Modelagem De Um Veículo Submersível Não Tripulado

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1. Introdução O presente trabalho tem como objeto de estudo do movimento plano um VSNT (Veículo Submersível Não Tripulado) de pequenas dimensões para captação de imagens em ambiente fluvial a pequenas profundidades. Pretende-se, a partir do modelo físico do veículo, desenvolver um modelo matemático linear e um não-linear adequados. A partir dessa modelagem serão feitas algumas simulações dinâmicas. As saídas, ou seja, os movimentos de avanço, deriva e guinada deste submersível em função do tempo, bem como as trajetórias apresentadas serão determinadas a partir de entradas (forças propulsoras) conhecidas. O estudo e a modelagem do sistema de lastro do submersível não estão no escopo deste trabalho, pois são assuntos bastante complicados para o presente nível de conhecimento. Desse modo, será feita apenas a análise do movimento plano do veículo em questão. Pretende-se, também, comprovar a validade de um modelo linear em certas condições de operação a partir da comparação dos resultados obtidos com o modelo não-linear. É importante ressaltar, que o tema escolhido tem ampla aplicação não só no que se refere à modelagem de sistemas dinâmicos, mas também no que diz respeito ao controle desses sistemas. O mesmo submersível pode ser usado como objeto de estudo para um trabalho de controle que visa projetar um seguidor de trajetórias pré-determinadas. 2. Modelo Físico A estrutura do veículo divide-se em três partes principais: o corpo básico, a torreta e a bolina, conforme pode ser observado na figura 1. 1 Figura 1: Configuração básica do VSNT Jaú I. O corpo básico tem formato cilíndrico e extremidades em formato de parabolóide. Nele encontram-se abrigados os sistemas elétricos, eletrônicos, mecânicos e pneumáticos. Na proa situa-se a câmera de vídeo responsável pela captura de imagens e, na popa, encontram-se as saídas dos dois propulsores que compõe o sistema propulsor. Sobre o corpo básico situa-se a torreta. Nela está abrigado o refletor, cuja função é a geração de luz artificial para auxiliar o registro de imagens. A bolina localiza-se na parte inferior do corpo básico e em seu interior abriga-se o sistema de lastro, responsável pelo movimento de caturro (subida e descida do submersível). Os parâmetros (dimensões, massa, momento de inércia, massas adicionais e amortecimentos viscosos) do veículo submersível adotado, o VSNT Jaú I, foram obtidos experimentalmente [1] e estão exibidos no Anexo A. 3. Modelo Matemático do Submarino O modelo do submarino (esboçado na figura 2) pode ser interpretado como um modelo físico, que deve ser traduzido matematicamente para que se possa realizar a simulação dinâmica do mesmo. 2 Figura 2: Esboço do Veículo Submarino Não-Tripulado (VSNT). A modelagem matemática do problema envolve a escolha de dois sistemas de referenciais: um referencial inercial O0X0Y0Z0 e um segundo referencial solidário ao veículo, O1X1Y1Z1 (cujos eixos são coincidentes com os eixos principais de inércia). A origem do sistema de coordenadas solidário ao veículo é o seu centro geométrico. A fim de se iniciar a modelagem, foram adotadas algumas hipóteses simplificadoras: • O corpo do submersível é rígido; • Os pesos e suas distribuições no veículo são constantes; • O centro de gravidade do veículo coincide com o seu centro geométrico, isto é X1G = Y1G = Z1G = 0. • O modelo se movimenta apenas no plano XY (bidimensional), pois se admite que a força peso e a força de empuxo hidrostático têm o mesmo módulo, mesma direção, sentidos opostos e mesmo ponto de aplicação; • As forças exercidas pela correnteza são desprezíveis; • A velocidade na direção X1 é sempre maior ou igual a zero, ou seja, o movimento é sempre avante. • As massas adicionais são constantes e, portanto, independem das acelerações do veículo. 3 Tendo as hipóteses citadas em vista, as equações de movimento em relação ao referencial móvel são [1]: X = (m + m11 ) ⋅ (u& − v ⋅ r ) Y = (m + m 22 ) ⋅ (v& + u ⋅ r ) (1) N = ( I Z + m 66 ) ⋅ r& onde: • X e Y são, respectivamente, as forças resultantes atuantes nas direções X1 e Y1; • N é o momento resultante atuante em relação ao eixo O1Z1; • m é a massa do veículo; • m11 e m22 são as massas adicionais nas direções X1 e Y1, respectivamente; • IZ é o momento de inércia do veículo em relação ao eixo O1Z1; • m66 é o momento de inércia adicional em relação ao eixo O1Z1; • u, v e u& , v& são, respectivamente, as velocidades e acelerações lineares do veículo nos eixos O1X1 e O1Y1 (medidas a partir do referencial fixo ao submarino); • r e r& são, respectivamente, a velocidade e aceleração angular do veículo em relação ao eixo O1Z1 (medidas a partir do referencial fixo ao submarino). As forças (ou momentos) resultantes atuantes em cada um dos eixos têm a seguinte forma: F = −A + P onde: • A é a força (ou momento) devido ao amortecimento viscoso, que envolve um termo linear e outro quadrático da respectiva velocidade; • P é a força (ou momento) devido aos propulsores. 4 Logo: X = − AX + PX Y = − AY (2) N = − AN + PN Tendo em vista que o amortecimento viscoso pode ser modelado como sendo: A = c⋅a + d ⋅a⋅ a onde: • c e d são, respectivamente, os coeficientes de amortecimento linear e quadrático; • a é a velocidade do corpo (medida no referencial móvel) no eixo em que se averigua o amortecimento. Obtém-se: A X = c11 ⋅ u + d 11 ⋅ u ⋅ u AY = c 22 ⋅ v + d 22 ⋅ v ⋅ v (3) AN = c 66 ⋅ r + d 66 ⋅ r ⋅ r Levando em conta a arquitetura do submarino, as forças e momentos devido aos propulsores são: PX = F1 + F2 PN = d ⋅ ( F1 − F2 ) 2 (4) 5 (3) e (4) em (2) resulta, finalmente: X = −c11 ⋅ u − d 11 ⋅ u ⋅ u + F1 + F2 Y = −c 22 ⋅ v − d 22 ⋅ v ⋅ v N = −c 66 ⋅ r − d 66 ⋅ r ⋅ r + (5) d ⋅ ( F1 − F2 ) 2 Obtêm-se as equações finais, com (5) em (1): (m + m11 ) ⋅ (u& − vr ) = −c11 ⋅ u − d 11 ⋅ u ⋅ u + F1 + F2 ( m + m 22 ) ⋅ (v& + ur ) = −c 22 ⋅ v − d 22 ⋅ v ⋅ v ( I Z + m 66 ) ⋅ r& = −c 66 ⋅ r − d 66 ⋅ r ⋅ r + (6) d ⋅ ( F1 − F2 ) 2 Mudando o referencial para o referencial inercial através das Equações de Euler [2]: X& = u ⋅ cosψ − v ⋅ senψ Y& = u ⋅ senψ + v ⋅ cosψ (7) ψ& = r Nas equações (6), nota-se a presença de termos não lineares. Faz-se necessária, portanto, a linearização dos mesmos ao redor de um ponto de equilíbrio do sistema ( x , y , z ,...) , através da série de Taylor, desprezando os termos de segunda ordem [3]: f ( x, y, z ,...) = f ( x , y , z ,...) + ∂f ∂x ⋅ (x − x) + X ,Y , Z ,... ∂f ∂y ⋅ ( y − y) + X ,Y , Z ,... ∂f ∂z ⋅ (z − z)K X ,Y , Z ,... Nota-se que, para linearizar uma das equações, deve-se isolar a variável que representa a aceleração (u& , v&, r&) e linearizá-la em torno de um ponto de equilíbrio, uma vez que, neste ponto, as derivadas de u , v , r são nulas, o que torna f (u , v , r ) = 0 . Isolando as variáveis em questão, obtém-se: 6 u& = v& = [(−c11 ⋅ u − d 11 ⋅ u ⋅ u ) + ( F1 + F2 )] (m + m11 ) (−c 22 ⋅ v − d 22 ⋅ v ⋅ v ) (m + m 22 ) +v⋅r −u⋅r (8) ( F1 − F2 ) ⋅ d ⎤ ⎡ ( − c ⋅ r − d ⋅ r ⋅ r ) + 66 66 ⎢ ⎥ 2 ⎣ ⎦ r& = ( I Z + m66 ) Assim, adotando-se que u& , v&, r& são funções de u , v, r , F1 , F2 , e definindo δa = a − a , as equações de (8) ao serem linearizadas com o polinômio de Taylor de primeira ordem correspondente, resultam nas seguintes equações: u& = v& = r& = (−c11 − 2 ⋅ d 11 ⋅ u ) (m + m11 ) (−c 22 − 2 ⋅ d 22 ⋅ v ) (m + m 22 ) (−c 66 − 2 ⋅ d 66 ⋅ r ) ( I Z + m 66 ) ⋅ δu + r ⋅ δv + v ⋅ δr + 1 1 ⋅ δF1 + ⋅ δF2 (m + m11 ) (m + m11 ) ⋅ δv − r ⋅ δu − u ⋅ δr ⋅ δr + (9) d d ⋅ δF1 − ⋅ δF2 2 ⋅ ( I Z + m 66 ) 2 ⋅ ( I Z + m 66 ) Como x, y e ψ são posições, que, portanto, podem crescer quando o sistema se encontra em equilíbrio, as mesmas não devem ser linearizadas, & y& e ψ& . devendo ser obtidas através da integração de x, Da teoria de modelagem de sistemas lineares e controle, sabe-se que as equações de (9) devem ser escritas na forma x& = A ⋅ x + B ⋅ u (10) , y = C ⋅ x + D ⋅ u (11) o que resulta no sistema: ⎡− c11 − 2 ⋅ d11 ⋅ u ⎢ m + m11 ⎡u&⎤ ⎢ ⎢v&⎥ = ⎢ −r ⎢⎥ ⎢ ⎢⎣r&⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ r − c22 − 2 ⋅ d22 ⋅ v m + m22 0 ⎤ 1 1 ⎥ ⎡ ⎤ ⎥ ⎡δu⎤ ⎢ m + m ⎥ + m m 11 11 ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡F1 ⎤ (12) −u 0 0 ⎥ ⎢δv⎥ + ⎢ ⎥ ⎢F ⎥ d d ⎥ ⎢δr ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2⎦ − c66 − 2 ⋅ d66 ⋅ r ⎥ ⎣ ⎦ ⎢2 ⋅ (I + m ) − 2 ⋅ (I + m ) ⎥ Z Z 66 66 ⎦ ⎣ ⎥ IZ + m66 ⎦ v 7 Para a obtenção das posições x, y e ψ , pode-se integrar as equações obtidas em (8). Para que isso possa ser realizado numericamente no Scilab, implantou-se uma integração numérica da seguinte forma: ⎡ r( p ) + r( p +1) ⎤ ⎥ ⋅ t( p +1) − t( p ) 2 ⎣ ⎦ ψ ( p +1) = ψ ( p ) + ⎢ [ ] ⎡ψ ( p ) + ψ ( p +1) ⎤ ⎡ u( p ) + u( p +1) ⎤ ⎡ψ ( p ) + ψ ( p +1) ⎤ ⎡ v( p ) + v( p +1) ⎤ X ( p +1) = X ( p ) + cos⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⋅ t( p +1) − t( p ) − sen⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⋅ t( p +1) − t( p ) 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ψ ( p ) + ψ ( p +1) ⎤ ⎡ u( p ) + u( p +1) ⎤ ⎡ψ ( p ) + ψ ( p +1) ⎤ ⎡ v( p ) + v( p +1) ⎤ Y( p +1) = Y( p ) + sen⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⋅ t( p +1) − t( p ) + cos⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⋅ t( p +1) − t( p ) 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [ [ ] ] [ [ ] (13) ] Com isso, todo o modelo matemático linearizado encontra-se completo, restando apenas escrever as equações obtidas no Scilab para o início das simulações. A resolução do mesmo problema de forma não linear pode ser feita no Scilab diretamente a partir das equações (8) através da implementação do método iterativo de Runge-Kutta de 4ª ordem. O Anexo B contém o código fonte de um programa computacional desenvolvido para o Scilab (submarino.sce) que permite a realização de simulações lineares e não-lineares do submersível em questão a partir de entradas e condições iniciais conhecidas. 4. Funções de Transferência do Sistema A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é a razão entre as transformadas de Laplace da saída (função resposta) e a transformada de Laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais. É importante ressaltar que a função de transferência é uma expressão que relaciona a saída à entrada de um sistema linear invariável no tempo em termos dos parâmetros do sistema [3]. Uma função de transferência é capaz de relacionar uma única saída do sistema a uma única entrada do mesmo, sendo, portanto, ideal para sistemas SISO (“Single Input – Single Output”). No entanto, para sistemas SIMO (“Single Input – Multiple Output”), MISO (“Multiple Input – Single Output”) e MIMO 8 (“Multiple Input – Multiple Output”) são necessárias várias funções de transferência. No caso do submarino em estudo, tem-se 3 saídas (velocidades u, v e r medidas em relação ao referencial móvel) e 2 entradas (forças propulsoras F1 e F2), o que caracteriza um sistema MIMO. Pode-se representar o sistema como mostrado na Figura 3 abaixo: Figura 3: Representação do sistema. Serão necessárias 6 funções de transferência (Gij), que irão compor a matriz das funções de transferência H(s). Uma vez que o sistema tem 2 entradas e 3 saídas, pode-se representá-lo na forma matricial, que é como o Scilab interpreta os dados, da seguinte forma: ⎡u ⎤ ⎡G11 ⎢ v ⎥ = ⎢G ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢⎣G31 G12 ⎤ ⎡F ⎤ G22 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 1 ⎥ F G32 ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦ Utilizando o comando “ss2tf” do Scilab, pode-se obter as 6 relações necessárias para caracterizar a dinâmica do submersível: ⎡ − 5,226 ⋅ 10 −17 + 3,453 ⋅ 10 −3 ⋅ s ⎢ 0,309 + s ⎡u ⎤ ⎢ − 1,197 ⋅ 10 −3 ⋅ s ⎢v ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 0,137 + 0,765 ⋅ s + s 2 ⎢⎣ r ⎥⎦ ⎢ −17 −3 ⎢ − 9,454 ⋅ 10 + 7,982 ⋅ 10 ⋅ s ⎢⎣ 0,476 + s − 5,226 ⋅ 10 −17 + 3,453 ⋅ 10 −3 ⋅ s ⎤ ⎥ 0,309 + s ⎥ − 1,603 ⋅ 10 −17 + 1,197 ⋅ 10 −3 ⋅ s ⎥ ⎡ F1 ⎤ ⋅ ⎥ ⎢⎣ F2 ⎥⎦ 0,137 + 0,765 ⋅ s + s 2 ⎥ − 8,934 ⋅ 10 −17 − 7,982 ⋅ 10 −3 ⋅ s ⎥ ⎥⎦ 0,476 + s 9 5. Determinação dos Pólos do Sistema Pólos são pontos singulares das funções de transferência em que elas se aproximam do infinito. Matematicamente, podem ser definidos como as raízes dos denominadores das funções de transferência. Os pólos são entidades importantíssimas para a verificação da estabilidade (ou instabilidade) de um sistema dinâmico [3]. Conhecidas as funções de transferência do sistema, calcula-se facilmente seus respectivos pólos: Do denominador de G11 tem-se: s1 = −0,309 . Do denominador de G21 tem-se: s 2 = −0,286 e s 3 = −0,476 Do denominador de G31 tem-se: s 4 = s3 = −0,476 6. Análise de Estabilidade do Sistema Uma das características mais importantes do comportamento dinâmico de um sistema é sua estabilidade absoluta, isto é, se o sistema é estável ou instável. Um sistema está em equilíbrio se, caso não atue nenhuma perturbação ou entrada sobre ele, sua saída permaneça no mesmo estado. Um sistema linear e invariante no tempo é estável se sua saída volta ao seu estado de equilíbrio quando o sistema é sujeito a uma perturbação. Caso a saída deste sistema apresente uma oscilação que continua indefinidamente ou que divirja sem limite a partir de seu estado de equilíbrio, pode-se dizer que o sistema é instável [3]. A estabilidade de um sistema está diretamente ligada à posição de seus pólos no plano complexo. Em um sistema estável (amortecido), todos os pólos possuem parte real negativa, ou seja, seus pólos situam-se no semi-plano esquerdo. Para que um sistema seja instável, basta que um de seus pólos tenha parte real positiva, ou seja, que um dos pólos encontre-se posicionado no semi-plano direito. Caso todos os pólos do sistema apresentem parte real nula, ele pode ser chamado de sistema não amortecido [4]. A explicação matemática para a classificação exposta acima pode ser facilitada observando-se a resposta no domínio do tempo de um sistema 10 submetido a uma entrada conhecida. Essa resposta pode ser escrita de maneira genérica como: n m i =1 j =1 ( x(t ) = ∑ α i ⋅ e ai ⋅t + ∑ β j ⋅ e b j ⋅t ⋅ sen(ω ⋅ t ) + γ j ⋅ e b j ⋅t ⋅ cos(ω ⋅ t ) ) onde α i , β j , γ j são coeficientes constantes ai são os pólos reais bi são partes reais dos pólos complexos Percebe-se que para que a resposta a uma excitação conhecida tenda a um valor constante, caracterizando um sistema estável, é necessário que as partes reais dos pólos do sistema sejam negativas, já que isso torna as exponenciais temporais da resposta decrescentes [4]. Para o sistema em questão, pode-se plotar no Scilab através do comando “plzr” o seguinte gráfico de pólos e zeros: Figura 4: Pólos e Zeros do sistema. 11 Nota-se que todos os pólos do sistema apresentam parte real negativa, o que demonstra sua estabilidade. É fácil perceber que, para um sistema estável, quanto mais longe o pólo estiver do eixo imaginário, mais rapidamente o sistema tende para o equilíbrio (já que as exponenciais da resposta possuem expoentes cada vez mais negativos). No entanto, percebe-se na prática que a dinâmica do sistema é ditada pelos pólos mais próximos do eixo imaginário, ou seja, pelas respostas mais lentas [4]. 7. Simulações Para uma melhor compreensão do estudo do VSNT é necessário plotar gráficos que ilustrem bem as respostas do submarino para algumas entradas (forças dos propulsores). Com o uso do programa que se encontra no Anexo B foram plotados os gráficos de uma entrada senoidal, degrau e rampa. Para estas simulações o ponto de equilíbrio escolhido foi o de ueq=0,15 m/s, veq=0 e req=0. Também foram plotados gráficos com entradas de naturezas diferentes nos propulsores, isto é, considera-se uma entrada do tipo rampa em um propulsor, e uma entrada degrau no outro propulsor. Para estas simulações o ponto de equilíbrio escolhido também foi o de ueq=0,15 m/s, veq=0 e req=0. 12 Entrada Degrau: Para a entrada degrau, foram consideras forças iguais em ambos os propulsores, com magnitude de 5 N. Obtivemos os seguintes gráficos: Figura 5: Posição x em função do tempo. Figura 6: Posição y em função do tempo. 13 Figura 7: Ângulo ψ em função do tempo. Figura 8: u em função do tempo. Observa-se que, para a curva da velocidade linear, devido à linearização, u 0 = 0,15 m s (velocidade inicial), enquanto que, na curva da velocidade não-linear u 0 = 0 , que é o que de fato acontece. 14 Figura 9: v em função do tempo. Figura 10: velocidade angular r em função do tempo. Nota-se que, sendo as forças em ambos os propulsores iguais, a velocidade v é sempre nula, portanto, r é também nulo ao longo do tempo. Consequentemente, o deslocamento em y é nulo, bem como psi. 15 Figura 11: Aceleração u& em função do tempo. Figura 12: Aceleração v& em função do tempo. 16 Figura 13: Aceleração angular r& em função do tempo. Deve-se observar que, como conseqüência das velocidades v e r iguais a zero ao longo do tempo, têm-se as acelerações v& e r& também iguais a zero. O gráfico da Figura 14 nos permite analisar a trajetória do VSNT no plano Oxy. Figura 14: Trajetória do submarino no plano Oxy. 17 Entrada rampa: A entrada rampa consiste em um aumento linear da força até, neste caso, 5 N. Em ambos os motores a força aplicada é igual, o que resulta em y, ψ , v, r, v& e r& constantes e iguais a zero ao longo do tempo. Os respectivos gráficos não foram plotados uma vez que são iguais aos gráficos das Figuras 6, 7, 9, 10, 12 e 13 respectivamente. A trajetória do submarino para uma entrada rampa é semelhante ao obtido com uma entrada degrau, uma vez que, estando ambos os propulsores ligados, o submarino anda em linha reta, sempre na direção x. O gráfico da trajetória para entrada rampa não foi plotado pois é igual ao gráfico da Figura 14. Figura 15: deslocamento x em função do tempo para entrada rampa. 18 Figura 16: velocidade u em função do tempo para entrada rampa. Figura 17: aceleração u& em função do tempo para entrada rampa. 19 Entrada Senoidal: Para a entrada senoidal, foi aplicada uma força constante nos propulsores de 5 N somada a uma força senoidal. Portanto a força nos propulsores varia entre 4 e 6 N. Mais uma vez, sendo as forças nos propulsores iguais, é necessário somente plotar os gráficos do deslocamento em x, velocidade u e aceleração u& . A trajetória também se assemelha à mostrada no gráfico da Figura 14. Figura 18: Deslocamento x em função do tempo para entrada senoidal. 20 Figura 19: Velocidade u em função do tempo para entrada senoidal. Figura 20: Aceleração u& em função do tempo para entrada senoidal. 21 Entrada Degrau com forças diferentes nos propulsores: Resposta do submarino a uma força de 5 N e 3N aplicadas nos propulsores 1 e 2 respectivamente. Figura 21: Deslocamento em x em função do tempo para forças de 5 N e 3 N nos propulsores. Figura 22: Deslocamento em y em função do tempo para forças diferentes nos propulsores. 22 Figura 23: ψ em função do tempo. Figura 24: Velocidade u em função do tempo. 23 Figura 25: Velocidade v em função do tempo para forças diferentes nos propulsores. Figura 26: Velocidade angular r para os propulsores de 5 N e 3 N em função do tempo. 24 Figura 27: Aceleração u& em função do tempo. Figura 28: Aceleração v& em função do tempo. 25 Figura 29: Aceleração angular r& para propulsores com forças diferentes. Figura 30: Trajetória no plano Oxy em função do tempo para o submarino com forças nos propulsores 1 e 2 de 5 N e 3 N respectivamente. No gráfico da Figura 30 fica explícito que o submarino fará uma curva quando sujeito a diferentes forças em seus propulsores. 26 Entradas de naturezas distintas nos propulsores: Neste caso particular, no propulsor 1 atua uma entrada do tipo rampa com intensidade máxima de 5 N, enquanto no propulsor 2 tem-se uma entrada degrau com intensidade constante de 3,5 N. Nota-se, que num primeiro instante o propulsor 2 possui uma força de maior intensidade, e, a partir de um dado momento, a situação se inverte, admitindo no propulsor 1 força maior. Essa entrada faz com que a trajetória do VSNT seja primeiramente uma curva para a esquerda e, em seguida, faça uma curva para a direita (Gráfico 37). Todas essas análises podem ser extraídas dos gráficos a seguir: Figura 31: Deslocamento de x em função do tempo para entradas de natureza distintas. 27 Figura 32: Deslocamento y em função do tempo. Figura 33: Ângulo ψ em função do tempo. 28 Figura 34: Velocidade u em função do tempo para entradas distintas. Figura 35: Velocidade v em função do tempo. 29 Figura 36: Velocidade r em função do tempo. Figura 37: Aceleração u& em função do tempo para entradas diferentes. 30 Figura 38: Aceleração v& em função do tempo. Figura 39: Aceleração angular r& em função do tempo para entradas de naturezas distintas. 31 Figura 40: Trajetória no plano Oxy para o VSNT submetido a entradas distintas. 32 8. Conclusão Após simular diversas entradas diferentes nos modelos desenvolvidos, pode-se observar nos gráficos acima que os modelos (linear e não linear), independentemente da entrada, são coerentes entre si. As diferenças apresentadas são devidas às aproximações da linearização e problemas causados pela escolha do ponto de equilíbrio. Um exemplo disso é o gráfico 5, onde se verifica facilmente que a velocidade u do modelo linear tem velocidade inicial u 0 = 0.15 m s , enquanto que a velocidade do modelo não linear começa do zero. Portanto, esse tipo de erro, mostra que uma abordagem linear pode muitas vezes facilitar a análise do sistema, já que seu comportamento se assemelha ao modelo não linear (mais correto), mas deve ser aplicado com cautela, já que possui imprecisões inerentes em seus resultados. Analisando os resultados obtidos, cabe aqui algumas sugestões de melhoria dos modelos desenvolvidos: • Diminuir o número de simplificações tais como, considerar movimentos verticais, movimentos de rotação nos outros eixos, etc.; • Considerar efeitos da correnteza; • Considerar efeitos de lastro; • Modelo linear: o Uma melhor escolha do ponto de equilíbrio (através de um método iterativo computacional). 33 o 9. Referências Bibliográficas • • • • [1] SORANI, L. A., 2003, “Estudo da Dinâmica e Controle de um Submersível não Tripulado para Uso no Ambiente Fluvial”, Dissertação de Mestrado apresentada à Escola Politécnica, São Paulo. [2] FOSSEN, T. I., 1994, “Guidance and Control of Ocean Vehicles”, John Wiley & Sons, Chichester. [3] OGATA, K., 1982, “Engenharia de Controle Moderno” – 8ª edição, Prentice Hall do Brasil, Rio de Janeiro. [4] FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; NAEINI, A. E.; “Feedback Control of Dynamic Systems”, Addison-Wesley, Massachusetts. 34 Anexo A – Parâmetros Principais do submersível VSNT Jaú I Dados Módulo Unidade Comprimento 1,315 m Largura 0,406 m Altura 1,335 M Massa (m) 164,14 kg Momento de Inércia (Iz) 10,64 kg.m2 Sentido Longitudinal (m11) 125,47 kg Sentido Transversal (m22) 106,25 kg Sentido Rotacional (m66) 5,96 kg.m2 Sentido Longitudinal (c11) 39,63 kg/s Sentido Transversal (c22) 78,07 kg/s Sentido Rotacional (c66) 7,906 kg.m2/s Sentido Longitudinal (d11) 165,87 kg/m Sentido Transversal (d22) 936,69 kg/m Sentido Rotacional (d66) 83,20 kg/m2 Número de Hélices 2 - Configuração Longitudinal - Dimensões Principais Inércia Massas Adicionais Amortecimentos Viscosos Lineares Quadráticos Propulsão Distância entre Propulsores (d) 0,265 m Velocidade Máxima 0,30 m/s Velocidade Média 0,15 m/s 35 Anexo B – Código-fonte do Arquivo submarino.sce t=0:0.05:30; F1=3*ones(t); F2=5*ones(t); uzero=0; vzero=0; rzero=0; m=164.14; iz=10.64; m11=125.47; m22=106.25; m66=5.96; c11=39.63; c22=78.07; c66=7.906; d11=165.87; d22=936.69; d66=83.2; d=0.265; mx=m+m11; my=m+m22; izn=iz+m66; ub=0.15; vb=0; rb=0; f1b=(c11*ub+d11*ub*abs(ub))/2; f2b=(c11*ub+d11*ub*abs(ub))/2; mF1=f1b*ones(t); mF2=f2b*ones(t); dF1=F1-mF1; dF2=F2-mF2; A=[(-c11-2*d11*abs(ub))/mx rb vb;-rb (-c22-2*d22*abs(vb))/my -ub;0 0 (-c66-d66*abs(rb))/izn]; B=[1/mx 1/mx;0 0;d/(izn*2) -d/(izn*2)]; C=A; D=B; xo=[uzero;vzero;rzero]; sub=syslin('c',A,B,C,D,xo); u=[dF1;dF2]; [Xace,Xvel]=csim(u,t,sub); mu=ub*ones(t); mv=vb*ones(t); mr=rb*ones(t); Xcorr=[mu;mv;mr]; Xvel=Xvel+Xcorr; G=ss2tf(sub); Xpos(1,1)=0; Xpos(2,1)=0; Xpos(3,1)=0; 36 p=1; n=length(t); h=t(2)-t(1); while p