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Medidas e Incertezas
• O que é medição?
– É o processo empírico e objetivo de designação de números a propriedades de objetos ou eventos do mundo real de forma a descreve-los.
– Outra forma de explicar este processo é comparando a quantidade ou variável desconhecida com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala,
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Tipos de medidas – Medida Nominal • Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (Ex. duas cores , acidez de dois líquidos)
– Medida Ordinal • Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (Ex. Classificação por peso e altura de uma turma))
– Medida em Intervalos • Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (Ex. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas)
– Medidas Normalizadas • Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (Ex. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máximo medido).
– Medidas Cardinais • O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de medidas SI.
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O Processo de Medida – Operador • Conhecimento do processo de medida • Domínio do instrumento de medida • Escolha adequada do instrumento
– Instrumento de Medida • Exemplo 1
Objeto a ser medido
Valor medido:
20 ≤ m ≤ 25
A medida é um intervalo e não um número O intervalo [20:25] é conhecido como:
Intervalo de Confiança
O Intervalo de Confiança é no mínimo igual à precisão do equipamento. Neste caso = 5
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INCERTEZA DA MEDIDA Intervalo de Confiança 2 mMax − mMin ) ( δ= 2 25 − 20 ) ( δ = = 2,5 2
Incerteza = δ =
•
Representação da Medida mMin = 20
mMax = 25 m = m ±δm mas
m=
( mMax + mMin ) ± δ m 2
( 25 + 20 ) ± 2,5 = 45 ± 2,5 = 22,5 ± 2,5 m= 2
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2 então m = 22,5 ± 2,5
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Exemplo 2 Objeto a ser medido
Valor medido:
21 ≤ m ≤ 22
δ= δ=
( mMax − mMin ) 2
( 22 − 21) = 1 = 0,5 2
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Representação da Medida
mMin = 21
mMax = 22 m = m ±δm mas
m= m=
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( mMax + mMin ) ± δ m 2
( 22 + 21) ± 0,5 = 43 ± 0,5 = 21,5 ± 0,5 2
2 então m = 21,5 ± 0,5
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– Resumindo • Medida – É um Intervalo e não um valor
• Intervalo de Confiança – Depende do processo de medida (instrumento / operador) – Intervalo entre o valor Máximo e Mínimo da Medida » Intervalo de Confiança = [mMax – mMin] – Seu valor mínimo é igual a precisão da escala do equipamento de medida. Freqüentemente é maior.
• Incerteza – Depende o processo de medida – Seu valor é estimado a partir do intervalo de confiança – É a metade do intervalo de confiança
• Incerteza Explícita – 123,05 + 0,01
• Incerteza Implícita (a incerteza esta na primeira casa decimal) – 123,1
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– Conclusão • Precisão de uma escala → é sua menor divisão – Ex.: Uma régua com divisão em milímetros – Sua precisão é 1 mm = Intervalo de Confiança
• Como a incerteza corresponde à (Intervalo de Confiança)/2 – Então a Incerteza de um equipamento é – Incerteza do Equip. = (Precisão do Equip.) / 2
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– Incerteza de um Conjunto de Medidas • Vamos supor um voltímetro com precisão de 1 microvolt • De saída é possível definir a incerteza do equipamento – Incerteza = Precisão / 2 = 1µV / 2 = 0,5 µV = 0,0000005 V
• Os valores medidos foram
• • • • •
Medida
Valor (V)
1
0,126821
2
0,125982
3
0,127003
4
0,125827
5
0,126598
Valor médio do conjunto de dados: 0,126446 V Desvio padrão do conj. de medidas: 0,0005177921 V Valor Máximo medido: Max = 0,127003 V Valor Mínimo medido: Min = 0,125827 V Representação da Incerteza do Conjunto de Medidas
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– Representação • Opção 1 → A mais correta – Incerteza = Desvio Padrão + Incerteza do Equipamento – δ = 0,0005177921 + 0,0000005 = 0,0005182921 V
• Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos) – Incerteza = (Max – Min)/2 + Incerteza do Equipamento – δ = 0,000588 + 0,0000005 = 0,0005885 V
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– Algarismos Significativos • São todos os algarismos obtidos no processo de medida. • Os zeros incluidos para localizar o ponto decimal não contam (zeros à esquerda) • Ex.: – – – – –
1945,1 0,00034 1000 2 x 105 4,189 x 10-7
(5 algarismos significativos) (2 algarismos significativos) (4 algarismos significativos) (5 algarismos significativos) (4 algarismos significativos)
• A Incerteza só deve conter UM (1) algarismo significativo – LOGO: » A incerteza deve ser arredondada após sua determinação
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– Mudanças de Unidade • Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos • Ex.: – 46 cm → 0,46 m (Está correto) – 46 cm → 460 mm (está errado pois aumentou a incerteza)
• A notação de potencia de dez evita este problema – 46 cm → 46 x 101 mm – Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos
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– Critérios de Arredondamento • O critério de arredondamento a ser utilizado será igual ao empregado por calculadoras científicas e programas afins. • Se o número à direita do ponto de arredondamento é: – 0, 1, 2, 3, 4 → Simplesmente elimina-se a parte a direita – Ex.: dado o número 0,563729452 » Arredondando para 8 casas depois da vírgula » = 0,56372945 » Arredondando para 4 casas depois da vírgula » = 0,5637 » Arredondando para 2 casas depois da vírgula » = 0,56 – 5, 6, 7, 8, 9 → Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita. – Ex.: dado o número 0,563729452 » Arredondando para 7 casas depois da vírgula » = 0,5637295 » Arredondando para 5 casas depois da vírgula » = 0,56373 » Arredondando para 1 casa depois da vírgula » = 0,6 CKS
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– Usando o Arredondamento para Representar Medidas • Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica: • Medida Anterior • Opção 2 → A mais simples (a que nós empregamos)
– Tensão = 0,126446 + 0,0005885 V • Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo
– Tensão = 0,126446 + 0,0006 V • Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula existem na incerteza (4 neste caso) – –
Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário Então:
– Tensão = 0,1264 + 0,0006 V (Resultado Final)
– OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE – Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. – Razão: cada arredondamento intruduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.
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Operações Matemáticas com Medidas – Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. – Existe uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. – Esta formulação leva em consideração os valores máximo e mínimo da medida. – Ex.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme: • A = a + δa • B = b + δb
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•
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Soma das Medidas A + B = ( a ± δ a ) + ( b ± δ b ) = ( a + b) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = ( a + δ a ) + ( b + δ b ) Menor valor que a operação pode assumir Min = ( a − δ a ) + ( b − δ b )
•
Exemplo A + B = (14, 2 ± 0, 2 ) + ( 5, 3 ± 0,1) = (14, 2 + 5, 3) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = (14, 2 + 0, 2 ) + ( 5, 3 + 0,1) = 14, 4 + 5, 4 = 19,8 Menor valor que a operação pode assumir Min = (14, 2 − 0, 2 ) + ( 5,3 − 0,1) = 14, 0 + 5, 2 = 19, 2
A + B = 19,5 ± CKS
[19,8 − 19, 2] = 19,5 ± 0, 3 2
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Subtração das Medidas
A − B = ( a ± δ a ) − ( b ± δ b ) = ( a − b) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = ( a + δ a ) − ( b − δ b )
(cuidado com os sinais)
Menor valor que a operação pode assumir Min = ( a − δ a ) − ( b + δ b ) •
(cuidado com os sinais)
Exemplo A − B = (14, 2 ± 0, 2 ) − ( 5,3 ± 0,1) = (14, 2 − 5, 3) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = (14, 2 + 0, 2 ) − ( 5,3 − 0,1) = 14, 4 − 5, 2 = 9, 2 Menor valor que a operação pode assumir Min = (14, 2 − 0, 2 ) − ( 5, 3 + 0,1) = 14,0 − 5, 4 = 8, 6
A − B = 8, 9 ±
[9, 2 − 8, 6] = 8,9 ± 0, 3 2
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•
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Multiplicação das Medidas
A × B = ( a ± δ a ) × ( b ± δ b ) = ( a × b) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = ( a + δ a ) × ( b + δ b ) Menor valor que a operação pode assumir Min = ( a − δ a ) × ( b − δ b ) •
Exemplo A × B = (14, 2 ± 0, 2 ) × ( 5, 3 ± 0,1) = (14, 2 × 5, 3) ±
[ Max − Min ] 2
Maior valor que a operação pode assumir Max = (14, 2 + 0, 2 ) × ( 5, 3 + 0,1) = 14, 4 × 5, 4 = 77,76 Menor valor que a operação pode assumir Min = (14, 2 − 0, 2 ) × ( 5,3 − 0,1) = 14,0 × 5, 2 = 72,8
A − B = 75, 26 ± CKS
[77, 76 − 72,8] = 75, 26 ± 2, 48 = 75 ± 2 2
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•
Divisão das Medidas A ( a ± δ a ) a [ Max − Min ] = = ± B (b ± δ b) b 2 Maior valor que a operação pode assumir Max =
(a + δ a ) (b − δ b)
(cuidado com os sinais)
Menor valor que a operação pode assumir Min =
•
Exemplo
(a − δ a ) (b + δ b)
(cuidado com os sinais)
A (14, 2 ± 0, 2 ) 14, 2 [ Max − Min ] = = ± B 2 ( 5, 3 ± 0,1) 5,3 Maior valor que a operação pode assumir Max =
(14, 2 + 0, 2 ) = 14, 4 = 2,76923 (apenas as 5 primeiras casas decimais) ( 5,3 − 0,1) 5, 2
Menor valor que a operação pode assumir Min =
A [ 2,76923 − 2,59259] = 2,67924 ± 0,08832=2,68 ± 0,09 = 2,67924 ± B 2
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•
(14, 2 − 0, 2 ) = 14,0 = 2,59259 (apenas as 5 primeiras casas decimais) ( 5, 3 + 0,1) 5, 4
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Exponenciação de uma Medida 3
B 3 = ( b ± δ b ) = b3 ±
[ Max − Min ]
2 Maior valor que a operação pode assumir Max = ( b + δ b )
3
Menor valor que a operação pode assumir •
Exemplo
Min = ( b − δ b ) 3
3
3
B 3 = ( 5,3 ± 0,1) = ( 5,3) ±
[ Max − Min ]
2 Maior valor que a operação pode assumir 3
3
Max = ( 5,3 + 0,1) = ( 5, 4 ) = 157,464 Menor valor que a operação pode assumir 3
3
Min = ( 5,3 − 0,1) = ( 5, 2 ) = 140,608
B = 148,877 ± CKS
[157,464 − 140,608] = 148,877 ± 8,428=149 ± 8 2
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• Erros – Erros Sistemáticos • São erros constantes e geralmente conhecidos • Causas – – – –
Instrumento Método Operador Outros fatores (climáticos, mecânicos,...)
• Detecção – Medir com outro equipamento – Medir empregando outro método – Medida por outro operador
– Erro Grosseiro • • • •
Técnica Inadequada Imperícia do Operador Ex.: Erro na leitura da escala / digitação Podem ser completamente eliminados
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– Erros Randômicos • Permanecem após a eliminação dos erros sistemáticos • Propriedades: – Erros randômicos positivos e negativos tem a mesma probabilidade de ocorrência. – São menos prováveis quando o valor absoluto medido aumenta. – Quando o número de medidas aumenta a média aritmética dos erros randômicos em uma amostra tende a zero. – Para um determinado método de medida os erros randômicos não excedem um determinado valor. Medidas excedendo este valor devem ser refeitas e, se necessário, estudadas separadamente.
• Erros randômicos também são chamados de Acidentais ou Fortuitos
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Preciso
Impreciso
Exato δA δA
Inexato δS
δS
δA → Erro Aleatório δS → Erro Sistemático CKS
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FIM
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