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F sica IV
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Escola Politecnica - 2004 FAP 2204 - GABARITO DA P1
14 de setembro de 2004 % &
Quest~ao 1 Um circuito RLC em serie e usado em um radio para sintonizar uma estac~ao de FM de frequ^encia f0 . A resist^encia do circuito e R, a indut^ancia e L e a capacit^ancia e C . A estac~ao emite um sinal que e recebido pelo circuito com uma voltagem V (t) = Vm sen(!t). (0.5 ponto)
(0.5 ponto)
(1.0 ponto)
(0.5 ponto)
(a) Quais s~ao as reat^ancias do capacitor e do indutor e qual e a imped^ancia (Z ) do circuito? (b) Sendo Im a corrente de pico no circuito, quais s~ao as quedas de potencial na resist^encia (VR ), no indutor (VL) e no capacitor (VC )? (c) A express~ao da corrente que passa pelo circuito tem a forma I (t) = Im sen(!t ). Determine Im e utilizando o diagrama de fasores ou o metodo dos numeros complexos. (d) Sabendo que L = 2H , qual deve ser a capacit^ancia C para sintonizar a radio FM se f0 = 100 M H z ?
Soluc~ ao
(a) A reat^ancia indutiva, a reat^ancia capacitiva e a imped^ancia s~ao 1 ; Z = pR2 + (X X )2 XL = !L ; XC = L C !C (b) As quedas de potencial na resist^encia, no indutor e no capacitor s~ao VR
= RIm ;
VL
= XLIm ;
VC
= XC Im
(c) Usando o diagrama de fasores obtemos: VL VL _ VC
Vm
= Im
Vm φ
p
VL
VC VR
=
q
R2
VR2
XL
XC R
=) = tg
1
XL
p
+ (VL
) XC )2 = Im Z
+ (XL
=)
VR
VC
tg =
=
Im
XC
VC 2
= VZm
R
(d) A pot^encia media Pmedia 1=Z , onde R2 + (XL XC )2 . Ha resson^ancia quando XL = XC . 1 =) C = 1 =) !L = !C ! 2L Assim, C
10 = (2 108)12(2 10 6) = 1082
=) C = 1; 3 pF
Quest~ao 2
Um circuito RC serie foi conectado a uma fonte de tens~ao alternada com frequ^encia variavel dada por V
= V0sen(!t)
C AC
Um voltmetro comum foi conectado aos terminais do capacitor como mostra a gura. (0,5 ponto)
(a) Escreva a imped^ancia do circuito em func~ao de !.
(1,0 ponto)
(b) Escreva a corrente I (t) no circuito.
(1,0 ponto)
VV
R
(c) Calcule a tens~ao lida no voltmetro VV e esboce o seu gra co em func~ao da frequ^encia angular !. Lembre que o voltmetro mede a voltagem media quadratica.
Soluc~ ao
(a) A imped^ancia do circuito e
s
2 1 Z = R2 + !C
(b) A corrente e dada por ( ) = Im sen(!t
I t
)
;
Im
=q
V0
R2
+
1
!C
2 ;
= tg
1
1
!CR
(c) A voltagem no voltmetro e igual a voltagem quadratica media no capacitor V0 C 1 q V0 VV = p ; V0 C = XC Im = !C 2 1 2 R2 + !C =) VV = p2p!2VC02R2 + 1
V0 2
VV
ω
Quest~ao 3 Uma onda eletromagnetica se propaga no vacuo com velocidade c = 3 108m=s, ao longo do eixo x. O campo magnetico B~ (x; t), que se esta no plano xz, e dado por ~ (x; t) = B cos(kx B !t)~ k. m (0,5 ponto)
(1,0 ponto)
(1,0 ponto)
(a) Se o comprimento de onda = 3 10
3
m
, calcule a frequ^encia angular ! da onda.
(b) Mostre qual e a relac~ao que deve haver entre k, ! e c para que Bz (x; t) obedeca a uma equac~ao de onda. (c) Determine o vetor campo eletrico E~ (x; t) associado ao campo B~ (x; t).
Soluc~ ao
(a) A frequ^encia angular ! e dada por 2c = 2(3 108) = 21011s ! = 2f = 3 10 3 = 21011s
!
1
1
(b) Utilizaremos a equac~ao de onda e a express~ao de Bz (x; t). 8 2 2 > < @ Bz = 1 @ Bz @x2
c2 @t2
( ) = Bm cos(kx
> : Bz x; t
)
!t
Substituindo @ 2 Bz @x2
=
2
k Bm
cos(kx
@ 2 Bz
)
!t ;
@t2
na equac~ao de onda obtemos k
2
=
2
! Bm
cos(kx
)
!t
2
= !c2 =) ! = k c
(c) A relac~ao entre B~ e E~ e dada pela equac~ao de Maxwell ~
rot(B~ ) = 00 @@tE com rot(B~ ) =
~ ~{ ~ | k @x @y @z Bz
Assim, podemos escrever
0 0
=) Ey (x; t) =
kBm 0 0
Z
0 0
~ @E @t
= 0 0
sen(kx
=)
=
@Ey @t
( ) = Bm cos(kx
@Bz
@x
~ |
= Bm sen(kx
= Bm sen(kx 0 0
( ) = cBz (x; t) e
Ey x; t
~ |
kBm ) = ! cos(kx
!t dt
)
!t ~ k
~ x; t B
Em
)
!t ~ |
)
!t ~ |
!t
) = c Bm cos(kx
= cBm
)
!t
Quest~ao 4 Um laser de helio{ne^onio, com pot^encia P0, emite um feixe de luz monocromatica com uma secc~ao reta circular de area A. (1,0 ponto)
(0,5 ponto)
(1,0 ponto)
(a) Calcule o vetor de Poynting medio < jS~ j >< S > e os campos eletrico Em e magnetico Bm maximos do feixe. Expresse seus resultados em termos de P0, A, 0 e c. (b) Qual e a energia media total eletromagnetica contida em um feixe de comprimento L ? (c) Qual e o momento p transferido pela luz do laser ao incidir, durante um intervalo de tempo t, perpendicularmente sobre um anteparo que absorve totalmente a radiac~ao ?
Soluc~ ao
(a) O modulo do vetor de Poynting e ( ) = E (ct) =) 2
S t
0
2
= 2Emc 0
2
P0
=)
=< S > A = 2Emc A 0
r
Em
= 20AcP0 e
Bm
= Ecm
(b) A densidade de energia e dada por 2
=
< utotal > < ue >
+ < um >= 2 < ue >= 0 2Em
A energia dentro do cilindro de comprimento L e secca~o A e =)
2
( ) = 0 2Em L A
Utotal L
(c) O momento e dado por p
= Uincidente onde c
Uincidente
=< S > A t = P0 t
=) p = P0ct
