Modulo 5 Rezão Proporção E Regar De Três

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64 MÓDULO V Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Trigonometria 65 MÓDULO V RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS SIMPLES E TRIGONOMETRIA Neste módulo vamos revisar alguns conceitos básicos muito importantes para qualquer curso de engenharia e ainda aproveitá-los para aplicar os tópicos vistos nos outros módulos. 1. RAZÃO Dados dois números a e b, o resultado da divisão (ou do quociente) a:b é chamado de razão. É importante colocar que para que a divisão exista, o número b tem que ser diferente de zero. Existem três maneiras de indicar uma razão, vejamos os exemplos abaixo. a) A razão de 3 para 4 pode ser escrita como: 3 : 4 ou 3 ou ainda 0,75 (pois 3 dividido por 4 quatro é igual a 0,75). b) A razão de 5 para 2 pode ser escrita como: 5 : 2 ou 5 ou ainda 2,5 (pois 5 dividido por 2 2 é igual a 2,5). 2. PROPORÇÃO A proporção é outro conceito muito importante. É comum escutarmos expressões do tipo: “ 12 é proporcional a 2 4 ” Aí vem a pergunta, por que 12 é proporcional a 2 4 , o que quer dizer esta afirmação? Isto quer dizer que o resultado da divisão 12 é igual ao resultado da divisão 2 4 , podemos ainda escrever, lembrando do conceito de razão, que a razão 12 é igual a razão 2 4 . Observe: 1 2 0,5 e 2 4 0,5 1 2 , podemos afirmar que as razões 12 e 2 4 são proporcionais, e 2 4 1 2 ainda, que a igualdade forma uma proporção. 2 4 Portanto, como 2.1 Elementos de uma proporção Dados 4 números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto, ou seja: a b c ou a : b d c : d (lê-se: a está para b, assim como c está para d) 66 Os números a, b, c e d são chamados de termos da proporção. Temos ainda que os termos b e c são chamados de meios da proporção e os termos a e d de extremos da proporção. Quando escrevemos a razão da seguinte forma: extremos a:b c:d meios fica bem fácil de identificar os meios e os extremos. Tomemos a seguinte proporção: 1 5 3 ou 1: 5 3 : 15 (lê-se: 1 está para 5, assim como 3 está para 15) 15 Meios: 5 e 3 Extremos: 1 e 15 2.3 Propriedade fundamental das proporções A propriedade fundamental das proporções diz que: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.” Vejamos os exemplos: a) 4 3 24 18 Para a igualdade ser uma proporção, a razão temos que 4 3 1,33 e 24 18 4 24 deve ser igual a razão e de fato 18 3 1,33 . Por outro lado, já que estamos diante de uma proporção, podemos verificar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: Produto dos meios: 3 24 72 Produto dos extremos: 4 18 72 b) 1 3 5 8 A igualdade dada “não” forma uma proporção, pois a razão ou seja, 1 3 0,33 e 5 8 1 5 é diferente da razão , 3 8 0,625 . Por “não” ser uma proporção podemos verificar que o produto dos meios “não” é igual ao produto dos extremos: Produto dos meios: 3 5 15 Produto dos extremos: 1 8 8 67 c) Determinar o valor de x que torne a igualdade x 4 3 uma proporção. 2 Pela propriedade fundamental das proporções podemos escrever: Verificação: 4 3 x 2 6 3 4 2 1,5 1,5 12 2x x 6 Você pode fixar os conceitos vistos fazendo os exercícios indicados a seguir: 1) Verifique se as igualdades dadas formam uma proporção, justificando sua resposta pela definição de proporção. a) 2 3 12 18 b) 3 5 2 7 2) Verifique se as igualdades dadas formam uma proporção, justificando sua resposta usando a propriedade fundamental das proporções. a) 7 2 35 10 b) 5 7 25 30 3) Determine o valor de x, sabendo que as igualdades dadas são proporções: a) 6 9 b) 3 5x x 15 4 20 c) x 3 4 12 6 d) x 5 3 x 1 5 3 e) 7 x f) 0,2 0,7 2 5 x 5 4) Os números 6, 51, 2 e y + 4 formam nessa ordem uma proporção. Calcule o valor de y. 3. REGRA DE TRÊS SIMPLES Trabalhamos anteriormente os conceitos de razão e proporção para podermos relembrar “regra de três simples”. Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores, dos quais conhecemos apenas 3. Devemos portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. A regra de três simples pode envolver grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Procuraremos a seguir, apresentando a resolução de alguns problemas, relembrar a aplicação da regra de três simples. 68 Problema 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Solução: montando uma tabela: Área (m2) 1,2 1,5 Energia (Wh) 400 x Precisamos identificar o tipo de relação entre as variáveis. Observamos que aumentando a área de absorção, por dedução, a energia solar também aumentará. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas (área e energia) são diretamente proporcionais. Assim sendo, podemos montar a seguinte proporção, de acordo com a tabela: 1,2 1,5 400 x Resolvendo a equação, teremos: 1,2x 1,5 400 1,5 400 x 500 1,2 Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. Problema 2: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando uma tabela: Velocidade (Km/h) 400 480 Tempo (h) 3 x Precisamos identificar o tipo de relação entre as variáveis. Observamos que aumentando a velocidade, por dedução, o tempo do percurso diminuirá. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Portanto, a igualdade 400 480 3 montada conforme a tabela, não forma uma proporção, x pois as grandezas: velocidade e tempo não são proporcionais. Para obtermos uma proporção, inverteremos um dos termos da igualdade. Assim teremos: 69 480 400 Invertemos os termos 3 x Resolvendo a equação, teremos: 480 x 400 3 480 x 1200 1200 x 480 x 2,5 Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. Obs.: Afim de justificar melhor a inversão dos termos, verificamos que ao substituir x por 2,5, temos que as razões 3 480 480 e são iguais a 1,2, portanto a igualdade 2,5 400 400 3 forma 2,5 uma proporção! Se não tivéssemos invertido os termos, teríamos proporção, pois 400 480 0,83 e 3 2,5 400 480 3 , que não forma uma 2,5 1,2 . Problema 3: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando uma tabela: Camisetas 3 5 Preço (R$) 120 x Observamos que aumentando o número de camisetas, por dedução, o preço também aumentará. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Como as grandezas são proporcionais, podemos montar a proporção conforme a tabela: 3 5 120 x Resolvendo a equação, teremos: 3x 5 120 5 120 x 200 3 Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 70 Problema 4: uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando uma tabela: Horas por dia 8 5 Prazo para término (dias) 20 x Observamos que diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, por dedução, o prazo para término aumentará. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais, portanto a igualdade 8 5 20 , montada x conforme a tabela, não forma uma proporção. Para obter nossa proporção teremos que inverter um dos membros da igualdade. Apresentaremos a solução de duas maneiras: a) Invertendo o primeiro membro da igualdade. 5 8 20 x Resolvendo a equação teremos: 5 x 8 20 160 x 32 5 b) Invertendo o segundo membro da igualdade. 8 5 x 20 Resolvendo a equação teremos: 5x x 8 20 160 32 5 Logo, a equipe fará o mesmo trabalho em 32 dias. 71 EXERCÍCIOS 5) Uma indústria de refrigerantes fabrica 2 garrafas de limonada para 5 garrafas de guaraná. Numa produção de 2.400 garrafas de limonada, quantas garrafas de guaraná serão engarrafadas? 6) Desejo construir um retângulo de modo que a razão entre a medida da base e a medida da altura seja 5 . Se a base tiver 25 cm, quanto deverá medir a altura? 3 7) Um pedreiro prepara a massa para o reboco da parede na razão de 3 latas de areia para 1 lata de cimento. Com 5 latas de cimento, quantas latas de reboco ele poderá preparar? 8) Em cinco horas, uma máquina produz 120 peças. Quantas peças ela produzirá em 8 horas? 9) Em uma fábrica de automóveis, 8 robôs idênticos fazem certo serviço em 24 horas. Em quanto tempo 6 desses robôs fariam o mesmo serviço? 10) Com certa quantia um comerciante comprou 72 bolas de futebol. Tempos depois, ele gastou a mesma quantia, mas a bola havia dobrado de preço. Calcule mentalmente quantas bolas o comerciante comprou? 11) Numa velocidade média de 80km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? 12) A carga máxima de um elevador é esta: 7 adultos de 80kg cada um. Essa carga máxima é de quantos adolescentes de 56kg cada? 13) Para um carregamento de areia, foram necessárias 30 viagens de caminhões com capacidade de 5 m3 cada um. Se o transporte fosse feito em caminhões de 6 m3 de capacidade, quantas viagens seriam necessárias? 14) Uma máquina impressora possui duas velocidades. Ela pode imprimir 5.000 páginas por hora ou 3.000 páginas por hora, só que na velocidade mais baixa ela imprime melhor. Essa máquina fez certo serviço em 7 horas e meia, na velocidade mais alta. Em quanto tempo ela faria o mesmo serviço, trabalhando na velocidade mais baixa? 72 4. TRIGONOMETRIA Neste tópico procuraremos relembrar noções básicas de trigonometria no triângulo retângulo. A trigonometria é uma palavra composta por 3 radicais gregos: “tri” três “gonos” ângulos “metron” medir Ela tem por objetivo o cálculo das medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. 4. 1. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Primeiramente vamos relembrar como é um triângulo retângulo. Triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo reto, ou seja, um ângulo cuja medida é de 90º No triângulo “retângulo” ABC abaixo, temos: O ângulo O ângulo O ângulo C β b A a α . c B Aˆ mede 90º. Bˆ mede α (alfa). Cˆ mede β (beta). O lado AB mede c. O lado AC mede b. O lado BC mede a. Observações: a) Os lados AC e AB são chamados de catetos do triângulo, pois são os lados que formam o ângulo  de 90º. O lado BC , oposto ao ângulo Â, é chamado de hipotenusa. Ele também é o maior lado do triângulo. b) Tomando o ângulo α, temos o lado AB é o cateto adjacente; o lado CA é o cateto oposto. Tomando o ângulo β, temos o lado CA é o cateto adjacente; o lado AB é o cateto oposto. O maior lado do triângulo, no nosso triângulo o lado BC , sempre será a hipotenusa. A partir dessas definições poderemos relembrar as razões trigonométricas, ou seja, as razões de um triângulo retângulo. 73 4. 2 R A Z Õ E S T R I G O N O M É T R I C A S Como vimos anteriormente uma razão é o resultado de uma divisão. Ao tomarmos um ângulo agudo α (menor que 90º), referenciado a um triângulo retângulo, poderemos definir as razões trigonométricas seno, co-seno e tangente deste ângulo. C α . A B Observando o triângulo ABC acima, temos por definição: cateto opostoà hipotenusa cateto adjacente à co-seno do ângulo agudo α ou simplesmente cos( α) hipotenusa cateto oposto à tangente do ângulo agudo α ou simplesmente tg (α) cateto adjacente à seno do ângulo agudo α ou simplesmente sen (α) Se fizermos: cateto oposto = CO cateto adjacente = CA hipotenusa = Hip Teremos de forma mais simplificada: CO sen cos Hip CA Hip tg CO CA Pelo exposto podemos notar que sen(α), cos(α) e tg(α) são chamados de razões, pois todos são obtidos através do resultado de uma divisão. Exemplos: No triângulo retângulo abaixo, calcular as razões trigonométricas do ângulo agudo β. 1) cos β 5 4 senβ β . 3 tg β cateto adjacente CA hipotenusa Hip cateto oposto CO 4 hipotenusa Hip 5 cateto oposto CO cateto adjacente CA 3 5 0,6 0,8 4 3 1,333... 74 2) No triângulo do exercício 1, não conhecemos o ângulo β. No entanto, agora que conhecemos as relações trigonométricas do triângulo dado, podemos obtê-lo usando a calculadora. Podemos usar qualquer uma das razões: 1ª opção: usando o co-seno Temos que cosβ 3 , sabemos então que β é o ângulo cujo co-seno vale 3/5, a 5 matemática tem uma linguagem própria para escrever esta afirmação: β arc cos 3 , lê-se β é ângulo cujo co-seno vale 3/5. 5 No entanto esta notação não nos dá idéia da medida do ângulo β em graus. Para obtermos este valor, recorremos à calculadora da seguinte forma: 2nd F 3 5 0,6... ou cos 1 cos Shift Na calculadora aparecerá 53,13, isto no permite escrever que β máquina deve estar no modo “DEG”). 53,13º (Cuidado! A Obs.1: Para calcular o ângulo conhecendo as relações seno, co-seno e tangente, temos que usar as teclas sen 1 , cos 1 e tan 1 respectivamente. Por isso, antes de acionar por exemplo o co-seno temos que apertar a tecla 2nd F ou Shift que significa 2ª função, pois cos 1 é a 2ª função da tecla cos . Obs.2: No visor de sua máquina de calcular, aparece em letras bem pequenas: “DEG” ou “RAD” ou “GRAD”. Quando queremos obter a medida do ângulo em graus, usamos a máquina no modo “DEG”. Obs.3: Das propriedades de potenciação aprendemos que quando temos expoente negativo na base de uma potência, para eliminá-lo basta inverter a base. Isto nos permite colocar que cos 1 1 , mas cuidado!!! A máquina de calcular usa essa notação para obter o ângulo que cos possui o co-seno indicado. 2ª opção: usando o seno senβ β 4 5 Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: 4 4 lê-se β é o ângulo cujo seno é arc sen 5 5 75 Como vimos, para obter o valor em graus de β, utilizaremos a calculadora da seguinte forma: 2nd F 4 5 0,8 sen ou 1 sen Shift No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β (Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”) 53,13º . 3ª opção: usando a tangente tg β 4 3 Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: β arctg 4 3 lê-se β é o ângulo cuja tangente vale 4 3 Novamente para obter o valor de β na calculadora, faremos: 2nd F 4 3 1,333... ou tan 1 tan Shift No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β (Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”)  53,13º . Como vimos, obtemos o valor de β em graus, com o auxílio da calculadora, usando qualquer uma das razões seno, co-seno ou tangente de β. Exemplo 3: Agora faremos um exemplo bem mais simples. Determinar usando a calculadora os valores de sen 40º, cos 40º e tg 40º. Resolução: a) Calculando sen 40º. Tecle 40 sen . Aparecerá no visor 0,64278, o que nos permite escrever que sen 40º 0,64 . b) Calculando cos 40º. Tecle 40 cos . Aparecerá no visor 0,76604, o que nos permite escrever que cos 40º 0,77 . c) Calculando tg 40º. Tecle 40 tg . Aparecerá no visor 0,83910, o que nos permite escrever que tg 40º 0,84 . 76 Exemplo 4: As razões trigonométricas são muito usadas na vida prática. A seguir, apresentaremos um exemplo bastante simples. Uma pessoa está distante 100m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 20º em relação à horizontal conforme figura abaixo. 20º . 100m Pergunta-se: Qual é a altura do prédio? Como o prédio forma um ângulo de 90º com o solo, temos um triângulo retângulo, o que nos permite usar as relações trigonométricas seno, co-seno ou tangente. No triângulo retângulo formado na figura dada, a altura do prédio é o cateto oposto ao ângulo de 20º e a distância da pessoa ao prédio é o cateto adjacente. A razão trigonométrica que envolve os catetos é a tangente, assim teremos: cateto oposto cateto adjacente altura do prédio tg 20º distância altura do prédio distância tg 20º altura do prédio 100 0,36397 altura do prédio 36,4 metros tg 20º usando a calculadora para calcular tg20º 77 EXERCÍCIOS 15) Determinar senα, cos α e tgα nos triângulos abaixo: a) b) α 2 c) 20 20 17 1 2 . α . 4 α 4 . 4 16) Determinar a medida do ângulo β nos triângulos abaixo: a) b) c) . 3 β . 3 10 β β 10 6 . 2 17) Calcular com o auxílio da calculadora o valor de: a) sen 70º b) cos 100º c) tg 210º 18) Um avião levanta vôo no ponto B, conforme figura abaixo, fazendo um ângulo constante de 20º com o solo. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar por uma pessoa que se encontra a 1500m do ponto de partida? C . 20º B A 1500m 78 19) Queremos saber a largura l de um rio, sem atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte processo: a) Marcamos dois pontos, A(uma estaca) e B(uma árvore), um em cada margem, de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto. b) Marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir ângulos (teodolito). c) Obtemos uma medida de 70º para o Ângulo C B ACˆ B . 70º Nestas condições, qual a largura l do rio? 8 l . A 30º 50m x 20) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão de 30º. Qual é a distância da torre até a praia? 21) Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$0,10 por metro. Quanto ele recebe para cada transporte que faz? 50m 45º x 22) Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo, qual é, aproximadamente, a altura da torre? 30º 100m 23) Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1ª Questão: Somente a letra a. 2ª Questão: Somente a letra a. 6 20º 6 3 79 3ª Questão: a) x = 10 c) x=5 e) x = 15/14 b) d) x = 11 f) x = 10/7 x=3 4ª Questão: 13. 5ª Questão: 6.000 garrafas. 6ª Questão: 15cm. 7ª Questão: 20 latas. 8ª Questão: 192 peças. 9ª Questão: 32 horas. 10ª Questão: 36 bolas. 11ª Questão: 16 horas. 12ª Questão: 10 adolescentes. 13ª Questão: 25 viagens. 14ª Questão: 12,5 horas ou 12 horas e 30 minutos. senα senα 0,8944 15ª questão: a) cos α 0,4472 tg α 0,4472 b) cos α 08944 tg α 2 26,6º b) 71,6º c) 50,8º 17ª questão: a) 0,9397 b) -0,1736 c) 0,5774 18ª questão: 545,95m de altura e 1596,26m de distância percorrida. 19ª questão: aproximadamente 22m. 20ª questão: a distância da torre à praia é de 86,6m. 21ª questão: a cada viagem são cobrados R$ 5,00. 22ª questão: a torre tem 59,44m. 23ª questão: o ponto mais alto da casa fica a 5,05m de altura. 0,2425 c) cos α 0,9701 tg α 0,5 16ª questão: a) senα 0,25