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Universidade Federal de Viçosa Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica MEC 250 – Dinâmica de Máquinas Prof.: Paulo Cezar Buchner
GERADORES DE RETAS E PANTÓGRAFO: ANÁLISE E CONSTRUÇÃO
Bruno César Lopes Santiago César Almiro de Souza Igor Renan Carlos Renato Mallosto Emerich de Abreu
Maio de 2011 Viçosa, MG
INTRODUÇÃO Nesse trabalho objetiva-se analisar os principais mecanismos geradores de retas e reprodução de textos/figuras (pantógrafo). Tanto os geradores de retas quanto o pantógrafo tiveram origens essencialmente gráficas, cujo objetivo era auxiliar em desenhos e confecção de plantas técnicas. A única exceção dessa contexto é a ligação de Watt, cuja origem se deu da necessidade de seu inventor de converter em movimento reto de mesmo sentido um movimento inicialmente circular oriundo da propulsão a vapor. Mais tarde esses mecanismos, de geometria e funcionamento essencialmente simples, ganharam ampla aplicação na indústria mecânica. O pantógrafo passa não mais a ter aplicação restrita à reprodução de desenhos mas a ser parte importante nos processos de fabricação, usinagem e correlatos. O critério matemático-geométrico que dá funcionalidade aos geradores de retas passa a ter aplicações em suspensões automotivas, máquinas a vapor e onde mais suas aplicações forem convenientes. PANTÓGRAFO Pantógrafo é um equipamento usado para reproduzir uma figura em seu tamanho natural ou em escala diferente do original. O significado da palavra é vinculado a essa propriedade de reprodução da mesma figura em tamanhos diferentes. O pantógrafo mais simples é usado em desenho quando se quer copiar uma ilustração.
Figura 1: Esquema de Pantógrafo de desenhos
O pantógrafo para copiar desenhos é composto de quatro hastes de madeira ou metal, unidas entre si de modo que formem um paralelogramo ajustável, como mostra a figura acima. Se usarmos a extremidade mais distante como ponto de contorno do original que quisermos reproduzir, o lápis da haste menor, paralela à mais longa, desenhará a mesma figura, reduzida. Procedendo de modo contrário teremos ampliação. A magnitude de aumento ou redução é dada pela razão dos comprimentos das hastes que contêm os lápis de contorno. Resultado facilmente obtido da semelhança de triângulos aplicada a estas hastes. Pantógrafo mecânico O mesmo princípio de funcionamento do pantógrafo utilizado em desenho é usado na máquina chamada pantógrafo mecânico. É uma máquina da família das fresadoras, utilizada para reproduzir gravações para estampos de moedas, medalhas, placas com textos etc. É também chamada de fresadora pantográfica, fresadora pantógrafo ou fresa gravadora. O pantógrafo funciona baseado em dois conjuntos. Um contém o modelo a ser copiado e se localiza sobre a mesa porta-matriz. Na operação de cópia, o modelo é tocado por um dispositivo que identifica as medidas de profundidade da gravação chamado apalpador.
Figura 2: Esquema de pantógrafo mecânico
Figura 3: Detalhes da mesa de trabalho e do bastão abrasivo
O outro conjunto contém o material que vai ser gravado por meio de bastão abrasivo ou por meio de fresa gravadora. Esses dois dispositivos de gravação situam-se acima da mesa de trabalho. O pantógrafo tanto pode copiar modelos em escala natural como em escala reduzida ou ampliada. Os modelos podem ser desenhos em papel, formas em metal ou plástico, planas ou volumétricas.
Figura 4: Cópia a partir de matriz ampliada (branca)
Como no pantógrafo de desenho, à medida que o apalpador se desloca sobre o modelo, a ferramenta esculpe o material.
Figura 5: Cópia em três dimensões (pantógrafo tridimensional)
O modelo a ser copiado, ou gabarito, é preso à mesa porta-matriz. A peça a ser trabalhada é presa à mesa de trabalho. O apalpador é conduzido manualmente sobre o modelo. O movimento do traçado é transferido à fresa gravadora por meio de cordões de transmissão. A velocidade de deslocamento do apalpador leva em conta o material com que se trabalha, o raio da ponta do apalpador dentre outros.
Figura 6: A alavanca maior usada para guiar sobre a matriz
De modo geral, o trabalho não é executado de uma só vez. A gravação no material é feita progressivamente até se conseguir a cópia planejada, principalmente em se tratando de modelos em três dimensões ou com muitos detalhes, em moedas por exemplo. Normalmente, a gravação é feita sobre uma chapa plana, mas existem alguns tipos de figura em relevo que também são feitas em pantógrafos. Desse modo, há dois tipos gravação: as bidimensionais, como a gravação de um nome em uma placa num plano de duas dimensões: comprimento e largura; as tridimensionais, como a reprodução de uma medalha em três dimensões: comprimento, largura e altura.
Baixo relevo
Alto Relevo
Tridimensional
Tipos de Pantógrafo Costuma-se chamar a máquina preparada para gravação em placas de pantógrafo bidimensional, e a máquina preparada para reproduzir um trabalho com muitos rebaixos e elevações de pantógrafo tridimensional. Um trabalho muito executado em pantógrafos bidimensionais com que temos contato em nosso dia-adia é a impressão de marcas em objetos de metal ou plástico e placas de aviso colocadas por toda parte. No caso de gravação de letras, são feitos cálculos exatos para o processo ser realizado com êxito. Levam-se em conta o tamanho da letra a ser gravada, a espessura do traço, a característica da letra (se será escavada ou em relevo), o material em que vai ser gravada, o deslocamento do apalpador, a inclinação da fresa, a mesa a ser usada para prender o material, a relação entre a mesa de trabalho com a mesa do modelo.
Figura 7: Marcas em metais feitas por pantógrafo
No caso de gravação de palavras, as letras são copiadas uma a uma. Quando lemos na embalagem de plástico de um produto um texto qualquer, o processo adotado para gravar as letras é o seguinte: Primeiramente, é feita uma matriz de metal no pantógrafo, com as letras invertidas, como num carimbo. Essas letras, ao serem estampadas na superfície do plástico, passam então a ser lidas corretamente. Outras vezes, levando-se em conta os custos e os materiais utilizados, a gravação do pantógrafo é feita diretamente sobre a superfície do produto. Como exemplo disso, temos as placas de identificação em máquinas operatrizes ou máquinas-ferramenta. As placas de identificação são de acrílico e a inscrição das letras é feita diretamente pelo pantógrafo. GERADORES DE RETAS São projetados para que determinado ponto se desloque em linha reta. Geralmente são classificados em quatro tipos: Ligação de Watt: também conhecida como ligação em paralelo, é um tipo de acoplamento mecânico inventado por James Watt (1736 - 1819) para restringir o movimento de um motor a vapor de pistão em uma linha reta.
Figura 8: Esquema da ligação de Watt. A trajetória do ponto P é aproximadamente reta.
A idéia de criação da ligação e do uso de links está contida em uma carta que escreveu em Junho de 1784: “Eu tenho um vislumbre de um método de fazer uma haste para cima e para baixo perpendicularmente apenas fixando-os em um pedaço de ferro em cima da trave, sem correntes ou guias perpendiculares [...] é uma das peças mais engenhosas simples da mecânica eu inventei.” Esta ligação não gera um movimento de verdadeira linha reta, e na verdade Watt não afirma que o fez. Em uma carta a M. Boulton em 11 de setembro de 1784, ele descreve a ligação como se segue:“A convexidade dos arcos, deitados em direções contrárias, há um certo ponto de conexão na alavanca, que tem muito pouca variação sensível de uma linha reta”. A ligação Watt é usada na traseira de alguns carros no eixo de suspensões como uma melhoria em relação à haste de Panhard, que foi projetada no início do século XX. Em ambos os métodos a intenção é impedir o movimento lateral relativo entre o eixo e o corpo do carro. A ligação de Watt se aproxima de uma linha vertical de movimento mais aproximado. Ela consiste de duas hastes horizontais de igual comprimento montado em cada lado do chassi. Entre essas duas varas, uma barra vertical curta está conectada. O centro desta pequena haste vertical - o ponto que é limitado em um movimento em linha reta - é montado no centro do eixo. Todos os pontos de articulação são livres para girar em um plano vertical. De certa forma, ligação Watt pode ser vista como duas hastes Panhard montadas em frente umas às outras. A ligação pode ser invertida, caso em que o centro de P está ligado ao corpo e L1 e L3 para montar o eixo. Isso reduz a massa não suspensas e pequenas alterações da cinemática. Esse modelo de suspensão é usada em algumas versões da Ford Ranger e Australian V8 Supercars. A ligação de Watt também pode ser usada para impedir o movimento do eixo no sentido longitudinal do veículo, no entanto, isso é mais comum nas corridas de sistemas de suspensão. Esta aplicação geralmente envolve duas ligações de Watt em cada lado do eixo, montado paralelamente ao sentido da marcha.
Figura 9: Ligação de Watt como parte da suspensão de automóvel
Figura 10: Ligação de Watt usada na Forf Ranger EV 1998
Ligação de Chebyshev: A ligação de Chebyshev é uma ligação mecânica que converte o movimento rotatório para aproximar movimento em linha reta. Foi inventado pelo matemático do século 19 Pafnuty Chebyshev, que estudou os problemas teóricos em mecanismos de cinemática. Um dos problemas foi a construção de um vínculo que converte um movimento rotativo em um movimento em linha reta aproximada. Como visto, isso também foi estudado por James Watt em suas melhorias para a máquina a vapor. A ligação da linha reta limita o ponto P - a meio da ligação L 3 - em linha reta em dois extremos e no centro do curso. (L 1, L 2, L 3 e L 4 são mostradas na ilustração.) Entre esses pontos, o ponto P desvia-se ligeiramente a partir de uma linha reta perfeita. As proporções entre as ligações são
O ponto P está no meio de L3. Esta relação garante que a barra L3 se encontre verticalmente quando ele estiver nos extremos do seu curso. Os comprimentos são relacionados matematicamente como segue:
Figura 11: Esquema da ligação de Chebyshev
Ligação de Peaucellier-Lipkin: inventada em 1864, foi a primeira ligação plana capaz de transformar movimento rotativo em perfeito movimento em linha reta e vice-versa. Até essa invenção nenhum método planar existia para produção de movimento em linha reta perfeito, sem guias de referência, fazendo a ligação particularmente importante como um componente de máquina e para a fabricação. Em particular, um pistão de cabeça precisa manter uma boa vedação com o eixo, a fim de manter média de condução. A ligação Peaucellier foi importante no desenvolvimento do motor a vapor.
Figura 12: Ligação de Peaucellier-Lipkin
A matemática da articulação de Peaucellier está diretamente relacionada à inversão de um círculo. No diagrama geométrico do aparelho, seis barras de comprimento fixo podem ser vistas: AO, OC, AB, BC, CD, DA. O comprimento da barra AO é igual ao comprimento de OC, e os comprimentos de AB, BC, CD e DA são todos iguais formando um losango. Além disso, o ponto médio O é fixo. Então, se o ponto B é obrigado a se mover ao longo de um círculo (mostrado em vermelho), que passa por O, D necessariamente tem que se mover ao longo de um linha reta (em azul). Por outro lado, se os pontos forem impedidos de mover ao longo de uma linha (não passando por S), então o ponto D teria necessariamente de se mover ao longo de um círculo (passando por O).
Figura 13: O ponto D move-se em tragetória circular
Os pontos O, B, D são colineares. Triângulos BAD e BCD são congruentes porque o lado BD é congruente a si mesmo, o lado BA é congruente ao lado BC e o lado AD é congruente a CD. Portanto, os ângulos ABD e CBD são iguais. Em seguida, triângulos OBA e OBC são congruentes, uma vez que os lados OA e OC são congruentes, o lado OB é congruente a si mesmo, e os lados BA e BC são congruentes. Portanto os ângulos OBA e OBC são iguais. Ângulo OBA + ângulo ABD + ângulo DBC + CBO ângulo = 360 °, mas o ângulo OBC OBA = ângulo e o ângulo DBA = ângulo DBC, assim DBA = 360° 2×ânguloOBA+2×ânguloDBA=360° OBA. ângulo DBA = + 180 ° portanto, os pontos O, B e D são colineares. Considere o ponto P a intersecção das linhas AC e BD. Então, uma vez que ABCD é um losango, P é oponto médio de ambos os segmentos de linha BD e AC. Portanto comprimento BP DP = comprimento. Triângulo ABP é congruente ao triângulo DPA, porque o lado BP é congruente ao lado do DP, do lado do AP é congruente a si mesmo, e do lado AB é congruente ao lado AD. Portanto o ângulo ABP = ângulo DPA. Mas, desde o ângulo ABP ângulo + DPA = 180 °, em seguida, 2 × ângulo ABP = 180 °, ângulo ABP = 90 ° e ângulo DPA = 90 °. Ligação de Sarrus: inventado em 1853 por Pierre Frédéric Sarrus, é uma ligação mecânica para converter um movimento circular limitado a um movimento linear.
Figura 14: Vista lateral da Ligação de Sarrus
A ligação utiliza duas placas retangulares perpendiculares entre si articuladas e posicionadas paralelamente umas sobre as outras. A ligação Sarrus é de classe tridimensional conhecida como um espaço de manivela, ao contrário da ligação Lipkin-Peaucellier que é um mecanismo de planar. Junto com a ligação de Peaucellier são as únicas a gerarem retas perfeitas.
Figura 15: Ligação de Sarrus
Ligação de Hoekens: A ligação Hoekens é um mecanismo de quatro barras que converte o movimento rotatório para aproximar movimento em linha reta. A ligação Hoekens é uma ligação cognata da ligação Chebyshev por gerar mesmo resultado de movimento.
Para esse tipo de estrutura, considerando que barra sob movimento circular tenha comprimento x as demais tem comprimento 2,5x. Ou seja, se a barra em rotação mede 2 unidades, a azul maior mede 5 unidades e a vermelha 2,5x + 2,5x = 10 unidades de comprimento.
BIBLIOGRAFIA Cornell University, 2011. “Kinematic Models for Design – Digital Library / Straight Line Mechanism” Wikipedia (traduzida), 2011. “Straight Line Mechanism”. Salvador Cardona Foix, “Teoría de máquinas”, Barcelona 2001, Página 19-25 (Mecanismos) e página 60 (Pantógrafo). Disponível em
