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F sica IV
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Escola Politecnica - 2004 FAP 2204 - GABARITO DA P3
7 de dezembro de 2004 % &
Quest~ao 1 Num atomo neutro no estado fundamental as camadas n = 1 e n = 2 est~ao totalmente preenchidas, alem disto ha tr^es eletrons na camada n = 3. (1,0 ponto)
(1,0 ponto)
(0,5 ponto)
(a) Determine o numero at^omico Z . (b) Quais s~ao os valores possveis do modulo L do momento angular orbital e sua projec~ao sobre o eixo z para um eletron da subcamada 3p? (c) Quais s~ao os valores possveis do modulo do momento angular do spin S e sua projec~ao Sz sobre o eixo z para o eletron do tem (b)?
Soluc~ ao
Cada subcamada tem 2(2` + 1) eletrons. n=1, ` = 0 ! 2 eletrons n=2, ` = 0 ! 2 \ `=1 ! 6 \ n=3 ! 3 \ total 13 \ Assim, ha 13 eletrons. Como o atomo e neutro, ha tambem 13 protons e Z = 13. (a)
(b)
(c)
Na subcamada 2p, ` = 1 assim p p L = `(` + 1)h = 2h Lz = m` h = h ; 0; h Lembrando que s = 1=2 podemos escrever p p S= s(s + 1)h = 23 h Sz = mz h = 21 h
Quest~ao 2 O hidrog^enio mu^onico e formado quando um proton captura um muon que ca orbitando em volta dele. O muon e uma partcula com a mesma carga do eletron mas com massa 207 vezes maior. Este tipo de atomo pode ser interessante para gerar energia em processos de fus~ao nuclear. (1,0 ponto)
(1,0 ponto)
(0,5 ponto)
(a) Fazendo uma analogia com o modelo de Bohr para o hidrog^enio comum, mas com o muon no lugar do eletron, mostre que a formula para os nveis de energia do hidrog^enio mu^onico e En = 2; 8 keV =n2. (b) Qual e o comprimento de onda dos fotons emitidos na transica~o do nvel n = 2 para n = 1? Comparar com o hidrog^enio comum. (c) Pode-se mostrar que no estado de energia n, ambos, o eletron do hidrog^enio comum e o muon do hidrog^enio mu^onico, t^em a mesma velocidade. Neste caso, qual dos dois nucleos tem raio menor? Explique. 4
Dados: 8me = 13; 6eV 20 h2
;
h = 4; 1 10
15
eV s
Soluc~ ao (a)
Para o hidrog^enio comum,
4 1 = 13; 6eV = 8me 2 2 0 h n2 n2 Substituindo-se m por 207m obtemos 2; 8keV E =
EnH
n
(b)
Usando a express~ao acima temos
n2
1 1 E2 E1 = 2; 8keV 22 12 = 2; 1keV 15 108) 6 AÆ =) = hcE = (4; 1 210; 1 )(3 103
Em ambos os casos, a condic~ao de quantizaca~o e L = nh . Mas para o hidrog^enio mu^onico L = mvr = nh . Para n xo, os v s~ao iguais, assim o raio do hidrog^enio mu^onico e 207 vezes menor do que o do hidrog^enio comum. (c)
Quest~ao 3 Uma partcula de massa m esta con nada em uma caixa unidimensional delimitada por paredes in nitamente altas entre x = a e x = a. O estado dessa partcula pode ser representada pela func~ao de onda independente do tempo
(x) = A cos x 2a (1,0 ponto)
(0,5 ponto)
(1,0 ponto)
:
(a) Escreva a equac~ao de Schrodinger independente do tempo para a partcula na regi~ao a x a e determine o valor da energia E do estado associado a (x). (b) Usando a condic~ao de normalizac~ao da func~ao de onda, determine a constante A. (c) Se a incerteza maxima na determinac~ao da posica~o da partcula for 2a, qual e a menor incerteza na sua quantidade de movimento? Justi que sua resposta.
Dado :
Z
bx) cos2(bx) dx = x2 + sen(2 4b
Soluc~ ao (a)
A equac~ao de Schrodinger em
a x a e h 2 d2 2m dx2
=E
Substituindo = A cos(x=2a) na equac~ao acima tem-se h 2 d2 = h 2 2 A cos x = EA cos x 2m dx2 2m 4a2 2a 2a 2 2 ) E = 8hma 2 (b) A condic~ ao de normalizac~ao e Za a
)
Za a
A2 cos2
j j2dx = 1 x
2 2a = 1 ) A a = 1 ) A = p1
a
(c)
Pela relac~ao de incerteza de Heisenberg xp h ) p 2ha
Quest~ao 4 Considere um foton de comprimento de onda 0 que colide com um eletron estacionario (massa de repouso m0 ). Observa-se que o foton espalhado se propaga em uma direc~ao ortogonal em relac~ao a direc~ao de incid^encia. y
λ
foton ´
foton ´
.
θ=π/2 φ
λο e− (1,0 ponto)
(1,0 ponto)
(0,5 ponto)
x v
(a) Escreva as equac~oes de conservaca~o que permitem a obtenc~ao do deslocamento Compton = (h=m0 c)(1 cos ). (b) Qual e o ^angulo de recuo do eletron (medido em relac~ao a direca~o de incid^encia)? D^e sua resposta em func~ao de h, 0, m0 e c. (c) Obtenha a energia do eletron em func~ao de h, 0 , m0 , c e .
Soluc~ ao (a)
Conservac~ao da energia h
c 0
+ m0 c2 = h c + m0 c2 ;
Conservac~ao das componentes x e y do momento h 0
=p 1 2 2 1 v =c
= m0 v cos
0 = h
m0 v sen
As equac~oes de conservac~ao do momento fornecem 9 m0 v sen = h= = 0 0 ) tan = = ; 0 + m0 v cos = h=0 ; onde = mh c (1 cos 2 ) = mh c :
(b)
0
(c)
0
Usando a equac~ao de conservaca~o de energia obtemos 1 1 2 + m c2 = hc E = m c = hc 0
0
0
0 0
) E = hc (+ ) + m0 c2 0
0
+ m0 c2
