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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE DOUTORADO EM ENGENHARIA QUÍMICA
MODELAGEM, SIMULAÇÃO E ANÁLISE DA HIDRATAÇÃO DE GRÃOS DE SOJA
Mônica Ronobo Coutinho Enga Química, UEM, 1999 Orientador principal: Prof. Dr. Luiz Mario de Matos Jorge Segundo orientador: Prof. Dr. Cid Marcos G. Andrade
Tese de Doutorado submetida à Universidade Estadual de Maringá, como parte dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Doutor em Engenharia Química, área de Modelagem, Controle e Automação de Processos.
Maringá – PR - Brasil Dezembro de 2006
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA PROGRAMA DE DOUTORADO EM ENGENHARIA QUÍMICA
Esta é a versão final da tese de Doutorado apresentada por Mônica Ronobo Coutinho perante a Comissão Julgadora do Curso de Doutorado em Engenharia Química em 15 de dezembro de 2006.
COMISSÃO JULGADORA
Prof. Dr. Luiz Mario de Matos Jorge Orientador
Prof. Dr. Cid Marcos G. Andrade Orientador
Prof. Dr. Paulo Roberto Paraíso Membro
Prof. Dr. Nehemias Curvelo Pereira Membro Profa. Dra. Regina Maria Matos Jorge Membro
Prof. Dr. José Romário Limaverde Membro
iii
COUTINHO, MÔNICA RONOBO Modelagem, Simulação e Análise da Hidratação de Grãos de Soja [Paraná] 2006 XXII, 178 p. 29,7 cm (PEQ/UEM, D.Sc, Engenharia Química, 2006) Tese – Universidade Estadual de Maringá – PEQ 1.
Modelagem e Simulação
2.
Hidratação de Grãos
3.
Soja I. PEQ/UEM II. Título (série)
iv
Ao meu marido Wagner pelo apoio, carinho, compreensão e principalmente incentivo durante toda essa jornada.
v
AGRADECIMENTOS
Aos professores orientadores Luiz Mario de Matos Jorge e Cid Marcos G. Andrade pela orientação e dedicação no desenvolvimento deste trabalho. Ao professor Osvaldo C. Motta Lima pelas valorosas sugestões durante a realização deste trabalho. Ao meu marido Wagner André dos Santos Conceição pela ajuda na utilização do Software MATLAB e pelo apoio desde a época da graduação. Aos meus pais pelo carinho, compreensão e apoio durante toda minha vida. Aos colegas Edílson Sadayuki Omoto e Ubyratam Gobbi Oliveira pela ajuda na obtenção dos dados experimentais. À COCAMAR pela doação de amostras de soja. À todos do DEQ que de uma forma ou de outra colaboraram para a realização deste trabalho. E a todas as pessoas que de alguma forma contribuíram na realização e conclusão deste trabalho.
vi
MODELAGEM, SIMULAÇÃO E ANÁLISE DA HIDRATAÇÃO DE GRÃOS DE SOJA AUTOR: MÔNICA RONOBO COUTINHO
ORIENTADOR PRINCIPAL: PROF. DR. LUIZ MARIO DE MATOS JORGE SEGUNDO ORIENTADOR: PROF. DR. CID MARCOS G. ANDRADE
Tese de Doutorado; Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química; Universidade Estadual de Maringá; Av. Colombo, 5790, Bloco E46-Sala 09; CEP: 87020-900 – Maringá – PR – Brasil, defendida em 15 de dezembro de 2006. 178p.
RESUMO A hidratação de grãos de soja é um passo essencial na produção de alimentos tradicionais derivados de soja como o extrato de soja e o tofu. O processo de umidificação modifica a textura característica dos grãos e também facilita a extração de proteína. Sabe-se que mudanças na textura são devido à absorção de água durante a umidificação afetando a subseqüente moagem e o processo de extração. Modelos para representar a hidratação de grãos têm sido desenvolvidos com o intuito de se prever o tempo necessário para se obter o teor de umidade desejado. Os modelos desenvolvidos para representar o comportamento dinâmico do processo de hidratação podem ser basicamente de dois tipos: empíricos e fenomenológicos. Os modelos fenomenológicos são aqueles que consideram as etapas elementares de transferência de massa, podem ser de parâmetros concentrados ou distribuídos. Por sua vez, as previsões de um modelo só serão confiáveis após a sua validação. Os modelos de literatura não contemplam o aumento de volume durante a hidratação. Neste contexto, os objetivos deste trabalho foram modelar, simular e analisar o processo de hidratação de grãos de soja. Foram desenvolvidos cinco modelos fenomenológicos de parâmetros concentrados e um modelo de parâmetros distribuídos para a hidratação de grãos de soja. Os modelos de parâmetros concentrados contemplam a variação de volume dos grãos durante o processo. Adicionalmente, estes modelos foram comparados entre si e com modelos empíricos da literatura. Para a validação dos modelos foram efetuadas medidas do teor de umidade de grãos de soja ao longo do tempo na faixa de 10 a 50oC, por meio da imersão de amostras em água à temperatura constante.
vii
Os resultados revelaram que todos os modelos desenvolvidos representam as principais características do processo de hidratação na faixa de temperatura analisada, com desvios em torno de 10% em relação aos valores experimentais de umidade média dos grãos. Dentre os modelos de parâmetros concentrados, o modelo ρ H 2O 2 com K S exponencial apresentou o menor resíduo quadrático ( φ 2 =0,16). Os modelos de parâmetros concentrados apresentaram desvios quadráticos menores dos que os modelos de literatura. O modelo de parâmetros distribuídos desenvolvido possui apenas um parâmetro de ajuste, a difusividade, D , e o valor deste parâmetro é muito próximo de valores apresentados por outros autores.
viii
MODELLING, SIMULATION AND ANALYSIS OF THE HYDRATION OF SOY BEANS AUTHOR: MÔNICA RONOBO COUTINHO
FIRST SUPERVISOR: PROF. DR. LUIZ MARIO DE MATOS JORGE SECOND SUPERVISOR: PROF. DR. CID MARCOS G. ANDRADE
Doctor Thesis; Chemical Engineering Graduate Program; State University of Maringá; Av. Colombo, 5790, BL E46 - 09; CEP: 87020-900 - Maringá - PR, Brazil, presented on 15th December 2006. 178p. ABSTRACT Soaking of soybeans is an essential step in the production of traditional soyfoods such as soymilk and tofu. The soaking process is thought to change the texture characteristics of soybeans and also facilitate the extraction of soy protein. It is known that textural changes of soybeans resulted from water absorption during soaking affect the subsequent grinding and soymilk extraction processes Models to represent the hydration of grains have been developed with the intention of foreseeing the necessary time to obtain the moisture content wished. Models developed to represent the dynamic behavior of the hydration process have been represented and interpreted by two kind of basic models: empirical and phenomenological. Phenomenological models consider the elementary stages of mass transfer, the parameters may be lumped or distributed. In turn, the simulation of a model only will be reliable after its validation. Literature models do not take into account the variation of soybeans volume along the process. The objective of this work was to develop phenomenological models for the hydration of the soy grains, to validate it through experimental data of hydration at different temperatures and to compare them with literature models. Five phenomenological models of lumped parameters and a distributed parameters models to grain hydration had been developed. The lumped parameters models contemplate the volume variations of grains during the process. Additionally, these models had been compared between itself and with literature empirical models. For the model validation experimental data was obtained from hydration tests where soybeans were immersed in liquid water at constant temperature from 10 to 50oC. The results indicate that all developed models describe the process of soy grains hydration appropriately, with deviations around 10% in relation to the experimental values of medium humidity of the grains. Among the models of concentrated parameters, the model
ρ H O 2 with K S exponential presented the smallest quadratic residue ( φ 2 =0,16). The 2
models of concentrated parameters presented smaller quadratic residue than the literature
ix
models. The model of distributed parameters developed has only an adjustment parameter, the diffusivity, D , and the value of this parameter is very close of values presented by other authors.
x
ÍNDICE DE ASSUNTOS 1
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................1
2
OBJETIVOS DO TRABALHO ..........................................................................................................5
3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................................................6 3.1
HIDRATAÇÃO DE GRÃOS ...............................................................................................................6
3.2
MÉTODOS DE HIDRATAÇÃO DE GRÃOS ..........................................................................................7
3.3
MODELOS MATEMÁTICOS PARA HIDRATAÇÃO DE ALIMENTOS..........................................................8
3.3.1 3.3.1.1 3.3.1.2 3.3.1.3 3.3.1.4
3.3.2 3.3.2.1 3.3.2.2
Modelos fenomenológicos ................................................................................................10 Modelo da difusão ......................................................................................................................................11 Modelo de Hsu (1983a)..............................................................................................................................13
COEFICIENTE DE DIFUSÃO ..........................................................................................................16
3.5
VARIAÇÃO DO VOLUME DURANTE A HIDRATAÇÃO.........................................................................17
3.6
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA A RESOLUÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS.....................................18 Método de Runge-Kutta 4ª ordem (RK4) .........................................................................18 Função fmins do softaware Matlab e função objetivo ......................................................19 Método das diferenças finitas...........................................................................................20
EQUIPAMENTOS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL............................................................24 4.1
OBTENÇÃO DOS DADOS EM REGIME TRANSIENTE ........................................................................24
4.1.1 4.1.2 4.2
Procedimento experimental ..............................................................................................24 Cálculo do volume e da densidade do grão .....................................................................26
OBTENÇÃO DE VALORES DE XEQ ..................................................................................................26
4.2.1 5
Singh e Kulshrestha (1987) ..........................................................................................................................9 Peleg (1988) .................................................................................................................................................9 Pilosof, Boquet e Batholomai, (1985) ........................................................................................................10 Modelo cinético de 1ª ordem ......................................................................................................................10
3.4
3.6.1 3.6.2 3.6.3 4
Modelos empíricos..............................................................................................................9
Procedimento experimental ..............................................................................................26
MODELOS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS EM FUNÇÃO DE 5.1
MODELO
5.1.1 5.1.2
2
2
1 .......................................................................................................................30
Modelagem matemática ...................................................................................................31 Resultados e discussão....................................................................................................32
5.1.2.1 5.1.2.2 5.1.2.3
Estudo de sensibilidade paramétrica...........................................................................................................32 Validação do modelo matemático ..............................................................................................................34 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.........................................................................36
5.1.2.4
Modelo
5.1.3 5.2
ρH O
ρ H o ............................29
5.2.2.1 5.2.2.2 5.2.2.3
2
1 generalizado ...................................................................................................................38
Conclusões .......................................................................................................................40
MODELO
5.2.1 5.2.2
ρH O
ρH O 2
2 .......................................................................................................................40
Modelagem matemática ...................................................................................................40 Resultados e discussão....................................................................................................42 Estudo de sensibilidade paramétrica...........................................................................................................42 Validação do modelo matemático ..............................................................................................................44 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.........................................................................47
xi
5.2.2.4
Comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente ao longo da hidratação ......................48
5.2.2.5
Modelo
5.2.3 5.3
ρH O 2
3 .......................................................................................................................52
Modelagem matemática ...................................................................................................52 Resultados e discussão....................................................................................................53 Determinação do valor de α ....................................................................................................................53 Estudo de sensibilidade paramétrica...........................................................................................................54 Validação do modelo matemático ..............................................................................................................56 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.........................................................................58 Comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente ao longo da hidratação ......................59
5.3.2.6
Modelo
ρH O 2
3 generalizado ...................................................................................................................60
Conclusões .......................................................................................................................62
MODELOS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS EM FUNÇÃO DE 6.1
MODELO
6.1.1 6.1.2
6.2
6.3
................................63
1 .........................................................................................................................64
Modelagem matemática ...................................................................................................64 Resultados e discussão....................................................................................................64 Estudo de sensibilidade paramétrica...........................................................................................................65 Validação do modelo matemático ..............................................................................................................70 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.........................................................................75 Comportamento do coeficiente de transferência de massa real ao longo da hidratação..............................78
6.1.2.5
Modelo
6.1.2.6
Conclusões .................................................................................................................................................81
MODELO
ρ eq
ρ eq
1 generalizado .....................................................................................................................79
2 .........................................................................................................................81
Modelagem matemática ...................................................................................................81 Resultados e discussão....................................................................................................82
6.2.2.1 6.2.2.2 6.2.2.3 6.2.2.4
Estudo de sensibilidade paramétrica...........................................................................................................82 Validação do modelo matemático ..............................................................................................................88 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.........................................................................92 Comportamento do coeficiente de transferência de massa real ao longo da hidratação..............................96
6.2.2.5
Modelo
6.2.2.6
Conclusões .................................................................................................................................................98
ρ eq
2 generalizado .....................................................................................................................96
ANÁLISE CONJUNTA ...................................................................................................................99
6.3.1 6.3.2 6.4
ρ eq
ρ eq
6.1.2.1 6.1.2.2 6.1.2.3 6.1.2.4
6.2.1 6.2.2
7
2 generalizado ...................................................................................................................49
5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.2.4 5.3.2.5
5.3.3 6
2
Conclusões .......................................................................................................................51
MODELO
5.3.1 5.3.2
ρH O
Análise comparativa do comportamento de KS ..............................................................102 Análise comparativa do comportamento de K* ..............................................................102
CONCLUSÕES ..........................................................................................................................103
MODELOS DE PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS ........................................................................105 7.1
MODELO DE HSU ......................................................................................................................105
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.4.1
7.1.5 7.2
Solução numérica do modelo .........................................................................................105 Análise e obtenção do melhor valor de N.......................................................................106 Ajuste individual do modelo............................................................................................107 Resultados e discussões ................................................................................................108 Estudo de sensibilidade paramétrica.........................................................................................................108
Conclusões .....................................................................................................................111
MODELO FENOMENOLÓGICO DE PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS (F.P.D.) .......................................111
7.2.1 7.2.2
Solução numérica do modelo .........................................................................................112 Análise e obtenção do melhor valor de N.......................................................................114
xii
7.2.3 7.2.4 7.2.4.1 7.2.4.2 7.2.4.3 7.2.4.4
7.2.5 8
Ajuste individual do modelo............................................................................................115 Resultados e discussões ................................................................................................115 Estudo de sensibilidade paramétrica.........................................................................................................115 Validação do modelo matemático ............................................................................................................117 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo.......................................................................120 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação ................................................................121
Conclusões .....................................................................................................................123
APLICAÇÃO DOS MELHORES MODELOS AOS DADOS DE 8.1
RESULTADOS E DISCUSSÕES DO MODELO
8.1.1 8.1.2
X eq .........................................124
ρ eq 2.......................................................................124
Ajuste do modelo matemático ........................................................................................124 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo...........................................130
8.2 RESULTADOS E DISCUSSÕES DO MODELO FENOMENOLÓGICO DE PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS (F.P.D.) .............................................................................................................................................134 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3
RESULTADOS E DISCUSSÕES DO MODELO DE HSU.....................................................................139
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.4
9
Obtenção dos coeficientes de difusão e ajuste individual do modelo............................145 Influência da temperatura sobre o coeficiente de difusão efetivo ..................................147 Modelo generalizado ......................................................................................................148 Comparação com dados de Hsu et al. (1983)................................................................149
ANÁLISE CONJUNTA DOS MELHORES MODELOS .........................................................................151
8.5.1 8.5.2 8.6
Ajuste do modelo matemático ........................................................................................139 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo...........................................141 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação ....................................143
RESULTADOS E DISCUSSÕES DO MODELO DA DIFUSÃO ANALÍTICO .............................................145
8.4.1 8.4.2 8.4.3 8.4.4 8.5
Ajuste do modelo matemático ........................................................................................134 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo...........................................137 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação ....................................137
Comparação entre os modelos ......................................................................................151 Comparação entre os tempos para atingir o equilíbrio ..................................................152
CONCLUSÕES ..........................................................................................................................154
DISCUSSÕES E CONCLUSÕES GERAIS E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .156 9.1
DISCUSSÕES ............................................................................................................................156
9.2
CONCLUSÕES ..........................................................................................................................158
9.3
SUGESTÕES .............................................................................................................................160
10
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................................161
APÊNDICE A .......................................................................................................................................169 APÊNDICE B .......................................................................................................................................173
xiii
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 3.1 – Coordenada espacial x da função f. ..................................................................................21 Figura 4.1 - Corte transversal do sistema utilizado no experimento......................................................25 Figura 4.2 - Banho termostático utilizado no experimento.....................................................................27 Figura 4.3 - Vista superior do banho termostático. ................................................................................27 Figura 5.1 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
1 em relação à
K S . ....................................33
Figura 5.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
1 em relação à
a . .......................................33
Figura 5.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
1 em relação à
b . .......................................34
Figura 5.4 - Previsões do modelo
ρH O 2
2
2
2
1 frente a dados experimentais..............................................35
Figura 5.5 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo
ρH O
Figura 5.6 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
K s do modelo ρ H2O 1...............................37
Figura 5.7 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
a do modelo ρ H2O 1.................................37
2
1. .......................................................36
Figura 5.8 - Influência da temperatura sobre o parâmetro b do modelo Figura 5.9 - Previsões do modelo
ρH O 2
ρH O 2
1.................................38
1 generalizado. ......................................................................39
Figura 5.10 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo
ρH O 2
1 generalizado. ...............................39
Figura 5.11 - Comportamento do diâmetro da soja ao longo da hidratação. ........................................41 Figura 5.12 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
2 com K S variável em relação à
A1 . ......43
Figura 5.13 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
2 com K S variável em relação à
B1 ........43
2
2
Figura 5.14 - Previsões do modelo
ρH O
2 com K S constante, frente a dados experimentais...........44
Figura 5.15 - Previsões do modelo
ρH O
2 com K S variável frente a dados experimentais...............46
Figura 5.16 - Desvios do modelo
2
2
ρH O 2
2 com K S variável .................................................................46
Figura 5.17 - Influência da temperatura sobre
A1 do modelo ρ H2O 2 com K S variável.....................47
Figura 5.18 - Influência da temperatura sobre
B1 do modelo ρ H2O 2 com K S variável. ....................48
xiv
Figura 5.19 - Comportamento de K S com a concentração de água na soja, modelo
ρH O 2
2 com K S
variável. ..................................................................................................................................................49 Figura 5.20 - Previsões do modelo Figura 5.21 - Desvios do modelo
ρH O 2
ρH O
2 generalizado. ....................................................................50
2 generalizado.........................................................................51
2
Figura 5.22 - Variação do volume em função da variação da massa do grão. .....................................54 Figura 5.23 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
3 em relação ao parâmetro
A1 .................55
Figura 5.24 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
3 em relação ao parâmetro
B1 .................55
Figura 5.25 - Previsões do modelo Figura 5.26 - Desvios do modelo
ρH O 2
ρH O
2
2
3 frente a dados experimentais. ..........................................57
3. .............................................................................................57
2
ρH O
Figura 5.27 - Influência da temperatura sobre o parâmetro A1 do modelo Figura 5.28 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
2
B1 do modelo ρ H2O 3. ............................59
Figura 5.29 - Comportamento de K S com a concentração de água no modelo Figura 5.30 - Previsões do modelo
ρH O 2
3. .............................58
ρH O 2
3. ....................60
3 generalizado. ....................................................................61
Figura 5.31 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo Figura 6.1 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρH O
ρ eq
2
3 generalizado. ...............................61
1 com K
*
constante em relação ao
*
parâmetro K . .......................................................................................................................................65 Figura 6.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
constante em relação à
ρ eq . .....66
Figura 6.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
linear em relação à
Figura 6.4 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
linear em relação à B2 ................67
Figura 6.5 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
linear em relação à
Figura 6.6 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
exponencial em relação à
A1 .....69
Figura 6.7 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
exponencial em relação à
B1 . ....69
Figura 6.8 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
1 com K
*
exponencial em relação à
ρ eq ...70
A2 ...............67
ρ eq . ............68
xv
Figura 6.9 - Previsões do modelo
ρ eq
1 com K
*
constante frente a dados experimentais................71
Figura 6.10 – Desvios do modelo
ρ eq
1 com K
*
constante. ..............................................................72
Figura 6.11 - Previsões do modelo
ρ eq
ρ eq
1 com K
*
linear frente a dados experimentais. ...................73
1 com K
*
linear. .....................................................................74
Figura 6.13 - Influência da temperatura sobre K
*
do modelo
ρ eq
1 com K
*
constante...................75
do modelo
ρ eq
1 com K
*
constante...................76
Figura 6.12 – Desvios do modelo
Figura 6.14- Influência da temperatura sobre
ρ eq
Figura 6.15 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
A2 do modelo ρ eq 1 com K * linear. ....77
Figura 6.16 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
B2 do modelo ρ eq 1 com K * linear. ....77
Figura 6.17 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
ρ eq
Figura 6.18 - Comportamento de K
*
do modelo
ρ eq
1 com K
com a concentração de água na soja, modelo
*
ρ eq
linear. ...78 1 com K
*
linear.......................................................................................................................................................79 Figura 6.19 - Previsões do modelo Figura 6.20 - Desvios do modelo
ρ eq
ρ eq
1 generalizado. ......................................................................80
1 generalizado. .........................................................................80
Figura 6.21 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K constante em relação à K .......83
Figura 6.22 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K constante em relação à
Figura 6.23 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
linear em relação à
A2 .............85
Figura 6.24 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
linear em relação à
B2 .............85
Figura 6.25 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
linear em relação à
ρ eq . ..........86
Figura 6.26 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
exponencial em relação à
A1 ...87
Figura 6.27 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
exponencial em relação à
B1 . ..87
Figura 6.28 – Sensibilidade paramétrica do modelo
ρ eq
2 com K
*
exponencial em relação à
ρ eq .88
Figura 6.29 - Previsões do modelo
ρ eq
2 com K
*
*
*
*
ρ eq . ....84
constante frente a dados experimentais. ............89
xvi
Figura 6.30 – Desvios do modelo
ρ eq
Figura 6.31 - Previsões do modelo Figura 6.32 - Desvios do modelo
2 com K
ρ eq
ρ eq
*
2 com K
2 com K
*
constante. ..............................................................90 *
linear frente a dados experimentais. ...................91
linear.. .....................................................................92 *
Figura 6.33 - Influência da temperatura no coeficiente de transferência de massa real, K , do modelo
ρ eq
*
2 com K constante.......................................................................................................................93
Figura 6.34 - Influência da temperatura na concentração de equilíbrio
ρ eq
ρ eq
do modelo
2 com
K * constante..........................................................................................................................................93 Figura 6.35 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
A2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.......94
Figura 6.36 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
B2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.......95
Figura 6.37 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
ρ eq
Figura 6.38 - Comportamento de K
*
do modelo
ρ eq
*
2 com K linear. ....95
com a concentração de água na soja, modelo
ρ eq
2 com
K * linear.................................................................................................................................................96 Figura 6.39 - Previsões do modelo Figura 6.40 - Desvios do modelo
ρ eq
ρ eq
2 generalizado. ......................................................................97
2 generalizado. .........................................................................98
Figura 6.41 - Comparação entre os modelos desenvolvidos e os empíricos de literatura. .................100 Figura 6.42 - Desvios do modelo de Singh e Kulshrestha. ..................................................................101 Figura 6.43 - Desvios do modelo de Peleg. .........................................................................................101 Figura 6.44 – Comparação do comportamento de K S com a concentração de água na soja, modelos
ρH O 2
2e
ρH O 2
3..................................................................................................................................102
Figura 6.45 – Comparação do comportamento de K
ρ eq
1e
ρ eq
*
com a concentração de água na soja, modelos
2. ....................................................................................................................................103
Figura 7.1 - Valores calculados de umidade para diferentes N com o modelo de Hsu.......................107 Figura 7.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro
β . .................109
Figura 7.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro
k 1 ..................109
xvii
Figura 7.4 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro D0 . ................110 Figura 7.5 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro X eq ...............110 Figura 7.6: Pontos de discretização. ....................................................................................................113 Figura 7.7 – Valores calculados de umidade para diferentes N com o modelo F.P.D. .......................114 Figura 7.8 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação ao parâmetro D ....................116 Figura 7.9 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação à X eq ....................................116 Figura 7.10 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação ao parâmetro K c . ...............117 Figura 7.11 – Previsões do modelo F.P.D. frente a dados experimentais. .........................................119 Figura 7.12 - Desvios do modelo F.P.D. ..............................................................................................119 Figura 7.13 - Comportamento de D com a temperatura no modelo F.P.D. .......................................120 Figura 7.14 - Comportamento de X eq com a temperatura no modelo F.P.D.....................................121 Figura 7.15 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo F.P.D.122 Figura 7.16 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo F.P.D. 122 Figura 8.1 - Previsões do modelo Figura 8.2 - Desvios do modelo
ρ eq 2 com K *
Figura 8.3 - Previsões do modelo Figura 8.4 - Desvios do modelo
constante frente a dados experimentais...............125
constante. ................................................................126
ρ eq 2 com K *
ρ eq 2 com K *
Figura 8.5 - Previsões do modelo Figura 8.6 - Desvios do modelo
ρ eq 2 com K *
linear frente a dados experimentais. ....................127
linear. .......................................................................128
ρ eq 2 com K *
ρ eq 2 com K *
exponencial, frente a dados experimentais. .........129
exponencial..............................................................130
Figura 8.7 - Influência da temperatura sobre K
*
do modelo
ρ eq 2 com K *
constante....................131
Figura 8.8 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
A2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.......132
Figura 8.9 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
B2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.......132
Figura 8.10 - Influência da temperatura sobre
A1 do modelo ρ eq 2 com K * exponencial. ..............133
Figura 8.11 - Influência da temperatura sobre
B1 do modelo ρ eq 2 com K * exponencial. ..............134
Figura 8.12 - Previsões do modelo F.P.D. frente a dados experimentais. ..........................................136
xviii
Figura 8.13 – Desvios do modelo F.P.D. .............................................................................................136 Figura 8.14 - Comportamento do parâmetro D com a temperatura no modelo F.P.D.......................137 Figura 8.15 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo F.P.D.138 Figura 8.16 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo F.P.D. 138 Figura 8.17 - Previsões do modelo de Hsu frente a dados experimentais. .........................................140 Figura 8.18 – Desvios do modelo de Hsu. ...........................................................................................141 Figura 8.19 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
k 1 do modelo de Hsu. ...........................142
Figura 8.20 - Influência da temperatura sobre o parâmetro
β
do modelo de Hsu.............................142
Figura 8.21 - Influência da temperatura sobre o parâmetro D0 do modelo de Hsu. ..........................143 Figura 8.22 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo de Hsu. ..............................................................................................................................................................144 Figura 8.23 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo de Hsu. ..............................................................................................................................................................144 Figura 8.24 - Previsões do modelo da difusão frente a dados experimentais.....................................146 Figura 8.25 – Desvios do modelo da difusão com Deff médio..............................................................146 Figura 8.26 – Influência da temperatura no coeficiente de difusão efetivo do modelo da difusão......147 Figura 8.27 - Previsões dos modelos frente a dados experimentais. ..................................................148 Figura 8.28 – Desvio do modelo da difusão generalizado. ..................................................................149 Figura 8.29 – Comparação dos resultados das simulações com a simulação utilizando o Deff obtido por Hsu et al. (1983) a 30ºC.................................................................................................................150 Figura 8.30 – Comparação dos resultados das simulações com a simulação utilizando o Deff obtido por Hsu et al. (1983) a 30ºC até 80000 s.............................................................................................150 Figura 8.31 – Comparação entre os modelos apresentados neste capítulo. ......................................152 Figura 8.32 – Comportamento na interface no período transiente dos modelos de F.P.D. e de Hsu.153
xix
ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1 – Coeficientes de difusividade de diversos alimentos .........................................................17 Tabela 3.2 – Parâmetros obtidos por Hsu (1983b) para a hidratação de grãos de soja a várias temperaturas ( D
= D0 e k1 X ). ...............................................................................................................17
Tabela 3.3 – Diferentes fórmulas para cálculo dos resíduos.................................................................20 Tabela 5.1 – Parâmetros ajustados do modelo
ρH O
1. .......................................................................35
Tabela 5.2 – Parâmetros ajustados do modelo
ρH O
2 com KS variável. .............................................45
Tabela 5.3 – Parâmetros ajustados do modelo
ρH O
3 . ......................................................................56
2
2
2
Tabela 6.1: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 1 com K
*
constante. ............................................71
Tabela 6.2: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 1 com K
*
linear. ...................................................73
Tabela 6.3: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 2 com K
*
constante. ............................................89
Tabela 6.4: Parâmetros ajustados do modelo
ρ eq
2 com K
*
linear. ..................................................91
Tabela 6.5 – Resíduos quadráticos dos modelos. .................................................................................99 Tabela 7.1: Parâmetros ajustados do modelo F.P.D. ..........................................................................118 Tabela 8.1: Valores experimentais de Tabela 8.2: Parâmetro K
*
do modelo
ρ eq . ........................................................................................125 ρ eq 2 com K *
constante.......................................................125
Tabela 8.3: Parâmetros do modelo
ρ eq 2 com K *
linear...................................................................127
Tabela 8.4: Parâmetros do modelo
ρ eq 2 com K *
exponencial. .......................................................129
Tabela 8.5: Valores experimentais de X eq .........................................................................................135 Tabela 8.6: Parâmetro D do modelo F.P.D. .......................................................................................135 Tabela 8.7: Parâmetros ajustados do modelo de Hsu. ........................................................................139 Tabela 8.8: Parâmetros obtidos por Hsu (1983b) ................................................................................139 Tabela 8.9: Difusividades efetivas médias...........................................................................................145 Tabela 8.10: Desvios quadráticos calculados nos modelos. ...............................................................152 Tabela 8.11: Tempo para atingir o valor de X eq na superfície. .........................................................153
xx
Tabela 8.12: Tempo para atingir o valor de X eq no centro. ...............................................................154 Tabela 9.1 – Valores de
ρ eq
calculados e obtidos experimentalmente e respectivos erros..............157
Tabela 9.2 – Valores de X eq calculados pelo modelo F.P.D., obtidos experimentalmente e respectivos erros. .................................................................................................................................157 Tabela A1 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 10ºC. ...........................................................................................................................170 Tabela A2 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 15ºC. ...........................................................................................................................170 Tabela A3 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 20ºC. ...........................................................................................................................171 Tabela A4 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 30ºC. ...........................................................................................................................171 Tabela A5 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 42ºC. ...........................................................................................................................172 Tabela A6 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 49ºC. ...........................................................................................................................172 Tabela B1 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 10ºC. ...........................................................................................................................174 Tabela B2 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 20ºC. ...........................................................................................................................175 Tabela B3 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 30ºC. ...........................................................................................................................176 Tabela B4 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 40ºC. ...........................................................................................................................177 Tabela B5 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 50ºC. ...........................................................................................................................178
xxi
NOMENCLATURA A a
área parâmetro de ajuste do modelo ρ H 2O 1
(m2) (adim.)
A1 A2 b
parâmetros de ajuste dos modelos com K S exponencial
(m.s-1)
parâmetros de ajuste dos modelos com K S linear
(m.s-1)
parâmetro de ajuste do modelo ρ H 2O 1
(m.s-1)
B B1
constante adimensional, modelo de Hsu parâmetros de ajuste dos modelos com K S exponencial
(adim) (m3.kg-1)
B2 c1 c2 c3 c4 c5 c6 dp
parâmetros de ajuste dos modelos com K S linear constante de Peleg, Equação 3.2
(m4.kg-1s-1)
constante de Peleg, Equação 3.2
(adim.)
constante do modelo Pilosof, Boquet e Batholomai, Equação 3.3
(adim)
constante do modelo Pilosof, Boquet e Batholomai, Equação 3.3
(s)
constante da Equação 8.1
(m.s-1)
constante da Equação 8.1
(adim.)
diâmetro médio da soja
(m)
d p0
diâmetro inicial da soja
(m)
D D0
coeficiente de difusão coeficiente pré-exponencial, modelo de Hsu, Equação 3.11
(m2.s-1) (m2.s-1)
D0*
constante, modelo de Hsu
(m2.s-1)
D1 Deff Dsoja
coeficiente de difusão adimensional, modelo de Hsu
(adim)
coeficiente de difusão efetivo
(m2.s-1)
densidade da soja
(kg.m-3)
energia de ativação, Equação de Arrhenius
(J.mol-1) (s-1) (s-1)
k1
taxa constante para a absorção de água modelo de Singh e Kulshrestha, Equação 3.1 taxa constante de hidratação, modelo cinético de 1ª ordem, Equação 3.4 parâmetro de ajuste do modelo de Hsu, Equação 3.11
K
constante adimensional, modelo de Hsu
(adim)
KC
coeficiente de transferência de massa
(kg.m-2.s-1)
KS
coeficiente de transferência de massa aparente
(m.s-1)
K* mágua
coeficiente de transferência de massa real
(m.s-1)
massa de água no grão
(kg)
ms. sec o n N Na r
massa de sólido seco no grão
(kg)
número de termos da série, Equação 3.7 número de pontos internos fluxo mássico
(adim) (adim) (kg.m-2.s-1)
posição radial
(m)
Ea k k
(s)
(Kgsólido.kgH2O-1)
xxii
raio do grão de soja raio adimensional
(m) (adim.)
umidade transformada tempo tempo adimensional, modelo de Hsu
(adim.) (s) (adim.)
t* T V yi y~i (y~i )m
Tempo normalizado, modelo F.P.D.
(s.m-1)
temperatura volume do grão valor experimental da variável, Tabela 3.3
(°C, K) (m3)
X X calc .
umidade em base seca umidade média calculada pelo modelo (base seca)
(adim.) (adim.)
X eq
umidade de equilíbrio em base seca
(adim.)
X exp .
umidade média experimental em base seca
(adim.)
Xf X0 Xs X%
umidade após a umidificação em base seca
(adim)
umidade inicial em base seca
(adim.)
umidade em base seca na superfície do grão
(adim.)
fração de absorção total, Equação 3.7
(adim.)
X*
umidade adimensional do modelo de Hsu
(adim.)
R r* S t t*
valor calculado da variável, Tabela 3.3 máximo valor da variável experimental, Tabela 3.3
SÍMBOLOS GREGOS
α β φ2 ρH O ρ soja ρ ss ρ s . sec o ρ eq
coeficiente angular da Equação 5.16 parâmetro de ajuste do modelo de Hsu, Equação 3.14 desvio quadrático
(m3.kg-1) (s-1) (adim.)
massa específica da água
(kg.m-3)
concentração da água na soja
(kg.m-3)
concentração de sólido seco no grão
(kg.m-3)
massa específica do grão de soja seco
(kg.m-3)
concentração de água na soja no equilíbrio
(kg.m-3)
concentração inicial de água na soja
(kg.m-3)
2
ρ0
Hidratação de Grãos
1
1 INTRODUÇÃO O processamento da soja freqüentemente requer que os grãos sejam hidratados antes de serem submetidos ao cozimento ou a extração de algum constituinte de interesse. Além destas operações, a umidificação também está presente em estudos de secagem de cereais em escala de bancada (CALADO, 1993; BARROZO et al., 1991) e da capacidade germinativa destes em função do teor de umidade inicial (BECKERT et al., 2000). A umidificação pode ser realizada de diversas maneiras, destacando-se: (a) imersão de grãos em água líquida (BECKER; SALLANS, 1955); (b) exposição dos grãos a uma atmosfera de vapor de água saturado (AGUERRE et al., 1982; NOVAIS, 1990); (c) percolação de um leito de grãos por ar úmido (MANTOVANI, 1976). Uma vez que a absorção de água em grãos depende, tanto da temperatura, como do tipo de grão, há um grande interesse em caracterizar o comportamento dinâmico do processo de hidratação. Dados de umidade em função do tempo têm sido representados e interpretados por dois tipos básicos de modelos: empíricos e fenomenológicos. Neste trabalho, a terminologia de modelo fenomenológico foi usada indistintamente tanto para modelos semi-fenomenológicos como para modelos fenomenológicos. Os modelos empíricos geralmente são obtidos a partir de simples correlações matemáticas de dados experimentais. Singh e Kulshrestha (1987), Peleg (1988), Sopade e Obekpa (1990) e Pan e Tangratanavalee (2003) são exemplos de pesquisadores que utilizaram modelos empíricos. Singh e Kulshrestha (1987) desenvolveram um modelo para a curva de absorção de água em grãos de soja (Equação 3.1), obtendo um ótimo ajuste aos dados experimentais utilizados (R2 = 0,99). Peleg (1988) propôs um outro modelo empírico (Equação 3.2) e o ajustou a dados de literatura de absorção de água em leite em pó e arroz, obtendo coeficientes de correlação da ordem de 0,95 a 0,99. Este modelo também foi testado por Sopade e Obekpa (1990) para a absorção de água em soja e amendoim, conseguindo representar satisfatoriamente os dados experimentais com coeficientes de correlação equivalentes. Pan e Tangratanavalee (2003) usaram o modelo de Peleg com sucesso para estudar a absorção de água por grãos de soja levando em consideração a perda de sólidos. Por sua vez, os modelos fenomenológicos consideram as etapas elementares de transferência de massa por difusão ou convecção, podem ser de parâmetros concentrados ou distribuídos e, geralmente, representam as principais tendências do processo, mesmo fora das condições experimentais em que foram validados. Os modelos de parâmetros concentrados não contemplam variações espaciais das propriedades físicas no sistema,
Hidratação de Grãos
2
enquanto que os de parâmetros distribuídos normalmente as representam, podendo, ambos, ser utilizados para simular o comportamento do grão durante a hidratação. Entretanto, via de regra é difícil medir perfis de umidade no interior de grãos, necessários à validação destes tipos de modelo. Dentre os estudos desenvolvidos com modelos fenomenológicos, pode-se destacar os trabalhos de Hsu (1983a e 1983b). Hsu (1983a) propôs um modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos, obtido a partir de um balanço de massa diferencial num grão de soja, admitindo forma esférica com diâmetro constante, e representado por uma equação diferencial parcial resolvida numericamente. Posteriormente, Hsu (1983b) estudou a influência da temperatura na difusão de água em grãos de soja utilizando o modelo desenvolvido anteriormente, obtendo boa concordância com dados experimentais da sua hidratação. Segundo Saguy, Marabi e Wallach (2005) os modelos desenvolvidos para secagem e hidratação não englobam o encolhimento nem o aumento de volume, sendo assim de uso limitado. Os autores sugerem que em pesquisas futuras os modelos deveriam ser adaptados ou desenvolvidos para incluir a mudança de volume durante o processo. Por esse motivo, aqui neste trabalho foram desenvolvidos alguns modelos que levam em conta a variação de volume do grão durante a umidificação. Neste trabalho, foram desenvolvidos cinco modelos fenomenológicos de parâmetros concentrados e um modelo de parâmetros distribuídos para a hidratação de grãos de soja. Os modelos de parâmetros concentrados contemplam a variação de volume dos grãos durante o processo, mas cada um leva em conta uma hipótese diferente: o primeiro admite uma relação funcional para a variação do diâmetro dos grãos de soja com o tempo; o segundo correlaciona experimentalmente a variação do diâmetro dos grãos com o tempo e o terceiro assume que a variação do volume é diretamente proporcional à variação da massa do grão ao longo da hidratação. Estes modelos foram validados a partir de dados experimentais da umidade média do grão ao longo do tempo, medidos em várias temperaturas. Adicionalmente, estes modelos foram comparados entre si e com modelos empíricos da literatura. O modelo de parâmetros distribuídos supõe que o volume dos grãos é constante, admite forma esférica e difusividade constante com a posição, além de relacionar o fluxo difusivo com o fluxo de massa proveniente da convecção externa. Além do modelo desenvolvido, aplicou-se o modelo de Hsu (1983a) aos dados experimentais e obteve-se os parâmetros de ajuste. Este trabalho foi dividido em duas etapas: 1- Desenvolvimento e validação dos modelos com dados em regime transiente;
Hidratação de Grãos
3
2- Obtenção de dados em regime permanente e valores de X eq , aplicação de alguns modelos nestes dados. No Capítulo 3 é apresentada uma revisão sobre os principais trabalhos publicados sobre hidratação de grãos, assim como dos principais modelos matemáticos utilizados para hidratação e métodos numéricos para a resolução dos modelos matemáticos. No Capítulo 4 são apresentados os Equipamentos e Procedimentos experimentais utilizados para a obtenção dos dados experimentais. No Capítulo 5 são apresentados três modelos matemáticos de parâmetros concentrados em função de ρ H 2O e que foram validados com os dados obtidos em regime transiente. No Capítulo 6 são apresentados dois modelos matemáticos de parâmetros concentrados em função de ρ eq , que também foram validados com os dados obtidos em regime transiente. No Capítulo 7 são apresentados dois modelos matemáticos de parâmetros distribuídos, sendo que um foi desenvolvido neste trabalho e o outro, de literatura (HSU, 1983a). No Capítulo 8 foram escolhidos três modelos para serem utilizados nas simulações utilizando o valor experimental de X eq , um de parâmetro concentrados e os outros dois de parâmetros distribuídos, estes modelos foram comparados com o modelo da difusão resolvido analiticamente. O Capítulo 9 apresenta uma discussão global do trabalho, comparando todos os resultados obtidos e as conclusões mais importantes observadas no trabalho.
No decorrer deste trabalho, os seguintes trabalhos foram publicados ou submetidos:
COUTINHO, M.R.; OMOTO, E.S.; CONCEIÇÃO, W.A.S.; ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Aplicação do Modelo de Hsu para a Hidratação de Grãos de Soja, XXXII ENEMP, Maringá, PR, 2006. (Submetido)
COUTINHO, M.R.; OMOTO, E.S.; ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Lumped Parameters Model Applied to Grain Hydration, Journal of Food Enginnering, 2006. (Submetido)
COUTINHO, M.R.; OMOTO, E.S.; CONCEIÇÃO, W.A.S.; PARAISO, P.R.; ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Lumped Parameters Model Applied to Grain Hydration: a Linear
Hidratação de Grãos
4
Mass Transfer Coefficient Approach, XXII Interamerican Chemical Engineering Congress, Buenos Aires, Argentina, 2006.(Publicado)
COUTINHO, M.R.; OMOTO, E.S.; PARAISO, P.R.; ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Modelagem da Hidratação de Grãos de Soja Segundo a Abordagem de Parâmetros Distribuídos, XVI COBEQ, Santos, SP, 2006. (Publicado)
OMOTO, E. S.; COUTINHO, M. R.; ANDRADE, C. M. G.; JORGE, L M. M. Simulação e Validação de um Modelo de Parâmetros Distribuídos Aplicado à Hidratação de Grãos de Soja, VI COBEQ-IC, Campinas, SP, 2005. (Publicado)
COUTINHO, M. R.; OMOTO, E. S. ANDRADE, C. M. G.; JORGE, L M. M. Modelagem e Validação da Hidratação de Grãos de Soja. Ciênc. Tecnol. Aliment., v.25, n. 3, p. 603-610, Campinas, SP, 2005. (Publicado)
COUTINHO, M.R., OMOTO, E.S., OLIVEIRA, U.G., ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Modelagem e Validação da Hidratação de Grãos de Soja, Anais do XV COBEQ, Curitiba, PR, 2004. (Publicado)
COUTINHO, M.R., OMOTO, E.S., ANDRADE, C.M.G.; JORGE, L.M.M. Modelo de Parâmetros Concentrados Aplicado à Hidratação de Grãos, XXXI ENEMP, Uberlândia, MG, 2004. (Publicado)
OMOTO, E.S., OLIVEIRA, U.G., COUTINHO, M.R., SANTOS, O.A.A.; JORGE, L.M.M. Estudo da Hidratação de Grãos de Soja, V COBEQ-IC, Seropédica, RJ., 2003. (Publicado)
Hidratação de Grãos
5
2 OBJETIVOS DO TRABALHO
Este trabalho tem como objetivo geral estudar o processo de hidratação de grãos de soja. Os objetivos específicos a serem alcançados através desta pesquisa são: o analisar o processo de hidratação de grãos de soja; o desenvolver modelos matemáticos fenomenológicos para a hidratação de grãos de soja; o validar os modelos frente a dados experimentais; o comparar com modelos apresentados na literatura.
Hidratação de Grãos
6
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica dos aspectos relevantes deste trabalho, a saber: hidratação de grãos, métodos de hidratação, principais modelos matemáticos, coeficiente de difusão, variação do volume durante a hidratação e métodos numéricos para a resolução dos modelos matemáticos.
3.1
Hidratação de Grãos Vários pesquisadores estudaram a migração de água (líquida ou gasosa) tanto para
dentro (hidratação) quanto para fora (secagem) de alimentos devido à importância do fenômeno de sorção na manipulação, processamento e empacotamento de alimentos (ABUGHANNAM; MCKENNA, 1997a, 1997b; SABLANI; KASAPIS; AL-RAHBI; AL-MUGHEIRY, 2002; ROMAN-GUTIERREZ; GUILBERT; CUQ, 2002; JOVANOVICH; PUPPO; GINER; AÑÓN, 2003; PAN; TANGRATANAVALEE, 2003; GARCIA-PASCUAL; SANJUÁN; BOM; CARRERES; MULET, 2005;). A hidratação de grãos de soja é um passo essencial na produção de alimentos tradicionais derivados de soja como o extrato de soja e o tofu. O processo de umidificação modifica a textura característica dos grãos e também facilita a extração de proteína. Sabe-se que mudanças na textura são devido à absorção de água durante a umidificação afetando a subseqüente moagem e o processo de extração (LO et al., 1968; LIU,1997). Soja é o principal membro da família das leguminosas e representa um importante papel nutricional por causa da sua valiosa composição. Seu conteúdo de proteína (38–44%) é maior que em outros legumes (20–30%) e muito maior que de cereais, (8–15%) (SYNDER; KWON, 1987). Isto, juntamente com seu bom perfil de aminoácidos, aumenta seu valor como alimento, e é uma das razões para a importância econômica da soja. A absorção de água pelos grãos de soja durante a hidratação depende principalmente do binômio tempo e temperatura. Conforme o tempo de hidratação aumenta, a quantidade de água absorvida aumenta com o aumento da temperatura (WANG et al., 1979; SOPADE; OBEKPA, 1990; CHOPRA; PRASAD, 1994). Pan e Tangratanavalee (2003) observaram que a hidratação de grãos de soja pode beneficiar a redução de tamanho durante o processo de moagem. A redução de tamanho está relacionada ao conteúdo final de umidade, não sendo afetada pelas condições de hidratação. Em vários trabalhos já foi mostrado que para leguminosas, uma operação de hidratação antes do cozimento é necessária para eliminar completamente fatores antinutricionais que existem na semente crua, melhorando a digestibilidade da proteína e
Hidratação de Grãos
7
diminuindo o tempo de cozimento (ELLENRIEDER; GERONAZIZO; DE BOJARSKI, 1980; GEERNANI; THEOPHILUS, 1980; ROCKLAND; RADKE, 1981; SILVA; LEITE, 1982; KHOKAR; CHANHAN, 1986a, 1986b). Para se obter uma proteína de melhor qualidade, um tempo muito curto de cozimento é necessário e pode-se reduzir esse tempo fazendo-se a hidratação dos grãos antes do cozimento (MOLINA; DE LA EUENTE; BRESSANI, 1975; WANG; SWAIN; HESSELTINE; HEATH, 1979). Tem sido observada uma importante relação entre a hidratação e a qualidade de cozimento de ervilhas (palatabilidade, textura e tempo de cozimento) (WILLIAMS; NAKOUL; SINGH, 1983; DESPANDE; CHERYAN, 1986; THANOS, 1986). Quast e da Silva (1977) informaram que ervilhas saturadas com água antes de cozinhar deram um maior peso drenado do que ervilhas não saturadas. Vários pesquisadores observaram que a taxa de absorção de água em leguminosas aumenta com o aumento da temperatura da água (QUAST; DA SILVA, 1977; KON, 1979; SOPADE; OBEKPA, 1990; HUNG et al., 1993; HSU et al., 1983; TANG et al. 1994; ABUGHANNAM; MCKENNA, 1997a; SEYHAN-GÜRTAS et al., 2001). Thanos (1998) estudando a hidratação de ervilhas e feijões observou que em altas temperaturas (acima de 60oC) o conteúdo final de água é menor do que em temperaturas intermediárias (40 a 60oC), porém o tempo para atingir o equilíbrio é reduzido. Kon (1979) mostrou que a embebição de feijões em temperaturas acima de 50oC têm um efeito adverso na taxa cozimento e as amostras saturadas à 40oC tem o tempo de cozimento menor. Conseqüentemente, neste estudo as temperaturas escolhidas variam de 10 a 50oC.
3.2
Métodos de Hidratação de Grãos Gowen et al. (2007) estudaram a influência do branqueamento na hidratação de
grãos de soja. Nos experimentos de hidratação colocaram amostras de vinte gramas de grãos de soja em uma cesta de arame colocada em imersão em uma proveta de 2 litros contendo 1 litro de água de torneira (pH: 7,5 ± 0,2) aquecida à temperatura constante (25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 ou 60oC) em um banho de água termostático. O peso da amostra era medido a intervalos de tempo pré-definidos, até o tempo final, que variou de 120 min (a 60oC) a 1440 min (a 25oC). Os intervalos de medida eram maiores próximos ao equilíbrio, quando a taxa de absorção de água declinava consideravelmente. Após cada tempo de hidratação específico, as amostras eram removidas da solução, secadas superficialmente e pesadas a seguir, as amostras eram devolvidas à solução e o processo repetido até que a diferença entre duas pesagens sucessivas apresentasse diferença insignificante.
Hidratação de Grãos
8
Bayram et al. (2004) estudaram a influência da hidratação na dimensão e na cor de grão de soja para produção de soy-bulgur (um novo produto alimentício). Utilizaram um sistema especialmente projetado para a hidratação. Neste sistema, temperatura e taxa de circulação de água eram controlados (taxa volumétrica 60 mL/s) por mistura uniforme. A saturação foi executada a 30, 50 e 70oC (pH inicial da água de torneira era 7). Depois da temperatura da água entrar em equilíbrio (3 L), 500 g de grãos de soja e grãos marcados foram colocados no sistema. Quinze gramas de soja, 90 mL de água e um dos grãos marcados eram retirados a intervalos de 10 min até que o tempo total de 120 min fosse atingido. Quinze gramas de soja eram utilizados para determinar a umidade e a coloração. Os grãos marcados foram usados para determinar as mudanças em dimensões, peso, volume e densidade. Pan e Tangratanavalle (2003) nos testes de saturação colocaram amostras de 20 g de grão de soja em 200 mL de água de torneira a quatro temperaturas diferentes de 10oC, 20oC, 30oC e 40oC. Os grãos eram embebidos em cada temperatura por 0,5; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 e 8 h, respectivamente. Os grãos de soja, junto com a água de saturação foram mantidos em uma incubadora (Precision, Fisher Scientific) com um controle de temperatura de precisão de ±0,5oC. Depois de alcançado tempo de saturação, a amostra era escoada em uma tela metálica com 40 mesh de malha, e os grãos e a água drenada eram pesados separadamente. O ganho de água foi calculado como a porcentagem de peso ganho pela amostra. Kader (1995) no seu estudo sobre o efeito de alguns fatores na absorção de água em feijão-fava durante a embebição obteve os dados de efeito da temperatura colocando 15 g de feijões-fava, em um coador, imergindo em um banho termostatizado com temperatura controlada em água deionizada. Depois de cada período de tempo, os feijões eram retirados da água, secados superficialmente com lenços faciais e pesados. A diferença entre o peso medido em um determinado tempo e o peso original era o peso ganho. Temperaturas de 20, 30, 40 e 50oC foram usadas no estudo. Os ganhos de peso eram expressos como uma fração do total de água absorvido por tempo.
3.3
Modelos Matemáticos para Hidratação de Alimentos A hidratação é uma operação importante durante o processamento de alguns
alimentos, como em parboilização de arroz (ENGELS et al., 1986; AHROMRIT et al., 2006), preparação de sorgo (ADEYEMI, 1983) e processamento de leite de soja (NELSON et al., 1976).
Hidratação de Grãos
9
Muitos autores têm proposto modelos matemáticos para a hidratação de alimentos. Estes modelos podem ser divididos em dois tipos básicos, os empíricos e os fenomenológicos.
3.3.1 Modelos empíricos Os modelos empíricos são modelos obtidos a partir de simples correlações matemáticas dos dados experimentais, não se baseando em leis da física ou teorias de transferência de massa. São muito utilizados pela sua simplicidade, fácil resolução e geralmente representam bem o processo de hidratação na faixa de condições experimentais em que foram validados. Singh e Kulshrestha (1987), Peleg (1988), Sopade e Obekpa (1990) e Pan e Tangratanavalee (2003) são exemplos de pesquisadores que utilizaram modelos empíricos.
3.3.1.1 Singh e Kulshrestha (1987) Singh e Kulshrestha (1987) propuseram a Equação 3.1 como o modelo que melhor descrevia o comportamento de grãos de soja e guandu (Cajanus cajan), obtendo um ótimo ajuste aos dados experimentais utilizados (R2 = 0,99).
X eq − X ( t ) X eq − X 0
=
1 kt + 1
(3.1)
sendo X a umidade em base seca, k , a taxa de umidade para a absorção de água, os subscritos eq e 0 são referentes ao equilíbrio e ao início da hidratação, respectivamente.
3.3.1.2 Peleg (1988) Peleg (1988) propôs um outro modelo empírico (Equação 3.2) e o ajustou a dados de literatura de absorção de água em leite em pó e arroz, obtendo coeficientes de correlação da ordem de 0,95 a 0,99. Este modelo também foi testado por Sopade e Obekpa (1990) para a absorção de água em soja e amendoim, conseguindo representar satisfatoriamente os dados experimentais com coeficientes de correlação equivalentes. Pan e Tangratanavalee (2003) também usaram o modelo de Peleg com sucesso para estudar a absorção de água por grãos de soja. Devido à sua simplicidade, o modelo de Peleg (1988) tem sido o modelo empírico mais utilizado nos últimos anos para modelar o comportamento de diferentes grãos e alimentos durante a hidratação (SOPADE; OBEKPA, 1990; SOPADE et al., 1992; HUNG et
Hidratação de Grãos al.,
1993;
ABU-GHANNAM;
MCKENNA,
1997b;
TURHAN
et
al.,
2002;
10
PAN;
TANGRATANAVALEE, 2003; GOWEN et al., 2007).
X (t ) = X 0 +
t
100(c 1 + c 2 t )
(3.2)
Em que: X é a umidade em base seca, c 1 e c 2 são as constantes do modelo.
3.3.1.3 Pilosof, Boquet e Batholomai, (1985) Um outro modelo, Equação 3.3, foi desenvolvido por Pilosof, Boquet e Batholomai, (1985).
X(t ) = X0 +
c 3t c4 + t
(3.3)
Em que c 3 e c 4 são constantes do modelo. Apesar de na forma original estes três modelos serem diferentes, recentemente Sopade et al. (2007) mostraram que estes três modelos empíricos são matematicamente equivalentes.
3.3.1.4 Modelo cinético de 1ª ordem O modelo cinético de primeira ordem foi utilizado por Chhinnan (1984), del Valle et al. (1992), Abu-Ghannam e McKenna (1997a), Machado et al. (1998), Pappas et al. (1999), Maskan (2001), Krokida e Marinos-Kouris (2003), Haladjian et al. (2003), Gowen et al. (2007), tendo como base a Equação 3.4.
(
)
X = X eq + X 0 − X eq e −kt
(3.4)
Este é um modelo de três parâmetros, sendo k a taxa constante de hidratação.
3.3.2 Modelos fenomenológicos Os modelos fenomenológicos, que consideram as etapas elementares de transferência de massa por difusão (BECKER,1960; FAN et al. ,1963; HSU, 1983a) ou convecção, podendo ser tanto de parâmetros distribuídos como de parâmetros
Hidratação de Grãos
11
concentrados e, geralmente, representam as principais tendências do processo, mesmo fora das condições experimentais em que foram validados.
3.3.2.1 Modelo da difusão Modelos baseados na segunda lei de Fick da difusão são os mais comuns na literatura para descrever o processo de hidratação (HSU et al., 1983; KADER, 1995; TÜNTÜCÜ; LABUZA, 1996; BELLO et al., 2004; GOWEN et al., 2007). Gowen et al. (2007) demonstraram detalhadamente como aplicar a lei da difusão de Fick para a hidratação. A difusão da água no interior de uma partícula esférica pode ser representada pela Equação 3.5 (Crank, 1975).
∂ 2 X 2 ∂X ∂X = D 2 + ∂r ∂t r ∂ r
(3.5)
Sendo X a umidade em qualquer tempo, D , o coeficiente de difusão, r, a posição radial e t, o tempo. Este modelo considera o grão como uma esfera na qual moléculas de água difundem. Uma solução analítica da Equação 3.5 pode ser obtida a partir das hipóteses abaixo:
1. grãos esféricos; 2. volume constante durante a hidratação; 3. o coeficiente de difusão ( D ) é independente da concentração; 4. resistência à transferência de massa na superfície desprezível.
A solução analítica, Equação 3.7, é obtida partindo da Equação 3.5 admitindo as seguintes condições inicial e de contorno:
X
t =0
= X0 ,
∂X ∂t
=0, r =0
X
r =R
= X eq
− π 2 n 2 Deff t exp 2 R X − X0 6 ∞ X% = = 1− 2 ∑ 2 X eq − X 0 n π n =1
(3.6)
(3.7)
Hidratação de Grãos
12
Este é um modelo de um parâmetro ( Deff ), onde X eq representa a umidade de equilíbrio, R o raio do grão e X % é a fração de absorção total. Seyhan-Gürtas et al. (2001) com o modelo da difusão conseguiram simular com sucesso o processo de hidratação de lentilhas, feijões e grão-de-bico. Porém, o modelo não foi capaz de representar a absorção lenta inicial, quando feijões foram saturados à 15oC. Hsu et al. (1983) e Kader (1995) utilizaram o modelo da difusão para representar ensaios de hidratação de grãos de soja e de feijões de fava, respectivamente. Os ensaios de hidratação nos dois trabalhos foram realizados a 20, 30, 40 e 50ºC em água pura e em solução de bicarbonato de sódio. Os autores observaram que a taxa de absorção de água depende tanto da temperatura como da concentração da solução de saturação e que o coeficiente de difusão varia exponencialmente com a concentração de água na soja. O modelo não representou muito bem os dados experimentais. Martinez-Navarrete e Chiralt (1999) simularam com sucesso a hidratação de avelãs utilizando o modelo da difusão. Porém, diferentemente de Hsu et al. (1983) e Kader (1995), calcularam o coeficiente de difusão e depois substituíram o valor no modelo e utilizaram apenas o primeiro termo da série com o valor do raio da avelã variando com a umidade.
Tütüncü e Labuza (1996) simularam a absorção de água em cereais matinais utilizando o modelo da difusão. Os autores compararam duas soluções para o modelo: linear (apenas o primeiro termo da série) e a não-linear (20 primeiros termos da série) e observaram que o modelo não-linear representa melhor o processo e é uma ferramenta matemática melhor na determinação do coeficiente de difusão. No trabalho também compararam o efeito da geometria no cálculo do coeficiente de difusão e concluíram que a geometria deve ser levada em conta como um fator importante e que se deve ter cautela quando um valor obtido em um sistema particular for aplicado em outro. Thakur e Gupta (2006) estudaram a absorção de água em arroz utilizando o modelo da difusão e considerando o arroz como um cilindro infinito. Segundo Tagawa et al. (2003) a série infinita do modelo converge rapidamente no primeiro termo quando o número de Fourier for alto e os autores consideraram essa hipótese como verdadeira. Realizaram experimentos a 30, 45 e 60oC e observaram que a taxa de absorção aumenta com o aumento da temperatura. O modelo representou adequadamente o processo e a dependência do coeficiente de difusão com a temperatura pôde ser representado por uma equação de Arhenius. Bello et al. (2004) modelaram o processo de hidratação de arroz com o modelo da difusão para esfera, sendo o R da Equação 3.7 o raio da esfera de mesmo volume do grão. Os experimentos foram realizados a 25, 35, 45, 55 e 65oC e o modelo representou adequadamente os dados experimentais.
Hidratação de Grãos
13
Ahromrit et al. (2006) estudaram o efeito da pressão e temperatura na hidratação de arroz glutinoso tailandês, modelaram o processo com o modelo da difusão para geometria cilíndrica e observaram que a difusão é dependente tanto da temperatura quanto da pressão. O modelo representou bem os dados experimentais, onde tanto o comprimento quanto o diâmetro foram considerados valores médios e constantes.
3.3.2.2 Modelo de Hsu (1983a) Como já foi citado anteriormente, Hsu et al. (1983) observaram que o coeficiente de difusão varia exponencialmente com a concentração de água na soja. A partir desta observação, Hsu (1983a) desenvolveu um modelo em que o coeficiente de difusão era dependente da concentração, o qual será descrito a seguir. Hsu (1983a) fez as seguintes considerações no desenvolvimento do seu modelo:
1- grãos esféricos; 2- difusão apenas na direção radial; 3- volume constante.
Na hidratação da soja por imersão em água líquida há um fluxo transiente de água na direção radial. Nestas condições o fator que controla a transferência de massa é a resistência interna decorrente da difusão da água para dentro do grão. A relação entre o fluxo de massa e o gradiente de concentração é dada segundo a lei de Fick em coordenadas esféricas (Equação 3.8):
N a = −Dρ s . sec o
∂X ∂r
(3.8)
Partindo-se da equação da continuidade em coordenadas esféricas apenas na direção radial (Equação 3.9) e substituindo a Equação 3.8 na Equação 3.9, obtém-se a Equação 3.10.
ρ s . sec o
(
∂X 1 ∂ r 2Na =− 2 ∂t ∂r r
∂X 1 ∂ 2 ∂X = 2 r D ∂t ∂r r ∂r
)
(3.9)
(3.10)
Hidratação de Grãos
14
Em que N a é o fluxo mássico, D , a difusividade, ρ s. sec o , a massa específica do grão de soja seco, X , a umidade em base seca, r , a distância radial e t , o tempo. Segundo Hsu (1983a) a difusividade D varia exponencialmente com a umidade do grão, conforme Equação 3.11:
D = D0 e k1 X
(3.11)
Assumindo que no início a umidade está distribuída uniformemente no grão, segundo a Equação 3.12,
X = X0
para todo r e t = 0
(3.12)
e que as condições de contorno de simetria (Equação 3.13) e concentração conhecida na interface sólido-fluido (Equação 3.14).
∂X =0 ∂r
para r = 0; t > 0
X = ( 1 − e − β t ) X eq + X 0 e − β t
e
(3.13)
para r = R ; t > 0
(3.14)
Sendo R o raio do grão (m), X , a umidade em base seca no grão (kgH2O/kgsólido seco),
X eq , a umidade de saturação, D , a difusividade (m2 / s), r , a distância radial (m), t , o
tempo (s),
β (s-1) e k1 (kgsólido/ kgH2O) são parâmetros ajustados.
A Equação 3.14 define a mudança de concentração na superfície do grão como um processo de 1ª ordem com taxa constante
β . A mudança de concentração na superfície é
rápida, mas não instantânea. Uma condição similar foi usada para descrever a difusão de vapores orgânicos em polímeros vítreos por Long e Richman (1960). Para resolver o modelo, Hsu (1983a) tornou-o adimensional utilizando as seguintes variáveis:
X* =
X − X0 ; X eq − X 0
t* =
tD0* ; R2
r* =
D1 =
D D0*
r R
Hidratação de Grãos
15
K = k1 ( X 1 − X 0 )
D0* = D0 e k1X 0 ; B=
β R2 D0*
As equações (3.10) a (3.14) podem ser expressas adimensionalmente por:
∂X *
=
∂t *
∂ ∂X * D1 * ∂r * ∂r
2D1 ∂X * + r * ∂r *
D1 = e KX X* = 0 ; ∂X * ∂r
*
*
(3.15)
(3.16)
para todo r * ; t * = 0
(3.17)
=0;
(3.18)
r* = 0; e
X * = 1 − e −Bt , *
para r * = 1 ;
(3.19)
Definido S na Equação 3.20 e diferenciado obtém-se a Equação 3.21.
X*
S=
∫ D1dX 0
S=
X*
=
*
(
∫e
*
KX *
0
e KX − e 0 dX = K *
)
1 KX * 1 e − 1 = (D1 − 1) K K
∂S = D1∂X * =
(
)
∂ KX * e −1 ∂K
(3.20)
(3.21)
Substituindo na Equação 3.15, obtém-se o modelo na forma da Equação 3.22, configurado da forma mais adequada à solução numérica.
∂S D1∂t *
=
∂ ∂S D * 1 ∂r D1∂r *
2D1 ∂S + r * D ∂r * 1
∂ 2S 2 ∂S * = D D + * * 0 1 * 2 ∂t r ∂r ∂r *
∂S
(3.22)
Com as condições inicial e de contorno, dadas pelas Equações 3.23, 3.24 e 3.25.
Hidratação de Grãos S = 0 , para todo r * e t * = 0
(3.23)
∂S = 0 para r * = 0 ; e ∂r *
(3.24)
− Bt * 1 K 1 − e S = e K
3.4
16
− 1 , r * = 1
(3.25)
Coeficiente de Difusão Nos modelos matemáticos fenomenológicos utilizados para descrever a hidratação,
derivados da segunda lei de Fick há sempre o coeficiente de difusão efetivo para ser determinado. O coeficiente de difusão efetivo em alimentos é conhecido como dependente da temperatura e, em alguns casos, da umidade (SARAVACOS, 1986). O coeficiente de difusão efetivo pode também incorporar o efeito de uma resistência à transferência de massa externa (LOMAURO et al., 1985; ECE; CIHAN, 1986) e um coeficiente de difusão dependente da concentração pode ser considerado como uma média (TÜTÜNCÜ; LABUZA, 1996). Hsu et al. (1983) calcularam os valores do coeficiente de difusão para a água em grãos de soja, utilizando o modelo da difusão. Para a hidratação a 30oC o valor obtido foi de 0,603x10-10 m2/s. Os pesquisadores observaram também que o valor da difusividade varia exponencialmente com a concentração de água. Kader (1995) usando o modelo da difusão calculou a difusividade da água em feijões de fava e a 30oC obteve o valor de 0,598x10-10 m2/s. Observou do mesmo modo que Hsu et al. (1983) que o coeficiente de difusão varia exponencialmente com a concentração. Tanto Kader (1995) quanto Hsu et al. (1983) apesar de observarem que o coeficiente de difusão varia com a concentração de água, nas simulações utilizaram o valor obtido em apenas um ponto, um ganho de peso de 50% e tempo de 1,9 h e 1,8 h, respectivamente. Nos dois casos, o modelo não representou bem os valores experimentais. Os dois trabalhos sugerem que um modelo que possua uma difusividade dependente da concentração poderia representar melhor o processo. Martinez-Navarrete e Chiralt (1999) em seu estudo sobre difusão de água em avelãs utilizaram o modelo da difusão com os 20 primeiros termos da série (Equação 3.7) para calcular o coeficiente de difusão efetivo. O valor obtido de difusividade efetiva a 25oC para a água em avelãs foi substituído no modelo para apenas um termo da série e obtiveram um modelo dependente do tempo e do aumento de volume durante a hidratação.
Hidratação de Grãos
17
Valores de coeficientes de difusão de diversos alimentos são apresentados na Tabela 3.1, juntamente com seus respectivos autores. Os valores variam de 0,178x10-10 m2/s para arroz integral a 6,250x10-10 m2/s para lentilhas.
Tabela 3.1 – Coeficientes de difusividade de diversos alimentos
Alimento soja feijões fava
Temperatura (oC) Dx1010 (m2/s) 30 0,603 30 0,598
avelãs
25
2,460
grão-de-bico lentilhas feijões seker arroz com casca arroz marrom arroz integral arroz descascado arroz polido
25 25 25 30 30 35 25 25
1,850 6,250 0,818 0,256 0,389 0,178 0,222 2,050
Autores Hsu et al. (1983) Kader (1995) Martinez-Navarrete e Chiralt (1999) Seyhan-Gürtas et al. (2001) Seyhan-Gürtas et al. (2001) Seyhan-Gürtas et al. (2001) Thakur e Gupta (2006) Thakur e Gupta (2006) Bello et al. (2004) Bello et al. (2004) Bello et al. (2004)
Hsu (1983a) desenvolveu um modelo com o coeficiente de difusão variando exponencialmente com a concentração (Equação 3.11) e em um trabalho posterior (HSU, 1983b) calculou os valores da constante D0 para a hidratação de soja a 20, 30, 40 e 50oC. Os valores obtidos por Hsu (1983b) são apresentados na Tabela 3.2. Tabela 3.2 – Parâmetros obtidos por Hsu (1983b) para a hidratação de grãos de soja a várias temperaturas ( D = D0 e k1 X ).
T (oC) 20 30 40 50
3.5
Dox1010(m2/s) 0,2825 0,5941 1,0820 2,1080
k1 (kg/kg) 0,6990 0,6470 0,5040 0,3680
Variação do Volume Durante a Hidratação Tem sido mostrado (STEFFE; SINGH, 1980) que a variação de volume em materiais
biológicos é frequentemente proporcional à quantia de água absorvida. Fan et al. (1962) mostraram que o volume ganho devido à absorção de água é igual ao volume de água absorvido. Por outro lado, Singh e Kulshrestha (1987) observaram que o aumento de
Hidratação de Grãos
18
volume em grãos de soja e guandu era sempre menor do que o absorvido. Estudos sobre o aumento de volume de semolina (BHATTACHARYA, 1995) e soja mostraram que a temperatura de reidratação afeta significativamente o aumento de volume. Ahromrit et al. (2006) observaram em seu estudo sobre absorção de água em arroz tailandês sob alta pressão que a mudança de volume do grão em mililitros é quase igual à massa de água absorvida em gramas, concluindo que a mudança de volume no grão é essencialmente resultante da captação de água, não dependendo da pressão ou da temperatura de hidratação. Maskan (2001) em seu estudo sobre hidratação de trigo desenvolveu uma correlação empírica para o aumento de volume em relação ao tempo para trigo imaturo. Esta equação representou bem apenas os primeiros 100 minutos de hidratação, após este tempo ela previu valores superiores aos experimentais. O autor concluiu que a absorção de água está associada ao aumento de volume e que a taxa de absorção de água e volume aumentam com o aumento da temperatura e tempo de hidratação. Martinez-Navarrete e Chiralt (1999) observaram que o aumento de volume de avelãs durante a hidratação é uma função linear do ganho relativo de água da amostra. Segundo Saguy et al. (2005) os modelos desenvolvidos para secagem e hidratação não englobam o encolhimento nem o aumento de volume, sendo assim de uso limitado. Os autores sugerem que em pesquisas futuras os modelos deveriam ser adaptados ou desenvolvidos para incluir a mudança de volume durante o processo.
3.6
Métodos Numéricos para a Resolução de Modelos Matemáticos Existem várias técnicas de solução numérica de EDO´s, EDP’s, bem como de ajuste
de parâmetros, extensivamente estudados. Neste item serão apenas exploradas as técnicas numéricas empregadas pelas rotinas “ODE45” e “FMINS”, disponíveis no software MATLAB empregado neste trabalho, juntamente com a função objetivo a ser minimizada. Além das técnicas disponíveis no MATLAB, o método das diferenças finitas é apresentado, pois será empregado na solução dos modelos de parâmetros distribuídos.
3.6.1 Método de Runge-Kutta 4ª ordem (RK4) A Equação 3.26 apresenta de forma geral uma equação diferencial ordinária de primeira ordem.
Hidratação de Grãos dx = f (x , t ) dt
19
(3.26)
O método de Runge-Kutta em ordens superiores usa médias ponderadas da função
f calculada nos extremos e em pontos intermediários do intervalo [ t j ,t j +1 ]. O algoritmo segundo Bequett (1998) é:
m1 = f (t ( k ), x( k ))
(3.27)
∆t ∆t m 2 = f t ( k ) + , x ( k ) + m1 2 2
(3.28)
∆t ∆t m 3 = f t ( k ) + , x( k ) + m 2 2 2
(3.29)
m4 = f (t ( k ) + ∆t , x( k ) + m3 ∆t )
(3.30)
x ( k + 1 ) = x( k ) +
∆t 6
(m1 + 2m2 + 2m3 + m4 )
(3.31)
Em princípio podem ser construídos esquemas em qualquer ordem. Quanto mais alta a ordem, maior o número de vezes que se necessita calcular f
por passo de
integração. Por isso na maioria dos problemas não compensa, em tempo, ir além da 4ª ordem.
3.6.2 Função fmins do softaware Matlab e função objetivo
Conforme Yang e Okos (1987), a estimativa de parâmetros recai, na grande maioria dos casos, em problemas de regressão não-linear, envolvendo o uso de métodos numéricos de minimização da função objetivo por meio de procedimentos iterativos. No caso do ajuste de parâmetros a função objetivo a ser minimizada reflete o resíduo calculado entre os valores experimentais e os valores simulados. Entre os métodos disponíveis para resolver problemas de ajuste de parâmetros será brevemente apresentado o método dos poliedros fexíveis, Nelder e Mead, (Himmelblau, 1972), disponível no software MATLAB. A função “FMINS” do software MATLAB: “FMINS Multidimensional unconstrained nonlinear minimization (Nelder-Mead)”, obtém o mínimo local de uma função iniciando sua procura a partir de um escalar, vetor ou matriz dependendo do problema, usando o método de Lagarias et al. (1998). Este é um método direto de procura, em que não usa gradientes numéricos ou analíticos. Este método pode ser frequentemente usado em funções
Hidratação de Grãos
20
descontínuas em que, particularmente, a descontinuidade não ocorra perto da solução, “FMINS” fornece apenas mínimos locais e reais, retornando números reais. Quando os parâmetros minimizados estão no espaço dos números complexos estes devem ser divididos em duas partes: a real e a imaginária. Um aspecto crucial no ajuste de parâmetros por métodos de regressão não-linear é o da definição da função objetivo, isto é, a forma de calcular o resíduo entre os valores calculados pelo modelo e os valores experimentais, Bonomi et al. (1993). A Tabela 3.3 apresenta várias formas possíveis para o cálculo dos resíduos entre os valores calculados e os valores experimentais indicando, quando for o caso, os problemas observados quando da sua utilização de acordo com Bonomi et al. (1993). Neste trabalho, optou-se pela fórmula de cálculo número um, pois esta foi utilizada em alguns trabalhos sobre hidratação de alimentos, como por exemplo, Hsu (1983a, 1983b), Sanjuán et al. (1999) e Machado et al. (1999).
Tabela 3.3 – Diferentes fórmulas para cálculo dos resíduos. Número
Fórmula de cálculo
Problemas de utilização
φ 2 = ∑ (y~i − y i )
1
Variáveis
2
y~ y φ = ∑ i − i (y i )m i (y i )m 2
3
y~ − y φ = ∑ i ~ i yi i
2
y~ − y i φ = ∑ i yi i
2
2
4
2
5
3.6.3
elevado
valor
absoluto
privilegiadas no ajuste.
i
2
com
2
Tendência
a
ajustar
melhor
as
variáveis
próximas aos valores máximos. Resíduos muito elevados para valores muito pequenos da variável calculada.
~ −y y i φ 2 = ∑ ~i − y y i i i 2
Resíduos muito elevados para valores muito pequenos da variável experimental. 2
Resíduos elevados para valores muito pequenos e
diferentes
das
variáveis
calculada
e
experimental.
Método das diferenças finitas O método de diferenças finitas se aplica à solução das equações diferenciais
parciais (EDP’s), sendo especialmente úteis no caso de equações que representam o
Hidratação de Grãos
21
comportamento transiente de sistemas (em outras palavras, equações empregadas em simulação dinâmica). Uma equação envolvendo derivadas parciais de uma função desconhecida de duas ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial parcial (EDP). A Equação 3.5 do modelo da difusão é um exemplo de EDP de segunda ordem.
∂ 2 X 2 ∂X ∂X = D 2 + ∂r ∂t r ∂ r
(3.5)
A Equação 3.5 pode ser resolvida discretizando-se as derivadas radiais e a derivada temporal por diferenças finitas usando as formulações implícita ou explicita, ou ainda, podese discretizar apenas as derivadas radiais e integrar no tempo. Este último método será efetivamente empregado neste trabalho, por esse motivo, as formulações implícita e explicita não serão descritas neste item. Por simplicidade o método das diferenças finitas (adaptado de Ulson de Souza, 2002) será apresentado em apenas uma coordenada (x), mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Coordenada espacial x da função f. Sendo uma f=f(x), o valor de f em x+∆x pode ser obtido pela expansão em Série de Taylor:
f ' ' (x )∆x 2 f ' ' ' (x )∆x 3 f (x + ∆x ) = f (x ) + f ' (x )∆x + + + ... 2! 3!
(3.32)
e o valor de f em x-∆x:
f (x − ∆x ) = f (x ) − f ' (x )∆x +
f ' ' (x )∆x 2 f ' ' ' (x )∆x 3 − − ... 2! 3!
(3.33)
As diferenças finitas podem ser centrais, para frente (“forward”) ou para trás (“backward”). As diferenças centrais são obtidas subtraindo-se a Equação 3.32 da 3.33.
Hidratação de Grãos f (x + ∆x ) − f (x − ∆x ) = 2f ' (x )∆x + 2
f ' (x ) =
22
f ' ' ' (x )∆x 3 + ... 3!
f (x + ∆x ) − f (x − ∆x ) f ' ' ' (x )∆x 2 −2 + ... 2 ∆x 3!
(3.34)
Desprezando-se os termos a partir do segundo da Equação 3.34, a ordem do erro é ∆x2, então a aproximação por diferenças finitas centrais será dada pela Equação 3.35.
f ' (x ) =
[ ]
f (x + ∆x ) − f (x − ∆x ) + 0 ∆x 2 2 ∆x
(3.35)
As diferenças finitas para frente são obtidas a partir da Equação 3.32.
f ' (x ) =
f (x + ∆x ) − f (x ) f ' ' (x )∆x f ' ' ' (x )∆x 2 − − + ... ∆x 2! 3!
(3.36)
Truncando a série no primeiro termo, obtêm-se as diferenças finitas para frente, com um erro da ordem de ∆x, Equação 3.37.
f ' (x ) =
f (x + ∆x ) − f (x ) + 0[∆x ] ∆x
(3.37)
As diferenças finitas para trás são obtidas analogamente à para frente, porém, a partir da Equação 3.33.
f ' (x ) =
f (x ) − f (x − ∆x ) + 0[∆x ] ∆x
(3.38)
As aproximações por diferenças finitas de 2ª ordem são obtidas somando-se as Equações 3.32 e 3.33.
f (x + ∆x ) + f (x − ∆x ) = 2f (x ) + 2
f ' ' (x )∆x 2 f ' ' ' ' (x )∆x 4 +2 + ... 2! 4!
Hidratação de Grãos f ' ' (x ) =
f (x + ∆x ) + f (x − ∆x ) − 2f (x )
∆x 2
−2
f ' ' ' ' (x )∆x 2 + ... 4!
23
(3.39)
Desprezando os termos a partir do segundo termo, obtêm-se as diferenças finitas para derivadas de segunda ordem, com erro da ordem de ∆x2, Equação 3.40.
f ' ' (x ) =
f (x + ∆x ) + f (x − ∆x ) − 2f (x )
∆x
2
[ ]
+ 0 ∆x 2
(3.40)
Hidratação de Grãos
24
4 EQUIPAMENTOS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL Este trabalho foi dividido em duas partes, a primeira é caracterizada pelo desenvolvimento de modelos para a hidratação de grãos de soja, utilizando para a validação dados obtidos em regime transiente. Na segunda parte, alguns destes modelos foram aplicados para representar o processo de hidratação até que se atingisse o equilíbrio.
4.1
Obtenção dos Dados em Regime Transiente Neste item apresentam-se o procedimento experimental utilizado na obtenção dos
dados em regime transiente e os cálculos do volume e da densidade do grão.
4.1.1 Procedimento experimental O equipamento utilizado neste trabalho consiste de uma caixa de isopor com 39 cm de comprimento, 25 cm de largura, 17 cm de altura e 5 cm de espessura, ilustrado na Figura 4.1. Dentro da caixa, foram colocados dois recipientes com capacidade de 2 L de água cada. Na parte superior de cada recipiente, foi colocada uma tela onde se depositavam as amostras de soja com umidade em torno de 10% (b.u.).
Hidratação de Grãos
25
Figura 4.1 - Corte transversal do sistema utilizado no experimento Os experimentos foram realizados conforme a seqüência detalhada a seguir: 1) colocar água nos recipientes numa determinada temperatura: 10, 15, 20, 30, 42 ou 49ºC; 2) adicionar aproximadamente 150g de soja em cada peneira; 3) acompanhar a hidratação da soja, retirando uma amostra de soja de cada recipiente em intervalos de tempo pré-determinados. Tipicamente nos instantes de tempo: 1, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80, 100, 120, 150 e 180 min; 4) dispor cada amostra de grãos sobre papel toalha, para retirar o excesso de água superficial; 5) dividir cada amostra em duas parcelas: a primeira, para determinação do volume e a segunda, para determinação da umidade; 6) avaliar o volume e a densidade conforme Item 4.1.2. Calcular a variação média do volume de um grão de soja. 7) determinar a umidade das amostras pelo método clássico de secagem em estufa a 105ºC durante 24h. Sabendo-se que X =
mágua ms. sec o
a variação da massa é determinada pela Equação 4.1:
(
∆m = ms . sec o X f − X 0
)
(4.1)
Hidratação de Grãos
26
Sendo X a umidade em base seca, ms. sec o a massa média de sólido seco de um grão de soja, mágua a massa de água presente no grão, os subscritos 0 e f são referentes a antes e após a umidificação, respectivamente.
4.1.2 Cálculo do volume e da densidade do grão Para o cálculo do volume médio do grão deve-se retirar uma amostra de 50 grãos de soja, determinar a massa e em uma proveta graduada de 100 mL contendo inicialmente 50 mL de água medir a diferença de volume observada após a introdução da amostra e dividir pelo número de grãos. O volume de um grão deve ser igualado ao volume da esfera (V=4πR3/3) e o raio R obtido. A densidade deve ser calculada dividindo-se a massa pelo volume da amostra.
4.2
Obtenção de Valores de Xeq Este item apresenta a metodologia experimental para a obtenção dos valores de
X eq .
4.2.1 Procedimento experimental O equipamento utilizado neste trabalho consiste de um banho termostático apresentado nas Figuras 4.2 e 4.3. Dentro do banho, foi colocado um recipiente de alumínio de forma retangular com dimensões de 26,5x18x5 cm, onde foram dispostas as amostras de soja com umidade em torno de 10% (b.u.).
Hidratação de Grãos
Figura 4.2 - Banho termostático utilizado no experimento.
Figura 4.3 - Vista superior do banho termostático. Os experimentos foram realizados conforme a seqüência detalhada a seguir: 1) realizar um pré-tratamento para evitar a fermentação dos grãos: a. colocar a amostra sob a ação de luz ultravioleta durante 30 minutos; b. preparar solução diluída de benzoato de sódio (0,1% em massa).
27
Hidratação de Grãos
28
2) colocar a solução de benzoato de sódio no recipiente numa determinada temperatura: 10, 20, 30, 40 ou 50ºC; 3) adicionar aproximadamente 0,30 kg de soja; 4) acompanhar a hidratação da soja, retirando uma amostra de soja em intervalos de tempo pré-determinados, até que atingisse a umidade de equilíbrio; 5) dispor cada amostra de grãos sobre papel toalha, para retirar o excesso de água superficial; 6) determinar a umidade das amostras pelo método clássico de secagem em estufa a 105º C durante 24h (Instituto Adolfo Lutz, 1985).
Hidratação de Grãos
29
5 MODELOS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS EM FUNÇÃO DE
ρH o 2
Neste trabalho serão utilizadas duas maneiras de se representar o fluxo mássico. A primeira, Equação 5.1, é definida em função de um coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) e a segunda, Equação 5.2, em relação a um coeficiente de transferência de massa real ( K * ). O coeficiente de transferência de massa aparente é definido em relação à diferença entre a massa específica da água e a concentração de água na soja e, enquanto
K * é definido admitindo-se ρ eq − ρ soja .
(
)
(5.1)
(
)
(5.2)
N a = K S ρ H 2O − ρ soja
N a = K * ρ eq − ρ soja
Em que N a é o fluxo mássico, ρ H 2O a massa específica da água, ρ eq é a concentração de água na soja no equilíbrio e ρ soja a concentração da água na soja. Podemos relacionar ( K * ) com ( K S ) por meio da Equação 5.3.
K * = KS
(ρ (ρ
H 2O eq
) )
− ρ soja − ρ soja
(5.3)
Neste capítulo foram desenvolvidos três modelos matemáticos de parâmetros concentrados, que foram obtidos a partir de um balanço de massa transiente para a água contida na soja (Equação 5.4), utilizando o coeficiente de transferência de massa aparente e admitindo-se que a concentração de água no grão seja uniforme em cada instante de tempo.
(
d mágua dt sendo mágua a massa de água.
)
= Na A
(5.4)
Hidratação de Grãos
30
Fazendo mágua = ρ sojaV e substituindo a vazão pela Equação 5.1, obtém-se a Equação 5.5.
d (ρ sojaV ) dt
(
= K s A ρ H2O − ρ soja
)
(5.5)
sendo V o volume do grão, K S o coeficiente de transferência de massa aparente, A a área externa do grão de soja, ρ H 2O a massa específica da água e ρ soja a concentração da água na soja. Nestes modelos, o coeficiente de transferência de massa aparente foi utilizado por eliminar um parâmetro de ajuste, pois o ρ H 2O é um valor conhecido e constante, ao contrário do ρ eq que necessita ser ajustado ou obtido experimentalmente para tempos de hidratação muito grandes. Ensaios
experimentais
indicam
que
o
volume
do
grão
de
soja
varia
significativamente durante a hidratação. Logo, a Equação 5.5 pode ser transformada na Equação 5.6, contemplando variações do volume e da concentração de água na soja ao longo do tempo.
ρ soja
dρ soja dV +V = K s A ρ H2O − ρ soja dt dt
(
)
(5.6)
A Equação 5.6 foi simplificada, de duas maneiras: a primeira admitindo uma relação funcional de d p em função do tempo e a segunda considerando a razão entre a variação do volume e da massa do grão constante. Em cada uma destas situações são gerados modelos distintos.
5.1
Modelo ρ H2O 1 Este item apresenta a modelagem matemática, os resultados e as conclusões do
modelo ρ H 2O 1.
Hidratação de Grãos
31
5.1.1 Modelagem matemática O modelo ρ H 2O 1 foi obtido a partir da Equação 5.6, admitindo-se uma relação funcional para a variação do diâmetro dos grãos de soja ao longo do tempo conforme a Equação 5.7.
d p = d po + bt a
(5.7)
Sendo d p o diâmetro médio da soja, d p0 o diâmetro inicial da soja, a e b os parâmetros do modelo. Admitindo que os grãos de soja sejam esféricos, tanto a sua área como o seu volume podem ser descritos pelas Equações 5.8 e 5.9, respectivamente.
(
A = π d p0 + bt a
)
2
(5.8)
Em que d p0 é o diâmetro inicial da soja.
V=
(
π d p0 + bt a
)
3
(5.9)
6
Derivando-se a Equação 5.9 em relação ao tempo:
(
)
2
a a.b.t a −1 dV π d p0 + bt = dt 2
(5.10)
Substituindo-se as Equações 5.8, 5.9 e 5.10 na Equação 5.6 e rearranjando, obtémse o modelo ρ H 2O 1 na sua forma final, conforme Equação 5.11.
dρ soja dt
ρ soja 6 K S ρ H 2O − ρ soja − a.b.t a −1 2 = a d p0 + bt
(
)
Este modelo possui três parâmetros: K S , a e b .
(5.11)
Hidratação de Grãos
32
A concentração da água na soja ( ρ soja ) pode ser convenientemente convertida para umidade em base seca a partir da Equação 5.12:
X =
ρ soja Dsoja − ρ soja
(5.12)
Sendo Dsoja a massa específica da soja.
5.1.2 Resultados e discussão Neste item são apresentados o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo e o desenvolvimento do modelo generalizado.
5.1.2.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da seguinte maneira: fixando-se os demais parâmetros do modelo e variando-se o parâmetro estudado em relação a um valor padrão em ±40%. Utilizou-se como padrão, em todos os casos, os parâmetros obtidos para a temperatura de 10ºC. Nas Figuras 5.1, 5.2 e 5.3 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de K S , a e b , respectivamente. Nota-se que o modelo é sensível aos três parâmetros, porém é mais sensível ao parâmetro a do que aos parâmetros K S e b .
Hidratação de Grãos
6 Ks =4,32x10
-6
X(kgágua/kgs.s. )
5
Modelo ρH2O 1
4 3 2 1,4.Ks Ks
1
0,6.Ks 0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.1 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 1 em relação à K S .
6 a = 0,701 0,6.a
X (kgágua/kgs.s. )
5 4
Modelo ρH2O 1 3 2 a 1 1,4.a 0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 1 em relação à a .
33
Hidratação de Grãos
34
6 b = 4,54x10
-5
X (kgágua/kgs.s .)
5
Modelo ρH2O 1
4 3 0,6.b
2
b 1 1,4.b 0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 1 em relação à b .
5.1.2.2 Validação do modelo matemático Nesta etapa foram utilizados apenas os dados experimentais obtidos em regime transiente, conforme metodologia descrita no Item 4.1, estes dados estão apresentados no Apêndice A. A partir do estudo de sensibilidade paramétrica que revelou que os três parâmetros ( K S , a e b ) exercem influência significativa, optou-se por ajustar os três parâmetros simultaneamente. Os parâmetros ajustáveis ( K S , a e b ) foram obtidos por meio de integração numérica da forma final do modelo (Equação 5.11), com a condição inicial: t = 0 ,
ρ soja = ρ 0 , utilizando a rotina “ODE45”, do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ 2 = estão apresentados na Tabela 5.1
∑ (X
calc .
− X exp .
)2 . Os valores obtidos
Hidratação de Grãos
35
Tabela 5.1 – Parâmetros ajustados do modelo ρ H 2O 1.
T (oC)
Ksx105(m/s)
a (adm.)
bx105 (m/s)
10
0,4317
0,7009
4,5400
15 20 30 42 49
0,5050 0,8333 0,9700 1,0250 1,2933
0,6714 0,7000 0,7033 0,6563 0,6828
6,9150 7,5000 8,7917 9,2500 9,3167
A Figura 5.4 apresenta os resultados das simulações do modelo juntamente com os valores experimentais para as temperaturas de 10, 30 e 49oC. Observa-se que o modelo ajustou-se adequadamente aos valores experimentais com um erro de ±10% e apresentou um pequeno resíduo quadrático (φ2 = 0,16) (Figura 5.5).
1,8
Modelo ρH2O 1
1,6
49°C
X (kgágua/kgs.s. )
1,4 30°C
1,2
10°C 1,0 0,8 0,6 o + x Experimental _____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
t (s) Figura 5.4 - Previsões do modelo ρ H 2O 1 frente a dados experimentais.
20000
Hidratação de Grãos
36
1,8 Modelo ρH2O 1
2
φ =0,16
1,6
+10%
1,4 -10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Xexp. Figura 5.5 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo ρ H 2O 1.
5.1.2.3 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Os parâmetros do modelo foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 5.6, 5.7 e 5.8. Na Figura 5.6, observa-se que o coeficiente de transferência de massa K S tende a aumentar linearmente com a temperatura, ao contrário do parâmetro a , na Figura 5.7, que é praticamente constante e pode ser representado por um valor médio ( a = 0,686 ), enquanto o parâmetro (Figura 5.8).
b
apresenta um comportamento quadrático
Hidratação de Grãos
1,4 Modelo ρH2O 1 1,2
0,8
5
Ks x10 (m/s)
1,0
0,6 -7
Ks = 2,02x10 T + 2,85.10
0,4
-6
2
R = 0,91 0,2 0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 5.6 - Influência da temperatura sobre o parâmetro K s do modelo ρ H 2O 1.
1
Modelo ρH2O 1
0,9 0,8
amédio=0,686
a (adm.)
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
10
20
30
40
50
o
T ( C) Figura 5.7 - Influência da temperatura sobre o parâmetro a do modelo ρ H 2O 1
60
37
Hidratação de Grãos
10
38
Modelo ρH2O 1
9 8
5
bx10 (m/s)
7 6 5 4
-8 2
-6
b = -4,881x10 T + 3,948x10 T + 1,506x10
3
-5
2
R = 0,96
2 1 0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 5.8 - Influência da temperatura sobre o parâmetro b do modelo ρ H 2O 1
5.1.2.4 Modelo ρ H2O 1 generalizado Após conhecer os comportamentos dos parâmetros do modelo com a temperatura, é interessante
propor
um
modelo
generalizado
que
consiga
prever
o
processo
adequadamente na faixa de condições exploradas experimentalmente. Para tanto, partindo das equações obtidas de K S e de b em função da temperatura e o valor médio de a , apresentados respectivamente nas Figuras 5.6, 5.7 e 5.8, generalizou-se o modelo, Equação 5.11, simulando-o em todas as condições experimentais. Alguns destes resultados podem ser observados na Figura 5.9. Na Figura 5.10 são comparadas as simulações com todos os dados experimentais de umidade, revelando que o desvio quadrático apresentado pelo modelo generalizado (φ2 = 0,50) é maior do que o do modelo com parâmetros individuais (φ 2= 0,16). O mesmo ocorrendo com o desvio percentual que foi de ±10% no modelo com ajuste individual dos parâmetros, Figura 5.5, e ampliou-se para ±20% no caso do modelo generalizado.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρH2O 1 generalizado
1,6
49°C
X (kgágua/kgs.s. )
1,4 30°C
10°C
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
x + o Experimental _____ Modelo Generalizado
0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.9 - Previsões do modelo ρ H 2O 1 generalizado.
1,8 1,6
+20%
2
φ =0,50
1,4
-10%
1,2 Xcalc.
+10%
-20%
1,0 0,8 0,6 0,4 Modelo ρH2O 1 generalizado
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Xexp. Figura 5.10 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo ρ H 2O 1 generalizado.
1,8
39
Hidratação de Grãos
40
5.1.3 Conclusões
O modelo ρ H 2O 1 representou bem o processo de hidratação, com um erro máximo em torno de 10%, com um resíduo quadrático de 0,16. O coeficiente de transferência de massa K S varia linearmente com a temperatura (Ks= 2,02x10-7.T+ 2,85x10-6 m/s), na faixa de 10ºC a 49ºC. O modelo ρ H 2O 1 apresentou maior sensibilidade ao parâmetro a do que aos parâmetros K S e b . O modelo ρ H 2O 1 generalizado representou as principais tendências do processo de hidratação, porém apresenta um maior desvio (±20%) e resíduo quadrático de 0,50.
5.2
Modelo ρ H2O 2 Este item apresenta a modelagem matemática, os resultados e as conclusões do
modelo ρ H 2O 2.
5.2.1 Modelagem matemática O modelo ρ H 2O 2 foi desenvolvido, obtendo-se experimentalmente os valores de a e
b da Equação 5.7, eliminando a necessidade de ajuste destes parâmetros. O estudo da variação do diâmetro dos grãos de soja ao longo da hidratação mostrou que a temperatura não exerce uma influência significativa sobre o comportamento do diâmetro ao longo do tempo, Equação 5.13, conforme se pode observar na Figura 5.11. Desta forma, os parâmetros a e b da Equação 5.7 foram ajustados independentemente da temperatura. Observa-se que, nos primeiros 15 minutos, o aumento do diâmetro é mais significativo (± 15 %) e que, ao final da hidratação o diâmetro aumentou aproximadamente 30 %. Este aumento de 30 % mostra que a variação de volume ao longo da hidratação é significativa.
d p = d po + 1,151.10 −4 .t 0 ,3012 Sendo d p o diâmetro médio da soja e d po o diâmetro inicial da soja.
(5.13)
Hidratação de Grãos
41
1 0,9 0,8 dp x10 (m)
0,7 0,6
-4 0,3012
2
dp=dp0+1,151.10 .t
o
0,5
x
Experimental 49 C
0,4
+
Experimental 30 C
0,3
o Experimental 10 C ___ Modelo
o o
0,2 0,1 0 0
2500
5000
7500
10000
12500
t (s)
Figura 5.11 - Comportamento do diâmetro da soja ao longo da hidratação. Substituindo-se os parâmetros obtidos ( a e b ) na Equação 5.11, obtém-se o modelo na sua forma final conforme a Equação 5.14.
dρ soja dt
ρ soja 6 K s ρ H 2O − ρ soja − 3,467.10 − 5 .t −0 ,6988 2 = − 4 0 ,3012 d p0 + 1,151.10 t
(
)
(5.14)
Foram exploradas duas situações distintas: a) K S constante; b) K S variando exponencialmente de acordo com a Equação 5.15, resultando em dois modelos distintos com um e dois parâmetros respectivamente.
K s = A1.e
(B1. ρsoja )
(5.15)
Substituindo-se a Equação 5.15 na Equação 5.14, obtém-se o modelo com K S variável.
Hidratação de Grãos
dρ soja dt
ρ soja (B ρ ) 6 A1 .e 1 soja ρ H 2O − ρ soja − 3,467.10 −5 .t −0 ,6988 2 = − 4 0 ,3012 d p0 + 1,151.10 t
(
)
42
(5.16)
Em que A1 e B1 são parâmetros de ajuste do modelo.
5.2.2 Resultados e discussão Este item apresenta os resultados e discussão do modelo ρ H 2O 2. Serão apresentados o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo, o comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente com a concentração de água e o desenvolvimento do modelo generalizado.
5.2.2.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da mesma forma que para o modelo ρ H 2O 1, descrito no Item 5.1.2.1. Neste caso também se utilizou como padrão os parâmetros obtidos para a temperatura de 10ºC. Neste item são apresentados os estudos de sensibilidade paramétrica dos parâmetros A1 e B1 do modelo ρ H 2O 2 com K S variável, sendo desnecessário o estudo para o modelo com K S constante, pois este apresenta apenas um parâmetro. Nas Figuras 5.12 e 5.13 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de A1 e B1 , respectivamente. O modelo ρ H 2O 2 com K S variável é sensível aos dois parâmetros, apesar de apresentar maior sensibilidade ao parâmetro B1 do que ao parâmetro A1 , indicando que os dois parâmetros devem ser ajustados simultaneamente.
Hidratação de Grãos
3,0 A1=4,67x10-6
Modelo ρH2O 2 - KS variável
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 1,4.A1 A1
1,0
0,6.A1 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.12 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 2 com K S variável em relação à A1 .
3,0 B1=-8,68x10-3
Modelo ρH2O 2 - KS variável
X (kgágua/kgs.s. )
2,5
0,6.B1
2,0 1,5 B1 1,0 1,4.B1 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.13 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 2 com K S variável em relação à B1 .
43
Hidratação de Grãos
44
5.2.2.2 Validação do modelo matemático Nesta etapa foram utilizados apenas os dados obtidos em regime transiente, conforme descrito no Item 4.1, estes dados estão apresentados no Apêndice A.
a) K S constante:
O parâmetro ajustável do modelo com K S constante é o próprio K S . Este parâmetro foi obtido por meio de integração da Equação 5.14, com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , aplicando a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1), utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ 2 =
∑ (X
− X exp ) . Como pode-se observar na 2
calc
Figura 5.14, o modelo com K S constante (Equação 5.14) mostrou-se inadequado para representar o processo de hidratação.
4,0
Modelo ρH2O 2 - KS constante
3,5
o
49 C
X (kgágua/kgs.s. )
3,0 o
30 C
2,5
o
2,0
10 C
1,5 1,0 x + o Experimental ____ Modelo
0,5 0,0 0
5000
10000 t (s)
15000
20000
Figura 5.14 - Previsões do modelo ρ H 2O 2 com K S constante, frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos
45
b) K S variável: No modelo com K S , os dois parâmetros apresentaram influência sobre os resultados do modelo, portanto foram ajustados ao mesmo tempo. Os parâmetros ajustáveis ( A1 e B1 ) foram obtidos por meio de integração numérica da Equação 5.16, com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , aplicando a rotina “ODE45” do programa MATLAB (versão 5.1), utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ 2 =
∑ (X
calc .
− X exp .
)2 . Os
valores obtidos estão apresentados na Tabela 5.2. Tabela 5.2 – Parâmetros ajustados do modelo ρ H 2O 2 com KS variável.
T (oC)
A1x106(m/s)
B1x103( m3/kg)
10 15 20 30 42 49
4,5841 2,8965 8,1611 8,6992 7,3998 13,7083
-8,6787 -8,2745 -9,1845 -9,1885 -7,3675 -8,1093
A Figura 5.15 apresenta os resultados das simulações do modelo com K S variando exponencialmente (Equação 5.16), juntamente com os valores experimentais para as temperaturas de 10, 30 e 49oC. Pode-se observar que o modelo ajusta-se bem aos dados experimentais, Figura 5.16, com um erro máximo de aproximadamente 10% e um desvio quadrático acumulado de 0,16.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρH2O 2 - K S variável
46
o
49 C
1,6
X (kgágua/kgs.s. )
1,4
o
30 C
1,2
o
10 C
1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.15 - Previsões do modelo ρ H 2O 2 com K S variável frente a dados experimentais.
1,8 1,6
+10%
Modelo ρH2O 2 - K S variável
2
φ =0,16
1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Xexp. Figura 5.16 - Desvios do modelo ρ H 2O 2 com K S variável
1,6
1,8
Hidratação de Grãos
47
5.2.2.3 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Os parâmetros do modelo com K S variável (Equação 5.15) foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 5.17 e 5.18. Na Figura 5.17, observa-se que o parâmetro
A1 do coeficiente de transferência de massa ( K S ) tende a aumentar linearmente com a temperatura, ao contrário do parâmetro B1 , Figura 5.18, que é praticamente constante e pode ser representado por um valor médio ( B 1 = −8 ,47 x 10 −3 ).
14 Modelo ρH2O 2 - K S variável
12
8
6
A1x10 (m/s)
10
6 4 -7
A1 = 1,992x10 T - 5,236x10
2
-5
2
R = 0,68
0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C)
Figura 5.17 - Influência da temperatura sobre A1 do modelo ρ H 2O 2 com K S variável.
Hidratação de Grãos
48
-4 -5 0
10
20
30
40
50
60
3
-7 -8
3
B 1x10 (m /kg)
-6
-9 _ -3 B1= -8,47x10
-10 -11 -12
Modelo ρH2O 2 - KS variável
-13 -14 o
T ( C)
Figura 5.18 - Influência da temperatura sobre B1 do modelo ρ H 2O 2 com K S variável.
5.2.2.4 Comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente ao longo da hidratação O coeficiente de transferência de massa aparente K S foi correlacionado em função da concentração de água na soja, conforme Figura 5.19. Observa-se que o valor de K S diminui significativamente com o aumento da concentração. O coeficiente de transferência de massa tende a zero quando ρ soja tende ao valor de equilíbrio. O valor de ρ soja de equilíbrio será sempre menor do que a densidade da água, portanto, para que o fluxo mássico (Equação 5.1) seja nulo no equilíbrio, K S deverá ser igual a zero. Nota-se também que o K S aumenta com o aumento da temperatura.
Hidratação de Grãos
49
1,6 Modelo ρH2O 2 - Ks variável
1,4
5
Ks x10 (m/s)
1,2 1,0
o
49 C
0,8 30o C
0,6
o
10 C
0,4 0,2 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 5.19 - Comportamento de K S com a concentração de água na soja, modelo ρ H 2O 2 com K S variável.
5.2.2.5 Modelo ρ H 2O 2 generalizado Como o modelo com K S constante não se mostrou adequado para representar a hidratação de grãos de soja, o modelo generalizado foi obtido apenas para o modelo com
K S variável. O modelo generalizado foi obtido substituindo-se a correlação obtida de A1 em função da temperatura (Figura 5.17) e o valor médio de B1 (Figura 5.18) na Equação 5.16, e simulando-o em todas as condições experimentais. Nas Figuras 5.20 e 5.21 pode-se observar que o modelo generalizado não representa os valores experimentais tão bem quanto o modelo ajustado individualmente, porém prevê satisfatoriamente o comportamento da curva de hidratação.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρH2O 2 generalizado
1,6
o
49 C
1,4 X (kgágua/kgs.s. )X
50
o
30 C
1,2
o
10 C
1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo Generalizado
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000 t (s)
15000
20000
Figura 5.20 - Previsões do modelo ρ H 2O 2 generalizado. Na Figura 5.20 são comparadas as simulações com todos os dados experimentais de umidade, revelando que o desvio quadrático acumulado apresentado pelo modelo generalizado (φ2 =0,58) é maior do que o do modelo com parâmetros ajustados individualmente (φ2 = 0,16), como esperado. Entretanto, como as previsões apresentam um erro na faixa de 0 a 20 % em relação aos valores experimentais, o modelo generalizado poderia ser utilizado satisfatoriamente como uma primeira estimativa.
Hidratação de Grãos
51
2,0 1,8
+20%
2
φ =0,58
1,6
+10% -10%
1,4 -20%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρH2O 2 generalizado
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 5.21 - Desvios do modelo ρ H 2O 2 generalizado.
5.2.3 Conclusões O modelo com K S exponencial representou bem a hidratação de grãos de soja em toda a faixa de temperatura explorada (10 a 49°C), com um desvio quadrático acumulado de 0,16. O diâmetro dos grãos de soja apresentou um aumento médio em torno de 30% ao final de 150 minutos de hidratação. A maior taxa de variação dos diâmetros dos grãos de soja ocorreu nos primeiros 15 minutos, correspondendo a 50% do valor final. A temperatura não exerceu influência significativa sobre o comportamento do diâmetro do grão ao longo do tempo, na faixa de temperaturas explorada. O coeficiente de transferência de massa ( K S ) varia ao longo da hidratação e pôde ser representado satisfatoriamente por uma função exponencial do tipo: K s = A1.e
(B1. ρ soja )
.O
coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) aumenta conforme se eleva a temperatura, e independentemente desta, tende a zero quando a concentração de água na soja tende ao valor de equilíbrio.
Hidratação de Grãos
52
O modelo apresenta sensibilidade aos dois parâmetros, porém, o modelo sofre maior influência do parâmetro B1 do que do parâmetro A1 . As previsões do modelo generalizado apresentaram um erro em relação aos valores experimentais, na faixa de 0 a 20 %, podendo ser utilizado satisfatoriamente como uma primeira estimativa.
5.3
Modelo ρ H2O 3 Este item apresenta a modelagem matemática, os resultados e as conclusões do
modelo ρ H 2O 3.
5.3.1 Modelagem matemática O modelo ρ H 2O 3 foi obtido, assumindo-se que a variação do volume é diretamente proporcional à variação da massa do grão ao longo da hidratação, conforme Equação 5.17.
∆V = α ∆m
(5.17)
sendo α o coeficiente angular, e admite-se que m = ρ sojaV , obtém-se a Equação 5.18.
V =
(
)
V0 1 − αρ soja0
(1 − αρ )
(5.18)
soja
Em que V é o volume do grão, ρ soja é a concentração de água no grão e o subscrito 0 é referente ao início da hidratação. Derivando a Equação 5.18 em relação ao tempo, obtém-se a Equação 5.19.
dV = dt
(
dρ soja
)
V0 1 − αρ soja0 α
(1 − αρ )
dt
2
(5.19)
soja
Admitindo que os grãos de soja sejam esféricos, e substituindo-se a Equação 5.19 na Equação 5.6, obtém-se o modelo ρ H 2O 3 conforme Equação 5.20.
Hidratação de Grãos dρ soja dt
=
(
)
6K s 4/3 ρ H2O − ρ soja (1 − αρ soja ) C
53
(5.20)
em que:
(
)
6 C = V0 1 − αρ soja0 π
1/ 3
Assumindo uma variação exponencial do coeficiente de transferência de massa ( K S ) em função da concentração de água na soja (Equação 5.15) e substituindo-a na Equação 5.20, obtém-se o modelo na sua forma final (Equação 5.21).
dρ soja dt
(
(B .ρsoja )
6 A1 .e 1 = C
)(ρ
H 2O
)(
− ρ soja 1 − αρ soja
)4 / 3
(5.21)
Em que A1 e B1 são parâmetros de ajuste do modelo.
5.3.2 Resultados e discussão Neste item são apresentados o comportamento do volume com a massa, o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo, o comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente com a concentração de água e o desenvolvimento do modelo generalizado.
5.3.2.1 Determinação do valor de α Ao longo do processo de hidratação, o volume dos grãos foi avaliado por picnometria e o valor da variação média da massa de cada grão foi calculada por meio da Equação 4.1. Com estes dados para as temperaturas de 10, 15, 20, 30, 42 e 49oC obteve-se a Figura 5.22 onde pode-se observar que o comportamento da variação do volume em relação à variação da massa do grão ao longo da hidratação é linear, e pode ser satisfatoriamente ajustado por uma reta, cujo coeficiente angular (α) é igual a 1,04x10-3, que por sua vez é muito próximo ao volume específico da água (1,0x10-3 m3/kg), conforme esperado, pois a variação do volume da soja deve-se à absorção de água ao longo da hidratação. Comprovado que o valor de α corresponde aproximadamente ao volume específico da água, procedeu-se a simplificação do modelo (Equação 5.21), assumindo-se que α = 1, transformando-o em um modelo com apenas dois parâmetros ( A1 e B1 ).
Hidratação de Grãos
54
18 16
-3
∆ V=1,04x10 ∆ m 2 R =0,96
12
8
3
∆ Vx10 (m )
14
10 8 6 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
5
∆ mx10 (kg) Figura 5.22 - Variação do volume em função da variação da massa do grão.
5.3.2.2 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da mesma forma que para o modelo ρ H 2O 1, descrito no Item 5.1.2.1. Neste caso também se utilizou como padrão os parâmetros ajustados para a temperatura de 10ºC. Nas Figuras 5.23 e 5.24 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de A1 e B1 , respectivamente. Nota-se que o modelo, do mesmo modo que o modelo ρ H 2O 2 com K S variável, apresenta maior sensibilidade ao parâmetro B1 do que ao parâmetro A1 , entretanto os dois parâmetros exercem influência significativa.
Hidratação de Grãos
2,5
Modelo ρH2O 3
A1=4,27x10-6
X (kgágua/kgs.s. )
2,0
1,5
1,4.A1 A1
1,0 0,6.A1
0,5
0,0 0
50
100
150
200
250
300
t (s) Figura 5.23 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 3 em relação ao parâmetro A1 .
2,5
Modelo ρH2O 3
B1=-8,43x10-3
0,6.B1
X (kgágua/kgs.s. )
2,0
1,5 B1
1,0 1,4.B1
0,5
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.24 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ H 2O 3 em relação ao parâmetro B1 .
55
Hidratação de Grãos
56
5.3.2.3 Validação do modelo matemático Nesta etapa foram utilizados apenas os dados obtidos em regime transiente, conforme descrito no Item 4.1, estes dados estão apresentados no Apêndice A. Os parâmetros ajustáveis ( A1 e B1 ) foram estimados por meio de integração numérica da Equação 5.21, com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , com a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ2 =
∑ (X
calc .
− X exp .
)2 . A Tabela 5.3 apresenta os valores dos parâmetros ajustados.
Tabela 5.3 – Parâmetros ajustados do modelo ρ H 2O 3 .
T (oC) 10 20 30
A1x106(m/s) 4,2663 7,6554 8,0139
B1x103(m3/kg) -8,4251 -8,8741 -8,8137
42 49
6,4270 12,2909
-6,5915 -7,3862
A Figura 5.25 apresenta os resultados das simulações do modelo juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10, 30 e 49oC. Como se pode observar, Figura 5.26, o modelo ajustou adequadamente aos valores experimentais, com um erro de máximo ±10%.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρH2O 3
1,6
o
49 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,4
o
30 C
1,2
o
10 C 1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.25 - Previsões do modelo ρ H 2O 3 frente a dados experimentais.
1,8 φ =0,17
1,6
+10%
Modelo ρH2O 3
2
-10%
1,4
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Xexp. Figura 5.26 - Desvios do modelo ρ H 2O 3.
1,4
1,6
1,8
57
Hidratação de Grãos
58
5.3.2.4 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Os parâmetros do modelo foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 5.27 e 5.28. Na Figura 5.27 observa-se que o parâmetro A1 tende a aumentar linearmente com a temperatura, enquanto o parâmetro B1 , Figura 5.28, é praticamente constante com o aumento da temperatura.
14 -7
A1= 1,745x10 T + 2,0077x10
12
-6
8
6
A1x10 (m/s)
10
6 4 Modelo ρH2O 3
2 0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 5.27 - Influência da temperatura sobre o parâmetro A1 do modelo ρ H 2O 3.
Hidratação de Grãos
59
-4 -5 0
10
20
30
40
50
60
3
-7 -8
3
B1x10 (m /kg)
-6
-9 _ -3 B1= -7,966x10
-10 -11 -12 -13
Modelo ρH2O 3
-14 o
T ( C)
Figura 5.28 - Influência da temperatura sobre o parâmetro B1 do modelo ρ H 2O 3.
5.3.2.5 Comportamento do coeficiente de transferência de massa aparente ao longo da hidratação O coeficiente de transferência de massa aparente K S do modelo ρ H 2O 3 foi correlacionado em função da concentração de água na soja, conforme Figura 5.29. Observa-se que K S apresenta comportamento semelhante ao observado no K S do modelo
ρ H O 2 com K S exponencial, o valor de K S diminui significativamente com o aumento da 2
concentração. O coeficiente de transferência de massa tende a zero quando ρ soja tende ao valor de equilíbrio. O valor de ρ soja de equilíbrio será sempre menor do que a densidade da água, portanto, para que o fluxo mássico (Equação 5.1) seja nulo no equilíbrio, K S deverá ser igual a zero. Nota-se também que o K S aumenta com o aumento da temperatura.
Hidratação de Grãos
60
1,6 Modelo ρH2O 3
1,4
5
Ks x10 (m/s)
1,2 1,0
o
49 C
0,8 30o C
0,6
o
10 C
0,4 0,2 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 5.29 - Comportamento de K S com a concentração de água no modelo ρ H 2O 3.
5.3.2.6 Modelo ρ H2O 3 generalizado O modelo generalizado foi obtido substituindo-se a correlação obtida de A1 em função da temperatura (Figura 5.27) e o valor médio de B1 (Figura 5.28) na Equação 5.21, e então simulando-o em todas as condições experimentais. Na Figura 5.30, pode-se observar que o modelo generalizado não representa os valores experimentais tão bem quanto o modelo ajustado individualmente, porém prevê satisfatoriamente o comportamento da curva de hidratação. Na Figura 5.31 são comparadas as simulações com todos os dados experimentais de umidade, revelando que o desvio quadrático apresentado pelo modelo generalizado (φ2 = 0,70) é maior do que o do modelo com parâmetros individuais (φ 2= 0,17), como esperado. O modelo generalizado, como apresenta uma faixa de erro de ± 20% pode ser utilizado como uma primeira aproximação.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρH2O 3 generalizado
1,6
o
49 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,4
o
30 C 1,2
o
10 C 1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 5.30 - Previsões do modelo ρ H 2O 3 generalizado.
1,8
+10%
2
φ =0,70
1,6
+20%
1,4
-10%
Xcalc.
1,2 -20%
1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρH2O 3 generalizado
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Xexp. Figura 5.31 - Avaliação da qualidade de ajuste do modelo ρ H 2O 3 generalizado.
61
Hidratação de Grãos
62
5.3.3 Conclusões O modelo ρ H 2O 3 representou o processo de hidratação com um erro máximo em torno de 10%. A hipótese simplificadora adotada no modelo de que a variação do volume do grão é proporcional à variação da massa do grão de soja é coerente e o valor de α foi aproximadamente igual ao volume específico da água (1,0x10-3 m3/kg). A variação do coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) ao longo da hidratação pôde ser representada satisfatoriamente por uma função exponencial do tipo: (B .ρ ) K s = A1 .e 1 soja . O coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) aumenta conforme se eleva a temperatura, e independentemente desta, tende a zero quando a concentração de água na soja tende ao valor de equilíbrio. O modelo sofre maior influência do parâmetro B1 do que do parâmetro A1 . O modelo ρ H 2O 3 generalizado deve ser utilizado como uma primeira estimativa, por apresentar uma faixa de erro de máxima ± 20% em relação aos valores experimentais.
Hidratação de Grãos
63
6 MODELOS DE PARÂMETROS CONCENTRADOS EM FUNÇÃO DE ρ eq Neste capítulo foram desenvolvidos dois modelos matemáticos de parâmetros concentrados. Estes modelos foram obtidos de maneira semelhante (mesmas hipóteses e balanço de massa semelhante) aos modelos do Capítulo 5, porém neste caso, utilizou-se a definição de N a apresentada pela Equação 5.2 a qual contempla o coeficiente de transferência de massa real ( K * ), mas, torna necessário o conhecimento de ρ eq . Nestes modelos, o valor de ρ eq foi ajustado ou obtido experimentalmente. A partir de um balanço de massa transiente para a água contida na soja (Equação 5.4), utilizando o coeficiente de transferência de massa real e admitindo-se que a concentração de água no grão seja uniforme em cada instante de tempo, substituindo a massa de água ( mágua ) da Equação 5.4 por ρ sojaV e o fluxo pela Equação 5.2, obtém-se a Equação 6.1.
d (ρ sojaV ) dt
= K * .A(ρ eq − ρ soja )
(6.1)
Em que V é o volume do grão, K * o coeficiente de transferência de massa real, A a área externa do grão de soja, ρ soja a concentração de água na soja, ρ eq a concentração de água na soja no equilíbrio. Como tanto o volume quanto a concentração variam com o tempo, a Equação 6.1 pode ser transformada na Equação 6.2.
ρ soja
dρ soja dV +V = K * A(ρ eq − ρ soja ) dt dt
(6.2)
A Equação 6.2 pode ser simplificada, de duas maneiras: a primeira admitindo uma relação funcional de d p em função do tempo e a segunda considerando que a razão entre a variação do volume e da massa do grão é constante. Em cada uma destas situações são gerados modelos distintos.
Hidratação de Grãos 6.1
64
Modelo ρ eq 1 Este item apresenta a modelagem matemática, os resultados e as conclusões do
modelo ρ eq 1.
6.1.1 Modelagem matemática O modelo ρ eq 1 foi desenvolvido, da mesma maneira que o modelo ρ H 2O 2, admitindo-se uma relação funcional para a variação do diâmetro dos grãos de soja ao longo do tempo (Equação 5.12), obtida experimentalmente. A Equação 6.3 apresenta o modelo obtido.
dρ soja dt
ρ soja 6 K * (ρ eq − ρ soja ) − 3,467.10 −5 .t −0 ,6988 2 = − 4 0 ,3012 d p0 + 1,151.10 t
(6.3)
Foram exploradas três situações distintas: a) K * constante; b) K * variando linearmente de acordo com a Equação 6.4; c) K * variando exponencialmente de acordo com a Equação 6.5.
K * = A2 . + B 2 .ρ soja K * = A1 .e
(6.4)
(B1 .ρ soja )
(6.5)
6.1.2 Resultados e discussão Este item apresenta os resultados e discussão do modelo
ρ eq 1. Serão
apresentados o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo, o comportamento do coeficiente de transferência de massa real com a concentração de água e o desenvolvimento do modelo generalizado.
Hidratação de Grãos
65
6.1.2.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da mesma forma que para o modelo ρ H 2O 1, descrito no Item 5.1.2.1. Neste caso também se utilizou como padrão os parâmetros obtidos para a temperatura de 10ºC.
a) K * constante:
Nas Figuras 6.1 e 6.2 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de K * e ρ eq , respectivamente. Nota-se que o modelo apresenta maior sensibilidade ao ρ eq do que ao K * . Observa-se também que o modelo é mais sensível a K * no período transiente.
3,0 K*=1,31x10
-6
X (kgágua/kgs.s. )
2,5
Modelo ρeq 1 - K* constante
2,0 1,5 1,0
1,4.K* K* 0,6.K*
0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.1 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * constante em relação ao parâmetro K * .
Hidratação de Grãos
66
3,0
ρeq=527
Modelo ρeq 1 - K* constante
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 1,4.ρ eq
2,0 1,5 1,0
ρ eq
0,5
0,6.ρ eq
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * constante em relação à ρ eq . b) K * linear: Nas Figuras 6.3, 6.4 e 6.5 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica dos três parâmetros do modelo ρ eq 1 com K * linear ( A2 , B2 e ρ eq ), respectivamente. Observa-se que o modelo apresenta praticamente a mesma sensibilidade a todos os parâmetros.
Hidratação de Grãos
67
3,0 A2=1,86x10
-6
Modelo ρeq 1 - K* linear
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 1,4.A2 1,0
A2
0,5
0,6.A2
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * linear em relação à A2 .
3,0 B2=-3,11x10
-9
Modelo ρeq 1 - K* linear
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5
0,6.B2
1,0
B2 1,4.B 2
0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.4 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * linear em relação à B2 .
Hidratação de Grãos
3,0
ρeq=597
68
Modelo ρeq 1 - K* linear
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 1,4.ρ eq 1,0
ρ eq
0,5
0,6.ρ eq
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.5 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * linear em relação à ρ eq . c) K * exponencial: O modelo ρ eq 1 com K * exponencial apresenta três parâmetros: A1 , B1 e ρ eq . Nas Figuras 6.6, 6.7 e 6.8 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de A1 ,
B1 e ρ eq , respectivamente. O estudo de sensibilidade paramétrica indica que todos os parâmetros são importantes, mas modelo é mais sensível ao parâmetro B1 .
Hidratação de Grãos
3,0 A1=4,23x10
-6
Modelo ρeq 1 - K* exponencial
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5
1,4.A1 A1
1,0
0,6.A1 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.6 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * exponencial em relação à A1 .
3,0 B 1=-8,84x10
-3
0,6.B 1
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 B1 1,0 1,4.B1 0,5 Modelo ρeq 1 - K* exponencial 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.7 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * exponencial em relação à B1 .
69
Hidratação de Grãos
3,0
ρeq=1088
70
Modelo ρeq 1 - K* exponencial
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5
1,4.ρ eq
ρ eq
1,0
0,6.ρ eq 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.8 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 1 com K * exponencial em relação à ρ eq .
6.1.2.2 Validação do modelo matemático Nesta etapa foram utilizados apenas os dados obtidos em regime transiente, conforme descrito no Item 4.1, estes dados podem ser encontrados no Apêndice A. a) K * constante: Apesar de o modelo ser menos sensível ao K * do que ao ρ eq , os dois parâmetros exercem influência significativa. Então, optou-se por ajustar os dois parâmetros simultaneamente. Os parâmetros ( K * e ρ eq ) foram obtidos por meio de integração numérica da forma final do modelo (Equação 6.3), com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , usando a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ 2 = Tabela 6.1
∑ (X
− X exp . ) . Os valores obtidos estão apresentados na 2
calc .
Hidratação de Grãos
71
Tabela 6.1: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 1 com K * constante.
T (oC)
K*x106(m/s)
ρeq (kg/m3)
10 15 20 30 42 49
1,3053 1,2060 1,6030 1,9543 1,7548 2,3094
527,4242 491,5487 539,2683 528,2433 612,1729 606,0186
A Figura 6.9 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * constante, juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 49ºC e na Figura 6.10 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios (10ºC, 15ºC, 30ºC, 42ºC e 49ºC). Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo não representa tão bem o processo de hidratação, apresentando um erro em torno de ± 20% em relação às medidas experimentais.
1,8 1,6
o
Modelo ρeq 1 - K* constante
49 C
1,4
o
X (kgágua/kgs.s. )
30 C
1,2 1,0 o
10 C
0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.9 - Previsões do modelo ρ eq 1 com K * constante frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos
72
2,0 +20%
2
φ =1,35
1,8 1,6 1,4 Xcalc.
1,2 -20%
1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρeq 1 - K* constante
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 6.10 – Desvios do modelo ρ eq 1 com K * constante. b) K * linear: A partir do estudo de sensibilidade paramétrica que revela que os três parâmetros ( A2 , B2 e ρ eq ) exercem influência significativa, optou-se por ajustar os três parâmetros simultaneamente. Os parâmetros foram obtidos por meio de integração numérica do modelo (Equação 6.3), substituindo-se o coeficiente de transferência de massa real ( K * ) pela Equação 6.4, com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , usando a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático: φ2 =
∑ (X
calc .
− X exp .
)2 . Os valores obtidos estão apresentados na Tabela 6.2
Hidratação de Grãos
73
Tabela 6.2: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 1 com K * linear.
T (oC)
A2x106(m/s)
B2x109(m4/kgs)
ρeq (kg/m3)
10 15 20 30 42 49
1,8589 1,6211 2,5272 2,9840 2,6580 3,7698
-3,1098 -2,8494 -4,1784 -5,0241 -3,8800 -5,5906
597,7613 568,9190 604,8276 593,9540 685,0460 674,2958
A Figura 6.11 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * variando linearmente (Equação 6.4), juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 49ºC e na Figura 6.12 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios. Pode-se observar pela análise destas figuras, que o modelo com K * linear representa o processo de hidratação melhor do que o modelo com K * constante, pois neste
φ 2 = 0,62 enquanto no modelo com K * constante φ 2 = 1,35.
1,8
Modelo ρeq 1 - K* linear
1,6
49°C
1,4
o
X (kgágua/kgs.s. )
30 C
1,2 1,0
o
10 C
0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.11 - Previsões do modelo ρ eq 1 com K * linear frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos
74
2,0 2
φ =0,62
1,8
+10%
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρeq 1 - K* linear
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 6.12 – Desvios do modelo ρ eq 1 com K * linear.
c) K * exponencial: Como se pode observar no estudo de sensibilidade paramétrica, todos os parâmetros são importantes e, portanto não foi possível se fixar nenhum deles. Os parâmetros foram ajustados da mesma maneira que nos modelos apresentados anteriormente: por meio de integração numérica do modelo (Equação 6.3), substituindo-se o coeficiente de transferência de massa real ( K * ) pela Equação 6.5. O modelo com K * exponencial, apesar de representar bem os dados experimentais, apresentou valores não realistas para o parâmetro ajustado ρ eq . Os valores obtidos foram superiores a 1000 kg/m3, que, transformados para umidade em base seca resultaram em valores negativos, revelando que o ajuste deste modelo com parâmetros significativos fisicamente só é possível conhecendo-se o valor de ρ eq .
Hidratação de Grãos
75
6.1.2.3 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo a) K * constante: Os parâmetros do modelo com K * constante foram correlacionados em função da temperatura. Nas Figuras 6.13 e 6.14, observa-se que tanto o coeficiente de transferência de massa ( K * ) quanto o ρ eq tendem a aumentar linearmente com a temperatura.
3,0 Modelo ρeq 1 - K* constante 2,5
K* (m/s)
2,0 1,5 1,0 -8
K*= 2,37x 10 T+ 1,0336x10 2 R = 0,79
0,5
-6
0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.13 - Influência da temperatura sobre K * do modelo ρ eq 1 com K * constante.
Hidratação de Grãos
700
76
Modelo ρeq 1 - K* constante
500
3
ρ eq (m /kg)
600
400
ρeq= 2,7202T + 475,52 2
R = 0,7694 300
200 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.14- Influência da temperatura sobre ρ eq do modelo ρ eq 1 com K * constante..
b) K * linear: Os parâmetros do modelo com K * linear foram correlacionados em função da temperatura. Nas Figuras 6.15, 6.16 e 6.17, observa-se que todos os parâmetros do modelo variam linearmente com a temperatura, porém, o parâmetro B2 diminui, enquanto os parâmetros A2 e ρ eq aumentam com o aumento da temperatura.
Hidratação de Grãos
4,0 Modelo ρeq 1 - K* linear
3,5
6
A2 x10 (m/s)
3,0 2,5 2,0 1,5 -8
A2 = 4,404x10 T+ 1,351x10
1,0
-6
2
R = 0,77
0,5 0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.15 - Influência da temperatura sobre o parâmetro A2 do modelo ρ eq 1 com K * linear.
-1,0 0
10
20
30
40
50
60
Modelo ρeq 1 - K* linear
-2,0
4
B2 (m /kg.s)
-3,0 -4,0 -5,0 -6,0
B2= -5,31x10
-11
T - 2,6373x10
-9
2
R = 0,59
-7,0 o
T ( C) Figura 6.16 - Influência da temperatura sobre o parâmetro B2 do modelo ρ eq 1 com K * linear.
77
Hidratação de Grãos
78
800 Modelo ρeq 1 - K* linear
ρ eq (m3/kg)
700
600
500
ρeq= 2,661T + 547,18
400
2
R = 0,76 300 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.17 - Influência da temperatura sobre o parâmetro ρ eq do modelo ρ eq 1 com K * linear.
6.1.2.4 Comportamento do coeficiente de transferência de massa real ao longo da hidratação O coeficiente de transferência de massa real K * foi correlacionado em função da concentração de água na soja, conforme Figura 6.18. Observa-se que o valor de K * diminui com o aumento da concentração. Este modelo define o K * em função do ρ eq (Equação 5.2) e foi validado para valores de concentração menores do que o valor de ρ eq , então o fluxo mássico será nulo no equilíbrio, quando ρ soja for igual à ρ eq . Nota-se também que o K * aumenta com o aumento da temperatura.
Hidratação de Grãos
79
5,0 Modelo ρeq 1 - K* linear
4,5 4,0
6
K*x10 (m/s)
3,5 49oC
3,0
o
30 C
2,5 2,0
o
10 C
1,5 1,0 0,5 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 6.18 - Comportamento de K * com a concentração de água na soja, modelo ρ eq 1 com K * linear.
6.1.2.5 Modelo ρ eq 1 generalizado O modelo com K * linear foi generalizado por ter representado melhor o processo de hidratação do que o modelo com K * constante. Com as correlações obtidas de A2 , B2 e
ρ eq em função da temperatura, apresentados nas Figuras 6.15 a 6.17, generalizou-se o modelo, Equação 6.3, simulando-o em todas as condições experimentais. Na Figura 6.19, pode-se observar que o modelo generalizado não representa os valores experimentais tão bem quanto o modelo ajustado individualmente, porém prevê satisfatoriamente o comportamento da curva de hidratação. Na Figura 6.20 são comparadas as simulações com todos os dados experimentais de umidade, revelando que o desvio quadrático acumulado apresentado pelo modelo generalizado (φ2 = 0,92) é maior do que o do modelo com parâmetros individuais (φ 2= 0,62), como esperado.
Hidratação de Grãos
1,8
Modelo ρeq 1 - K* linear generalizado
1,6
o
49 C o
30 C
1,2
o
10 C
1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo Generalizado
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000 t (s)
15000
20000
Figura 6.19 - Previsões do modelo ρ eq 1 generalizado.
2,0 1,8
+20%
2
φ =0,92
+10%
1,6
-10%
1,4 1,2 Xcalc.
X (kgágua/kgs.s. )X
1,4
-20%
1,0 0,8 0,6 Modelo ρeq 1 - K* linear generalizado
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Xexp. Figura 6.20 - Desvios do modelo ρ eq 1 generalizado.
1,8
2,0
80
Hidratação de Grãos
81
6.1.2.6 Conclusões O modelo com K * linear foi o que melhor representou a hidratação de grãos de soja em toda a faixa de temperatura explorada (10 a 49°C), com um resíduo quadrático de 0,62. No modelo com K * linear os parâmetros variam linearmente com a temperatura, conforme as equações: A2 = 4 ,404.10 −8 .T + 1,351.10 −6 , B 2 = −5,31.10 −11.T − 2,637.10 −9 e
ρ eq = 2,661.T + 547 ,18 . O coeficiente de transferência de massa real ( K * ) varia ao longo da hidratação e pôde ser representado satisfatoriamente por uma função linear do tipo: K * = A2 + B2 .ρ soja . O coeficiente de transferência de massa real ( K * ) aumenta conforme se eleva a temperatura. Os modelos apresentam sensibilidade a todos os parâmetros, sendo que no modelo com K * linear, o modelo apresenta sensibilidade semelhante a todos os parâmetros. O modelo com K * exponencial apresentou valores não realistas para o parâmetro
ρ eq , indicando que esta relação funcional é inadequada quando se mantém o parâmetro ρ eq livre para ajuste. O modelo generalizado não pôde representar os dados experimentais com a mesma exatidão que o modelo com ajustes individuais dos parâmetros, como era esperado, porém apresentou um erro em torno de ±20% e φ 2 de 0,92, podendo ser utilizado satisfatoriamente como uma primeira aproximação.
6.2
Modelo ρ eq 2 Este item apresenta a modelagem matemática, os resultados e as conclusões do
modelo ρ eq 2.
6.2.1 Modelagem matemática O modelo ρ eq 2 foi desenvolvido, assumindo-se as mesmas hipóteses do modelo
ρ H O 3, que a variação do volume é diretamente proporcional à variação da massa do grão 2
ao longo da hidratação, conforme a Equação 5.16 e admitindo que os grãos de soja sejam
Hidratação de Grãos
82
esféricos, substituindo-se a Equação 5.18 na Equação 6.2, obtém-se o modelo na forma da Equação 6.6.
dρ soja dt
=
6K * (ρ eq − ρ soja )(1 − αρ soja )4 / 3 C
(6.6)
em que
(
)
6 C = V0 1 − αρ soja0 π
1/ 3
Do mesmo modo que realizado no modelo ρ eq 1, explorou-se três situações distintas: a) K * constante; b) K * variando linearmente de acordo com a Equação 6.4; c) K * variando exponencialmente de acordo com a Equação 6.5.
6.2.2 Resultados e discussão Neste item são apresentados o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo, o comportamento do coeficiente de transferência de massa real com a concentração de água e o desenvolvimento do modelo generalizado.
6.2.2.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da mesma forma que para o modelo ρ H 2O 1, descrito no Item 5.1.2.1. Neste caso também se utilizou como padrão os parâmetros obtidos para a temperatura de 10ºC.
a) K * constante:
O modelo ρ eq 2 com K * constante apresenta dois parâmetros: K * e ρ eq . Nas Figuras 6.21 e 6.22 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de K * e
ρ eq , respectivamente. Observa-se que o parâmetro ρ eq apresenta maior influência sobre as previsões do modelo do que o parâmetro K * . Nota-se também, que, no caso do
Hidratação de Grãos
83
parâmetro K * , a sensibilidade é maior no período transiente do que no período constante. Estes resultados sugerem que K * e ρ eq devem ser ajustados simultaneamente.
2,5 K*=1,22x10
-6
Modelo ρeq 2 - K* constante
X (kgágua/kgs.s. )
2,0
1,5
1,4.K*
1,0
K*
0,5
0,6.K*
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.21 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * constante em relação à K * .
Hidratação de Grãos
2,5
ρ eq=530
Modelo ρeq 2 - K* constante
84
1,4.ρ eq
X (kgágua/kgs.s. )
2,0
1,5
1,0
ρ eq
0,5
0,6.ρ eq
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.22 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * constante em relação à ρ eq . b) K * linear:
O modelo ρ eq 2 com K * linear apresenta três parâmetros: A2 , B2 e ρ eq . Nas Figuras 6.23, 6.24 e 6.25 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de
A2 , B2 e ρ eq , respectivamente. Observa-se que o modelo apresenta sensibilidade semelhante aos três parâmetros, sugerindo que eles devam ser ajustados simultaneamente.
Hidratação de Grãos
85
3,0 A2 = 1,83x10
Modelo ρeq 2 - K* linear
-6
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 1,4.A2 1,0
A2
0,5
0,6.A2
0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.23 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * linear em relação à A2 .
3,0 B 2 = - 3,17x10
-9
Modelo ρeq 2 - K* linear
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5
1,4.B2 B2
1,0
0,6.B2
0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.24 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * linear em relação à B2 .
Hidratação de Grãos
3,0
ρ eq = 600
86
Modelo ρeq 2 - K* linear
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5 1,4.ρ eq 1,0
ρ eq 0,6. ρ eq
0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.25 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * linear em relação à ρ eq . c) K * exponencial: O modelo ρ eq 2 com K * exponencial apresenta três parâmetros: A1 , B1 e ρ eq . Nas Figuras 6.26, 6.27 e 6.28 estão apresentados os resultados da sensibilidade paramétrica de
A1 , B1 e ρ eq , respectivamente. O estudo de sensibilidade paramétrico indica que os três parâmetros são importantes e nota-se que o modelo é mais sensível ao parâmetro B1 .
Hidratação de Grãos
3,0 A1 = 4,33x10
-6
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,5
1,4.A1 A1
1,0
0,6.A1
0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.26 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * exponencial em relação à A1 .
3,0 B 1 = - 8,42x10
-3
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 1,4.B 1
2,0 1,5
B1 1,0 0,6.B 1 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.27 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * exponencial em relação à B1 .
87
Hidratação de Grãos
3,0
ρ eq = 1000
88
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,4.ρ .ρ eq
1,5
ρ eq
1,0
0,6.ρ .ρ eq 0,5 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.28 – Sensibilidade paramétrica do modelo ρ eq 2 com K * exponencial em relação à ρ eq .
6.2.2.2 Validação do modelo matemático a) K * constante: No estudo de sensibilidade paramétrica nota-se que o modelo é menos sensível ao
K * do que ao ρ eq , porém os dois parâmetros exercem influência significativa. Por esse motivo, optou-se por ajustar os dois parâmetros simultaneamente. Os parâmetros ( K * e
ρ eq ) foram obtidos por meio de integração numérica da forma final do modelo (Equação 6.6), com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , com a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) φ2 =
e
∑ (X
utilizando calc .
− X exp .
a
rotina
“FMINS”
para
minimizar
o
resíduo
)2 . Os valores obtidos estão apresentados na Tabela 6.3.
quadrático:
Hidratação de Grãos
89
Tabela 6.3: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 2 com K * constante.
T (oC)
K*x106(m/s)
ρeq (kg/m3)
10 15 20 30 42 49
1,2167 1,0786 1,5147 1,8732 1,9390 2,5297
532,6954 499,6504 550,2492 534,3217 616,9223 612,7798
A Figura 6.29 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * constante, juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 49ºC e na Figura 6.30 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios (10ºC, 15ºC, 20ºC, 30ºC, 42ºC e 49ºC). Nestas figuras, nota-se que o modelo não representa tão bem o processo de hidratação, apresentando um erro em torno de ± 20% em relação às medidas experimentais e resíduo quadrático de 0,92.
1,8
Modelo ρeq 2 - K* constante
1,6
o
49 C
1,4 X (kgágua/kgs.s. )
o
30 C
1,2 1,0
o
10 C
0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.29 - Previsões do modelo ρ eq 2 com K * constante frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos
90
1,8 +20%
2
φ =0,92
1,6 1,4 1,2 Xcalc.
-20% 1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρeq 2 - K* constante
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Xexp. Figura 6.30 – Desvios do modelo ρ eq 2 com K * constante. b) K * linear: A partir do estudo de sensibilidade paramétrica que revela que os três parâmetros ( A2 , B2 e ρ eq ) exercem influência significativa, optou-se por ajustar os três parâmetros simultaneamente. Os parâmetros foram obtidos por meio de integração numérica do modelo (Equação 6.6), substituindo-se o coeficiente de transferência de massa real ( K * ) pela Equação 6.4, com a condição inicial: t = 0 , ρ soja = ρ 0 , usando a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar o resíduo quadrático:
φ 2 = ∑ (X calc . − X exp . ) . Os valores obtidos estão apresentados na Tabela 6.4 2
Hidratação de Grãos
91
Tabela 6.4: Parâmetros ajustados do modelo ρ eq 2 com K * linear.
T (oC)
A2x106(m/s)
B2x109(m4/kgs)
ρeq (kg/m3)
10 15 20 30 42 49
1,8656 1,4758 2,6425 2,9583 2,9213 4,4101
-3,1240 -2,5587 -4,3721 -4,9468 -4,2198 -6,5131
596,4611 576,4568 605,0750 597,4219 691,4135 676,8179
A Figura 6.31 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * variando linearmente (Equação 6.4), juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 49ºC e na Figura 6.32 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa o processo de hidratação melhor do que o modelo com K * constante, o desvio apresentado foi em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais, com resíduo quadrático acumulado de 0,42.
1,8
Modelo ρeq 2 - K* linear
1,6
o
49 C
1,4 X (kgágua/kgs.s. )
o
30 C
1,2 1,0
o
10 C
0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.31 - Previsões do modelo ρ eq 2 com K * linear frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos
92
1,8 +10%
2
φ =0,42
1,6 1,4 1,2 Xcalc.
-10% 1,0 0,8 0,6 0,4 Modelo ρeq 2 - K* linear
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Xexp. Figura 6.32 - Desvios do modelo ρ eq 2 com K * linear.. c) K * exponencial: O modelo ρ eq 2 com K * exponencial, do mesmo modo que o modelo ρ eq 1 apresentou valores não realistas para o parâmetro ajustado ρ eq . Os valores obtidos foram superiores a 1000 (kg/m3), que, transformados para umidade em base seca resultaram em valores negativos, indicando que deixar o ρ eq livre para ajuste é inviável quando se admite um comportamento exponencial para K * .
6.2.2.3 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo a) K * constante: Os parâmetros do modelo foram correlacionados por funções lineares da temperatura, conforme Figuras 6.33 e 6.34 Pode-se constatar que tanto K * como ρ eq aumentam com a elevação da temperatura, no entanto, a temperatura exerce maior influência sobre K * do que sobre ρ eq .
Hidratação de Grãos
93
3,0 Modelo ρeq 2 - K* constante
6
K*x10 (m/s)
2,5 2,0 1,5 1,0 -8
K* = 3,29x10 T + 7,825x10
-7
2
0,5
R = 0,91
0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.33 - Influência da temperatura no coeficiente de transferência de massa real, K * , do modelo ρ eq 2 com K * constante.
1000 Modelo ρeq 2 - K* constante
3
ρ eq (kg/m )
800
600
400
ρeq= 2,6755T+ 483,75 2
R = 0,77 200 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.34 - Influência da temperatura na concentração de equilíbrio ρ eq do modelo ρ eq 2 com K * constante.
Hidratação de Grãos
94
b) K * linear: Os parâmetros do modelo com K * linear foram correlacionados em função da temperatura. Nas Figuras 6.35, 6.36 e 6.37, observa-se que todos os parâmetros do modelo variam linearmente com a temperatura, os parâmetros A2 e ρ eq aumentam, enquanto o parâmetro B2 diminui com o aumento da temperatura.
5,0 Modelo ρeq 2 - K* linear
4,5 4,0
6
A2x10 (m/s)
3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 -8
1,0
A2 = 5,93x10 T + 1,073x10
-6
2
0,5
R = 0,80
0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.35 - Influência da temperatura sobre o parâmetro A2 do modelo ρ eq 2 com
K * linear.
Hidratação de Grãos
0,0 0
30
40
50
60
-2,0
-11
B2 = -7,504x10 T - 2,2129x10
-9
2
R = 0,70
-3,0
9
4
20
Modelo ρeq 2 - K* linear
-1,0
B2 x10 (m /kg.s)
10
-4,0 -5,0 -6,0 -7,0 o
T ( C) Figura 6.36 - Influência da temperatura sobre o parâmetro B2 do modelo ρ eq 2 com
K * linear.
1000 Modelo ρeq 2 - K* linear
3
ρ eq (kg/m )
800
600
ρ eq = 2,7268T + 548,5
400
2
R = 0,78 200 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 6.37 - Influência da temperatura sobre o parâmetro ρ eq do modelo ρ eq 2 com
K * linear.
95
Hidratação de Grãos
96
6.2.2.4 Comportamento do coeficiente de transferência de massa real ao longo da hidratação O coeficiente de transferência de massa real K * foi correlacionado em função da concentração de água na soja, conforme Figura 6.38. Observa-se que o valor de K * diminui com o aumento da concentração. Este modelo define o K *
em função do ρ eq
(Equação 5.2) e foi validado para valores de concentração menores do que o valor de ρ eq , então o fluxo mássico será nulo no equilíbrio, quando ρ soja for igual à ρ eq . Nota-se também que o K * aumenta com o aumento da temperatura.
5,0 Modelo ρeq 2 K* linear
4,5 4,0
6
K*x10 (m/s)
3,5
o
49 C 3,0
o
30 C
2,5 2,0 1,5
o
10 C
1,0 0,5 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 6.38 - Comportamento de K * com a concentração de água na soja, modelo ρ eq 2 com K * linear.
6.2.2.5 Modelo ρ eq 2 generalizado Do mesmo modo que no modelo ρ eq 1, o modelo com K * linear representou melhor o processo de hidratação, então com as correlações obtidas de A2 , B2 e ρ eq em função da temperatura, apresentados nas Figuras 6.35 a 6.37, generalizou-se o modelo, Equação 5.6,
Hidratação de Grãos
97
simulando-o em todas as condições experimentais. Na Figura 6.39, pode-se observar que o modelo generalizado não representa os valores experimentais tão bem quanto o modelo ajustado individualmente, porém prevê satisfatoriamente o comportamento da curva de hidratação. Na Figura 6.40 são comparadas as simulações com todos os dados experimentais de umidade, revelando que o resíduo quadrático apresentado pelo modelo generalizado (φ2 = 0,63) é maior do que o do modelo com parâmetros individuais (φ 2= 0,42), como esperado.
1,8
Modelo ρeq 2 - K* linear generalizado
1,6
o
49 C
X (kgágua/kgs.s. )X
1,4
o
30 C
1,2
o
10 C
1,0 0,8 0,6 x + o Experimental ____ Modelo Generalizado
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000 t (s)
15000
Figura 6.39 - Previsões do modelo ρ eq 2 generalizado.
20000
Hidratação de Grãos
98
2,0 1,8
+20%
2
φ =0,63
+10%
1,6
-10%
1,4 Xcalc.
1,2
-20%
1,0 0,8 0,6 Modelo ρeq 2 - K* linear generalizado
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 6.40 - Desvios do modelo ρ eq 2 generalizado.
6.2.2.6 Conclusões O modelo com K * linear foi o que melhor representou a hidratação de grãos de soja em toda a faixa de temperatura explorada (10 a 49°C), com um resíduo quadrático de 0,42 e com desvios máximos da ordem de ±10%. No modelo com K * linear os parâmetros variam linearmente com a temperatura, conforme as equações: A2 = 5,93.10 −8 .T + 1,073.10 −6 , B 2 = −7 ,504.10 −11 T − 2,2129.10 −9 e
ρ eq = 2,72687.T + 548,5 . O coeficiente de transferência de massa ( K * ) varia ao longo da hidratação e pôde ser representado satisfatoriamente por uma função linear do tipo: K * = A2 + B2 .ρ soja . O K * aumenta com o aumento da temperatura. Os modelos apresentam sensibilidade a todos os parâmetros, sendo que no modelo com K * linear, o modelo apresenta sensibilidade semelhante aos três parâmetros. As previsões do modelo generalizado apresentaram desvios máximos em relação aos valores experimentais, na faixa de ±20 %, podendo ser utilizado satisfatoriamente como uma primeira estimativa.
Hidratação de Grãos
6.3
99
Análise Conjunta Neste item os modelos de parâmetros concentrados foram comparados com os
modelos empíricos de literatura (Singh e Kulsherestha (1987) e Peleg (1988)). O modelo de Peleg (1988), Equação 3.2, possui dois parâmetros: c 1 e c 2 , estes foram obtidos a partir da linearização do modelo matemático e ajuste individual aos dados experimentais por regressões lineares, enquanto os parâmetros do modelo de Singh e Kulshrestha (1987), Equação 3.1, k e X eq foram obtidos a partir de regressões nãolineares efetuadas utilizando o programa STATISTICA 5.1. A Tabela 6.5 apresenta uma comparação entre os resíduos quadráticos acumulados dos modelos dos Capítulos 5 e 6. Pode-se observar que os modelos ρ H 2O 1 e ρ H 2O 2 com
K S exponencial apresentam os mesmos resíduos quadráticos, como o modelo ρ H2O 2 possui apenas dois parâmetros foi escolhido como melhor modelo do Capítulo 5. Entre os modelos do Capítulo 6, o modelo ρ eq 2 com K * linear é o modelo com o menor resíduo quadrático.
Tabela 6.5 – Resíduos quadráticos dos modelos.
Modelo
Equação
φ2
Parâmetros
ρH2O 1
5.11
0,16
KS, a, b
5.16
0,16
A1, B1
5.21
0,17
A1, B1
6.3
1,35
K*, ρeq
6.3 e 6.4
0,62
A2, B2, ρeq
ρH2O 2 - Ks exponencial ρH2O 3 - Ks exponencial ρeq 1 - K* constante ρeq 1 - K* linear ρeq 2 - K* constante ρeq 2 - K* linear
6.6
0,92
K*, ρeq
6.6 e 6.4
0,42
A2, B2, ρeq
Singh e Kulshrestha
3.1
0,46
Xeq, k
Peleg
3.2
0,50
c1, c2
Na Figura 6.41 apresenta-se a comparação entre os dois melhores modelos de parâmetros concentrados desenvolvidos ( ρ H 2O 2 com K S exponencial e ρ eq 2 com K * linear) e os modelos empíricos de literatura. Pode-se observar que os modelos de Singh e Kulsherestha (1987) e o de Peleg (1988) representam as principais tendências, porém os modelos fenomenológicos apresentam um melhor ajuste aos dados experimentais.
Hidratação de Grãos 100 Nas Figuras 6.42 e 6.43 são apresentados os desvios dos modelos empíricos, podendo-se notar que são maiores do que os desvios dos melhores modelos desenvolvidos. O modelo de Singh e Kulsherestha (1987) apresentou um desvio quadrático de 0,46, o modelo de Peleg (1988) de 0,50, enquanto que o modelo ρ H 2O 2 com K S exponencial apresentou resíduo de 0,16 e o modelo ρ eq 2 com K * linear resíduo de 0,42. Curiosamente os modelos ρ H 2O 1 e ρ H 2O 2 com K S exponencial, desenvolvidos a partir de um coeficiente aparente, K S , sem significado físico, foi o que melhor representou o processo de hidratação de grãos de soja, sugerindo que este modelo deve ser melhor estudado.
1,8 o
1,6
49 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,4 o
30 C
1,2
o
10 C
1,0 0,8
x + o Experimental _____ ρH2O 2 -Ks exponencial
0,6
__ __ ρeq 2 - K* linear - - - - - Singh - - - - - Peleg
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 6.41 - Comparação entre os modelos desenvolvidos e os empíricos de literatura.
Hidratação de Grãos 101
1,8 +10%
2
φ =0,46
1,6 1,4 1,2 Xcalc.
-10% 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
Xexp. Figura 6.42 - Desvios do modelo de Singh e Kulshrestha.
1,8 +10%
2
φ =0,50
1,6 1,4 1,2 Xcalc.
-10% 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Xexp. Figura 6.43 - Desvios do modelo de Peleg.
1,4
1,6
1,8
Hidratação de Grãos 102 6.3.1 Análise comparativa do comportamento de KS A Figura 6.44 apresenta uma comparação entre os coeficientes de transferência de massa aparente K S dos modelos ρ H 2O 2 com K S exponencial e ρ H 2O 3. Observa-se que o modelo ρ H 2O 2 com K S exponencial apresenta valores de K S levemente superiores aos do modelo ρ H 2O 3 e que esta diferença é maior em menores concentrações e em maiores temperaturas.
5
Ks x10 (m/s)
1,6 1,4
_____ Modelo ρH2O 2 - Ks exponencial
1,2
_ _ _ _Modelo ρH2O 3
1,0 o
0,8
49 C
0,6
o
30 C 0,4 o
0,2
10 C
0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 6.44 – Comparação do comportamento de K S com a concentração de água na soja, modelos ρ H 2O 2 e ρ H 2O 3.
6.3.2 Análise comparativa do comportamento de K* Uma comparação entre o comportamento de K * com a concentração de água, dos dois modelos, ρ eq 1 e ρ eq 2 com K * linear é apresentada na Figura 6.45. Pode-se observar que o valor de K * diminui com a concentração e aumenta com a temperatura. O comportamento do K * nos dois modelos é semelhante, em temperaturas baixas (10 e 30ºC) o comportamento é quase idêntico, apresentando diferença apenas na temperatura de 49ºC.
Hidratação de Grãos 103
5,0 4,5
_____ Modelo ρeq 1 K* linear
4,0 49 C
3,5
6
K*x10 (m/s)
_ _ _ _Modelo ρeq 2 K* linear
o
3,0 o
30 C
2,5 2,0 1,5
o
10 C
1,0 0,5 0,0 0
100
200
300
400
500
600
700
3
ρ soja (kg/m ) Figura 6.45 – Comparação do comportamento de K * com a concentração de água na soja, modelos ρ eq 1 e ρ eq 2.
6.4
Conclusões Todos os modelos seguem um comportamento similar, representando as principais
tendências do processo de hidratação a partir do ajuste dos seus parâmetros. Entretanto, o modelo ρ H 2O 2 com K S exponencial apresentou menor resíduo quadrático ( φ 2 =0,16) do que o modelo ρ eq 2 com K *
linear e do que os modelos empíricos de Singh e
Kulsherestha (1987) e de Peleg (1988) para toda a faixa de temperaturas explorada. A hipótese simplificadora adotada no modelo de que a variação do volume do grão é proporcional à variação da massa do grão de soja é coerente e o valor de α foi aproximadamente igual ao volume específico da água (1,0x10-3 m3/kg). Em todos os modelos desenvolvidos, o coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) ou real ( K * ) aumenta com o aumento da temperatura. Nos modelos com K S ou K * variável, o seu valor diminui com o aumento da concentração de água na soja. Nos modelos ρ eq 1 e ρ eq 2, o valor do ρ eq aumenta com a temperatura, tanto nos modelos com K * constante quanto com K * linear.
Hidratação de Grãos 104 A utilização de um coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) ao invés de real ( K * ) conduz a modelos com menor número de parâmetros e capazes de representar adequadamente o processo de hidratação.
Hidratação de Grãos 105
7 MODELOS DE PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS Neste capítulo são apresentados dois modelos matemáticos de parâmetros distribuídos, um de literatura (HSU, 1983a) e o outro desenvolvido neste trabalho.
7.1
Modelo de Hsu O modelo de Hsu é composto pelas Equações 3.22 a 3.25, transcritas abaixo.
∂S ∂ = * * D1 ∂t ∂r
∂S D1 * D1 ∂r
2D1 ∂S + * * r D1 ∂r
∂ 2 S 2 ∂S ∂S * = D D + * * 0 1 2 ∂t * r ∂r ∂r *
(3.22)
Com as condições inicial e de contorno, dadas pelas Equações 3.23, 3.24 e 3.25.
S = 0 , para todo r * e t * = 0
(3.23)
∂S = 0 para r * = 0 ; e * ∂r
(3.24)
1 K 1−e − Bt S = e K
*
− 1 , r * = 1
(3.25)
7.1.1 Solução numérica do modelo Neste estudo, as diferenças finitas foram empregadas para discretização das derivadas radiais de concentração, conforme descrito em Crank (1975). Convencionalmente será adotado S i (i=1,...,N+2) para cada elemento diferencial de S da Equação 3.22, conseqüentemente tem-se S1 quando r * = 0 e S N + 2 quando r * = 1 . Portanto, N é o número de pontos internos de discretização entre r * = 0 ( i = 1 ) e r * = 1 ( i = N + 2 ), cujo espaçamento entre estes pontos ( δ r * ) é dado pela Equação 7.1.
δ r* =
1 ,e N +1
ri* = (i − 1)δr * , i=1,...,N+2
(7.1) (7.2)
Hidratação de Grãos 106 As derivadas radiais da Equação 3.22 foram aproximadas pelas Equações 7.3 e 7.4.
∂S S i +1 − S i = ∂r * δ r* ∂ 2S ∂r
*2
=
(7.3)
S i +1 − 2S i + S i −1 ( δ r * )2
(7.4)
Substituindo as aproximações dadas pelas Equações 7.3 e 7.4 na Equação 3.15 obtém-se a Equação 7.5, válida para i=2 até i= N+1.
S − 2S i + S i −1 dS i 2 S i +1 − S i = ( KS i + 1 ) i +1 + * * 2 * dt (δr ) ( i − 1 )δ r δr *
(7.5)
Para i=1 ( r * =0) tem-se S1=S2 que corresponde à condição de simetria (Equação 3.24). Para i=N+2 ( r * =1) aplica-se a Equação 3.25, que corresponde à segunda condição de contorno. Na implementação numérica, por conveniência, a Equação 3.25 foi utilizada na forma de sua derivada, Equação 7.6.
− Bt * ) dS N + 2 [ e K ( 1− e −Bt * ] = Be * dt
em r * = 1
(7.6)
As N+1 equações diferencias ordinárias foram resolvidas simultaneamente a partir da rotina “ODE45” disponível no software MATLAB.
7.1.2 Análise e obtenção do melhor valor de N As derivadas radiais do modelo proposto por Hsu (1983a) (Equação (3.23)) foram devidamente discretizadas no espaço por diferenças finitas, para aproximar a EDP em um sistema de EDO’s integrado no tempo. Sendo assim a escolha do número de divisões ao longo do raio (N+1) é fundamental para se ter uma boa precisão na resolução do modelo. A Figura 7.1 apresenta os valores calculados de umidade em função do raio adimensional R , obtidos com três valores de N (30, 50 e 70), em vários instantes de tempo. O valor de N igual a 50 foi o escolhido para ser utilizado nas simulações do modelo, pois como se pode
Hidratação de Grãos 107 observar não há variação significativa entre 50 e 70 divisões e a demanda de tempo de processamento computacional é sensivelmente menor (5 vezes menor).
2,0 1,8
o
1,6
x
30 50 70
Modelo de Hsu
X (kg/kg)
1,4 1,2 1,0
15 min
0,8 20 min
0,6
10 min
0,4 5 min
0,2 0,0 0,80
0,84
0,88
0,92
0,96
1,00
r* (adim.) Figura 7.1 - Valores calculados de umidade para diferentes N com o modelo de Hsu.
7.1.3 Ajuste individual do modelo Os parâmetros ( k 1 , β e D0 ) foram avaliados a partir do modelo aos dados experimentais utilizando a rotina “FMINS” contida no MATLAB para minimizar a função objetivo φ 2 =
∑ (X
− X exp ) , definido em termos de umidades médias. 2
calc
Para cada instante de tempo, as simulações do modelo dão origem a N+2 valores de
X , onde cada valor corresponde a uma posição radial. Para que estes valores possam ser comparados com os dados experimentais, que representam o valor médio de umidade do grão em cada instante de tempo avaliou-se a umidade média no grão, Xcalc, a partir da Equação 7.7, cujas integrais foram resolvidas numericamente pelo método dos trapézios utilizando o comando trapz do MATLAB.
Hidratação de Grãos 108
X calc
∫ =
R
X ( r 2 )dr
0 r
(7.7)
∫ dr 0
7.1.4 Resultados e discussões No trabalho de Hsu (1983a), o parâmetro X eq foi obtido experimentalmente e não é um parâmetro de ajuste. Com os dados em regime transiente que são utilizados nesta etapa do trabalho o valor de X eq não é conhecido e foi ajustado. No entanto, o ajuste deste parâmetro conduz a valores não realistas de k 1 , indicando a necessidade de fixar um parâmetro. O único parâmetro que pode ser obtido por meio de avaliações experimentais é o X eq , conforme será visto no Capítulo 8.
7.1.4.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O modelo de Hsu, quando o valor de X eq não é conhecido, é um modelo com quatro parâmetros: β , k 1 , D0 e X eq . Os efeitos destes parâmetros sobre as previsões do modelo estão apresentados nas Figuras 7.2, 7.3, 7.4 e 7.5, respectivamente. Foram utilizados como referência os valores obtidos com o ajuste a 10ºC e o valor de X eq experimental:
β = 5,08x10-3 (s-1); k 1 = 0,86 kg/kg; D0 = 7,95x10-12 (m2/s) e X eq = 1,74 kg/kg.
Hidratação de Grãos 109
3,0
β =5,08x10
-3
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0
1,4.β , β , 0,6.β
1,5 1,0 Modelo de Hsu
0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
3
t x10 (s) Figura 7.2 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro β .
3,0 k1=0,86
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,4.K1
1,5
K1 0,6.K1
1,0 Modelo de Hsu
0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
3
t x10 (s) Figura 7.3 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro k 1 .
Hidratação de Grãos 110
3,0 D0=7,95x10-12
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0 1,4.D0
1,5
D0 0,6.D0
1,0 Modelo de Hsu
0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
3
t x10 (s) Figura 7.4 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro D0 .
3,0 Xeq=1,74 1,4.Xeq
X (kgágua/kgs.s. )
2,5 2,0
Xeq
1,5 0,6.Xeq
1,0 Modelo de Hsu
0,5 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
3
t x10 (s) Figura 7.5 – Sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu em relação ao parâmetro X eq .
Hidratação de Grãos 111 Na Figura 7.2 nota-se que o efeito do parâmetro β é muito pequeno, indicando que o modelo é pouco sensível a este parâmetro. Nas Figuras 7.3 e 7.4 observa-se que um aumento no valor do parâmetro k 1 ou D0 provoca um aumento dos valores de umidade previstos pelo modelo, aproximadamente na mesma proporção e na Figura 7.5 pode-se verificar que o efeito do X eq é maior do que o efeito dos outros parâmetros, indicando que este é o parâmetro mais influente neste modelo.
7.1.5 Conclusões O estudo de sensibilidade paramétrica do modelo de Hsu demonstrou que o parâmetro X eq é o que apresenta maior influência sobre os resultados do modelo, o parâmetro β não apresenta influência significativa nas previsões do modelo, ao contrário de
k 1 e D0 que influenciam de modo semelhante nos resultados da simulação. O número de divisões ao longo do raio (N) que melhor se aplica ao modelo é igual a 50, pois não se difere muito de 70 divisões e demanda de um menor tempo de processamento computacional. O modelo de Hsu (1983a) conduz a valores não realistas de k 1 quando o valor de
X eq tiver que ser ajustado.
7.2
Modelo Fenomenológico de Parâmetros Distribuídos (F.P.D.) O modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos (F.P.D.) foi desenvolvido
partindo-se de um balanço de massa em um elemento diferencial de volume e associando-o à 1ª lei de Fick, admitindo grãos de soja esféricos com volume constante. O modelo matemático é representado pela Equação 7.8, que corresponde a uma equação diferencial parcial que foi resolvida a partir da condição inicial, Equação 7.9, e duas condições de contorno, Equações 7.10 e 7.11.
∂X D = 2 ∂t r
2 ∂2 X ∂X r + 2 r ∂r ∂r 2
t = 0 .... X = X 0
(7.8)
(7.9)
Hidratação de Grãos 112 r = 0 ....
r = R .... − Dρ
∂X =0 ∂r
(7.10)
dX = K C ( X s − X eq ) ss dr r =R
(7.11)
Como condição inicial, Equação 7.9, admitindo-se que no início o teor de umidade do grão é uniforme. A primeira condição de contorno, Equação 7.10, representa a simetria do sistema e a segunda, Equação 7.11, define a igualdade de fluxos convectivo e difusivo na interface. Seguindo a sugestão de Hsu (1993a) as variáveis r , X e t foram normalizadas da seguinte forma:
r* =
( X − X0 ) r , X* = R ( X eq − X 0 )
e t* =
t R2
.
O modelo normalizado é expresso pela Equação 7.12 juntamente com as condições inicial e de contorno, Equações 7.13, 7.14 e 7.15, respectivamente.
∂X * ∂t *
r * = 1 ....
∂2 X * 2 ∂X * = D + 2 r * ∂r * ∂r *
(7.12)
t * = 0 .... X * = 0
(7.13)
r * = 0 ....
∂X * =0 ∂r *
∂X * ∂r *
= ∗
r =1
KC R ( 1 − X s* ) Dρ ss
(7.14)
(7.15)
7.2.1 Solução numérica do modelo A solução do modelo foi obtida a partir da discretização das derivadas radiais por diferenças finitas e integração no tempo do sistema de equações diferenciais ordinárias resultante.
Hidratação de Grãos 113 A discretização das derivadas radiais do modelo podem ser obtidas fazendo-se as seguintes aproximações para as derivadas de primeira e segunda ordem:
∂X i* ∂r *
∂ 2 X i* ∂r *
2
=
=
X i*+ 1 − X i*
(7.16)
δr∗
X i*− 1 − 2. X i* + X i*+ 1
(7.17)
(δ r )
* 2
Substituindo as Equações 7.16 e 7.17 na Equação 7.12 obtém-se a Equação 7.18.
∂X i* ∂t *
X* − 2X* + X* X i*+ 1 − X i* 2 i i +1 = D i −1 + 2 (i − 1)δ r * δ r * δr*
( )
(7.18)
A Equação 7.18 é válida para os N pontos internos, desde i=2 até N+1, conforme Figura 7.6.
Figura 7.6: Pontos de discretização. Para i=1 ( r * = 0 ) aplicou-se a Equação 7.16 na 7.17, resultando a Equação 7.19.
X 2* = X 1*
(7.19)
Para i=N+2 ( r * = 1 ) aplicou-se a Equação 7.16 na 7.15, resultando a Equação 7.20.
X N* + 2 =
C1 + X N* +1 1 + C1
(7.20)
Hidratação de Grãos 114
δ r * .K C .R Em que C 1 = D.ρ ss
7.2.2
Análise e obtenção do melhor valor de N As derivadas radiais do modelo de parâmetros distribuídos (Equação 7.8) foram
devidamente discretizadas no espaço por diferenças finitas para aproximar a EDP em um sistema de EDO’s integrado no tempo. Sendo assim, a escolha do número de divisões ao longo do raio (N) é fundamental para se ter boa precisão na resolução do modelo. A Figura 7.7 apresenta os valores calculados de umidade em função do raio adimensional R , obtidos com três valores de N (30, 50 e 70), em vários instantes de tempo. O valor de N igual a 50 foi o escolhido para ser utilizado no modelo, pois como se pode observar não há variação significativa entre 50 e 70 divisões e a demanda de tempo de processamento computacional é sensivelmente menor (5 vezes menor).
2,0 1,8 1,6
o
30 50 70
x
Modelo F.P.D.
X (kg/Kg)
1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 20 min
0,4
10 min
0,2 0,0 0,73
15 min 5 min
0,76
0,79
0,82
0,85
0,88
0,91
0,94
0,97
1,00
r* (adim.) Figura 7.7 – Valores calculados de umidade para diferentes N com o modelo F.P.D.
Hidratação de Grãos 115 7.2.3 Ajuste individual do modelo Os parâmetros ( D e X eq ) foram avaliados a partir do ajuste do modelo aos dados experimentais
utilizando
a
rotina
“FMINS”
para
minimizar
a
função
objetivo:
φ 2 = ∑ ( X calc − X exp )2 . O parâmetro K C não foi ajustado, pois como será discutido posteriormente, o modelo apresenta pouca sensibilidade a este parâmetro. Para cada instante de tempo, as simulações do modelo dão origem a N+2 valores de X , onde cada valor corresponde a uma posição radial. Para que estes valores possam ser comparados com os dados experimentais que representam o valor médio de umidade do grão em cada instante de tempo avaliou-se a umidade média no grão, X calc , a partir da Equação 7.7, cujas integrais foram resolvida numericamente pelo método dos trapézios utilizando o comando trapz do MATLAB.
7.2.4
Resultados e discussões Neste item são apresentados o estudo de sensibilidade paramétrica, a validação do
modelo, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo e os perfis de umidade radiais.
7.2.4.1 Estudo de sensibilidade paramétrica O estudo de sensibilidade paramétrica foi realizado, para cada parâmetro, da mesma forma que para o modelo ρ H 2O 1, descrito no Item 5.1.2.1. Neste caso também se utilizou como padrão os parâmetros obtidos para a temperatura de 10ºC. Os efeitos dos parâmetros D , X eq e K C sobre as previsões do modelo estão apresentados nas Figuras 7.8, 7.9 e 7.10, respectivamente. Foram utilizados como valores de
referência
os
K C = 0,00128 kg./(m2.s).
parâmetros:
D =1,03x10-10
m2/s;
X eq = 1,23 kg/kg
e
Hidratação de Grãos 116
2,0 D=1,03x10
1,8
-10
Modelo F.P.D.
X (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4 1,4.D
1,2
D
1,0 0,8
0,6.D
0,6 0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 7.8 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação ao parâmetro D .
2,0 Xeq=1,23
1,8
Modelo F.P.D. 1,4.Xe
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4 1,2
Xeq
1,0 0,8 0,6.Xe
0,6 0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 7.9 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação à X eq .
Hidratação de Grãos 117 Nas Figuras 7.8 e 7.9 observa-se que um aumento no valor do parâmetro X eq ou D acarreta um aumento dos valores de umidade previstos pelo modelo. Este aumento é mais pronunciado quando se altera o X eq , indicando que o modelo apresenta maior sensibilidade a este parâmetro. Na Figura 7.10 nota-se que o efeito do parâmetro K C
é muito pequeno,
praticamente desprezível, o que sugere que a resistência predominante à transferência de massa seja a difusão interna, logo a resistência convectiva à transferência de massa não deve afetar significativamente a dinâmica da hidratação.
2,0 Kc=1,28x10
1,8
-3
Modelo F.P.D.
X (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4 1,2
Kc
1,0
1,4.Kc
0,8 0,6
0,6.Kc
0,4 0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 7.10 – Sensibilidade paramétrica do modelo F.P.D. em relação ao parâmetro K c .
7.2.4.2 Validação do modelo matemático O estudo de sensibilidade paramétrica mostrou que o parâmetro K C não afeta significativamente as previsões do modelo (Figura 7.10), por esse motivo utilizou-se o parâmetro K * obtido por Coutinho et. al. (2004) (Tabela 6.3), relacionando-o com K C por meio da Equação 7.21.
Hidratação de Grãos 118 K C = ρ ss K *
(7.21)
O valor de concentração de sólido seco ( ρ ss ) foi obtido experimentalmente e é igual a 1057 kg/m3. Na Tabela 7.1 são apresentados os valores dos parâmetros do modelo, o D e o
X eq foram ajustados utilizando a rotina “FMINS” para minimizar a função objetivo ( φ 2 ).
Tabela 7.1: Parâmetros ajustados do modelo F.P.D.
T (oC)
Dx1010 (m2/s)
Xeq (kg/kg)
10 20 30 42 49
1,0266 1,0535 0,9229 1,5637 2,1038
1,2303 1,3836 1,4773 1,6182 1,6019
A Figura 7.11 apresenta os resultados das simulações do modelo juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 49ºC e na Figura 7.12 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios: 10ºC, 20ºC, 30ºC, 42ºC e 49ºC. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa adequadamente o processo de hidratação com um erro em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais.
Hidratação de Grãos 119
1,8 49 C
1,4 X (kgágua/kgs.s.)
Modelo F.P.D.
o
1,6
o
30 C
1,2
o
10 C 1,0 0,8 0,6 0,4
x + o Experimental ____ Modelo
0,2 0,0 0
5000
10000
15000
20000
t (s) Figura 7.11 – Previsões do modelo F.P.D. frente a dados experimentais.
1,8 +10%
2
φ =0,14
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6
Modelo F.P.D.
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
Xexp. Figura 7.12 - Desvios do modelo F.P.D.
1,4
1,6
1,8
Hidratação de Grãos 120 7.2.4.3 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Os dois parâmetros ajustados do modelo, D e X eq , foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 7.13 e 7.14. Observa-se que os dois parâmetros D e X eq aumentam com a elevação da temperatura. No entanto a temperatura exerce influência linear sobre X eq e não linear sobre D .
2,5 Modelo F.P.D.
1,5
Dx10
10
2
(m /s)
2,0
1,0
D = 1,5x10
0,5
-13 2
T - 6,18x10
-12
T+ 1,55x10
-10
2
R = 0,96 0,0 0
10
20
30
40
50
o
T ( C) Figura 7.13 - Comportamento de D com a temperatura no modelo F.P.D.
60
Hidratação de Grãos 121
1,8 Modelo F.P.D.
Xeq (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4 Xeq= 0,0099T + 1,1632 1,2
2
R = 0,95
1,0 0,8 0,6 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 7.14 - Comportamento de X eq com a temperatura no modelo F.P.D.
7.2.4.4 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação As Figuras 7.15 e 7.16 apresentam os perfis de concentração à 10ºC ao longo do raio e do tempo, respectivamente. Conforme apresentado na Figura 7.15 a superfície do grão atinge a umidade de equilíbrio (admitindo-se como critério o tempo para alcançar 99% do valor de X eq ) em 5400s. Observa-se tanto na Figura 7.15 quanto na Figura 7.16 que o tempo para todo o grão atingir o equilíbrio é em torno de 45600s e que ao longo da hidratação os gradientes de concentração no interior do grão são significativos. Isso comprova que a resistência predominante à transferência de massa é a difusão interna. Por conseqüência o modelo é praticamente insensível ao parâmetro K c , que representa a resistência externa à transferência de massa. Foram feitas simulações adicionais que revelaram que o tempo para atingir a umidade de equilíbrio na superfície do grão varia de 5400s a 2700s e em todo o grão varia de 45600s a 22000s na faixa de temperatura de 10ºC a 49ºC, respectivamente.
Hidratação de Grãos 122
1,4 Modelo F.P.D.
45600s 1,2 18000s
X (kg/kg)
1,0 0,8
14400s
0,6
7200s 5400s
0,4
3600s
1800s 300s
0,2
15s
0,0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
r* (adim.) Figura 7.15 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo F.P.D.
1,4 1,0
X (kgágua/kgs.s.)
1,2
0,9 0,8 0,6 0,4
1,0 0,8
0
r*
0,6 0,4
Modelo F.P.D.
0,2 0,0 0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
t (s) Figura 7.16 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo F.P.D.
Hidratação de Grãos 123 7.2.5 Conclusões O número de divisões ao longo do raio (N) adequado à solução numérica do modelo fenomenológico é igual a 50. O modelo desenvolvido descreve adequadamente o processo de hidratação de grãos de soja, sendo possível simular a distribuição de água no interior dos grãos ao longo do tempo de hidratação, com desvios máximos em torno de 10% em relação aos valores experimentais de umidade média dos grãos. O estudo de sensibilidade paramétrica revelou que o parâmetro K c não apresenta influência significativa nas previsões do modelo, ao contrário de X eq e D . No entanto, X eq exerce influência muito maior que D . A difusividade e a umidade de equilíbrio aumentam com a elevação da temperatura. A transferência de massa no interior do grão de soja corresponde à etapa limitante no processo de hidratação. O tempo teórico para todo o grão atingir a umidade de equilíbrio varia de 45600s a 22000s na faixa de 10ºC a 49ºC. Na superfície, o tempo para obter-se a umidade de equilíbrio varia de 5400s a 2700s na faixa de temperatura de 10ºC a 49ºC. O modelo desenvolvido tem como vantagem em relação ao modelo de literatura (Hsu, 1983a) a possibilidade de utilizar X eq como parâmetro de ajuste.
Hidratação de Grãos 124
8 APLICAÇÃO DOS MELHORES MODELOS AOS DADOS DE X eq Neste capítulo estão apresentados os resultados das simulações dos melhores modelos de parâmetros concentrados e distribuídos utilizando o valor experimental de X eq conforme descrito no Item 4.2.1. Os modelos escolhidos foram o modelo de parâmetros concentrados ρ eq 2, o modelo de Hsu, o modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos e o modelo da difusão com solução analítica (Equação 3.7, Item 3.3.2.1). Os modelos em função de ρ H 2O não foram utilizados nesta etapa, pois o valor de
ρ eq experimental não influi nas suas previsões. O modelo ρ eq 2 foi o escolhido por apresentar menor desvio quadrático do que o modelo ρ eq 1. É importante salientar que com a utilização de ρ eq ou X eq há redução no número de parâmetros ajustados. Os dados experimentais utilizados na validação destes modelos foram os obtidos segundo a metodologia descrita no Item 4.2, estes valores podem ser consultados no Apêndice B.
8.1
Resultados e Discussões do Modelo ρ eq 2 Neste item são apresentados o ajuste do modelo matemático ρ eq 2 com K *
constante, K * linear e K * exponencial e a influência da temperatura nos parâmetros do modelo.
8.1.1 Ajuste do modelo matemático a) K * constante: Utilizando os valores de ρ eq experimentais, Tabela 8.1, este modelo apresenta apenas um parâmetro ajustável: K * . Na Tabela 8.2 são apresentados os valores do parâmetro do modelo, K * , que foi ajustado pelo método dos mínimos quadrados. A Figura 8.1 apresenta os resultados das simulações do modelo com K *
constante,
juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e na Figura 8.2 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios (10ºC, 20ºC, 30ºC, 40ºC e 50ºC). Nestas figuras, nota-se que o modelo representa razoavelmente bem o processo de hidratação, apresentando um erro em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais.
Hidratação de Grãos 125
Tabela 8.1: Valores experimentais de ρ eq .
T (oC)
ρeq (kg/m3)
10 20 30 40 50
708,8289 703,8625 711,3559 698,7601 709,7930
Tabela 8.2: Parâmetro K * do modelo ρ eq 2 com K * constante.
T (oC)
K*x107(m/s)
10 20 30 40 50
2,4836 3,9889 5,5812 7,6802 10,7602
2,0 o
50 C
1,8
o
30 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4
Modelo ρeq 2 - K* constante
1,2 o
10 C
1,0 0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.1 - Previsões do modelo ρ eq 2 com K * constante frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos 126
2,0 +10%
2
φ =1,27
1,8 1,6 1,4 Xcalc.
1,2 -10%
1,0 0,8 0,6
Modelo ρeq 2 - K* constante
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 8.2 - Desvios do modelo ρ eq 2 com K * constante. b) K * linear: Os parâmetros A2 e B2 foram avaliados a partir do ajuste do modelo (Equação 6.6) aos dados experimentais utilizando a rotina “FMINS” para minimizar a função objetivo ( φ 2 ). Na Tabela 8.3 são apresentados os valores dos parâmetros do modelo em função da temperatura. A Figura 8.3 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * variando linearmente (Equação 6.4), juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e na Figura 8.4 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa o processo de hidratação melhor do que o modelo com K * constante, o desvio apresentado também foi em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais, mas o desvio quadrático foi de 0,27, enquanto no modelo com K * constante o desvio foi de 1,27.
Hidratação de Grãos 127 Tabela 8.3: Parâmetros do modelo ρ eq 2 com K * linear.
T (oC)
A2x107(m/s)
B2x109(m4/kgs)
10 20 30 40 50
4,7402 7,5299 10,4235 14,3578 19,6215
-0,5871 -0,9237 -1,2437 -1,6190 -2,2209
2,0 o
50 C
1,8
o
30 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4
Modelo ρeq 2 - K* linear
1,2 o
10 C
1,0 0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.3 - Previsões do modelo ρ eq 2 com K * linear frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos 128
2,0 +10%
2
φ =0,27
1,8 1,6 1,4 Xcalc.
1,2
-10%
1,0 0,8 0,6 Modelo ρeq 2 - K* linear
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 8.4 - Desvios do modelo ρ eq 2 com K * linear. b) K * exponencial: Os dois parâmetros A1 e B1 foram ajustados simultaneamente. Os parâmetros foram obtidos por integração numérica do modelo (Equação 6.6), com a condição inicial:
t = 0 , ρ soja = ρ 0 , com a rotina “ODE45” do MATLAB (versão 5.1) e utilizando a rotina “FMINS” para minimizar a função objetivo ( φ 2 ). Na Tabela 8.4 são apresentados os valores dos parâmetros do modelo em função da temperatura. A Figura 8.5 apresenta os resultados das simulações do modelo com K * variando exponencialmente (Equação 6.5), juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e na Figura 8.6 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa o processo de hidratação melhor do que o modelo com K * linear, o desvio apresentado também foi em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais, mas o resíduo quadrático foi de 0,23, enquanto no modelo com K * linear o resíduo foi de 0,27.
Hidratação de Grãos 129 Tabela 8.4: Parâmetros do modelo ρ eq 2 com K * exponencial.
T (oC)
A1x106(m/s)
B1x103( m3/kg)
10 20 30 40 50
0,7902 1,1184 1,3965 1,9315 2,9227
-3,2393 -2,8724 -2,5181 -2,3830 -2,6363
2,0 o
50 C
1,8
o
30 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
1,2 o
10 C
1,0 0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.5 - Previsões do modelo ρ eq 2 com K * exponencial, frente a dados experimentais.
Hidratação de Grãos 130
2,0 +10%
2
φ =0,23
1,8 1,6 1,4 Xcalc.
1,2
-10%
1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 8.6 - Desvios do modelo ρ eq 2 com K * exponencial.
8.1.2 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Neste item estuda-se a influência da temperatura sobre os parâmetros dos modelos
ρ eq 2 com K * constante, K * linear e K * exponencial. a) K * constante: O parâmetro ajustável do modelo ( K * ) foi correlacionado por uma função linear da temperatura, conforme Figura 8.7. Pode-se notar que K * aumenta com a elevação da temperatura.
Hidratação de Grãos 131
12 Modelo ρeq 2 - K* constante
7
K*x10 (m/s)
10 8 6 4 -8
K* = 2,024x10 T + 2,55x10
2
-9
2
R = 0,98 0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 8.7 - Influência da temperatura sobre K * do modelo ρ eq 2 com K * constante. b) K * linear: Os parâmetros do modelo ( A2 e B2 ) foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 8.8 e 8.9. Pode-se observar que todos os parâmetros do modelo variam linearmente com a temperatura, o parâmetro A2 aumenta, enquanto o parâmetro B2 diminui com o aumento da temperatura.
Hidratação de Grãos 132
25 Modelo ρeq 2 - K* linear
15
7
A2x10 (m/s)
20
10
5
-8
A2 = 3,659x10 T + 3,575x10
-8
2
R = 0,98 0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 8.8 - Influência da temperatura sobre o parâmetro A2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.
0 0
10
20
30
50
60
Modelo ρeq 2 - K* linear
-1
9
4
B 2x10 (m /kgs)
-0,5
40
-1,5
-2
-11
B2= -3,96x10 T - 1,3x10
-10
2
R = 0,98 -2,5 o
T ( C) Figura 8.9 - Influência da temperatura sobre o parâmetro B2 do modelo ρ eq 2 com K * linear.
Hidratação de Grãos 133 b) K * exponencial: Os parâmetros do modelo ( A1 e B1 ) foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 8.10 e 8.11. Pode-se observar que os dois parâmetros aumentam linearmente com a temperatura.
4 Modelo ρeq 2 - K* exponencial
6
A1x10 (m/s)
3
2
1
-8
A1 = 5,078x10 T + 1,0843x10
-7
2
R = 0,93 0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 8.10 - Influência da temperatura sobre A1 do modelo ρ eq 2 com K * exponencial.
Hidratação de Grãos 134
0 0
10
20
30
40
50
60
Modelo ρeq 2 - K* exponencial
3
3
B1x10 (m /kg)
-1
-2
-3 -5
B1 = 1,695x10 T - 0,3238x10
-3
2
R = 0,63 -4 o
T ( C) Figura 8.11 - Influência da temperatura sobre B1 do modelo ρ eq 2 com K * exponencial.
8.2
Resultados e Discussões do Modelo Fenomenológico de Parâmetros Distribuídos (F.P.D.) Neste item são apresentados o ajuste do modelo matemático F.P.D., a influência da
temperatura nos parâmetros do modelo e os perfis radiais de umidade.
8.2.1 Ajuste do modelo matemático Utilizando os valores de X eq experimentais, Tabela 8.5, este modelo apresenta apenas um parâmetro ajustável, D .
Hidratação de Grãos 135 Tabela 8.5: Valores experimentais de X eq .
T (oC)
Xeq (kg/kg)
10 20 30 40 50
1,7409 1,7078 1,7580 1,6747 1,7474
Na Tabela 8.6 são apresentados os valores do parâmetro do modelo, D , que foi ajustado utilizando a rotina “FMINS” para minimizar a função objetivo ( φ 2 ). O parâmetro K c não foi ajustado, pois como já foi discutido (Item 7.2.5.1), o modelo apresenta pouca sensibilidade a este parâmetro. Neste caso, também se utilizou o parâmetro K * obtido anteriormente (Tabela 6.3), relacionando-o com K c por meio da Equação 7.21.
Tabela 8.6: Parâmetro D do modelo F.P.D.
T (oC)
Dx1011 (m2/s)
10 20 30 40 50
2,4091 4,1502 5,8832 9,5602 11,9502
O coeficiente de difusão D a 30ºC é muito próximo do valor observado por Hsu et al. (1983) para soja que foi de 6,03x10-11 m2/s e ao observado por Kader (1995) para feijão fava que foi de 5,98x10-11 m2/s para a mesma temperatura. Observa-se também que em concordância com os trabalhos de Seyhan-Gürtas et al. (2001) e Bello et al. (2004) o coeficiente de difusão aumenta com o aumento da temperatura. A Figura 8.12 apresenta os resultados das simulações do modelo juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e na Figura 8.13 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios: 10ºC, 20ºC, 30ºC, 40ºC e 50ºC. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa adequadamente o processo de hidratação com um erro em torno de ± 10% em relação às medidas experimentais.
Hidratação de Grãos 136
2,0 o
50 C
1,8
X (kgágua/kgs.s. )
1,6
o
30 C
1,4
Modelo F.P.D.
o
10 C
1,2 1,0 0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.12 - Previsões do modelo F.P.D. frente a dados experimentais.
2,0 2
φ =0,28
1,8
+10%
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 Modelo F.P.D.
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Xexp. Figura 8.13 – Desvios do modelo F.P.D.
1,6
1,8
2,0
Hidratação de Grãos 137 8.2.2 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo O parâmetro ajustado D foi correlacionado com a temperatura, Figura 8.14, obtendo-se uma função linear e crescente.
1,5
Modelo de Parâmetros Distribuídos
1,0
Dx10
10
2
(m /s)
1,3
0,8 0,5 D =2,449x10-1 2T - 5,571x10-12 2 R = 0,98
0,3 0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 8.14 - Comportamento do parâmetro D com a temperatura no modelo F.P.D.
8.2.3 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação As Figuras 8.15 e 8.16 apresentam os perfis de concentração à 10ºC ao longo do raio e do tempo, respectivamente. Na Figura 8.15 pode-se notar que a superfície do grão atinge a umidade de equilíbrio (admitindo-se como critério o tempo para alcançar 99% do valor de X eq ) em 2700 s e que o tempo calculado para todo o grão atingir o equilíbrio é em torno de 207000 s. Nota-se na Figura 8.16 que os gradientes de concentração no interior do grão são significativos ao longo da hidratação.
Hidratação de Grãos 138
2,0 Modelo F.P.D.
1,8
172800s
1,6
207000s
120000s
86400s
X (kg/kg)
1,4 1,2
57600s 1,0 45000s
0,8
1800s 18000s
0,6
30000s
8400s
3600s 900s
0,4 2700s
0,2
60s
0,0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
r* (adim.) Figura 8.15 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo F.P.D.
2,0 1,0
1,8
0,9
X (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4
0,8 0,6
1,2
Modelo F.P.D.
1,0
0,4
0,8
0
r*
0,6 0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.16 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo F.P.D.
Hidratação de Grãos 139 8.3
Resultados e Discussões do Modelo de Hsu Neste item são apresentados o ajuste do modelo de Hsu, a influência da temperatura
nos parâmetros do modelo e os perfis de umidade ao longo do raio.
8.3.1 Ajuste do modelo matemático Os três parâmetros do modelo: k 1 , β e D0 foram estimados simultaneamente a partir do ajuste do modelo aos dados experimentais utilizando a rotina “FMINS” para minimizar a função objetivo ( φ 2 ). Os valores obtidos encontram-se listados na Tabela 8.7.
Tabela 8.7: Parâmetros ajustados do modelo de Hsu.
T (oC)
k1 (kg/kg) 0,8605 0,3927 0,5155 0,4470 0,3617
10 20 30 40 50
βx103(1/s) 5,0781 4,0264 4,6017 5,5346 8,7317
Dox1011(m2/s)
0,7947 2,5877 3,1226 5,5407 7,6007
Na Tabela 8.8 são apresentados os valores dos parâmetros obtidos por Hsu (1983b) para hidratação de grãos de soja.
Tabela 8.8: Parâmetros obtidos por Hsu (1983b)
T (oC)
20 30 40 50
k1 (kg/kg) 0,6990 0,6470 0,5040 0,3680
βx103(1/s) 0,3358 0,4342 0,5594 0,7814
Dox1011(m2/s)
2,8250 5,9410 10,8200 21,0800
Os valores do parâmetro β obtido neste trabalho foram em torno de dez vezes superiores aos valores obtidos por Hsu (1983b). Os valores de D0 e k 1 foram, respectivamente, em média duas vezes e 12% menores aos de Hsu (1983b). Porém, as condições em que foram obtidos os dados experimentais também foram bastante diferentes. No trabalho de Hsu (1983b) o tempo de hidratação foi de 50400s enquanto neste trabalho hidratou-se os grãos durante 300000s, ou seja, o tempo foi de aproximadamente seis vezes o utilizado por Hsu (1983b).
Hidratação de Grãos 140 A Figura 8.17 apresenta os resultados das simulações do modelo juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e na Figura 8.18 são apresentados os desvios do modelo para todos os ensaios: 10ºC, 20ºC, 30ºC, 40ºC e 50ºC. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa adequadamente o processo de hidratação com um erro em torno de ±10% em relação às medidas experimentais.
2,0 o
1,6 X (kgágua/kgs.s. )
Modelo de Hsu
50 C
1,8
o
30 C
1,4
o
10 C
1,2 1,0 0,8 0,6
x + o Experimental ____ Modelo
0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
-3
t x10 (s) Figura 8.17 - Previsões do modelo de Hsu frente a dados experimentais.
350
Hidratação de Grãos 141
2,0 2
φ =0,21
1,8
+10%
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo de Hsu
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 8.18 – Desvios do modelo de Hsu.
8.3.2 Influência da temperatura sobre os parâmetros do modelo Os parâmetros ajustados do modelo foram correlacionados em função da temperatura, Figuras 8.19, 8.20 e 8.21. Observa-se que o parâmetro k 1 diminui com a elevação da temperatura, enquanto os parâmetros β e D0 aumentam. A temperatura exerce influência linear sobre D0 e não linear sobre β . Apesar dos valores calculados não serem próximos dos observados por Hsu (1983b), o comportamento com a temperatura é semelhante.
Hidratação de Grãos 142
1,0 Modelo de Hsu
k1 (kgs.s/kgágua)
0,8
0,6
0,4
0,2
k 1 = -0,0094T + 0,7984 2
R = 0,55 0,0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C)
Figura 8.19 - Influência da temperatura sobre o parâmetro k 1 do modelo de Hsu.
10 Modelo de Hsu
6
3
β x10 (1/s)
8
4
2
-6
2
-4
β = 6,33x10 T - 2,914x10 T + 7,377x10 2 R = 0,99
-3
0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C) Figura 8.20 - Influência da temperatura sobre o parâmetro β do modelo de Hsu.
Hidratação de Grãos 143
8 Modelo de Hsu 7
2
5
11
D0x10 (m /s)
6
4 3 2 D0 = 1,656x10
1
-12
T - 1,040x10
-11
2
R = 0,97
0 0
10
20
30
40
50
60
o
T ( C)
Figura 8.21 - Influência da temperatura sobre o parâmetro D0 do modelo de Hsu.
8.3.3 Análise dos perfis de umidade no grão ao longo da hidratação As Figuras 8.22 e 8.23 apresentam os perfis de concentração à 10ºC ao longo do raio e do tempo, respectivamente. Conforme apresentado na Figura 8.22: a superfície do grão atinge a umidade de equilíbrio (admitindo-se como critério o tempo para alcançar 99% do valor de X eq ) em 900s e o grão todo atinge o equilíbrio em torno de 160200s. Nota-se na Figura 8.23 que os gradientes de concentração no interior do grão são significativos ao longo da hidratação.
Hidratação de Grãos 144
2,0
1,6 1,4 X (kg/kg)
Modelo de Hsu
172800s 138000s 120000s
1,8
86400s
1,2 1,0
57600s 1800s
45000s
0,8
18000s
0,6
30000s
8400s
3600s 900s
0,4 0,2
60s
0,0 0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
r* (adim.) Figura 8.22 - Perfil de concentração ao longo do raio em vários instantes de tempo, modelo de Hsu.
2,0 1,0
1,8
0,9
X (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4
0,8 0,6
1,2 1,0
r*
0,4
0,8
0
0,6 0,4
Modelo de Hsu
0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.23 - Perfil de concentração ao longo do tempo em várias posições radiais, modelo de Hsu.
Hidratação de Grãos 145 8.4
Resultados e Discussões do Modelo da Difusão Analítico Neste item apresentam-se a metodologia para obtenção dos coeficientes de difusão,
o ajuste do modelo matemático, a influência da temperatura nos parâmetros do modelo, o modelo generalizado e uma comparação com dados obtidos por Hsu et al. (1983).
8.4.1 Obtenção dos coeficientes de difusão e ajuste individual do modelo Para cada temperatura estudada, sendo conhecidos os valores de X, X0 e XS da Equação 3.5, calculou-se um coeficiente de difusão para cada tempo, utilizando cem termos da série. Com esses valores calculados, obteve-se o coeficiente de difusão efetivo médio (média aritmética), que são apresentados na Tabela 8.9.
Tabela 8.9: Difusividades efetivas médias.
T (oC)
Deff médio x1011 (m2/s)
10
2,2196
20 30 40 50
3,2903 4,0690 7,2804 8,3833
A Figura 8.24 apresenta os resultados das simulações do modelo com Deff médio juntamente com valores experimentais para as temperaturas de 10ºC, 30ºC e 50ºC e nas Figura 8.25 são apresentados os desvios do modelo para todas as temperaturas. Pela análise destas figuras, pode-se constatar que o modelo representa razoavelmente o processo de hidratação com um desvio quadrático de 0,93.
Hidratação de Grãos 146
2,0
Modelo da difusão-Deff médio
o
50 C
1,8
o
30 C
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4 1,2
o
10 C
1,0 0,8
x + o Experimental ____ Modelo
0,6 0,4 0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.24 - Previsões do modelo da difusão frente a dados experimentais.
2,0 2
φ =0,93
1,8
+10%
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4
Modelo da difusão-Deff médio
0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Xexp. Figura 8.25 – Desvios do modelo da difusão com Deff médio
1,8
2,0
Hidratação de Grãos 147 8.4.2 Influência da temperatura sobre o coeficiente de difusão efetivo
Na Tabela 8.9 pode-se observar que o coeficiente de difusão médio (Deff médio) aumenta com a temperatura e essa dependência pode ser representada por uma relação do tipo Arrhenius, Equação 8.2.
E Deff = D0 exp a RT
(8.2)
Em que D0 é o fator pré-exponencial da equação de Arrhenius, Ea, a energia de ativação, R, a constante dos gases ideais e T, a temperatura em Kelvin. A Figura 8.26 apresenta o efeito da temperatura no valor do coeficiente de difusão efetivo (Deff médio). Sendo R=8,314J/(mol K), o valor da energia de ativação é 26257,28 J/mol.
10 Modelo da difusão
6
11
2
Deff x10 (m /s)
8
4 -6 -3159,66/T
2
0 0,0030
D= 1,54222x10 e 2 R = 0,97
0,0031
0,0032
0,0033
0,0034
0,0035
0,0036
-1
1/T (K ) Figura 8.26 – Influência da temperatura no coeficiente de difusão efetivo do modelo da difusão.
Hidratação de Grãos 148 8.4.3 Modelo generalizado
Conhecendo-se a dependência do coeficiente de difusão com a temperatura, é possível desenvolver um modelo que represente o processo em qualquer temperatura, dentro da faixa estudada (10 a 50ºC), para tanto, no modelo da difusão, Equação 3.5, o Deff agora é dado pela Equação 8.3.
3158 ,2 Deff = 1,4138 x 10 −6 exp − T
(8.3)
A Figura 8.27 apresenta os resultados experimentais juntamente com os ajustados pelo modelo generalizado e para comparação, são apresentados os valores calculados pelo modelo com Deff médio. A Figura 8.28 apresenta os desvios do modelo generalizado. Pode-se observar na Figura 8.27 que não há muita diferença entre o modelo com
Deff médio e o modelo generalizado, sendo que o desvio quadrático observado no modelo generalizado (0,91), Figura 8.28, é ligeiramente menor do que o calculado no modelo com
Deff médio (0,93), Figura 8.25.
2,0 o
50 C
1,8
X (kgágua/kgs.s. )
1,6
o
30 C
1,4
o
10 C
1,2 1,0 0,8
x + o Experimental ____ Deff generalizado
0,6 0,4
_ _ _ Deff médio
0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
-3
t x10 (s) Figura 8.27 - Previsões dos modelos frente a dados experimentais.
350
Hidratação de Grãos 149
2,0 2
φ =0,91
1,8
+10%
1,6 1,4
-10%
Xcalc.
1,2 1,0 0,8 0,6 Modelo da difusão generalizado
0,4 0,2 0,0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Xexp. Figura 8.28 – Desvio do modelo da difusão generalizado.
8.4.4 Comparação com dados de Hsu et al. (1983)
Para completar a análise deste modelo, comparam-se os resultados do modelo (com os dois tipos de coeficiente de difusão apresentados anteriormente) com a simulação utilizando o Deff obtido por Hsu et al. (1983) (6,03x10-11 m2/s) em seu estudo sobre hidratação de grãos de soja a uma temperatura de 30ºC. Na Figura 8.29 observa-se um comportamento semelhante entre os modelos, entretanto, na Figura 8.30 onde os mesmos dados são apresentados, mas agora apenas até 80000 s, pode-se verificar que o modelo com Deff de Hsu representa melhor os resultados no início da hidratação. No período constante, acima de 80000 s, todos os modelos tendem ao mesmo resultado. É muito interessante ressaltar que o valor calculado por Hsu et al. (1983) ajustou melhor aos dados obtidos neste trabalho do que aos dados apresentados no trabalho de Hsu et al. (1983). O coeficiente de difusão de Hsu et al. (1983) foi obtido em uma condição bem diferente daquela aqui estudada. O experimento de Hsu et al. (1983) durou apenas 36000 s, enquanto que no presente trabalho o tempo foi de 250000 s, além disso, o valor de Deff foi calculado para apenas uma condição: 1,8 h, 30ºC e X%=0,5.
Hidratação de Grãos 150
2,0 1,8
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 o
1,4
30 C
1,2 1,0 0,8
Experimental
0,6
Deff generalizado
0,4
Deff médio
0,2
Deff Hsu
0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.29 – Comparação dos resultados das simulações com a simulação utilizando o Deff obtido por Hsu et al. (1983) a 30ºC.
2,0 1,8
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 o
1,4
30 C
1,2 1,0 0,8
Experimental
0,6
Deff generalizado
0,4
Deff médio
0,2
Deff Hsu
0,0 0
20
40
60
80
-3
t x10 (s) Figura 8.30 – Comparação dos resultados das simulações com a simulação utilizando o Deff obtido por Hsu et al. (1983) a 30ºC até 80000 s.
Hidratação de Grãos 151 8.5
Análise Conjunta dos Melhores Modelos Neste item faz-se uma comparação entre os resultados dos modelos apresentados
neste capítulo: modelo ρ eq 2 com K * exponencial, modelo F.P.D., modelo de Hsu e modelo da difusão resolvido analiticamente.
8.5.1 Comparação entre os modelos Na Figura 8.31 e Tabela 8.10 apresenta-se a comparação entre as simulações dos quatro modelos apresentados neste capítulo, essa figura apresenta apenas as temperaturas de 10 e 50ºC para que se possam visualizar melhor as diferenças entre os modelos. O modelo da difusão apresentado é o com coeficiente de difusão médio. Para as temperaturas de 10ºC e 50ºC pode-se notar que os quatro apresentam comportamento semelhante. Na Tabela 8.10 são apresentados os resíduos quadráticos, as equações e os parâmetros dos modelos analisados neste capítulo, o valor obtido com o modelo de Hsu (0,21) foi o menor, seguido pelo, ρ eq 2 com K * exponencial (0,23) e F.P.D. (0,28), o modelo analítico apresentou um desvio de 0,93. Os modelos de Hsu e F.P.D. apresentam a vantagem de se obter facilmente os perfis radiais. Entre esses dois modelos, o modelo de Hsu apresentou menor erro, porém é um modelo de três parâmetros comparado com um modelo de um parâmetro.
Hidratação de Grãos 152
2,0 o
50 C
1,8
X (kgágua/kgs.s. )
1,6 1,4 1,2
o
10 C
1,0
x o _____ __ __ ____ __ . __
0,8 0,6 0,4
Experimental ρeq 2 -K* exponencial Hsu F.P.D. difusão
0,2 0,0 0
50
100
150
200
250
300
350
-3
t x10 (s) Figura 8.31 – Comparação entre os modelos apresentados neste capítulo. Tabela 8.10: Desvios quadráticos calculados nos modelos.
Equação
φ2
Parâmetros
F.P.D.
6.6 e 6.5 7.13 a 7.15
0,23 0,28
A1, B1 D
Hsu
3.22 a 3.25
0,21
k1, β, D0
Analítico
3.4
0,93
Deff
Modelo
ρeq 2 – K*exponencial
8.5.2 Comparação entre os tempos para atingir o equilíbrio A Tabela 8.11 apresenta os tempos calculados para a superfície do grão atingir a umidade de equilíbrio nos modelos de Hsu e no modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos (F.P.D.). A Tabela 8.12 apresenta os tempos para o centro do grão (todo o grão) atingir a umidade de equilíbrio experimental e calculados pelos modelos de ρ eq 2 com
K * exponencial, Hsu, e F.P.D. e da Difusão. Na Figuras 8.32 estão apresentados os resultados das simulações dos modelos F.P.D. e de Hsu no início da hidratação
Hidratação de Grãos 153 Tabela 8.11: Tempo para atingir o valor de X eq na superfície.
T (oC) 10 20 30 40 50
Hsu
F.P. D.
t (s) 900 1140 1020 840 540
t (s) 2700 2940 2580 3060 2340
Na superfície, o tempo para atingir o equilíbrio em todos os casos foi maior no modelo F.P.D. do que no modelo de Hsu, por exemplo, para a temperatura de 10ºC o tempo no modelo F.P.D. foi de 2700 s, enquanto no modelo de Hsu o tempo foi de 900s e na temperatura de 50ºC o tempo no modelo F.P.D. foi de 2340 s enquanto no de Hsu foi 540 s. Porém como pode-se observar na Figura 8.32, o modelo de F.P.D. desde o tempo inicial de 60 s apresenta valores próximos do equilíbrio, enquanto o modelo de Hsu se iguala ao comportamento do modelo de F.P.D. apenas em 600 s.
2,0 1,8
X (kgágua/kgs.s.)
1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 F.P.D.
0,4
Hsu
0,2 0,0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-3
t x10 (s) Figura 8.32 – Comportamento na interface no período transiente dos modelos de F.P.D. e de Hsu.
Hidratação de Grãos 154 No centro do grão, o tempo para atingir o equilíbrio a 10ºC foi maior no modelo de
ρ eq 2 com K* exponencial, e em todos os modelos os tempos foram maiores do que o observado experimentalmente. A 50ºC o tempo observado nos quatro modelos foi inferior ao observado experimentalmente (187200 s). O erro médio (erro%= ( t exp − t cal ) / t exp x 100 ) observado de previsão do tempo de hidratação do grão todo variou de 46% a 57%, sendo que o modelo que apresentou menor desvio médio foi o modelo da difusão analítico e o com maior desvio médio foi o modelo ρ eq 2 com K* exponencial.
Tabela 8.12: Tempo para atingir o valor de X eq no centro.
ρeq 2 – K*
8.6
exponencial
Hsu
F. P. D.
M. Difusão
Experimental
T (oC) 10 20
t (s) 216000 115200
t (s) 160200 102660
t (s) 207000 121800
t (s) 187200 129600
t (s) 144000 201600
30
86400
69300
85920
100800
216000
40 50
43200 43200
44400 36000
52800 41820
57600 57600
100800 187200
Conclusões Entre os modelos o modelo ρ eq 2 com K * exponencial foi o que melhor representou
a hidratação de grãos de soja em toda a faixa de temperatura explorada (10 a 50°C), com um desvio quadrático de 0,23. No modelo ρ eq 2 com K * exponencial os parâmetros aumentam linearmente com a temperatura
conforme
as
equações:
A1 = 5,078 x 10 −8 T + 1,0843 x 10 −7
e
B1 = 1,695 x 10 −5 T − 0 ,3238 x 10 −3 . Todos os quatro modelos ( ρ eq 2 com K * exponencial, F.P.D., de Hsu e da difusão analítico) descrevem adequadamente o processo de hidratação de grãos de soja em regime permanente, com desvios em torno de 10% em relação aos valores experimentais de umidade média dos grãos. Os dois modelos de parâmetros distribuídos (F.P.D. e Hsu) simulam a distribuição de água no interior dos grãos ao longo da hidratação,
Hidratação de Grãos 155 A umidade de equilíbrio experimental é praticamente constante em todas as temperaturas, podendo ser representada por um valor médio de 1,726. A difusividade, D, no modelo F.P.D. aumenta com a elevação da temperatura, variando de 0,2409x10-10 a 1,1950x10-10 m2/s. O parâmetro do modelo de Hsu, k 1 , diminui com a elevação da temperatura, enquanto os parâmetros β e D0 aumentam. O modelo da difusão analítico representa as principais tendências do processo de hidratação, apresentado um resíduo quadrático de 0,93, sendo que esse modelo pode ser substituído pelo modelo generalizado já que os dois apresentam desvios quadráticos e comportamento semelhantes. O coeficiente de difusão efetivo médio do modelo analítico aumenta com a temperatura e com a concentração. A dependência do coeficiente de difusão com a temperatura por uma equação do tipo Arrhenius, com uma energia de ativação de 26257,28 J/mol. Os valores do coeficiente de difusão do modelo analítico obtidos estão de acordo com os observados na literatura, sendo que a simulação com o valor do coeficiente de difusão de Hsu et al. (1983) ajustou bem aos dados experimentais. O modelo de Hsu foi o modelo que apresentou menor resíduo quadrático. O modelo F.P.D., apesar de apresentar um erro maior do que o modelo de Hsu tem a vantagem de ser um modelo com apenas um parâmetro de ajuste, então mais confiável do ponto de vista fenomenológico. Além de apresentar uma condição de contorno na superfície mais coerente com a realidade (igualdade de fluxos convectivo e difusivo). Os resultados do modelo F.P.D. revelam que o equilíbrio na interface não é instantâneo, enquanto as simulações do modelo de Hsu apontam para um período de tempo curto para alcançar o equilíbrio. O tempo teórico para atingir o equilíbrio a 10ºC na superfície é de 2700 s e no centro do grão é de 207000 s no modelo F.P.D., enquanto no Modelo de Hsu o tempo teórico para todo o grão atingir a umidade de equilíbrio observado foi de 160200 s e na superfície, foi de 900 s.
Hidratação de Grãos 156
9 DISCUSSÕES E CONCLUSÕES GERAIS E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
9.1
Discussões A modelagem da hidratação de grãos pode ser feita de diversas maneiras, sendo
que todas as desenvolvidas ou apresentadas neste trabalho podem ser aplicadas. A escolha de um modelo depende dos dados disponíveis, como por exemplo, os dados em regime transiente ou permanente, o conhecimento ou não do valor de X eq ou ρ eq experimental. Quando o valor de ρ eq experimental não é conhecido, os melhores modelos a serem utilizados são os modelos apresentados no Capitulo 5 (modelos em função de ρ H 2 0 ). Estes modelos, apesar de receber críticas por utilizarem um coeficiente de transferência de massa aparente, eliminam um parâmetro, possuindo apenas dois parâmetros e obtendo-se resultados muito bons, com desvios quadráticos entre 0,16 e 0,17. Os modelos apresentados nos Capítulos 5 e 6 apresentam uma contribuição efetiva ao estado da arte, pois todos eles consideram a variação do volume durante a hidratação. Segundo Saguy, Marabi e Wallach (2005) existe uma lacuna nas pesquisas apresentadas na literatura, pois os modelos desenvolvidos para secagem e hidratação não englobam o encolhimento nem o aumento de volume, sendo assim de uso limitado. Os modelos em função de ρ eq também podem ser utilizados quando não se conhece o valor de ρ eq experimental, porém estes modelos terão três parâmetros ajustáveis (no caso de K * linear). Entre esses modelos, o modelo ρ eq 2 apresentou um desvio quadrático menor (0,42) do que o modelo ρ eq 1 (0,62). Os valores de ρ eq calculados por esses modelos ( ρ eq 1 – K* linear e ρ eq 2 – K* linear) apresentados no Capítulo 6, são muito próximos daqueles obtidos experimentalmente (Tabela 9.1). Estimando-se um erro exp
calc
exp
entre seus valores médios (100 x ρ eq − ρ eq / ρ eq ), obtém-se para os dois casos um erro em torno de 10%, um erro aceitável, levando em consideração que para se obter os dados em regime transiente dispende-se apenas 5,2% do tempo utilizado para se obter os valores de ρ eq .
Hidratação de Grãos 157
Tabela 9.1 – Valores de ρ eq calculados e obtidos experimentalmente e respectivos erros.
ρeq 1 K*
ρeq 2 K*
linear
linear
T (oC) 10 20 30 40 50
ρeq (kg/m3)
ρeq (kg/m3)
ρeq (kg/m3)
597,7613 604,8276 593,9540 685,0460 674,2958
596,4611 605,0750 597,4219 691,4135 676,8179
Média
631,1770
633,4379
Modelo
ρeq 1 K*
ρeq 2 K*
linear
linear
708,8289 703,8625 711,3559 698,7601 709,7930
Erro % 15,67 14,07 16,50 1,96 5,00
Erro % 15,85 14,04 16,02 1,05 4,65
706,5201
10,64
10,32
Experimental
Nos casos onde se deseja obter um perfil radial de umidade deve-se utilizar os modelos de parâmetros distribuídos, sendo que em casos onde o X eq experimental não é conhecido, o modelo de Hsu (1983a) não apresenta resultados satisfatórios. Quando o valor de X eq é conhecido, o desvio quadrático obtido com o modelo de Hsu foi menor (0,21) em relação ao modelo desenvolvido neste trabalho (0,28), porém, o modelo de Hsu possui três parâmetros ajustáveis, enquanto o modelo desenvolvido possui apenas um. Os valores de
X eq estimados a partir do ajuste do modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos (F.P.D.), Capítulo 7, são em média 15,27% menores do que os obtidos experimentalmente (Tabela 9.2), um valor aceitável, levando em consideração que para se obter os dados em regime transiente dispende-se apenas 5,2% do tempo utilizado para se obter os valores de
X eq .
Tabela 9.2 – Valores de X eq calculados pelo modelo F.P.D., obtidos experimentalmente e respectivos erros.
Calculado
Experimental
T (oC)
Xeq (kg/kg)
Xeq (kg/kg)
Erro %
10 20 30
1,2303 1,3836 1,4773
1,7409 1,7078 1,7580
29,33 18,98 15,97
40 50
1,6182 1,6019
1,6747 1,7474
3,38 8,32
Média
1,4623
1,7258
15,27
Hidratação de Grãos 158 O coeficiente de difusão D do modelo F.P.D. a 30ºC é muito próximo do valor observado por Hsu et al. (1983) para soja que foi de 6,03x10-11 m2/s e ao observado por Kader (1995) para feijão fava que foi de 5,98x10-11 m2/s para a mesma temperatura. Observa-se também que em concordância com os trabalhos de Seyhan-Gürtas et al. (2001) e Bello et al. (2004) o coeficiente de difusão D e o Deff do modelo da difusão analítico aumentam com o aumento da temperatura. O modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos (F.P.D.) não apresenta sensibilidade ao coeficiente de transferência de massa ( K C ), mostrando que a resistência à difusão interna é principal resistência existente no processo de hidratação. Nos modelos de parâmetros concentrados em função de ρ eq , o K * , apesar de ser definido como um coeficiente de transferência de massa convectivo engloba todas as resistências internas e externas, sendo na verdade um coeficiente de transferência de massa global. Portanto K * representa muito mais a resistência interna à transferência de massa do que a externa.
9.2
Conclusões Todos os modelos apresentados neste trabalho podem ser utilizados para
representar e prever o processo de hidratação de grãos de soja. O modelo a ser escolhido depende do tempo de hidratação, dos dados existentes e do tipo de resultados desejados. No caso de não ser conhecido o valor de X eq ou ρ eq experimental deve-se utilizar os modelos do Capítulo 5, sendo que o mais indicado é o modelo de ρ H 2O 3, pois apresenta uma correlação experimental de variação de volume com a massa, que conforme observado é diretamente proporcional à variação da massa ( α = 1,00 ). Os modelos em função de ρ eq também podem ser utilizados quando não se conhece o valor de ρ eq experimental, porém estes modelos terão três parâmetros ajustáveis (no caso de K * linear), entre esses modelos, o modelo ρ eq 2 apresentou um desvio quadrático menor (0,42) do que o modelo ρ eq 1 (0,62). Os modelos de parâmetros concentrados desenvolvidos neste trabalho contemplam a variação de volume do grão. Experimentalmente constatou-se que o diâmetro dos grãos de soja apresentou um aumento médio em torno de 30% ao final de 150 minutos de hidratação. A maior variação do diâmetro dos grãos de soja ocorreu nos primeiros 15 minutos, correspondendo a 50% do valor final. Além do que, a temperatura não exerceu
Hidratação de Grãos 159 influência significativa sobre o comportamento do diâmetro do grão ao longo do tempo, na faixa de temperaturas explorada. Quando não se conhece o valor de X eq e se deseja avaliar o perfil de concentração radial o melhor modelo a ser aplicado é o modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos (F.P.D.). Quando X eq é conhecido, pode-se escolher entre o modelo de Hsu e o modelo F.P.D., sendo que o último apresenta uma condição de contorno na interface mais “realista” do ponto de vista fenomenológico e possui apenas um parâmetro de ajuste. O número de divisões ao longo do raio (N) que melhor se aplica ao modelo de Hsu e ao modelo F.P.D. é igual a 50, pois não se difere muito de 70 divisões e demanda de um menor tempo de processamento computacional. Os resultados do modelo F.P.D. revelam que o equilíbrio na interface não é instantâneo, enquanto as simulações do modelo de Hsu apontam para um período de tempo curto para alcançar o equilíbrio. O tempo teórico para atingir o equilíbrio a 10º C na superfície é de 2700 s e no centro do grão é de 207000 s no modelo F.P.D., enquanto no modelo de Hsu o tempo teórico para todo o grão atingir a umidade de equilíbrio observado foi de 160200 s e apenas a superfície, foi de 900s. Tanto no modelo F.P.D. como no modelo de Hsu a transferência de massa no interior do grão de soja corresponde à etapa limitante no processo de hidratação. Nos modelos em função de ρ eq o coeficiente de transferência de massa real K * engloba todas as resistências internas e externas, sendo na verdade um coeficiente de transferência de massa global. A difusividade, D, no modelo F.P.D. aumenta com a elevação da temperatura, variando de 2,409x10-11 a 11,950x10-11 m2/s. Os valores do coeficiente de difusão efetivo médio do modelo analítico obtidos estão de acordo com os observados na literatura, variando de 2,2196x10-11 a 8,3833x10-11 m2/s. O Deff aumenta com a temperatura e sua dependência com a temperatura pode ser representada por uma equação do tipo Arrhenius, com uma energia de ativação de 26257,28 J/mol. Os valores de ρ eq e X eq estimados pelos modelos ficaram próximos dos valores experimentais, com um erro médio de 10 e 15%, respectivamente, indicando que os modelos e as técnicas de ajuste foram adequados. A umidade de equilíbrio experimental é praticamente insensível à temperatura, podendo ser representada por um valor médio de 1,726. O modelo ρ eq 2 com K * exponencial apresentou valores não realistas para o parâmetro ρ eq , indicando que esta relação funcional é inadequada quando se mantém o
Hidratação de Grãos 160 parâmetro ρ eq livre para ajuste. Porém, quando o valor de ρ eq experimental é conhecido este modelo representou melhor os resultados experimentais do que o modelo ρ eq 2 com
K * linear. Nos modelos de parâmetros concentrados desenvolvidos (modelos ρ H 2O 1 e 2 e
ρ eq 1 e 2) o coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) ou real ( K * ) aumenta com o aumento da temperatura. Nos modelos com K S ou K * variável, o seu valor diminui com o aumento da concentração de água na soja. A utilização de um coeficiente de transferência de massa aparente ( K S ) ao invés de real ( K * ) conduz a modelos com menor número de parâmetros e capazes de representar adequadamente o processo de hidratação.
9.3
Sugestões Testar os modelos desenvolvidos em outros tipos de grãos. Desenvolver o modelo fenomenológico de parâmetros distribuídos com volume
variável. Comparar
o
modelo
fenomenológico
de
parâmetros
numericamente com o mesmo modelo resolvido analiticamente.
distribuídos
resolvido
Hidratação de Grãos 161
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABU-GHANNAM, N.; MCKENNA, B. Hydration kinetics of red kidney beans. Journal of Food Science, v.62, n.3, p. 520–523, 1997a.
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Apêndice A 169
APÊNDICE A
Dados experimentais
Umidificação em regime transiente
Apêndice A 170
Tabela A1 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 10ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250
Xbs 0,1064 0,1848 0,2890 0,4157 0,4796 0,5405 0,6017 0,6978 0,6907 0,8060 0,8208 0,8525 0,9806 1,0123 1,1484 1,1189
ρsoja (cm3/g) 0,1038 0,1685 0,2422 0,3171 0,3501 0,3789 0,4057 0,4439 0,4412 0,4820 0,4869 0,4970 0,5347 0,5433 0,5773 0,5703
dp (cm) 0,5942 0,6282 0,6737 0,6805 0,6737 0,7006 0,7132 0,7257 0,7316 0,7257 0,7316 0,7491 0,7601 0,7601 0,7491 0,7764
Tabela A2 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 15ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 90 120 150 210
Xbs 0,1064 0,1395 0,2568 0,3773 0,4568 0,4757 0,5052 0,5832 0,6323 0,7374 0,7334 0,8831 1,1562
ρsoja (cm3/g)
0,1038 0,1322 0,2207 0,2959 0,3386 0,3481 0,3625 0,3978 0,4184 0,4584 0,4569 0,5065 0,5791
dp (cm) 0,5942 0,6121 0,6365 0,6440 0,6805 0,6665 0,6734 0,6805 0,7006 0,6874 0,7195 0,7434 0,7491
Apêndice A 171 Tabela A3 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 20ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 25 30 40 60 90 120 150 180 210
Xbs 0,1056 0,2089 0,4061 0,5100 0,5910 0,5670 0,6288 0,6280 0,6989 0,7581 0,8693 1,0036 1,1430 1,2080 1,2326
ρsoja (cm3/g) 0,1031 0,1866 0,3119 0,3648 0,4012 0,3908 0,4169 0,4166 0,4443 0,4657 0,5022 0,5410 0,5760 0,5909 0,5963
dp (cm) 0,5942 0,6203 0,6737 0,6737 0,7006 0,7006 0,7006 0,7006 0,7132 0,7006 0,7257 0,7316 0,7491 0,7712 0,7764
Tabela A4 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 30ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 50 60 75 90 105 125 150 180
Xbs 0,1056 0,2070 0,3951 0,5439 0,5659 0,6007 0,7041 0,7328 0,7490 0,8055 0,8269 0,9205 1,0261 1,0327 1,1747 1,2549
ρsoja (cm3/g)
0,1031 0,1852 0,3059 0,3805 0,3903 0,4053 0,4462 0,4567 0,4625 0,4818 0,4888 0,5177 0,5469 0,5487 0,5834 0,6010
dp (cm) 0,5942 0,6365 0,6737 0,7195 0,7006 0,6805 0,7313 0,7195 0,7257 0,7316 0,7434 0,7374 0,7544 0,7547 0,7817 0,7970
Apêndice A 172 Tabela A5 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 42ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 60 90 120 150 180
Xbs 0,1064 0,2309 0,3720 0,6173 0,6798 0,8004 0,8355 1,0744 1,2524 1,3087 1,3912 1,5260
ρsoja (cm3/g) 0,1038 0,2026 0,2928 0,4122 0,4371 0,4801 0,4916 0,5594 0,6005 0,6122 0,6283 0,6525
dp (cm) 0,5942 0,6121 0,7006 0,7257 0,7316 0,7544 0,7374 0,7603 0,7764 0,7603 0,7816 0,7987
Tabela A6 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e diâmetro médio do grão, temperatura de 49ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 50 60 75 90 105 125 150
Xbs 0,1056 0,2713 0,5460 0,6375 0,7559 0,7811 0,9710 1,0103 1,1464 1,2059 1,2753 1,2773 1,3746 1,4307 1,5342
ρsoja (cm3/g) 0,1031 0,2305 0,3814 0,4205 0,4649 0,4736 0,5321 0,5428 0,5768 0,5904 0,6053 0,6058 0,6252 0,6357 0,6538
dp (cm) 0,5942 0,6365 0,6940 0,6940 0,7195 0,7070 0,7257 0,7316 0,7657 0,7657 0,7764 0,7657 0,7764 0,7712 0,7869
Apêndice B 173
APÊNDICE B
Dados experimentais
Valores de Xeq
Apêndice B 174 Tabela B1 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 10ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250 300 420 540 720 960 1440 1680 1920 2160 2400 2880 3120 3360 3600 3840 4320 4800
Xbs 0,1063 0,1479 0,2101 0,2722 0,3285 0,3496 0,4201 0,4590 0,5464 0,5962 0,6484 0,7795 0,8668 0,8872 0,9617 0,9933 1,0821 1,2142 1,3149 1,4410 1,5549 1,6206 1,6665 1,6979 1,7136 1,7376 1,7716 1,7626 1,7513 1,7662 1,7609 1,7413 1,7404
ρsoja (cm3/g) 0,1072 0,1438 0,1938 0,2388 0,2759 0,2891 0,3301 0,3511 0,3943 0,4168 0,4390 0,4889 0,5182 0,5247 0,5471 0,5561 0,5800 0,6120 0,6339 0,6588 0,6792 0,6901 0,6975 0,7023 0,7047 0,7083 0,7133 0,7120 0,7104 0,7126 0,7118 0,7089 0,7088
Equilíbrio
1,7409
0,7088
Apêndice B 175 Tabela B2 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 20ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250 300 420 540 720 960 1440 1680 1920 2160 2400 2880 3120 3360 3600 3840 4320
Xbs 0,1065 0,1560 0,2406 0,3238 0,3811 0,3931 0,4859 0,5443 0,7060 0,7666 0,8487 0,9217 1,0239 1,0748 1,1684 1,2181 1,2966 1,3932 1,5243 1,5785 1,6068 1,6929 1,6704 1,6830 1,6819 1,6620 1,6655 1,6881 1,7023 1,6893 1,7166 1,6990
ρsoja (cm3/g) 0,1074 0,1506 0,2165 0,2730 0,3080 0,3149 0,3649 0,3933 0,4618 0,4843 0,5123 0,5353 0,5646 0,5781 0,6013 0,6129 0,6301 0,6497 0,6739 0,6832 0,6879 0,7016 0,6981 0,7001 0,6999 0,6968 0,6973 0,7008 0,7030 0,7010 0,7052 0,7025
Equilíbrio
1,7078
0,7039
Apêndice B 176 Tabela B3 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 30ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250 300 420 540 720 960 1440 1680 1920 2160 2400 2880 3120 3360 3600 3840 4320
Xbs 0,1033 0,1650 0,2718 0,3456 0,4323 0,4795 0,5870 0,6532 0,7948 0,8942 0,9799 1,1450 1,2379 1,2885 1,3273 1,4180 1,4728 1,5741 1,5962 1,5971 1,6132 1,6384 1,6442 1,6785 1,6634 1,7196 1,7166 1,7230 1,7299 1,7515 1,7625 1,7534
ρsoja (cm3/g) 0,1045 0,1580 0,2385 0,2866 0,3369 0,3617 0,4128 0,4410 0,4942 0,5268 0,5523 0,5957 0,6173 0,6284 0,6365 0,6545 0,6647 0,6825 0,6861 0,6863 0,6889 0,6930 0,6939 0,6993 0,6970 0,7056 0,7052 0,7062 0,7072 0,7104 0,7120 0,7107
Equilíbrio
1,7580
0,7114
Apêndice B 177 Tabela B4 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 40ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250 300 420 540 720 960 1440 1680 1920 2160 2400 2880 3120 3360 3600 3840 4320
Xbs 0,1069 0,1797 0,3226 0,4145 0,4729 0,5748 0,6622 0,7654 0,9547 1,0278 1,1254 1,2524 1,3468 1,3953 1,4351 1,4863 1,5341 1,5952 1,6192 1,6284 1,6402 1,6508 1,6909 1,6782 1,6929 1,6907 1,6833 1,6635 1,6898 1,6534 1,6725 1,6769
ρsoja (cm3/g) 0,1077 0,1700 0,2722 0,3271 0,3583 0,4074 0,4446 0,4839 0,5451 0,5656 0,5909 0,6205 0,6405 0,6501 0,6577 0,6671 0,6756 0,6860 0,6899 0,6914 0,6933 0,6950 0,7013 0,6993 0,7016 0,7012 0,7001 0,6970 0,7011 0,6954 0,6984 0,6991
Equilíbrio
1,6747
0,6988
Apêndice B 178 Tabela B5 – Dados experimentais de umidade, concentração de água e valores de equilíbrio, temperatura de 50ºC. tempo (min) 0 1 5 10 15 20 30 40 60 80 100 130 160 190 220 250 300 420 540 720 960 1440 1680 1920 2160 2400 2880 3120 3360 3600 3840 4320 5040
Xbs 0,1070 0,2257 0,3754 0,5006 0,5724 0,6368 0,7662 0,8717 1,0292 1,2346 1,3302 1,4232 1,4773 1,5509 1,5890 1,5949 1,6305 1,6617 1,7033 1,6984 1,6710 1,6679 1,6906 1,6879 1,7234 1,7594 1,7071 1,7361 1,7569 1,7658 1,7811 1,7468 1,7480
ρsoja (cm3/g) 0,1079 0,2055 0,3046 0,3723 0,4063 0,4342 0,4841 0,5197 0,5660 0,6166 0,6371 0,6555 0,6655 0,6785 0,6849 0,6859 0,6917 0,6967 0,7032 0,7024 0,6982 0,6977 0,7012 0,7008 0,7062 0,7116 0,7037 0,7081 0,7112 0,7125 0,7147 0,7097 0,7099
Equilíbrio
1,7474
0,7098
