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MAT 2456 - C´ alculo Diferencial e Integral para Engenharia IV P1 - 13 de Setembro de 2004
(A) Nome: No. USP: Turma: Assinatura:
RG: Professor:
Q 1 2 3 Total
N
Justifique todas as suas respostas. Boa prova! ˜o 1. Questa (a) Calcule, caso existam, os limites das seq¨ uˆencias de n´ umeros reais (an )n∈N dadas por: np , p ∈ R; 2n 1 ³ 2n + 8 ´3n ; (2) [1 ponto] an = n 8 n+3 (1) [1 ponto] an =
(b) [1 ponto] Se f : R → R ´e deriv´avel no zero e f (0) = 0, mostre que nf ( n1 ) → f 0 (0).
˜o 2. Determine se cada uma das s´eries abaixo converge absolutamente, condiQuesta cionalmente, ou diverge. ∞ X (2n)! (a) [1 ponto] (−1)n ; (n!)2 n=0 ∞ X cos(1 + n2 ) (b) [1, 5 pontos] ; n ln2 (n + 2) n=1
(c) [1, 5 pontos]
∞ ³ 1 ´ X (−1)n sinp , p > 0 (discutir em fun¸c˜ ao de p). n + 1 n=0
˜o 3. [3 pontos] Encontre o raio e o intervalo m´aximo de convergˆencia da s´erie Questa de potˆencias: ∞ X n (x + 1)n . n (n2 + 1) 4 n=1
