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MOMENTO ANGULAR EM MECA^ NICA QUA^ NTICA Consideremos uma partcula em 3 dimens~oes, sendo q1; q2; q3 os operadores de posic~ao e p1 ; p2; p3 os operadores de momento: [pk ; q`] = h k` ; i
k; ` = 1; 2; 3 :
(1)
O vetor de momento angular, classicamente de nido por L~ = ~q p~ tem como componentes
L3 = q1 p2 q2 p1 ; L2 = q3 p1 q1 p3 ; L1 = q2 p3 q3 p2 :
(2)
(Note que n~ao ha nenhuma ambiguidade com relac~ao a ordem dos diversos fatores pois so aparecem termos da forma qk p` com k 6= `). Os operadores L1; L2 e L3 satisfazem as relac~oes de comutac~ao: h 1 i h i h i (3) L~ ; L2 = ih L3 ; L~ 2; L3 = ih L1 ; L~ 3; L1 = ih L2 como consequ^encia de (1). E interessante novamente comparar com os colchetes de Poisson na Mec^anica Classica: o o n n n~ 1 o (4) L ; L2 = L3 ; L~ 2; L3 = L1 ; L~ 3; L1 = L2 que s~ao consequ^encias de fqk ; p` g = 1 . As relac~oes de comutac~ao entre os Li's i = 1; 2; 3 tem consequ^encias notaveis para as propriedades do momento angular em Mec^anica Qu^antica, que passamos a analisar. Notemos inicialmente que os operadores L1; L2 e L3 s~ao hermiteanos (por que?) e portanto s~ao observaveis. Introduzimos agora o operador
L~ 2 = L21 + L22 + L23 ; 1
(5)
o modulo ao quadrado do vetor (operador) L~ ! O operador L~ 2 tambem e hermiteano (por que?) e comuta com todos os L j , j = 1; 2; 3: h~ 2 i h i h i (6) L ; L1 = L~ 2; L2 = L~ 2; L3 = 0 ; n o o que ja se sugeria pelo colchete de Poisson L~ 2 ; Lj = 0 ; j = 1; 2; 3 . Observac~ao Importante
As relac~oes de comutac~ao (3) e (6) ja foram encontradas por nos no contexto dos sistemas de 2 nveis. De fato de nindo: S1 = h 1 , S2 = h 2 , S3 = h 3 , onde 2 2 2 1 ; 2 e 3 s~ao as matrizes de Pauli, temos [S1; S2] = ih S3 e permutac~oes cclicas. O operador S~ = h2 ~ , satisfaz
2 2 h i ~S 2 = h 12 + 22 + 32 = 3h = h 2 1 1 + 1 4 4 2 2 (lembre-se que j2 = 1 ; j = 1; 2; 3).
Consideremos agora o problema da determinac~ao e propriedades dos autovalores e autovetores de L~ 2 . Se ' e um autovetor, com autovalor :
L~ 2 ' = '
(7)
ent~ao L1 ' ; L2 ' e L3 ' tambem s~ao autovetores de L~ 2 com o mesmo autovalor ! Isto e consequ^encia da relac~ao de comutac~ao (6):
L~ 2 (Lj ') = Lj L~ 2 ' = (Lj ')
j = 1; 2; 3 :
(8)
A relac~ao (8) implica na degeneresc^encia de , se 6= 0 . De fato se for n~ao degenerado ent~ao, de (8) concluimos que
Lj ' = j '
; 2
j = 1; 2; 3
onde 1 ; 2 ; 3 s~ao numeros (reais!) i.e. ' e autovetor simult^aneo de L1; L2 e L3 . Isto implica em 1 = 2 = 3 = 0 ! (Por que?) Portanto L~ 2 ' = L21 ' + L22 ' + L23 ' = 21 + 22 + 23 ' = 0 i.e. = 0 . Determinemos agora a dimens~ao do subespaco: o n H = ' : L~ 2 ' = ' :
(9)
A relac~ao (8) tem como consequ^encia, se ' 2 H ent~ao L1 ' ; L2 ' e L3 ' tambem est~ao em H . Podemos portanto considerar o problema de achar os autovetores de L3 em H , i.e. procuramos vetores ';m satisfazendo
L~ 2 ';m = ';m
(10a)
L3 ';m = h m ';m
(10b)
ou seja ';m e um autovetor simultaneamente de L~ 2 e L3 , com autovalor e h m respectivamente. Vamos introduzir agora os operadores
L+ = L1 + i L2
(11a)
L = L1
(11b)
i L2
que desempenhar~ao com relac~ao ao operador L3 o mesmo papel dos operadores a e a com relac~ao ao operador N = aa como discutido no oscilador harm^onico. Isso se v^e atraves das relac~oes de comutac~ao: [L3; L+ ] = h L+
(12a)
[L3; L ] =
(12b)
(Compare com [N; a] = a; [N; a] = a). 3
h L
Como consequ^encia de (12) temos
L3 (L+ ';m) = h (m + 1) (L+ ';m)
(13a)
L3 (L ';m) = h (m 1) (L ';m)
(13b)
de onde concluimos que se L+ ';m 6= 0 ent~ao ele continua autovetor de L~ 2 com autovalor , e continua tambem autovetor de L3 mas com autovalor h (m + 1)! Analogamente, se L ';m 6= 0 ent~ao e autovetor de L~ 2 com autovalor e de L3 com autovalor h (m 1)! Os operadores L satisfazem tambem
L+ L = L21 + L22 + h L3 = L~ 2 L23 + h L3 L L+ = L21 + L22 h L3 = L~ 2 L23 h L3
(14)
Note que os operadores L+ e L n~ao s~ao hermiteanos
hL+ j i = h jL i ; Restri c~ oes a
e
i.e. (L+ ) = L
:
am
a) Tomemos ';m normalizado, h';mj';mi = 1 ent~ao
E D = ';mjL~ 2 ';m = hL1 ';mjL1 ';mi + + hL2 ';mjL2 ';mi + hL3 ';mjL3 ';mi : Portanto, 0 (como soma de 3 numeros n~ao negativos). b) Das relac~oes (14) seguem: 0 hL ';mjL ';mi = h 2m2 + h 2m
(15a)
e 0 hL+ ';mjL+ ';mi = h 2m2 h 2m 4
(15b)
Como 0 podemos escrever
= h 2`(` + 1)
(16)
com ` 0 univocamente determinado. De (15a) e (15b) tiramos ent~ao:
h 2 [`(` + 1) m(m 1)] 0
(17a)
h 2 [`(` + 1) m(m + 1)] 0
(17b)
As relac~oes (17a) e (17b) s~ao equivalentes a
jmj `
(18)
Passaremos a indexar ';m por ` e m , i.e. '`;m com
L~ 2 '`;m = h 2`(` + 1) '`;m L~ 3 '`;m = h m '`;m
(19) (20)
com as restric~oes ` 0 , jmj ` . Incidentalmente, tomando h'`;mj'`;mi = 1 as formulas (15a) e (15b) fornecem
hL+ '`;mjL+ '`;m i = h 2 [`(` + 1) m(m + 1)] hL '`;mjL '`;m i = h 2 [`(` + 1) m(m 1)]
(21a) (21b)
Em particular L+ '`;m = 0 se e somente se m = ` ; e L '`;m = 0 se e somente se m = ` . Portanto
L+ '`;m = h [`(` + 1) m(m + 1)]1=2 '`;m+1
se m < `
(22a)
L '`;m = h [`(` + 1) m(m 1)]1=2 '`;m
se m > `
(22b)
L+ '`;` = 0
e 5
L '`;
1
`
= 0
(23)
Portanto considerac~oes analogas as que levaram a determinac~ao dos autovalores de N = aa nos levam, para evitar a violac~ao de (18) por aplicac~ao sucessiva de L+ que os autovalores de L3 devem ser h `; h (` 1); h (` 2); : : : . Analogamente para evitar a violac~ao de (18) por aplicac~ao sucessiva de L os mesmos autovalores dever~ao ser: h `; h ( ` + 1); h ( ` + 2); : : : . Portanto a unica possibilidade e ` ser inteiro ou semi-inteiro e m = `; ` + 1; ; ` 1; ` . Basta portanto conhecer o vetor '`;` , caracterizado por
para construir '`;`
L~ 2 '`;` = h 2`(` + 1) '`;`
(24a)
L+ '`;` = 0
(24b)
atraves de
1
'`;`
1
=
'`;`
2
=
1
h [`(` + 1) `(` 1)]1=2
'`;`
1 L '`;` h [`(` + 1) `(` 1)(` 2)]1=2
etc..
6
(25a) 1
(25b)
As autofunc~oes do momento angular | Harm^onicos esfericos
1) Para a construc~ao das autofunc~oes do momento angular comecaremos por expressar os operadores L1; L2 e L3 em coordenadas esfericas. Dada uma func~ao g(x; y; z) ela se expressa em coordenadas esfericas atraves de
f (r; ; ') = g(r sen cos '; r sen sen '; r cos ) A regra da derivac~ao em cadeia nos da:
@f = x @g @' @y
e
@g y @x
@f = cotg x @g + y @g @ @x @y
!
(1)
@g tan z @z
(2)
Ora
L+
@ = L1 + i L = hi y @z 2
@ + iz @ z @y @x
@ i x @z
@ + h z @ + i @ = hc (y ix) @z @x @y =
@ h (x + iy) @z
!
!
@ +i @ h z @x @x2
!
Ora
z = r cos = ei' cotg (x iy) = e e portanto
L+ = =
h ei'
"
@ +i @ cotg (x iy) @x @y
h ei' cotg + h ei' i
@ +y @ x @x @y
!
@ h ei' tg z @z
@ h ei' tan z @z
! @ @ x @y + y @x cotg 7
!#
i' cotg (x + iy )
Comparando (1) e (2) vemos
L+ =
h ei'
@ + i cotg @ @ @'
Analogamente ou diretamente de (L+ ) = L
L = h e
i'
!
(3)
obtemos
@ + i cotg @ @ @'
!
(4)
De (1) tiramos tambem
@ L3 = hi @'
(5)
2) Chamando de Y`;m(; ') as autofunc~oes de L~ 2 e L3 :
L~ 2 Y`;m = h 2`(` + 1) Y`;m
(5a)
L3 Y`;m = h m Y`;m
(5b)
podemos determina-las atraves das equac~oes diferenciais correspondentes. A depend^encia na variavel ' pode ser facilmente obtida a partir de (5b):
h @ Y`;m = h m Y `;m i @'
(6)
Y`;m (; ') = g`;m () eim'
(7)
de onde conclumos que onde g`;m e uma func~ao de que poderia ser determinada a partir de (5a). Uma consequ^encia importante de (7) e do fato de que Y`;m (theta; ' + 2) = Y`;m (; ') (i.e. da periodicidade na variavel angular 'i note x = r cos ' sen e y = r sen ' sen s~ao func~oes periodicas de '!) e que
eim2 = 1
i:e: 8
m inteiro!
Note que as relac~oes de comutac~ao entre os Lj 's impunha que ` 0 , jmj ` fossem numeros em inteiros ou semi-inteiros. Essa ultima possibilidade esta assim excluda para os Y`;m ! Em lugar de resolver (5a) para determinar Y`;m , usaremos os fatos:
L+ Y`;` = 0
(8)
L Y`;m = h [`(` + 1) m(m 1)]1=2 Y`;m onde supomos
hY`;m jY`;m i = mm 0
1
(9) (10)
0
Como Y`;m e uma func~ao apenas das variaveis e ' (n~ao depende de r !) a condic~ao de normalizac~ao (10) deve ser entendida. Z (; ') Y (; ') d = (100 ) Y`;m `;m mm 0
0
com d sen d d' , 0 , 0 ' 2 . Substituindo (7) em (8) obtemos (usando (3))
g``0 () ` cotg g`` () = 0
(11)
(A equac~ao (8) e analoga a equac~ao a'0 = 0 usado para a determinac~ao do estado fundamental do oscilador harm^onico. La como ca, transforma-se por considerac~oes algebricas, i.e. que envolvem apenas as relac~oes de comutac~ao, uma equac~ao de segunda ordem numa equac~ao simples de primeira ordem. A equac~ao ph '00(x) + 2m rm 2 !'0(x) = 0 la, equivale a equac~ao (11) aqui!) A equac~ao (11) pode ser resolvida imediatamente:
g`` () = C`(sen )`
(12)
onde a constante C` e determinada a menos de um fator de fase pela condic~ao de normalizac~ao (100). Nossa escolha de fase junto com a condic~ao de normalizac~ao nos da: 9
Y`;m (; ') = (
1)m
"
2` + 1 (` m)! 4 (` + m)!
com
P`m (u)
= (
1)`+m
(` + m)! (1 u2) (` m)! 2` `!
#1=2
m=2
(Para m < ` determina-se Y`;m aplicando-se (L )`
10
P`m (cos ) eim' d du
m
!`
m
` 1 u2
e usando-se (9)!).
(13)
(14)
^ NIVEIS DE ENERGIA DO ATOMO DE HIDROGENIO
Soluc~ao algebrica (W. Pauli, 38, 330 (1968))
36, 336
Z. Phys.
(1926); M. Bander and C. Itzykson,
Rev. Mod. Phys.
2 ~2 H = P2 Zer i h Campo Central ) [H; Li] = H; L~ 2 = 0
O vetor de Lenz
~ A~ = P L~
i = 1; 2; 3
Ze2 ~rr
(1)
(2)
~ H g = 0 . (Veri que!) classicamente e uma grandeza conservada: fA; Quanticamente o operador A~ n~ao e hermiteano (por que?) mas o operador
h i M~ = 21 A~ A~ = 21 P~ L~ L~ P~
Ze2 ~rr
(3)
e hermiteano e satisfaz: [H; Mi] = 0
(4)
! 2 h [Mj ; Mk ] = i "jk` L` H
(5)
[Lj ; Mk ] = i h "jk` M`
(6)
L~ M~ = M~ L~ = 0
(7)
M2 k
2
! 2 H L2 + h 2
=
k = Ze2
11
(8)
Consideremos o subespaco
f' : H' = E'g = HE associado ao autovalor E < 0 de H . Nesse subespaco o operador
fi = M e tal que os operadores e
1=2 Mi 2E
(9)
~ f~ J~1 = L +2 M
(10)
~ f~ J~2 = L 2 M
(11)
satisfazem relac~oes de momento angular e comutam entre si: [J1j ; J2k ] = 0 [J1j ; J1k ] = i h "jk` J` [J2j ; J2k ] = i h "jk` J2` Portanto os autovalores de J~12 s~ao h 2j1(j1 + 1) , j1 0 semi-inteiro ou inteiro e os autovalores de J~22 s~ao h 2j2(j2 + 1) com j2 0 , semi-inteiro ! ou inteiro. 2! 2 f~ =4 = f~ =4 = L~ + M f~ = L~ M f~ = 0 e portanto J~2 = L~ M Devido a (7) L~ M 1 J~22 ou seja j1 = j2 = j (12) Da equac~ao (8) segue em HE que 2E M f~ 2 + L~ 2 + h 2 Porem 12
!
=
k2
(13)
f~ 2 + L~ 2 + h 2 = 4 J~2 + h 2 M (pois M~ L~ = 0) 1 = 4 J~22 + h 2 = h 2 (4j (j + 1) + 1) Portanto
E =
Ze2 h
!
1 1 2 (2j + 1)2
onde 2j + 1 que e um inteiro 0 e o numero qu^antico principal!!
13
Exercicios
1. Veri que as relac~oes de comutac~ao [L1; L2] = i h L3 ; etc. h~ 2 i h i h i L ; L1 = L~ 2; L2 = L~ 2; L3 = 0 h~ i h i L3; L = h L ; L~ + ; L = : : : ; etc. 2. Considere as matrizes de Pauli 1; 2; 3 e os operadores S1 = h2 1 ; S2 = h2 2 ; S3 = h2 3 . Mostre que S1; S2 e S3 satisfazem as relac~oes de comutac~ao de momento angular. Se S~ 2 S12 + S22 + S32 = h 2s(s + 1) , qual e o valor de s . Determine S+ ; S e os autovetores de S3 e a ac~ao de S nesses autovetores. 3. Considere as matrizes 3 3 : 0 1 1 0 0 B CC B B L3 = h B CC 0 0 0C B @ A 0 0 1
;
0 1 0 1 0 BB CC B C L+ = h B B@ 0 0 1 CCA 0 0 0
L = (L+) . Se L = L1 iL2 , veri que as relac~oes de comutac~ao de momento angular para L1; L2 e L3 . Determine os autovetores de L3 e a ac~ao de L nesses autovetores. Qual e o valor de ` ? 4. Construa de maneira analoga a dos exerccios 2) e 3) acima, matrizes 5 5 que representem L3; L1; L2; L com suas relac~oes de comutac~ao de momento angular e com L~ 2 = h 2`(` + 1) ; ` = 3 . 2 5. Uma partcula se encontra no estado (x; y; :z) = C (xz + yz + zx) e r2 . Qual a probabilidade de que uma medida do momento angular total d^e o valor zero? Qual a probabilidade de dar o valor 6h2 ? Se o valor encontrado para ` for igual a 2, quais s~ao as probabilidades relativas para m = 2; 1; 0; 1; 2 ? 14
6. Em 4 dimens~oes os operadores de momento angular s~ao:
; j; k = 1; 2; 3; 4 j 6= k
Ljk = qj pk qk pj De nindo e
J~ = (J1; J2; J3) = (L23; L31; L12) K~ = (K1; K2 ; K3) = (L14; L24; L34)
veri que que os operadores
J~+ = J~ + K~
e
J~ = J~ K~
comutam entre si e suas componentes obedecem as relac~oes de momento angular 2 (em 3 dimens~oes!). A partir disso determine os possveis autovalores de J~ J3 2 2 e construa os multipletos de autoestados simult^aneos de J~+ e J~ . 7. Mostre que se um sistema esta em um autoestado de L3 ent~ao o valor medio de L1 e L2 s~ao nulos. 8. Se um sistema esta em um autoestado '`m de L~ 2 e L3 , mostre que a menor incerteza em medidas de L1 e L2 se da para jmj = ` . 9. Veri que as relac~oes de comutac~ao: a) [Lj ; qk ] = i h "jk` q` b) [Lj ; pk ] = i h "jk` p` j; k; ` = 1; 2; 3 h 2i h 2i c) L~ ; p~ = L~ ; ~r = 0 ("jk` = 0 se dois ndices quaisquer forem iguais, "123 = "312 = "231 = 1 ; "132 = "213 = "321 = 1 ; "ijk e um tensor totalmente antisimetrico).
15
Exercicios | Potenciais Centrais
1. Considere o estado fundamental do atomo de Hidrog^enio (r; ; ') = p1 e determine a densidade de probabilidade de o eletron ter momento ~p .
r
e
2. Interpretando j (r; ; ')j2 e como a densidade de carga da nuvem eletr^onica de um eletron no atomo de hidrog^enio, calcule o potencial eletrostatico (r) produzido pelo nucleo e pelo eletron no seu estado fundamental. Discuta a blindagem para r meh22 e o comportamento de (r) quando r ! 0 . 3. Mostre que para um potencial coulombiano
~2 H = P2
k r
o operador de Lenz:
h A~ = 21 P~ L~ satisfaz
h
i H; A~ = 0
i L~ P~
k ~rr
(i.e. A~ e uma constante do movimento!)
(A exist^encia dessa lei de conservac~ao adicional e responsavel pela chamada degeneresc^encia acidental do atomo de hidrog^enio). 4. Discuta a exist^encia de um estado ligado com ` = 0 no potencial \delta de casca":
V (r ) =
(r a)
;
>0; a>0 :
5. Discuta a exist^encia de um estado ligado com ` = 0 no poco nito: 8 > < U ; r < a ; U0; a > 0 V (r ) = > 0 : 0 ; r>a : 16
6. Considere a parte radial Rk`(r) da autofunc~ao de uma partcula livre com energia 2 2 E = h2mk : s ` !` 2
1 d ` Rk` = ( 1) k` r dr senr kr Mostre que para
r!1 e
r!0
s sin kr ` 2 2 Rk` (r) = r s `+1 Rk` (r) = 2 (2`k+ 1)!! r`
!
(2` + 1)!! = 1; 3; 5 : : : (2` + 1) : 7. Calcule a degeneresc^ !encia dos nveis de energia do atomo de hidrog^enio dados por 2 4 Z me . EN = N 2 2h2
17
