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MÉTODOS ENERGÉTICOS E ANÁLISE ESTRUTURAL
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FICHA CAIALOGRÁFICA
ELABORADA
PELA
BIBLIOTECA CENTRAL DA UNICAMP As72m
Assan, Aloisio Ernesto Métodos energéticos e análise estrutural J Aloisio Ernesto Assan. -- Campinas, SP : Editora da UNICAMP, 1996. (Coleção Livro-texto) L Teoria das estruturas. 2. Deformações e tensões. 3. Força (Mecânica). 4. Resistência de materiais. L Título. 20.CDD - 624.17 - 620.112 3 - 621.042 - 620.112
ISBN 85-268-0382-4
Índices para Catálogo Sistemático: 1. Teoria das estruturas 2. Deformações e tensões 3. Força (Mecânica) 4. Resistência de materiais
624.17 620.1123 621.042 620.112
Coleção Livro-texto Copyright © by Aloisio Ernesto Assan Coordenação Editorial Carmen Silvia P. Teixeira Produção Editorial Sandra Vieira Alves
Unlversldade
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Preparação de Originais Rosa Dalva V. do Nascimento Revisão Ivana de Albuquerque Mazetti , Katia de Almeida Rossini Armando Luiz Miatto Capa Claudio Roberto Martini
1996 Editora da Unicamp Caixa Postal 6074 Cidade Universitária - Barão Geraldo CEP 13083-970 - Campinas - SP - Brasil Te!.: (019) 239.8412 Fax: (019) 239.3157 r:
Sumário
Prefácio
Vll
1 Revisão 2
histórica
Energia de deformação 2.1 Cálculo com o:'>esforços internos
2.L 1 2.1.2
2.2 2.3
·7;
2.'1 2.5
4
Força normal . Momento ftetor .
Estado plano de tensões
L1.:3 Estado triplo de tensões Energia de deformação complementar Exercícios propostos
20 2.3 27 27 . .
Princípio do trabalho virtual ;1.1 Exercícios propostos Teor 4.1 4.2 4.3
11.4
4.5 5
13 1:3 LI 17 18
2.1.3 Força corta.nte . 2.1A Momento torçor Observações . Cálculo com as tensões e deformações 2.:3,1 Estado uriiaxial de tensão
2.3.2
3
9
41 47
em as de energia Teorema de Clapeyron Teorema de Maxwell Teorema de Betti ... Teoremas de Castigliano .... '. . . . . . . . . . . . . . . .. 4.4.1 Teorema del mínimo lauoro 4.4.2 Teorema de Mena.bréa ou princípio do trabalho mínimo de Menabréa ou segundo teorema de Castigliano 4.4.3 Teorema de Crotti-Engesser Exercícios propostos ., ... ,..
Métodos da energia potencial 5.1 Conceito de energia potencial '" ..... 5.2 Princípio da mínima energia potencial total
5.3
Método de Rayleigh-Ritz
5.4
Método de Galerkin
30 32 :34 37
'
.
51 51 53 54
59 60 62 63 79
83 83
84 84 , 1.01
.5.5 Exercícios propostos
. 106 v
VI
A Referências
109
B Estado triplo de tensões e deformações
111
C Integrais de produtos de duas funções
113
D Relações entre deformações e deslocamentos
115
E Torção livre de barras de eixo reto
117
Índice
123
;1'1I I 11
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J
I
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Prefácio
Este texto destina-se a alunos dos CUISOS de graduação em engenharia e àqueles que estejam iniciando-se na pós-graduação. Não se pretendeu escrever um trabalho original, mesmo porque tudo aqui contido encontra-se espalhado em vasta literatura, da qual alguns livros são citados no A pêndice A. Procurou-se reunir concisamente em um único volume as noções básicas da energia de deformação, os princípios e teoremas que empregam esses conceitos e os métodos aproximados deles derivados, dos quais emergiu o método dos elementos finitos. A linguagem empregada é simples e acessível a alunos que tenham conhe- . cimento elementar de mecânica das estruturas. A notação utilizada é a mesma vigente nos cursos de resistência dos materiais ela Faculdade ele Engenharia Civil da Unicarnp, que também é adotada em diversos livros didáticos. Embora os livros de resistência dos materiais nos capítulos referentes aos métodos energéticos apresentem os teoremas de energia com os nomes de Castigliano, Menabréa, Maxwell, Clapeyron e Betti, muitos outros contribuíram para que os conceitos: trabalho virtual, conservação de energia, mínimaenergia potencial etc., fossem corretamente enunciados, e suas aplicaçôes na solução de problemas relativos à engenharia estrutural fossem amplamente divulgadas. Uma revisão histórica é feita no primeiro capítulo deste texto sem pretender ser completa ou abrangente. O objetivo é apenas o de tentar dar uma visão cronológica de cada um daqueles conceitos e mostrar outros nomes ilustres além dos já divulgados nos livros didáticos - que participaram do desenvolvimento dessa área de estudos e são desconhecidos para a maioria dos leitores. Não há muitos trabalhos sobre a história da resistência dos materiais e/ou teoria da elasticidade, principalmente tratando dos princípios energéticos; as informações contidas no primeiro capítulo foram obtidas exclusivamente nos trabalhos relacionados no Apêndice A. Para. aqueles interessados em saber mais sobre o desenvolvimento histórico dos princípios e métodos energéticos, o autor indica os trabalhos de Oravas e McLean. No Capítulo 2 apresenta-se o conceito de energia de deformação e como é calculada: via esforços internos ou pelas tensões e deformações para estados unidimensional, bidimensional e tridimensional. Trata-se, também, da energia de deformação complementar.
O princípio dos trabalhos
virtuais
é abordado no Capítulo 3. Vil
C'
viii
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o Capítulo 4 contém os teoremas de energia, ou mais precisamente: os teoremas de Clapeyron, de Maxwell, de Betti, de Castigliano, de Menabréa e de Crotti- Engesser. Os teoremas de Ca.stigliano sâo mostrados seguindo da maneira mais fiel possível o texto original, que nâo está disponível nos livros de resistência dos materiais. No Capítulo 5 apresentam-se os métodos da. energia potencial englobando o princípio da mínima energia potencial total e o método de Rayleigh-Ritz. Aí encontra-se também o método de Galerkin. Nos Apêndices A, B, C, D e E encontram-se, respectivament.e, a bibliografia consulta.da, as fórmulas para o estado triplo de tensões e deformações, uma tabela com as integrais de produtos de duas funções, as relações entre deformações e deslocamentos e a teoria da torçã.o livre.
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Capítulo 1 Revisão histórica
Os conceitos: energia - associada ao movimento dos corpos - e força, embora expostos ele forma diferente da que hoje estamos habituados a tr at á-Íos , já. eram conhecidos dos filósofos da Antiguidade. O uso preciso do termo ene-rgia, para exprimir a. quantidade ele trabalho realizado por um sistema é at.ribuído a Thornas Young (1773-1829). Segundo Oravas e Mcl.ean Estrat.âo de Lârnpsacos. que viveu por volta de 250 a.C., foi, aparentemente, o responsável pela germinaçiio do princípio elas velocidades virtuais, conhecido séculos depois por princípio elos trab alhos virtuais, tendo sido aplicado por Heron ele Alexandria (ld.C.) no estudo de máquinas. Charl ton , Truesdell e Oravas e McLean citam o monge dominicano alemão Jordâo de Nernor a, que viveu no século XIII, como o primeiro a u t.i liz ar o princípio elos trabalhos virtuais envolvendo deslocamentos finitos. Leornado da Vinci (1452-1510) com sua frase: ogn'i azion.e [attu dal/a ruiture é fatta tiel pi'u breve modo deu a primeira. forma. a.o princípio da. mínima. açâo. Galilen Galilei (1564-1642) int.uiu o princípio da conservação da energia ela.') observa.ções dos movimentos dos pêndulos. De acordo com Timoshenko, foi .Jean Bernoulli (Hi67-17·18) - considerado o maior matemático do seu tempo - quem formulou o princípio dos trabalhos virtuais, em 1717, comunicando-o a Pierre Varignon (1654-1722). Todavia, Truesdell descreve que J oseph Louis Lagrange (1736-1813) foi o primeiro a formulá-lo de forma geral, embora o princípio tenha sido revisto e. estendido por Jean Bernouilli. Charlton ainda assinala que: "acredita-se que a. verdade do princípio foi primeiro observada explicitamente por Simon Stevin (1548-1620), no final do século XVI, em associação com suas pesquisas sobre o equilíbrio de sistemas de polias. Diz-se que Galileu reconheceu a validade do princípio ao estudar o problema. do plano inclinado, mas parece que a universalidade do princípio foi primeiro reconhecida. por Jean Bernouilli ... " Christiaan Huygens vau Zelen (1629-1695) demonstrou que no choque ele bolas elásticas a [orça inua (v·i.>»ioa] ou energia cinética permanecia invariável e ut.ilizou o princípio da conservação da energia para resolver problemas de vibração de pêndulos. Gottfried Wilhelm, Freiherr von Leibniz (1646-1716) calculou corretamente a energia. cinética. de um corpo e concluiu que a perda. ele energia. cinética era.
9
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Capítulo 1. Revisão histórica
compensada por um ganho igual de energia potencial e vice-versa. Leibniz e .Iean Bernouilli, nas palavras de Charlton, "consideravam o conceito energia. como o maior princípio da mecânica, ao qual todos os outros princípios eram subordinados" . No século XVIII esse princípio foi utilizado por Daniel Bernouilli (17001782), Jean Bernouilli e Jacopo Francesco Ricatti (1821-1894) e no século XIX por Ludwig Ferdnand von Helmholtz (1821-1894), dentre outros. Charlton diz que parece que a Jean Victor Poncelet (1788-1867) coube a primazia de introduzir o princípio da conservaçã.o da energia na mecânica das estruturas. Benoit Paul Emile Clapeyron (1799-1864), criador do teorema dos três momentos, publicou em 18.58um dos mais importantes trabalhos no âmbito da engenharia. estrutural: o teorema da igualda.de entre trabalhos externo e interno. Foi a partir deste teorema que Jarnes Clerk Maxwell (1831-1879) e OUo Christian -Mohr (1835-1918) desenvolveram métodos para. cálculo de treliças h iperest át icas.
Em 1864 Maxwell publicou um dos teoremas da. reciprocidade e em 1872 o matemático italiano Enrico Betti (1823-1892) apresentou esse teorema. em uma forma mais geral que hoje leva. seu nome. Nessa época já. eram conhecidos os princípios da. mínima energia potencia.l e da mínima energia potencial complementar. De acordo com Cha.rlton, Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), em 1740, ao enunciar a.k,i do r~~ pouso, parece ter observado que o equilíbrio de um sistema implica máxima ou mínima energia (trabalho) do sistema, originando, daí, o princípio da mínima energia potencial total, que viria. a ser de imensur ável utilidade na. moderna engenharia estrutural. Charlton afirma que Daniel Bernouilli sugeriu a. Leonhard Euler (17071783), que havia sido seu aluno, que obtivesse a. elástica de barras minimizando a. função f 'fi, sendo r o raio de curvatura da barra fletida. Essa integral multiplicada pelo parâmetro que representa a rigidez da. barra corresponde à. energia de deformação da. barra fletida. Em 1834 o engenheiro inglês Henry Guynne Moseley (1802-1872) formulou o princípio da. mínima resistência estabelecendo que: "Se, dentre todas as forças que estão em equilíbrio, há um número de forças resistentes, sujeitas à condição de que todo o sistema esteja em equilíbrio, então cada uma delas é um mínimo" , conforme transcrição de Charlton. Mais tarde Moseley aplicou esse princípio na. determinação da correta linha de pressões de arcos de alvenaria. Charlton também aponta. que em 1858 o general Luigi Federico Menabréa (1809-1896), matemático, militar e estadista italiano comunicou à. Academia. Francesa um novo princípio que ele denominou de p-rincípio de elasticidade, enunciado por: "sempre que um sistema elástico assume um estado de equilíbrio sob a ação de forças externas, o trabalho devido à ação das trações
11 ou compressões das barras que ligam os vá.rios nós do sistema é um mínimo". Em 1859, o físico alemão Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) demonstrou que o princípio do trabalho virtual corresponde às equações de equilíbrio. James Henry Cotterill (1836-1922), em 1865, assumindo o princípio da mínima resistência de Moseley, generalizou-o escrevendo, como mostra Charlton: "Se o trabalho for expresso em termos de forças resistentes em todos os pontos do sistema, ou em alguns deles, e sendo implicitamente satisfeita a lei da conservação da energia, temos simplesmente que fazer mínimo o trabalho realizado, sujeito às condições de equilíbrio estático" . Cotterill demonstrou os teoremas que mais tarde seriam chamados de primeiro e segundo teoremas de Castigliano. Cotterill aplicou seus teoremas na análise de viga.s, arcos e treliças. Porém, essas aplicações não foram conhecidas dos seus contemporâneos e seu trabalho ficou praticamente desconhecido. Todavia, foi Carla Alberto Pio Castigliano (1847-1884), jovem engenheiro ferroviário italiano, quem ficou com as láureas pela. demonstração e enunciado dos teoremas do trabalho mínimo, baseados no princípio da. mínima energia potencial de Menabréa ..
Em 1873 Castigliano apresentou, em seu trabalho de formatura, a. demonstração
da. validade do princípio
enunciado
por Menabréa,
que havia. cometido
erro na sua demonstração. Em trabalhos posteriores Castigliano aplicou esse princípio na solução ele problemas reais de engenharia, considerando também efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas. Francesco Crotti (1839-1896), amigo de Castigliano, e Friedrich Engesser (1848-1931) desenvolveram, independentemente, os princípios relativos à energia complementar - sendo que o t.ermo energia complemementar é devido a Engesser -, surgindo daí o princípio da mínima energia potencial complement.ar. Um grande impulso à análise estrutural via esses princípios de energia foi proporcionado por John William Strutt, Lord Rayleigh (1842-1919), em 1877, e por Walter Ritz (1878-1909), físico suíço, em 1908, que os utilizaram para. obter soluções aproximadas para as deflexões de estruturas a partir de funções previamente fixadas para representa.r essas deflexões, tendo como coeficientes parâ.metros incógnitos, obtidos pela solução do sistema de equações resultante, gerado a partir da aplicação de um desses princípios. Esse método ficou conhecido como método de Rayleigh-Ritz, servindo de base para o desenvolvimento do método dos elementos finitos. Muitos outros nomes poderiam ser citados por suas contribuições nesse campo da mecânica das estruturas, tão importantes talvez quanto os que aqui foram apresentados; porém, fica a critério do leitor a oportunidade de conhecêlos consultando a bibliografia citada, principalmente o trabalho de Oravas e Mcf.ean.
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I
Capítulo 2 Energia de deformação
Quando um sólido é deformado no regime elástico diz-se que a ação que provocou a deforrriaçâo realizou um trabalho que será. totalmente transformado em energia quando cessar a açào. Assim, o arqueiro, ao curvar o arco, realiza um trabalho; 'ao liberar a seta, t.oda a energia potencial armazenada no arco é transferida para a seta. em forma de energia cinética. O mesmo ocorre com uma mola comprimida por um peso. O trabalho
realizado pelo peso durante a deformação da. mola. é transformado em energia. potencial
que a mola poderá
liberar
assim que se retirar
Os elementos que compõem urna estrutura
o peso.
também se deformam sob a
açâo , por exemplo, de seu peso próprio, do peso ela alvenaria, de multidão, da. interação com out.ros elementos estruturais et c., comportando-se de maneira análoga à mola Oll ao arco. A energia armazenada na estrutura devida. à deforrnaçâo elos elementos estruturais é denominada energia de deformaçào elástica e é igual ao tr abalho realizado pelas forças atuantes; este fato será utiliza.do para cálculo de deslocamentos de pontos da estrutura. Para que isso seja. possível, é preciso saber calcular a. energia de deformação elástica, uma Vez que.a determinação do trabalho da,') força.'; é imediata. A energia de deformação elástica pode ser calcul ad a com os esforços internos: força normal, força cortant.e, momento Hetor e momento torçor, ou com as tensôes e deformações. Neste capítulo scrào abordados os dois métodos de cálculo.
2.1 2.1.1
Cálculo com os esforços internos Força normal
Seja urna. barra prismática constituída de material plástico. solicitada por uma. força. normal de traçao (poderi a ser força normal de compressão que produziria um encurt arnent.o 6/). centrada. a pl icada leuramente do valor inicial zero até o valor final P: produzindo um alongamento final 61, como mostra a Figura
2.1.
Capítulo 2. Energia. de deformação
14
A resultante das tensões normais a cada seção transversal da. barra é denominada esforço solicitante normal N e é igual à força aplicada à barra em cada instante. N
N
t
Pf-----:71
Pr----~ N=Kx 'L
x
LLx
.u
t:,L
der;
( a)
(6)
(c)
Figura 2 1: a) Barra tracionada b) Material elástico c) Material elástico linear \
'
o
trabalho realizado por um va.lor intermediário N" do esforço normal, quando a. barra sofre um alongamento dx, é dado pela área hachurada da Figura 2.1b e vale: (2.1 ) e o trabalho da força final P responsável pelo alongamento final l::.Z é igual à. área sob a curva. da. Figura 2.1b , ou seja:
w = 16./ Se o material calcular o valor Se o material Figura. 2.1c, e a
Nid«
(2,2)
=
não obedece à lei de Hooke teI"?-se que N.. Ni(X), e para se do trabalho deve-se 'conhecer á função Ni( x). segue a lei de Hooke a função Ní(X) é linear; como mostra a equação] 2.2) fica: W
[6.C
=)0
,
kxdx
I I.
sendo k uma constante dada por:
I "
I
P
k=-
6/
Substituindo
.l..
)
{j
(2.4)
esse valor em ( 2.3) obtém-se: 1 W = -P61 2
r, •
(2.3)
) t
(2.5)
!J :::-.
/
2.1,
Cá.lculo com os esforços in'tern1
15
que é igual à área sob o segmento/de reta. da. Figura 2.1c. Sendo a- a tensão normal! em qualquer seção transversal da barra, é a deformação elástica correspondente ao alongamento 6.1, E o módulo de Young ou módulo de elasticidade do material e A a área da seção transversal da barra, tem-se: I \
/:,1 = PI
(2,6)
EA
que substituído
em ( 2.5) dá a seguinte expressão para o trabalho:
w=
f;
P2I
(2.7)
2EA
Chamando de U a. energia de deformação elásticl da barra, tem-se da igualdade entre esta energia e o trabalho da força externa. (conservação de energia) que:
(2.8) Dividindo-se ambos os lados da igualdade acima pelo volume (V = AI) da barra, obtém-se uma grandeza chamada energia de deformação específica ou energia de deformação por unidade de volume representada por u, cujo valor e:
p2 ts
(2.9)
= 2EA2
A igualdade ( 2.5) pode ser aplicada para calcular o trabalho realizado por outros esforços internos corno: momento fletor, força cortante e momento torçor, assumindo a seguinte forma:
trabalho
'.
--'
~
I
=
!( esforço 2
interno) (deslocamento
correspondente
(2.10)
Da lei de Hooke: (J'=
Ee
Da definição de deformação elástica: !:,.[
é=T Da definição de tensão:
(J'=
'ri ~-~ c1
ao esforço)
N A
\J\J, t-
Capítulo 2.. Energia de deformação
16
I
Com poucas exceções, os projetos de estruturas são feitos com as tensões e deforma.ções limitadas ao regime elástico do material. Porém, é importante saber como o material se comporta além do regime elástico, fase que é chamada de regime plástico. Quando uma barra de metal é submetida. a um teste de ruptura por tração, as medidas das tensões e deformações resultam em um diagrama do tipo mostra.do na Figura 2.23. ou 2.2b. Quando a tensão ultrapassa o regime elástico (O'd) diz-se que o material começa a escoar. A tensão continua. a crescer com o aumento da. deformação, mas a uma taxa menor do que no regime elástico, até o valor máximo da tensáo nominal. Depois desse ponto
rrnação realizado pelo momento fietor tem:se. q1!e:
u-
o
eléstice da barra e o trabalho
tM lo 2Eldx 2
momento fletor M, eriCge;ãf,'~-funça.o~aa ordenada de inércia I para a barra prismática é constante ao longo do seu podendo, juntamente com o módulo de Young E ficar fora da barra não for prismática. tem-se que obter o momento de inércia ordenada x.
2.1.3
(2.18) x, o momento comprimento, integral. Se a em funçã.o da
Força cortante
De modo il:. simplificar o raciocínio e a exposição, considere-se um elemento diferencial de barra prismática submetido à ação de tensões cisalhantes T = Txy, como mostra a Figura 2.4, Denominando w as ordenadas da elástica. produzidas apenas pela força cortante (designou-se por v a.'?ordenadas da. elástica produzidas apenas pelo momento fietor), sabe-se que w ~ v, na maioria dos casos. Dessa maneira conclui-se que Q. efeito da. forca cortante no cálculo da energia de d.eiºJ:!!lê&~o ~.ReJlll_E).l1Q...f,ºmQ~_cl.2_:.~o__ m_9~~~2,Jletor, justificando-se uma avaliação bastante aproximada para seu valor. Cada elemento retangular de arestas (dx) e (dy) sofre uma distorção medida pelo ângulo / /xy que tem a. mesma variação da tensão tangencial, conforme a igualdade:
9:~._
=
2.1.
Cá.lculo com os esforços internos
19
A
Figura 2.4: Elemento diferencial deformado por cisalhamento
T
1= G
(2.19)
sendo G o módulo de deformação transversal do material. Como o ângulo I varia ao longo da altura da barra, adota-se um valor médio Im. para poder calcular a translação relativa dllJ das duas seções distantes de dx.
.
Tratando-se de pequenos deslocamentos, dw é calculada por: dw = Imdx
(2.20)
Se T fosse constante ao longo da altura dá barra, a força cortante na seção BD seria dada por:
v = TA
(2.21)
sendo A a. áre,: da:seção transversal da barra. Essa estimativa da força cortante é muito grosseira. Para corrigi-la, o lado direito da igualdade (2.21) é multiplicado por um coeficiente c cujo va.lor depende da forma da seção. Desse modo, a distorção média, considerando as igualdades (2.19) e (2.21), passa a ser dada por: cV
Im = GA
(2.22)
e a translação dw por: dw=
('-
~
cV dx
GA
(2,23)
r !
Capítulo 2. Energia de deformação
20
A energia de deformação elementar armazenada no elemento diferencial, igual ao trabalho realizado pela força cortante V para transladar a seção AC, tendo
em vista
a igualdade
é calculada
(2.10)
dU. Estendendo-se se em conta
uma
1
(2.24 )
-Vdw 2
o cálculo da energia. de deformação
a igualdade
Momento
a·toda a barra
(2.~11_ººt~J!l_-~e) finalmente,
u= 2.1.4
=
por:
e levando-
que:
t cV .lo 2GA dx 2
(2.25)
torço r
Considere-se um elemento diferencial de barra prismá.tica engastado em das extremidades e sujeito a um momento torço r Mt na. extremidade
livre,
de
acordo
com a figura
2.5.
!i "
Figura Sabe-se através
que o ângulo
2.5: Elemento de torção
deformado
sob t.orçã.o
está. relacionado
com o momento
torçor
de:
Me de = -dx GIl sendo I, o momento de inércia. à. t.orção da seção da barra. A energia de deformação armazenada no elemento diferencial,
. (2.26)
que é igual
ao trabalho realizado pelo momento torçor para girar a seção transversal torno do eixo x do ângulo B, tendo em vista a igualdade (2.10), vale:
em
2.1.
21
Cálculo com os esforços internos
dU Substituindo barra, obtém-se
=
1 '2MtdB
(2.27)
(2.26) em (2.27) e integrando ao longo do comprimento a energia de deformação da barra dada por:
l da
(2.28) Se todos os esforços estiverem deformação vale:
presentes
ao mesmo tempo,
a energia de
_~~~==~=o==~---~===='c: (2.29)
Figura 2.6: Viga submetida
às cargas simultâneas
P, e P2
Tome-se uma viga simplesmente apoiada, submetida a duas cargas verticais Pj e P2, com defiexões sob elas iguais a Vj e V2, respectivamente, como mostra a Figura 2.6. O cálculo da energia de deformação armazenada na viga - supondo que ela tenha comportamentocelástico-linear, de modo que se possa supor como válida a superposição de efeitos - pode ser efetuado considera.ndo que uma delas atue inicialmente, por exemplo PI, variando seu valor desde zero até P, e em seguida passe a atuar a outra carga, variando também seu valor desde zero até P2. Ficam, então, caracterizadas duas fases de carregamento. Calculando-se a energia de deformação em cada fase e somando-as, tem-se o valor total da energia. Não importa a ordem de aplicação das cargas. Esse cálculo é efetuado da seguinte maneira: a carga PI, como se vê na Figura 2.7. Se
supõe-se atuando inicialmente
F fosse unitá.ria, a deflexão sob ela seria .511; ampliando a caI a unitária j
.\k.B._lld;l_~ft~?c.~g'dt.~?ém_fi~ria ampliada de Pl ~ã!lçlQ ..então a Pj 811, O trabalho realizado nessa primeira fase, que é igual à energia & deformação armazenada na viga, vale:
Capítulo 2. Energia de deformaçã.o
22
(a)
(b)
:z:.li
Figura 2.7: Primeira
fase onde apenas atua
P~9
-<7
(_7.·~CF~V),
/
,.;!,.
(2.30) Mantendo PI aplicada e colocando Pz, crescente de zero até o valor final(P2), como mostra a figura. 2.8, tem-se que a energia de deformaçã.o tem o valor:
(2.31 )
vz=Px {;
z
Figura2.8:
Segunda fase de carregamento
22
onde agem
P1 e P2
=
Mais adiante mostrar-se-á, com o teorema de Maxwell, que 021 Somando (2.30) e (2.31) obtém-se a energia de deformaçào total:
U = UI
1
+ o, = 2Pl
:2
811 + P1P2021
1 + 2P2
2
022
012·
(2.32)
que mostra que atuando simultaneamente mais de uma carga que produza. deslocamentos na mesma. direção, tem-se que considerar a interação entre elas; não vale simplesmente calcular a energia de deformação proveniente de cada carga atuando total.
isoladamente
e somá-las,
b0Loc'/t1l::;J/J
para obter a energia de deformação
~>:
'......(....·'{:c".·/,
2.2,
23
Observações p
1
(b)
(a) p
(d)
(c)
Figura
2.9:
;o,) Pórtico plano b) Momento fletor c) Força cortante
d) Força
normal
2.2
Observações
a) A parcela da energia de deformaçã.o referente à força cortante é quase sempre pequena comparada às demais, de modo que na maioria dos casos pode ser desprezada. b) No caso de pórticos planos são considerados apenas os dois primeiros monômios internos à. integral em (2.29). A parcela da força normal é menor do que a do momento fletor, podendo ser deixada de lado,
c) Nas vigas usuais deve-se considerar formação devida ao momento fletor. d) Nos arcos, todavia, normal e ao momento
apenas
devem ser consideradas
a parcela da energia de de-
as parcelas
devidas à força
fletor.
e) Se houver torção, o termo correspondente
da energia de deformação
em
24
Capítulo 2. Energia de deformação
seções delgadas
abertas)
em geral) é predominante.
f) Não vale para a energia de deformação a superposição" de efeitos. Assim, se se considera, por exemplo, a ação simultânea, na barra tracionada, da força. normal e do peso próprio) não vale calcular a energia de deformação para cada ação em separado e somá-las. A explicaçã.o é que existindo já. esforço atuando, ele realizará trabalho quando o outro esforço passar a atuar na barr a. A igualdade (2.29) é válida porque nenhum dos esforços realiza trabalho quando os outros estão atuando simultaneamente, porque cada um deles produz deformação que não interfere nas deformações dos demais. g) Para treliças, somente o primeiro monômio é considerado, substituída por um somatório referente a todas as barras. h) A energia de deformação é função quadrática
e a integral
dos esforços.
Exemplo 2,1
Para o pórtico plano da Figura. 2.9, comparar os valores da. energia de deformação devidos ao momento fletor, força cortante e força normal, supondo que a viga e o pilar tenham o mesmo momento de inércia J, a mesma área A e o mesmo módulo de Young_ E. São dados: P, l, 1, A, E. As Figuras 2.9a, 2.9b e 2.9c mostram os diagramas dos esforços que entrarão no cálculo da energia de deformação. Calculando-se separa.damente a energia de deformação tem-se: a) Momento
fletor
b) Força cortante
1
(2
1
I
cP2l cV dx = 2GA
o, = 2GA lo c) Força normal
UN= --
2EA
I
o
P2[
N2dy =--
2EA
Para facilitar a verificação supõe-se que tanto o pilar quanto seção quadrada de lado a) tal que a [/10 e que G = E/2,
=
a viga têm
2.2.
25
Observa.ções tem-se, ainda, que:
Sendo a seção quadrada
A
12
e
J Comparando-se
c
=
1.2
devidas à força cor-
as parcelas da energia de deformação fletor tem-se:
t ante e à força normal com a do momento
UM Uv
667 1
e
UiH U
N
1600
= -1-
mostrando que realmente, em pórticos, a parcela relativa ao momento fletor é predominante.
LINHA
da energia de deformação
DE AÇÃO DE
P-I \
-"T I
//1-"
p
1 A
~
-~
X=1
)'
I
IR
-C
'
\\\
i
I· f" ,.
I
d\
l~
I
IR
4~_l
3n
·1 A-A
(a)
(b)
Figura 2.10: a) Viga em perfil b) Seção transversal Exemplo
2.2
Calcular
o valor numérico
da viga
da energia de deformação
para a
viga, da Figura 2.10, Supõe-se conhecida a posição do centro de cisalhamento da seção transversal da viga. São dados: a força P, o comprimento I, o módulo. de Young E, o raio R, a espessura e e o coeficiente de Poisson v. N esse caso tem-se uma viga com os esforços: momento fletor, força cortante e momento torçor. Calculando separadamente a parcela. da energia de
deformação para cada um dos esforços tem-se: a) Momento fletor A energia de deformação-é
dada por:
Capítulo 2. Energia de deformaçã.o
26
11 M dx
V == - 1
2
2EJ
o
-
Sendo:
M= P»
e
tem-se a energia de deformação dada por:
(2.33)
b) Força cortante
UV = - 1 2GA
11 o
cV'2dx
onde: G == E/2(1 + v), A == 1['Re e V = P: A energia de deformação tem o seguinte valor:
(2.34)
Uv = (1 +
V)CP2 E7fRe
c) Momento torçor A energia de deformação referente à. torção tem a forma:
Vt =
o momento
torçor
1 2Gft
o
Mt e o momento de inércia à torção 1t valem: 4RP
Mt==1[' que, substituídos
11 M;dx
7fRe3
1,=-
e
na expressão de Uh fornecem:
_ 48(1 Vt
-
+ v)P2R
E 1[' 3 e3
~ ~
1.55
(1
3
2 R
+ l/)P
E e3
Pa" se efetuar urna cornp3i
,,! dy
I I [::::1 I IdY+ÜY
r
dy
I I '-
~
---, Y
t~x:
--
I
_.J
(b)
(a)
Figura 2,13: a.) Chapa com solicitações
-
b) Elemento
infinitesimal
deformado
O trabalho realizado pelas forças na direção x, igual à energia de deformação elástica armazena.da no elemento de volume elementar dV = dxdydz
vale: (2.51)
;~
j_...._.p-
2,3.
Cálculo com as tensões e deformações
Analogamente, a energia de deformação devida à tensão IJy, vale:
31 elástica armazenada
no elemento,
(2.52) A energia de deformação total armazenada no elemento é a soma das energias calculadas através das igualdades (2,51) e (2.52) , resultando:
(2,53) Dividindo (2.53) pelo volume do elemento infinitesimal deformação específica:
tem-se a energia de
(2.54) A energia de deformação correspondente às tensões tangenciais Txy é calculada como o trabalho realizado pela força Txydxdz, aplicada lentamente, com O
deslocamento Ixydy, como mostra. a Figura. 214, resultando:
Figura 2.14: Elemento
deformado
por cisalhamento
(2,55 )
e (2.56) Adicionando-se essa energia de deformação específica àquela j á obtida para. as tensões normais, tem-se a energia de deformação específica para o caso geral de estado plano de tensões, ou seja:
(2.57)
Capítulo 2. Energia de deformação
32
Utilizando-se as relações entre tensões e deformações do Apêndice B, podese escrever a energia de deformação específica em termos de tensões apenas, como: 1 [2CTx
u = 2E
ou somente
y
2VCT,:O'y
+ •2(1 + V)Tx.y2 1
(2.58)
em função das deformações:
tI
sendo
+ O'y 2 -
=
o coeficiente
E
2(1 _ y2)
2
(Ex
+
f! .
2 éy
+
2//ExEy
+
l-v 2 -2-"!"'Y)
i
(2.59)
I
~
I
de Poisson.
I
2.3.3
Estado triplo de tensões
Sem maiores dificuldades pecífica para o estado triplo
pode-se representar a energia. de deformação esde tensões a partir da. igualdade (2.57). Tem-se,
então: u
Em função
=
1
2[O-xEx + O-yEy + 0-0é2 + Txy/xy
apenas
ou em função apenas
ii
+ Tvo/yz + Tu,,!z"']
(2.60)
das tensões fica:
das deformações:
I
sabendo-se que G = 2()~V)' Sendo as direções principa is (direções das tensões principais) designadas pelos índices 1, 2 e ;), a energia de deformação específica nos moldes da. igualdade
(2.60) é dada por: lL
Só com as deformações
=
1 2(0'1EI
principais
+ (J2f..2 + 0-3E3)
(2.63)
fica: (2.64)
e em função da" tensões principais
C'c'
tem-se:
2.3.
33
Cá.lculo com a.s tensões e deformações
(2.65) É interessante observar que a. energia de deformação específica pode ser dividida em duas parcelas: uma representando a. energia responsável pela mudança da forma do elemento sem que seu volume seja alterado, e outra. responsável pela variação do volume sem que sua forma varie. Para determinar essas duas parcelas basta considerar no ponto estudado a tensã.o média CJm dada por:
(2.66) e fazer: CJ1 =: CJ1 -
CJm
,
(J'2
=: (J'2 -
CJ~ =:
(J'm
(J'3 -
a-«
O estado de tensões principais pode, então, ser decomposto mostra a Figura. 2.15,
(2.67) em dois como
+
(a)
(b)
(c)
Figura 2.15: Estado triplo de tensões principais O estado de tensões da Figura 2.15b é responsável pela mudança do volume do elemento sem alterar sua forma, uma vez que em todas as faces atuam as mesmas tensões (estado hidrostático de tensões) e o estado de tensões da Figura 2.15c muda a forma do elemento mantendo o mesmo volume. Isso pode ser verificado supondo um elemento cúbico de lados unitários. Sob a ação de tensões e como na Figura 2.15c, nas suas faces, o cubo deforma-se, ficando os lados com comprimentos 1 + é~, 1 + é; e 1 + é~. O volume do cubo é:
a~,a; a;, v=:
(1 + E~)(l
+ E~)(l + E~)
(2.68)
Como as deformações são muito menores que a unidade, os produtos entre elas podem ser desprezados,
__ L._
resultando:
Capítulo 2. Energia de deforma.çã.o
34
(2.69) A variação de volume, ou dilatação volumétrica específica, do elemento é igual à diferença entre o volume final V e o volume inicial unitário representada por:
J '1
Substituindo
as deformações
.6 V
=
1 - 2v,
do Apêndice B, tem-se:
,
+ 0'2 + 0'3)
-E-(O'l
f
(2.71)
·,1'
1 'I
pelas relações
Das igualdades
I
(2.66) e (2.67) obtém-se:
f:
:;: fi'
a~ +
0'; + O'~ =O
(2.72)
~I
Confrontando
as igualdades
(2.71)
e (2.72) percebe-se
que a variação
de
volume do
elemento é nula. A parcela da energia. de deforrna.çao que corresponde à variação do volume é indicada por U1J e é obtida com adequadas substituições nas igualdades j
{6.1
W
= U = lo
Ndx
(2.75)
2A. Energia de deformação complementar
35 N
a ~-------,,,, *
'ti
'-------'--
t
V
dW I?à f.x U 6l
da:
(a)
(b)
Figura 2.16: a) Barra tracionada grama esforço axial x deslocamento
(c)
b) Diagrama
tensãoxdeformação
c) Dia-
elástica armazenada
na viga
--'i.
Este trabalho
é igual à energia de deformação
(porque o sistema é conservativo}. Geometricamente a igualdade (2.75) é representada pela área sob a curva esforço axial x alongamento mostrada na Figura 2.16c. A energia de deformação específica, conforme já foi apresentado no item 2.3.1 é dada. por:
i
ce..!
1.1.
=
o de
(2.76)
• O
correspondendo à. área sob a curva tensão x deformação da Figura 2.16b. A energia de deformação U é obtida de (2.76) integrando no volume da barra como:
j
u=
J
udV
(2,77)
Desse modo tem-se as relações entre trabalho, energia de deformação e energia de deformação específica .. O trabalho complementar é representado pela área acima da curva esforço axial x deslocamento, como mostra a Figura 2.16c, correspondendo, matematicamente, a:
(2,78) sendo válida a igualdade complementar.
entre energia de deformação complementar
e trabalho
Pode-se considerar também que: ~
1_
u*
=
lU
€da
(2.79)
I
Capítulo 2. Energia de deformação
36 cuja. represent
. cJ
é vista na Figura 2.16b e:
açâo geométrica
U· =
.I
(2.80)
/J~dV
Energia complementar nâo tem significado físico, somente geomét.rico; porém, há situações em que a energia de deformação e a. energia de deformação com plerneutar são permutáveis. É, por exemplo, o caso em que a barra é constituída. de material
que segue a. lei de Hooke.
í
Nesse caso tem-se a relação: N
=
(2.81)
LI'
e, corno se pode observar ela Figura 2.17, as relações dadas diferenciando (2.75) e (2.78), respectivamente. são válidas: rlU dN =
i·fl
dT
e U
=!
=N
dU'
J'
a. seguir,
obtidas
(2.82)
-, I 1
61
N(h
=
. u
U' =
.lor
·-1
N
(2,83)
::dN
N
N
u·/
I
U ! x
6l Figura
2.17: Curva. esforço axial x alongarnento
Assim,
pode-se
escrever
para material
que: U = U· = ~V, e da Figura
u + U'
= 2W
= N 6./
elástico
linear
2.17 obtém-se: (2.84 )
Portanto: W
=
!_N61 2
expressão que dá o valor do trabalho realizado pela carga final 61 obtido anteriormente.
~;~~
-J
(2.8.'))
N com o alongamento
2.5.
Exercícios
37
propostos
/i////
T
I [
:
iI 1 i I
1 p
(b)
(o)
Figura 2.18: a) Exercício
2.5
1 b) Exercício 2
Exercícios propostos
1. Determinar o valor da energia de deformação para a barra da Figura 2.18a considerando a ação simultânea. da força axial P e do peso próprio da barra. São conhecidos o módulo de Young E) o peso específico do material, o comprimento l e a· área A da seçã.o transversal da barra. Resp.: U = 2~A (P2 + PoP + ~Pg), com Po = ,Al 2. Para a treliça da Figura 2.18b calcular o valor da energia de deformação. Sâo dados P, a, a, área da seçã.o transversal A de cada. barra e E. Resp.: U = 6.~~1a. 3. A viga, mostrada. na Figura 2.19a, composta de três segmentos de comprimento a e seções transversais iguais com momento de segunda ordem J e momento de inércia à torção It é solicitada pela carga P. Qual a energia de deformação armazenada? São ainda conhecidos E e o módulo de deformação 4. Calcular
a energia
transversal
de dejormaçâo
G. Resp.:
U = p2a3 (.til
para a viga ela Figura
+ 2dt.)·
21gb
com
com momento de segunda ordem 1. Os fios têm seção transversal de área. A. A viga e os fios são ele mesmo material ( [2 241) com mo'd u Io d e Young E . R esp.: ['I = q'2[3 16E W +A . seção transversal
Ca.pítulo 2. Energia de deformaçã.o
·38
.: ..-.
I.
l/'2
L/,2
·1 .
·1 c.
EA
}2
/
Jvz
~
~"~
..
ur~" _l
p
(a)
(b)
Figura 2.19: a) Exercício 3 b) Exercício 4
~ ), i
'I, 1
p
{tx)
1/5
'I '1 p
p
(b)
Jc)
Figura 2.20: a) Exercício 5 b) Exercício 6 c) Exercício 7
39
2.5. Exercícios propostos
5. A barra tronco-piramidal de seção retangular com uma dimensão b constante e outra que varia de h a 2h, como mostrado na Figura 2.20a, é solicitada por uma carga axial P. Calcular a energia de deformação armazenada pela barra. São dados E e o comprimento l . Resp.: U =
P2/ 2Ebh
In 2.
6. A mesma bana do exercício 2.5 é discretizada em cinco prismas de mesmo comprimento com base retangular de largura b e alturas que variam de h a 1.8h, como se vê na Figura 2.20b. Determinar o valor da energia de deformação. Resp.: U ~
O.3~ttl.
7. Uma barra. de raio T' e um tubo de raio R são colados a um cilindro de borracha com módulo de elasticidade transversal G, cujo corte longitudinal é mostrado na Figura 2.20c. Qual o trabalho de deforrnação do cilindro de borracha? Resp.: [ r
= p2 (R2jT 8G L
-
São dados:
1) .
p, I, R, r e G.
3
2'!:fase
1.!!- fase
Figura 2.21: Exercício 9 8. Qual a energia de deformação armazenada na. treliça. da. Figura 2.18b se a barra 45 sofre uma. variação de temperatura 6t. O coeficiente de dilatação térrnicaé a. Resp.: U = a26,{lEAa. 9. Considere um corpo elástico, esquematicamente mostrado na Figura 2.21, vinculado externamente de modo que não ocorram movimentos de corpo rígido. Esse corpo será solicitado em duas fases: .na 1 fase atua apenas a força FI no ponto L Na 2ª fase permanece FI e passam a atuar duas forças F2 no ponto 2 e F3 no ponto 3. Calcular a energia de deformação arma.zenada. no corpo ao fim do carregamento. Designar por Vi e v'; os deslocamentos dos pontos i da 1 fase e da 2ª,
ª
respectivamente.
g ~---
Resp.:
U::::: }F1Vl
ª
+ r.«. + l(F v'2 + F3V/~), 2
1
1 I
c'
:j
I
/,
ii
(I "
,
I
Capítulo 3 Princípio do trabalho virtual
o
princípio do trabalho virtual é de inestimável utilidade na mecânica estruturas, propiciando soluções simples na determinação de deslocamentos
est.ru tur
a.s , na soluçâo
de Eroblemas
hipere.stát~os
e na obten~âo
elas em
_1e EE;h<.:s".~_;:.
il1fl\J~p.ç;iêd,L~....!ô§.lLll!YIa.~ ..i~.~.~.~.~tiS.?s. A pala.vra vjrtua.I_ÇJ.H_~LJii.gIÜfl_c:a·Lhi.potéti.C:9, que poderia ocorrer, embora, de fato, n âo ocorra. É um deslocamento infinitesimal que se impõe a um ponto ou a. um corpo rígido de modo a não alterar a configuraçãc estática 0\1 geométrica do corpo e das forças que nele atuam, preservando as condições de equilíbrio a que essas forças estão sujeitas'
Um deslocamento virtual consiste em uma translação em qualquer direcâo , uma rot a.çâo em torno ele qualquer eixo ou ambos. Com a condiçã.o do corpo rígido estar em equilíbrio, o trabalho virtual realizado pela ..s forças é nulo. O princípio dos trabalhos virtuais pode ser aplicado também às estruturas OH corpos defor m áveis , devendo-se levar em conta n áo apenas o t ra.b al ho v ir t u a.l das forças externas mas, r.arnbém , o associado às forças internas.' Admita-se que uma. estrutura. esteja solicitada por forças, momentos fletores , cargas distribuídas et c., como mostra a Figura 3.1. A est ru tu r a, sob a il.~:ão dessas solici tações, encoritr a-se em estado de repouso e equilíbrio, o chamado estado de carregamento. Suponha-se que a essa estrutura. é dada unia deforrnaçâo virtual consistindo de deslocamentos virtuais que produzem uma. mudança. na sua. forma. deforrnad a. . A defonnação virtual independe da. superfície deformada real; entretanto, ela deve ter uma forma que poderia ocorrer fisicamente e ser compatível com as vinculações da estrutura: Durante a deformação virt.u a], cada elemento (entenda-se elemento diferencia.!) ela estru t ur a se deforma e os esforços (int.ernos e ext.ernos) - ver Figura 3.1b - agindo diretamente sobre ele realizam trabalho virtual, denominado dW. Esse trabalho pode ser supostamente formado por duas parcelas: a) o trabalho virtual devido aos movimentos de corpo rígido, denominado d\tVr, correspondente ao trabalho virtual realizado durante o movimento de
corpo rígido do elemento que assume uma posição intermediária. entre a. posição indeforrnada
ABCD
e a posição
deformada. 41
final A 'B'C'D';
I
Capítulo 3, Princípio do trabalho virtual
42
b)o trabalho
virtual
referente
à deformaçã.o
do elemento,
designado
por
dWd· Estando o elemento Assim, tem-se que:
em equilíbrio,
o trabalho
dWr é nulo.
(3.1 ) A igualdade (3.1) significa que, durante o deslocamento virtual, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual ao trabalho virtual realizado pelas mesmas forças durante a deformação virtual do elemento. Essa igualdade estendida a toda a estrutura fica:
(3.2) lii I,
/
M
M+dM
N-8D8-
N+dN V+dV
V
(a) Figura
3.1: a) Estrutura
(b ) deformada
b) Elemento
diferencial
Pode-se ainda interpretar a igualdade (3.2) raciocinando da seguinte maneira: a integral do lado esquerdo da igualdade representa o trabalho virtual realizado por todas as forças durante a deformação virtual da. estrutura. Na face comum a dois elementos diferenciais de um membro da. estrutura atuam esforços de mesma intensidade e sentidos opostos; assim, os trabalhos virtuais realizados por esses esforços internos se anulam, já que eles t.êm o mesmo valor numérico. e sentidos opostos. Sobra. ap enas o trabalho virtual das forças externas. Portanto, a primeira integral da igualdade (3.2) corresponde apenas trabalho virtual das cargas externas, sendo representado por vVext'
ao
43 A segunda integral representa o trabalho virtual associado à deformação de todos os elementos da estrutura considerando a ação de todas as forças externas e internas (tensões resultantes). Porém, durante a deformação da estrutura, a.penas as forças internas realizam trabalho, correspondendo, então, essa integral, ao trabalho virtual interno Wint. Pode-se dizer~~~im,
7)irtuqJ_!:..~0:.lj_z__'!:,~9 ..E..e_lªs.[qrças externas}
que: o trabalho
quando se dá a llJ1!'_(L.~S~TY:!YI{l.A~tº-r!!1ável em equil{b_ti~ um deslocamentQ"J)i[~
tuol, é_iQJLal--_.-ao trabalho _,_ representada
......__._~._~,~"~~
realizado
peY;;_;TÓTç-'~-s-:r:;;'te"~nasi'sendo essa igualdade
por:
, ..•...e_.
(3.3)
o
trabalho
virtual
é calculado
externo
como ~roduto
das forças externas .
~;;,~·~tos-vlrt;;~.is impostOs-~;trutura. -_ ... _._--...-,.... . -6t;~b~ih~-·~i;t~~li;t~~-o é Z~lcl~Tad~·-~~'p,;:~t-i·;dâs tensões e das
_r:_elos
qu~~~<:g~!:e,ill~·;:;:º~·~i~rnenfosãô-~-·c1~r·oa:esTo-câmento
-_'"Suponha-se
deformações
virtual.
que o elemento diferencial ABCD (Figura. 3,la.), após o deslo-
carnento virtual aplicado à estrutura, assumiu a posição deformada A'B'C'D' e que as seções que eram planas mantiveram-se planas após a deformação. Assim, chamam-se de : uu= deslocamento relativo do centro de gravidade da seção AC na direção x; dv= deslocamento relativo do centro de gravidade da. seção AC na. direção y; dB= a rotação relativa da seção AC em torno de, um eixo perpendicular ao plano da. figura passando pelo centro de gravidade da seção. O trabalho virtual interno associado ao elemento diferencial é dado por: dWi = Nd«
+ vau + Mde
(3.4)
desprezados os infinitésimos de ordem superior. Supõe-se que os esforços e.deslocamentos no mesmo sentido balho positivo. Considerando vista a validade
a igualdade (3.4) estendida a toda a estrutura. de (3.3) pode-se escrever que:
W"x! =
J
Ndu
+
J
Vdl!
+
.I
iVIde
realizam e tendo
tra.-. em
( :3.5)
O princípio slo tr~~lbg...Y.i!:tn.!!lªJl]j~3!:=se.a e:"~!'~~.1:l.I:~_S iIl~!!'J~~El.(tentemente.de o materialse cornport.ar Iinearrnente ou nâo, e]~<;ticamente ou inelast icamente. -- . Yi~·i-a.plicaçi;~i~·pri~·~ípi~-d~tl:a.balho viÚuãrna det.eiTIíiri·ação
de-aesrüca.;;!!.~t4::.i!!:Fl11e foi utilizado
mentes em estruturas é o chamado ~fto!}_'2_1!!:.!·arga por Maxwell e lVlohr para resolver estruturas hiperestáticas.
lli:.s}Q]jç~çk·()__c~ess.~: fT1~t:?~.~fl~.i~~~3lA~~ cl()is.~!§tp:!l}.9::) ..<:l~ ca.rrega~l11e.r~.to. Q..Erimeixo sistema consiste na estrutura su brnetida a ações externas resporis áveis p~fo deslocament() que se quetêalê\iTãr~ -_ .,.__
---"
.•••.
-
•
""'_0'
•.....
_.
__ '~_,
••••
_ •.
_._
•• _~
_
44
Capítulo
3. Princípio
do tra.balho v irtuel
o
segundo sistema de carregamento corresponde à atuação de uma carga unitária agindo na estrutura. Essa carga unitária é fictícia, porém deve corresponder ao deslocamento que se quer calcular (se o deslocamento desejado é .uma rotação, a carga. fictícia eleve ser um momento unitário aplicado no ponto onde se quer a rotação). Seja, pois, 6. o deslocamento procurado. O t.rahalho externo produzido pela. ca.rga unitária, com o deslocamento desejado 6., causado por cargas reais, va.le: (3.G) O trabalho virtual interno é realiz ado pelos esforços internos (NI) VI, Ai, l. durante a. deformação virtual da est rutur a, produzida pela carga. ulIiLíria. Igualando o trabalho virtual externo com o interno tem-se det.erminado o deslocamento procurado: ,\ '.!
EiN~:l~d~L~/'.dO._~1
Para materiais que seguem igualdade (3.7) sào:
a. lei de Hooke,
NTdx
dv =
di: = EA
as deformações
(37) envol vielas na.
ci~(Ll: GA
(3.8 )
sendo Nr, \~ e A1T as tensões resultantes produzidas rela~ carga.s reais. Substit.uindo .......-"---~"."_." os valores dados _ em (J.8) na igualdade (37) - ..".,, _ ,_ ,- . ---t-em-se:
.( J ; [;, =
ti!:: ~ '! :, ~:' i 1
NjNTd
EA
x
I
\~d + . clt; GA x +
J Ei
lYf1MT dx (
Basta, ent áo, conhecer os diagramas de esforços produzidos unitária e pelas cargas reais e combiná-los. O deslocamento 6. tanto pode ser rot açáo como translaçâo.
(3.9) pela
ca.rga
Exemplo 3.1 Calcular as reações de apoio RI, R2 e M2 da viga dada na Figura 3.2 utilizando o mét.odo da carga unitária. Sã.o dados o módulo de Young E, o momento de inércia J da. seção, a força P e o comprimento I. O método da. carga unitá.ria. consist.e em considerar dois sistemas: o sistema A onde se substitui o vínculo hiperestático por uma ação correspondente m ant.endo as carga.s atuantes e o sistema B constituído pela viga sem as cargas mas com urna. ação unitária aplicada na posição do vínculo hiperestático retirado. Ambos os sistemas são isostáticos. Suponha-se que a incógnita hiperestát ica , para a viga da Figura 3.2, seja. o momento fletor que existe no engastamento e é denominado /02, Assim, os sistemas A e B são os mostrados na Figura 3.3. Seja 6. a rotação da viga no engastarnento. Da igualdade (3.9) tem-se:
_,_.\_\ 'i!
13:~:-,._
v
;P'--L":'~'~~-
'--l_~)_,~_:n_-...I_\_; __\.l
_' __
I
45
2P
1
D -
t,
l ../2
~)M2 l/2
I
·t
'I'
R2
RI
Figura 3.2: Viga com reações a. calcular
(3.10) onde !vII é a função que representa
a vari açào do momento
unitária. e 1\1, a função que representa. viga da Figura 3.3(\.
a variaçâo
Retor devido à carga
do momento
fletor para
a
2P
)M2
I
l/2
L/2
6)1
u
.~
(a)
Figura
3.3: a) Viga. do sistema
A b) Viga do sistema
B
Para. simplificar o cálculo, essa. viga pode ser separada em duas anele atuam separadamente as açôes 2P e 1112, corno se mostra na. Figura. 3.4. Nessa. figura tarnbém aparecem 'os diagramas de momentos flet.orcs paril. cada. caso. O diagrama de momento fletor para a. carga uuit ária ~ dado na Figura 3 . .5. A integral da igualdade (3.10) pode ser dividida em duas de modo (\.se ter:
/\ uonde a primeira
tos fletores
O1+ O'2-- ([
integral!
il1 M exl") + ([ -ET . . " . corresponde à combinação l
r
da viga. da Figura. 3.411 e da Figura
A/2A1, .) --(11
(3.11 )
EJ c dos diagramas
de momen-
:1..5, e a segunda
Íllt.egral
à
lOS índices b e r. das integrais da igualdade (:.1.11)referem-se aos diil:;-raruas de momentos das Figuras :l.4", e h respectivarnent.e.
'/J \ 7
17 o ."
~Je_c
~
Ca.pítulo 3. Princípio
do trabalho virtua.l
46
;
-!
t
l/2
Lj2 j
.'1
ij (b)
(a)
1
!I
(c)
i
- i Figura. 3.4: a) Viga
do sistema. A b) Viga com carga 2P c) Viga. com momento
M2 combinação dos diagramas das Figura 3.4c e da Figura 3.5. Utilizando a tabela. de integra.is de produtos de funções Apêndice C, as integra,is da igualdade -11 P/I/I
6. == ----
2322262
Como
,", \',;,
, !i,;;
Ii
a.presentada
no
(3.10) fica.m: PI
- --'---(1+) +
/
-J\!J2
3
6. na viga. real é nulo, obtém-se M-z que resulta:
Do equilíbrio da viga da. Figura. 3.3 obtêm-se as reações R] e RI. da.das por:
1
I
3.1. Exercícios propostos
47
LS
I.
1
6)
-I-
1/2
!
1/2
.1 I
~-j1 Figura 3.5: Viga com açã.o unitária e seu diagrama
3.1
de momento fletor
Exercícios propostos mostrada na Figura 3.6a, é formada por três fios que
1. Uma estrutura,
devem sustentar uma viga. O fio do meio foi construído com comprimento menor do que o necessário. Calcular a. força na barra 2 depois que ela foi unida ao restante da estrutura. Os três fios são de mesmo material e têm a mesma seção transversal de área A. A viga tem módulo de Young E e seção transversal constante com momento de segunda ordem I. São dados: A, E, l, D, E e I.
R esp... N 2 --
6EEAI (9EI+EAI2
01:' _ FI
)l
.
~F_ '.1!J.
@I"
EI
/;;/~ T
A
(a)
1\
p
~ a
(b)
Figura 3,6: a) Exercício 1 b) Exercício 2 2. Calcular o valor da rotação B, devida à torção, da seção A da viga AB da Figura 3.6b. As seções são circulares com diâmetro d. Dados P, a, SO.93Pa2 d e E . R esp.: () ~ ~ ~" .
Capítulo 3. Princípio
do trabalho
virtual
48
~\7l R
p
Vi (b)
( a) Figura. 3.7: a.] Exercício
4·b) Exerdcio
5
3. Determinar o valor do deslocamento vertical /i" do ponto.') da. tre1iça ela figura 2.18b (\llando as barra.s 12 e 25 sofrem urna va.riação ele temperatura
de :30°C. Dados'
Resp.: S; ::::O.18cm. 4. Qual o deslocamento a. Figura
a = ZOOCTn) a
= O.000015(
C.
*.
8h da viga. circular de raio R, conforme 3.7a. São dados: P, R, E, e 1. Resp.: s; = norizontal
5. Ca.lcula.r o alongamento 6.1 da barra cônica mil.c1ça de seção circula.r devido apenas ao peso próprio. A barra, mostrada na Figura. 3. 7h, é constituída de material com peso específico "( e módulo de Young E. São dados também o ra.io R e o comprimento i. Resp.: 61 =
~i·
p
1
.4
EI
h/2
A
h;/2
((1) Figura
3.8: a.) Exercício
valor do momento
6 h) Exercício
1\-1 A no p0nto Figura 3.8a. Sào conhecidos: P c h. Resp.: MA :::=
6. Calcular
O
fietor
1
A do pórt.ico da.
h
P2 •
3.1.
Exercícios
49
propostos
;':,:: ::-, j:
7. Determinar o deslocamento vertical S; do ponto A do pórtico tr iarticulado da Figura 3.8b. As seções sáo constantes e têm momento de segnndi\ ordem J. Dados: P, R, E e I. Resp.: 5u ~ P R3 El.
P
1
•
El 1.51
E
)Mo
I
s
fi
~
EI
6.
I (6)
(a)
{:,":-
Figura. :1.9: a) Exercicio 8 h) Exercício 10 8. A viga prism ática em balanço da Figura :3.90.. tem em sua extremidade livre um momento !V1o aplicado. Sendo I o momento de segunda ordem de sua seçâo transversal, E o módulo de Young do material que a constitui e I a medida do comprimento do balanço, calcular o . 1d id d li R c = 7M I «es Iocamento vert ica a extrerru a e rvr e , . esp.: 0" BEl'{' (). Calcular o deslocamento vertical cio pont.o de aplicação da ca.rga P da treliça dada. na Figura. 2.18b. Dados: P, E, A,e CL. Resp.: Ol' :::::::n.~:". 10. Como varia o deslocamento vertical 11(-5) no meio do vão da viga. prismática da Figura 3.9b se a. carga P é móvel? São conhecidos o momento de segunda ordem I da seção transversal ela viga, seu módulo (eI
3.~ -
3
(2 ) . 45
Capítulo 4 Teoremas de energia
4.1
Teorema de Clapeyron
o teorema de Clapeyron estabelece que a energia de deformação U de um sólido submetido a um sistema de esforços Pi é igual à metade do valor da soma dos produtos das intensidades dessas forças pelas componentes dos deslocamentos de seus pontos de aplicação nas direções das forças. PI) P2)"')
Considerem-se n forças externas tos) e os respectivos deslocamentos ou rotações).
finais
7-'1,
P; (podem ser forças ou momenV2,''')
Vn
(podem ser translações
U ma. vez que o trabalho realizado pelas .forças externas é independente da ordem de aplicação das forças e depende apenas de seus valores finais, pode-se admitir que as mesmas variam de seus valores iniciais até os valores finais P, assumindo valores intermediários kPi) onde k é um coeficiente que varia de zero até o valor final 1. Seja Vi o valor final do deslocamento do ponto i na aplicada no ponto i. Como o sólido é elástico, uma vez aplicada no ponto i alcançou o valor intermediário kPi) a ponente do deslocamento do ponto i na direção da força
direção da força P, que a força genérica correspondente comatingiu o valor kVi.
Quando a. força aumenta de k P; para (k + dk)P;, a correspondente componente do deslocamento aumenta da quantidade v,dk na direção de P; e o correspondente trabalho, desprezados os termos de ordem superior, vale:
dW Integrando-
nos limites
n
= L kPi ,=1
Vidk
= L p;v;kdk
(4.1)
k = O até k = 1 tem-se: (4.2)
o que demonstra a proposição, já que para sistemas conservativos o trabalho realizado é igual à energia de deformação armazenada no sólido. Esse resultado já foi obtido anteriormente, quando se calculou a energia. de deformação originária dos esforços internos, item 3.1.
51
Capítulo 4. Teoremas de energia
52 Exemplo 4,1
Como exemplo simples, apenas para ilustrar uma aplicaçâo do teorema de Cl apeyron , determinar o valor da máxima deflexiio da. viga. da Figura 4.1. São dados (J módulo de Young E, o momento de inércia l , o com pri men to I e a força P.
figura
o
trabalho
realizado
'L 1: Viga em balanço
por P, ele acordo
com
fletid,l .0
est(ilw]pcido
na ignalc1acle
(4 2) vale: ll' = ~p
f
2 .
A pnergia
(2J~)
r
de deformaçáo
arm azen ad a na. viga, de a.ordo
com a. iguakl vle
dada por:
u= A Iuuçào
que representa
~ 2
.
(}
.J
o momento
fletor t.eru a forma:
= Pv
M que substituída.
;'1 iHEJ2 c/x
em Ct.:~) fornece:
Corno o sistema
(. .onxerva.tivo
j.j/
l
=
{r, resultando:
['2
r = -fiEl 2' fJ
- I' ou:
fJ(1
f
= :H:;J
(4.:3)
4.2.
4.2
53
Teorema. de Ma.xwell
Teorema de Maxwell
Suponha um sólido elástico com vínculos fixos ou elásticos submetido a dois sistemas de ações A e B (podem ser forças ou momentos), como se mostra na Figura. 4.2. p
/
/
CL
/
b
®
Figura 4.2: Sistemas
de esforços atuando
no sólido elástico
No sistema A uma. força P, cuja linha de ação é a reta a, atuando lentamente de zero até o valor final P, no ponto A, provocou deflexôes Vaa na direção a e us« na direção b (deve-se entender que 'Uaa significa deflexão na direção a provocada por força atuando na direção a, e V6a é a deflexão na direção b produzida por força atuando na. direção a). O trabalho WA realiz ado pela força P no sistema A vale:
(4.4 ) Mantendo _P aplicada no ponto A faz-se com que outra força P atue da mesma maneira no ponto B, com linha de ação coincidente com a reta b. O trabalho 'VV,B realizado pelas forças vale:
WB
=
1 -FVbb
2
+ PVüb
(4.5 )
já que vale a. superposição de deslocamentos. O segundo monômio do lado direito da igualdade (4.5) não leva o coeficiente ~ porque a carga P já. estava atuando no ponto A quando a outra carga P começou a agir lentamente no ponto B. O trabalho das igualdades
total realizado pela atuação (4.4) e (4.5) va.lendo:
das duas forças é dado pela. soma
Capítulo 4. Teoremas de energia
54
W =
1 '2Pva.a.
1
(4.6)
+ '2PVbb + PVa.b
Supõe-se, agora, que se comece aplicando ao sólido, lentamente, a força P no ponto B, provoca.ndo defiexôes Vbb e Va.b respectivamente nos pontos B e A.
O trabalho realizado por essa força vale: (4.7) Mantendo-se P atuando no ponto B e aplicando-se lenta.mente outra força P no ponto A, direção a, o trabalho realizado pelas forças V:lle: (4.8) Atuando
as duas forças em seqüência, o trabalho total realizado vale a soma
das igualdades
(4.7) e (4.8), ou seja:
W* = ~t»: + Como as igualdades
(46)
~PVbb + PVba
(4.9)
e (4.9) devem ser iguais, conclui-se que:
(4.10) ou seja: o deslocamento na direção a causado por força atuando na direção b é igual ao deslocamento na direção b causado pOT fOTya alsuitido na direção a, Esse teorema também é chamado de teorema da reciprocidade de Maxwell.
4.3
Teorema de Betti
Esse teorema. é um dos teoremas da reciprocidade
e é mais geral do que o
anterior. Considere-se um sólido elástico com vínculos fixos ou elásticos submetido a dois sistemas de ações externas A e B, como se mostra na Figura 4.3. Supõe-sé que as ações do sistema A sejam aplicadas em primeiro lugar, produzjndo
o trabalho
WA dado por: (4.11)
A, aplicam-se as ações do sistema B, sendo WB realizado por todas as a.ções iguais a:
Ma.ntendo as ações do sistema o trabalho
(4.12)
55 4.3.
Teorema. de Bettí ~B
Figura 4.3: Sistemas de ações atuando no corpo elástico Notar que rn , n, p,
T
e s são direções fixas e iguais para as duas situações
de carregamento, uma vez que o sólido é O mesmo. O trabalho total, realizado pelas ações dos sistemas soma das igualdades
W =
1
-PlA IA V
2
A e B, é obtido com a
(4.11) e (4.12), valendo:
1
1
2
2
1
l'
V 2B
+ -P2AV2A + -P3Bv3B + -2P4BV4B + -2PSBV5B + PlAVlB + P2A
(4.13)
lnvertendendo-se, agora, a ordem de aplicação dos sistemas de ações, ou seja, fazendo atuar em primeiro lugar o sistema B, o trabalho WÊ realizado pelas ações desse sistema. vale: (4.14) Mantendo-se trabalho
as ações do sistema
B e a.plicando as ações do sistema A, o
WÂ- realizado por todas as ações vale: (4.15)
o trabalho W
*
=
1
total, para. esse caso, vale:
'2PIAVIA
1
1
1
1
+ '2P?AV2A + '2P3BV3B + '2P4BV4B + '2PSBVSB +P BV3A 3
+ P4BV4A +
+
PSBvSA
(4.16)
Capítulo 4. Teoremas de energia
56 Os trabalhos VV e W* devem entre (4.13) e (4.16):
ser iguais,
resultando.
então,
da. igualdade
(4.17) ou seja: O trabalho realizado pelas ações do sistema A com os deslocamentos do sistema B é igual ao trabalho realizado pelas ações do sistema B com os deslocamentos do sistema A. Existem outros teoremas da reciprocidade, inclusive englobando o teorema de Betti, porém não são conhecidos no âmbito da resistência dos materiais.
2P
/S -
t
2P
t
t
zs: -
1/2 .~ L/2
~
6
.1.
L/2
V2
T
~
R2
RI
z
E.
v( x)
R,
(o)
Figura
(b)
4.4: a) Vigas com reaçôes
a. calcular
b). Viga com deflexôes conhecidas
Exemplo 4.2 Com o auxílio do teorema de Betti, calcular as reações de apoio da viga da Figura 4.4, sabendo que a função que representa as deflexões da viga é:
v(x) = --PP
48EI
[X12(- _4(_)3X] I
para
I
O:::;
x :::;l
o
sistema A é representado pela própria viga, Figura 4.5a, ao passo que o sistema B é o-btido retirando o vínculo hiperestático e as carga.s externas e uma força unitária substitui a reação incógnita hiperestática, como mostra a Figura 4.sh. Esse sistema é fictício mas deve ser compatível com o sistema A. O trabalho realizado pelas ações do sistema A com os deslocamentos do sistema B vale:
(4.18) O sinal negativo
O trabalho sistema
indica que as deftexões
realizado A é dado por:
pelas
Vl
têm sentido
ações do sistema
WB = (1).(0)
oposto às ações 2P.
B com os deslocamentos
do
(4.19)
4.3. Teorema de Betti 2P
57 2P
!
{
(b)
(o.)
4.5: a) Viga do sistema
Figura Da. igualdade
cios trabalhos
A b) Viga do sistema
B
T--VA e TVB tem-se:
resultando:
(4.20) Dit equação das ddlcxões à, distância. l/2 do apoio é:
fornecida
111
I
obt.érn-se
__
que o deslocamento
~13
= /!( '2) -
96EI
e no meio elo vão:
Substituindo
1'\
e
112
em (4.20) resulta: II
R2 =-p 4
e do equilíbrio
o momento
vertical
da viga da Figura
4.4(1 obtém-se
fIetor no apoio intermediário
3 M= -Pt 8
vale:
a outra. reação.
vertical
Capitulo 4. Teoremas de energia
58
Exemplo 4.3 Para a viga da Figura 4.4a, calcular a variação do momento fletor no apoio intermediário com a variação da posição das cargas 2P. São dados a força P, o módulo de Young E, o momento de inércia I, o comprimento I e as equações das deflexões e rotações para a viga da Figura 4.7b, com M 1.
=
v(x)
8(x)
=
[f - (7)3]
[2
6EI
= -v'(x)
= _1_
6EI
[-1 + 3(::)2] I
Como o problema é simétrico, pode-se trabalhar mostra a Figura 4.6.
2P
!
4 I,
.1.
x
2P
,... 6. L-x
,I. L-x
t
,I
=
x.1
b -
com metade da viga, como
2P
!
!S
\,
2P
x
.1
ll/1 M ~ + (6.~-___!_--C>6. l-x
~
I'
Figura, 4.6: Viga dividida em duas estaticamente
\.
L-x
,I.
x
.1
equivalentes
Toma-se uma das duas metades como o sistema A e a viga com momento unitário no apoio onde atua M como sistema B, como mostra a Figura 4.7.
2P
ti
~~L;:\
I.
x
!
.1.
M
i- x
f)
x
~
l-x
~
Figura 4.7: a) Viga do sistema A b) Viga do sistema B
o trabalho fornece:
das forças do sistema
A com os deslocamentos
WA = -2Pv
o trabalho dado por:
do sistema
B
+ Me
das forças do sistema B com os deslocamentos
do sistema
A é
4.4.
59
Teoremas de Castiglíano
f- ~.
WB = (1).(0) Da igualdade
dos dois trabalhos
resulta
M A rot açao
e para
'U
2--P
=
(4.21)
()
x = I vale:
e= Substituindo
que:
v( x) e
e
I 3EI
em (4.21) obtém-se: (4.22)
A equação (4.21) mostra que o momento fletor no apoio intermediário da viga é proporcronal à equaçào das deflexões da. viga. quando 2P varia sua posição sobre ela. A forma final dessa equação está representada pela igualdade (4.22). A função que representa o momento fletor no apoio intermediário é chamada linha de influência do momento fietor. A verificação da fórmula (4.22) pode ser feita supondo-se x = l/2: M = Pl[~
2
que coincide com o valor anteriormente
4.4
-
~J _ 8 -
3PI -8-
calculado.
Teoremas de Castigliano
Embora possa nã.o ser adequada do ponto de vista didático - já que se presume que os possíveis leitores dessas notas sejam alunos de graduação -, a demonstração do teorema. de Castigliano, que foi sua. dissertação de engenheiro, será a.presentada seguindo, da maneira. mais fiel possível, o texto original. Embora não se tenha tido a pretensão de que o texto apresentado neste trabalho seja. a tradução do original, preferiu-se destacá-lo (em itálico) por se tratar de um extrato. As razões que levaram a optar por essa demonstraçã.o sã.o, principalmente, duas: a) dar ao leitor a oportunidade de acompanhar a demonstração original, real, histórica; e b) prover um texto alternativo, uma. v ez que a maioria. dos livros de resistência dos materiais contém uma demonstração mais didática ou, então, mais simples, utilizando o teorema da. reciprocidade de Maxwell.
Cepitulo 4.
60
Teoremas de energia.
Teorema deI minimo lavoro
4.4.1
1
o .enunciado
deste teorema. é: .Clt forças atuam em lira sá/ido eiá» ti co, então a derivada parcial da enerqi« d« de.forrnaçri.o do sólido em iclaçiio a urna das forças f: ig7wl ao deslocamento do ponto de ap/ú'ação da [orça na direção f: sctilitlo da [orça. SlLponha-.sf: um sislcrna elástico (ltfrrrmarlo pOT [oiça.s e,dCr71CLS cujos ualoJ'fS finais sejam P, Q, R, ... e as pro_ju.;ófS dos desioctuncntos dos pontos de Ilpllr:l1çilo dessas forças medulas nas direções das forças sejam P. <1, r.. ... Esses dcslocuni=nt o» podeni ser u:pressos como es lincaré' de" "(,'05 P. Q,
R, ...
como:
1
1
1 1 I
.!
1
!
I !
I'
ÀP
fJ
ÀjP
r
ÀzP
+ 11(2 +
1)
R
I
+ ...
(ti 23)
+ jllQ + /)1 R + + 1'2Q + I/.J?. + ...
(4.24)
(4.25) (,UG)
sendo À, /1, 1)1, ... , ÀI:'" cousuinics independentes de P, Q, R, .. Chamando de p', Q', R' ,... iuti sisi em a de frrrças com calores uii ermcduuio» aos de P, Q, R; IJILf 'uão ciescerulo lentamente de Zé'/'O ati. seus calores finais e p', q ', r' os currcsporuienles deslocamento.'; projetados nas dirrçors rlalj1lfln.s [orças, tUII-Só:
+ I/R' + ... + ftlQ' + l/IR: + . + flzQ' + 1/2R' + .
P
= ).p' + IIQ'
q
=:
).IP'
r
=
À2P'
(4.27) (L1.28)
(4.2~)) (4.30)
Se se suprJe qUf' as forças a P, Q, R, ... ; tem-se:
P', Q), R', ... sejam, respectiuattietiie,
preporcio-
tuiis
(4.31)
p' = aP'
sendo Ü', {J, /, ... constantes. Nesse caso o trabalho da cresce de zero até o valor final P; é dado pO'r:
1
1'
. o 1 Nesta
demonstração
tras utilizadas neste texto,
P " dp = a
P "
o
a? = -Pp 1 p dP = i:tr:
v uâo é o coeficiente
por Castigli ano, e espera-se porém
l
coru significados
l=s= P':
2
de Poisson.
ela
(4.32)
2
Procurou-se
que não se faça confusão
enquanto
manter
as mesmas
le-
com letras já empregadas
diferentes.
/
I
I
i
I 1
4.4. Teoremas de Csstiglieno
61 »:
f.
portanto
trabalho de toda.')
I)
a.5
forças
externai! aplicadas ao sistema
1
2. (Pp + Q q + Rr + ...)
~~.
e:
"t
(4.33)
Ajas o trabalho das [rnças «ricriias deve ser igual ao trabalho interno, f este { iiidepcwdcni« ela lei de cres cim.enl.o das forças extrrruis; portanto a i_q'ILaldadr.(1.88) reptcs ent.a () trabalho int erno (energia (h deformação), iu dcpcrcdente da
lei de variaçiio das forças erternus. Sllponlw-sc qu« às forças P, Q, R; ...
sejan: dados incrementos dP, dQ, clR, ... e dp , dq, dr ,.... Ti . S<10 dados o comp rimento I, o coeficiente de dilatação térmica (1- e a altura li. da viga. Inicialmente P. necessário cquacioner a erwq;;iél de deforrn açâo dcvida. à. variaçâo ela t crn peratur a. Para isso, considere-se o eleuient.o difcI'cnclal ele viga mostrado na Figura ,Ulh, após t.er ocorrido a vatiaçáo de t.emperat u r.a. Df' maneira geral, pode-se dizer que a va.riaçáo de um comprimento dr ao ser submetido;; uma t,(';l1lpenl-tura T é:
I
j
I
I
I
6.d.r = etTd.r Desse modo,
T
(b)
~~
\-,
+ f-
~>,_
/c,.
-
ti·
t
'-"
Figura 4.10: a) Viga inicial b) Ação da temperatura hiperestática Esquematicamente
D.
(c)
.+ F=O
F=O
{a}
x
•
~
H (d)
c) Força fictícia d) Força
as ações na. viga podem ser postas como mostram
as
Figuras 4.10. A Figura 4.10b mostra as de:flexões devidas apenas à variação da temperatura; a Figura 4.I0c a força fictícia F atuando no meio da viga, e a Figura 4.10d representa. a atuação da força. hiperestática H. Como a força H não provoca reações verticais nos apoios, os momentos fletores são nulos. Como sã.o desprezadas as deformações axiais no cálculo da energia de deformação, somente as ações mostradas nas Figuras 4.10b e 4.10c colaboram para a energia de deformação.
.,. -
Capítulo 4. Teoremas de energia
66 Assim tem-se:
M(x)
1
= M + 2Fx
1 2
dF
à. variação da temperatura..
sendo M o momento Hetor devido O deslocamento
dM(x) --=-x
e
vertical no meio da viga vale:
f-auI
- ôF
_
au
dM(X)\
aM(x)
F==O -
dF
F=O
Sendo a energia de deformação dada por:
a defiexão
f
U=2
1
NP(x) --dx 2EI
f =2
1
M(x) 1 ---xdx
1/2
tem a forma: 1/2
EI
o
(4.47)
2
Da resistência dos materiais sabe-se que:
dO M dx = EI e, portanto,
o momento fletor
M, devido à variação da temperatura, d8 dx
M = El Substituindo
a6T h
vale: (4.48)
= El
na igualdade (4.47), sabendo que F é nulo tem-se:
f =
2
1
1/2
o
aLT 1 ---xdx h
aLT = _h
2
1
12 /
o
2
a6Tl 8h
xdx = _--
O mesmo exercício pode ser resolvido com a aplicação do método da carga
~~~~
.
Considere-se a viga da Figura 4.10b como sendo a solicitada pEJas cargas reais (temperatura) e a da Figura 4.10c a solicitada pela carga unitária. Da igualdade (3.9) tem-se que o deslocamento L na direção da carga unitária valê:
f sendo M
1
=
L =2
t" M1M
lo
r
EI
dx
o momento produzido pela carga unitária e Mr o momento devido
à temperatura. Esses valores já foram determinados
M1 = fornecendo
f
como:
f
=
1
2x
21
12 /
o
e
e valem:
a6T
M; = El-h-
aLT ~xdx = a6TI2 h 2 8h
67
4.4. Teoremas de Castigliano
Exemplo 4.5
Determinar a deflexâo vertical da extremidade livre da barra. circular de raio R tendo uma carga P, perpendicular a seu plano, aplicada na sua extremidade livre, como mostra a Figura 4.11a. São dados o módulo de Young E, o coeficiente de Poisson v, o raio R e o diâmetro d da seção transversal
da barra.
d
p
e
R
<,
,/
e
,/
,/ R
P (para. ba.uo)
',/
(b)
(a)
Figura. 4.11: a) Barra circular engastada
o teorema de Castigliano sob a carga P, tem-se:
b) Momento torçor e fletor
estabelece que se v
oU oP
é a deftexão vertical da barra
=v
sendo U a. energia de deformação da barra. Considerando efeitos da flexão e torção, pode-se escrever que U vale:
11
1
2
M-dx 2 O EI
U=-
11
+-
1
simultaneamente
os
2
M_t dx
2 o ct,
sendo M e !yJt os momentos fletores e torçores ao longo da barra, 1 o seu comprimento, 1 o momento de segunda ordem (ou de inércia) e lt o momento de inércia à torção da seção transversa.l da barra. Chamando de () uma coordenada angular com origem na extremidade livre da barra, a função que representa a variação dos momentos íletores na barra, como mostra a Figura 4.11, vale:
M(8) = Pe = PRsen(}
(4.49)
O momento torçor, de acordo com a Figura. 4.11 vale:
Mt(B) = Pd = P R(l - cos B)
(4.50)
i ''',-~
.
r::;_
Capítulo 4. Teoremas de energia.
68 Do teorema de Castigliano
pode-se escrever que:
eu
eu
ôU dM
dMt
(4.51)
= ap = oM dP + aMt dP
v De (4.49) tem-se que:
dM dP e de (4.50)
=
Rsen8
(4.52)
que:
dMt dP
v == _1
EJ
Integrando,
R(I - cos 8)
(4.53)
U como mostra (4.51) obtém-se:
Assim, derivando-se
Substituindo
=
1~
M::
I
o'._' .
Capítulo 4. Teoremas de energia
78 Substituindo
a curvatura
.,-
i
I
nessa expressão, obtém-se: (4.68)
que representa A energia u· -
a tensão
em qualquer
complementar
l
er;
o
substituindo
eda -
ponto
1"; (O')
da -
C
o valor da tensão
A energia de deformação
l/n
-
o
de uma seção genérica.
é dada por:
específica
-
0';
(n)+ --
1
determinado
complementar
1
n
C(l/n)0'(1+1/n)
,
em (4.68) tem-se:
é obtida
integrando
u" no volume,
ou seja:
lot/
2
U' Após substituir
=
4
lot/
2
[
u*bdy
1
dx
u" e integra.r resulta:
U* =
n2(n
1 2(n+l)/n
(2n2
.:::..E_I ---ic---
2l
+ 2)1/n
p(1+n)/rl(l+2n)!n
+ 3n + 1) b1/nh(2+n)/nCl/n
MO )
1------1
~~
p
(b)
( CL)
Figura 4.18: a) Exercício 1 b) Exercício 2 Aplicando
o teorema
de Crotti-Engesser
encontra-se
a deftexão no meio do
vao:
õir
f
= 8P
1 =
2(n+1)/n
+ n)l/n (1 + 2n)
n(2
pl/nl~1+2n)/n
b1/nh(2+n)!nCl!n
1
~"::~ .~' .
i
I \
i
I
I
.il
4.5.
79
Exercícios propostos Se n for igual à unidade a deflexáo máxima vale:
(4.69) sabendo-se
que pa.ra
eixo baricêntrico
3.
seção retang'llar o momento de inércia. em relação ao
vale: T=-
bh3
12
e que para material que segue a lei de Hooke: a
= Ef.,
obtém-se de (4.69) que:
que é o valor exato.
ç
Clt! ~J
~
a
Mt
ct.,
.\.
a
2~
~ .
(a) p
p
?
EI
ê
-1
~I
. }
z
EI
l -
~ v(x}
(c)
(b)
Figura 4.19: a) Exercício 3 b) Exercício 4
4.5
Exercícios propostos
1. Calcular a deflexã.o da extremidade livre da viga da. Figura 4.18a. São dados o momento Mo, o comprimento I, o momento de inércia I da seção transversal
Resp..
.
MoI' EI'
da. viga e o módulo de Young E.
~.
j"'
.,~,
.,-kll?í
80
Capítulo 4. Teoremas de energia
B
C
q
p-~A
(a)
(6)
Figura 4.20: a) Exercício
5 b) Exercício
2P ~2
6
3P 3
4
is
a
Figura 4.21: Exercício
7
) fi 11
~ ~
I
.J
81
4.5. Exercícios propostos
2. Determinar a força no fio de área. A da estrutura da Figura 4.18b. A viga tem seção transversal com momento de inércia]. São conhecidos os comprimentos I e a, a força P e o módulo de Young E. AI3+3IA'
3. Calcular as reações nos apoios A e B da viga da Figura 4.19a. São dados os momentos de inércia à torção In e It2 e o módulo de elasticidade transversal
=
G. Resp.: Mo
Mt2 =
I I+t1I Mt, o
e2
I 1+'21 tI t2
Mt.
4. Obter a linha de influência da reação R;t para a carga móvel P percorrendo a. viga da Figura 4.19b. Supõe-se conhecida a equação das deflexões da viga. da. Figura 4.20b. São dados P e o comprimento l.
=
Resp.:
6~1(1 - x)2(2l
+ x).
h + h )P, 3
RA = (1 -
sendo
T)
= e j l,
5. Calcular as reações nos apoios A, B e C da viga da Figura 4.20a cujo apoio intermediário sofreu um recalque 6.. São dados o comprimento I, o momento de inércia 1, o módulo de Young E e a carga q. Resp.:
R
- R
A -
-
C -
3ql 16
+ 24Elb p)
R
_ ~ _
B -
8
48EI6 13'
q
â~~~~~~~I t /
EI
I
l (b)
(a)
Figura 4.22: a) Exercício 8 b) Exercício 9 6. Uma carga P aplicada em A, com direção horizontal e sentido mostrado na Figura 4.20b, produziu nesse ponto um deslocamento conhecido 6. êm sua direção. Qual o valor de um momento ftetor M que aplicado em C anula o deslocamento 6 do ponto A? São conhecidos a força P e o comprimento I. Utilizar os teoremas de Castigliano e de Betti. Resp.: 4PI. 7. Calcular a variaçâo do raio de um anel circular de raio r submetido à carga radial p. A área da seção transversal do a.nel é A. Dados: q, T,
E e A. Resp.: ~. 8. Determinar
a função que representa
4.22a utilizando Resp.:
.)
PAI'
Resp.:
v(x)
).
i4~I(6F
o teorema
- 4lx
+ x2).
as deftexões da viga da Figura
de Castigliano.
São dados: q, I, E, l.
)
82
Capítulo 4. Teoremas de energia p A
ti
s
l· í
EI
;8
.
x
ti -
-c,
I
~M,
1
i
v(r)
(b)
(a) Figura 4.23: Exercício
11
9. Com o teorema de Betti calcular as reações nos apoios da viga da Figura 4.22b solicitada pelos momentos torçores Nfn e Nft2. Dados: a, Mo e Mt2. Resp.: Xl = H2Mtl + Mt2) e X2 ~(Mt1 + 2iVIt2).
=
10. Calcular a rotação da barra 25 da treliça do exemplo Resp.:.. 4.lP EA'
2 do Capítulo 2
11. Com o teorema de Betti, para a viga da Figura 4.23a, calcular a variação da grandeza do momento fletor em B quando a distância s de P até o apoio B, varia. É dada a funçã.o que representa as deflexões v(x) para a viga da Figura 4.23b. São conhecidos também: P e l. Dado: 1
v(x) =
Nj[j2
[-2 O) + 3 (7)2 -
(7)3J.
Resp.: M = P
[5 _ 3;: + ;~].
12. Calcular a. rotação da extremidade livre da viga da Figura 4.18a. São dados o momento Mo, o comprimento l, o momento de inércia 1 da seção transversal da viga e o módulo de Young E. Resp.: ~~I. 13. Para a viga da Figura 4.19a, calcular a deftexão no meio do vão, considerando .5 = l/2. São dados P, o comprimento l, o momento de inércia 1 da seção transversal da viga e o módulo de Young E.
R esp.:
7PI' 768EI.
.
14. Calcular o deslocamento horizontal do nó 1 e o giro da barra 17 da treliça? da Figura 4.21. Toda.s as barras têm a mesma área A e o mesmo módulo de Young E. São dados também o comprimento a e a. força P. Resp.: 3};~P. .
7.~:a,
2 Para calcular o giro de uma barra de treliça supõem-se forças fictícias iguais e de sentidos opost.os aplicadas perpendicularmente ao eixo da barra em seus nós. Desse modo obtém-se um binário. Derivando a energia de deformação em relação a esse momento tem-se a r ot açâo da barra.
Capítulo 5 Métodos da energia potencial 5.1
Conceito de energia potencial
o conceito de energia potencia.l foi fundamental para o desenvolvimento da moderna mecânica. das estruturas. Dela derivaram-se métodos numéricos que provêm soluções aproximadas para problemas onde a solução exat a não é possível de ser obtida, ou é extremamente difícil, foram a partir dela. desenvolvidos e são ele gra.nde utilidade. Define-se energia potencial
de um sistema
estrutural
como o trabalho reada. posição final
lizado pelos esforços atuantes para. levar o sistema. estrutural (deforma.da)
à posição inicial.
Aqui também entendem-se esforços atuantes como as ca.rgas externas e esforços internos. Assim, tem-se a energia. potencial formada por duas parcelas: uma é a energia potencial externa ou das cargas externas e a outra é a energia potencial interna que é igual à energia de deformação U armazenada na estrutura carregada. A energia potencial externa é dada por:·
n == -
LP;v;
(5.1 )
i=l
onde P; representa esforços genéricos, Vi são os deslocamentos genéricos e n o número de esforços. O sinal negativo indica que cada esforço externo r-ealiza trabalho negativo ao retornar da posição carregada para a inicial, sem carga. Essa parcela da energia potencial não tem multiplicando o segundo membro da igualdade (5.1) porque ela. é o trabalho dos esforços atuantes com seus valores finais quando a estrutura é movida para sua posição inicial. Chamando- de 11 a energia potencial total, tem-se, então, que:
t
(5.2) ou: n
n=U
-
~P;Vi
;==1
83
(5.3)
....
84
Capítulo 5. Métodos da energia potencial
5.2
Pr incípio da mínima energia potencial total
Como anteriormente mencionado, a energia de deformação U é expressa em função dos deslocamentos ·Vi que são incógnitas a determinar. Tomando a derivada parcial da errergi a potencial em relação a qualquer um dos desloca.mentos incógnitos Vi, tem-se a seguinte equação:
an
=
õ»,
au _ P, aVi
Deve-se lembrar que os desloca.mentos são independentes esforços externos P; são constantes. Do primeiro teorema de Castigliano sabe-se que:
au = P;
(5.4) entre si e que os
(5.5)
aVi
Comparando
as igualdades
(5.4) e (5.5), conclui-se que
arr
-=0
(5.6)
aVi
Este resultado pode ser aplicado a cada um dos deslocamentos desconhecidos, formando um sistema de equações cuja solução são os valores dos deslocamentos. Esse sistema de equações representa as equações de equilíbrio no método dos deslocamentos e é igual ao sistema de equa.ções obtido com a energia de deformação, ver igua.ldade (4.42). Entretanto, o sistema de equações obtido de (5.6) tem significado especial porque mostra que as condições de equilíbrio ela estrutura são satisfeitas quando a energia. potencial da estrutura tem um valor estacionário. Como usualmente a estrutura. está em equilíbrio estável, a energia potencialtotal é um mínimo. O princípio da mínima energia. potencial total, ou de Kirchhoff, pode ser, então, estabelecido como: Uma estrutura estará em equilibvio estável quando a enerqia potencial total for minim«.
5.3
Método de Rayleigh-Ritz
Este método utiliza o princípio da mínima energia potencial total e é poderosa. ferramenta. para resolver problemas da mecânica estrutural, podendo ser aplicado tanto a estruturas com comportamento linear como nâo-linear , isostática ou hiperestática.
5.3. Método de Reyleigb-Ritz
85
Ele se baseia em assumir para a função que representa a forma deformada (linha elástica) da estrutura uma expressão conhecida: comumente polinômios ou funções trigonométricas, denominadas funções aproximadoras para os deslocamentos ou funções de forma. Essas {unções contêm como coeficientes parâmetros incógnitos denominados parâmetros de deslocamentos. Derivando a energia potencial em relação a cada um desses parâmetros e igualando a zero, obtém-se um número de equações igual <1.0 número de parâmetros incógnitos. que são obtidos através da. solução desse sistema de equações.
É importante que a função aproxirnadora seja bem escolhida. se aproximar da verdadeira. linha elástica o máximo possível; além deve satisfazer as condições geométricas de contorno da estrutura e, .quanto maior o número de parâmetros de deslocamento melhor o obtido para. a. elástica. q
Ela deve disso ela em geral, resultado
: qdx
,
~v(x)
~ v(x)
(a)
(b)
Figura 5.1: a) Viga analisada infinitesimal
(c)
b) Diagrama
de momentos
fietores c) Elemento
Como ilustração desse método considere-se a viga da. Figura 5.1, com comprimento I, módulo de Young E, momen-to de inércia 1 e carregamento q conhecidos. Procura-se o valor numérico da deflexão f na extremidade livre da VIga.
A energia-de
deformação
U da viga é dada por: U=
mas é preciso que:
colocá-la em função
r»:
lo
dx 2El
dos deslocamentos.
(5.7) Para isso considere-se
(5.8) que, substituída
em (5.7), fornece:
Capítulo 5.• Métodos da energia pot.encíal
86 U
=
l
i
2
EI _(_
d v 2d dz2) X
2
. o
(.5.9)
A energia potencial da. carga externa é calculada. avaliando a energia potencia.l elementar da carga externa no elemento diferencial da Figura S.l·c, que vale:
=
dD = -qv(x)dx Integrando
ao longo do comprimento
(5.10)
-qvdx
da: viga tem-se:
.í1 = - .[ qvdx A energia
total 11 é obtida
potencial
11 =
o princípio
l
i
. o
com a soma de (5.9) e (5.10),
EI
(Pv
2
dx2
(-(-)
(5.11)
2
ficando:
(5.12)
- ql']dx
tot.al estabelece que:
da mínima. energia potencial
dl1
(5.1:3)
-=0 dai sendo ai os parâmetros de deslocamento. Assumindo para 7)(X) a. forma. polinomial
dada por:
(5.14) tem-se: v" (x) = Substituindo
essas duas igualdades
TI = efet.uando
TI
o quadrado
=
Derivando
l
/[El
. o
-(2Cil
2
+ 6a2x
1
em relação
(5.15)
em (5.12) obtém-se:
+ 6Ci2X)
2
- p( alx
';. ~
tem-se:
t[El(,~o:i + l2alO:2x
.lo
20.1
2
+ a2x 3 ) 1dl:
(.5.16)
+ azx3)]dx
(5.17)
'
+ lSa;x2)
aos parâmetros
0:1
- q(Ci1X2 e
0.2
vem:
(5.18) (5.19)
I
I
J
87
5.3. Método de Rayleigh-Ritz Integrando
as duas equações chega-se a:
5qI2
(5.20)
= O
1
==
24EI
-
(5.21 )
ql Ci2 = - 12El
e
(5 22)
a equaçào da linha elástica fica: 5qf2 1!(.T) --T
=
A deflexâo
7
- _qZ2 = O 4 esse sistema de equações obtém-se:
0'1
Portanto,
- -qZ-
+ 12a2/)
El(6Ci]
Resolvendo
1 3
+ 6a21)
El (40.1
na extremidade
2
24EI livre vale:
f =
ql
- --T
(5.23)
J
12El
rzl4 v(l) = SEI
(5.24 )
que {; o valor exato.
O di~.gram;\. de momentos fletores, fignri,l, M(x) Para
=
ql -(5l
12
5.1 b , tem como fun çáo: (5.25)
- 6x)
x = O tem-se:
1\1(0) que não é o valor correto
(Q;2),
=
(5.26)
5ql2 12
e pa.ra x = I tem-se que iVJ(I)
f.
O, o que
também não é correto. Nota-se, então, (lue obter a correta linha elástica não garante que os esforços sejam corretos. A verdadeira. solução é a.quela que fornece valores corretos tanto para des-
locamentos como para esforços. No caso desse exemplo é necessário considerar
p ar a 7}(X)
a
função: (5.27)
ele modo a. obter
a solução real. Obt.idos os parâ.metros de deslocamento ai, pode-se energia de deforrnaçâo TI. Então, para. cada função Vj(x)
calcular o valor da adotada tem-se um
valor Dj. Para saber se as funções que estão sendo adotadas formam uma seqüência convergente, isto é, se elas estão convergindo para um valor estacionário, devese t.er: (5.28)
"'1 Capítulo 5. Métodos da energia potencial
88 p
~
1-·-
dv
11'
.\
d:L~~dU
e
EI
(c)
(b)
(a) Figura 5 2: a) Coluna biarticulada
dx
b) Coluna deformada c) Elemento diferen-
cial
Exemplo 5.1 luna mostrada
Determinar o valor da carga crítica de fl.ambagem para a cona Figura 5.2a. São dados o comprimento I, o módulo de Young
E e o momento de inércia 1 da seç.ão transversal. Este problema pode ser tratado de deformação
U é dada por: U =
ao da viga fietida. A energia
analogamente
11
2
1
o El(v")2dx
e a energia potencial da carga externa P como:
D=-P6 sendo 6 o enêurtamento
do eixo da coluna ao atingir a carga P o valor crítico
(ou de fiambagem) Per· A Figura 5.2c mostra um elemento infinitesimal pondo que o ângulo
e
da coluna deformada.
Su-
seja pequeno, obtêm-se as seguintes relações: () ~ tan () ~
sen(}
dv
=_ = dx
onde v' é a derivada da função que representa
I
v
(529)
a elástica da coluna.
Da Figura 5.2c tem-se ainda que:
du Desenvolvendo
= (1 -
cos B)dx
o co-seno em série de Taylor tem-se:
(5.30)
89
5.3. Método de Rayleigh-Ritz
e
(J2
3
+ - - ...
cos B = 1 - -
2
Tomando-se
24
apenas os dois primeiros
termos e substituindo
na igualdade
(5.30) obtém-se: au = 7
1 2{1 ax ,,2 '
De (5.29) pode-se escrever, então, que:
dIU = -2 ( v '
1\2 I
O encurtamento
6. da coluna é obtido fazendo: 6
Substituindo total Il vale:
,
a-r
'_.0
1 = -111 1
=
o
=~ 2
2
(v')2dx
o
na equação de D, tem-se que a energia potencial
esse resultado
TI
du
1 I
o
1 I
EI(v'I)2dx
- P
2
(v')2dx
o
para v uma função trigonométrica
Admitindo
(5.31)
da forma
7rX
v(x) = aIsen- l
..!\
que satisfaz as condições energia potencial total: 1 TI = 2
A integração
de contorno
1
1
21rX •
1
4
A condição de estacionariedade estabelece que:
aI
é arbitrário
~----
2
1
o
_
2
P7r
4l
)
21rX
-dx 1
(de mínimo)
2 aI
da energia
tem-se, então, que:
P que
2
7r 2 aI 2
--cos
fornece:
_ (Ehr fI - \ 4[3
Como
tem-se para a equação da
11
P -dx - -
7r 4 aI 2
--El.sen o 14
dessa igualdade
do problema,
=
1l'2 EI Per = -[2-
é o valor exato da carga. crítica. ou de ftambagem.
potencial
total
r Capítulo 5. Métodos da energia potencia.l
LJO Exemplo 5.2 polinomiais. Seja, então,
Resolver o problema a primeira
As condições
De
:J:
=I
Integrando,
O
permitem
1'(0)
-t
alI
na equaçáo
O
+
(L2
e
(LU
=
O
1'2 = O ou
((1
=
-(L2
1
1 2 1EJ('2a1.0h
1 u
-
P
j'l
:2 .
u
'2
'J
((,(2:1' -l)-d:r
resulta:
A minimização
a2
=
escrever que:
(5.:31) tem-se:
Il = (2Ell-
Como
para a fuuçâo v formas
a forma:
e substituindo Il =
geométricas
p( I) = O e
-t
Entã-o u( x) assume
Derivando
=
.7:
adotando
d ad a por:
aproximação
de contorno De
anterior
de
n leva
é arbitrário,
pe .
6)a~
a:
obtém-se
a Ci'lrga crítica dada por: l2EJ
Per ='-/2Comparando este valor ~om o exato encontra-se Como segunda aproxirn açáo torna-se:
Com as condições
Assim, v(x)
Derivando
de contorno
assume
geomét.ricas
11m erro de 21,58%.
"
tem-se:
a forrn a:
e substituiudo
em (5.:H) obtém-se:
l
5.3. Método de Rayleigh-Ritz
91
rr = Após a integração
resulta:
A condiçào de est.ar.ionaried ade permite
aD
escrever que:
3D
-----0 (Ja2
Da. primeira. condição
ôaJ -
-
tem-se :
e da segunda (120.2
+ 24o.))EJ
- (alE
'2
8 J )P + 50.)
Resolvendo o sistema de equaçôes admitindo obtêm-se dois valores pua ,1. carga crítica:
Perl
=
12EI [2
e
que
=O rl2
e
{L:j
sâo arbitrários,
Prr2 = 60ET F
Nota-se que o primeiro valor é igual ao anteriormente encontrado f~ o segundo muito diferente do valor teórico. Portanto, a aproximação adotad a não é adequada. Supõe-se, agora, a seguinte função aproxirnadora:
Com as condições de cont.orno geomét.ricas
tem-se:
.
A função aproxim adora ent.ã.o fica:
I
Para evitar a resolução de uma equação cúbica, lança-se mão das condições de contorno não-essenciais". No caso tem-se que os momentos fletores nas extremidades da coluna são nulos. Essa condição implica: I
fIA dois tipos de condições de contorno: as essenciais ou geométricas (' as não-essenciais
ou naturais. As essenciais correspondern a deslocamentos conhecidos conhecidos.
f'
as naturais a esforços
~~ I
!
92
Capítulo 5. Métodos da energia potencial
de
v"(O)
Tem-se finalmente
Substituindo
= v"(l) =
az
O resulta
=
O e
a3
=
-2a4l
que:
as derivadas na equação (5.31), obtém-se:
n Da integração
da igualdade acima encontra-se:
Da condição de estacionariedade:
an
=0
aa4 tem-se a carga crítica:
p
_ 9.88El cr
-
[2
que difere do valor exato em apenas 0,13%.
q
p _~
l ! lllllllllllll
~__ p
l
Figura 5.3: Viga com carregamento
axial e transversal
Ex.emplo 5.3 Calcular o valor da deflexão no meio do vâo da viga mostrada na. Figura 5.3, sujeita. à ação de uma carga q uniformemente distribuída e de uma força axial P de compressã.o. São conhecidos o comprimento I da viga, o módulo de Young E e o momento de inércia 1 da seção transversal da viga.
./
.,
;
i
5.3. Método de Ra.yleigb-Ritz
93
a seguinte função
Adota-se
aproximadora
para as deflexões:
7fX
(5.34)
V = asen-/A energia potencial
n=
é da forma:
total para este problema
~
(El(vlf?dx
-:.
./0
L
((v')2dx
- q (vdx
./0
L
./0
Substituindo nessa igualdade a função v dada em (5.34) e suas derivadas, resulta para a energia potencial total:
n=
11
Eh1
sen2-.-dx .o I
--4-a2 21
Integrando,
7fX
P7f2 1 cos2-dx
-
21
(EI7f
4
_
4[3
de estacionariedade
de
.5n = (EI7f
n 21
7fX
sen-dx o l
a2 _ 2ql a
permite
PIr
_
11
7f
2
213
o valor de
p7f2)
- qa
I
41
4
ele onde resulta
7fX
o
tem-se:
n= A condição
1
-2-
escrever que:
a _ 2ql
)
=
O
Ir
a:
(5.35) e a equação
da linha. elástica fica sendo: 4ql4
v(x) = E17f5
(
1_
1
_EE_
et-»
)
7fX
(5.36)
=:
A deflexã.o máxima. ocorre no meio do vão e seu valor coincide com o do parâmetro a dado pela igualdade (5.35) Observa-se nessa igualdade que se o valor da força axial P for muito pequeno, tendendo a zero, a deflexão máxima se aproxima do valor:
.
5qZ4
f = 384El Se o valor de P for igual ao da da carga crítica de flambagem (carga de Euler, ver Exemplo 2), a deflexão máxima fica indeterminada, significando que ocorreu a instabilidade da ba.rra. Supondo-se que as defiexôes para a. viga da Figura 5.3 possam ser expressas pela série: .
7rX
v(x) = alsen-
I
271'x
+ a2sen--
l
371'x
+ a3sen--
I
+ ...
fica a sugestão para que o leitor determine o valor da deflexâo máxima adotando um número ma.ior de parâmetros ai para a função aproxirnadora v(x).
Ir 11 I
I
)1
Capítulo
94
5.
Métodos
da energia potencial
'[I
Exemplo 5.4 Considere uma. viga. de comprimento I sob apoio elástico, apoiad a em suas extremidades em apoios articulados, submetida a. uma ca.rga concentrada. P no seu meio-vão. Calcular o deslocamento vertical desse ponto. O
II
solo tem coeficiente de reação k. O funcional energia. de cleformaçã.o total para este caso tem a forma:
'li
li JI ~ ]i
(/2
El
rr = 2 ( 2 lo
I' Tomando
7)( x)
ri
Ij
a energia
de deformação
11
7f4 EI n = --4 -
li
I
knd»
)
- Pvlx:=l/2
v(;:I:) o valor:
para. a funçã.o aproxirnadora
I:
til
1
+ 2.10
lf
(v )2dJ:
?r.r
=
asen- -
l
total fica sendo:
1
.
12 / '2
a sen
'i=+ [1/2
2?rT
o
7fX
kasen-dx I
. u
- Pa
~ !
ti
Derivando
em relação
ao parâmetro
'1i1 ~i
a e igualando
EI
a=
Portanto,
a. função
representativa
l!f
1"·"
v(x)
=
7íA
das deflexões é dada por:
2(P -
~w
1f4EÍ
Para x =1/2 e J.: = O tem-se
o valor: p[3
!íU
v(I/2)
~I ,..~j
~i
?rI
sen- 1
)I! ~I;
a zero obtém-se:
pouco diferente
=
48.7EI
do valor exato.
1; i I:
1'· ~~
Exemplo 5.5 Determinar os estados de tensão e deformação na chapa de lados 2a e 2b, solicitada por tensões p como mostra a Figura 5.4, utilizando o método de Rayleigh-Ritz. A energia potencial total para este caso de estado plano de tensão é dada por:
[;
•• I::,
1 II = -. 2
Ja Jb
-b
-a
(CTxEa:
+ CTyEy + TXYlxy)dxdy
- P
jb
ulx==ady - (-p)
-b·
)ri
11 11!
t~ 'J
)!
l __
sendo u e vamente.
7!
os deslocamentos
de pontos
da chapa nas direções
Ib -b
ulx==-ady
(5.37)
x e y) respecti-
95
5.3. Método de Rayleigb-R.itz
-
p
p
-
-
==1
b
1=
X(u)
b
a
Figura. 5.4: Chapa
sob estado plano de tensão
ela. teoria da. elasticidade,
Sabe-se,
Ex
=
e da lei de Hooke (material
=
crI
a(Er
Ov = ~~fJy
Ou
ax
que:
E'j
elástico
e
Ou
ov
--+oy ax
(.5.38)
,xy -
linear) que:
+ Vê
(5.39)
y)
com:
E /3=2(1+1/)
E 0.=
Substituindo obtém-se: ,
as igualdades
r f'b [étE; + 2o:t
n = 21 .J
-(t
.
_;,
1_
Jf.,;f.y
e
v2
(5.39) na expressão de I1, explicitada
+
Qé~
r
+ /3';y]dxdy
- P.J -b ulx=ady + P.J
por (5.37),
r
-b
ulx=_"dy (5.40)
Tomando-se
como funções aproxirnadoras u = Ax
e
1)
para os deslocamentos: = By
que satisfazem as condições de contorno (para x = y = O tem-se resulta de (5.38) que as deformações valem: êy
Substituindo-as
=B
e
,"'y = O
em (5.40) obtém-se:
!
1L
=
7J
= O),
96
Capítulo
TI
lja Lbr
=2
A integraçã-o
-e
o,
+ 2avAB + aB2)dxdy
(aA2
+ 2vaAB + B2)ab
3D
DA
= (4aA
+ 4avB)ab
j6
-b
Aady
Resolvendo-se
- 4pAab
- 4pab = O
3D -aB = (4avA + 4aB)ab = O
A
ou
ou
l/A
+ iB
a zero tem-se: =
E. iY
=-B
de equações acima obtêm-se as grandeza.s A e B:
o sistema
vp B = - (1 _ v2) a
e Portanto,
- 2p
em relaçáo a. A e B e igualando
essa igualdade
-
da. energia. potencial
de TI fornece: TI = 2a(A2
Derivando
5. Métodos
os deslocamentos
ficam: p
u= (1-v2)Ci e 7'
.
As deformações
vp
= ---=-(1-v2)
sâo dadas por: Ex
p P (1 - v2)a = E
=
vp l- v2
= ----
éy
= -VE",
"'{xy
=--
vp
E
=O
e as tensões, dadas pelas igua.ldades (5.39), resultam:
. O-T
O-y
=
[p Ü
=a
(1 _
1/2)0. -
l/P [
p]
2
v
(1-
[/2)0.
(1 _
+ (l
1/2)0.
vp]
)Q
-1I2
=P
=O
Vê-se que, para esse exemplo simples, as funções aproxirnador as adotadas produziram resultados corretos.
5.3.
Método
de Rayleigh-Ritz
97
q
=f ' , 'j;(V)' , I=)ó
p
p
-I
-
--
1---1T
-;(u)
t
t t t
q
t·
a
1-
a
6
t.,
Figura 5.5: Chapa sob estado duplo de tensões Exemplo 5.6 Resolver o exercicío anterior adotando nos lados da chapa, conforme mostra a Figura 5.5.
tensões p e q atuando
Sejam as funções aproxirn ador as para os deslocamentos u
=
Ax
u e v dadas por:
+ Cy i
e
v As deformações
obtidas
das igualdades Ey
!
= By + Dx =
B
(5.38) são: e
/xy
= C
I)
+D
:', -
~ ,
Substituindo os valores obtidos para as tensões e deformações na equaçã.o (5.37), consi der an do as tensões atuantes nos lados de comprimento 2a tem-se:
TI
lja jb [aA2 + 2avAB
2
-a
Integrando, 1
TI = -[40'A2
2
b(Aa
1:
-p.I -q
~b
+ Cy)dy
[B( -b)
+ aB2 + (3(C2 + 2CD + D2))dxdy-
- (-p)
+ Dx)dx
jb
-b
- (-q)
1:
[A( -a) [Bb
+ Cy]dy+ Dx]dx
(5.41)
. #
obtém-se:
+ 8avAB + 4aB2 + 4(3C + 8(3CD + 4fJD ]ab 2
-I•
2
- 4pAab
+ 4qBab (5.42)
Capitulo 5. Métodos da energia potencial
98
Minimizando a--igualdade (5.42) em relação aos parâmetros resulta o seguinte sistema de equações:
vA+B=-!
A, B, C e D
a
cuja solução fornece:
(q
B=
+ vp)
0.(1 -
v2)
C= -D As deformações
assumem a.s seguintes forma.s: p+ vq Ex=~
q+ up éy=-~
e as tensões ficam:
Tem-se ainda que: /xy
Se se fizer q
=
=C
+'n
= O e, portanto,
Txy
=
o.
O obtém-se a solução do exemplo anterior.
Exemplo 5.7 Determinar o valor do ângulo de torção por unidade de comprimento e da máxima. tensão tangencial na extremidade livre de uma barra prismática., de seção circular de diâmetro d, engastada na outra extremidade e submetida a um momento torçor M aplicado à sua extremidade livre. Dado também G = módulo de elasticidade transversal e 1 = comprimento da barra. A energia de deformação total para a torção é dada por:
rr -- ~2
r
Ív (Txy/xy
+T
xz/xz
)dV - MBI
I ,/
e
sendo o ângulo de torção por unidade de comprimento. Em função apenas das tensões, para o comprimento l , tem-se:
I
I
l_
-
/
~.:......;_
99
5.3. Método de Rayleigh-Ritz
Procedendo forma:
como Washizu , pode-se
escrever
essa. igua.ldade da seguinte
ou:
resultando:
Operando
sobre esta igualdade e agrupando
tem-se o funcional:
n
= -
2~
1
(T';y + T;,J +
l.l
(T:rYIXY
o resultado
em duas integrais,
+ TZ:Z1XZ)dA
-
uo:
Substituindo na primeira integral as tensões dadas pelas igualdades e as deformações da segunda integral pelas igualdades (E.9) obtém-se:
(E.8)
TI
Do Apêndice
(E.12), tem-se que a terceira integral é igual a:
E, igualdade 81
r (ZT
lA
xy
-
=
yTIZ)dA
8lM
= 28l
r 1>dA
lA
Substituindo na segunda integral as tensões tangenciais tivos valores dados em (E.8), tem-se: B[
ar/J] lAr [_ a'oylj; ar/J + a1/.' OZ oY (}z
dA = 81
)
r [_!!_ (11' Or/J) A
oy
oz
pelos seus respec-
+ !!_ (}z
(11< O éJy
= 2ky
vale:
ocorre no contorno e tem o valor: TTnCUO
5.4
()4> -__ -?kz -
=-
=
G(J~ _ 16M 2 -
7rd3
Método de Galerkin
Este método, introduzido por B.G. Galerkin em 1915 pa.ra o estudo de placas, pertence à classe de métodos aproximados para. a. solução de equações diferenciais parciais e ordinárias. Tem sido muito utiliza.do não apenas para resolver problemas de mecânica dos sólidos como também de mecânica dos fluidos, transferência de calor etc. Os métodos de Ritz e de Galerkin, sob certas 'condições, como por exemplo aplicados a problemas conservativos, são equivalentes. Ao contrário do método de Ritz, o método de Galerkin não requer a existência de um funcional; ele utiliza diretamente a equação diferencial, o que o torna mais geral que o primeiro. Para descrever o método de Galerkin suponha-se que se quer resolver a seguinte equação diferencial:
Lv(x)
=
f
xEV
(5.45)
onde L é um operador e a função v(x) satisfaz algumas condições de contorno no domínio S de V. Admite-se uma funçâo aproximadora v( x) para. 7) da forma: n
71(X) = LaiVi(l:) ;=1
.. _·),:i.
.
(5.46)
~~
.. :tI ~L
derivada dada. por:
Suhstituindo
em (5.50) tem-se:
I
j .
5.4. Método de Galerkin
Integrando
103
essas duas equações
resulta o seguinte sistema
de equações li-
rieares:
3
.3
10 aI 3 -aI
4
+ 20 a2 13
+ -a2 21
1
=
12
=
1 4
que, resolvido, fornece: e
Portanto
a solução aproximada
v
= 0.1924(1
A solução exata da equação
a2=0.1707
da equação diferencial é:
+ 0.1707(1
- x)x
- x)x2
diferencial é: senx v=---x senl
o
Quadro 5.1 mostra. uma comparação exata para
Então
da equação
Jíi:-.T. ?J,o, o .,' r: T ..' .
:c ~
L-"'",~~
_ q -
-r
~.
(5.54) obtém-se:
- :// .
:",~, /1 ,'
1ft.
asen
)
.
A dotar I
ei-»
4. Calcular O valor da deflexão máxima I para uma viga. biapoiada de vâo I com carga P vertical no meio do vão. A relação tensâo x deformaçâo é dada por a = Ec e a equação das deAexôes é: 1'(.1:) = f( [0 ~61:r2+4x3r A seçã.o da viga ~ const.ante ao longo elo seu comprimento. A largura. .e b eaaturae I '!L 1-'\.esp.:. /. =1Ebh" PI'
q
Figura 5.7: Exercício 6
5. Calcular o valor da. deflexâo f da. extremidade livre de urna viga em balanço solicitada. por carga uniformemente distribuída. q. A seção transversal da viga de comprimento I é constante tendo largura b e altura. h. A equaçã.o const itutiva para o material ela. viga é dada. por a = Ce" sendo C uma constante. As deflexôes são: v(x) = ft,(2[32
3l x+x).
3
•
'" _
Resp .. j
-
1(l)n 4
3
(n+2)212(n+l) _ .. ,_.".
6. Determinar a funçã.o que representa as deflexôes para a viga sobre base elástica mostrada na Figura 5.7. O solo tem coeficiente de reação k, São dados: E, L, I, q e k . Assumir para a função das deflexões a •
seguinte
Resp ...
•
-
aproximaçao:
( .)
v:r.
=
4q"l'
()
V X
rr(rr4EI+kI4)senT
7rX = alsenT
-n r
+
+ a2sen-I-'
24'101<
37rX
3,..x
rr(162:rr4EI+H4)sen-I-·
Capítulo.5.
108
Méiodoe
da energia potencial
7. Calcular o valor do ângulo de torção por unidade de comprimento e a máxima tensão tangencial em uma barra cilíndrica com seção transversal quadrada de lado ti; engastada em uma extremidade e sub metina a um momento torçor M na extremidade livre. São conhecidos o módulo de deformação transversal G e o comprimento I da bana. Assumir para a. função de t.ensáo a forma:
Seja a chapa
di! Figura
1110do qllc os seus pontos
:U (p42). SUPÕC-Sf' que ela seja vincu lacla de tal nao apresentem movimentos de corpo rígido.
r (]u.
'I/+-rl,r ih:
Figura
E.I: a) Barra de eixo reto sob torção b) Deslocamentos
na rotação
Considere-se a barra de eixo reto mostrada. na Figura E.la com momentos torçores atuantes nas extremidades. As hipóteses da torção livre, apresentadas por Saint Venant em 1853, prevêem que as seções transversais tenham uma rotação e um empenamento. O empenamento, aqui designado por 1f; é o mesmo em todas as seções, não dependendo.r então, de x (eixo longitudinal); porém depende de y e z , eIXOS transversais. O ângulo de rot açào por unidade de comprimento, B, varia. com x, valendo el na extremidade livre e em uma. seçã.o genérica tem o valor B». Para pequenas rotações pode-se escrever que:
7J
w
=
R8x cos a = xzg R8x sin a = -xyB 117
(E.l)
'I"r
4tH I 14'"1 ~l!ll ij~! Ií
I111II
Apêndice E. Torção
118
de eixo reto
o
deslocamento li na direção do eixo x nâo tem o mesmo valor par a os pontos da. mesma seçã-o transversal, podendo, ent âo , ser representado como uma fun çâo elo ernpen amento 1j{lj, z):
-(flni
IWI[ :11"1
livre de barras
(E.2)
= 8~{lJ, z)
11
(E.l) e (E.2) pode-se escrever
Com os deslocamentos
01/
Oll
'Y>y
+ 'l
= 'l
ex
U.lJ
IN·
= 8-;=1 Ü7J
que:
+ :::{)
lil As correspondentes
componentes de tensão sâo:
iT"
=
=o =
(J y
z
T1:'1
=
G,l'Y
T:p
=
(_;'Y:J:'
-
_,
I
-
T!I::
=O
(}lI.
=
OI) ( ().~ + z
,(/IN_)-_-
= C8
i):::.
-
)
.1)
fE:3)
que rnostra que na torção livre ocorrem apenas tensões cisalh antes nas seções transversais ela. barra .. A Figura E.2a mostra um elemento infinitesimal da barra. Deve-se notar que nas faces do pa.ra.lekpípedo, perpendiculares ao eixo ;1', n âo aparecem O~ diferenciais correspondentes à variação das tensões porquf: elas n áo vari arn longitudinalmente. O equ ílibrio elas forças na direção J: é escrito como:
Cancelando
os termos opostos
tem-se: (EA)
Das igllalda.des
(E_:1)
lO
([,.4) resulta a equação
diferencial: (E.'.i)
us aTo,,'}
1l:Y+--dlJ
Dy
__f_
:t·/
=~
li
.
i
,
h:~Tx.• :__ -~-{71TX~
dY~··.·
Tr-;:
I
.
\ - Tr:; \
."
d.x
L
"f:J:.:
Tn
ri=
iJ"T:r=
d=
-t __
I
(J:t
Y
(o)
{e}
(1))
Figura E.2: a) Tensões cisalh antes no elemento torno c) Tensões em ponto int.erno
diferencial
h) Tensões
no con-
No contorno da seção transversal, as equações (EA) e (8.,5) devem obedecer as condições aí impostas do estado ele tensâo , ou seja: a componente de tensão cisalhante normal ao cont.orno deve ser nula, havendo apenas t.ensão ele cisalharnento tangente ao contorno. Considerando um elemento variável s crescente no sentido
Ti:z
Substituindo
Try
e
T"z
diferencial no contorno, i-horár io , tem-se:
Figura.
E.2b,
com a.
ant
=
rlz -Txy-
+
ds
dy Tn-
ds
=O
(E.6)
pelas (E.3) obtém-se:
dz - (D4' -+Z ) -+
oy
ris
(01/1 -11 ) oz
-r
dy -=0
(E. 7)
ds
Assim, paril. se resolver o problema da torção, b as ta. det.errnin ar uma função sat.isfaça a equaçâo (8.5) e a condição ele contorno expressa. pela. equaçáo (E.7). Para. facilitar a. solução do problema da torçáo - de modo semelhante ao adotado na. teoria. da elasticidade com a função de Airy =, define-se uma função q;(y, z ), denominada função de tensão, introduzicla por Lucl wig Pr audtl (1875195:~), tal que:
'l' que
TJ,!/
=-
ô
oy
Somando
(o d z ocP dy --+--=0 8z ds ds essa equação
reduz-se
que ex-
(E.ll)
oy
!!fl
11.11•
(E.6)
a: o
