Pef2202 - Coletânea P1, P2, P3 E Psub De Variados Anos - Sub - 2011

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PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO Questão 1 (4,0) Determinar as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para a viga esquematizada abaixo. Indique claramente os valores das reações e dos esforços solicitantes, nos apoios e nos diagramas. Variante A: q qa 2 / 6  H  qa / 6 A B VBesq VA C VBdir D VC VARIANTE (A) 10kN 20kN 17.5kN 12.5kN Reações de apoio: Devido à articulação em B, M B  0 , e os trechos AB e BD podem ser tratados independentemente, sendo que a reação vertical em B vale VB  VBesq  VBdir (cuidado que se usa para a reação vertical o mesmo símbolo que para a força cortante!) Para o trecho AB:  FX  H B  H  0  H B   H     FY  VA  VBesq  qa  0   2 2 2 1   M  A  qa  qa  VBesq a  0  VBesq  qa  VA  qa 6 2 3  3    2 3 1 3 Para os valores adotados q  10kN / m , a  3m , VA  10  3  20kN , VBesq  10  3  10kN Esforços solicitantes no trecho AB: PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO V  x   V  0    q  d x 0 x 2 2 V  x   qa    qd   qx  V  x   qa  qx 0 3 3 2 2 V  x*   qa  qx*  0  x*  a 3 3 2 Para os valores adotados, x*   3  2m 3 x x 2 2 2  M  x   M  0    V  d    qa  q d  qa  q 0 0 3 3 2   x 2  qa 2  2 x2  M  x      0  qa  q d   qax  q 3 2 3   6  M  x   q x2 2 qa 2 (variação quadrática)  qax  2 3 6 2 q  2  2  2  qa 2 qa 2 M max  M  x*     a   qa  a    23  3 3  6 18 Para os valores adotados M max  qa 2 10 2   3  5kNm , que ocorre para x  x*  2m 18 18 Para o trecho BD: qa qa 2   0  VBdir  VC  qa 2 6 3 qa a qa 3 5 2qa 5qa qa  M B  Vc  a  2  3  6  2 a  0  Vc  12 qa  VBdir  3  12  4 Para os valores adotados q  10kN / m , a  3m ,   FY  VBdir  VC  10  3  7,5kN ; 4 5 10  3  12,5kN . 12 A reação vertical total em B vale VB  VBesq  VBdir  10  7,5  17,5kN VBdir  VC  VBdir  Esforços solicitantes no trecho BC: Fazendo x  0 no ponto B V  x   V  0    q  d x 0 V  x   VBdir    x 0 V  x  q q x2   a   d    ax   a a 2 qa q x2  q x 2  qa q    ax    V  x     ax       2 x 2  4ax  a 2  4 a 2 a 2 4 4a q  2 x2  4ax  a 2  4a q V  x*    2x*2  4ax*  a2   0 4a V  x  x  * 4a   4a  2  4  2   a 2  2 2   a 2 16a 2  8a 2 2  a a 4 2 No intervalo  0, a  x*  1   a  0, 29289a 2   Para os valores adotados, x*  0, 29289  3  0,87867m PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO M  x   M  0    V  d   x 0  q x q  2 x3 2 2 2   4 a   a d    2ax 2  a 2 x      0 4a 4a  3  q  2 x3  6ax2  3a2 x  (variação cúbica) 12a  M  0, 29289a   M max  0,034518qa 2 M  x  M max Para os valores adotados M max  0,034518 10  32  3,11kNm VARIANTE B: 20kN/m 30kNm 20kNm m 20kN/m 10kN 20kN/m 10kN Gabarito (B): 20kN/m 30kNm 20kNm m 10kN 40kN 35kN 25kN A solução é proporcional à variante (A), com reações e esforços multiplicados por dois, exceto a reação horizontal H B e a força normal no trecho AB, que não se alteram! PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO Questão 2 (3,0) O triangulo ABC da figura é rígido, e pode rodar em torno do vértice B. O triângulo é vinculado adicionalmente pelas barras (1) e (2), que trabalham exclusivamente à força normal. Uma carga externa P  200kN é aplicada ao vértice A. Determine a proporção A1 / A2 entre as áreas das seções transversais das barras (1) e (2), para que as reações de ancoragem nos pontos D e E sejam iguais. Determine o valor destas reações. Fixada esta proporção A1 / A2 , determine os diâmetros mínimos das barras (1) e (2), para que o deslocamento vertical do ponto A não exceda 2mm. As barras são compostas pelo mesmo material, de módulo de elasticidade E  70GPa . VARIANTE (A): Como as reações em D e E devem ser iguais, e como a barra (1) alonga e a barra (2) encurta: N1  1 N2 N1   N 2  : O equilíbrio de momentos da chapa ABC em relação ao pólo B exige então que: 4( N1  N 2 )  8P  0  N1  P, N2   P 8 N1  8P  0 Para haver compatibilidade de deslocamentos cos   4 / 5 ; sin   3 / 5 1  1,5m; 2  2 1  3,0m   Deformações + Lei de Hooke:    Como 2 2 1   1 N1  EA11  EA1 N 2  EA1 2  EA2 2   C cos  4 2   EA2 2  1 AB   4 2 4  BC cos     5   4 5   4 2  A1 1  A2 2 N1 1 P 1  EA1 EA1 A2  2 A1  85, 6cm2 A1   1 N1 4 EA1 2 1    1 N2 4 EA2 1 P  400kN  A / 2   EA1 1  P 1 200 103 1,5   0, 00428m2  42,8cm2 9 3 E  1 70 10 110 VARIANTE (B): 1 1  A  2mm   1   A / 2  1mm A1   1 AB tan  2   1  4 A1   2  4 A2    4  42,8   7,38cm 4  85, 6   10, 45cm E  140GPa  A  4mm   1   A / 2  2mm P 1 400 103 1,5   0, 00214m2  21, 4cm2 9 3 E  1 140 10  2 10 A2  2 A1  42,8cm2  1   2  4 A1  4 A2    4  21, 4  4  42,8   5, 22cm  7,38cm PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO Questão 3 (3,0) A viga ABC é carregada por uma força vertical P na extremidade C, e por uma força horizontal H na extremidade A. A seção transversal da viga é vazada por uma elipse de raio maior a  15cm e raio menor b  10cm , conforme se observa no arranjo indicado na figura. Determine a máxima carga Pmax que pode ser aplicada à extremidade C, sabendo que o material tem tensão de escoamento  e  180MPa e que a viga deve trabalhar com um coeficiente de segurança s  1,5. Em seguida, fixando P  Pmax , determine qual o máximo valor H max que pode ser aplicado à extremidade A. Sabe-se que a área de uma elipse vale Ael   ab e que o momento de inércia em relação ao seu eixo maior vale I el   ab3 / 4 . Note também que os esforços solicitantes à esquerda e à direita do ponto B são diferentes! B ys  h  y0 30cm h P H 4m b C B A 4m y0  yi a 20cm 15cm 20cm A  Bh   ab  (40  45)  ( 15 10)  1800  471. 24  1328. 8cm²  (1328. 8 104 )m² (40  45)  22.5  ( 15 10) 15 y0  yi   25. 160cm  (25. 160 102 )m (40  45)  ( 15 10) ys  h  yi  45  25. 160  19.84cm  (19.84 102 )m 2  Bh3 h     ab3 2  I   Bh  y0        ab  y0  yel    12 2    4    3 3  40  45 2     15  10 2 I   40  45  25.16  22.5       15 10  25.16  15  4  12    I  2. 5606 105 cm4  2. 5606 103 m4 Variante A:  e  180MPa ; s  1.5 N Besq   H ; M B   P  4P (tração em cima!) C T y  yi , tem-se que  max   max  Agindo apenas P, como s C  max  y MB yi   P i I I yi   e I s 6 180 10 2. 5606 103   3. 0532 105  305.32kN 2 1.5 25.16 10  4 C Retendo o sinal  max   P Pmax  e I s yi , Pmax PEF2202 – 2011 – PSUB GABARITO PP H  max , os esforços no trecho BC não se alteram, mas no trecho AB Agindo também , com surgem tensões de tração, devidas a H, as quais aliviam as tensões de compressão devidas a P e aumentam as tensões de tração. As máximas trações devidas a P ocorrem em B, de modo que as máximas tensões totais de tração ocorrem imediatamente à esquerda do ponto B, e valem: y H H   I  ys H   e ys   e  Pmax s    e     A I A  s yi  I A  s yi  s A e  ys  1328. 8 104 180 106  19. 84 102    3. 3716 106  3371.6kN 1    1  2  s  yi  1.5  25. 160 10  T  max  H max Variante B:  e  240MPa ; s  2.0 C H B A P 4m 4m N Bdir   H ; M B   P  4P (tração embaixo!)  Agindo apenas P, como T  max  y MB yi  P i I I T C ys  yi , tem-se que  max   max yi  e  I s 180 106 2. 5606 103   3. 0532 105  305.32kN 2 1.5 25.16 10  4 T Retendo o sinal  max  P Pmax  e I s yi , Pmax H PP max , os esforços no trecho AB não se alteram, mas no trecho BC  Agindo também , com surgem tensões de compressão, devidas a H, as quais aliviam as tensões de tração devidas a P e aumentam as tensões de compressão. As máximas compressões devidas a P ocorrem em B, de modo que as máximas tensões totais de compressão ocorrem imediatamente à direita do ponto B, e valem: y  H H   I  ys H  y   Pmax s     e    e s    e  A I A  s yi  I A  s yi  s H   e ys   e   A  s yi  s C  max  H max  A e  ys  1328. 8 104 180 106  19. 84 102  1   1   3. 3716 106  3371.6kN    2  s  yi  1.5  25. 160 10 