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1a Semana da Engenharia Elétrica Universidade Federal do Ceará Campus Sobral
Matlab Básico para Engenharia
Matlab Básico para Engenharia ●
Matlab é uma linguagem técnica de alta performance que integra computação, visualização e programação em um ambiente amigável no qual problemas e soluções são expressas de uma forma matematicamente familiar
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Aplicações tipicas: – – – – – –
Computação Matemática Desenvolvimento de algorítimos Modelagem, simulação e prototipagem Analise de dados, exploração e visualização Aplicação gráficas Científicas e de Engenharia Desenvolvimento de aplicações
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Matlab vem de “Matrix Laboratory” Cujo intuito original era prover acesso a softwares matriciais desenvolvidos pelos projetos LINPACK e EISPACK Sua primeira versão foi escrita por um analista numérico chamado Cleve Moler na década de 70.
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Evoluiu para um sistema interativo cujo elemento básico de dado trata-se de matrizes que não requerem dimensionamento Com o passar dos anos transformou-se na ferramenta padrão para ensino e pesquisa básica e/ou avançada na matemática, engenharia, ciências aplicadas etc. Na industria fornece uma opção de ferramenta para análise pesquisa e desenvolvimento de alta qualidade.
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Outra grande vantagem do Matlab da qual deve-se grande parte do seu sucesso são os chamados toolboxes. Tratam-se de uma série de aplicações/soluções específicas implementadas através de funções (M-files) que expandem o ambiente do Matlab para solucionar problemas específicos nas mais diversas áreas. Processamento de Sinais, Sistemas de Controle, Redes Neurais, Lógica Fuzzy, Wavelets, etc...
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O sistema Matlab consiste em cinco partes principais: – – – – –
Ambiente de Desenvolvimento Biblioteca de Funções Matemáticas Linguagem de Programação Tratamento Gráfico Aplication Program Interface (API)
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Ambiente de desenvolvimento –
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Conjunto de ferramentas e “instalações” que visão auxiliar o uso das funções e arquivos do Matlab. Inclui itens como, Desktop do Matlab, Janela de Comando, Histórico de Comando, browsers para ajuda, Workspace, busca de caminhos, etc...
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Biblioteca de funções matemáticas: –
Uma vasta coleção de algorítimos computacionais que vão desde funções elementares como soma, senos ,cosenos, aritmética complexa etc. Até funções mais sofisticadas como inversão de matrizes, autovalores , funções de Bessel, transformada rápida de Fourier etc.
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Linguagem de programação: –
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Linguagem de programação de alto nível baseada em matrizes/vetores com diretrizes de controle de fluxo, funções, estrutura de dados, entradas/saídas, propriedades de orientação a objeto etc... Permitem programação tanto de pequenas aplicações, códigos curtos e rápidos para solucionar demandas simples, quanto a criação de algorítimos extensos e complexos
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Tratamento Gráfico: –
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Sistema gráfico do Matlab que inclui comandos de alto nível para visualização de dados de foram bidimensional e tridimensional. Possui também processamento de imagens, aprestação gráfica e animação. Inclui ainda comandos de “baixo nível” para customizar a aparência dos gráficos bem como construir uma interface gráfica de interação com o usuário completa em suas aplicações no Matlab.
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Aplication Program Interface (API): –
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Biblioteca particular que permite que programas escritos em C e em Fortran interajam diretamente com o Matlab. Inclui dispositivos para chamada de rotinas do Matlab (dynamic Linking), uso do Matlab como “engine computacional”, leitura e escrita em arquivos-MAT, etc.
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Simulink: – – – –
Software a parte do Matlab para modelagem simulação e analise de sistemas dinâmicos. Permite a proposição a análise de a simulação de um sistema qualquer. Permite a montagens de modelos desde sua base até a modificação de modelos existentes. Suporta Sistemas Lineares e não lineares, contínuos e discretos no tempo, etc.
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Simulink:
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Inicializando o Matlab:
Matlab Básico para Engenharia Matlab Desktop
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Janela de Comando
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Histórico de Comandos
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Diretório Atual
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Workspace
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Editor Debugger
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Editor Debugger
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START
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Menu File => Preferences
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Função help –
Indica os tópicos de ajuda disponíveis no Matlab
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Para visualizarmos os tópicos de forma compassada utilizamos o comando: – –
>> more on >> help
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Para especificarmos a ajuda que necessitamos especificamos o comando –
>> help sum ou >> help ops
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Operações Básicas
Os operados básicos no matlab são + - * / ^ Os mesmos devem ser utilizados em conjunto com () Ex: – –
significa 2 + 3/(4*5) ou 2 + (3/4)*5?
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O Matlab atua de acordo com as seguinte prioridades: Quantidades contidas nos parêntesis () Potenciações: 2 + 3^2 = 2 + 9 * e / da esquerda para direita: 3*4/5 = 12/5 + e - da esquerda para direita: 3 + 4 - 5 = 7-5 – – –
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Desta forma o exemplo anterior seria: –
2 + (3/5)*5
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Para associar valores a variáveis simplesmente utilizamos o operador = no prompt de comando –
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EX:
Podemos permitir ou não a vizualização do comando anterior com o operador ; –
EX
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Realizem o exemplo: –
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Z =Z Z 1 2
Em cada caso ache o valor da expressão no Matlab e explique o porque do resultado em cada caso:
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Números e Formatos –
O matlab é capaz de reconhecer diversos tipos de números:
Obtenha números de todos estes tipos em variáveis distintas:
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No Matlab a notação e pode ser uilizada para representar expoentes na base 10.
Todos os cálculos executados pelo Matlab são feitos em precisão dupla, ou seja, 15 algarismos significativos.
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A formatação de como o matlab apresenta estes números pode ser controlada pelo comando “format”
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Format
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Format
OBS: devemos chamar atenção para o fato de que o comando format modifica apenas a forma de como o número é apresentado e não seu valor ou forma de cálculo.
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Format –
Para verificarmos qual o “tipo de format” que está atualmente em uso utilizamos o comando
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Nomes para variáveis –
O Matlab Permite qualquer combinação entre letras e dígitos começadas por letras
–
Permitido
–
Não Permitido
–
Case Sensitive
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Nomes para variáveis –
Alguns nomes especiais devem ser evitados
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Outras funções Elementares importantes: Trigonométricas: sin, cos, tan >> help sin –
–
Notemos que os argumentos das funções trigonométricas devem ser expressos em radianos
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Outras funções Elementares importantes: – – – –
Sqrt : Raiz quadrada Exp : Log: inverso da função exponencial (exp(x)), Log10: logarítimo na base 10
–
Identifique as operações
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Matrizes e Vetores –
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Vetores podem ser do tipo lina ou coluna
Vetores Linhas – – – –
Separar os elementos de uma linha por espaços em branco ou virgulas Delimitar a lista de elementos da matriz por [] O número de elementos é conhecido pelo comando Devemos proceder com cautela quanto a utilização dos espaços para a definição de vetores
Matlab Básico para Engenharia Vetores Linhas –
Para vetores do mesmo tamanho podemos realizar certas operações aritméticas
Matlab Básico para Engenharia Vetores Linhas –
Podemos ainda criar vetores a partir de vetores pré-existentes
–
Por fim podemos manipular elementos em particular definindo sua posição no vetor utilizando o ()
Matlab Básico para Engenharia Vetores Colunas – – –
Construção similar aos vetores linhas; Separação dos elementos realizada por ; ou “novas linhas” Ex:
Matlab Básico para Engenharia Vetores Colunas –
–
Operações aritméticas também podem ser realizadas respeitando os precedentes matemáticos EX:
Matlab Básico para Engenharia Transposição – – –
Podemos converter um vetor linha em um vetor coluna através do processo de transposição. No Matlab este processo é denotado pelo operador ' Ex
Matlab Básico para Engenharia Operador Transposto –
–
O operador de transposição pode ser utilizado em conjunto com sentenças matemáticas de forma livre Ex:
Matlab Básico para Engenharia Operador Transposto – –
–
Existe ainda uma outra funcionalidade para o operador ' Quando trabalhamos com números complexos o operador ' representa o conjugado complexo de um número Ex:
Matlab Básico para Engenharia Operador Transposto – –
Verifique o que acontece quando temos
Matlab Básico para Engenharia Operador Transposto –
Para obtermos apenas o correspondente transposto de um vetor formado por números complexo utilizamos:
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Matrizes e Vetores
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Matrizes e Vetores –
Podemos entrar com matrizes de várias formas: ● ● ● ●
–
Digitar explicitamente os elementos Carregar matrizes por um arquivo externo Gerar matrizes através de funções pé-estabelecidas Gerar matrizes através de uma função própria criada (M-file)
Para digitarmos os elementos em forma de lista devemos seguir o procedimento: ●
● ●
Separar os elementos de uma linha por espaços em branco ou virgulas Usar o ; para indicar o fim de uma linha Delimitar a lista de elementos da matriz por []
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Matrizes e Vetores –
Desta forma o Matlab retornará a seguinte resposta
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Matrizes e Vetores –
– –
–
Os Elementos específicos de uma matriz podem ser manipulados e acessados através da notação A(i,j). T al notação especifica o elemento contido na linha i e coluna j da matriz A Ex:O Comando abaixo representa a soma de todos os elementos da coluna 4 da matriz A EX: Somar todas as linha e as colunas de A
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Matrizes e Vetores –
– – –
Existe ainda uma outra forma de acessar elementos específicos de uma matriz utilizando apenas um único operando. Podemos considerar a matriz como um único vetor linha ou coluna. Desta forma ao utilizarmos A(8) estamos nos referindo ao valor armazenado em A(4,2)
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Matrizes e Vetores –
Se buscarmos uma posição fora das dimensões da matriz especificada teremos o seguinte erro
– –
–
No entanto se atribuirmos um valor a uma posição anteriormente inexistente a característica dinâmica das matrizes no Matlab modificará a matriz para acomodar a nova entrada
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O operador “:” – –
–
Um dos operadores mais importantes ao trabalharmos com vetores e matrizes Em sua forma mais simples é utilizado para criar um vetor de passo unitário delimitados pelo menor e maior elemento ex:
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O operador “:” –
–
Configurado na forma x:y temos que o segundo elemento deve ser maior que o primeiro pois o comando busca alcançar y através do incremento de x. Se utilizarmos por exemplo K=100:4 teremos como resultado a criação de uma matriz K no workspace no entanto tal matriz é considerada “vazia”
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O operador “:” – –
Podemos também utilizar o operador : da forma a:b:c Temos assim um vetor que vai de a até b através do incremento c
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O operador “:” – – –
O operador : é ainda utilizado para indicar porções de uma matriz O comando A(1:k,j) se refere ao k primeiros elementos da coluna j da matriz A Ex: Outra forma de obtermos a soma de uma coluna da matriz A
Temos a soma dos elementos da coluna 4
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O operador “:”
–
Quando utilizado de forma isolada o operador : se refere a todos os elementos de uma determinada linha ou coluna. Poemos ainda utilizar o operador “end” que representa o ultimo elemento de um vetor. Ex:
–
Descreva o resultado do comando
–
–
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O operador “:” – –
Podemos também utilizar o operador : da forma a:b:c Temos assim um vetor que vai de a até b através do incremento c
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Operações Matriciais –
Cinco matrizes básicas para uso no Matlab ● ● ● ●
●
–
Zeros: Matrizes formadas apenas de zeros Ones: Matrizes formadas apenas por 1´s Eye: Matriz identidade Rand: matriz composta de forma randômica uniformemente distribuída Randn: matriz composta de forma randômica com distribuição normal
Ex:
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Operações Matriciais –
Cinco matrizes básicas para uso no Matlab ● ● ● ●
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–
Zeros: Matrizes formadas apenas de zeros Ones: Matrizes formadas apenas por 1´s Eye: Matriz identidade Rand: matriz composta de forma randômica uniformemente distribuída Randn: matriz composta de forma randômica com distribuição normal
Ex:
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Operações Matriciais –
Cinco matrizes básicas para uso no Matlab ● ● ● ●
●
–
Zeros: Matrizes formadas apenas de zeros Ones: Matrizes formadas apenas por 1´s Eye: Matriz identidade Rand: matriz composta de forma randômica uniformemente distribuída Randn: matriz composta de forma randômica com distribuição normal
Ex:
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Operações Matriciais –
Cinco matrizes básicas para uso no Matlab ● ● ● ●
●
–
Zeros: Matrizes formadas apenas de zeros Ones: Matrizes formadas apenas por 1´s Eye: Matriz identidade Rand: matriz composta de forma randômica uniformemente distribuída Randn: matriz composta de forma randômica com distribuição normal
Ex:
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Operações Matriciais –
Cinco matrizes básicas para uso no Matlab ● ● ● ●
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–
Zeros: Matrizes formadas apenas de zeros Ones: Matrizes formadas apenas por 1´s Eye: Matriz identidade Rand: matriz composta de forma randômica uniformemente distribuída Randn: matriz composta de forma randômica com distribuição normal
Ex:
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Operações Matriciais –
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Outra forma de carregar uma matriz é através de um arquivo externo contendo dados no formato numérico. Crie um arquivo de texto no notepad com o seguinte conteúdo
Salve o arquivo como matriz.dat no atual diretório corrente do matlab.
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Operações Matriciais –
Utilizando o Comando load podemos carregar eta matriz montada através de uma outra fonte ou em ma sessão anterior do Matlab.
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Operações Matriciais –
Quando o arquivo não está no formato suportado pelo Matlab (.DAT ou .MAT) utilizamos o menu FILE=>Import Data... para adequarmos os dados para o uso no Matlab
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Operações Matriciais –
Import Data...
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Operações Matriciais –
Concatenação ●
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Trata-se do processo de formar matrizes maiores a partir de matrizes menores já existentes. Para isto utilizamo o operador matricial [] juntamente com as matrizes já declaradas
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Operações Matriciais –
Deletando linhas e colunas ●
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Utilizamos ainda o operador matricial [] da seguinte forma quando desejamos eliminar linhas ou colunas de matrizes: X(:,2)=[] deleta a segunda coluna da matriz X
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Operações Matriciais –
Se tentarmos deletar um único elemento de uma matriz o resultado não mais seria uma matriz e desta forma o matlab responderia da seguinte forma:
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Operações Matriciais –
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No enanto se utilizarmos a especificação única para elementos de uma matriz podemos deletar apena um único elemento e o conjunto de dados resultantes toma a forma de um vetor
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Operações Matriciais –
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Uma vez familiarizado com o comando sum e o operador transposto ' apresentaremos outros importantes resultados com matrizes:
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Operações Matriciais –
O comando diag(A) oferece a diagonal principal de A Ex: soma dos elementos da diagonal principal
–
Qual o resultado do comando
–
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Operações Matriciais – –
Matriz simétrica A +A' ou A * A'
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Operações Matriciais –
Determinante de uma matriz: det(A)
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Operações Matriciais –
Inversa de uma Matriz: inv(A)
–
Como a matriz A possui determinante 0 (singular) a mesma não possui inversa. O matlab avisa desta condição com um “warning” antes do resultado
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Operações Matriciais –
Autovalores: eig(A)
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Operações Matriciais –
Posto de A: rank(A)
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Operações Matriciais –
Polinômio Característico de A : Poly(A)
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Matrizes esparsas –
Necessitamos de 3 vetores. Os dois primeiros indicam a localização dos elementos diferentes de zero e o ultimo indica o valor destes elemetos
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Operadores por elementos “.” –
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Operadores por elementos “.” –
Ex
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Comando find –
Retorna uma lista de posições (indices) de elementos de um vetor ou uma matriz que satisfazem determinada condição
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Editor/Debugger – –
Menu Desktop=>Editor Menu File=>New=>M-File
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Editor/Debugger – – –
Utilizado para executar uma seqüência de comandos pré-determinada Diversas opções para execução dos comandos Opção para seleção de breakpoints
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Editor/Debugger –
Uma vez Iniciado o processo de Debug podemos acessar os valores das variáveis já calculadas.
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Editor/Debugger –
Podemos adicionar comentários através do caractere % ou através do atalho CRTL+R
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Editor/Debugger – –
Utilize o editor para solucionar o seguinte problema: Crie uma tabela para armazenar em colunas distintas os valores das funções sen(x2) cos(x2) e tan(x2) onde este ultimo valor é calculado a partir dos resultados das funções anteriores.
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Controle de Fluxo –
Rotina utilizadas para criar laços de repetição ou tomar decisões ● ● ● ● ●
IF SWITCH FOR WHILE BREAK
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Controle de Fluxo –
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IF: Avalia alógica de uma expressão e executa um grupo de instruções quando a lógica é verdadeira As opções ELSEIF e ELSE fornecem a opção para execução de grupos alternativos de instruções.
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Controle de Fluxo –
Expressões lógicas
–
Ex:
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Controle de Fluxo –
Expressões lógicas ●
–
Quando utilizamos matrizes ou vetores os testes são realizados em cada elemento
Ex:
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Controle de Fluxo –
Expressões lógicas ●
Podemos ainda combinar expressões lógicas da seguinte forma:
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Controle de Fluxo –
IF
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Controle de Fluxo –
–
Switch e Case: Executa um conjunto de instruções base ado no valor de uma variável ou expressão. Os comandos case ou otherwise delimitam os conjuntos de instruções
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Controle de Fluxo – –
Switch e Case Utilize o switch para reproduzir o algorítimo executado com o comando IF
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Controle de Fluxo –
Observamos desta forma uma peculiaridade no comando Switch. Ao contrário de seu equivalente em C o comando não continua executando até a possibilidade final. Desta forma se o primeiro caso é verdadeiro as outras condições não são executadas mesmo sem a presença do comando break
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Controle de Fluxo –
For: Repete um grupo de comandos delimitados pelo “end” por um número determinado de vezes.
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Controle de Fluxo –
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While: Utilizado quando queremos repetir uma série de comandos até que uma condição seja satisfeita, no entanto não podemos dizer de forma antecipada quantas iterações são necessárias. Ex: qual o maior valor de n que pode ser utilizado na soma para obtermos um resultado menor que 100?
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Controle de Fluxo –
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While: Utilizado quando queremos repetir uma série de comandos até que uma condição seja satisfeita, no entanto não podemos dizer de forma antecipada quantas iterações são necessárias. Ex: qual o maior valor de n que pode ser utilizado na soma para obtermos um resultado menor que 100?
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Controle de Fluxo – –
Break: possibilita uma saída antecipada de um laço for ou while. Em laços concatenados o break possibilita a saída do laço mais interno.
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Funções M-file –
–
Utilizada quando desejamos preparar uma combinação de operações e ideais em um script que pode ser acessado posteriormente de forma rápida. Tomaremos como exemplo o seguinte problema: ●
Desejamos preparar uma função que calcula a área A de um triangulo cujo o comprimento dos lados é a, b e c.
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Funções M-file – –
–
Dois passos básicos são necessários para definirmos funções no matlab, O primeiro passo é definir um nome para a função, de forma que não tenhamos conflito com as funções já existentes no matlab. Para este exemplo usaremos o nome “area” desta forma devemos salvar suas definições no arquivo area.m
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Funções M-file –
Posteriormente a primeira linha do arquivo deve ser formatada da seguinte forma:
–
Em nosso exemplo temos como entradas as variáveis a, b e c representando o comprimento dos lados e como saída a área A
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Funções M-file – –
Finalmente implementamos o código que deve ser utilizado para implementar a função. No caso do exemplo temos:
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Funções M-file – –
Finalmente implementamos o código que deve ser utilizado para implementar a função. No caso do exemplo temos:
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Funções M-file –
Por fim podemos documentar através de comentários o arquivo de função de forma que o usuário tenha acesso ao comando ajuda
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Funções M-file –
Por fim podemos documentar através de comentários o arquivo de função de forma que o usuário tenha acesso ao comando ajuda
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Funções M-file – –
O exemplo anterior funciona apenas se a soma de qualquer dois lados não exceder o terceiro. Modifique a função para considerarmos esta condição.
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Eficiência de códigos – – – –
O matlab permite cronometrarmos secções de códigos através das funções “tic” e “toc” “tic” ativa o cronometro para CPU Enquanto o toc para o cronometro e retorna o valor de tempo decorrido. Ex
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Gráficos – –
O matlab possui uma extensa variedade para representar vetores e matrizes na forma gráfica. Veremos agora algumas das principais destas ferramentas
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Gráficos –
Plot ●
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●
Possui diferentes formas de uso dependendo da quantidade de seus argumentos de entrada. Em sua forma mais simples, dado um vetor y o comando “plot(y)” produz um gráfico dos elementos de y distribuídos de forma linear ao longo do x Ex: crie um veto Y aleatório de 10 posições de utilize o comando plot(Y)
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Gráficos –
Plot(Y)
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Gráficos –
Se utilizarmos 2 vetores x e y como entrada teremos como resultado um gráfico de x vs y ●
EX:
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Gráficos –
Podemos identificar os eixos presentes no gráfico bem como adicionar um título ao mesmo através dos comandos:
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Gráficos –
–
Múltiplos pares de dados z-y como argumentos de entrada produzem múltiplos gráficos em apenas uma chamada do “plot” EX:
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Gráficos –
–
É possível ainda especificarmos a cor e o estilo de marcador do gráfico utilizando o “plot” com a seguinte sintaxe EX:
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Gráficos –
–
Números Complexos: Ao trabalharmos com números complexos o comando plot necessita apenas de um argumento para entrada dos dos já que os mesmo já estão representados em suas partes reais e imaginárias EX:
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Gráficos –
Plot(Z):
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Gráficos –
–
Números Complexos: No entanto se utilizarmos o “plot” com mais de um argumento de entrada o Matlab irá ignorá a parte imaginária dos números na tentava de adequar o gráfico a apenas 2 dimensões: EX:
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Gráficos –
–
Números Complexos: No entanto se utilizarmos o “plot” com mais de um argumento de entrada o Matlab irá ignorá a parte imaginária dos números na tentava de adequar o gráfico a apenas 2 dimensões: EX:
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Gráficos –
–
Hold: O comando “plot” possui como modo de execução padrão de limpar a janela gráfica antes de adicionar um novo. No entanto este comportamento não nos permite executar comparação de gráficos se o mesmo forem criados em estágios diferentes do código. Desta forma o comando “hold on” sobrepor gráficos a partir de um determinado momento
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Gráficos –
EX:
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Gráficos –
– –
Subplot: A janela de gráficos do matlab pode ser dividida em uma matriz de mxn janelas menores nas quais cada uma pode conter um ou mais gráficos. As janelas são numeradas na forma de um vetor coluna iniciando da janela superior esquerda Comandos como “hold” ou “label” também são válidos nestes casos.
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Gráficos –
EX:
Especificamos que a janela grafica deve serdividida em uma matriz 2x2 onde selecionamos a subjanela 1 para conter os resultados do comando plot(x,y) ● Utilizamos agora os comandos “label” para identificarmos os eixos do grafico da primeira subjanela. ●
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Gráficos
EX: Proceda da forma anterior para completar as janelas livres com as funções COS(X), SEN(3X) e COS(3X). –
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Gráficos
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Gráficos
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Gráficos
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Gráficos 3D
Uma superfície é definida matematicamente como uma função de duas variáveis f x , y – Correspondendo a cada valor (x,y) computamos o valor funcional por z= f x , y – Desta forma para traçarmos a superfície devemos primeiramente decidir os limites de x e y – Se por exemplo tivermos 2≤x≤4 e 1≤ y≤3 obtemos como base o seguinte plano xy –
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Gráficos 3D –
–
Uma realizadas estas definições construímos uma superfície analisando o comportamento da função z= f x , y em cada ponto da “malha diferencial” construída z= f x , y No matlab estas operações são realizadas através dos comando “meshgrid” e “mesh” respectivamente
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Gráficos 3D – –
Tomaremos o seguinte exemplo: Construa a superfície definida pela função
Para os intervalos
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Gráficos 3D – –
Tomaremos o seguinte exemplo: Construa a superfície definida pela função
Para os intervalos –
1o Passo: Para construirmos a malha diferencial do plano XY criaremos dois vetores baseados nos intervalos que desejamos analisar e com o passo igual ao incremento diferencial em cada direção
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Gráficos 3D –
– –
2o Passo: Implementamos a função desejada nas matrizes criadas pelo comando “meshgrid”
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Gráficos 3D – –
3o Passo: Traçamos a superfície desejada através do comando “mesh”
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Gráficos 3D – –
EX
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Gráficos 3D – –
EX
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Gráficos 3D – –
EX
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Gráficos 3D – –
EX
