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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA CAMPUS DE JOAÇABA PRÓ-REITORIA DE ENSINO ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA Disciplina de ELEMENTOS DE MÁQUINAS III Prof. Douglas Roberto Zaions, MSc. Joaçaba, 09 de Fevereiro de 2008 Este material foi elaborado para a disciplina de Elementos de Máquinas III do curso de Engenharia de Produção Mecânica oferecido pela Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de Joaçaba O trabalho apresenta citações dos autores pesquisados e referências bibliográficas, constituindo-se em uma ótima fonte para aprofundamento do conhecimento sobre elementos de máquinas. O presente trabalho abrange o programa da disciplina de Elementos de Máquinas III do Curso de Engenharia de Produção Mecânica da Universidade do Oeste de Santa Catarina – UNOESC - Campus de Joaçaba. No mesmo são tratados assuntos como: “Engrenagens cilíndricas: análise cinemática e dimensionamento. Engrenagens coroa-parafuso sem fim. Cames: análise cinemática”. Tem a finalidade de proporcionar aos acadêmicos o conteúdo básico da disciplina, com o intuito de melhorar o aproveitamento dos mesmos. Qualquer sugestão com referência ao presente trabalho, serão aguardadas, pois assim poderei melhorá-lo com futuras modificações. Prof. Eng. Douglas Roberto Zaions Fevereiro de 2008 DOUGLAS ROBERTO ZAIONS Engenheiro Mecânico formado pela Universidade Federal de Santa Maria em 1993. Em 1994 iniciou o curso de especialização em Engenharia Mecânica na Universidade Federal de Santa Catarina obtendo o grau de Especialista em Engenharia Mecânica. Em 2003 concluiu o curso de Mestrado em Engenharia de Produção na Universidade Federal do Rio Grande do Sul na área de concentração de Gerência, desenvolvendo o trabalho intitulado Consolidação da Metodologia da Manutenção Centrada em Confiabilidade em uma Planta de Celulose e Papel. Atualmente é doutorando do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Santa Catarina na área de concentração de Projeto de Sistemas Mecânicos. Foi Coordenador do Curso de Engenharia de Produção Mecânica de março/2000 até março/2006 e do Curso de Tecnologia em Processos Industriais – Modalidade Eletromecânica de março/2000 até Junho/2002 da UNOESC – Joaçaba. Conselheiro Estadual e membro da Câmara Especializada de Engenharia Industrial do Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia do Estado de Santa Catarina, CREA – SC no período de janeiro de 2001 até dezembro de 2003. Também foi Diretor do CREA – SC no período de janeiro de 2002 até dezembro de 2002. Doze anos de docência em cursos técnicos, tecnológicos, engenharia e especialização na área mecânica. Professor de várias disciplinas da área de projetos nos cursos Técnico em Mecânica e Eletromecânica do SENAI – CET Joaçaba. É Professor do curso de Engenharia de Produção Mecânica da UNOESC – Joaçaba onde atua nas disciplinas de Resistência dos Materiais, Elementos de Máquinas, Mecanismos, Processos de Usinagem e Comando Numérico, Pesquisa Operacional, Projeto de Máquinas e Manutenção Mecânica. É também pesquisador nas áreas de Projeto e Manutenção Industrial. Professor dos cursos de Especialização em Engenharia de Manutenção Industrial e Gestão da Produção da Universidade do Oeste de Santa Catarina ministrando respectivamente a disciplina de Manutenção de Elementos de Máquinas e Gestão da Manutenção. No curso de Especialização em Projetos de Sistemas Mecânicos atua nas disciplinas de Metodologia de Projeto de Sistemas Mecânicos e Projeto para a Confiabilidade e Mantenabilidade. É perito técnico judicial, desenvolvendo trabalhos nas áreas automotiva e industrial na busca de causa raiz de falhas. Contato: Universidade do Oeste de Santa Catarina – Campus de Joaçaba e-mail: [email protected] Fone/Fax: (49) 3551 - 2035 ÍNDICE 1  MECANISMOS DE CONTATO DIRETO .......................................................................................... 9  1.1  2  CAMES .................................................................................................................................................. 13  2.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 13  2.2  PROJETO GRÁFICO DE CAMES ........................................................................................................ 13  2.2.1  Came de Disco com seguidor Radial ................................................................................... 13  2.2.2  Came de disco com seguidor oscilante ................................................................................ 16  2.2.3  Came de Retorno Comandado ............................................................................................. 18  2.2.4  Came Cilíndrico ................................................................................................................... 18  2.2.5  Came Invertido ..................................................................................................................... 19  2.3  TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR ............................................................................................. 19  2.4  FABRICAÇÃO DE CAMES ................................................................................................................. 28  2.5  PROJETO ANALÍTICO DE CAMES ..................................................................................................... 29  2.5.1  Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana........................................................... 30  2.5.2  Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete ................................................................... 35  2.5.3  Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete .............................................................. 44  2.6  3  4  RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO ...................................... 9  EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 48  ENGRENAGENS .................................................................................................................................. 50  3.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 50  3.2  PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS ........................................................................................ 53  3.2.1  Perfil Cicloidal ..................................................................................................................... 53  3.2.2  Perfil Evolvental .................................................................................................................. 56  3.3  LEI GERAL DO ENGRENAMENTO .................................................................................................... 59  3.4  ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES ........................................................................................ 60  3.5  DESLIZAMENTO ESPECÍFICO ........................................................................................................... 64  ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS .................................................................... 67  4.1  INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 67  4.2  SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ................................... 70  4.3  ESPESSURA DO DENTADO ............................................................................................................... 75  4.4  FOLGA NO FLANCO DOS DENTES ..................................................................................................... 77  4.5  ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE .................................................................................................. 80  4.6  CREMALHEIRA ............................................................................................................................... 82  4.7  INTERFERÊNCIA .............................................................................................................................. 83  4.7.1  Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta ................................................ 86  4.8  GRAU DE RECOBRIMENTO .............................................................................................................. 86  4.9  MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS .... 90  5  4.9.1  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos ....................................... 94  4.9.2  Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos ........................................ 94  4.9.3  Tipos de Engrenamentos ...................................................................................................... 94  4.9.4  Engrenamento V (vê) ........................................................................................................... 99  4.10  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA .......................................................... 104  4.11  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 105  4.11.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 106  4.11.2  Distância entre centros IMPOSTA..................................................................................... 108  ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS .................................................... 109  5.1  CURVA HELICOIDAL ..................................................................................................................... 109  5.2  ENGRENAGENS ESCALONADAS .................................................................................................... 110  5.3  ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL .................................................................................. 111  5.4  PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES ..................................................................... 112  5.5  CREMALHEIRA HELICOIDAL ......................................................................................................... 114  5.6  VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS............................................................................... 115  5.7  PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL ............................................................................................ 117  5.7.1  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos .................................................... 117  5.7.2  Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos .................................................... 118  5.8  NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL - RODA VIRTUAL ................... 118  5.9  INTERFERÊNCIA ............................................................................................................................ 119  5.10  GRAU DE RECOBRIMENTO ............................................................................................................ 120  5.11  MECANISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS ................................................................................................................................................... 121  5.11.1  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos ................................................ 121  5.11.2  Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos.................................................. 121  5.12  6  7  TIPOS DE ENGRENAMENTOS .......................................................................................................... 122  5.12.1  Engrenamento “V0” (Vê zero)........................................................................................... 122  5.12.2  Engrenamento “V” (vê) ..................................................................................................... 123  5.13  REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE ....................................................................................... 125  5.14  EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO ................................. 125  5.15  CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT ......................................................................................... 126  5.15.1  Distância entre centros NÃO IMPOSTA ............................................................................ 127  5.15.2  Distância entre centros IMPOSTA..................................................................................... 128  TRENS DE ENGRENAGENS ........................................................................................................... 129  6.1  GENERALIDADES .......................................................................................................................... 129  6.2  ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ................................................................................... 130  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS ................................................... 132  7.1  EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS .................................................................................................. 132  7.1.1  Efeitos dinâmicos ............................................................................................................... 134  7.2  DURABILIDADE SUPERFICIAL ....................................................................................................... 136  7.3  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ................................................................ 138  7.3.1  Tensões de Flexão .............................................................................................................. 138  7.3.2  Resistência a Fadiga por Flexão ....................................................................................... 139  7.3.3  Tensão admissível .............................................................................................................. 140  7.3.4  Fator de Vida YN (KN) ........................................................................................................ 142  7.3.5  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 142  7.3.6  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 142  7.3.7  Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) .............................................................. 143  7.3.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 144  7.3.9  Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 146  7.3.10   Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 146  7.3.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 146  7.3.12  Fator de Espessura de Borda KB ....................................................................................... 148  7.4  DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA ..................................................................................... 149  7.4.1  Tensões de Contato ............................................................................................................ 150  7.4.2  Resistência a Fadiga Superficial ....................................................................................... 150  7.4.3  Tensão Admissível de Contato ........................................................................................... 151  7.4.4  Fator de vida ZN (CL) ......................................................................................................... 153  7.4.5  Fator Razão de Dureza ZW (CH)......................................................................................... 153  7.4.6  Fator de Temperatura Yθ (KT) ............................................................................................ 154  7.4.7  Fator de Confiabilidade YZ (KR) ........................................................................................ 154  7.4.8  Fator Dinâmico Kv ............................................................................................................. 155  7.4.9  Fator de Sobrecarga Ko ..................................................................................................... 156  7.4.10 8    Fator de Tamanho Ks .............................................................................................................. 157  7.4.11  Fator de Distribuição de Carga KH (Km) ........................................................................... 157  7.4.12  Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf)........................................................................... 159  7.4.13  Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) ........................................................... 159  7.4.14  Coeficiente Elástico ZE (Cp) ............................................................................................... 160  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 162  1 MECANISMOS DE CONTATO DIRETO A Figura 1.1 e Figura 1.2 ilustram alguns mecanismos de contato direto que serão abordados nesta disciplina. (a) (b) (c) Figura 1.1 - Mecanismos de contato direto: (a) Came bidimencional; (b) Came tridimensional; (c) Trem de Engrenagens Figura 1.2 - Mecanismos de contato direto: (a) Tipos de Engrenagens 1.1 RAZÃO DE VELOCIDADE ANGULAR EM MECANISMOS DE CONTATO DIRETO No estudo de mecanismos é necessário investigar o método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir movimento de três maneiras: (a) contato direto entre dois corpos tal como entre um excêntrico e um seguidor ou entre duas engrenagens, (b) através de um elemento intermediário ou uma biela e (c) por uma ligarão flexível, como uma correia ou uma corrente. Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em contato. A Figura 1.3 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came gira no sentido horário e a velocidade do ponto P considerado como um ponto da peça 2 é representada pelo vetor PM. A linha NN' é a normal as duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT'. 0 vetor PM2 é decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente comum. A came e o seguidor são corpos rigidos e devem permanecer em contato, por isso, a componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual componente normal da velocidade de P considerado como pertencente a peça 2. Portanto, conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente a peça 3 e sabendo-se que ela é perpendicular ao raio O,P e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Figura 1.3. A partir desse vetor, pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V =Rω onde V é a velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a velocidade angular do raio R. Figura 1.3 - Relação de Velocidade angular em mecanismo de contato direto Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar-se a velocidade de deslizamento. Da Figura 1.3 pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Esta diferença é dada pela distancia t2 t3, porque a componente Pt3 tem direção contraria a de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão portanto um movimento de rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. Para o mecanismo da Figura 1.3 o movimento entre a came e o seguidor será uma combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá correr quando o ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Enquanto, o contato nesse ponto poderá não ser possível devido as proporções do mecanismo. Não poderá ocorrer deslizamento puro entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites de seu curso, deve entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da outra peça. É possível se determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum cruzando-a nos pontos e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Figura 1.3: ω2 = PM 2 O2 P e ω3 = PM 3 O3 P log o : ω 3 PM 3 O2 P = ⋅ ω 2 O3 P PM 2 como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, PM 2 Pn = O 2 P O2 e Também como os triângulos PM3n e O3Pe são semelhantes, PM 3 Pn = O3 P O3 f Assim, ω3 Pn O2 e O2 e = × = ω 2 O3 f Pn O3 f ω 3 O2 e O 2 K = = ω 2 O3 f O3 K Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha centros por sua interseção com a normal comum. Conclui-se então que para uma razão de velocidades angulares constante a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 2 CAMES 2.1 INTRODUÇÃO As cames desempenham um papel importante nas máquinas e são extensivamente usadas em motores de combustão interna, máquinas operatrizes, antigamente em computadores mecânicos, instrumentos e muitas aplicações. Uma came pode ser projetada de duas maneiras: (i) Partindo do movimento desejado para o seguidor, projetar a came para dar este movimento; e (ii) Partindo-se da forma da came, determinar características de deslocamento, velocidade e aceleração, a partir do contorno da came. As cames com movimento especificado, podem ser projetadas graficamente e em certos casos, analiticamente. 2.2 PROJETO GRÁFICO DE CAMES 2.2.1 Came de Disco com seguidor Radial A Figura 2.1 mostra uma came de disco com um seguidor radial de face plana. Quando a came gira com velocidade angular constante na direção indicada, o seguidor se desloca para cima de uma distância aproximadamente de 20 mm, de acordo com a escala marcada na haste, durante meia volta da came. O movimento de retorno é o mesmo. A fim de determinar graficamente o contorno da came, será necessário inverter o mecanismo e manter a came estacionária enquanto o seguidor gira ao seu redor. Isto não afetará o movimento relativo entre a came e o seguidor e o procedimento é o seguinte: (i) Girar o seguidor em torno do centro da came no sentido oposto ao da rotação da came; (ii) Deslocar o seguidor radialmente de acordo com o indicado na escala para cada ângulo de rotação; e (iii) Desenhar o contorno da came tangente ao polígono formado pelas várias posições da face do seguidor. Infelizmente, para este último passo, não há um processo gráfico para determinar o ponto de contato entre a came e o seguidor. Este ponto deve ser determinado a olho empregando-se a curva francesa. O comprimento da face do seguidor deve ser determinado por tentativas. ocasionalmente pode ser escolhida uma escala de deslocamentos combinada com o raio mínimo da came de modo a se obter um contorno com uma ponta ou aresta. Esta aresta pode ser eliminada modificando-se a escala de deslocamento ou aumentando-se o raio mínimo da came. Figura 2.1 - Came de disco com seguidor radial Figura 2.2 - Came de disco com seguidor radial de rolete. Figura 2.3 - Came de disco com seguidor deslocado de rolete UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 15 A Figura 2.2 mostra o mesmo tipo de came com um seguidor de rolete. Com este tipo de seguidor o centro do rolete se deslocará com o movimento desejado. Os princípios de construção são idênticos aos do seguidor de face plana com exceção de que o contorno da came é tangente às várias posições do rolete. Na Figura 2.2 pode-se ver também, que a linha de ação entre a came e o seguidor não pode estar ao longo do eixo do seguidor, exceto quando este estiver em repouso (sem movimento de subida ou retorno). Isto produz uma força lateral no seguidor e pode causar uma deflexão ou quebra de sua haste. O ângulo existente entre a linha de ação e a linha de centros do seguidor é conhecido por ângulo de pressão e seu valor máximo deve ser o menor possível, especialmente em mecanismos de pequeno porte. Atualmente, esse valor máximo é de 30º. Embora seja possível medir o ângulo de pressão máximo na construção gráfica de uma came, muitas vezes é difícil determiná-lo analiticamente. Por esta razão será apresentado, mais adiante, um monograma para determinação do ângulo de pressão máxima em projetos analíticos de cames. O ângulo de pressão é constante para qualquer seguidor radial de face plana. O seguidor mostrado na Figura 2.1 tem a face perpendicular ao eixo da haste, de modo que o ângulo de pressão é zero e a força lateral exercida sobre o seguidor é desprezível comparada com a existente nos seguidores com rolete. Pode-se reduzir o ângulo de pressão aumentando-se o raio mínimo da came de modo que a trajetória do seguidor em relação à came seja para a mesma elevação. Isto eqüivale a aumentar o comprimento de um plano inclinado para a mesma elevação, a fim de reduzir o ângulo de inclinação do plano. Também, numa came com seguidor de rolete, o raio de curvatura de superfície primitiva deve ser maior do que o raio do rolete senão a superfície da came se tornará ponteaguda. Às vezes, as hastes dos seguidores de face plana ou rolete são deslocados lateralmente ao invés de serem radiais conforme mostrado nas Figura 2.1 e Figura 2.2 Isto é feito por razões estruturais ou no caso do seguidor de rolete, com a finalidade de reduzir o ângulo de pressão no curso de elevação. Pode-se notar, entretanto, que embora o ângulo de pressão seja reduzido durante o curso de elevação, no curso de retorno ele será aumentado. A Figura 2.3 ilustra uma came e um seguidor deslocado, com a mesma escala de deslocamento e o mesmo raio mínimo usados na Figura 2.2. se a direção do movimento de um seguidor deslocado, de face plana for paralela a uma linha radial de came, resultará a mesma came obtida com um seguidor radial. Entretanto, o comprimento da face do seguidor deve ser aumentado devido ao deslocamento haste. Elementos de Máquinas III 2.2.2 16 Came de disco com seguidor oscilante A Figura 2.4 mostra uma came de disco com um seguidor de face plana, oscilante. Usando o mesmo princípio de construção empregado para a came de com seguidor radial, gira-se o seguidor em torno da came. Ao mesmo tempo o seguidor deve ser girado, em torno de seu centro de rotação, segundo os deslocamentos angulares correspondentes à cada posição indicada na escala. Há diversas maneiras de se girar o seguidor em torno de seu centro. O método indicado na Figura 2.4 é usar a interseção de dois arcos de circunferência (por exemplo, o ponto 3’) para determinar um ponto da face do seguidor em sua nova posição, após girar em torno de seu centro e em torno da came. O primeiro desses dois arcos tem como raio a distância do centro da came até a posição 3 da escala de deslocamento e como centro de curvatura o centro de rotação da came. O segundo arco é traçado com o centro de curvatura situado no centro de rotação do seguidor após ter girado até a posição 3 e usando para o raio a distância do centro do seguidor até a escala de deslocamento. A interseção desses dois arcos será o ponto 3’. Devido ao úmero infinito de retas que podem passar pelo ponto 3’, é necessário ter-se uma informação adicional para determinar a posição correta da face do seguidor correspondente ao ponto 3’. Conforme mostrado na figura , isto foi conseguido por uma circunferência tangente ao prolongamento da face do seguidor na posição zero. Na figura, houve coincidência dessa circunferência com o diâmetro externo do cubo do seguidor. essa circunferência é, então, traçada em cada posição do centro do seguidor. Para se determinar a posição 3 da face do seguidor traça-se uma reta que passa pelo ponto 3’ e é tangente à circunferência do cubo do seguidor em sua posição 3. Repetindo-se este processo, obtém-se um polígono formado por diversas posições da face do seguidor. A partir deste polígono desenha-se o contorno da came. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 17 Figura 2.4 - Came de disco com seguidor oscilante de face plana A Figura 2.5 mostra uma came de disco com seguidor oscilante, com rolete. O procedimento para a determinação dos pontos 1’, 2’, 3’ etc. é semelhante ao indicado na Figura 2.5. Entretanto, neste caso, estes pontos são as posições do centro do rolete determinadas pela rotação do seguidor em torno da came. Traçam-se as circunferências correspondentes à cada posição do rolete e o contornos da came é tangente a essas circunferências. Deve-se notar que num projeto real seriam usadas divisões menores de modo a minimizar o erro do contorno da came. Deve-se mencionar também que o mesmo procedimento pode ser empregado no projeto de uma came com seguidor oscilante, de rolete, como o usado para uma came com seguidor radial deslocado Figura 2.5 - Came de disco com seguidor oscilante Elementos de Máquinas III 18 Figura 2.6 - Came de retorno comandada Embora a maioria das cames em uso seja dos tipos já mencionados, há muitos outros, alguns dos quais encontram grande aplicação. Nas seções seguintes serão abordados três desses tipos. 2.2.3 Came de Retorno Comandado Em uma came de disco e um seguidor radial freqüentemente é necessário que o retorno do seguidor seja comandado pela came e não sob a ação da gravidade ou de uma mola. A Figura 2.6 mostra um mecanismo deste tipo em que a came comanda o movimento do seguidor não somente durante a elevação como também no curso de retorno. Necessariamente, o movimento de retorno deve ser o mesmo que o de elevação, porém no sentido oposto. Esta came também é chamada de came de diâmetro constante. Este tipo de came pode também ser projetado empregando dois seguidores de rolete no lugar dos seguidores de face plana. Se for necessário ter-se um movimento de retorno independente do movimento de elevação, devem-se usar dois discos, um para a elevação e outro para o retorno. Estas cames duplas podem ser usadas com seguidores de rolete ou de face plana. 2.2.4 Came Cilíndrico Este tipo de came encontra muitas aplicações, particularmente em máquinas operatrizes. Talvez o exemplo mais comum, entretanto, seja a alavanca niveladora do molinete de vara de UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 19 pescar. A Figura 2.7 mostra um desenho onde o cilindro gira em torno de seu eixo e aciona um seguidor que é guiado por uma ranhura existente na superfície do cilindro. 2.2.5 Came Invertido Às vezes á vantajoso inverter o papel da came e do seguidor e deixar que o seguidor comande a came. Esta inversão encontra aplicação em máquinas de costura e outros mecanismos de natureza semelhante. A Figura 2.8 mostra o esboço de uma came de placa onde o braço oscila, causando um movimento alternativo do bloco por ação de um rolete dentro da ranhura da came. Figura 2.7 - Came Cilíndrico Figura 2.8 - Came invertido 2.3 TIPOS DE MOVIMENTO DO SEGUIDOR Antes de se determinar o contorno de uma came é necessário selecionar o movimento segundo o qual se deslocará o sistema. Se a velocidade de operação deve ser baixa, o Elementos de Máquinas III 20 movimento pode ser qualquer um dos movimentos comuns, por exemplo, parabólico (aceleração e desaceleração constantes), parabólico com velocidade constante, harmônico simples ou cicloidal. O movimento parabólico possui a mais baixa aceleração teórica para valores determinados de elevação do seguidor e rotação da came, dentre os movimentos citados e por esta razão tem sido empregado em muitos contornos de cames. Entretanto, em trabalhos a baixas velocidades isto tem pouco significado. O movimento parabólico pode ou não ter intervalos iguais de aceleração e desaceleração, dependendo das exigências do problema. O movimento parabólico também pode ser modificado para incluir um intervalo de velocidade constante entre a aceleração e a desaceleração; este movimento é muitas vezes denominado de velocidade constante modificada. O movimento harmônico simples apresenta uma vantagem de, ao empregar um seguidor radial de rolete, proporcionar um ângulo de pressão máximo menor do que no movimento parabólico com intervalos de tempo iguais ou no movimento cicloidal. Isto permitirá que o seguidor tenha apoios monos rígidos e maior trecho de balanço. Também menos potência será necessária para operar a came. Por estas razões o movimento harmônico simples é o preferido entre os outros tipos. Depois de selecionar o movimento do seguidor, é necessário determinar-se a escala de deslocamento e marcá-la sobre a haste do seguidor. As elevações podem ser calculadas, porém, são determinadas com mais facilidade graficamente, plotando-se uma curva deslocamento-tempo. Plotando-se o gráfico deslocamento-tempo é necessário determinar primeiro o ponto de inflexão se o movimento for parabólico ou uma modificação deste. Para os movimentos harmônico simples e cicloidal, o ponto de inflexão é determinado automaticamente pelo método de geração da curva. O ponto de inflexão de um movimento parabólico estará no meio da escala de deslocamento e da escala de tempos se os intervalos forem iguais. A determinação dos pontos de inflexão de um movimento parabólico modificado é um pouco mais complicada, como será visto a seguir. Consideremos um ponto de deslocando-se com movimento uniforme modificado, onde parte do repouso com aceleração constante, em seguida passa a ter velocidade constante e finalmente chega ao repouso com desaceleração constante. Os pontos de inflexão podem ser determinados especificando-se os intervalos de tempo ou de deslocamento correspondentes a UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 21 cada tipo de movimento. A Figura 2.9 indica uma construção gráfica para determinar os pontos de inflexão A e B quando são dados os intervalos de tempo. A Figura 2.10 mostra a construção para intervalos de deslocamento. Das relações S = 1 2 At , V=At e S=Vt, é possível 2 provar a validade da construção mostrada na Figura 2.9 e Figura 2.10. Figura 2.9 - Construção gráfica para determinar os pontos de inflexão Figura 2.10 - Construção para intervalos de deslocamento Depois que os pontos de inflexão foram determinados, como exemplo na Figura 2.10, o trecho 0A, de aceleração constante pode ser construído conforme indicado na Figura 2.11, onde o deslocamento L (correspondente a S1 da Figura 2.10) esta dividido no mesmo número de partes da escala de tempo, neste caso quatro. O trecho desacelerado BC da curva na Figura 2.10 será construído de modo semelhante para o deslocamento S3 e o correspondente intervalo de tempo. Figura 2.11 - Movimento Parabólico Elementos de Máquinas III 22 A Figura 2.12 mostra o movimento harmônico simples [S = r (1 − cos ω r t )] para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. Nesta figura deve-se notar que se a came gira de meia-volta enquanto o seguidor se move segundo o deslocamento L a velocidade angular ωr do raio girante r se iguala à velocidade angular ω da came e a equação do deslocamento do seguidor pode ser escrita como S = r (1 − cos ωt ) = r (1 − cos θ ) . Se a came gira somente de um quarto de volta para o deslocamento L ⋅ ω r = 2ω e S = r (1 − cos 2θ ) . Portanto, pode-se ver que a relação entre ωr e ω é expressa por wr 180º = w ângulo derotação da came para elevação L do seguidor Figura 2.12 - Movimento harmônico Simples Uma came circular (excêntrico) proporcionará um movimento harmônico simples a um seguidor radial de face plana porque o ponto de contato entre estas duas peças e o centro geométrico da came estarão sempre na direção do movimento do seguidor. A Figura 2.13 mostra a construção para o movimento cicloidal ⎡ ⎛θ 1 θ ⎞⎤ sen2π ⎟⎟⎥ para um deslocamento L com seis divisões na escala de tempo. O ⎢ S = L⎜⎜ − β ⎠⎦ ⎝ β 2π ⎣ raio do círculo gerado é L . A circunferência deste círculo é dividida no mesmo número de 2π partes que a escala de tempo, neste caso seis. Os seis pontos marcados na circunferência são projetados horizontalmente sobre o diâmetro vertical do círculo. Estes pontos são então projetados paralelamente à diretriz 0A até as linhas correspondentes marcadas no eixo do tempo. Para cames de alta velocidade a seleção do movimento do seguidor deve ser baseada não só nos deslocamentos mas também nas forças que atuam sobre o sistema como resultado do movimento selecionado. Por muitos anos o projeto de cames dizias respeito somente ao UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 23 movimento de um seguidor em um curso determinado, durante um certo tempo. As velocidades eram baixas de modo que as forças de inércia eram insignificantes. Com a tendência de uso de velocidades mais altas nas máquinas, entretanto, tornou-se necessário considerar as características dinâmicas do sistema e selecionar um contorno de came que minimizasse o carregamento dinâmico. Figura 2.13 - Movimento cicloidal Como um exemplo da importância do carregamento dinâmico, consideremos o movimento parabólico. Em relação às forças de inércia este movimento pareceria ser desejável por causa de sua baixa aceleração. Entretanto, não se pode ignorar o fato de que a aceleração cresce de zero a seu valor constante quase instantaneamente, resultando em uma alta taxa de aplicação da carga. Determina-se a taxa de variação da aceleração pela terceira derivada do deslocamento, conhecida por “jerk” ou segunda aceleração. Portanto, o “jerk” ou a segunda aceleração é uma indicação da característica de impacto do carregamento: pode-se dizer que o impacto tem a segunda aceleração igual ao infinito. A falta de rigidez e as folgas do sistema também tendem a aumentar o efeito da carga de impacto. No movimento parabólico onde a segunda aceleração é infinita, este impacto ocorre duas vezes durante o ciclo e tem o efeito de uma pancada súbita no sistema, que poderá ocasionar vibrações indesejáveis bem como danos estruturais. Como um modo de evitar o “jerk” infinito e seu efeito prejudicial em cames, um sistema de projeto de cames foi desenvolvido por Kloomok e Muffley que utiliza três funções analíticas: (a) ciclóide (e meio ciclóide), (b) harmônico (e meio harmônico) e (c) polinômio de oitavo grau. Os diagramas de deslocamento, velocidade e aceleração dessas funções estão representados nas Figura 2.14, Figura 2.15 e Figura 2.16. As curvas têm derivadas contínuas em todos os pontos intermediários. Portanto, a aceleração varia gradualmente e a segunda aceleração é finita. Evita-se o “jerk” infinito nos extremos igualando-se as acelerações. Devese notar que as velocidades são concordantes porque não podem aparecer descontinuidades na Elementos de Máquinas III 24 curva de deslocamento em função do tempo. Como exemplo, quando após um repouso seguir uma elevação, a aceleração nula no final do repouso é igualada selecionando-se uma curva que tenha aceleração nula no início da elevação. A aceleração exigida no final da elevação é determinada pela condição subsequente. Se imediatamente se segue um retorno, a aceleração pode terminar com um valor moderadamente alto de desaceleração porque este valor pode ser igualado exatamente por uma curva que tenha a mesma desaceleração no início do retorno. A seleção de curvas para atender as exigências particulares é feita de acordo com os seguintes critérios: 1. A ciclóide proporciona aceleração nula nos extremos dos trechos da curva. Portanto, pode ser combinada com dois repousos em cada extremidade. Como a ângulo de pressão é relativamente grande e sua aceleração retorna a zero desnecessariamente nos extremos, duas ciclóides não devem ser usadas em seqüência; 2. O harmônico proporciona os menores picos de aceleração e os menores ângulos de pressão das três curvas. Portanto, é a curva preferida quando as acelerações no início e no fim do trecho podem ser igualadas com as acelerações do trecho vizinho. O meio harmônio pode ser usado onde uma elevação a velocidade constante precede uma aceleração, porque a aceleração do ponto médio é zero. O meio harmônico pode ser combinado com o meiociclóide ou com um meio-polinômio; 3. O polinômio de oitavo grau tem uma curva de aceleração assimétrica e proporciona um pico de aceleração e ângulos de pressão intermediário entre o harmônico e a ciclóide. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 25 Figura 2.14 - Características do Movimento Cicloidal onde S- deslocamento; V - velocidade; A – aceleração Elementos de Máquinas III Figura 2.15 - Características do Movimento Harmônico onde S- deslocamento; V velocidade; A – aceleração 26 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 27 Figura 2.16 - Características do Movimento polinomial de oitavo grau S- deslocamento; V velocidade; A - aceleração Exemplo 1 - Um seguidor de rolete deverá se deslocar, com elevação e retorno, sem repouso, durante um ciclo. Devido à operação realizada pelo mecanismo, parte da elevação deverá ser feita com velocidade constante. Determine as curvas dos movimentos a serem usadas. Referindo-se à Figura 2.17: AB: Use a meia-ciclóide C-1 a fim de proporcionar aceleração nula no início do movimento e em B onde será feita a ligação com o trecho de velocidade constante. Elementos de Máquinas III 28 BC: Velocidade constante. CD: Use o meio harmônio H-2 que se ligará em C ao trecho de velocidade constante, com aceleração nula e proporcionará um ângulo de pressão mínimo durante o resto da curva. DE: Use o polinômio P2 para combinar a desaceleração do harmônico em D e proporcionar aceleração nula no fim do retorno em E. Figura 2.17 - Curvas de deslocamento, velocidade e aceleração para o exemplo 1 Combinam-se as velocidades e as acelerações, de modo a não apresentarem descontinuidades. Estas estão mostradas na Figura 2.17a, b e c. Na Figura 2.17c, pode-se ver que não há “jerk” ou segunda aceleração em qualquer instante do ciclo. 2.4 FABRICAÇÃO DE CAMES O método gráfico de projeto de cames é limitado a aplicações onde a velocidade é baixa. A fabricação deste tipo de came depende da precisão do desenho do contorno e do método empregado para seguir este contorno como gabarito. Por um lado, pode-se riscar o contorno da came em uma chapa de aço e cortá-la com uma serra fita, obtendo a came. Por outro lado, pode-se usar uma fresadora copiadora em que o movimento da ferramenta é guiado por um seguidor que se desloca ao longo do perfil da came representado em um desenho. este desenho pode ser uma ampliação do tamanho real da came a fim de aumentar a precisão do copiamento. Em qualquer um dos casos apresentados o contorno da came deve ser acabado manualmente. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 29 O projeto gráfico e o conseqüente método de fabricação por copiamento são suficientemente precisos para cames de alta rotação. Por esta razão, voltou-se a atenção para o projeto analítico de cames e para o método que este projeto oferece para a geração de cames. Se for possível calcular os deslocamentos do seguidor para pequenos incrementos na rotação da came, o seu perfil pode ser obtido em uma fresadora ou em uma furadeira de coordenadas, com a ferramenta fazendo o papel do seguidor. Se o seguidor a ser empregado no mecanismo for de rolete, o eixo da ferramenta deverá ser perpendicular ao plano da came e o diâmetro da ferramenta deverá ser o mesmo do rolete. Se for um seguidor de face plana, o eixo da ferramenta deverá ser paralelo ao plano da came. Em ambos os casos deve-se conduzir a ferramenta para a posição correta, correspondente ao ângulo de rotação da came. Naturalmente, quanto menores forem os incrementos do ângulo de rotação, melhor será o acabamento da superfície da came. Geralmente, empregam-se incrementos de 1º, que deixam pequenas saliências ou reentrâncias na superfície da came que devem ser removidas manualmente. Desenvolveram-se fresadoras automáticas de controle numérico que possibilitam incrementos inferiores a 1º na rotação da came e avanços da ferramenta com precisão de µm. Embora a máquina opere em passos discretos, estes são tão pequenos que dão a aparência de operação contínua. Espera-se o acabamento superficial da came produzida por uma máquina deste tipo seja de tal qualidade que permita a eliminação do acabamento manual. Este tipo de máquina também produzirá uma came muito mais depressa do que a fresadora de coordenadas, quando ambas as máquinas usarem os mesmos incrementos do ângulo da came. Nas discussões precedentes, imaginou-se que a came que estava sendo gerada seria usada na aplicação final. Na produção de várias máquinas do mesmo modelo em que são necessárias muitas cames iguais, em geral é mais prático fabricar o que se chama de came mestra e usá-la em uma máquina copiadora. A came mestra é quase sempre, quanto às dimensões, uma ampliação da came real. 2.5 PROJETO ANALÍTICO DE CAMES Em certos tipos de cames é possível projetá-los analiticamente, partindo-se do movimento especificado. Desenvolveram-se métodos práticos de projeto analítico para cames de disco com seguidor radial de face plana, seguidor radial de rolete, seguidor de rolete deslocado, seguidor oscilante de face plana. Os métodos para os seguidores de face plana, radial de rolete e oscilante de rolete estão apresentados abaixo: Elementos de Máquinas III 2.5.1 30 Came de Disco com Seguidor Radial de Face Plana A abordagem deste problema permite que o contorno da came seja determinado analiticamente. No método gráfico, os pontos de contato entre a came e o seguidor são desconhecidos e é difícil determinar sua localização exata quando se desenha o contorno da came. Também o raio mínimo da came, para evitar que seja ponteaguda, somente pode ser determinado por tentativas. No método analítico, que foi desenvolvido por Carver e Quinn, essas desvantagens são superadas e pode-se determinar três características valiosas das cames: (i) Equações paramétricas do contorno da came; (ii) Raio mínimo da came para evitar pontas; e (iii) Localização do ponto de contato que determina o comprimento da face do seguidor; Destas características, a primeira tem pouca aplicação prática, mas as outras duas dão informações que possibilitam a produção da came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a seguir. A Figura 2.18 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas x e y e esta a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em relação à origem é dado pela seguinte equação: R = C + f (θ ) Equação 2.1 onde o raio mínimo da came é representado por C e f (θ ) representa o movimento desejado para o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela geometria da Figura 2.18. Dos triângulos mostrados R = y ⋅ senθ + x ⋅ cos θ Equação 2.2 ou l = y ⋅ cos θ − x ⋅ senθ Equação 2.3 o membro da direita da equação 3, é a derivada em relação a θ do membro da direita da equação 2. Portanto l= Equação 2.4 dR d [C + f (θ )] = dθ dθ l = f ′(θ ) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 31 Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S= f (θ ) , então R e l são determinados facilmente das equações 1 e 4. Da equação 4 pode-se ver que o comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o ponto de contato esta na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a velocidade do seguidor é máxima. Quando o seguidor move em direção ao centro da came, a velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que o contato se realiza abaixo do eixo do seguidor. Figura 2.18 - Seguidor radial de face plana Figura 2.19 - Formação de pontas em uma came Para determinar as equações de x e y para o contorno da came. é necessário somente resolver as equações 2 e 3 simultaneamente, o que resulta x = R cos θ − lsenθ e y = Rsenθ + l cos θ Elementos de Máquinas III 32 Substituindo-se os valores de R e l das equações 1 e 4 respectivamente, Equação 2.5 Equação 2.6 x = [C + f (θ )]cosθ − f ′(θ )senθ y = [C + f (θ )]senθ + f ′(θ ) cosθ O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser determinado com facilidade analiticamente. Uma ponta ocorre quando dy dx e forem dθ dθ iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y na Figura 2.19. Para determinar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha girado de um ângulo θ e que o contato entre a face de seguidor e a came ocorra no ponto (x, y). Mais adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo dθ, o ponto de contato (x, y) não mudará por causa da ponta, ficando ainda em x e y. Assim pode-se ver que dx dy = = 0. dθ dθ Diferenciando as equações 5 e 6, Equação 2.7 Equação 2.8 dx = −[C + f (θ ) + f ′′(θ )]senθ dθ dy = [C + f (θ ) + f ′′(θ )]cos θ dθ As equações 7 e 8 podem se anular simultaneamente somente quando C + f (θ ) + f ′′(θ ) = 0 Portanto para evitar pontas, Equação 2.9 C + f (θ ) + f ′′(θ ) > 0 A soma [ f (θ ) + f ′′(θ )] deve ser inspecionada para todos os valores de θ para determinar seu valor algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja suficientemente grande para assegurar que a equação 9 não se anule para qualquer valor de θ. Essa soma pode ser positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés de sê-lo pela função f(θ). Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas equações 5 e 6 que dão as coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de θ. Em geral, o segundo método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de uma curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 33 necessário desenhar o perfil da came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, a came pode se confeccionada. Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. Durante a usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da came. Exemplo 2 A fim de ilustrar a método de escrever as equações de deslocamento consideremos as seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um deslocamento total de 37,5 mm. No início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousa durante π 2 radianos. Em seguida eleva-se de 37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 de Kloomok e Muffley) em π 2 rad. Depois repousa durante com movimento cicloidal (C-6) em π 2 π 2 rad e então retorna 37,5mm rad. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama. A Figura 2.20 mostra um esboço do diagrama de deslocamento. Figura 2.20 - Diagrama de deslocamento para a came do exemplo 2 Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley dão ⎡θ 1 2πθ ⎤ S = L⎢ − sen β ⎥⎦ ⎣ β 2π Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S=f(θ), que valor S sempre deve ser medido a partir do eixo das abscissas e o valor de θ a partir do eixo das ordenadas. Na equação precedente, entretanto, θ é medido do ponto A e não do ponto 0. Portanto, reescrevendo a equação usando θ‘ conforme mostrado na Figura 2.20, ⎡θ ′ 1 2πθ ′ ⎤ S AB = L ⎢ − sen β ⎥⎦ ⎣ β 2π É possível transladar a origem do ponto A para o ponto 0, substituindo a relação Elementos de Máquinas III θ′ =θ − 34 π 2 Portanto, S AB ⎡⎛ π⎞ π ⎞⎤ ⎛ 2π ⎜θ − ⎟ ⎥ ⎢ ⎜⎝θ − 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 2⎠ = L⎢ − sen ⎥ 2 β π β ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Substituindo L = 37,5mm e β = π/2, S AB = 75 ⎛ π ⎞ 75 ⎜θ − ⎟ − sen( 4θ − 2π ) 2 ⎠ 4π π ⎝ Para a ciclóide C-6 ⎡ θ ′′ 1 θ ′′ ⎤ SCD = L⎢1 − + sen 2π ⎣ β 2π β ⎥⎦ onde θ ′′ = θ − 3π 2 L = 37,5 β= π 2 Portanto, SCD = 150 − 75θ π + 75 sen( 4θ − 6π ) 4π Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, portanto, segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo. Exemplo 3 - Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o comprimento da face do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se eleva de 50 mm e retorna, com movimento harmônico simples, durante meia volta da came. dois ciclos do seguidor ocorrem durante uma volta da came. É necessária somente uma equação de deslocamento para especificar o movimento do seguidor do começo ao fim do ciclo, UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 35 S = r ( 1 − cosθ r ) onde r é o raio girante e θr o ângulo girado pelo raio girante para obtenção do movimento harmônico(ver Figura 2.12). Para os dados representados, r = 25 mm θr = 2θ Portanto, S = f (θ ) = 25(1 − cos 2θ ) f ′(θ ) = 50sen2θ e f ′′(θ ) = 100 cos 2θ Para se determinar o raio mínimo, a soma C + f (θ ) + f ′′(θ ) deve ser maior do que zero. Substituindo-se os valores de f (θ ) e f ′′(θ ) e simplificado, C + 25 + 75 cos 2θ > 0 A soma 25 + 75cos2θ será um mínimo para θ = π 2 ; logo C + 25 − 75 > 0 ou C > 50 mm O comprimento da face do seguidor é determinado por l = f ′( θ ) = 50 sen 2θ l máx = 50mm Com o movimento é simétrico, o comprimento teórico da face do seguidor é o dobro de lmáx ou seja, 100 mm. Deve-se dar um acréscimo ao comprimento da face do seguidor para evitar que o contato se realize no bordo da face. 2.5.2 Came de Disco com Seguidor Radial de Rolete A determinação analítica da superfície primitiva de uma came de disco com seguidor de rolete não apresenta dificuldades. Na Figura 2.21 a posição do centro do rolete em relação ao centro da came é dada pela seguinte equação: Elementos de Máquinas III Equação 2.10 36 R = R0 + f (θ ) onde R0 é o raio mínimo da superfície primitiva da came f(θ) é o movimento radial do seguidor em função do ângulo de rotação da came. Uma vez que se conhece o valor de R0 é fácil determinar as coordenadas do centro do rolete a partir das quais a came pode ser delineada. Figura 2.21 - Came de disco com seguidor radial de rolete: posição do centro do rolete em relação ao centro da came Figura 2.22 - Came de disco com seguidor radial de rolete: raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Kloomok e Muffley desenvolveram um método para verificar a existência de pontas em cames deste tipo, considerando o raio de curvatura ρ da superfície primitiva e o raio do rolete Rr. Estes valores são mostrados na Figura 2.22 junto com o raio de curvatura ρc da superfície da came. Se na Figura 2.22 ρ for mantido constante e for aumentado Rr, ρc irá decrescer. Continuando-se a aumentar Rr até atingir o valor ρ, o raio de curvatura da superfície da came, ρc, se reduzirá a um ponto e a came ficará ponteaguda, conforme indica a Erro! Fonte de referência não encontrada.a. Aumentando-se ainda o raio Rr a superfície da came fica rebaixada e o movimento realizado pelo seguidor será o desejado, conforme mostrado na Figura 2.22b. Portanto, a fim de evitar o aparecimento de uma ponta ou um rebaixo no perfil da came, o raio do rolete, Rr, deve ser menor do que ρmin, onde ρmin é o valor mínimo do raio UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 37 de curvatura da superfície primitiva em um determinado trecho da came. Havendo diversos tipos de curvas, sobre a superfície da came, pelas quais o seguidor irá passar, cada trecho deverá ser verificado separadamente. Como é impossível haver um rebaixo numa parte côncava da superfície da came, somente as partes convexas devem ser verificadas. Figura 2.23 - Método para verificar a existência de pontas O raio de curvatura em um ponto de uma curvatura, expresso em coordenadas polares, é dado por 3 ρ= ⎡ 2 ⎛ dR ⎞ 2 ⎤ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢ R + ⎜⎜ ⎝ dφ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ 2 ⎛ d 2R ⎞ ⎛ dR ⎞ ⎟⎟ − R⎜⎜ 2 ⎟⎟ R + 2⎜⎜ ⎝ dφ ⎠ ⎝ dφ ⎠ 2 onde R = f (φ ) e as duas primeiras derivadas são contínuas. Pode-se usar esta equação para determinar o raio de curvatura da superfície primitiva da came. Para este caso, f (θ ) = f (φ ) . Da equação 10 R = R0 + f (θ ) d 2R = f ′′(θ ) dθ 2 dR = f ′(θ ) dθ Portanto, Equação 2.11 ρ= {R } 3 2 2 + [ f ′(θ )] 2 R + 2[ f ′(θ )] − R[ f ′′(θ )] 2 2 A equação 11 pode ser calculada para determinar a expressão de ρ para um tipo particular de movimento. Entretanto, a fim de evitar pontas e rebaixos no perfil da came, deve-se determinar ρmin. Para se obter este valor mínimo, deve-se derivar a equação 11 com várias Elementos de Máquinas III 38 funções, o que irá conduzir a equações transcedentais muito complexas. Por esta razão, são apresentados três conjuntos de curvas que mostram os valores de ρmin/R0 em função de β para as diversas relações de L/R0. Nestas curvas, β é o ângulo de rotação da came para cada trecho e L é a elevação correspondente. A Figura 2.24 apresenta as curvas para o movimento cicloidal, a Figura 2.25 para o movimento harmônico simples e a Figura 2.26, para o movimento polinomial de 8º grau. Por meio dessas curvas pode-se determinar se ρmin é maior ou menor que Rr. Exemplo 4 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com um deslocamento total de L = 15mm com movimento cicloidal, enquanto a came gira de β = 30º. O seguidor repousa durante 45º e então retorna com movimento cicloidal em 70º. Verifique se a came apresenta ponta ou rebaixo para um raio de rolete Rr de 6,25mm e raio mínimo R0 da superfície primitiva de 37,5mm. L 15 = = 0,40 R0 37,5 Será examinada apenas a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Portanto, da figura 23, para L = 0,40 e β = 30º, R0 ρ min R0 = 0,22 e ρ min = 0,22 × 37,5 = 8,25mm A came não terá ponta ou rebaixo, porque ρmin > Rr. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.24 - Movimento cicloidal 39 Elementos de Máquinas III Figura 2.25 - Movimento Harmônico 40 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Figura 2.26 - Movimento polinomial do oitavo grau 41 Elementos de Máquinas III 42 Conforme mencionado anteriormente, é importante considerar-se o valor do ângulo de pressão, no projeto de cames com seguidores de rolete. É necessário manter o ângulo de pressão máximo o menor possível e até hoje este máximo foi estabelecido arbitrariamente em 30º. Entretanto, são usados ocasionalmente valores maiores quando as condições permitem. Embora seja possível empregar os métodos analíticos. Há diversos métodos disponíveis, um dos quais foi desenvolvido por Kloomok e Muffley, pelo qual pode-se determinar analiticamente o ângulo de pressão tanto para o seguidor radial de rolete como para o oscilante de rolete. A que será abordado somente o caso do seguidor radial de rolete. Para a came de disco e o seguidor radial de rolete mostrados na Figura 2.27, o ângulo de pressão OCA é denominado α e o centro da came, O. Supõe-se que a came está preparada e o seguidor gira no sentido horário da posição C até C ′ segundo um pequeno ângulo ∆θ. Da figura abaixo tem-se: α ′ = tg −1 C ′E CE Figura 2.27 -Came de disco e o seguidor radial: ângulo de pressão Quando ∆θ tende a zero, os ângulos OCE e ACC ′ tendem para 90º. Ao mesmo tempo o segmento CD tende para o comprimento do arco CF, igual a R∆θ e ambos, CD e Cf para CE. Portanto, ⎛ 1 dR ⎞ lim α ′ = tg −1 ⎜ ⎟ ∆θ → 0 ⎝ R dθ ⎠ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 43 Como os lados de α e α ′ se tornam, respectivamente, perpendiculares quando ∆θ tende a zero, α ′ se tornará igual a α. Portanto, Equação 2.12 ⎛ 1 dR ⎞ ⎟ ⎝ R dθ ⎠ α = tg −1 ⎜ Pode-se determinar uma expressão para α, em qualquer tipo de movimento, partindo-se da equação 12. Entretanto, a determinação do ângulo de pressão máximo é quase sempre muito difícil, porque leva a equações transcedentais complexas. Por isso, Kloomok e Muffley empregam um nomograma desenvolvido por E. C. Varnun, apresentado na Figura 2.28; β e L/R0 são parâmetros já definidos anteriormente. Determina-se, usando-se o monograma, o valor máximo do ângulo de pressão para três tipos de movimento. Figura 2.28 - Monograma para determinação do ângulo de pressão Exemplo 5 - Um seguidor radial de rolete deve mover-se com deslocamento total de 18,75mm, com movimento cicloidal enquanto a came gira de 45º. O seguidor repousa por, 30º e então retorna com movimento cicloidal em 60º. Determine o valor de R0 para limitar o αmáx em 30º. Será examinada somente a elevação, devido ao seu ângulo β menor. Para β=45º e αmáx=30º, Elementos de Máquinas III L = 0,26 R0 44 (da Figura 2.28) Portanto, R0 = 18,75 = 72mm 0,26 Se o espaço não permite tal valor de R0, β pode ser aumentado e a came deve girar mais rápido para conservar o mesmo tempo de elevação. 2.5.3 Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete Na Figura 2.29 vê-se o início do traçado de uma came de disco com seguidor oscilante de rolete. O ângulo de elevação ψ é função do ângulo de rotação da came θ. Embora a came gire de θ para o ângulo de elevação ψ, o raio R gira segundo o ângulo φ. Especificando-se valores de R e φ, é possível obter-se o contorno da came. Figura 2.29 - Came de Disco com Seguidor Oscilante de Rolete Da Figura 2.29 pode-se ver que Equação 2.13 φ=θ-λ onde Equação 2.14 λ=β-Γ O ângulo β é uma constante do sistema e pode-se obter sua equação usando-se o triângulo OAO ′ . Assim, UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Equação 2.15 cos β = 45 S 2 + R02 − l 2 2SR0 onde S, R0 e l têm dimensões fixas. O ângulo Γ é função de R; sua equação pode ser obtida do triângulo OBO ′ como Equação 2.16 cos Γ = S 2 + R2 − l 2 2SR Também pode-se escrever uma equação para R, a partir do triângulo OBO ′ Equação 2.17 R 2 = l 2 + S 2 − 2lS cos(ψ + Σ ) O ângulo ∑ é uma constante determinada a partir do triângulo OAO ′ como Equação 2.18 l 2 + S 2 − R02 cos Σ = 2lS e o ângulo ψ é o ângulo de elevação para um determinado ângulo de rotação da came θ. Portanto, das equações precedentes, os valores de R e φ podem ser calculados a partir de valores de θ e dos correspondentes ângulos de elevação ψ. No projeto deste tipo de came, é necessário verificar se há rebaixos e conferir o ângulo de pressão máximo. As equações do raio de curvatura e do ângulo de pressão podem ser obtidas com mais facilidade pelo método de variáveis complexas de Raven. A Figura 2.30 mostra o esboço de uma came de disco e um seguidor oscilante de rolete, com o raio de curvatura da superfície primitiva ρ e o ângulo de pressão α. O ponto O é o centro da came, o pondo D é o centro da curvatura e o ponto O ′ , o centro de rotação do seguidor. A elevação angular do seguidor a partir da horizontal é σ, que é dada pela equação Equação 2.19 σ = σ 0 + f (θ ) onde f(θ) é a elevação angular desejada para o seguidor, a partir de um ângulo de referência σ0 (não mostrado na figura). Da Figura 2.30, o ângulo de pressão α é dado por α =σ − π 2 −γ Substituindo-se a equação 19 por σ Equação 2.20 α = [σ 0 + f (θ )] − π 2 −γ Elementos de Máquinas III 46 A fim de se obter uma expressão para o ângulo γ, determinam-se duas equações de posição, independentes, para o ponto A, centro do rolete. A primeira equação é obtida seguindo-se o trajeto (O-D-A) e a outra, seguindo-se o trajeto (O-B-O’-A). Figura 2.30 - Ângulo de pressão A equação para o primeiro trajeto é dada por R = re′δ + ρe′γ = r (cos δ + isenδ ) + ρ (cos γ + isenγ ) Equação 2.21 A equação para o segundo trajeto é dada por R = a + bi + le iσ = a + bi + l (cos σ + isenσ ) Equação 2.22 Separando-se as partes reais e imaginárias das equações 21 e 22, r cos δ + ρ cos γ = a + l cos σ rsenδ + ρsenγ = b + lsenσ Equação 2.23 Equação 2.24 Derivando as equações 23 e 24 em relação a θ, − rsenδ dδ dγ dσ − ρsenγ = −lsenσ dθ dθ dθ r cos δ dδ dγ dσ + ρ cos γ = l cos σ dθ dθ dθ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 47 Para uma rotação infinitesimal da came, ρ pode ser considerado como constante. Assim, o ponto D, o centro de curvatura da came no ponto de contato e r podem ser considerados como fixos à came para um acréscimo de rotação dθ. Portanto, o valor de dδ é igual a dθ e como δ diminui quando θ cresce, segue-se que dδ/dθ = -1. Também, dσ/dθ = f’(θ). Portanto, dγ = −lf ′(θ )senσ dθ dγ − r cos δ + ρ cos γ = lf ′(θ ) cos σ dθ rsenδ − ρsenγ Equação 2.25 Equação 2.26 Eliminando-se dγ/dθ nas equações 25 e 26, tgγ = rsenδ + lf ′(θ )senσ r cos δ + lf ′(θ ) cos σ Os termos r cosδ e r senδ podem ser calculados das equações 23 e 24, dando tgγ = Equação 2.27 b + lsenσ [1 + f ′(θ )] a + l cos σ [1 + f ′(θ )] que, quando substituída na equação 20, dará i ângulo de pressão α. Para se determinar αmax, será necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Para se calcular o raio de curvatura ρ, é necessário primeiro derivar a equação 27 em relação a θ. Substituindo dγ/dθ da equação 26 e com o auxílio da equações 19,23 e 27, obtémse a seguinte equação para ρ: Equação 2.28 [C ] 3 + D2 2 ρ= 2 C + D 2 [1 + f ′(θ )] − (aC + bC ) f ′(θ ) + (asenσ − b cos σ )lf ′′(θ ) ( ) 2 onde C = a + l cos σ [1 + f ′(θ )] D = b + lsenσ [1 + f ′(θ )] Para evitar o rebaixo, ρ deve ser maior do que o raio do rolete. Portanto, é possível determinar-se ρmin para cada posição do perfil da came. Para isso, é necessário o emprego de gráficos semelhantes aos dados por Kloomok e Muffley. Elementos de Máquinas III 2.6 48 EXERCÍCIOS 1 - Um seguidor se desloca com movimento harmônico H-1, elevando-se 25 mm em π 4 rad de rotação da came. O seguidor então se eleva de mais 25 mm com movimento cicloidal C2, para completar o curso de elevação. O seguidor repousa e retorna 25 cm com movimento cicloidal C-3 e os 25mm restantes com movimento harmônico H-4 em π 4 rad. (a)Determine os ângulos de rotação da came para os movimentos cicloidais e para o repouso combinando velocidades e acelerações. (b)Determine a equação para o deslocamento S em função de θ para cada tipo de movimento, tendo como origem das abscissas o ponto O, origem dos eixos coordenados, de modo que o deslocamento possa ser calculado para qualquer ângulo θ usando-se a equação adequada. 2 - No diagrama de deslocamento mostrado na figura 1 abaixo, deseja-se obter uma elevação total de 37,5mm com um seguidor radial de face plana combinando o movimento cicloidal C-1 com o harmônico H-2. (a) Usando os dados do diagrama, determine o ângulo β2, referente ao movimento harmônico, a fim de que haja continuidade de velocidades e de acelerações em B, ponto de transição entre os dois movimentos. (b) Determine o comprimento máximo teórico da face do seguidor necessário para os dois movimentos. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 49 3 - No desenho mostrado na figura 2 abaixo, a came de disco é empregada para posicionar o seguidor radial de face plana em um mecanismo de computo. O perfil da came deve ser projetado para dar um deslocamento S ao seguidor de acordo com a função s =kθ2 , partindo do repouso, quando a came girar no sentido anti-horário. Para 60o de rotação da came, a partir da posição inicial, a elevação do seguidor é de 10 mm. Determine analiticamente as distâncias R e l quando a came tiver girado 45o a partir da posição inicial. Verifique a existência de pontas no contorno da came durante a rotação de 600. Elementos de Máquinas III 3 50 ENGRENAGENS 3.1 INTRODUÇÃO A norma NBR 6174 define engrenagem como todo elemento mecânico denteado de forma constante, destinado a transmitir, movimento e/ou receber movimento de um outro elemento mecânico denteado também de forma constante, pela ação dos dentes em contato sucessivos. As engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em uma grande variedade de aplicações mecânicas. Permitem a redução ou o aumento do torque com perdas muito pequenas de energia, e aumento ou redução de velocidades angulares sem nenhuma perda. Baseada nas superfícies básicas usadas para a transmissão do movimento, as engrenagens podem ser divididas em: (i) Engrenagens cilíndricas; (ii) Engrenagens cônicas; e (iii) Engrenagens hiperbolóidicas. Na transmissão de movimentos deve-se também considerar as Engrenagens coroa e sem-fim. A Figura 3.1 a) e b) ilustra engrenagens cilíndricas de dentes retos externos e internos respectivamente. As engrenagens cilíndricas de dentes retos externos são geralmente utilizadas em transmissões que necessitam mudanças de engrenagens em serviço pois são fáceis de engatar. São preferencialmente usadas em transmissões de baixa rotação ao invés de alta devido ao ruído que produzem. As engrenagens cilíndricas com dentes internos são usadas em transmissões planetárias e transmissões finais de máquinas pesadas e são bastante utilizadas para melhor aproveitamento do espaço. Apresentam rendimento em torno de 98 a 99 %. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais são empregadas em escala um pouco menor que as engrenagens com dentes retos, e podem ser montadas além dos eixos paralelos (Figura 3.1-d), com eixos reversos(Figura 3.3-a). Possuem rendimento de 96 a 99%. São menos ruidosas, possuem melhor capacidade de carga e são usadas em velocidades mais elevadas. Transmitem esforços axiais ao eixo em virtude da inclinação do dente. Para evitar UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 51 este inconveniente usa-se as rodas helicoidais duplas (Figura 3.1-e) ou espinha de peixe (Figura 3.1-f). Figura 3.1 – Engrenagens cilíndricas. Fonte: Niemann: 1971 Figura 3.2 – Engrenagens Cônicas Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens cônicas são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos concorrentes e apresentam elevada capacidade de carga. Exigem precisão de montagem e Elementos de Máquinas III 52 transmitem esforços axiais aos eixos. Podem ser de dentes retos(Figura 3.2-a), dentes helicoidais(Figura 3.2-b) ou dentes curvos(Figura 3.2-c) Para elevadas velocidade é necessário o uso de dentes curvos. A Zerol é uma cônica de dentes curvos fabricada pela Gleason. Rendimento de 98%. Segundo Niemann (1971), as engrenagens cônicas são empregadas para relações de transmissão (multiplicação) até 6 e para relações de multiplicação acima de 1,2, são em geral mais caras que as engrenagens cilíndricas. Figura 3.3 – Engrenagens: a) helicoidal, b) coroa sem-fim Fonte: Niemann: 1971 As engrenagens coroa sem-fim (Figura 3.3-b) apresentam a vantagem de oferecer grandes reduções e de podem ser utilizadas para controle preciso de movimento circular de algum elemento, como por exemplo uma mesa divisora. Seu rendimento é baixo e varia de 45 a 97%, sendo portanto grande parte da potência transformada em calor, necessitando-se muitas vezes de aletas de refrigeração ou mesmo de radiador com ventilador para resfriamento da unidade. A capacidade de redução pode ser de até 60 ( com limite extremo de 100). Amortecem vibrações e são menos ruidosas que as reduções com outros tipos de engrenagens. As engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais cruzados (Figura 3.3-a), são utilizadas para eixos reversos para uma pequena distância entre eixos, para cargas pequenas e relações de transmissão de 1 a 5 aproximadamente (NIEMANN, 1971). As engrenagens hiperbolóidicas (Figura 3.4) são utilizadas para transmissão de movimento entre eixos reversos e possuem elevada capacidade de carga. São muito utilizadas em tratores e veículos automotores em geral em diferenciais onde é essencial a questão da altura do eixo propulsor. Os principais tipos, Hipóide e Palóide, correspondem aos fabricantes Gleason (USA) e Klingelnberg (Alemanha) respectivamente. Exigem grande precisão de montagem e apresentam rendimento da ordem de 98%. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 53 Figura 3.4 – Engrenagem hipóide Fonte: Niemann: 1971 3.2 PERFIL DOS DENTES DAS ENGRENAGENS 3.2.1 Perfil Cicloidal O perfil cicloidal, mais utilizado antigamente, é hoje utilizado apenas em relojoarias e pequenos mecanismos, devido o seu baixo atrito. Outra característica interessante é a possibilidade de obter pinhões com reduzido número de dentes. Apesar destas vantagens, há uma série de desvantagens que fazem com que não sejam mais utilizados. A ciclóide é uma curva descrita pelo ponto de uma circunferência que rola sem deslizamentos sobre uma reta. Seja a circunferência de centro em “O” e de raio “R” que rola sem deslizamento sobre a reta “AB”, conforme Figura 3.5. Figura 3.5 - Geração de uma ciclóide. Se a circunferência de raio “R” e centro “O” rolar sem deslizamento sobre outra circunferência, a curva descrita pelo ponto “P” será uma “epiciclóide”, conforme mostra a Figura 3.6. Elementos de Máquinas III 54 Figura 3.6 - Geração de uma epiciclóide Se a circunferência rolar sem deslizamento, internamente, a uma circunferência, a curva descrita por um ponto “P” traçará uma “hipociclóide”, conforme mostra a Figura 3.7. Figura 3.7 - Geração de uma hipociclóide A Figura 3.8 ilustra a maneira de como é gerado o perfil de uma engrenagem epicicloidal. Primeiramente, traça-se os círculos C1 e C2 com centros O1 e O2 respectivamente. Após usa-se agora os roletes R1 e R2 que irão rolar, sem deslizamento, para traçar as curvas do perfil da seguinte forma: (i) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C1 Fazendo rolar R1 sem deslizamento sobre o interior de C1 o ponto descreve um arco de hipociclóide IP1,que é o flanco do pé do perfil P1. Fazendo rolar R2 sem deslizamento sobre o exterior do C1 e o ponto descreve um arco de epiciclóide IS1, que vem a ser o flanco de cabeça do perfil P1. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 55 (ii) - Rolamento de R sobre o círculo Primitivo C2 Fazemos rolar R2 sem deslizamento sobre o interior do C2 e o ponto descreve um arco de hipociclóide IP2, formando o flanco do pé do perfil P2. Fazemos rolar R1 sem deslizamento sobre o exterior círculo primitivo C2 e o ponto descreve um arco de epiciclóide IS2 formando o flanco de cabeça do perfil P2 O1 R1 P1 S2 C1 I C2 S1 P2 R2 O2 Figura 3.8 - Geração de uma engrenagem epicicloidal Para obtenção de engrenagens intercambiáveis é necessário ter-se o mesmo rolete para todas as rodas. O valor, geralmente usado para o diâmetro dos roletes R1 e R2 é igual a 5,5m, onde “m” é o módulo que representa o diâmetro do círculo primitivo dividido pelo número de dentes. Nas engrenagens epicicloidais, a linha de ação (onde a força é transmitida) esta sobre os arcos pertencentes aos círculos R1 e R2 e como apresenta uma forma curva e, uma vez que as normais aos perfis devem passar por I, chegamos a conclusão que a orientação será variável. Desta maneira, a força transmitida varia em direção e intensidade, resultando um engrenamento com movimentos bruscos e sujeito a vibração. Uma outra desvantagens dos dentes epicicloidais esta associado ao fato de que os perfis P1 e P2 são determinados com os dois círculos primitivos C1 e C2 bem definidos. A distância entre centros deve ser rigorosamente igual à soma dos raios destes dois círculos, do contrário, o engrenamento é defeituoso. Elementos de Máquinas III 56 Também, devido ao ponto de inflexão em I as engrenagens epicicloidais são de difícil usinagem. 3.2.2 Perfil Evolvental A grande maioria das engrenagens, salvo casos muito particulares, é confeccionada com perfil evolvental. Comparando ao perfil cicloidal, essa curva apresenta as seguintes vantagens: (i) Usinagem com ferramentas mais simples; (ii) A relação de velocidades angulares entre duas rodas não varia com uma variação da distância entre centros; (iii) Facilidade da obtenção de rodas corrigidas; (iv) A direção da força entre os dentes permanece invariável; A evolvente é a curva gerada por um ponto de uma corda que se desenrola de um círculo. O termo exato seria evolvente de círculo, conforme a Figura 3.9. P Figura 3.9 - Geração da curva evolvente Consideremos, agora, duas circunferências de centros 01 e 02 que estão ligados por uma corda, conforme a Figura 3.10, sendo a corda possuidora de um ponto P. Coloca-se, inicialmente, o ponto P sobre B2 e faz-se a roda 2 girar no sentido horário. Desta maneira o ponto P descreverá uma evolvente EV2 sobre a roda 2 e uma evolvente EV1 sobre a roda 1. Pode-se notar que o ponto P será de tangência das duas evolventes. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 57 O1 B1 Ev2 P Ev1 B2 O2 Figura 3.10 - Geração de 2 evolventes com uma corda Faz-se, agora, um círculo transmitir movimento ao outro pelos perfis de evolvente. O contato será sempre no ponto P que se deslocará sobre a reta tangente às circunferências (reta de ação). A fim de caracterizar a terminologia, apresenta-se a geração da curva evolvente na Figura 3.11. Define-se: a) Circunferência de Base - É aquela circunferência sobre a qual rola a reta que contém o ponto, geratriz da evolvente. b) Raio de Base - É o raio da circunferência de base. c) Reta Geratriz - É a reta que rola, sem deslizamento, sobre a circunferência de base e contém o ponto P, gerador da evolvente. d) Raio Vetor - É o que une um ponto genérico P da evolvente com o centro da circunferência de base. e) Ângulo de Incidência, αp - É o ângulo formado pelo raio vetor e o raio que passa pelo ponto de tangência da reta geratriz com a circunferência de base. Elementos de Máquinas III 58 y C ρp rb αp P B βp O A x Figura 3.11 - Elementos na geração de uma evolvente A partir da Figura 3.11 podemos demonstrar as seguintes propriedades: (i) Qualquer geratriz da evolvente é tangente ao círculo base; (ii) O segmento da geratriz entre o ponto gerador P, e o ponto de tangência C, é o raio da evolvente no ponto P; (iii) A tangente à evolvente é normal à geratriz correspondente; (iv) O arco AC é igual ao segmento CP (lembrar da corda que se desenrola do cilindro); (v) O raio da evolvente na origem A é nulo; e (vi) A direção da evolvente na origem é a do raio correspondente, do círculo de base. A função evolvente pode ser deduzida a partir da Figura 3.11 onde pode-se escrever: rb = rp ⋅ cos α p ∩ ∩ ∩ AB + BC = AC ∩ ∩ ∩ Pela propriedade (d), da evolvente: AC = CP o que resulta então: AB + BC = CP ∩ ∩ AB BC CP + = que resulta em: Dividindo a última expressão acima por rb tem-se rb rb rb β p + α/ p = tan α p β p = tan α p − α p = Evα p Tem-se, então, βp como função de αp, e chamamos esta função de função evolvente, e ela apresenta grande importância no estudo de engrenagens. Seu valor se acha tabelado em grande parte dos livros que abordam engrenagens. As coordenadas x e y do ponto P da Figura 3.11 são: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 59 ⎞ ⎞ ⎛π ⎛π x = rb ⋅ cos(β p + α p ) + ρ p cos⎜ − α p − β p ⎟ e y = rb ⋅ sen(β p + α p ) + ρ p sen⎜ − α p − β p ⎟ ⎠ ⎠ ⎝2 ⎝2 Fazendo αp + βp = γp pode-se escrever: x = rb ⋅ (cos γ p + γ p ⋅ senγ p ) y = rb ⋅ (senγ p − γ p ⋅ cos γ p ) e Também podemos escrever: ρ = rb ⋅ tgα 3.3 LEI GERAL DO ENGRENAMENTO A Figura 3.12 ilustra uma posição instantânea de um engrenamento. As peças giram nos centros O1 e O2. Seja, ainda P, o ponto de contato dos dois perfis. A reta n corresponde a normal comum as duas superfícies (reta de ação) Sabemos baseados no estudo das velocidades angulares, que a relação de velocidades angulares ω1 depende da posição do ω2 ponto K que é definido pelo encontro da reta normal comum NN´ com a linha de centros das duas peças (Dúvidas consultar o anexo 1). O1 T N r1 P K r2 T´ N´ O2 Figura 3.12 - Lei geral do engrenamento. As superfícies 1 e 2 estão em contato pelo ponto P. A normal comum é NN´ e a tangente comum é TT´. Pode-se escrever, então, que a relação entre as velocidades angulares 1 e 2 é: Elementos de Máquinas III 60 ω1 O2 K = ω 2 O1 K onde O2K representa o raio primitivo r2 e O1K representa o raio primitivo r1 ou seja o raio das circunferências que passam em K. Podemos resumir estas propriedades, assim: ω1 , inversamente proporcional aos segmentos que o ω2 a) Existe uma relação de velocidade ponto K determina no segmento O1 e O2. ω1 O2 K r2 = = ω 2 O1 K r1 b) Para que a relação de velocidades angulares permaneça constante é necessário que o ponto K permaneça fixo. 3.4 ENGRENAMENTO DE DUAS EVOLVENTES Consideremos os corpos da figura 26 , que engrenam com seus perfis evolvente e dispõem de movimentos de rotação em torno de O1 e O2. Os círculos de base para as evolventes 1 e 2 são também centros em O1 e O2. Seja P o ponto de contato das duas evolventes. A normal comum aos perfis de evolventes deve cortar a linha entre centros em um ponto fixo K. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 61 N w2 w1 r2 T´ rb2 r1 α O2 K O1 α rb1 T N´ Figura 3.13 - Engrenamento de duas evolventes A reta NN´, constituída por retas tangentes ao círculo de base e perpendicular ao perfil da evolvente. Então, a reta NN´ é uma linha que tangência os círculos de base e passa em K. Logo é uma reta fixa e, é chamada “Reta de ação”. A reta de ação é o lugar geométrico dos pontos de contato das duas superfícies. Sobre o ponto K a velocidade tangencial é a mesma. V = ω1 ⋅ r1 = ω 2 ⋅ r2 Estas circunferências com raios r1 e r2 são chamadas de “circunferências primitivas” e apresentam grande importância. Vão gerar o diâmetro primitivo. Ao ponto K chamamos “Ponto Primitivo”. Desprezando-se o atrito, a força exercida por uma evolvente sobre a outra tem a direção normal à superfície em cada ponto. Portanto, a força tem direção da reta de ação. Ao ângulo formado entre a normal ao segmento que une os centros e a reta de ação, denomina-se “ângulo de pressão”. Vejamos, agora, o que acontece se a distância entre centros variar. Inicialmente para a distância entre centros O1 O2 temos: V = ω1 ⋅ r1 = ω 2 ⋅ r2 Elementos de Máquinas III 62 por ser a velocidade tangencial a mesma sobre o círculo primitivo. Pela Figura 3.13, tem-se que: rb1 = r1 ⋅ cos α Assim, podemos também escrever que e rb 2 = r2 ⋅ cos α w1 r2 rb 2 w = = ou seja, a relação 1 depende dos w2 r1 rb1 w2 raios de base, portanto, não se altera. Para uma nova distância entre centros O1 O2, conforme Figura 3.14, tem-se um novo ponto primitivo K’ e novos raios r1′ e r2′ , tais que: rb1 = r1′ ⋅ cos α ′ O1 e rb1 O1 α r1 rb 2 = r2′ ⋅ cos α ′ r1w a rb1 αw r2 aw r2w rb2 O2 rb2 O2 rb2 aw > a α > αw Figura 3.14 - Variação da distância entre centros no engrenamento de duas evolventes A partir da Figura 3.14 tem-se que: rb1 = r1 cos α = r1w cos α w e rb 2 = r2 ⋅ cos α = r2 w cos α w e (r1 + r2 ) cos α = (r1w + r2 w ) cos α w UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 63 Como: (r1 + r2 ) = a (r1w + r2 w ) = a w e Tem-se: a cos α = a w cos α w e cos α w = a cos α aw ou ainda igualando por meio de raios de base rb1 e rb2 pode-se escrever: cos α w = r1 cos α r1w Conclui-se, assim que o ângulo de pressão e os raios primitivos não são constantes de um engrenamento, uma vez que depende dos dois corpos em contato e da distância entre centros de funcionamento. Problemas sobre engrenamento de duas evolventes: 1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 4 mm. A engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 17 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 45 dentes. O ângulo de pressão α = 20o. Qual o ângulo de pressão de funcionamento αw quando as engrenagens operarem a uma distância entre centros de funcionamento aw = 125 mm. Elementos de Máquinas III 3.5 64 DESLIZAMENTO ESPECÍFICO C2 O2 T w2 C1 α rp2 rb2 ρ2 B2 r2 vn C ρ1 P B1 Reta de ação v1 vt1 rb1 rp1 r1 v2 αp1 α vt2 w1 O1 e T´ B2 vt2 B1 vt1 Figura 3.15 – Deslizamento específico. A Figura 3.15 representa dois perfis engrenando com contato instantâneo em P. Deseja-se ⎛ v ⎞ determinar a relação ⎜⎜ t ⎟⎟ que representa o deslizamento específico. As velocidades v1 e ⎝ ρ ⋅ω ⎠ v2 no ponto P, onde as evolventes entram em contato, devem ter projeções iguais sobre a normal comum à superfície (reta de ação). A estas projeções designamos por vn. Pode-se escrever então v n = v 1 ⋅ cos α p1 v1 = ω1 ⋅ rp1 rp1 = rb1 cos α p1 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 65 obtendo-se então: v n = ω1 ⋅ rb1 Da mesma forma, obtem-se: v n = ω 2 ⋅ rb 2 Para as velocidades tangenciais, podemos escrever, por semelhança de triângulos: vt1 PB1 = vn rb1 Sendo PB1 = ρ1 (raio equivalente P) e v n = ω1 ⋅ rb1 tem-se que vt1 = ω1 ρ1 vt 2 = ω 2 ρ 2 Analogamente: Esta velocidade tem bastante importância e vamos determiná-la três pontos : v t 2 = ω 2 ⋅ B 2 B1 Ponto B1: vt1 = 0 Ponto C: vt1 = ω1 ⋅ r1 senα Ponto B2: vt1 = ω1 ⋅ B1 B2 vt 2 = ω 2 ⋅ r2 senα vt 2 = 0 Os valores de vt1 e vt2 estão representados na Figura 3.15 sendo valores lineares. Para vt temos: vt = vt1 − vt 2 uma vez que é adotada a convenção de ser vt negativo, enquanto se desloca de B1 até C. Podemos escrever vt = vt1 − vt 2 = ω1 ⋅ ρ1 − ω 2 ⋅ ρ 2 Se orientarmos um segmento “e” que une o ponto C ao ponto P tal que sua orientação seja oposta ao caminhamento do contato (B1 para B2) tem-se que CP = e Tem-se então que: ρ1 = CB 1 + e e A velocidade vt será então, uma vez que ω1 CB1 = ω 2 CB2 A velocidade no ponto C é: vt = e ⋅ (ω1 + ω 2 ) ρ 2 = CB 2 − e Elementos de Máquinas III 66 Deve-se evitar valores elevados da velocidade de deslizamento a fim de evitar desgaste das superfícies e a dissipação de potência em forma de atrito. Ainda deve-se ter o cuidado de evitar que duas evolventes se toquem em regiões onde o raio de curvatura é pequeno, em virtude da área de contato ser pequena e provocar assim elevadas tensões, o que acarreta a fadiga do material na superfície. Assim deve-se manter a relação vt ρ pequena. Da mesma maneira, pode-se também minimizar a relação δ p = vt sendo esta, ρ ⋅ω praticamente equivalente. vt temos que vt = e ⋅ (ω1 + ω 2 ) e ρ.ω será decomposto em duas ρ ⋅ω ω1 ⋅ ρ1 e ω2 ⋅ ρ 2 Na relação δ p = situações: Para ρ podemos escrever: ρ = rb ⋅ tan α p e, geralmente: ρ1 = rb1 ⋅ tan α p1 e ρ 2 = rb 2 ⋅ tan α p 2 Tem-se então para o “deslizamento Específico” dos corpos número 1 e 2 as seguintes expressões: δ1p = e ⋅ (ω1 + ω 2 ) rb1 ⋅ ω1 ⋅ tan α p1 e δ2p = e ⋅ (ω1 + ω 2 ) rb 2 ⋅ ω 2 ⋅ tan α p 2 A partir das deduções acima determinou-se os valores do deslizamento específico em três pontos: Ponto B1 δ 1 =∝ Ponto C: δ1 = 0 CB1 ⋅ (ω1 + ω 2 ) B1 B2 ⋅ ω 2 δ2 = 0 δ2 = CB2 ⋅ (ω1 + ω 2 ) δ 2 =∝ B1 B2 ⋅ ω1 Problema sobre deslizamento específico 1) Um conjunto de engrenagem cilíndrica de dentes retos apresenta módulo m = 2,5 mm. A engrenagem menor (pinhão) possui z1 = 20 dentes e a engrenagem maior apresenta z2 = 60 dentes. O ângulo de pressão α = 20o. A velocidade angular da roda 1 é w1 = 1500 rpm. Determinar o deslizamento específico. Ponto B2: δ1 = UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 4 67 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES RETOS As engrenagens aparecem em quase todas as máquinas e, desta forma, o projetista tem freqüentemente a necessidade de projeta-las tanto a nível cinemático, geométrico e em termos de resistência mecânica. O que tem forçado o aparecimento das engrenagens é a exigência de engrenagens mais econômicas, mais silenciosas, mais leves e com maior capacidade de carga. Há uma grande quantidade de informações assim como vários processos de cálculo, pois além de pesquisas em muitas instituições, várias firmas desenvolvem programas de testes e aperfeiçoamento de suas engrenagens. O primeiro problema que surge ao projetar uma engrenagem é o de encontrar um par que seja capaz de transmitir potência requerida. As engrenagens devem ser: grandes o suficiente, resistentes e muito precisas para realizar o trabalho a que se destinam. Neste capítulo, apresenta-se inicialmente os aspectos cinemáticos e geométricos das engrenagens cilíndricas de dentes retos e em seguida o dimensionamento baseado na resistência mecânica e na vida, levando-se em consideração algumas normas técnicas. 4.1 INTRODUÇÃO A Figura 4.1 apresenta esquematicamente 3 posições de contato de duas evolventes durante um engrenamento. O ponto B1 é o lugar de engrenamento na origem da evolvente da peça 1 com um ponto da peça 2. O segundo ponto, esta em P e representa um ponto qualquer de engrenamento. O terceiro ponto B2 é o lugar do engrenamento na origem evolvente da peça 2 com um ponto da peça 1. Considerando-se o sentido de rotação do engrenamento o indicado na Figura 4.1 tem-se assim o engrenamento, iniciando em B2 e terminando em B1. Termina em B1 porque a partir deste ponto, caso o engrenamento continuasse, o mesmo se daria em um perfil qualquer, mas não em perfil evolvente, perdendo-se assim as boas características de engrenamento da evolvente. Desta maneira, sendo B1 o ponto extremo de engrenamento, limita-se o perfil da Elementos de Máquinas III 68 evolvente 2 pela circunferência que passa em B1 e tem centro em O2. Por razões práticas limita-se o engrenamento a um ponto anterior a B1, como veremos adiante. Analogamente, a peça 1 pode ser limitado pela circunferência que passa em B2 ou outra menor. A fim de haver continuidade no engrenamento deve-se ter um novo início de engrenamento em B2 antes que o engrenamento termine em B1. A principal razão de ser evitado o engrenamento na raiz da evolvente é o pequeno raio de evolvente na zona da raiz. Este pequeno raio conduz a uma pequena área de contato, o que representa elevados esforços ou tensões locais, que acabam por destruir a superfície do dente. Desta maneira limita-se os perfis de evolvente pelas circunferências O1A2 e O2A1, verificando-se então o início e fim do engrenamento nos pontos A2 e A1 (Ver figura 2) O1 Círculo de base 1 w1 rb1 B1 P B2 rb2 w2 O2 Círculo de base 2 Figura 4.1 - Engrenamento de duas evolventes UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 69 O1 Círculo de base 1 w1 rb1 B1 F G A2 B2 rb2 A1 D E w2 Círculo de base 2 O2 Figura 4.2 - Engrenamento de duas evolventes Durante um engrenamento, conforme a Figura 4.2, o perfil da evolvente da peça 2 inicia o contato quando sua origem esta em “D”, indo se colocar em “E” no fim de engrenamento. Neste mesmo tempo a evolvente 1 passou de “F” para “G”. Sabe-se pelas propriedades fundamentais da evolvente que: A1 A2 = DE = FG Sendo z1 o número de evolventes da peça 1 e z2 no peça 2, tem-se: DE FG ⋅ z2 = ⋅ z1 = 2 ⋅ π rb 2 rb1 donde: rb 2 ω1 z 2 = = rb1 ω 2 z1 Portanto, o número de evolventes (número de dentes) é inversamente proporcional às respectivas velocidade angulares. A fim de que as peças representados na Figura 4.2 possam transmitir movimentos também em sentido contrário, devemos prever uma nova família de evolvente, usando-se todas as considerações feita. Desta maneira chega-se à forma da Figura 4.3. Elementos de Máquinas III 70 Largura do dente Flanco Flanco do pé do dente Cilindro de cabeça ha h hf Cilindro primitivo Cilindro de base Cilindro de pé Perfil df d Flanco de cabeça da Figura 4.3 – Proporções da geometria de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos Fonte: Henriot (1968) 4.2 SIMBOLOS PRINCIPAIS DAS ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS Os símbolos e a terminologia empregada neste trabalho atendem as normas NBR 6684, NBR 6174 e SB 21. Neste trabalho, as principais relações geométricas das engrenagens estão associadas aos estudos de Henriot (1968) que apresenta forte relação com as normas ISO. Na simbologia descrita a seguir, deve-se utilizar o sub-índice 1 e 2 para associar as engrenagens menor e maior respectivamente. Com base no que já foi estudado no capítulo anterior pode-se escrever que a distância entre centros de referência corresponde a soma dos raios de referência da engrenagem maior e menor, ou seja: a = r1 + r2 A relação de transmissão pode ser determinada pelas seguintes expressões: i= Substituindo-se r2 = i ⋅ r1 d1 = rb 2 ω1 n1 z 2 d 2 r2 = = = = = rb1 ω 2 n 2 z1 d1 r1 na expressão a = r1 + r2 teremos que 2⋅a 2⋅a ⋅i . Da mesma forma encontra-se d 2 = . 1+ i 1+ i Considerando p o passo de referência (passo primitivo) pode-se escrever: r1 = a 1+ i ou UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions π ⋅ d = 2 ⋅π ⋅ r = p ⋅ z A relação p π = e d= p π 71 ⋅z d define-se ser igual a m (módulo). É usado nos paises que utilizam o z sistema métrico sendo seu valor medido em milímetros: m= p π = d z Para países cuja unidade é a polegada, usam-se em lugar do módulo, o “passo diametral” - DP do inglês Diametral pitch. O passo diametral ou Diametral pitch corresponde ao número de dentes dividido pelo diâmetro de referência (primitivo) medido em polegadas: DP = z d ′′ O passo diametral pode ser relacionado com o módulo pela seguinte expressão: m ⋅ DP = 25,4 Existem módulos e Diametral pith padronizados para facilitar a fabricação de ferramentas. Na Tabela 4.1, apresenta-se os módulos disponíveis pela DIN. de de de de de de de Tabela 4.1 - Módulos disponíveis pela DIN m = 0,3 até m = 1,0 mm de 0,1 mm em 0,1 mm m = 1,0 até m = 4,0 mm de 0,25 mm em 0,25 mm m = 4,0 até m = 7,0 mm de 0,5 mm em 0,5 mm m = 7,0 até m = 16,0 mm de 1,0 mm em 1,0 mm m = 16,0 até m = 24,00 mm de 2,0 mm em 2,0 mm m = 24,00 até m = 45,00 mm de 3,0 mm em 3,0 mm m = 45,00 até m = 75,00 mm de 5,0 mm em 5,0 mm A Tabela 4.2 apresenta os módulos padronizados de engrenagens cilíndricas transcritos da NBR 8088. A norma NBR 8088 salienta que deve ser dada preferência aos módulos da classe I. Recomenda-se evitar o emprego dos módulos indicados entre parênteses, da classe III. A fim de mostrar ao estudante de engenharia o tamanho dos módulos, a Figura 4.4 ilustra os dentes em tamanho aproximado ao natural para módulo entre 1 a 12. Elementos de Máquinas III Figura 4.4 - Dentes em tamanho natural para módulo entre 1 a 12 Fonte: Silveira (1977) 72 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 73 Tabela 4.2 – Módulos padronizados de engrenagens cilíndricas. Fonte: NBR 8088 Classe I II III I II III I II III 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 2 2,25 2,5 2,75 3 10 11 12 14 16 18 Módulos padronizados - m 0,6 0,8 0,7 0,9 (0,65) 4 5 3.5 4,5 5,5 20 22 25 28 1 1,125 1,25 1,375 1,5 1,75 7 8 9 6 32 36 40 45 50 A Tabela 4.3 apresenta os passos diametrais – DP normalizados segundo a ISO e o módulo m correspondente. Tabela 4.3 – Diametral Pitch normalizados (ISO) Fonte: Silveira (1977) Diametral Pitch normalizados (ISO) I II DP m correspondente 20 1,270 16 12 10 8 6 5 4 3 2 1/2 2 1 1/2 1 1/4 1 DP m correspondente 18 1,411 14 1,814 9 7 2,822 3,628 5 1/2 4 1/2 3 1/2 2 3/4 2 1/4 1 3/4 4,618 5,644 7,257 9,236 11,289 14,514 1.588 2,117 2,540 3,175 4,233 5,080 6,350 8,466 10,160 12,700 16,933 20,320 25,400 Associado a Figura 4.3, a Tabela 4.4 apresenta os principais símbolos geométricos utilizados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e as respectivas relações geométricas. Elementos de Máquinas III 74 Tabela 4.4 – Símbolos básicos adotados em engrenagens cilíndricas de dentes retos e relação geométrica Fonte principal: SB-21 Símbolo Nomenclatura Relação geométrica a aw Distância entre centros de referência Distância entre centros de funcionamento b d da db df e Largura do dente Diâmetro (do cilindro) de referência Diâmetro (do cilindro) de cabeça Diâmetro (do cilindro) de base Diâmetro (do cilindro) de pé Vão entre dentes(no cilindro) de referência ea eb ef h Vão entre dentes(no cilindro) de cabeça Vão entre dentes(no cilindro) de base Vão entre dentes(no cilindro) de pé Altura total do dente ha Altura da cabeça do dente h = ha + h f h = 2,25 ⋅ m ha = 1 ⋅ m hf Altura do pé do dente h f = 1,25 ⋅ m mb mn n1 n2 pb p Módulo de base Módulo normal Freqüência de rotação da engrenagem menor Freqüência de rotação da engrenagem maior Passo (no cilindro) de base Passo (no cilindro) de referência (não p= a cos α = a w cos α w d = m⋅ z e= referenciado pela norma S-21) qs ra Fator de entalhe Raio (do cilindro) de cabeça r Raio (do cilindro) de referência (não referenciado pela norma S-21) p 2 π ⋅d ou p = π ⋅m z ra = r1 + ha ra = m ⋅ ( z + 1) r = m⋅ z rb Raio (do cilindro) de base rb = r1 ⋅ cos α rf Raio (do cilindro) de pé rf = r1 − h f rf = m ⋅ ( z − 1,25) Sa S Espessura do dente (no cilindro) de cabeça ⎛ S ⎞ + Evα − Evα a ⎟ S a = 2 ⋅ ra ⋅ ⎜ ⋅ 2 r ⎝ ⎠ Espessura do dente (no cilindro) de referência p 2 m ⋅π S= 2 (não referenciado pela norma S-21) Sb Espessura do dente (no cilindro) de base Sw Espessura do funcionamento dente (no cilindro) S= ⎛ S ⎞ + Evα − Evα b ⎟ Sb = 2 ⋅ rb ⋅ ⎜ ⋅ 2 r ⎝ ⎠ ⎛S ⎞ Sb = rb ⋅ ⎜ + 2 ⋅ Evα ⎟ ⎝r ⎠ de UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Símbolo SM Nomenclatura Espessura do dente em um raio rM 75 Relação geométrica ⎛ S ⎞ S M = 2 ⋅ rM ⋅ ⎜ + Evα − Evα M ⎟ ⎝ 2⋅r ⎠ Usar: rM ⋅ cos α M = r ⋅ cos α = rb vg vga vt x1 x2 z1 z2 i Velocidade de deslizamento Velocidade de deslizamento na cabeça (do dente) Velocidade tangencial Fator de correção da engrenagem menor Fator de correção da engrenagem maior Número de dentes da engrenagem menor Número de dentes da engrenagem maior Relação de transmissão (movida/motora) αa αn αwn δ Ângulo de pressão no cilindro de cabeça Ângulo de pressão no cilindro de referência Ângulo de pressão de funcionamento normal Deslizamento específico R Grau de recobrimento Rw Grau de recobrimento para uma distância entre centros imposta w1 w2 4.3 i= z2 d 2 w1 n1 = = = z1 d1 w2 n2 R= Rw = ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ sen α p ⋅ cosα ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − aw ⋅ senα w p ⋅ cos α Velocidade angular da engrenagem menor Velocidade angular da engrenagem maior ESPESSURA DO DENTADO Finzi (1963) menciona que é importante determinar a espessura do dente em função do raio a fim de verificar que a sua extremidade não seja excessivamente fina, o que poderia acontecer com um pequeno número de dentes e grande ângulo de pressão. Segundo Henriot (1968), a fórmula geral para determinação da espessura Sm em um ponto M que apresenta o raio rM é: ⎛ S ⎞ + Evα − Evα M ⎟ S M = 2 ⋅ rM ⋅ ⎜ ⎝ 2⋅r ⎠ O ângulo de pressão na posição M (αM) é determinado pela seguinte expressão: rM ⋅ cos α M = r ⋅ cos α = rb Elementos de Máquinas III 76 É importante salientar que S = m ⋅ π representa a espessura sobre a circunferência de 2 referência (circulo primitivo). Sa Sm S Sb rm ra rp r rb Ev αM - Ev α O Figura 4.5 – Espessura do dentado Problemas sobre espessura do dentado: 1) Em uma engrenagem o diâmetro primitivo é de 100 mm e seu número de dentes é 50. Seu ângulo de pressão é de 20o. Determinar a espessura do dente sobre a circunferência de cabeça. 2) Para o problema anterior, determinar a espessura do dente sobre a circunferência de base. 3) Para o problema anterior determinar o raio do círculo de ponta ou seja, o raio da circunferência onde as duas evolventes de dentes se encontram. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 4.4 77 FOLGA NO FLANCO DOS DENTES Geralmente as engrenagens trabalham nos dois sentidos de rotação e em virtude de folga, a cada inversão de movimento ocorre um impacto (uma pancada da motora sobre a movida). A inversão também pode ocorre quando a motora se tora conduzida como por exemplo em um veículo em descida. A folga é muito prejudicial quando as engrenagens são usadas para posicionamento. Por outro lado, se não houver folga a perigo de engripamento dos dentes com desgastes acentuados e aquecimento dos mesmos. A folga é necessária para compensar erros de fabricação, folgas nos mancais, efeitos de temperaturas e deformações elásticas. O valor da folga em engrenagens de boa qualidade é da ordem de décimo de milímetro. Reta de ação J Figura 4.6 – Folga no engrenamento Elementos de Máquinas III 78 t2 O2 t 2´ ∆a α Reta de ação Ev1 Esta é a circunferência de referência (primitiva). Como ela esta ampliada parece uma reta K c ∆J1 d ∆J2 M J2 e J1 C α Ev2 b O1 Figura 4.7 – Folga na zona de contato de um engrenamento Na Figura 4.7 apresenta-se os perfis evolventes ampliados na zona de contato. Pode-se dada a ampliação fazer o perfil de evolvente ser representado como uma reta, normal à reta de ação. Da mesma maneira, as circunferências que passam em “C” (primitivas) podem ser substituídas por uma reta normal à linha entre centros. Chama-se de Folga normal J1 a distância entre duas evolventes medida sobre a reta de ação e seu valor é obtido por meio de lâminas calibradoras. Chama-se de Folga circular J2 a distância entre duas evolventes medida sobre a circunferência de referência (primitiva). Pode ser medida como a diferença entre o vão da roda 2 e a espessura do dente da roda 1, medidos sobre as respectivas circunferências primitivas ou seja: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 79 J 2 = e 2 − S1 Deslocando-se, agora O2 na direção de O1 de um valor ∆a. A evolvente 2 ocupará a posição da reta t2. A variação de folgas será obtida como segue: J 1 = KC J 2 = MC e ∆a c ∆J1 d α ∆J 2 e Figura 4.8 – Semelhança de triângulos Conforme Figura 4.8, por semelhança de triângulo chega-se a seguinte expressão: c d e = = ∆a ∆J 1 ∆J 2 Como tem-se ainda que d = C ⋅ senα ∆J 1 = ∆a ⋅ senα e e = C. tan α obtem-se: ∆J 2 = ∆a ⋅ tan α As folgas reais são diferentes das de projeto devido a erros de fabricação, montagem, dilatação, etc. Problema sobre folga no flanco do dente: 1) Determinar a distância entre centros de funcionamento para uma folga circular ∆J2 = 0,14 mm dados: m = 5; z1 = 17 dentes; i ≅ 2,7; α = 20o; dente normal. Elementos de Máquinas III 4.5 80 ARCO ÚTIL DO PERFIL DO DENTE As evolventes das engrenagens são limitadas por uma circunferência de cabeça. Na Figura 4.9, representa-se duas engrenagens em uma situação de engrenamento. O2 α rb2 Reta de ação rA2 ra2 C. base 2 r2 C. referência 2 C. cabeça 2 B2 A2 K A1 C. cabeça 1 B1 C. referência 1 r1 C. base 1 rA1 ra1 rb1 α O1 Figura 4.9 - Engrenamento de duas engrenagens Chama-se de arco útil do perfil do dente ao arco onde se realiza o contato entre as evolventes durante o engrenamento. O arco é limitado por duas circunferências de raios ra1 e rA1 para o pinhão e ra2 e rA2 para a roda. Os pontos A1 e A2 representam o início e o fim de engrenamento respectivamente. A partir da Figura 4.9 pode-se escrever: rA1 = (B A ) + (R ) 2 1 2 1 b1 Como: B1 A1 = B1 B2 − A1 B2 , Tem-se que: B1 B2 = O1O2 ⋅ senα = a ⋅ senα rA1 = (r ) 2 b1 A1 B2 = (r ) − (r ) ⎛ + ⎜ a ⋅ senα − ⎝ (r ) − (r ) e 2 a2 2 b2 2 a2 2 b2 ⎞ ⎟ ⎠ 2 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions rA 2 = Analogamente: (r ) 2 b2 ⎛ + ⎜ a ⋅ senα − ⎝ 81 (r ) − (r ) 2 a1 2 b1 ⎞ ⎟ ⎠ 2 As duas expressões anteriores caracterizam os limites de engrenamento de duas evolventes. Na Figura 4.10, tem-se um dente, onde K representa o inicio de contato e T o fim do contato, e está sobre a aresta do dente. O arco KT da evolvente é então o arco útil do perfil do dente. Ao ponto I, sobre a circunferência de base temos a origem da evolvente. Devido seu pequeno raio o arco KI da evolvente não é utilizado, e por esta razão abandona-se o perfil do dente segundo a curva “1” a fim de melhorar a resistência do dente. Pode-se também, adotar a curva “2”, produzindo um adelgaçamento no pé do dente melhorando desta forma suas características para interferência, podendo-se então ter engrenagnes com menor número de dentes. Para casos de altas cargas e velocidades, freqüentemente, adota-se o perfil conforme curva “3”. A variação do perfil é muito pequena e o valor de TT´ é da ordem da deformação elástica do dente. O segmento TT´´ é da ordem de 0,4m, onde “m” é o módulo da engrenagem. máx 0,02 T 0,4.m 3 T´ T´´ C. C1 C. referência 1 K 1 I 2 C. C2 C. fundo Figura 4.10 - Zonas de Engrenamento de um dente Elementos de Máquinas III 4.6 82 CREMALHEIRA Na Figura 4.11 tem-se um pinhão e cremalheiras. Baseados no fato de que a reta de ação é mantida tangente ao círculo de base e perpendicular ao perfil da cremalheira. r=∞ Cremalheira I O Y α Reta de ação Engrenagem r1 = finito Figura 4.11 - Engrenamento do pinhão com cremalheira em diferentes posições O ponto I da Figura 4.11onde a reta de ação corta a linha OY é o ponto da tangência do círculo primitivo do pinhão e da linha primitiva da cremalheira ( estes elementos rodam um sobre o outro sem deslizar. Desta maneira se mantém o raio primitivo r1 tal que r1 = rb1 e cos α o ângulo de pressão de funcionamento é α. O ângulo de pressão da cremalheira, para ser perpendicular ao perfil deve ser também α. Para a engrenagem com velocidade v = ω ⋅ r , onde ω é a sua velocidade angular e “r” o ser raio primitivo, teremos por ocasião do seu engrenamento com a cremalheira, um movimento linear da mesma com velocidade de translação “v”. Assim, um conjunto engrenagem-cremalheira transforma movimento rotativo em linear. Denomina-se “Reta Média” da cremalheira aquela sobre a qual a espessura do dente é igual a do vão. A reta primitiva é função do engrenamento. O ângulo de pressão dado o flanco ser reto é constante e conserva seu valor para qualquer engrenamento. Podemos escrever: p = S + e = S m + em = 2 ⋅ em = 2 ⋅ S m A espessura do dente a uma distância “l” da reta média vale: S x = S m + 2 ⋅ l ⋅ tan α sendo “ l ” orientado conforme Figura 4.12. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Sx ha l 83 p h em Sm hf α Figura 4.12 – Cremalheira. As cremalheiras podem ser usadas como ferramentas para a fabricação de novas engrenagens ou como engrenagens. A Figura 4.13a define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada e da cremalheira engrenagem normalizada. Como vemos, a cremalheira ferramenta é diferente da cremalheira engrenagem. O adendo da cremalheira ferramenta é maior para poder retirar mais material do fundo do dente e permitir a existência de uma folga, da ordem de 0,1m a 0,2m. Freqüentemente são usados arredondamentos dos vértices conforme Figura 4.13a. A fim de conseguir curvas “1”, “2”, “3” referidas na figura 9, usa-se perfis adequados da cremalheira ferramenta. p = 3,1416m 2,25m 1m 1,25m 20o Cremalheira ferramenta Linha de referência 0,4m 1m e = 1,5708m S = 1,5708m Cremalheira ferramenta Figura 4.13 - Cremalheira Ferramenta e cremalheira engrenagem normalizada. 4.7 INTERFERÊNCIA Na Figura 4.14 é representado um engrenamento entre um engrenagem 1 (pinhão) representado pelo sub-índice 1 e uma engrenagem 2 (roda) pelo sub-índice 2. Elementos de Máquinas III 84 A reta rolando sobre ambos os círculos de base representados durante o engrenamento vai gerar a evolvente 1, a contra-evolvente 1 no pinhão 1 e a evolvente 2 na roda 2. Sejam B1 e B2 respectivamente os pontos de tangência da reta de ação. desta maneira o ponto P gerou as evolventes e contra-evolventes fora do segmento B1 B2 . O flanco do dente que corresponde ao perfil da evolvente 2 deve engrenar com o flanco da evolvente 1. No ponto A tem-se a origem da contra-evolvente e evolvente 1, e disposto a uma distância de B2 igual a B2 P , desenvolvido sobre o círculo de base 1. Já para a evolvente 1, o ponto P deve estar acima de A, em virtude dos raios da evolvente 1 e contra-evolvente 2. Assim a evolvente 2 sempre cortará a evolvente 1 se o engrenamento se der fora do segmento B1 B2 . Isto significa fisicamente que se duas rodas dentadas engrenarem fora do segmento B1 B2 haverá engripamento (interferência de funcionamento), ruptura ou desgaste da superfície dos dentes e ainda mais se uma das rodas dentadas for uma ferramenta de corte, será destruído o perfil de evolvente, junto ao pé do dente que esta sendo usinado (interferência de fabricação). Ev2 O2 A B2 P CEv2 C Ev1 B1 Ev1 O1 Figura 4.14 - Engrenamento de evolventes e interferência. Vamos observar a Figura 4.15 onde é representado um engrenamento de evolventes. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 85 C Cabeça 2 C base 2 B1 α rb1 α π ra2 2 r2 r1 O1 C O2 α ra1 rb2 C base 1 B2 Figura 4.15 - Engrenamento de Evolventes A condição necessária para evitar interferência é que o segmento de ação seja limitado pelo segmento B1 B2 . O caso limite ocorre então com a circunferência de cabeça da roda 2 passando em B1 e da roda 1 em B2. ( No triângulo O2B1C temos que B1O2 ) 2 ⎛π ⎞ 2 = (r1 ⋅ senα ) + r2 − 2 ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ senα ⋅ cos⎜ + α ⎟ e ⎝2 ⎠ sendo: ra 2 = r2 + ha 2 ≤ B1O2 então: ha22 + 2 ⋅ r2 ⋅ ha 2 = (r1 ⋅ senα ) + 2 ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ sen 2α 2 ou r2 = (r1 ⋅ senα )2 − ha22 2 ⋅ ha 2 − 2 ⋅ r1 ⋅ sen 2α Para um engrenamento normal temos: r1 = m ⋅ z1 , r2 = m ⋅ z 2 e ha 2 = m Assim, para cada z1 obteremos um valor z2 para que não haja interferência. Substituindo os valores em função de z2. z2 ≤ z12 ⋅ sen 2α − 4 4 − 2 ⋅ z1 ⋅ sen 2α Elementos de Máquinas III Na Tabela 4.5 apresenta-se a relação limite 86 z1 para α = 15 e 20o. z2 Tabela 4.5 – Relação z1/z2 para α = 15 e 20o. Z1 Z2 15o 21722 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 20o 13/16 14/26 15/50 16/101 17/131 18/∞ 27/117 28/195 0 4.7.1 Interferência de fabricação com a cremalheira ferramenta Pode-se usinar uma engrenagem com o emprego de uma ferramenta dentada como por exemplo com uma cremalheira, provida de gumes de corte e dotadas de movimentos especiais. Para a cremalheira o valor r2 da z 2 ≤ r2 = ∞ então z12 ⋅ sen 2α − 4 é infinito, ou seja: 4 − 2 ⋅ z1 ⋅ sen 2α 2 ⋅ ha 2 − 2 ⋅ r1 ⋅ sen 2α = 0 ou r1 = ha 2 sen 2α Sendo ha2 = ha0, o adento da cremalheira de corte e α, o ângulo de pressão da mesma, obtemos com a equação 20, o mesmo valor do raio da roda que pode ser usinado sem interferência. Para o caso comum de ha2 = m, α = 20o e sendo r1 = m1.z1 obtem-se z1 = 2 = 17,09 ≅ 18 ou seja, se um pinhão com menos de 18 dentes, for usinado por sen 20 o 2 uma cremalheira ferramenta, o pinhão sofrerá uma adelgaçamento do pé dos dentes. A cremalheira de corte é a ferramenta que provoca o máximo de adelgaçamento. Rodas usinadas com o seu emprego não sofrerão interferência de funcionamento com nenhuma outra roda. Geralmente, ao invés de 18 dentes, utiliza-se como limite mínimo de dentes para a construção de engrenagens cilíndricas de dentes retos, 17 dentes. Porém é bom lembrar que engrenagens com 17 dentes produzidas a partir de uma cremalheira ferramenta sofrerão um pequeno adelgaçamento da raiz do dente. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 4.8 87 GRAU DE RECOBRIMENTO O grau de recobrimento de um conjunto de engrenagens é definido como a relação entre o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento e o tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos. O grau de recobrimento indica então o número de pares de dentes que permanecem engrenados a cada instante. Deste modo um grau de recobrimento igual a 1,35 indica que durante 35% do tempo permaneceu engrenado 2 pares de dentes e durante os 65% restante apenas 1 para esta engrenado. 1+1=2 35% do tempo permanece 2 pares de dentes engrenados R = 1,35 65% do tempo permanece 1 pares de dentes engrenados 100-35 = 65 Figura 4.16 – Exemplo de grau de recobrimento. Pela Figura 4.17 tem-se a situação de engrenamento. O engrenamento inicia em A1 e termina em A2. Conforme já estudado no item Arco Útil do Perfil do Dente, os pontos A1 e A2 são os extremos do arco útil do perfil do dente. O segmento A1 A 2 é o segmento de ação e é o lugar geométrico dos pontos em contato das duas evolventes. A velocidade de deslocamento do ponto P em contato sobre a reta de ação, conforme estudado no item Deslizamento Específico, é: v n = ω1 ⋅ rb1 = ω 2 ⋅ rb 2 = ω1 ⋅ r1 ⋅ cos α Um par de dentes permanece engrenado desde A1 até A2, percorrendo o segmento A 1 A 2 com velocidade vn. Desta maneira o tempo que um par de dentes permanece em engrenamento pode ser determinado pela seguinte expressão: t1 = A1 A2 vn Elementos de Máquinas III 88 O tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessivos pode ser determinado pela seguinte expressão: t2 = p vt Sendo p o passo primitivo (espaço) e vt a velocidade tangencial; A partir da definição de recobrimento: R= Tempo para o ponto de contato percorrer o segmento de ação Tempo entre dois inícios de engrenamentos sucessívos Escreve-se: A1 A2 v A1 A2 ⋅ r1 A1 A2 R= n = →R= p ω1 ⋅ r1 ⋅ cos α ⋅ p p ⋅ cos α vt O2 α A2 B2 α P1 C P2 B1 A1 α ra1 O1 Figura 4.17 – Engrenamento de duas engrenagens com elementos para determinar o grau de recobrimento A partir da Figura 4.17, pode-se escrever: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 89 A1 A2 = B1 A2 + B2 A1 − B1 B2 B1 A2 = ra21 − rb21 e B2 A1 = ra22 − rb22 B1 B2 = B1C + CB2 = r1 ⋅ senα + r2 ⋅ senα = a ⋅ senα Tem-se assim A1 A2 = ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ senα Logo, o grau de recobrimento para funcionamento em uma distância entre centros “a” é determinado pela seguinte expressão: R= ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ senα p ⋅ cos α Para funcionamento na distância entre centros de funcionamento aw com ângulo de pressão de funcionamento αw tem-se: Rw = ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − aw ⋅ senα w p ⋅ cos α Para a utilização da expressão acima lembre-se que: a ⋅ cos α = a w ⋅ cos α w e p ⋅ cos α = p w ⋅ cos α w onde: mw = p w = π ⋅ m w , sendo mw o módulo de funcionamento e cujo valor será: 2 ⋅ aw ( z1 + z 2 ) O grau de recobrimento não pode ser menor que 1 afim de garantir a continuidade do movimento. A medida que o grau de recobrimento existe e aumenta, há maior suavidade de movimento, com menos vibrações e ruídos. Na prática, usa-se 1,2 ≤ R ≤ 1,4 . Se houver em uma roda ou ambas as rodas adelgaçamento da raiz do dente, as equações as equações 14 e 15 devem ser verificadas, bem como as equações 21 e 22. Problemas sobre grau de recobrimento Elementos de Máquinas III 90 1 - Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos normal deve engrenar com um pinhão de 20 dentes, módulo de 4 mm e ângulo de pressão 20o. A relação de transmissão deve ser igual a 2. Determinar a distância entre centros e o grau de recobrimento. 2 - Para o problema anterior determinar o máxima distância entre centros de funcionamento (aw) possível de ser utilizada. 4.9 MECÂNISMO GEOMÉTRICO DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS A correção de engrenagens pode ser aplicada para: (i) Para Compatibilizar distâncias entre centros de funcionamento e projeto; (ii) Evitar a interferência de fabricação; e (iii) Otimização do deslizamento específico. Para fins de entendimento da correção de engrenagens, faz-se algumas definições baseadas nas figura que seguem. o p = 3,1416m Cremalheira ferramenta 2,25m 1m 1,25m 20 Linha de referência e = 1,5708m S = 1,5708m Cremalheira ferramenta Figura 4.18 – Cremalheira ferramenta com módulo normalizado 1 mm A Figura 4.18 define os elementos geométricos da cremalheira ferramenta normalizada. A linha de referência ou reta média é aquela sobre a qual a espessura do dente é igual ao vão. Ela serve de referência para definir as demais dimensões. Para engrenagens mecânicas em geral com 1 ≤ mo ≤ 20 e 20 ≤ DPo ≤ 1 , além das dimensões já definidas tem-se que o ângulo de pressão normalizado é de αo = 20o e os raios de concordância iguais a r = 0,4 m. A Figura 4.19 representa a usinagem de uma roda de “z” dentes a partir da cremalheira ferramenta. Chama-se: (i) -Diâmetro primitivo de usinagem da roda; e (ii) -Linha primitiva de UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 91 usinagem da cremalheira, aos elementos que rolam sem deslizamento, um sobre o outro, durante a usinagem. Logo, o passo primitivo “p” da roda é igual ao passo “p” da cremalheira. Por outro lado, a linha de ação de usinagem é normal ao perfil da cremalheira e tangente ao círculo de base da roda usinada. Isto significa que o diâmetro do círculo de base da roda é igual ao diâmetro primitivo de usinagem multiplicado pelo cosseno do ângulo de pressão “α” da cremalheira. Círculo de referência da engrenagem (primitiva) z.m.cosα z.m Círculo de base α α O círculo rola sem deslizamento p = π.m Linha de primitiva de geração Reta de ação Cremalheira geratriz Figura 4.19 - Usinagem de roda com “z” dentes a partir de cremalheira ferramenta Uma engrenagem apresenta dente normalizado se pode ser gerada a partir da cremalheira ferramenta normalizada. Um dente normalizado é dito normal se durante a usinagem a linha primitiva de usinagem (geração) da cremalheira ferramenta se confunde com a linha de referência desta. As características geométricas das engrenagens normais são aquelas ilustradas na Tabela 4.4. No dente normal é importante salientar que a espessura do dente é igual ao vão do dente sobre o diâmetro de referência (primitivo) da engrenagem. Um dente normalizado é dito corrigido se a linha primitiva de usinagem da cremalheira ferramenta não se confunde com a linha de referência. Sobre a circunferência primitiva de usinagem, com diâmetro de valor d = m ⋅ z tem-se para engrenagem com dente corrigido que: (i) Espessura ≠ vão; (ii) Espessura + vão = Passo Elementos de Máquinas III 92 = π ⋅ m ; (iii) Adendo - ha = m ⋅ (1 + x ) ; (iv) Dedendo h f = m ⋅ (1,25 − x ) ; e (v) Altura do dente h = 2,25 ⋅ m . Obs.: x representa i índice de correção. Na Figura 4.20 temos uma roda de dentes corrigidos, uma vez que a linha primitiva de usinagem da cremalheira não coincide com a linha de referência. x.m (+) Linha de referência Linha de geração 1,25.m I h S ha h = 2,25 ⋅ m h f = m ⋅ (1,25 − x ) ha = m ⋅ (1 + x ) hf ⎛π ⎞ S = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x ⋅ tgα ⎟ ⎝2 ⎠ d = z⋅m x.(+) Figura 4.20 - Usinagem de roda com dentes corrigidos por correção positiva A correção se chama positiva se a linha de referência é exterior ao círculo primitivo de usinagem. A correção se chama negativa se a linha de referência corta o círculo primitivo de usinagem. O deslocamento do perfil “x.m” é a distância entre a linha de referência e a linha primitiva de usinagem. O coeficiente de correção ou simplesmente correção é o deslocamento do perfil dividido pelo módulo da cremalheira ferramenta. x= x⋅m m Usa-se desta maneira x1 para designar a correção no pinhão e x2 para a roda. Na Figura 4.20 vê-se uma roda dentada com correção positiva e na Figura 4.21 pode-se ver tanto a correção positiva como a correção negativa. Observe-se que a correção positiva torna o dente aguçado na ponta e a correção negativa adelgaça o dente em sua raiz. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 93 Figura 4.21 - Diversos tipos de Correção a) Correção positiva x=+1,00 b) Correção Positiva x = +0,50 c) Sem correção x= 0,00 d) Correção negativa x = -0,50 A expressão geral da espessura do dente da cremalheira é: ⎛π ⎞ S = mo ⋅ ⎜ + 2 ⋅ l ⋅ tan α o ⎟ ⎝2 ⎠ onde, “l”, é considerado com seu valor algébrico positivo ou negativo. A expressão geral da espessura dos dentes da roda é: ⎛s ⎞ S F = 2 ⋅ rF ⋅ ⎜ + Evα − Evα F ⎟ ⎝d ⎠ fazendo: SF = Espessura do dente na circunferência de cabeça 2 ⋅ rF = d R = diâmetro da circunferência de cabeça ⎛π ⎞ s = mo ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x ⋅ tan α o ⎟ = espessura do dente sobre a circunferência primitiva ⎝2 ⎠ de usinagem; d = diâmetro primitivo de usinagem; α = ângulo de pressão no engrenamento de usinagem αF = ângulo de incidência do ponto da evolvente sobre a circunferência de cabeça. Utilizando ainda a expressão: d F cos α o = d cos α F Elementos de Máquinas III 94 podemos obter a espessura de dente na circunferência de cabeça SF. Se a correção x do deslocamento do perfil for positiva e elevada, pode-se verificar um aguçamento da cabeça do dente, conforme a Figura 4.21 ilustra. A espessura da cabeça do dente não deve, para engrenagens cementadas ser inferior a 0,4m . Para engrenagens comuns deve ser maior ou igual a 0,2m. Os dentes aguçados são empregados quando se deseja rodas com reduzido número de dentes. Se a correção for negativa e elevada, verifica-se para pequenos números de dentes o aparecimento do adelgaçamento do pé do dente. Na Figura 4.21 temos perfis corrigidos e um perfil normal, onde se pode observar o que foi afirmado. 4.9.1 Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Externos Na Tabela 4.6, apresentamos as características geométricas de um dentado reto exterior corrigido. Tabela 4.6 - Características de um dentado reto exterior Corrigido Designação Fórmula d = m⋅ z Diâmetro de referência(Primitivo) Diâmetro de cabeça d a = (z + 2 + 2 ⋅ x ) ⋅ m Espessura sobre o primitivo ⎛π ⎞ s = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x ⋅ tan α ⎟ ⎝2 ⎠ Adendo ha = (1 + x ) ⋅ m Dedendo h f = (1,25 − x ) ⋅ m Altura do dente 4.9.2 h = 2,25 ⋅ m Correção de Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos Internos Na Tabela 4.7 apresenta-se as características geométricas de um dentado reto interno. Para a roda, usaremos a mesma convenção de sinal da correção x. Tabela 4.7 - Características de um dentado reto interno Corrigido Designação Fórmula Diâmetro de referência (Primitivo) d 2 = m ⋅ z2 Diâmetro exterior d a 2 = ( z − 2 + 2 ⋅ x2 ) ⋅ m Espessura sobre o primitivo ⎞ ⎛π S 2 = m ⋅ ⎜ − 2 ⋅ x2 ⋅ tan α ⎟ ⎠ ⎝2 Adendo ha 2 = (1 − x2 ) ⋅ m UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 4.9.3 Dedendo h f = (1,25 + x2 ) ⋅ m Altura do dente h = 2,25 ⋅ m 95 Tipos de Engrenamentos Na figura ao lado, podemos ver os três tipos de engrenamentos: 1. Engrenamento Zero ou Normal (a); 2. Engrenamento V zero (c); 3. Engrenamento V (b); Figura 4.22 – Tipos de Engrenamentos Fonte: Niemann (1977) 4.9.3.1 Engrenamento Zero ou Normal Consideramos uma roda e um pinhão usinados com uma mesma cremalheira ferramenta com módulo mo e ângulo de pressão α. Consideremos ainda que durante a usinagem a linha primitiva de usinagem da cremalheira coincidiu com a linha de referência. Desta maneira teremos usinado uma roda e um pinhão normais. Nos itens anteriores, já estudamos as características do dentado normal. Tem-se para a distância entre centros normal as seguintes relações(Tabela 4.8): Tabela 4.8 - distância entre centros normal para engrenagens com dentes externos e internos Dentes externos Dentes Internos Engrenagens d + d1 d − d1 a= 2 a= 2 cilíndricas de dentes retos 2 2 Elementos de Máquinas III 96 Para o recobrimento obtivemos as expressões, onde o sinal superior se refere as engrenagens externas e o inferior as internas. R= 1 ⋅ p ⋅ cos α [r 2 a1 ] − rb21 ± ra22 − rb22 m a ⋅ senα O número mínimo de dentes sem adelgaçamento do pé do dente pode ser obtido a partir da expressão geral do limite de interferência ou adelgaçamento já visto: r2 = Equação 4.1 (r1 ⋅ senα )2 − ha22 2 ⋅ ha 2 − 2 ⋅ r1 ⋅ sen 2α Uma vez que para o engrenamento normal temos: r1 = mo ⋅ Z 1 2 r2 = mo ⋅ Z 2 2 ha 2 = m o α = αo desta maneira, a cada z1 obtemos um valor de z2 para que não haja interferência. A Tabela 4.9 relaciona alguns valores: αo 15o 20o Tabela 4.9 – Relação do número de dentes sem interferência de fabricação r1 r2 21/22 22/27 23/34 24/44 25/58 26/80 27/117 13/16 14/26 15/50 16/101 17/1310 18/ ∝ 27/195 Desta maneira, se usinarmos um pinhão de 13 dentes com uma engrenagem ferramenta Fellows de 16 dentes, não haverá adelgaçamento do pé do dente do pinhão. Se o pinhão for engrenado com uma roda com número de dentes maior do que o da engrenagem ferramenta haverá interferência. Tem-se que: z2 ≤ Equação 4.2 z12 ⋅ sen 2α − 4 4 − 2 ⋅ z1 ⋅ sen 2α A partir desta expressão podemos determinar o número mínimo de dentes z1 para engrenar com a cremalheira sem haver interferência. Neste caso limite temos Z2=∝, logo. 4 − 2 ⋅ Z 1 ⋅ sen 2α = 0 Equação 4.3 z1 = 2 sen 2α UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 97 Onde substituindo pelo ângulo de pressão de usinagem, temos o valor procurado para z1. Abaixo na Tabela 4.10 temos alguns valores: Tabela 4.10 - Número mínimo de dentes Z1 15,50 200 250 15o 30 22 17 11 α Z1 30o 8 A vantagem de usinar engrenagens com ferramenta Fellows é que se consegue rodas com menor número de dentes, sem adelgaçamento do pé do dente. Compare-se por exemplo, para αo=20o, obtemos o mínimo de 17 dentes com a cremalheira ferramenta e de apenas 13 dentes se for usinado com ferramenta Fellows de 16 dentes. Como desvantagens, um pinhão gerado por Ferramenta Fellows só pode engrenar com outro de mesmo ou menor número de dentes, a fim de evitar interferência. Um pinhão gerado por cremalheira pode engrenar com qualquer número de dentes sem haver problemas de interferência. Com ângulo de pressão de 30o, podemos obter um pinhão de 7 dentes com ferramenta Fellows de 17 dentes e um pinhão de 8 dentes com cremalheira ferramenta, sem haver adelgaçamento do pé do dente. 4.9.3.2 Engrenamento V0 (Vê-zero) Ao engrenamento obtido com um pinhão com correção x1 e uma roda com correção x2, e que trabalhem de tal maneira que as circunferências primitivas de funcionamento sejam as de usinagem, denomina-se engrenamento V0. O ângulo de pressão de funcionamento corresponde então ao ângulo de pressão α da cremalheira ferramenta. Sobre os círculos primitivos de usinagem os dentados tem o mesmo passo: Chamando-se: S1 - espessura primitiva dos dentes do pinhão S2 - espessura primitiva dos dentes da roda e1 - vão primitivo dos dentes do pinhão e2 - vão primitivo dos dentes da roda. Sabendo-se que o passo vale π ⋅ mo tem-se que: Equação 4.4 p o = π ⋅ mo = (e1 + S1 ) = (e2 + S 2 ) Elementos de Máquinas III 98 Sendo: S1 = e2 Equação 4.5 S 2 = e1 e Substituindo a Equação 4.4 em Equação 4.5 obtem-se p o = π ⋅ mo = s1 + s 2 Equação 4.6 que é a condição fundamental para que a distância entre centros de funcionamento aw coincida com a normal a. Sendo x1 - correção do pinhão x2 - correção da roda temos pela Tabela 4.6: Equação 4.7 ⎞ ⎛π S1 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α ⎟ ⎠ ⎝2 ⎛π ⎞ S 2 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x2 ⋅ tan α ⎟ ⎝2 ⎠ e Substituindo-se a Equação 4.7 em Equação 4.6 teremos: ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ s1 + s 2 = mo ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α o ⎟ + mo ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α o ⎟ = π ⋅ mo ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Simplificando teremos: 2 ⋅ x1 ⋅ tan α o + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α o = 0 Logo: x1 + x 2 = 0 Equação 4.8 4.9.3.2.1 ou x1 = − x2 x2 = − x1 Engrenagens de dentes retos externos Assim, como foi visto as engrenagens cilíndricas de dentes retos externos apresentam: x1 + x 2 = π ⋅ mo x1 + x 2 = 0 4.9.3.2.2 Engrenagens de dentes retos internos ou x1 = − x 2 x 2 = − x1 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 99 ⎛ z − z1 ⎞ a = m⋅⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ A distância entre centros normal é: S1 + S 2 = π ⋅ m Deve-se ter: Usando as Tabela 4.6 e Tabela 4.7, uma vez que a roda é interna e o pinhão é externo: ⎞ ⎛π S1 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α ⎟ ⎠ ⎝2 e ⎛π ⎞ S 2 = mo ⋅ ⎜ − 2 ⋅ x2 ⋅ tan α o ⎟ ⎝2 ⎠ Chega-se então a seguinte conclusão: x1 = x 2 4.9.4 ou x1 − x 2 = 0 Engrenamento V (vê) Figura 4.23 - Engrenamento de Evolvente com perfil deslocado Metade esquerda : Fabricação do pinhão e da roda com o mesmo perfil de referência de 20o com um deslocamento x1m para o pinhão e x2m para a roda. Metade direita: Posição de serviço do engrenamento, após aproximação e rebaixamento da cabeça do dente pelo valor km 4.9.4.1 Engrenagens cilíndricas de dentes retos externos (a aw) Veremos que em certos casos somos obrigados a abandonar a distância entre centros normal a. Podemos assim ser conduzidos a adotar s coeficientes de correção x1 para o pinhão e x2 para a roda tais que sua soma sejam diferente de zero. (a aw). Isto geralmente acontece quando temos várias engrenagens no mesmo eixo, como no caso de redutores, e caixas de câmbio, ou estamos em presença de uma substituição de um par de engrenagens por outro de diferente relação de transmissão em um mecanismo. Elementos de Máquinas III 100 Outra razão de se adotar x1 e x2 é melhorar as características das engrenagens, como será abordado na aplicação da correção. Pelo formulário já visto, se: x1 + x 2 f 0 Temos necessariamente que S 1w + S 2 w f π ⋅ m o e a distância entre centros de funcionamento aw é obrigatoriamente maior que a distância entre centros normal a. x1 + x 2 p 0 Se: S 1w + S 2 w p π ⋅ m o Temos necessariamente que e a distância entre centros de funcionamento aw é obrigatoriamente menor que a distância entre centros normal a. Façamos a usinagem do pinhão e da roda com coeficientes de correção x1 e x2, tais que x1 + x 2 ≠ 0 , e o engrenamento de tal maneira que não haja folga no flanco. As características do pinhão e da roda, para engrenagens cilíndricas de dentes retos externos de acordo com a Tabela 4.11 Tabela 4.11 - Características de um dentado reto exterior corrigido Designação Fórmula Pinhão Roda Diâmetro Primitivo d1 = m ⋅ z1 d 2 = m ⋅ z2 Diâmetro exterior d a1 = ( z1 + 2 + 2 ⋅ x1 ) ⋅ m d a 2 = (z 2 + 2 + 2 ⋅ x 2 ) ⋅ Espessura primitiva de usinagem ⎛π ⎞ S1 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛π S 2 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x 2 ⋅ ta ⎝2 Vão primitivo de Usinagem ⎛π ⎞ e1 = m ⋅ ⎜ − 2 ⋅ x1 ⋅ tan α ⎟ ⎝2 ⎠ ⎛π e 2 = m ⋅ ⎜ − 2 ⋅ x 2 ⋅ tan ⎝2 ha1 = (1 + x1 ) ⋅ m ha 2 = (1 + x 2 ) ⋅ m Adendo Dedendo h f 1 = (1,25 − x1 ) ⋅ m h f 2 = (1,25 − x 2 ) ⋅ m No cálculo do recobrimento e interferência devem ser considerados os valores da Tabela 4.11, ou equivalente para a correção “V” e usados elementos de funcionamento. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 101 Ao ser feito o engrenamento, afastamos as rodas (ou aproximamos) até uma distância entre centros aw na qual não há folga nos dentes. d 1w + d 2 w 2 Teremos então: aw = sendo: d 2w = i = relação de transmissão d 1w Podemos escrever: d b 1 = d 1 ⋅ cos α o = d 1′w ⋅ cos α ′ e d b1 = d1 ⋅ cos α o = d1w ⋅ cos α ′ respectivamente para a usinagem e funcionamento, donde: d 2 w d 1w cos α = = d2 d1 cos α w A fim de satisfazermos a condição de que não deve haver folga no flanco, devemos ter: S 1w = e 2 w Equação 4.9 S 2 w = e1w como: e1w + S1w = e2 w + S 2 w = p1w = p ′2 w = p w Equação 4.10 substituindo a Equação 4.9 em Equação 4.10 obtemos: S 1w + S 2 w = p w Equação 4.11 sendo: p = π ⋅ mo p w = π ⋅ mw e logo: pw = p ⋅ Equação 4.12 d = mo ⋅ Z mw m d w = mw ⋅ z logo: Equação 4.13 Podemos obter S1w e S2w a partir da expressão geral: dw m = d m Elementos de Máquinas III 102 ⎞ ⎛S s F = 2 ⋅ rF ⋅ ⎜⎜ E + Evα E − Evα F ⎟⎟ ⎠ ⎝ dE Equação 4.14 Substituindo pelos elementos de funcionamento e usinagem ⎞ ⎛S S1a = d 1a ⋅ ⎜⎜ 1 + Evα − Evα w ⎟⎟ ⎠ ⎝ d1 ⎞ ⎛S S 2 w = d 2 w ⋅ ⎜⎜ 2 + Evα o − Evα w ⎟⎟ ⎠ ⎝ d2 Equação 4.15 Equação 4.16 Substituindo a Equação 4.15 e Equação 4.16 na Equação 4.11 obtemos: p w = S 1w + S 2 w = Equação 4.17 d 1w d ⋅ S1 + 2 w ⋅ S 2 + (d1w + d 2 w ) ⋅ (Evα − Evα w ) d1 d2 Introduzindo a Equação 4.12 e Equação 4.13 na Equação 4.17 obtém-se: p⋅ mw mw m = ⋅ s1 + w ⋅ s 2 + m w ⋅ (z1 + z 2 ) ⋅ (Evα − Evα w ) m m m Introduzindo os valores de S1 e S2 da Tabela 4.11, simplificando e substituindo p por π ⋅m. 0 = 2 ⋅ x1 ⋅ tan α + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α + ( z1 + z 2 ) ⋅ (Evα − Evα w ) Equação 4.18 x1 + x 2 = (z1 + z 2 ) ⋅ (Evα w − Evα ) 2 ⋅ tan α que é a expressão geral do engrenamento “V” para engrenagens cilíndricas de dentes retos externos. No caso geral, a partir de x1 e x2 (correções necessárias, conforme serão vistas mais adiante), z1 e z2 (relação de transmissão) e o ângulo de pressão da ferramenta α determina-se o ângulo de pressão de funcionamento αw e pela expressão obtém-se a distância entre centros de funcionamento aw. a = a⋅ Equação 4.19 cos α cos α 4.9.4.2 Engrenagens cilíndricas de dentes retos internos (a ≠ aw) Para as engrenagens cilíndricas com dentes retos internos podemos escrever: Equação 4.20 aw = d 2 w − d 1w 2 d 2w =i d 1w A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions S 1w = e 2 w Equação 4.21 103 S 2 w = e1w como: e1w + S1w = e2 w + S 2 w = p w Equação 4.22 logo: S 1w + S 2 w = p w Equação 4.23 Podemos ainda escrever da mesma maneira para as engrenagens cilíndricas de dentes retos. Sendo: Equação 4.25 Equação 4.26 S 1w ⎛S ⎞ S 2 w = d 2 w ⋅ ⎜⎜ 2 − Evα o + Evα w ⎟⎟ ⎝ d2 ⎠ Equação 4.27 ⎛π ⎞ S1 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α ⎟ ⎝2 ⎠ mw m d w mw = d m ⎛S ⎞ = d 1w ⋅ ⎜⎜ 1 + Evα − Evα w ⎟⎟ ⎝ d1 ⎠ pw = p ⋅ Equação 4.24 e ⎞ ⎛π S 2 = m ⋅ ⎜ + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α ⎟ ⎠ ⎝2 Substituindo os diversos valores na Equação 4.23 teremos: Equação 4.28 x 2 − x1 = (z 2 − z1 ) ⋅ (Evα w − Evα ) 2 ⋅ tan α 4.9.4.3 Rebaixamento da Altura do Dente para engrenagens cilíndricas de dentes retos externos Para o engrenamento Vê determinamos a distância entre centros de funcionamento aw e devemos verificar se permanecem com uma folga no fundo. Equação 4.29 j f = 0,25 ⋅ mo Caso não aconteça, devemos rebaixar os dentes para manter a folga do fundo jf, e isto deve ser considerado na verificação do recobrimento e interferência. Para as engrenagens cilíndricas de dentes retos externos tem-se que a folga de fundo é expressa por: Equação 4.30 A altura do adendo e dedendo de funcionamento são: j f = h f 1w − ha 2 w Elementos de Máquinas III 104 ha 2 w = ra 2 − r2 w = r2 + ha 2 − r2 w h f 1w = r1w − r f 1 = r1w − (r1 − h f 1 ) Equação 4.31 sendo: h f 1 = m ⋅ (1,25 − x1 ) Equação 4.32 ha 2 = m ⋅ (1 + x 2 ) Substituindo as Equação 4.32 e Equação 4.31 e Equação 4.30 em Equação 4.29, obtém-se: j f = r1w − r1 + h f 1 − r2 − ha 2 + r2 w j f = r2 w + r1w − (r2 + r1 ) + h f 1 − ha 2 j f = a w − a + m ⋅ (1,25 − x1 − 1 − x 2 ) j f = a w − a + 0,25 ⋅ m − ( x1 − x 2 ) ⋅ mo A fim de satisfazermos a condição de folga no fundo ( Equação 4.29): j f = a w − a + 0,25 ⋅ m − ( x1 − x 2 ) ⋅ m ≥ 0,25 ⋅ m a w − a ≥ ( x1 − x 2 ) ⋅ m Equação 4.33 que é a condição de não haver rebaixamento na altura do dente. Caso contrário devemos reduzir os adendos de um valor “k.m”. Assim devemos ter: Equação 4.34 j f = 0,25 ⋅ mo = h f 1w − (ha 2 w − k ⋅ mo ) Substituindo os valores da Equação 4.31 Equação 4.32 em Equação 4.34, tem-se: a w − a − mo ⋅ ( x1 + x 2 − k ) = 0 Logo: Equação 4.35 k = x1 + x 2 − aw − a m que exprime o valor do coeficiente de rebaixamento da altura do dente. Desta maneira a roda que sofrer um rebaixamento “km” terá seu diâmetro externo diminuído, devendo ser considerado na verificação do recobrimento e interferência. Não é necessário o rebaixamento nas rodas internas. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 105 4.10 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA Para o limite de interferência entre o pinhão de z1 dentes e a roda de z2 dentes, com ângulo de pressão de usinagem α, já vimos que podemos usar a Equação 4.1 do item anterior com algumas substituições, tendo-se: z12 ⋅ sen 2α + 2 ⋅ z1 ⋅ z 2 − 4 ⋅ ( z 2 + 1) = 0 Resolvendo a equação e usando apenas a raiz positiva: Equação 4.36 z1 = − z 2 + z12 + 4 ⋅ z2 + 1 sen 2α Com ângulo de pressão de 20o, teremos no limite de interferência teórico engrenamento de uma roda de 50 dentes com um pinhão de 15, por exemplo. (Valor exato 15,15). Se engrenarmos com o referido pinhão de 15 dentes uma roda com mais de 50 dentes, haverá interferência. A fim de suprirmos a interferência, temos de optar entre 3 métodos: 1. Aumento do ângulo de pressão de usinagem; 2. Uso de dentes rebaixados 3. Uso de dentes corrigidos Os dois primeiros métodos implicam no abaixamento do recobrimento e não são portanto de emprego prático. A solução racional é o emprego de dentes corrigidos. O valor do coeficiente de correção pode ser expresso por: Equação 4.37 x= z´− z z´ (3) onde z´ exprime o número de dentes obtidos pela Equação 4.3 do item anterior. Problemas sobre emprego da correção para evitar a interferência 1 - Seja, um engrenamento entre um pinhão de 11 dentes e uma roda de 23 dentes, com ângulo de pressão igual a 20o. Qual devem ser as correções limites para evitar a interferência de fabricação? 2 - Seja, um engrenamento entre um pinhão de 8 e uma roda de 16 dentes, com ângulo de pressão igual a 20o. Qual devem ser as correções limites para evitar a interferência de fabricação? Elementos de Máquinas III 106 4.11 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT “Equilíbrio do máximo deslizamento específico sobre o pinhão e a roda e do fator de engripamento (σH , Vg) nos pontos extremos de contato”. Este método, desenvolvido por G. Henriot pode ser dividido no que diz respeito de haver ou não distância entre centros imposta. Figura 4.24 – Ábaco para determinação da correção. Fonte: Henriot (1968) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 107 4.11.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA Para ângulo de Pressão de usinagem de 20o, teremos: a) z1 + z2 ≥ 60 A partir do i = Engrenamento “VO” z2 e z1 podemos ler o valor da correção necessária da seguinte maneira z1 usando o Ábaco ilustrado na Figura 4.24 Entra-se com o valor de z1 na reta graduada horizontal que contém o segmento OB com i= z2 . Determina-se então x1 se for feita a projeção da interseção sobre o eixo das correções z1 x, colocado a esquerda. Aplicação Se z1 = 20 e z2 = 60 teremos i = 3 Usando-se o ábaco 1 teremos para a interseção de z1 e i o ponto correspondente x1=0,31. Sendo correção VO teremos x2= -x1 = -0,31. b) z1 + z2 p 60 Engrenamento “V” Teremos neste caso o valor de x1 dado pela curva AB, a partir de z1. O valor de x2 é obtido na interseção com a curva correspondente i = z2 no interior do z1 triângulo ABA´. Aplicação: Se z1 = 20 e z2 = 24, teremos i= 1,2 e, z1 + z2 p 60 O valor de x1 = 0,23. Para o valor de x2, teremos a interseção da curva i com z1 e teremos então o valor de x2=0,17. Elementos de Máquinas III 108 4.11.2 Distância entre centros IMPOSTA Se a distância entre centros é imposta, já vimos quando do estudo do engrenamento V que somos obrigados a respeitar uma relação x1 + x2 dada pela Equação 4.18 e Equação 4.19 do item anterior A partir do conhecimento do somatório x1 + x2 a ser usado devemos escolher um valor de x1 e outro para x2 . A escolha de x1 e x2 pode ser feita segundo a recomendação da ISO, com: x1 = λ ⋅ z z2 − z1 + ∑x⋅ 1 z2 + z1 z2 + z1 ∑x = x Com 1 + x2 ou x1 = λ ⋅ i −1 1 + ∑x⋅ i +1 i +1 e i= z2 z1 O valor de λ para engrenagens redutoras será compreendido entre 0,5 e 0,75, se aproximando do valor 0,75 a medida que o número de dentes diminui. Aplicação: Para z1 = 20 e z2 = 40 e ∑ x = 0,32 teremos : com λ = 0,75 40 − 20 20 + 0,32 ⋅ = 0,36 40 + 20 40 + 20 x 2 = 0,32 − 0,36 = −0,04 x1 = 0,75 ⋅ com λ = 0,50 40 − 20 20 + 0,32 ⋅ = 0,27 40 + 20 40 + 20 x 2 = 0,32 − 0,27 = +0,05 x1 = 0,50 ⋅ Valor médio de x1 = 0,36 + 0,27 = 0,32 (valor escolhido) 2 com x2 = 0,32 - 0,32 = 0 ( escolhido) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 5 109 ENGRENAGEM CILÍNDRICA DE DENTES HELICOIDAIS A apresentação do capítulo que trata das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais envolverá uma descrição mais sucinta, tendo em vista que muitos das informações podem ser associadas às engrenagens cilíndricas de dentes retos com algumas considerações. 5.1 CURVA HELICOIDAL Antes de abordar o estudo da dentado helicoidal, é necessário estudar a curva que lhe serve de definição. A curva helicoidal é uma curva que resulta do enrolamento de uma reta em torno de um cilindro. A distância constante que separa os pontos consecutivos da hélice situados sobre uma mesma geratriz do cilindro se chama “passo helicoidal”. O ângulo de inclinação da hélice é o ângulo constante β, que forma a curva com relação ao eixo. Desenvolvendo a hélice em um plano temos a Figura 5.1 onde a hélice se torna uma reta XZ, inclinada de β com relação ao eixo. Figura 5.1 - Desenvolvimento da hélice. As relações fundamentais desta hélice são: Equação 5.1 PZ = A hélice pode ser a direita ou à esquerda, do mesmo modo que um parafuso. π ⋅d tan β Elementos de Máquinas III 5.2 110 ENGRENAGENS ESCALONADAS Para facilitar a compreensão das propriedades das engrenagens paralelas com dentado helicoidal é interessante estudas primeiro um tipo de engrenagem que já não se usa hoje em dia, e que se conheceu com a designação de “Engrenagem Escalonada”. A figura 2 apresenta um dente de pinhão de tal engrenagem com vista superior e de frente. A figura 3 representa o mesmo dente em perspectiva. Figura 5.2 - Engrenagem Escalonada Fonte: Silveira (1977) Uma roda ou dentado escalonado pode ser considerado como a justaposição de discos de dentado reto todos idênticos, de espessura igual a X, deslocados em relação ao outro contíguo segundo valores angulares Y. Os perfis P1´ , P1´´, P1´´´ do pinhão possuem idênticas evolventes, pois tem o mesmo cilindro base, de raio rb1. Representamos a engrenagem em uma “posição particular 2 tal que, o ponto de contato “a” do perfil P1 com o perfil P2 conjugado à roda, esteja situado sobre o cilindro-base do pinhão. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 111 Temos linhas de ação idênticas para todas as engrenagens elementares do dentado reto, que se projetam na vista de frente da figura 2, seguindo a tangente T ao círculo de base do pinhão, e, que passam pelo ponto de tangência I dos círculos primitivos. O ponto sobre o dente completo de perfil P1 está em “a” e o contato sobre o dente completo do perfil P1 se estabelece ao longo do pequeno segmento aa´ de comprimento X paralelo ao eixo, etc. Assim o contato entre o dente completo do pinhão e o dente conjugado da roda se produz sobre o conjunto de segmentos aa´, bb´... hh´. (conforme figura 3). Os pontos onde os perfis P1 , P1´ , P1´´... etc., encontram o cilindro base estão todos situados sobre uma mesma hélice Hb1. Os pontos a,b,c,...h, ... se acham todos situados sobre uma mesma reta G, a qual é tangente ao círculo-base. Também podemos dizer que está situada no plano tangente ao círculo base do pinhão ( e ao círculo base da roda como é fácil verificar ) passando pela geratriz de contato dos dois cilindros primitivos. Figura 5.3 - Dente de engrenagem escalonada. Fonte: Silveira (1977) 5.3 ENGRENAGEM COM DENTADO HELICOIDAL Facilmente pode-se passar do dentado escalonado ao dentado helicoidal (Figura 5.4), multiplicando-se o número de rodas elementares ou seja, reduzindo indefinidamente a espessura X dos mesmos. O cilindro de raio rb1 é o cilindro de base do pinhão. Elementos de Máquinas III 112 A hélice Hb1 é a hélice de base do pinhão. A reta G traçada sobre o mesmo dentado e tangente em “a” a hélice base do pinhão, é a geratriz retilínea de contato dos dois dentados em um instante considerado. A seção transversal da superfície do dentado segundo qualquer plano perpendicular ao eixo é uma evolvente de raio de base rb1. O contato entre dois perfis conjugados com dentado helicoidal se dá segundo uma reta, análoga à reta G da Figura 5.3. Durante o engrenamento a reta G se desloca ao longo dos dentes. Figura 5.4 - Engrenamento de duas rodas helicoidais 5.4 PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS E SUAS RELAÇÕES Chama-se hélice primitiva de uma roda, a hélice traçada sobre o cilindro primitivo, sua inclinação com relação ao eixo se chama ângulo de hélice β. A Figura 5.5 representa o desenvolvimento de dois cilindros primitivos de uma engrenagem, tangentes segundo a geratriz XY. Durante o rolamento sem deslizamento desses cilindros, importa que as hélices primitivas conjugadas permaneçam constantemente tangentes. Isto implica em duas condições: a) As duas hélices devem ser de sentido oposto. b) Ambas as hélices devem ter o mesmo ângulo. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 113 Figura 5.5 - Representação de dois cilindros primitivos de um engrenamento As notações principais são ilustradas na Tabela 5.1. Tabela 5.1 – Notações principais das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Raios Primitivos r1 e r2 d1 e d2 Diâmetros primitivos Ângulo de hélice primitiva β Ângulo de hélice base βb Ângulo de pressão circunferêncial ou aparente αt pz1 Passo helicoidal do pinhão pz2 Passo helicoidal da roda Onde: tan β = Equação 5.2 Como: p z1 d 1 = pz2 d 2 Equação 5.3 π ⋅ d1 pz = π ⋅ d2 pz tem-se que p z1 = π ⋅ d1 π ⋅ d2 e pz2 = tan β tan β Elementos de Máquinas III p z p z 114 βb β πd b πd Figura 5.6 - Desenvolvimento da superfície lateral dos cilindros primitivos e de base à roda Para βb (ângulo de hélices de base) temos, lembrando que todas as hélices traçadas sobre um mesmo dentado tem o mesmo passo helicoidal ( Figura 5.6). tan β b = π ⋅ db pz Equação 5.4 5.5 sendo d b = d ⋅ cos α t tan β b = π ⋅ d ⋅ cos α t pz e tan β b = tan β ⋅ cos α t CREMALHEIRA HELICOIDAL Se for considerado o engrenamento da seção transversal da roda helicoidal com a cremalheira helicoidal, concluiremos por semelhança com as engrenagens cilíndricas de dentes retos, que o perfil da cremalheira helicoidal é também retilíneo. Se H1 é a hélice primitiva do pinhão de ângulo β, e se fizermos rolar, sem deslizamento o cilindro primitivo do pinhão sobre o plano primitivo da cremalheira, H1 se desenrolará sobre o dito plano segundo um segmento retilíneo, H2 de ângulo β com relação ao eixo do pinhão. Os dentes da cremalheira são pois, uns prismas inclinados segundo o ângulo β. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 115 Figura 5.7 - Cremalheira Helicoidal 5.6 VOCABULÁRIO E RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Em um dentado helicoidal se distingue: 1. Os elementos Circunferênciais ou aparentes afetados do sub-índice t: considerados dentro de todo plano normal ao eixo da roda. 2. Os elementos normais ou reais afetados do sub-índice n: considerados normalmente a hélice primitiva. Na Figura 5.8 são representados os elementos correspondentes seguintes, medidos sobre o cilindro primitivo: pn - passo normal pt - passo circunferencial Sn - espessura normal St - espessura circunferencial en - vão normal et - vão circunferencial Figura 5.8 - Elementos Normais e Circunferenciais Na Figura 5.9, temos uma evolvente de círculo primitivo sobre um plano no qual as hélices primitivas se transformam em reta. Elementos de Máquinas III 116 Tem-se: p n = pt ⋅ cos β S n = S t ⋅ cos β en = et ⋅ cos β Equação 5.5 Equação 5.6 Equação 5.7 Figura 5.9 – Relações fundamentais das engrenagens helicoidais onde: px - Passo axial; pn - Passo normal; pt - passo circunferêncial sendo: mt - módulo circunferencial Equação 5.8 mt = pt π = d z e mt = mn cos β mn - módulo normal Equação 5.9 mn = pn π m n = mt ⋅ cos β O passo axial px está medido paralelamente ao eixo da roda Equação 5.10 px = p pt = tan β senβ É fácil ver-se que se pode escrever: Equação 5.11 p z = z ⋅ p x (10) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 117 Na figura 10 tem-se uma cremalheira na qual a seção circunferencial ou aparente “t” é normal ao eixo do pinhão conjugado (como mostra a Figura 5.9) e a seção normal é normal à direção dos dentes. O ângulo entre estas duas seções é igual a β ( ângulo da hélice primitiva). Figura 5.10 - Cremalheira Equação 5.12 Equação 5.13 Equação 5.14 pbn pbt = pt ⋅ cos α t p bn = p n ⋅ cos α n = pt ⋅ cos β ⋅ cos α n p bn = p t ⋅ cos β b ⋅ cos α t Equação 5.15 Obtém-se a relação entre αn e αt por meio dos triângulos ABF e DEF, que tem em comum h = DF = AC . tan α t = BC h e tan α n = EF h EF = BC ⋅ cos β donde: Equação 5.16 5.7 tan α n = tan α t ⋅ cos β (15) PROPORÇÕES DO DENTADO NORMAL 5.7.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos A proporção do dentado normal de engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais externos é ilustrada na Tabela 5.2. Tabela 5.2 – Proporções do dentado normal das engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Símbolo Designação Fórmula Elementos de Máquinas III Símbolo ha Designação Addendum ha = mn hf Dedendum h f = 1,25 ⋅ mn h Altura do dente h = 2,25 ⋅ m n αn ângulo de pressão normal α n = 20 o s Espessura e Vão p 2 p e= 2 Fórmula s= d1 , d2 Diâmetro primitivo 5.7.2 118 mn ⋅ z 2 cos β m ⋅ (z + z 2 ) d + d2 a= 1 a= n 1 2 2 ⋅ cos β a ⋅ cos α t = a w ⋅ cos α tw d1 = a Distância entre centros aw Distância entre funcionamento centros de m n ⋅ z1 cos β d2 = Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais internos São os mesmos do dentado exterior, levando-se em conta as limitações de interferência. Na Tabela 5.3 tem-se o número mínimo de dentes de um dentado interior, abaixo do qual é impossível utilizar-se as proporções normais. Tabela 5.3 – Limitações para o dentado helicoidal interior. Ângulo de Pressão Ângulo de hélice β o o 5 10o 15o 20o 25o 0 normal αn o 15 59 59 56 53 49 44 20o 33 33 32 30 27 25 o 25 21 21 20 19 18 16 5.8 30o 38 22 14 NÚMERO DE DENTES IMAGINÁRIOS DE UM DENTADO HELICOIDAL RODA VIRTUAL Se for colocado sobre um plano normal a hélice primitiva um plano secante, o cilindro de raio r ficará secionado segundo uma elipse. A elipse terá em I o seu raio menor, cujo raio é r . Neste plano temos mn = mt ⋅ cos β e o ângulo de pressão é o ângulo de pressão cos 2 β norma αn. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 119 Figura 5.11 – Elipse imaginária com número de dentes imaginários. Assim estudaremos o dentado helicoidal dentro do plano normal como se tivéssemos um dentado reto com as seguintes características ( roda virtual). mn - módulo normal; αn - ângulo de pressão normal; r - raio primitivo cos 2 β O Número de dentes imaginários pode ser determinado por: Zn = 2⋅r 1 ⋅ 2 cos β mn ou Zn = 2⋅r 1 ⋅ mt ⋅ cos β cos 2 β Ou então pela fórmula mais usual: Equação 5.17 Zn = Z cos 3 β (18) Uma aplicação prática interessante para o número de dentes imaginários é a escolha da fresa-módulo para a execução do dentado helicoidal entre o jogo de fresas para dentados de rodas retas. 5.9 INTERFERÊNCIA A fim de ser estudado o fenômeno da interferência nas engrenagens helicoidais, podemos lançar mão da expressão 18. Vista na interferência de engrenagens cilíndricas de dentes retos, cuja expressão é deduzidas para uma seção circunferencial. Podemos dada a sua generalidade, substituir α por αt . Para uma engrenagem normal, temos: Elementos de Máquinas III Equação 5.18 r1 = mn ⋅ Z1 2 ⋅ cos β r2 = mn ⋅ Z 2 2 ⋅ cos β 120 α = α t (19) h a = mn Substituindo a equação 19 na equação 18 do item anterior (Engrenagem cilíndrica de dentes retos), obtemos a seguinte expressão: Z2 ≤ Equação 5.19 Z 12 ⋅ sen 2α t − cos 2 β (20) 2 ⋅ cos β − Z 1 ⋅ sen 2α t , donde: Para o caso limite de engrenamento com cremalheira, temos que 2 ⋅ cos β − Z 1 ⋅ sen 2α t = 0 Z1 = Equação 5.20 2 ⋅ cos β (21) sen 2α t 5.10 GRAU DE RECOBRIMENTO O grau de recobrimento nas engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais é composto de duas partes: a primeira é o grau de contato circunferêncial e é determinado da mesma maneira que nas engrenagens cilíndricas de dentes retos; a segunda é devido a inclinação dos dentes, uma vez que após terminado o contato numa extremidade do dente, o mesmo se desloca até o outro extremo. Podemos escrever: Equação 5.21 R = ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ senα t pt ⋅ cos α t b ⋅ tan β pt + Por semelhança com as engrenagens cilíndricas de dentes retos podemos escrever, substituindo α por αt e p por pt . R= Equação 5.22 ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ senα t pt ⋅ cos α t O segundo termo da Equação 5.21 é mostrado na equação abaixo, onde b representa a largura do dente. b ⋅ tan β pt Equação 5.23 A expressão geral para o grau de recobrimento nas engrenagens helicoidais, será então: Equação 5.24 R= ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a ⋅ senα t pt ⋅ cos α t + b ⋅ tan β pt UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 121 Para uma distância entre centros de funcionamento aw teremos: R= Equação 5.25 ra21 − rb21 + ra22 − rb22 − a w ⋅ senα tw GEOMÉTRICO b ⋅ tan β pt a ⋅ cos α t = a w ⋅ cos α tw Para usar a expressão acima lembrar que: 5.11 MECANISMO pt ⋅ cos α t + DE CORREÇÃO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS 5.11.1 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais Externos Na Tabela 5.4 apresenta-se as características geométricas de um dentado helicoidal externo. Tabela 5.4 - Características de um dentado helicoidal exterior Corrigido Designação Fórmula Diâmetro Primitivo m d = mt ⋅ Z = Z ⋅ cos β Diâmetro exterior ⎛ Z ⎞ d a = ⎜⎜ + 2 + 2 ⋅ x ⎟⎟ ⋅ m ⎝ cos β ⎠ Espessura sobre o primitivo ⎛ π ⎞ s = m ⋅ ⎜⎜ + 2 ⋅ x ⋅ tan α t ⎟⎟ ⎝ 2 ⋅ cos β ⎠ Adendo ha = (1 + x ) ⋅ m Dedendo h f = (1,25 − x ) ⋅ m Altura do dente h = 2,25 ⋅ m 5.11.2 Engrenagens Cilíndricas de Dentes Helicoidais internos Na Tabela 5.5 apresenta-seas características de um dentado helicoidal interno. Para a roda, usamos a mesma convenção de sinal da correção x. Tabela 5.5 - Características de um dentado helicoidal interno Corrigido Designação Fórmula Diâmetro Primitivo m d 2 = mt ⋅ Z 2 = Z 2 ⋅ cos β Diâmetro exterior ⎛ Z ⎞ d a 2 = ⎜⎜ 2 − 2 + 2 ⋅ x 2 ⎟⎟ ⋅ m ⎝ cos β ⎠ Espessura sobre o primitivo ⎛ π ⎞ + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α t ⎟⎟ s = m ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 ⋅ cos β ⎠ Elementos de Máquinas III 122 ha 2 = (1 − x ) ⋅ m Adendo hF 2 = (1,25 + x 2 ) ⋅ m h2 = 2,25 ⋅ m Dedendo Altura do dente 5.12 TIPOS DE ENGRENAMENTOS 5.12.1 Engrenamento “V0” (Vê zero) 5.12.1.1 Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais Externos Por semelhança com as engrenagens cilíndricas de dentes retos podemos escrever: s t1 + s t 2 = π ⋅ mto = π ⋅ mo cos β Temos pela Tabela 5.2: ⎛ π ⎞ s t1 = mo ⋅ ⎜⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α to ⎟⎟ ⎝ 2 ⋅ cos β ⎠ ⎛ π ⎞ s t 2 = mo ⋅ ⎜⎜ + 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α to ⎟⎟ ⎝ 2 ⋅ cos β ⎠ Da mesma maneira que para as engrenagens cilíndricas de dentes retos chegamos a conclusão: x1 + x 2 = 0 ou x1 = − x 2 x 2 = − x1 5.12.1.2 Engrenagens Cilíndricas de dentes Helicoidais internos A distância entre centros normal é: a= m o ⋅ (Z 2 − Z 1 ) 2 ⋅ cos β Deve verificar-se também s t1 + s t 2 = π ⋅ mto = π ⋅ mo cos β Pela Tabela 5.3 e Tabela 5.5 , uma vez que a roda é interna e o pinhão é externo: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions ⎛ π ⎞ st1 = mo ⋅ ⎜⎜ + 2 ⋅ x1 ⋅ tanαt ⎟⎟ ⎝ 2 ⋅ cosβ ⎠ 123 ⎛ π ⎞ − 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α t ⎟⎟ s t 2 = m ⋅ ⎜⎜ ⎝ 2 ⋅ cos β ⎠ Chegaremos então a seguinte conclusão: x1 = x 2 ou x1 − x 2 = 0 5.12.2 Engrenamento “V” (vê) Engrenagens Cilíndricas de dentes helicoidais externos Analogamente as engrenagens cilíndricas de dentes retos externos podemos escrever: Equação 5.26 aw = d 1w + d 2 w 2 d 2w = i = relação de transmissão d 1w Podemos escrever: d b1 = d1 ⋅ cos α t = d1w ⋅ cos α tw d b 2 = d 2 ⋅ cos α t = d 2 w ⋅ cos α tw donde: d 2 w d 1w cos α t = = d2 d1 cos α tw Equação 5.27 A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: s t 1w = e t 2 w Equação 5.28 s t 2 w = e t 1w logo: ptw = s t1w + et 2 w = s t1w + s t 2 w Equação 5.29 Equação 5.30 Equação 5.31 p t = π ⋅ mt ptw = π ⋅ mtw d = mt ⋅ z mtw mt m d = t d w mtw p tw = pt ⋅ Podemos expressar st1w e st2w a partir da expressão geral 28. Equação 5.32 Equação 5.33 ⎛S ⎞ s1w = d 1w ⋅ ⎜⎜ t1 + Evα t − Evα tw ⎟⎟ ⎝ d1 ⎠ ⎛S ⎞ s 2 w = d 2 w ⋅ ⎜⎜ t 2 + Evα t − Evα tw ⎟⎟ ⎝ d2 ⎠ Elementos de Máquinas III 124 Substituindo na Equação 5.29 os valores das Equação 5.30, Equação 5.32 e Equação 5.41 e lembrando a relação da Equação 5.31e simplificando: p t = st1 + st 2 + (d1w + d 2 w ) ⋅ (Evα t − Evα tw ) ⋅ mt mtw Lembrando os valores de st1 e st2, e sabendo-se que: d 1w + d 2 w = ( z1 + z 2 ) ′ mtw teremos após simplificações: 0 = 2 ⋅ x1 ⋅ mt ⋅ tan α t + 2 ⋅ x 2 ⋅ mt ⋅ tan α to + mt ⋅ ( z1 + z 2 ) ⋅ (Evα t − Evα tw ) Dividindo por mt e isolando ( x1 + x2 ) temos: Equação 5.34 x1 + x 2 = (z1 + z 2 ) ⋅ (Evα tw − Evα t ) 2 ⋅ tan α t 5.12.2.1 Engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais internos Para as engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais internos podemos escrever: Equação 5.35 aw = d 1w + d 2 w 2 d 2w =i d w1 A fim de satisfazermos a condição de não haver folga no flanco do dente devemos ter: Equação 5.36 s t 1w = e t 2 w s t 2 w = e t 1w como: Equação 5.37 ptw = s t1w + et1w = et 2 w + s t 2 w logo: Equação 5.38 ptw = st1w + s t 2 w Podemos escrever ainda da mesma maneira que para as engrenagens cilíndricas de dentes retos internos: Equação 5.39 Equação 5.40 mtw mt m d = t d w mtw ptw = pt ⋅ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 125 Substituindo a ⎛S ⎞ s1w = d 1w ⋅ ⎜⎜ t1 + Evα t − Evα tw ⎟⎟ ⎝ d1 ⎠ Equação 5.41 ⎛S ⎞ st 2 w = d 2 w ⋅ ⎜⎜ t 2 − Evα t + Evα tw ⎟⎟ ⎝ d2 ⎠ e st1 = mo ⋅ ⎛⎜ π + 2 ⋅ x1 ⋅ tan α t ⎞⎟ e st 2 = m ⋅ ⎛⎜ π − 2 ⋅ x 2 ⋅ tan α t ⎞⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Tem-se então que: Equação 5.42 x 2 − x1 = (z 2 − z1 ) ⋅ (Evα tw − Evα t ) 2 ⋅ tan α t 5.13 REBAIXAMENTO DA ALTURA DO DENTE Analogamente às engrenagens cilindras de dentes retos externos, tem-se: Equação 5.43 Equação 5.44 a w − a ≥ ( x1 + x 2 ) ⋅ m a −a k = x1 + x 2 − w m 5.14 EMPREGO DA CORREÇÃO PARA EVITAR A INTERFERÊNCIA DE FABRICAÇÃO O problema deve ser tratado como nas engrenagens cilíndricas de dentes retos, para tal, em vez do módulo real usaremos o módulo circunferêncial ou aparente. Teremos então: Equação 5.45 z´= 2 ⋅ cos β sen 2α t O valor do coeficiente de correção pode ser expresso por: Equação 5.46 x= z´− z z´ Exercício sobre interferência de fabricação 1 - Desejamos engrenar um pinhão de 9 dentes com uma cremalheira, e sendo o ângulo de inclinação de hélice de 30o, ângulo de pressão de usinagem 20o e módulo real de 10 mm. Qual deve ser a correção a ser empregada a este pinhão para evitar a interferência de fabricação. Elementos de Máquinas III 126 5.15 CRITÉRIO DE CORREÇÃO DE HENRIOT “Equilíbrio do máximo deslizamento específico sobre o pinhão e a roda e do fator de engripamento (σH , Vg) nos pontos extremos de contato”. Este método, desenvolvido por G. Henriot pode ser dividido no que diz respeito de haver ou não distância entre centros imposta. Como o ângulo de pressão circunferêncial ou aparente é maior que o ângulo de pressão da ferramenta, o ponto de interferência se afasta do círculo primitivo, isto significa que as condições de deslizamento específico, de pressão superficial e do fator de engripamento melhoram, sobretudo na zona dos pés dos dentes do pinhão. A melhor regra é o emprego do número de dentes virtuais do dentado helicoidal z v1 = z1 cos 3 β zv2 = z2 cos 3 β UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 127 Zv1 + Zv2 = 60 Zv1 Zv1 + Zv2 > 60 Zv1 + Zv2 > 60 Fi gura 5.12 – Ábaco para determinação da correção. Fonte: Henriot (1968) 5.15.1 Distância entre centros NÃO IMPOSTA Para ângulo de Pressão de usinagem de 20o, teremos: a) z v1 + z v 2 ≥ 60 Engrenamento “VO” Elementos de Máquinas III A partir do i = 128 z2 e z1 podemos ler o valor da correção necessária da seguinte maneira z1 usando o Ábaco ilustrado na Figura 4.24 Entra-se com o valor de zv1 na reta graduada horizontal que contém o segmento OB com i= z2 . Determina-se então x1 se for feita a projeção da interseção sobre o eixo das correções z1 x, colocado a esquerda. Aplicação: Se Z1 = 20 dentes e i = 3 β= 20o 20 z v1 = cos 3 20 e teremos: e x2 = - 0,27 x1 = 0,27 b) z v1 + z v 2 p 60 Engrenamento “V” Teremos neste caso o valor de x1 dado pela curva AB, a partir de z1. O valor de x2 é obtido na interseção com a curva correspondente i = z2 no interior do z1 triângulo ABA´. 5.15.2 Distância entre centros IMPOSTA A partir do conhecimento do somatório x1 + x2 a ser usado devemos escolher um valor de x1 e outro para x2. A escolha de x1 e x2 pode ser feita segundo a recomendação da ISO, com: x1 = λ ⋅ z2 − z1 z + ∑x⋅ 1 z2 + z1 z2 + z1 ou x1 = λ ⋅ i −1 1 + ∑x⋅ i +1 i +1 com ∑x = x 1 + x2 e i= z2 z1 O valor de λ para engrenagens redutoras será compreendido entre 0,5 e 0,75, se aproximando do valor 0,75 a medida que o número de dentes diminui. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 6 6.1 129 TRENS DE ENGRENAGENS GENERALIDADES Freqüentemente, devemos combinar várias engrenagens para se obter o que chamamos “trem de engrenagem”. É importante que a partir da velocidade de entrada se determine, rapidamente, a velocidade de saída. Aqui será feito um estudo introdutório dos trens de engrenagens, em virtude da extensão dos mesmos. Para o caso de maiores necessidades, recomenda-se obras especializadas como “Traité Théorique et Practice de s Engrenages” de G. Henriot. A Figura 6.1 e Figura 6.2 mostram um pinhão comandando uma engrenagem cilíndrica externa de dentes retos e uma interna respectivamente. Temos as velocidades angulares inversamente proporcionais aos números de dentes. O sentido de rotação é tal que na Figura 6.1 as duas tem sentidos opostos e na Figura 6.2 são do mesmo sentido. Figura 6.1 – Relação de transmissão para engrenagens de dentes externos Elementos de Máquinas III 130 Figura 6.2 - Relação de transmissão para engrenagens de dentes internos Para a situação das engrenagens da Figura 6.3 podemos escrever ω Condutora Produto dos dentes das conduzidas = Produto dos dentes das condutoras ω conduzida ω 4 Z1 ⋅ Z 3 = ω1 Z 2 ⋅ Z 4 Expressão esta que pode ser comprovada se forem usadas as expressões para cada par de engrenagem. Figura 6.3 - Trem de Engrenagens Quando i>1 temos redutores e quando i<1 temos multiplicadores de velocidade. 6.2 ESCOLHA DA RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO Num trem de engrenagens, a relação global de transmissão é igual ao produto das relações de transmissão das sucessivas rodas conjugadas. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 131 Essas relações parciais podem ser escolhidas pelo projetista com uma certa liberdade, porém com a finalidade de evitar que as últimas rodas resultem de diâmetro exagerado, tornase aconselhável escolher, para os redutores, relações de transmissão que aumentem passando do primeiro ao último par, sendo conveniente adotar a norma contrária para os multiplicadores. Nos redutores, o módulo m dos dentes aumenta passando do primeiro par de rodas ao último. Se a relação de transmissão do último par for pequena, resulta para a roda conduzida um grande número de dentes e, freqüentemente, um diâmetro excessivo. Assim podemos indicar: i = i1 ⋅ i2 ⋅ i3 ⋅ ⋅ ⋅ in como sendo a relação global de transmissão. A fórmula abaixo, permite o cálculo das sucessivas relações de transmissão. in+1 = 3 (in ) 2 Aconselha-se ainda escolher as relações de transmissão de cada par de maneira que os seus valores sejam representados pela relação entre números primos bastante grandes. Assim por exemplo, se, para um determinado problema, pudessem ser consideradas satisfatóriamente, tanto a relação i=3 como i=31/10, adotando a relação i=3, cada dente do pinhão entra em contato sucessivamente somente com 3 dentes da roda maior enquanto que com a relação 31/10 cada dente do pinhão entra em contato com 31 dentes diferentes da roda maior. Elementos de Máquinas III 7 132 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS As engrenagens apresentam tipicamente dois modos de falha: (i) fratura por fadiga devido as tensões de flexão dinâmicas na raiz do dente; e (ii) fadiga superficial (cratateração) das superfícies dos dentes. A falha por flexão poderá ocorrer quando as tensões desenvolvidas nos dentes forem iguais ou superiores as tensões de resistência ao escoamento ou ao limite de resistência a fadiga. A falha superficial poderá ocorrer quando as tensões de contato desenvolvidas nos dentes forem iguais ou superiores às tensões de resistência a fadiga superficial. 7.1 EQUAÇÃO DE FLEXÃO DE LEWIS Em 1892 Wilfred Lewis desenvolveu uma equação para estimar a tensão de flexão em dentes de engrenagens onde a forma dos dentes entrava na formulação. Lewis reconheceu que o dente de uma engrenagem podia ser comparado com uma viga em balanço e então deduziu uma equação agora chamada de Equação de Lewis. Para entender a formulação da Equação de Lewis, observe inicialmente a Figura 7.1a que ilustra uma viga em balanço com as dimensões da secção transversal b e t, submetida a uma carga FT (uniformemente distribuída ao longo da largura da face b) e localizada a uma distância l do engaste. A tensão de flexão no engaste é determinada a partir da expressão MF ⋅c b ⋅t3 , sendo que I = σ= I 12 Equação 7.1 c= t ,e 2 M F = FT ⋅ l . Desta forma tem-se que: σ= 6 ⋅ FT ⋅ l b⋅t2 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions FR 133 FN FT l FT b rf a t x t l (a) (b) Figura 7.1 – Analogia de uma viga em balanço com o dente de uma engrenagem Na Figura 7.1b observa-se a terminologia utilizada, sendo que FT representa a força tangencial e FR a força radial sobre o dente da engrenagem. Analisando agora a Figura 7.1b, assume-se que a máxima tensão de um dente ocorre no ponto a. Por similaridade entre triângulos, pode-se escrever que: t 2= l t x 2 Equação 7.2 x= ou t2 4⋅l Rearranjando a Equação 7.1 tem-se que: Equação 7.3 σ= F 6 ⋅ FT ⋅ l FT 1 1 1 = ⋅ 2 = T ⋅ 2 ⋅ 2 4 b t b t b⋅t 6⋅l 4⋅l 6 Substituindo-se x da Equação 7.2 na Equação 7.3, e multiplicando o numerador e o denominador pelo passo circular p, determina-se: Equação 7.4 σ= FT ⋅ p b ⋅ ( 23 ) ⋅ x ⋅ p Escrevendo-se y=2x/3p, resulta a equação original elaborada por Lewis: Equação 7.5 σ= FT b⋅ p⋅ y O fator y é conhecido como fator de forma de Lewis e pode ser determinado graficamente a partir de um desenho do dente da engrenagem ou via métodos matemáticos. Elementos de Máquinas III 134 Segundo Shigley et al (2005), a maioria dos engenheiros prefere utilizar o passo diametral ao determinar as tensões. Isso é feito substituindo-se P = π p e Y = π ⋅ y na Equação 7.5, resultando em: Equação 7.6 Equação 7.7 FT ⋅ P (US) b ⋅Y FT (SI) σ= b ⋅ m ⋅Y σ= onde Equação 7.8 Y= 2⋅ x⋅ P 3 O uso dessa equação para determinar Y significa que somente a flexão do dente é considerada e que a compressão, causada pela componente radial da força é desconsiderada nos cálculos. Alguns valores de Y encontram-se indicados na Tabela 7.1. O emprego da Equação 7.8 implica em supor que os dentes não compartilham a carga com outros pares de dentes em engrenamento e que a força máxima é exercida na ponta do dente. Tabela 7.1 – Valores do fator de forma de Lewis Y Número de dentes Y Número de dentes 12 0,245 28 13 0,261 30 14 0,277 34 15 0,290 38 16 0,296 43 17 0,303 50 18 0309 60 19 0,314 75 20 0,322 100 21 0,328 150 22 0,331 300 24 0,337 400 26 0,346 cremalheira Y 0,345 0,359 0,371 0,384 0,397 0,409 0,422 0,435 0,447 0,460 0,472 0,480 0,485 Obs.: Os valores de Y correspondem a um ângulo depressão normal de 20o, a dentes não rebaixados e a um passo diametral unitário no plano de rotação. 7.1.1 Efeitos dinâmicos Quando um par de engrenagens é movido a velocidades médias e elevadas, e quando ruído é produzido, possivelmente as engrenagens estão submetidas a efeitos dinâmicos. Estudos buscando identificar o aumento da carga devido a elevação da velocidade concluíram que as UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 135 engrenagens falham com forças menores quando a velocidade aumenta. Em outras palavras, quanto maior a velocidade, menor é a força tangencial que provoca a falha da engrenagem. No século XIX, Carl G. Barth expressou pela primeira vez, os fatores de velocidade, e, em termos das normas atuais da AGMA que são representados por (SHIGLEY et al, 2005): Kv = Equação 7.9 Equação 7.10 Equação 7.11 Kv = 3,05 + V (Ferro fundido, perfil fundido – SI) 3,05 6,1 + V Kv = (Perfil usinado ou fresado – SI) 6,1 3,56 + V (Perfil usinado por fresa caracol ou moldado – SI) 3,56 Equação 7.12 Kv = 5,56 + V (Perfil rebarbado ou retificado – SI) 5,56 Onde V esta em metros por segundo (m/s). Introduzindo-se então o fator de velocidade na Equação 7.7, obtém-se para o Sistema Internacional de Unidades: Equação 7.13 σ= K v ⋅ FT (SI) b ⋅ m ⋅Y Onde: Kv – fator de velocidade FT – força tangencial [N]; b – largura do dente [mm]; m – módulo [mm]; Y – fator de forma de Lewis. σ - tensão [MPa] A Equação 7.13 é a base dos procedimentos da AGMA para o cálculo da resistência à flexão de dentes de engrenagens. Elas são de uso geral, utilizadas para estimar a capacidade de transmissões de engrenagens, quando vida e confiabilidade não são fatores importantes. Tal expressão pode ser usada para se obter uma estimativa preliminar de tamanhos de engrenagens necessários para as diversas aplicações. Exercício 1 ( Equação de Lewis) – Uma engrenagem cilíndrica de dentes retos disponível em estoque tem um módulo de 3,25 mm, 16 dentes e 38 mm de largura com ângulo de pressão de 20o, com dentes normais. O material da engrenagem é um aço AISI 1020 Elementos de Máquinas III 136 Laminado com Sut = 380 MPA e Sy = 206 MPa. Utilize um fator de segurança N = 3 e calcule a capacidade em potência na saída da engrenagem movida correspondente a uma velocidade de 1200 rpm, considerando aplicações moderadas. Exercício 2 ( Equação de Lewis) – Estime a potência da coroa do exercício 1, considerando uma vida infinita para o carregamento dinâmico de flexão. 7.2 DURABILIDADE SUPERFICIAL A falha por fadiga superficial é causada por cargas cíclicas que provocam tensões elevadas de contato. Outras formas de falha superficial incluem o escoreamento que constitui-se em falha de lubrificação, e a abrasão, que corresponde ao desgaste decorrente da presença de um material estranho. A expressão para a tensão de contato superficial é obtida empregando-se a teoria de Hertz onde a pressão de contato entre dois cilindros pode ser calculada a partir da seguinte expressão: p max = Equação 7.14 2⋅ F π ⋅b⋅l Onde: pmax – máxima pressão superficial; F – força que comprime um cilindro contra o outro; l – comprimento dos cilindros B – semilargura determinada a partir da expressão que segue; Equação 7.15 B= Onde: ν1 – Coeficiente de Poisson do cilindro 1 ν2 – Coeficiente de Poisson do cilindro 2; E1 – Módulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro 1; E2 – Módulo de elasticidade longitudinal do material do cilindro 2; dC1 – Diâmetro do cilindro 1; dC2 – Diâmetro do cilindro 2; ( ) ( ) ⎡ 1 − υ12 ⎤ ⎡ 1 − υ 22 ⎤ ⎥ ⎥+⎢ ⎢ 2 ⋅ F ⎣ E1 ⎦ ⎣ E 2 ⎦ ⋅ π ⋅l ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ d C1 ⎠ ⎝ d C 2 ⎠ UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 137 A fim de adaptar essas relações à notação utilizada em engrenagens, substituiremos o termo F por Ft/cosα, dC por 2.rC e l pela largura de face b. Com essas modificações e substituindo também o termo B na Equação 7.14 bem como substituindo o termo pmax por σC, a tensão superficial de compressão (tensão herteziana) é determinada a partir da seguinte relação: Equação 7.16 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ r r F 1 2 C C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t σ C2 = ⋅ 2 π ⋅ b ⋅ cos α ⎡ 1 − υ1 ⎤ ⎡ 1 − υ 22 ⎤ ⎥ ⎥+⎢ ⎢ ⎣ E1 ⎦ ⎣ E 2 ⎦ ( ) ( ) Onde rC1 e rC2 são os valores instantâneos dos raios de curvatura nos perfis do dente do pinhão e da engrenagem respectivamente, no ponto de contato. A expressão acima leva em consideração que há somente rolamento puro durante o engrenamento. Ela não leva em consideração o deslizamento que ocorre fora da linha primitiva. A primeira evidência do desgaste ocorre próximo a linha primitiva. Os raios de curvatura do perfil do dente no ponto primitivo são determinados pelas seguintes expressões: Equação 7.17 rC1 = d 1 ⋅ senα 2 rC 2 = d 2 ⋅ senα 2 Onde d1 e d2 são os diâmetros primitivos da engrenagem pinhão e coroa respectivamente. Observe na Equação 7.16 que o denominador do segundo grupo de termos apresenta quatro constantes (duas para o pinhão e duas para a coroa). A AGMA definiu este termo como coeficiente elástico Cp (ZE) que é determinado pela seguinte expressão: Equação 7.18 Cp = ( ⎡ 1−υ π ⋅⎢ ⎣ E1 1 2 1 ) + (1 − υ )⎤ 2 2 E2 ⎥ ⎦ Com essa simplificação e com a adição do fator velocidade Kv, a Equação 7.16 pode ser escrita como: Equação 7.19 ⎡ K ⋅F σ C = −C p ⋅ ⎢ v t ⎣ b ⋅ cos α observando que o sinal negativo representa uma tensão de compressão. ⎛ 1 1 ⋅ ⎜⎜ + ⎝ rC1 rC 2 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦ 1/ 2 Elementos de Máquinas III 7.3 138 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DA RESISTÊNCIA A FLEXÃO UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA Nesta presente seção é apresentada o método de dimensionamento de engrenagens cilíndricas pelo critério de resistência a flexão utilizando-se a metodologia da AGMA. Nesta seção, apresenta-se a terminologia e equações associadas com o Sistema Internacional de Unidades. O método sugerido pela AGMA leva em consideração vários fatores que serão aqui apresentados. Os métodos apresentados são baseados em Shigley et al (2005) com a alteração do nome de algumas variáveis. O termo resistência esta associado as propriedades do material e o termo tensão é aplicado para resultados de carregamento. 7.3.1 Tensões de Flexão As tensões desenvolvidas nos dentes das engrenagens devidas a flexão, são calculadas a partir da seguinte equação: Equação 7.20 σ = FT ⋅ K o ⋅ K v ⋅ K S ⋅ 1 KH ⋅ KB b ⋅ mt YJ Onde: FT – Força tangencial transmitida (N); Ko – Fator de sobrecarga; Kv – Fator de dinâmico; Ks – Fator de tamanho; b – largura da engrenagem (mm); m – módulo (mm); KH – Fator de distribuição de carga; KB – Fator de espessura de borda; YJ (J) – Fator geométrico para resistência à flexão (inclui o fator de concentração de tensão na raiz do filete Kf) Nas seções a seguir será apresentado cada um dos fatores acima mencionados. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 7.3.2 139 Resistência a Fadiga por Flexão Os valores de tensão de resistência à flexão sugeridos pela AGMA são, com efeito, valores parcialmente corretos da resistência à fadiga mesmo que tenham sido gerados com peças apropriadamente dimensionadas, tendo a mesma geometria, acabamento superficial, etc. A fórmula de correção para a resistência à fadiga por flexão das engrenagens é: Equação 7.21 S fb = YN ⋅ S fb ´ Yθ ⋅ YZ Onde: Sfb – Resistência a fadiga corrigida (MPa); Sfb´ – Resistência a fadiga de flexão publicada pela AGMA (MPa); YN – (KL) Fator vida; Yθ - (KT) Fator temperatura; YZ – (KR) Fator confiabilidade. A Tabela 7.2 apresenta a resistência à fadiga por flexão Sfb´ da AGMA para alguns materiais. Norton (2004) apresenta um gráfico para determinar Sfb´ extraído da Norma 2001 – B88 da AGMA para aços como uma função de sua dureza Brinell. A Figura 7.2 ilustra o referido gráfico. Figura 7.2 – Resistências a fadiga por flexão Sfb´da AGMA para aços (geral). Fonte: Norton (2004) Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à fadiga por flexão Sfb´ para o aço AISI 4140 e 4340 endurecido completamente por nitretação, conforme especificação da Norma ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: Elementos de Máquinas III 140 Equação 7.22 S fb ´= 0,568 ⋅ HB + 83,8MPa (grau 1) Dureza entre 270 a 345 HB) Equação 7.23 S fb ´= 0,749 ⋅ HB + 110MPa (grau 2) Dureza entre 270 a 345 HB) Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à fadiga por flexão Sfb´ para o aço nitretado Nitraloy, conforme especificação da Norma ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: Equação 7.24 S fb ´= 0,594 ⋅ HB + 87,76MPa (grau 1) Dureza entre 270 a 345 HB) Equação 7.25 S fb ´= 0,784 ⋅ HB + 114,81MPa (grau 2) Dureza entre 274 a 345 HB) Shigley et al (2005) apresenta as seguintes expressões para especificar a resistência à fadiga por flexão Sfb´ para o aço nitretado 2,5% cromo, conforme especificação da Norma ANSI/AGMA 2001-C95 e 2101-C95: Equação 7.26 S fb ´= 0,7255 ⋅ HB + 63,89MPa (grau 1) Dureza entre 300 a 345 HB) Equação 7.27 S fb ´= 0,7255 ⋅ HB + 153,63MPa (grau 2) Dureza entre 300 a 345 HB) Equação 7.28 S fb ´= 0,7255 ⋅ HB + 201,91MPa (grau 3) Dureza entre 300 a 345 HB) 7.3.3 Tensão admissível Shigley et al (2005) sugere a partir das recomendações da ANSI/AGMA o cálculo da tensão admissível que é dada por: Equação 7.29 Onde: σadm – Tensão admissível (MPa); Sfb – Resistência a fadiga corrigida (MPa); N – Coeficiente de segurança. σ adm = S fb N UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Material Aço Ferro Fundido Cinzento (recozido) ASTM 48 Ferro Fundido Nodular (dúctil) ASTM A536 Ferro Fundido maleável (perlítico) Bronze Tabela 7.2 – Resistência à fadiga por flexão Sfb´ da AGMA Classe Designação Tratamento térmico Dureza AGMA do material superficial mínima A1 – A5 Endurecimento ≤ 180 HB completo Endurecimento 240 HB completo Endurecimento 300 HB completo Endurecimento 360 HB completo Endurecimento 400 HB completo Endurecimento por Tipo A chama ou indução padronizado 50-55 HRC Endurecimento por Tipo B chama ou indução padronizado Cementação por 55 – 64 HRC carbono e endurecimento superficial Nitretado 84,6 HR15N Nitretado 83,5 HR15N Nitretado 90,0 HR15N 20 30 40 AISI 4140 AISI 4340 Nitroliga 135M Nitroliga 2,5 % cromo Classe 20 Classe 30 Classe 40 A-7-a A-7-c A-7-d A-7-e A-8-c A-8-e A-8-f A-8-i Bronze 2 60-48-18 80-55-06 100-70-03 120-90-02 45007 50005 53007 80002 AGMA 2C Al/Br 3 ASTM B- Tratado termicamente 148 78 liga 954 Nitretado Nitretado Como fundido Como fundido Como fundido Recozido Revenido e temperado Revenido e temperado Revenido e temperado Molde em areia 141 Resistência a fadiga por flexão (MPa) 170 - 230 210 - 280 250 - 325 280 - 360 290 - 390 310 – 380 150 380 - 520 230 - 310 250 - 325 260 - 330 90,0 HR15N 280 - 345 87,5 – 90,0 380 - 450 HR15N 35 175 HB 69 200 HB 90 140 HB 180 HB 230 HB 230 HB 165 HB 180 HB 195 HB 240 HB 40 Ksi resistência a tração mínima 40 Ksi resistência a tração mínima 150 - 230 150 - 230 180 - 280 180 - 280 70 90 110 145 40 160 Elementos de Máquinas III 7.3.4 142 Fator de Vida YN (KN) As tensões de resistência a flexão especificadas na Tabela 7.2 e Equação 7.22 a Equação 7.28 são validas para uma vida de 1E7 ciclos de aplicação de carga. O fator de vida YN tem por objetivo corrigir a resistência à flexão para outras vidas diferentes de 1E7 ciclos. Observe na Figura 7.10 que para 1E7, YN = 1. Figura 7.3 – Fator de Vida YN para resistência por flexão, carga repetida. Fonte: Shigley et al (2005) 7.3.5 Fator de Temperatura Yθ (KT) A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da temperatura da engrenagem. Para aços em óleo, com temperatura até cerca de 120 oC, o fator Yθ = 1. Para temperaturas maiores Norton (2004) sugere a seguinte expressão para determinar Yθ : Equação 7.30 ⎞ ⎛ 9 460 + ⎜ T ⋅ + 32 ⎟ ⎠ ⎝ 5 Yθ = 620 Onde T é a temperatura em graus Celsius (oC). 7.3.6 Fator de Confiabilidade YZ (KR) Conforme Shigley et al (2005), o fator de confiabilidade leva em consideração o efeito das distribuições estatísticas das falhas por fadiga. As resistências AGMA são validas para uma UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 143 confiabilidade de 99%. A Tabela 7.3 apresenta alguns valores do Fator YZ (KR) para algumas confiabilidades. Tabela 7.3 – Fator de confiabilidade YZ (KR) Confiabilidade YZ (KR) 0,9999 1,50 0,999 1,25 0,99 1,00 0,90 0,85 0,50 0,70 7.3.7 Fator Geométrico de Resistência a Flexão YJ (J) O fator geométrico YJ é determinado a partir de um algoritmo complexo definido na norma 908-B89 da AGMA. Norton (2004) apresenta algumas tabelas para determinar o fator geométrico YJ (J), para ângulos de pressão de 20o e 25o, para dentes normais e corrigidos, considerando ainda carregamento na ponta e para o ponto mais alto de contato em um único dente. Shigley et al (2005) apresenta um gráfico para determinar o fator geométrico YJ (J) para engrenagens cilíndricas de dentes retos com altura normal e ângulo de pressão de 20o. Tal gráfico é reproduzido na Figura 7.4. Elementos de Máquinas III 144 YJ Figura 7.4 – Fator geométrico YJ (J). Fonte: Shigley et al (2005) 7.3.8 Fator Dinâmico Kv O fator dinâmico Kv tenta levar em conta as cargas de vibração geradas pelos impactos dos dentes devido ao engrenamento não conjugado. Essas cargas de vibração são chamadas erros de transmissão e serão maiores em engrenagens de baixa precisão. Na ausência de dados experimentais que definam o nível de erro da transmissão a ser esperado em um projeto de engrenagem, o projetista deve estimar o fator dinâmico. A AGMA provê curvas empíricas para Kv como uma função da velocidade Vt na circunferência primitiva (NORTON, 2004). Segundo Shigley et al (2005), alguns efeitos que provocam tais erros são: (i) Imprecisões durante a geração do perfil do dente; (ii) vibração do dente durante o engrenamento, devido a rigidez do mesmo; (iii) intensidade da velocidade no diâmetro primitivo; (iv) desbalanceamento dinâmico dos membros rotativos; (v) desgaste e deformação permanente das partes em contato dos dentes, (vi) desalinhamento do eixo de engrenagens e deflexão linear do eixo; (vii) atrito entre os dentes. A AGMA, definiu um conjunto de números de qualidade Qv, visando obter um controle sobre os efeitos descritos no parágrafo anterior. Esses números definem as tolerâncias das UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 145 engrenagens de vários tamanhos fabricados segundo uma classe de qualidade especificada. As classes 3 e 7 incluem a maioria das engrenagens de qualidade comercial. As classes 8 a 12,por sua vez, são de qualidade mais precisa. O índice de qualidade de precisão de transmissão Qv da AGMA é considerado igual ao número de qualidade. As seguintes equações podem ser usadas para determinar o fator dinâmico baseadas nos índices de qualidade Qv: Equação 7.31 ⎛ A + 200 ⋅ Vt Kv = ⎜ ⎜ A ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ B Onde: A = 50 + 56 ⋅ (1 − B ) Equação 7.32 B = 0,25 ⋅ (12 − Qv ) 3 (para 6 ≤ Qv ≤ 11 ) Equação 7.33 e Vt – velocidade tangencial (m/s); Qv – Índice de qualidade da engrenagem de menor qualidade no engrenamento. 2 A Figura 7.5 ilustra uma família de curvas que variam com o índice de qualidade Qv. Figura 7.5 – Fator dinâmicos da AGMA. Fonte: Shigley et al (2005) Os valores terminais para a velocidade tangencial Vt para cada curva podem ser determinadas a partir das seguintes expressões: Elementos de Máquinas III Equação 7.34 7.3.9 Vtmax = 146 [A + (Qv − 3)]2 200 Fator de Sobrecarga Ko O fator de sobrecarga Ko tem a função de levar em conta todas as cargas aplicadas externamente que excedem à força tangencial FT em uma certa aplicação. Exemplos incluem variações no torque relativamente ao valor médio, devido à explosão interna nos cilindros de um motor de combustão interna, ou reações a variação de torque em uma transmissão de bomba de pistão, etc. Outros autores chamam um fator similar pelo nome de fator de serviço. Esses valores são estabelecidos após considerável experiência de campo em uma determinada aplicação. Shigley e Mischke (1996) apresentam no capítulo 29 páginas 29.5 e 29.6 uma lista de fatores de serviço os quais são apresentados no final deste capítulo. Norton (2004) apresenta uma tabela com os fatores de sobrecarga. A Tabela 7.4 indica os fatores de sobrecarga recomendados por Norton (2004). Tabela 7.4 – Fatores de sobrecarga Ko Máquina movida Máquina motora Uniforme Choque moderado Uniforme (motor 1,00 1,25 elétrico, turbina) Choque leve (motor 1,25 1,50 multi-cilindro) Choque médio 1,50 1,75 (motor de único cilindro) 7.3.10 Choque severo 1,75 ou mais 2,00 ou mais 2,25 ou mais Fator de Tamanho Ks A AGMA ainda não estabeleceu normas para os fatores de tamanho e recomenda que Ks seja igualado a 1, a menos que o projetista deseje aumentar seu valor para levar em conta situações particulares, tais como dentes muito grandes. Um valor de 1,25 a 1,5 seria uma hipótese conservadora em tais casos. Shigley et al (2005) apresenta na página 704 uma expressão para calcular o fator de tamanho Ks. 7.3.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) O fator de distribuição de carga prevê a não uniformidade da distribuição de carga ao longo da linha de contato. Segundo Shigley et al (2005) o ideal é posicionar a engrenagem “a UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 147 meia distância” entre mancais, em uma posição de inclinação nula quando a carga é aplicada. Contudo, isso nem sempre é possível. O procedimento que será exposto a seguir é aplicável quando: (i) razão da largura líquida de face para o diâmetro do pinhão F/d ≤ 2; (ii) engrenagens montadas entre mancais; (iii) largura de face até 1016 mm; e (iv) contato, quando carregado, ao longo da largura total do membro mais estreito. O fator de distribuição de carga sob tais condições é determinado a partir de: K H = 1 + C mc ⋅ (C pf ⋅ C pm + C ma ⋅ C e ) Equação 7.35 Onde: C mc = 1,0 (Para dentes sem coroamento) C mc = 0,8 (Para dentes com coroamento) Equação 7.36 Equação 7.37 C pf = Equação 7.38 Equação 7.39 C pf = b − 0,025 10 ⋅ d b ≤ 25,4mm b b − 0,0375 + 0,0125 ⋅ 10 ⋅ d 25,4 25,5 p b ≤ 438,1mm 2 Equação 7.40 C pf Para valores de b b ⎛ b ⎞ = − 0,1109 + 0,0207 ⋅ − 0,000228 ⋅ ⎜ ⎟ 438,1 p b ≤ 1016mm 10 ⋅ d 25,4 ⎝ 25,4 ⎠ b ≤ 0,05 são utilizadas as seguintes expressões para calcular Cpm: 10 ⋅ d Equação 7.41 C pm = 1,0 (Para pinhão montado entre mancais com S1/S<0,175) Equação 7.42 C pm = 1,1 (Para pinhão montado entre mancais com S1/S≥0,175) Os valores de Cma são calculados por: Equação 7.43 C ma ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ = A + B ⋅⎜ ⎟ + C ⋅⎜ ⎟ ⎝ 25,4 ⎠ ⎝ 25,4 ⎠ 2 Onde b é dado em mm e as constantes A, B e C são obtidas a partir da Tabela 7.5. Tabela 7.5 – Constantes empíricas A, B, C. Fonte: Shigley et al (2005) Condição A B C Engrenamento aberto 0,247 0,0167 -0,765x10-4 Unidades fechadas, comerciais 0,127 0,0158 -0,093x10-4 Engrenamento aberto 0,0675 0,0128 -0,926x10-4 Engrenamento aberto 0,00360 0,0102 -0,822x10-4 A Figura 7.6 apresenta as definições de S e S1 para serem usadas nas expressões para determinar Cpm da Norma ANSI/AGMA 2001-C95. Elementos de Máquinas III 148 Figura 7.6 – Definição das distâncias S e S1. Fonte: Shigley et al (2005) Figura 7.7 – Fator de alinhamento de engrenamento Cma. Fonte: Shigley et al (2005) Os valores de Ce são deteminados por: Equação 7.44 Equação 7.45 C e = 0,8 (Para engrenagens ajustadas na montagem, ou quando a compatibilidade é melhorada por lapidação, ou ambas) C e = 1,0 (Para todas as outras condições) 7.3.12 Fator de Espessura de Borda KB Quando a espessura da borda não é suficiente para proporcionar suporte completo à raiz do dente, a localização da falha por fadiga à flexão pode ocorrer ao longo da borda da engrenagem, e não no filete do dente. Em tais casos, o uso de um fator modificador de tensão KB é recomendado. O fator de espessura de borda KB ajusta a tensão de flexão estimada para engrenagens de borda fina. Trata-se de uma função da razão auxiliar mB: UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 149 mB = Equação 7.46 tR ht Onde: tr – Espessura da borda abaixo do dente (mm); h - Altura do dente (mm). O fator de espessura de borda KB é determinado por: Equação 7.47 2,242 quando mB<1,2 mB K B = 1 quando mB ≥ 1,2 K B = 1,6 ⋅ ln Equação 7.48 A Figura 7.8 apresenta também o valor KB graficamente. Figura 7.8 – Fator de espessura de borda KB. Fonte: Shigley et al (2005) 7.4 DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS PELO CRITÉRIO DO DESGASTE UTILIZANDO A METODOLOGIA DA AGMA Nesta presente seção é apresentada o método de dimensionamento de engrenagens cilíndricas baseado no critério do desgaste utilizando-se a metodologia da AGMA. Nesta seção, apresenta-se a terminologia e equações associadas com o Sistema Internacional de Unidades. O método sugerido pela AGMA leva em consideração vários fatores que serão aqui apresentados. Para facilitar o desenvolvimento dos cálculos, serão repetidos nesta seção alguns dos fatores apresentados no item anterior associado ao dimensionamento de engrenagens pelo critério da resistência. Elementos de Máquinas III 7.4.1 150 Tensões de Contato As tensões de contato desenvolvidas nos dentes das engrenagens, são calculadas a partir da seguinte equação: Equação 7.49 σ C = Z E ⋅ FT ⋅ K o ⋅ K v ⋅ K S ⋅ KH ZR ⋅ d1 ⋅ b Z I Onde: FT – Força tangencial transmitida (N); ZE – Coeficiente Elástico ( N mm 2 ); Ko – Fator de sobrecarga; Kv – Fator de dinâmico; Ks – Fator de tamanho; b – Largura da engrenagem (mm); d1 – Diâmetro primitivo do pinhão (mm); KH – Fator de distribuição de carga; ZR – Fator de condição superficial; ZI – Fator geométrico para resistência à formação de cavidades; Nos itens a seguir serão apresentados cada um dos fatores acima mencionados. 7.4.2 Resistência a Fadiga Superficial A fórmula de correção para a resistência à fadiga superficial corrigida das engrenagens é: Equação 7.50 S fc = Z N ⋅ ZW ⋅ S fc ´ Yθ ⋅ YZ Onde: Sfc – Resistência à fadiga de superfície corrigida (MPa); Sfc´ – Resistência à fadiga de superfície publicada pela AGMA (MPa); ZW (CH) – Fator de razão de dureza para resistência a formação de cavidades (Só é levado em consideração para a coroa); ZN – Fator vida; Yθ (KT) - Fator temperatura; YZ (KR) - Fator confiabilidade. A Tabela 7.6 apresenta a resistência à fadiga de superfície Sfc´ da AGMA para alguns materiais. Norton (2004) apresenta um gráfico para determinar Sfc´ extraído da Norma 2001 – B88 da AGMA para aços como uma função de sua dureza Brinell. A Figura 7.9 ilustra o referido gráfico. UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 151 Figura 7.9 – Resistências à fadiga de superfície Sfc´da AGMA para aços (geral). Fonte: Norton (2004) 7.4.3 Tensão Admissível de Contato Shigley et al (2005) sugere a partir das recomendações da ANSI/AGMA o cálculo da tensão admissível que é dada por: Equação 7.51 Onde: σc adm – Tensão de contato admissível (MPa); Sfc – Resistência a fadiga de superfície corrigida (MPa); Nc – Coeficiente de segurança. σ adm = S fc N Elementos de Máquinas III 152 Tabela 7.6 – Resistência à fadiga de superfície Sfc´ da AGMA Material Classe AGMA Aço A1- A5 Ferro Fundido Cinzento (recozido) ASTM 48 Ferro Fundido Nodular (dúctil) ASTM A536 Ferro Fundido maleável (perlítico) Bronze Designação do material Tratamento térmico Dureza superficial mínima Endurecimento completo Endurecimento completo Endurecimento completo Endurecimento completo Endurecimento completo Endurecimento por chama ou indução Endurecimento por chama ou indução Cementação por carbono e endu-recimento superficial Nitretado Nitretado Nitretado ≤ 180 HB 240 HB 300 HB 360 HB 400 HB 50 HRC Resistência fadiga superfície (MPa) a de 590 - 660 720 - 790 830 - 930 1000 - 1100 1100 - 1200 1200 - 1300 54 HRC 1200 - 1300 55 – 64 HRC 1250 - 1300 84,6 HR15N 83,5 HR15N 90,0 HR15N 1100 - 1250 1050 - 1200 1170 - 1350 Nitretado 90,0 HR15N 1340 - 1410 Nitretado 87,5 HR15N 1100 - 1200 Nitretado 90,0 HR15N 1300 - 1500 Como fundido Como fundido Como fundido 175 HB 200 HB 340 - 410 450 - 520 520 - 590 Recozido Revenido e temperado Revenido e temperado Revenido e temperado 140 HB 180 HB 230 HB 230 HB 530 - 630 530 - 630 630 - 770 710 - 870 165 HB 180 HB 195 HB 240 HB 40 Ksi resistência a tração mínima 40 Ksi resistência a tração mínima 500 540 570 650 450 20 30 40 AISI 4140 AISI 4340 Nitroliga 135M Nitroliga N 2,5 % cromo 2,5 % cromo Classe 20 Classe 30 Classe 40 A-7-a A-7-c A-7-d A-7-e 60-48-18 80-55-06 100-70-03 120-90-02 A-8-c A-8-e A-8-f A-8-i Bronze 2 45007 50005 53007 80002 AGMA 2C Al/Br 3 ASTM B- Tratado termicamente 148 78 liga 954 Molde em areia 450 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 7.4.4 153 Fator de vida ZN (CL) As tensões de resistência à fadiga de superfície especificadas na Tabela 7.6 são validas para uma vida de 1E7 ciclos de aplicação de carga. O fator de vida ZN tem por objetivo corrigir a resistência à fadiga de superfície para outras vidas diferentes de 1E7 ciclos. Observe na Figura 7.10 que para 1E7, ZN = 1. Figura 7.10 – Fator de Vida ZN para resistência a formação de crateras. Fonte: Shigley et al (2005) 7.4.5 Fator Razão de Dureza ZW (CH) Este fator é uma função da relação de transmissão (i) e da dureza relativa do pinhão e engrenagem. Este fator atua no sentido de aumentar a resistência aparente da engrenagem (movida/coroa). Ele leva em conta situações nas quais os dentes do pinhão são mais duros que os dentes da engrenagem e, assim, atuam para endurecer as superfícies do dente da engrenagem quando em funcionamento. O fator ZW é levado em consideração somente para determinar a resistência do dente da engrenagem (movida/coroa) e não do pinhão (motora). Duas fórmulas para seu cálculo são sugeridas pela Norma 2001-B88 da AGMA dependendo da dureza relativa dos dentes do pinhão e da engrenagem. Para pinhões endurecidos completamente trabalhando com engrenagens endurecidas completamente (inteiramente) o fator ZW é calculado através da seguinte expressão: Elementos de Máquinas III 154 Z W = 1 + A ⋅ (i − 1) Equação 7.52 Onde “i” é a relação de transmissão e A é encontrado a partir das seguintes relações: Equação 7.53 Equação 7.54 Equação 7.55 A=0 A = 0,00898 ⋅ (quando HB p HB g − 0,00829 (quando 1,2 ≤ A = 0,00698 (quando HB p HB g HB p HB g HB p HB g p 1,2 ) ≤ 1,7 ) f 1,7 ) Os termos HBp e HBg representam as durezas Brinell (esfera de 10 mm sob carga de 3000 kg) do pinhão e da engrenagem (coroa) respectivamente. Para pinhões com superfície endurecida trabalhando com engrenagens endurecidas completamente (inteiramente) o fator ZW é calculado através da seguinte expressão: Z W = 1 + B ⋅ (450 − HB g ) Equação 7.56 onde B é encontrado a partir da seguintes relação para o Sistema Internacional de Medidas: Equação 7.57 Equação 7.58 (US) B = 0,00075 ⋅ e −0 , 0112⋅ Rq (SI) B = 0,00075 ⋅ e −0 , 052⋅ Rq Sendo que Rq é a rugosidade de superfície rms dos dentes do pinhão em µin rms para o sistema (US) (NORTON, 2004 p. 640). 7.4.6 Fator de Temperatura Yθ (KT) A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da temperatura da engrenagem. Para aços em óleo, com temperatura até cerca de 120 oC, o fator Yθ = 1. Para temperaturas maiores Norton (2004) sugere a seguinte expressão para determinar Yθ : Equação 7.59 ⎞ ⎛ 9 460 + ⎜ T ⋅ + 32 ⎟ ⎠ ⎝ 5 Yθ = 620 Onde T é a temperatura em graus Celsius (oC). 7.4.7 Fator de Confiabilidade YZ (KR) Conforme Shigley et al (2005), o fator de confiabilidade leva em consideração o efeito das distribuições estatísticas das falhas por fadiga. As resistências AGMA são validas para uma UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 155 confiabilidade de 99%. A Tabela 7.3 apresenta alguns valores do Fator YZ (KR) para algumas confiabilidades. Tabela 7.7 – Fator de confiabilidade YZ (KR) Confiabilidade YZ (KR) 0,9999 1,50 0,999 1,25 0,99 1,00 0,90 0,85 0,50 0,70 7.4.8 Fator Dinâmico Kv O fator dinâmico Kv tenta levar em conta as cargas de vibração geradas pelos impactos dos dentes devido ao engrenamento não conjugado. Essas cargas de vibração são chamadas erros de transmissão e serão maiores em engrenagens de baixa precisão. Na ausência de dados experimentais que definam o nível de erro da transmissão a ser esperado em um projeto de engrenagem, o projetista deve estimar o fator dinâmico. A AGMA provê curvas empíricas para Kv como uma função da velocidade Vt da linha de passo (NORTON, 2004). Segundo Shigley et al (2005), alguns efeitos que provocam tais erros são: (i) Imprecisões durante a geração do perfil do dente; (ii) vibração do dente durante o engrenamento, devido a rigidez do mesmo; (iii) intensidade da velocidade no diâmetro primitivo; (iv) desbalanceamento dinâmico dos membros rotativos; (v) desgaste e deformação permanente das partes em contato dos dentes, (vi) desalinhamento do eixo de engrenagens e deflexão linear do eix; (vii) atrito entre os dentes. A AGMA, definiu um conjunto de números de qualidade Qv, visando obter um controle sobre os efeitos descritos no parágrafo anterior. Esses números definem as tolerâncias das engrenagens de vários tamanhos fabricados segundo uma classe de qualidade especificada. As classes 3 e 7 incluem a maioria das engrenagens de qualidade comercial. As classes 8 a 12,por sua vez, são de qualidade mais precisa. O índice de qualidade de precisão de transmissão Qv da AGMA é considerado igual ao número de qualidade. As seguintes equações podem ser usadas para determinar o fator dinâmico baseadas nos índices de qualidade Qv: Equação 7.60 ⎛ A + 200 ⋅ Vt Kv = ⎜ ⎜ A ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ B Onde: Equação 7.61 A = 50 + 56 ⋅ (1 − B ) Elementos de Máquinas III 156 Equação 7.62 B = 0,25 ⋅ (12 − Qv ) 3 (para 6 ≤ Qv ≤ 11 ) e Vt – velocidade tangencial (m/s); Qv – Índice de qualidade da engrenagem de menor qualidade no engrenamento. 2 A Figura 7.5 ilustra uma família de curvas que variam com o índice de qualidade Qv. Figura 7.11 – Fator dinâmicos da AGMA. Fonte: Shigley et al (2005) Os valores terminais para a velocidade tangencial Vt para cada curva podem ser determinadas a partir das seguintes expressões: Equação 7.63 7.4.9 Vtmax 2 [ A + (Qv − 3)] = 200 Fator de Sobrecarga Ko O fator de sobrecarga Ko tem a função de levar em conta todas as cargas aplicadas externamente que excedem à força tangencial FT em uma certa aplicação. Exemplos incluem variações no torque relativamente ao valor médio, devido à explosão interna nos cilindros de um motor de combustão interna, ou reações a variação de torque em uma transmissão de bomba de pistão, etc. Outros autores chamam um fator similar pelo nome de fator de serviço. Esses valores são estabelecidos após considerável experiência de campo em uma determinada UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 157 aplicação. Shigley e Mischke (1996) apresentam no capítulo 29 páginas 29.5 e 29.6 uma lista de fatores de serviço. Norton (2004) apresenta uma tabela com os fatores de sobrecarga. A Tabela 7.8 indica os fatores de sobrecarga recomendados por Norton (2004). Tabela 7.8 – Fatores de sobrecarga Ko Máquina movida Máquina motora Uniforme Choque moderado Uniforme (motor 1,00 1,25 elétrico, turbina) Choque leve (motor 1,25 1,50 multi-cilindro) 1,50 1,75 Choque médio (motor de único cilindro) 7.4.10 Choque severo 1,75 ou mais 2,00 ou mais 2,25 ou mais Fator de Tamanho Ks A AGMA ainda não estabeleceu normas para os fatores de tamanho e recomenda que Ks seja igualado a 1, a menos que o projetista deseje aumentar seu valor para levar em conta situações particulares, tais como dentes muito grandes. Um valor de 1,25 a 1,5 seria uma hipótese conservadora em tais casos. Shigley et al (2005) apresenta na página 704 uma expressão para calcular o fator de tamanho Ks. 7.4.11 Fator de Distribuição de Carga KH (Km) O fator de distribuição de carga prevê a não uniformidade da distribuição de carga ao longo da linha de contato. Segundo Shigley et al (2005) o ideal é posicionar a engrenagem “a meia distância” entre mancais, em uma posição de inclinação nula quando a carga é aplicada. Contudo, isso nem sempre é possível. O procedimento que será exposto a seguir é aplicável quando: (i) razão da largura líquida de face para o diâmetro do pinhão F/d ≤ 2; (ii) engrenagens montadas entre mancais; (iii) largura de face até 1016 mm; e (iv) contato, quando carregado, ao longo da largura total do membro mais estreito. O fator de distribuição de carga sob tais condições é determinado a partir de: Equação 7.64 Onde: K H = 1 + C mc ⋅ (C pf ⋅ C pm + C ma ⋅ C e ) Elementos de Máquinas III C mc = 1,0 (Para dentes sem coroamento) C mc = 0,8 (Para dentes com coroamento) Equação 7.65 Equação 7.66 b − 0,025 10 ⋅ d b = − 0,0375 + 0,0125 ⋅ b 10 ⋅ d Equação 7.67 C pf = Equação 7.68 C pf Equação 7.69 Para valores de 158 C pf = b ≤ 25,4mm 25,5 p b ≤ 438,1mm b − 0,1109 + 0,0207 ⋅ b − 0,000228 ⋅ b 2 10 ⋅ d 438,1 p b ≤ 1016mm b ≤ 0,05 são utilizadas as seguintes expressões para calcular Cpm: 10 ⋅ d Equação 7.70 C pm = 1,0 (Para pinhão montado entre mancais com S1/S<0,175) Equação 7.71 C pm = 1,1 (Para pinhão montado entre mancais com S1/S≥0,175) Os valores de Cma são calculados por: Equação 7.72 C ma ⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ = A + B ⋅⎜ ⎟ + C ⋅⎜ ⎟ ⎝ 25,4 ⎠ ⎝ 25,4 ⎠ 2 Onde b é dado em mm e as constantes A, B e C são obtidas a partir da Tabela 7.5. Tabela 7.9 – Constantes empíricas A, B, C. Fonte: Shigley et al (2005) Condição A B C Engrenamento aberto 0,247 0,0167 -0,765x10-4 Unidades fechadas, comerciais 0,127 0,0158 -0,093x10-4 Engrenamento aberto 0,0675 0,0128 -0,926x10-4 Engrenamento aberto 0,00360 0,0102 -0,822x10-4 A Figura 7.6 apresenta as definições de S e S1 para serem usadas nas expressões e a Figura 7.7 apresenta gráficos para determinar Cma da Norma ANSI/AGMA 2001-C95. Figura 7.12 – Definição das distâncias S e S1. Fonte: Shigley et al (2005) UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions 159 Figura 7.13 – Fator de alinhamento de engrenamento Cma. Fonte: Shigley et al (2005) Os valores de Ce são determinados por: Equação 7.73 Equação 7.74 C e = 0,8 (Para engrenagens ajustadas na montagem, ou quando a compatibilidade é melhorada por lapidação, ou ambas) C e = 1,0 (Para todas as outras condições) 7.4.12 Fator de Acabamento Superficial ZR (Cf) O fator de acabamento superficial ZR é usado para levar em conta acabamentos superficiais extraordinariamente grosseiros nos dentes de engrenagens. A AGMA não estabeleceu ainda normas para os fatores de acabamento superficial e recomenda que ZR seja tomado igual a um (1) para engrenamentos fabricados pelos métodos convencionais. Seu valor pode ser aumentado para levar em conta acabamentos superficiais extraordinariamente grosseiros ou para levar em conta tensões residuais. 7.4.13 Fator Geométrico de Resistência Superficial ZI (I) O fator ZI (I) é denominado pela AGMA de fator geométrico de resistência a formação de cavidades. Conforme Norton (2005), a AGMA define uma equação para o cálculo de ZI: ZI = Equação 7.75 2 Equação 7.76 Equação 7.77 Onde: cos α ⎛ 1 1 ⎞ ⎜⎜ ± ⎟⎟ ⋅ d1 ⎝ ρ1 ρ 2 ⎠ ⎛ 1 + x1 ⎞ π ⎟⎟ − (r1 cos α )2 − ρ1 = ⎜⎜ r1 + ⋅ cos α p p d ⎠ d ⎝ ρ 2 = a ⋅ senα ± ρ1 Elementos de Máquinas III 160 ρ1 – raio de curvatura do dente da engrenagem motora (pinhão); ρ2 – raio de curvatura do dente da engrenagem movida (coroa); α - ângulo de pressão; d1 – diâmetro primitivo do pinhão; r1 – raio primitivo do pinhão; x1 – índice de correção do pinhão; a – distância entre centros; pd – diametral pitch ± - (+ para engrenagens externas, - para engrenagens internas). Conforme Shigley (1985), para engrenagens de dentes retos, ZI pode ser expresso por: ZI = cos α ⋅ senα i ⋅ 2 i ±1 7.4.14 Coeficiente Elástico ZE (Cp) O coeficiente elástico ZE (Cp) leva em consideração as diferenças entre os materiais dos dentes das engrenagens motora e movida e é determinado a partir da seguinte expressão: ZE = Equação 7.78 1 ⎡⎛ 1 − ν 12 ⎣⎢⎝ E1 π ⋅ ⎢⎜⎜ ⎞ ⎛ 1 − ν 22 ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎠ ⎝ E2 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦⎥ Onde: ZE – Coeficiente Elástico [MPa0,5] ν1 – Coeficiente de Poisson da engrenagem motora (pinhão); ν2 – Coeficiente de Poisson da engrenagem movida (coroa); E1 – Módulo de elasticidade longitudinal do material da engrenagem motora (pinhão) [N/mm2]; E2 – Módulo de elasticidade longitudinal do material da engrenagem movida (coroa) [N/mm2]; A Tabela 7.10 ilustra vários valores para ZE (Cp) para diversas combinações de materiais comuns de engrenagens e pinhão baseados em um valor hipotético de ν = 0,3. Material do Pinhão Aço Ferro Maleável Ferro Tabela 7.10 – Coeficiente elástico ZE (Cp) em (MPa0,5) E1 Material da Engrenagem (Coroa) Aço Ferro Ferro Ferro Alumínio (MPa) Maleável Nodular Fundido Bronze Estanho Bronze 2,0E5 1,7E5 191 181 181 174 179 172 174 168 162 158 158 154 1,7E5 179 172 170 166 156 152 UNOESC – Curso de Engenharia de Produção Mecânica Prof. Douglas Roberto Zaions Nodular Ferro 1,5E5 Fundido Alumínio 1,2E5 Bronze Estanho 1,1E5 Bronze 161 174 168 166 163 154 149 162 158 156 154 145 141 158 154 152 149 141 137 Obs.: Os valores de E1 nesta tabela são aproximados e ν = 0,3 foi usado como um coeficiente de Poisson aproximado para todos os materiais. Se números mais precisos de E1 e ν estiverem disponíveis, utilizar a equação para determinar ZE. Fatores de Serviço Elementos de Máquinas III 8 162 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6684: Engrenagens Cilíndricas (Dentes Retos e Helicoidais) - Terminologia. Rio de Janeiro, 1981. 21 p. 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