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F sica IV
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Escola Politecnica - 2004 FAP 2204 - GABARITO DA P2
26 de outubro de 2004 % &
Quest~ao 1 A dist^ancia entre dois farois de um veculo e d = 1; 4 m. Suponha que estes farois emitam luz monocromatica de comprimento de onda observador cuja pupila tem um di^ametro
a
= 550 nm. O veculo se aproxima de um
= 5; 0 mm. Seu olhos s~ao preenchidos com
um lquido cujo ndice de refrac~ao e n = 1; 1. A resoluc~ao com que esse observador pode distinguir os dois farois e determinada pelos efeitos de difrac~ao da luz de cada farol no olho do observador. Nessa situaca~o responda: (1,0 ponto)
(a) Qual o comprimento de onda p da luz dos farois no interior dos olhos do observador? Justi que sua resposta.
(1,5 ponto)
(b) Qual a dist^ancia maxima r entre a pupila e os farois tal que o observador consegue distingui-los separadamente?
Dado: Lei de Snell sen i = n sen r .
Soluc~ ao (a)
A frequ^encia
c:
= c=. Para o vacuo n = 1 e quando a luz passa a se propagar num meio com n > 1
e o comprimento de onda , no vacuo, est~ao relacionados, atraves de
a sua velocidade passa a ser v = c=n e a frequ^encia deve permanecer inalterada; para isso devemos ter um novo comprimento de onda 0 tal que a frequ^encia seja mantida:
=
c
v
= 0=
c
n0
) 0 = n :
Assim, dentro do globo ocular do observador
0 = 550 nm = 500 nm : 1; 1
(b) Considerando a pupila um orifcio circular atrav es
do qual a luz proveniente dos farois
e difratada, temos: r
= 1; 22
0 a
= 1; 22
500 10 9 m = 1; 22 10 5 10 3 m
4
rad :
Mas este e o ^angulo entre os rais ja difratados. O ^angulo i entre os raios fora dos olhos e obtido com a lei de Snell. θr / 2 d
θi / 2
r
sen(
Uma vez que
i
e
r <<
i
) = n sen( r ) 2 2
1 podemos fazer as aproximac~oes: i
d
r
i
= r n r
) r nd
r
n
=
r
1; 4 1; 1 1; 22 10
1; 0 10 m : 4
4
Quest~ao 2 Uma placa de vidro cujo ndice de refrac~ao e 1; 4 e revestida com uma pelcula na ( lme) de um material possuindo ndice de refrac~ao 1; 5. Luz verde de comprimento de onda 525 10
9
m,
incidindo quase normalmente, e transmitida com interfer^encia construtiva
(veja a gura abaixo). luz incidente vidro filme luz transmitida
(1,0 ponto)
(a) Calcule a espessura mnima do lme que produz este efeito.
(1,0 ponto)
(b) Para que outros comprimentos de onda do espectro visvel (400 nm < < 700 nm) havera interfer^encia construtiva quando a pelcula tem a espessura de item (a)? Justi que.
(0,5 ponto)
(c) Quais comprimentos de onda transmitidos do espectro visvel sofrer~ao interfer^encia destrutiva nas condic~oes do item (a)?
Soluc~ ao (a) A condic~ao de interfer^encia construtiva (n~ao ha mudanca de fase nas re ex~oes internas ao lme, uma vez que o ndice de refraca~o do lme e maior do que os ndices de refraca~o do ar e do vidro) e 2 t nf ilme =
m ,
onde
espessura mnima corresponde a
m
= 1. Logo,
tmin
=
525 = 175 nm: 2 1; 5
t
e a espessura do lme. A
(b) Comprimentos de onda que seriam tambem preferencialmente transmitidos seriam
=
(m = 1 corresponde a
2 nf ilme tmin 525 nm = ; m = 2; 3; m m = 525 nm). Para o menor valor m = 2, o comprimento de
onda ja esta fora do espectro visvel. Portanto, as outras partes do espectro visvel n~ao ser~ao preferencialmente transmitidas. (c) A condic~ao de interfer^encia destrutiva e 2 tmin nf ilme = (m +1=2) (m = 0; 1; 2; ). Portanto,
Para
m
= 0,
= 1050 nm, para
destrutiva para nenhum
m
=
2 nf ilme t : m + 1=2
= 1,
= 350 nm. Assim, n~ao ha interfer^encia
dentro do espectro visvel.
Quest~ao 3 Radiac~ao de comprimento de onda
0
incide sobre uma superfcie metalica. O potencial
frenador dos foto-eletrons e V0 . (0,5 ponto)
(a) Determine a energia cinetica maxima dos eletrons emitidos.
(1,0 ponto)
(b) Calcule a func~ao trabalho do metal.
(1,0 ponto)
(c) Obtenha o limiar de comprimento de onda max do foton.
Expresse todas as respostas em termos de
0 , V0 , h
e c.
Soluc~ ao (a) A energia cinetica maxima e Kmax
= e V0 :
(b) A func~ao de trabalho e obtida de Kmax
= e V0 =
=) =
hc
0
hc
e V0
0
(c) No comprimento de onda limiar max , a energia cinetica dos eletrons e nula. =)
=)
=) max =
hc max
hc max
= =
hc hc 0
e V0
=0
hc 0
= 0
1
e V0
1
(e V0 0 )=(hc)
Quest~ao 4 A gura abaixo mostra uma parte da regi~ao de fronteira entre tr^es meios dieletricos distintos com suas respectivas permissividades eletricas e permeabilidades magneticas. O meio 1 estende-se in nitamente para cima e o meio 3 estende-se in nitamente para baixo.
Suponha que uma onda eletromagnetica plana, cujo campo eletrico tem amplitude
E1 ,
viaja atraves do meio 1, incidindo normalmente sobre a interface com o meio 2. Na gura esta mostrada uma con gurac~ao instant^anea dos campos eletricos e magneticos resultantes incidentes e re etidos em cada um dos tr^es meios dieletricos. Considere 1
e
. 2
3
0
E~ 1
0
E~ 1 0
0
E~ 2 meio 2 (2 , 2 )
B~ 2 k~ 2 ~k2 B~ 2 E~ 2 B~ 3 0
0
E~ 3 meio 3 (3 , 3 )
k~ 1
B~ 1 ~k1 B~ 1
meio 1 (1 , 1 )
(0,5 ponto)
1 < 2 < 3
0
~k3
(a) Escreva as condic~oes de contorno, em termos apenas das amplitudes dos campos eletricos, para a fronteira entre o meio 1 e o meio 2.
(1,0 ponto)
(b) Escreva as condic~oes de contorno, em termos apenas das amplitudes dos campos eletricos, para a fronteira entre o meio 2 e o meio 3.
(1,0 ponto)
(c) Calcule a intensidade do campo eletrico da onda eletromagnetica re etida na fronteira entre o meio 1 e o meio 2 em funca~o das constantes dadas e de
E1 .
Soluc~ ao (a)
Para a fronteira entre os meios 1 e 2 as condico~es de contorno s~ao: ~k E meio 1
~k B meio 1 0
(b)
=
~k B meio 2 0
)
B1
~k =E meio 2 ) E1
+ B01 0
+ B02 0
0 =E 1 2
) p
1
E
0
2
p (E1 + E 0 1 ) = 2 (E2 + E 0 2 )
Ja para a fronteira entre os meios 2 e 3 as condic~oes de contorno s~ao: ~k E meio 2
~k B meio 2 0
(c)
=
B2
E
=
~k B meio 3
)
0
~k =E meio 3 ) E2
+ B02
B2
0
B3
=
0
E
0 =E 2 3
) p (E 2
2
p + E 0 2 ) = 3 E3
Reescremos as Eqs. dos itens (a) e (b) como
8 > > > < p = > > > : 1
E 02
(1)
(E1 + E 0 1 ) = E2 + E 0 2 E2 E 0 2 = E3
(2)
E1 2
E2
E01
= E2
+ E 02 =
p = 3
2
(3) (4)
E3
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (1) e a Eq. (4) na Eq. (2) obtemos
8 < : p = 1
E01
E1 2
(E1 + E 0 1 ) =
=) E 0 1 =
p p
3 3
= E3
p = 3
p p +
1
1
E1
2
E3
