Transcript
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica PME2300 – Mecânica dos Sólidos I 3ª Prova – 18/06/2009 – Duração: 100 minutos (Não é permitido o uso de calculadoras) 1ª Questão (5,0 pontos)
L
L
k
L M0 C
B
A
D k
2ª Questão (5,0 pontos)
A estrutura da figura é composta por duas barras iguais, BC e CD, de comprimento L. A barra BC está engastada em B e articulada à barra CD em C. A barra CD, por sua vez, está articulada em D. Sobre a barra BC está aplicado um carregamento distribuído de intensidade q, constante. Conhecidos o módulo de elasticidade E, a área da seção transversal A e o momento de inércia I das barras, pede-se calcular: a) a força que atua na barra CD; b) o máximo valor de q para que não ocorra flambagem da barra CD.
E
L
A estrutura da figura é formada por duas barras iguais, AC e DE, soldadas em C, de comprimento 2L e rigidez flexional EI. O conjunto está engastado em A e é suportado por molas em D e 3EI E, de mesma rigidez k = 3 . Em B existe um L momento aplicado M O dado. Levando em conta a simetria da estrutura, pede-se calcular: a) as forças nas molas; b) a rotação em B; c) o deslocamento vertical em C.
q C
B L
L
D
1
PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I – 3a Prova (18/06/2009) – Gabarito
Solução da 1a Questão: a) Pela simetria da estrutura e do carregamento, observamos que as reações nas molas serão iguais e que as reações no engastamento se resumem apenas a uma força vertical segundo o eixo y e a um momento fletor em torno do eixo horizontal z. Assim, temos:
E
L
y
L
MA
k
L L
M0 A
x
C
B
F z
D
VA
k
F
O grau de hiperestaticidade estrutural é g = 3 – 2 = 1 (três incógnitas: M A , VA e F , e duas equações de equilíbrio estático correspondentes a
∑F
y
=0 e
∑M
z
= 0 ).
Como incógnita hiperestática será adotado o esforço solicitante interno VC entre as barras DCE e ABC. Neste caso são criadas duas estruturas isostáticas fundamentais como ilustra a figura abaixo: Mo MA A
B
C
L
L
E
Vc Vc
VA
k
C L F L
D k F
Das condições de equilíbrio da Estática, é imediato obter que: 9 F = VC / 2 (equilíbrio de forças verticais na barra DCE),
2
PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I – 3a Prova (18/06/2009) – Gabarito
9 VA = VC (equilíbrio de forças verticais na barra ABC), 9 M A = 2.L.VC − M o (equilíbrio de momentos na barra ABC, tomando A como pólo).
A determinação de VC é feita através da aplicação do Princípio da Energia Complementar Mínima, resultando:
∂U * ∂VC
=0
Eq.(1)
onde U * representa a energia complementar de TODO o sistema estrutural (barras e molas) e deve ser expresso em função dos esforços aplicados às estruturas isostáticas escolhidas (conforme figura anterior), ou seja, em função de M o e de VC . Deve-se observar ainda que a expressão acima indica que o deslocamento relativo entre as barras ABC e DCE é nulo (pois as barras estão ligadas fisicamente no ponto C), e não que o deslocamento em C é nulo. Desprezando as energias associadas às forças cortantes nas barras, teremos de Eq.(1): ∂U m* M ∂M ∑ ∫ EI . ∂V dx + 2. ∂V = 0 C C
Eq.(2)
onde U m* representa a energia complementar em cada uma das molas (daí o fator 2 em frente à derivada expressa pelo 2a parcela em Eq.(2)). Os momentos fletores em cada barra, bem como a expressão da energia complementar em cada mola, são obtidos diretamente: 9 Na barra ABC, trecho CB:
M ( x) = VC .x ,
com 0 ≤ x ≤ L ;
9 Na barra ABC, trecho BA:
M ( x) = VC .( x + L) − M o ,
com 0 ≤ x ≤ L ;
9 Nas barras DC e EC:
M ( x) =
VC
com 0 ≤ x ≤ L ;
.x ,
2 U =
9 Em cada mola:
* m
F2 2k
=
VC2
(energia complementar em cada mola)
8k
Assim, temos a partir da Eq.(2): L
∫ 0
(VC .x) EI
L
.x.dx + ∫ 0
[V .( x + L) − M ] . C
o
EI
(VC .x / 2) x ∂ ⎛ VC2 ⎞ . .dx + 2. ( x + L ) .dx + 2.∫ ⎜ ⎟=0 ∂VC ⎝ 8k ⎠ EI 2 0 L
Eq.(3)
É possível constatar a partir da Eq.(3) que as duas primeiras parcelas fornecem o deslocamento vertical da seção C (dado pela derivada da energia complementar da barra ABC em relação ao esforço VC que atua em C), enquanto as duas últimas parcelas fornecem o mesmo deslocamento
3
PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I – 3a Prova (18/06/2009) – Gabarito
vertical (dado pela derivada da energia complementar da barra DCE e das molas em relação ao esforço VC ), sendo o primeiro valor negativo (pois na barra ABC o deslocamento terá o sentido oposto ao sentido do esforço VC ) e o segundo valor positivo (pois no sistema formado pelas molas e pela barra DCE, o deslocamento terá o mesmo sentido do esforço VC ). A soma destes dois deslocamentos representa o deslocamento relativo entre as duas partes que é naturalmente nulo.
Voltando à Eq.(3), teremos:
VC .L3 3EI
+
VC .( x + L)3 3EI
x= L
− x =0
M o .( x + L) 2 2 EI
x= L
+
VC .L3
+
6 EI
x =0
VC
= 0
Eq.(4)
2k
onde as caixas vermelha e azul indicam exatamente a quantidade acima descrita (ou seja, o deslocamento vertical da seção C) sendo o primeiro valor negativo e o segundo positivo.
Lembrando que a rigidez de cada mola é tal que k =
3EI L3
, teremos após resolver a Eq.(4) para a
incógnita VC : VC =
MO 2L
Como o sinal resultou positivo, isto significa que o sentido originalmente arbitrado para VC está correto. Desta forma, a força em cada mola fica dada finalmente por: F=
VC 2
=
MO
(Valor: 2,5 pontos)
4L
b) Para o cálculo da rotação da seção B, basta aplicar o Teorema de Crotti-Engesser utilizando a estrutura isostática ABC criada no item anterior e aproveitando o fato de que já existe um esforço correspondente ao deslocamento que se deseja calcular. Assim: Mo MA A
B L
C L
Vc
VA
4
PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I – 3a Prova (18/06/2009) – Gabarito
θB =
* ∂U ABC
∂M O
* representa a energia complementar da barra ABC apenas (pois é com esta estrutura onde U ABC
isostática que iremos trabalhar para determinar a rotação em B). Deve-se observar que para a aplicação do Teorema de Crotti-Engesser os esforços externos aplicados à estrutura isostática devem ser considerados independentes. Desta forma, temos: ∂M
9 Na barra ABC, trecho CB:
M ( x) = VC .x ,
= 0 , com 0 ≤ x ≤ L ;
9 Na barra ABC, trecho BA:
M ( x) = VC .( x + L) − M o ,
∂M O
∂M ∂M O
= −1 , com 0 ≤ x ≤ L .
Daí:
[V .( x + L) − M ] .
L
θB = ∫
C
o
EI
0
e, como no presente caso VC =
MO
3 V L2 − . C 2 EI EI
M O .L
( −1) .dx =
, resulta finalmente:
2L 1 M O .L
θB = . 4
(Valor: 1,0 ponto)
EI
c) Para o cálculo do deslocamento vertical da seção C, não é preciso criar nenhum esforço fictício aplicado nesta seção, dado que as estruturas isostáticas criadas no item (a) já fizeram surgir um esforço correspondente ao deslocamento que se deseja calcular. Para a solução deste problema, pode-se optar, indistintamente, tanto pela estrutura ABC quanto pela estrutura CDE associada às molas. Aproveitando a discussão que já foi feita nos itens (a) e (b), temos (optamos pelo uso da estrutura ABC):
δ V ,C =
δ V ,C =
VC .L3
* ∂U ABC
∂VC
+
L
=∫
(VC .x)
0
EI
VC .( x + L)3
3EI
e, como no presente caso VC =
3EI MO
L
.x.dx + ∫
[V .( x + L) − M ] . C
EI
0
x= L
− x =0
o
M o .( x + L) 2 2 EI
x=L
= x =0
( x + L ) .dx
8 VC L3 3 M L2 . − . o 3 EI 2 EI
, resulta finalmente:
2L 1 M O .L2
δ V ,C = − . 6
(Valor: 1,5 ponto)
EI
onde o sinal negativo indica que o deslocamento vertical é para cima (oposto ao sentido da força).
5
PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I – 3a Prova (18/06/2009) – Gabarito
Solução da 2a Questão: Diagrama de corpo livre: q MB
P
C
B VB
C
P
D P Barra BC:
qx 2 M ( x) = Px − ; 2
Barra CD:
P2L = ; 2 EA
U CD
L ∂U * BC 1 ⎡ PL3 qL4 ⎤ M ∂M =∫ dx = − ⎢ ⎥ ∂P 8 ⎦ EI ∂P EI ⎣ 3 0
(1,0)
∂U *CD PL = (1,0) ∂P EA
Teorema da Energia Complementar Mínima: 3 L3 A PL2 PL qL4 q ⇒ + = ⇒ P= 8 L2 A + 3I 3EI EA 8EI
(0,5)
Carga de Euler para coluna bi-apoiada:
Pcr =
Máximo valor de q para não ocorrer flambagem:
* * ∂U BC ∂U CD ∂U * =0⇒ + ∂P ∂P ∂P
π 2 EI L2 qcr =
(1,0)
(1,0)
(
8π 2 EI L2 A + 3I 3L5 A
)
(0,5)
6
