Notas De Aula Parte1 Ondas

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~ o Paulo Universidade de Sa Instituto de F sica Notas de aula de F sica II Paulo Alberto Nussenzveig e Renata Zukanovich Funchal A loso a esta escrita nesse grande livro do Universo, que permanece sempre aberto a nossa curiosidade. Mas o livro n~ao pode ser entendido antes que se aprenda o alfabeto e a linguagem em que ele esta escrito. A linguagem e a da Matematica e seus caracteres s~ao tri^angulos, crculos e outras guras geometricas, sem as quais e humanamente impossvel entender uma unica palavra; sem esses, estamos condendados a vagar num labirinto escuro. Galileo Galilei Conte udo I Ondas 1 Introdu c~ ao a Ondas 2 Ondas Sonoras 1 1.1 Breve Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O que e uma Onda? . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ondas Progressivas . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Ondas Harm^onicas . . . . . . . . . . . . 1.3.3 A Equaca~o de ondas em uma dimens~ao . 1.4 Equac~ao das Cordas Vibrantes . . . . . . . . . . 1.4.1 Equac~ao de movimento . . . . . . . . . . 1.4.2 Soluc~ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Princpio de Superposic~ao . . . . . . . . 1.5 Intensidade de uma Onda . . . . . . . . . . . . 1.6 Interfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Mesmo sentido . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Sentidos opostos . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Re ex~ao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 3 4 5 6 7 9 10 11 13 14 14 15 16 18 Natureza do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relac~ao entre densidade e press~ao . . . . . . . . . . . . Relac~ao entre deslocamento e densidade . . . . . . . . Relac~ao entre press~ao e deslocamento . . . . . . . . . . Ondas sonoras e a velocidade do som . . . . . . . . . . Velocidade do som em gases . . . . . . . . . . . . . . . Velocidade do som na agua . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas sonoras harm^onicas e Intensidade . . . . . . . . 2.8.1 Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 Intensidades relativas e sensibilidade do ouvido 2.9 Fontes Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Fonte em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Fonte em movimento . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Fonte e observador em movimento . . . . . . . . 2.10.4 Cone de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 24 25 26 27 28 29 30 30 31 34 34 35 37 37 ii  CONTEUDO II Termodin^ amica 39 3 Temperatura 3.1 Breve Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Equilbrio termico . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Term^ometros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Term^ometro de mercurio . . . . . . . . 3.3.2 Term^ometro de gas a volume constante 3.4 Dilatac~ao termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4 Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Propriedades dos gases 6 Segunda lei da termodin^ amica 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Natureza do calor . . . . . . . . . . . . . . Quantidade de calor . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Capacidade termica . . . . . . . . . Conduc~ao de calor . . . . . . . . . . . . . Equivalente mec^anico da caloria . . . . . . Primeira lei da termodin^amica . . . . . . . 4.5.1 Realizac~ao de Trabalho adiabatico . 4.5.2 Transfer^encia de Calor . . . . . . . 4.6 Processos reversveis . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Representac~ao Gra ca . . . . . . . 4.6.2 Calor num processo reversvel . . . 4.7 Exemplos de processos termodin^amicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 41 42 42 42 44 45 45 46 47 47 47 49 50 51 52 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Breve Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A segunda lei segundo Clausius e Kelvin . . . . . . Motor termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refrigerador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equival^encia entre os enunciados (C) e (K) . . . . . O ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Teorema de Carnot . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Escala termodin^amica de temperatura . . . 6.6.3 Rendimento de uma maquina de Carnot . . 6.7 Teorema de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Entropia e processos reversveis . . . . . . . . . . . 6.8.1 Processo adiabatico reversvel . . . . . . . . 6.8.2 Variac~ao de entropia numa transic~ao de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1 Equac~ao de estado dos gases ideais . . . . . . 5.1.1 Lei de Boyle . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Lei de Charles . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Lei dos Gases Perfeitos . . . . . . . . . 5.2 Energia interna de um gas ideal . . . . . . . . 5.3 Capacidades termicas molares de um gas ideal 5.4 Processos adiabaticos num gas ideal . . . . . . 5.4.1 Trabalho numa expans~ao adiabatica . . 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 55 56 56 56 57 58 60 61 64 64 65 66 66 66 67 68 69 71 71 72 72 iii  CONTEUDO 6.8.3 Fluido incompressvel, sem dilataca~o . . . . . . . . . 6.8.4 Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Entropia e processos irreversveis . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.1 Expans~ao livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.2 Difus~ao de um gas em outro . . . . . . . . . . . . . . 6.9.3 Justi cativa da aproximac~ao de reservatorio termico . 6.9.4 Conduc~ao de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9.5 Bexiga + bulbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Princpio do aumento da Entropia . . . . . . . . . . . . . . . III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 73 74 74 75 75 76 77 77 Teoria Cin etica dos Gases & Introdu c~ ao  a Mec^ anica Estat stica 7 Teoria Cin etica dos Gases 8 Introdu c~ ao  a Mec^ anica Estat stica 7.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Teoria cinetica da press~ao . . . . . . . . . . . . 7.3 Lei dos gases perfeitos . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 A equipartic~ao da energia de translac~ao . 7.3.2 Temperatura e energia cinetica media . . 7.4 Calores espec cos e equipartic~ao da energia . . 7.5 Livre caminho medio . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Gases reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Tamanho nito das moleculas . . . . . . 7.6.2 Forca atrativa de curto alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 81 82 85 85 87 88 91 92 92 93 96 8.1 Distribuic~ao de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8.2 Lei de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.3 Entropia e probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 IV 9 80 Relatividade Restrita 107 Princ pios da Relatividade 108 9.1 Breve Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.2 Relatividade da Mec^anica de Newton: Transformaco~es de Galileu . . . . . 108 9.3 Princpio da Relatividade: Transformaco~es de Lorentz . . . . . . . . . . . . 113 10 Conseq u^ encias Cinem aticas 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Relatividade da simultaneidade . . . . . . . . . . . . . Contraca~o de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dilatac~ao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformac~ao de velocidades . . . . . . . . . . . . . . Invari^ancia da Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . Consequ^encia Algebrica das Transformaco~es de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 . 116 . 117 . 117 . 120 . 121 . 123 iv  CONTEUDO 11 Efeito Doppler 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Efeito Doppler Relativstico . Limite de baixas velocidades . Deduc~ao Alternativa . . . . . Efeito Doppler Transverso . . Alguns Exemplos . . . . . . . 12 Conseq u^ encias Din^ amicas 12.1 12.2 12.3 12.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momento relativstico . . . . . . . . . Energia relativstica . . . . . . . . . . Unidades na Relatividade . . . . . . Colis~oes na Relatividade . . . . . . . 12.4.1 Vis~ao classica de colis~oes . . . 12.4.2 Vis~ao relativstica de colis~oes 12.4.3 Fiss~ao Nuclear . . . . . . . . 12.4.4 Fus~ao Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . . . . . 125 . 128 . 128 . 129 . 130 . . . . . . . . 132 . 132 . 135 . 138 . 139 . 139 . 140 . 142 . 143 Parte I Ondas 1 Cap tulo 1 Introdu c~ ao a Ondas Conte udo 1.1 Breve Interludio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 O que e uma Onda? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 3 1.3.1 Ondas Progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Ondas Harm^ onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.3 A Equa ca ~o de ondas em uma dimens~ ao 5 . . . . . . . . . . . . . 1.4 Equac~ao das Cordas Vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Equa ca ~o de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.2 Solu c~ ao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.3 Princ pio de Superposi c~ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Intensidade de uma Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Interfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Mesmo sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.2 Sentidos opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.3 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 Re ex~ao de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 O 1.1 Breve Interludio ndas s~ao fen^omenos fsicos que envolvem propagaca~o no espaco com transporte de momento e energia. Ondas aparecem em muitos contextos da fsica, que v~ao da fsica classica a fsica qu^antica tendo assim tambem diversas aplicac~oes praticas em engenharia, geologia, oceanogra a, meteorologia, medicina etc. 2 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 3 Existem basicamente tr^es tipos de onda. Ondas mec^anicas precisam de um meio material para propagar-se. Exemplos de ondas deste tipo s~ao as pequenas ondas na superfcie da agua, as ondas do mar que arrebentam na praia, as ondas sonoras ou as ondas ssmicas. Ondas eletromagneticas (luz), por outro lado, podem se propagar no vacuo. Existem ainda ondas que fornecem a amplitude de probabilidade de se encontrar um sistema qu^antico em uma dada con gurac~ao fsica: s~ao as ondas da mec^anica qu^antica. Todas estas ondas, embora relacionadas a processos fsicos diversos, possuem uma serie de caractersticas fenomenologicas basicas comuns. E o objetivo desta parte da disciplina introduzir e discutir estas caractersticas de forma a possibilitar o entendimento basico de fen^omenos ondulatorios (que ser~ao tratados nesta disciplina e em outras posteriores). 1.2 O que e uma Onda? Fen^omenos ondulatorios est~ao presentes em diversos ramos da fsica. O conceito de onda e um dos mais importantes ingredientes da nossa compreens~ao da natureza. Entende-se por onda qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro com velocidade bem de nida. Em geral, fala-se de onda quando a transmiss~ao do sinal ocorre sem que haja transporte direto de materia. Ondas possuem algumas caractersticas marcantes como, por exemplo, sua capacidade de interferir. A soma de duas ondas resulta numa onda. No entanto, dois sinais se propagando podem interferir destrutivamente, cancelando-se. As ondas podem ser divididas em duas categorias: (i) ondas longitudinais, em que a perturbac~ao se da ao longo da direc~ao de propagaca~o (por exemplo, compress~ao de uma mola, ondas sonoras); (ii) ondas transversais, em que a perturbaca~o se da na direc~ao perpendicular a de propagac~ao (por exemplo, ondas eletromagneticas, alguns tipos de ondas ssmicas). Essa divis~ao e conveniente para descrever varias ondas simples. Cabe notar, no entanto, que encontramos na natureza uma grande quantidade de ondas que n~ao s~ao puramente longitudinais ou transversais (ondas na agua, ondas ssmicas tipo Rayleigh e outras). ? Domino e mola Demos : 1.3 Ondas Unidimensionais E sempre conveniente iniciar a analise de qualquer fen^omeno fsico buscando casos particulares simples. O exemplo mais simples de onda e aquele em que a propagaca~o se da apenas numa dimens~ao. Um exemplo tpico e o de ondas transversais se propagando numa corda. 1.3.1 Ondas Progressivas Vamos considerar o caso de um pulso se propagando numa corda. O per l da corda em t e a forma da corda nesse instante, dada por uma func~ao y (x; t). Consideremos um pulso que se propaga para a direita (sentido de x crescente), sem se deformar, com velocidade v . Dizemos se tratar de uma onda progressiva (em oposic~ao a ondas estacionarias, que veremos adiante). Se considerarmos um referencial inercial O0x0 y0t0 , se propagando com 4 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO y(x,0)=y’(x’,0) x=x’ O=O’ y(x,t) y’(x’,t’) vt O O’ x’ x Figura 1.1: Propagac~ao de um pulso quadrado. a mesma velocidade v da onda, o per l da corda, y0(x0; t0 ) sera constante no tempo. Podemos, portanto, escrever y0(x0 ; t0) = y0(x0; 0) = f (x0). A correspond^encia entre os dois referenciais se faz atraves de uma transformaca~o de Galileu: x0 = x vt ; y 0 = y ; t0 = t : (1.1) Logo, a express~ao de uma onda progressiva que se propaga para a direita com velocidade v e dada por: y (x; t) = f (x vt) : (1.2) De modo analogo, uma onda progressiva para a esquerda e dada por (v ! v) y (x; t) = g (x + vt) : (1.3) Em geral, numa corda teremos ondas progressivas em ambos os sentidos: y (x; t) = f (x vt) + g (x + vt) : (1.4) 1.3.2 Ondas Harm^ onicas Ondas harm^onicas s~ao um caso particular de ondas progressivas. O nome e dado porque a perturbac~ao em cada ponto x, ao longo da direca~o de propagac~ao, corresponde a uma oscilac~ao harm^onica simples. O per l de uma onda harm^onica e uma func~ao senoidal: f (x0 ) = A cos(kx0 + Æ ) : Para uma onda se propagando para a direita, isso corresponde a: ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 5 y (x; t) = A cos[k(x vt) + Æ ] : (1.5) Consideremos uma posic~ao xa x. No caso de uma corda, o ponto na coordenada x descreve um MHS (Movimento Harm^onico Simples), cuja frequ^encia angular e dada por ! = kv = 2 = 2= : Aqui de nimos a frequ^encia  e o perodo  . A constante k tem dimens~ao de inverso de comprimento e e chamada de numero de onda. A amplitude do deslocamento e dada por A e a constante adimensional Æ e chamada de constante de fase, ou simplesmente fase. Em termos dessas grandezas, podemos re-escrever o deslocamento: y (x; t) = A cos(kx !t + Æ ) : (1.6) Para gerar uma onda harm^onica numa corda, basta fazer uma de suas extremidades descrever um MHS. A mesma analise pode ser feita para um instante de tempo xo, em func~ao da posic~ao x. O per l da onda nesse instante e uma funca~o senoidal, periodica, com perodo espacial dado por  = 2=k : O comprimento de onda  = v exprime o deslocamento do per l de onda durante um perodo de oscilaca~o  . O argumento da func~ao harm^onica na eq. (1.6) e denominado fase da onda, dado por '(x; t) = kx !t + Æ. Em que condic~oes a fase da onda e constante? Ou seja, '(x; t) = ' =cste. desde que d' = k dx ! = 0 ) dx = ! = v =  dt dt dt k A velocidade v e tambem chamada de velocidade de fase, pois trata-se da velocidade de propagac~ao de um ponto de fase constante. Uma onda harm^onica tambem e conhecida como monocromatica pois, para uma onda eletromagnetica (luz), uma frequ^encia  bem de nida corresponde a uma cor pura. 0 1.3.3 A Equa c~ ao de ondas em uma dimens~ ao Vimos que uma onda geral se propagando em uma dimens~ao, com velocidade v pode ser escrita como uma soma de duas func~oes: uma que se propaga para a direita, f (x0 = x vt), e outra que se propaga para a esquerda, g(x00 = x + vt). Vamos obter agora uma equac~ao caracterstica de ondas em 1-D, que se propagam com velocidade v. Por simplicidade, consideremos apenas uma onda transversal, que se propaga para a direita. Como calculamos a velocidade e a acelerac~ao com que um ponto se desloca na direc~ao transversa? Fixamos, ent~ao, a coordenada x e derivamos y em relac~ao a t. O deslocamento y e uma func~ao de duas variaveis, mas nos interessamos em sua depend^encia em relac~ao a apenas uma das variaveis. Isso corresponde ao calculo de uma derivada parcial de y em relac~ao a t. A velocidade e acelerac~ao transversais s~ao dadas por: 6 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO velocidade = acelerac~ao = @ y (x; t) @t @2 y (x; t) : @t2 (1.7) O deslocamento y so depende de t atraves da variavel x0 = x vt. Portanto, podemos calcular sua derivada parcial em relaca~o ao tempo usando a regra da cadeia: @y @t @2y @t2 0 df = ddxf0 @x = v 0 @t dx     0 @ df d df = v @t dx0 = v dx0 ddxf0 @x = v 0 @t dx 2 2 2 : (1.8) Analogamente, Obtemos assim: @2y @x2 1@y 2 v 2 @t2 = ddxf0 2 2 @2y @x2 =0; (1.9) que e a Equac~ao de Ondas em uma dimens~ao, uma equac~ao diferencial parcial (EDP), linear, de 2 ordem, com coe cientes constantes, homog^enea... E facil ver que, para uma onda progressiva se propagando para a esquerda y (x; t) = g (x00 = x + vt) ; a mesma equac~ao e satisfeita (veri que!). Antes de discutirmos soluc~oes dessa equaca~o, vamos mostrar, explicitamente, que oscilaco~es de uma corda vibrante satisfazem eq. (1.9). a 1.4 Equac~ao das Cordas Vibrantes Consideramos aqui as vibraco~es transversais de uma corda homog^enea distendida como, por exemplo, de um violino, piano, harpa, viol~ao, viola, cello, baixo, guitarra, cavaquinho,... 7 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO y −T T O ∆x x Figura 1.2: Corda homog^enea distendida em equilbrio ao longo do eixo Ox. y T θ (x +∆ x) θ(x) T O x x +∆ x x Figura 1.3: Forcas que atuam sobre uma porc~ao da corda, entre x e x +
x. 1.4.1 Equa c~ ao de movimento Vamos considerar uma corda distendida, em equilbrio ao longo do eixo Ox, com movimento restrito ao plano xy. Num determinado ponto da corda, a porc~ao a sua esquerda exerce sobre a porc~ao a direita uma forca T , que e equilibrada pela forca T exercida pela porc~ao a direita do ponto. Isso permite de nir a tens~ao T de equilbrio da corda. Como a corda e suposta homog^enea, a tens~ao e uma constante ao longo de sua extens~ao. Podemos de nir a densidade linear de massa , dada por
m = 
x, para uma porc~ao de corda de massa
m e comprimento
x. Nossa discuss~ao sera restrita a pequenos deslocamentos em y (deslocamentos pequenos em comparac~ao com o comprimento total da corda), de tal forma que o comprimento da corda possa ser considerado constante, assim como a magnitude da tens~ao. As forcas que atuam sobre uma porc~ao da corda, entre x e x +
x, s~ao devidas a variac~ao de direc~ao da tens~ao. Nosso interesse estara voltado as componentes y dessas forcas, que ser~ao responsaveis pelo movimento transversal. Como vemos na g. 1.3, a 8 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO componente y da tens~ao no ponto x +
x e dada por T sen  T tg = T @y : @x No ponto x, ha uma forca analoga, de sinal contrario, devida a porc~ao a esquerda de x. A forca vertical resultante sobre essa porc~ao de corda e, portanto, dada por: T @y (x +
x; t) @x 2 @y (x +
x; t) @y T (x; t) = T
x 6 4 @x 3 @y (x; t) 7 @2y @x 5 = T
x 2 (x; t) : @x
x @x A ultima igualdade so e valida quando
x ! 0. A segunda lei de Newton permite relacionar essa forca com a acelerac~ao da porc~ao de corda: Forca =
m ay @y ) 
x @@ty (x; t) = T
x @x (x; t) 2 2 2  2 @2y @t2 @y = T @x ; 2 2 (1.10) que equivale a equac~ao de ondas 1-D, eq. (1.9), com velocidade de propagac~ao v= s T :  (1.11) Essa e a celebre equaca~o das cordas vibrantes, obtida por Euler e D'Alembert por volta de 1750. Vemos que as ondas na corda se propagam mais rapidamente quanto maior a tens~ao e menor a densidade. Uma derivac~ao alternativa da velocidade de propagac~ao de ondas numa corda pode ser encontrada em HMN x 5.3(a), cuja leitura e recomendada. aproximac~ao sen  tg para  em serie de Taylor das duas func~oes. A ! 0 pode ser veri cada facilmente fazendo um desenvolvimento 9 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO t=0 Figura 1.4: Pulsos triangulares se propagando em sentidos opostos. 1.4.2 Solu c~ ao Geral A soluc~ao geral da equac~ao de ondas unidimensional, devida a D'Alembert, e y (x; t) = f (x vt) + g (x + vt); que corresponde a superposic~ao de ondas progressivas nos dois sentidos. Por se tratar de uma equac~ao diferencial de segunda ordem, a soluc~ao geral depende de duas funco~es arbitrarias (a resoluc~ao da equac~ao e equivalente a duas integraco~es \inde nidas"): precisamos de duas condico~es iniciais, o que equivale a dar o deslocamento inicial, y(x; 0) = y (x), e a velocidade inicial, @y (x; 0)=@t = y (x). 0 1 Exemplo : Suponha que inicialmente a corda esteja na posica~o y (x) e seja solta em repouso, ou seja y (x) = 0. ) y(x; 0) = f (x) + g(x) = y (x) 0 1 0 d d d @y ( x; 0) = v f (x) + v g (x) = v [g (x) f (x)] = 0 : @t dx dx dx Podemos tomar f (x) = g(x), sem perda de generalidade, pois uma constante n~ao altera a soluc~ao. Por exemplo, f (x) = g(x) = y (x), de forma que podemos escrever 1 y (x; t) = [y (x vt) + y (x + vt)] 2 Na pratica y (x) pode ser, por exemplo, um pulso triangular. O pulso inicial se decomp~oe em dois pulsos id^enticos que se propagam em sentidos opostos com velocidade v (veja g. 1.4). Esta soluc~ao e valida enquanto os pulsos n~ao atingem as extremidades da corda. 1 2 0 0 0 0 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 10 Figura 1.5: Interfer^encia destrutiva entre pulsos triangulares. Muitas vezes n~ao ca clara a import^ancia da equac~ao de ondas nesse estagio. E uma equac~ao a derivadas parciais que foi obtida supondo soluc~oes da forma da soluc~ao geral. Aparentemente, zemos um raciocnio circular: partimos da soluca~o para encontrar a equac~ao e, em seguida, achamos a soluc~ao geral, que correspondia a hipotese inicial. Cabe ressaltar aqui que pudemos ter uma noc~ao da import^ancia da equaca~o de ondas na ultima sec~ao (x 1.4). Obtivemos, atraves da analise da din^amica de uma corda sujeita a uma perturbac~ao em relac~ao a sua posica~o de equilbrio, que uma equac~ao de ondas e satisfeita, com velocidade de propagac~ao dada pela eq. (1.11). Conclumos que cordas vibrantes admitem soluc~oes ondulatorias propagantes. Essa analise se repetira em varios domnios da fsica. Maxwell, ao obter uma equaca~o de ondas para os campos eletrico e magnetico, a partir de suas equac~oes, com velocidade igual a velocidade de propagac~ao da luz no vacuo, p^ode concluir que luz e uma onda eletromagnetica. Coment ario: ? Demos : 1.4.3 Varetas acopladas e applet Princ pio de Superposi c~ ao Qualquer combinac~ao linear de soluc~oes da equac~ao de ondas e tambem soluc~ao. Este e o princpio de superposic~ao, que e consequ^encia da linearidade da equaca~o de ondas (veri que!). Para ilustrar a import^ancia deste princpio, consideremos a superposic~ao de dois pulsos iguais, de sinais contrarios, caminhando em sentidos opostos. Como pode ser visto na g. 1.5, quando ambos sinais se superp~oem, observamos o cancelamento moment^aneo do sinal. Trata-se de uma interfer^encia destrutiva entre os pulsos que, apos a \colis~ao", prosseguem como se nada tivesse acontecido. Obtemos interfer^encia construtiva entre pulsos de mesmo sinal, o que corresponde a inverter o sentido de propagac~ao dos pulsos triangulares da g. 1.4). O pulso resultante tem o dobro da amplitude dos componentes. Discutiremos interfer^encia com mais detalhes, para o caso particular de ondas harm^onicas, na x 1.6. 11 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 1.5 Intensidade de uma Onda Como ja mencionamos, uma onda transporta energia. Para gerar o pulso em uma extremidade de uma corda, e preciso realizar trabalho. A energia correspondente e transmitida a corda e propaga-se com a onda, podendo ser transmitida, por exemplo, a uma partcula que se encontra na outra extremidade. Vamos calcular a energia transmitida pela onda, por unidade de tempo, atraves de um ponto x da corda. Num dado instante t a porc~ao da corda a esquerda de x atua sobre um elemento da corda no ponto x com uma forca transversal (cf. x 1.4.1) Fy = T @y (x; t) : @x O trabalho realizado sobre esse elemento por unidade de tempo (pot^encia instant^anea) corresponde a energia transmitida atraves de x por unidade de tempo P (x; t) = Fy @y @t = T Para uma onda harm^onica progressiva, ent~ao logo @y @x = kAsen' ; @y @t @y @y : @x @t = !Asen' ; ' = kx !t + Æ; P (x; t) = !kT A2sen2 (kx !t + Æ ); que oscila com t e x. O que interessa em geral e a media sobre um perodo (que chamaremos de intensidade I y da onda) I = P = !kT A sen (kx !t + Æ ) : | {z } 1=2 A notac~ao f signi ca media de f . Caso voc^e n~ao tenha familiaridade com calculos de medias de func~oes, veja abaixo uma pequena digress~ao sobre o assunto. Lembrando que T = v e que ! = kv, 1 I = P = v! A ; 2 para uma onda harm^onica progressiva. Vemos que a intensidade e proporcional ao quadrado da amplitude, ao quadrado da frequ^encia angular e a velocidade. Vamos relacionar esse resultado ao MHS descrito por cada ponto da corda. Um elemento de corda, de comprimento dx, em torno do ponto x, tem massa dm = dx e energia cinetica instant^anea 2 2 = 2 2 y Geralmente 2 usa-se intensidade para designar pot^encia por unidade de area. Aqui, como se trata de um problema 1-D, usamos este nome para a pot^encia media. 12 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO     @y 1 1 dx : dK = 2 dm @t = 2  @y @t 2 Logo, 2   d K 1 @y ) dx = 2  @t e a densidade linear de energia cinetica. Sabemos que 2  @y @t 2 = ! A sen (kx 2 2 !t + Æ ) ; 2 o que implica em dK = 1 ! A : dx 4 Como cada elemento dx executa um MHS em y, temos que a densidade media de energia potencial dU=dx e igual a densidade media de energia cinetica. Portanto, dE = 1 ! A )
E = dE
x ; dx 2 dx onde usamos que E = K + U e a energia mec^anica total. Mas a onda percorre
x = v
t em
t e a pot^encia media transportada e   P =
E = dE
x = v dE = 1 v! A :
t dx
t dx 2 Comparando esse resultado com aquele obtido para a intensidade, vemos que podemos expressar essa ultima como o produto da velocidade pela densidade media de energia. Portanto, a intensidade representa o uxo medio de energia atraves de um ponto qualquer da corda. 2 2 2 2 2 2 Digress~ ao sobre m edia de uma fun c~ ao A media de uma func~ao f (x) em um intervalo [a; b] e simplesmente : Z f = b a Z f (x)dx b Zb 1 = (b a) f (x)dx ; a dx o que corresponde a uma media ponderada. Por exemplo, Z  1 senx = 2 senxdx = 0 ; Z  1 sen x = 2 sen xdx = 12 : a 2 0 2 2 0 2 13 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO Digress~ ao sobre a f ormula de Euler Sabemos que de{ = {ae{ ; dx onde x e um numero real e a uma constante real. Tomemos a seguinte funca~o f (x) = cos x + { sen x ; cuja derivada df f 0 (x) = dx = sen x + { cos x = {(cos x + { sen x) = {f (x) : Vemos que f (x) = e{ = (cos x + { sen x), de forma que cos x = Re(e{ ) e sen x = Im(e{ ). Assim obtemos, de maneira simples, as conhecidas relac~oes trigonometricas ax ax x x x cos(a  b) = Re(e{  ) = Re(e{ e{ ) = Re[(cos a + { sen a)(cos b  { sen b)] = cos a cos b  sen a sen b e tambem A cos(a + b) + A cos(a + c) = Re[A e{ + A e{ ] = Re[e{ (A + A e{ )] = Re[e{ Ae{ ] = A cos(a + b + d) ; onde A = A + A + 2A A cos(c b) e sen d = A senA(c b) . (a b) 1 a b (a+b) 1 (a+b) 2 (a+b) 2 2 1 ? Demos : 2 2 1 2 (a+c) 2 1 d 2 (c b) 2 Applets 1.6 Interfer^encia Consideremos inicialmente a superposica~o de duas ondas progressivas harm^onicas, de mesma frequ^encia, numa corda vibrante. 14 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 1.6.1 Mesmo sentido As express~oes das ondas s~ao dadas por  y (x; t) = A cos(kx !t + Æ ) y (x; t) = A cos(kx !t + Æ ) mas cos(kx !t + Æ) = cos(!t + '), com ' = kx Æ, logo podemos escrever, como visto na digress~ao da x 1.5, y = y + y = A cos(kx !t + Æ ) ; com A = A + A + 2A A cos Æ ; Æ = Æ Æ ; onde Æ e a diferenca de fase entre as duas ondas originais. Como a frequ^encia e a mesma, a intensidade I de cada onda e proporcional a A ; com a mesma constante de proporcionalidade. Logo p I = I + I + 2 I I cos Æ ; ou seja, a superposic~ao de duas ondas no mesmo sentido e de mesma frequ^encia e outra onda do mesmo tipo, mas a intensidade da onda resultante e geralmente diferente da soma das intensidades, dependendo da diferenca de fase! Interfer^encia construtiva (cos Æ = 1) 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 12 12 2 1 12 12 1 2 1 2 12 12 Æ12 = 2n (n = 0; 1; 2; : : :) ) I = I Interfer^encia destrutiva (cos Æ = 1) max = p p 2 I1 + I2 12 p Æ12 = (2n + 1) p 2 (n = 0; 1; 2; : : :) ) I = I = I Observamos assim que a intensidade oscila entre os valores I e I Æ . Para I = I estes s~ao I = 0 e I = 4I . min min 12 1.6.2 1 2 min max I2 1 : como func~ao de max 1 Sentidos opostos Neste caso, para simpli car, vamos considerar A = A = A e Æ = Æ = 0  y (x; t) = A cos(kx !t) y (x; t) = A cos(kx + !t) A onda resultante e 1 2 1 2 1 2 y = y1 + y2 = A[cos(kx) cos(wt) + sen(kx)sen(wt) + cos(kx) cos(wt) sen(kx)sen(wt)] = 2A cos(kx) cos(!t) ; onde usamos cos(a  b) = cos a cos b  sena senb (cf. x 1.5). 15 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO Vemos que a onda resultante e um produto de uma funca~o de x por uma func~ao de portanto n~ao ha propagac~ao! A forma da corda permanece sempre semelhante, com o deslocamento mudando apenas de amplitude e eventualmente de sinal. Havera pontos denominados nos ou nodos que permanecer~ao sempre em repouso e outros denominados ventres ou antinodos que ter~ao sempre amplitude de oscilac~ao maxima. Uma onda que n~ao se propaga denomina-se onda estacionaria, para a qual os uxos de energia s~ao iguais e contrarios, de forma que o uxo medio da onda resultante e nulo. t, 1.6.3 Batimentos ? Demos : Diapas~oes, prisma e applets Consideremos agora ondas de mesma amplitude, que se propagam no mesmo sentido mas que possuem frequ^encias ligeiramente diferentes. Suas express~oes s~ao dadas por  y (x; t) = A cos(k x ! t) y (x; t) = A cos(k x ! t) ; onde de nimos
! = ! !  ! = 1=2(! + ! ) e
k = k k  k = 1=2(k + k ) e consideramos Æ = Æ = 0 pois, devido a diferenca de frequ^encia, a diferenca entre as constantes de fase e irrelevante. Supondo ! > ! e k > k ent~ao, 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 onde 1 2 1 2 2 1 y = y1 + y2 = A 2  2 1 2    
k
!
k
!   cos (k + 2 )x (! + 2 )t + cos (k 2 )x (! 2 )t ; ) y(x; t) = A(x; t) cos(kx ! t) ;  
k
! A(x; t) = 2A cos 2 x 2 t : Temos uma onda de frequ^encia ! elevada, cuja amplitude A e modulada por outra onda de frequ^encia
! bem mais baixa. Trata-se do fen^omeno conhecido pelo nome de batimento, que ja foi visto para o MHS. Este fen^omeno pode ser tambem observado em ondas sonoras, dois diapas~oes de frequ^encias muito proximas soando simultaneamente produzem um som que varia entre alto e baixo periodicamente. O ouvido humano e capaz de distinguir batimentos entre difer^encias de frequ^encia abaixo de 7 Hz. Este fen^omeno e utilizado por a nadores de piano. Este e o exemplo mais simples de um grupo de ondas. Como a fase '(x; t) = kx ! t, a velocidade com que se desloca um ponto de fase constante (velocidade de fase) e ! v' =  : k Por outro lado, a velocidade com que se desloca o grupo como um todo e a velocidade de um ponto da envoltoria, onde A e constante. Esta e a chamada velocidade de grupo, que e dada por ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 16
!  d! ;
k dk para
k ! 0, calculada em k = k. Para uma corda vibrante homog^enea !=k = v = p T= = cste ) v' = v . Entretanto, para outros tipos de onda v' varia com  (ou k), assim d! = v + k dv' 6= v : ! = kv' (k) ) v = dk ' dk ' Diz-se que neste caso ha , como para a luz em um meio material transparente (prisma). Pode-se mostrar que, em geral, v e a velocidade de propagac~ao da energia, tendo signi cado fsico mais importante que v'. Ha, no entanto, exceco~es como, por exemplo, situac~oes de dispers~ao chamada an^omala, em que a velocidade de grupo tem sinal oposto a velocidade de fase. Ha tambem situaco~es como a da chamada re ex~ao total frustrada, em que a velocidade de transmiss~ao de um sinal esta associada a velocidade de fase. vg = g g dispers~ ao g 1.7 Re ex~ao de ondas ? Demos : mola e applets Ate aqui consideramos apenas ondas que se propagam numa corda longe das extremidades (toda corda real e nita!). O que acontece nas extremidades? Vamos comecar a discuss~ao examinando o que ocorre numa extremidade xa. Seja um pulso que se propaga numa corda longa, cuja extremidade esquerda O e xa. A express~ao que descreve o pulso antes de atingir a extremidade e y(x; t) = g(x + vt). A condic~ao de que a extremidade em x = 0 permaneca sempre xa e y (0; t) = 0; 8 t : (1.12) A extremidade da corda de ne uma fronteira. As condico~es a serem impostas a func~ao numa fronteira s~ao chamadas condic~oes de contorno ou condic~oes de fronteira. Usando a soluc~ao geral da equac~ao de ondas 1-D, eq. (1.9), e, impondo a condic~ao da eq. (1.12), obtemos y (0; t) = f ( vt) + g (vt) = 0 ) f ( vt) = g (vt) 8 t ; o que permite determinar a func~ao incognita f (x0 ) = g( x0 ). Temos, portanto, a soluc~ao do problema, dada por y (x; t) = g (vt + x) g (vt x) ; onde a func~ao g e conhecida (forma do pulso inicial). O segundo termo so aparece apos o pulso incidir na extremidade xa, correspondendo a um pulso re etido. 17 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO x O O x O x Figura 1.6: Re ex~ao de um pulso numa extremidade xa. O pulso re etido tem a fase invertida. Podemos representar gra camente este resultado atraves de um artifcio que corresponde a imaginar um prolongamento ctcio da corda para x < 0. O termo g(vt x), antes do pulso incidir sobre a extremidade, corresponde a um pulso ctcio, que se encontra no prolongamento ctcio da corda, propagando-se para a direita (veja g. 1.6). No momento em que ambos os pulsos atingem a extremidade O, obtemos a superposic~ao dos dois pulsos. Em seguida apenas o pulso re etido se propaga na corda (real) para a direita. Por que obtemos um pulso invertido nessa situaca~o? A condic~ao dada por eq. (1.12) imp~oe uma interfer^encia destrutiva entre os pulsos no ponto x = 0. O que ocorre se, ao inves de uma extremidade xa, analisarmos uma extremidade livre? Neste caso, a condic~ao de contorno deve indicar a aus^encia de forca tranversal sobre a extremidade @y @x = 0 8 fT ; t g ; o que signi ca que a tangente a corda na extremidade e sempre horizontal. Aplicando essa condic~ao a soluc~ao geral da equaca~o de ondas, obtemos @y df dg df ( vt) = dg (vt) ; (0 ; t) = ( vt) + (vt) = 0 8 t ) @x dx dx dx dx 0 0 bastando tomar f (x ) = g( x ). A soluc~ao, neste caso, e Fy (0; t) = T y (x; t) = g (vt + x) + g (vt x) ; o que corresponde a um pulso re etido, sem invers~ao de fase. As duas condico~es de contorno consideradas s~ao extremas. Ha situaco~es intermediarias como, por exemplo, a junc~ao de duas cordas de densidades distintas. A analise acima serve de modelo para o tratamento desse tipo de situaca~o. Conforme veremos na aula de TD, um pulso incidente numa junc~ao de duas cordas da origem a um pulso transmitido e outro re etido. 18 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO A analise de ondas em interfaces e um problema bastante frequente em fsica. Em circuitos eletricos, para a transmiss~ao de sinais, fala-se sempre em garantir um \casamento de imped^ancias": isso e linguagem tecnica para assegurar que o sinal re etido seja minimizado. A re ex~ao e refraca~o da luz s~ao exemplos do comportamento de ondas em interfaces. Finalmente, na Mec^anica Qu^antica, encontramos varias situac~oes em que partculas podem ser \parcialmente" transmitidas/re etidas atraves de barreiras de energia potencial. Coment ario: ? Demos : corda vibrante 1.8 Modos Normais Vamos analisar agora o que ocorre quando consideramos ambas as extremidades de uma corda de comprimento l xas. Este caso se exprime pelas condic~oes de contorno y (0; t) = y (l; t) = 0 ; 8 t : (1.13) Admitamos que uma soluc~ao possvel para a equaca~o de onda nestas condico~es seja dada por y (x; t) = A(x) cos(!t + Æ ) ; (1.14) o que corresponde a uma onda estacionaria. Como y(x; t) deve ser soluc~ao da equaca~o de ondas, eq. (1.9), substituindo eq. (1.14) nessa equac~ao temos 1 @ y = ! A(x) cos(!t + Æ) = @ y = d A cos(!t + Æ) ; v @t v @x dx ou seja, d A + k A = 0 ; k = !=v : dx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A soluc~ao geral desta ultima equaca~o ja e conhecida A(x) = a cos(kx) + b sen(kx) : As condic~oes de contorno s~ao satisfeitas desde que A(0) = 0 ) a = 0 ; e A(l) = 0 ) b sen(kl) = 0 : Para termos uma soluc~ao n~ao trivial (y 6= 0 !), b 6= 0, de forma que sen(kl) = 0 ) kn = nl ; n = 1; 2; : : : : 19 ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO Figura 1.7: Primeiros modos normais de vibraca~o de uma corda de comprimento l xa nas duas extremidades. Os valores correspondentes de !n = knv = n v l s~ao os chamados modos normais de vibrac~ao. Substituindo os resultados encontrados em eq. (1.14) temos nalmente as soluc~oes  n   n  yn(x; t) = bn sen x cos vt + Æn ; n = 1; 2; : : : : l l Trata-se de ondas estacionarias, cujo comprimento de onda associado ao modo n e 2 2l  = = ; n = 1; 2; : : : : n kn n A frequ^encia n do modo n e s 1 T; 2l  ou seja, as frequ^encias s~ao multiplos inteiros da frequ^encia do modo mais baixo, o chamado modo fundamental. Esta frequ^encia fundamental e inversamente proporcional ao comprimento da corda, proporcional a raiz quadrada da tens~ao e inversamente proporcional a n = !n 2 = n 2vl = n 1 ; n = 1; 2; : : : 1 = ~ A ONDAS CAPITULO 1. INTRODUC  AO 20 raiz quadrada da densidade linear de massa da corda. Este resultado tem aplicac~oes importantes para instrumentos musicais. Os modos normais de ordem mais baixa est~ao ilustrados na g. 1.7. O modo de ordem n contem n 1 nodos alem dos extremos. Pode-se mostrar que o movimento geral de uma corda vibrante presa nos extremos e uma superposic~ao de todos os modos normais, constituindo uma serie in nita cujas constantes bn e Æn est~ao relacionadas aos coe cientes de uma serie de Fourier. Vimos aqui que ondas con nadas numa regi~ao limitada do espaco so podem oscilar com frequ^encias bem de nidas que formam um conjunto discreto (frequ^encias \quantizadas"). Este resultado e analogo ao que se obtem para uma partcula qu^antica con nada a uma caixa por paredes impenetraveis. Coment ario: Cap tulo 2 Ondas Sonoras Conte udo 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Natureza do Som . . . . . . . . . . . . . . Relac~ao entre densidade e press~ao . . . . Relac~ao entre deslocamento e densidade Relac~ao entre press~ao e deslocamento . . Ondas sonoras e a velocidade do som . . Velocidade do som em gases . . . . . . . . Velocidade do som na agua . . . . . . . . Ondas sonoras harm^onicas e Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 Intensidade 2.8.2 Intensidades relativas e sensibilidade do ouvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 23 24 25 26 27 28 29 30 30 2.9 Fontes Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.10.1 Fonte em repouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.10.2 Fonte em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.10.3 Fonte e observador em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.10.4 Cone de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 O 2.1 Natureza do Som bservamos em nossa experi^encia cotidiana que corpos em vibrac~ao produzem ondas de som. As ondas de som s~ao ondas mec^anicas que se propagam apenas na presenca de um meio material. Por exemplo, como demonstrado em 1660 por Robert Boyle, o som de uma campainha em vacuo deixa de ser ouvido. As naves espaciais que aparecem em lmes como \Guerra nas Estrelas" e \Star Trek" tambem n~ao emitem som ao 21 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS B A 22 BA Figura 2.1: Diapas~ao vibrando entre as posico~es A e B . se deslocar no espaco intersideral, assim como explos~oes no espaco s~ao silenciosas. Infelizmente muitos lmes desrespeitam este fato elementar da natureza do som (vejam http://www.intuitor.com/moviephysics/). Assim, o som se propaga tanto em uidos, como gases (ex. atmosfera) e lquidos (ex. agua), como tambem em solidos. Percebemos a aproximaca~o de um trem atraves do som produzido pela vibrac~ao dos trilhos. Oscilac~oes harm^onicas produzem sons audveis em intervalo limitado de frequ^encia de 20 Hz a 20 kHz. E facil notar a natureza ondulatoria do som. O som propaga-se com velocidade nita (som do trov~ao apos clar~ao do rel^ampago, eco) atraves de um meio, sem que haja transporte direto de materia, sofre re ex~ao (eco) , refrac~ao, efeitos de interfer^encia, batimentos e difrac~ao (ouvimos atraves de um biombo). Um uido como a atmosfera n~ao transmite, em geral, tens~oes tangenciais, de modo que ondas sonoras na atmosfera devem ser longitudinais. Elas s~ao associadas a variac~oes de press~ao, compress~oes e rarefac~oes. Em geral, s~ao variaco~es extremamente pequenas, em comparac~ao com a press~ao atmosferica (press~ao de equilbrio). ? Demos : diapas~ao e applet Podemos comecar a ter uma ideia sobre o processo observando o funcionamente de um diapas~ao. Em A, na g. 2.1, o diapas~ao comprime a atmosfera, o que e transmitido as porc~oes contguas; em B , o diapas~ao produz uma rarefac~ao. Vemos que o deslocamento de ar muda a densidade do ar na camada subjacente, o que provoca uma mudanca de press~ao. A mudanca de press~ao, por sua vez, provoca deslocamento de ar e assim sucessivamente. O mecanismo e auto-sustentado, podendo ser resumido no diagrama da g. 2.2. Para traduzir a discuss~ao qualitativa em tratamento quantitativo, vamos ver como relacionar densidade com press~ao, deslocamento com densidade e press~ao com deslocamento. Nosso objetivo e obter uma equac~ao de ondas, para demosntrar a natureza ondulatoria e, a partir desta, deduzir a velocidade de propagaca~o das ondas sonoras. 23 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS Deslocamento de fluido muda densidade ~ ~ Variacao , de pressao produz deslocamento Mudanca , de densidade ~ , de pressao gera mudanca Figura 2.2: Diagrama relacionando press~ao, densidade e deslocamento de ar. ? Demo : voz c/ gas helio 2.2 Relac~ao entre densidade e press~ao Conforme dissemos acima, variac~oes de press~ao e densidade s~ao muito pequenas (pequenas em relac~ao aos valores de equilbrio), ou seja as ondas s~ao geradas por pequenas perturbac~oes. Vamos chamar os valores da press~ao e da densidade de equilbrio de p e  , sendo P e  os valores em presenca da onda. Logo,  P = p + p ) jpj  p ; j j   :  = + A variac~ao de press~ao que nosso ouvido pode tolerar sem sensac~ao de dor e tal que jp=p j < 10 . Portanto, podemos escrever, com excelente aproximaca~o,  
P @P p P p = =  ;   
 @ onde o ndice 0 indica que a derivada e calculada em torno dos valores de equilbrio. Trata-se de uma derivada parcial pois P depende de  e de T (temperatura). Conforme veremos mais adiante, podemos tratar a atmosfera como um gas ideal com boa aproximac~ao. Para um gas ideal, conhecemos a equac~ao de estado P V = nRT ; (2.1) onde n e o numero de moles, R e a constante universal dos gases, P a press~ao, V o volume e T a temperatura. Para um processo isotermico (que ocorre a temperatura constante), P e diretamente proporcional a densidade , logo P = a (isotermico) ; a = cste. (/ T ) 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 24 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 O 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 x+∆x x x u(x,t) A u( x+∆x ,t) Figura 2.3: Sec~oes transversais em um tubo de area A. )  @P @  T P  =a= )  @P @  = p (isotermico) 0 T;0 onde o ndice T indica que o processo e isotermico. 0 2.3 Relac~ao entre deslocamento e densidade Vamos investigar agora o segundo elo do ciclo associado a propagac~ao de ondas sonoras. Limitaremo-nos a uma onda unidimensional, por simplicidade, propagando-se no interior de um tubo cilndrico de sec~ao reta A. O eixo Ox sera o eixo de simetria do tubo, que coincide com a direc~ao de propagac~ao. Seja u(x; t) o deslocamento sofrido por parte do uido na sec~ao transversal de coordenada x, no instante t. O volume, antes do deslocamento do uido compreendido entre as seco~es x e x +
x e V = A[(x +
x) x] = A
x : A g. 2.3 representa o tubo, as sec~oes transversais em x e x +
x e as seco~es deslocadas u(x; t) e u(x +
x; t). Apos o deslocamento, tomando
x in nitesimo, o volume passa a ser V +
V = A f[(x +
x) + u(x +
x; t)] [x + u(x; t)]g = A f
x+ [u(x +
x; t) u(x; t)]g  = A
x 1 + u(x +
x;
tx) u(x; t) ;   @u @u ) V +
V  V 1 + @x )
VV = @x (x; t) 25 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS A densidade  de um uido homog^eneo e = M ; V (2.2) onde M e a massa e V o volume do uido. Diferenciando, para uma massa constante, temos (2.3)
 = M
V = 
V )
 =
V ; V2 V aumento de densidade leva a diminuica~o de volume. @u Portanto
 = @x (x; t), ou ainda    V @u   = @x 0 )  =  @u (x; t) : @x 0 (2.4) Essa e a variaca~o de densidade devida ao deslocamento. O sinal dessa equac~ao e de explicac~ao imediata: se o deslocamento cresce com x, produz-se uma rarefac~ao ( < 0). 2.4 Relac~ao entre press~ao e deslocamento O ultimo elo do nosso ciclo pode ser completado considerando o mesmo cilindro da g. 2.3. O elemento de volume
V compreendido entre x e x +
x contem massa
m = 
V   A
x : Vamos encontrar a equac~ao de movimento para essa massa de uido. A press~ao P (x; t) sobre a face esquerda desse elemento produz uma forca
F = P (x; t)A ; enquanto a face direita esta sujeita a forca 0 1
F = P (x +
x; t)A ; onde o sinal negativo indica que a forca esta dirigida para a esquerda. A forca resultante e 2
F =
F +
F = [P (x; t) 1 2 P (x +
x; t)]A = 2 6 P (x +
x; t) A
x} 664 | {z
{zx
V | 3 P (x; t) 7 7 7 }5  @P=@x 26 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS @p )
F =
V @P ( x; t) =
V (x; t) ; @x @x @p onde usamos P = p + p ) @P = . @x @x 0 A segunda lei de Newton, lembrando que a aceleraca~o e @ u=@t , leva a 2
m @@tu =  A
x @@tu = 2 2 0 2 2 A
x 2 @p @x @p )  @@tu = @x : 2 0 Obs: 2 Essa e a vers~ao 1-D de ~a = f~ r~ p com f~ = 0 (veja Cap. 2 da Ref. [1]). (2.5) 2.5 Ondas sonoras e a velocidade do som Vamos obter agora a equaca~o de ondas percorrendo o ciclo da g. 2.2. Um deslocamento do uido produz uma variaca~o de densidade dada pela eq.(2.4), que por sua vez, produz a variac~ao de press~ao p=  @P @  0  = 0  @P @  @u : @x 0 Vimos, por outro lado, que os deslocamentos devidos a esta variac~ao de press~ao obedecem a equac~ao de movimento (eq.(2.5)) @p @2u 0 2 = @t @x  = 0 @P @  @2u @x2 0 @u ) v1 @@tu @x =0; 2 2 v= s @P @ 2 2 2  0 e a velocidade do som no uido. onde Derivando a equac~ao de movimento em relaca~o a x, vemos que 1 @  @u  @  @u  = 0 ; 2 v 2 @t2 @x 2 @x2 @x pois, para func~oes \bem comportadas", podemos inverter a ordem das derivadas. Assim, vemos que 27 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS 1@ 1 @ p @ p =0; = v @t v @t @x ou seja, as variac~oes de densidade e de press~ao obedecem a mesma equac~ao de ondas, propagando-se a velocidade do som! 2 2 2 @2 @x2 2 2 2 2 2 2.6 Velocidade do som em gases Vimos que, para um processo isotermico, temos s @P @  T;0 = r p0 : 0 Notemos que, num tubo de sec~ao reta constante, podemos relacionar  com uma densidade linear  =  A. A forca sobre a seca~o reta e F = p A, logo 0 0 v= r p0 0 = s 0 F :  Podemos calcular esta velocidade para as condic~oes normais de temperatura e press~ao (CNTP) (p = 1 atm  1; 013  10 N/m , T = 0Æ C =273 K), e a densidade do ar   1; 293 kg/m , obtendo 0 0 5 2 3 r p0 0  280 m/s que n~ao corresponde ao valor experimental v = 332 m/s, com erro menor que a discrep^ancia. Newton nos Principia (1687) fez esse calculo e, para explicar a diferenca, \cozinhou"o resultado : \inventou" partculas solidas, que ocupariam 1/9 do espaco, atraves das quais a propagac~ao seria instant^anea; desconsiderou a participac~ao de vapor de agua ... O que esta errado? Consideramos para o nosso calculo que o processo era isotermico. Para que um processo seja isotermico, e preciso que haja trocas de calor com o meio externo. Conforme Laplace, em 1816, as compress~oes e expans~oes numa onda sonora s~ao t~ao rapidas que n~ao da tempo para haver troca de calor. Caso n~ao haja troca de calor (sistema isolado ou processo rapido, de modo que n~ao haja tempo para troca de calor), o processo e chamado de adiabatico. Veremos mais adiante (ja precisamos aqui antecipar conhecimentos de termodin^amica que ser~ao vistos nesta disciplina) que, num processo adiabatico, P = b (abiabatico) ; b; cstes. (CNTP) som Como veremos, geralmente > 1 ( e raz~ao de calores espec cos a P cste. e a V cste.). 28 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS   @P ) @ = b  1 = P S s  r @P ) v = @ = p0 (abiabatico) ; 0 S;0 (2.6) onde o ndice S indica processo adiabatico e reversvel. Vemos que, para produzir uma mesma elevac~ao de densidade
, e necessario uma variaca~o
P maior no caso adiabatico que no caso isotermico pois, no primeiro caso, tambem ha elevaca~o de temperatura. Como para o ar  1; 4 , obtemos, nas CNTP, v = 332 m/s. Para uma massa M de gas, de massa molecular m, o numero de moles e n = M=m, de modo que a equac~ao de estado se escreve PV = M RT m )P = M RT Vm ) P r = RT m ) v = RT : m Portanto, a velocidade do som num gas e independente da press~ao mas cresce com a raiz quadrada da temperatura absoluta. A temperatura de 20Æ C (T= 293 K), a velocidade p do som no ar e de 293=273  332 m/s  344 m/s. Tambem vemos da express~ao acima que a velocidade do som e inversamente proporcional a raiz quadrada da massa molecular do gas. A mesma temperatura, a velocidade do som no H (m  2) e aproximadamente 4 vezes maior que no O (m  32). 2 2 ? Demo : efeito do chocolate quente Veja a Ref. [4] para uma discuss~ao mais quantitativa sobre o \efeito do chocolate quente". 2.7 Velocidade do som na agua Quando submetido a uma press~ao de 20 atm, o volume de 1 ` de agua, a temperatura ambiente, decresce de aproximadamente 0,9 cm , o que corresponde a
V=V  0; 09% = 9  10 , para
P  2  10 N/m . Podemos de nir o modulo de elasticidade volumetrico, B , do uido como
P  2; 2  10 N/m : (2.7) B=
V=V Lembrando que (eq. (2.3))
 =
V ; 3 4 6 2 9  podemos escrever B=  2 V
P  ) v = pB=
 0 : 29 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS Figura 2.4: Press~ao e deslocamento de uma onda sonora harm^onica. p Obtemos para agua v  2; 2  10 m/s, para   10 kg/m ) v  1:483 m/s, em excelente acordo com os dados experimentais. Em solidos, B e  s~ao tipicamente maiores, levando a velocidades da ordem de 3.000 m/s. som 6 0 3 3 som 0 2.8 Ondas sonoras harm^onicas e Intensidade No caso do tubo cilndrico previamente considerado, g. 2.3, uma onda sonora harm^onica progressiva corresponde a uma soluca~o da equac~ao de ondas da forma u(x; t) = U cos(kx !t + Æ ) : O comprimento de onda e  = v = v= . Como  , para sons audveis, varia entre 20 Hz e 20 kHz e v = 340 m/s, vemos que  varia entre  1,7 cm e  17 m. O comprimento de onda das ondas sonoras e da ordem de dimens~oes macroscopicas tpicas. O comprimento de onda e um par^ametro essencial na propagac~ao de ondas. Por outro lado, a onda de press~ao correspondente e dada por p(x; t) = 0 v 2 @u (x; t) = v2 (x; t) ; @x ) p(x; t) = P sen(kx !t + Æ) ; (2.8) onde P =  v kU e a amplitude de press~ao correspondente a amplitude de deslocamento U. As express~oes que introduzimos mostram que as ondas de deslocamento e de press~ao est~ao em quadratura (defasadas de =2 entre si). A origem deste resultado pode ser percebida gra camente na g. 2.4. Na g. 2.4 vemos os delocamentos de uma serie de partculas. As partculas 1 e 3 se afastam de 2, gerando uma expans~ao. As partculas 3,4,5,7,8 e 9 se aproximam de 6, gerando uma compress~ao. De modo geral, sabemos que o gas se desloca sempre que ha gradientes de press~ao (responsaveis pelos ventos na atmosfera). Maximos e mnimos da press~ao correspondem a pontos de derivada nula, ou seja, de deslocamento nulo. 0 2 30 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS 2.8.1 Intensidade Assim como as ondas na corda, uma onda sonora tambem transporta energia. Para uma onda harm^onica progressiva, num tubo a intensidade e de nida como a energia media transmitida atraves da sec~ao por unidade de area e tempo. O calculo da intensidade e feito a partir da relac~ao entre forca e press~ao. A forca sobre uma camada de uido na posic~ao x e F = p(x; t)A = P Asen(kx !t + Æ ) e a pot^encia instant^anea e F @u @t A intensidade e, portanto, = !AP U sen (kx !t + Æ ) : 2 = 21 !P U : O resultado pode ser expresso apenas em func~ao de U , usando ! = kv 1 @u I= F A @t I = 12 0 v! 2 U 2 (2.9) em que I / ! ; U (MHS), ou em func~ao de P 2 2 1P I= 2 v 2 0 (2.10) que independe de !. Portanto, para medir I , e mais conveniente usar detetores de variac~ao de press~ao do que de deslocamento, o que permite comparar sons de frequ^encias diferentes. 2.8.2 Intensidades relativas e sensibilidade do ouvido O ouvido humano e capaz de perceber sons de intensidade extremamente variadas. O limiar de audibilidade (som mais fraco que pode ser ouvido) depende da frequ^encia, para  = 10 Hz (10 s ), I  10 W=m : Para o ar, em temperaturas ordinarias, temos   1; 3 kg/m e v  340 m/s. A amplitude da onda de press~ao e, portanto, P  3  10 N/m . Por outro lado, para essa frequ^encia (! = 2  10 s ), a amplitude de deslocamento associada a I e apenas U  1; 1  10 m  0,1  A, que e menor do que as dimens~oes de um atomo! O ouvido humano e um detetor extremamente sensvel! 3 3 1 0 12 2 0 3 0 11 1 3 5 2 0 31 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS O outro extremo corresponde ao limiar de sensac~ao dolorosa, intensidade sonora maxima que nosso ouvido pode tolerar. Para  = 10 s , I  1 W=m : Como I =I  10 , as amplitudes de press~ao, Prmm , e deslocamento, U , s~ao 10 vezes maiores que P e U . Ou seja, Prmm  30 N/m e U  1; 1  10 m  10 mm. Este resultado torna evidente a depend^encia com a frequ^encia, pois toleramos press~oes estaticas adicionais  0; 5 atm  5  10 N/m (mil vezes maiores) como, por exemplo, ao mergulhar alguns metros sob agua. Ao inves da intensidade, usa-se muito o nvel de intensidade sonora, medido em escala logartmica, pois as intensidades audveis cobrem varias ordens de grandeza (tambem conferir a lei emprica de Weber e Fechner, segundo a qual a \sensaca~o" por estmulo e proporcional ao logartmo da \excitac~ao"). A unidade de nvel de intensidade e o bel (em homenagem a Alexander Graham Bell): os nveis de intensidade de dois sons diferem de 1 bel quando a intensidade de um e 10 vezes superior a do outro. Na pratica, usa-se o decibel (db) = 0,1 bel e usa-se o limiar de audibilidade como intensidade de refer^encia. I corresponde ao nvel zero de intensidade. Portanto, o nvel de intensidade  e dado por 3 2 m m 1 12 0 0 2 0 4 m 5 m 6 2 2 0  = 10 log10   I I0 ; (em db) (2.11) Limiar de audibilidade 0 db Murmurio 20 db Musica suave 40 db Conversa comum 65 db Rua barulhenta 90 db Avi~ao proximo 100 db Limiar de sensac~ao dolorosa 120 db Tabela 2.1: Ordens de grandeza de alguns sons em db. ? Demo : tubo de gas com fonte sonora + musica 2.9 Fontes Sonoras Vamos considerar agora os modos normais de vibrac~ao de uma coluna de ar, que constitui a base de todos os instrumentos de sopro. Tomemos um tubo cilndrico (como, por exemplo, um tubo de org~ao), aberto numa extremidade, a partir da qual se produz a excitac~ao da onda sonora, com a outra extremidade aberta ou fechada. 32 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS A entrada de ar pela extremidade aberta do tubo produz um antinodo de deslocamento. Se a outra extremidade estiver , o deslocamento se anula, formando nessa extremidade um . Como a onda de press~ao esta em quadratura com a onda de deslocamento, uma extremidade fechada correspondera a um . Numa extremidade , a press~ao total P deve permanecer aproximadamente constante e igual a p (press~ao atmosferica de equilbrio) e, pela eq.(2.1), p = 0: uma extremidade aberta corresponde a um da onda , o que corresponde a un . De fato, a variac~ao de press~ao so se anula um pouco depois da extremidade aberta: a coluna de ar vibrante vai um pouco alem. Pode-se levar esse efeito em consideraca~o atribuindo um comprimento efetivo ao tubo. Quando uma onda sonora harm^onica progressiva atinge a extremidade do tubo, a condic~ao de contorno de que ela corresponde a um nodo de press~ao p ou deslocamento u da origem a uma onda re etida com defasagem de  para p ou u, respectivamente (analogo ao que ja vimos para a corda vibrante). Pela eq.(2.8), p = 0 ) @u=@x = 0, o que corresponde a condic~ao de contorno para a extremidade livre da corda vibrante, ou seja, se a onda de press~ao se re ete com defasagem , a onda de u se re ete sem mudanca de fase, e vice-versa. Como para a corda, a interfer^encia entre ondas incidente e re etida da origem a ondas estacionarias, que s~ao os modos normais de vibraca~o da coluna de ar dentro do tubo. Podemos fazer calculos analogos aqueles realizados para a obtenc~ao dos modos normais de cordas vibrantes. Sabemos que as ondas estacionarias produzidas podem ser escritas como: u(x; t) = A(x) cos(!t) ; onde A(x) = a cos(kx) + b sen(kx) : Como uma das extremidades esta sempre aberta, analisaremos primeiramente essa condica~o de contorno, supondo que essa extremidade esteja localizada em x = 0. A onda de deslocamento deve, portanto, ser maxima [u(0; t) = U cos(!t)] nessa extremidade, assim como a onda de press~ao deve anular-se (o que signi ca que a derivada do deslocamento em relac~ao a x deve se anular): fechada nodo de deslocamento antinodo de press~ ao aberta 0 nodo de press~ ao antinodo de deslocamento A(0) = a = U ; Logo, a soluc~ao sera da forma: @u (0; t) = 0 ) b = 0 : @x u(x; t) = U cos(kx) cos(!t) : Ate aqui, analisamos apenas o que ocorre numa das extremidades. A analise da outra condic~ao de contorno, em x = `, levara a determinaca~o dos modos normais de vibrac~ao. Consideremos as duas situac~oes possveis: (a) extremidade aberta @u (`; t) = 0 ) sen(k`) = 0 @x ) k = n` ) ` = n 2 ; (onde n = 1; 2; 3; : : :) : CAPITULO 2. ONDAS SONORAS 33 Figura 2.5: Modos normais de uma coluna de ar. (b) extremidade fechada u(`; t) = 0 ) cos(k`) = 0 ) k = (2m2` 1) ) ` = (2m 4 1) ; (onde m = 1; 2; 3; : : :) : Na g. 2.5, vemos representadas as ondas de deslocamento u para os primeiros modos de uma coluna de ar vibrante aberta em ambas extremidades e fechada numa das extremidades. No primeiro caso, todos os harm^onicos do tom fundamental est~ao presentes, enquanto que, no segundo, apenas os harm^onicos mpares do tom fundamental aparecem. Podemos obter os mesmos resultados atraves de uma analise qualitativa. Os modos normais correspondem a resson^ancias da coluna de ar vibrante. Portanto, para as frequ^encias correspondentes, devemos ter amplitudes maximas. Isso ocorrera quando as ondas que se propagam ao longo do tubo interferirem construtivamente, apos multiplas re ex~oes. Para duas extremidades iguais (ambas abertas), a condic~ao de interfer^encia construtiva equivale a diferencas de percurso (duas vezes o comprimento do tubo) iguais a um comprimento de onda. Caso as extremidades sejam diferentes, ha uma fase  extra numa das re ex~oes. Portanto, a diferenca de percurso deve equivaler a apenas meio comprimento de onda. De forma mais geral, o ar contido numa cavidade de forma qualquer possuira uma serie de frequ^encias de resson^ancia associadas aos seus modos normais de vibrac~ao, constituindo uma cavidade acustica ressonante. O \barulho do mar" que se ouve ao colocar perto do ouvido uma concha marinha nada mais e do que a excitaca~o dos modos ressonantes da cavidade por pequenas correntes de ar. O som que se origina de instrumentos musicais de corda tem grande in u^encia da \caixa de som", geralmente constituda de madeira e que tem como objetivo reforcar uniformemente todas as notas. Os modos normais de vibrac~ao de membranas e placas n~ao s~ao harm^onicos do tom fundamental e s~ao utilizados em instrumentos musicais de percuss~ao para marcar ritmo. 34 CAPITULO 2. ONDAS SONORAS Para frequ^encias abaixo de 20 Hz, temos os chamados infrassons, e acima de 20 kHz est~ao os ultrassons, as ondas correspondentes t^em a mesma natureza das sonoras, apenas n~ao s~ao audveis. Ondas ultrass^onicas, devido sua propagaca~o retilnea, permitem a localizac~ao de objetos submersos atraves da deteca~o do eco por um metodo similar ao radar, denominado sonar. Os morcegos utilizam uma especie de sonar para sua orientac~ao. ? Demo : vendo o som numa bolha de sab~ao 2.10 Efeito Doppler ? Demo : apito em movimento Ate agora, analisamos apenas situaco~es em que tanto a fonte quanto o observador encontram-se em repouso em relac~ao ao meio em que se propagam as ondas. Lembremos que a velocidade de propagac~ao das ondas que estamos tratando e de nida com relac~ao ao referencial de repouso desse meio. O apito de um trem soa mais agudo quando esta se aproximando de nos e mais grave quando esta se afastando. Esta e uma manifestac~ao do efeito Doppler. No tratamento apresentado a seguir, vamos distinguir o caso em que o observador esta em movimento e a fonte sonora parada e o caso em que a fonte sonora esta em movimento, com o observador em repouso. Trataremos inicialmente de velocidades subs^onica (inferiores a velocidade do som). ? Demo : 2.10.1 Doppler em cuba de agua + applets Fonte em repouso Seja u a magnitude da velocidade do receptor (R), de modo que u > 0. Consideraremos a fonte sonora (F ) como puntiforme, em repouso na atmosfera (referencial S ) e emitindo um som de frequ^encia  = 1= = v= , onde  e o perodo e  o comprimento de onda correspondente. Podemos analisar o problema no referencial de repouso da atmosfera, S , e no referencial de repouso do receptor, S (ver g. 2.6). As coordenadas em S e S se relacionam de acordo com uma Transformac~ao de Galileu: 8