Transcript
O problema do burro Um burro é amarrado na cerca de um terreno circular de raio por uma corda de comprimento . Qual o valor de para que o burro possa pastar uma fração ( ) da área do terreno? Solução
y 𝐶
𝐶 𝑑
(𝑅, )
𝜃0
𝑅
𝑐
Seja a circunferência do terreno e As equações de e são
( onde
x 𝑅
𝑑
a circunferência correspondente ao burro.
)
(
)
.
A região que o burro pode pastar é a região de cor verde. Sua área é . A área ) em amarelo-escuro é ( . Vamos calcular a área da região em amarelo-escuro. y Fazendo a mudança de variáveis 𝑦 𝐶
𝑥
Temos: ( ( Pontos de intersecção:
) )
( (
) )
(
)
𝜃
(𝑅, ) x
Fazendo
, temos que a região em amarelo-escuro é
0
*( , )|
0
+
0
Sua área é dada por ( , ) | ( , )
∬|
onde
( , ) ( , )
é o jacobiano da transformação {
.
Agora
|
( , ) | ( , )
|| ||
| |||
||
||
Então ∫
∫
Pela simetria de ∫ ∫
[
∫ ,
0
(
)
(
(
,
(
,
]|
0
) ) -
0
) -
(
)
(
)
0
√
0
0
√
) (
0
0
) (
Lembrando que )
) (
,
(
0
0
,
(
|
∫
0
(
0
)
obtemos ) -
Dividindo ambos os membros por
( obtemos
)√
0
( Fazendo
)
[
(
) ]
(
)
)√
(
(
)
encontramos
(
√
)
(
)
Resolvendo esta equação por métodos numéricos encontramos comprimento da corda é .
. Logo o
Pelo método de Newton-Raphson temos ( ) ( ) com ( )
(
)
√
(
)
e √
( ) Por exemplo, para
e
0
o método de Newton-Raphson fornece (veja a
tabela abaixo) , e , , ou seja, para que o burro possa pastar metade do terreno a corda deve ser aproximadamente , maior do que o raio do terreno. Iteração (n) 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1,124795 1,151353 1,157128 1,158381 1,158653 1,158712 1,158725
1,124795 1,151353 1,157128 1,158381 1,158653 1,158712 1,158725 1,158728
Erro relativo (%) 12,4795 2,3612 0,5016 0,1083 0,0235 0,0051 0,0011 0,0002
Tabela 1
Para resolver este problema aparentemente simples usamos ferramentas matemáticas avançadas como
Geometria analítica (para escrever as equações das circunferências); Mudança de sistema de coordenadas (neste caso foram usadas as coordenadas polares); Cálculo de integrais duplas (para calcular a área da região); Mudança de variáveis em integrais duplas (para operar em coordenadas polares); Resolução de equações por métodos numéricos (recomenda-se usar softwares como o Excel ou o Geogebra 5 para esse cálculo).
Referências http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/burro/burro.htm Acessado em 12/06/2015 RUGGIERO, Márcia A. e LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1997. STEWART, James. Cálculo. 6ª edição. São Paulo: Editora Cengage Thomson Learning, 2009. Vol. 2
