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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO PIAUÍ
CURSO: ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR
PROFESSOR: Dr. JEAN PIERRE VERONESE
MÉTODOS NUMÉRICOS EM CONDUÇÃO DE CALOR
RESUMO
Rafael Monteiro Veras
Teresina-PI, 06 de dezembro de 2010
MÉTODOS NUMERICOS EM CONDUÇÃO DE CALOR
Muitos problemas encontrados na prática implicam em geometrias complicadas com condições de contorno complexas e/ou propriedades variáveis, dessa forma, a resoluções analíticas dos problemas se tornam muitas vezes difíceis, e demasiadamente demoradas. Assim, soluções aproximadas precisas o suficiente podem ser obtidas por computadores utilizando-se um método numérico.
O método das diferenças finitas para equações diferenciais se baseia na substituição das derivadas por diferenças finitas. Assim, se considera a aproximação da derivada para a diferença finita:
df(x)dx fx+Δx- f(x)Δx
Essa expressão também pode ser obtida pela expansão da série de Taylor da função f sobre o ponto x,
fx+Δx= fx+ Δxdf(x)dx+12Δx²d²f(x)dx²+…
e desprezando os outros termos fora os dois primeiros. É bom observar que o erro será minimizado com de acordo com a adoção de valores Δx menores.
Considerando-se uma parede plana de espessura L, com uma condução de calor permanente unidimensional e com geração de calor, subdividindo-a em M secções de mesma espessura Δx = L/M na direção x passando por M + 1 pontos, esses pontos são chamados de pontos nodais. Utilizando as equações acima, a equação para essa transferência de calor (admitindo-se uma condutividade térmica constante) na forma de diferenças finitas é:
Tm-1-2Tm+Tm+1Δx²+ emk=0
Da mesma forma, poder-se-ia formular a equação para uma condução bi ou tridimensionais, substituindo cada derivada de segunda ordem por uma equação de diferenças nessa direção. Por exemplo, no caso bidimensional ficaria:
Tm-1, n-2Tm, n+Tm+1, nΔx²+Tn-1, m-2Tm, n+Tn+1,mΔy²+ em, nk=0
no qual a M representa as sub-regiões em x e N em y, e tem o total de (M + 1)(N + 1) nós e a equação acima pode ser utilizada para obter as equações em diferenças finitas em (M - 1)(N - 1) desses nós (isto é, todos exceto os nós no contorno).
Uma abordagem melhor, pois não exige que se tenha a equação diferencial antes da análise, é a utilização do balanço de energia para a formulação numérica. Ele é baseado na subdivisão do meio em um numero suficiente de elementos de volume e, em seguida, na aplicação de um balanço de energia em cada elemento. Primeiramente, são selecionados os pontos nodais nos quais as temperaturas devem ser determinadas, e depois pela formação de elementos em torno desses nós desenhando linhas nos pontos médios entre os nós. Isso faz com que os nós internos fiquem no meio do elemento, e as propriedades nos nós, sejam as médias no elemento.
A equação do balanço de energia para um regime permanente de transferência de calor é:
todos osladosQ+eVelem=0
Um fato a se observar é que essa equação é valida tanto para um problema uni, bi ou tridimensional. Outro fato, é que a transferência de calor se dá, sempre, em direção ao nó que é levado em consideração, a exceção do fluxo de calor já especificado. Com base nisso, chega-se as mesmas equações acima citadas.
Para a condução permanente bidimensional em regime permanente e com geração de calor, ela se torna, em coordenadas retangulares:
Tdireita+Tesquerda+Tsuperior+Tinferior- 4Tnó+ enól²k=0
onde Δx = Δy = l.
Para os nós que se encontram na superfície, elas são formuladas da seguinte maneira, para uma parede plana, condução permanente unidimensional e com geração de calor:
Qsuperficie esq.+kATnó posterior-TsuperficieΔx+eAΔx2=0
observe que ela é para a superfície esquerda, mas da mesma forma poder-se-ia formular a mesma fórmula para a superfície direita, sendo que no lugar da taxa de transferência de calor do lado esquerdo, seria a do direito, as temperaturas ficariam a da superfície menos a do nó anterior, e a taxa de geração de geração de calor no nó anterior.
Para o regime de condução de calor transiente se torna necessário não apenas uma discretização, como era o caso anteriormente mencionado, mas sim de duas, uma no tempo e outra no espaço. Isso é necessário, pois, além da mudança de temperatura em função do espaço, ela muda em função do tempo. Essa discretização é feita através de uma escolha de um passo de tempo Δt adequado para resolver as temperaturas nodais desconhecidas repetidamente para cada Δt até que a solução desejada seja obtida. A utilização cada vez menor de um passo de tempo aumenta a precisão da solução, porém, aumenta o tempo de computação.
Utilizando o balanço de energia, e a mesma formulação das estruturas dos nós feita anteriormente, a equação geral, para um nó m, fica da seguinte forma:
todos osladosQ+Eger,elem=ρVelemcpTmi+1-TmiΔt
O índice i representa o contador de passo de tempo, e sua formula geral é dada por ti = iΔt e ti+1 = (i+1)Δt, e, Tmi+1-Tmi representa a mudança de temperatura do nó durante o intervalo de tempo Δt entre os passos de tempo i e i + 1. O formato dessa equação continua sendo o mesmo em todos os sistemas de coordenadas, independentemente de a transferência de calor seja uni, bi ou tridimensional.
No método das diferenças finitas, pode ser obtido duas formulas gerais, uma, chamada de método explícito, e outra de método implícito. No caso explícito, a derivada do tempo é expressa de uma forma de uma diferença avançada e no outro de uma atrasada.
Método explícito
todos osladosQi+Eiger,elem=ρVelemcpTmi+1-TmiΔt
Método implícito
todos osladosQi+1+Eger,elemi+1=ρVelemcpTmi+1-TmiΔt
Note que ambas as formulações são simples expressões entre as temperaturas nodais antes e depois de um intervalo de tempo e têm por base a determinação das novas temperaturas Tmi+1 usando temperaturas anteriores Tmi. Elas também são bastante gerais e podem ser utilizadas em qualquer sistema de coordenada, independentemente da dimensão da transferência de calor (uni, bi ou tridimensional).
