auxílio de um mandril expansivo especial; c) estaca tubada com base alargada; 5 — camisa metálica perdida, cravada com uma bucha de concreto na extremidade inferior; 6 — bulbo de concreto, executado com um martelo que trabalha por dentro do tubo, comprimindo o concreto contra o terreno; d) estaca tipo Franki; utiliza-se um tubo removível, cravado com uma bucha de concreto até a profundidade desejada; o martelo passa então a compactar o concreto contra o terreno, fazendo a base; a seguir, o tubo é removido, concretando-se o fuste da estaca, e) estaca construída com escavação prévia do terreno, sem revestimento (somente possível em terrenos argilosos com pouca água). 6.3.2 Instalação das estacas As estacas são geralmente cravadas no solo, por percussão, com auxílio de equipamentos denominados bate-estacas. Eventualmente, são também utilizados perfuradores (estacas escavadas), macacos hidráulicos (estacas prensadas) ou equipamentos vibratórios. Em terrenos arenosos, a cravação pode ser auxiliada por jato d’água (Fig. 6.3.3). Nos bate-estacas, a energia de cravação da estaca é fornecida pelo choque de um peso denominado martelo, o qual podem ser de queda livre ou automotor. Os martelos automotores são movidos a vapor ou a ar comprimido, existindo também martelos baseados no princípio do motor Diesel. O diagrama de cravação das estacas (número de golpes para penetração de 10 cm, nos comprimentos crescentes de penetração no solo) é utilizado para controle comparativo de cravação das diversas estacas. Denomina-se nega da estaca, a resistência oferecida à penetração no terreno, no final da cravação, medida pelo número de golpes necessários para a pene­ tração de 1 cm. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 307 A eficiência da cravação depende da relação entre o peso do martelo e o peso da estaca. As normas especificam valores desta relação, por exemplo: estacas de madeira 2 metálicas ou concreto pré-moldado 1. 6.3.3 Emendas de estacas As emendas de estacas são necessárias quando não se atinge a resistência de cravação com o comprimento adotado para a estaca, ou no caso de estacas muito compridas que não podem ser fabricadas em seu comprimento total. As estacas de madeira podem ser emendadas com talas aparafusadas (Fig. 6.3.5) ou com um capuz metálico especial (Fig. b). Fig. 6.3.5 Emendas de estacas de madeira: a) emenda de estaca de madeira com talas metálicas; b) idem, com capuz metálico. Fig. 6.3.6 Emendas de estacas de concreto premoldado: a) emenda por concreto moldado no local; b) emenda com anéis metálicos unidas por solda; c) emendas com anéis metálicos unidos por cola epoxi 308 — PONTES EM CONCRETO ARMADO As estacas pré-moldadas de concreto armado podem ser prolongadas ou emendadas, concretando-se no local um pequeno trecho da estaca (Fig. 6.3.6a). As estacas pré-moldadas protendidas podem ser emendadas com anéis metálicos soldados (Fig. b) ou com cola epoxi (Fig. c). As estacas metálicas são em geral emendadas com solda de topo, como indicado na Fig. 6.3.7. a) Fig. 6.3.7 b) Emendas de estacas metálicas: a) emenda de perfil metálico simples, com solda de topo; b) emenda de perfil duplo I, com solda de topo e chapas de espera. 6.3.4 Espaçamento entre as estacas. Desvios de cravação Em geral se adota nos projetos um espaçamento mínimo entre eixos de estacas igual a três vezes o diâmetro equivalente da seção do fuste. Este espaça­ mento pode ser reduzido quando as estacas vizinhas têm inclinações diferentes, provocando o afastamento das pontas, ou no caso de estacas com as pontas apoia­ das em rocha. Durante a cravação, as estacas saem de suas posições teóricas, sendo neces­ sário medir os desvios finais das estacas em cada bloco e verificar a estabilidade do mesmo, com as estacas nas posições reais. Essa verificação é, entretanto, desnecessária quando os desvios ficam dentro das tolerâncias especificadas na norma NB51, a saber: tolerância de afastamento horizontal tolerância de inclinação 15 cm 1 7o. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 309 6.3.5 Profundidade de cravação das estacas As sondagens permitem estimar-se a profundidade de penetração das estacas no terreno. Durante a execução da obra, as profundidades previstas deverão ser comparadas com as indicadas pelo diagrama de cravação e pela nega, especifi­ cada em função do equipamento de cravação. No cálculo da profundidade necessária das estacas, deve levar-se em conta o eventual rebaixamento do leito do rio por efeito de erosão (ver Foto 6.3.1). FOTO 6.3.1 Ponte sobre o rio Soberbo, na rodovia RJ-22. Superestrutura em vigas contínuas de concreto armado. Mesoestrutura constituída de pilares retangulares. Infraestrutura em estacas premoldadas de concreto armado. Observa se o efeito de erosão, provocando rebaixamento do fundo do rio, e reduzindo a capacidade portante das estacas. As fun­ dações desta obra foram reforçadas com tubulões. ' 310 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 6.3.6 Capacidade de cargas das estacas O método mais preciso de determinar a capacidade de carga das estacas de uma obra é mediante provas de carga. Traçado o diagrama carga x recalque da estaca, a carga admissível será dada pelo menor dos dois valores (Fig. 6.3.8): 1/2 da carga de ruptura da estaca 1/1,5 da carga que provoca um recalque total de 15 mm. TAB. 6.3.1 — Cargas admissíveis (tf) em estacas comprimidas, segundo a norma D1N 4026/68. ^ E sta c a s E s ta c a s d e m a d e ira E s ta c a s d e c o n c re to E s ta c a s tu b a d a s d e p o n ta fe c h a d a D iâ m e tr o da L a d o d a se ç ã o tra n s v e r sa l (cm) D iâ m e tr o e x te r n o ' d o tu b o (cm) de p e r fil m e tá lic o la rg u ra P e n e tra ç ã o e m c a m a d a re siste n te b a se (cm) ou a ltu ra (N < 10) (cm) 15 20 3 4 5 6 m m m m 7 m 8 m 25 10 15 20 15 20 30 30 40 20 25 30 35 40 30-35 35-40 40-45 30 35 30 40 20 40 50 25 50 60 - 25 35 40 35 45 45 60 55 70 65 80 55 70 85 100 35 45 55 65 45 60 70 80 55 70 85 100 45 55 55 65 70 80 90 100 110 120 60 70 75 85 30 35 INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 311 Em obras correntes, a capacidade de carga pode ser estimada em função de algumas prescrições simplificadas. A norma alemã DIN 4026 estabelece valores experimentais de cargas admissíveis para estacas com comprimento cravado mínimo de 5 m, e com penetração de 3 m a 8 m em terreno resistente (pelo menor areia meio compacta ou argila rija ( N > 10). Veja-se a Tab. 6.3.1. Nos casos de areia compacta ou argila dura ( N >;I5), os valores tabelados podem ser aumen­ tados em 25%. As normas rodoviárias americanas [3] fornecem também valores admissí­ veis práticos para o projeto de fundações em estacas, devendo os valores admi­ tidos serem controlados por prova de carga ou pela nega de cravação, com emprego de fórmulas dinâmicas adequadas. TAB. 6.3.2 Cargas admissíveis (tf) em estacas comprimidas (AASHTO). L a d o o u D iâ m e tr o NOTA: T ip o d e E s ta c a (cm) m a d e ir a c o n c r e to a ç o ( a tr ito ) 25 30 35 40 50 60 20 24 28 32 20 24 28 32 40 50 20 24 28 a ç o (p o n ta ) 630 kgf/cm2 da área da ponta, não sendo considerado a área de reforços de ponta O diâmetro da estaca de madeira é medido a 90 cm da base. Para estacas de madeira, cravadas sem prolonga e não esmagadas, são muito usadas as seguintes fórmulas dinâmicas, conhecidas internacionalmente como fórmulas da Engineering News: martelos de gravidade martelos a vapor de efeito simples martelos a vapor de duplo efeito N P H Ã r-±_«L _. 6 s + 2,5 ’ 6 s + 0,25 6 s + 0,25 ’ = carga admissível da estaca; = peso da parte móvel do martelo de cravação; = altura da queda da parte móvel do aparelho de cravação; (6.3.1a) (6.3.1b) (6.3.1c) 312 — PONTES EM CONCRETO ARMADO E = energia total de golpe do martelo de duplo efeito; s = penetração média (cm) por golpe, nos últimos 5 a 10 golpes para martelos de gravidade ou nos últimos 10 a 20 golpes para martelos a vapor. Para exemplificar, consideremos uma estaca de madeira cravada com mar­ telo de 1500 kg, com queda livre 1,20 m. Para uma nega de cravação de 1 cm por golpe, a carga admissível será: Segundo a norma AASHTO, para estacas de concreto ou de aço, as cargas admissíveis poderão ser verificadas por fórmulas dinâmicas adequadas, levando-se em conta também outros fatores, como natureza do solo penetrado, condições de cravação etc. As fórmulas dinâmicas podem ser consideradas apenas como elemento au­ xiliar no controle de cravação das estacas. Os diagramas de cravação e os valores da nega final das estacas constituem ensaios de auscultação do terreno, permi­ tindo avaliar sua homogeneidade. As fórmulas dinâmicas só devem ser empregadas em solos não coesivos, nos quais as condições criadas durante a cravação se mantêm relativamente estáveis. Diversas fórmulas dinâmicas são utilizadas nas obras, em geral com a fina­ lidade de determinar a nega de cravação de estacas, cuja profundidade estimada e carga admissível de projeto já se acham definidas em função do perfil geotécnico. A fórmula Engineering News modificada fornece resultados consistentes com valores determinados em extensivos programas experimentais. A modificação consiste em multiplicar as expressões 6.3.1 pelo fator P + n2 P e P + Pe P ' = peso das partes móveis do martelo, que colidem com a cabeça da estaca; Pe = n = peso da estaca; coeficiente de restituição no choque. O coeficiente de restituição é da ordem de 0,25 para estacas de madeira e 0,40 para estacas de aço ou concreto. Para exemplificar, consideremos uma estaca de concreto 30 cm x 30 cm, com comprimento 10 m, com carga admissível estimada em 45 tf. Martelo Diesel Delmag D22, com peso de 2200 kgf, energia por golpe 5400 k g f m; coeficiente de restituição n = 0,40. Aplicando a Fórm. 6.3.1, com o coeficiente (6.3.2), obtemos: INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 313 N = Pe = E = I 6 P + n2 s + 0,25 P„ (6.3.2) P + Pe 0,30 X 0,30 X 10 X 2,4 = 2,16 tf 5400 kgf ■m - 540 tf cm ... 1 540 /2,2 + 0,16 x 2,16 „ co . , s + 0-2 5 - I T T ( ---- 2,2 + 2,16 = ° ’58 1 - U 7 cm s = 0,92 cm/golpe (média dos últimos 5 a 10 golpes). A norma AASHTO utiliza a fórmula Engineering News, na sua versão sim­ ples (Fórm. 6.3.1a, b, c), deduzindo, entretanto, da altura H de queda do martelo, o dobro do retorno elástico observado na cravação. Essa dedução da altura é equivalente ao fator de redução da Fórm. (6.3.2). 6.3.7 Estacas fracionadas As cargas admissíveis de estacas tracionadas são, em geral, estabelecidas em provas de carga. Para estacas de atrito, a norma AASHTO admite esforços de tração eventuais (não permanentes) até 40% dos valores do Quadro 6.3.4, desde que haja resistência de atrito suficiente. A norma DIN 4026 adota a tensão admissível de atrito 2,5 tf/m2, em estacas cravadas um comprimento mínimo de 5 m em solo não coesivo compacto. Nos casos correntes, procura-se dimensionar o estaqueamento de modo a evitar os esforços de tração nas estacas, ou reduzi-los a valores da ordem do peso próprio da estaca. 6.3.8 Esforços horizontais admissíveis nas estacas As fundações sujeitas a esforços horizontais moderados podem ser dimen­ sionadas com estacas verticais, distribuindo-se o esforço horizontal entre as estacas. TAB. 6.3.3 Esforços horizontais admissíveis H(tf), em estacas verticais. Esforços aplicados ao nível do terreno. T ip o d e E s ta c a T ip o d e S o lo L ado ou D iâ m e tr o L ig a ç ã o S u p e r io r A rg ila M é d ia A re ia F ina A r e ia M é d ia Madeira 30cm Concreto 40c m livre engastada livre engastada 0,8 2,0 2,5 2,5 0,8 2,2 2,8 2,8 0,8 2,5 3,5 3,5 314 — PONTES EM CONCRETO ARMADO A Tab. 6.3.3 reúne valores experimentais dos esforços horizontais admissí­ veis em estacas verticais [16], aplicados ao nível do terreno. Os momentos produzidos nas estacas pelos esforços horizontais, aplicados ao nível do terreno, podem ser determinados pelo método representado na Fig. 6.4.6 e na Tab. 6.4.2. Em Bibl. [14], são tabeladas as solicitações nos fustes de estacas, rotuladas ou engastadas no nível do terreno, causadas por esforços horizontais ou momentos fletores aplicados no mesmo nível. 6.3.9 Dimensionamento das estacas — Ligação das estacas como bloco A seção transversal das estacas é, em geral, escolhida em função da carga admissível. No caso de estacas pré-moldadas de concreto, a armação é, muitas vezes, determinada pelos momentos fletores de peso próprio, nas operações de levan­ tamento da estaca a partir da posição horizontal. Supondo o ponto de suspen­ são da estaca a 1/4 do comprimento, obtém-se as seguintes armações longitudinais indicativas, para estacas quadradas de 30 cm de lado : comprimento da estaca armação longitudinal 6m 4 8m 10m 12m 4 (p f" 4 4> f " 4

3/4 = 14,25 cm2). Essa área de ferro é representada, na figura, pelas posições 1(30) e 2(2(j>). Para calcularmos a malha retangular, dimensionamos o bloco a flexão, em duas direções ortogonais, com 20% da carga das estacas. M = 2 x 0,2 x 70 x 0,6 = 16,8 mtf 0,85 d f s 1,5 x 1,15 x 16,8 0,85 x 0,9 x 5,0 7,58 cm2 (4 (p 5/8 CA-50). Essa área de ferro é representada, no desenho, pela posição 3. A posição 4 é um estribo horizontal de montagem destinado a amarrar as extremidades ver­ ticais das posições 2 e 3. E x . 6 .3 .1 1 .1 Exemplo (1 + 2) 34- de armadura de üm bloco de quatro estacas: armadura perimetral armadura em malha retangular armadura de montagem. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 323 6.4 6.4.1 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES NAS ESTACAS. CASOS PARTICULARES Hipóteses de cálculo As estacas são, em geral, ligadas a um elemento de transição, denominado bloco, dotado de grande rigidez. Embora as ligações das estacas com os blocos sejam, muitas vezes, feitas com capacidade de absorver momentos fletores, su­ põe-se, geralmente, que as estacas estejam rotuladas nos blocos. Os estaqueamentos são, em geral, calculados, admitindo o bloco infinitamente rígido e as estacas rotuladas no bloco e na extremidade inferior, supondo ainda todas as estacas com o mesmo comprimento. Desprezam-se também as pressões de apoio do bloco no terreno. 6.4.2 Estaqueamentos planos Denomina-se estaqueamento plano aquele em que as cargas e os desloca­ mentos ficam no mesmo plano. Fig. 6.4.1 Estaqueamento plano, exemplificado para um muro de arrimo: a) elevação; b) planta. 324 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Se considerarmos um muro de arrimo de grande comprimento, represen­ tado na Fig. 6.4.1, como o carregamento é constante ao longo do muro, tanto as cargas como os deslocamentos ficarão no plano da seção transversal (Fig. a); podemos analisar apenas um trecho do estaqueamento, de extensão arbitrária /, considerado como um sistema plano. Nos estaqueamentos planos de geometria simples, as solicitações nas estacas podem ser determinadas por decomposição das forças, como indicado na Fig. 6.4.2. Fig. 6.4.2 Estaqueamentos planos de configuração geométrica simples (problemas isostáticos): a) blocos com estacas com duas direções (cavalete plano); b) bloco com estacas com três direções. Na Fig. 6.4.2 representamos um cavalete plano, formado por apenas duas linhas de estacas, o qual só é estável para solicitações passando no ponto de interseção dos eixos das estacas. O estaqueamento da Fig. b apresenta as estacas paralelas a três direções, decompondo-se a força atuante F segundo o processo de Culmann. Os estaqueamentos planos com estacas em mais de três direções são estati­ camente indeterminados, sendo resolvido pelo processo geral do item 6.5. Consi­ derando-se a rigidez infinita do bloco, demonstra-se que o deslocamento do mesmo se resume numa rotação instantânea em torno de um ponto O, denominado centro elástico do estaqueamento. As cargas cuja direção passa no ponto O pro­ duzem apenas translação do bloco. Nos estaqueamentos planos com estacas paralelas, o centro elástico fica no infinito. Esses estaqueamentos, admitidos bi-rotulados, só podem absorver esfor­ ços de direção paralela às estacas. Na prática, os estaqueamentos paralelos são empregados quando os esforços transversais ao eixo das estacas são pequenos, podem ser absorvidos pelas pressões laterais do terreno sobre as estacas. INFfíAESTfíUTUfíA DAS PONTES — 325 Fig. 6.4.3 Estaqueamento plano com estacas paralelas: a) estacas verticais, com esforço vertical centrado; b) estacas verticais, com esforço vertical excêntrico; c) estacas inclinadas, com esforço excêntrico. Quando o esforço atuante passa no centro de gravidade das estacas (Fig. 6.4.3a), a carga é distribuída igualmente entre as estacas pelo bloco rígido. Se o esforço atuar com uma excentricidade e (Fig. b, c), tendo em vista a hipótese de rigidez infinita do bloco, as cargas nas estacas são determinadas pela fórmula de flexão composta de Resistência dos Materiais, uma vez que coincidem as hipóteses adotadas na resolução dos dois problemas: F - e y i n n y (6.4.1) = número de estacas do bloco = distância de uma estaca ao centro de gravidade do estaqueamento. Um caso particular de grande interesse prático é o de estaqueamento plano formados por cavaletes com associação de estacas paralelas. Na Fig. 6.4.4a, temos estacas paralelas em duas direções, determinando-se o centro elástico O pela interseção dos eixos contendo o centro de gravidade dos feixes de cada direção. O esforço resultante F = V + H, passando no ponto O, se decompõe segundo as linhas dos eixos de cada feixe, sendo o esforço em cada direção distribuído igualmente entre as estacas. O mo­ mento fletor Aí, calculado em relação ao ponto O , produz nas estacas os esforços sendo as distâncias k y AUj; Iy 2 medidas normalmente ao eixo de cada direção (6.4.2) 326 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Fig. 6.4.4 Estaqueamentos planos formados por cavaletes associados a estacas paralelas: a) estaqueamento plano com feixes de estacas paralelas em duas direções; b) estaqueamento plano com feixes de estacas paralelas em três direções concorrentes no mesmo ponto; c) caso particular de (b), com simetria; d) estaqueamento plano com feixes de estacas paralelas em três direções que não se cortam no mesmo ponto. Na Fig. 6.4.4b, vemos um estaqueamento plano formado por estacas para­ lelas em três direções passando no mesmo ponto. A decomposição do esforço resultante nas três direções é indeterminada, sendo necessário recorrer ao processo geral do item 6.5. No caso particular de simetria, representado por conveniência com eixo de simetria vertical (Fig. 6.4.4c), as cargas nas estacas podem ser obtidas separadamente para as três componentes das solicitações; carga vertical carga horizontal momento V n ■cos 2n1 1 a __ sen a (6.4.3a) H (6.4.3b) M -y (6.4.3c) Sy2 = numero total de estacas ce = ângulo de inclinação da estaca n í = número de estacas em uma direção inclinada. n No caso de estaqueamento plano com feixes de estacas paralelas em três direções não concorrentes no mesmo ponto, o problema é indeterminado, deven­ do-se recorrer ao processo geral do item 6.5. Obtém-se, entretanto, uma solução INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 327 muito aproximada, decompondo a solicitação resultante em três direções, pelo processo de Culmann (Fig. 6.4.2b), e desprezando-se a rigidez a flexão de cada feixe de estacas em torno de seu eixo. 6.4.3 Estaqueamentos com um plano de simetria Na Fig. 6.4.5 representamos um bloco simétrico em relação a um plano A A . As cargas, atuando no plano de simetria, produzem deslocamentos no mesmo plano, de modo que é possível, para estas cargas, calcular o estaqueamento como plano. Fig. 6.4.5 Estaqueamento com um plano de simetria ( A A ). As solicitações atuantes no bloco podem ser decompostas em cargas no plano de simetria e no plano normal. Quando as cargas no plano normal forem pequenas, é possível se calcular os esforços nas estacas de maneira aproximada, ou mesmo considerá-las absor­ vidas pela pressão lateral do terreno sobre as estacas. Nessas condições, se a geo­ metria do estaqueamento no plano de simetria for simples, enquadrando-se num dos casos tratados no item 6.4.2, é possível se calcular o estaqueamento de ma­ neira expedita. Nos casos mais gerais, entretanto, é necessário se usar o processo geral, podendo-se, naturalmente, decompor o carregamento nos dois planos e resolver separadamente os dois casos de carga. E x e m p l o 6.4.3.1 — Um pilar extremo de um viaduto, sujeito a empuxo do aterro, tem fundação em estacas metálicas duplo I 12". Calcular as cargas por estaca. A carga vertical N por fuste de pilar (incluindo reações de carga permanente e carga móvel, peso próprio do pilar e do bloco, peso da terra sobre o bloco) tem os valores máximo e mínimo: 4 5 0 cm 328 — PONTES EM CONCRETO ARMADO INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 329 Admite-se que os valores acima da carga vertical sejam compatíveis com os esforços horizontais máximos indicados na figura. Solução: Trata-se de um estaqueamento com plano de simetria na direção longitudinal. Os esforços longitudinais podem ser calculados com fórmulas expeditas, graças à geometria simples do estaqueamento. Na direção transversal, não há estacas inclinadas, porém os esforços são pequenos, podendo ser absorvidos pelo apoio lateral das estacas no terreno. a) Cargas provocadas por esforços transversais: O esforço horizontal transversal de 12 tf é absorvido por 16 estacas, cabendo para cada estaca 12/16 = 0,75 tf. Momento do esforço transversal, referido à base do bloco: 12(2,00 + 7,00 + 1,00) = 120 mtf Esforço vertical por estaca: ( l a 8) b) Cargas provocadas por esforços verticais e longitudinais: Na Fig. b acham-se representados os esforços atuantes sobre um fuste de pilar; na Fig. d, esses esforços foram transferidos para o centro elástico do esta­ queamento, dando origem ao momento longitudinal, com sentido indicado na figura: M = ± 3,0 (7,0 - 2,36) + 60(2,36 - 0,80) = A decomposição dos esforços nas duas direções do estaqueamento acha-se representada na Fig. e. A seguir apresentamos um cálculo numérico equivalente ao diagrama de decomposição de forças da Fig. e: - 6 = 54.8 tf - 2 — 43,0 tf (3 a 8) (1 e 2) 330 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Caso JV_ 250 63 = f 251,1 tf - 6 = 41,9 tf 2 cos 15° ~ 2 sen 15° j 7,71 tf - 2 = 3,9 tf (3 a 8) (1 e 2) As cargas por estacas, provocadas pelos esforços atuando no centro elástico, podem também ser calculadas considerando-se separadamente os esforços ver­ tical e horizontal, como indicado a seguir: Caso N m ax. Carga vertical 400 = 51,8 tf 8 cos 15° (1 a 8) Esforço horizontal longitudinal, reduzido pela componente horizontal dese­ quilibrada da carga vertical: 63 - 2 X 2 X 51,8 sen 15° = 9,37 tf - 9,37 1 = - 9,1 tf 2 sen 15° 2 (1 e 2) 9’37 4 - = 3,0 tf 2 sen 15° 6 (3 a 8) C a s o N m. in . Carga vertical: 250 0 . = 32,4 tf 8 cos 15° (1 a 8) Esforço horizontal longitudinal reduzido: 63 - 2 x 2 x 32,4 sen 15° = 29,5 tf 2 _29,5õ sen 15° 42- = -2 8 ,5 tf (1 e 2) 29,5 1 2 sen 15° 6 (3 a 8) 9,5 tf O momento fletor M, referido ao centro elástico (Fig. d), produz cargas na estacas 3,4 e 5,6: !NFRAESTRUTURA DAS PONTES — 331 107,5 1 1,8 cos 15° 2 30,9 tf í ) - 30,9 tf Cargas máximas e mínimas nas estacas momento transversal esforço vertical esforço horiz. long. momento longitudinal R max (5,6) 3,3 51,8 3,0 30,9 89,0 tf R mw (1,2) -3 ,3 32,4 -2 8 ,5 0 0,6 tf Rmín (3,4) -3 ,3 32,4 9,5 -3 0 ,9 7,7 6.4.4 Estaqueamento com dois planos de simetria Nos estaqueamentos com dois planos de simetria, é possível separar as solicitações nos dois planos, resolvendo-se separadamente os dois casos de carga, cada um como um estaqueamento plano. Se a geometria do estaqueamento, em cada plano, for simples, enquadrandose nos casos tratados no item 6.4.2, o estaqueamento poderá ser calculado de maneira expedita. Exemplo 6.4.4.1 :— Calcular as cargas nas estacas do bloco indicado na figura. Ex. 6 .4 .4 .1 Bloco para estacas premoldadas de concreto (35 x 35): a) esquema na direção transversal: c) planta de um bloco; b) esquema na direção longitudinal; d) seção transversal de uma estaca. 332 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Solução: As cargas nas estacas são obtidas referindo-se as solicitações aos centros elásticos transversal e longitudinal. Esforço vertical: 200 8 cos oc 200 8 x 0,992 25,2 tf. (1 a 8) Esforço transversal: + 12 12 = + = ± 12,1 tf. 2 x 4 x 0,124 2 x 4 sen a (5, 6, 7, 8) Esforço longitudinal: + 2 x 9,7 2 x 4 sen a 2 x 9,7 = '+ 19,6 tf. 2 x 4 x 0,124 (1,2, 3,4) Momento transversal, referido ao centro elástico transversal Mtrans = 12(17,6 - 10) = 91,2 mtf. Momento de inércia transversal do estaqueamento, referido ao centro elás­ tico transversal: 4 x 3,12 + 4 x 1.3a + 4 x 0,92 = 48,44Esforços provocados nas estacas pelo momento transversal: + 91,2 x 0,9 = ± 1,7 tf 48.44 (5,6) + 91.2 x 1,3 = ± 2,5 tf 48,44" (2,4) + 91.2 x 3,1 = ± 5,8 tí. 48.44 (1,3) Momento longitudinal, referido ao centro elástico longitudinal: 2 x 6(8,0 - 4,8) + 2 x 3,7(1,8 - 4,8) = 16,2 mtf. Esforços provocados nas estacas pelo momento longitudinal: ± 16,2 = ± 6,8 tf. 1,2 x 2 (7,8) INFRAESTRUTURA DAS PONTES — Resumo das cargas nas estacas: 25,2 ± 19,6 ± 5,8 = 50,6 tf (1,3) 25,2 ± 19,6 ± 2,5 = 47,3 tf (2,4) 25,2 ± 12,1 ± 1,7 = 39,0 tf (5,6) 25,2 ± 12,1 ± 6,8 = 44,1 tf. (7,8) Calcular as cargas nas estacas do bloco indicado na Exem plo 6A.4.2 figura. E x . 6 .4 A .2 Solução: Bloco de estacas metálicas, formadas por 3 trilhos de 27 kg/m: a) esquema na direção transversal , b) esquema na direção longitudinal; c) planta de um bloco ; d) seção transversal de uma estaca. Esforço vertical: 200 4 cos 12,5° 51,2 tf. (1 a 4) Esforço transversal: 12 ± 2 x 2 sen 12,5° ± 13,9 tf. (3,4) 334 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Esforço longitudinal: 2 x 9,7 ± ^2—x 2õ -----TTsõ sen 12,5 „ . , ± 22,4 tf. 1 2) ( , Momento transversal referido ao centro elástico transversal: 2,60 M .rans 10 = 20,7 mtf. 12 l t g 1 2 ,5 ° Esforços provocados nas estacas pelo momento transversal: 20,7 = ± 2.9 tf. 2 x 3,60 + ( 1, 2) Momento longitudinal referido ao centro elástico longitudinal M lo „g = 2 x 6 ( 8 Esforços provocados nas estacas pelo momento longitudinal: + 30,6 2 x 1,8 (3.4) ± 8,5 tf. Resumo das cargas nas estacas: 6.4.5 1, 2) 51.2 ± 22,4 ± 2,9 = 76,5 tf ( 51.2 ± 13,9 (3.4) ± 8,5 = 73,6 tf. Estaqueamentos paralelos Os estaqueamentos paralelos são usados quando os esforços normais à direção das estacas são pequenos, podendo ser absorvidos pelas pressões trans­ versais do terreno. Admitindo-se o bloco infinitamente rígido e as reações das estacas propor­ cionais aos respectivos deslocamentos (na direção do eixo das estacas), o problema dos esforços verticais se torna análogo ao da flexão composta em Resistência dos Materiais. No caso de estaqueamento com dois planos de simetria (Fig. 6.4.6a), e esforço R em cada estaca, provocado por um esforço vertical excêntrico F, é dado pela fórmula: F R = —± n F ey - y Xy2 ± F e* x 1.x2 (6.4.4) INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 335 Fig. 6.4.6 Estaqueamento paralelo com dois planos de simetria. Se houver uma componente horizontal H (Fig. 6.4.6b), aplica-se a Fórm. 6.4.4 apenas ao esforço vertical, considerando-se o esforço H absorvido pela pressão transversal do terreno. Se o estaqueamento não tiver plano de simetria, determinam-se as duas direções principais de inércia, no plano coincidente com o fundo do bloco, pelos conhecidos processos de Resistência dos Materiais, aplicando-se a Fórm. 6.4.4 referida a esses eixos. Podem também aplicar-se as fórmulas de flexão composta oblíqua, referidas a um par de eixos ortogonais centrais não principais [19]. E x e m p l o 6.4.5.1 — Calcular as cargas nas estacas da Fig. 6.4.6, sendo a distância entre os eixos das estacas igual a 90 cm, e x = 70 cm, e = 50 cm, F = 500 tf. Solução: Aplica-se a Fórm. 6.4.4: I x 2 = 6 x 452 + 6 x 1352 = 121 500 cm2 Ly2 = 8 x 902 = 64 800 cm2 500 500 x 50 x 90 500 x 70 x 135 f 115 tf 12 ± 64 800 ± 121 500 ~ | - 32 tf. 336 — PONTES EM CONCRETO ARMADO As cargas calculadas acima são a maior e menor cargas verificadas nas estacas do canto, respectivamente do primeiro e do terceiro quadrantes. O dia­ grama de cargas nas estacas constitui um plano que pode ser definido pelas cargas nas estacas dos quatro vértices. A equação deste plano é a Fórm. 6.4.4. E x e m p l o 6.4.5.2 — Calcular as cargas nas estacas 1, 2, 3 do estaqueamento paralelo vertical assimétrico da figura, para uma carga vertical N = 500 tf apli­ cada com as excentricidades: ex = E x . 6 .4 .5 .2 —20 cm ey = + 25 cm. Exemplo de um estaqueamento paralelo sem planos de simetria: a) planta do estaqueamento, tomando para referência dois eixos ortogonais arbitrários x q y\ b) geometria do estaqueamento, referida a dois eixos ortogonais centrais G o centro de gravidade do estaqueamento. Gx e G y, sendo Solução: Os eixos indicados na figura não são centrais nem principais. Vamos inicialmente determinar os eixos centrais paralelos a x, y. - 3 x 150 + 1 x 150 11 *• = - 1 x 135 — n 27,3 cm 12,3 cm. O problema pode ser resolvido toraando-se como referência os eixos Veja-se o item 7.1.3 de [19]. G x, G y- / j = 3 x 122,72 + 3 x 22,72 + 3 x 77,:32 + 1 x 27,32 + 1 x 177,32 = 65383 cm2 I x = 3 x 102,32 + 4 x 12,32 + 3 x 11,l 2 + lj< 161,l 2 = 78 237 cm2 INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 337 I xy = (102,3 + 12,3 - 77,7) (77,3 - 22,7 - 122,7) + + 12,3 x 177,3 +27,3 ( - 167,7) = - 4 9 1 0 cm2. As excentricidades da carga, referidas aos eixos egx = egy = G x, G y, valem: —20 + 27,3 = + 7,3 cm 25 + 12,3 = 37,3 cm. O problema da flexão composta oblíqua se resolve com auxílio da Fórm. 7.1.8, de [19], na qual: M y = N ■e gx 500 x 37,3 x 65383 + 500 x 7,3 x 4910 M J y ~ M J xy ■= 0,24 78237 x 65383 -4 9 1 0 2 500 x 7,3 x 78237 + 500 x 37,3 x 4910 M y I x ~ M x I xy = 0,07. 78237 x 65383 -4 9 1 0 2 A carga em cada estaca, com coordenadas referidas aos eixos dada por: R G , * é G y = “Yj“ + 0,24 y + 0,07 x K, = 45,5 + 0,24 x 102,3 - 0,07 x 122,7 = 61,4 tf 6.5 R2 = 45,5 - 0,24 x 77,7 - 0,07 x 122,7 = 25,3 tf R3 = 45,5 - 0,24 x 167,7 + 0,07 x 27,3 = 7,2 tf. CÁLCULO DAS SO LIC ITA Ç Õ ES C O M ESTACAS BI-ROTULADAS 6.5.1 NAS ESTACAS. CASO GERAL Hipóteses usuais de cálculo As hipóteses usuais de cálculo são as mesmas do item 6.4.1, a saber: a) as estacas são supostas rotuladas no topo e na base; o esforço absorvido pela estaca é orientado na direção da mesma; b) o esforço em cada estaca é proporcional ao deslocamento da mesma, em sua direção; c) o coeficiente de proporcionalidade da alínea anterior é o mesmo em todas as estacas; 338 — PONTES EM CONCRETO ARMADO d) desprezam-se as pressões de apoio do bloco no terreno; e) o bloco é considerado de rigidez infinita. A hipótese de alínea (a) é válida para estacas não engastadas nos blocos, fornecendo também resultados muito aproximados, no caso de estacas rigidamente ligadas aos blocos, quando as estacas são esbeltas e o equilíbrio do sistema não depende do engastamento. As hipóteses das alíneas (b) e (c) são idealizações das leis físicas do problema. A alínea (b) caracteriza a natureza elástica da solução, enquanto a alínea (c) cons­ titui uma simplificação justificada por serem as estacas de cada bloco cravadas em condições bastante homogêneas, e por se desconhecer “a priori” o coeficiente individual de cada estaca. As pressões de apoio do bloco no terreno são desprezadas porque, em geral, nas fundações estaqueadas, as camadas superficiais de solo têm pequena resis­ tência e rigidez inferiror à das estacas. Os blocos são em geral projetados com alturas grandes que lhes conferem elevada rigidez, obtendo-se efetiva distribuição da carga entre as estacas e, ainda, simplificando-se os pormenores das armaduras. Nessas condições, a hipótese de bloco infinitamente rígido conduz a resultados com boa aproximação. 6.5.2 Representação do problema espacial O caso geral de estaqueamento constitui um sistema espacial, do tipo indicado na Fig. 6.5.1. a) Fig. 6.5.1 Sistema espacial do estaqueamento: a) Vista isométrica, mostrando os componentes das solicitações; b) Eixo da estaca A B , mostrando os co-senos diretores e as coordenadas da rótula superior. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 339 Adjmitimos um sistema de coordenadas formado por três eixos ortogonais, em relação aos quais serão definidas a geometria e a estática do problema. No caso de estacas rotuladas no topo e na base, admitindo-se a hipótese de bloco com rigidez infinita, a indeterminação estática fica levantada e o problema se resolve com as seis equações de equilíbrio no espaço, aplicadas ao bloco. 6.5.3 Rigidez de uma estaca, para esforço axial As estacas bi-rotuladas estão sujeitas apenas a esforços axiais. Denomina-se rigidez k de uma estaca, o esforço axial necessário para provocar um deslocamento unitário na direção da estaca. A deformação axial ò de uma coluna bi-rotulada, sujeita a uma carga axial N , é dada pela conhecida fórmula de Resistência dos Materiais: (6.5.1) E = módulo de elasticidade do material da estaca A = área da seção transversal da estaca L = comprimento da estaca. A rigidez k é o valor de N para ô = 1: , = —-AE • k (6.5.1a) Nos estaqueamentos com estacas de comprimentos diferentes, ou com con­ dições diferentes de atrito lateral, determina-se um coeficiente k para cada estaca. Uma vez determinado o deslocamento axial Án de uma estaca na direção de seu eixo, a carga R na estaca é dada por: R 6.5.4 = k ■A„ (6.5.2) Componentes dos esforços atuantes Os esforços atuantes no bloco apresentam uma resultante F e um momento resultante M, cujas componentes na direção dos três eixos se acham indicadas na Fig. 6.5.1. 6.5.5 Geometria do sistema Para se escrever as equações de equilíbrio, é necessário se considerar a geo­ metria do sistema, a qual fica determinada pela hipótese de rigidez infinita do bloco. A posição geométrica de cada estaca pode ser definida pelas coordenadas da rótula superior (x0, y 0 , z 0 ) e pelos três co-senos diretores da direção da estaca. 340 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Alternativamente, pode-se definir a geometria de cada estaca [30, 31], por um vetor unitário, com origem na rótula superior e orientado na direção da estaca, e pelo momento m deste vetor em relação à origem da coordenada. A projeção do vetor unitário, segundo os três eixos, são os co-senos diretores: cos a, cos ß , cos y (6.5.3) O momento m do vetor unitário em relação à origem das coordenadas apre­ senta as componentes, segundo os três eixos: mx = y0cosy - z 0 cos ß my = z 0 cos a - x0 cos y mz = x 0 cos ß —y 0 cos a. (6.5.4) Nas equações acima, x0, y 0 e z0 são as coordenadas da rótula superior (cabeça) da estaca. Fig. 6.5.2 Geometria do estaqueamento espacial: a) Sistema de coordenadas (plano x - y coincidente com o fundo do bloco): b) Posição da estaca inclinada, definida pelas coordenadas da cabeça ( x u , y 0), pela incli­ nação (1 : ri) e pelo ângulo (p entre o eixo x e a projeção da estaca no plano x - y . c) Cálculo do co-seno diretor, em função da inclinação da estaca: d) Esquema para cálculo de cos a e cos /?, em função de » e sen y. Nos estaqueamentos em que as cabeças das estacas ficam em altura diferentes (valores diferentes de z0), a estática não se modifica se considerarmos a interseção INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 341 de todas as estacas num mesmo plano horizontal (valores iguais de z0), uma vez que cada estaca só tem esforço axial. Na prática, em geral, os projetos são feitos considerando-se o fundo do bloco horizontal, o que construtivamente iguala os os valores de z0 para touas as estacas. Se considerarmos então o plano x — y coincidente com o fundo do bloco (z0 = 0), as componentes do vetor fh (Fórm. 6.5.4) têm as seguintes expressões simplificadas: mx = my = mz = cos y - x 0 cos v *o cos P ~ (6.5.4a) yo cos a - Nos projetos, a posição geométrica das estacas é em geral definida da se­ guinte forma: a) faz-se coincidir o plano x — y com o fundo do bloco, fornecendo-se as coordenadas x0, y0 das cabeças das estacas (Fig. 6.5.2a); b) a inclinação da estaca, no plano vertical que a contém, é dada em graus ou por uma relação 1: n (Fig. 6.5.2b): c) a projeção da estaca no plano x - y é definida pelo ângulo (p com a direção positiva do eixo x (Fig. 6.5.2b). Os co-senos diretores da direção da estaca podem ser obtidos, dos elementos de projetos, com as seguintes fórmulas: cos a = sen y cos (p cos

3 k, ~ )\>. 2o = °- O deslocamento axial do topo da estaca é dado pela Fórm. 6.5.7a, que repetimos a seguir, por conveniência: \ = A* cos « + Ay cos P + + 0z(xo cos fi I —y0 Az cos y + 0x y o cos y — 6y x 0 cos y + cos a). (6.7.8) 350 — PONTES EM CONCRETO ARMADO O deslocamento transversal A, do topo da estaca tem componentes na direção dos três eixos (A, , A, , A ,), as quais são dadas pelas seguintes expressões, obtidas .v ly lz escrevendo equações de trabalhos virtuais análogas à Fórm. 6.5.7: A( = —A x sen2 a + A y cos —9 y x 0 cos a cos y A, a cos p + + 9 z( x 0 cos a cos y + Az cos a cos P + y0 — 9 z( x 0 sen2 P A,_= Ax cos a cos y + Ay cos P cos y + 9y x 0 sen2 y + 9 z( x 0 - cos j8 cos y + y0 Az - a cos y 9Xy 0 c o s J [ c o s y cos a cos P) sen2y - sen2 a) = A x cos a cos /? —A y sen2 p + A, cos p cos y + —9 y x 0 cos P cos y 9 X y0cos — 9 xy 0 (6.7.9a) — (6.7.9b) sen2y + y0 cos a cos y). (6.7.9c) O valor do deslocamento transversal é agora dado por. A, = VA* + A2 + A2 . (6.7.9d) No caso particular de estacas verticais, temos a = P = 90°, y = 0o, resul­ tando expressões simplificadas dos deslocamentos da cabeça da estaca: A„ = + dx y 0 - + 02yo d y X0 \ = - K \ = - A y ~ e * X0 = o. (6.7.10) (6.7.11a) (6.7.11b) (6.7.11c) Os esforços axiais e transversais das estacas podem ser obtidos, multiplicando-se os deslocamentos pelos respectivos coeficientes de rigidez. As equações de equilíbrio do bloco são escritas de maneira análoga à indi­ cada no item 6.5.8, intervindo entretanto as componentes devidas aos esforços transversais absorvidos pelas estacas. Chega-se a uma equação matricial análoga à 6.5.2, sendo, entretanto, mais complexas as expressões dos coeficientes da matriz de rigidez. No Quadro 6.7.1, reunimos as expressões dos coeficientes da matriz, no caso geral. Nos casos particulares de estaqueamentos com um e com dois planos de simetria, as expressões se encontram, respectivamente, nos Quadros 6.7.2 e 6.7.3. IN FR AES T fíU T U R A D A S PONTES — 3 5 1 TAB. 6.7.1 Estaqueamento assimétrico. Coeficientes da matriz de rigidez. E s ta c a s in c lin a d a s an a i2 «13 «14 «15 «16 «22 «23 «24 «25 «26 £ £ £ £ - £ £ cos2 a(l + x tg2 a) (1 - x) cos a cos fl (1 - x) cos a cos y (1 - x ) y 0 cos a cos y (1 - x ) X q cos a cos y (1 - x ) x 0 cos a cos P - £ £ £ - £ £ cos2 P( 1 + x tg2 p ) (1 - x ) cos P cos y (1 - x ) y 0 cos p c o s y (1 - x ) x 0 cos p cos y X q c o s 2 P( 1 + x tg2 P «33 ' «34 - «35 «36 £ cos2 y(l + x tg2 y) £ y 0 cos2 y(l + x tg2 y) £ X 0 cos2 y(l + x tg2 y) £ (1 - x ) ( x 0 cos P cos y - E s ta c a s vertica s £ x 0 0 0 0 y0 cos2 a(l + x tg2 a) 1 M X V: 0 C o e fic ie n te £ )-y 0 cos a cos j8(1 - x) £*• £ - «45 £ * 0 «5 5 - «56 £ X q cos2 y(l + x tg2 y) £ (1 - x) x 0( x 0 cos p cos £ «66 x) X q cos2 /?(1 - NOTA: + X 2(1 x 0 y) 0 £ y 2 y 0 co&2 £ (1 - «46 + x tg 2 y) V(1 + « tg 2 y) y 0( x 0 cos P cos y - cos a cos * 0 1 - 2 y0 £ To c°s2 y(l «44 x 0 0 0 ^ y0 cos a cos y) -y 0 cos a cos y) ¥ 0 0 £ x 2 y tg2 P) + y 2a cos2 a(l - x) x 0y 0 cos a cos P + x tg2 a )- 0 2 >«(^0 + i'o) £1 = somatória do n.° de estacas verticais. TAB. 6.7.2 Estaqueamento com um plano de simetria (plano yz). Coeficientes da matriz de rigidez. C o e fic ie n te «11 «15 «16 a 22 «23 E s ta c a s in c lin a d a s 2 £ cos2 a(l + x tg2 a) - 2 £ (1 - x) x0 cos a cos y 2 £ [(1 - x) x0 cos a cos P - y 2 £ cos2 /?(1 + x tg2 /?) 2 £ (1 - x) cos p cos y 0 E s ta c a s ve rtic a is cos2 a(l + x tg2 a)] 2£ x 0 ■ 2 £ x y0 2£ x 0 352 — PONTES EM CONCRETO ARMADO TAB. 6.7.2 Cont. Estaqueamento com um plano de simetria (plano Jz). Coeficientes da matriz de rigidez. E s ta c a s in c lin a d a s C o e fic ie n te 2 X (1 - x «24 «34 «44 2 X x2 cos2 y(l + x tg2 y) - 2 X (1 - x) x 0( x 0 cos ß cos y - «5 5 «56 0 2X1 2 Xy2 y0 cos a cos y) 2 X [x2 cos2 0(1 '+ x tg2 ß ) + cos2 a(l + + x tg2 a) - 2(1 - x) x 0y 0 cos a cos ß «66 NOTA 3: cos ß cos y 2 X cos2 y(l + x tg2 y) 2 X y 0 cos2 y(l + x tg2 y) 2 X y 20 cos2 y(l + x tg2 y) ú 33 NOTA 1 NOTA 2: )y 0 E s ta c a s ve rtic a is 2X x2 0 2 X x(x2 + y l) a l2 = a, 3 = a 14 = a l s = a26 = a35 = a36 = a i s = a i6 = 0 As somatórias compreendem as estacas situadas de um lado do plano de simetria. As estacas situadas no plano de simetria são contados com a metade de sua rigidez. X 1 — somatória do n.° de estacas verticais. TAB. 6.7.3 Estaqueamento com dois planos de simetria (planos xz e yz). Coeficientes da matriz de rigidez. E s ta c a s in c lin a d a s C o e fic ie n te «u «15 «22 «24 «33 «44 «55 «66 4 X cos2a (1 + x tg 2a ) - 4 X (1 - x) x 0 cos a cosy 4 X cos20 (1 + x tg 2ß ) 4 X (/ - x) J 0 c o s ß cosy 4X cos2y (1 + x t g 2y) 4 X y2 cos2y (1 + x ;g2y) 4 X x„ cos2y (1 + x tg 2y) 4 X [xj cos20 (1 + x t g 2ß ) + J \ cos2a (1 + x tg 2a) - 2(1 - x) x0 y0 cos a cos ß E s ta c a s v e rtica is + 4 Xx 0 4Xx 0 4X1 4xy2 4X x2 - 4 X x(x2 + y2) NOTA 1' « 1 2 = « 1 3 = « 1 4 = « 2 5 = « 2 6 = « 3 5 = « 3 6 = « 4 5 ~ « 4 6 = ® NOTA 2 As somatórias se estendem a um quadrante do bloco. As estacas situadas em um plano de simetria são contadas com a metade de sua rigidez. Uma estaca vertical situada na integração dos dois planos de simetria é cortada com um quarto de sua rigidez. NOTA 3 : X 1 = somatória do n.° de estacas verticais. 6.7.4 Resolução do problema As equações de equilíbrio permitem calcular as seis componentes do deslo­ camento do bloco. Com as Fórms. 6.7.8 e 6.7.9, obtém-se os deslocamentos da cabeça da estaca, respectivamente nas direções axial e transversal. Finalmente, INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 353 as Fórms. 6.7.1 e 6.7.2 permitem calcular as cargas axial e transversal em cada estaca. Para resolver o problema, não há necessidade de usar os valores absolutos dos coeficientes de rigidez, podendo escrever-se os coeficientes da matriz de rigidez apenas com a relação x (Fórm. 6.7.7). Neste caso, os valores obtidos para os deslocamentos do bloco e das cabeças das estacas são valores relativos, porém os valores calculados para as cargas das estacas são os reais. A resolução do problema apresentada neste item é devida a Aschenbrenner [33], tendo entretanto o autor deduzido as Fórms. 6.7.8 e 6.7.9 por equações de trabalhos virtuais, chegando a expressões mais simples. As Fórms. 6.7.6a, b, c, do coeficiente de rigidez transversal, foram também estabelecidas pelo autor, com base em soluções numéricas tabeladas em [14]. E x e m p l o 6.7.4.1 — Resolver o Ex. 6.5.9.1 considerando o efeito das pressões laterais do terreno sobre as estacas. O solo superficial é areia média, seca ou úmida. As estacas são metálicas, de duplo I 12" l.a alma, com atrito lateral somado à resistência de ponta, e comprimento de 15 m. Carga admissível na estaca, 120 tf. Solução: Para o terreno superficial indicado, podemos adotar k h = 150tf/m3 (Tab. 6.9.1). Supondo as estacas rotuladas no bloco, o coeficiente de rigidez transversal é dado pela Fórm. 6.7.6: k t = 0 , 4 ( E I ) OA k h0 -6 I = 2 kt = 563 + 77,3 13,34 2* = 8004 cm4 0,4(2,1 x 800,4)0'4 x 250o’6 = 214 tf/m. O coeficiente de rigidez axial é dado pelas Fórms. 6.7.4 e 6.7.5b: kn kn m ín . m áx. 1 ,27 120 = 9449 tf/m x I O- 2 1 2 x 77,3 2 ~ x 10“4 x 2,1 15 x 107 10800 tf/m. Sendo os valores supra aproximadamente iguais, podemos considerar um único valor de x, dado pela Fórm. 6.7.7: x= K 214 10000 ~ 0,022. Os coeficientes de matriz de rigidez são calculados com a Tab. 6.7.3, chegando-se aos seguintes valores: 354 — PONTES EM CONCRETO ARMADO = 0,201 + 8,80 x = 0,39 a 12 = - 1,278(1 - x) = - 1,25 m a 22 = 0,400 + 8,61 x = 0,59 a24 = 2,180(1 - x) = 2,13 m rt33 = 8,426 + 0,60 x = 8,44 a44 = 12,209 + 1,35 x = 12,24 m2 a 55 = 12,640 + 0,90 x = 12,66 m2 a 66 = 27,00 x = 0,59 m2. an Resolvendo o sistema de equações 6.5.13, obtemos os seguintes valores dos deslocamentos relativos do bloco (deslocamentos reais multiplicados por k n = = 1 tf/m): = 91,9 tf A, = 44,6 tf ey = 9,0 tf/m Ay = ex = e2 = o. As cargas axiais são calculadas com as equações 6.7.1 e 6.7.8, fazendo-se k n = 1 em 6.7.1. As cargas transversais são obtidas com as equações 6.7.2 e 6.7.9d, fazendo k t = x em 6.7.2. Os resultados obtidos são: estacas carga a x ia l (tí) carga, transversal (tf) 1e 9 2 e 8 3 4 5 e 7 6 50 42 31 45 35 58 1,8 2,1 2,1 2,1 2,3 2,1 Comparando os resultados com os do Ex. 6.5.9.1, vemos que a consideração das pressões do terreno tem influência considerável no cálculo das cargas axiais. 6.7.5 Programa de computação eletrônica Os cálculos numéricos do problema geral exposto neste item são muito complexos para solução manual. Eles se prestam, entretanto, para programação em computadores digitais. Em [16], acha-se transcrito um programa em linguagem Fortran para o problema discutido neste item. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 355 6.8 6.8.1 FUNDAÇÕES EM TUBULÃO Tipos construtivos Os tubulões são fundações de fuste, em geral, circular, com diâmetro de 1 m a 3 m, construídos por escavação manual ou mecanizada, no interior de camisas metálicas ou de concreto armado, posteriormente cheias de concreto. Acima do nível d’água, ou em terrenos pouco permeáveis, a escavação pode ser feita a céu aberto, acrescentando-se novos segmentos de camisa à medida que o tubulão penetra no terreno (Fig. 6.8.1). Fig. 6.8.1 Sequência construtiva de um tubulão a céu aberto. -^ 7 v ti;'* 7y y / H- . ° \ Fig. 6.8.2 Seqüência construtiva de um tubulão a ar comprimido. 356 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Não sendo possível escavar-se a céu aberto, devido à infiltração da água, fecha-se a parte superior da camisa com uma campânula especial, injetando-se ar comprimido no interior. A pressão do ar expulsa a água, permitindo o trabalho a seco (Fig. 6.8.2). Nos tubulões a ar comprimido, em geral é possível fazer um alargamento da base, o que conduz a um substancial aumento na capacidade de carga vertical. As bases alargadas dos tubulões a ar comprimido são em geral dimensio­ nadas como blocp, adotando-se uma altura suficiente para dispensar armadura de flexão na base (Fórm. 6.2.1). A seção da base é, em geral, circular; ela pode também ser executada em forma elítica ou retangular, quando há interesse em se obter maior resistência em uma direção. Devido às dificuldades de trabalho sob pressões de ar elevadas, os tubulões a ar comprimido atingem profundidades até cerca de 30 m abaixo do nível d’água. Para profundidades maiores, pode-se utilizar uma fundação em tubulão associado a estacas metálicas (Fig. 6.8.3). Fig. 6.8.3 Seqüência construtiva de tubulão com estacas metálicas. Modernamente, constroem-se tubulões de grande profundidade por pro­ cessos mecanizados, como indicado na Fig. 6.4.4. K d 358 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 6.8.2 Pressões admissíveis do terreno nas bases dos tubulões As pressões admissíveis do terreno nas bases dos tubulões são estimadas em função da resistência à penetração do barrilete amostrador padronizado das sondagens de percussão. Face ao efeito favorável da profundidade, pode-se adotar, como valores indicativos das pressões admissíveis, as tensões empregadas nas fundações super­ ficiais (Tab. 4.2.1), multiplicadas pelos seguintes fatores: argila areia 1,5 2,0. No caso de areia situada abaixo do nível d’água, a pressão admissível é dividida por 2, obtendo-se assim os mesmos valores da Tab. 6.2.1. 6.8.3 Solicitações atuantes no fuste dos tubulões As solicitações no fuste dos tubulões são calculadas de maneira análoga à dos pilares, levando-se em conta as ligações do tubulão com a meso e superestru­ tura. Sendo, entretanto, os tubulões enterrados, total ou parcialmente, os deslo­ camentos transversais dos mesmos dão origem a pressões laterais do terreno, as quais têm influência preponderante nos diagramas de solicitações. O problema será tratado em pormenor nos itens 6.9 e 6.11. 6.8.4 Dimensionamento dos fustes dos tubulões Os fustes dos tubulões de concreto armado são dimensionados a flexão composta, usando tabelas ou diagramas de interação [17, 18]. No caso de tubulões de fuste circular, os momentos em cada seção se combinam vetorialmente, resul­ tando, em cada seção do fuste, flexão 'composta reta. Em tubulões ligados diretamente a pilares, ou tubulões em geral, com parte do fuste acima do terreno, é necessário levar em conta os efeitos de segunda ordem (flambagem), sempre que o índice de esbeltez ultrapassar 35. A teoria de flambagem de concreto armado é feita em regime inelástico, conduzindo geralmente a soluções por processos numéricos. Para os casos cor­ rentes da prática, pode usar-se um cálculo aproximado, em duas etapas: a) determina-se um comprimento de flambagem equivalente de coluna birotulada, em regime elástico, com auxílio da teoria de estabilidade elástica; esse comprimento equivalente, denomina-se comprimento efetivo de flam­ bagem (le); b) analisa-se a flambagem da coluna bi-rotulada equivalente por processos simplificados autorizados nas normas. 6.8.5 Armação dos tubulões A armação dos fustes dos tubulões são pormenorizadas de maneira análoga à dos fustes dos pilares. /NFRAESTRUTURA DAS PONTES — 359 Os tubulões são em geral feitos com uma camisa cilíndrica oca, de concreto armado. No caso de tubulões e céu aberto, o diâmetro da camisa é tomado igual ao diâmetro necessário na base (determinado pela pressão admissível no terreno). No caso de tubulões com base alargada, a ar comprimido, o diâmetro da camisa é escolhido em função das solicitações do fuste ou de conveniências cons trutivas^ Objetivando-se uma padronização de formas, os diâmetros mais ado­ tados são 1,20 m, 1,40 m e 1,60 m. O diâmetro interno da camisa deve ser sufi­ ciente para a descida do operário de escavação, adotando-se, para esse fim, o diâmetro mínimo de 0,80 m. Na parte inferior, a camisa apresenta um espaço interno maior, denominado câmara de trabalho, na qual o operário realiza a escavação manual do terreno. Na Fig. 6.8.5a, apresentamos pormenores típicos de formas de um tubulão a ar comprimido, com diâmetro externo 1,60 m. Armadura de espera do pilar Estribos 1= - ^ 1------I Jl-i- __ L "v J Armaduro Longitudinal b) L — 4 Armadura de reforço da faca ifm ir tfj N (Armadura de r j ligação da base \lcom o tubulão Io ao Armadura construtiva da base Formas e Armação de um tubulão de diâmetro 1,40 m, com base alargada: a) forma da camisa, em concreto armado; b) esquema para cálculo da armadura transversal do juste; c) armação do tubulão e da base. PONTES EM CONCRETO ARMADO 360 A armadura longitudinal do tubulão é determinada pelas solicitações do fuste. A armadura transversal (estribos) é determinada pela pressão interna do ar comprimido sobre a parede (Fig. 6.8.5b). O esforço F s na armadura, no com­ primento AL do tubulão, vale: Fs = l A . AL p di ( 6. 8. 1) pressão interna do ar comprimido = diâmetro interno do tubulão. = A área de estribos pode ser dimensionada com uma tensão, em serviço, igual a f J 1,7. No caso da Fig. 6.8.5, admitindo-se uma pressão de 2 kgf/cm2 (equiva­ lente a 20m de coluna d‘água), a área de estribos por metro linear será: p d. A- = ,, ~ T A L = 2 x 80 . „ _ ,, , 2 x 5000/1,7 100 = 2’7 Cm /ml‘ Podemos adotar, com folga, 0 5/16 CA-50 c/15cm (3,3 cm2/ml). As bases dos tubulões são geralmente feitas com altura suficiente para dis­ pensar armadura de cálculo (ver item 6.2.1). Na Fig. 6.8.5c, apresentamos pormenores típicos das armaduras do fuste do tubulão, da ligação da base com o fuste, bem como da armadura construtiva da base. 6.8.6 Blocos de transição Os blocos de transição desempenham papel análogo aos blocos utilizados nas fundações em estacas. Fig. 6.8.6 Exemplos de blocos de transição: a) bloco para dois tubulões : b) bloco para,cinco tubulões; c) transição direta de tubulão para pilar, sem bloco; d) transição de tubulão para pilar, com bloco. Fie. fcR.7 Fundações dos pilares centrais da ponte Rio-Niterói [21]: a) vista superior do bloco, mostrando a posição dos dois fustes do pilar e dos quarenta tubulões 1,80 m; b) seção, do bloco na direção transversal da obra: 28 70 Q duras. c) seção de bloco na direção long.tud.nal da obra: d) seção transversal de um tubulão 1,80 m, mostrando a camisa metálica externa e as duas camadas de arma­ I 362 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Na Fig. 6.8.6, apresentamos exemplos de blocos para dois tubulões (Fig. a) e cinco tubulões (Fig. b). Os blocos são em geral projetados com altura suficiente para dispensar armadura transversal de cisalhamento. Os blocos de grande altura têm a vantagem de possuírem grande rigidez, distribuindo a carga entre os tubulões. Em blocos de grandes dimensões, há interesse em adotar altura vari­ ável, reduzindo o consumo de concreto (Fig. b). Na Fig. 6.8.7, apresentamos pormenores de formas dos blocos dos pilares centrais da ponte Rio — Niterói. Em pilares apoiados sobre um tubulão único, o bloco de transição pode ser dispensado (Fig. c); entretanto, é necessário fixar tolerâncias muito restritas na cravação do tubulão, para evitar o efeito visual desagradável de uma excen­ tricidade entre o pilar e o tubulão. Esse efeito pode ser evitado, fazendo-se um elemento de transição entre o pilar e o tubulão, o qual pode ser considerado como bloco de um único tubulão. O dimensionamento dos blocos de transição é análogo ao dos blocos de estacas (item 6.3.11). 6,9 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES NO FUSTE DE TUBULÕES OU ESTACAS 6.9.1 Introdução Os tubulões e as estacas são elementos estruturais total ou parcialmente enterrados, ligados à meso e à superestrutura de maneira simples ou complexa As solicitações nos fustes dos tubulões ou estacas são calculadas levando-se em conta estas ligações e ainda os efeitos da contenção lateral do terreno. As pressões laterais do terreno são função dos deslocamentos transversais do tubulão. As leis de variação dependem de diversos fatores, não sendo possível adotar uma hipótese que cubra todos os casos da prática. 0 problema pode ser abordado em regime elástico ou inelástico. No tratamento elástico, designando-se q a carga lateral exercida pelo terreno sobre o fuste do tubulão, pode escrever-se uma equação diferencial, obtida da conhecida expressão da linha elástica em Resistência dos Materiais: + 9= 0 Í6.9.1) módulo de elasticidade do material da estaca ou tubulão momento de inércia da seção transversal da estaca ou tubulão carga axial carga transversal. E Id ? + E 1 N q = = = = A solução da equação supra dependerá da lei de variação ad 25 5 < 5 < z < 2 < 3 2 -4 4 -1 0 (tf/m3) S o lo se c o o u ú m id o S o lo su b m e rs o 250 700 2 000 150 500 1 250 100 40 50 30 30 100 250 364 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 6.9.3 Tubulões ou estacas de grande comprimento enterrado Davisson e Robinson [13] demonstraram, através de soluções comparativas, que um tubulão ou estaca, de grande comprimento enterrado, pode ser consi­ derado como uma coluna engastada a uma certa profundidade, para as seguintes finalidades: a) cálculo das solicitações internas; b) verificação da segurança à flambagem. N KJ H Fig. 6.9.1 Tubulão dc grande comprimento, parcialmente enterrado: a) deformação transversal do fuste do tubulão, com diagrama de cargas transversais q, restantes das pressões laterais do terreno; b) situaçao ideal para análise, considerando-se o tubulão engastado na profundidade 1 8 L e abstraindo-se da contenção lateral do terreno. ’ °’ Na Fig. 6.9.1, representamos um tubulão parcialmente enterrado, sujeito a cargas N , H , M . O deslocamento lateral do tubulão mobiliza reações horizontais q do terreno, por metro linear do tubulão. Por estudos comparativos [13], demonstra-se que o cálculo dos solicitações em serviço e a análise dos efeitos de segunda ordem (flambagem) podem ser feitos no esquema simplificado da Fig. b, na qual o tubulão é suposto livre da reação horizontal do terreno e engastado na profundidade: (6.9.4) INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 365 Os estudos teóricos mencionados acima foram feitos para um tubulão infi­ nitamente longo. Verifica-se que o esquema simplificado de Fig. 6.9.1b pode ser usado no caso de tubulões com um comprimento enterrado finito L, suficiente­ mente longo, obedecendo à condição: L > 4 L 0. (6.9.5) Com o esquema da Fig. 6.9.1b, considerando as ligações do tubulão com a meso ou superestrutura, determinam-se as solicitações nas seções do tubulão acima do terreno e na seção ao nível da superfície do solo. As solicitações nas seções do tubulão abaixo do nível do solo são obtidas com soluções particulares, como as apresentadas no item 6.9.4. 6.9.4 Tubulões ou estacas, de grande ou pequeno comprimento enterrado, com extremidade superior livre, sujeitos a solicitações ao nível do terreno Um problema particular de grande interesse é o apresentado nas Figs. 6.9.2a, b, c, d, e, f, nas quais os esforços se supõem aplicados ao nível do terreno. Num tubulão parcialmente enterrado, com a extremidade superior livre, acima do ter­ reno (Fig. g), é sempre possível calcular as resultantes dos-esforços referidas ao nível do terreno, caindo-se nos casos das Figs, a, b. Fig. 6.9.2 Casos particulares de tubulões: a) tubulão parcialmente enterrado com extremidade superior livre; determinação das ' solicitações atuantes ao nível do terreno ( N 0, H 0, M0); b) c) d) esforço horizontal H 0 aplicado ao nível do terreno; e) f) g) momento M0 aplicado ao nível do terreno. 366 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Reese e Matlock [14] resolveram o problema indicado na Fig. 6.9.2 utili­ zando a mesma lei física da Fórm. 6.9.2. Os resultados são encontrados nas Tabs. 6.9.2.1, 2 e 3. As tabelas de Reese e Matlock foram calculadas para tubulões longos ( L / L 0 > 4) e tubulões curtos. A inspeção da linha elástica dos tubulões (Tab. 6.9.2.3) mostra que, para o caso L / L 0 = 2, o fuste permanece praticamente retilíneo. Portanto, para L/L0 < 2, as soluções de Reese e Matlock são equivalentes às deduzidas admitindo o tubulão infinitamente rígido, caso este que estudaremos no item 6.11. Quando a base do tubulão é assente em rocha, pode considerar-se a sua base como indeslocável horizontalmente, o que modifica uma condição de con­ torno do problema. Utilizando uma solução apresentada por Werner [34], o autor elaborou a Tab. 6.9.3, na qual os resultados são apresentados conforme a formulação da Tab. 6.9.2. Em tubulões longos, a condição de fixação horizontal do pé não produz efeitos sensíveis. Nas soluções apresentadas neste item, é desprezada a influência das pressões verticais, na base do tubulão, sobre o equilíbrio dos esforços horizontais e mo­ mentos. No caso de estacas ou tubulões longos, essa influência é realmente pequena, podendo ser desprezada. Para o caso de tubulões curtos, a influência das pressões na base sobre o equilíbrio dos momentos será examinada no item 6. 10. E x e m p l o 6.9.4.1 — Um pilar de ponte, com seção retangular 5,00 m x 1,00 m, acha-se submetido aos seguintes esforços, em serviço, aplicados na base do pilar. N H lo n g = 1000 tf = 8 tf tf,ra„s = 20 tf M .„ n g = 8 0 m t f Mtrans = 250 mtf. Calcular os diagramas de momentos longitudinais e transversais atuando no tubulão. A fundação consta de dois tubulões 1,40 m, com distância de 5,00 m entre eixos, na direção transversal. O terreno consta de uma camada de areia média com 10 m de espessura, uma camada de 8 m de areia compacta, e rocha alterada, na qual se encontra a base alargada do tubulão. Durante a cheia, o nível d’água sobe 2,50 m, provocando erosão de uma camada de 3 m de solo. A velocidade máxima de água é de 2 m/s. Considerar a pressão da água no bloco e no pilar. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 367 T A B . 6.9.2 Tubulão ou estaca com extremidade superior li\re. Solicitações provocadas pelos esforços N 0, M 0, aplicadas ao nível do terreno. TAB. 6.9.2.1 Momentos fletores M . V a lo res d e L / L 0 z /L o 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1.7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 V a lo re s d e L / L 0 2 3 4 5 10 2 3 4 5 10 0.0 0.09 0.20 0.29 0.38 0.43 0.47 0.50 0.52 0.51 0.49 0.46 0.41 0,36 0,29 0,22 0,16 0.10 0.05 0.02 0.0 0.0 0.09 0.20 0.29 0.38 0.45 0.53 0.59 0.63 0.66 0.69 0.70 0.71 0.70 0.63 0.65 0.62 0.58 0.53 0.48 0.42 0.14 0.0 1.0 1.0 1.0 0.99 0.99 0.98 0.96 0.94 0.92 0.89 0.86 0.83 0.78 0.74 0.70 0.66 0.60 0.56 0.50 0.46 0.41 0.21 0.08 0.01 0.0 — 0.0 0.09 0.20 0.29 0.38 0.45 0.53 0.60 0.65 0.69 0.72 0.75 0.76 0.77 0.77 0.76 0.74 0.71 0.69 0.66 0.63 0.42 0.22 0.08 0.0 -0.03 - 0.03 1.0 1.0 1.0 0.99 0.98 0.97 0.95 0.93 0.91 0.87 0.84 0.79 0.74 0.70 0.65 0.60 0.54 0.48 0.42 0.37 0.32 0.10 0.0 — 0.0 0.09 0.20 0.29 0.38 0.45 0.53 0.60 0.65 0.69 0.72 0.75 0.76 0.77 0.77 0.76 0.74 0.71 0.69 0.66 0.63 0.42 0.22 0.09 0.02 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 0.99 0.97 0.95 0.91 0.87 0.81 0.75 0.68 0.60 0.51 0.42 0.33 0.25 0.17 0.10 0.05 0.02 0.0 - 0.0 0.09 0.20 0.29 0.38 0.45 0.53 0.60 0.65 0.69 0.73 0.76 0.78 0.78 0.78 0.77 0.75 0.72 0.69 0.67 0.63 0.40 0.20 0.05 0.0 - 1.0 1.0 1.0 0.99 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.85 0.8) 0.7"' 0.72 0.69 0.64 0.59 0.54 0.49 0.44 0.40 0.20 0.07 -0.01 -0.02 - 0.01 0.0 1.0 1.0 1.0 0.99 0.99 0.98 0.96 0.94 0.91 0.88 0.85 0.81 0.77 0.73 0.69 0.64 0.59 0.54 0.49 0.41 0.40 0.20 0.06 -0.02 -0.04 -0.04 -0.02 - - — — - — - — - - — - - - 368 — PONTES F.M CONCRETO ARMADO T A B . é.9.2.2 Esforços cortantes V V a lo r e s d e L / L 0 V a lo r e s d e L / L 0 0.1 0.2 0,3 0.4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1,0 1,1 1,2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1,9 2,0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 2 3 1.0 0.98 0.92 0.82 0.70 0.56 0.40 0.22 0.06 -0.1 -0.24 -0.40 -0.50 - 0.60 - 0.66 -0.67 - 0.64 -0.58 - 0.44 -0.26 0.0 — - 1.0 0.98 0.95 0.90 0.82 0.74 0.64 0.52 0.42 0.30 0.20 0.08 -0.01 -0.12 -0.22 -0.30 -0.38 -0.44 -0.50 -0.54 -0.57 -0.49 0.0 3 10 1.0 1.0 1.0 0.98 0.96 0.90 0.84 0.76 0.98 0.96 0.90 0.84 0.78 0.68 0.68 0.59 0.50 0.39 0.30 0.19 0.59 0.50 0.39 0.30 0.19 0.98 0.96 0.90 0.84 0.78 0.68 0.59 0.50 0.39 0.30 0.19 0.0 0.02 - -0.06 -0.13 0.20 - 0.30 - 0.40 -0.50 -0.60 - 0.10 0.10 O.01 0.01 0.10 0.01 - -0.06 -0.14 -0.06 -0.06 - 0.12 - 0.12 0.20 - -0.26 -0.31 - 0.36 -0.40 -0.46 -0.36 0.20 -0.25 -0.30 - 0.34 -0.37 - 0.42 -0.34 0.20 - 0.20 -0.25 -0.30 -0.34 -0.37 -0.42 -0.35 - 0.22 0.0 - 0.08 -0.11 0.22 - - ■ - 0.0 0.0 - - 0.02 - 0.02 0.68 -0.76 -0.81 - 0.86 0.88 0.86 -0.82 -0.74 -0.63 -0.48 -0.24 0.0 0.0 -0.01 -0.03 -0.07 -0.11 -0.15 -0.20 -0.25 -0.30 -0.35 -0.40 -0.44 -0.47 -0.50 - 0.53 - 0.54 -0.56 - 0.56 -0.55 0.54 -0.53 0.34 0.0 _ _ _ _ 4 0.0 -0.01 -0.02 -0.06 -0.09 -0.12 -0.17 -0.22 -0.26 -0.31 -0.35 . - 0.38 -0.41 - 0.44 -0.46 -0.47 - 0.48 -0.48 -0.48 -0.47 0.46 0.34 -0.19 0.08 0.0 _ _ 5 10 0.0 0.0 -0.01 -0.01 -0.03 -0.03 -0.05 -0.05 -0.09 -0.09 -0.13 -0.13 -0.18 -0.18-0.23 - 0.23 -0.27 - 0.27 -0.32 -0.32 -0.35 -0.35 -0.38 - 0.38 - 0.41 -0.41 -0.44 - 0.44 -0.46 - 0.46 -0.47 - 0.47 - 0.48 -0.48 -0.48 -0.48 -0.48 -0.48 -0.47 -0.47 -0.46 - 0.46 -0.35 -0.35 -0.20 -0.21 -0.08 - 0.09 -0.02 0.0 -0.03 -0.02 -0.03 0.0 INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 369 T A B . Ó.9.2.3 Deslocamentos transversais y K" z/^o 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1.3 1.4 1.5 1.6 V a lo res d e L / L 0 4.75 4.40 4.05 3.70 3.40 3.05 2.70 2.35 2.05 1.75 1.45 1.15 0.85 0.55 0.25 0.0 -0.3 1.7 0.6 1.8 0.9 - 1.17 -1.45 1,9 2,0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 2.70 2.50 2.35 2.17 2.0 1.95 1.67 1.57 1.37 1.23 1.10 0.95 0.85 0.73 0.67 0.50 0.40 0.30 0.23 0.17 0.07 0.23 0.50 5 10 2.45 2.33 2.15 1.95 1.83 1.67 1.53 1.37 1.25 2.40 2.23 2.07 1.92 1.75 1.63 1.47 1.33 2.40 2.23 2.07 1.92 1.75 1.63 1.47 1.33 1.20 1.20 1.10 1.00 1.07 0.95 0.83 0.70 0.61 0.51 0.43 0.30 0.27 0.23 0.17 0.14 -0.04 -0.07 0.07 0.05 1.07 0.95 0.83 0.70 0.61 0.51 0.43 0.30 0.27 0.23 0.17 0.14 0.04 -0.07 0.07 0.05 0.87 0.75 0.65 0.55 0.45 0.38 0.30 0.23 0.17 0.14 -0.04 - 0.10 -0.13 - V a lo res d e L / L 0 0.10 - 0.02 0.02 0.0 0.0 2 3.4 3.1 2.77 2.50 2.20 1.95 1.67 1.40 1.15 0.90 0.70 0.45 0.20 0.0 -0.20 -0.40 -0.60 -0.80 - 1.0 - 1.20 - 1.40 — 3 1.75 1.60 1.43 1.27 1.13 0.97 0.85 0.73 0.63 0.53 0.43 0.35 0.28 0.20 0.15 0.10 0.05 0.0 -0.03 -0.07 -0.10 - 0r21 -0.30 — 4 5 1.62 1.62 1.45 1.45 1.30 1.30 1.14 1.14 1.00 1.0 0.87 0.87 0.75 0.75 0.64 0.64 0.54 0.54 0.45 0.45 0.36 0.36 0.28 0.28 0.22 0.22 0.15 0.15 0.11 0.11 0.07 0.07 0.03 0.03 0.0 0.0 -0.03 -0.03 -0.05 -0.05 -0.07 -0.07 -0.10 -0.10 -0.09 -0.09 -0.05 -0.05 -0.03 -0.03 0.0 0.0 — 10 1.62 1.45 1.30 1.14 1.0 0.87 0.75 0.64 0.54 0.45 0.36 0.28 0.22 0.15 0.11 0.07 0.03 0.0 -0.03 -0.05 -0.07 -0.10 -0.09 -0.05 -0.03 0.0 0.0 T A B . 6.9.3 Tubulão ou estaca com extremidade superior livre e extremidade inferior contida lateralmente. Solicitações provocadas pelos esforços H 0, M 0, aplicados ao nível do terreno. TAB. 6.9.3.1 Momentos fletores M. 'a ■Lo + jL . --- L b 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 I V a lo res d e L / L 0 V a lo res d e L j L 0 * IL o • M0 2 3 4 5 2 3 4 5 0.0 0.10 0.20 0.29 0.38 0.46 0.54 0.57 0.58 0.63 0.64 0.63 0.59 0.54 0.48 0.42 0.36 0.25 0,14 0.06 0 — — - 0.0 0.15 0.23 0.30 0.37 0.45 0.51 0.56 0.62 0.68 0.73 0.76 0.78 0.78 0.77 0.76 0.74 0.71 0.68 0.65 0.62 0.44 0.22 0.09 0.03 0.01 0 1.0 1.0 1.0 0.99 0.98 0.97 0.95 0.93 0.90 0.88 0.84 0.81 0.77 0 73 0.69 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.19 0 - — 0.0 0.10 0.20 0.29 0.37 0.44 0.52 0.59 0.65 0.69 0.73 0.75 0.76 0.77 0.77 0.76 0.75 0.72 0.69 0.66 0.63 0.44 0.25 0.10 0 - 1.0 1.0 1.0 0.99 0.98 0.97 0.95 0.92 0.88 0.83 0.78 0.72 0.66 Ò.59 0.52 0.44 0.37 0.25 0.16 0.07 0 — 0.0 0.09 0.18 0.27 0.36 0.45 0.54 0.60 0.66 0.69 0.72 0.74 0.75 0.77 0.77 0.75 0.73 0.70 0.67 0.63 0.58 0.30 0 — 1.0 1.0 1.0 0.99 0.99 0.98 0.96 0.94 0.92 0.88 0.85 0.81 0.76 0.73 0.69 0.64 0.60 0.55 0.50 0.46 0.40 0.22 0.09 0.03 0 — 1.0 1.0 1.0 0.99 0.99 0.98 0.96 0.93 0.91 0.87 0.84 0.80 0.77 0.73 0.68 0.64 0.59 0.53 0.49 0.44 0.40 0.20 0.07 0.0 -0.03 -0.04 0 — — - - - — - TAB. é.9.3.2 Reação horizontal na base do tubulão. M f f o + K» ~ r - RH = L /L 0 1,32 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4 K» 1,00 0,99 0,95 0,85 0,65 0,43 0,20 2,00 ........— 1,99 1,85 1,33 1,12 0,68 0,20 ----- ■ INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 371 AREIA FOFA AREIA MEOIA O (O 82 AREIA COMPACTA m 'w w iw / ROCHA ALTERNADA E x . 6 .9 .4 .1 Pilar de ponte com fundação constituída por dois tubulões 0 1,40 m: a) vista transversal: b) vista longitudinal; c) perfil do terreno. Solução: Para efeito de cálculo dos esforços, os tubulões podem ser consi­ derados como engastados numa profundidade fictícia do solo, dada pela Fórm. 6.9.4: iQ s[Ê Í ’ 0“ ’ , 0 5 / 2,1 x 106 x 0,1886 = ’ V ---------- i5õ---------- = = 1,8 x 4,83 m ü 8,70 m. Na expressão acima, adotamos E = 210000 kgf/cm2 = 2,1 x 106 tf/m2; o momento de inércia da seção do fuste é obtido em tabelas [18]; o coeficiente k h = 150 tf/m3 é encontrado na Tab. 6.9.1, para areia média submersa. Como o comprimento do tubulão é superior a 4L0, pode-se aplicar a simplificação da Fig. 6.9.1b. Na época de máxima cheia, a lâmina d’água terá uma altura de 3 + 2 = 5 m. Na Fig. (d), representamos um esquema do pórtico formado pelos tubulões na direção transversal. Devido à grande rigidez do bloco, podemos considerar 372 — PONTES EM CONCRETO ARMADO infinita a rijeza a flexão do mesmo, resultando que os fustes do tubulão traba­ lham como colunas bi-engastadas, com deslocabilidade no apoio superior. E x . 6 .9 .4 .1 d) esquema do pórtico transversal; e) diagrama de momentos transversais; f) diagrama de momentos longitudinais. O esforço transversal aplicado na base do pilar será acrescido do efeito da pressão da água no bloco. A pressão da água é dada pela Fórm. 3.9.1, com o coeficiente de forma igual a 72; obtém-se o esforço: y 7 2 x 22 x 1,8 x 1,8 = 467 kgf. O esforço transversal provocado pela pressão d’água no comprimento de 5 m de pilar é obtido com a Fórm. 3.9.1, usando-se um coeficiente de forma igual a 35: y 35 x 22 x 1,4 x 5 = 490 kgf. Podemos somar os esforços acima, considerando-os aplicados a meia altura do bloco. Quando os esforços transversais são transferidos para o nível do fundo do bloco, aparece um momento fletor adicional. Assim, os esforços transversais atuantes na face superior dos tubulões valem: H .rans = 2 0 + 0 ,4 6 7 + 0 ,4 9 0 = 2 0 ,9 6 a 21 t f M ,ranS = 2 0 0 + 2 0 x 1 ,8 0 + 0 ,9 6 x 0 ,9 0 = 2 3 6 ,9 m tf. t INFfíAESTfíUTURA DAS PONTES — 373 O momento transversal Mtrans produz nos tubulões um binário de reações verticais: M trans 5,0 286,9 5 ± 57,4 tf. O esforço vertical atuante na base do pilar é acrescido do peso do bloco, resultando o valor: N = 1000 + 1,8 x 1,8 x 7 x 2,4 = 1054,4 tf. O esforço vertical máximo na face superior do tubulão vale então: 1054,4 + 57,4 = 584,6 tf. 2 M trans 5 H Os momentos fletores transversais provocados pelo esforço transversal trans = 21 tf são calculados no quadro da Fig. d: face superior do pilar f 21 x 6,85 = 71,9 mtf seção ao nível do terreno ^21 x 1,85 = 19,4 mtf. O diagrama de momentos no fuste do tubulão é representado na Fig. e; observa-se que o diagrama só foi hachurado na parte não enterrada do tubulão, onde ele tem validade. Na Fig. f, representamos as solicitações do tubulão na direção longitudinal. São obtidos os seguintes momentos fletores nos tubulões: face superior do pilar \ (80 + 8 x 1,80) = 47,2 mtf seção ao nível do terreno \ (80 + 8 x 6,80) = 67,2 mtf. Os momentos na parte enterrada do tubulão são calculados com auxílio da Tab. 6.9.2. A parte enterrada do tubulão tem o comprimento L = 20m, obtendo-se a relação: L /L 0 = 20/4,83 = 4,14. O tubulão pode ser considerado livre na seção ao nível do terreno, atuando nesta seção as solicitações calculadas acima, a saber: Tjr n 0 trans II 00 II h|N ^ O lo n g = 2 21 — 10,5 tf 4,0 tf ^ O tra n s = 19,4 mtf ^ O lo n g = 67,2 mtf. Chamando de z a profundidade de cada seção em relação à superfície do ter- 374 — PONTES EM CONCRETO ARMADO reno, podemos montar o quadro numérico seguinte, para o cálculo dos momentos fletores na parte enterrada do tubulão: * IL 0 Z 0 4 8 1.2 1.6 2.0 0 1,93 3,86 5,80 7,73 9,66 H0 tra n s 0 3,89 6,51 8,19 7,88 6,62 M o m e n to H °lo n g M 0l lo n g M o m e n to tra n s v e r sa l lo n g itu d in a l r e s u lta n te 19,4 23,1 24,4 23,5 19,5 14,6 0 1,48 2,48 3,12 3,00 2,52 67,2 66,5 68,8 53,1 40,3 27,6 67,2 68,0 64,3 56,2 43,3 30,1 69,9 71,8 68,8 60,9 47,5 33,5 M o m e n to M0 Ira n s 19,4 19,2 17,9 15,3 11,6 8,0 O momento resultante na face superior do pilar vale: 771,92 + 47,22 = 86,0 mtf. 6.9.5 Tubulões ou estacas, de grande ou pequeno comprimento enterrado, com extremidade superior engastada, ao nível do terreno No caso em que dois ou mais tubulões ou estacas se acham ligados a um bloco muito rígido, o conjunto forma um quadro. Cada tubulão ou estaca pode considerar-se engastado na extremidade superior, com deslocabilidade lateral. No caso particular em que o bloco fica no nível do terreno, o problema pode ser resolvido aplicando-se as tabelas do item anterior. De fato, atuando no tubulão um esforço horizontal H 0, ao nível do terreno, pode-se calcular o valor do momento fletor M, aplicado ao nível do terreno, necessário para se anular a inclinação da elástica do tubulão, também ao nível do terreno (condição de engastamento). Superpondo-se os efeitos de H 0 e M, determinam-se os desloca­ mentos e as solicitações nas seções enterradas do tubulão. As Tabs. 6.9.4 e 6.9.5 apresentam as soluções para o caso tratado neste item, referindo-se a Tab. 6.9.5 ao caso de tubulão com base indeslocável lateralmente (tubulão apoiado em rocha). A Tab. 6.9.4 baseia-se em [14], e a Tab. 6.9.5 foi calculada pelo autor, com base em uma solução publicada por Werner [34]. Observa-se que a fixação horizontal do pé do tubulão não produz alteração nos tubulões longos. Neste item, como no anterior, despreza-se a influência das pressões verticais, na base do tubulão, sobre o equilíbrio dos esforços horizontais e dos momentos. INF RAESTRUTURA DAS PONTES — 375 TAB. 6.9.4 Tuhulão ou Estaca Com Estremidade Superior Engastada ao Nível do Terreno Momento fletor M e deslocamento lateral y provocados por esforço horizontal H 0 aplicado ao nível do terreno M = K b ■H 0 - L 0 EI = V a lo re s d e L / L 0 o 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 - 1.06 -0 .9 7 -0 .8 6 -0 .7 7 -0 .6 7 -0 .5 3 - 0,50 -0 .4 2 -0 .3 5 -0 .2 8 -0 .2 2 -0 .1 7 -0 .1 3 -0 .0 9 -0 .0 6 -0 .0 4 -0 .0 3 -0 .0 2 -0.01 0.0 0.0 — 3 -0 .9 7 -0 .8 7 -0 .7 7 -0 .6 8 -0 .5 7 -0 .4 9 -0 .4 0 -0 .3 2 -0 .2 5 -0 .1 8 -0 .1 2 -0 .0 7 -0 .0 2 0,02 0.05 0.08 0.10 0.11 0.12 0.12 0.11 0.05 0.0 — 4 -0 .9 3 -0 .8 3 -0 .7 2 -0 .6 4 -0 .5 3 -0 .4 5 -0 .3 5 -0 .2 7 -0 .2 0 -0 .1 3 -0 .0 6 -0.01 0.05 0.09 0.13 0.16 0.19 0.21 0.23 0.24 0.24 0.21 0.12 0.06 0.0 — V a lo re s d e L / L 0 5 -0 .9 3 -0 .8 3 -0 .7 2 -0 .6 4 -0 .5 3 -0 .4 5 -0 .3 5 -0 .2 7 -0 .2 0 -0 .1 3 -0 .0 6 -0.01 0.05 0.09 0.14 0.17 0.20 0.22 0.23 0.24 0.25 0.24 0.17 0.09 0.04 0.01 0.0 10 -0 .9 3 -0 .8 3 -0 .7 2 -0 .6 4 -0 .5 3 -0 .4 5 -0 .3 5 -0 .2 7 -0 .2 0 -0 .1 3 -0 .0 6 -0.01 0.05 0.09 0.14 0.17 0.20 0.22 0.23 0.24 0.25 0.24 0.17 0.09 0.04 0.01 -0.01 2 1.10 1.09 1.08 1.06 1.03 0.99 0.95 0.90 0.84 0.79 0.73 0.66 0.60 0.54 0.47 0.41 0.35 0.28 0.21 0.15 0.07 ~ — 3 1.03 1.02 1.01 0.99 0.96 0.93 0.89 0.85 0.80 0.76 0.79 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.26 0.22 -0.01 -0.21 - — 4 0.95 0.94 0.93 0.91 0.89 0.86 0.82 0.78 0.74 0.69 0.64 0.59 0.54 0.50 0.46 0.41 0.37 0.33 0.30 0.24 0.21 0.08 0.0 -0 .0 5 -0 .0 9 — 5 0.93 0.92 0.91 0.89 0.87 0.83 0.80 0.76 0.71 0.67 0.63 0.58 0.53 0.48 0.44 0.39 0.35 0.31 0.28 0.24 0.21 0.08 0.01 -0 .0 2 -0 .0 3 -0 .0 2 -0.01 10 0.93 0.92 0.91 0.89 0.87 0.83 0.80 0.76 0.71 0.67 0.63 0.58 0.53 0.48 0.44 0.39 0.35 0.31 0.28 0.24 0.21 0.08 0.01 -0 .0 2 -0 .0 2 -0 .0 2 -0.01 376 — PONTES EM CONCRETO ARMADO TAB. 6.9.5 Tubulão ou estaca com extremidade superior engastada ao nível do terreno, e extremidade inferior com contenção lateral. Momento fletor M provocado por esforço horizontal H 0 aplicado ao nível do terreno: K O ~N~ 0 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0 1,1 1,2 1,3 1.4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 3,5 4.0 4,5 5,0 V a lo re s d e L / L 0 2 3 4 5 - 1.10 - 1.0 -0.90 -0.80 -0.69 -0.60 -0.50 -0.44 -0.38 -0.28 -0.21 -0.16 -0.13 0.11 -0.09 -0.06 -0.05 -0.04 - 0.03 -0.02 0 — -0.93 -0.84 -0.75 -0.65 -0.55 -0.45 -0.35 -0.27 -0.18 -0.13 -0.06 -0.02 0.03 0.09 0.13 0.14 0.17 0.19 0.20 0.21 0.21 0.12 0 _ — — — -0.93 -0.83 -0.73 -0.63 -0.55 -0.47 -0.37 -0.28 -0.20 -0.12 -0.06 0.0 0.06 0.09 0.13 0.17 0.19 0.21 0.23 0.23 0.26 0.24 0.17 0.07 0 — -0.92 -0.77 -0.69 -0.61 -0.54 -0.45 -0.37 -0.30 -0.22 -0.12 -0.04 0.02 0.07 0.11 0.14 0.17 0.20 0.22 0.23 0.25 0.25 0.26 0.16 0.09 0.06 0.05 0 — - - - — E x e m v l o 6.9.5.1 — Um turiulão de concreto armado, com diâmetro 1,20 m, acha-se engastado em um bloco, ao nível do terreno, e apoiado em rocha, com base alargada para 2,00 m de diâmetro, na profundidade de 8 m. O estorço hori­ zontal atuando no tubulão, ao nível do terreno, é de H 0 = 4,5 tf. Calcular o maior momento fletor no fuste do tubulão. O terreno superficial é areia média sub­ mersa. INFRAESTRUTURA DAS PONTES —- 377 Solução: Na Tab. 6.9.1, encontramos' o valor do coeficiente de reação lateral do terreno: kh = 150 tf/m3. O comprimento elástico L0 vale (Fórm. 6.9.3): EI I 2,1 x 106 x 491 x 10' 150 = 3,69 m O maior momento no tubulão é o da seção de engaste no bloco. Como a base do tubulão está apoiada em rocha, podemos considerar a base como indeslocável lateralmente, utilizando a Tab. 6.9.5. Por interpolação, obtemos: M = 0,99 x 4,5 x 3,69 = 16,4 mtf. Desprezando a condição de apoio lateral da base do tubulão, usamos a Tab. 6.9.4, obtendo por interpolação. M = 1,04 x 4,5 x 3,69 = 17,3 mtf. Observa-se que o momento calculado com apoio lateral indeslocável na base é ligeiramente inferior ao obtido sem este apoio. É interessante comparar os valores acima com os momentos de engaste obtidos desprezando o apoio lateral do solo, e supondo o tubulão simplesmente apoiado ou engastado na rocha: apoio simples na base: M = 4,5 x 8 = 36 mtf engaste na base. M = ^ 4,5 x 8 = 18 mtf. 6.10 SOLICITAÇÕES ATUANTES NOS FUSTES DE TUBULÕES DE PEQUENO COMPRIMENTO ENTERRADO, CONSIDERANDO-SE AS PRESSÕES VERTICAIS NA BASE 6.10.1 Introdução No caso de tubulões com pequeno comprimento enterrado, pode consi­ derar-se o tubulão como elemento rígido, hipótese simplificadora que torna o problema geometricamente determinado, dispensando o emprego da equação diferencial mencionada no item anterior. As fórmulas apresentadas a seguir foram deduzidas pelo autor, com base em uma solução congênere de Bibl. [15], Fig. 6.10.1 6.10.2 Solicitações em tubulão curto: a) tubulão curto com base alargada; b) esquema simplificado, mostr&ndo as dimensões do fuste (a) e da base (b); c) ações no terreno, provocados por solicitações atuantes no nível do terreno. Tubulão curto, com ou sem base alargada Um tubulão curto com base alargada (Fig. 6.10.1a) pode ser representado pelo esquema simplificado da Fig. b, substituindo-se a base alargada por uma placa de rigidez infinita. Sob ação dos esforços V0, H 0, Mn, atuantes no nível do terreno, o tubulão se desloca transversalmente como um corpo rígido, girando em torno de um ponto situado à profundidade z0 (Fig. 6.10.1c). Na seção da base do tubulão, o terreno terá um diagrama trapezoidal de pressões, sendo as pressões de bordo denominadas p, e p2. Admitindo-se- a rea­ ção lateral do terreno segundo a Fórm. 6.9.2, teremos um diagrama parabólico da carga lateral q. De fato, a uma profundidade z, o deslocamento transversal y vale a(z0 — z), resultando de 6.9.2: q = kh a z(z0 — z). (6.10.1) Para o projeto estrutural, interessam os seguintes valores: a) pressões de bordo (p,,/?2) na base — devem ser inferiores aos valores considerados admissíveis; b) carga lateral do terreno (q ) — deve ser inferior ao valor admissível defi­ nido pela tangente ao diagrama na origem (nível do terreno); c) solicitações ao longo do fuste do tubulão — determinadas numericamente com as solicitações atuantes ao nível do terreno (N 0 , H 0 , M 0 ) e as cargas laterais do terreno (q). O problema é resolvido com facilidade, decompondo-se o movimento do tubulão, representado na Fig. 6.10.1c, em três movimentos elemen ares, conforme indicações da Fig. 6.10.2. As resultantes das ações do terreno, referidas ao ponto O, podem ser comparadas com as solicitações exteriores atuantes no mesmo ponto, obtendo-se três equações de equilíbrio, que permitem resolver o problema: T V = 0 N o - k nA: A = 0 (a) INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 379 2, H = 0 IM = 0 A W H0 - M0 + kh A y L2/2 + k h Ay L3/3 - kha L3/ 3 = 0 kh a L4/4 - (b) kn L a -y W = 0. (c) = área da seção da base do tubulão = módulo de resistência da seção da base do tubulão. "o Fig. 6.10.2 Deslocamentos elementares do tubulão. Resultantes das ações do terreno, referidas ao ponto 0 do eixo do tubulão, na superfície: á) esquema do tubulão, com as solicitações atuantes na superfície do terreno; b) deslocamento vertical Az; c) deslocamento horizontal Ay ; d) rotação a, em tomo do ponto 0, situado no eixo do tubulão, ao nível do terreno. Eliminando Ay nas equações (a) e (c), obtemos: M o + y «oL = ~h k___ j? i (d) k n____ b W ' 36 2 As pressões de bordo na base do tubulão podem ser obtidas com a fórmula: p Pt A = -^ ío. + k ~ a ± n 2 ,2 “ a = — + __ —___ ■ A ± 1 k h L4 18 k . + ... W área da seção da base do tubulão M' = momento fictício na base = 2 M 0 + — H0 L A ~ W (6.10.2) 380 — PONTES EM CONCRETO ARMADO W = módulo de resistência da seção da base W = módulo de resistência fictício da seção da base = W + J_ A 18 kn b A carga horizontal q, por unidade de comprimento, na superfície lateral do tubulão, é obtida somando as expressões da Fig. 4.4.8c, d: q = k h ■Àx ■z (e) —k h • a • z2. Substituindo-se, na expressão acima, Àx e a, dados, respectivamente, pelas expressões (b) e (d), obtemos: _ A b K W A Z2 , kn flE o \ L 2 + ± 3 k b K Á \ z W kn ) ' (6.10.3) Observa-se que as Fórms. 6.10.2 e 6.10.3 utilizam apenas a relação entre os coeficientes de reação do solo ( k j k n). Obtendo-se a expressão da carga transversal q, pode-se determinar numeri­ camente o momento fletor no tubulão, em seções de profundidade crescente. O maior momento fletor estará na seção de esforço cortante nulo, a qual pode ser determinada também numericamente. Os cálculos são facilitados pela Tab. 6.10.1, que fornece os esforços cortantes e momentos fletores provocados por uma carga parabólica, em relação às diversas seções do tubulão. A análise da resistência do terreno, sob ação das cargas transversais q, se obtém verificando a relação (Fig. 6.10.1c): m < y a ( k p - k a) = y a [tg2(45° + = tg2(45° -

= ângulo de atrito interno do solo. Derivando a expressão 4.4.6 e fazendo m

2,60. A condição de estabilidade da Fórm. 6.10.5 está portanto satisfeita. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 385 E x e m p l o 6.10.2.2 — Resolver o Ex. 6.10.2.1, admitindo o tubulão com 7,00 m de profundidade, e sem base alargada, assente em argila rija arenosa. Solução: b = a — do-se O problema se resolve da mesma forma que o Ex. 6.10.2.1, fazen­ 1,40 m. As pressões verticais na base do tubulão são calculadas com a Fórm. 6.10.2: M' = M0 + y H0 L = 24 + y 4 x 7 = 42,67 mtf na3 1 —k.8- -----L4 --J-----32 18 k n P l,2 N A , - M' w 32 161,3 42,67 19,32 142 4 1.43 n x + 74 18 x 5 x 1,4 = 104,8 ± 2,21 19,32 m3 107 tf/m2 103 tf/m2 ’ A carga lateral do terreno sobre o tubulão, referida à largura total do fuste, dada pela Fórm. 6.10.3: Q = A ^ J M 1,4 L ± Z2 + ( 2 J L 5 + { 7,02 19,32 4 7,0 42,67 3 1,4 19,32 —0,63 z 2 + 3,llz. A profundidade z0 do ponto de carregamento nulo, é dada por: —0,63 z0 + 3,11 = 0 A carga transversal máxima q, z0 = 4,94 5,0 m. na profundidade z0/2, vale: <7*0/2 = - 0,63 x 2,52 + 3,11 x 2,5 = 3,84 tf/m. Observa-se que o carregamento horizontal aumentou cerca de 20% em relação ao tubulão com base alargada. Os momentos fletores no fuste do tubulão são calculados como no Ex. 6.10.2.1. As solicitações do terreno são obtidas de maneira análoga à do Ex. 6.10.2.1. Com a Form. 6.10.5, obtemos: m 2x4 42,67 4 7,02 + 19,32 3 7,0 1 1,4 T 3,11 > 2,65. Observa-se que a condição 6.10.5 não é satisfeita, iniciando-se a plastificação do solo. Os resultados obtidos acima podem, entretanto, ser adotados como solução aproximada do problema. 386 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 6.10.3 Tubulão curto apoiado na rocha No caso particular em que a base do tubulão está assente em terreno rochoso, o ponto de giro, indicado na Fig. 6.10.1c fica situado no nível da base, produ­ zindo-se o diagrama de tensões da Fig. 6.10.3. Fig. 6.10.3 Caso particular de tubulao com a base assente em rocha. O problema é estaticamente indeterminado, mesmo considerando a hipó­ tese de fuste do tubulão infinitamente rígido. Podemos obter uma solução apro­ ximada tomando para a reação horizontal R H um valor dado pela Tab. 6.9.3.2. Admitindo R H conhecido, podemos escrever as equações de equilíbrio: £F = 0 LH = 0 N 0 - k n - A,- A = H0 + R 0 L3 h — kh a - ç - (a) = 0 J IM = 0 M0 + H 0 ■L - k h a. (b) 4 / ---- k n ct - w = 0. (c) Das equações (b) e (c), obtemos: ^ _ Mn + (fl0 K y R (d) h) L / 2 w As pressões de bordo, na base do tubulão, podem ser obtidas com a fórmula: P 1,2 ± Mn + (f/n W R h) L / 2 ( 6 . 10. 6) tNFRAESTRUTURA DAS PONTES — 387 A carga lateral q, por metro linear de tubulação, apresenta um diagrama para­ bólico, tendo a ordenada máxima o valor: 3 2 H 0 + Rh (6.10.7) Observa-se que a reação horizontal na base R H produz acréscimo na carga horizontal q e redução nas pressões do solo p. A condição de estabilidade lateral do solo pode ser verificada com a Fórm. 6.10.4. E x e m p l o 6.10.3.1 — Resolver o Probl. 6.10.2.1 admitindo a base do tubulão assente em rocha. Solução: Sendo o tubulão apoiado em rocha, o seu movimento fica con­ dicionado a um giro em torno do meio da base, resultando as pressões da Fig. 6.10.3. O comprimento elástico L0 vale (Fórm. 6.9.3): 2,1 x 106 x 0,1886 = 5,24 m 100 Lo — 7,00 5,24 L L0 1,34. Utilizando a Tab. 6.9.3.2, podemos determinar um valor aproximado de Rh = H0 + 2M JL = 4 + 2 x 24/7 R H: 10 tf. O valor acima é aproximado, uma vez que na Tab. 6.9.3 não foi considerado o efeito da pressão vertical do terreno na base do tubulão. As pressões verticais do bordo são dadas pela Fórm. 6.10.6: „ P ia ^ No A I M0 + (fí0 - R h)L/2 W = 26,2 ± 2,0 161,3 6,16 ± 24+ ( 4 - 10)3,5 n x 2,8à/32 28 tf/m2 24 tf/m2 ' A ordenada máxima da carga horizontal vale: H q + L R„ 3 2 4+10 7 = 3 tf/m. 388 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Observa-se que a reação horizontal na base tem grande influência nas solicitações do tubulão. Diminuindo-se o valor de R w diminui-se a carga lateral no tubulão, aumentando-se as pressões verticais na base. Poderão ser obtidos resultados mais conservadores para as pressões verticais do terreno, adotando-se valores minorados, ou mesmo nulos, para a reação hori­ zontal R h na base do tubulão. Admitindo-se R H = 0, obtém-se os seguintes resul­ tados : q Li 2 = y = y y = 0,86 tf/m. Desprezando-se a reação horizontal na base do tubulão, as pressões verticais na base passam a equilibrar uma parcela maior do momento, e as pressões laterais do terreno, necessárias para manter o equilíbrio, diminuem consideravelmente. 6.11 6.11.1 CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES ATUANTES NOS FUSTES DE ESTACAS OU TUBULÕES DE PEQUENO COMPRIMENTO ENTERRADO, DESPREZANDO AS PRESSÕES VERTICAIS NA BASE Introdução Nas estacas de dimensões usuais, com pequeno comprimento enterrado, sujeitas a esforços horizontais e momentos fletores atuando na superfície do terreno, as pressões do terreno na base da estaca não influem substancialmente no cálculo das solicitações do fuste, em face da pequena dimensão da seção transversal, podendo ser desprezadas. Em estacas de grande diâmetro ou tubulões, com pequeno comprimento enterrado, quando o esforço normal é pequeno, despreza-se também a influência das pressões na base do tubulão, uma vez que a rotação do tubulão produz tração entre o terreno e a estaca, como indicado na Fig. 6.10.2d. 6.11.2 Cálculo das solicitações O cálculo das solicitações no fuste do tubulão, desprezando-se as tensões na base, é um caso particular do estudado no item anterior (Fig. 6.10.1). Na Fig. 6.11.1, representamos uma estaca ou tubulão de pequeno compri­ mento, sujeito aos esforços N 0, H 0, M 0 ao nível do terreno. O tubulão se desloca transversalmente como um corpo rígido, girando em torno de um ponto do seu eixo, situado à profundidade z0. Desprezando-se as pressões do solo na face inferior, para efeito do cálculo das solicitações no fuste do tubulão, as equações de equilíbrio relevantes são as (b) e (c) do item anterior, as quais nos dão: INFRAESTRUTURA DAS FONIES — 389 Z.H = 0 EM = 0 Fig. 6.11.1 L2/2 + H0 - kh A y M0 + k h Ay L 3/ 3 + kh a L3/3 = 0 (b') kh a L3/4 = 0. (c') Estaca ou tubulão de pequeno comprimento: a) esquema do tubulão, com indicação das coordenadas; b) esforços N 0, H 0, M 0 atuantes ao nível do terreno; carga transversal pela reação lateral do terreno. q, produzida O carregamento horizontal q, por unidade de comprimento do tubulão é dado pela expressão (e) do item 6.10; q = k h - A y ■z - k h a z 2. (e') Eliminando Ay e a nas três expressões acima, obtemos; <7 = 24 T- \M n + ~ H nL \ z - 36 M„ + — H n L 1z 2. ( 6. 11. 1) Obtendo-se a expressão da carga transversal q, pode-se determinar numecamenteo momento fletor no tubulão, em seções de profundidade crescente com auxilio da Tab. 6.10.1. q A profundidade z0, do ponto de giro do tubulão, pode ser obtida fazendo-se = 0 na 6.11.1. A analise da resistência do terreno, sob ação das cargas transversais, se obtem com a desigualdade 6.10.4. Derivando a Fórm. 6.11.1, e fazendo z = 0. obtém-se: m = dq dz L3 ( Mu + | w ° L ] < y a ( k p - k a). ( 6.1 390 — PONTES EM CONCRETO ARMADO O problema resolvido neste item pode também ser considerado como um caso particular do problema exposto no item 6.9.4, para L/L0 = 2 (tubulão curto, cuja linha elástica permanece praticamente retilínea). No Ex. 6.11.2.2, resolvemos um problema desse tipo com as fórmulas deduzidas acima e com as tabelas do item 6.9.4, mostrando a coincidência dos resultados. Exemplo 6.11.2.1 — Resolver o Ex. 6.10.2.2 desprezando o efeito das pres­ sões da base do tubulão no cálculo de resistência aos momentos e esforços hori­ zontais. Solução: Desprezando as tensões na base do butulão, caímos na solução particular do item 6.9.4, na qual se leva em conta a deformação elástica do tubulão. No item 6.11.2, o problema foi resolvido, admitindo-se o fuste do tubulão infini­ tamente rígido. a) Solução particular do item 6.9.4. Adotando para o concreto o módulo E = 210000 kgf/cm2, obtemos o com­ primento L0: 1 L L0 X - 106 X 0,1886 100 7,0 5,24 5,24 m 1,34. O menor valor tabelado em [14] é L / L 0 = 2. Para L/L0 < 2, sabemos que o fuste do tubulão pode ser considerado infi­ nitamente rígido, podendo então se aplicar a solução do item 6.11.2; b) Solução particular do item 6.11.2. Aplicando a Fórm. 6.11.1, obtemos: 36 7,04 z = 3,15 z - 0.64 z2. Profundidade z0 do ponto de carregamento nulo: z0 = 3,15/0,64 = 4,92 s 5,0 m. Carga transversal máxima na profundidade z0/2: qzol2 = - 0,64 x 2,52 + 3,15 x 2,5 = 3,88 tf/m. Observa-se que os resultados são muito próximos dos obtidos no exemplo anterior. As solicitações do fuste do tubulão são calculadas de maneira análoga à do Ex. 6.10.2.1. INFRA ESTRUTURA DAS PONTES _ 391 A verificação da estabilidade do solo se faz com a Fórm. 6.11.2: m = 2 4 / 3 \ ( 24 + T 4 x 7’° ) = 3’15 > 2>65 Observa-se que a condição 6.11.2 não é satisfeita. As pressões do solo se tornam elasto-plásticas. Apesar disso, os resultados obtidos podem ser adotados como solução aproximada do problema. E x e m p l o 6.11.2.2 — Resolver o Ex. 6.11.2.1, admitindo o tubulão sem base alargada, com comprimento enterrado L = 2 L 0 = 10,48 ~ 10,50 m. Despresar as pressões da base do tubulão no cálculo da resistência aos momentos e esforços horizontais. N0 = 161,ï tf 0 140 cm E x . 6 .1 1 .2 .2 Cálculo das solicitações no fuste de um tubulão, despresando a influência das pressões verticais na base. S o l u ç ã o : a) Utilização da Tab. 6.9.2. O problema proposto corresponde ao caso da Fig. 6.9.2 e Tab. 6.9.2. Utilizando os coeficientes da Tab. 6.9.2, podemos calcular os momentos, em diversas profundidades z, com a expressão: M = 4 x 5,25 k h + 2 4 k M. Utilizan­ do-se uma calculadora programável, obtém-se os resultados do quadro abajxo; 0 0,1 0,2 0,3 *0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,Q 0 0,2 0,36 0,44 0,51 0,49 0,43 0,32 0,17 0,05 0 1,0 1,0 0,97 0,90 0,81 0,68 0.51 0,34 0,12 0,05 0 M 24,0 28,2 6,5 2,25 0 z 0 8,40 9,45 10,5 z /L z /L k H k M o 1,05 30,8 2,10 32,6 3,15 30,2 4,20 26,6 5,25 21,3 6,30 14,9 7,35 392 — PONTES EM CONCRETO ARMADO b) Fórmulas do item 6.11.2. Admitindo-se o tubulão infinitamente rígido, podem ser utilizadas as fórmulas do item 6.11.2. O carregamento transversal do terreno é dado pela Fórm. 6.11.1: 24 4 L 0), Davisson e Robinson [13] demonstraram que o sistema hiperestático pode ser resolvido considerando o tubulão engastado a uma profundidade fictícia 1,8 Zq, abstraindo-se da contenção lateral do terreno. Ver o item 6.9.3 e a Fig. 6.9.1. As solicitações calculadas, com o tubulão suposto engastado na profundi­ dade 1,8 L 0, são válidas para as seções não enterradas. As solicitações na seção ao nível do terreno são designadas por H 0, N 0, M 0 . As solicitações na parte enterrada dos tubulões são calculadas a partir dos valores H 0 , N 0, M0, utilizando-se as soluções particulares descritas no item 6.9.4. 6.12.3 Tubulão ou estaca de pequeno comprimento enterrado, com ligação hiperestática à estrutura No caso de tubulão ou estaca de pequeno comprimento enterrado, o sis­ tema hiperestático não pode ser resolvido diretamente, uma vez que as reações laterais do terreno dependem das solicitações na seção ao nível do terreno, e estas, por sua vez, dependem das citadas reações laterais. O autor desenvolveu, para este problema, uma solução iterativa, descrita a seguir. Para tubulões curtos apoiados em solo, obtém-se uma solução aproximada, admitindo-se o tubulão rotulado na base ou num ponto acima da base, por exem­ plo a 0,7 L (Fig. 6.12.2b). Quando a base do tubulão assenta em rocha, pode-se considerá-la indeslocável lateralmente, admitindo-se o tubulão rotulado na base (Fig. 6.12.2c). Fig. 6.12.2 lubulão de pequeno comprimento enterrado, com ligações hiperestáticas: a) tubulão apoiado no terreno, com pilar engastado elasticamente no topo; b) tubulão suposto rotulado a uma certa profundidade; c) tubulão suposto rotulado na base (caso de apoio em rocha). 394 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Nas condições acima, o tubulão forma, com o resto da estrutura, num sistema hiperestático bem definido (sistema hiperestático simplificado). Aplicando-se os esforços atuantes (H , N , M ) no sistema hiperestático sim­ plificado, e abstraindo-se da contenção lateral do terreno, podem ser calculados valores iniciais das solicitações H 0 , N 0 , M0, na seção do tubulão ao nível do terreno. Considerando agora o tubulão seccionado e livre na superfície do terreno, sujeito às solicitações H 0, N 0, M 0, determinam-se as pressões na base do tubulão ( p v p 2) e os carregamentos laterais (q) correspondentes à reação lateral do terreno. A seguir, resolve-se novamente o sistema hiperestático, substituindo entre­ tanto a rótula inferior por uma extremidade livre, sujeita às pressões verticais e aos carregamentos laterais do terreno. Obtém-se, desse modo, valores mais pre­ cisos de t J Q, N 0 , M0. As iterações podem prosseguir até que dois valores con­ secutivos de H 0 , N 0 , M 0 sejam praticamente iguais. As fórmulas deduzidas nos itens 6.10 e 6.11, supondo o tubulão de rigidez intinita, podem ser empregadas com boa precisão para tubulões com L/L0 < 2, e aproximadamente até L/L0 = 2,5. Para valores de L/L0 entre 2,5 e 4,0, podem ser adotados valores interpolados entre o resultado do processo iterativo supra e a solução particular de Davisson e Robinson [13], para tubulões longos. 6.12.4 Caso particular de tubulão de pequeno comprimento enterrado, ligado superiormente a pilar engastado no topo, com deslocabilidade lateral O caso tratado neste item corresponde ao das Figs. 6.4.12c, d, quando o pilar está ligado, na parte superior, a um vigamento de grande rigidez, sem apoio horizontal. Um problema estruturalmente equivalente é o de um bloco com tubulões ou estacas de grande diâmetro, atravessando a lâmina d’água (Fig. 6.12.3). Fig. 6.12.3 Bloco com tubulões atravessando a lâmina d’água: a) esquema do bloco mostrando dois tubulões; b) esquema de um tubulão engastado, com deslocabilidade lateral na extremidaae superior, apoiado vertical e horizontalmente no terreno, na parte enterrada. /NFfíAESTRUTURA DAS PONTES — 395 Admitindo a base do tubulão apoiada em solo, supomos, inicialmente, o tubulão rotulado na profundidade 0,7 L, e, abstraindo da contenção lateral do terreno, obtemos um primeiro valor das solicitações ao nível do terreno: H0 = H x 0,7 L . M 0 = H Com os valores supra das solicitações ao nível do terreno, calcula-se a carga horizontal q do terreno sobre o tubulão, a qual é dada pela Form. 6.10.3 (ver Fig. 6.10.1), e as pressões verticais de bordo na base dadas na Fórm. 6.10.2. Para maior simplicidade, podemos considerar a carga horizontal do terreno re­ presentada por duas forças horizontais: 2 Ô 1 = 3 Z0 ízo/2 Qi Com os valores de M 0 (o valor valores de Q v Q2 e (6. 12.1) = y ? i ( i - zo)- , (6. 12.2) determinam-se valores mais precisos de é sempre igual a H ). Com o par H 0, M 0, determinam-se novos Af Q2 e , e assim por diante, até obtermos dois valores conse­ H0 Qv cutivos de M 0 praticamente iguais. O problema pode ser resolvido, considerandó-se as pressões verticais na base do tubulão (base alargada ou não), com as fórmulas do item 6. 10.2, ou desprezando-se estas pressões verticais, com as fórmulas do item 6.11. No caso de tubulão apoiado em rocha, utilizam-se as fórmulas do item 6.10.3 A carga lateral do terreno apresenta um diagrama parabólico (Fig. 6.10.3), cuja carga resultante vale: 81 = y ^ 1/2 = + H v A reação horizontal na base do tubulão é estaticamente indeterminada, podendo-se usar valores aproximados da Tab. 6.9.3.2. Obtêm-se soluções apro­ ximadas com valores minorados ou nulos de H v conforme indicado no item 6.10.3. Uma vez calculados, por processo iterativo, os valores finais de H 0, M 0, as ações e solicitações na parte enterrada do tubulão se obtêm com as soluções par­ ticulares expostas nos itens 6.10.2 e 6.10.3. E x e m p lo 6.12.4.1 — Um apoio de ponte é formado por dois pilares iguais ao do Ex. 6.10.2.1, ligados superiormente por uma travessa de grande rigidez 396 — PONTES EM CONCRETO ARMADO = oo). Calcular os momentos no tubulão, para um esforço horizontal trans­ versal de 8 tf aplicado no topo do pilar. (1 S o lu ç ã o : Cada pilar pode ser considerado isoladamente, engastado com deslocabilidade na extremidade superior. A força transversal atuando em cada pilar é de 4 tf. Os momentos no tubulão são provocados pela carga horizontal atuante e pelas reações do terreno. Como estas reações, por sua vez, dependem das soli­ citações na seção do tubulão ao nível do terreno, o problema se resolve por um processo iterativo. Admitindo-se inicialmente o tubulão rotulado à profundidade 0,7 L . cal­ culamos um primeiro valor das solicitações ao nível do terreno: H0 = 4tf M0 = 4 X 0,7 X 7 = 19,6 tf m. Com os valores acima, determinam-se as reações laterais do terreno sobre o tubulão, as quais podem ser representadas por suas resultantes Q v Q 2, e as pressões verticais de bordo na base . Numa segunda etapa, a partir de \/f/ -----, determina-se um novo valor de M0 (o valor Qv Q i e H0 é sempre igual W' a H ), e assim sucessivamente. Procedendo como indicado acima, obtemos a seguinte sequência de valores de M0: 19,6 - 11,8 1,7 - 12,0 - 5,8 12,1 - 9,0 - 10,4 - 12,2 - 12,3 - 12,4 H ,1 - 11,5 - 12,4. Observa-se que, após a 13. iteração, atinge-se o valor final de M0. As soli­ citações na seção do tubulão ao nível do terreno são, portanto: H0 = 4,0 tf M0 = — 12,3 mtf. O valor de — — correspondente à 13.“ iteração é a pressão vertical de W bordo devido aos valores supra das solicitações H 0 e M0. As ações e solicitações na parte enterrada do tubulão podem agora ser deter­ minadas, como indicado no item 6.10.2. O b s e r v a ç ã o — No caso particular de pilares, tubulões ou estacas engastadas (com deslocabilidade lateral) em um bloco situado acima do terreno, o momento INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 397 na seção de engastamento no bloco será igual ao momento M0 na seção ao nível do terreno, independentemente da altura total. 6.12.5 Programa para cálculo de tubulão curto, com ou sem base alargada, de forma circular, apoiado em solo, ligado superiormente a um pilar engastado no topo (Fig. 6.12.3b) ou problema estruturalmente equivalente O programa descrito neste item, desenvolvido para a calculadora progra­ mável HP-97, visa rotinizar o processo iterativo exposto no item 6.12.3, no caso particular de apoio em solo e engastamento com deslocabilidade na extremi­ dade superior. 1.“ E ta p a — Cálculo do momento ao nível do terreno, abstraindo-se da contenção lateral do terreno. M0 = /f (0,7 L). A carga lateral q do terreno é dada pela Fórm. 6.10.3. Podemos substituir a carga lateral do terreno por duas resultantes Q 1 e Q 2 dadas, respectivamente, pelas Fórms. 6.12.1 e 6.12.2. As pressões verticais de bordo na base ( M ' / W ) são dadas na Fórm. 6.10.2. 2." E ta p a — Cálculo iterativo. Em cada iteração com os valores as resultantes Qv Q2 ao nível do terreno, calculamos M' da carga lateral do terreno e a pressão • H 0, M 0, W O valor seguinte do momento M0, ao nível do terreno, é dado pela expressão: \ , 2 M' nb3 32 W (6.12.4) 3.“ E ta p a — Valores finais das solicitações. A segunda etapa fornece os valores finais das solicitações do nível do terreno. No problema particular estudado, o momento fletor é constante ao longo do pilar (ou parte não enterrada do tubulão ou estaca), e o momento de engasta­ mento no bloco superior é igual a M 0 . A carga lateral do terreno é calculada com a Fórm. 6.10.3, em função dos valores finais de H 0 , M 0 , podendo ser lida ou impressa. As pressões verticais de bordo, provocadas pelas solicitações H 0 , M 0 , são dadas pela expressão: M' + 7t b 3 1 32 + 18" 1 7 kh L4 (6.12.5) 398 — PONTES EM CONCRETO ARMADO Supõe-se a existência de uma carga vertical N 0 suficiente para anular a tensão do bordo tracionado, de modo a garantir o contato da área da base do tubulão com o terreno. U coeficiente de segurança à ruptura do solo y h, para carga lateral, é dado pela fórmula abaixo, obtida da 6.10.5: y a (k p y" - 7H n L2 M' W - k a) ( 6 . 12. 6) L kh ' b kn O programa imprime os seguintes valores (ver Fig. 6.12.3b): a) Dados do problema: H, l, L, b, k jk n; b) Valores do momento M0ao nível do terreno, em cada etapa de iteração (Fórm R 12 T1c) Pressões de bordo na base do tubulão, devidas às solicitações (Fórm 6.12.4); H 0, M0. d) Coeficiente de segurança do terreno, para carga norizontal (Fórm. 6.12.5). 6.12.5.1 — Resolver o Ex. 6.12.3.1, com o programa descrito acima, com as seguintes alternativas: E x e m p io 1. 2. 3. 4. a)tubulão com base alargada b = 2,80 m a)tubulão com base alargada b = 4,00 m a) tubulãosem base alargadab = 1,40 m a) desprezar as pressões verticais na base. S o lu ç ã o : A primeira alternativa corresponde exatamente ao Ex. 6.12.4.1. A segunda alternativa permite a avaliação do efeito de um maior alargamento ia base. Apresentamos abaixo os resultados das duas primeiras alternativas. A terceira alternativa obtém-se fazendo b — 1,40 m. O cálculo, desprezando as oressões verticais na base, pode ser feito com o mesmo programa, adotando-se um valor muito pequeno para b, por exemolo, b = 0,10 m. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 399 A lte r n a tiv a s H 1 L b kh K -oO o a> o 3 'Õ3 u - 1 2. 6.13 CAIXÕES Os caixões são fundações, em geral de grande porte, formadas por caixas retangulares de aço ou concreto armado, dentro dos quais o terreno é escavado a céu aberto ou a ar comprimido. Fig. 6.13.1 Fundações em caixão: a) escavação a céu aberto, com escavadeira; b) escavação manaal a ar comprimido. Os caixões podem assentar diretamente no terreno resistente ou ser apoia­ dos em estacas metálicas cravadas no seu interior. INFRAESTRUTURA DAS PONTES — 401 A concretagem do interior dos caixões pode ser feita por processo submerso, a céu aberto ou sob ar comprimido. Na Bibl. [21] podem ser vistos diversos esquemas de caixões estudados para o projeto da ponte Rio—Niterói. Na Fig. 6.13.2, reproduzimos o projeto de caixões para os pilares do vão principal da ponte Rio—Niterói. B- B 15 50 <5> © A- A Fig. 6.13.2 Fundações em caixão, projetadas para os pilares do vão central da ponte Rio-Niterói Este projeto foi substituído por outro utilizando os tubulões indicados na Fig. 6.8.4. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO NB20961) CAPÍTULO I Generalidades O b je tiv o 1. Esta Norma fixa as condições que devem ser obedecidas no cálculo e na execução das pontes de concreto armado. P r o j e t o d a s P o n te s 2. No projeto e execução das pontes de concreto armado devem ser apli­ cadas, além das prescrições especiais da presente Norma, as das NB1, NB6 e NB7. M e m o r ia l d e C á lc u lo 3. Os projetos das obras devem ser acompanhados de memorial de cálculo, que conterá: Indicação dos tipos de concreto e aço previstos no projeto. b) Cargas admitidas. c) Cálculo dos esforços solicitantes (Cap. II). d ) Cálculo dos esforços resistentes (Cap. III). é) Cálculo dos elementos de apoio e articulações. / ) Cálculo das fundações. a) N o ta : A norma N B 2 /6 1 acha-se atualmente em revisão. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — CAPITULO II Esforços Solicitantes A — DISPOSIÇÕES GERAIS C á lc u lo d o s E s fo r ç o s S o li c it a n te s 4. No cálculo dos esforços solicitantes a ser feito de acordo com a Estática das Construções devem ser consideradas as influências seguintes: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) Carga permanente. Carga móvel. Impacto vertical. Impacto lateral. Força longitudinal. Força centrífuga. Variação de temperatura. Retração. Deformação lenta. Vento. Atrito nos apoios. Deslocamento das fundações. Empuxo de terra ou água. Esforços no guarda-corpo. C a r g a P e r m a n e n te 5. A carga permanente será constituída pelo peso próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas. Na avaliação do peso próprio, será admitido, para o concreto armado, o peso específico mínimo de 2,4 t/m2. O peso próprio, avaliado depois do dimensionamento definitivo da estru­ tura, não deve diferir de mais de 5% do peso próprio inicialmente admitido para o cálculo. C a rg a M ó vel 6. A carga móvel será fixada segundo o disposto nas NB6 e NB7. I m p a c to V e r ti c a l 7. Para levar em conta o acréscimo devido ao impacto vertical no cálculo dos esforços solicitantes, a carga móvel será multiplicada pelos coeficientes se­ guintes: 404 — PONTES EM CONCRETO ARMADO a) Nos elementos das pontes rodoviárias: q>= b) 1,4 - 0,007 / > 1,00. Nos elementos das pontes ferroviárias: (p = 0,001 (1 600 - 60 V T + 2,25 /) > 1,20. Em vigas sobre dois apoios e estruturas semelhantemente apoiadas, a escolha dos coeficientes de impacto refere-se aos vãos totais. Em vigas contínuas com ou sem articulações, determina-se o coeficiente de impacto, para cada tramo carregado, em função do vão teórico respectivo. Com tramos desiguais, dos quais o menor será, no mínimo, 0,7 do maior, calcula-se o impacto, em todos os tramos, para um vão equivalente à média aritmética dos seus comprimentos. Não será considerado o impacto vertical (

1.000 m, em pontes para bitola larga (1,60 m); 8 % para R < 600 m e A — % para R > 600 m, em pontes para bitola estreita (1,00 m). V a r ia ç ã o d a T e m p e r a tu r a 11. Será obedecido o disposto no Item 6 da NB1. R e tr a ç ã o 12. Será obedecido o disposto no Item 7 da NB1. D e fo r m a ç ã o L e n ta 13. Será obdecido o disposto no Item 8 da NB1. V en to 14. A pressão do vento sobre a ponte, considerada agindo horizontalmente em direção normal ao seu eixo, será avaliada em 150 kg/m2, para a ponte descar­ regada, e'100kg/m 2, para a ponte carregada. Este último valor será reduzido para 70kg/cm2 èm ponte só para pedestres. No caso de ponte exposta a ventos especiãlmente violentos adotar-se-ão valores maiores que esses, de acordo com as circunstâncias locais. A superfície de incidência a considerar é a projeção da estrutura no plano normal à direção do vento acrescida, no caso de ponte carregada, de uma faixa limitada superiormente por uma linha paralela ao estrado e distante: 3,50 m do topo dos trilhos, nas pontes ferroviárias; 2,00 m da superfície de rolamento, nas pontes rodoviárias; 1,70 m do piso, nas pontes só para pedestres. Pode-se dispensar o cálculo dos esforços devidos ao vento, nos casos: de lajes de abóbadas cuja largura nas nescenças seja maior que 1/10 ao vão; de arcos paralelos com tabuleiro superior e com contraventamento contínuo, se a dis­ tância entre os eixos dos arcos externos for superior a 1/9 do vão. A t r i t o n o s A p o io s 15. Os esforços correspondentes ao atrito nos apoios, que geralmente não afetam de modo apreciável a superestrutura, devem sempre ser considerados no cálculo dos aparelhos de apoio, pilares e encontros, admitindo-se que a força do 406 — PONTES EM CONCRETO ARMADO atrito seja de 3% nos apoios de rolamento e de 20% nos apoios de escorregagamento, da reação devida à carga permanente e à carga móvel, sem levar em conta o efeito do impacto vertical. Permite-se levar em conta os efeitos favoráveis dessas forças de atrito sobre os apoios, adotando-se valores iguais à metade dos acima fixados. Esse efeito favorável, todavia, não pode ser superior à metade da força longitudinal total. D e s lo c a m e n to d a s F u n d a ç õ e s 16. Em estruturas sensíveis a deslocamentos das fundações e apoiadas em terrenos onde estes possam ocorrer, deve ser levado em consideração o respectivo efeito no cálculo dos esforços. E m p u x o d e T e rra 17. No cálculo dos pilares, paredes, encontros e cortinas será levado em conta o empuxo ativo nas situações mais desfavoráveis para os esforços totais, só se permitindo tomar em consideração o empuxo passivo no caso de encontro com paredes ou cortinas fixadas por tirantes. Permite-se prescindir de estudo mais rigoroso de distribuição de pressões da terra sobre os pilares, desde que seja adotada para o cálculo do empuxo uma largura fictícia igual a 3 vezes a largura do pilar. E m p u x o (T Á g u a 18. No cálculo dos pilares, paredes e encontros serão considerados o empuxo d’água e a subpressão nas situações mais desfavoráveis para os esforços totais. Nos casos de cursos d’água que transportem madeira ou outro material que possa causar obstrução na seção de vazão deverá ser considerado o aumento de esforços que disto resulte, se não forem tomadas providências que evitem a influência direta sobre a estrutura. G u a rd a -C o rp o 19. O guarda-corpo das pontes será calculado para resistir a um esforço horizontal de 80kg/m aplicado no corrimão. P r o t e ç ã o d o s P il a r e s o u P a r e d e s 20. Os pilares ou paredes de pontes sobre estradas de rodagem deverão ser convenientemente protegidos contra o choque de veículos. B — LAJES C o n d iç õ e s G e r a is 21. Às lajes aplica-se o disposto nos Itens 9, 10, 11 e 16 [Alínea (a)] da NB1. Nas lajes apoiadas em vigas sujeitas a recalques apreciáveis deve-se con­ siderar a influência destes. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 407 D is tr ib u iç ã o d a s C a r g a s 22. Supõe-se que as cargas concentradas ou parcialmente distribuídas se estendam nas direções longitudinal e transversal segundo um angulo de 45° até a superfície média da placa. a) b) Para as pontes rodoviárias as dimensões do retângulo de contato são as definidas na NB6. Para as pontes ferroviárias, a superfície de carga correspondente a cada roda, medida na face interior do dormente, é um retângulo de 25 cm na direção longitudinal e 60 cm na direção transversal ao tráfego. A borda da superfície de carga assim obtida ao nível da superfície média da, placa, não poderá ultrapassar a metade da distância à carga mais próxima em qualquer direção. L a je s S im p le s 23. As lajes simples (não-contínuas) devem ser calculadas pela teoria das placas, no regime elástico, ou no regime de ruptura de acordo com o Item 14 da NB1, Alínea (c). Nas lajes retangulares permite-se o emprego do processo aproximado baseado na teoria elástica das placas, com o coeficiente de Poisson igual a zero. Se a rela­ ção entre o lado maior e o menor for maior que 2, deve-se acrescentar, em cada ponto, ao menor momento, 1/6 da diferença entre os dois momentos. No caso de lajes retangulares apoiadas só em dois lados opostos o coeficiente 1/6 deve ser substituído pelo coeficiente 4 — k 1 ------ , onde 16k + 6 o não apoiado, não se tomando valores de k k é a relação do lado apoiado para superiores a 1,5 nem inferiores a 0,25. L a je s C o n tín u a s 24. No cálculo de lajes contínuas — apoiadas em vigas no seu contorno, não sujeitas a deslocamentos angulares apreciáveis, de vãos iguais ou em que o menor vão não seja inferior, em cada direção, a 70 % do maior — permite-se adotar o seguinte processo aproximado. No contorno de cada painel de laje dispor-se-á armadura superior unifor­ memente distribuída, de modo que a peça não fique superarmada. O momento de ruptura correspondente será designado por “momento de borda” ( M b > 0) e deverá estar entre os limites adiante estabelecidos. O cálculo de cada painel é feito isoladamente, com as cargas multiplicadas pelos respectivos coeficientes de segurança, como se fosse livre o apoio de suas bordas sobre as vigas, modificados apenas os momentos fletores M0 achados, como a seguir se expõe: — Nos trechos em que M 0 < M b, considerar-se-ão momentos negativos M = M0 - M b. 408 — PONTES EM CONCRETO ARMADO — Nos trechos em que M 0 > 0,6 M b, considerar-se-ão momentos positivos M = M - 0,6 M .. O 9 D A armadura superior ao longo das bordas será a que leve o valor de M b entre 1/2 e 2/3 do máximo M o da placa, mas não excedendo 3/4 do maior M 0 que se verifica na direção perpendicular à daquele momento máximo. Havendo placa ou balanço adjacente à placa considerada, que obrigue a existência de armadura maior que a do limite superior especificado, colocar-se-á armadura igual em todo o seu contorno, mas no cálculo dos momentos positivos não se considerará valor de M b maior que o correspondente a esse limite. Para lajes contínuas só em uma direção e que não se apoiem em vigas para­ lelas a essa direção também se pode aplicar o cálculo aproximado citado, usandose armadura superior sobre as vigas de apoio que leve a M b entre 1/2 e 2/3 do máximo M o. A armadura transversal será calculada com o critério do Item 23. G r e lh a s 25. Os tabuleiros com três ou mais vigas principais devem ser calculados como grelhas, permitindo-se o emprego de processos de cálculo aproximados. V ig a s S e c u n d á r ia s 26. Às vigas secundárias, não computadas no efeito de grelha, aplica-se o disposto nos Itens 9, 17, 19 e nas Alíneas (a) e (c) do Item 20 da NB1. As vigas transversais, nos tabuleiros de duas vigas principais, devem ser cal­ culadas como se fossem livremente apoiadas, armando-se ainda, na proximidade dos apoios, para momento fletor negativo igual a 1/3 e para momento fletor positivo igual a 1/4 do máximo momento fletor positivo. V ig a s P r in c ip a is 27. Às vigas principais aplica-se o disposto no Item 19 NB1. Considera-se como vão teórico da viga principal a distância entre os centros dos apoios. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 409 Só se calcularão como livremente apoiadas as vigas principais cujos apoios possuem dispositivos que assegurem sua livre rotação e translação, se for o caso. Deve ser considerada no cálculo, a variação do momento de inércia das vigas principais. D — ARCOS E ABÓBADAS V ã o T e ó r ic o 28. Considera-se vão teórico: De arco ou abóbada com articulações de imposta: a distância horizontal entre elas. b ) De arco ou abóbada engastada: a distância entre os centros de gravidade das seções transversais nas nascenças. c) De abóbadas esconsas: o vão medido segundo o eixo longitudinal da obra. a) E n g a s ta m e n to n a s I m p o s ta s 29. No cálculo de arcos e abóbadas sem articulação nas impostas somente se considerará engastamento perfeito quando a fundação seja suficientemente indeformável. Nos arcos e abóbadas contínuas sobre pilares de grande altura deve ser considerada a deformabilidade destes. C o n tr ib u iç ã o d o T a b u le ir o 30. É obrigatório considerar a influência mútua entre o tabuleiro e os arcos ou a abóbada, salvo se o momento de inércia médio das vigas longitudinais do tabuleiro for menor que metade do momento de inércia médio dos arcos ou da abóbada. Para efeito deste item considera-se momento do inércia médio, a média aritmética dos momentos de inércia das seções, nas extremidades, no meio e nos quartos. E s c o n s id a d e 31. Devem ser considerados os esforços oriundos da esconsidade da estru­ tura, sempre que ela ultrapasse 25°. E — ARTICULAÇÕES PENDULARES I n c lin a ç ã o d a s C a r g a s 32. Havendo articulações pendulares, deve-se levar em euiua, no cálculo dos pilares, encontros e respectivas fundações, a inclinação das cargas suportadas 410 — PONTES EM CONCRETO ARMADO e transmitidas pelos pêndulos, em conseqüência do deslocamento longitudinal das vigas. CAPÍTULO III Esforços Resistentes C o n d iç õ e s G e r a is 33. Os esforços resistentes, as deformações elásticas e as grandezas hiperestáticas serão calculados de acordo com os Itens 22 a 32 da NB1. F la m b a g e m d e A r c o s e A b ó b a d a s 34. O coeficiente de segurança à flambagem de arcos ou abóbadas não deve ser menor que 3. No cálculo da flambagem do arco é permitido, na falta de cálculo mais rigoroso, no qual se pode considerar o efeito favorável do tabuleiro superior, assimilá-lo a peça reta carregada axialmente pelo empuxo (componente da reação de apoio na direção da linha que une as impostas), com seção trans­ versal de área e momento de inércia às médias geométricas das áreas e dos mo­ mentos de inércia na imposta, no rim e no fecho, e comprimento de flambagem assim calculado: Para arcos engastados lf l = 0,35 L . b ) Para arcos articulados nas duas impostas: l fl = 0,50 L. c) Para arcos articulados nas duas impostas e no fecho: lf l = 0,58 L, onde L é a soma das cordas que uniriam as impostas ao fecho de um arco de flecha dupla. a) A rco s-P a red es 35. No caso de arcos-paredes, admite-se a substituição dos contornos poligonais por figuras inscritas, desde que se justifique estar considerada a parte operante da seção. CAPÍTULO IV Disposições Construtivas A — SEÇÃO TRANSVERSAL DA ARMADURA C o n d iç õ e s G e r a is 36. À seção transversal da armadura aplica-se o disposto nos Itens 34, 35 e 36 da NB1. CALCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 411 A rco s e A bóbadas 37. Nos arcos e abóbadas, as armaduras longitudinais, superior e inferior, devem alcançar no mínimo 6 cm2 cada uma, para cada metro de largura, e em conjunto, no mínimo 0,1 % da seção de concreto. A armadura transversal nas abóbadas será no mínimo de 3 cm2 em cada face, por metro de extensão medido ao longo do eixo. B — ESPAÇAMENTO DAS BARRAS DA ARMADURA C o n d iç õ e s G e r a is 38. Ao espaçamento da armadura aplica-se o disposto nos Itens 37, 38 e 40 da NB1. A rco s e A bóbadas 39. Nos arcos ao espaçamento das barras da armadura aplica-se o disposto no Item 37 da NB1 e, ao espaçamento dos estribos, o disposto no Item 39 da NB 1. O espaçamento máximo das barras da armadura longitudinal das abóbadas será de 2/3 da espessura destas, não podendo exceder, porém, 50 cm. O máximo espaçamento das barras da armadura transversal será de 1,5 vezes a espessura da abóbada, porém nunca superior a 50 cm. Nos pontos de ligação com as colunas, dever-se-á dispor de maior número de barras de distribuição nas faces superior e inferior de modo a constituir uma viga de apoio O espaçamento dos estribos será no mínimo igual ao das barras de distribuição. C — PROTEÇÃO DA ARMADURA C o n d iç õ e s G e r a is 40. Aplica-se à proteção da armadura o disposto nos Itens 41 e 42 da NB 1. O cobrimento das armaduras principais não deve, porém, ser menor que o diâ­ metro das barras respectivas. D — DOBRAMENTO E FIXAÇÃO DAS BARRAS DA ARMADURA C o n d iç õ e s G e r a is 41. Aplica-se o disposto nos Itens 43, 44, 45 e 46 da NB1. E — EMENDAS DAS BARRAS DE ARMADURA C o n d iç õ e s G e r a is 42. Aplica-se às emendas das barras o disposto nos Itens 47, 48, 49, 50 e 51 da NB1. 412 — PONTES EM CONCRETO ARMADO F — CANALIZAÇÕES C o n d iç õ e s G e r a is 43. Aplica-se às canalizações o disposto no Item 52 da NB1. G — DIMENSÕES EXTERNAS DAS PEÇAS C o n d iç õ e s G e r a is 4. Aplica-se às dimensões externas das peças o disposto nos Itens 54, 57 e 58 da NB1. E s p e s s u r a d a s L a je s 45. A espessura das lajes destinadas à passagem de veículos não deve ser menor que 12 cm. Em lajes cogumelo e nas pontes ferroviárias sem lastro esse limite deve ser elevado para 20 cm. L a r g u r a d a s V ig a s 46. As vigas retangulares e as nervuras das vigas menor que 15 cm. T não devem ter largura H — REVESTIMENTO E JUNTAS DE DILATAÇÃO I m p e r m e a b iliz a ç ã o e D r e n a g e m 47. O tabuleiro das pontes e as faces das abóbadas e tímpanos em contato com enchimento permeável devem ser impermeabilizados e drenados. Também as juntas de dilatação terão dispositivos adequados de impermea­ bilização e drenagem. P a v im e n ta ç ã o 48. O tabuleiro das pontes rodoviárias deve ter pavimentação adequada provida de juntas convenientemente dispostas. J u n ta s d e D ila ta ç ã o 49. Quando houver juntas transversais de dilatação, nos tabuleiros das pontes em arco serão elas verticais e situadas em lugares consentâneos com a forma e o comprimento da estrutura. Nos tímpanos das abóbadas, quando não constituírem elemento de estrutura celular, heverá juntas de dilatação verticais, localizadas próximas aos encontros e pilares e em seções intermediárias afastadas, no máximo, de 10 m. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 413 Nas extremidades do tabuleiro e nas juntas de dilatação devem ser colocados dispositivos protetores. Exige-se que nas entradas das pontes sejam adotadas medidas que evitem o choque das rodas contra seu tabuleiro, decorrente de recalque do pavimento da estrada, junto à ponte. CAPÍTULO V Execução das O bras e Ensaios C o n d iç õ e s G e r a is 50. À execução das pontes de concreto armado e aos seus ensaios aplica-se o disposto nos Itens 59, 60 e 62 a 79 da NB1. O prescrito no Art. 74 da NB1 aplica-se obrigatoriamente a pontes com mais de 15 m de vão. Não se usarão cargas de prova maiores do que as previstas no projeto. P la n o e J u n ta s d e C o n c r e ta g e n s 51. Nenhuma obra com mais de 15 m de vão poderá ser executada sem um plano de concretagem. A concretagem de arcos e abóbadas de vão superior a 15 m poderá ser feita em camadas ou em toda altura. Em qualquer dos casos a concretagem deverá ser feita por aduelas executadas sem interrupção e limitadas por planos normais ao eixo do arco. Nas abóbadas de grande largura permite-se juntas longitudinais verticais paralelas ao eixo longitudinal da ponte. As juntas das nascenças das abóbadas esconsas devem consistir em uma série de degraus normais à direção do arco, prevendo-se as armaduras necessárias à absorção dos esforços transversais. As vigas de grande altura deverão, também, ser concretadas por trechos limi­ tados por planos normais ao seu eixo e dispostos, de preferência, nos pontos menos solicitados. Deverão ser considerados os efeitos desfavoráveis das diferenças de retração. Quando o escoramento estiver sujeito a grandes deformações, as aduelas nos arcos e abóbadas e os trechos das vigas deverão guardar uma distância regular a ser concretada futuramente. C o n tr a f le c h a 52. As formas devem ser executadas com uma contraflecha, prevista no projeto, tal que, retirado o escoramento, a estrutura, na temperatura média e sob a ação da carga permanente total depois de terminada a retração e a'deformação lenta, adquira a forma prevista no projeto. 53. Nenhuma concretagem se fará sem conhecimento dos resultados dos ensaios do concreto a ser usado na obra. 414 — PONTES EM CONCRETO ARMADO D e s c im b r a m e n to 54. As operações de descimbramento serão efetuadas sem choque, de acordo com plano previamente estabelecido, e se prolongarão até que a estrutura entre plenamente em carga pelo peso próprio; sempre que preciso, far-se-á o controle experimental dessas operações, medindo-se as flechas e as tensões ocorrentes na estrutura no decurso do descimbramento. Durante o descimbramento devem-se evitar esforços não previstos no cálculo da estrutura. CAPÍTULO VI M ateriais C o n d iç õ e s G e r a is 55. Será obedecido o disposto no Cap. VI da NB1, não se admitindo, po­ rém, dosagem empírica, nem concreto com fator água/cimento maior que 0,65. CAPÍTULO VII Coeficiente de Segurança e Tensões Admissíveis A — COEFICIENTES DE SEGURANÇA (ESTÁDIO III) P e ç a s C a lc u la d a s e m F u n ç ã o d a C a r g a d e R u p tu r a 56. Nos casos de peças calculadas em função da carga de ruptura os coefi­ cientes üe segurança serão os seguintes: a) Peças solicitadas à flexão simples ou composta (Item 25 da NB1): y = 1,65 para todas as cargas permanentes e para os esforços devidos à retração, à temperatura, à deformação lenta, ao deslocamento das fundações e ao empuxo de terra ou água; y = 2,00 para a carga móvel definida na NB6 e NB7, o impacto lateral, a força longitudinal, a força centrífuga e o vento, considerando-se além disso o coeficiente de impacto vertical (Item 7 desta Norma). b) Peça solicitada à compressão axial (Itens 23 e 32 da NB1) e à tração axial (Item 24 da NB1): y = 2,00 para todas as cargas permanentes e para os esforços devidos à retração, à temperatura, à deformação lenta, ao deslocamento das fundações e ao empuxo de terra ou água; I CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 415 y = 2,40 para a carga móvel definida na NB6 e NB7, o impacto lateral, a a força longitudinal, a força centrífuga e o vento, considerando-se além disso, o coeficiente de impacto vertical (Item 7 desta Norma). Nos casos previstos no Item 42 da NB1, esses coeficientes de segurança serão multiplicados por 1,2. B — TENSÕES ADMISSÍVEIS F le x ã o S im p le s e C o m p o s ta (E s tá d i o I I ) e A r m a d u r a D e s tin a d a a R e s i s t i r a o s E s fo r ç o s d e T ra ç ã o O r iu n d o s d a F o r ç a C o r ta n t e e d a T o rç ã o . 57. As tensões admissíveis para as peças solicitadas à flexão simples ou composta, quando calculadas no estádio II serão as seguintes, devendo-se pre­ viamente multiplicar por 1,2 a carga móvel definida na NB6 e NB7, o impacto lateral, a força longitudinal, a força centrífuga e o vento, considerando-se além disso o coeficiente de impacto vertical (Item 7 desta Norma): a) Concreto (tensão na borda da seção transversal, respeitado o disposto no final do primeiro parágrafo do Item 25 da NB1); < 110 kg/cm2. C b) Aço (tensões de tração, inclusive para o cálculo das armaduras destinadas a resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante e da torção): Aço Aço Aço Aço 37-CA: 50-CA: CA-T40: CA-T50: of of 2 2 5 kg/cm2, permite-se elevar os limites de 150 kg/cm2 e 180 kg/cm2 prescritos no parágrafo anterior para 1,5 < 300 kg/cm2. Nos blocos de apoio e nas articulações acima referidas deve ser disposta armadura para resistir a todos os esforços de tração. CÁLCULO E EXECUÇÃO DE PONTES EM CONCRETO ARMADO — 417 C — FISSURAÇÀO S e g u r a n ç a C o n tr a F is s u r a ç ã o N o c iv a 61. Nos casos em que forem empregadas armaduras de aço CA-50A, CA-40B ou CA-50B, é necessário demonstrar a segurança da peça contra fissu­ ração nociva, segundo as condições impostas no final do Item 86 da NB1. Dispensa-se esta demonstração se o diâmetro das barras, expresso em centíA metros, for inferior ou no máximo igual a 300 , ■? para peças solicitadas à fleb 0h xão simples ou composta, e a 60 A ----- para peças solicitadas à tração axial, sendo a largura média da zona tracionada da seção transversal. Nos casos de armaduras constituídas por barras de diâmetros diferentes, por feixes de barras, ou por barras de seção não circular considerar-se-á como diâmetro das barras, para os efeitos deste item, o valor b0 u, Quando as barras da armadura de tração que não tiverem sido dobradas para resistir aos esforços de tração oriundos do cisalhamento forem prolongadas até o apoio ou até a zona de compressão e aí ancoradas, basta verificar se o diâ­ metro das barras satisfaz aos limites estabelecidos neste item nas seções mais solicitadas (nos vãos e sobre os apoios). Nos casos em que o diâmetro das barras for superior ao limite estabelecido neste item, poder-se-á também dispensar a demonstração da segurança contra a fissuração, desde que os coeficientes de segurança sejam convenientemente aumentados, ou as tensões admissíveis reduzidas, inclusive para o cálculo das barras dobradas destinadas a resistir aos esforços de tração oriundos do cisa­ lhamento. O fator de aumento do coeficiente de segurança ou de redução das tensões admissíveis na armadura será pelo menos igual à raiz quadrada da relação entre o diâmetro adotado e o diâmetro limite definido neste item. CARGAS MÓVEIS EM PONTES RODOVIÁRIAS NB6(1960) O b je tiv o 1. Esta Norma fixa a carga móvel a ser considerada no cálculo das pontes rodoviárias. C la s s e s 2. Quanto às cargas prescritas nesta Norma, as pontes classificam-se em: Classe 36 — Em rodovias de características da Classe I. Classe 24 — Em rodovias de características da Classe II. Classe 12 — Em rodovias de características da Classe III. Para pontes urbanas comtrilhos ou para pontes de caráter estratégico, turístico ou de outra qualquer finalidade, a carga móvel poderá se fixada em norma especial redigida pelos órgãos competentes. T r e n s - T ip o s 3. Os trens-tipos compõem-se de um veículo e de cargas uniformemente distribuídas constantes do Quadro A, e dispostos como se prescreve nos itens seguintes. 4. Os veículos são de três tipos com os característicos do Quadro B. A área ocupada pelo veículo é suposta retangular, com 3,0 m de largura e 6,0 de comprimento. CARGAS MÕVEIS E M PONTES RODOVIÁRIAS _ 419 C a r g a s U n if o r m e m e n te D is t r ib u í d a s 5. As cargas uniformemente distribuídas serão de intensidade p e p . D is p o s iç ã o d a s C a r g a s 6. O trem-tipo, sempre orientado na direção do tráfego, será colocado na posição mais desfavorável para o cálculo de cada elemento, não se considerando a carga do eixo ou da roda que produza redução de esforços solicitantes. Para o cálculo de placas, longarinas e transversinas junto às bordas do estrado é obrigatório encostar a roda ao guarda-roda. A carga p será aplicada na faixa longitudinal correspondente ao veículo na parte não ocupada por este, e a carga p ' na parte restante da pista de rolamento e nos passeios. Não se carregarão os guarda-rodas que tenham, no máximo, 75 cm de largura útil e, no mínimo, 25 cm de altura a partir da borda da pavimentação da pista de rolamento. O guarda-roda deverá ser verificado para uma força horizontal concentrada de intensidade igual ao peso da roda do veículo aplicada na aresta superior do guarda-roda suposta atuando em uma extensão igual a 100 cm. Quando se tratar de pontes com refúgios centrais elevados, em rodovias de mais de uma pista, é obrigatório o carregamento dessa área, com a carga p'. QUADRO (A) C arga V e ic u lo C la s s e U n if o r m e m e n te C la s s e D is tr ib u íd a da P o n te T ip o P e so T o ta l P P’ D is p o s i ç ã o (D (kg/m2) (kg/m2) da C a rg a 36 36 36 500 300 24 24 24 400 300 12 12 12 300 300 Carga p à frente e atrás do veículo. Carga p ‘ no restante da pista e passeios. R o d o v ia Classe I Classe II Classe III — PONTES EM CONCRETO ARMADO QUADRO (B) b. Tipo Tipo 36 24 12 t t t 3 24 4 4 4 2 12 2 4 t 3 36 6 6 6 m 0,45 0,35 0,20 m 0,45 0,35 0,30 m 0,45 0,35 - m m 0,20 0,20 x b 1,50 0,20 0,20 x b 1,50 0,20 0,20 x b 3,00 m 2,00 2,00 2,00 áxo Quantidade de eixos Peso total do veículo Peso de cada roda dianteira Peso de cada roda traseira Peso de cada roda intermediária Largura de contato dianteira Largura de contato traseira Laigura de contato intermediária Tipo de cada roda b3 de cada roda b2 de cada roda Comprimento de contato de cada roda Área de contato de cada roda Distância entre os eixos Distância entre os centros de roda de cada eixo m2 Y Yl TIPOS 36 E 24 h i r T F ^ - R i T T nr — O O ro TIPO 12 H— 1-----------------------------------------------j -------------------------- T O Q -CsJ 1 M 4 L j- —1------------------ ’----------H 6.00 J 1 3.00 420 CARGAS MÓVEIS EM PONTES RODOVIÁRIAS — 421 S i m p l i f i c a ç ã o d e C á lc u lo 7. No cálculo dos arcos ou vigas principais, permite-se desprezar o efeito de redistribuição das cargas causado pelas vigas secundárias. No cálculo dos arcos ou vigas principais, com 30 m ou mais de vão, permi­ te-se, ainda, substituir a carga concentrada do veículo, por carga igual, mas unifor­ memente distribuída sobre a área retangular ocupada pelo mesmo. C a r a c te r ís t ic a d a C la s s e d a P o n te 8. As pontes executadas de acordo com as cargas determinadas na presente Norma, deverão possuir, em lugar bem visível, uma placa com indicação da classe da ponte correspondente — peso total, em toneladas, do veículo mais pesado considerado no cálculo da estrutura — obedecendo tal sinalização ao que se acha contido no Ouadro C. Quadro ( C ) (Modelo do sinal de indicação dos característicos principais da ponte) ti PONTE SOBRE O RIO PARAÍBA COMPR. 430 m CLASSE 1.00 36 in co Ó CARGAS MÓVEIS EM PONTES FERROVIÁRIAS NB7Ü943) O b je ti v o Art. 1 — Esta Norma fixa os trens-tipos que constituem a carga móvel a ser considerada no cálculo das pontes ferroviárias. T r e n s -T ip o s Art. 2 — Os trens-tipos brasileiros TB apresentam os característicos cons­ tantes da figura anexa e do quadro seguinte: C a r g a p o r E ix o e m TB - 32 TB-27 TB - 20 TB - 16 2 40 I 50 I 50 I 50 2 70 t C a r g a D is tr ib u íd a e m Pl Pi P3 P 32 27 20 16 16 14 10 8 21 18 15 11 10 9 6 5 150 I 80 150 2 40 2 40 150 I 50 150 2 70 150 t/m 180 150 150 L in h a s T r o n c o Art. 3 — As obras novas, em linhas tronco e ligações principais, serão calculadas para o TB-32, nas linhas de bitola larga (l,60m) e para o TB-20 nas de bitola métrica (1,00 m). CARGAS MOVEIS EM PONTES FERROVIÁRIAS — 423 No projeto de vigas apoiadas, até 15 m de vão teórico e de fácil substituição, permite-se, nas linhas de bitola larga, o uso do TB-27. Nas linhas de bitola métrica com tráfego escessivamente pesado, como de trens de minérios, as cargas devem ser aumentadas, no mínimo, de 25%. L in h a s S u b s id iá r ia s P r in c ip a is Art. 4 — As obras novas, em linhas subsidiárias principais, serão calculadas para o TB-27 nas linhas de bitola larga (1,60 m) e para o TB-16 nas de bitola métrica (1,00 m). L in h a s S u b s id iá r ia s S e c u n d á r ia s Art. 5 — As obras novas, em linhas subsidiárias secundárias, podem ser ser calculadas para o trem-tipo correspondente à locomotiva mais pesada nelas em tráfego. R e f o r ç o d e O b r a s E x is t e n te s Art. 6 —- Para o cálculo do reforço de obras existentes, deve-se adotar o trem-tipo correspondente ao caso de obras novas, podendo-se, porém, reduzir as respectivas cargas até 20%, no máximo. PONTES E VIADUTOS FERROVIÁRIOS. CARGAS PARA PROJETO. PNB 428 (1974) 1. OBJETIVO E CAMPO DE APLICAÇÃO 1.1 — Esta Norma tem por objetivo fixar o modo de se avaliar as cargas a serem recomendadas nos projetos de pontes e viadutos para via férrea. 2. DEFINIÇÕES 2.1 — Para fins desta Norma, observa-se a Terminologia Brasileira, em especial a TB-131. 3. CONDIÇÕES GERAIS 3.1 — Para o projeto de pontes e viadutos ferroviários, devem ser considederadas as solicitações provenientes de: carga permanente; b ) carga móvel; c) pressão do vento; d ) empuxo de terra; e) empuxo de água; f ) força no guarda-corpo; g ) foiça de protensão. a) 3.1.1 Outros agentes de solicitações, tais como, a fo ça de atrito nos apoios, a variação de temperatura, a deformação lenta e a retração do concreto, a fluência, a relaxação e a fadiga do aço, os deslocamentos dos apoios e as defor­ mações de montagem ou de fabricação, devem ser considerados de acordo com as prescrições em vigor para cada caso. PONTES E VIADUTOS FERROVIÁRIOS — 425 4. CONDIÇÕES ESPECÍFICAS 4.1 CARGA PERMANENTE 4.1.1 — A carga permanente é constituída pelo peso próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas, tais como: trilhos; b) dormentes; c) lastro ; d) sobrecargas eventuais. a) 4.1.2 — As massas específicas dos materiais que constituem a carga per­ manente devem ser consideradas, quando não especificadas por órgão compe­ tente, conforme a fab. I. TABELA I Massas Específicas a Considerar. M ateriais M a ssa E specífica (t/m 3) Aço estrutural e de trilhos 7,850 Concreto Armado 2,400 Concreto simples 2,200 Dormentes de madeira 1,250 Lastro de pedra 1,700 4.1.3 — O peso próprio, inicialmente estimado não deve diferir do peso próprio avaliado depois do dimensionamento da estrutura das percentagens indicadas : — obras de concreto.............................. 5% — obras de aço ...................................... 4.2 4.2.1 2% . CARGA MÓVEL Trem tipo 4.2.1.1 — Os trens-tipo são os fixados na NB7. 4.2.1.2 — O trem-tipo deve ser posicionado, sem fracionamento, na situa­ ção mais destavorável para o efeito a ser considerado. 426 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4.2.2 Impacto vertical 4.2.2.1 — Para levar em conta o acréscimo devido ao impacto no cálculo dos esforços solicitantes, o trem-tipo deve ser multiplicado pelos seguintes coefi­ cientes (ver NB2): (p = 0,001(1 600 - 60 y f l + 2,25 l) > 1,2. 4.2.3 Impacto lateral 4.2.3.1 — O impacto lateral é equiparado a uma força horizontal, normal ao eixo da linha e atuando no topo do trilho como carga móvel concentrada, de intensidade igual a 20% da carga do eixo mais pesado. 4.2.3.2 — Em pontes curvas em planta, não se soma o efeito do impacto lateral ao da força centrífuga, devendo-se considerar o mais desfavorável. 4.2.4 Força longitudinal 4.2.4.1 — A força longitudinal, em cada via, devido à frenaçâo ou à acele­ ração do trem, é considerada aplicada nos topos dos trilhos, sem impacto e igual ao maior dos seguintes valores: — 15% para carga móvel para frenaçâo; — 25 % do peso total sobre os eixos motores, para o esforço de aceleração. 4.2.5 Força centrífuga 4.2.5.1 — Nas pontes em curva, a força centrífuga é considerada atuando no centro de gravidade do trem. suposto a 1.60 m acima do topo dos trilhos e avaliada em percentagem da carga móvel acrescida do impacto vertical, com os valores indicados na Tab. II TABELA II -----------------------y------Bitola M étrica B itola Larga 1,60 e l,435m % raio de curvatura r( m) 12 1 200 < 1 000 r > 1 000 l,00m V /o 4 8' 800 r raio de curvatura r(m) < 600 > 600 4.3 4.3.1 — A pressão do vento sobre a ponte, cpnsiderada agindo horizontal­ mente em direção normal ao seu eixo, é avaiiada em 1 500N/m2 (150kgf/m2), para ponte descarregada, e 1.000 N/m2 (100kgf/m2) para a ponte carregada. PONTES E VIADUTOS FERROVIÁRIOS — 427 4.3.1.1 — No caso de regiões sujeitas a ventos, especialmente violentos, devem ser adotados valores compatíveis com as circunstâncias locais. 4.3.2 — A superfície de incidência do vento a considerar é a projeção d estrutura no plano normal à direção do mesmo, acrescida de uma faixa limitada, superiormente, por uma linha paralela ao estrado e distante 3,50 m da superfície de rolamento do trilho. 4.4 EMPUXO DE TERRA 4.4.1 — No cálculo dos pilares, paredes, encontros e cortinas, deve ser levado em conta o empuxo de natureza compatível com a deslocabilidade da estrutura, nas situações mais desfavoráveis para os esforços totais. 4.4.2 — O empuxo passivo só pode ser levado em consideração no caso de encontro com paredes ou cortinas fixadas por tirantes. 4.4.3 — No caso de pressão de terra soore o pilar, permite-se proscindir de estudo da distribuição desta pressão, desde que seja adotada para o cálculo do empuxo uma largura fictícia igual a 3 vezes a largura do pilar. 4.5 EMPUXO DE ÁGUA 4.5.1 — No cálculo dos pilares, paredes e encontros devem ser considerados o empuxo da água é a subpressão nas situações mais desfavoráveis para os efeitos totais. 4.5.2 — Nos casos de cursos d’água que transportem madeira ou outro material que possa causar obstrução na seção de vazão ou impacto sobre a estrutura, se não forem tomadas providências que evitem a influência direta sobre a obra, deve ser considerado o aumento de esforços que disto resulta. 4.6 FORÇA NO GUARDA-CORPO 4.6.1 — O guarda-corpo é calculado para resistir a um esforço horizontal de 800 N/m (80 kgf/m) aplicado no corrimão. 4.7 FORÇAS DE PROTENSÃO 4.7.1 — Devem ser consideradas, em cada fase. inclusive durante a execu­ ção, as perdas de tensão na armadura de protensão devidas à: * a) ti) c) d) deformação lenta e à retração do concreto; fluência e relaxação do aço; atrito entre a armadura e a bainha; deslizamento e deformações locais nas ancoragens. CEB (COMITÉ EURO INTERNATIONAL DU BETON)-TRAFFIC LOADS O N HIGHWAY BRIDGES, BULLETIN D’INFORMATION N : 117 F, 1976 (based on a draft prepared by the European Convention for Structural Steelwork) 1. D e f in itio n o f b r i d g e c la s s e s Highway bridges are divided into three classes depending on the kind of road traffic they are meant for: Class 600 Class 300 Class 120. The three classes are characterised by the different values of traffic load defined in section 2. Class 600 covers all heavy convoys as well as exceptional convoys provided the distance betwee n axis is sufficient. 2. V a lu e s o f t r a f f i c lo a d s The loading on highway bridges is the result of the simultaneous action of: an evenly distributed moving load p of 3,5 kN per horizontal square meter affecting the whole or a part of the deck according to the most unfavourable distri­ bution for the considered element. This load is not applied under the isolated special vehicle referred to below. a ' — an isolated special vehicle of total weight P , the longitudinal axis of which is always parallel to the axis of the roadway. The composition of this vehicle is given in the table and figure below. It can be anywhere on the usable part of the deck in order to determine the most unfavourable effect on the considered element. * ’ in many cases, e.g. for main girders, p may be applied also in this area, with corresponding reduction of P. CEB (COMITÊ EURO-INTERNATIONAL DU BETON) — 429 These values of the moving loads of bridges. cla ss to ta l w e ig h t b rid g e />[kNJ 600 300 120 600 300 120 Í [ [ 1 3. '-80 k ] p and P are only valid for the statical analysis p er w heel P ,Lk NJ P,[kN] [kN/m2] 200 100 40 50 25 10 3,5 3,5 3,5 p e r a x is P ] cb ] c ip tji ? _______ 5 ________ Ï _________ 0,20 f 1,50 >f ° 5 0 — i [m j I m p a c t c o e ff ic ie n t In order to take into consideration the increased stresses due to shocks or vibrations caused by traffic loads P, these latter are to be multiplied by an impact coefficient (p. The value of the impact coefficient is (p = 1,4 - 0,008 / (tp ^ 1) where / is the span in m of the considered element. In the case of elements on multiple supports, the span / to consider is the mean value lm of the different spans. In the case of longitudinal stiffeners of orthotropic plates, the span l to consider is equal to the span between the main girders. Note: The impact coefficient tp applies only to the traffic load P; as for the traffic load p = 3,5 kN/m2, it is assumed that the bridge is loaded by vehicles on me whole deck surface. In this case, these vehicles are moving at very low speed or are stopped, and the impact coefficient makes no more sense. 430 — PONTES EM CONCRETO ARMADO 4. R e d u c tio n o f t h e ' t r a f f i c lo a d s 4.1. R e d u c tio n in th e c a s e o f lo n g b r id g e s A reduction factor x can be applied to the evenly distributed traffic load so as to take into account the fact that the probability of having the maximum loading, described in section 2, decreases in function of the length of the bridge. This factor has the value p X 80 = 0,6 + 4000 (/*)2 l* where l* is the length of the influence line to be considered. The factor applied when l* > 100 m. 4.2 x is only R e d u c tio n in th e c a s e o f la r g e b r id g e s Whenever a bridge offers more than two lanes in the same direction, the loading to consider for each lane is shown in the following figures. a) for the analysis of the deck and of elements perpendicularly to the longi­ tudinal axis of the bridge. foot way 3.50 or a wheel 50 kN b) |9* 2nd 3.50 3.50 3rd 3.50 foot way ■ 4th carriage-way 3.50 3.50 3.50 or Ja 3.50 wheel 50kN 3.50 3.50 3.50 or a wheel 50 kN for the analysis of main girder, traffic load q in kN/m2 When there are more than two lanes in the same direction, the moving load for the 3rd and 4th lane may be reduced to p* = 1,80kN/m2, placed in the most unfavourable transverse position. p 5. A d d it io n a l a c ti o n d u e to b r a k in g The additional action due to braking (along the longitudinal axis of the bridge) corresponds to the maximum of the two following values: H, = 200 kN CEB (COMITÊ EURO-INTERNATIONAL DU BETON) — 431 H, where f f A p is the area of the deck the evenly distributed load. 1 20 p ■A BIBLIOGRAFIA 1. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS 1.1 1.2 1.3 1.4 15 NB1/1977 — P ro je to e E x e c u ç ã o d e O b ra s d e C o n c re to A r m a d o NB2/1961 — C á lcu lo e E x e c u ç ã o d e P o n te s d e C o n c re to A r m a d o NB6/1960 — C a rg a s M ó v e is e m P o n te s R o d o v iá r ia s NB7/1943 — C a rg a s M ó v e is e m P o n te s F e rro v iá ria s NB428/74 — C a rg a s p a r a p r o je to d e p o n te s e v ia d u to s fe r r o v iá r io s m ! 1^77 ~ .7 NB20/69 — 1 7 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 P ro je to e E x e c u ç ã o d e F u n d a ç õ e s P ro v a d e c a rg a à c o m p r e ss ã o d e e s ta c a s v e rtica is COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BETON (CEB) R e c o m m a n d a tio n s in te rn a tio n a le s p o u r le c a lc u l e t , ’e x e c u tio n des o u v ra g e s en b é to n (1972), S p e c ia ! re c o m m e n d a tio n s f o r th e d esig n a n d c o n s tru c tio n o f fo u n d a tio n sla b s B u c k lin g M a n u a l, 1974 B u lle tin d ’in fo r m a tio n 117F, 1976 C o d e M o d e le C E B - F I P p o u r les s tr u c tu r e s en b e to n . 3. édition 1978 des Recommandations Inter­ nationales CEB-FIP cS ' ia I s h TO)“ ^ ' ^ 0/ S r ATE HIGHWAY AND TRANSPORTATION OFF1- 4. AMERICAN RAILWAY ENGINEERING ASSOCIATION (AREA) — Manual for Railway Engineering, 1973 5. DEUTSCHE INDUSTRIE NORMEN (DIN) ^ îx r !ü75 ~ ’ DIN 1072 ~ 5.3 DIN 4026 — I l R ic h ,ilin ie n ,ü r d ie B e m e ss u n g u n d A u s fü h r u n g m a s siv e r B r ü c k e n , S tr a s s e n u n d W e g b rü c k e n — L a s ta n n a h m e n , 1972 R a m m p fa e h le R ic h tilin ie n (1968) agosto 1973 BIBLIOGRAFIA — 433 5.4 DIN 1045 — 6. INSTITUTO DE PESQUISAS RODOVIÁRIAS, DNER — M a n u a l de C o n stru ç ã o de O bras d e A r te E sp e c ia is, Rio de Janeiro, 1970 SILVA JR., J. F. — M é to d o d e C ro ss, Rio de Janeiro Ao Livro Técnico, 1967 BARTH, R., G ru n d w e rte f ü r d a s C ro ss V e rfa h re n 2.“ edição, W. Ernst, Berlin, 1964 ANGER, G. — Z e h n te ilig e E in flu s s lin ie n f ü r d u r c h la u fe n d e T rä g e r, W. 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K. — Uber den Einspanngrad einer Stütze in Fundament, Beton und Stahlbetonbau, fevereiro 1960 Composto em Times Roman pelo processo de Fotocomposição — MONOFOTO no Setor de Composição de LIVROS TÉCNICO S E CIENTÍFICO S EDITORA S A. — Rio de Janeiro — Brasil ISBN 85-216-0035-6 -A * - at LIVROS TÉCNICOS f CIENTÍFICOS EDITORA S.A.