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Resolução de “Curso Básico de Física” de H. Moysés Nussenzveig Capítulo 09 - Vol. 2 Engenharia Física 09 – Universidade Federal de São Carlos 11/9/2009
*Conseguimos algumas resoluções pela internet, outras foram feitas por nós.
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Capítulo - 9
1 - O tubo de vidro de um barômetro de mercúrio tem secção reta de 1 cm ² e 90 cm de altura acima da superfície livre do reservatório de mercúrio. Num dia em que a temperatura ambiente é de 20°C e a pressão atmosférica verdadeira é de 750 mm/Hg, a altura da coluna barométrica é de 735 mm. Calcule a quantidade de ar (em moles) aprisionada no espaço acima da coluna de mercúrio.
H h
a = 1 cm² = 10-4 m2 Po = 750 mmHg = 99967,10 Pa 13,6.10 / Temos que as pressões:
. . . . . . . . . . . 0,9 0,735 . 10'( !99967,10 13,6.10 . 9,81.0,735&. + 1,3.10', -. 8,314. 20 273 . . . . . .
2 – Dois recipientes fechados de mesma capacidade, igual a 1 l, estão ligados um ao outro por um tubo capilar de volume desprezível. Os recipientes contêm oxigênio, inicialmente à temperatura de 25°C e pressão de 1 atm. a) Quantas gramas de O2 estão contidas nos recipientes? b) Aquece-se um dos recipientes até a temperatura de 100°C, mantendo o outro a 25°C. Qual é o novo valor da pressão? c) Quantas gramas de O2 passam de um lado para o outro? Despreze a condução de calor através do capilar. a) Pela relação dos gases ideais: . . 32.10' . 1.013.10, . 2.10' . . . . . . 8,314.298 + 2,62 b) Pela relação dos gases: . . . . . . . . / 0 / / 1 1 2 2 / . 1 2 1 2 / / 2.1,013.10, 373.298 1 2 + 1,12.10, 1,11 3 298 373 298 2
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Capítulo - 9
c) Pela relação obtida no item a: . . 32.10' . 1.12.10, . 2.10' ` ` 1,16 . 8,314.298 Portanto, a variação é: ∆ ` 1,16 2,62 + ∆ 0,15 6
* O sinal negativo do ∆m indica que houve perda de massa.
3 - Um recipiente de paredes adiabáticas é munido de um pistão adiabático móvel, de massa desprezível e 200 cm² de área, sobre o qual está colocado um peso de 10 kg. A pressão externa é de 1 atm. O recipiente contém 3 l de gás hélio, para o qual CV = (3/2)R, à temperatura de 20°C. a) Qual é a densidade inicial do gás? Faz-se funcionar um aquecedor elétrico interno ao recipiente, que eleva a temperatura do gás, gradualmente até 70°C. b) Qual é o volume final ocupado pelo gás? c) Qual é o trabalho realizado pelo gás? d) Qual é a variação de energia interna do gás? e) Quanto calor é fornecido ao gás? Dados: A = 200 cm² = 2 x 10-2 m² ; m = 10 kg ; MHe = 4 g/mol ; CV = (3/2)R ∴ CP = (5/2)R V1 = 3 l = 3 x 10-3 m³ P0 = 1 atm = 1,013 x 105 N/m² T1 = 20°C =293 K a)
P1 = P0 +
F m.g 10 x 9,8 = P0 + = 1,013 x 105 + ⇒ P1 = 1,062 x 105 N/m² -2 A A 2 x 10
P1.V1 = 0,13 mols R.T1 m n.M He ρ= = ⇒ V V n=
ρ = 0,174 kg/m³
b) T2 = 70°C = 343 K ; P1 = P2 V1 V2 = ⇒ V2 = 3,51 l T1 T2 c)
W1→2 = ∫ P.dV = P ∫ dV ⇒W1→2 = P.(V1-V2) W1→2 = 1,062.105.(3,51-3).10-3 V2
V2
V1
V1
+ W1→2 =54,34 J
d)
∆U = n.CV.∆T = P.V.(R.T)-1.CV.∆T = 1,062.105.3.10-3.(293)-1.(3/2) .50 + ∆U = 81,51 J
e)
∆U = ∆Q – W ⇒ ∆Q = 136 J
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Capítulo - 9
4 – Um mol de um gás ideal, com γ = 7/5, está contido num recipiente, inicialmente a 1 atm e 27°C. O gás é, sucessivamente: (i) comprimido isobaricamente até ¾ do volume inicial V0; (ii) aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial; (iii) expandido a pressão constante até voltar ao volume inicial; (iv) resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. a) Desenhe o diagrama P-V associado. b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás. c) Calcule o calor total fornecido ao gás nas etapas (i) e (ii). d) Calcule as temperaturas máxima e mínima atingidas. e) Calcule a variação de energia interna no processo (i) + (ii). γ = 7/5
n = 1 mol P1 = 1 atm T1 = 27°C = 300 K V2 = (3/4)V1
∴ CP = (7/2)R ;
CV = (5/2)R
a) AB:
P1.V1 = n.R.T1
⇒
V1 (3 4 )V1 ⇒ = T1 T2
T2 = 225 K
P1 P2 = T2 T1
P2 = 1,33 atm = (4/3) atm = 1,35 x 105 N/m²
V1 = 24,6 l
BC:
b)
c)
⇒
W = WAB + WBC + WCD + WDA mas V 3 3 W = P1 − 1V1 + P2 1 − V1 = 1 (− P1 + P2 ) 4 4 4 W = 207,67 J ≅ 208 J
WBC = WDA = 0
1 1 W(i) = WAB = P1 . − .V1 = 1,013.10 5. − .24,6.10 −3 = - 623,5 J 4 4 5 ∆U(i) = n.CV.(T2 – T1) = 1. .8,314.(225,1125 − 300,15) = - 1559,655 J 2 ∆Q(i) = ∆U + W ⇒ ∆Q(i) = - 2183,156 J W(ii) = WBC = 0
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∆U(ii) = n.CV.(T1 – T2) = + 1559,655 J ∆Q(ii) = + 1559,655 J ∆QT = - 2183,156 + 1559,655 = - 623,50 d)
e)
⇒
P2 .V1 1,33 x 2406 = = 399 K ⇒ n.R 1 x 0,082 P .V 1,013 x 2406 x 3 = 224,98 K = 1 2 = n.R 4 x 8,314
∆QT = - 624 J
Tmáx =
Tmáx = 400 K
Tmin
⇒
∆U ( i ) = −107,875 J ∆U (ii) = +107,875 J
Tmin = 225 K
∆U ( i ) + ∆U (ii ) = 0
5 – Um mol de um gás ideal, contido num recipiente munido de um pistão móvel, inicialmente a 20°C, se expande isotermicamente até que seu volume aumenta de 50%. a seguir, é contraído, mantendo a pressão constante até voltar ao volume inicial. Finalmente, é aquecido, a volume constante, até voltar à temperatura inicial. a) Desenhe o diagrama P-V associado. b) Calcule o trabalho total realizado pelo gás neste processo. a) Em AB:
. . . .
3 2 . 2 3
3 2 3 7 . . . ln =2 > 1 2 3 2
b) Temos que o trabalho é dado por:
7 789 79:
3 2 3 . . . ln =2 > 11 2 3 2
3 1 3 1 . . . ln =2 > . . 1 2 8,314.293,15 1ln 1 2 2 3 2 3 + 7 176 ?
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6 – 0,1 mol de um gás ideal, com CV = (3/2)R, descreve o ciclo representado na fig. no planto (P, T). a) Represente o ciclo no plano (P, T), indicando P (em atm) e V (em l) associados aos pontos A, B e C. b) Calcule ∆W, ∆Q e ∆U para os processos AB, BC, CA e o ciclo.
a) P (atm)
A
C B
V(l) b) Processo AB: W = n.R.T.ln(VB/VA) = 0,1 . 8,31 . 300 . ln (2,46/1,23) = 173 J Q = W = 173J ∆U = 0 (não há variação de temperatura) Processo BC: (Volume Constante) W = 0 (Não realiza Trabalho) Q = nCv∆T = 0,1x12,5x300 = 375J ∆U = nCv∆T -W = 375J Processo CA: (Pressão Constante) W = nR∆T = 0,1x8,31x300 = - 249J (O trabalho será negativo pois o volume diminui) Q = 0,1x(2,5)x(8,31)x300 = -623J ∆U = 623 – 249 = -374J 7 – 1 g de gás hélio, com CV = (3/2)R, inicialmente nas condições NTP, é submetida aos seguintes processos: (i) Expansão isotérmica até o dobro do volume inicial; (ii) Aquecimento a volume constante, absorvendo 50 cal; (iii) Compressão isotérmica, até voltar ao volume inicial. a) Represente os processos no plano (P, V), indicando P (em atm), V (em l) e T (em K) associado a cada ponto. b) Calcule ∆U e ∆W para os processos (i), (ii) e (iii).
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AB: p1V1 = p2V2 1V0 = p2 x 2V0 P2 = 0,5 atm Processo AB: ∆U = 0 (não há variação de temperatura) W = Q = n.Cv.∆T = 393 J Processo BC: (Volume constante) ∆W = 0 ∆U = Q = nCv∆t = 209 J Processo CD: (transformação isotérmica) ∆U = 0 W = Q = n.Cv.∆T = -490 J
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8 – Um mol de um gás ideal descreve o ciclo ABCDA representado na fig., no plano (P, V), onde T = T1 e T = T2 são isotermas. Calcule o trabalho total associado ao ciclo, em função de P0, T1 e T2.
Em A:
. / . / /
Em B:
. 0 . 0 0
. /
. 0
/ 7 789 79: 7@8 0 / . . . ln 1 2 . . . ln 1 2 0 . . / + 7 0 / . . . ln 1 2 . . . ln 1 2 . 0 .
Logo, o trabalho total é:
9 - Um mol de gás hélio, com CV = (3/2)R, inicialmente a 10 atm e 0°C, sofre uma expansão adiabática reversível até atingir a pressão atmosférica, como primeiro estágio num processo de liquefação do gás. a) Calcule a temperatura final (em °C). b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão. a) O hélio é um gás monoátomo se Cv = 3/2R então Cp = 5/2R
γ =
Cp = 5/3 Cv
Dados: Estado inicial Pi = 10 atm Vi = ? Ti = 0ºC = 273 K
Estado Final Pf = 1 atm Vf = ? Tf = ?
n =11 (nº de mols)
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R = 8,3145 J/mol K γ
PiVi = Pf V f
γ
PiVi = nRTi Pf V f = nRT f γ
Vi V f
P = f P i
Pi P f
Vi V f
(A)
Ti = T f
Elevando – se ambos os lados desta expressão pelo expoente γ, temos:
Pi P f
Pi P f
Pi P f
γ
γ
γ
Vi V f
= Ti T f
Pf Pi
Ti = Tf
γ −1
T = i T f
P T f = Ti i P f
γ −1
γ
Substituindo A na expressão temos:
γ
γ
χ
Substituindo os dados temos:
10 Tf = 273 1
5 / 3−1
5/3
Tf = 108,7 K = -164,3 ºC
b) O trabalho numa expansão adiabática entre os estados (i) e (f) é: Wi – f = -nCv (Tf - Ti) Wi – f = 2045J
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10 – 1 l de H2 (para o qual γ = 7/5), à pressão de 1 atm e temperatura de 27°C, é comprimido adiabaticamente até o volume de 0,5 l e depois resfriado, a volume constante, até voltar à pressão inicial. Finalmente, por expansão isobárica, volta à situação inicial. a) Represente o processo no plano (P, V), indicando P (atm), V (l) e T(K) para cada vértice do diagrama. b) Calcule o trabalho total realizado. c) Calcule ∆U e ∆Q para cada etapa. V1 = 1 l ; V2 = 0,5 l ; M H 2 = 2 g/mol ; TA = 27°C = 300 K ; P1 = 1 atm
5 C V = 2 R 7 CP = R 2
7 γ= 5
a) AB: P1.V1γ = P2 .V2γ
⇒
V2 = 2,64 atm = 2,64 x (1,013 x 105) N/m²
T1.V1γ −1 = T2 .V2γ −1
⇒
TB = 395,85 K ≅ 396 K
P2 P1 = TB TC
⇒
TC = 149,9 K ≅ 150 K
BC:
b)
W A→ B = −
(P2 .V2 − P1 .V1 ) = − (2,64.1,03.10 5.0,5.10 −3 − 1,013.10 5.1.10 −3 ) γ −1
7 / 5 −1
WA→B = - 81,04 J WB→C = 0 WC→A = P1(V1 – V2) =1,013.10 5.(1 − 0,5).10 −3 ⇒ WC→A = 50,65 J WT = -30,3 J
c)
P1.V1 ⇒ n = 0,041 mol H2 R.TA ∆UAB = - WA→B (QAB = 0) ⇒ ∆UBC = n.CV.(TC – TB) ⇒ ∆QCA = n.CP.(TA - TC) ⇒ ∆UCA = ∆QCA - WC→A ⇒ n=
∆UAB = + 81 J ∆UBC = ∆QBC = -207,5 J ∆QCA = 177,3 J ∆UCA = 126,6 J
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11 - Um mol de um gás ideal, com CV = (3/2)R, a 17°C, tem sua pressão reduzida à metade por um dos quatro processos seguintes: (i) a volume constante; (ii) isotermicamente; (iii) adiabaticamente; (iv) por expansão livre. Para um volume inicial Vi, calcule, para cada um dos quatro processos, o volume e a temperatura finais, ∆W e ∆U. n = 1 mol ; Pi = 2.Pf ; T1 = 17°C = 290 K. 5 C = R P 3 2 CV = R 5 2 γ= 3 (i): Volume constante. 2Pf Pf = Vf = Vi ⇒ T2 = 145 K T1 T2 ∆W = 0 ∆U = n.CV.(T2 – T1) ⇒ ∆U = -1808,3 J (ii): Temperatura constante. 2.Pf.Vi = Pf.Vf ∆U = 0
⇒ Vf = 2.Vi
2.Vi ∆W = n.R.T. ln Vi (iii): Adiabático.
⇒
∆W = 1671 J
(2.Pf ).Viγ = Pf .Vfγ
⇒
Vf = 1,52 Vi
T1.Viγ −1
⇒
T2 = 219,4 K
=
T2 .Vfγ −1
∆Q = 0 ∆U = - ∆W ⇒ n.CV.∆T ∆W = + 885 J
⇒
∆U = - 885 J
(iv): Expansão livre. 2.Pf.Vi = Pf.Vf T2 = T1 ∆Q = 0 ∆U = 0 ∆W = 0
⇒ Vf = 2.Vi
12 - No método de Rüchhardt para medir γ = Cp / Cv do ar, usa-se um grande frasco com um gargalo cilíndrico estreito de raio a, aberto para a atmosfera (p0 = pressão atmosférica), no qual se ajusta uma bolinha metálica de raio a e massa m. Na posição de equilíbrio O da bolinha, o volume de ar abaixo dela no frasco é V (fig.). a) Calcule a força restaurador a sobre a bolinha quando ela é empurrada de uma distância x para baixo a partir do equilíbrio, o movimento sendo suficientemente rápido para que o processo seja adiabático. Mostre que a bolinha executa um movimento harmônico simples e calcule o período τ em função de a, m, V, p0 e γ.
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b) Numa experiência em que a = 0,5 cm, m = 10 g, V = 5 l, p0 = 1 atm, o período observado é τ = 1,5 s. Determine o valor correspondente de γ para o ar.
13 - Um mol de um gás ideal, partindo das condições NTP, sofre: (i) uma compressão isotérmica até um volume de 5 l, seguida de (ii) uma expansão adiabática até retornar ao volume inicial, atingindo uma pressão final de 0,55 atm. a) Calcule P ao fim da etapa (i) e T ao fim de (ii). b) Calcule Cp e Cv para este gás. c) Calcule a variação total de energia interna. d) Calcule o trabalho total realizado. Na CNTP, temos: Vo=22,4L; Po=1atm; To=273K a) Analisando i: T=To; V=5L
. .
Analisando ii: V`=22,4L; P`=0,55 atm; W= - ∆U
1 A 22,4 + 4,48 3 5
4,48 B log I J logFG`H ` 7 0,55 . B `. ` B 1 2 C C +C 22,4 ` 5 log I`G J log I J 5 Logo:
B'/ B
`
B'/ ` B
` . 1 2 `
B'/ B
`
K '/ , 0,55 K 273. 1 2 ,
4,48
+ L 150M
5 RS + RS 7G 1 C1 2 U 5 PRT 5 7 7 O C RT RS . C RT . + RT 2 5 2 NRS
b) Pela relação temos: Q O
RS
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c) ∆V . RS . ∆ ∆V 1. . 8,314. 150 273 + ∆V 2557? , 0
d) Trabalho total é igual à soma dos trabalhos de i e ii. Logo: Z 1 7W ∆V . . . X . Y 7W ∆V . . . ln 1 2 Z[ 5 7W 2557 1.8,314.273. ln 1 2 + 7W 847? 22,4
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