Modelando Energia Escura Com Fluidos Exóticos E Campos De Quintessência

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Universidade Estadual de Feira de Santana Departamento de F´ısica Curso de F´ısica Tony Silva Almeida Modelando Energia Escura com Fluidos Ex´ oticos e Campos de Quintessˆencia Feira de Santana-Ba 2009 Tony Silva Almeida Modelando Energia Escura com Fluidos Ex´ oticos e Campos de Quintessˆencia Monografia apresentada ao Curso de F´ısica da UEFS, como requisito para a obten¸ca˜o parcial do grau de BACHAREL em F´ısica. Orientador: Alexandre Manoel Morais de Carvalho Feira de Santana-Ba 2009 Almeida, Tony Modelando Energia Escura com Fluidos Ex´oticos e Campos de Quintessˆencia / Tony Almeida - 2009 73.p 1.Cosmologia 2. Energia escura.. I.T´ıtulo. CDU xxx Tony Silva Almeida Modelando Energia Escura com Fluidos Ex´ oticos e Campos de Quintessˆencia Monografia apresentada ao Curso de F´ısica da UEFS, como requisito para a obten¸ca˜o parcial do grau de BACHAREL em F´ısica. Aprovado em 9 de Mar¸co de 2009 BANCA EXAMINADORA Alexandre Manoel Morais de Carvalho Alexandre Leite Gadelha Doutor em F´ısica Carlos Alberto de Lima Ribeiro Doutor em F´ısica Resumo At´e meados de 1998, acreditava-se que a taxa de expans˜ao do universo estivesse diminuindo ao longo do tempo, entretanto dados observacionais[3,4] mostraram que a taxa de expans˜ao do universo est´a aumentando de forma acelerada. Essa recente descoberta acerca da acelera¸ca˜o c´osmica mudou profundamente certos aspectos da cosmologia moderna. Este trabalho tem como objetivo fazer uma revis˜ao sobre os modelos que foram propostos desde ent˜ao para descrever o fenˆomeno observado. Entre os modelos tratados aqui h´a um consenso de atribuir tal efeito a` uma esp´ecie de energia escura. Energia Escura ´e uma forma hipot´etica de energia que preenche todo o universo, possuindo uma forte press˜ao negativa. O efeito dessa press˜ao negativa ´e an´alogo a uma for¸ca que age em larga escala em oposi¸ca˜o a` gravidade. A natureza da Energia Escura ´e um dos principais desafios da f´ısica contemporˆanea. Recentemente, foi introduzida na literatura uma s´erie de mecanismos e modelos para explicar as principais caracter´ısticas da Energia Escura. Entre os principais modelos utilizados para descrever a Energia Escura, destacam-se a constante cosmol´ogica, Campos de Quintessˆencia e fluidos de Quartessˆencia. A inclus˜ao da constante cosmol´ogica nas equa¸c˜oes de campo de Einstein modifica a geometria do universo e tamb´em altera a energia de v´acuo do universo. Os campos de quintessˆencia associam um campo escalar `a energia escura cuja densidade varia no tempo e no espa¸co muito lentamente, gerando assim press˜ao negativa. Os modelos de Quartessˆencia tem como caracter´ıstica utilizar fluidos para unificar o chamado setor escuro da cosmologia: mat´eria e energia escura. Desses modelos examinamos o g´as de Chaplygin, que possue uma equa¸c˜ao de estado ex´otica, onde defini-se a press˜ao como negativa; da´ı ´e poss´ıvel encontrar a express˜ao da densidade de tal g´as e verificar seu comportamento em pequenas e largas escalas. Estudamos os modelos citados acima no contexto da cosmologia padr˜ao, adotando os v´arios conceitos intr´ınsecos a` teoria da relatividade geral (TRG). Podemos citar a pr´opria constante cosmol´ogica, que at´e tempos atr´as era carente de motiva¸ca˜o f´ısica dentro da TRG; temos a presen¸ca de campos escalares de Quintessˆencia que se acoplam minimamente a` curvatura, atrav´es do princ´ıpio de equivalˆencia; al´em do tratamento de fluidos perfeitos para descrever as fontes de campo gravitacional. Nesse contexto procuramos ressaltar e explorar as caracter´ısticas de cada modelo, explicitando como cada um gera os efeitos requeridos da energia escura e discutimos as propriedades que da´ı surgem. Abstract Until the middles of 1998, was believed that the rate expansion of the universe has been decreasing belong(thought) the time,however data observational [3][4] shown which that rate is increasing of form acceleread . This new discovery about the cosmic acceleration was changed deeply some aspects of modern cosmology. This work have the objective of to make a review about the models which was proposed since so to describe the phenomenon observed. Between the models analyzed here has a consensus of to atribute that effect to a specie of dark energy. Dark energy is a form hypothetical of energy which fill all the universe, having a strong negative pressure. The effect of this pressure is similar to a force which act on large scale in opposition to gravity. The nature of the dark energy is one of the principals challenge of the contemporary physics. Recently, was introduced in literature a kind of mechanisms and models to explain the principals featuring of the dark energy. Between the principals models used to describe the dark energy, we detach the cosmological constant, the Quintessence fields and fluids of Quartessence. The inclusion of the cosmological constant in the Einstein’s equation of fields modify the geometry of the universe and too alter the energy of vacuum of the universe. The quintessence fields associate a scalar field to dark energy whose density, in the time and in the space,change very slowly, making thus negative pressure. The models of Quartessence has how featuring use fluids to unify the namely dark sector of cosmology: dark matter and energy. In this models we examine the Chaplygin Gas, which have a equation of state exotic, where is defined the negative pressure; there is possible to find the expression of the density of that gas and verify it’s behavior in small and large scale. We study the models cite above in context of the standard cosmology, adopting the various concepts inherent to general theory of relativity (GTR). We can to cite the proper cosmological constant, which until back times was needed of physical motivation into of the GTR; we have the presence of scalar fields of quintessence with minimal coupling to curvature, through of the equivalence principle; beyond of the treatement of fluids to describe the fonts of gravitational fields. In this context we wanted to stand out and to explore the featuring of each model, expliciting how each one generate the effects request by the dark energy and we discuss the proprieties which there appear. Agradecimentos Gostaria de agradecer ao meu orientador Alexandre por aceitar a proposta de enveredar por esses campos ’escuros’ da f´ısica. A introdu¸ca˜o em pesquisa cient´ıfica ´e sempre mais estimulante quando se estuda um assunto que al´em de lhe dar uma base t´ecnica sobre uma ´area muito rica e profusa como a cosmologia, lhe possibilita estar diante de um dos maiores enigmas que os seres humanos se defrontam desde muito antes do inicio da contagem dos tempos: a vida, o universo e tudo o mais! Assim meus agradecimentos se somam entre os que de alguma forma contribu´ıram para a compreens˜ao t´ecnica de alguns pontos desse trabalho [como b´oson, a galera dos defeitos topol´ogicos(sodr´e, osvaldo, orˆea, j´ ulio, ´erick,carlos A.),augusto e gadelha]... e aqueles que nos sal˜oes de discuss˜ao(casa amarela, dona vanda, seu ray, z´eburugudu,4esta¸co˜es) contribu´ıram para a compreens˜ao de aspectos menos t´ecnicos e mais sutis como a`s implica¸co˜es da constru¸c˜ao de representa¸c˜oes para compreender o todo, at´e o fim do universo...ou como a pataf´ısica vˆe isso tudo [que s˜ao fred,b´oson e palova, augusto,jhone, sagu´ı, rodrig˜ao,black mouth,iracema,waldeck,tanaka,debora,thiago,quˆantica... e `aqueles que o tempo e o espa¸co afastaram]. Agrade¸co a` minha fam´ılia[o paj´e,o general, a minininha e a` v´eia]. Aos professores do DFIS. E por u ´ltimo, mas n˜ao por menos, ao contribuinte baiano que financiou parcialmente por um bom tempo essa passagem por Feira de Santana atrav´es do Programa de Inicia¸ca˜o Cient´ıfica PROBIC-UEFS. O Encontro de Isaac Asimov com Santos Dumont no c´ eu Nada como o firmamento para trazer ao pensamento a certeza de que estou s´olido em toda ´area que ocupo. E a imensid˜ao a´erea ´e ter o espa¸co do firmamento no pensamento e acreditar em voar algum dia! Chico Science Sum´ ario Lista de Figuras 7 1 Introdu¸c˜ ao 8 2 T´ opicos de Relatividade 2.1 2.2 13 Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 Transforma¸c˜oes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 Dinˆamica Relativ´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Princ´ıpio da Equivalˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.3 Princ´ıpio de Covariˆancia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4 Deriva¸ca˜o das Equa¸co˜es de Campo de Einstein . . . . . . . . . . . . 27 2.2.5 Momento e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Cosmologia 37 3.1 Princ´ıpio de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 M´etrica Robertson-Walker[12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 3.3 Equa¸co˜es do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 3.4 Redshift Cosmol´ogico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Equa¸c˜ao das geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Constante cosmol´ogica como candidata mais simples . . . . . . . . . . . . . 50 4 Quintessˆ encia 4.1 4.2 53 Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.1 Campo Escalar Minimamente Acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.2 Campo Escalar de Quintessˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Equa¸co˜es de Einstein acopladas com Quintessˆencia . . . . . . . . . . . . . 57 5 Quartessˆ encia 58 5.1 G´as de Chaplygin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2 Deriva¸c˜ao do Potencial a partir do GC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6 Conclus˜ ao 64 Referˆ encias Bibliogr´ aficas 67 Lista de Figuras 2.1 Atribuindo coordenadas `a um ponto na variedade . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1 Superf´ıcies de tempo-pr´oprio e geod´esicas no substrato . . . . . . . . . . . 39 3.2 O mapa-pr´oprio e retrato-pr´oprio de um observador . . . . . . . . . . . . . 39 8 1 Introdu¸ c˜ ao At´e o final do s´eculo XX, os cosm´ologos tinham uma descri¸ca˜o muito bem estabelecida da hist´oria do Universo, desde a era do Big Bang com o dom´ınio da radia¸c˜ao at´e o surgimento de estruturas em larga escala quando o universo se expande e resfria. Salvo alguns problemas, como um tipo de mat´eria escura que devia ser introduzida para explicar a dinˆamica de gal´axias e aglomerados de gal´axias[1]. Com o formalismo da Teoria da Relatividade Geral (TRG), que associa gravita¸c˜ao com efeitos de curvatura, combinado com considera¸co˜es muito importantes como homogeneidade e isotropia do universo, baseados em resultados fenomenol´ogicos nos fornece um meio de determinar propriedades globais do universo, como sua curvatura, atrav´es da contagem de mat´eria e energia existentes nele. Com a descoberta da radia¸ca˜o c´osmica de fundo em microondas (RCFM) foi poss´ıvel verificar as previs˜oes feitas por Gamow, Alpher e Herman[2] sobre a existˆencia da nucleoss´ıntese primordial onde os f´otons na ´epoca do Big bang teriam se resfriado provendo assim uma radia¸c˜ao t´ermica de fundo em microondas que seria, e ´e, observada no presente. A teoria explicava ainda a forma¸c˜ao dos elementos leves, a abundˆancia de hidrogˆeneo H e h´elio He, a ausˆencia de elementos pesados em estrelas mais antigas,etc. Nessa ´epoca, o universo com uma temperura em torno de 109 K era dominado por radia¸c˜ao e os f´otons livres, os n´ ucleons e el´etrons n˜ao tinham muito efeito sobre a sua ` medida que o cosmos se expandia dinˆamica al´em de torn´a-lo completamente opaco. A e se resfriava a densidade de energia da radia¸ca˜o diminuia numa taxa proporcional `a ρ ∝ a−4 (t) onde a(t) ´e o fator de escala que mede de quanto o raio do universo aumenta para um dado observador fundamental 1 . A densidade de energia diminui a` tal ponto que acontece o desacoplamento entre radia¸ca˜o e mat´eria quando el´etrons e pr´otons puderam interagir pela atra¸ca˜o coulombiana e emitir os f´otons que comp˜oem hoje a u ´ltima 1 Basicamente ´e o referencial que observa o afastamento das gal´axias emtodas as dire¸c˜oes. No cap´ıtulo 3 definiremos mais detalhadamente o que vem a ser um observador fundamental 1 Introdu¸c˜ao 9 superf´ıcie de espalhamento, ou a RCFM, para da´ı ter inicio a produ¸c˜ao de hidrogˆenio. Com o passar do tempo foi poss´ıvel que a atra¸ca˜o gravitacional do g´as de hidrogˆeneo se tornasse relevante e come¸casse a` se aglomerar devido as pequenas flutua¸co˜es da densidade e dessa forma favorecer `a forma¸ca˜o de estruturas atrav´es do colapso gravitacional, assim temos a forma¸c˜ao das primeiras gal´axias e estrelas[2]. Na sequˆencia o universo se torna dominado pela mat´eria e a atra¸ca˜o gravitacional desta tende a` reduzir a velocidade inicial de expans˜ao. A evolu¸c˜ao temporal deste cen´ario ´e descrita, como no caso de dom´ınio da radia¸c˜ao, pela equa¸ca˜o de Friedmann, mas com uma equa¸c˜ao de estado diferente ser´a discutida no cap´ıtulo 3. Ela que mede a taxa de expans˜ao do universo em fun¸c˜ao da densidade de mat´eria e energia que dominam sua dinˆamica. Atrav´es dessa equa¸ca˜o ´e poss´ıvel verificar se • a densidade de energia ´e suficiente para curvar positivamente o universo e fazˆe-lo colapsar sobre si devido `a atra¸ca˜o gravitacional, • a densidade de energia ´e baixa para retardar a expans˜ao inicial e o universo tem curvatura negativa e se expande para sempre,ou • a densidade de energia ´e cr´ıtica e o cosmos tem mat´eria suficiente para torn´a-lo plano. Atrav´es da Cosmologia Observacional no entanto a contagem de aglomerados estelares, fontes de raio-x, e outras fontes somados com dados da RCFM indicam que o universo ´e plano e que a densidade ´e cr´ıtica[2]. A mat´eria observav´el(bariˆonica) contribui com 4% do valor necess´ario para a densidade cr´ıtica, uma esp´ecie de mat´eria n˜ao luminosa contribui com mais de 25%2 , portanto falta encontrar a outra componente que contribui com a maior parte da densidade cr´ıtica. Uma reavalia¸c˜ao dos m´etodos de contagem era o mais indicado a ser feito. Esse era o panorˆama que os cosm´ologos tinham para a origem, dinˆamica e 2 Essa ´e a chamada mat´eria escura, que ´e designada por mat´eria escura bariˆonica(buracos-negros, an˜ as marrons- basicamente mat´eria normal dificeis de detectar)e mat´eria escura fria (que seria composta por WIMP’s, weak interacting massive particles, e outras part´ıculas previstas pela Teoria quˆantica de Campos mas indetectadas at´e agora) 1 Introdu¸c˜ao 10 evolu¸c˜ao do cosmos. Com o aprimoramento dos instrumentos e aperfei¸coamento na obten¸ca˜o de dados foi poss´ıvel que se observasse o universo em ´epocas cada vez mais remotas com a ajuda de velas padr˜ao 3 como supernovas do tipo 1a (SN1a). De fato no final da d´ecada de 90 dois grupos de pesquisa (High-Z Team Supernovae[3] e Supernova Cosmology Project[4]) independentemente anunciaram a observa¸ca˜o de uma queda na luminosidade intr´ınseca de supernovas a uma distˆancia > 100M pc, essa queda era em torno de 25-50% da taxa esperada[3,4], o que indicava que esses objetos estavam se afastando de n´os a` uma taxa acelerada, que a constante de Hubble era menor no passado recente do que hoje. A forte evidˆencia dessa acelera¸ca˜o guiou para uma revis˜ao da cosmologia f´ısica e astrof´ısica. Mas o que estaria promovendo essa acelera¸ca˜o, uma verdadeira repuls˜ao da mat´eria em larga escala? Evidentemente o universo tem um campo f´ısico que exerce um efeito gravitacional repulsivo que ´e maior que a atra¸ca˜o de toda a mat´eria no universo, essa nova componente era necess´aria para compor a maior parte da energia do universo, a chamada energia escura, caracterizada por uma press˜ao negativa, que ´e semelhante a` tens˜ao que surge num el´astico quando ´e esticado. O que ´e essa nova componente? Quais seus constituintes? Uma profus˜ao de id´eias surgiram desde ent˜ao para explicar (descrever) a energia escura e o objetivo desse presente trabalho ´e incorrer numa revis˜ao de alguns do principais modelos propostos focando sempre na motiva¸ca˜o que levou `a sua ado¸ca˜o; diante de uma quantidade e qualidade de dados insuficientes para selecionar e excluir os diversos modelos focaremos as discuss˜oes quanto a` resolu¸ca˜o dos problemas cosmol´ogicos que surgem com a energia escura. A primeira candidata a` energia escura ´e a constante cosmol´ogica Λ [1] de Einstein, que introduz uma densidade de energia e press˜ao negativa no universo que s˜ao constantes no tempo e no espa¸co. A constante cosmol´ogica foi introduzida, inicialmente, para prover uma solu¸ca˜o est´atica para o Universo. Atualmente ´e interpretada como energia do v´acuo associada a` estudos em teoria quˆantica de campos, no entanto o valor previsto ´e 120 ordens de grandeza maior[22] que o necess´ario para causar o efeito observado pela expans˜ao acelerada, al´em disso, existe o problema da coincidˆencia c´osmica, o porquˆe de s´o 3 objetos com comportamento regular e muito bem conhecido, para que seja poss´ıvel comparar diferen¸cas devido a distˆ ancia de n´ os 1 Introdu¸c˜ao 11 agora podermos observar o fenˆomeno de acelera¸c˜ao da expans˜ao, quando as densidades de energia se igualam ; note que a densidade da componente da energia escura se iguala nesse momento do universo, com a densidade de energia da mat´eria, 10−29 kg/cm3 [2]; o universo passa assim por outra transi¸ca˜o de fase, em que era dominado pela mat´eria(escura) e passa a ser dominado pela energia escura. Uma outra candidata aparece motivada pelos estudos da chamada ´epoca de infla¸c˜ao cosmol´ogica, em que o universo no seu in´ıcio teria sofrido uma r´apida expans˜ao(repuls˜ao gravitacional) devido ao seu conte´ udo inicial[5]. A partir desses trabalhos [6] , que introduziram a f´ısica de part´ıculas e campos na cosmologia, abriu-se a possibilidade da existˆencia de campos escalares no universo. Assim, teoria de campos e particulas nos oferece um meio atrav´es do qual podemos adotar a descri¸ca˜o de campos escalares “leves”, em escalas de baixas energias. Esses campos oscilam lentamente com o tempo e posi¸ca˜o [7], que est´a associado `a um potencial V (φ) que gera press˜ao negativa, tal campo ´e conhecido na literatura como Quintessˆencia. Aqui, temos uma componente de energia escura dinˆamica e as equa¸co˜es s˜ao alteradas por um acoplamento entre o campo escalar introduzido e o escalar de curvatura (aqui usaremos o acoplamento m´ınimo). Nesse modelo aparece o problema das condi¸c˜oes iniciais que influenciam como vemos o universo hoje, o fator de escala e consequentemente o tipo de potencial `a que tal campo est´a sujeito.Esses problemas s˜ao(parcialmente) resolvidos quando ´e introduzido os campos “rastreadores”, que s˜ao solu¸co˜es tipo-atrator [8]que, independendo das cond. iniciais, tem a dinˆamica do campo ditada pela componente(radia¸c˜ao ou mat´eria) que domina o universo, uma esp´ecie de intera¸ca˜o. Outro modelo muito explorado para a componente de energia escura ´e o chamado G´as de Chaplygin, que se encaixa nos modelos de quartessˆencia que tem como caracter´ıstica principal a unifica¸c˜ao do setor escuro da cosmologia(mat´eria e energia), da´ı o nome quarter, j´a que n˜ao utiliza uma quinta componente para preencher o universo. O g´as de Chaplygin[9] ´e um g´as ex´otico com press˜ao negativa que tem sido usado para descrever a transi¸c˜ao do per´ıodo de desacelera¸ca˜o da expans˜ao para a recente acelera¸c˜ao observada atrav´es de um u ´nico fluido que em escalas menores se aglomera gravitacionalmente em torno de gal´axias e aglomerados, mas que em escalas maiores, cosmol´ogicas, 1 Introdu¸c˜ao 12 tem a propriedade de se tornar repulsivo, caracter´ıstica presente na equa¸c˜ao de estado. A Monografia est´a organizada como segue: no cap´ıtulo 2 ´e feita uma breve revis˜ao de conceitos de relatividade especial e geral, focamos principalmente nos conceitos e defini¸co˜es que s˜ao utilizados diretamente nas dedu¸c˜oes das rela¸c˜oes e equa¸co˜es e que esclarecem melhor os resultados. No cap´ıtulo 3, seguindo o mesmo objetivo do cap´ıtulo 2, introduzimos alguns conceitos de cosmologia para melhor situar a nossa discuss˜ao nessa a´rea e deduzimos a m´etrica de Robertson-Walker por achar que essa dedu¸ca˜o explicita caracter´ısticas como o redshift cosmol´ogico observado. No cap´ıtulo 4 descrevemos o modelo de quintessˆencia definindo inicialmente campos escalares. Depois atribuimos certas caracter´ısticas como a presen¸ca de tal campo na presen¸ca de gravidade e o configuramos como campo de quintessˆencia acoplado a` curvatura minimamente. No cap´ıtulo 5, descrevemos o modelo de Quartessˆencia do G´as de Chaplygin discutindo, inicialmente, algumas caracter´ısticas desse fluido quanto a` sua equa¸ca˜o de movimeto pr´opria e depois quanto a` sua aplica¸c˜ao na cosmologia e como pode-se derivar um campo escalar de quintessˆencia e seu potencial de tal fluido. Por fim, no cap´ıtulo 6 discutimos a rela¸ca˜o entre os modelos comparando-os e conclu´ımos com os resultados obtidos. 13 2 T´ opicos de Relatividade Apesar de que os f´ısicos tenham conhecimento de quatro tipo de intera¸co˜es fundamentais (a saber, eletromagn´etica,nuclear forte, nuclear fraca, e gravitacional), em escalas cosmol´ogicas (> 100M egaparsec) podemos desconsiderar as for¸cas nucleares que s˜ao de curto alcance e o eletromagnetismo devido ao equil´ıbrio de cargas el´etricas em gal´axias e aglomerados. Portanto a Gravita¸ca˜o ´e a intera¸ca˜o mais relevante na Cosmologia[2]. A Cosmologia te´orica tem como alicerce principal a Teoria da Relatividade Geral(TRG), que descreve a intera¸ca˜o gravitacional como manifesta¸c˜ao da geometria do espa¸co (ou espa¸cotempo, j´a que uma vers˜ao restrita a` obs. inerciais, dessa mesma teoria, unifica o conceito de espa¸co e tempo).Portanto ´e instrutivo rever os principais conceitos e resultados dessa teoria que s˜ao de interesse para o entendimento e discuss˜ao do objetivo desse trabalho. 2.1 Relatividade Especial Faremos aqui uma breve incurss˜ao pela Relatividade especial, para definir as transforma¸co˜es locais poss´ıveis (em cada ponto do espa¸co curvo devido `a gravidade) a` sistemas de referˆencia momentaneamente inerciais1 [10], e os efeitos cinem´aticos e dinˆamicos observados em tais sistemas , assim como grandezas que s˜ao invariantes, independente do estado de movimento do referencial, ou seja, independente do sistema de coordenadas que escolhamos para medir tais grandezas. 2.1.1 Transforma¸ c˜ oes de Lorentz A transforma¸c˜ao de Lorentz (T.L.) ´e o conjunto de equa¸c˜oes que estabelece a rela¸ca˜o entre as medidas de tempo e espa¸co de dois referenciais inerciais, x(x0 ) e x0 (x), que se 1 Uma part´ıcula acelerada n˜ ao tem um referencial inercial em que esteja sempre em repouso.Entretando, existe um referencial inercial que momentaneamente tem a mesma velocidade da part´ıcula, mas que num instante depois n˜ ao est´ a mais se movendo(c´omovel) com ela. Esse referencial ´e o sistema de referˆencia momentaneamente c´ o-movel(SRMC) 2.1 Relatividade Especial 14 movem com velocidade relativa v, consequentemente as T.L. transformam tamb´em as componentes dos quadrivetores definidos nesses referenciais. Assumindo que as equa¸c˜oes de transforma¸c˜ao preservam a homogeneidade do espa¸co ( todos os pontos do espa¸co e do tempo s˜ao equivalentes), dever˜ao ser transforma¸co˜es lineares. Com o aux´ılio dos postulados da RR, • Postulado de Relatividade: todas as leis da f`ısica s˜ao as mesmas para um observador que se move com velocidade uniforme como para um que permanece em repouso[11], • Velocidade da Luz:a velocidade da luz tem um valor particular e fixo, c. Por isso, segue do princ´ıpio de relatividade que todo observador que me¸ca a velocidade da luz obter´a o mesmo valor[11], ´e poss´ıvel encontrar a transforma¸ca˜o, que se escreve x0 = γ(x − vt) y0 = y z0 = z t0 = γ(t − v x) c2 1 γ=q 1− . com o fator de Lorentz (2.1) v2 c2 Usando essas transforma¸co˜es entre dois referenciais inerciais que se movem ao longo da dire¸ca˜o x, observar-se-a efeitos de contra¸ca˜o dos comprimentos na dire¸ca˜o do movimento e dilata¸ca˜o do tempo para o referencial que se move com velocidade v, ambiguidade na defini¸ca˜o de simultaneidade2 pois a informa¸ca˜o sobre eventos que ocorram no espa¸co-tempo estar˜ao limitados pela velocidade da luz . Apesar do car´ater relativo que h´a entre as medidas de dois observadores inerciais, na relatividade especial existe quantidades que s˜ao invariantes sob transforma¸co˜es de referencias, por exemplo a distˆancia 2 dois eventos que s˜ ao simultˆ aneos com respeito `a um sistema de referˆencia n˜ao s˜ao em geral simultˆ aneos para um outro referencial 2.1 Relatividade Especial 15 entre dois eventos no referencial S ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 , (2.2) ´e igual `a distˆancia medida pelo refenrencial S 0 , 0 0 0 0 0 ds 2 = c2 dt 2 − dx 2 − dy 2 − dz 2 , (2.3) ou seja 0 ds2 = ds 2 . (2.4) A partir daqui faremos uso da nota¸c˜ao indicial e da conven¸ca˜o de soma de Einstein 3 para simplifica¸ca˜o, assim a equa¸ca˜o (2.2) ser´a escrita na forma ds2 = XX µ ηµν dxµ dxν = ηµν dxµ dxν , (2.5) ν onde µ, ν = 0, 1, 2, 3 e x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z e temos   1 0 0 0      0 −1 0 0  , ηµν =     0 0 −1 0    0 0 0 −1 (2.6) que ´e a m´etrica do espa¸co-tempo de Minkowski com assinatura pseudo-euclidiana (+, −, −, −). Seus elementos s˜ao chamados componentes do tensor m´etrico[12]. As transforma¸co˜es de Lorentz nessa nota¸c˜ao se escreve 0 x µ = Λµ ν xν , (2.7) onde  Λµ ν 3 γ    −vγ =   0  0 −vγ 0 0 γ 0 0    0 0  ,  1 0   0 1 (2.8) ´ındices repetidos num mesmo termo indicam uma soma sobre esses ´ındices , portanto omite-se o sinal de soma 2.1 Relatividade Especial 16 ´e a matriz de transforma¸ca˜o. Um intervalo ∆s2 = c2 ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 entre dois eventos ´e dito do tipo-tempo se a parte temporal ´e maior do que a parte espacial (∆s2 > 0), e do tipoespa¸co se a parte espacial ´e maior que a temporal (∆s2 < 0). Se ∆s2 = 0 o intervalo ´e dito tipo-luz. Essa classifica¸c˜ao ´e absoluta, v´alida em todos referenciais, pois ∆s2 ´e um escalar[12]. 2.1.2 Dinˆ amica Relativ´ıstica As leis que regem a dinˆamica de pontos materiais na Relatividade Restrita mantˆem seu car´ater covariante, como exigido pelo primeiro postulado, desde que n˜ao mais falemos de a¸ca˜o `a distˆancia. Assim podemos derivar as leis de conserva¸ca˜o das trˆes componentes do vetor momento linear p~ e da energia E, no entanto o resultado que surge ´e a unifica¸ca˜o dessas quantidades numa u ´nica: o quadrivetor momento-energia que tem suas componentes dadas por pα = mU α , (2.9) onde m ´e a massa relativ´ıstica e U α ´e a quadrivelocidade c2 , ux , uy , uz e temos m0 c2 p0 = E = q , u2 1 − c2 m0 ux , px = q 2 1 − uc2 m0 uy py = q , u2 1 − c2 m0 uz pz = q , 2 1 − uc2 m0 ´e a massa de repouso (massa pr´opria) e u2 = u2 x + u2 y + u2 z . Expandindo a energia E para o limite de baixas velocidades u << c temos 1 3 u4 E = m0 c2 + m0 u2 + m0 2 + . . . . 2 8 c (2.10) O primeiro termo ´e a energia de repouso, o segundo ´e a energia cin´etica cl´ass´ıca e os termos seguintes s˜ao corre¸co˜es relativ´ıstica `a express˜ao cl´assica. 2.2 Relatividade Geral 17 Um importante resultado ´e o que relaciona a energia da part´ıcula com o seu momento linear, a saber: E= p p2 c2 + mo c4 (2.11) Uma outra caracter´ıstica da mecˆanica relativ´ıstica n˜ao partilhada pela mecˆanica cl´assica ´e a possibilidade da existˆencia de part´ıculas com massa de repouso zero (f´otons e gr´avitons). Fazendo m0 = 0 na express˜ao acima temos E =| p~ | c (2.12) que ´e a conex˜ao relativ´ıstica entre E e p~ para part´ıculas de massa zero. Uma caracter´ıstica fundamental das part´ıculas de massa nula ´e que, em m´odulo, sua velocidade ´e sempre c em qualquer referencial inercial[12]. 2.2 2.2.1 Relatividade Geral Tensores Para trabalhar com a Teoria da relatividade Geral precisamos do formalismo tensorial, que al´em de possibilitar escrever as equa¸co˜es de uma forma compacta, a sua linguagem revela da estrutura das equa¸co˜es um comportamento covariante4 . Variedades Inicialmente consideraremos tensores definidos em n dimens˜oes. Um tensor ´e um objeto definido em um espa¸co geom´etrico chamado variedade. N˜ao definiremos variedade de uma forma matematicamente precisa pois envolveria muitos conceitos da topologia. Podemos dizer, no entanto, de um ponto de vista intuitivo, que uma variedade M ´e alguma coisa que localmente se reduz a` um espa¸co euclidiano n-dimensional Rn [12]. Com isso queremos dizer que na vizinhan¸ca (fig.2.1) de um ponto p em M existe um conjunto aberto5 U e 4 5 Os resultados desta se¸c˜ ao foram retirados do livro do D’inverno,[12] Um conjunto S de pontos do Rn ´e dito aberto se todo ponto x em S tem uma vizinhan¸ca inteiramente contida em S. Claramente conjunto discretos n˜ao s˜ao abertos 2.2 Relatividade Geral 18 uma fun¸c˜ao φ de U que associa ao ponto P coordenadas xi = x1 , x2 , . . . , xn num conjunto aberto em Rn . Figura 2.1: Atribuindo coordenadas a` um ponto na variedade Na variedade estamos preocupados com pontos e subconjuntos de pontos que definem curvas e superf´ıcies de diferentes dimens˜oes. Devemos definir essas curvas em termos de parˆametros, por exemplo, uma curva, que tem somente um grau de liberdade e depende de um parˆametro ´e definida em termos das equa¸co˜es param´etricas xi = xi (u), (i = 1, 2, . . . , n), (2.13) onde u ´e o parˆametro e x1 , x2 , ..., xn s˜ao n fun¸coes de u. Similarmente, um subspa¸co ou superf´ıcie de m-dimens˜oes (m < n) tem m graus de liberdade e depende de m parˆametros e ´e dada pelas equa¸co˜es param´etricas xi = xi (u1 , u2 , . . . , uM ), (i = 1, 2, . . . , n), (2.14) Se, em particular, m = n − 1 o subespa¸co e dito hipersuperf´ıcie. Nesse caso xi = xi (u1 , u2 , . . . , un−1 ), (i = 1, 2, . . . , n), (2.15) e n − 1 parˆametros podem ser eliminados dessas n equa¸co˜es para gerar uma fun¸ca˜o conectando as coordenadas, f (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, (i = 1, 2, . . . , n), (2.16) 2.2 Relatividade Geral 19 Transforma¸c˜ ao de coordenadas A abordagem que adotaremos ´e a mesma seguida por D’inverno[12] que ´e definir uma quantidade geom´etrica em termos de suas propriedades de transforma¸ca˜o sob uma transforma¸ca˜o de coordenadas xa → x0a dada por n equa¸co˜es x0i = f i (x1 , x2 , . . . , xN ), (i = 1, 2, . . . , N ) (2.17) onde as f 0s s˜ao fun¸c˜oes continuas e diferenci´aveis. Ou mais compactamente x0i = x0i (x), (i = 1, 2, . . . , N ) (2.18) onde os x0i denotam as n fun¸co˜es f i . Diferenciando (2.18) com respeito `a cada uma das coordenadas xj temos dx0i = ∂x0i j dx ∂xj que gera a matriz de transforma¸c˜ao n × n com os coeficientes   ∂x01 ∂x01 ∂x01 · ∂xn   ∂x1 ∂x2  0i   ∂x02 ∂x02 ∂x02   ∂x1 ∂x2 · ∂xn  ∂x   =  .. .. ..  .. ∂xj .  . . .    ∂x0n ∂x0n ∂x0n · ∂x1 ∂x2 ∂xn (2.19) (2.20) O determinante J 0 dessa matriz ´e chamado o jacobiano da transforma¸ca˜o 0i ∂x J = j ∂x 0 (2.21) que assumimos ser diferente de zero para algum xj . Pelo teorema da fun¸ca˜o inversa podemos, em princ´ıpio, resolver a equa¸ca˜o (2.18) para as coordenadas xj e obter as equa¸c˜oes de transforma¸ca˜o inversa xj = xj (x0 ), (j = 1, 2, . . . , N ). (2.22) Se definimos o jacobiano da transforma¸ca˜o inversa por j ∂x J = 0i ∂x ent˜ao J = 1 . J0 (2.23) 2.2 Relatividade Geral 20 Definimos ainda o delta de Kronecker   1 se i = j; δi j =  0 se i 6= j (2.24) Uma propriedade do delta de Kronecker ´e que δik Ai = Ak , pois no lado esquerdo dessa express˜ao, o u ´nico termo n˜ao nulo da soma ´e aquele para o qual k = i. Tamb´em temos ∂xk ∂xi = δik porque as coordenadas xr s˜ao independentes6 . Faremos agora uma breve sequˆencia de defini¸c˜oes que constituem a ´algebra tensorial, e como j´a foi dito, ser˜ao focados nas propriedades de transforma¸ca˜o das quantidades. Um conjunto de N fun¸co˜es Ai das N coordenadas xi ´e chamado de componentes de um vetor contravariante se elas se transformam de acordo com a equa¸c˜ao A0i = ∂x0i j A, ∂xj (2.25) quando se faz uma mudan¸ca das coordenadas xi para x0i . Um conjunto de N fun¸co˜es Ai das N coordenadas xi ´e chamado de componentes de um vetor covariante se elas se transformam segundo a equa¸ca˜o A0i = ∂xj Aj , ∂x0i (2.26) quando se faz uma mudan¸ca das coordenadas xi para x0i . Quaisquer N fun¸co˜es podem ser escolhidas como as componentes de um vetor covariante no sistema de coordenadas xi e (2.26) define as N componentes no novo sistema x0i . Qualquer fun¸ca˜o φ das N coordenadas xi ´e chamada um invariante ou um escalar com respeito a` transforma¸c˜ao de coordenadas se φ0 = φ, onde φ0 ´e o valor de φ no sistema x0i . Com as componentes Ai e Bi de um vetor contravariante e um covariante podemos formar a soma Ai Bi . Quando mudamos pera outro sistema de coordenadas x0i , a quantidade Ai Bi transforma-se em A0i Bi0 A0i Bi0 = 6 ∂x0i j ∂xk A Bk = δjk Aj Bk = Aj Bj , j 0i ∂x ∂x Outras duas propriedades importantes s˜ao: δii = N e ∂xk ∂x0i ∂x0i ∂xj = δik . (2.27) 2.2 Relatividade Geral 21 ou A0i Bi0 = Ai Bi e Ai Bi ´e um invariante. N 2 quantidades Aij formam as componentes de um tensor 7 contravariante de segunda ordem se elas se transformam como A0ij = ∂x0i ∂x0j kl A . ∂xk ∂xl (2.28) Da mesma maneira, N 2 fun¸co˜es Aij formam as componentes de um tensor covariante de segunda ordem se elas se transformam como A0ij = ∂xk ∂xl Akl . ∂x0i ∂x0j (2.29) Se tivermos N 2 fun¸co˜es Ai j , cuja lei de transforma¸ca˜o ´e A0i j = ∂x0i ∂xl k A , ∂xk ∂x0j l (2.30) chamamos Ai j de as componentes de um tensor misto de segunda ordem. Ele se transforma contravariantemente com respeito ao ´ındice i e covariantemente com respeito ao ´ındice j. i s ao as compoUm conjunto de N s+p fun¸co˜es Atq11tq22...t ...qp das N coordenadas x s˜ nentes de um tensor misto de ordem (s + p), contravariante de ordem s e covariante de ordem p, se elas se transformam de acordo com a lei de transforma¸c˜ao 1 u2 ...us A0u r1 r2 ...rp ∂x0u1 ∂x0us ∂xq1 ∂xqp t1 t2 ...ts = ··· · · · 0rp Aq1 q2 ...qp ∂xt1 ∂xts ∂x0r1 ∂x (2.31) na mudan¸ca do sistema de coordenadas xi para x0i . Se dois ´ındices, contravariantes ou covariantes, puderem ser permutados sem alterar o tensor, ele ´e dito ser sim´etrico com rela¸c˜ao a esses ´ındices: Aij = Aji ; Aij = Aji . Se ao trocarmos dois ´ındices, contravariantes ou covariantes, mudamos o sinal do tensor, ele ´e dito ser antisim´etrico com respeito a esses ´ındices: Aij = −Aji ; 7 A partir de agora usaremos o termo tensor que ´e mais geral. Vetores contravariantes e covariantes s˜ ao tensores de primeira ordem . 2.2 Relatividade Geral 22 Aij = −Aji . Simetria e antisimetria s˜ao propriedades que independem do sistema de coordenadas, ou seja, se um tensor ´e sim´etrico ou antisim´etrico com respeito a dois ´ındices em um sistema de coordenadas, ele o ser´a em todos os outros sistemas de coordenadas. Al´em disso, se as componentes de um tensor s˜ao identicamente nulas em um sistema de coordenadas, elas tamb´em ser˜ao nulas em todos os sistemas de coordenadas. Essas propriedades s˜ao de fundamental import˜ancia para a aplica¸c˜ao do c´alculo tensorial a` f´ısica pois elas oferecem um meio de se obter leis de covariˆancia geral. Uma combina¸c˜ao linear de tensores de mesmo tipo cujos coeficientes s˜ao ini variantes, forma um tensor de mesmo tipo. De dois tensores Aijk e Bjk , podemos formar i i i o tensor αAijk + βBjk o qual satisfaz(2.31), sendo α e β invariantes. Aijk + Bjk e Aijk − Bjk i s˜ao a soma e a diferen¸ca respectivamente dos tensores Aijk e Bjk . Para mostra a propriedade de contra¸c˜ao consideremos o tensor misto Aij lmn , e fa¸camos a soma Aij lmj , de ∂x0s ∂x0r ∂xl ∂xm ∂xn ij A , ∂xi ∂xj ∂x0p ∂x0q ∂x0r lmn ∂x0s ∂xl ∂xm ij A . = ∂xi ∂x0p ∂x0q lmj A0sr pqr = A0sr pqr E Aij e um tensor misto contravariante de primeira ordem e covariante de lmj ´ segunda ordem. Este processo ´e chamado de contra¸ca˜o e por meio dele obtemos um tensor de ordem r − 2 de um tensor de ordem r. Em an´alise vetorial, um vetor fixo est´a associado com um vetor no ponto, dessa forma um campo vetorial definido sobre uma regi˜ao ´e uma associa¸ca˜o de um vetor a` cada ponto da regi˜ao. Seguindo esse caminho, um tensor ´e um conjunto de quantidades associadas `a um ponto na variedade. Um campo tensorial definido em uma regi˜ao da variedade ´e uma associa¸ca˜o de um tensor de mesma valˆencia, ou ordem, a cada ponto da regi˜ao, ou seja P −→ T a... b... (2.32) onde T a... b... ´e o valor do tensor em P . O campo tensorial ´e dito cont´ınuo ou diferenci´avel 2.2 Relatividade Geral 23 se suas componentes em todos sistemas de coordenadas s˜ao fun¸co˜es cont´ınuas ou diferenci´aveis das coordenadas. O campo tensorial ´e dito suave se suas componentes s˜ao diferenci´aveis em todas as ordens, ou seja, as componentes s˜ao de classe C ∞ Com essas defini¸co˜es feitas acima podemos desenvolver a an´alise tensorial que ser´a muito utilizada em nossas dedu¸c˜oes. Defini¸co ˜es adicionais Uma quantidade muito utilizada ´e a densidade tensorial Ta... b... que se transforma como um tensor exceto pela potˆencia W do jacobiano J =| ∂xa | ∂x0b que aparece como um fator T0 a... b... = JW ∂x0a ∂xd c... . . . T d... ∂xc ∂x0b (2.33) Com alguma modifica¸c˜oes podemos combinar densidades tensoriais da mesma forma que tensores. Exceto que o produto de duas densidades tensoriais de peso W1 e W2 ser´a uma densidade tensorial de peso W1 + W2 [12] Um campo vetorial Ba ´e uma fun¸ca˜o vetorial da posi¸ca˜o definida sobre uma regi˜ao da variedade que se transforma de acordo com (2.26) em cada ponto xb em que ele est´a definido. Se Ba ´e uma fun¸ca˜o diferenci´avel de xb , sua derivada se transforma como ∂Ba0 ∂xb ∂xd ∂Bb ∂ 2 xb = + Bb . ∂x0c ∂x0a ∂x0c ∂xd ∂xc ∂xa O primeiro termo do lado direito ´e a forma necess´aria para fazer (2.34) ∂Ba0 ∂x0c ser um tensor, mas a presen¸ca do segundo termo retira esse car´ater. A segunda derivada ´e em geral diferente de zero e indica que os coeficientes da transforma¸c˜ao variam com a posi¸ca˜o na variedade. Quando procuramos construir a derivada ∂Ba0 , ∂x0c temos que defini-la como um limite: ∂Ba0 Ba (xb + δxb ) − Ba (xb ) = lim . ∂x0c δxc →0 δxc (2.35) Podemos ver que os dois termos no numerador se transformam como vetores em dois pontos diferentes e, por causa da varia¸ca˜o dos coeficientes com a posi¸ca˜o, a diferen¸ca 2.2 Relatividade Geral 24 entre eles n˜ao deve ser um vetor( a diferen¸ca de dois vetores ´e um vetor, desde que ambos estejam definidos no mesmo ponto). Para descrever a mudan¸ca gerada no vetor que vai de um ponto a` outro devemos medir a diferen¸ca no mesmo ponto. Fazemos isso com o chamado transporte paralelo, que ´e o efeito de mover Ba (xb ) de um ponto a` outro, paralelo a` si,isto ´e, como se sua magnitude e dire¸ca˜o n˜ao variasse, e em seguida compar´a-lo com Ba (xb + δxb ) . Como a mudan¸ca nas componentes de Ba atrav´es do transporte paralelo ser´a proporcional a`s componentes originais e tamb´em ao deslocamento δxb na posi¸c˜ao para ir de um ponto ao outro (dependˆencia com a trajet´oria), podemos expressar tal mudan¸ca como uma fun¸ca˜o linear de ambas essas quantidades e a forma mais geral que podemos ter ´e δBa = Γc ad Bc δxd , (2.36) onde os coeficientes s˜ao, em geral, fun¸ca˜o das coordenadas. Essas quantidades s˜ao chamadas s´ımbolos de Christoffel. Enquanto a m´etrica nos diz como medir distˆancias entre pontos vizinhos, a defini¸ca˜o acima nos diz como definir vetores paralelos em pontos vizinhos. Essa propriedade de conectar vetores vizinhos define o conceito de paralelismo local chamado conex˜ao afim. Podemos, de acordo com o que foi exposto, redefinir o segnificado f´ısico de derivada de um vetor escrevendo ∇b Ba = ∂Ba − Γc ab Bc , ∂xb (2.37) essa derivada deve, por defini¸c˜ao, se transformar como um tensor. E ´e chamada derivada covariante. Os coeficientes se transformam de acordo com a seguinte lei 0a Γ bc ∂xd ∂xe ∂ 2 x0a ∂x0a ∂xe ∂xf 0d Γ ef − 0b 0c d e . = ∂xd ∂x0b ∂x0c ∂x ∂x ∂x ∂x (2.38) Para a m´etrica n´os temos ∇b gae = ∂gae − Γc eb gac − Γc ab gec . ∂xb (2.39) Como a relatividade geral ´e constru´ıda numa geometria (pseudo-)riemanniana8 a conex˜ao ´e dada pelo s´ımbolo de Christoffel c Γ 8 ab 1 = g cd 2  ∂gda ∂gdb ∂gab + − ∂xb ∂xa ∂xd  . (2.40) Estaremos trabalhando numa variedade com uma m´etrica gµν definida em quatro dimens˜oes, uma temporal e trˆes espaciais. Chamaremos tal variedade apartir de agora por espa¸co-tempo; da´ı a express˜ ao pseudo, pois a assinatura da m´etrica ´e (+,-,-,-) 2.2 Relatividade Geral 25 e a derivada covariante da m´etrica se torna ∇b gae = 0 (2.41) e temos ainda, a simplifica¸ca˜o adicional Γc ab = Γc ba . (2.42) Definimos ainda a derivada covariante da densidade tensorial ∇b Tc... a... = termos usuais se Tc... a... f osse um tensor − W Γd db Tc a . (2.43) Por exemplo, a derivada covariante de uma densidade vetorial de peso W e ∇b Ta = ∂b Ta + Γa bc Tb − W Γb bc Ta . (2.44) Para o caso em que b = a e W = 1, temos um resultado que ser´a muito u ´til ∇a Ta = ∂a Ta , (2.45) que ´e, a divergˆencia covariante de uma densidade vetorial de peso +1 ´e igual `a sua divergˆencia ordin´aria. Podemos representar a lei de gauss ou teorema da divergˆencia em nota¸ca˜o indicial num espa¸co-tempo curvo quadridimensional para uma densidade vetotial contravariante Ta de peso +1 por Z a Z T dSa = ∂Ω ∂a Ta dΩ, (2.46) Ω onde Ω (volumetempesoW = −1) ´e uma regi˜ao quadridimensional do espa¸co-tempo limitada por uma hipersuperf´ıcie tridimensional ∂Ω. Usando coordenadas como parˆametros dΩ ´e escrito como d4 x, onde dSa ´e d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 , (2.47) uma densidade escalar de peso −1, e dSa = (dx1 dx2 dx3 , dx0 dx2 dx3 , dx0 dx1 dx3 , dx0 dx1 dx2 ). (2.48) 2.2 Relatividade Geral 2.2.2 26 Princ´ıpio da Equivalˆ encia Como ´e conhecido desde a ´epoca de Galileu o campo gravitacional acelera todos os corpos do mesmo modo, independentemente de sua massa e constitui¸ca˜o interna. No entanto o campo gravitacional n˜ao ´e o u ´nico lugar na natureza onde a acelera¸c˜ao ´e independente da natureza do corpo envolvido: a mesma coisa acontece com as chamadas for¸cas fict´ıcias, as for¸cas sentidas por um observador n˜ao-inercial[13]. A similaridade entre for¸ca gravitacional e for¸cas fict´ıcias torna poss´ıvel anular o efeito da for¸ca gravitacional transformando para um sistema de coordenadas que est´a acelerando precisamente com a acelera¸ca˜o gravitacional: ´e o chamado sistema de referˆencia em queda livre [13]. Esse ´e o princ´ıpio de equivalˆencia fraco 9 , que estabelece a equivalˆencia entre acelera¸ca˜o e gravidade. No entanto, devido a` n˜ao homogeneidade do campo gravitacional e a propriedade deste se anular no infinito, ao contr´ario das for¸cas inerciais, o que pode ser feito ´e eliminar o campo gravitacional numa dada regi˜ao do espa¸co, suficiente pequena para que o campo a´ı seja considaderado uniforme[14]. Mais a` frente, no cap´ıtulo 4, utilizaremos do princ´ıpio de equivalˆencia para acoplar uma campo escalar a` gravita¸c˜ao (curvatura) 2.2.3 Princ´ıpio de Covariˆ ancia Geral Seguindo a id´eia que surge na relatividade restrita de que todos referenciais inerciais (globais) s˜ao equivalentes, podemos estendˆe-la a` relatividade geral para trabalhar com sistemas de coordenadas gerais, sem uma rela¸ca˜o especial entre um poss´ıvel sistema de coordenda global e outro. Assim, deve ser poss´ıvel transformar nossas equa¸c˜oes sobre transforma¸co˜es gerais de coordenadas, e n˜ao apenas sobre um conjunto especial, tais como as transforma¸co˜es entre referenciais inerciais na f´ısica de Galileu ou da relatividade restrita. Essa id´eia que motivou Einstein ´e conhecida como princ´ıpio de covariˆancia geral. O princ´ıpio de covariˆancia geral assegura que as leis da f´ısica devem ser expressas numa forma que 9 Fraco porque refere-se somente ` a gravidade 2.2 Relatividade Geral 27 sejam as mesmas em qualquer sistema de coordenadas[13]. 2.2.4 Deriva¸ c˜ ao das Equa¸co ˜es de Campo de Einstein No que segue, faremos as dedu¸co˜es de alguns resultados que ser˜ao u ´teis para a obten¸ca˜o das equa¸co˜es de campo de Einstein. Para isso estudaremos inicialmente a`s condi¸co˜es f´ısicas que tais equa¸co˜es devem obedecer. Em seguida, partiremos para sua obten¸ca˜o direta.Isso ser´a feito com a utiliza¸ca˜o do princ´ıpio variacional, pois ´e mais compacta, sem muitas considera¸co˜es f´ısicas e, por simplicidade, matematicamente mais consistente [13]. Coordenadas geod´ esicas[12] : Sistema de coordenadas espacial, no qual um vetor transportado paralelamente ao longo da geod´esica se mant´em paralelo ´e dito coordenadas geod´esicas. escolhendo um ponto P tal que xa = 0, ponto na origem do sistema, fazemos uma tranforma¸c˜ao para um novo sistema de coordenadas tal que 1 xa → x0a = xa + Qa bc xb xc , 2 (2.49) com Qa bc = Qa cb e com coeficientes constantes. Diferenciando (2.49) temos ∂x0a 1 1 = δ a d + Qa bc δ b d xc + Qa bc δ c d xb d ∂x 2 2 ∂ 2 x0a ∂x0a a a c = δ + Q x ; = Qa de d dc ∂xd ∂xd ∂xe em xa (P ) $ 0, aqui10 , temos ∂x0a ∂xd = δad e ∂ 2 x0a ∂xd ∂xe (2.50) = Qa de . Desde que tenhamos uma conex˜ao definida nesse ponto P e fa¸camos uma transforma¸c˜ao para o novo sistema de coordenadas ficamos com Γ0a bc = ∂x0a ∂xe ∂xf 0d ∂xd ∂xe ∂ 2 x0a Γ − , ef ∂xd ∂x0b ∂x0c ∂x0b ∂x0c ∂xd ∂xe [Γ0a bc ]P = δ a d δ e b δ f c Γ0d ef − δ d b δ e c Qa de = [Γa bc ]P − Qa bc . (2.51) Se a conex˜ao ´e sim´etrica e podemos escolher constantes tais que [Γa bc ]P = Qa bc temos [Γ0a bc ]P $ 0. 10 o s´ımbolo $ indica a igualdade somente no ponto considerado (2.52) 2.2 Relatividade Geral 28 Sendo assim a derivada covariante se reduz a` derivada parcial ordin´aria e o tensor de curvatura que ´e dado por Ra bcd = ∂c Γa bd − ∂d Γa bc + Γe bd Γa ec − Γe bc Γa ed , (2.53) Ra bcd $ ∂c Γa bd − ∂d Γa bc . (2.54) fica reduzido a` Se fizermos uma varia¸c˜ao na conex˜ao tal que Γa bc → Γ0a bc = Γa bc + δΓa bc , δΓa bc sendo a diferen¸ca entre duas conex˜oes um tensor, essa varia¸ca˜o leva a` varia¸c˜ao do tensor de Riemann Ra cbd → R0a cbd = Ra cbd + δRa cbd e temos δRa bcd $ δ(∂c Γa bd − ∂d Γa bc ), $ ∂c (δΓa bd ) − ∂d (δΓa bc ), δRa bcd = ∇c (δΓa bd ) − ∇d (δΓa bc ), (2.55) onde usamos o fato da derivada ordin´aria comutar com a varia¸c˜ao e que em coordenadas geod´esicas ´e equivalente `a derivada covariante. δRa bcd , sendo a diferen¸ca entre dois tensores ´e um tensor e pelo princ´ıpio de covariˆancia geral se uma equa¸c˜ao tensorial tem uma express˜ao num referencial ent˜ao deve manter sua forma para todos os outros, como P ´e um ponto arbitr´ario o resultado ´e geral, conhecido como Equa¸c˜ao de Palatini. Condi¸c˜ oes ` as equa¸c˜ oes de campo O princ´ıpio variacional parte da especifica¸c˜ao de uma densidade lagraniana L que ´e funcional de gab sua primeira derivada e possivelmente de derivadas de ordem superior [12], tal que L = L(gab , ∂c gab , ∂d ∂c gab , ...). (2.56) ´ exigido que L seja uma densidade escalar de peso +1 () para que possamos formar uma E integral de a¸c˜ao Z A= LdΩ Ω (2.57) 2.2 Relatividade Geral 29 sobre uma regi˜ao Ω(que tem peso -1,se transforma com o inverso do jacobiano) da variedade. O princ´ıpio de a¸ca˜o estacion´aria estabelece que, se fizermos uma varia¸ca˜o arbitr´aria de gab que se anule na fronteira ∂Ω de Ω, ent˜ao A deve ser estacion´aria, ou seja gab → gab + δgab ⇒ A → A + δA, (2.58) δA = 0, (2.59) com onde Z δA = Lab δgab dΩ, (2.60) Ω onde Lab ≡ δL δgab = ∂L ∂gab − d dt  ∂L ∂gab,c  = 0 que ´e a equa¸ca˜o de Euler-Lagrange. δA sendo a diferen¸ca entre dois escalares ´e um escalar e Lab ´e uma densidade tensorial de peso +1. A id´eia ´e gerar uma varia¸ca˜o em gab que ´e simplis consequˆencia de uma mudan¸ca de coordenadas em Ω. Sob essa transforma¸c˜ao de coordenada A deve ser invariante de forma que δA = 0. Uma mudan¸ca infinitesimal de coordenadas em Ω xa → x0a = xa + εX a (x), (2.61) onde X a ´e um campo vetorial suave e se anula na fronteira de Ω. Realizando o c´alculo de δgab temos 0 0 δgab = gab (x) − gab (x) = gab (x) − ∂x0d ∂x0e 0 g (x) ∂xa ∂xb de 0 0 = gab − (δ d a + ε∂a X d )(δ e b + ε∂b X e )(gde + εX b ∂b gde ) = −ε(gdb ∂a X d + gae ∂b X e + X b ∂b gab ), a ultima express˜ao ´e identificada com a derivada de Lie. Podemos trocar a derivada Covariante pela derivada parcial pela express˜ao da derivada de Lie: LX Y a ≡ X b ∂b Y a − Y b ∂b X a = X b ∇b Y a − Y b ∇b X a = X b ∂b Y a + X b Γa bc Y c − Y b ∂b X a − Y b Γa cb X c = X b ∂b Y a − Y b ∂b X a + X c Γa bc Y b − Y b Γa cb X c = X b ∂b Y a − Y b ∂b X a . 2.2 Relatividade Geral 30 E desde que a conex˜ao seja sim´etrica podemos reescrever as derivadas parciais por derivadas covariantes e temos δgab = −ε(∇b Xa + ∇a Xb ) (2.62) E (2.11) fica Z 0 ≡ δA = −2ε Lab (∇b Xa )dΩ (2.63) Ω pois Lab ´e sim´etrico. Usando integral por partes temos Z Z ab 0 ≡ 2ε (∇b L )Xa dΩ − 2ε Ω ∇b [Lab Xa ]dΩ (2.64) Ω o termo entre colchetes ´e uma densidade vetorial de peso +1, portanto sua derivada covariante pode ser reescrita como uma simples derivada parcial ∇c Ta = ∂c Ta + Γa bc Tb − W Γb bc Ta E relembrando o teorema da divergˆencia Z ab Z ∂b [L Xa ]dΩ = 2ε 2ε Lab Xa dSb (2.65) ∂Ω Ω como X a deve se anular na superf´ıcie que delimita o volume Ω esse termo ´e nulo. Temos ent˜ao Z (∇b Lab )Xa dΩ ≡ 0 (2.66) Ω desde que Ω ´e arbitr´ario e o campo vetorial n˜ao seja identicamente nulo no seu interior concluimos que ∇b Lab ≡ 0. (2.67) A divergˆencia das equa¸c˜oes de campo ´e nula, o que nos mune de equa¸co˜es de conserva¸ca˜o: especificam equa¸co˜es do movimento u ´nicas para uma part´ıcula que se movem num campo gravitacional e que as trajet´orias de tais part´ıculas ´e uma geod´esica da m´etrica correspondente [12]. 2.2 Relatividade Geral 31 Acoplamento entre campos e geometria: a¸c˜ ao de campo Considere um campo com energia especificada por uma lagrangiana Lf que depende das vari´aveis do campo e tamb´em dos coeficientes da m´etrica, gµν . O campo ´e considerado como em equil´ıbrio com a geometria de fundo, nenhum dos dois sistemas pode ser considerado separados, mas somente como um u ´nico sistema em que as propriedades dinˆamicas da geometria s˜ao tamb´em descritas por uma lagrangiana Lg [13]. A a¸c˜ao total ´e ent˜ao Z A = Ag + Af = (Lg + Lf )dΩ, (2.68) Ω sendo a m´etrica, a vari´avel dinˆamica. A equa¸c˜ao que estabelece o equil´ıbrio entre geometria e campos externos ´e obtida impondo a condi¸ca˜o de a¸ca˜o estacion´aria sob varia¸co˜es arbitr´arias da m´etrica no volume considerado em um espa¸co-tempo (3+1)D Z δA = (δAg + δAf ) = 0. (2.69) Ω As varia¸co˜es individuais das a¸co˜es Ag eAf levam a` express˜oes tensoriais que caracterizam covariantemente os campos e tamb´em levam a`s equa¸co˜es de conserva¸c˜ao[13]. A¸c˜ ao Gravitacional Consideremos Ag inicialmente. A a¸ca˜o deve ser uma fun¸ca˜o escalar, dependendo somente da m´etrica gµν e de suas derivadas, nesse caso a m´etrica ´e a u ´nica vari´avel dinˆamica. Usando a correspondˆencia, no limite n˜ao-relativ´ıstico, com as equa¸c˜oes da gravita¸ca˜o newtoniana que s˜ao equa¸c˜oes parciais n˜ao-lineares de segunda ordem do potencial newtoniano, esperamos que as equa¸co˜es relativ´ısticas da gravita¸ca˜o sejam tamb´em de mesma ordem e lineares na segunda derivada dos coeficientes da m´etrica que faz o papel dos potenciais gravitacionais. Isso ´e assegurado pela a¸ca˜o ser uma integral da Lagrangiana Lg que ´e uma fun¸ca˜o de gµν , ∂α gµν e ∂β ∂α gµν somente[13].A mais simples a¸c˜ao que satisfaz essas condi¸coes ´e a a¸ca˜o de Einstein Hilbert, dada por: Z √ Ag = R −gd4 x (2.70) Ω onde R ´e o escalar de Ricci definido pela contra¸c˜ao do tensor de curvatura de Riemann Rµν = g αβ Rβµαν = Rα µαν = ∂ν Γα µα − ∂α Γα µν + Γ µα Γα ν − Γ µν Γα α , (2.71) 2.2 Relatividade Geral 32 g ´e o determinante da m´etrica e Ω ´e o volume do espa¸co-tempo onde e feita a integra¸c˜ao √ de elemento d4 x (Ag ´e claramente um escalar visto que −g ´e uma densidade escalar de peso +1 e o elemento de volume d4 x tem peso −1). Uma varia¸ca˜o arbitr´aria na eq.(3) leva a` √ R −gd4 x = δ Z δAg = δ Ω Z √ g µν Rµν −gd4 x Ω
√ √ √ −gg µν δRµν + g µν Rµν δ −g + −gRµν δg µν d4 x Z δAg = (2.72) Ω calculando separadamente os termos da equa¸ca˜o acima temos para o primeiro δRµν =  ∂(Γλ µλ ) ∂(Γλ µν ) λ σ λ σ = δR µλν = δ − + (Γ σν Γ µλ ) − (Γ σλ Γ µν ) ∂xν ∂xλ ∂(δΓλ µλ ) ∂(δΓλ µν ) − + δ(Γλ σν Γσ µλ ) − δ(Γλ σλ Γσ µν ) = ∂xν ∂xλ λ  ∂(δΓλ µλ ) ∂(δΓλ µν ) − + δ(Γλ σν )Γσ µλ + Γλ σν δ(Γσ µλ ) − δ(Γλ σλ )Γσ µν − Γλ σλ δ(Γσ µν ), (2.73) ∂xν ∂xλ onde usamos o fato que a derivada parcial e a varia¸c˜ao comutam. A varia¸ca˜o δΓλ σλ sendo a diferen¸ca (no mesmo ponto) entre duas conex˜oes um tensor, sua derivada covariante ´e dada por ∇ν (δΓλ µλ ) = ∂ν δΓλ µλ + Γλ νσ δ(Γσ µλ ) − Γσ µν δ(Γλ σλ ) − Γσ λν δ(Γλ µσ ) (2.74) substituindo em (2.73) temos δRµν = ∇λ (δΓλ µν ) − ∇µ (δΓλ νλ ) + (Γσ λν − Γσ νλ )δΓλ µσ (2.75) desde que estamos trabalhando num espa¸co-tempo com conex˜ao sim´etrica o u ´ltimo tensor ´e nulo; podemos integrar o primeiro termo da eq. (2.72) para obter Z Ω √ −gg µν δRµν d4 x = Z √   −gg µν ∇λ (δΓλ µν ) − ∇µ (δΓλ νλ ) d4 x (2.76) Ω √ Desde que ∇µ ( −g) = 0 e∇µ (gµν ) = 0 a derivada covariante da m´etrica ´e nula, podemos √ definir a densidade tensorial m´etrica gµν = −ggµν e assim passae para dentro da derivada 2.2 Relatividade Geral 33 ficando assim com o vetor densidade de peso +1, (Tλ = gµν δΓλ µν ),que tem como derivada covariante ∇λ Tλ = ∂λ Tλ . Assim a equa¸ca˜o (2.76) fica Z
∂λ (gµν δΓλ µν ) − ∂µ (gµν δΓλ νλ ) d4 x (2.77)
∂α δ λ α (gµν δΓλ µν ) − ∂α δ µ α (gµν δΓλ νλ ) d4 x = Z
∂α gµν δΓα µν − gαν δΓλ νλ d4 x (2.78) Ω fazendo Z Ω Ω e aplicando o teorema da divergˆencia Z α Z T dSα = ∂Ω ∂α Tα d4 x Ω a eq. (2.78) fica Z
∂α gµν δΓα µν − gαν δΓλ νλ d4 x = (2.79)
gµν δΓα µν − gαν δΓλ νλ dSα = 0 (2.80) ZΩ ∂Ω pois para chegar a`s equa¸c˜oes de campo, impomos a condi¸c˜ao de que as varia¸c˜oes arbitr´arias da m´etrica se anulem na hipersuperf´ıcie que limitam o volume onde calculamos a a¸c˜ao. Aqui, ´e evidente a rela¸ca˜o entre e m´etrica e a conex˜ao afim Γα βγ (gµν ). A varia¸ca˜o da m´etrica sendo nula na superf´ıcie que delimita o volume considerado assim tamb´em o ser´a a varia¸ca˜o da conex˜ao. O segundo termo da eq. (2.72) fica √ ∂ −g µν 1 −g δg = √ gµν δg µν δ −g = µν ∂g 2 −g √ 1 = −ggµν δg µν , 2 √ (2.81) (2.82) sendo que g αβ gβγ = δ α γ g αβ δgβγ + δg αβ gβγ = 0 δg αβ = −g αγ g β δgγ , (2.83) (2.84) (2.85) 2.2 Relatividade Geral 34 Considerando por enquanto que estamos na ausˆencia de campos de mat´eria, podemos ent˜ao reescrever a eq. (2.72) da forma  Z  √ 1 Rµν − gµν R δAg = −gδgµν d4 x = 0 2 Ω (2.86) Sendo a m´etrica arbitr´aria e o elemento de volume 6= 0 obtemos as equa¸co˜es de campo para o v´acuo. 1 Gµν = Rµν − gµν R = 0. 2 (2.87) A¸c˜ ao dos campos de mat´ eria Consideremos agora a a¸ca˜o dos campos de mat´eria[13], dada por Z Af = √ −gLf d4 x. (2.88) Ω Uma condi¸c˜ao satisfeita por todas as distribui¸c˜oes de mat´eria ´e a dependˆencia somente da m´etrica e n˜ao de suas derivadas, assim esperamos que a lagrangiana Lf dependa somente de gµν . Varia¸c˜oes com respeito a` gµν geram Z √ −gLf d4 x =  √ ∂Lf √ −g δgµν + Lf δ −g d4 x ∂g µν Ω  √ 1 µν −gg δgµν ) d4 x + Lf ( 2 Z  δAf = δ Z Ω √ ∂Lf −g δgµν = ∂gµν Ω Z √ 1 T µν −gδgµν d4 x. = 2 Ω (2.89) (2.90) (2.91) onde fazemos a identifica¸c˜ao com o tensor sim´etrico T µν T µν = 2 √ ∂Lf + Lf −gg µν , ∂gµν (2.92) que fornece exatamente a express˜ao para o tensor momento-energia para os campos conhecidos e satisfaz as equa¸co˜es de conserva¸c˜ao ∇µ T µν = 0. (2.93) Mais `a frente utilizaremos destes calculos para encontrar a express˜ao da distribui¸ca˜o de mat´eria de um fluido perfeito como fonte de campo gravitacional e ser´a o modelo adotado 2.2 Relatividade Geral 35 para o restante dessa monografia. Voltando a` equa¸ca˜o (2.72) temos enfim as equa¸c˜oes que estabelecem o equilibrio entre a geometria e os campos de mat´eria, a saber κ Gµν = − Tµν . 2 (2.94) Devido `a condi¸ca˜o de divergˆencia nula das equa¸coes de campo, podemos acrescer um termo linear com a m´etrica, do tipo gµν C. Se o coeficiente C for constante mantemos assim a validade das leis de conserva¸ca˜o. De fato originalmente Einstein alterou as equa¸co˜es de campo para a forma κ Gµν + gµν Λ = − Tµν . 2 (2.95) As implica¸co˜es da introdu¸c˜ao desse termo foi motivo de controv´ersia por muito tempo entre os relativistas. No entanto, recentementee foi observado o fenˆomeno da expans˜ao acelerada do universo, tal efeito poderia est´a ocorrendo devido a` presen¸ca de algo com as caracter´ısticas geom´etricas dessa constante Λ introduzida nas equa¸co˜es. discutiremos esse t´opico mais a` fundo no pr´oximo cap´ıtulo. 2.2.5 Momento e energia Em RG energia e momento s˜ao as fontes de campo gravitacional. Para representar estas quantidades de uma forma invariante usamos o tensor sim´etrico 4x4 T αβ com componentes: T 00 =fluxo de energia(componente zero do 4-vetor momenergia) atrav´es da superf´ıcie x0 constante T 0i =fluxo de energia que cruza a superf´ıcie i constante,i=1,2,3 T i0 =fluxo da componente i do momento que cruza a superficie 0(ct) constante T ij = fluxo da componente i do momento que cruza a superf´ıcie j constante, 2.2 Relatividade Geral 36 i,j=1,2,3 Um fluido perfeito ´e definido como um fluido que n˜ao tem viscosidade nem conduz calor num referencial momentaneamente co-m´ovel (i) n˜ao conduz calor - T 0i = T i0 = 0 significando que energia s´o flui se as part´ıculas do fluido se movem. Se o n´ umero de part´ıculas se conserva ent˜ao a entropia ´e constante; (ii)n˜ao-viscoso- viscosidade ´e uma for¸ca paralela `a interface entre part´ıculas. Sua ausˆencia significa que as for¸cas devem ser perpendiculares a` superf´ıcie,i.e., T ij = 0 se i 6= j [10] A expres˜ao para o tensor momento-energia ´e[10]  p T µν = ρ + 2 U µ U ν − pg µν c (2.96) onde ρ´´e a densidade do fluido e τ ´e o tempo pr´oprio, com U µ = dxµ /dτ e com componentes no referencial c´o-movel U µ = (c, 0, 0, 0). Sua express˜ao matricial, utilizando a m´etrica de Robertson-Walker, que ser´a obtida mais `a frente, ´e   ρc2 0 0 0      0 −p 0 0  µν   T =   0 0 −p 0    0 0 0 −p . 37 3 Cosmologia Desde a ´epoca de Nicolau Cop´ernico ´e geralmente aceito que n˜ao vivemos em uma regi˜ao privilegiada do universo, que se estiv´essemos em uma regi˜ao diferente as caracter´ısticas b´asicas de nossa vizinhan¸ca seriam as mesmas. No entanto, nosso universo ´e muito irregular quanto a distribui¸c˜ao de mat´eria. Em sua maior parte ´e quase t˜ao vazio quanto o v´acuo, mas em algumas regi˜oes, como estrelas ou mesmo gal´axias, a densidade de massa se torna imensa. Qualquer tratamento detalhado ser´a portanto muito complicado. ACosmologia pode ser entendida como o estudo do universo em sua totalidade, fazendo abstra¸c˜ao das irregularidades locais [15]. Assim devemos entender por densidade de massa a densidade m´edia nas regi˜oes do espa¸co cujas dimens˜oes s˜ao grandes em rela¸ca˜o a`s distˆancias entre as gal´axias. Essa hip´otese da distribui¸c˜ao uniforme da mat´eria no espa¸co tem um car´ater aproximativo por sua pr´opria essˆencia, dado que estamos trocando irregularidades locais por um tensor energia-momento m´edio que ´e o mesmo em todos os lugares[14].Mas n˜ao esperamos que o tensor momento-energia seja o mesmo em todos os tempos, portanto ´e de interesse considerar situa¸co˜es n˜ao est´aticas. As con- sidera¸co˜es feitas acima podem ser reunidas no chamado princ´ıpio cosmol´ ogico, que estabelece que o universo como um todo, visto de um ponto fixo no tempo, ´e homogˆeneo e isotr´opico. Na sequˆencia do cap´ıtulo, utilizaremos tal princ´ıpio juntamente com outras considera¸co˜es importantes para a obten¸ca˜o da m´etrica cosmol´ogica, em seguida faremos uma breve revis˜ao de alguns conceitos da cosmologia que ser˜ao u ´teis no entendimento do resto do trabalho. 3.1 Princ´ıpio de Weyl O universo consiste de um sistema u ´nico e que parece diferente para observadores em diferentes estados de movimento. Existe uma classe de observadores no universo que est˜ao associados com o movimento das gal´axias. Assim podemos pensar num fluido 3.1 Princ´ıpio de Weyl 38 preenchendo o espa¸co em que as gal´axias se movem com part´ıculas num fluido perfeito e assumir um movimento especial para essas part´ıculas. Isso pode ser resumido no seguinte postulado: As part´ıculas do substrato est˜ ao contidas no espa¸co-tempo em uma congruˆ encia1 de geod´ esicas tipo-tempo divergindo de um ponto no passado finito ou infinito[12]. O postulado requer que geod´esicas n˜ao se cruzem (congruˆencia de curvas), exceto em um ponto singular no passado, ou eventualmente no futuro (fig.3.1). Portanto existe somente uma geod´esica passando em cada ponto no espa¸co-tempo e consequentemente a mat´eria em qualquer ponto possui uma u ´nica velocidade(vetor tangente). Isso significa que o substrato pode ser considerado como um fluido perfeito, e essa ´e a essˆencia do postulado de Weyl. Devido a` baixa velocidade, v << c, o movimento aleat´orio das gal´axias pode ser negligenciado em primeira instˆancia. Combinado com o movimento de expans˜ao, o postulado de Weyl reflete muito bem a situa¸ca˜o atual do universo. Matematicamente ele requer que as geod´esicas do substrato sejam ortogonais a` uma fam´ılia de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co. Introduzindo coordenadas ct, x1 , x2 , x3 , tais que as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co sejam dadas por t = constante e as coordenadas x1 , x2 , x3 s˜ao constantes ao longo da geod´esica, tais coordenadas s˜ao ditas c´o-moveis. A condi¸ca˜o de ortogonalidade significa que um tempo t pode ser escolhido de modo que o elemento de linha possa ser escrito da forma ds2 = c2 dt2 − hαβ dxα dxβ (3.1) onde t ´e o tempo pr´oprio de um observador (chamaremos tal observador por observador fundamental ) que se move com o fluido, tamb´em chamado de tempo-mundo, ou tempoc´osmico, e hαβ = hαβ (t, x), portanto podemos escolher um tempo universal tal que em cada instante a m´etrica do espa¸co seja idˆentica em todos os pontos e em todas as dire¸co˜es. O tempo-pr´oprio define um conceito de simultaneidade(fig.1.1). Um mapa-pr´oprio ´e ent˜ao a distribui¸ca˜o de eventos na hipersuperf´ıcie de simultaneidade. 1 Consideramos que somente uma curva passa por cada ponto do espa¸co-tempo. Assim dada uma curva da congruˆencia xa = xa (u) podemos us´a-la para definir o campo de vetores tangente dxa /du ao longo da curva. Se fizermos isso para todas as curvas da congruˆencia por fim teremos um campo vetorial X a definido sobre todo o espa¸co-tempo 3.1 Princ´ıpio de Weyl 39 Figura 3.1: Superf´ıcies de tempo-pr´oprio e geod´esicas no substrato O retrato-pr´oprio ´e o aspecto que o universo apresenta para um observador em qualquer instante do tempo-pr´oprio, ou seja, ele compreende os eventos vistos ao longo do passado do cone de luz Figura 3.2: O mapa-pr´oprio e retrato-pr´oprio de um observador Claramente eventos de partes distantes do universo ocorrem em valores mais cedo do tempo-pr´oprio que aqueles mais pr´oximos. 3.2 M´etrica Robertson-Walker[12] 3.2 40 M´ etrica Robertson-Walker[12] Considere um triˆangulo formado por trˆes part´ıculas em um ponto t e tamb´em o triˆangulo formado por essas part´ıculas algum tempo depois. O segundo triˆangulo poder´a diferir, geralmente, do primeiro em muitos aspectos, mas quando usamos o fato de que o princ´ıpio cosmol´ogico requer que o 3-espa¸co seja homogˆeneo e isotr´opico, segue que o segundo triˆangulo deve ser geometricamente idˆentico ao primeiro. Mais ainda, o fator de magnifica¸ca˜o deve ser independente da posi¸ca˜o do triˆangulo pelos mesmos motivos. Portanto a dependˆencia no tempo t em hαβ ´e somente atrav´es de um fator comum, de forma que a raz˜ao das distˆancias (∆x1 , ∆x2 , ∆x3 ) correspondendo `a pequenos deslocamentos possa ser o mesmo em todos os tempos. Assim o tempo s´o pode entrar em hαβ na forma hαβ = S 2 (t)gαβ . (3.2) A raz˜ao de dois valores de S(t) em dois tempos diferentes ´e o fator de magnifica¸ca˜o e por isso ´e chamado de fator de escala. O fator de escala deve ser real de outra forma uma varia¸c˜ao no tempo poderia transformar um intervalo tipo-espa¸co num tipo-tempo. Como cada peda¸co do espa¸co ´e homogˆeneo, isotr´opico e independente do tempo a curvatura em qualquer ponto deve ser constante, de outra forma todos os pontos n˜ao seriam geometricamente idˆenticos. Tal espa¸co ´e dito de curvatura constante. Matematicamente, um espa¸co de curvatura constante ´e caracterizado pelo tensor de riemann na forma[14] Rαβγδ = K(gαγ gβδ − gαδ gβγ ), (3.3) onde K ´e a constante de curvatura. A geometria desses espa¸cos podem ser qualitativamente diferentes dependendo se a curvatura ´e negativa, positiva ou nula. Contraindo Rαβγδ com g αγ temos g αγ Rαβγδ = Rβδ = Kg αγ (gαγ gβδ − gαδ gβγ ) = K(3gβδ − gβδ ) Rβδ = 2Kgβδ . (3.4) 3.2 M´etrica Robertson-Walker[12] 41 Sendo o 3-espa¸co isotr´opico sobre todos os pontos, deve ter simetria esf´erica sobre todos os pontos. Disso segue que o elemento de linha espacial(considerando somente o espa¸co tri-dimensional inicialmente) ter´a a forma dσ 2 = gαβ dxα dxβ = eλ dr2 + r2 (dθ2 + sen2 θdφ2 ) (3.5) onde λ = λ(r) e as componentes do tensor de Ricci s˜ao dadas por Rµν = g αβ Rβµαν = Rα µαν = ∂ν Γα µα − ∂α Γα µν + Γ µα Γα ν − Γ µν Γα α (3.6) Os s´ımbolos de Christoffel diferentes de zero s˜ao −re−λ sen2 θre−λ λ0 ; Γr θθ = ; Γr φφ = ; 2 2 2 1 senθcosθ = ; Γθ φφ = − ; r 2 1 = ; Γφ φθ = cotgθ ; r Γr rr = (3.7) Γθ θr (3.8) Γφ φr onde λ0 = dλ , dr (3.9) que resultam nas componentes do tensor de Ricci R11 = λ0 r 1 R22 = 1 − e−λ + rλ0 e−λ . 2 (3.10) (3.11) Usando a m´etrica (3.5) na rela¸ca˜o (3.4) podemos igualar as componentes do tensor de ricci com os valores encontrados em (3.10) e (3.11) 2Keλ = λ0 r 1 2Kr2 = 1 − e−λ + rλ0 e−λ 2 (3.12) (3.13) que tem como solu¸ca˜o e−λ = 1 − Kr2 . E assim mostramos que a m´etrica para o 3-espa¸co ´e dada por   dr2 2 2 2 2 2 2 dσ = S (t) + r (dθ + sen θdφ ) 1 − Kr2 (3.14) (3.15) Combinado com o resultado da se¸ca˜o anterior obtemos o elemento de linha para a cosmologia relativ´ıstica  dr2 2 2 2 2 ds = c dt − S (t) + r (dθ + sen θdφ ) . 1 − Kr2 2 2 2 2  (3.16) 3.2 M´etrica Robertson-Walker[12] 42 Podemos absorver a arbitrariedade da magnitude de K na coordenada radial e no fator de escala. Assumindo K 6= 0, definimos k por K =| K | k, tal que k = +1, −1 dependendo se K ´e positivo ou negativo, respectivamente. Introduzindo ainda uma coordenada radial rescalonada r∗ =| K | r (3.17)   S 2 (t) dr∗2 ∗2 2 2 2 ds = c dt − + r (dθ + sen θdφ ) . | K | 1 − kr∗2 (3.18) teremos 2 2 2 Definindo agora o fator de escala rescalonado a(t) = S(t) ; se; K 6= 0 |K| a(t) = S(t); se; K = 0. Tirando a estrela da coordenada radial, podemos escrever o elemento de linha da cosmologia relativ´ıstica na forma dr2 + r2 (dθ2 + sen2 θdφ2 ) ds = c dt − a (t) 2 1 − kr 2 2 2 2   (3.19) que ´e conhecido tamb´em por elemento de linha de Robertson-Walker. Podemos agora nos perguntar como um observador fundamental “vˆe”um ao outro. Coloca-se a origem do sistema de coordenadas num deles, e supondo que a coordenada radial da posi¸ca˜o do outro ´e r, que ´e constante. Ent˜ao sua separa¸c˜ao (para um tempo constante) ´e a(t)rc, onde c ´e a velocidade da luz. Observadores fundamentais perceber˜ao sua vizinham¸ca como se movendo radialmente a partir dele. Como a separa¸c˜ao ´e proporcional a r,´e mais simples interpretar o movimento como sendo devido a` uma expans˜ao global ou contra¸c˜ao do espa¸co em si. Observa¸c˜oes do desvio para o vermelho (Redshift) na luz de objetos muito distantes sugerem que o universo atual est´a passando por uma expans˜ao substancial[15]. 3.2.1 Redshift Cosmol´ ogico Imagine que um observador fundamental A no centro de coordenadas r = 0 transmite, no tempo tA , um pulso de luz que ´e recebido por outro observador fundamental B num 3.2 M´etrica Robertson-Walker[12] 43 tempo tB e na posi¸ca˜o rB . Pela simetria esf´erica, ao longo da linha-de-mundo nula do pulso, as coordendas θ e φ s˜ao constantes, consequentemente 0 = c2 dt2 − a2 dr2 1 − kr2 (3.20) e integrando temos tB Z tA cdt = a(t) Z rB √ 0 dr . 1 − kr2 (3.21) Se A emite um outro pulso passado um curto tempo, digamos tA + ∆tA e B recebe-o num tempo tB + ∆tB , ent˜ao (para o mesmo rB ) Z tB +∆tB tA +∆tA cdt = a(t) Z rB √ 0 dr . 1 − kr2 (3.22) e temos Z tB ∆ tA cdt ∆tB ∆tA = − = 0. a(t) a(tB ) a(tA ) (3.23) Se pensarmos em pulso sucessivos como a crista de onda da radia¸ca˜o emitida, podemos pensar ∆tA como sendo o per´ıodo de um f´oton transmitido por A, e tB como sendo o per´ıodo do mesmo f´oton como observado por B. Se o universo est´a expandindo, tal que, se a(tB ) > a(tA ) (3.24) ∆tB > ∆tA ; (3.25) ent˜ao que ´e o per´ıodo do f´oton aumentado. Esse ´e o redshift Cosmol´ogico[15]. Assumindo que a f´ısica atˆomica foi a mesma no passado como ´e hoje, ent˜ao devemos esperar que o espectro carater´ıstico do a´tomo de hidrogˆenio n˜ao tem mudado. Observando a emiss˜ao do espectro atˆomico do hidrogˆenio em uma parte remota do universo -e portanto mais cedo-, e comparando com o mesmo espectro produzido no laborat´orio, o efeito do redshift cosmol´ogico ser´a o deslocamento de um espectro em rela¸ca˜o ao outro, cada e todo f´oton ´e deslocado na mesma propor¸ca˜o. De fato no fim do anos 1920 Edwin Hubble e Milton Humanson observaram esse efeito na luz de gal´axias distantes[2]. 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 3.3 44 Equa¸co ˜es do movimento Devemos agora obter as equa¸co˜es das geod´esicas para a m´etrica (3.19) para da´ı obter os elementos necess´arios2 para substituir nas equa¸c˜oes de campo e chegar a`s equa¸co˜es de movimento. 3.3.1 Equa¸ c˜ ao das geod´ esicas Com a m´etrica obtida dr2 ds = gµν dx dx = c dt − a (t) + r2 (dθ2 + sen2 θdφ2 ) 1 − kr2 2 µ ν 2 2  2  (3.26) podemos calcular o comprimento de arco ds de uma curva X(t) integrando sobre um intervalo [t1 , t2 ] [15] t2 Z p s= gµν dxµ dxν . (3.27) t1 Se a curva ´e uma geod´esica podemos usar o princ´ıpio variacional para derivar as equa¸co˜es do movimento sobre tal curva simplismente introduzindo a parametriza¸ca˜o dxµ = ,onde os dxµ dt dxµ dt dt = x˙ µ s˜ao as componentes do vetor tangente `a curva, e reescrevendo a ex- press˜ao acima como Z t2 s= p gµν x˙ µ x˙ ν dt (3.28) t1 de modo que nosso problema variacional ´e extremizar L(xµ , x˙ µ ) = p gµν x˙ µ x˙ ν . Sendo a curva uma geod´esica seus extremos s˜ao fixos (X µ (t1 ) = X µ (t2 ) = 0) seu comprimento deve ser estacion´ario sobre qualquer varia¸ca˜o nas coordenadas xµ → x0µ = xµ + εX µ . (3.29) Se S(ε) ´e o comprimento da nova curva, impomos a condi¸ca˜o, para uma curva arbitr´aria X µ, dS(ε) |ε=0 = 0. dε 2 S´ımbolos de Christoffel, Tensor e escalar de Ricci (3.30) 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 45 Teremos ent˜ao t2 Z S(ε) = q L(xµ +µ , x˙ µ + εX˙ µ )dt (3.31) t1 com a condi¸c˜ao dS(ε) |ε=0 = . dε Z t2 t1 1 √ 2 L   ∂L ˙ µ ∂L µ X + µ X dt = 0 ∂ x˙ µ ∂x Chega-se facilmente `as equa¸co˜es de Euler-Lagrange   d ∂L ∂L − = 0; ∂η dλ ∂ η˙ dη η˙ = dλ (3.32) (3.33) (3.34) Que gera as curvas geod´esicas b c d 2 xa a dx dx + Γ =0 bc dλ2 dλ dλ (3.35) que s˜ao a`s equa¸co˜es do movimento para part´ıculas em queda-livre na presen¸ca de curvatura (ou gravita¸ca˜o). A lagrangeana com a parametriza¸ca˜o pode ser escrita na forma   r˙ 2 2 ˙2 2 ˙2 2 ˙2 2 + r (θ + sen θφ ) . L = c t − a (t) 1 − kr2 (3.36) Uma vez obtida a lagrangeana, podemos agora calcular as geod´esicas correspondente `a cada coordenada. Para a coordenada t teremos   r˙ 2 ∂L 2 ˙2 2 ˙2 = 2aa˙ + r (θ + sen θφ ) ∂t 1 − kr2   d ∂L d ˙ = 2c2 t¨ = (2c2 t) dτ ∂ t˙ dτ O que gera a equa¸ca˜o de geod´esica   aa˙ r˙ 2 2 ˙2 2 ˙2 ¨ + r (θ + sen θφ ) = 0. t+ 2 c 1 − kr2 (3.37) (3.38) (3.39) Comparando com (3.35) podemos encontrar os s´ımbolos de Christoffel: aa˙ − kr2 ) aar ˙ 2 Γt θθ = − 2 c 2 2 a ar ˙ sen θ Γt φφ = c2 Γt rr = c2 (1 (3.40) (3.41) (3.42) 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 46 Para a coordenada radial r temos r¨ + r˙ 2 kr a˙ + 2 r˙ t˙ − rsen2 θ(1 − kr2 )φ˙ 2 − (1 − kr2 )rθ˙2 = 0 2 1 − kr a (3.43) com os s´ımbolos de Christoffel n˜ao nulos, dados por kr (1 − kr2 ) a˙ = Γr rt = a Γr rr = (3.44) Γr tr (3.45) Γr θθ = −r(1 − kr2 ) (3.46) Γr φφ = −sen2 θ(1 − kr2 ) (3.47) Para a coordenada zenital θ temos 2 a˙ θ¨ + θ˙r˙ + 2 θ˙t˙ − −senθcosθφ˙ 2 = 0, r a (3.48) com os s´ımbolos a˙ a 1 = r Γθ tθ = Γr θt = (3.49) Γθ rθ = Γθ θr (3.50) Γθ φφ = −senθcosθ (3.51) E, finalmente para a coordenada azimutal φ, a equa¸c˜oa de movimento ´e dada por 2 a˙ φ¨ + φ˙ r˙ + 2 φ˙ t˙ + 2cotgθθ˙φ˙ = 0 r a (3.52) com os s´ımbolos a˙ a 1 = r Γφ tφ = Γr φt = (3.53) Γφ rφ = Γφ φr (3.54) Γφ φθ = cotgθ (3.55) Agora podemos calcular os tensores de Ricci e Riemann para tal m´etrica. Com a defini¸ca˜o do tensor de Ricci Rµν = g αβ Rβµαν = Rα µαν = ∂ν Γα µα − ∂α Γα µν + Γ µα Γα ν − Γ µν Γα α (3.56) 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 47 e pelo fato da m´etrica ser diagonal,temos Rtt = ∂t Γα tα − ∂α Γα tt + Γ tα Γα t − Γ tt Γα α = (∂t Γr tr + ∂t Γθ tθ + ∂t Γφ tφ ) + (Γr tr Γr rt + Γθ tθ Γθ θt + Γφ tφ Γφ φt )  2 ∂ a˙ a˙ +3 = 3 ∂t a a a ¨ = 3 . a (3.57) pois Γα tt = 0. Para a componente Rrr ´e mais instrutivo abrir a soma em separado para n˜ao confundir os v´arios termos. Ent˜ao Rrr = g λν Rλrνr = g rr Rrrrr + g tt Rtrtr + g θθ Rθrθr + g φφ Rφrφr (3.58) Desde que Rrrrr = 0, podemos calcular os termos restantes como Rtrtr = gtt Rt rtr . As componentes do tensor de Riemann Rt rtr = ∂r Γt rt − ∂t Γt rr + Γ rt Γt r − Γ rr Γt t   aa ˙ = −∂t 2 + Γr rt Γt rr c (1 − kr2 ) a ¨a = − 2 c (1 − kr2 ) (3.59) Igualmente para Rθrθr Rθ rθr = ∂r Γθ rθ − ∂θ Γθ rr + Γ rθ Γθ r − Γ rr Γθ θ   1 1 = ∂r + 2 − Γθ tθ Γt rr − Γθ rθ Γr rr r r a˙ aa ˙ 1 kr = − 2 − a c (1 − kr2 ) r 1 − kr2 a˙ 2 + kc2 = − 2 c (1 − kr2 ) (3.60) E para Rφrφr Rθ rθr = ∂r Γφ rφ − ∂φ Γφ rr + Γ rφ Γφ r − Γ rr Γφ φ 1 + Γφ φr Γφ rφ − Γφ rφ Γr rr + Γφ tφ Γt rr r2 1 kr a˙ aa ˙ = − − r 1 − kr2 a c2 (1 − kr2 ) a˙ 2 + kc2 = − 2 c (1 − kr2 ) = − (3.61) 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 48 e ficamos enfim com Rrr = − a ¨a + 2a˙ 2 + 2kc2 c2 (1 − kr2 ) (3.62) Para Rθθ temos igualmente Rθθ = g λν Rλθνθ = g rr Rrθrθ + g tt Rtθtθ + g φφ Rφθφθ (3.63) Desde que Rθθθθ = 0. Temos Rt θtθ = ∂θ Γt θt − ∂t Γt θθ + Γ θt Γt θ − Γ θθ Γt t   aar ˙ 2 + Γθ θt Γt θθ = −∂t c2 a ¨ar2 = − 2 c (3.64) Igualmente para Rrθrθ Rr θrθ = ∂θ Γr θr − ∂r Γr θθ + Γ θr Γr θ − Γ θθ Γr r
= −∂r −r(1 − kr2 ) + Γθ θr Γr θθ − Γt θθ Γr tt − Γr θθ Γr rr kr ˙ 2 1 a˙ aar − (−r(1 − kr2 )) = 1 − 3kr2 − r(1 − kr2 ) − 2 r a c 1 − kr2 ar ˙ 2 2 2 = 1 − 3kr − 1 + kr − 2 + kr2 c (a˙ 2 + kc2 )r2 = − c2 (3.65) E para Rφθφθ Rφ θφθ = ∂θ Γφ θφ − ∂φ Γφ θθ + Γ θφ Γφ θ − Γ θθ Γφ φ ∂ (cotgθ) + Γφ φθ Γφ θφ − Γφ tφ Γt θθ − Γφ rφ Γr θθ ∂θ ˙ 2 1 a˙ aar = −cossec2 θ + cotg 2 θ − − (−r(1 − kr2 )) a c2 r 2 2 2 (a˙ + kc )r = − c2 = (3.66) e ficamos enfim com Rθθ = − (¨ aa + 2a˙ 2 + 2kc2 )r2 c2 (3.67) Resta calcular o escalar de curvatura, para issso usamos a defini¸c˜ao R = g µν Rµν = g tt Rtt + g rr Rrr + g θθ Rθθ + g φφ Rφφ   ¨a + a˙ 2 + kc2 6 a R = 2 . c a2 (3.68) 3.3 Equa¸c˜oes do movimento 49 Agora podemos substituir as componentes das equa¸co˜es de campo de Einstein para obter as equa¸co˜es do movimento. Para a componente temporal temos: 1 8πG Rtt − gtt R − Λgtt = − 4 Ttt 2 c (3.69) Substituindo (3.57) e usando a express˜ao matricial do tensor-momento energia do cap´ıtulo 2 temos   ¨a + a˙ 2 + kc2 8πG a ¨ 1 26 a + Λc2 = − 2 ρ 3 − c 2 2 a 2 c a c (3.70) temos a equa¸c˜ao de Friedmann, que mede a taxa de expans˜ao do universo, rapidez do fator de escala  2 8πG kc2 Λc2 a˙ = ρ− 2 + a 3 a 3 (3.71) Para as componentes espaciais,por exemplo Rrr , temos 1 8πG Rrr − grr R + Λgrr = − 4 Trr 2 c (3.72) Substituindo (3.59) e sua componente correspondente do tensor momento-energia       a ¨a + 2a˙ 2 + 2kc2 1 a2 6 a ¨a + a˙ 2 + kc2 a2 8πG − T(3.73) − − − Λ − = − rr c2 (1 − kr2 ) 2 1 − kr2 c2 a2 1 − kr2 c4 temos a equa¸c˜ao " #  2 a ¨ a˙ kc2 a2 8πG 2 2 + + − Λc Trr = − c2 (1 − kr2 ) a a a2 c4 (3.74) a ¨ a˙ 2 kc2 8πG 2 + ( ) + 2 − Λc2 = − 4 p a a a c (3.75) que resulta em substituindo a express˜ao da eq. de Friedmann (3.71) na eq.(3.75) acima temos kc2 Λc2 kc2 8πG a ¨ 8πG 2 + ρ− 2 + + 2 − Λc2 = − 2 p a 3 a a c 3 a ¨ 4πG 3p Λc2 =− ρ+ 2 + , a 3 c 3 (3.76) (3.77) que ´e a equa¸c˜ao de acelera¸ca˜o do universo, que mede a taxa de varia¸ca˜o de expans˜ao, independentemente do fator de curvatura. Da equa¸ca˜o (3.77) conclui-se que num cen´ario onde o universo se expande aceleradamente aumentando seu volume e diluindo a mat´eria. Se a constante cosmol´ogica Λ > 0 ela pode ser a respons´avel por tal efeito desde que gere press˜ao negativa. 3.4 Constante cosmol´ogica como candidata mais simples 3.4 50 Constante cosmol´ ogica como candidata mais simples Para efeito de simplifica¸ca˜o adotaremos nesta se¸ca˜o unidades tais que c = 1, e as equa¸co˜es obtidas na se¸c˜ao anterior ficam  2 a˙ k 8πGρ Λ + − 2 = a 3 3 a a ¨ 2 + a  2 a˙ k + 2 − Λ = −8πGp a a (3.78) (3.79) substituindo (3.73) temos a equa¸ca˜o de acelera¸ca˜o, a ¨ 4πG Λ =− (ρ + 3p) + a 3 3 (3.80) . A constante cosmol´ogica Λ ´e capaz de gerar acelera¸c˜ao positiva. Se fizermos ρΛ = podemos incorporar Λ na densidade Total ρ, e ficamos com  2 a˙ k 8πG 2 H = (ρ + ρΛ ) − 2 = a 3 a Λ 8πG (3.81) e esta ´e a equ˜a¸ca˜o de Friedmann que descreve a expans˜ao do universo em fun¸c˜ao da sua densidade e curvatura. Fazendo ainda pΛ = −ρΛ obtemos a equa¸c˜ao de acelera¸c˜ao (3.75) da forma(tomando que pm = 0) 4πG a ¨ =− (ρΛ + ρ + 3pΛ ). a 3 (3.82) Desta express˜ao notamos que todo tipo de componente com press˜ao positiva contribui para desacelerar a expans˜ao do universo, e desconsiderando massa e densidade negativa, assim a u ´nica maneira de considerar acelera¸ca˜o da expans˜ao seria a presen¸ca de press˜ao negativa. Podemos ainda manipular essas express˜oes e obter ρ˙ + 3H(ρ + p) = 0. (3.83) Da´ı tanto a densidade (dilui¸ca˜o da densidade com o aumento do volume do universo ) quanto a press˜ao (realizando trabalho com o aumento do volume e transferindo energia para o campo gravitacional) contribuem para a varia¸ca˜o de densidade total do universo[16], e a condi¸c˜ao pΛ = −ρΛ na equa¸ca˜o acima leva a` ρ˙Λ + 3H(ρΛ + pΛ ) = 0 (3.84) 3.4 Constante cosmol´ogica como candidata mais simples 51 Como por defini¸c˜ao ρΛ ´e constante obrigatoriamente temos pΛ = −ρΛ (3.85) Conforme o Universo se expande trabalho ´e realizado no fl´ uido da Constante C´osmol´ogica, mant´endo sua densidade constante mesmo com a expans˜ao acelerada. Pres˜ao negativa ´e chamada tens˜ao, mas na maioria dos materiais est´a somente presente se sobre este atuam for¸cas externas, tal como ser extendido em alguma dire¸ca˜o como um c´ırculo el´astico[1]. Materiais normais n˜ao tem tens˜ao(press˜ao negativa isotr´opica) em seu estado de repouso. A constante cosmol´ogica Λ, introduz uma densidade de energia e press˜ao no universo que s˜ao constantes no tempo e no espa¸co, e que s˜ao a mesma n˜ao importa qual observador as me¸cam. O fluido ´e completamente invariante, desde que a press˜ao negativa cosmol´ogica tinha que ser fundamental, n˜ao fixada por campo de materia ou sua configura¸c˜ao, deveria ser constante no espa¸co e no tempo, e n˜ao existiria observador especial para medir a press˜ao. Ela seria assim, uma constante Λ fundamental da natureza, Λ. A press˜ao dada por p = − 8πG , o sinal indica que Λ deve ser positivo para prover uma press˜ao negativa para o universo acelerado. Pode-se fazer a press˜ao invariante se Λ gera uma densidade de massa ρΛ = − pcΛ2 = Λ , 8πG o fluido cos- mol´ogico que tem essa press˜ao e densidade tem propriedades not´aveis. Podemos especular sobre a possibilidade de detec¸c˜ao de Λ que n˜ao seja por efeitos gravitacionais[1]. Poderiamos no s perguntar se o fluido de Λ tem in´ercia para dificultar o movimento das coisas. A massa inercial ´e dada por ρ + p. Pela rela¸ca˜o da densidade e press˜ao de Λ isso ´e nulo! Pode ser acelerado sem custo ou esfor¸co. Essa propriedade ´e a chave para a invariancia sob transforma¸ca˜o de sistemas de coordenadas. For¸cas de press˜ao atuam somente atrav´es de diferen¸cas de press˜ao [1]. Uma press˜ao uniforme, mesmo negativa, n˜ao exerce for¸ca. Sendo assim Λ ´e indetect´avel em experimentos n˜ao-gravitacionais. N˜ao contribui para a dinˆamica local. N˜ao oferece resistˆencia para objetos se movendo no v´acuo. Sua press˜ao ´e uniforme, n˜ao exerce for¸ca direta sobre os objetos. O v´acuo ´e t˜ao vazio com ou sem Λ, exceto por efeitos gravitacionais. Normalmente a densidade e press˜ao de um fluido depende do observador e da velocidade do fluido relativa ao observador. A massa inercial por unidade de volume ´e a 3.4 Constante cosmol´ogica como candidata mais simples 52 quantidade que mede a inercia do fluido, que determina a press˜ao que pode exercer sobre uma parede. A press˜ao de um fluido relativistico com velocidade pequena ´e(ρ + p )v 2 . c2 Vendo que a densidade de massa inercial do fluido da CC ´e zero: a press˜ao medida por um observador que est´a se movendo com respeito ao fluido ´e exatamente o mesma que medida por um em repouso (invariante). ´ importante salientar que na Gravita¸c˜ao cl´assica n˜ao h´a referˆencia sobre a E composi¸ca˜o f´ısica da Constante cosmol´ogica, no entanto trabalhos em Teoria Quˆantica de Campos verificam uma energia do V´acuo diferente de zero(Oscilador Harmˆonico Quˆantico) mas num valor 120 ordens de grandeza maior que o valor medido pelas observa¸c˜oes da taxa de expans˜ao. Temos ainda o problema do ajuste fino do valor da constante no Universo primordial, onde diferia das densidades de mat´eria e radia¸ca˜o que eram infinitamente grandes. 53 4 Quintessˆ encia Ao contr´ario da constante cosmol´ogica, os modelos de Quintessˆencia associam um comportamento dinˆamico `a componente escura. A motiva¸ca˜o para a ado¸ca˜o de tal cen´ario vem dos resultados dos trabalhos de D.Kanazas em 1980 e Alan Guth e K.Sato em 1981[2] sobre quebras espontˆaneas de simetrias existentes no universo primordial. A hip´otese de que o universo teria passado por uma r´apida infla¸c˜ao impulsionada pela presen¸ca de campos escalares. O modelo de infla¸ca˜o ofereceu explica¸co˜es para problemas existente na cosmologia como porque o universo ´e t˜ao homogˆeneo e isotr´opico em larga escala[1]. Ainda explica porque a densidade do universo ´e t˜ao pr´oxima da cr´ıtica e como as gal´axias se formaram a partir de flutua¸co˜es na densidade do universo primordial. Assim a aplica¸c˜ao da teoria de part´ıculas e campos a` cosmologia levantou a possibilidade da presen¸ca de campos escalares no universo como um todo. Numa escala de energia muito menor do que aquela presente no come¸co do universo,os campos escalares s˜ao mais uma vez utilizados na cosmologia, agora para dar conta da recente expans˜ao acelerada do universo. Os trabalhos de Caldwell,R. R.et al [18] introduzem os campos de quintessˆencia como componete de energia escura. O termo Quintessˆencia se refere `as diferentes componentes de energia presentes no universo: b´arions, l´eptons, f´otons, mat´eria escura e o quinto elemento. O nome ´e emprestado da classifica¸c˜ao de Aristot´eles dos elementos constituintes do universo: terra, a´gua, ar, fogo e a Quintessˆencia(´eter)[19]. No texto Quintessˆencia desiguinar´a um campo escalar aproximadamente homogˆeneo φ(x, t) ≈ φ(t) que representar´a a densidade de energia escura que domina o universo e gera press˜ao negativa. Associado a este campo h´a um potencial, V (φ) sob o qual o campo oscila lentamente. Quintessˆencia ´e caracterizada por uma equa¸ca˜o de estado ω ≡ p1 ρ onde p ´e a press˜ao e ρ ´e a densidade de energia[19]. Muitos modelos consideram 0 ≥ ω > −1 enquanto uma constante cosmol´ogica tem exatamente 1 Como estamos trabalhando com modelos adiab´aticos, p(ρ), e ω pode ser uma constante como ´e o caso da radia¸c˜ ao,ω = 31 , da mat´eria normal,ω = 0, e da constante cosmol´ogica,ω = −1, ou variar com o tempo como ´e o caso dos modelos de quintessˆencia 4.1 Campo Escalar 54 ω = −1. Ao contr´ario da constante cosmol´ogica, a densidade de energia e press˜ao da Quintessˆencia variam no tempo e ω pode tamb´em variar. 4.1 Campo Escalar Um campo escalar ´e uma fun¸ca˜o real cont´ınua do espa¸cotempo φ(xµ ). O termo escalar significa que ´e um escalar sob transforma¸c˜oes gerais de coordenadas,i.e., dois observadores concordar˜ao no valor de um campo escalar num ponto fixo do espa¸cotempo [20] A dinˆamica do campo escalar ´e definida por uma fun¸c˜ao lagrangiana L(φ, ∂µ φ, ...) que ´e fun¸ca˜o do campo e de suas derivadas. A a¸c˜ao ´e dada por Z A = Ld4 x (4.1) onde Z L= Ld3 x (4.2) ´e a densidade lagrangiana, pois ´e definida em termos da quantidade cont´ınua φ. Impomos a condi¸c˜ao de a¸c˜ao estacion´aria sob varia¸co˜es arbitr´arias do campo(varia¸c˜oes das coordenadas essencialmente). Por tal condi¸c˜ao essas varia¸c˜oes se anulam nos extremos, i.e., δφ = φ(xµ + δxµ ) − φ(xµ ) com φ(t1 ) = φ(t2 ) = 0 . Como a lagrangeana s´o depende do campo φ chegamos a` equa¸ca˜o de Euler-Lagrange na forma   ∂L ∂L − ∂µ =0 ∂φ ∂(∂µ φ) (4.3) considerando varia¸c˜oes at´e primeira ordem. No caso do campo escalar a lagrangiana ´e dada pela diferen¸ca entre do termo cin´etico e o termo de intera¸c˜ao do campo como escrito abaixo 1 L = ∂µ φ∂ µ φ − V (φ). 2 (4.4) Substituindo (4.4) em (4.3) temos a eq. do movimento ∂µ ∂ µ φ + ∂V = 0. ∂φ (4.5) Que pode ser identificada com a eq. de Klein-Gordon que descreve m´esons escalares de spin 0 [21]. 4.1 Campo Escalar 4.1.1 55 Campo Escalar Minimamente Acoplado Vamos examinar agora o caso em que o campo n˜ao ´e livre e interage com o campo gravitacional. Em geral, quando qualquer campo da f´ısica est´a em intera¸c˜ao gravitacional, dois tipos de acoplamento s˜ao poss´ıveis[22]: • acoplamento m´ınimo; • acoplamento direto com a curvatura. O primeiro consiste na aceita¸ca˜o do Princ´ıpio de Equivalˆencia, ou seja, localmente ´e poss´ıvel anular o campo gravitacional atrav´es de uma escolha conveniente do sistema de coordenadas. No segundo, aparece termos de curvatura explicitamente na lagrangeana, tal intera¸ca˜o n˜ao desaparece localmente em nenhum sistema de coordenadas. Neste trabalho, nos restringiremos ao primeiro caso. Seja a lagrangiana de um campo escalar interagindo com a gravita¸ca˜o pelo acoplamento m´ınimo definida por L = Lg + Lφ , (4.6) onde Lg ´e a lagrangiana de Einstein-Hilbert e Lφ ´e a lagrangiana do campo definida em (1.12). A ˜a¸ca˜o total ser´a dada por[22] Z S= √ 1 −g(R + ∂ µ φ∂µ φ − V (φ))d4 x. 2 (4.7) onde R ´e o escalar de Ricci.Temos agora duas vari´aveis dinˆamicas, o campo escalar e a m´etrica de espa¸co curvo gµν . A equa¸c˜ao do movimento do campo que era (4.5) se altera √ devido a presen¸ca de −g. E utilizando novamente (4.3) temos[23] ∂L √ ∂V = −g ∂φ ∂φ √  ∂L −g ∂ µγ = ∂µ φ∂γ φg ∂(∂α φ) ∂(∂α φ) 2 √ −g αγ = (g ∂γ φ + g µα ∂µ φ) 2 √ −gg αν ∂ν φ = (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) 4.1 Campo Escalar 56  ∂α ∂L ∂(∂α φ)  √ √ = ∂ν φ∂α ( −gg αν ) + −g∂ ν ∂ν φ. (4.12) e ficamos com a equa¸ca˜o √ 1 ∂V ∂µ ∂ µ φ + √ ∂ν ( −gg µν )∂µ φ + = 0. −g ∂φ (4.13) O tensor momento-energia dado por −Tµν = 2 √ ∂Lf − Lf −ggµν µν ∂g (4.14) fica 1 Tµν = ∂µ φ∂ν φ − gµν ( gαβ ∂α φ∂β φ − V (φ)), 2 (4.15) Que ´e a express˜ao do tensor em fun¸ca˜o do campo que contribui como fonte gravitacional. 4.1.2 Campo Escalar de Quintessˆ encia Utilizando o espa¸cotempo de RW e considerando que o campo ´e aproximadamente − homogˆeneo, φ(→ x , t) ≈ φ(t),(discutiremos essa considera¸cao mais `a frente) a eq.(4.13) se escreve a˙ φ¨ + 3 φ˙ + V 0 (φ) = 0 a (4.16) Esta ´e a equa¸c˜ao do movimento do campo de Quintessˆencia, minimente acoplado com termo cin´etico canˆonico e auto-intera¸ca˜o descrita pelo potencial V (φ)[24]. A considera¸ca˜o − que foi feita de que φ(→ x , t) ≈ φ(t) significa que se medirmos a varia¸c˜ao do campo quando passamos de um ponto no espa¸co para outro pr´oximo n˜ao observaremos uma mudan¸ca significativa. De fato, os efeito observados da energia escura s˜ao observados somente em escalas cosmol´ogica, ent˜ao ´e razo´avel supor que o campo esteja oscilando muito lentamente com o tempo sob o potencial V (φ). A considera¸c˜ao de oscilar muito lentamente implica que a energia cin´etica ´e muito menor que a energia potencial[25], condi¸ca˜o necess´aria para que o fluido representado pelo campo gere uma press˜ao efetiva negativa provendo a expans˜ao acelerado do Universo [24][25]. O tensor momento-energia que define a densidade de energia e press˜ao fica 1 T00 = ρ = φ˙ 2 + V (φ), 2 1 −Tii = p = φ˙ 2 − V (φ). 2 (4.17) (4.18) 4.2 Equa¸c˜oes de Einstein acopladas com Quintessˆencia 57 Portanto a press˜ao ´e negativa se o campo oscila t˜ao lentamente que a energia cin´etica ´e bem menor que a energia potencial. A raz˜ao da energia cin´etica para a potencial ´e determinada pela equa¸c˜ao de movimento do campo escalar (4.16), que determina a equa¸ca˜o de estado[26] ω= φ˙ 2 − V (φ) p = ρ φ˙ 2 + V (φ) (4.19) dependendo da forma de V (φ), ω pode variar de 0 `a −1. A partir daqui fica claro a considera¸ca˜o de o modelo gerar press˜ao negativa em fun¸ca˜o do potencial e sua energia cin´etica. 4.2 Equa¸co ˜es de Einstein acopladas com Quintessˆ encia As equa¸c˜oes do movimento obtidas no cap´ıtulo 3 se alteram agora com a densidade de energia e press˜ao (4.17) e (4.18) ficando a equa¸ca˜o de Friedmann  2 a˙ 8πGρ k 1 = − 2 + φ˙ 2 + V (φ) a 3 a 2 (4.20) E a equa¸c˜ao de acelera¸c˜ao na era dominada pela mat´eria (pm = 0) gera o resultado a ¨ 4πG = − (ρm + ρφ + 3pφ ) a 3 4πG [ρm + 2φ˙ 2 − V (φ)]. = − 3 (4.21) (4.22) Se o potencial alcan¸ca um valor suficientemente grande[27] tal que 2V > ρm + 2φ˙ 2 (4.23) a ¨/a tem um valor positivo consistente com a observa¸c˜ao. Esse modelo tem uma possibilidade que se V (φ) tem um valor pequeno comparado com ρm +2φ˙ 2 2 na era dominada pela mat´eria, e depois passa a dominar a dinˆamica ent˜ao o modelo exibe um perfil de transi¸ca˜o entre a fase desacelerada e a fase acelerada. Os dados observacionais indicam que tal transi¸ca˜o ocorreu de forma suave[27], portanto espera-se que um potencial consistente com o comportamento do fator de escalar a(t) e mais uns ajustes nos parˆametros constante, como as condi¸coes iniciais, nos forne¸ca um modelo que concorde com os dados. 58 5 Quartessˆ encia 5.1 G´ as de Chaplygin Uma dire¸ca˜o completamente diferente que tamb´em descreve a energia escura ´e produzida pelo chamado G´as de Chaplygin Generalizado(GCG)[28], um fluido ex´otico que obedece a equa¸c˜ao de estado P = A ρα (5.1) onde A > 0 ´e uma constante e o parˆametro α se encontra no intervalo 0 < α < 1. Esse inervalo assegura que a velocidade do som1 n˜ao supere a velocidade da luz,em particular α = 1 recupera o G´as de Chaplygin Ordin´ario. Chaplygin introduziu sua equa¸ca˜o de estado[29] como modelo conveniente para estudar a for¸ca de levantamento a aerodinˆamica na asa de um avi˜ao. Sua relevˆancia para a Cosmologia devido a` descri¸ca˜o da energia escura pode ser verificada em [9], onde ´e feito o estudo da cosmologia de FRW(FriedmannRobertson-Walker) de um universo preenchido por g´as de Chapligyn. Essa abordagem consegue extrair caracter´ısticas da energia escura sem a necessidade de ajustar a forma do potencial (problema dos modelos de Quintessˆencia). O car´ater mais atrativo desse modelo ´e a interpola¸ca˜o suave entre a fase dominada por poeira (mat´eria bariˆonica+ escura) e a fase dominada por energia escura(ou tipo constante cosmol´ogica) passando por uma fase intermedi´aria que ´e uma mistura de constante cosmol´ogica com um tipo de mat´eria ”viscosa”com equa¸c˜ao de estado p = ωρ[28]. Com essa caracter´ıstica temos a possibilidade de unificar o chamado setor escuro da Cosmologia. Nesse contexto, a mat´eria escura2 , e a energia escura3 se unificam. Nada mais seriam que manifesta¸co˜es distintas de um u ´nico componente fluido. Devido `a essa caracter´ıstica os modelos de Unifica¸c˜ao da Mat´eria-Energia Escura s˜ao tamb´em chamados 1 2 cs 2 = ∂P ∂ρ Que tem o efeito atrativo, de se aglomerar devido `a atra¸c˜ao gravitacional em escalas da ordem de gal´ axias e aglomerados 3 Que tem o efeito de repuls˜ ao gravitacional que expande aceleradamente o Cosmos 5.1 G´as de Chaplygin 59 de Quartessˆencia[30], ao contr´ario dos modelos de Quintessˆencia que assumem a energia escura como uma quinta componente al´em de b´arions, l´eptons, f´otons e mat´eria escura. Admitindo que o fluido correspondente ao G´as de Chaplygin obedece sozinho a` equa¸c˜ao de conserva¸ca˜o da energia a˙ ρ˙ + 3 (ρ + p) = 0, a (5.2) e usando a equa¸ca˜o de estado do g´as (5.1) temos, ap´os uma integra¸ca˜o direta, a express˜ao da densidade em fun¸ca˜o do fator de escala[28]: 1   α+1 B ρ = A + 3(α+1) a (5.3) onde B ´e uma constante de integra¸ca˜o. Da express˜ao (5.3), fazendo α = 1, podemos ver que para uma ´epoca mais cedo, valores pequenos de a, i.e. a6 << B/A,a express˜ao ´e aproximada por s ρ= A a6   √ B B a6 + ' 3 , A a (5.4) que corresponde ao universo dominado pela mat´eria (ρ ∝ a−3 ). Para ´epocas mais recentes, grandes valores do raio cosmol´ogico, i.e. a6 >> B/A, temos ρ∼ √ √ A, p ∼ − A, que corresponde ao universo vazio com uma constante cosmol´ogica Λ ∝ (5.5) √ A[9]. Uma analise da Equa¸ca˜o de estado efetiva pode ser feita na fase intermedi´aria entre a fase dominada por poeria a fase de Sitter, usando expans˜ao em s´erie de Taylor de primeira ordem, (1 + x)n ' 1 + nx para x << 1,temos pela express˜ao de densidade [28] 1   α+1 1 B ρ = A 1+α 1 + Aa3(α+1)   1 1 B ' A 1+α 1 + 1 + α Aa3(α+1) 1 ρ ' A 1+α + 1 B −3(α+1) α a 1 + α A 1+α e a press˜ao equivalente dada pela equa¸ca˜o de estado −α   α+1 1 A B −3(α+1) P = − α = −A 1+α 1 + a ρ A   1 α B −3(α+1) ' −A 1+α 1 − a 1+αA (5.6) 5.1 G´as de Chaplygin 60 1 P ' −A 1+α + α B −3(α+1) α a 1 + α A 1+α (5.7) 1 que ´e uma mistura de constante cosmol´ogica A 1+α mais mat´eria com equa¸ca˜o de estado p = αρ. As equa¸co˜es de movimento para um Universo homogˆeneo e isotr´opico descritas pela m´etrica de Friedmann-Robertson-Walker espacialmente plana s˜ao dadas por: a˙ 3 = 8πG(ρm + ρr + ρc ) a (5.8) a ¨ 2 = −8πG(ρm + ρr + ρc + pr + pc ). (5.9) a √ √ No caso em que o g´as de chapligyn domina[31] temos p = − A eρ = A ficamos com √ a˙ 3 = 8πG A a (5.10) √ a ¨ = 4πG −A. a (5.11) E a equa¸c˜ao de acelera¸c˜ao da expans˜ao ´e parecida com o caso da constante cosmol´ogica. Podemos estimar o valor da constante A comparando a express˜ao de press˜ao e densidade com os dados observacionais[9]. No universo preenchido com mat´eria(pm = 0) e energia escura temos ρ = ρΛ + ρM ; (5.12) p = pΛ + pM = −Λ. (5.13) Com o uso de (5.1) e fazendo α = 1 temos A = Λ(Λ + ρM ). (5.14) Se a energia escura contribui com 70% da energia total para a densidade cr´ıtica, ent˜ao √ a densidade de mat´eria ´e ρm = 0.43Λ e temos A ∼ 1.2Λ. Portanto, na cosmologia de Chaplygin (CCh) uma vez que o universo come¸ca a expans˜ao acelerada n˜ao pode mais desacelerar e pode aumentar ainda mais, at´e 1.2Λ. 5.2 Deriva¸ca˜o do Potencial a partir do GC 5.2 61 Deriva¸c˜ ao do Potencial a partir do GC Podemos encontrar um campo φ e um potencial V (φ) que descrevem a Cosmologia de Chaplygin[9]. Partindo da lagrangiana 1 L = φµ φν − V (φ) 2 (5.15) e escrevendo a eq. de conserva¸c˜ao na forma d(ρa3 ) = −pd(a3 ) (5.16) e utilizando a express˜ao que caracteriza o g´as de chapligyn,p = − Aρ podemos integrar e obter r ρ= A+ B a6 (5.17) com B sendo uma constante de integra¸c˜ao. Podemos,considerando o campo homogˆeneoφ(x, t) ∼ φ(t), impor a igualdade da densidade de energia do campo igual `a densidade do g´as de Chapligyn r 1 ˙2 B ρφ = φ + V = A + 6 2 a 1 A pφ = φ˙ 2 − V = − p . 2 A + B/a6 (5.18) (5.19) Disso segue imediatamente que ρφ + pφ gera φ˙ 2 = a6 B p A + B/a6 (5.20) e ρφ − pφ d´a 2a6 (A + B/a6 ) − B p V (φ) = 2a6 A + B/a6 (5.21) Para o caso K=0, e escrevendo a equa¸ca˜o de expans˜ao de Friedmann de forma que 8πG = 1 a˙ K ( )2 = ρ + 2 a a (5.22) temos √ dφ da B = 3 da dt a (A + B/a6 )1/4 (5.23) 5.2 Deriva¸ca˜o do Potencial a partir do GC φ0 √ 1 B = 3 aa ˙ (A + B/a6 )1/4 √ B = √ a Aa6 + B 62 (5.24) (5.25) Onde a linha denota deriva¸c˜ao em rela¸c˜ao a` a. Atrav´es de integra¸c˜ao direta temos √ Z φ= B da √ a Aa6 + B e fazendo a substitui¸ca˜o x = a6 e dx = 6a5 da temos √ Z √ √ ! √ B B 1 Ax + B − B dx √ √ ln √ √ φ= = 6 6 x Ax + B B Ax + B + B (5.26) (5.27) e resolvendo para x temos x = a6 = 4Bexp(6φ) A(1 − exp(6φ))2 (5.28) . Substituindo no potencial (5.21) temos 2A + B/x V (φ) = p 2 A + B/x (5.29) e explicitando os calculos temos 2A + B/x = 2A + B = A(1 − exp(6φ))2 4Bexp(6φ) A [4exp(6φ) + (1 + exp(6φ))2 ] 4exp(6φ) (5.30) (5.31) e s p A + B/x = A+B √ A[1 − exp(6φ)]2 4Bexp(6φ) A [4exp(6φ) + (1 − exp(6φ))2 ]1/2 2exp(3φ) √ A = [1 + exp(6φ)] 2exp(3φ) = (5.32) (5.33) (5.34) e o potencial se escreve V (φ) = 2A + B/x A[4exp(6φ) + (1 + exp(6φ))2 ]exp(3φ) p √ = 4 Aexp(6φ)(1 + exp(6φ)) 2 A + B/x (5.35) e usando a rela¸ca˜o exp(6φ) 1 1 = = exp(3φ)(1 + exp(6φ)) exp(−3φ) + exp(3φ) 2cosh3φ (5.36) 5.2 Deriva¸ca˜o do Potencial a partir do GC 63 e [1 + exp(6φ)]2 1 + exp(6φ) cosh3φ = = . 4(1 + exp(6φ))exp(3φ) 4exp(3φ) 2 O potencial fica com a forma surpreendentemente simples √   A 1 cosh(3φ) + V (φ) = 2 cosh(3φ) (5.37) (5.38) Assim podemos observar que no contexto da cosmologia de Chaplygin ´e poss´ıvel encontrar a express˜ao de um campo escalar e do potencial ao qual est´a sujeito. Tal potencial tem forma u ´nica pois foi derivado da equa¸c˜ao de estado (5.1), que caracteriza o G´as de Chaplygin. 64 6 Conclus˜ ao No presente trabalho, fizemos uma revis˜ao sobre o enigma cosmol´ogico da energia escura. Vimos como o termo cosmol´ogico presente nas equa¸co˜es de campo de Einstein, que durante muito tempo foi encarado como um problema da teoria, surge como candidato mais simples para gerar uma acelera¸c˜ao no universo em larga escala. Como as equa¸c˜oes de campo incluem press˜ao como contribuinte aos efeitos gravitacionais, a constante cosmol´ogica Λ, sendo interpretada como um fluido perfeito que possui equa¸ca˜o de estado com press˜ao negativa, tem as propriedades necess´arias para gerar o efeito observado da repuls˜ao gravitacional. A presen¸ca de Λ faz com que a mat´eria, na forma de gal´axias e aglomerados, se afaste em todas as dire¸c˜oes observadas e com uma velocidade cada vez maior. Esse aumento ´e devido ao fato de que a press˜ao de Λ realiza trabalho com o aumento do volume do universo transferindo energia para seu campo gravitacional, da´ı sua densidade total ao inv´es de diminuir com o aumento do volume se mant´em constante. Ressaltamos ainda o resultado que assegura que somente ´e poss´ıvel detectar Λ atrav´es de experimentos gravitacionais, pois sendo de densidade e press˜ao constante ´e a mesma para todos observadores do universo atual, sua massa inercial ´e nula devido `a sua equa¸ca˜o de estado. No entanto, pensar num mecanismo que teria fixado o valor de Λ no in´ıcio do universo, enquanto se especula que toda a mat´eria existente estava reunida num u ´nico ponto, com uma densidade infinita, ´e dif´ıcil quando desejamos simplicidade nas teorias. Junto a esse problema surge outro: por que s´o agora, quando existe vida inteligente capaz de medir a expans˜ao acelerada do universo, esse efeito se inicia? ou melhor, porque a acelera¸ca˜o n˜ao come¸cou mais cedo ou mais tarde da ´epoca atual e o que desencadeou tal fenˆomeno? Diante desses problemas um modelo que associa uma car´ater dinˆamico `a com- 6 Conclus˜ao 65 ponente de energia escura ´e o dos campos de quintessˆencia. Esse modelo gera uma press˜ao negativa, desde que o campo φ sob o potencial oscile muito lentamente de modo que sua energia cin´etica seja menor que a energia potencial o que limita o movimento oscilat´orio do campo. Satisfeita essa condi¸ca˜o, temos um campo escalar existente por todo o universo e que exerce uma press˜ao negativa quando a densidade do campo se torna da ordem da densidade de mat´eria, que at´e recentemente dominava a dinˆamica do universo. Um problema existente nos campos de quintessˆencia ´e a necessidade da fixa¸c˜ao das condi¸c˜oes iniciais; desde que temos sua equa¸ca˜o do movimento e qualquer solu¸ca˜o com˙ 0 ), que ´e um tanto arbitr´ario. pleta dever´a ter especificadas as condi¸co˜es iniciais φ(t0 ) e φ(t No entanto na literatura h´a proposta de condi¸c˜oes `as solu¸co˜es, onde independentemente das condi¸co˜es iniciais o campo evolui de forma u ´nica, s˜ao chamadas solu¸co˜es do tipoatrator e campos rastreadores . Tais campos seriam sens´ıveis a´ componente que domina o universo: na era da radia¸c˜ao se submeteriam a` essa componente e menteriam seu valor quase fixo; na era da mat´eria teriam(os campos) um crescimento not´avel em rela¸ca˜o `a esta pois a densidade dos campos diminuiria mais lentamente que a densidade de mat´eria[8], como acontece agora. Ainda assim temos o problema da fixa¸c˜ao do potencial que ´e de extrema importˆancia paraa concordˆancia com os dados observacionais. Num contexto fenomenol´ogico h´a a proposta do g´as de Chaplygin como fluido ´ um candidato que unifica o chamado setor perfeito com equa¸c˜ao de estado ex´otica. E escuro da cosmologia: mat´eria escura e energia escura. De modo que ´e poss´ıvel encontrar a express˜ao para a densidade de um fluido que,em escalas de gal´axias, tem a caracter´ıstica de se aglomerar, e em escalas cosmol´ogicas tem o efeito gravitacional repulsivo, afastando as partes do universo que corresponderia a recess˜ao acelerada das gal´axias por uma componente tipo-Λ. Nesse contexto temos ainda o resultado de que a acelera¸c˜ao crescer´a at´e um valor de 1.2Λ. Quanto aos dados observacionais podemos dizar que s˜ao suficientes para ratificar a expans˜ao acelerada, mas pouco precisos para que seja poss´ıvel excluir modelos ou melhor´a-los. Seguindo o costume de simplicidade podemos utilizar a ”Navalha de Occan”para afirmar que at´e agora o modelo mais indicado, por sua simplicidade, continua sendo a constante cosmol´ogica. Apesar de que se vier a acontecer a comprova¸ca˜o do Campo 6 Conclus˜ao 66 de Higgs, o status dos campos de quintessˆencia se elevar´a, pois constatar´a a existˆencia de campos escalares por todo universo. O g´as de Chaplygin, por sua vez, chamou a aten¸ca˜o dos cosm´ologos depois de ser verificado que est´a conectado com a teoria de cordas: pode ser obtido da a¸ca˜o de Nambu-Goto para uma d-brana movendo em um espa¸co-tempo (d + 2)-dimensional na parametriza¸c˜ao do cone de luz [32]. O g´as de Chaplygin tamb´em ´e o unico fluido que, at´e agora, adimite uma generaliza¸ca˜o supersim´etrica[33]. Um estudo mais aprofundado dessas teorias podem dar uma luz sobre a origem microsc´opica da energia escura. 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