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Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça abaixo. Ritter
10kN D
E
(1)
F
C
Esforço [kN]
G
(2) (3)
H
4 cos 8 m 3
(5)
J
I
(4)
20kN
K 2m
L
B
HA VB
VA 4m
N1 N2 N3 N4 N5
2m
4m
Reações de Apoio:
H A 20kN H H A 20 0 10 V V 10 0 3,33kN VA V A B 3 8 20 M 8 V 20 0 A B 3 VB 6, 67kN 3
sin cos
2 2
sin
4
cos
Inspeção do equilíbrio dos nós D e J:
N1 NCD ; N5 N AJ ; N DH N HJ 0
Inspeção do equilíbrio dos nós G e F:
NGI N FG N EF N FI 0
Equilíbrio Nó C:
BC AG
AB AG
0,70711
82 42 8 8 42 2
0, 44721 0,89443
10 10 NCH cos NCD 0 22,361 NCH sin 0,44721 NCH sin 10 0 V NCD NCH cos 22,361 0,89443=20kN N1 20kN H
Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5):
N N cos N cos N cos 20 H 0 1 2 4 5 A N 2 47,13kN H N 2 sin N 4 sin N 5 sin 10 3,33 0 N 4 37, 27kN V 8 N5 52,17kN M A N1 4 N 4 4 cos 20 3 0
Equilíbrio Nó E:
+20,00 -47,13 +46,65 -37,27 +52,17
N EI cos N1 N 2 cos 0 N EI 18,85kN N3 N EI sin N 2 sin 0 N3 46, 65kN V H
Questão 1 (3,0 pontos). Determine as forças normais nas barras numeradas da treliça abaixo. Ritter E
D
(1)
20kN
F
(2)
(4)
H
20kN K
8 m 3
J
4 cos
(5)
L
2m
A
B VB
VA 4m
N1 N2 N3 N4 N5
2m
I
(3)
HA
Esforço [kN]
G
C
4m
sin cos
2 2
sin
4
cos
Reações de Apoio:
H A 20kN H H A 20 0 20 6, 67kN VA V VA VB 20 0 3 8 40 M B 8VA 3 20 0 VB 13,33kN 3
Inspeção do equilíbrio dos nós F e L:
N1 N FG ; N5 N BL ; N FI N IL 0
Inspeção do equilíbrio dos nós C e D:
NCD N DE N DH NCH 0
Equilíbrio Nó G:
BC AG
AB AG
0,70711
82 42 8 8 42 2
0, 44721 0,89443
10 10 NGI cos N FG 0 47,722 NGI sin 0,44721 NGI sin 20 0 V NCD NCH cos 47, 722 0,89443=40kN N1 40kN H
Corte de Ritter passando pelas barras (1), (2), (4) e (5): H N1 N 2 cos N 4 cos N 5 cos 20 0 N 2 47,13kN V N 2 sin N 4 sin N5 sin 20 13,33 0 N 4 59, 63kN N 29,81kN 8 5 M B N1 4 N 4 4 cos 20 3 0
Equilíbrio Nó E:
+40,00 -47,13 +26,65 -59,63 +29,81
N EH cos N1 N 2 cos 0 N EI 9, 44kN N3 N EH sin N 2 sin 0 N3 26, 65kN V H
NOME:_______________________________________________No.:_____________
4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,8de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa. Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro interno di=0,8de.
1
Mat1
1000mm
2
Mat2
3
Mat2
T2
T3
1000mm
1000mm
4
di
de
Resolução da questão L1 := 1000mm
Comprimento do tramo: Comprimento total da barra:
Lt := 3⋅ L1
Lt = 3 m
Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: diametro externo e interno do eixo-tubo:
G1 := 60GPa de := 154mm
Momentos torçores aplicados em 2 e 3: Reações nas seções 1 e 4: Equação de equilibrio
0
Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4
φ 4T12 :=
G1⋅ Ip1
G1⋅ Ip1
Tr4 :=
G2⋅ Ip2
G2⋅ Ip2 2⋅ L1
τ 12 :=
(
(
)
2⋅ L1 L1 + G ⋅I 1 p1 G2⋅ Ip2
( Tr1 + T2) de Tr1 d e ⋅ Ip1 2
4
4
T3⋅ L1 G2⋅ Ip2
⋅
)
− φ 4T2 + φ 4T3
− φ 4T12 + φ 4T23
Ip1
3
0
+ φ 4T12 + φ 4T23
Tr1 := −T2 − T3 − Tr4
τ 23 :=
0
φ 4T12 = −0.018
Tr4⋅ 2⋅ L1
+
φ 4T + φ 4Tr4
Ip1 = 5.522 × 10 ⋅ cm
32
φ 4T23 :=
G1⋅ Ip1
L1
Tr4
−T2 − T3
4
3
(T2 + T3)⋅ L1
+
Tr1 + Tr4
Ip2 = 3.260× 10 ⋅ cm
φ 4T23 = 0.015 Tr4⋅ 1⋅ L1
π ⋅ de
Ip1 :=
T3 := 40kN⋅ m
Tr4
Tr1 + T2 + T3 + Tr4
π 4 4 Ip2 := ⋅ d − di 32 e
d i = 123.2⋅ mm
d i := 0.8⋅ d e
T2 := −100kN⋅ m
Tr1
Momento de inercia a torção
G2 := 80GPa
Tr4 = 2.59 ⋅ kN⋅ m
Tr1 = 57.41 ⋅ kN⋅ m
τ 23 = −59.383⋅ MPa
2
τ 12 = 80.063MPa ⋅
resposta da questão com di=0,8de
T12 := Tr1
T23 := Tr1 + T2
T34 := Tr1 + T2 + T3
T23 = −42.59 ⋅ kN⋅ m T34 = −2.59 ⋅ kN⋅ m
Tr1 + T2 = −42.59 ⋅ kN⋅ m
NOME:_______________________________________________No.:_____________
4ª. Questão (3pts) – Calcule a tensão máxima de cisalhamento do eixo formado por dois materiais Mat1 e Mat2, esquematizado na figura a seguir, com carregamento T2=100kN*m e T3=40 kN*m, engastado nas duas seções de extremidade (1) e (4). Considerar o diâmetro externo de = 154mm e o diâmetro interno di=0,6de , com Gmat1=60 GPa e Gmat2=80 GPa. Considerar também que o eixo no tramo 1-2 é maciço e em 2-4 é vazado, com diâmetro interno di=0,6de.
1
Mat1
1000mm
2
Mat2
3
Mat2
T2
T3
1000mm
1000mm
4
di
de
Resolução da questão L1 := 1000mm
Comprimento do tramo: Comprimento total da barra:
Lt := 3⋅ L1
Lt = 3 m
Modulo de elasticidade transversal do Mat1 e Mat2: diametro externo e interno do eixo-tubo:
G1 := 60GPa
Reações nas seções 1 e 4: Equação de equilibrio
Tr1
0
Equação de compatibilidade - rotação nula na seção 4
π 4 4 Ip2 := ⋅ d − di 32 e
φ 4T12 :=
G1⋅ Ip1
G1⋅ Ip1
Tr4 :=
G2⋅ Ip2
G2⋅ Ip2 2⋅ L1
τ 12 :=
(
(
)
2⋅ L1 L1 + G ⋅I 1 p1 G2⋅ Ip2
(Tr1 + T2) Tr1 d e ⋅ Ip1 2
0 3
4
4
T3⋅ L1 G2⋅ Ip2
⋅
de 2
)
− φ 4T2 + φ 4T3
− φ 4T12 + φ 4T23
Ip1
φ 4T + φ 4Tr4
0
+ φ 4T12 + φ 4T23
Tr1 := −T2 − T3 − Tr4
τ 23 :=
−T2 − T3
φ 4T12 = −0.018
Tr4⋅ 2⋅ L1
+
Tr1 + Tr4
Ip1 = 5.522 × 10 ⋅ cm
32
φ 4T23 :=
G1⋅ Ip1
L1
Tr4
T3 := 40kN⋅ m
4
3
(T2 + T3)⋅ L1
+
T2 := −100kN⋅ m
Ip2 = 4.806 × 10 ⋅ cm
φ 4T23 = 0.01 Tr4⋅ 1⋅ L1
π ⋅ de
Ip1 :=
di = 92.4⋅ mm
Tr4
Tr1 + T2 + T3 + Tr4
Momento de inercia a torção
di := 0.6⋅ d e
de := 154mm
Momentos torçores aplicados em 2 e 3:
G2 := 80GPa
Tr4 = 9.376⋅ kN⋅ m
Tr1 = 50.624kN ⋅ ⋅m
τ 23 = −68.853⋅ MPa
τ 12 = 70.594MPa ⋅
resposta da questão com di=0,6de
T12 := Tr1
T23 := Tr1 + T2
T34 := Tr1 + T2 + T3
T23 = −49.376⋅ kN⋅ m T34 = −9.376⋅ kN⋅ m
Tr1 + T2 = −49.376⋅ kN⋅ m
