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Notas de Aula – Análise Estrutural II - UNIVASF
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS (MÉTODO DA RIGIDEZ)
1. Considerações Iniciais
Método de análise estrutural bastante aplicado no caso de estruturas grandes e complexas. Estas estruturas exigem a solução de um grande número de equações, sendo necessária para a sua solução a utilização de computadores. Pode-se fazer uso do método dos deslocamentos também para a solução de estruturas isostáticas. Comparativamente, a formulação matemática do método dos deslocamentos é muito semelhante à do método das forças, decorrendo daí, quando da análise de problemas, qual dos dois se torna mais proveitoso. Em linhas gerais, podem-se resumir os métodos das forças e dos deslocamentos para aplicação a estruturas hiperestáticas como:
Método das forças: A solução se dá pela determinação de seus esforços para, a partir deles, obter as deformações, impondo como incógnitas os esforços em vínculos.
Método dos deslocamentos: A solução se dá pela determinação das deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para, a partir desses valores, obter os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Estruturas hiperestáticas são resolvidas impondo como incógnitas os deslocamentos em nós rígidos. O esquema de solução por ambos os métodos recai sobre um sistema de equações
lineares (de ordem n, a depender do número de vínculos que precisem ser extraídos ou deslocamentos a serem impedidos), sendo para isto mais recomendado a sua solução de forma computacional. Para o entendimento da sistemática do método dos deslocamentos é necessário o conhecimento de indeterminação cinemática e rigidez, apresentado a seguir.
1.1 Indeterminação Cinemática e Rigidez
Denota-se por indeterminação cinemática o número de restrições (vínculos) necessárias para eliminar os deslocamentos dos nós da estrutura, ou seja, representa o 1
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número de graus de liberdade da estrutura independentes. Grau de liberdade representa as possibilidades de movimento de um dado nó da estrutura. Para exemplificar esta situação, observe as figuras 1 e 2. Na figura 1 é apresentada as possibilidades de translação e rotação dos nós de uma viga.
Figura 1: Exemplo de deslocabilidade de uma viga.
A figura 2 apresenta, em idéia, o esquema de solução pelo método dos deslocamentos, denotando todas as deslocabilidades dos nós da estrutura aporticada mostrada.
Figura 2: Exemplo de deslocabilidade de um pórtico.
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Tendo em vista que o método exige a determinação de deslocabilidades, esta podem ser definidas de duas formas:
Deslocabilidade interna: é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvê-la, isto é, número de nós internos rígidos que ela possui (para estruturas planas e não incluindo os nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente os nós rotulados).
Deslocabilidade externa: é igual ao número de apoios do 1º gênero que a estrutura precisa receber para que todos os seus nós fiquem sem deslocamentos lineares. É usual chamar às estruturas que possuem deslocabilidades externas de estruturas
deslocáveis, e aquelas que não as possuem (mesmo tendo deslocabilidades internas) de estruturas indeslocáveis. Semelhante ao método das forças, a solução pelo método dos deslocamentos se dá com a consideração de deslocamentos ou rotações unitárias, cujas ações resultantes serão forças ou momentos, valores estes conhecidos como rigidezes ou coeficientes de influência de rigidez. É necessário o conhecimento da rigidez de cada membro da estrutura, chamadas de rigidez de membro. Os valores das rigidezes de barras de pórtico estão apresentadas na tabela 1, 2 e 3 e na figura 3:
Figura 3: Rigidezes de barras para diversas condições de contorno. 3
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2. Descrição do método
Pode-se descrever o método dos deslocamentos através dos passos mostrados a seguir:
Determina-se o grau de indeterminação cinemática e, em seguida, são introduzidas forças de restrição (em número igual ao grau de indeterminação cinemática) que impedem os deslocamentos dos nós (as forças são do mesmo tipo, sentido e direção dos deslocamentos impedidos).
Calculam-se as forças de restrição somando as forças de fixação dos extremos das barras convergentes nos nós (um a um). Tais forças devem impedir os deslocamentos para qualquer tipo de ação externa quer sejam cargas, variações de temperatura, esforços prévios, etc.). Estas ações podem ser consideradas separadamente ou em conjunto.
Considera-se, a depender da indeterminação cinemática, o número de estados correspondentes as seguintes situações: sistema principal (E 0), onde os esforços são determinados com as restrições impedidas; sistemas Ei, obtidos com a consideração do sistema principal quando se impõe a condição de deslocamento ou rotação unitário para um dos deslocamentos impedidos.
Os deslocamentos necessários para eliminar as forças de restrição são determinados aplicando a sobreposição dos efeitos para os diversos deslocamentos impostos e igualando às forças de restrição.
Os esforços na estrutura original são obtidos adicionando aos esforços na estrutura restringida os esforços originados pelos deslocamentos determinados nos itens anteriores. Para a determinação dos esforços com a sobreposição dos efeitos, é necessária a
solução de um sistema de equações lineares apresentado na equação 1, para o caso de dois deslocamentos impedidos e exemplificado na figura 4.
f1 k11d 1 k12 d 2 F1 f 2 k 21d 1 k 22 d 2 F2
(1)
A equação 1 pode ser reescrita como a equação 2:
k11 k 21
k12 d1 F1 f1 k 22 d 2 F2 f 2
(2)
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onde k é a matriz de rigidez (coeficientes kij), d é vetor dos deslocamentos nodais a serem determinados, F é o vetor das forças externas aplicados diretamente sobre os deslocamentos di, e f é o vetor das forças reativas nas restrições que foram introduzidas. Uma vez determinado o vetor d, pode-se determinar os esforços e demais deslocamentos na estrutura original podem ser determinados pela combinação linear, dado na equação 3:
E E0 d i Ei
(3)
i
Figura 4: Determinação dos coeficientes de rigidez kij .
2.1 Exemplos:
1) Considere a viga contínua mostrada na Figura 6.11. O valor da rigidez à flexão da viga é EI = 1,2 x 10 4 kNm2. O valor da carga uniformemente distribuída é q = 12 kN/m.
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2) Considere o pórtico mostrado na Figura 6.20. As duas barras têm o mesmo material com módulo de elasticidade E e têm a mesma seção transversal, cuja relação entre área A e momento de inércia I é dada por A/I = 2 m-2. O objetivo do exemplo é a determinação do diagrama de momentos fletores.
3) Determine o diagrama de esforços internos do pórtico mostrado na figura abaixo, onde I = 0.03 m4 e E = 2.107 kN/m2, de acordo com o sistema principal mostrado.
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Tabela 1: Ações de engastamento perfeito em barra biengastada.
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Tabela 2: Ações de engastamento perfeito em barra engastada – articulada.
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