Transcript
1
Universidade Federal da Bahia − Escola Politécnica Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (Setor de Geotecnia)
MECÂNICA DOS SOLOS II Conceitos introdutórios Autores: Sandro Lemos Machado e Miriam de Fátima C. Machado
Disponível em formato “ post escript” no seguinte endereço: http:\\www.geotec.eng.ufba.br
2
MECÂNICA DOS SOLOS II Conceitos introdutórios SUMÁRIO 1.
FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS 1.1 Introdução 1.2 Conservação da energia 1.3 Lei de Darcy. 1.4 Validade da lei de Darcy 1.5 Coeficiente de permeabilidade dos solos 1.6 Métodos para determinação da permeabilidade dos solos 1.7 Fatores que influem no coeficiente de permeabilidade do solo 1.8 Extensão da lei de Darcy para o caso de fluxo tridimensional 1.9 Permeabilidade em extratos estratificados 1.10 Lei de fluxo generalizada (conservação da massa) 1.11 Capilaridade nos solos
05 05 06 12 14 14 15 20 21 21 23 27
2.
COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS 2.1 Introdução 2.2 Compressibilidade dos solos 2.3 Ensaio de compressão confinada 2.4 Interpretação dos resultados de um ensaio de compressão confinada 2.5 Cálculo dos recalques totais em campo 2.6 Analogia mecânica do processo de adensamento proposta por Terzaghi 2.7 Teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi 2.8 Obtenção dos valores de Cv. 2.9 Deformações por fluência no solo 2.10 Aceleração dos recalques em campo
30 30 30 31 33 39 42 46 51 53 54
3.
FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO 3.1 Introdução 3.2 Equação para fluxo estacionário e bidimensional 3.3 Métodos para resolução da equação de Laplace 3.4 Redes de fluxo 3.5 Fluxo de água através de maciços de terra 3.6 Fluxo de água através de maciços de terra e fundações permeáveis 3.7 Fluxo de água através de maciços anisotrópicos 3.8 Fluxo de água em meios heterogêneos
56 56 56 59 60 68 74 74 77
4.
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 4.1 Introdução 4.2 O conceito de tensão em um ponto 4.3 Círculo de Mohr 4.4 Resistência dos solos 4.5 Ensaios para a determinação da resistência ao cisalhamento dos solos 4.6 Características genéricas dos solos submetidos à ruptura 4.7 Trajetórias de tensões 4.8 Aplicação dos resultados de ensaios a casos práticos
80 80 82 83 86 87 93 105 108
3
5.
EMPUXOS DE TERRA 5.1 Introdução 5.2 Coeficientes de empuxo 5.3 Método de Rankine 5.4 Método de Coulomb 5.5 Aspectos gerais que influenciam na determinação do empuxo 5.6 Estruturas de arrimo
111 111 111 115 118 123 125
6.
ESTABILIDADE DE TALUDES 6.1 Introdução 6.2 Métodos de análise de estabilidade 6.3 Considerações gerais
144 144 146 162
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
164
4
NOTA DOS AUTORES
Este trabalho foi desenvolvido apoiando−se na estruturação e ordenação de tópicos já existentes no Departamento de Ciência e Tecnologia dos Materiais (DCTM), relativos à disciplina Mecânica dos Solos. Desta forma, a ordenação dos capítulos do trabalho e a sua lógica de apresentação devem muito ao material desenvolvido pelos professores deste Departamento, antes do ingresso do professor Sandro Lemos Machado à UFBA, o que se deu em 1997. Vale ressaltar também que o capítulo de origem e formação dos solos, cujo conteúdo é apresentado no volume 1 deste trabalho, tem a sua fundamentação no material elaborado, com uma enorme base de conhecimento regional, pelos professores do DCTM e pelo aluno Maurício de Jesus Valadão, apresentado em um volume de notas de aulas , de grande valor didático e certamente referência bibliográfica obrigatória para os alunos que cursam a disciplina Mecânica dos Solos.
5
1. FLUXO DE ÁGUA EM SOLOS.
Antes de iniciarmos uma exposição mais ou menos detalhada das bases teórica atuais que se dispõe para tratar dos problemas de fluxo de água no solo, é conveniente esclarecer as razões pelas quais a resolução de tais problemas é de vital importância para o engenheiro geotécnico. Ao se mover no interior de um maciço de solo, a água exerce em suas partículas sólidas forças que influenciam no estado de tensões do maciço. Os valores de pressão neutra e com isto os valores de tensão efetiva em cada ponto do solo são alterados em decorrência de alterações no regime de fluxo. Na zona não saturada, mudanças nos valores de umidade do solo irão alterar de forma significativa os seus valores de resistência ao cisalhamento. De uma forma geral, são os seguintes os problemas onde mais se aplicam os conceitos de fluxo de água nos solos:
Estimativa da vazão de água (perda de água do reservatório da barragem), através da zona de fluxo. Instalação de poços de bombeamento e rebaixamento do lençol freático Problemas de colapso e expansão em solos não saturados Dimensionamento de sistemas de drenagem Dimensionamento de “liners” em sistemas de contenção de rejeitos Previsão de recalques diferidos no tempo Análise da influência do fluxo de água sobre a estabilidade geral da massa de solo (estabilidade de taludes). Análise da possibilidades da água de infiltração produzir erosão, araste de material sólido no interior do maciço, “piping”, etc.
Como se pode observar, o conhecimento das leis que regem os fenômenos de fluxo de água em solos é aplicado nas mais diversas situações da engenharia. Um caso de particular importância na engenharia geotécnica, o qual aplica diretamente os conceitos de fluxo de água em solos, é o fenômeno de adensamento, característico de solos moles, de baixa permeabilidade. Por conta dos baixos valores de permeabilidade destes solos, os recalques totais a serem apresentados por eles, em decorrência dos carregamentos impostos, não ocorrem de imediato, se apresentando diferidos no tempo. A estimativa das taxas de recalque do solo com tempo, bem como a previsão do tempo requerido para que o processo de adensamento seja virtualmente esgotado, são questões freqüentemente tratadas pelo engenheiro geotécnico, o qual terá que utilizar de seus conhecimentos acerca do fenômeno de fluxo de água em solos, para respondê−las. O capítulo 2 deste volume trata do tema compressibilidade/adensamento. A influência do fluxo de água na estabilidade das massas de solo se dá pelo fato de que quando há fluxo no solo, a pressão a qual água está sujeita é de natureza hidrodinâmica e este fato produz várias repercussões importantes. Em primeiro lugar, dependendo da direção do fluxo, a pressão hidrodinâmica pode alterar o peso específico submerso do solo. Por exemplo, se a água flui em sentido descendente, o peso específico submerso do solo é majorado. Se o fluxo ocorre em uma direção ascendente, se exerce um esforço sobre as partículas de solo o qual tende a diminuir o seu peso específico submerso. Em segundo lugar e de acordo com o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, e conservando−se a tensão total atuando em um ponto na massa de solo e modificando−se o valor da tensão neutra naquele ponto, a sua tensão efetiva será modificada. Como já vimos anteriormente, a tensão efetiva é a responsável pelas respostas do solo, seja em termos de resistência ao cisalhamento, seja em termos de deformações, o que vem a ilustrar ainda mais a importância dos fenômenos de fluxo de água nos solos.
6
Conforme apresentado no capítulo 4 do volume 1 deste trabalho, a água no solo pode se apresentar de diferentes formas, dentre as quais podemos citar a água adsorvida, a água capilar e a água livre. A água adsorvida está ligada às superfícies das partículas do solo por meio de forças elétricas, não se movendo no interior da massa porosa e portanto não participando dos problemas de fluxo. O fluxo de água capilar apresenta grande importância em algumas questões da mecânica do solo, tais como o umedecimento de um pavimento por fluxo ascendente. Contudo, na maioria dos problemas de fluxo em solos, os efeitos da parcela de fluxo devido à capilaridade são de pequena importância e podem ser desprezados, principalmente se considerarmos as complicações teóricas adicionais que surgiriam se estes fossem levados em conta. A água livre ou gravitacional é aquela que sob o efeito da gravidade terrestre pode mover−se no interior do maciço terroso sem outro obstáculo senão aqueles impostos por sua viscosidade e pela estrutura do solo. Em uma massa de solo a água gravitacional está separada da água capilar pelo nível do lençol freático. Nem sempre é fácil se definir ou localizar o nível do lençol freático. Em um solo suficientemente fino, ao efetuar−se uma escavação, o espelho de água que se forma define o lençol freático. Tal superfície de separação porém não existe no solo adjacente, já que devido a natureza do solo em questão deve haver solo totalmente saturado acima do espelho de água formado (ascensão capilar). O estudo dos fenômenos de fluxo de água em solos é realizado apoiando−se em três conceitos básicos: conservação da energia (Bernoulli), permeabilidade dos solos (lei de Darcy) e conservação da massa. Estes conceitos serão apresentados de forma resumida nos próximos itens deste capítulo. Após a exposição dos mesmos será apresentada uma formulação ampla, aplicável a todos os casos de fluxo de água em solos. Esta formulação é então simplificada, de modo a considerar somente os casos de fluxo de água em solos saturados, homogêneos e isotrópicos. Obedecendo−se estas restrições, são apresentadas as equações utilizadas para os casos de fluxo bidirecional estacionário e fluxo unidirecional transiente (teoria do adensamento de Terzaghi). !"#"%$ &'("
O conceito de energia total de um fluido, formulado por Bernoulli, é apresentado aos alunos do curso de engenharia civil nas disciplinas de Física e Fenômenos dos Transportes. Para fins de Geotecnia, contudo, é mais prático se utilizar o conceito de densidade de energia, geralmente expressos em relação ao peso ou ao volume de fluido. A eq. 1.1 apresenta a proposta de Bernoulli para representar a energia total em um ponto do fluido, expressa em termos da razão energia/peso. A energia total ou carga total é igual à soma de três parcelas: (carga total = carga altimétrica + carga piezométrica + carga cinética). htotal = z +
u v2 + γ w 2g
(1.1)
Onde, htotal é a energia total do fluido; z é a cota do ponto considerado com relação a um dado referencial padrão (DATUM); u é o valor da pressão neutra; v é a velocidade de fluxo da partícula de água e g é o valor da aceleração da gravidade terrestre, geralmente admitido como sendo igual a 10 m/s2. Como se pode observar desta equação, este modo de expressar o teorema de Bernoulli conduz à representação da energia específica do fluido em termos de cotas equivalentes, possuindo a unidade de distância (m, cm, mm, etc.). Notar que a relação Joule/Newton possui unidade de comprimento. Como será visto no próximo item deste capítulo, a
7
representação da energia total de um fluido em termos de cotas equivalentes é preferível quando do estudo de problemas envolvendo fluxo de água nos solos. Para a grande maioria dos problemas envolvendo fluxo de água em solos, a parcela da energia total da água no solo referente à energia cinética, termo (v2/2g), pode ser desprezada. Isto faz com que a eq. 1.1 possa ser escrita de uma forma mais simplificada: htotal = z +
u γw
(1.2)
A carga altimétrica (z) é a diferença de cota entre o ponto considerado e o nível de referência. A carga piezométrica é a pressão neutra no ponto, expressa em altura de coluna d‘água. A fig. 1.1 apresenta a variação das parcelas de energia de posição (z) e de pressão do fluido (u/γw) em um reservatório de água em situação estática (sem a ocorrência de fluxo). Conforme se pode observar desta figura, as parcelas de energia de posição (ou gravitacional) e de pressão variam de tal forma a manter constante o valor do potencial total da água no solo.
Figura 1.1 – Variação das energias de posição, pneumática e total ao longo de um reservatório de água em condições estáticas. Conforme será visto no item seguinte deste capítulo, para que haja fluxo de água entre dois pontos no solo, é necessário que a energia total em cada ponto seja diferente. A água então fluirá sempre do ponto de maior energia para o ponto de menor energia total. Costuma−se definir a energia livre da água em um determinado ponto do solo como a energia capaz de realizar trabalho (no caso, fluxo de água). Considerando−se a condição necessária para que haja fluxo no solo exposta acima, a energia livre poderia ser representada pela diferença entre os valores de energia total nos dois pontos considerados da massa de solo. Desta forma, caso o nível de referência (DATUM) apresentado na fig. 1.1 fosse modificado, o valor da energia total em cada ponto também o seria, porém a diferença entre as energias totais permaneceria constante, ou seja, a energia livre da água entre os dois pontos permaneceria inalterada, independente do sistema de referência. No item seguinte deste capítulo, o termo htotal da equação de Bernoulli será denominado de potencial total da água no solo e será representado pelo símbolo h.
8
)+*, -" . 0/1 23("
No esquema apresentado na fig. 1.2a, a água se eleva até uma certa cota (h1) nos dois lados do reservatório. O potencial total é soma da cota atingida pela água e a cota do plano de referência. Nesse caso, o potencial total é o mesmo nos dois lados do reservatório (pontos F1 e F2), portanto, não há fluxo. Somente ocorre fluxo quando há diferença de potenciais totais entre dois pontos e ele seguirá do ponto de maior potencial para o de menor potencial. Considerando−se o caso b da fig. 1.2, tem−se no lado esquerdo (ponto F1) maior potencial total que no ponto F2, no lado direito. Dessa forma, a água está fluindo da esquerda para direita, ou seja, de F1 para F2. Ocorrendo movimento de água através de um solo, ocorre uma transferência de energia da água para as partículas do solo, devido ao atrito viscoso que se desenvolve. A energia transferida é medida pela perda de carga e a força correspondente a essa energia é chamada de força de percolação. A força de percolação atua nas partículas tendendo a carregá−las, conseqüentemente, é uma força efetiva de arraste hidráulico que atua na direção do fluxo de água. h h1
h1 L
F1
F2
A
h2
L F1
(a)
A
FP
F2
(b)
Figura 1.2 – Forças de percolação. Na fig. 1.2b, pode−se observar que a amostra de solo está submetida às forças F1=γw.h1.A, graças à carga h1 atuando do lado esquerdo do reservatório e do lado direito, atua a força F2=γw.h2.A A força resultante que se dissipa uniformemente em todo o volume de solo (A.L) é dada por: Fp = F1 − F2 = γ w .A.( h1 − h2 ) Fp = γ w .V .i fp = γ w .i
Sendo, i= −∆h/L, temos:
(1.3) (fp: Força de percolação por unidade de volume)
A análise do equilíbrio de uma massa de solo sujeita à percolação da água admite dois procedimentos distintos: • Peso total (saturado) do solo + forças de superfície devido às pressões da água intersticial; • Peso efetivo (submerso) do solo + forças de percolação.
9
O primeiro procedimento envolve a consideração do equilíbrio da massa de solo como um todo (sólido + água), ao passo que o segundo analisa as condições de equilíbrio apenas do esqueleto sólido do solo. Ambos são igualmente válidos e a aplicação de um ou outro depende do problema a ser analisado, em termos de conveniência. É interessante ressaltar, no segundo procedimento, as condições particulares de fluxos ascendentes e descendentes de água. Uma vez que as forças de percolação atuam na direção do fluxo, ocorre um acréscimo de pressões efetivas no caso de fluxo descendente e uma redução das pressões efetivas no caso de fluxo ascendente, os seja: R=w‘± Fp Fluxo descendente (+): γ‘ = γsub + γ w·i → Fluxo ascendente (−): γsub − γ w·i→ =
’> v
’> v
= ?
sub B
?
?
sub @ wA
?
wA
i A dz
i A dz
5467 ) "%89'( :3('(2-"; .<03(
Ruptura hidráulica é o processo de perda da resistência e da estabilidade de uma massa de solo por efeito das forças de percolação. Um primeiro tipo de ruptura hidráulica é aquele em que a perda de resistência do solo decorre da redução das pressões efetivas devido a um fluxo d‘àgua ascendente. Nestas condições, a força de percolação gerada pode se igualar às forças gravitacionais efetivas, desde que os gradientes hidráulicos sejam suficientemente elevados. Assim, a resultante das forças efetivas será nula. A fig. 1.3 mostra um esquema explicando como isso poderá ocorrer. Nesta figura, a areia está submetida a um fluxo ascendente de água, ou seja, a água percola do ramo da esquerda para direita, em virtude da carga h, que é dissipada por atrito, sendo portanto satisfeita a primeira condição para ocorrência do fenômeno (fluxo ascendente).
h Areia saturada
h1 L A
Figura 1.3 – Permeâmetro com fluxo ascendente – Areia movediça. A segunda condição, conforme já exposto, consiste na verificação da condição de tensão efetiva igual a zero (σ‘=0) ou força de percolação igual ao peso submerso do solo (Fp=W‘). Fazendo o equilíbrio no Ponto A temos (pressão igual à tensão total): Tensão total: σA = γw.h1 + γsat. L
(1.4)
Pressão neutra uA = γw. (h1 +L + h)
(1.5)
Igualando as equações 1.4 e 1.5 tem−se a eq. 1.6:
10
ic =
hc γ sat − γ w = L γw
(1.6)
onde: ic é chamado gradiente hidráulico critico (aproximadamente igual a 1,0 para a maioria dos solos). A condição i ≥ ic implica, portanto, em pressões efetivas nulas em quaisquer pontos do solo. No caso de solos arenosos (sem coesão), a resistência está diretamente vinculada às pressões efetivas atuantes (s = σ‘ tg φ‘). Atingida a condição de fluxo para ic, resulta uma perda total da resistência ao cisalhamento da areia, que passa a se comportar como um líquido em ebulição. Este fenômeno é denominado areia movediça. Nota−se, portanto, que a areia movediça não constitui um tipo especial de solo, mas simplesmente, uma areia através da qual ocorre um fluxo ascendente de água sob um gradiente hidráulico igual ou maior que ic. A ocorrência de areia movediça na natureza é rara, mas o homem pode criar esta situação nas suas obras. A fig. 1.4 apresenta duas situações em que este fenômeno pode ocorrer. No caso (a) tem−se uma barragem construída sobre uma camada de areia fina sobreposta a uma camada de areia grossa. A água do reservatório de montante percolará, preferencialmente, pela areia grossa e sairá a jusante através da areia fina com fluxo ascendente. No caso (b) tem−se uma escavação em areia saturada e rebaixamento do nível de água para permitir a execução dos trabalhos.
Figura 1.4 – Condições de areia movediça criada em obras. Modificado de Pinto, 2000. Um outro tipo de ruptura hidráulica é aquele que resulta do carreamento de partículas do solo por forças de percolação elevadas, sendo o fenômeno designado, comumente, pelo termo em inglês “piping”(entubamento). Este fenômeno pode ocorrer, por exemplo, na saída livre da água no talude de jusante de uma barragem de terra, onde as tensões axiais sendo pequenas, resultam em valores baixos das forças de atrito interpartículas que, assim, tornam− se passíveis de serem arrastadas pelas forças de percolação. Iniciado o processo, com o carreamento de partículas desta zona do maciço, desenvolve−se um mecanismo de erosão tubular regressiva, que pode levar ao colapso completo da estrutura. DC; E -E3F 0" 0*G " . 0/1 H -23("-
11
Devido aos graves problemas que podem resultar da ocorrência de forças de percolação elevadas, torna−se imprescindível o controle destas forças em uma obra de terra. Este controle pode ser feito, basicamente, por dois procedimentos distintos, sendo usual a adoção conjunta de ambos em um mesmo projeto, que são: redução da vazão de percolação e adoção de dispositivos de drenagem. A fig. 1.5 sintetiza as soluções clássicas para uma barragem de terra, que incorporam os seguintes dispositivos para a redução da vazão de percolação: construção de tapetes impermeabilizante a montante (1); construção de revestimentos de proteção do talude de montante (2); zoneamento do maciço, com núcleo constituído de material de baixa permeabilidade (3); construção de trincheira de vedação (cut off) , escavada na fundação e preenchida com material de baixa permeabilidade (4); construção de cortina de injeção (5). Adicionalmente, em termos de dispositivos de drenagem, podem ser adotadas as seguintes soluções: execução de filtros verticais e inclinados (6); construção de tapetes filtrantes (filtros horizontais), (7); zoneamento do maciço com material mais permeável na zona de jusante (8); execução de drenos verticais ou poços de alívio (9); construção de enrocamento de pé (10).
Figura 1.5 – Elementos para controle de forças de percolação. Devido à percolação de água de um solo relativamente fino para um solo mais granular (areias e pedregulhos), existe a possibilidade de carreamento das partículas finas para o solo granular, com crescente obstrução dos poros e consequente redução da drenagem. Tal condição ocorre, por exemplo, entre o material do maciço de uma barragem de terra e o enrocamento executado no pé do talude de jusante (ver fig. 1.5). Há portanto, necessidade de evitar estes danos mediante a colocação de filtros de proteção entre o solo fino passível de erosão e o enrocamento de pé, os quais devem satisfazer duas condições básicas: • Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente pequenos para impedir o carreamento das partículas do solo adjacente a ser protegido; • Os vazios (poros) do material usado como filtro devem ser suficientemente grandes para garantir uma elevada permeabilidade e evitar o desenvolvimento de altas pressões hidrostáticas. A escolha do material de filtro, baseada nestes requisitos básicos, é feita a partir da curva granulométrica do solo a ser protegido. Terzaghi propôs as seguintes relações: D 15 f I 4 a 5 D 85
s
12
D 15 f J 4 a 5 D 15
s
(1.7)
sendo, f, o índice relativo ao material de filtro e, s, o índice relativo ao solo a ser protegido e ainda, D(%), o diâmetro correspondente à porcentagem que passa, ou seja, semelhante as definições de D10 e D60. Na fig. 1.6 tem−se um exemplo de como escolher a curva granulométrica de um filtro, para proteger um solo com curva granulométrica conhecida. Estabelecidos os limites para D(15)f (pontos A e B), traçam−se, por estes pontos, curvas granulométricas de coeficiente de uniformidade aproximadamente iguais ao solo a ser protegido, definindo−se, portanto, uma faixa de granulometrias possível de atender às condições exigidas para o filtro de proteção.
Figura 1.6 – Escolha da faixa de variação granulométrica para filtros de proteção. Modificado de Bueno & Vilar, 1985. KCLMN ' 0OP" 2Q
Conforme estudado na disciplina Fenômenos de Transporte, os problemas de fluxo podem ser divididos em duas grandes categorias: fluxo (ou escoamento) laminar e fluxo turbulento. No regime de fluxo laminar as partículas do fluido se movimentam em trajetórias paralelas, uma não interferindo no movimento das outras. No regime de fluxo turbulento, as trajetórias de fluxo são irregulares, cruzando−se umas com as outras de forma inteiramente aleatória. Osborne Reynolds, em seu experimento clássico estudando fluxo em condutos fechados, estabeleceu um limite inferior de velocidade no qual o fluxo muda as suas características de laminar para turbulento. Este limite é denominado de velocidade crítica, e os fenômenos de fluxo que ocorrem com valores de velocidade abaixo da velocidade crítica são considerados como pertencentes a categoria de fluxo laminar, caso contrário, são tratados como problemas de fluxo turbulento. No caso de fluxo laminar de água no solo, a resistência ao fluxo é devida principalmente à viscosidade da água e as condições de contorno do problema possuem menor importância. A velocidade critica de escoamento, vc, é governada por um número admensional, denominado de número de Reynolds (R). A eq. 1.8 apresenta a expressão utilizada para o cálculo do número de Reynolds. Verifica−se experimentalmente que a velocidade crítica para escoamento em tubos corresponde a um número de Reynolds de aproximadamente 2000.
13
R=
v ⋅D ν
(1.8)
Onde: v é a velocidade de fluxo do fluido, D é o diâmetro do tubo e ν é a viscosidade cinemática do fluido (expressa nas unidades L2/T). É difícil se estudar as condições de fluxo para cada poro, de maneira individual dentro do solo. Somente as condições médias existentes em cada seção transversal de solo podem ser estudadas. Pode−se dizer, contudo, que para os tamanhos de poros geralmente encontrados nos solos, o fluxo através dos mesmos é invariavelmente laminar. Somente para o caso de solos mais grossos, como no caso dos pedregulhos, escoamento turbulento pode ocorrer, ainda assim requerendo para isto altos valores de gradientes hidráulicos. O engenheiro Francês H. Darcy realizou um experimento, o qual era constituído de um arranjo similar àquele apresentado na fig. 1.7, para estudar as propriedades de fluxo de água através de uma camada de filtro de areia. Este experimento, realizado em 1856, se tornou clássico para as áreas de hidráulica e geotecnia e deu origem a uma lei que correlaciona a taxa de perda de energia da água (gradiente hidráulico) no solo com a sua velocidade de escoamento (lei de Darcy). z
h
h1 ∆h h1
L
i = −dh/dz h2
h2
Figura 1.7 – Esquema ilustrativo do experimento realizado por Darcy. No experimento apresentado na fig. 1.7, os níveis de água h1 e h2 são mantidos constantes e o fluxo de água ocorre no sentido descendente através do corpo de prova. Medindo o valor da taxa de fluxo que passa através da amostra (vazão de água), representada pelo símbolo q, para vários valores de comprimento da amostra (L) e de diferença de potencial total (∆h), Darcy descobriu que a vazão “q” era proporcional a razão ∆h/L (ou gradiente hidráulico da água através da amostra, i). Isto é ilustrado na eq. 1.9 apresentada adiante.
q = −k ⋅
∆h ⋅ A = k ⋅i⋅ A L
(1.9)
Na eq. 1.9, k é uma constante de proporcionalidade denominada de coeficiente de permeabilidade do solo. Quanto maior o valor de k, maior vai ser a facilidade encontrada pela água para fluir através dos vazios do solo. O coeficiente de permeabilidade, k, tem dimensão de velocidade (L/T), e pode ser definido como a velocidade de percolação da água no solo
14
para um gradiente hidráulico unitário. A é o valor da seção transversal da amostra de solo perpendicular à direção do fluxo. No lado direito da fig. 1.7 está representada a variação do potencial total da água em função da cota (z) da água no experimento. Conforme apresentado nesta figura, o valor do potencial total da água é constante (e igual a h1) até que a água comece a fluir dentro da amostra de solo, passando a h2 na outra extremidade da amostra (extremidade inferior). Considerando−se a amostra de solo como homogênea, pode−se admitir uma variação linear do potencial total da água dentro da amostra (valores de gradientes hidráulicos (i) constantes). Em outras palavras, as perdas de carga eventualmente ocorrendo no exterior da massa de solo são desprezadas. A vazão (q) dividida pela área transversal do corpo de prova (A) indica a velocidade com que a água percola no solo. O valor da velocidade de fluxo da água no solo (v), é dado pela eq. 1.10, apresentada a seguir.
v = −k ⋅
∆h = k⋅i L
(1.10)
Esta velocidade é chamada de velocidade de descarga (v). A velocidade de descarga é diferente da velocidade real da água nos vazios do solo. Isto ocorre porque a área efetiva que a água tem para percolar na seção de solo não é dada pela área transversal total da amostra (A), mas sim pela sua área transversal de vazios. Aplicando−se as noções desenvolvidas em índices físicos pode−se admitir que a relação entre a área transversal de vazios e a área transversal total seja dada pela porosidade do solo (n). Deste modo, a velocidade de percolação real da água no solo é dada pela eq. 1.11. Como os valores possíveis para a porosidade do solo estão compreendidos entre 0 e 1, percebe−se que a velocidade de percolação real da água no solo é maior do que a velocidade de descarga. Apesar disto, devido a sua aplicação prática mais imediata, a velocidade de descarga é a velocidade empregada na resolução de problemas envolvendo fluxo de água em solos.
v real =
v n
(1.11)
RST"3F'(" .";MU H' .OP" 2-Q
A lei de Darcy para o escoamento da água no solo é válida somente para os casos de fluxo laminar. Pesquisas efetuadas posteriormente a postulação da lei de Darcy demostraram que o valor limite do número de Reynolds para o qual regime de fluxo muda de laminar para turbulento no solo se situa entre 1 e 2. Esta enorme diferença entre o número de Reynolds crítico para escoamentos em condutos forçados e no solo deve−se ao fato de que no solo os canalículos ligando os diversos poros em seu interior são irregulares, tortuosos e mesmo eventualmente não contínuos. KVL HW '(2-'( ) 0 ./9 XY "Z'(3F'(" . 0<.3(
Poucas propriedades em engenharia (senão nenhuma) podem variar em tão largas faixas para um “mesmo material” quanto o coeficiente de permeabilidade dos solos. A fig. 1.8 ilustra valores de permeabilidade típicos para diversos tipos de solo. Conforme se pode observar da fig. 1.8, a depender do tipo de solo podemos encontrar valores de coeficientes de permeabilidade da ordem de 10 cm/s (solos grossos, pedregulhos) até valores tão pequenos quanto 1 x 10−10 cm/s. É interessante notar que os solos finos, embora possuam índices de vazios geralmente superiores àqueles alcançados pelos solos grossos, apresentam valores de coeficiente de permeabilidade bastante inferiores a estes.
15
Valores típicos: cm/s 102
10
10−2
Pedregulho
Areia
10−4
10−6
Areia fina, silte e mistura de argila com ambos
10−8
10−10
Argila
Figura 1.8 – Faixas de variação de valores do coeficiente de permeabilidade para diferentes tipos de solo. Os solos, quando não saturados, apresentam coeficientes de permeabilidade menores do que quando saturados. Considerando−se dados experimentais, pode−se atribuir a solos com grau de saturação de 90% coeficientes de permeabilidade da ordem de 70% do correspondente ao estado saturado. Esta diferença não pode ser atribuída exclusivamente ao menor índice de vazios disponível, pois as bolhas de ar existentes são um obstáculo ao fluxo. Neste caso, a situação da água na interface água/ar das bolhas é parcialmente responsável pela diferença. K[L\^] .7 " ";OP XY'( "_";/9 XY "ZE'F3('(" 0 .<03(
A avaliação da permeabilidade de um solo pode ser feita diretamente, através de ensaios de campo e laboratório ou indiretamente, utilizando−se de correlações empíricas. A determinação do coeficiente de permeabilidade em laboratório é conceitualmente muito simples, mas os ensaios são de difícil realização. Os ensaios de campo não são tão bem controlados como os de laboratório, porém resultam do comportamento dos maciços de solo, isto é, na maneira como se encontram na natureza, enquanto que a validade dos resultados de laboratório são função da qualidade e da representatividade das amostras utilizadas nos ensaios. K[L) 3("` 0 XY7 a( -'(2"
Os solos granulares podem ter o seu coeficiente de permeabilidade estimado utilizando−se os resultados de ensaios para a determinação de sua granulometria. Para estes solos, uma boa indicação do coeficiente de permeabilidade é dada pela equação de Hazen, a qual correlaciona o coeficiente de permeabilidade do solo com o diâmetro efetivo (d10) de sua curva característica. Esta equação, proposta por Hazen (1911) deve ser usada somente para os casos de areia e pedregulho, com pouca ou nenhuma quantidade de finos.
k = C ⋅ d 102
(1.12)
Para k expresso em cm/s e o diâmetro efetivo expresso em cm, temos 90 < C <120 sendo o valor de C = 100 muito usado. Outra equação também utilizada na estimativa de valores de coeficientes de permeabilidade é a fórmula de Sing: e = α + β log(k )
(1.13)
Onde α = 10β e β = 0,01⋅IP + δ. δ é uma constante do solo, geralmente adotada como igual a 0,05. Na eq. 1.13 k é expresso em cm/s. A proporcionalidade entre k e d102, adotada na fórmula de Hazen, tem respaldo em dedução de fluxo de água através de tubos capilares. Recomenda−se que o coeficiente de uniformidade do solo (Cu) seja menor que 5, para a utilização desta relação. Deve se notar
16
que na equação proposta por Hazen o diâmetro equivalente dos vazios das areias, e, portanto, a sua permeabilidade, é determinada pela sua fração mais fina, pouco interferindo a sua fração granulométrica mais grossa. Duas outras equações que se aplicam à avaliação da permeabilidade em meios porosos são as de Taylor (eq. 1.14) e a de Kozeny−Carman (eq. 1.15): ? >
2
k C .D b
k
>
? b
w
e3
w
(1.14)
1@ e
e3
1
1 @ e koA S
(1.15) 2
Sendo: e = índice de vazios do solo, γw = peso específico do fluido, µ= viscosidade do fluido, ko = fator que depende da forma dos poros e da tortuosidade da trajetória da linha de fluxo, S= superfície específica, D = diâmetro de uma esfera equivalente ao tamanho dos grãos do solo, C = fator de forma. K[L cT ) "!] 0_$ "'(_ 0cT "XY H
Conforme será apresentado no capítulo 2, através do ensaio de adensamento e fazendo−se uso da teoria da consolidação unidirecional de Terzaghi, pode−se estimar o coeficiente de permeabilidade dos solos através da eq. 1.16. Nesta equação, av é o coeficiente de compressibilidade do solo (expresso em termos de m2/kN), Cv é o seu coeficiente de adensamento (expresso em termos de m2/s), γw é o peso específico da água, (expresso em termos de kN/m3) e eo é o índice de vazios inicial da amostra. Neste caso, k é expresso em m/s. k=
av ⋅ C v ⋅ γ w 1 + eo
(1.16)
Uma outra forma de se obter o coeficiente de permeabilidade do solo durante o ensaio de adensamento é realizando−se um ensaio de permeabilidade a carga variável, através da célula edométrica, entre dois estágios de carregamento. Isto é feito principalmente quando se deseja agilizar a obtenção de resultados e estudar a variação do coeficiente de permeabilidade do solo com o seu índice de vazios. K[LDCLcT ) "!] 0 ./9 XY dXe )
São os ensaios de laboratório mais utilizados. A seguir são apresentados, de modo sucinto, os métodos empregados na realização de cada tipo de ensaio. K[LDCL)/1 H -Xe dXY H ) _ 0 " &"; )"
O esquema montado para a realização deste ensaio se assemelha em muito com aquele elaborado por Darcy para a realização de sua experiência histórica (fig. 1.7) sendo reapresentado na fig. 1.9. Este ensaio consta de dois reservatórios onde os níveis d’água são mantidos constantes e com diferença de altura (∆H), como demonstra a fig. 1.9. Medindo−se a vazão q e conhecendo−se as dimensões do corpo de prova (comprimento L e a área da seção transversal A), calcula−se o valor da permeabilidade, k, através da eq. 1.17.
17
>
q kf if a
>
q vol g t
>
vol k f i f a f t
i
>ih
Hg L
Deste modo temos: k
>
vol f L h Af Hf t
(1.17)
em que:
vol: quantidade de água medida na proveta L: comprimento da amostra medido no sentido do fluxo A: área da seção transversal da amostra ∆H: diferença de nível entre o reservatório superior e inferior t: tempo medido entre o início e o fim do ensaio O permeâmetro de carga constante é sempre utilizado toda vez que temos que medir a permeabilidade em solos granulares (solos com razoável quantidade de areia e/ou pedregulho), os quais apresentam valores de permeabilidade elevados.
∆H
∆L
Figura 1.9 – Esquema utilizado no ensaio de permeabilidade a carga constante. K[LDCL /1 H -Xe dXY H ) _ 0 " &";ST" '(:! 3
O permeâmetro de carga variável é usado quando ensaiamos solos com baixos valores de permeabilidade. Seu uso é requerido porque senão teríamos que dispor de um tempo muito longo para percolar a quantidade de água necessária para a determinação de k com o uso do permeâmetro de carga constante. Além disto, devido às baixas velocidades de fluxo, a evaporação da água para a atmosférica passa a ter grande importância e cuidados especiais devem ser tomados durante a realização dos ensaios. A fig. 1.10 apresentada a seguir ilustra o esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável. No ensaio de permeabilidade a carga variável medem−se os valores de h obtidos para diversos valores de tempo decorrido desde o início do ensaio (notar que a diferença de potencial entre os dois lados da amostra, aqui representada por h(t), não é mais uma constante). São também anotados os valores de temperatura quando da efetuação de cada medida. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo−se uso da lei de Darcy e levando−se em conta que a vazão de água através do corpo de prova pode ser representada pela eq. 1.18 (conservação da massa), apresentada adiante.
18
Carga variável (solos finos) a
h = f(t)
L
A
Figura 1.10 – Esquema montado para a realização do ensaio de permeabilidade a carga variável.
q = −a
dh dt
(1.18)
A lei de Darcy pode ser expressa em termos de vazão pela eq. 1.19, apresentada a seguir.
q=k⋅
h ⋅A L
(1.19)
Igualando−se as expressões 1.18 e 1.19 chega−se a eq. 1.20, apresentada abaixo. B a
h1
>
ho
a. ln
k
>
t1
dh > kA dt h L t
h o > k.A h t h1 L
ho a.L f ln h A. t h1
(1.20)
onde, integrando−se obtém−se:
o
explicitando−se o valor de k, obtém−se:
ou
>
k 2,3.
ho a.L f log h A. t h1
(1.21)
19
Sendo; a: área interna do tubo de carga A: seção transversal da amostra L: altura do corpo de prova ho: distância inicial do nível d‘água para o reservatório inferior h1: distância, para o tempo 1, do nível d‘água para o reservatório inferior ∆t: intervalo de tempo para o nível d‘água passar de ho para h1 K[L R$ "'( 0 . "Xe7
Geralmente utilizados em furos de sondagens, podem ser realizados pela introdução de água no furo de sondagem, medindo−se a quantidade de água que infiltra no maciço com o decorrer do tempo de ensaio ou retirando−se água de dentro do furo e medindo−se a vazão bombeada. O primeiro procedimento constitui o ensaio de infiltração e o segundo é conhecido por ensaio de bombeamento. A fig. 1.11 apresenta o esquema utilizado no ensaio de bombeamento. Neste ensaio, uma vazão constante de retirada de água (q) é imposta ao poço filtrante esperando−se o equilíbrio do nível de água no fundo do poço. Poços testemunhas são abertos a certas distâncias (x1 e x2) do poço filtrante, anotando−se as profundidades do lençol freático nestes poços. O coeficiente de permeabilidade do solo é então calculado fazendo−se uso da eq. 1.22, apresentada adiante.
Figura 1.11 – Esquema utilizado no ensaio de bombeamento. Modificado de Caputo (1981). x2 q ⋅ ln x1 k= 2 π ⋅ y 2 − y1 2
(
)
(1.22)
O ensaio de tubo aberto (infiltração) é utilizado para solos mais finos e a determinação do coeficiente de permeabilidade é feita enchendo−se um furo revestido (escavado até uma profundidade determinada, abaixo do lençol freático) com uma determinada quantidade de água e deixando−se a água percolar pelo solo, fig. 1.12. Durante o processo de infiltração são
20
realizadas leituras do nível de água no revestimento do furo e do tempo decorrido desde o início do ensaio. O coeficiente de permeabilidade para o caso do ensaio de infiltração é calculado com o uso da eq. 1.23, apresentada adiante. r1 ∆h k = ⋅ 4h ∆ t
(1.23)
Os ensaios de campo para a determinação do coeficiente de permeabilidade do solo, se realizados com perícia, tendem a fornecer valores de coeficiente de permeabilidade mais realísticos, já que são realizados aproximadamente na mesma escala do problema de engenharia e levam em conta os eventuais “defeitos” do maciço de solo (fraturas, anisotropia do material, não homogeneidade, etc.). Os ensaios de laboratório, embora realizados com maior controle das condições de controle do problema, utilizam em geral amostras de solo de pequenas dimensões, que deixam a desejar quanto a representatividade do maciço. Maiores detalhes sobre a realização de ensaios de permeabilidade em campo são obtidos em De Lima (1983) e ABGE (1981).
Figura 1.12 – Esquema ilustrativo do ensaio de infiltração. Modificado de Caputo (1981). j*G" ) 0k 0l W 3( Xm _ E W '(2'F H . ./9 XY "Z'(3('F" .#<.3(
Além de ser uma das propriedades do solo com maior faixa de variação de valores, o coeficiente de permeabilidade de um solo é uma função de diversos fatores, dentre os quais podemos citar a estrutura, o grau de saturação, o índice de vazios, etc. Quanto mais poroso é o solo maior será a sua permeabilidade. Essa correlação pode ser visualizada através das equações 1.14 e 1.15. Deve−se salientar, contudo, que a permeabilidade depende não só da quantidade de vazios do solo mas também da disposição relativa dos grãos.
21
Amostras de um mesmo solo, com mesmo índice de vazios, tenderão a apresentar permeabilidades diferentes em função da estrutura. A amostra no estado disperso terá uma permeabilidade menor que a amostra de estrutura floculada. Este fator é marcante no caso de solos compactados que, geralmente, quando compactados no ramo seco, apresentam uma disposição de partículas (estrutura floculada) que permite maior passagem de água do que quando compactados mais úmido (estrutura dispersa), ainda que com o mesmo índice de vazios. Solos sedimentares, os quais por sua gênese possuem uma estrutura estratificada, geralmente apresentam fortes diferenças entre os valores de permeabilidade obtidos fazendo− se percolar água nas direções vertical e horizontal, em uma mesma amostra (anisotropia surgida em decorrência da estrutura particular destes solos). Quanto maior o grau de saturação de um solo maior será sua permeabilidade, pois a presença de ar nos vazios do solo constitui um obstáculo ao fluxo de água. Além disto, quanto menor o Sr, menor a seção transversal de água necessária para a ocorrência do fluxo. Além dos fatores relacionados acima, a permeabilidade também sofre influência das características do fluido que percola pelos vazios do solo. A permeabilidade depende do peso específico e da viscosidade do fluido (geralmente água). Essas duas propriedades variam com a temperatura, entretanto, a variação da viscosidade é muito mais significativa do que o peso específico (quanto maior a temperatura, menor a viscosidade e menor o peso específico da água). É prática comum se determinar a permeabilidade a uma dada temperatura de ensaio e, em seguida, corrigir o resultado para uma temperatura padrão de 20oC, através da fórmula: >
b
k 20 k T b
T
(1.24)
20
onde: kT e µT são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura de ensaio e k20 e µ20, são, respectivamente, permeabilidade e viscosidade na temperatura padrão (20oC). KnL$ o ) #"%MN ' 0OP" -2Q;7 " "%# " # .*G3(o#p_ '('(XY '( "3q
A lei de Darcy pode ser estendida para o caso de fluxo tridimensional através da eq. 1.25 apresentada adiante. Para o caso de solo isotrópico (kx=ky=kz), a eq. 1.25 pode ser simplificada, resultando na eq. 1.26. r >
V B
k x ADs h t k y uA s h t k y uA s h t A i@ A j@ Ak x y z s s s
r h t h t h t > V B kA s A i@ s A j@ s A k s x s y s z
(1.25)
(1.26)
KvL/9 XY "Z'(3F'(" . Xwp_ .$ " )'(W '(2"E
Os depósitos de solos naturais podem exibir estratificação ou serem constituídos por camadas com diferentes coeficientes de permeabilidade na direção vertical e horizontal. A permeabilidade média do maciço dependerá da direção do fluxo em relação à orientação das camadas. Dois casos podem ser facilmente considerados: fluxo na direção paralela à estratificação e fluxo perpendicular à estratificação.
22
Fluxo paralelo aos planos das camadas do solo: A fig. 1.13 mostra um esquema de fluxo paralelo à direção das camadas do solo. O solo é constituído por camadas de material com coeficiente de permeabilidade diferentes (k1, k2, kn). Na direção horizontal todas as camadas estão sujeitas ao mesmo gradiente hidráulico (i). Como V=ki, e k é diferente para as camadas, então a velocidade de fluxo será diferente para cada camada (V1= k1.i, V2=k2.i, Vn =kn.i). Considerando um comprimento unitário na direção perpendicular ao plano do papel, temos que área de fluxo de cada camada será h1, h2,....hn, respectivamente, e esta valerá h para todas as camadas. h1 h2
q1
k1
q2
k2
hn
qn
h
. k3
Figura 1.13 – Fluxo paralelo aos planos das camadas. A vazão total que passa pelo solo é soma da vazões em cada camada. Assumindo kx como a permeabilidade média do solo, paralela à estratificação e aplicando a eq. 1.27 podemos determinar a permeabilidade média do maciço (eq. 1.28). >
q q1 @ q 2 @ q3 @ ... @ qn
(1.27)
>
k x ih k 1 ih1 @ k 2 ih 2 @ ... @ k n ih n
mas,
n
kx
>
ix 1
k i hi (1.28)
n ix 1
hi
Fluxo perpendicular aos planos das camadas do solo: Um esquema de fluxo perpendicular à estratificação do maciço é apresentado na fig. 1.14. Na direção vertical, sendo contínuo o escoamento, a vazão que passa através de cada camada é a mesma e a perda de carga é diferente em cada uma delas (∆h1, ∆h2, ∆hn). Desde que a vazão é constante em todas as camadas e a área da seção transversal ao fluxo é a mesma, a velocidade de fluxo também será a mesma em todas as camadas. Considerando−se ainda que h1, h2, hn, são a espessura de cada camada de solo e k1, k2, kn, os coeficientes de permeabilidade de cada camada, podemos escrever a equação da permeabilidade média na direção vertical (kz), eq. 1.29: >
>
>
>
>
q q1 q 2 q3 ... qn >
>
>
>
V z A V 1 A1 V 2 A2 ... V n An
ou
>
>
>
>
V z V 1 V 2 ... V n
23
h
h
h h1 > h2 > hn h > > k1 k2 .... k n hi h1 h2 hn h
>
V z kz
Se a perda de carga total ∆h é dado pelo somatório das perdas de cargas através de cada uma das camadas e o coeficiente de permeabilidade do conjunto é kz, ter−se−á: h
h
>eh
h1 @
h
h2 @
hi > V 1 h1
Vz kz
k1
@
h
h
h 3 @ ... @ V 2 h2 k2
@ ... @
hn
ou
V n hn kn
n
kz
>
ix 1
hi
n
hi
ix 1
ki
(1.29)
V h1
i1
k1
h2
i2
k2
hn
in
. k3
h
Figura 1.14 – Fluxo perpendicular aos planos das camadas. yz{MN ' 0*G3(o#|} "3('(~{""
A seguir é apresentado um tratamento matemático sumário o qual permite chegar de uma forma direta às equações básicas que se utilizam hoje para tratar dos problemas envolvendo fluxo de água em solos. Considere−se uma região de fluxo (ou seja, uma região de solo por onde há fluxo de água) a qual forma um elemento paralelepipédico de dimensões dx, dy e dz (fig. 1.15).
Vy(x,y+dy,z) dx
dz
dy
z y
x
Vy(x,y,z)
Figura 1.15 – Movimento de água na direção y através da região de solo considerada.
24
Na fig. 1.15 está representada a parcela de fluxo através do elemento de solo considerado, correspondente a componente da velocidade de fluxo da água na direção y, vy. Deve−se notar da análise da fig. 1.15 que a componente vy da velocidade da água não provoca nenhum fluxo através das outras quatro faces do elemento de solo (vy está contida nos outros dois planos ortogonais do paralelepípedo). Desta forma, a quantidade de fluxo que passa pela face cujo centro tem coordenadas (x,y,z) pode ser dada pela eq. 1.30, apresentada adiante. Na eq. 1.30, vy é a componente do fluxo na direção y e o produto dx⋅dz corresponde ao valor da área pela qual o fluxo está ocorrendo. Deve−se notar ainda que o símbolo qy tem unidade de vazão, isto é, é expresso em termos de L3/T.
qy (y ) = Vy (y ) ⋅ dz ⋅ dx
(1.30)
Para a outra face do elemento de solo a qual sofre a influência do fluxo de água provocado por vy, o centro da área de fluxo tem coordenadas (x,y+dy,z). A velocidade de fluxo na direção y não é mais necessariamente vy, devendo ser melhor representada por vy+dvy. dvy representa a variação da velocidade de fluxo na direção y, devido a variação espacial da coordenada do centro da face de fluxo, dy. A eq. 1.31 representa a quantidade de fluxo passando pela outra face do elemento de solo
q y ( y+ dy ) = V y (y +dy ) ⋅ dz ⋅ dx = (V y + dVy )⋅ dz ⋅ dx
(1.31)
A taxa de armazenamento de água no solo devida a componente da velocidade de fluxo na direção y será dada pela diferença entre as quantidades de fluxo que passam pelas duas faces aqui consideradas (diferença entre os termos dados pelas equações 1.31 e 1.30). A eq. 1.32 representa a taxa de armazenamento da água no solo devido a componente de fluxo na direção y. O sinal negativo na eq. 1.32 significa que para haver o acúmulo de água no solo a componente da velocidade na direção y, na face de saída, deve ser maior do que na face de entrada. >
dq y B dv y A dx A dy A dz
(1.32)
dvy pode ser calculado fazendo uso do conceito de diferencial total (eq. 1.33). Deve− se notar que os centros das faces consideradas possuem as mesmas coordenadas z e x, de modo que dz = dx = 0. Deste modo, o termo dvy pode ser representado pela eq. 1.34. Substituindo−se a eq. 1.34 na eq. 1.32 chega−se a eq. 1.35, apresentada adiante. dV y =
∂V y ∂Vy ∂Vy dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z 0
dV y =
∂ Vy dy ∂y
(1.33)
0
(1.34)
> B Vy dq y A dx A dy A dz y
(1.35)
A taxa de armazenamento total da água no solo será dada pelas contribuições do fluxo nas três direções: x, y e z (eq. 1.36). Seguindo−se o mesmo procedimento apresentado para o
25
caso da direção y, pode−se mostrar que a taxa de armazenamento total da água no solo é dada pela eq. 1.37, apresentada adiante (lei de conservação da massa).
dqtotal = dqx + dqy + dqz Vx
>
dq total B
Vy @
x
(1.36) Vz @
y
z
(1.37)
A dx A dy A dz
O termo dx⋅dy⋅dz representa o volume do elemento infinitesimal de solo considerado. Deste modo, podemos exprimir a taxa de armazenamento total da água no solo, em relação ao próprio volume do elemento infinitesimal, pela eq. 1.38. dq total > dv
B
Vx x
@
Vy y
@
Vz
(1.38)
z
Por sua vez, o termo dqtotal/dv pode ser expresso como uma função dos índices físicos do solo. A fig. 1.16 apresenta um diagrama de fases para o elemento de solo considerado, em termos de índice de vazios. Conforme se pode observar do diagrama de fases apresentado nesta figura, a relação volume de água/volume total do elemento de solo é dada por Sr⋅e/(1+e), onde e é o índice de vazios inicial da amostra e Sr o seu grau de saturação. O termo dqtotal/dv corresponde a variação da relação Sr⋅e/(1+e) no tempo, podendo ser representado pela eq. 1.39. Igualando−se as Equações 1.38 e 1.39 chega−se a eq. 1.40, a qual atende aos requerimentos impostos pelo princípio da conservação da massa de água no solo. Sr A e > dq total dv t 1@ e
Sr A e > B t 1@ e
(1.40)
Vx x
@
(1.39) Vy y
@
Vz z
A dx A dy A dz
Pesos 0 γw⋅Sr⋅e γs
Volumes Ar Água
Solo
e
Sr⋅e
1+e
1
Figura 1.16 – Diagrama de fases para o elemento de solo considerado. A eq. 1.25 apresentada anteriormente representa a lei de Darcy aplicada para um caso de fluxo tridimensional. Da eq. 1.25 pode−se deduzir as igualdades apresentadas na eq. 1.41, mostrada adiante. >
h h h > > ; V y B k y ; V z B kz x y z
V x B kx
(1.41)
26
Substituindo−se os termos apresentados na eq. 1.41 dentro da eq. 1.40 chega−se a eq. 1.42, apresentada adiante, a qual representa a equação geral para o caso de fluxo de água em solos.
Sr A e > t 1@ e
(1.42)
k xA h x x
@
k yA h y y
@
kz A h z z
A dx A dy A dz
Para o caso de fluxo em solo não saturado, heterogêneo e anisotrópico, tanto os valores dos coeficientes de permeabilidade em cada direção (kx, ky e kz) quanto os valores do potencial total da água no solo serão dependentes das coordenadas do ponto considerado e do grau de saturação do solo, de modo que a resolução analítica da eq. 1.42 se torna bastante árdua, senão impossível. Deve−se ressaltar, contudo, que com o desenvolvimento das técnicas computacionais de representação do contínuo (como o método dos elementos finitos, por exemplo), a resolução de tais problemas se tornou possível, em tempo viável, para uma enorme variedade de condições de contorno. Para o caso de fluxo de água em solo saturado, homogêneo e isotrópico, a eq. 1.42 é reduzida a eq. 1.43 apresentada a seguir. ∂h 2 ∂h 2 ∂h 2 ∂e 1 ⋅ = k 2 + 2 + 2 ∂ ∂ z ∂t ∂y 1 + eo x
(1.43)
A eq. 1.43 é utilizada na resolução de dois tipos de problemas fundamentais para a mecânica dos solos envolvendo fluxo de água: Fluxo bidimensional estacionário (fluxo estacionário, do inglês “steady state flow”) e a teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi (Fluxo transiente, do inglês “transient flow”). Diz−se que o movimento de água no solo está em um regime estacionário quando as condições de contorno do problema não mudam com o tempo. No caso da eq. 1.43 para fluxo estacionário, o índice de vazios do solo é uma constante, de modo que esta equação pode ser rescrita (considerando−se o fluxo somente em duas direções) como a eq. 1.44. ∂ 2h ∂ 2h k ⋅ 2 + 2 = 0 ∂z ∂x
(1.44)
A resolução analítica da eq. 1.44 nos fornece duas famílias de curvas ortogonais entre si (linhas de fluxo e linhas equipotenciais). Além de ser resolvida analiticamente, a eq. 1.44 pode ser resolvida utilizando−se uma grande variedade de métodos, como o método das diferenças finitas, o métodos dos elementos finitos, através de modelos reduzidos ou através de analogias com as equações que governam os problemas de campo elétrico ou termodinâmicos. Os métodos utilizados para a resolução da eq. 1.44 são apresentados no capítulo 3 deste trabalho. A título ilustrativo, a fig. 1.17 apresenta a resolução de um problema de fluxo de água através da fundação de uma barragem de concreto contendo uma cortina de estacas pranchas em sua extremidade esquerda. Notar a ortogonalidade entre as linhas de fluxo e as linhas equipotenciais encontradas na resolução do problema. Diz−se que o movimento de água no solo está em um regime transiente quando as condições de contorno do problema mudam com o tempo. Neste caso, o valor do índice de vazios do solo irá mudar com o desenvolvimento do processo de fluxo. Um dos casos mais importantes de fluxo transiente em solos é o caso da teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi, estudada no capítulo seguinte. Para o caso de fluxo transiente unidirecional a eq. 1.43 se transforma na eq. 1.45 apresentada a seguir.
27
Sr A e > 2 h k 2 t 1 e @ h
(1.45)
Figura 1.17 – Esquema ilustrativo de resolução de um problema de fluxo estacionário bidimensional. Modificado de Holtz & Kovacs, 1981. Como veremos no capítulo seguinte, as variações no potencial total da água no solo, para o caso dp adensamento, serão provocadas por carregamentos externos aplicados na superfície do terreno, sob determinadas condições de contorno. Os carregamentos aplicados ao solo irão fazer surgir excessos de pressão neutra, os quais tenderão a se dissipar pela expulsão da água presente nos vazios do solo (diminuição do seu índice de vazios). L{ "7 '(3(" '(" 0 .<03( L 2'FXe _*Ga( '(2_#*G XY
Neste item é feita uma revisão sumária de alguns conceitos envolvendo o fenômeno da capilaridade em solos. O assunto capilaridade já deve ser do conhecimento dos alunos deste curso de mecânica dos solos, sendo normalmente estudado nas disciplinas de física aplicada. Para o estudo da ascensão da franja capilar nos solos, os seus vazios são associados a tubos capilares interconectados, ainda que muito irregulares. Logo, a capilaridade se manifesta nos solos pela propriedade que possuem os líquidos de poderem subir, a partir do nível do lençol freático, pelos canais tortuosos do solo, formados pelos seus vazios. No caso dos solos, o líquido o qual ascende além do nível freático é geralmente a água, pura ou contendo alguma substância dissolvida. A explicação dos fenômenos capilares é feita com base numa propriedade do solo associada com a superfície livre de qualquer líquido, denominada tensão superficial. A tensão superficial resulta da existência de forças de atração de curto alcance entre as moléculas, denominadas de forças de Van der Waals, ou simplesmente forças de coesão. A distância limite de atuação destas forças, isto é, a distância máxima que uma molécula consegue exercer atração sobre as outras, é conhecida pelo nome raio da esfera de ação molecular ‘r’, que na água, não excede 5x10−6 cm. Deste modo, qualquer molécula cuja esfera de ação não esteja totalmente no interior do líquido, não se equilibra, porque a calota inferior da sua esfera de ação está repleta de moléculas que a atrai, o que não acontece com a calota superior, que cai fora do líquido, e não está cheia de moléculas como a inferior (vide fig. 1.18). Tais moléculas são atraídas para o interior do líquido pela resultante destas forças de coesão não equilibradas. Evidentemente,
28
esta resultante é nula quando a molécula se encontra a uma distância ‘r’ ou maior que r da superfície do líquido. ar
r F=0 Líquido
Força resultante
Figura 1.18 − Forças intermoleculares, modificado de Libardi (1993). Além disto, pela ação destas forças, a superfície do líquido se contrai minimizando sua área, e adquire uma energia potencial extra que se opõe a qualquer tentativa de distendê−la, ou seja, ocorrendo uma distensão, a tendência da superfície é sempre voltar a sua posição original. Baseando−se nestas observações, a superfície ativa do líquido é também chamada de membrana contrátil. Quando a membrana contrátil de um líquido se apresenta curva, pelo fato da mesma possuir moléculas tracionadas, uma força resultante surge, sendo responsável por fenômenos tais como a ascensão capilar. A curvatura do menisco por sua vez é função da intensidade da força com que as moléculas do líquido são atraídas por outras moléculas do mesmo líquido, pelo ar e pelas moléculas da superfície sólida eventualmente em contato com o líquido. A formação de meniscos capilares é ilustrada na fig. 1.19, mostrada adiante. Conforme podemos observar nesta figura, F1 representa a força resultante de atração das partículas sólidas (em sua parte superior e inferior) sobre as moléculas de água que se encontram no ponto P e F2 representa a resultante das forças de atração entre as próprias moléculas do fluido. Desprezando−se a atração entre as moléculas de líquido e ar, caso F2 = 2F1, o menisco não apresentará curvatura, ou θ será de 90º. Caso F2 < 2F1, o menisco será côncavo, ou seja, θ será menor que 90º (como no caso dos meniscos formados pela água e a maioria das superfícies de contato). Caso F2 > 2F1, o menisco será convexo, ou seja, θ será maior do que 90º (como nos casos dos meniscos formados pelo mercúrio e a maioria das superfícies de contato).
F1 resultante sólido P F1 resultante sólido
θ
F2 resultante líquido
Figura 1.19 − Formação de meniscos capilares. modificado de Libardi (1993).
29
Imergindo−se a ponta de um tubo fino de vidro num recipiente com água, essa subirá no tubo capilar até uma determinada altura, a qual será maior quanto mais fino for o tubo. Existirá sempre uma tensão superficial (Ts) no contato entre a água e o vidro, formando um ângulo θ (cujo valor depende da relação entre as forças apresentadas na fig. 1.19), o qual é também é conhecido como ângulo de molhamento ou de contato. Ts e θ assumirão valores que dependerão do tipo de fluido e da superfície de contato em questão. No caso da água, considerada pura e o vidro quimicamente limpo, na temperatura ambiente, Ts é aproximadamente igual a 0,074 N/m e θ é igual a zero. L cT7 3('F2"-_" .<03(
Sob efeito da capilaridade, o movimento da água é contrário a atração da gravidade. Essa ascensão da água nos solos é chamada de ascensão capilar e é bastante variável a depender do tipo de solo. No solos, a altura de ascensão depende do diâmetro dos vazios. Como estes são de dimensões muito variadas, a superfície superior de ascensão não fica bem caracterizada, sendo possível que bolhas de ar fiquem enclausuradas no interior do solo. Ainda assim, existe uma altura máxima de ascensão capilar que depende da ordem de grandeza do tamanho representativo dos vazios do solo. Para solos arenosos, a altura de ascensão capilar é da ordem de centímetros, enquanto que em terrenos argilosos esta pode atingir dezenas de metros. Cálculo da altura de ascensão capilar – O cálculo da altura de ascensão capilar é feito através da forma de Laplace, representada pela eq. 1.46 mostrada a seguir. Nesta equação, r1 e r2 são raios de curvatura ortogonais do menisco de água. 1 1 σ = Ts + r1 r2
(1.46)
Caso o menisco de água seja esférico, temos r1=r2, o que, utilizando−se o esquema apresentado na fig. 1.20, faz com que a equação de Laplace seja transformada na eq. 1.47, utilizada para calcular a altura de ascensão capilar da água. h=
2 ⋅ Ts ⋅ cos(θ ) γw ⋅r
(1.47)
Figura 1.20 – Cálculo da altura de ascensão capilar da água.
30
O fenômeno da capilaridade é responsável pela falsa coesão das areias, quando estas se encontram parcialmente saturadas. Em areias puras, areias de praias por exemplo, não há aderência entre os seus grãos, seja no estado seco ou completamente saturado. Nota−se entretanto, que quando nessas areias existe um teor de umidade entre zero e a umidade de saturação, surge um menisco entre os contatos dos grãos, que tende a aproximar as partículas de solo. Essas forças de atração surgem em decorrência do fenômeno da capilaridade e são responsáveis pela coesão aparente das areias Nas argilas, quando secas, há uma diminuição considerável do raio de curvatura dos meniscos, levando a um aumento das pressões de contato e a uma aproximação das partículas, provocando o fenômeno da retração por secagem no solo. Durante o processo de secagem das argilas, as tensões provocadas em decorrência da capilaridade podem se elevar a ponto de provocar trincas de tração no solo.
31
2. COMPRESSIBILIDADE DOS SOLOS.
Quando as cargas de uma determinada estrutura são transmitidas ao solo, estas geram uma redistribuição dos estados de tensão em cada ponto do maciço (acréscimos de tensão), a qual, por sua vez, irá provocar deformações em toda área nas proximidades do carregamento, inevitavelmente resultando em recalques superficiais. Os dois fatores mais importantes na análise de uma fundação qualquer são 1) – As deformações do solo, especialmente aquelas que irão resultar em deslocamentos verticais (recalques na cota de assentamento da estrutura) e 2) A resistência ao cisalhamento do solo, responsável pela estabilidade do conjunto solo/estrutura. Para análise do primeiro requerimento imposto à fundação (recalques admissíveis da fundação), deve−se considerar e estudar aspectos relativos à deformabilidade (ou compressibilidade) dos solos. A natureza das deformações do solo sob os carregamentos a ele impostos, pode ser elástica, plástica, viscosa ou mesmo se apresentar (como na maioria dos casos) como uma combinação destes três tipos de deformação. As deformações elásticas geralmente causam pequenas mudanças no índice de vazios do solo, sendo totalmente recuperadas quando em um processo de descarregamento. Não se deve nunca confundir os termos elasticidade e linearidade, já que um material pode se comportar de maneira elástica e não linear. Diz−se que um material se comporta plasticamente quando, cessadas as solicitações a ele impostas, não se observa nenhuma recuperação das deformações ocorridas no corpo. Em todos os dois tipos de deformação relatados acima, a resposta do solo a uma mudança no seu estado de tensões efetivo é imediata. Quando o solo, mesmo com a constância do seu estado de tensões efetivo, continua a apresentar deformações com o tempo, diz−se que ele está a apresentar um comportamento do tipo viscoso (processo de fluência). As deformações de compressão do solo, as quais são as principais responsáveis pelo aparecimento de recalques na superfície do terreno, são devidas ao deslocamento relativo das partículas de solo (no sentido de torná−las mais próximas umas das outras), tendo as deformações que ocorrem dentro das partículas geralmente uma pequena influência nas deformações volumétricas totais observadas. Já que nos depósitos naturais o solo se encontra geralmente confinado lateralmente, os recalques apresentados pelas estruturas de fundação são devidos, em sua maior parte, às variações volumétricas de compressão apresentadas no interior do maciço de solo. Pode−se ainda dizer que, neste caso, as deformações no sentido vertical compõem a maior parte das deformações volumétricas observadas. Xe7 H'FZE'F3('(" 0 .<03(
Como o solo é um sistema particulado, composto de partículas sólidas e espaços vazios, os quais podem estar parcialmente ou totalmente preenchidos com água, os decréscimos de volume por ele apresentados podem ser atribuídos, de maneira genérica, a três causas principais:
Compressão das partículas sólidas Compressão dos espaços vazios do solo, com a conseqüente expulsão de água, no caso de solo saturado. Compressão da água (ou do fluido) existente nos vazios do solo.
Para a magnitude das cargas geralmente aplicadas na engenharia geotécnica aos solos, as deformações ocorrendo na água e nas partículas sólidas podem ser desprezadas,
32
calculando−se as deformações volumétricas do solo a partir das variações em seu índice de vazios. A compressibilidade de um solo irá depender do arranjo estrutural das partículas que o compõe e do grau em que as partículas do solo são mantidas uma em contato com a outra. Uma estrutura mais porosa, como no caso de uma estrutura floculada, irá resultar em um solo mais compressível do que um solo contendo uma estrutura mais densa. Um solo composto basicamente de partículas lamelares será mais compressível do que um solo possuindo partículas predominantemente esféricas. Quando há acréscimos de pressão no solo, é natural que este se deforme, diminuindo o seu índice de vazios. Se a pressão anteriormente aplicada ao solo é então retirada, alguma expansão (recuperação elástica) irá ocorrer, mas nunca na totalidade das deformações sofridas anteriormente. Em outras palavras, o comportamento apresentado pelo solo é preferencialmente de natureza elastoplástica. No caso de solos saturados e considerando−se as hipótese efetuadas anteriormente (água e partícula sólidas incompressíveis), caso haja diminuição de volume do solo (acréscimos de pressão), o solo deverá expulsar água de seus vazios, o contrário ocorrendo no caso de alívio de pressões. Para o caso dos solos finos, os quais tendem a possuir baixos valores de permeabilidade, estes processos de deformação podem requerer muito tempo para que ocorram em sua totalidade. O processo de compressão gradual do solo devido a expulsão de água em seus vazios é denominado de adensamento, e a equação governando o processo de adensamento do solo já foi apresentada no capítulo anterior (eq. 1.45). Nota−se pois, que no processo de adensamento estudamos dois fenômenos de natureza distinta, que ocorrem simultaneamente no solo: um processo de fluxo e um processo de compressão do solo, devido à modificações nos valores de tensão efetiva atuando no interior do maciço. Vê−se daqui que a análise do processo de adensamento do solo deve ser feita de modo acoplado, isto é, considerando−se características de deformabilidade e fluxo do solo de modo conjunto. KCL$ "'(# .2XY7 _2 W '( ""
O estudo da compressibilidade dos solos é normalmente efetuado utilizando−se o edômetro, um aparelho desenvolvido por Terzaghi para o estudo das características de compressibilidade do solo e da taxa de compressão do solo com o tempo. Este aparelho foi posteriormente modificado por Casagrande, sendo algumas vezes denominado de consolidômetro. A fig. 2.1 apresenta, de modo esquemático, o aparelho utilizado nos ensaios de compressão confinada.
Figura 2.1 – Esquema utilizado nos ensaios de compressão confinada. Modificado de Caputo (1981).
33
Utilizando−se o aparelho apresentado na fig. 2.1, uma amostra de solo, compactada ou indeformada, é submetida a valores crescentes de tensão vertical, sob a condição de deformações radiais nulas. O ensaio de adensamento é normalmente realizado mantendo−se a amostra saturada e utilizando−se duas pedras porosas (uma no topo e outra na base do corpo de prova) de modo a acelerar a velocidade dos recalques na amostra e por conseguinte, diminuir o tempo necessário para a execução do ensaio. Durante cada estágio de carregamento são efetuadas leituras, através de um extensômetro, dos deslocamentos verticais do topo da amostra e do tempo decorrido para obtenção de cada valor de deslocamento. A taxa de mudança de volume da amostra com o tempo (notar que neste caso, como as deformações radiais são nulas, a deformação volumétrica do solo é numericamente igual à deformação axial) varia enormemente de acordo com o tipo de solo ensaiado. Solos não coesivos, como no caso das areias puras, se deformam quase instantaneamente, enquanto que os solos finos requerem longos períodos para que o processo de adensamento do solo se complete. As leituras dos deslocamentos medidos no topo do corpo de prova devem ser obtidas até que se assegure uma percentagem de adensamento média de pelo menos 90%. No caso de solos finos, com muito baixos valores de permeabilidade, o tempo requerido para que se passe de um carregamento para o outro pode ser superior a um dia ou até mesmo mais, a depender da natureza do solo ou no caso de se desejar estudar as suas características de fluência. R 7 "# .46 3( " 0 .Xm$ "'F# . Xe7 H_ E W '( ""L
Existem diversos modos de se representar os resultados de um ensaio de adensamento. O processo de adensamento se inicia relativamente veloz, mas com o tempo, a taxa de deformações do solo decresce substancialmente. Após transcorrido o tempo necessário, as leituras do extensômetro se tornam praticamente constantes, e pode ser assumido que a amostra atingiu uma condição de equilíbrio (não há mais variações no estado de tensões efetivo do solo), apesar de que, teoricamente falando, o tempo requerido para que o processo de adensamento se complete é infinito. Em vista destas características, os resultados das leituras efetuadas em cada estágio de adensamento são colocados em gráficos em função do logaritmo do tempo, na maioria dos casos e em função da raiz quadrada do tempo, em algumas circunstâncias. Já que a compressão do solo ocorre em função de variações nos valores de seu índice de vazios, a sua curva de compressão é normalmente representada em termos de índice de vazios versus o logaritmo da tensão vertical (novamente aqui se adota um gráfico semi−log, em decorrência do fato de que os valores de tensão vertical aplicados ao solo em um ensaio de adensamento variam enormemente, indo de valores tão baixos quanto 2 kPa até valores da ordem de 2 MPa). O valor do índice de vazios ao final de cada estágio de carregamento do solo pode ser obtido considerando−se a hipótese de carregamento confinado (εv = ∆H/H) e utilizando−se o diagrama de fases apresentado na fig. 7.2. Da análise da fig. 7.2 temos: >
e f eo@
h
h ho
1@ eo
onde;
(2.1)
ef: índice de vazios ao final do estágio de carregamento atual ∆h: variação de altura do corpo de prova (acumulada) ao final do estágio ho: altura inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio) eo: índice de vazios inicial do corpo de prova (antes do início do ensaio)
34
As figs. 2.2, 2.3 e 2.4 apresentam os resultados obtidos em um ensaio de adensamento típico. Na fig. 2.2 são apresentadas variações de altura da amostra em função do logaritmo do tempo e em função da raiz quadrada do tempo (estes gráficos apresentam os resultados obtidos em um estágio de carregamento). Na fig. 2.3 são apresentados resultados típicos de um ensaio de adensamento executado em argilas normalmente adensadas. Nesta figura, a amostra foi comprimida, em primeiro carregamento, a partir do ponto A até o ponto B. Em seguida esta sofreu um processo de descarregamento até o ponto D, para, finalmente, ser recarregada até o ponto B, e, novamente em primeiro carregamento, atingir o ponto C. Como podemos notar, a curva σv′ x e apresenta histerese, ou seja, deformações plásticas irreversíveis. Isto pode ser claramente observado se se toma o valor de σv′ de 175 kPa, por exemplo, em que cada um dos trechos de carga/descarga/recarga corta a linha correspondente a esta tensão com valores diferentes de índice de vazios.
(a)
(b)
Figura 2.2 – Resultados típicos obtidos em um estágio de carregamento de um ensaio de adensamento.
Figura 2.3 – Representação dos resultados de um ensaio de adensamento em termos de índice de vazios x tensão vertical. Escala linear. Modificado de Atkinson & Bransby (1978).
35
A inclinação em cada ponto da curva de compressão do solo é dada pelo seu coeficiente de compressibilidade (av), representado pela eq. 2.2. Da análise da fig. 2.3 nota−se que durante o ensaio de adensamento o solo se torna cada vez mais rígido (ou menos compressível), conduzindo a obtenção de valores de av cada vez menores (pode−se notar que o coeficiente de compressão do solo varia de forma inversamente proporcional ao seu módulo de elasticidade).
av = −
∆e (2.2) ∆σ v ’
O sinal negativo na eq. 2.2 é necessário pois o índice de vazios e a pressão vertical do solo variam em sentido contrário (acréscimos na tensão vertical irão causar decréscimos no índice de vazios do solo). Na análise da fig. 2.3, a expressão primeiro carregamento significa que os carregamentos que ora se impõem ao solo superam o maior valor por ele já sofrido em sua história de carregamento prévia. Este conceito é bastante importante, pois o solo (assim como qualquer material que apresente um comportamento elastoplástico), guarda em sua estrutura indícios dos carregamentos anteriores. Assim, na fig. 2.3, dizemos que o trecho da curva de compressão do solo entre os pontos A e B corresponde a um trecho de carregamento virgem da amostra, no sentido de que a amostra ensaiada nunca antes experimentara valores de tensão vertical daquela magnitude. Quando isto ocorre, dizemos que a amostra de solo é normalmente adensada. É fácil perceber que para o trecho da curva de compressão B−D−B (trecho de descarga/recarregamento), a amostra não pode ser classificada como normalmente adensada, já que a tensão a qual lhe é imposta neste trecho é inferior a tensão máxima por ela já experimentada (ponto B). Nota−se também que no trecho B−D−B o comportamento do solo é essencialmente elástico, ou seja, as deformações que ocorrem no solo neste trecho, além de pequena monta, são quase que totalmente recuperáveis. Quando o estado de tensões ao qual o solo está submetido é inferior ao máximo valor de tensão por ele já sofrido, o solo é classificado como pré−adensado. A partir do ponto B da curva de compressão do solo, todo acréscimo de tensão irá levar o solo a um estado de tensão superior ao maior estado de tensão já experimentado anteriormente, de modo que no trecho B−C o solo é novamente classificado como normalmente adensado. Na fig. 2.4 os mesmos resultados já apresentados na fig. 2.3 estão plotados em escala semi−log. Como se pode observar, em escala semi−log estes resultados podem ser aproximados por dois trechos lineares (embora para o trecho descarga/recarga, D−B−D, esta simplificação não se ajuste de forma tão satisfatória como nos trechos de carregamento virgem A−B e B−C). As inclinações dos trechos de descarregamento/recarregamento e carregamento virgem da curva de compressão em escala semi−log são dadas pelos índices de recompressão (Ce) e de compressão (Cc), respectivamente. As Equações 2.3 e 2.4 ilustram as expressões utilizadas no cálculo dos índices de compressão e recompressão do solo. cc = −
ce = −
(ef
− ei ) σ log vf σ vi − ei ) σ log vf σ vi
(trecho de compressão virgem do solo) (2.3)
(e f
(trechos de descompressão e recompressão do solo) (2.4)
36
A fig. 2.5 ilustra o efeito do pré−adensamento sobre os solos. Nesta figura, em que a curva de compressão do solo foi aproximada por trechos lineares, um solo normalmente adensado é comprimido até um determinado valor de σv′ (representado pelo ponto B1), a partir do qual sofre um processo de descompressão, atingindo o ponto D1. Se, neste ponto o solo é recarregado, a trajetória de tensões seguida no espaço σv′ x e, pode ser representada pela reta D1−B1, a menos de uma pequena histerese, de valor normalmente negligenciável. Atingindo novamente o valor de B1, o solo irá seguir a reta de compressão virgem. Sendo novamente descarregado o solo para qualquer valor de σv′ > B1 (como B2, por exemplo), teremos resultados semelhantes.
Figura 2.4 – Representação dos resultados de um ensaio de adensamento em termos de índice de vazios x tensão vertical. Escala semi−log. Modificado de Atkinson & Bransby (1978).
Figura 2.5 – Efeito do pré−adensamento na curva de compressão dos solos. Atkinson & Bransby (1978) Conforme será visto neste capítulo, quando do cálculo de recalques em campo, a curva de compressão do solo é geralmente representada por dois segmentos lineares, com inclinações distintas, a saber, um trecho de recompressão do solo, o qual possui como inclinação o valor de Ce e um trecho de carregamento virgem do solo, cuja inclinação é dada pelo índice Cc. O valor da tensão a qual separa os trechos de recompressão e de compressão virgem do solo é normalmente denominado de tensão de pré−adensamento, e representa, conceitualmente, o maior valor de tensão já sofrido pelo solo em campo.
37
Deve−se ter em mente que quando um ensaio de adensamento é realizado em uma amostra indeformada coletada em campo, durante o processo de amostragem há uma descompressão do solo a ser ensaiado, pois que as camadas a ele sobrejacentes são retiradas. Deste modo, sempre que um ensaio de adensamento é realizado, a amostra sofre inicialmente um processo de recompressão, que continua até que o carregamento imposto pela prensa de adensamento ao solo supere o maior valor de tensão vertical já sofrido por ele em campo (valor da o de tensão de pré−adensamento do solo). A depender da história geológica do solo, o valor da tensão de pré−adensamento calculada a partir do ensaio de compressão confinada pode ser maior ou igual ao valor da tensão vertical efetiva do solo em campo. Quando a tensão de pré−adensamento calculada para o solo supera o valor da sua tensão efetiva de campo, diz−se que o solo é pré−adensado. Quando este valor é aproximadamente igual ao valor da tensão vertical efetiva de campo, diz−se que o solo é normalmente adensado. A fig. 2.6 ilustra a formação de um depósito de solo pré−adensado. Na hipótese de um solo sedimentar, durante o seu processo de formação, o acúmulo de tensão ocasionado pelo peso das camadas sobrepostas de solo leva−o continuamente a um estado de tensões que supera o máximo valor já vivificado por ele em toda a sua história geológica. Se por um evento geológico qualquer, o processo de deposição for interrompido e passar a existir no local do maciço de solo um processo de erosão, a tensão vertical efetiva em campo passa a ser menor do que a máxima tensão já vivificada pelo solo, isto é, o solo passa a uma condição pré−adensada. É importante frisar que neste caso, a tensão de pré−adensamento determinada no ensaio de compressão confinada terá valor aproximadamente igual à tensão vertical máxima de campo, ilustrada na fig. 2.6. Neste ponto pode−se definir o conceito de razão de pré−adensamento de um solo (RPA) ou OCR (do inglês “over consolidation ratio”). A razão de pré−adensamento de um solo, dada pela eq. 2.5, é a relação entre a máxima tensão vertical já experimentada pelo solo e a tensão vertical efetiva atual de campo, ou seja, é a razão entre a tensão de pré−adensamento do solo e a sua tensão vertical efetiva de campo. A fig. 2.7 apresenta uma curva de compressão típica, em escala semi−log, obtida a partir de um ensaio de adensamento realizado em uma amostra indeformada de solo. Estão ilustrados nesta figura os trechos de recompressão e compressão virgem do solo. A tensão de pré−adensamento deve necessariamente se situar entre estes dois trechos. O.C.R =
σ vp σ v max = σ vcampo σ vcampo
(2.5)
Onde σvp representa a tensão de pré−adensamento do solo.
Figura 2.6 – Processo de formação de um solo pré−adensado.
38
Conforme apresentado na fig. 2.7, há uma transição gradual entre as inclinações dos trechos de recompressão e de compressão virgem do solo. O valor da tensão de pré− adensamento do solo é determinado empiricamente, a partir de dois processos gráficos, conhecidos como métodos de Casagrande e Pacheco Silva. A fig. 2.8 apresenta a determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Casagrande.
1.00
índice de vazios
0.95
Recompressão
Compressão
0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 10
100 1000 Tensão vertical (kPa)
10000
Figura 2.7 – Curva de compressão típica obtida em um ensaio de compressão confinada.
1.00
índice de vazios
0.95 Bissetriz
0.90
Tangente Tensão de Pré−Adensamento
0.85 0.80 0.75 0.70 10
100 1000 Tensão vertical (kPa)
10000
Figura 2.8 – Determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Casagrande. Conforme ilustrado na fig. 2.8, para obtenção da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Casagrande procede−se da seguinte maneira: Determina−se o ponto de maior
39
curvatura da curva de compressão confinada do solo. Por este ponto traça−se uma tangente à curva e uma reta horizontal. A tensão de pré−adensamento do solo será determinada pela interseção do prolongamento da bissetriz do ângulo formado por estas duas retas com o prolongamento da reta de compressão virgem do solo. A fig. 2.9 ilustra o procedimento utilizado para obtenção da tensão de pré− adensamento do solo desenvolvido por Pacheco Silva (pesquisador brasileiro do IPT−SP). A determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Pacheco Silva é realizada prolongando−se o trecho com a inclinação da reta virgem até que se toque uma reta horizontal, fixada em um valor correspondente ao do índice de vazios inicial do solo (antes do ensaio de adensamento). Neste ponto, uma vertical é traçada até se atingir a curva de compressão do solo. Traça−se então uma horizontal indo do ponto de interseção com a curva de compressão até o prolongamento do trecho de compressão virgem, realizado anteriormente. Este ponto é adotado como sendo correspondente ao valor da tensão de pré− adensamento do solo. Deve−se ter em mente que como os processos aqui ilustrados são empíricos e gráficos, o valor da tensão de pré−adensamento do solo irá variar em função da pessoa que realiza os cálculos ou em função do método empregado. Os resultados obtidos, contudo, não devem se apresentar muito destoantes.
1.00
índice de vazios
0.95 0.90
Tensão de pré−adensamento de 330 kPa
0.85 0.80 0.75 0.70
10
100 1000 Tensão vertical (kPa)
10000
Figura 2.9 – Determinação da tensão de pré−adensamento do solo pelo método de Pacheco Silva. K
L F(_E.6 ( 0_(.Hm e
Neste item se ilustrará o procedimento normalmente adotado para o cálculo dos recalques totais do solo em campo. É importante frisar que os recalques totais irão ocorrer no solo somente após virtualmente completado o seu processo de adensamento. Conforme relatado anteriormente, no caso de solos finos, o tempo requerido para que isto ocorra em campo pode ser extremamente longo (até mesmo da ordem de séculos). O cálculo dos recalques diferidos no tempo é normalmente realizado utilizando a teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi, a qual será exposta, de modo sucinto, no item seguinte. O cálculo dos recalques no solo é freqüentemente realizado utilizando−se a eq. 2.1, expressa em termos de ∆h (eq. 2.6)
40
h il
e h o 1 eo
(2.6)
Onde ρ é o valor do recalque do solo em superfície e ho é a altura inicial da camada de solo compressível (ou da camada de solo para a qual se quer calcular o recalque). O valor de ∆e é calculado fazendo−se uso das equações 2.3 e 2.4, apresentadas anteriormente. Substituindo−se as Equações 2.3 e 2.4 na eq. 2.6, encontram−se as seguintes equações para o cálculo do recalque do solo em campo: 1) Solo normalmente adensado: σvo ’+∆σ Cc ⋅ log σ vo ’ ρ= 1 + eo
⋅ ho (2.7)
Na eq. 2.7, o termo ∆σ corresponde ao acréscimo de tensão vertical provocado pela construção, enquanto que o termo σvo’ corresponde ao estado de tensões inicial efetivo do solo em campo. A fig. 2.10 ilustra o significado dos termos apresentados na eq. 2.7.
σo ∆σ
σo = γz z Figura 2.10− Estado inicial de tensões no solo (tensões geostáticas) e acréscimos de tensão provocados pela estrutura. 2) Solo pré−adensado com σvo’ + ∆σ menor do que a tensão de pré−adensamento do solo: σvo ’+∆σ Ce ⋅ log σ vo ’ ρ= 1 + eo
⋅ ho (2.8)
41
3) Solo pré−adensado com σvo’ + ∆σ maior do que a tensão de pré−adensamento do solo: ρc=
ho 1 + eo
σvp σvo ’+ ∆σ Ce ⋅ log + Cc ⋅ log σvo ’ σvp
(2.9)
Para o cálculo dos recalques totais do solo utilizando−se as Equações 2.7 a 2.9, deve− se considerar o ponto médio da camada para o cálculo das tensões geostáticas do solo (valor de σvo’) e do valor do acréscimo de tensões (∆σ). No caso de um aterro extenso, em que suas dimensões são bem superiores a espessura da camada compressível, pode−se assumir, sem incorrer em erros significativos, um acréscimo de tensão ∆σ constante em toda a espessura da camada compressível. Na fig. 2.10 é ilustrada a distribuição de acréscimos de tensão vertical no maciço, provocados por uma fundação de forma circular. No caso de um aterro extenso, a relação z/a é aproximadamente zero, de modo que o acréscimo de tensão no solo pode ser considerado como constante com a profundidade e aproximadamente igual ao valor da pressão aplicada pela placa circular. Para os outros casos, os acréscimos de tensão provocados pela estrutura devem ser estimados em vários pontos da camada compressível. O uso das eq. 2.7 a 2.9 é razoável para o caso de carregamento extenso, mas o erro cometido ao utilizá−las para uma distribuição de tensões verticais tal como aquela ilustrada na fig. 8.5 pode ser demasiado. Nestes casos, é preferível dividir a camada de solo compressível em um número n de camadas, empregando−se as Eqs. 2.7 a 2.9 para calcular os recalques em cada divisão adotada. O recalque total da camada compressível de solo será então dado pelo somatório dos recalques calculados para cada subcamada. As Eqs. 2.10 a 2.12 devem então ser utilizadas para o cálculo dos recalques totais por adensamento no solo, para um caso mais geral de carregamento. 1) Solo normalmente adensado: n
σvoi ’+ ∆σ i ∆zi log σ voi ’ i =1 1 + eoi n
ρ = ∑ ∆ρ = ∑ i =1
Cci
(2.10)
Onde Cci representa o índice de compressão do solo, eoi representa o índice de vazios inicial, σvoi’ representa o valor da tensão vertical geostática efetiva inicial e ∆σi representa o créscimo de tensão vertical, relativos ao centro da subcamada (i). ∆zi representa a espessura da subcamada (i). 2) Solo pré−adensado com σvo’ + ∆σ menor do que a tensão de pré−adensamento do solo: ∆zi σvoi ’+∆σ i Cei ⋅ log σvoi ’ i =1 1 + eoi n
ρ=∑
i
(2.11)
Onde Cei representa o índice de recompressão do solo na subcamada considerada. 3) Solo pré−adensado com σvo’ + ∆σ maior do que a tensão de pré−adensamento do solo:
42
∆z i σvpi σvoi ’+∆σ i Cei ⋅ log + Cc i ⋅ log σ voi ’ σvpi ’ i =1 1 + eoi n
ρ=∑
(2.12)
KL T¡ (¢F;£^ ¤¡ (-;_¥9¦ #. T ¡ Y ¡ )_¥9¦ ); ¦ _ ¦§{¢¨ H
Conforme relatado anteriormente, caso se considere o solo saturado e as partículas de água e sólidos incompressíveis, toda a variação de volume apresentada pelo solo deverá ocorrer em função de variações em seu índice de vazios. Caso o solo esteja saturado, já que consideramos a água como incompressível, variações no índice de vazios do solo somente poderão ocorrer caso ocorra também expulsão de água de seus vazios (no caso de um processo de compressão) ou absorção de água para dentro de seus vazios (no caso de um processo de expansão). Vê−se daqui que, considerando−se as hipóteses citadas acima, para que o solo se deforme é necessário que ocorra um processo de fluxo de água em seu interior. No capítulo 1 foram apresentadas as principais leis governando os processos de fluxo de água nos solos. Do exposto naquele capítulo, pode−se concluir que, conservando−se todas as condições de contorno do problema, a velocidade do fluxo de água em cada ponto do solo será proporcional ao seu coeficiente de permeabilidade. Ora, conforme também relatado naquele capítulo, o coeficiente de permeabilidade talvez seja a propriedade dos solos de maior amplitude de variação, apresentado valores de cerca de 10 cm/s para o caso de pedregulhos e valores da ordem de 10−9 cm/s para argilas de baixa permeabilidade. Se a velocidade de fluxo é proporcional ao coeficiente de permeabilidade do solo, é fácil entender porque a compressão dos solos grossos se processa quase que imediatamente a aplicação do carregamento ao solo, enquanto que o processo de adensamento dos solos argilosos pode requerer períodos superiores a cem anos para que seja virtualmente completado. O processo de adensamento e a teoria de Terzaghi, apresentada a seguir, podem ser bem entendidos somente se uma importante hipótese simplificadora é explicada e apreciada. A relação entre o índice de vazios e a tensão vertical é assumida como sendo linear. Conforme apresentado na fig. 2.3, contudo, o comportamento do solo sob compressão confinada é de sorte tal que este se torna cada vez menos compressível, diminuindo o valor de seu coeficiente de compressibilidade (av, eq. 2.2). Complementarmente, é assumido que esta relação é independente do tempo e da história de tensões do solo, o que só seria válido caso o solo apresentasse um comportamento perfeitamente elástico. Conforme apresentado na fig. 2.3, contudo, o solo apresenta deformações residuais ao ser descarregado, isto é, o comportamento tensão/deformação do solo é preferencialmente elastoplástico. O processo de adensamento pode então ser explicado, partindo−se desta hipótese preliminar, conforme apresentado nos parágrafos seguintes. Admitamos uma amostra de solo em equilíbrio com as tensões geostáticas de campo (σvo’ inicial de campo, calculado conforme descrito no capítulo de tensões geostáticas), com índice de vazios eo. Imediatamente após a aplicação de um acréscimo de carregamento ∆σv, o índice de vazios é ainda eo. Conforme ilustrado na fig. 2.11, o acréscimo de tensões no solo somente se converterá em um acréscimo de tensões efetiva quando o índice de vazios do solo não for mais eo, mas sim ef (quando isto ocorrer, a tensão efetiva atuando no elemento de solo será igual a σvf). Em outras palavras, o acréscimo de tensão provocado no solo (∆σv) irá ocasionar uma redução em seu índice de vazios (∆e). De acordo com o discutido anteriormente, para que isto ocorra, uma certa quantidade de tempo é requerida, a qual é função do tipo de solo. Assim, considerando−se o princípio das tensões efetivas de Terzaghi, existe somente uma possibilidade para explicar este retardo na resposta do solo: O incremento de tensão aplicado ao elemento de solo é no início totalmente suportado pela água, ou seja, logo após a aplicação do incremento de tensão ∆σv, gera−se um incremento na pressão neutra do solo ∆u, numericamente igual ao valor de ∆σv. Este aumento na pressão neutra do solo,
43
também denominado de ue, ocasiona um processo de fluxo transiente em seu interior, o qual é governado pela eq. 1.45, apresentada no capítulo fluxo de água em solos. e ∆σv eo ue(t)
∆e
e(t) ef Tensão vertical efetiva σvo σv(t) σvf Figura 2.11 – Conversão de pressão neutra em tensão efetiva durante o processo de adensamento do solo.
Se a amostra de solo se apresentasse hermeticamente selada, não permitindo o escape de água dos vazios do solo, as condições iniciais do problema continuariam a existir indefinidamente. Acontece que, no ensaio de adensamento descrito anteriormente, as pedras porosas colocadas no topo e na base da amostra tendem a dissipar imediatamente o excesso de pressão gerado pelo carregamento, passando a drenar a água expulsa dos vazios do solo com o transcorrer do processo. Como as pedras porosas dissipam rapidamente o excesso de pressão provocado pelo carregamento, e dentro da amostra ainda há excessos de pressão neutra, surgem gradientes hidráulicos, os quais vão fomentar o processo de fluxo. Tem−se então que durante o processo de adensamento, gradualmente, o índice de vazios do solo decresce (indo de eo a e(t), para um tempo t decorrido desde a aplicação do carregamento), o excesso de pressão neutra é dissipado e a tensão efetiva no elemento de solo é aumentada do mesmo valor do decréscimo do excesso de pressão neutra. Isto ocorre porque o acréscimo de tensão fornecido ao solo é suposto constante com o tempo, de modo que empregando−se a proposta de Terzaghi para o princípio das tensões efetivas, escrito de forma incremental, temos: ∆σ v ’= ∆σ v − ∆u e
(2.13)
Como o valor de ∆σv é constante temos: ∆σ v ’= −∆u e
(2.14)
É razoável supor que a quantidade de excesso de pressão neutra dissipada ao longo da altura da amostra de solo não seja a mesma. De fato, quanto mais próximo o ponto considerado na amostra de solo estiver das superfícies de drenagem, maior vai ser o valor do excesso de pressão neutra dissipado. O processo de adensamento continua até que em todos os pontos da amostra de solo se tenha e = ef. Teoricamente, a partir deste instante, não há mais no interior do solo gradientes hidráulicos, de modo que não há mais água sendo expulsa do corpo de prova e o excesso de pressão neutra em todos os pontos da amostra é igual a zero. A tensão efetiva em todos os pontos da amostra de solo é igual a σvf e a amostra é dita como
44
adensada para aquele valor de tensão vertical. Deve−se ter em mente que ao final do processo de adensamento do solo em campo, não há mais excesso de pressão neutra ao longo do extrato de solo considerado, contudo, as pressões neutras geostáticas continuam a existir. Em campo, as pedras porosas empregadas no topo e na base do corpo de prova durante um ensaio de adensamento são representadas por camadas de solo possuindo valores de permeabilidade bem superiores aos valores de permeabilidade do estrato de solo mole estudado. Deste modo, a condição de ensaio de laboratório pode ser representativa da situação formada por um extrato de argila mole compreendido entre dois extratos de areia. O grau de adensamento em cada ponto da amostra, u(z,t), é normalmente calculado com o uso da eq. 2.15. uo u t
u z,t
1
uo u f
ue t ue o
(2.15)
Substituindo−se a eq. 2.14 dentro da eq. 2.15 tem−se: t ‘ © ©
u z,t ©
‘ f
©
‘ o
(2.16)
‘ o
Logo após a aplicação do carregamento ao solo temos ue(z,0) = ueo, de modo que o valor do grau de adensamento em todos os pontos da amostra de argila é zero (vide eq. 2.15). Ao final do adensamento temos ue(z,∞) = 0, o que faz com que o grau de adensamento em cada ponto da amostra seja igual a 1. Uma analogia mecânica do processo de adensamento foi desenvolvida por Terzaghi, por intermédio da qual o processo de adensamento do solo pode ser melhor entendido. A fig. 2.12 ilustra a analogia proposta por Terzaghi para explicar o processo de adensamento no solo, a qual é apresentada nos parágrafos seguintes: Uma mola de altura inicial H é imersa em água em um cilindro. Nesta analogia, a mola tem uma função semelhante à estrutura do solo e a água do cilindro tem uma função análoga à pressão neutra. Neste cilindro é ajustado um pistão de área transversal A, através do qual uma carga axial pode ser transmitida ao sistema, que representa o solo saturado. O pistão, por sua vez, é dotado de uma válvula a qual pode estar, fechada, aberta ou parcialmente aberta. A válvula do pistão controla a facilidade com que a água pode sair do sistema e seu significado é semelhante ao do coeficiente de permeabilidade do solo. Aplica−se uma carga p ao pistão. Se a válvula do pistão está fechada, toda a pressão decorrente da carga aplicada (p/A) será suportada pela água, visto que a compressibilidade da água é bem inferior à compressibilidade da mola. Se agora abrimos a válvula do pistão, a água começa a ser expulsa do sistema, em uma velocidade que é função da diferença entre a pressão na água e a pressão atmosférica. Com a saída da água do sistema, o pistão se movimenta e a mola passa a ser solicitada em função deste deslocamento. Em qualquer instante, a soma das forças exercidas pela mola e pela água no pistão deve ser igual a carga p aplicada externamente. Este processo continua até que toda a carga p esteja sendo suportada pela mola, sendo a pressão na água existente dentro do sistema devida somente ao seu peso próprio (os excessos de pressão na água do sistema ao final do processo são nulos). Neste ponto não há mais fluxo de água para fora do sistema. A fig. 2.12 no seu lado direito, ilustra a variação das parcelas da carga aplicada suportadas pela água e pela mola com o tempo Embora análogo ao que ocorre nos solos, no esquema mecânico ilustrado pela fig. 2.12, os excessos de pressão em cada instante se distribuem de maneira uniforme ao longo de todo o sistema. Conforme já relatado anteriormente, contudo, em uma massa de solo, em um cada instante, o valor do excesso de pressão neutra em relação à pressão neutra inicial será diferente em cada ponto do maciço. Quanto mais próximo o ponto considerado estiver de
45
uma camada permeável, maior será a sua dissipação de pressão neutra (ou maior será o seu grau de adensamento), para o mesmo instante, em relação aos outros pontos do maciço. O fenômeno de adensamento dos solos é então melhor explicado fazendo−se uso da fig. 2.13. Nesta figura, não mais um, mas vários pistões existem no sistema, cada pistão possuindo uma abertura através da qual a água se comunica com os reservatórios superior e inferior. Força p Válvula Força aplicada pela mola ao pistão
A
p
Água Força aplicada pela água ao pistão
H mola
Tempo
Figura 2.12 – Analogia mecânica do processo de adensamento de Terzaghi. Altura de ascensão da água
t=0 t = t1 t = t2 p A
Ho = p/Aγw
t = t3 t = t4 t=∞
Figura 2.13 – Analogia completa do processo de adensamento proposto por Terzaghi. Conforme pode−se observar da fig. 2.13, para o início do processo de adensamento (t=0), todos os pontos do solo apresentarão um valor de excesso de pressão neutra igual. Com o passar do tempo, os valores de excesso de pressão neutra vão diminuindo progressivamente até se anularem ao final do processo de adensamento. Nota−se porém, que os pontos situados mais no interior do sistema apresentam sempre menores valores de dissipação do excesso da
46
pressão de água (ou maiores valores de excesso de pressão de água) do que os pontos situados mais próximos à superfície. A abertura existente no pistão superior funciona então como se fosse uma camada drenante, coletando a água expulsa do sistema. Pode−se notar também que o excesso de pressão neutra na parte superior do sistema é dissipado logo após a aplicação do carregamento. ª# ¦(%# T ¡ HY ¡ )#«P¡ (F¦ (¡ 0_ ¦§{¢¨ q
A teoria para o processo de adensamento unidirecional foi proposta por Terzaghi em 1925 e é baseada nas hipóteses listadas abaixo, algumas das quais já foram citadas no capítulo de fluxo de água em solos: 1) O solo é homogêneo (isto é, os valores de k independem da posição z) 2) O solo está completamente saturado (Sr = 100%) 3) As partículas sólidas e a água são virtualmente incompressíveis (γw é constante e as mudanças de volume no solo são decorrentes somente de mudanças em seu índice de vazios. 4) O adensamento é unidirecional 5) A lei de Darcy é válida (conforme relatado no capítulo anterior, isto implica que a natureza do fluxo ocorrendo no solo deve ser laminar) Com o uso destas hipóteses, a aplicação dos princípios de conservação da energia e da massa, chega−se a eq. 1.45 a qual é reapresentada neste capítulo (eq. 2.17). k
∂ 2h ∂e = 2 (1 + eo )∂t ∂z
(2.17)
6) Certas propriedades do solo, como a permeabilidade e o coeficiente de
compressibilidade (av) são constantes (adota−se uma relação linear entre o índice de vazios e a tensão vertical efetiva) Pode−se dizer que as três primeiras hipóteses listadas acima não se distanciam muito da realidade para a maioria dos casos encontrados em campo. A quarta hipótese é valida para os casos de aterro extenso, do ensaio de adensamento, e para o caso de extratos de solo mole situados a grandes profundidades. Para os casos onde a distribuição de acréscimos de tensões no solo não é constante com a profundidade, ela conduz a resultados apenas aproximados. A quinta hipótese geralmente leva a resultados bastantes satisfatórios, sendo a validade da lei de Darcy raramente questionada. A sexta hipótese, pelo que já foi discutido neste capítulo, é a que mais se distancia da realidade: sabe−se que com o aumento das pressões atuando no solo (e a conseqüente diminuição no valor do seu índice de vazios), os valores do seu coeficiente de permeabilidade e de seu coeficiente de compressibilidade se tornam cada vez menores. Para a resolução analítica do problema de adensamento, temos que modificar a eq. 2.17 de modo que nos dois lados da igualdade apareçam as mesmas variáveis. Isto é feito geralmente exprimindo−se o índice de vazios do solo e o potencial total da água, h, em função do excesso de pressão neutra gerado pelo carregamento externo. Do processo de adensamento sabe−se que: dσ v ’= dσ v − du e
(2.18)
A eq. 2.18 nada mais é do que o princípio das tensões efetivas de Terzaghi escrito de forma incremental. Se o acréscimo de tensões totais aplicado ao solo não varia durante o processo de adensamento (o que corresponde a realidade para a maioria dos casos) temos:
47
dσ v ’= −du e
(2.19)
Conforme ilustrado na fig. 2.13, o excesso de energia da água em cada ponto do solo pode ser dado pela eq. 2.20, apresentada a seguir. h=
ue γw
(2.20)
Substituindo−se a eq. 2.2 na eq. 2.19 temos: de du e
av =
ou
de = a v ⋅ du e
(2.21)
Substituindo−se as eqs. 2.21 e 2.20 na eq. 2.17 tem−se finalmente: Cv ⋅
∂ 2 u e ∂u e = ∂z 2 ∂t
(2.22)
Onde o termo Cv, denominado de coeficiente de adensamento do solo, é dado pela eq. 2.23. Da análise dimensional da eq. 2.23 chega−se a conclusão que o coeficiente de adensamento do solo possui dimensões de L2/T (este é geralmente expresso em termos de cm2/s). Cv =
k ⋅ (1 + eo ) av ⋅ γw
(2.23)
Na análise da hipótese 6 adotada para resolução analítica do problema de adensamento, foi comentado que tanto k como av tendem a diminuir com o índice de vazios do solo. Consiste portanto em um fato bastante feliz a ocorrência destes parâmetros em posições diferentes na eq. 2.23, pois isto faz com que o valor do coeficiente de adensamento não varie muito com o índice de vazios do solo, fazendo com que a teoria do adensamento unidirecional de Terzaghi forneça resultados satisfatórios. Na resolução da eq. 2.22 são adotadas as seguintes condições de contorno, as quais têm como base a analogia mecânica apresentada na fig. 2.13. 1) − Existe drenagem no topo do extrato de solo, de modo que para z = 0 tem−se ue =
0 para qualquer valor de t. 2) − Existe drenagem na base do extrato de solo, de modo que para z = 2⋅Hd, ue = 0 para qualquer valor de t. 3) − O valor do excesso de pressão neutra no início do processo de adensamento é igual ao acréscimo de tensão total: ∆σv = ∆ue, para t = 0, em todos os pontos da camada de solo. O termo Hd, citado na segunda condição de contorno, se refere a distância de drenagem da camada de solo e é igual a maior distância que a água tem que percorrer para alcançar uma camada drenante. A fig. 2.14 apresenta a distribuição do excesso de pressão neutra no solo para um determinado tempo decorrido após o início do processo de adensamento.
48
Figura 2.14 – Distribuição do excesso de pressão neutra para um tempo t ao longo de uma camada de solo com drenagem dupla, para o caso de um aterro extenso. Conforme apresentado na fig. 2.14, a distância de drenagem para o caso de uma camada de solo com drenagem dupla corresponde a metade da espessura total (H) do estrato de solo. Isto ocorre porque devido a condição de simetria do problema, a água situada na metade superior da camada de solo tende a ser expulsa pela camada drenante superior, o contrário ocorrendo para as moléculas de água situadas abaixo da metade da camada de solo (Hd = H/2). Para o caso de uma única camada drenante, a distância de drenagem será igual a espessura da camada de solo (Hd = H). Além dos valores de excesso de pressão neutra, ue, na fig. 2.14 está apresentada a distribuição das pressões neutras geostáticas, para o caso do lençol freático situado na superfície do terreno. No caso da fig. 2.14, o acréscimo de pressão neutra inicial, ao longo de toda a camada é dado por γa⋅h, onde γa e h são o peso específico e a altura do aterro lançado sobre a camada de solo compressível, ou seja, o aterro é considerado como um aterro extenso. A eq. 2.22 é normalmente resolvida para o caso de aterro extenso (ueo constante ao longo de toda a camada), embora seja possível se obter soluções analíticas fechadas para o caso da eq. 2.22, considerando−se diferentes distribuições de ueo. A solução da eq. 2.22 é geralmente apresentada em termos da percentagem de adensamento média da camada, U(t), em função do fator tempo (Τ). Tanto a percentagem de adensamento média da camada quanto o fator tempo são admensionais, e possibilitam o uso da solução da eq. 2.22 para diferentes configurações geométricas. A solução da eq. 2.22 nos fornece curvas de distribuição de excessos de pressão neutra tais como aquelas apresentadas na fig. 2.15, para o caso de uma camada com dupla drenagem (a) ou drenagem simples (b). As curvas apresentadas na fig. 2.15 correspondem à evolução do processo de adensamento para cada instante adotado (t1, t2, ..., t5) e por isto são denominadas de isócronas. A percentagem de adensamento em cada ponto da camada de solo, u(z,t) é dada pela eq. 2.15. A percentagem de adensamento média de toda a camada de solo, U(t), é dada pela eq. 2.24 apresentada a seguir. Como se pode observar da eq. 2.24, a percentagem de adensamento média corresponde a uma relação entre a área compreendida pelos valores de ueo e a área dos valores de pressão neutra já dissipados. A fig. 2.16 ilustra o significado da percentagem de adensamento média da camada de solo. U (t ) = 1 −
⋅ dz 0 ⋅ 100 2 Hd eo ⋅ dz u ∫0 2 Hd
∫u
e
(2.24)
49 ue
ue
H/2 t 5 t4
t3
t2 t1
H
t5 t4
t3
t 2 t1
H
t1 < t2 < t3 < t4 < t5 z
z
t1 < t2 < t3 < t4 < t5
(a) (b) Figura 2.15 – Distribuição dos excessos de pressão neutra ao longo de uma camada de solo com o tempo e a profundidade. (a) – Camada de solo com drenagem dupla. (b) – Camada de solo com drenagem simples. u Área inicial dos valores de ue Área dos valores de ue para um determinado tempo t
U = 1− Área Área
u z
e o
Figura 2.16 – Interpretação geométrica dos valores de percentagem de adensamento média. Pode−se mostrar também que, a partir do uso da eq. 2.2, considerando−se o valor de av constante para o cálculo do recalque diferido do solo, chega−se a eq. 2.25, a qual correlaciona a percentagem de adensamento média da camada com o recalque ocorrido até um determinado instante e o recalque total previsto. U (t ) =
ρ (t) ⋅ 100 ρ
(2.25)
O valor de ρ (recalque total da camada de solo, a ser obtido ao final do processo de adensamento), é calculado com o auxílio das eqs. 2.7 a 2.12. O fator tempo é dado pela eq. 2.26. Conforme se pode observar da eq. 2.26, o tempo requerido para que se processe uma determinada percentagem de adensamento na camada de solo varia de maneira diretamente proporcional ao quadrado da distância de drenagem (Hd). Este é um dos motivos pelos quais o ensaio de adensamento em laboratório é realizado em amostras de pequena espessura. Considerando−se uma camada de argila com 8 m de
50
espessura e drenagem dupla (Hd = 4m), um ensaio de laboratório realizado no mesmo solo empregando−se corpos de prova com 2cm de altura (Hd = 0,01m) demorará 1/160.000 vezes o tempo necessário em campo para que se complete o adensamento da camada de solo!
Γ=
Cv ⋅ t Hd 2
(2.26)
Conforme também veremos adiante, com base na eq.2.26, alguns métodos foram desenvolvidos para acelerar a velocidade dos recalques na camada de solo compressível. Nestes métodos, a aceleração do processo de adensamento é geralmente realizada diminuindo−se a distância de drenagem (Hd) em campo. A eq. 2.27 apresenta a solução da eq. 2.22, em termos de percentagem de adensamento média e fator tempo, para o caso de um aterro extenso. Na eq. 2.27, N é um contador da série resultante da resolução da eq. 2.22, o qual vai de 1 a infinito. Notar que na eq. 2.27 U não está expresso em percentagem. 8 U (t) = 1 − 2 π
∞
1
∑ (2 N + 1)
2
exp
−
(2 N +1 )2 ⋅π 2 4
⋅Γ
(2.27)
0
A eq. 2.27 pode ser aproximada pelas eqs. 2.28 e 2.29, apresentadas a seguir, para valores de percentagem de adensamento menores que 60% (eq. 2.28) e maiores que 60% (eq. 2.29). Pode−se mostrar que para o caso de uma distribuição de ueo linear com a profundidade, chega−se à mesma eq. 2.27. Para diferentes formas de distribuição de ueo, relações diferentes da eq. 2.27 são obtidas.
Γ=
π 2 , p/ U < 0,6. U 4
(2.28)
Γ = −0.9332 ⋅ log(1 − U )− 0.0851 , p U > 0,6 (2.29) A tabela 2.1 apresenta diversos valores de U e T, para diferentes formas de distribuição de acréscimos de carregamento, ∆σv, com a profundidade (ou, de outra forma, de distribuição de ueo com a profundidade). Conforme se pode observar da tabela 2.1, os casos 3 e 4 apresentam os valores de U e T obtidos para uma distribuição de tensões linear com a profundidade, considerando−se uma única camada de drenagem. O valor do fator tempo necessário para que ocorra uma determinada percentagem de adensamento média da camada para o caso 3 é superior àquele encontrado para o caso 4. Em outras palavras, para uma mesma configuração geométrica, a distribuição do excesso de pressões neutras apresentada para o caso 3 irá demorar mais tempo para se dissipar do que aquela apresentada para o caso 4. Para que ocorra uma percentagem de adensamento de 90%, por exemplo, a distribuição de pressões apresentadas no caso 3 irá demorar um tempo cerca de 30% maior, relativamente ao caso 4. Isto ocorre porque para o caso 3 os maiores valores de acréscimos de pressão ocorrem próximos da camada impermeável, de modo que estes demoram mais tempo para serem dissipados, aumentando o tempo requerido para o adensamento do solo. Para outras formas de distribuição de acréscimos de tensões verticais no solo, pode−se resolver a eq. 2.22 através de processos numéricos, como o método das diferenças finitas. Pode−se notar daqui que o uso das eqs. 2.28 e 2.29 para se calcular o tempo necessário para que ocorra uma determinada percentagem de adensamento no solo, para qualquer forma de distribuição de tensões no solo, é apenas uma aproximação. Acontece que, os valores de Cv normalmente determinados em laboratório podem trazer consigo variações até mesmo superiores a 30%, que foi o erro estimado ao se trocar as soluções da eq. 2.22 obtidas para os
51
casos 3 e 4. Isso sem se falar de outros problemas como representatividade da amostra, etc. Por conta disto, a resolução da eq. 2.22 para a distribuição de acréscimos de tensão realmente ocorrendo em campo é feita somente em alguns casos especiais. Deve−se salientar contudo, que a resolução numérica da eq. 2.22 pode ser feita de maneira rápida e simples, possibilitando ao engenheiro mais exigente a obtenção de resultados com menos possibilidades de discrepâncias com o comportamento apresentado em campo. A fig. 2.17 apresenta a resolução numérica da eq. 2.22 para o caso de uma distribuição de acréscimos de tensão linear com a profundidade. São apresentadas nesta figura a distribuição dos excessos de pressão neutra iniciais e isócronas para 20, 40, 60 e 80% de percentagem de adensamento média. Tabela 2.1 – Valores de U e t para diferentes formas de distribuição de acréscimos de tensão no solo. U
0,008 0,031 0,071 0,126 0,197 0,287 0,403 0,567 0,848
Excesso de poro pressão (kPa)
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
FATOR TEMPO (T) CASO 1 CASO 2 CASO 3 0,048 0,090 0,115 0,207 0,281 0,371 0,488 0,652 0,933
160 140 120 100 80 60 40 20 0
0,050 0,102 0,158 0,221 0,294 0,383 0,500 0,685 0,940
CASO 4 0,003 0,009 0,024 0,049 0,092 0,166 0,272 0,440 0,720
Po = 50 + 25Z (m)
0
100 200 300 Cota em relação ao topo (Cm) U = 20 % U = 80%
U = 40 % Po
400
U = 60 %
Figura 2.17 – Resolução numérica da eq. 2.22 para uma distribuição de excessos de pressão neutra inicial linear. K¬L¯® ¡ °±_0²T(¦ .0 ³´
O cálculo dos recalques no tempo (ou recalques diferidos no tempo) é normalmente realizado com o emprego das eqs. 2.25 e 2.26. A partir do valor de recalque total (ρ),
52
calculado utilizando−se as eqs. 2.7 a 2.12 e do valor desejado do recalque diferido no tempo, ρ(t), calcula−se a percentagem de adensamento média da camada U (eq. 2.25). O valor do fator tempo necessário para que ocorra a percentagem de adensamento média determinada é obtido fazendo−se uso das eqs. 2.28 e 2.29 (ou com o uso dos valores apresentados na tabela 2.1). Com o uso da eq. 2.26, o tempo necessário para que ocorra o valor do recalque especificado é determinado. Deve−se notar que para que isto seja possível, contudo, o valor do coeficiente de adensamento do solo, Cv, deve ser determinado. O valor do coeficiente de adensamento do solo é determinado a partir de dois métodos gráficos, denominados de métodos de Casagrande e de Taylor. Deve−se notar que o valor do coeficiente de adensamento do solo é determinado para cada estágio de carregamento, ou para o estágio de carregamento cujo valor de tensão vertical se aproxime do valor da tensão vertical que será imposto ao solo pela construção. No método de Casagrande, marcam−se os valores dos deslocamentos verticais do topo da amostra no eixo das ordenadas, em escala aritmética, e os valores dos tempos correspondentes no eixo das abcissas, em escala logarítmica, para cada estágio de carga. O processo gráfico utilizado na obtenção do Cv pelo método de Casagrande é ilustrado na fig. 2.18. O adensamento total (U = 100%) ocorrerá no ponto de interseção das tangentes ao ponto de inflexão da curva de adensamento e ao trecho aproximadamente retilíneo obtido após o adensamento primário da amostra (parte representante do processo de fluência do solo). O valor do recalque inicial (U = 0%) será determinado escolhendo−se dois instantes 1/4t e t para valores de tempo correspondentes ao início do processo de adensamento. Obtém−se a diferença entre suas ordenadas e este valor é rebatido verticalmente acima da ordenada correspondente a 1/4t. A leitura no eixo dos deslocamentos será o valor procurado. O adensamento de 50% será lido exatamente a meio caminho dos valores de deslocamento estimados para U=100% e U=0%. O valor do tempo necessário para que ocorresse 50% de adensamento (t50) do solo servirá para que o seu coeficiente de adensamento (Cv) seja calculado através da relação abaixo (na tabela 2.1, primeira coluna, para um valor de U = 0,5 tem−se T = 0,197): Cv =
0,197 ⋅ H d2
(2.30)
t 50
A determinação do coeficiente de adensamento do solo pelo método de Taylor é realizado conforme ilustrado na fig. 2.19. Conforme ilustrado nesta figura, os resultados obtidos do ensaio de adensamento são colocados em um gráfico contendo os deslocamentos medidos no topo do corpo de prova em função da raiz do tempo. Deste modo, o trecho inicial da curva obtida pode ser aproximada por uma reta. Em um ponto qualquer, em que a distância entre a reta ajustada e o eixo das ordenadas seja dada por d, uma nova reta traçada, a partir da mesma origem da reta original, deve passar a uma distância de 1,15⋅d do mesmo eixo. O ponto correspondente à interseção desta nova reta com a curva dos dados experimentais será a medida da raiz quadrada do tempo correspondente a uma percentagem de adensamento de 90%. Elevando−se este valor ao quadrado temos o valor do t90. O valor do coeficiente de adensamento do solo é então calculado utilizando−se a eq. 2.31, apresentada a seguir (notar que na primeira coluna da tabela 2.1, tem−se para U = 0,90 um valor de T = 0,848). Embora sendo métodos empíricos e gráficos, os valores de Cv calculados utilizando− se um dos dois métodos apresentados tendem a ser aproximadamente iguais. Cv =
0,848 ⋅ H d2 t 90
(2.31)
53
Figura 2.18 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Casagrande. √t90
Recalque da amostra (mm)
Raiz do tempo (min1/2)
d 0,15d
Figura 2.19 – Processo de cálculo do Cv pelo método de Taylor. KµL¶· ¸ ¦Y°-¹E . ¦ ºG(» ¡ F;¡ _¼.EF
Conforme ilustrado na fig. 2.18, após cessado o processo de adensamento, o solo continua a se deformar com o tempo, de modo que a curva recalque da amostra x log(t) passa a apresentar um trecho com inclinação aproximadamente constante. Este trecho da curva é denominado de trecho de compressão secundária do solo ou trecho de fluência, sendo que no processo de compressão secundária o solo apresenta um comportamento viscoso. O trecho da curva situado entre as ordenadas U = 0 e U = 100% é também denominado de compressão primária do solo. Há uma enorme diferença conceitual entre os processos de adensamento e de fluência. No processo de adensamento, a resposta do solo a uma mudança em seu estado de tensões efetivo é admitida como instantânea. As deformações no solo são diferidas no tempo porque o estado de tensões efetivo em cada ponto do solo varia com o tempo, em
54
função da dissipação dos excessos de pressão neutra. No processo de fluência, todos os excessos de pressão neutra gerados pelo carregamento já foram dissipados, de modo que o estado de tensões efetivo em cada ponto passa a ser constante com o tempo. O cálculo dos recalques por fluência do solo é feito através do índice de compressão secundária, calculado a partir de dados experimentais, utilizando−se a eq. 2.32, apresentada a seguir. Notar que Cα é admensional. Cα =
∆e ∆ log(t )
(2.32)
½¾z{ T ( ¦°-±_0¿H-( 0 m Y
Não raras as vezes, o tempo necessário para que ocorra uma determinada percentagem de adensamento do solo em campo é demasiadamente longo. Acontece que, em alguns casos, a obra só pode ser finalizada após completado virtualmente o processo de adensamento do solo, sob pena desta vir a apresentar um mau funcionamento ou mesmo ter o seu uso impedido. Nestes casos, a aceleração dos recalques por adensamento do solo em campo pode ser a solução mais viável. Os métodos de aceleração de recalques em campo mais utilizados são o sobre adensamento e o método dos drenos verticais de areia. No caso do método do sobre adensamento, a aceleração de recalques é feita calculando−se o recalque total a ser apresentado pelo solo quando da instalação da estrutura e submetendo−o previamente a uma tensão vertical de valor maior do que aquela prevista após a execução do projeto. Deste modo, o valor do recalque total previsto para ser atingido pelo solo em decorrência da obra pode ser atingido para relativamente baixos valores de tempo. Deve−se notar que devido ao sobre adensamento, o recalque total a ser atingido pelo solo agora é maior (e função da sobrecarga aplicada ao terreno). Como explicitado na eq. 2.25, para um mesmo recalque total previsto para ocorrer em campo em função da estrutura (notar que agora este valor corresponde a ρ(t), pois o recalque total previsto para o solo em decorrência do carregamento prévio é maior do que o seu valor), quanto maior for o valor de ρ, menor será o valor da percentagem de adensamento correspondente, e por conseguinte, menor o tempo necessário para atingi−la. O processo de aceleração de recalques por sobre adensamento algumas vezes tem o seu uso restringido pelas condições de estabilidade do terreno de fundação. Conforme apresentado na eq. 2.26, o tempo para que ocorra uma determinada percentagem de adensamento no solo é proporcional ao quadrado da distância de drenagem (Hd), dada pela geometria do problema. O método dos drenos verticais de areia trabalha empregando esta constatação, diminuindo a distância de drenagem do problema. A fig. 2.20 ilustra a instalação de drenos verticais de areia em campo para acelerar o processo de adensamento da camada compressível de solo. Conforme ilustrado nesta figura, o movimento de água após a instalação dos drenos verticais passa a ser aproximadamente horizontal, em sentido radial aos drenos. A distância de drenagem neste caso passa a ser aproximadamente igual a metade da distância horizontal entre o centro dos drenos (ou a metade do espaçamento entre os drenos verticais de areia). Na parte inferior do aterro é normalmente instalado um colchão de areia, cuja função é recolher a água expulsa do solo durante o processo de adensamento. O espaçamento entre os drenos de areia é determinado então em função do tempo esperado para que o processo de adensamento seja virtualmente completado (como o processo de adensamento continua, em teoria, por um período indefinido, adota−se normalmente valores em torno de U=95%, como correspondente ao final do processo de adensamento em campo).
55
Figura 2.20 – Uso de drenos verticais de areia na aceleração dos recalques por adensamento do solo em campo. Modificado de Caputo, 1981.
56
3. FLUXO BIDIMENSIONAL – REDES DE FLUXO Àz½Á ¡ ¦°±
De uma forma geral, abordou−se no capítulo 1 que a água livre ou gravitacional pode se movimentar de um ponto a outro dentro do solo, desde que haja diferença de potencial entre esses dois pontos. Durante esse movimento, ocorre uma transferência de energia da água para as partículas do solo devido ao atrito viscoso, sendo essa energia medida pela perda de carga. Quando o fluxo de água ocorre sempre na mesma direção, como no caso dos permeâmetros estudados no capítulo1, diz−se que o fluxo é unidimensional. Quando as partículas de água seguem caminhos curvos e paralelos, o fluxo é dito bidimensional, como no exemplo da percolação de água pelas fundações de uma barragem. Em virtude da ocorrência freqüente do fluxo bidimensional em obras de engenharia e de sua importância na estabilidade das barragens, este merece especial atenção. O estudo do fluxo bidimensional é feito, usualmente, através de um procedimento gráfico conhecido como Rede de fluxo. O processo consiste, basicamente, em traçar na região em que ocorre o fluxo, dois conjuntos de curvas conhecidas como linhas de fluxo e linhas equipotenciais. A fundamentação teórica para resolução de problemas de fluxo de água foi desenvolvida por Forchheimer e difundida por Casagrande (1937). O fluxo de água através do meio poroso é descrito por uma equação diferencial (equação de Laplace), bastante conhecida e estudada, pois se aplica a outros fenômenos físicos, como exemplo, fluxo elétrico. É importante frisar que o estudo do fluxo de água em obras de engenharia é de grande importância, pois visa quantificar a vazão que percola no maciço, controlar o movimento da água através do solo e evidentemente proporcionar uma proteção contra os efeitos nocivos deste movimento (liquefação em fundos de valas, erosão, piping, etc). Àz  °±# ¦-;ºG(Ã# )FE¡ ¦-(#.Ä5((Y ¡ (¡
Tomando um ponto definido por suas coordenadas (x, y, z), considerando−se o fluxo através de um paralelepípedo elementar em torno deste ponto, e assumindo a validade da lei de Darcy, a aplicação dos principios de conservação da energia e da massa, chega −se a eq. 1.42, a qual é representada neste capítulo como eq. 3.1. Å
Å Å kx h Å
Sr e Å t 1 e Å
x
x
Å Å ky h Å Å
y
y
Å Å kz h Å Å
z
z
dx dy dz
(3.1)
A eq. 3.1 representa a equação geral de fluxo de água em solo não saturado, heterogêneo e anisotrópico, pois tanto os valores dos coeficientes de permeabilidade em cada direção (kx, ky, kz) quanto os valores do potencial total de água no solo serão dependentes das coordenadas do ponto considerado e do grau de saturação. A eq. 3.1 pode ser simplificada para eq. 3.2, supondo−se que: − o solo está saturado (Sr=100%); − o fluxo de água está em regime estacionário (steady state flow), de modo que durante o fluxo não ocorre mudança do índice de vazios, ou seja, não ocorre compressão e nem expansão do solo; − as partículas sólidas e de água são incompressíveis − O fluxo é bidimensional. Em quase todos os problemas práticos de mecânica dos solos, as análises são desenvolvidas em um plano, considerando−se uma seção típica do maciço, situada entre dois planos verticais e paralelos, de espessura unitária. Esse
57
procedimento é justificado pela dimensão longitudinal ser muito maior que as dimensões da seção transversal, para boa parte das obras geotécnicas. kx ⋅
∂ 2h ∂ x2
+ kz
∂ 2h ∂z
=0
2
(3.2)
Considerando−se ainda isotropia em relação à permeabilidade, isto é, kx = kz a eq. 3.2 se reduzirá na eq. 3.3, a qual é conhecida como equação de Laplace: ∂ 2h ∂ 2h =0 + ∂ 2 ∂ 2 z x
(3.3)
É importante observar que a permeabilidade k do solo não interfere na equação de Laplace. Consequentemente, em solos isotrópicos a solução analítica do problema de fluxo depende unicamente das condições de contorno. A solução da equação diferencial de Laplace é constituída por dois grupos de funções (φ, ψ), as quais podem ser representadas dentro da zona de fluxo em estudo, por duas famílias de curvas ortogonais entre si que formam um reticulado chamado Rede de fluxo. A função φ (x, z), chamada de função carga hidráulica ou função potencial, obedece a eq. 3.4 φ (x, z) = − k.h + c (3.4) ÆÈÇ Æ
z
Æ Ç
Æ h Vz kÆ
Æ
z
x
Æ h Vx kÆ
x
A função ψ(x, z), chamada de função de fluxo, é definida de maneira que: ÆÈÉ Æ
z
ÆÈÉ Æ
x
Æ h Vx k Æ
(3.5)
Æ h Vz k Æ
(3.6)
x
z
Para φ (x, z)=cte, o valor de h (x, z) também é uma constante. Essa situação representa na zona de fluxo o lugar geométrico dos pontos de mesma carga hidráulica total, denominado de linha equipotencial. Por sua vez, a função ψ(x, z)=cte, representa fisicamente a trajetória da água ao longo da região onde se processa o fluxo. Dá−se o nome de linhas de fluxo às curvas determinadas pela função ψ(x, z)=cte. Na fig. 3.1 considere a linha AB, representativa da trajetória da água passando pelo ponto P, com velocidade tangencial (v). Dessa figura temos: tg Ê
Vz dz Vx dx
ou
Vx.dz – Vz.dx = 0
substituindo as equações 3.5 e 3.6 em 3.7, temos:
(3.7)
58
ÆÈÉ Æ
ÆÈÉ
z
dz Æ
x
ou dψ = 0
dx 0
(3.8)
portanto ψ = cte Assim, as curvas dadas por ψ = cte, definem as trajetórias das partículas de fluxo (linhas de fluxo), pois em cada ponto elas são tangentes aos vetores de velocidade. z
z ψ
ψ1
B
1
Vz A
ψ2 Vx
θ
P
Vx
2 x
x
Figura 3.1 – Trajetória de uma partícula de fluído. No gráfico mais à direita da fig. 3.1, pode−se observar que a vazão unitária (q) que passa pela seção 1−2, compreendida entre as duas linhas de fluxo (ψ1, ψ 2) é dado por: Ë
Ë
1
1
q Ë Vx dz Ë d 2
É
É
1
É
(3.9) 2
2
Se a rede de fluxo é desenhada de modo que ψn − ψn−1 = const., pode−se dizer que o fluxo entre duas linhas de fluxo é constante. O trecho compreendido entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer é denominado de canal de fluxo. Portanto, a vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais. Outra importante particularidade referente as linhas de fluxo e linhas equipotenciais diz respeito a ortogonalidade (interseção a 90o), a qual pode ser verificada pelas equações abaixo (as linhas de fluxo e eqüipotenciais somente serão ortogonais para o caso de solos isotrópicos): Para ψ(x, z)=cte, tem−se: dz ËÌ dx
Æ ÉÎÍÏÆ l x Vz Æ ÉÐÍ{Æ
z
cte
(3.10)
Vx
Para φ (x, z)=cte, tem evidentemente dφ =0, o que implica em: ÆÈÇ Æ
ÆÑÇ
z
dz Æ
dz Ì dx Ò
x
dx 0
(3.11)
Æ Ç;ÍÓÆ È x Vx ÆÈÇÍEÆ cte
z
Vz
(3.12)
59
Logo tem−se: dz ËÌ dx
cte
1
dz Ì dx Ò
(3.13) cte
De acordo com a eq. 3.13, as familias de curvas φ (x, z)=cte é ortogonal a ψ(x,z)=cte. Assim as curvas da função φ interceptam as curvas da função ψ segundo ângulos retos, ou, em outras palavras, as linhas de fluxo cruzam as linhas equipotenciais segundo ângulos retos. ÀzKÀL£^Ô .0¿H (°±_;Â °±_0ÕN F
A equação de Laplace (3.3) pode ser resolvida por uma grande variedade de métodos, como por exemplo métodos numéricos, analíticos e gráficos, bem como através de modelos reduzidos ou através de analogias com as equações que governam os problemas de campo elétrico ou termodinâmicos. Os métodos analíticos consistem na solução matemática (integração) da equação de Laplace, obedecendo as condições de contorno específicas e envolvendo a determinação das funções φ (x, z) e ψ(x,z). A complexidade do processo de solução analítica, contudo, somente justifica a sua aplicação a problemas de fluxo de geometria relativamente simples. Os métodos numéricos, como por exemplo método das diferenças finitas e métodos dos elementos finitos, permitem subdividir a zona de fluxo em uma série de pequenos elementos geométricos, sendo o comportamento do fluxo estudado em cada um deles, mediante funções simples. A aplicação destas técnicas pressupõe familiaridade com algebra matricial, cálculo variacional, mecânica dos sólidos e técnicas computacionais. A principal vantagem dos métodos numéricos é permitir a simulação de casos complexos, como geometrias mais complicadas, materiais com várias camadas com diferentes permeabilidades, solos não saturados e regime não estacionário, ou seja, utilizando a eq. 3.1. Quando o problema envolve configuração complexa torna−se, às vezes, necessário recorrer a modelos reduzidos para resolver o problema de percolação de água. Desses modelos dois são os mais usuais: modelos físico e analogia elétrica. O modelo físico consiste em reproduzir a seção transversal por onde percola a água num tanque com parede lateral de vidro ou acrílico. Para o traçado das linhas de fluxo, utiliza−se corante colocado em determinadas posições no paramento de montante. As linhas de fluxo que passam pelo corante vão tingir a água, permitindo a visualização do conjunto das linha de percolação. As linhas equipotenciais são obtidas a partir da instalação de piezômetros dentro do modelo. A partir desses dados pode−se traçar a rede de fluxo do problema. A analogia elétrica permite determinar uma rede de fluxo estabelecendo−se a correspondência entre voltagem e carga hidráulica, condutividade elétrica e permeabilidade e corrente elétrica e vazão. Isto é possível porque o fluxo elétrico através de um condutor também obedece à equação de Laplace. Finalmente, o método gráfico por tentativas é o mais usado para resolução da equação de Laplace. Consiste em desenhar, dentro da região em que ocorre o fluxo, as famílias de curvas equipotenciais φ (x, z) e de fluxo ψ(x, z), que se interceptam em ângulos retos, formando uma figura denominada rede de fluxo. Ao se traçar manualmente, as duas famílias de curvas, respeitando as condições de fronteira e ortogonalidade, ter−se−á uma aproximação da solução única do problema (fig. 3.2). Essa aproximação, se o desenho for realizado com cuidado, é suficientemente boa para fins de engenharia, principalmente se leva−se em consideração as incertezas surgentes quando da obtenção de valores para o coeficiente de permeabilidade do solo.
60
Figura 3.2 – Rede de fluxo de uma barragem vertedouro. Modificado de Holtz & Kovacs (1981). A determinação gráfica das redes de fluxo será descrita em detalhe nos itens seguintes, por ser a mais usada para a solução de problemas de percolação de água em solos. Àz Ö6 0.ºG(Ã
Qualquer que seja o método adotado para determinação da rede de fluxo é necessário definir previamente as condições limites ou de contorno do escoamento, as quais podem se representar numa situação de fluxo confiando ou de fluxo não confinado. Procura−se definir quatro condições limites, a saber: × × × ×
superfície de entrada (equipotencial de carga máxima) superfície de saída (equipotencial de carga mínima) linha de fluxo superior linha de fluxo inferior
Diz−que o fluxo é confinado quando as quatro condições limites são possíveis de determinação, sendo o fluxo não confinado quando uma das condições limites não está determinada a priori. As condições de fluxo não confinado serão estudada em detalhe nos próximos itens. Um problema clássico para o traçado de rede de percolação é ilustrado na fig. 3.3, onde uma parede de estacas pranchas é engastada num solo permeável.
NA A
H
NA B
C
D
R M
N im perm eável
Figura 3.3 – Percolação de água através da fundação de uma cortina de estacas prancha – Fluxo confinado.
61
Na fig. 3.3 pode−se observar que a água percola da esquerda para direita em função da diferença de carga total existente. A linha AB é uma equipotencial de carga máxima, pois qualquer ponto sobre esta linha tem a mesma carga de elevação e a mesma carga de pressão (u=hw.γw). A linha CD é a equipotencial de saída ou de carga mínima. A linha BRC representa a linha de fluxo superior e linha MN é uma linha de fluxo que representa o caminho percorrido por uma partícula d‘água que vem de uma longa distância (linha de fluxo inferior). Nem a estaca prancha, nem a rocha são meios permeáveis, logo o fluxo é limitado por esses dois meios. A fig. 3.4 apresenta a solução gráfica para o problema clássico da cortina de estacas pranchas em fundações permeáveis mostrado na fig. 3.3. Na fig. 3.4, pode−se observar que as 9 linhas equipotenciais são perpendiculares às 5 linhas fe fluxo, formando elementos, aproximadamente, quadrados. A rede é formada por 4 canais de fluxo (nf=4), sendo número de canais de fluxo igual ao número de linhas de fluxo menos um (nf=L.F.−1) e por neq=8 número de quedas de potencial (neq = L.eq. −1). Os canais de fluxo tem espessuras variáveis ao longo de seu desenvolvimento, pois a seção disponível para passagem de água por baixo da estaca prancha é menor do que a seção pela qual água penetra no terreno. Em função disso, ao longo do canal de fluxo, a velocidade da água é variável. Quando o canal se estreita, devendo ser constante a vazão, a velocidade tem que ser maior, logo o gradiente hidráulico é maior (lei de Darcy). Em consequência, sendo constante a perda de potencial de uma linha equipotencial para outra, o espaçamento entre as equipotenciais deve diminuir, de modo que a relação entre linhas de fluxo e equipotenciais se mantém constante.
Figura 3.4 – Rede de fluxo através de uma fundação permeável de uma cortina de estacas prancha – Fluxo confinado. Consideremos agora, um elemento isolado de uma rede de fluxo, como aquele representado na fig. 3.5, o qual é formado por linhas linhas de fluxo distanciadas entre si de b no plano do desenho e de uma unidade de comprimento no sentido normal ao papel. Segundo a lei de Darcy, a vazão (q) no canal de fluxo é dada por: q k .i A
q k
h
l
sendo i
b.1
h trecho
A = b.1
l trecho (3.14)
62
LF h1 q
h2 h 3
LF q
I l
h4
b
II
III
equipotenciais Figura 3.5 – Canal de fluxo de uma rede com vazão constante e perda de carga ∆h, constante entre suas equipotenciais. Considerar a largura de 1m normal ao papel. Onde: ∆h representa a perda de carga entre as equipotenciais (hi − hf), l a distância entre elas, b é largura do canal de fluxo e k é a permeabilidade do solo. No traçado de uma rede de fluxo, por questão de facilidade de desenho, costuma−se fazer l=b, do que resulta a eq. 3.15. A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas é constante, requisito para que a vazão num determinado canal de fluxo também seja constante. Ao se fazer l=b e como as linhas de fluxo são perpendiculares às linhas equipotenciais, resulta uma figura formada por “quadrados” de lados ligeiramente curvos, conforme pode ser observado na fig. 3.4. q k h
(3.15)
A carga total disponível (h) é dissipada através das neq (número de equipotenciais), de forma que entre duas equipotencias consecutivas temos: h
h n eq
(3.16)
Substituindo a eq. 3.16 em 3.15 tem−se a eq. 3.17, a qual expressa a vazão em cada canal de fluxo (trecho entre duas linhas de fluxo consecutivas quaisquer). Observar que a vazão é constante e igual para todos os canais. q k
h n eq
(3.17)
A vazão total do sistema de percolação (Q), por unidade de comprimento, é conseguida multiplicando−se a vazão do canal (q) pelo número de canais de fluxo (nf), assim teremos: Q q. nf
Q k h
nf n eq
(3.18)
onde, h é a perda de carga total, nf/neq é denominado de fator de forma e depende da rede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção.
63
Considerando−se ainda a fig. 3.5, os quadrados I e II estão contidos dentro do mesmo canal de fluxo, onde tem−se que: kI
qI = qII= q = cte
bI
Mas: kI = kII e
lI
h I
b I .1 k II
lI
b II l II
h II
l II
b II .1
constante 1 qudrados
Então: h h cte I II
(3.19)
Àz Ö)½¥9¦-E ¦( H.Ä5 (.0Y;¿ 0.ºG(Ã Ø Ø
As linhas de fluxo e as linhas equipotenciais são perpendiculares entre si, isto é, sua intersecção ocorre a 90o (ver eq. 3.13). A vazão em cada canal de fluxo é constante e igual para todos os canais. Se tomarmos dois elementos (I e II) contidos entre as memas equipotenciais teremos:
∆hI = ∆hII = ∆h = cte
Como: Ø Ø Ø
bI lI
b II l II
kI
h I
constante 1 qudrados
lI
b I .1 k II
h II
l II
b II .1
então temos:qI=qII=q = cte
(3.20)
As linhas de fluxo não se interceptam, pois não é possível ocorrerem duas velocidade diferentes para a mesma partícula de água em escoamento As linhas equipotenciais não se interceptam, pois não é possível se ter duas cargas totais para um mesmo ponto A perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas quaisquer é constante.
Àz Ö 6 Y ¡ °¹ 0Ù} ¦(0 ¦-;_#¦°#.6 .0ºG(Ã
×
×
×
A solução é obtida por tentativas iniciando−se com um pequeno número de linhas e obedecendo−se as condições limites. A maior qualidade e menor tempo gasto no traçado é conseguido através do treino. Existem, entretanto, recomendações gerais que auxiliam o traçado das redes, principalmente nas primeiras tentativas. Aproveitar todas as oportunidades para estudar o aspecto de redes de fluxo bem construídas. Quando a representação gráfica estiver bem assimilada, tente desenhá−la sem olhar o desenho original. Repita a tentativa até ser capaz de reproduzir a rede de maneira satisfatória. Delimitar a zona de fluxo que se deseja estudar, analisando suas condições de fronteira (determinação das linhas de fluxo e equipotenciais limites); Usualmente, é suficiente traçar a rede com um número de canais de fluxo entre 3 a 5. O uso de muitos canais de fluxo dificulta o traçado e desvia a atenção de aspectos essenciais.
×
×
×
×
×
×
64
Traçar duas famílias de curvas ortogonais entre si que satisfaçam as condições de fronteira e que constituam uma solução ótima com elementos aproximadamente “quadrados”; Deve−se observar sempre a aparência de toda rede, sem tratar de corrigir detalhes antes que toda a rede esteja aproximadamente bem traçada; Frequentemente, há partes das redes de fluxo em que as linhas de fluxo devem ser aproximadamente retas e paralelas. Nestes casos, os canais são mais ou menos do mesmo tamanho e os quadrados vão resultar muito parecidos. O traçado da rede pode ser facilitado se iniciarmos por essa zona; Há uma tendência de se errar em traçar transições muito abruptas entre trechos aproximadamente retilíneos e trechos curvos das linhas equipotenciais ou de fluxo. Lembre−se sempre que as transições são suaves, com formatos semelhantes aos de elipses ou de parábolas. O tamanho dos diferentes quadrados deve ir mudando gradualmente. Em geral, a primeira tentativa de traçado pode não conduzir a uma rede de quadrados em toda a região de fluxo. Pode ocorrer, ao final da rede, que entre duas equipotencias sucessivas a perda de carga seja uma fração da perda entre as equipotenciais vizinhas anteriores (formam−se retângulos ou invés de quadrados). Geralmente, isto não é prejudicial e esta fileira pode ser considerada para o cálculo do número de equipotenciais (neq), estimada a fração da perda de carga que resultou. Se por razões de apresentação se deseja que todas as fileiras de quadrados tenham o mesmo ∆h, pode−se corrigir a rede mudando o número de canais de fluxo seja por interpolação ou começando novamente. Não se deve tentar convergir a fileira incompleta em uma de quadrados através de correções puramente gráficas, a não ser que, o que falta ou sobra na fileira incompleta, seja muito pouco. A mesma abordagem pode ser aplicada aos canais de fluxo, onde se considera frações da vazão (q). Uma superfície de saída na rede em contato com o ar, se não é horizontal, não é nem linha de fluxo, nem equipotencial, de forma que os quadrados limitados por essa superfície podem ser incompletos. Num primeiro contato com o assunto, pode parecer ao principiante que a melhor solução será obtida por quem tiver maiores facilidades para desenho. Na verdade, obedecendo às condições teóricas anteriormente estabelecidas, está se obedecendo às condições da equação de Laplace e isto conduzirá a uma solução única, que independe da habilidade artística de quem procura resolver o problema. A fig. 3.6 apresenta alguns exemplos rede de fluxo em fundações permeáveis. Àz ÖDÀL T F(°±_0¿H .0ºG(Ã
O traçado da rede de fluxo nos problemas que envolvem o escoamento de água nos solos tem como objetivo a obtenção da vazão que percola através da seção estudada, do gradiente hidráulico e da velocidade em qualquer ponto, das pressões neutras, subpressões e da força de percolação. Ø
Vazão: A vazão total que percola pelo maciço pode ser determinada pela eq. 3.18, apresentada anteriormente. Ø
Gradientes hidráulicos: A diferença de carga total que prova percolação, dividida pelo número de faixas de perda de potencial, indica a perda de carga de uma equipotencial para a seguinte. Esta perda de carga, dividida pela distância entre as equipotenciais, é o gradiente. Como a distância entre equipotenciais é variável ao longo de uma linha de fluxo, o gradiente varia de ponto para ponto.
65
h
h n eq
i
h trecho
(3.21)
l trecho
Figura 3.6 – Exemplos de rede de fluxo em fundações permeáveis – Fluxo confinado. De particular interesse é o gradiente na face de saída do fluxo, em virtude da força de percolação atuar de baixo para cima, podendo provocar situação de areia movediça, discutida no capítulo1. Pode−se observar, na rede da fig. 3.5 por exemplo, que esta situação crítica ocorre junto ao pé de jusante da barragem, onde a distância entre as duas linhas equipotenciais é mínima.
66
Ø
Velocidade: Uma vez que se tem o gradiente hidráulico em um ponto bastará multiplicá−lo pelo coeficiente de permeabilidade do solo, para ter a velocidade da água em magnitude. A velocidade (V) de escoamento é tangente à linha de fluxo que passa pelo ponto e tem a direção do escoamento, sendo seu módulo dado por: (3.22)
V Ki Ø
Pressões neutras: Em determinadas situações, como por exemplo no caso de estruturas de concreto (barragem vertedouro), construídas sobre fundações onde ocorre o fluxo de água, as pressões neutras atuarão na base da estrutura exercendo uma força contrária ao seu peso, o que pode conduzi−la a uma situação instável. Particularmente, nestes casos, essas pressões neutras são denominadas de subpressões. Considere a barragem vertedouro esquematizada na fig. 3.7, a qual está sujeita a percolação de água pela sua fundação. Para determinar as subpressões atuantes em sua base basta considerar a rede de fluxo e determinar as cargas em diversas posições. Fixemos a referência de nível (RN) na superfície impermeável. A partir daí podemos determinar a carga total em cada equipotencial limite, que é, respectivamente, a soma das cargas altimétrica (z) e piezométrica (u/gw) ao longo de sua extensão. Em cada eqüipotencial, o valor da carga total é constante, mas os valores das parcelas de carga altimétrica e potencial variam.
RN Figura 3.7 – Rede de fluxo pela fundação de uma barragem vertedouro de concreto e diagrama de subpressões. Modificado de Bueno & Vilar (1985). No ponto 0, a carga total disponível é: htotal(o) = Z0 + h = Z0 +u0/gw . No final da rede, isto é, na última equipotencial, a carga disponível é: htotal(f) = Zf = Z0. A perda de carga por percolação será : htotal(o) − htotal(o) = h, que será dissipada entre neq equipotenciais, ou seja, entre duas equipotenciais consecutivas dissipa−se ∆h=h/neq. Como já foi visto, neq depende da rede traçada. Para calcular as subpressões de água em qualquer ponto da rede (por exemplo os pontos 1 e P), deve−se considerar as perdas de cargas que ocorrem até cada um desses pontos. Sendo assim, considere−se o ponto 1 na base do vertedouro. A carga inicial é htotal(o)=Z0+ h e o ponto 1 localiza−se na segunda equipotencial da rede. Logo, da equipotencial que passa pelo ponto (0) à equipotencial que passa por (1) houve uma perda de carga ∆h, assim teremos: h total 1 Ú
u1 w
Z 1 h total 0 e h Z 0 h e h
(3.23)
67
Ú
u1
Z 0 Z 1 h e h
(3.24)
w
Mesmo raciocínio pode ser estendido aos outros pontos de forma a se obter o diagrama de subpressões ao longo da base da barragem (fig. 3.7). Importante notar que, mesmo que o ponto onde se deseja determinar a pressão neutra não se situe sobre uma equipotencial da rede traçada, o procedimento descrito acima também se aplica. A rigor a rede traçada representa apenas algumas equipotencias e algumas linhas de fluxo, porém sobre qualquer ponto sempre passará uma equipotencial. Seja o ponto P situado entre a 4a e a 5a equipotenciais. Estimando que a perda de carga até ele seja 4,5 ∆h, pode−se determinar a subpressão sobre ele: h total
uP
P
Ú
Z P htotal 0 4,5 h Z 0 h 4,5 h
(3.25)
w
Ú
uP
Z 0 Z P h 4,5 h
(3.26)
w
O problema pode ser resolvido também graficamente. Para tanto basta dividir a perda de carga em parcelas iguais, correspondentes ao número de quedas de equipotenciais, e transformá−las em cotas tal que se represente na fig. 3.7. No ponto 1, por exemplo, a carga de pressão corresponderá à distância vertical entre o ponto e o número de quedas de equipotenciais (um no caso). No ponto 4 a mesma situação se repete, bastando observar que ocorreram quatro perdas de carga. Observar que as cargas altimétricas ou de posição são consideradas positivas acima RN e negativas abaixo do RN. Ø
Forças de percolação: Como já visto no capítulo 1, quando a água escoa através de uma massa de solo seu efeito não se limita à pressão hidrostática, que ocorre quando a água está em equilíbrio, mas esta exerce também uma pressão hidrodinâmica sobre as partículas do solo, na direção do fluxo, efeito que pode representar−se por empuxos hidrodinâmicos tangentes às linhas de percolação. Na fig. 3.8 o elemento destacado tem lado (a), gradiente hidráulico i=−∆h/a e perda de carga entre duas equipotenciais consecutivas de ∆h=h/neq.
Figura 3.8 – Determinação da força de percolação a partir da rede de fluxo. Modificado de Bueno & vilar (1985).
68
Considerando−se como nulo o potencial total na equipotencial de saída da água, na face de entrada do elemento atua o potencial total htotal(n) = n∆h, onde n é o número de quedas de equipotencial, (∆h), a contar de jusante Na face de saída potencial total será htotal(n−1) = (n−1)∆h, Isto origina uma diferença de energia total de ∆htotal =htotal(n) − htotal(n−1) = ∆h. Multiplicando ∆h pelo peso específico da água, (γw), e pela área do elemento (a·1), temos a força de percolação atutante entre as duas faces do elemento, Fp (eq. 3.27). Dividindo−se a força de percolação pelo volume do elemento, (a2.1), e levando−se em consideração que a razão, (∆h/a) corresponde ao gradiente médio i atuando no elemento, chega−se à eq. 3.28, que corresponde à força de percolação por unidade de volume atuando no elemento de solo. Fp h a Ú
(3.27)
w
A força de percolação por unidade de volume do elemento considerado será (fp): fp i. Ú
(3.28)
w
A força de percolação, nas superfícies de saída, não deve ultrapassar a resistência ao cisalhamento entre as partículas, caso contrário provocará o fenômeno de erosão ou arraste (piping). Para combater esse fenômeno utilizam−se os filtros que são estruturas porosas colocadas convenientemente dentro do maciço para recolher a água que percola e evitar a formação de altos gradientes hidráulicos. ÀzK
LºG(Ã_.ÛT¢% T¦³ÔH..£^-(°0._H¦-¦
O fluxo de água através de maciços de terra constitui um dos casos de maior importância na aplicação da teoria de fluxo para resolução de problemas práticos. A percolação através do maciço compactado enquadra−se no caso de fluxo não confinado, uma vez que uma das fronteiras da zona de fluxo (a linha de fluxo superior) não está previamente determinada. Consideremos a fig. 3.9. Admitindo RN ao longo da superfície impermeável, temos como condição limite, a equipotencial de carga máxima (linha AB), a equipotencial de carga mínima (linha CD), a linha de fluxo inferior (linha AC). A linha que limita o fluxo na região superior do maciço é denominada de linha freática e não está definida a priori. A linha freática, formada pelos pontos do maciço que possuem valores de pressão neutra iguais ao valor da pressão atmosférica, sendo uma linha de fluxo com características próprias, e sua determinação constitui o primeiro passo para o traçado da rede de fluxo em meio não confinado.
NA
B Linha freática
A
C
NA
D
impermeável Figura 3.9 – Percolação através de barragem de terra – fluxo não confinado.
69
ÀzK
L)½_¦°-_;ÕNF¡ ¨ %ºG¦ )(
Dupuit em 1963 estabeleceu as primeiras bases para a solução de fluxo não confinado e mais tarde Kozeny propôs uma solução teórica para uma barragem homogênea com filtro horizontal a jusante e fundação impermeável, como se mostra na fig. 3.10. A solução Kozeny admite que a rede de fluxo é constituída por dois conjuntos de parábolas confocais conjugadas, um deles representando as linhas de fluxo e o outro representando as linhas equipotenciais. A parábola básica de Kozeny foi obtida através da teoria das variáveis complexas (solução analítica exata para a equação de Laplace). A partir da construção da parábola básica, seguida pelas correções de entrada e saída dessa linha de fluxo no maciço compactado pode−se determinar a linha freática. Passaremos a determinação da parábola básica.
Figura 3.10 – Solução teórica de Kozeny – Parábola básica. Ø
Traçado da parábola básica de Kozeny:
A parábola é uma curva que define o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto, denominado foco e de uma diretriz . No caso em questão, conhecem−se dois pontos da parábola, D e F (foco), mostrados na fig. 3.11. Para a determinação gráfica da posição da parábola, deve−se seguir o seguinte roteiro: × Marcar o ponto D tal que DC= (1/3 a 1/4) AC; × Centro em D e raio DF, determinar o ponto E sobre a horizontal do prolongamento do nível d’água; × Traçar uma vertical por E e determinar o segmento EG, a diretriz da parábola; × Dividir GF ao meio e obter o ponto N que é a origem da parábola; × Traçar uma vertical por N e obter o segmento NM; × Dividir NM e DM em parte iguais; × Ligar os pontos de divisão de DM ao ponto N, formando retas inclinadas ou linhas auxiliares radiais; × Traçar linhas auxiliares horizontais passando pelos pontos de divisão do segmento NM; × A intersecção das linhas auxiliares radiais com as linhas auxiliares horizontais determinam os pontos da parábola. A fig. 3.12 apresenta algumas posições rotineiras do foco (F) na parábola básica, necessárias para o seu traçado.
70
Figura 3.11 – Construção da parábola básica de Kozeny. Modificado de Bueno & Vilar (1985).
ω
ω
F
ω F
Filtro de pé
F
ω F
Figura 3.12 – Posições de foco em barragem de terra. Após traçada a parábola básica são feitas correções de entrada e saída desta linha no maciço, a fim de que esta respeite as condições de contorno da linha freática, que são esquematizadas abaixo: Ø
Condições de entrada da linha freática no maciço de terra
Deve−se lembrar, como condição rotineira, que a linha freática sendo uma linha de fluxo deve ser perpendicular ao talude de montante (que é equipotencial) no seu ponto de entrada (fig. 3.13). Para ω>90o a linha freática é perpendicular ao talude de montante, para o caso de ω ≤90o, a linha freática deve ser tangente à horizontal que passa pelo nível d‘água. É importante observar que quando ω<90o (por exemplo nos casos de ensecadeira incorporada, constituída de material granular), a linha freática não é perpendicular ao talude, porque para satisfazer essa condição, a freática precisaria aumentar a sua energia com o transcorrer do fluxo, o que é contrário aos conceitos básicos apresentados até aqui (como a lei de Darcy, por exemplo).
Figura 3.13 – Condições de entrada da linha freática no maciço.
71
Ø
Condições de saída da linha freática no maciço de terra
Na fig. 3.14, apresentam−se condições de saída da freática, devendo ressaltar que, rotineiramente, a freática é tangente ao talude de jusante para os casos em que ω≤90o. Para ω>90o (filtro de pé), a linha freática tangencia a vertical no ponto de saída do talude de jusante.
Figura 3.14– Condições de saída da linha freática no maciço. Outra condição a ser observada é o ponto de saída da freática no talude de jusante (fig. 3.15). Para condições diferente daquela proposta por Kozeny, filtro horizontal (ω=180o), o ponto da saída da freática não coincide com o ponto de saída da parábola básica, sendo necessário fazer a correção da saída da freática no talude de jusante.
Figura 3.15– Correções para posicionar a linha freática Casagrande, após observações em modelos, recomenda a seguinte correção na parábola básica: − determinar o ponto de encontro da parábola básica com o talude de jusante, − determinar a distância (∆a +a) que vai do foco ao ponto de saída da parábola básica no talude de jusante, − determinar o ângulo (ω), ângulo entre o talude de jusante e a horizontal, − determinar a relação ∆a/(∆a +a), a partir do ábaco mostrado na fig. 3.15, Ü calcular a distância (a) entre ponto 4 (ponto de encontro da linha freática e o talude de jusante) e o ponto F (foco), − traçar a linha freática passando pelo ponto 4, tangente ao talude de jusante (para 0 ω≤90 ) ou tangente à vertical que passa pelo ponto 4 (para ω>900). Quando o ângulo ω<300, o valor de (a) pode ser calculado diretamente pela eq. 3.29:
72
aÝ
l cos Þ
l2 ß
2
cos Þ
à
h2
(3.29)
2
sin Þ
onde, l e h são, respectivamente, a projeção horizontal e vertical da distância MF A fig. 3.16 apresenta condições de saída da freática e da parábola básica no talude de jusante para ω>900 e ω=900.
ω>900 ω=900 Figura 3.16 – Correções para posicionar a linha freática Após o traçado da linha freática, as condições de contorno, ou seja, as condições limites do problema de fluxo de água em barragens de terra ficam totalmente determinadas. Assim, poderemos traçar a rede de percolação com linhas equipotenciais e de fluxo, obedecendo às mesmas leis e recomendações já vistas. Antes de passarmos a esse traçado, é importante ressaltar algumas condições de carga da linha freática. Como os pontos da linha freática estão submetidos às pressões piezométricas nulas (u/γw=0), a carga total fica restrita ao valor da carga de posição (z). Assim, a perda de carga entre duas equipotencias consecutivas será apenas a diferença de carga altimétrica (intervalos verticais iguais ∆z), fig. 3.17. hI Ý z I
à uI á
h II Ý z II
w
então, hI − hII = zI − zII = ∆z=∆h
à u II á
mas, uI = uII = 0
w
(3.30)
A propriedade descrita pela eq. 3.30 constitui um elemento básico para o traçado da rede de fluxo. Determinada a posição da linha freática, divide−se a carga total disponível em cotas iguais definindo, assim, os pontos de intersecção da linha freática com as equipotenciais. Como a linha freática é uma linha de fluxo, as linhas equipotenciais lhe são perpendiculares. Evidentemente, o número de perdas de carga a escolher será um problema de tentativas e erros, até que se tenha uma solução que leve em conta os fundamentos das redes de fluxo. Após o traçado das linhas equipotenciais (linhas aproximadamente parabólicas e perpendiculares à linha freática), de modo que a perda de carga seja constante entre as mesmas, deve−se traçar as demais linhas de fluxo. Essas linhas de fluxo devem formar “quadrados” com as linhas equipotenciais, seguindo aproximadamente a forma da linha freática, (fig. 3.17). Um exemplo de rede de fluxo em barragem de terra com filtro de pé está apresentado na fig. 3.18.
73
Figura 3.17 – Esquema de construção de uma rede de fluxo. O cálculo da vazão através do maciço de terra, é feito da mesma forma apresentada para o cálculo da vazão através de uma fundação permeável, valendo portanto a eq. 3.31. Q Ý q. nf
QÝ k h
nf n eq
(3.31)
Onde, h é a perda de carga total, nf/neq é denominado de fator de forma e depende da rede traçada. Q é a vazão por unidade de comprimento da seção. A avaliação do fator de forma nf/neq, pode levantar dúvidas, pois o número de equipotenciais (neq) pode ser diferente se as perdas de carga forem contadas sobre a freática ou sobre a superfície impermeável horizontal (fronteira inferior da região de fluxo), (ver fig. 3.17). Essa aparente ambiguidade na realidade não existe se se considerar que na fórmula da vazão, h = ∆h neq, é a perda de carga total, consequentemente neq será sempre o mesmo se determinado pelo número de vezes que ∆h coube em h. Isto significa dizer que o número de perdas altimétricas deve ser contados na vertical, pois esses foram os pontos usados efetivamente para o traçado da rede e eventualmente ajustados pela geometria do maciço. O cálculo das pressões piezométricas no maciço se faz de forma semelhante ao das pressões em uma fundação permeável, ja visto.
Figura 3.18 – Exemplo de rede de fluxo em meio não confinado – Barragem de terra com filtro de pé.
74
âzãKäLãåGæ(çèé_êë.ìTíçî%ïTðñîòóHô.êë.õ^îö-÷(øéô0êë.ù_ëHñ-ñî;ë.åGçú êîøûëHô.ü9ë ñýYë þòë ÷(ô
No caso de fluxo de água em maciços e fundações permeáveis, a dificuldade está em definir as condições limites do problema. Definidas as condições limites, a rede é traçada segundo os mesmos procedimentos já vistos (traçar parábola básica, fazer as correções de entrada e saída da linha freática, manter ortogonalidade entre as LF e LE, etc). A fig. 3.19 apresenta o traçado da rede de percolação em maciço de terra e fundação permeável, constituído de material homogêneo e isotrópico. Nesta figura, as condições de contorno podem ser visualizadas facilmente. A linha de fluxo limite será na fundação, limite entre o material permeável e impermeável e as equipotenciais limites serão o talude de montante e o filtro a jusante.
Figura 3.19 – Exemplo de rede de fluxo em maciço e fundações permeáveis. âzãÿãåGæ(çèé_êë.ìTíçî%ëHýmõ^îö÷(øéô.êë0ù_ë ññî%ïTú ÷(ô éðñ ÷(öéô
A percolação, na maioria dos casos práticos, ocorre em solos anisotrópicos com relação à permeabilidade. Isto significa dizer que a permeabilidade é diferente nas duas direções ortogonais tomadas (kx ≠ kz). Essa situação ocorre com frequência em solos sedimentares bem como nos maciços compactados, onde geralmente, o coeficiente de permeabilidade na direção horizontal tende a ser maior que o da direção vertical. Para o caso de solo anisotrópico em relação ao coeficiente de permeabilidade, a equação de fluxo bidimensional é da forma: 2
kx
hà
x
2
2
kz
h
z2
Ý 0
(3.32)
Para resolver o problema seguindo os principios já apresentados, devemos transformar a eq. 3.32, para fluxo em meio anisotrópico (kx ≠ kz), em um fluxo em meio isotrópico (equação de Laplace). Para tanto, usa−se o artifício de transformar as coordenadas do problema, modificando as dimensões da zona de fluxo, conforme se demonstra a seguir. Esta transformação consiste em reduzir as distâncias horizontais, pois a permeabilidade vertical é menor do que a horizontal. A consequência disto se faz sentir na equação de fluxo (3.32), que pode ser escrita na forma da eq. 3.33. 2
kx kz
2
hà
x
2
2
h
z
2
Ý 0
ou
kz kx
à
h
x2
2
h
z2
Ý 0
(3.33)
75
Admitindo a seguinte transformação de escala na direção x, de forma que se tenha: kz
xt Ý x
x 2t Ý
(3.34)
kx kz
x2
kx
(3.35)
Substituindo a eq. 3.35 em 3.33, encontramos a equação de Laplace para meios anisotropicos: 2
hà
x
2 t
2
h
z2
Ý 0
(3.36)
Da eq. 3.36, pode−se verificar que procedendo uma mudança de variável para xt=(kz/kx)0.5x, uma região homogênea e anisotropica pode ser transformada numa região fictícia isotrópica onde a equação de Laplace é válida, e consequentemente a teoria até aqui desenvolvida é aplicável. Esta região fictícia é chamada seção transformada. Na prática, a partir da seção real ((kx ≠ kz) desenha−se uma seção transformada em escala tal que satisfaça a eq. 3.34. A seguir, traça−se a rede de fluxo na seção transformada com elementos quadrados e em seguida retorna−se ao problema original desdobrando as dimensões da direção que foi reduzida. Na seção real, as linhas equipotenciais não são necessariamente ortogonais às linhas de fluxo e os elementos da rede podem assumir a aparência de retângulos ou losangos, dependendo da relação de permeabilidades. Na fig. 3.20 são apresentados exemplos de redes traçadas em coordenadas transformadas e depois retornadas à sua condição real.
(a) seção transformada
(b) Seção real
(a) seção transformada (b) Seção real Figura 3.20 – Exemplos de rede de fluxo em meios anisotrópicos.
76
Para o cálculo de gradientes hidráulicos o que vale é a seção real, pois o gradiente é igual a perda de carga dividida pela distância entre as equipotenciais na escala real e não a distância entre as equipotenciais na escala transformada. O cálculo da vazão nos casos de meios anisotrópicos deve ser feita considerando−se uma permeabilidade equivalente (keq) determinada em função das permeabilidades reais. Consideremos um elemento da rede de fluxo em que o escoamento se dá paralelo ao eixo das abcissas, conforme indica a fig. 3.21. Na seção real o elemento é retangular, sendo ∆x maior do que ∆z, pela transformação das abcissas.
z
z
∆x
∆xt
∆z
kz
kx
vx
∆z
kequiv = kt
x
vx
Seção real (anisotrópica)
xt
Seção transformada (isotrópica)
Figura 3.21– Determinação da vazão para meios anisotrópicos. Na direção x, a velocidade de fluxo na seção real é igual a:
h V xÝ ß kx
(3.37)
x
A velocidade de fluxo na seção transformada (isotrópica) é igual a: V xÝ ß k x
t
h xt
V xÝ ß k x
ou
t
h
kz kx
(3.38) x
Igualando−se as equações 3.37 e 3.38, temos a eq. 3.39:
ß k hÝ ß k x x
x
t
h
kz kx
kx Ý kx t
kz kx
x
k x Ý k eq Ý t
k x kz
(3.39)
onde, kxt ou keq é o coeficiente de permeabilidade da seção transformada. keq é a média geométrica dos coeficientes de permeabilidade horizontal e vertical. Assim, a vazão total de percolação num sistema anisotrópico é dado pela eq. 3.40. Q Ý k eq h
nf L n eq
(3.40)
77
sendo, L igual ao comprimento da barragem onde o fluxo ocorre e as demais variáveis já foram definidas anteriormente. âzãLãåGæ(çèé_êë.ìTíçî%ëHýmõ^ë ÷(éô9ë ðë ñéí ú ë éô
No projeto de uma barragem, procura−se conciliar os materiais disponíveis na região com a seção típica. Em função disso, é comum projetar a seção típica com materiais de permeabilidades diferentes. Por exemplo, pode−se ter um núcleo argiloso de baixa permeabilidade, abas de material arenoso de permeabilidade mais elevada e, ainda, fundação formada por camadas de diferentes permeabilidades. Nesses casos tem−se percolação de água através de meios heterogêneos, ou seja, as propriedades do material variam de ponto para ponto. Para o traçado de uma rede de fluxo num meio heterogêneo permanecem válidas as condições estabelecidas para o fluxo em meio homogêneo, devendo−se acrescentar as condições de transferência das linhas de fluxo de um meio para o outro. Quando a água flui através de uma fronteira entre dois solos de permeabilidades diferentes, as linhas de fluxo mudam de direção. Essa variação na direção ocorre segundo ângulos de interseção inversamente proporcionais aos coeficientes de permeabilidade (semelhante a lei de refração da luz). Quando a água flui de um solo de alta permeabilidade para outro de baixa permeabilidade os canais de fluxo devem se alargar para dar passagem a mesma vazão e perda de carga. Por outro lado, se o fluxo vai de um material de menor para um material de maior permeabilidade, o canal de fluxo deve estreitar. A fig. 3.22 apresenta as condições gerais de transferência de canais de fluxo do solo 1 para o solo 2.
Figura 3.22 – Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentes permeabilidades (k1>k2). Modificado de Vargas (1977) Nesta figura, a água está percolando de um meio de maior permeabilidade (solo 1) para um meio de menor permeabilidade (solo 2). Pelo princípio da continuidade, a vazão deve ser a mesma nos dois canais, portanto tem que haver um alargamento dos canais de fluxo no meio 2, tal que a transferência de um meio para outro satisfaça as equações:
q1 Ý q2
k1
h a
a.1 Ý k 2
h b
c.1
k1 k2
Ý
c b
(3.41)
78
Mas, sin Ý
a AB
sin ÑÝ
c AB
AB Ý
a c Ý sin sin
cos Ý
a AC
cos ÑÝ
b AC
AC Ý
a b Ý cos cos
aÝ
c b sin _Ý cos sin cos
k1 c tg Ý Ý b tg k2
(3.42)
Como pode ser observado pela eq. 3.42, a deflexão das linhas de fluxo são tais que as tangentes dos ângulos de intersecção com a fronteira são inversamente proporcionais aos coeficientes de permeabilidade. Caso a permeabilidade k1 for menor que k2 (fig. 3.23), pode−se notar que os canais de fluxo devem estreitar no meio 2 para dar passagem à mesma vazão que percolava nos canais do meio 1.
Figura 3.23– Transferência das linhas de fluxo entre meios de diferentes permeabilidades (k1='@?
Em um ensaio triaxial do tipo consolidado drenado, os corpos de prova apresentam resistências ao cisalhamento crescentes com as tensões normais aplicadas (tensões de confinamento). Neste caso, todas as tensões medidas são tensões efetivas. A definição da envoltória é possível a partir do ensaio de vários corpos de prova submetidos a diferentes condições de confinamento. Uma vez determinada as curvas tensão/deformação, toma−se o
100
maior valor de tensão desviadora, (σ’1 −σ’3)máx, e, como já se conhece σ’3 (mantido constante durante o ensaio), é possível locar num diagrama τ x σ os círculos de Mohr correspondentes à ruptura de cada corpo de prova. Deve−se notar que no caso do ensaio triaxial, a tensão desviadora corresponde ao diâmetro do círculo de Mohr. A estes círculos de Mohr deve−se adequar a envoltória de resistência do solo, dentro da faixa de tensões de interesse. Para o caso dos solos normalmente adensados, a envoltória de resistência passa pela origem do sistema de coordenadas, ou intercepta o eixo τ num valor muito próximo de zero, de forma que c’≅ 0, o que em termos práticos permite definir a envoltória para um solo saturado normalmente adensado, em termos de tensões efetivas, utilizando−se a eq. 4.11. A fig. 4.15 ilustra a obtenção de uma envoltória de ruptura para o caso de um solo normalmente adensado, utilizando−se ensaios do tipo CD. Se o mesmo solo estiver pré−adensado, modificam−se as características de resistência. Seja a curva de compressão de um solo deixado consolidar desde o instante de sua deposição como representado na fig. 4.16. A amostra principia a consolidar a partir do ponto 0. Uma vez atingido o ponto A, mede−se a sua resistência. O mesmo com referência ao ponto B. As resistências medidas são representadas por A’ e B’ e note que estas resistências correspondem ao intervalo normalmente adensado do solo, definindo uma envoltória cujo prolongamento passa pela origem. τ = σ ’⋅tg (φ ’)
(4.11)
τ
Círculos de Mohr Na ruptura φ’
σ Figura 4.15 – Envoltória de resistência drenada de um solo normalmente adensado. Atingindo o ponto 1, a amostra é descarregada até 2. Posteriormente o recarregamento se inicia, e atingidos os pontos C e D, mede−se novamente a resistência do solo. As resistências são representadas por C’ e D’ e agora observa−se que estas amostras, ensaiadas no intervalo pré adensado do solo, mostram uma resistência maior que as amostras normalmente adensadas. Este acréscimo de resistência é responsável pela introdução do parâmetro de coesão na envoltória de resistência do solo, de forma que para solos pré−adensados, em condições drenadas, a envoltória característica é dada pela eq. 4.12. τ = c ’+σ ’⋅tg (φ ’)
(4.12)
Ao prosseguir o recarregamento, uma vez ultrapassada a tensão correspondente ao ponto 1 (no caso, a tensão de pré−adensamento), se medirmos a resistência no ponto E, teremos um valor E’, situado sobre o prolongamento da envoltória normalmente adensada, pois que estamos novamente na curva de compressão virgem da amostra. É fácil se perceber que para o caso da amostra pré−adensada, o intercepto de coesão obtido será função da razão de pré−adensamento média do trecho ensaiado.
101
O acréscimo de resistência pode ser explicado pela constatação experimental de que existe uma relação entre o decréscimo do índice de vazios e o aumento de resistência (Fig. 4.16). Note que para a mesma tensão, a amostra pré−adensada apresenta um índice de vazios menor do que a normalmente adensada, donde o ganho de resistência mostrado. Uma explicação física para tal fato já foi mostrada quando se discutiu as causas físicas da resistência dos solos. Por causa do pré−adensamento resultaram contatos plastificados que permaneceram com a retirada das cargas, gerando a parcela adicional de resistência. Índice de vazios 0 2
A B C
D
1
E
σ τ Envoltória normalmente adensada
Trecho Pré−adensado (ganho de coesão)
E’
C´
D´’
A´’
B´’ σ
Figura 4.16 – Ganho de coesão do solo devido ao seu pré−adensamento. ãKäLã ã ã éý0 éñð)îýYë ú ð)é_êîô.ïTñí÷(æ(îô0ë ý,% ú ô î÷FéEô.ïTêë ú ô îêéEôA 6þ ÷FêéEô>=B@? ã
Nestes ensaios a primeira etapa é realizada com total dissipação das pressões neutras geradas pela tensão confinante. Durante a fase de cisalhamento da amostra, as pressões neutras desenvolvidas são impedidas de se dissipar, ou seja, não ocorrem variações volumétricas por cisalhamento. A fig. 4.17 apresenta os resultados típicos obtidos a partir de um ensaio triaxial do tipo CU, em argilas normalmente adensadas e pré−adensadas. Conforme ilustrado nesta figura, as argilas normalmente adensadas tendem a desenvolver pressões neutras positivas durante o cisalhamento, o contrário ocorrendo para o caso dos solos pré−adensados. Isto ocorre pelas diferentes tendências de variação volumétrica destes solos. No caso dos solos normalmente adensados, estes tendem a apresentar deformações volumétricas de compressão (há uma tendência de diminuição de volume do
102
corpo de prova), de modo que para se contrapor a esta tendência, excessos de pressão neutra positivos são gerados. O contrário ocorre no caso das argilas pré−adensadas. σ1 − σ3, u Argila pré−adensada
u
Argila normalmente adensada εa
u
Figura 4.17 – Resultados típicos obtidos a partir de ensaios triaxiais do tipo CU, realizados em solos normalmente adensados e pré−adensados. Durante a realização dos ensaios são conhecidas, de imediato, as tensões totais atuantes. É possível também efetuar leituras de pressão neutra e conhecer as tensões efetivas em cada fase do ensaio. Nota−se, como no caso drenado, que as resistências são crescentes com as tensões normais aplicadas. Os círculos de Mohr em termos de tensões efetivas definem uma envoltória praticamente igual à obtida em ensaios drenados, donde é muito usual determinar a resistência drenada nos ensaios adensados−rápidos com leitura de pressões neutras . A utilização das tensões totais fornece, para os solos normalmente adensados saturados, uma envoltória cujo prolongamento também intercepta a origem do diagrama σ x τ, como no caso das tensões efetivas (fig. 4.18). Assim é possível obter duas envoltórias a partir dos ensaios CU, que para os solos saturados normalmente adensados têm as seguintes equações características: τ = σ ’⋅tg (φ ’)
(4.13) (Neste caso, leva−se em consideração os valores de pressão
neutra medidos durante o ensaio). τ = σ ⋅ tg (φ ) (4.14) (tensões totais). O ângulo φ é denominado de ângulo de atrito aparente, ou ângulo de atrito em termos de tensões totais. A relação entre φ’ e φ depende das pressões neutras despertadas no instante da ruptura. Com relação à fig. 4.18 é importante notar que o círculo de tensões efetivas (E) encontra−se deslocado para a esquerda do círculo de tensões totais (T), com o valor do deslocamento igual ao valor da pressão neutra (u), uma vez que esta é positiva nos solos normalmente adensados. Por sua vez o raio permanece o mesmo nos dois círculos. No caso dos solos pré−adensados, a tendência de variação de volume é no sentido de expansão. Isto origina um aspecto interessante, pois estando a drenagem impedida, originam− se pressões neutras negativas e conseqüentemente a tensão efetiva torna−se maior que a total. Os círculos de tensões efetivas (E) situam−se agora à direita dos círculos de tensões totais (T), resultando que os parâmetros de resistência do solo em termos de tensões totais são
103
superiores aos obtidos em termos de tensão efetiva. A fig. 4.19 ilustra círculos de Mohr obtidos em ensaios CU realizados em amostras pré−adensadas. τ
Solos normalmente adensados, ensaios CU. Envoltória efetiva (E): φ ’ −−−−− Envoltória total (T): φ ____
T E σ
u
Figura 4.18 – Envoltórias de ruptura total e efetiva obtidas em ensaios do tipo CU, realizados em amostras normalmente adensadas. τ
Solos pré −adensados, ensaios CU.
Trecho pré−adensado
T
E
Envoltória efetiva (E): c’ e φ’ −−−−− Envoltória total (T): c e φ ____ σ
−u
Figura 4.19 – Envoltórias de ruptura total e efetiva obtidas em ensaios do tipo CU, realizados em amostras pré−adensadas. Tal situação acontece em solos fortemente pré−adensados, com razões de pré− adensamento da ordem de 10, o que implica a necessidade de cuidados na adoção de parâmetros para esses solos, em análises a longo prazo. As envoltórias obtidas em ensaios adensados rápidos sobre solos saturados pré−adensados resultam: τ = c ’+σ ⋅ tg (φ ’)
(4.15) (Neste caso, leva−se em consideração os valores de pressão neutra medidos durante o ensaio). τ = c + σ ⋅ tg (φ )
(4.16) (tensões totais).
Em termos práticos, existe uma grande semelhança entre os parâmetros de resistência obtidos em termos de tensões efetivas, quer se empreguem ensaios drenados ou do tipo CU. Dessa forma, o ensaio mais empregado para a determinação da envoltória de resistência efetiva do solo é o ensaio CU, com leitura de pressões neutras. ãKäLã ãDâLã éý0 éñð)îýYë ú ð)é_êîô.ïTñí÷(æ(îô0ë ý,% ú ô î÷FéEôCDé)'·ñ-ëHú îêéô.éçE ¿þ: ÷(êéôF=GBHB@?
Em todas as fases do ensaio não drenado, a pressão gerada no corpo de prova é impedida de dissipar. Em geral, conhecem−se a cada instante as tensões totais aplicadas, se bem que seja possível fazer leituras de pressão neutra. Mais uma vez é fundamental conhecer
104
o papel desempenhado pelas pressões neutras, o que será descrito a seguir, considerando o solo saturado. Suponhamos que a amostra estava inicialmente adensada, em campo, sob uma tensão ’ σo . Imediatamente após a amostragem, o desconfinamento do solo tenderá a provocar um aumento de volume, quando então se contrapõe uma pressão neutra negativa igual à tensão σo (uo = −σo). A aplicação da tensão confinante gerará acréscimos de pressão neutra no corpo de prova. Estando a drenagem impedida e como o solo se encontra saturado, toda a tensão confinante será suportada pela água intersticial. Tal situação significa que não houve ganho de resistência pelo confinamento do solo, já que não houve acréscimo de tensão efetiva. Finalmente, durante a fase de cisalhamento, novas pressões neutras são geradas. Ao ensaiar vários corpos de prova, nota−se, de imediato, que todos os círculos de Mohr têm o mesmo raio e fornecem uma envoltória de resistência horizontal, como a representada na fig. 4.20. Na fig. 4.20, está também representado o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensões efetivas de ruptura, que para o caso de um ensaio UU é sempre o mesmo, independente do valor da tensão confinante total. A envoltória de resistência obtida nos ensaios UU é representada pela eq. 4.17, apresentada a seguir. Note que para esta situação o ângulo de atrito em termos de tensões totais (φ) é igual a zero, e que, qualquer que seja o círculo considerado: τ = cu
(4.17) (tensões totais).
Onde o termo cu representa a coesão não drenada do material τ
Ensaio UU Envoltória efetiva (E): c´’ e φ´ −−−−− Envoltória total (T): τ = cu ____
T E
T
σ Figura 4.20 – Resultados de ensaios típicos de um ensaio UU. Em qualquer um dos círculos de Mohr apresentados na fig. 4.20, temos:
τ = cu =
(σ 1 − σ 3 )max 2
(4.18).
ãKäLã ã ã ¿ëHô ÷(ô ð! ú ö÷(î%êéô&.éæ(éô0ü1îñö-÷(îæFýeë ú ðë0îð)çñîêéô
Também no caso dos solos parcialmente saturados a tensão efetiva é a determinante das características de resistência. Nos solos de granulação fina as pressões neutras negativas devidas à capilaridade podem desempenhar um papel importante no aumento das tensões efetivas e, consequentemente, da resistência. A determinação das pressões neutras é bastante complexa devida ao caráter bifásico da fase fluída (ar + água), de modo que fica mais difícil empregar os conceitos do princípio das tensões efetivas. Descreve−se a seguir o comportamento a esperar nos diversos tipos de ensaios.
105
Em se tratando de ensaios drenados nos quais se proporciona a drenagem do ar e da água, é de esperar comportamento semelhante ao que se observam para o solo saturado. Nos ensaios não drenados, embora não possa ocorrer dissipação das tensões intersticiais, ocorre uma redução de volume quando da aplicação da tensão confinante, devido à alta compressibilidade do ar. Tem−se um ganho gradual de resistência que depende do grau de saturação inicial e que continua até que todo o ar se dissolva na água intersticial. O corpo de prova tende a se saturar por efeito das tensões confinantes crescentes. A envoltória resultante em termos de tensões totais é curva, porém na prática, novamente, costuma−se aproximá−la a uma reta. No caso dos ensaios adensados−rápidos pode ocorrer um comportamento semelhante ao observado nos ensaios não drenados, desde que na fase de cisalhamento possam ocorrer variações volumétricas devido à compressão do ar ainda presente nos vazios do solo. ãKäLãDâLã 6ë ô ÷(ô ð! Hú ö÷(îI 6ë ô ÷(êçîæ
Duas amostras do mesmo solo, com diferentes características iniciais, quando submetidas às mesmas solicitações atingem estados finais praticamente constantes, desde que haja prazo suficiente para que se processem as variações volumétricas geradas pelas solicitações aplicadas. No caso de uma argila saturada, a umidade final será a mesma para as duas amostras e no caso das areias, as duas amostras tenderão para um mesmo índice de vazios. A resistência medida nessas condições finais, isto é, após consideráveis deformações, é conhecida por resistência residual ou última (τres ou τult). Pelo exposto, nota−se que a resistência residual nas argilas independe das condições iniciais (histórico de tensões), havendo uma relação única entre a tensão efetiva, a umidade e a resistência residual. Tem−se constatado ocorrer uma redução de φr’ (ângulo de atrito residual) com o aumento de IP e também que φr’ é dependente do nível de tensões aplicado. Por essa razão, quando se determina φr’ é necessário reproduzir as condições de solicitação reais, inclusive quanto aos deslocamentos a esperar. Estas observações são a base para a formulação dos conceitos fundamentais da mecânica dos solos dos estados críticos, que tem como característica mais marcante tratar de forma conjunta resistência e deformabilidade, sendo o alicerce de um dos modelos constitutivos mais utilizados para representar o comportamento dos solos: o Cam− Clay. ãÿãù#ñ-î:J ë ð ñ÷Fîô.êë0ù_ë ú ô ûë ô
Até o momento utilizou−se o círculo de Mohr para representar o estado de tensões de ruptura de um corpo de prova. Imagine que se quisesse representar os sucessivos estados de tensão por que passa um corpo de prova, antes da sua ruptura. O uso de círculos de Mohr para representação de todos os estados de tensão pelo qual passou o solo levaria inevitavelmente a uma configuração extremamente confusa, principalmente quando as duas componentes de tensão, σ1 e σ3, variam ao longo do ensaio. Sendo assim, pode−se dizer que a utilização do círculo de Mohr para representar a evolução dos estados de tensão num elemento do solo, durante um determinado carregamento, não é adequada. O estudo da trajetória de tensões seguida por um corpo de prova em um ensaio é extremamente importante, já que em um material elastoplástico, como o solo, o estado final de tensões e deformações é dependente da trajetória de tensões adotada (possibilidade de ocorrência de deformações plásticas ou irrecuperáveis). O estudo da trajetória de tensões seguida pelo solo em um determinado ensaio é então realizado utilizando−se dois parâmetros, denominados de t e s e representados pelas eqs. 4.19 e 4.20, apresentadas a seguir.
106
t=
(σ 1 − σ 3 )
s=
(4.19)
2
(σ 1 + σ 3 )
(4.20).
2
Conforme apresentado na fig. 4.21, o ponto P do círculo de Mohr possui coordenada s e t e corresponde ao plano de máxima tensão cisalhante. Em outras palavras, o parâmetro s irá sempre corresponder à coordenada no eixo σ do centro do círculo de Mohr e t corresponderá à tensão de cisalhamento máxima (logicamente t ocorre em um plano o qual faz um ângulo de 45o com o plano principal maior). Os parâmetros s e t são algumas vezes representados pelos símbolos p e q, respectivamente. Neste trabalho se utilizarão os símbolos s e t, pois que os símbolos p e q já são utilizados na mecânica dos solos dos estados críticos, com definições diferentes das aqui apresentadas para os parâmetros s e t.
τ P (s,t) σ Figura 4.21 – Definição dos parâmetros s e t. A fig. 4.22 apresenta uma trajetória de tensões típica seguida por um corpo de prova em um ensaio triaxial drenado. Conforme se pode notar desta figura, a trajetória de tensões seguida em termos de s e t possui uma inclinação de 45o com o eixo s. Isto é explicado pelo fato de que em um ensaio triaxial convencional drenado, o valor da tensão principal menor permanece inalterado, ou δσ3 = 0. Os parâmetros s e t podem ser representados de forma incremental pelas eqs. 4.21 e 4.22, apresentadas adiante. Como δσ3 = 0, temos δt/δs = 1. δt =
δs =
(δσ 1 − δσ 3 )
(4.21).
2
(δσ 1 + δσ 3 )
(4.22).
2
Conforme apresentado na fig. 4.22, na ruptura, o círculo de Mohr tangencia a envoltória de ruptura definida em termos de τ e σ. Além disto, uma nova envoltória de ruptura pode ser definida, em termos dos parâmetros s e t. Esta nova envoltória, que passa pelo ponto P(s;t) de cada círculo de Mohr para uma condição de ruptura, é definida em termos dos parâmetros de resistência c’* e α’, os quais se correlacionam com os parâmetros c’ e φ’ pelas eqs. 4.23 e 4.24, apresentadas adiante. sen (φ ’ ) = tg (α ’ )
(4.23).
107
c’ =
c’* cos(φ ’ )
(4.24).
τ,t
t = c´* + s·tg(α´)
___ τ = c´’ + σ⋅tg(φ′’) Estado de tensão na ruptura 1 1
σ,s Figura 4.22 – Trajetória de tensões seguida em um ensaio triaxial drenado. Assim sendo, na definição da envoltória de ruptura do solo a partir de ensaios triaxiais, os pontos de s e t obtidos na ruptura podem ser ajustados por uma reta, de modo a se obter os parâmetros c* e α, utilizando−se o método dos mínimos quadrados, por exemplo. Os parâmetros de resistência do solo, c′ e φ′, podem então ser obtidos com o uso das eqs. 4.23 e 4.24, apresentadas anteriormente. As eqs. 4.23 e 4.24 podem ser utilizadas tanto para tensões totais como para tensões efetivas. No caso dos ensaios triaxiais consolidados não drenados, há geração de pressões neutras durante o cisalhamento do corpo de prova. Deste modo, em um ensaio triaxial do tipo CU, caso haja medidas de pressão neutra, pode−se traçar duas trajetórias de tensões distintas para o solo, uma em termos de tensão efetiva e outra em termos de tensão total. A definição dos parâmetros s e t em termos de tensão efetiva é feita como segue: do princípio das tensões efetivas de Terzaghi sabe−se que σ’1 = σ1 – u e σ’3 = σ3 – u. Substituindo−se os valores de σ’1 e σ’3 nas eqs. 4.19 e 4.20 temos: t’ =
s’ =
(σ ’1 −σ ’3 ) (σ 1 − u − ( σ 3 − u )) (σ 1 − σ 3 ) 2
=
2
(σ ’1 +σ ’3 ) (σ 1 − u + σ 3 − u ) 2
=
2
=
= s −u
2
=t
(4.25)
(4.26).
Como se pode notar das eqs. 4.25 e 4.26, o parâmetro t tem seu valor independente da pressão neutra no solo: t = t’. De certa forma, isto já deveria ser esperado, pois que este parâmetro reflete o valor da máxima tensão cisalhante atuando em um ponto, e a água, por não poder suportar tensões cisalhantes, não pode interferir em seu valor. O parâmetro s’, o qual corresponde à média das tensões efetivas principais atuando no ponto é dado pela eq. 4.26. Isto faz com que a trajetória de tensões em termos de tensões efetivas (TTE), obtida em um ensaio CU, se desloque para a esquerda da trajetória de tensões em termos de tensões totais (TTT), do valor de u. A fig. 4.23 apresenta trajetórias de tensões típicas obtidas para o caso de ensaios triaxiais do tipo CU, realizados em uma amostra de argila em seu trecho normalmente adensado e pré−adensado. Conforme se pode observar desta figura, no trecho normalmente adensado, o solo apresenta sempre pressões neutras positivas, de modo que a trajetória de tensões efetiva, TTE, se encontra sempre à esquerda da trajetória de tensões totais. Para o caso do trecho pré−adensado, há inicialmente geração de pressões neutras positivas no corpo de prova (vide fig. 4.17), sendo que com o cisalhamento da amostras estas passam a se apresentar negativas. Deste modo a trajetória de tensões TTE obtida para o caso
108
de solos pré−adensados inicialmente se situa a esquerda da trajetória TTT, passando à sua direita com o progresso do cisalhamento do solo. A trajetória de tensões efetivas, indica portanto, a pressão neutra existente em qualquer fase do carregamento. Ela indica, também, a tendência do desenvolvimento das pressões neutras durante o carregamento. Quando a trajetória se desenvolve paralelamente à trajetória TTT, não está havendo variação na pressão neutra; quando a trajetória se desenvolve perpendicularmente à trajetória TTT, a variação de pressão neutra é igual à própria variação da tensão principal maior. Determinando−se a envoltória das trajetórias de tensões, obtém−se os parâmetros de resistência do solo. O conceito de trajetória de tensões é bastante útil quando se pretende determinar a envoltória correspondente a um número elevado de ensaios, situação em que os círculos de Mohr ficam mais sobrepostos. T e nsã o d e P ré −a d e n sa m e n to
t
φ’ T r e c h o p ré −a d e n s a d o
T r e c h o n o r m a lm e nt e a d e n sa d o
TTE u
TTT
TTE TTT s Figura 4.23 – Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios CU, em amostras normalmente adensadas e pré−adensadas. KLMNLOPRQ.S*TU:VW:X)Y7X Z&[\Z]7Q.^!U:Y7X ZY7\&\_`Z"U S.X ZU(TU ZXZPR[a:^!S.TX Z
Nos itens anteriores foi apresentado o comportamento do solo sob uma variedade de condições de ensaio, principalmente no tocante às condições de drenagem, durante as fases de adensamento e cisalhamento do corpo de prova. É óbvio que qualquer ensaio deve procurar se aproximar o mais possível das condições de campo. Em particular, o processo de carregamento em campo deve ser interpretado de modo que se estabeleçam condições críticas para o problema, as quais poderão ocorrer a curto prazo ou a longo prazo, relativamente à construção da obra. Por exemplo, a construção de um aterro sobre argila mole de baixa permeabilidade induzirá pressões neutras na argila, as quais, ao término da construção, mal terão começado a se dissipar. A fig. 4.24 ilustra o desenvolvimento de tensões de cisalhamento e neutras durante a construção de um aterro em solo mole. Conforme ilustrado nesta figura, durante a fase de construção do aterro, crescem as tensões cisalhantes no ponto P e as pressões neutras, de modo que a resistência ao cisalhamento do solo permanece praticamente inalterada. Após a construção do aterro, o solo passa a sofrer o processo de adensamento, durante o qual ocorrem a dissipação do excesso de pressão neutra gerado no solo e a diminuição do seu índice de vazios. Durante este período, as tensões cisalhantes induzidas ao solo permanecem inalteradas, já que o aterro não tem a sua altura modificada. A resistência do solo, no entanto, cresce com a dissipação das pressões neutra pelo processo de adensamento e com a diminuição do índice de vazios do solo, de modo que a situação mais crítica neste caso ocorre ao final da construção. Também na fig. 4.24 está representada a
109
variação do fator de segurança do solo de fundação com o tempo. Logicamente, menores valores de F.S. indicam uma condição mais crítica. Neste caso, deve−se utilizar o ensaio UU na análise da estabilidade do solo de fundação do aterro, pois com o decorrer da dissipação das pressões neutras há um aumento da estabilidade global do problema. No caso de taludes de escavação, o que ocorre é o contrário. Neste caso, há um alívio de tensões, de modo que o solo tende a se expandir e a curto prazo gera excessos de pressão neutra negativos. Ora, do princípio das tensões efetivas sabe−se que quanto “mais negativo” for o valor da pressão neutra, maior vai ser o valor da resistência ao cisalhamento do solo. Também sabe−se que um aumento no índice de vazios do solo irá faze−lo menos resistente. Deste modo, a condição mais crítica para o solo ocorre a longo prazo, e os ensaios a serem realizados devem ser do tipo CD. Nestes casos, recomenda−se também que a faixa de tensões escolhida para os ensaios de laboratório sejam representativas daquelas em campo, pois o solo irá se encontrar em uma situação pré−adensada e os parâmetros de resistência do solo irão variar com a sua razão de pré−adensamento. A fig. 4.25 ilustra o desenvolvimento de tensões de cisalhamento e neutras durante a realização de escavações no solo.
Figura 4.24 – Variação das tensões de cisalhamento, da pressão neutra, da resistência ao cisalhamento e do fator de segurança do solo, em decorrência da construção de um aterro em solo mole. De um modo geral, os ensaios drenados, ou do tipo CD, são utilizados para a análise de problemas em que a situação mais crítica ocorre a longo prazo e em casos onde a velocidade de construção da obra é inferior à capacidade do solo de dissipar as pressões neutras geradas. Em outras palavras, não há sentido em se realizar ensaios do tipo UU para areia ou solo possuindo altos valores de permeabilidade (ou mesmo para o caso dos solos não saturados), pois, para estes solos, as tensões neutras provocadas pela construção são dissipadas quase que instantaneamente. Os ensaios CU são utilizados em situações intermediárias, ou, em outras palavras, quando ocorrem acréscimos de tensões rápidos em um solo que já completara o seu processo de adensamento para a condição de campo. Os ensaios CU são utilizados normalmente na análise de estabilidade de aterros sobre solos moles, no caso de construção em etapas, ou na análise da estabilidade de um talude de montante de uma barragem, sob rebaixamento rápido
110
Figura 4.25 – Variação da pressão neutra, da resistência ao cisalhamento e do fator de segurança do solo, em decorrência de um processo de escavação no solo.
111
5. EMPUXOS DE TERRA. b Lc:Lde_`^ [X Y7]7VW X
Algumas vezes, na engenharia civil, não dispomos de espaço suficiente para fazer uma transição gradual das elevações do terreno onde queremos implantar uma determinada obra. Nestes casos, os taludes necessários podem ser suficientemente altos ou inclinados, de modo que a estabilidade dos mesmos não é assegurada a longo prazo. As estruturas de contenção são projetadas para prover suporte para estas massas de solo não estáveis. Os empuxos de terra são as solicitações do solo sobre estas estruturas, e estes são dependentes da interação solo/estrutura. O cálculo dos empuxos de terra constitui uma das mais antigas preocupações da engenharia civil, tratando−se de um problema de elevado valor prático, de ocorrência freqüente e de determinação complexa. Os muros de arrimo, os escoramentos de escavações, os encontros de pontes, os problemas de capacidade de carga de fundações, entre outras, são as obras que exigem, em seus dimensionamentos e análises de estabilidade, o conhecimento dos valores dos empuxos. Tais estruturas freqüentemente requerem verificações adicionais no seu dimensionamento, não só a análise da sua estabilidade global, como a segurança de seus elementos de construção. Para o estudo dos empuxos de terra, em síntese, existem duas linhas de conduta: f
f
A primeira, de cunho teórico, apoia−se em tratamentos matemáticos elaborados a partir de modelos reológicos que tentam traduzir, tanto quanto possível, o comportamento preciso da relação tensão x deformação dos solos. A segunda forma de abordagem é de caráter empírico/experimental, sendo recomendações colhidas de observações em modelos de laboratório e em obras instrumentadas.
Vale ressaltar que a automação dos métodos numéricos, como o método das diferenças finitas, o método dos elementos finitos ou o método dos elementos de contorno e a evolução das técnicas de amostragem e ensaios, tem propiciado, nos últimos anos, um desenvolvimento significativo dos processos de cunho teórico. As análises pelo método dos elementos finitos (MEF) são, dentre os processos teóricos, as mais difundidas. O uso do MEF propicia o cálculo tanto dos empuxos quanto das deformações do solo e da estrutura. Todos os aspectos do problema, como a interação solo/estrutura, seqüência construtiva, comportamento tensão/deformação do solo, podem ser abordados. As maiores dificuldades de aplicação do MEF dizem respeito à definição de uma curva σ x ε que defina o comportamento generalizado do solo. Neste aspecto, vale dizer que a aplicação da teoria da plasticidade aos solos vem fornecendo resultados satisfatórios. b L ghLiX \"jS.TS.\_R^!\"ZY7\klEP`]7m:X
Os empuxos laterais de solo sobre uma estrutura de contenção são normalmente calculados por intermédio de um coeficiente, o qual é multiplicado pelo valor da tensão vertical efetiva naquele ponto. O valor deste coeficiente irá depender do processo de interação solo/estrutura, ou seja, dos movimentos relativos entre a estrutura de contenção e o solo. Deste modo, pode−se dizer que, a depender do tipo de estrutura, obter−se−ão diferentes valores de coeficientes. Estes coeficientes são denominados de coeficientes de empuxo do solo e a depender da direção do movimento lateral imposto pela estrutura de contenção, estes são denominados de coeficiente de empuxo ativo (Ka) ou passivo (Kp). No caso do solo não apresentar deslocamentos laterais, o coeficiente de empuxo é denominado de coeficiente de
112
empuxo em repouso do solo (Ko), cujo cálculo e aplicação já foram mencionados no capítulo de tensões geostáticas deste trabalho. As tensões horizontais efetivas do solo neste caso são calculadas utilizando−se a eq. 5.1, apresentada adiante. Conforme também relatado naquele capítulo, a expressão mais utilizada para o cálculo do coeficiente de empuxo em repouso do solo é a equação de Jáky (1948), a qual também é reproduzida a seguir (eq. 5.2).
σ h’ = Ko ⋅ σ v’
(5.1)
Ko = 1 − sen (φ ’)
(5.2)
Considerando−se o solo como um material elástico, linear e isotrópico, em uma condição de compressão confinada, o coeficiente de empuxo em repouso do solo é dado pela eq. 5.3, apresentada adiante.
Ko =
υ 1− υ
(5.3)
Onde υ é o valor do coeficiente de Poisson do solo. Vários resultados publicados na literatura especializada demonstram ser o coeficiente de empuxo em repouso do solo uma função não só de suas propriedades de resistência, mas também da sua história de tensões em campo e do seu grau de saturação. Assim, solos pré− adensados tendem a exibir maiores valores de Ko, os quais se apresentam crescentes com a razão de pré−adensamento. Para altos valores de O.C.R., pode−se encontrar valores de Ko superiores à unidade. Tem−se demonstrado que os solos não saturados tendem a exibir valores de Ko decrescentes com o seu valor de sução. A tabela 5.1 apresenta valores típicos de Ko para diversos tipos de solo. Tabela 5.1 – Valores de Ko (composta a partir de Bernatzik, 1947; Bishop, 1957, 1958; Simons, 1958; Terzaghi e Peck, 1967). TIPO DE SOLO LL LP IP ATIVIDADE KO Areia Compacta (e=0,60) − − − − 0,49 Areia Média (e=0,70) − − − − 0,52 Areia Fofa (e=0,88) − − − − 0,64 Areia Fofa Saturada − − − − 0,46 Areia Compacta Saturada − − − − 0,36 Argila Residual de média plasticidade − − 9,3 0,44 0,42 Argila Residual de alta plasticidade − − 31 1,55 0,66 Argila Mole, Orgânica, Indeformada 74 28 45 1,20 0,57 Argila Marinha, Indeformada 37 21 16 0,21 0,48 Argila Sensível 34 24 10 0,18 0,52 Argilas − − − − 0,60 a 0,80 Areias não Compactadas − − − − 0,40 a 0,50 (Fofas ou Compactas) Areias Compactadas por Camadas − − − − 0,80 Para a determinação dos outros coeficientes de empuxo considere−se um semi−espaço infinito de solo, constituído por um solo isotrópico, não saturado e de superfície horizontal (fig. 5.1), no qual foi inserido um muro extenso, delgado o suficiente para não acarretar mudanças no estado de tensões inicial do solo. Admitamos agora que através de um artifício
113
qualquer este muro seja movimentado para a direita, com deslocamentos uniformes em toda a sua extensão. A fig. 5.2 ilustra o que acontece, em termos de tensões horizontais, em dois elementos de solo situados à esquerda e à direita do muro (elemento A e elemento B, respectivamente).
Figura 5.1 – Esquema ilustrativo utilizado na definição dos empuxos de terra ativo e passivo. Modificado de Perloff & Baron (1976). Conforme ilustrado na fig. 5.2, os elementos A e B partem de um mesmo valor de tensão horizontal, σ’xo, que corresponde ao valor da tensão horizontal em repouso do solo. Com o deslocamento do muro, o valor da tensão horizontal no elemento B aumenta, enquanto que o valor da tensão horizontal no elemento A diminui. Deve−se notar contudo, que este crescimento não se dá indefinidamente, de modo que valores máximo e mínimo são obtidos para as tensões horizontais atuando nestes elementos. Estes valores limites correspondem às tensões horizontais para um estado ativo (elemento A) ou passivo (elemento B) do solo. Da fig. 5.2 pode−se notar também que os deslocamentos relativos necessários para se atingir uma condição de empuxo ativo são menores do que aquelas requeridos para se atingir uma condição de empuxo passivo.
Figura 5.2 – Tensões horizontais nos elementos A e B da fig. 5.1. Modificado de Perloff & Baron (1976).
114
A fig. 5.3 ilustra o que acontece nos elementos de solo A e B em termos de círculos de Mohr. Conforme ilustrado nesta figura, ambos os elementos partem de um círculo de Mohr possuindo como tensões principais σv e Ko⋅σv. Conforme apresentado nesta figura, no estado em repouso o solo se encontra afastado da ruptura. Com o deslocamento do muro, as tensões horizontais no elemento B se tornam maiores que o valor da tensão vertical, sendo seu valor limite alcançado quando o círculo de Mohr passa a tangenciar a envoltória de resistência do solo. Neste instante, diz−se que o solo está em um estado de ruptura passiva. Conforme apresentado no capítulo anterior, para uma condição de ruptura, as tensões principais estão relacionadas de acordo com a eq. 5.4, apresentada adiante.
τ
Empuxo Ativo (elemento A)
φ
’
Empuxo Passivo (elemento B) c’ Ka σv Ko σv
Kpσv
σv
σ
Figura 5.3 – Círculos de Mohr inicial e finais para os elementos A e B. σ1 = σ3 ⋅ Nφ + 2 ⋅ c ⋅ N φ
(5.4) φ
Onde : Nφ = tan ( 45 + 2 ) 2
(5.5)
No estado passivo, a tensão horizontal, σ’xp ou σ’hp, corresponde a tensão principal maior, σ1. Se assume−se o solo como granular, ou sem coesão, pode−se demostrar que o coeficiente de empuxo passivo do solo é dado pela eq. 5.6, apresentada adiante. Da eq. 5.6 nota−se que o coeficiente de empuxo passivo do solo é sempre superior à unidade. Kp =
σ ’ hp
φ = Nφ = tg 2 45 + σ ’v 2
(5.6)
No estado ativo, a tensão horizontal, σ’xa ou σ’ha, corresponde a tensão principal menor, σ3. Se assume−se o solo como granular, ou sem coesão, pode−se demostrar que o coeficiente de empuxo ativo do solo é dado pela eq. 5.7, apresentada adiante. Da eq. 5.7 nota−se que o coeficiente de empuxo ativo do solo é sempre inferior à unidade. Ka =
σ ’hp σ ’v
=
1 φ = tg 2 45 − 2 Nφ
(5.7)
Segundo Mello (1975), em termos práticos, adota−se a postura de calcular os empuxos ativo e passivo (EA e EP), alterando−os, em seguida, com o auxílio de um fator para fugir−se da situação de ruptura. No caso ativo, o valor de EA será majorado por um coeficiente
115
tomado, em geral, entre 1,3 a 1,5. Para a situação passiva, o valor de EP será dividido por um fator compreendido na faixa de 1,4 a 1,5. Desta forma, os valores de projeto estarão situados dentro da fase de equilíbrio elástico. No caso ativo, este procedimento implica em obras de maior porte, portanto mais caras. Em compensação o inverso ocorre para a situação passiva. Em ambos, porém, há uma garantia da ausência da ruptura do solo arrimado. b LnNLoqp^ X Y7X)Y7\&rsU:_`t:S*_R\
Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra são métodos de equilíbrio limite. Admite−se, nestes métodos, que a cunha de solo situada em contato com a estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação, ativo ou passivo. Esta cunha tenta deslocar−se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises de equilíbrio dos corpos rígidos. A análise de Rankine apoia−se nas equações de equilíbrio interno do maciço. Estas equações são definidas para um elemento infinitesimal do meio e estendida a toda a massa plastificada através de integração. Esta análise enquadra−se no teorema da região inferior (TRI) da teoria da plasticidade. Como filosofia básica este teorema defende, em primeiro lugar, o equilíbrio de tensões entre os campos externos e internos que se estabelecem sobre a cunha plastificada. As tensões externas são motivadas por solicitações aplicadas na superfície do terreno pela ação do peso próprio da cunha. As solicitações internas são as reações que se desenvolvem na cunha, como conseqüência das solicitações externas. Para resolução das equações de equilíbrio, todos os pontos dentro da cunha de ruptura são supostos em estado limite e as tensões se relacionam pelo critério de ruptura de Mohr – Coulomb. A solução de Rankine , estabelecida para solos granulares e estendida por Rèsal para solos coesivos, constitui a primeira contribuição ao estudo das condições de equilíbrio limite dos maciços, tendo em conta as equações de equilíbrio interno do solo. Em razão disto, estas equações são conhecidas como estados de plastificação de Rankine. O método de Rankine, que consiste na integração, ao longo da altura do elemento de suporte, das tensões horizontais atuantes, calculadas a partir do sistema de equações estabelecido para o maciço, fundamenta−se nas seguintes hipóteses: 1) Maciço homogêneo de extensão infinita e de superfície plana (horizontal). 2) O solo no interior da cunha de ruptura se encontra nos estados de plastificação de Rankine. 3) A inserção do muro não interfere nos resultados obtidos. Embora teoricamente a solução de Rankine só seja válida para muro de parede vertical, perfeitamente lisa, que é quando se atingem os estados de plastificação de Rankine (superfície de escorregamento fazendo um ângulo igual a 45 + φ/2 ou 45 − φ/2 com o plano principal maior, para as condições ativa e passiva, respectivamente, fig. 5.4), ela é estendida também aos casos em que o tardoz do muro faz um ângulo β com a vertical. Quando a superfície do terreno é inclinada de um ângulo i com a horizontal, há que considerar−se o muro com uma rugosidade suficiente para inclinar as tensões resultantes do mesmo valor. À medida que se afasta das condições teóricas fundamentais, o método fornece valores que se distanciam cada vez mais dos valores práticos observados. A presença do atrito ou de adesão na interface solo/muro gera tensões tangenciais que contribuem para resistir ao deslocamento da cunha plastificada. Neste caso, a utilização da teoria de Rankine faz com que o empuxo ativo seja sobrestimado e o empuxo passivo, subestimado. Além disso, o atrito propicia uma redução da componente horizontal do empuxo (menor quanto maior for o valor do coeficiente de atrito (δ) entre o solo e o muro) e provoca o encurvamento das superfícies de escorregamento. A fig. 5.4 ilustra cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine para uma variedade de situações. A fig. 5.5 ilustra as formas das cunhas de ruptura obtidas considerando−se o atrito na interface solo/muro.
116
Figura 5.4 – Aplicação da teoria de Rankine para a obtenção de cunhas de ruptura no solo, para cálculo do empuxo sobre estruturas de contenção. Modificado de Perloff & Baron (1976).
Figura 5.5 – Formato das cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine quando se considera o atrito na interface solo/muro. Modificado de Perloff & Baron (1976). Sobre o procedimento do método de Rankine existe a desvantagem de que a obtenção dos valores de Ka e Kp para geometrias complexas e/ou outras formas de carregamento que não carregamento extenso conduz a procedimentos de cálculos bastante árduos. Para os solos não coesivos, a variação das tensões horizontais é linear com a profundidade. O diagrama resultante será triangular e o empuxo consistirá na integração das tensões laterais ao longo da altura. A fig. 5.6 ilustra a obtenção do empuxo ativo sobre uma estrutura de contenção pelo método de Rankine, para o caso de solos não coesivos e coesivos. Conforme se pode observar, para o caso dos solos coesivos, os valores de empuxo obtidos até uma profundidade de z = zo são negativos. A ocorrência de empuxo negativo sobre a estrutura de contenção é pouco provável, pois neste caso haveria uma tendência do solo se “descolar” do muro. Além disto, até a profundidade de z = zo, é provável a ocorrência de trincas de tração no solo. Deste modo o empuxo negativo sobre a estrutura de contenção é geralmente desprezado, calculando−se o empuxo a partir da altura reduzida do muro, h = H – zo,
117
conforme se ilustra na fig. 5.6. Conforme também apresentado na fig. 5.6, a integração dos esforços horizontais ao longo do muro de arrimo resulta na eq.5.8, que representa o empuxo ativo atuando sobre a estrutura de contenção. Solo coesivo
h Solo não coesivo
zo =
2c φ γ ⋅ tan 45 − 2
h = H −Zo
H
Ea = Kaγh2/2
2
Ea= Kaγh /2
h/3
h/3
Figura 5.6 – Aplicação do método de Rankine para cálculo do empuxo ativo sobre estruturas de contenção. Ea =
Ka ⋅ h 2 ⋅ γ 2
(5.8)
A presença da coesão possibilita manter um corte vertical, sem necessidade de escoramento, até uma determinada altura no solo (altura crítica), na qual o empuxo resultante é nulo. Da fig. 5.6 é fácil perceber que isto ocorre quando z = 2⋅zo. Esta é a altura na qual podem ser feitas escavações sem escoramento no solo. A eq. 5.9, apresentada a seguir, expressa a altura crítica de corte sem escoramento. zc =
4 ⋅ c’ φ’ γ ⋅ tg 45 − 2
(5.9)
No caso de solos coesivos, empuxo passivo, o valor do empuxo é calculado conforme apresentado pela eq. 5.10. Notar que agora h corresponde novamente à altura total da estrutura de arrimo. Ep =
Kp ⋅ h 2 ⋅ γ + 2 ⋅ c ⋅ h ⋅ Kp 2
(5.10)
Embora esteja se considerando o caso de estruturas de contenção suportando solos coesivos, deve−se salientar que quando da execução destas estruturas em campo, sempre que possível, deve−se utilizar materiais granulares no aterro anterior ao muro. Os materiais granulares, não coesivos, são sempre preferíveis, pois apresentam maiores valores de ângulo de atrito e geralmente não apresentam grandes variações volumétricas em processos de secagem/umedecimento. Além disto, é imprescindível que as estruturas de contenção possuam um bom sistema de drenagem, de modo a evitar empuxos na estrutura de contenção provocados pela água. Com base na experiência local, pode−se afirmar que o efeito da água tem sido decisivo na instabilização de estruturas de contenção. O efeito da água é ilustrado na fig. 5.7. No caso de o nível do lençol freático interceptar a estrutura de contenção, existirão dois empuxos sobre a estrutura, um originado pela água e outro pelo solo. O empuxo da água será aplicado a uma altura (h – hw)/3 da base da contenção e o empuxo de solo a uma altura aproximadamente igual a h/3. Deve−se notar
118
que neste caso há uma mudança no peso específico do solo, que passa a γsat, e que as tensões neutras devem subtraídas das tensões horizontais do solo sobre a estrutura, pois os coeficientes de empuxo devem sempre ser utilizados em termos de tensão efetiva. Caso o nível d’ água se eleve até a superfície do terreno, o que consiste na situação mais desfavorável, o empuxo ativo sobre a estrutura de contenção será dado pela eq. 5.11.
hw
Es
h −hw
Ew u
u
Figura 5.7 – Efeito da água no empuxo do solo sobre estruturas de contenção. Ka ⋅ h 2 ⋅ γ sub h 2 ⋅ γ w Ea = + 2 2
(5.11)
No caso de taludes com uma inclinação i com a horizontal, pode−se mostrar que os coeficientes de empuxo ativo e passivo são dados pelas eqs. 5.12 e 5.13, respectivamente. Os valores dos empuxos sobre as estruturas de contenção são dados pelas eqs. 5.14 e 5.15, respectivamente. σ ’ha cos(i )− cos 2 (i )− cos 2 (φ ’ ) = Ka = σ ’v cos(i )+ cos 2 (i )− cos 2 (φ ’ )
(5.12)
σ ’hp cos(i )+ cos 2 (i )− cos 2 (φ ’ ) = σ ’v cos(i )− cos 2 (i )− cos 2 (φ ’ )
(5.13)
Kp =
Ea =
Ka ⋅ h 2 ⋅ γ ⋅ cos(i ) 2
(5.14)
Ep =
Kp ⋅ h 2 ⋅ γ ⋅ cos(i ) 2
(5.15)
b L KhLoqp^ X Y7X)Y7\&iX ]7Q.X l0u
O método de Coulomb para cálculo dos empuxos de terra foi enunciado em 1776. Enquadra−se na filosofia do Teorema da Região Superior (TRS) da teoria da plasticidade, que estabelece o equilíbrio de uma massa de solo, se, para um deslocamento arbitrário, o
119
trabalho realizado pelas solicitações externas for menor do que o das forças internas. Em caso negativo, a massa estará em condição de instabilização ou de plastificação. O método de Coulomb admite as seguintes hipóteses básicas: f f f
f
É atendida a condição de deformação plana ao longo do eixo do muro, logo o problema é bidimensional. Ao longo da superfície de deslizamento, o material está em estado de equilíbrio limite (uso do critério de Mohr – Coulomb). Ocorre deslizamento relativo entre o solo e o muro. Tensões cisalhantes se desenvolvem nesta interface. A direção das tensões cisalhantes é determinada pelo movimento relativo solo/muro. A superfície de ruptura é geralmente assumida como planar.
A fig. 5.8 ilustra o esquema idealizado por Coulomb para cálculo dos empuxos sobre estruturas de contenção.
Figura 5.8 – Ilustração do método de análise de Coulomb. Modificado de Perloff & Baron, 1976. O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendo−se as equações de equilíbrio das forças atuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética. Uma das forças atuantes é o empuxo, que no estado ativo corresponde à reação da estrutura de suporte sobre a cunha e, no passivo, à força que a estrutura de arrimo exerce sobre ela. O empuxo ativo será o máximo valor dos empuxos determinados sobre as cunhas analisadas; o passivo, o mínimo. Na mobilização do empuxo ativo, o muro se movimenta de modo que o solo é forçado a mobilizar a sua resistência ao cisalhamento, até a ruptura iminente. A ativação da resistência ao cisalhamento do solo pode ser entendida como o fim de um processo de expansão que se desencadeia no solo a partir de uma posição em repouso. Isto significa que o valor do empuxo sobre a estrutura de contenção vai diminuindo, com a expansão, até que se atinge um valor crítico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificação. Quando as análises de equilíbrio são efetuadas para as diversas cunhas hipotéticas, supõe−se que este limiar da ruptura tenha sido alcançado em todas elas. Portanto, o maior valor de empuxo estabelecido na análise destas cunhas será o crítico, pois no processo de ativação ele será atingido em primeiro lugar, sendo por conseguinte o empuxo ativo. Isto corresponde dizer que o empuxo ativo é um ponto de máximo dentre os valores determináveis de empuxo. Um fato inverso ao descrito neste dois últimos parágrafos ocorrerá para o caso passivo. Tendo em vista a filosofia do Teorema da Região Superior, na qual se enquadra, o processo de Coulomb tem como princípio a comparação entre os trabalhos de forças externas e o de forças internas. Isto eqüivale a um equilíbrio estático de forças, para um dado deslocamento. Assim, nos casos de geometria mais simples, será possível estabelecer uma
120
equação geral para o problema e encontrar o seu valor máximo, ou mínimo, correspondente às situações ativa e passiva, respectivamente. Em seguida serão fornecidos os casos em que esta abordagem é possível. Solução analítica do método de Coulomb para solos granulares. Empuxo Ativo – A eq. 5.16 apresenta o valor do coeficiente de empuxo ativo obtido pelo método de Coulomb. Na fig. 5.9 estão apresentadas todas as variáveis contidas na eq. 5.16, para o caso de empuxo passivo. No caso de empuxo ativo, a resultante R do solo atuará desviada também de φ’ da normal à cunha, mas agora em sentido oposto. Do mesmo modo, devido ao movimento descendente da cunha no caso ativo, Ea será inclinada da normal à contenção também de δ, mas em sentido contrário àquele apresentado na fig. 5.9. Deste modo, no uso das eqs. 5.16 e 5.17, deve−se atentar para a convenção de sinais adotada na fig. 5.9(b). Ka =
sen 2 (α + φ ′) sen(φ ′ + δ )⋅ sen (φ ′ − β ) sen (α )⋅ sen (α − δ )1 + sen sen α δ α β ( ) ( ) − ⋅ +
2
2
(5.16) Muro Caso ativo
Normal δ (+) Ea
Muro Caso passivo
Ep δ (+) Normal
(a)
( b)
Figura 5.9 – (a) − Método de Coulomb para o caso de empuxo passivo. (b) – Convenção de sinais para δ. Modificado de Perloff & Baron, 1976. Empuxo Passivo: A eq. 5.17 apresenta o valor do coeficiente de empuxo passivo obtido pelo método de Coulomb Kp =
sen 2 (α − φ ′) sen(φ‘ +δ )⋅ sen(φ ′ + β ) sen (α )⋅ sen(α + δ ) 1 − sen(α + δ )⋅ sen(α + β )
2
2
(5.17)
No caso de um carregamento vertical uniformemente distribuído sobre a superfície do terreno, o peso específico do solo pode ser majorado pela eq. 5.18, apresentada adiante, de modo a levar em consideração o carregamento q (notar que q tem dimensões de tensão). 2⋅q γ q = γ + h ⋅ sen (α )⋅ sen (α + β )
(5.18)
121
Para casos mais gerais, o cálculo do empuxo de terra deve ser feito de forma gráfica. Estes processos gráficos são todos semelhantes entre si, de modo que neste trabalho apresentar−se−á apenas o processo gráfico direto para a obtenção do empuxo de coulomb, sem se utilizar a rotação de eixos proposta por Cullman. As figs. 5.10 e 5.11 ilustram a composição de forças ao longo de uma cunha de deslizamento, para os caso de empuxo ativo e passivo.
Figura 5.10 – Composição de forças utilizada pelo método gráfico para o caso de empuxo ativo. Modificado de Perloff & Baron, 1976.
Figura 5.11 – Composição de forças utilizada pelo método gráfico para o caso de empuxo passivo. Modificado de Perloff & Baron, 1976. A fig. 5.12 ilustra a obtenção do empuxo ativo sobre uma estrutura de contenção utilizando−se o método gráfico. Considerou−se nesta figura um terrapleno horizontal e a presença do nível d’água. Conforme se pode observar da fig. 5.12, adotou−se a hipótese de solo com intercepto de coesão não nulo, inclusive vislumbrando−se a possibilidade de consideração de uma parcela de adesão no contato solo/muro. No caso de solos coesivos, vale notar que as cunhas potenciais de ruptura não mantém a sua inclinação até a superfície do terreno, prolongando−se verticalmente para profundidades inferiores a zo (vide fig. 5.6). O empuxo ativo total sobre a estrutura é obtido considerando−se o empuxo do solo e da água separadamente. O empuxo da água é calculado utilizando−se a eq. 5.19, apresentada adiante, onde h’ representa a profundidade da base de assentamento da estrutura até o nível do lençol freático (no caso da fig. 5.12, h’ corresponde a 12m). Eaw
γ w ⋅ h’2 = 2
(5.19)
122
O empuxo do solo é calculado para diversas cunhas potenciais de ruptura, conforme ilustrado na fig. 5.12. Neste caso, para a parte submersa do solo, o peso da cunha é calculado utilizando−se o valor do γsub do solo. Para o caso de empuxo ativo o valor do empuxo do solo corresponde ao máximo valor de P’ (ou Ea’) encontrado. O empuxo total será então obtido pelo somatório (vetorial) dos dois valores calculado. Deve−se notar, conforme ilustrado na fig. 5.12, que neste caso o empuxo da água possui um ponto de aplicação, um valor e uma direção diferentes do empuxo do solo.
Nível de água 3 m Solo coesivo 15 m β= 85o
EMPUXO ATIVO
N.A. Ea’ (solo) δ’
Ea Resultante
E (água)
Figura 5.12 – Obtenção gráfica do empuxo ativo sobre estruturas de contenção. Modificado de Perloff & Baron, 1976. Para o caso do empuxo passivo o procedimento é o mesmo, a menos da mudança dos vetores apresentados na fig. 5.12, conforme ilustrado na fig. 5.11. Também neste caso, o empuxo passivo do solo corresponde ao valor mínimo do empuxo obtido. Na prática, conforme já relatado anteriormente, é sempre preferível se executar o aterro da contenção com solos granulares, de modo que neste caso os vetores c’a e C’, apresentados na fig. 5.12 são nulos. Do mesmo modo, na construção de qualquer estrutura de
123
contenção, um bom sistema de drenagem deve ser previsto, de modo que eventuais empuxos provocados pela água são geralmente desprezados na fase de projeto. No caso de cargas uniformemente distribuídas, pode−se majorar o peso específico do solo conforme eq. 5.18. Na caso de linhas de carregamento (carga por unidade linear) o seus valores devem ser acrescentados ao peso das cunhas potenciais que as contém, de modo análogo ao ilustrado nas figs. 5.10 e 5.11. Neste caso, a linha unindo os vetores P’ da fig. 5.12 poderá apresentar sobressaltos ou descontinuidades. b L b LOZPR\T^!XZvw\[U:S*Z&x ]7\&dy_RjQ.]7\_RTS.U:l,_RUIzH\^!\[l0S._RU VW X/Y7X)kl0PR]7m X
A seguir é feito um comentário resumo sobre alguns fatores que influem no valor do empuxo em uma estrutura de contenção. Aspectos referentes a vários destes fatores já foram relatados anteriormente. a) Influência da Pressão Neutra. O empuxo devido à água deve ser considerado separadamente. Não é possível incluir esforços devidos à percolação de água nas teorias de Rankine e Coulomb. Ao assumir o nível de água estático, lembrar que os coeficientes de empuxo referem−se a tensões efetivas, e que a água exerce igual pressão em todas as direções, sendo o empuxo da água sempre perpendicular à face da contenção. b) Influência de Sobrecargas Aplicadas à Superfície do Terreno. Esforços laterais devidos a sobrecargas aplicadas na superfície do terreno nem sempre são de fácil avaliação. Alguns tipos de sobrecargas (uniformemente distribuídas, lineares, etc) podem ser consideradas, bastando incluí−las nos polígonos de forças das construções gráficas. No caso da cargas uniformemente distribuídas, pode−se também utilizar o artifício representado na eq. 5.18. No cálculo dos acréscimos dos empuxos devidos à carregamentos em superfície, alguns resultados de instrumentação comprovam a aplicabilidade das fórmulas da Teoria de Elasticidade. Entretanto, são necessárias algumas correções empíricas para adequá−las aos valores reais medidos. Um dos aspectos a considerar e que requer correção refere−se à rigidez da estrutura. Vários autores sugerem aplicar, para carregamentos futuros, um fator multiplicativo de 2 nas expressões da Teoria da Elasticidade, para levar em conta a possível restrição a deformações imposta pela estrutura. c) Influência do Atrito entre o Solo e o Muro. A influência do atrito entre o solo e o muro pode ser evidenciada observando−se que quando o muro move−se, o solo que ele suporta expande−se ou é comprimido conforme seja o estado ativo ou passivo. No primeiro caso, o solo apresenta uma tendência de descer ao longo da parede que, se impedida, origina tensões tangenciais ascendentes que suportam em parte a massa de solo deslizante. Alivia−se, assim, o valor do empuxo sobre o muro. No caso passivo ocorre simplesmente o contrário. O método de Rankine, que desconsidera o atrito entre o solo e o muro, fornece soluções do lado da segurança. O método de Coulomb considera o atrito e fornece soluções mais realistas. O emprego de uma ou de outra teoria está associado, inclusive, como já foi referido, à geometria do problema. As obras dimensionadas pelo método de Rankine serão mais caras pois, como se sabe, este método fornece valores mais conservativos em face de não considerar o atrito entre o solo e o muro. Por outro lado, esta teoria é de extrema simplicidade e portanto menos trabalhosa do que a solução de Coulomb. A presença do atrito na interface solo/muro, além de reduzir o valor do empuxo, provoca a sua inclinação. Isto torna os muros mais estáveis já que a componente horizontal do empuxo, que é diminuída, está diretamente relacionada com a estabilidade do muro quanto ao escorregamento e ao tombamento. O ângulo de atrito entre o solo e o muro depende
124
fundamentalmente do ângulo de atrito do solo. Na falta de um valor específico, recomenda− se adotar para δ um valor situado entre o intervalo apresentado na eq. 5.20. φ’ 2 〈δ 〈 φ ’ 3 3
(5.20)
A tabela 5.2 apresenta alguns valores de δ/φ’ em função do material do muro Tabela 5.2 – Valores de δ/φ’ em função do material do muro. Material do muro δ/φ’ Concreto liso e argamassa 0,8 – 1,0 Concreto rugoso 0,9 – 1,0 Aço liso 0,5 – 0,7 Aço rugoso 0,8 – 0,9 Madeira lisa 0,7 –0,9 Madeira rugosa 0,9 – 1,0 d) Ponto de Aplicação do Empuxo. A teoria de Rankine, admitindo uma distribuição hidrostática de tensões, fixa o ponto de aplicação do empuxo a 1/3 da altura, medida a partir da base. A teoria de Coulomb nada estabelece a respeito. Neste ponto, vale ressaltar que não só o valor do empuxo é importante no dimensionamento de uma estrutura de contenção, mas também o ponto de aplicação deste empuxo desempenha uma função essencial. Isto é importante principalmente na verificação da estabilidade da estrutura de fundação quanto ao tombamento, o que será visto nos próximos itens. Por enquanto, deve−se observar que a forma de distribuição das tensões horizontais sobre a estrutura de contenção, a qual determina o ponto de aplicação do empuxo, irá depender de alguns fatores como a presença de água no solo, a existência de carregamentos em superfície e a liberdade de movimentação da estrutura. A fig. 5.13 ilustra algumas formas de distribuição de tensões horizontais sobre a estrutura a depender de alguns fatores relatados acima.
Carregamento em superfície
Figura 5.13 – Diferentes formas de distribuição das tensões provenientes dos empuxos de terra sobre as estruturas de fundação.
125
e) Fendas de Tração. Em solos que apresentam coesão existe a possibilidade de surgimento de fendas de tração. A profundidade que estas podem atingir é determinada pelo ponto em que a tensão lateral se anula (zo). b L{NLkZ^ []7^!]7[U Z&Y7\O[[S*lEX
Pode−se utilizar estruturas de arrimo em obras temporárias, como na abertura de valas para implantação de condutos e metrôs. Nestes casos, geralmente, introduzem−se os elementos da estrutura anteriormente à escavação e à medida que se processa a escavação, complementa−se a estrutura com os elementos adicionais: pranchões de madeira, estroncas, tirantes, etc. Completada a obra, procede−se ao reaterro da escavação e os elementos utilizados no escoramento podem ser retirados e reaproveitados. Em obras definitivas, como no caso dos muros de arrimo, é normal proceder−se à escavação, deixar um espaço livre atrás de onde será implantada a estrutura, para facilidade de trabalho, e, uma vez completada a estrutura, procede−se ao reaterro do espaço deixado livre. Deve−se frisar, entretanto, que estas não são regras gerais para estruturas temporárias e definitivas, havendo comumente exceções. b L{NL!c:L|)S.PRX ZY7\&kZ^![]7^ ]7[U:ZY7\&O[[S.l0X
As estruturas de contenção são basicamente divididas em flexíveis e rígidas. Estas podem ser de vários tipos e proporcionam estabilidade de várias maneiras. Existem os muros de arrimo de gravidade, de gravidade aliviada, muros de flexão, muros de contraforte, cortinas de estacas prancha, cortinas de estacas secantes ou justapostas, cortinas de perfis metálicos combinados com pranchões de madeira, paredes diafragma e eventualmente partes de estruturas projetadas para outro fim, que têm por finalidade retenção, como por exemplo os subsolos dos edifícios e os encontros de pontes. Na fig. 5.14 ilustram−se alguns dos mais utilizados tipos de estrutura de contenção. As ancoragens são normalmente utilizadas para obras provisórias, principalmente na escavação de valas a céu aberto. No caso do muro de gravidade, como o próprio nome indica, conta−se com o peso próprio do muro para lhe assegurar estabilidade. Os muros de gravidade são normalmente construídos em alvenaria de pedra. Suas seções normalmente possuem forma tal que os mesmos não precisam ser armados. Por questões de economia de concreto, a seção do muro de gravidade pode ser reduzida, no entanto é necessário a adoção de armadura para absorver os esforços de tração que aparecem. Assim, esses muros passam a ser denominados de muros de gravidade aliviada. Atualmente, está sendo muito difundida a construção de muros de arrimo por meio de gabiões. Os muros de arrimo construídos em gabiões funcionam também por gravidade, e se compõem de elementos em forma de prisma retangular, fabricados em malha metálica, a qual é preenchida com fragmentos de rocha. Estes elementos são superpostos de modo a formar a estrutura de arrimo. Com relação aos muros de alvenaria, os gabiões possuem a vantagem de serem mais flexíveis, garantindo a mobilização de todo o solo anterior ao tardoz da contenção. Por serem construídos utilizando−se de fragmentos de rocha, sem preenchimento, este tipo de contenção é altamente permeável, o que facilita a drenagem do solo. Para que com o fluxo o solo não penetre nos vazios do gabião, é necessário que se crie uma camada de transição, o que normalmente é feito com o uso de geotêxteis. Nos locais onde têm sido empregados os muros de arrimo em gabiões, algumas vezes, tem sido verificado um processo de depredação, que consiste na retirada da malha metálica que mantém unidos os fragmentos de rocha, de modo que quando do seu uso exposto ao público, recomenda−se uma proteção adicional. Para serem estáveis, os muros de arrimo geralmente requerem bases que variam de 30% a 60% da altura do muro, de modo que
126
os mesmos não costumam ser utilizados em locais onde o espaço disponível é pequeno ou onde o terreno é muito valorizado. De um modo geral, a utilização de muros de arrimo se restringe até uma altura de aproximadamente 10m. Nos casos dos muros tipo cantoneira ou contraforte, também trabalha−se por gravidade, mas, neste caso, conta−se com o peso próprio do solo para garantir a estabilidade da estrutura. Os muros de flexão ou cantoneira são estruturas mais esbeltas, com seção transversal em forma de “L” que resistem aos empuxos por flexão, utilizando parte do peso próprio do maciço arrimado, que se apóia sobre a base do “L”, para manter−se em equilíbrio. Em geral utilizado para alturas em torno de 6m. Muros contrafortes são os que possuem elementos verticais de maior porte, chamados contrafortes ou gigantes, espaçados, em planta, de alguns metros, e destinados a suportar os esforços de flexão pelo engastamento na fundação. Os crib wall (parede de engradados) são estruturas formadas por elementos pré− moldados de concreto armando ou de madeira ou aço, que são montados no local, em forma de fogueiras justapostas e interligadas longitudinalmente, cujo espaço interno é cheio de preferência com material granular graúdo.
Figura 5.14 – Tipos mais usuais de estruturas de contenção. Com o progresso dos métodos construtivos, tem se empregado cada vez mais a construção de estruturas de contenção utilizando−se geotêxteis ou outros elementos estruturais. Este é o caso dos muros de arrimo construídos utilizando−se as técnicas de terra armada ou solo envelopado. Embora esteja fora do propósito deste trabalho a apresentação detalhada dos princípios de funcionamento destas estruturas, pode−se dizer que, nestes casos, há a incorporação de elementos estruturais ao solo no sentido de conferir a este resistência à tração. Em ambos os casos, trabalha−se com o atrito entre o solo e os elementos estruturais,
127
de modo que o uso de solos granulares é sempre preferível. No caso destas estruturas e mesmo no caso dos muros de arrimo em gabiões, além das verificações de estabilidade normalmente realizadas, deve−se também realizar análises do sentido de verificar a estabilidade interna da estrutura de contenção. As cortinas atirantadas são exemplos de estruturas de contenção utilizadas em locais onde não há espaço para a execução de muros de arrimo ou onde o terreno é bastante valorizado, justificando o seu uso. Em seu procedimento executivo, o solo é escavado paulatinamente (até uma profundidade que não requeira o uso de escoramentos) e placas de concreto são fixadas no talude por intermédio de tirantes. As estacas prancha são peças de madeira, concreto armado ou aço (ou até mesmo PVC), que se cravam formando por justaposição as cortinas e se prestam para estruturas de retenção de água ou solo, podendo ser utilizadas tanto para obras temporárias quanto para permanentes. Quanto ao método construtivo pode−se ter estacas prancha em balanço, em que a profundidade de cravação é suficiente para suportar os esforços laterais. Este tipo é normalmente aplicado para pequenos desníveis. Quando os desníveis se tornam maiores, passa−se a utilizar cortinas de estacas prancha ancoradas. Parede diafragma são paredes de concreto armado, concretadas em painéis com espessura de 30 até 120cm, antes do inicio da escavação. A largura dos painéis pode variar entre 2 a 4 metros, podendo ser executados em sequência ou alternados. A escavação é feita com caçamba tipo “ clan shell” e a concretagem é submersa afastando−se a lama bentonítica que estabiliza o furo. A sequênciade execução de uma parede diafragma pode ser vista na fig. 5.15.
Figura 5.15 – Esquema de execução de uma parede diafragma. Modificado de Gaioto 1993. As paredes constituídas de estações justapostos ou secantes, que podem ser atirantadas ou não, tem processo de execução semelhante ao da parede diafragma, visto acima. O solo
128
entre os estações pode ser contido, dependendo do caso, por concreto projetado, armado ou não. b L{NL ghLkZ^ U u S.Q.S.Y7U Y7\Y7\&oq]7[XZY7\O[[S.l0X
A determinação dos esforços laterais sobre muros de arrimo, pode ser feita por qualquer dos métodos tradicionais, desenvolvidos anteriormente. De qualquer forma, relembra−se que os esforços são decisivamente determinados pelas deformações em jogo e muita vezes, dada a rigidez da estrutura, não ocorrem deformações suficientes para mobilizar os estados de equilíbrio plástico. Experimentos com areias densas realizados por Terzaghi mostraram que a distribuição linear de esforços, tal qual preconizado nas teorias tradicionais, tem chance de ocorrer quando o muro sofre um giro em torno do seu pé. Para areias compactas basta que o topo do muro se desloque cerca de 0,001 da sua altura, para que o estado de tensões passe do repouso para o ativo. Como o deslocamento é muito pequeno, parece lícito supor que essa situação ocorre comumente nos muros de arrimo em balanço. Na verificação da estabilidade de um muro de arrimo há que se atentar para a possibilidade de deslizamento e tombamento. Além disso, deve−se considerar a possibilidade de ruptura do talude formado (estabilidade global), bem como verificar as tensões aplicadas ao solo de fundação e os recalques (segurança a ruptura do solo de fundação). Conforme já relatado, para alguns tipos de estruturas de contenção deve−se fazer verificações de sua estabilidade interna (gabiões, contenções em terra armada, solo envelopado, etc). Um sistema de drenagem, mesmo rústico, pode proporcionar sensíveis benefícios a um muro de arrimo, com redução de esforços sobre ele. A seguir são apresentados os procedimentos usuais utilizados no dimensionamento (na verdade, verificação) de muros de arrimo. A fig. 5.16 ilustra os esforços atuando em uma estrutura de contenção.
Figura 5.16 – Esforços em um muro de arrimo. Modificado de Venkatramaiah, 1993. Conforme apresentado na fig. 5.16, a capacidade de carga do solo, aplicada na base do muro, tem de resistir, com segurança, ao peso do muro e às componentes verticais das outras forças. O empuxo ativo age no sentido de instabilizar o muro, provocando o seu tombamento,
129
girando−o em torno de seu pé. A tendência ao tombamento é contraposta pelo peso próprio do muro e pela componente vertical do empuxo ativo. Por outro lado, a componente horizontal do empuxo ativo tende a empurrar o muro no sentido externo, o que é resistido pelas tensões de cisalhamento desenvolvidas na base do muro e pelo empuxo passivo mobilizado no lado esquerdo de sua base. O peso do muro age assim de duas formas distintas: provoca um momento na direção contrária ao momento instabilizante do empuxo ativo e causa resistência ao cisalhamento na base do muro. Por estas razões, estas estruturas são denominadas de estruturas de gravidade. Por equilíbrio de forças temos:
N = W + Eav − E pv
(5.21)
T = E ah − E ph
(5.22)
Para qualquer configuração do problema, Ea, Ep e W podem sempre ser obtidos, de modo que as resultantes T e N podem sempre ser calculadas. A excentricidade e da força N, relativa ao centro da base do muro, pode ser obtida igualando−se os momentos em torno do ponto B:
N ⋅ x ’ = W ⋅ x 1 + Eav ⋅ x 2 + Eah ⋅ z1 − E pv ⋅ b − E ph ⋅ z2 x’ =
(W ⋅ x
e = x’ −
1
+ E av ⋅ x 2 + E ah ⋅ z1 − E pv ⋅ b − E ph ⋅ z 2 ) N
b 2
=
(5.23)
∑M ∑V
(5.23)
(5.24)
Isto simplesmente significa que a resultante de W, Ea e Ep é justamente igual e oposta a resultante de T e N e deve ter a mesma linha de ação para o equilíbrio do muro. O problema de dimensionamento do muro se transforma então em um procedimento de tentativa e erro. A largura necessária para a base geralmente se situa entre 30% e 60% da altura do muro. Os critérios para um projeto satisfatório de uma seção de um muro de arrimo podem ser enunciados como segue: (a) – A base do muro deve ser tal que a máxima tensão exercida no solo de fundação não exceda a sua tensão admissível. (b) – Não devem se desenvolver tensões de tração significantes em nenhuma parte do muro. (c) – O muro deve ser seguro contra o deslizamento, ou seja, o fator de segurança ao deslizamento deve ser adequado. (d) – O muro deve ser seguro quanto ao tombamento, ou seja, o fator de segurança ao tombamento deve ser adequado. (e) – Deve haver segurança à ruptura do conjunto solo/muro (ruptura global). Para qualquer configuração do problema esses critérios são investigados como segue: (a) – A pressão exercida pela força N na base do muro é uma função de seu módulo e de sua excentricidade, e. Assumindo uma variação linear da pressão na base do muro, o equilíbrio de forças é atendido quando as tensões máximas e mínimas na base são dadas pela eq. 5.25, mostrada adiante (vide fig. 5.17). Deve−se também limitar o valor da excentricidade, de modo que não ocorram tensões de tração no
130
solo. Pode ser mostrado que para que esta condição seja atendida temos que e ≤ b/6. N 6e σ 1 = .1 + b b σ = N .1 − 6e 2 b b
(5.25)
Figura 5.17 – Tensões desenvolvidas no solo da base do muro de arrimo. Modificado de Venkatramaiah, 1993. (b) As seções necessárias para que se obtenha uma segurança global do conjunto solo/muro geralmente conduzem à satisfação desta condição. (c) Se o ângulo de atrito entre o solo e a base do muro é δ’, o requerimento de segurança contra o deslizamento é que a obliqüidade da reação R seja menor do que δ’. Isto pode ser expresso como:
T ≤ tg (δ ’) N (5.26) O fator de segurança contra o deslizamento da base do muro pode ser representado pela eq. 5.27, isto é, o somatório das forças horizontais resistentes pelo somatório das forças horizontais atuantes. Deve−se procurar adotar um fator se segurança ao deslizamento superior a 1,5 para solos granulares e superior a 2,0 para solos coesivos ou quando a resistência passiva for considerada.
F.S.desl . =
N ⋅ tg (δ ’ ) T
(5.27)
(d) Para que o muro seja seguro quanto ao tombamento, a reação R deve cruzar a base do muro. Se o requerimento de que não surjam tensões de tração no solo da base do muro é atendido, então o muro é seguro quanto ao tombamento. Mesmo assim, deve−se considerar um fator de segurança adequado, neste caso, também superior a 1,5 para solos granulares e superior a 2,0, para solos coesivos. A eq. 5.28 nos fornece o valor do fator se segurança quanto ao tombamento do muro (Fs=∑MR\ ∑MA) : F.S. tomb . =
W ⋅ (b − x1 )+E av ⋅(b − x 2 )+ E ph ⋅ z 2 E ah ⋅ z1
(5.28)
131
A segurança à ruptura global deve ser verificada através da análise de estabilidade de superfícies de ruptura que englobem a estrutura de contenção. Isto é feito normalmente utilizando−se um dos métodos desenvolvidos para o cálculo da estabilidade de taludes (geralmente o método das lamelas), os quais são estudados no próximo capítulo. As dimensões do muro de arrimo são definidas por tentativas de modo a atender as condições apresentados acima, isto é, segurança quanto ao deslizamento, tombamento, capacidade de carga da fundação. Como pré−dimensionamento pode−se adotar as dimensões apresentadas na fig. 5.18. 0,3H a H/12 >20cm
1:4 H
H 0,5D a D
B/3 D 0,5 a 0,7H
H/12 a H/10
H/8 a H/6 B= 0,4 a 0,7H
Figura 5.18 – Sugestões de medidas para dimensionamento de muros de arrimo.
Finalmente, chama−se a atenção para os benefícios que um sistema de drenagem interna propicia: a saturação do maciço, com elevação das pressões neutras, aumentará consideravelmente os esforços sobre o muro. Talbot apresenta uma regra prática para a drenagem de muros de arrimo, que consiste na relação: Ad } 0,01 (5.29) Am onde: Ad: área da seção transversal dos drenos. Am: área do muro a ser drenado. Os drenos devem ter inclinação mínima de 2% para assegurar o fácil escoamento das águas, bem como dispor de pingaduras de 5cm para evitar o efeito antiestético deixado pelo corrimento da água sobre o muro. De maneira geral utiliza−se uma camada drenante constituída por material de alta permeabilidade (brita, cascalho) com cerca de 40cm de espessura. Na parte interna do muro deve ser colocado um dreno (por exemplo manilhas perfuradas, tubos de PVC). Externamente ao muro, deve existir um coletor para a água proveniente das pingaduras e do dreno interno. Este coletor evita o solapamento da base do muro e conduz a água para um local adequado. A fig. 5.19 ilustra as considerações citadas acima. As cortinas de estacas prancha, conforme já exposto, são constituídas por peças de madeira, concreto ou aço, cravadas no terreno, que se destinam a retenção de água ou solo. Tem larga aplicação em obras portuárias, proteção de taludes, abertura de valas, etc. Atualmente, o emprego de estacas prancha de madeira encontra−se limitado em virtude do seu comprimento relativamente pequeno (em torno de 5m), ocorrência de danos durante a cravação, principalmente em terrenos mais resistentes, bem como, duração reduzida em ambientes sujeitos a variação do lençol freático. As estacas de concreto apresentam maior resistência que as de madeira, no entanto, os problemas de cravação também tornam o seu uso restrito. As estacas prancha metálicas tem sido usadas com maior frequência devido à maior facilidade de cravação e de recuperação, melhor estanqüeidade e possibilidade de reutilização, no entanto, estas estacas podem apresentar problemas de corrosão.
132
Drenos com incl. de 2% e pingaduras
Coletor externo
Camada drenante
Dreno interno
Figura 5.19 – Sistemas de drenagem em muros de arrimo. ~&
`N!!NRh@h GR
ehy
R`
e`
As cortinas diferem estruturalmente dos muros de arrimo, por serem flexíveis e terem peso próprio desprezível em face das demais forças atuantes. Baseados em seu tipo estrutural e esquema de carregamento, as cortinas podem ser classificadas como cortinas sem ancoragem (cantilever) e cortinas ancoradas. Por sua vez, as cortinas ancoradas podem ser subdividas em cortinas de extremidade livre ou de extremidade fixa, de acordo com a profundidade de penetração da estaca prancha no solo (ficha), resultando esta diversidade, em diferentes métodos de cálculo, como veremos adiante.
Para o cálculo das cortinas admite−se geralmente as seguintes hipóteses simplificadoras: distribuição hidrostática das pressões ativas e passivas, similar às teorias clássicas de distribuição de empuxo do solo sobre estruturas de contenção. ângulo de atrito entre o solo −cortina é considerado nulo flexibilidade da cortina negligenciada. ~& :G `
e
¡¢R R£¤¡¦¥"R§G !¨G"©
São usadas para estabilizar pequenas alturas de solo. Em geral, são usadas como estruturas temporárias de suporte, podendo, no caso de solos arenosos e com pedregulhos, serem usadas como estruturas permantes. Uma cortina sem ancoragem resiste ao empuxo devido ao seu engastamento no solo e, portanto, é necessário existir um comprimento mínimo de embutimento da estaca no solo, abaixo do fundo da escavação, que garanta o equilíbrio, com margem de segurança adequada. A estabilidade de uma cortina de estaca prancha sem ancoragem ou em balanço é somente devido à resistência passiva desenvolvida abaixo da superfície do terreno e do mesmo lado da escavação. O modo de ruptura é por rotação no entorno do ponto o, conforme mostra a fig. 5.20a, consequentemente, a resistência passiva atua tanto na frente da cortina, acima do ponto o, como na parte posterior da cortina, abaixo do ponto o (fig 5.20b). Em geral, adota−se para projetos uma simplificação (fig 5.20c), assumindo−se que a resistência passiva abaixo do ponto o é representada por uma força concentrada Ep2 agindo no ponto o, ou seja, na profundidade f abaixo da superfície do terreno, do lado da escavação. O comprimento da ficha (f) é determinada fazendo somatário dos momentos no ponto o igual a zero. Desta forma teremos, para um solo não coesivo (c=0): M oª 0
Ep1
f h« f ª Ea 3 3
Substituindo na eq. 5.30, os valores de Ea e Ep1 teremos:
(5.30)
133
1 kp 2¬ ¬ ¬
f2 ¬
f 1 ka ª 3 2¬ ¬ ¬
h« f
2
¬
h« f 3
3¯
kp ® f
ka ® h ° f
3±
(5.31)
0
H Ea
Ea
Ep1
Ep1
f
O
Ep2
Ep 2
(a)
O
(b)
(c)
Figura 5.20 – Cortina de estaca prancha sem ancoragem − Solo não coesivo
O comprimento teórico da ficha (f) é obtido resolvendo a eq. 5.31, que é uma equação do 3o grau. A favor da segurança, aconselha−se adotar o valor final da ficha 20% maior que o calculado, assim teremos: (5.32)
f final ª 1,2 f ¬
Caso o solo a ser contido apresente coesão e ângulo de atrito (c ≠ 0, φ ≠ 0), isto conduz a um diagrama de pressões como o apresentado na fig. 5.21. Desta forma, cabe ressaltar que, aqui são válidas todas as considerações já mencionadas no cálculo de tensões horizontais conforme prevê as teorias clássicas. Outro ponto digno de nota, é referente à presença de nível d’água. Caso o nível de água esteja na mesma posição nos dois lados da cortina, a distribuição de pressão neutra será hidrostática e balanceada, consequentemente, poderá ser desconsiderada para fins de cálculo. Caso contrário, isto é, a água esteja apenas um lado da cortina. o efeito do empuxo hidrostático deve que ser considerado. ²
2c³ ka
zo h 2c ³ kp
O
Ea
f Ep1 ´
³ f³
kp µ 2c³ kp
Ep2 O
´ ³
hµ f ³ ka² 2c³ ka
Figura 5.21 – Cortina de estaca prancha sem ancoragem − Solo com coesão e ângulo de atrito. ¶&·¸·¹· ºF·»¼:½¾G¿ ÀÁ`ÂeÃ,Àļ:½Á`ÅNÁRÂ
134
A utilização de ancoragens, permite uma redução das deformações laterais, dos momentos solicitantes e da profundidade de cravação da estaca. Pode ser utilizado uma ou mais linhas de tirantes. De uma maneira geral, as estacas prancha são cravadas no solo até a profundidade fixada em projeto e em seguida procede−se a escavação em estágios, quando vão sendo colocados os elementos de suporte adicionais (estroncas, tirantes, etc). A estabilidade das cortinas ancoradas é devido à resistência passiva desenvolvida na frente da estaca e devido a força de ancoragem do tirante. Existem dois métodos clássicos de cálculo de cortinas ancoradas, que são: cortinas de extremidade livre (fig. 5.22a) ou de extremidade fixa (engastada) (fig. 5.23a). Cada um destes métodos será apresentado a seguir. ÁÆ©I»Ç¼:½¾G¿ ÀÁRÂyÅhÈHÈɤ¾½ÈÊË¿ ÅÌÁ`ÅhÈeÍ!¿Î`½È
Para o cálculo, admite−se que as estacas correspondem a vigas verticais sobre dois apoios, sendo um a ancoragem e o outro a reação do solo na frente da ficha. Nesse método de analise é assumido que a profundidade de embutimento da estaca, abaixo do nível da escavação, é insuficiente para produzir a fixação da mesma. Dessa forma, a estaca é livre para girar na parte inferior e o diagrama de momento obtido tem a forma apresentada na fig. 5.22b. O modo de ruptura é por rotação em torno do ponto de aplicação da ancoragem (T) e em projetos é essencial assegurar que os momentos estabilizantes disponíveis excedam os momentos instabilizantes, por uma margem de segurança adequada.
h1
h1
T
T
h
T
h Ea
f
Ep
f
O
O
O
(a) (b) (c) Figura 5.22 – Cortina de estaca prancha ancorada − extemidade livre. A profundidade de embutimento da estaca, ou seja, a ficha, é determinada fazendo o somatório dos momentos, em relação ao ponto de aplicação da ancoragem igual a zero. Assim, para um solo não coesivo, temos: MTª 0
Ep
2 f« 3¬
h Ï h1 ª
Ea
2 h« f 3¬ Ï
h1
(5.33)
Substituindo−se na eq. 5.33, os valores de Ea e Ep, chegaremos a uma equação de 3o grau, que resolvida, nos permite encontrar o valor da ficha (f). Uma vez determinada a ficha, a força no tirante pode ser calculada, visto que a soma algébrica das forças horizontais deve ser igual a zero. Assim, temos: Fhª 0
T « E pÏ Eaª 0
(5.34)
135
Neste caso, também se recomenda acrescer o valor da ficha calculado de 20%. Ð ©E»¼:½¾G¿ ÀÁ`ÂeÅhÈHÈGɾ½ÈÊË¿ ÅNÁRÅhÈÒÑ¿É`Á
Este método de análise é utilizado quando a parte cravada da cortina é suficiente para considera−la engastada no terreno. Assim, para efeito de cálculo, considera−se a estaca apoiada no topo (ponto de aplicação de T) e engastada na extremidade inferior, ponto a (fig. 5.23a). Para tanto, é preciso que os pontos a e T sejam o mais rígidos possíveis. Na prática, isto é conseguido por meio de uma ancoragem adequada, no ponto T e, no ponto a, fazendo as pressões ativas iguais às pressões passivas (ppa=paa). Desta forma, obtém−se o valor de x: xª
ppa ª pa a
¬
T
pb kp Ï ka
(5.35)
h1
T h
h
pb
b
x
x f y
c
f
a
Pp . a
y
Pa f R .g
O
e
a)
d
O (b)
Figura 5.23 – Cortina de estaca prancha ancorada − extemidade fixa. Como pode ser observado na fig. 5.23, os empuxos abaixo do ponto a, isto é, referente ao trecho y, não podem ser obtidos, uma vez que y é uma incógnita. Assim adota−se uma simplificação, a qual consiste em admitir a existência de uma força resultante R, na linha do apoio a, que equilibre o sistema, (empuxos passivos e ativos no trecho oa). A força R atua no centro de rotação a, não influindo, portanto, no equilíbrio de momentos. Dessa forma, tomando−se somatório dos momentos em relação ao ponto de aplicação de R igual a zero, obtém −se o esforço no tirante (T). Em seguida, fazendo−se equilíbrio das forças horizontais, encontra−se o valor de R, conforme mostra a eq. 5.36. T « R«
Ep ª
Ea
(5.36)
A estabilidade do ponto a é assegurada aprofundando−se a cravação da estaca no solo de um valor igual a y, o qual pode ser determinado pela eq. 5.37, a qual é obtida tomando−se somatório dos momentos devido à força R e aos empuxos passivos e ativos no trecho oa.
yª
¬
6R kp Ï ka
(5.37)
136
O comprimento da ficha é dado pela eq. 5.38. É conveniente aumentar este valor de 20 a 40%. (5.38)
f ª x« y ¶&·¸· Ó>·ÔÂÄÁ`ÎRÁ`ÕÖNÈÂ×ÈÔÂļ:½Á`ÊËÈÀy¾¼ Â
As escavações com escoramentos são normalmente utilizadas em obras subterrâneas (metrôs, galerias, túneis), valas para instalação de sistemas de águas pluviais, esgotos, adutoras e sub−solos de edifícios. Os escoramentos compõem−se, de um modo geral, dos seguintes elementos: paredes, longarinas, estroncas e tirantes (fig. 5.24). Parede é a parte em contato direto com o solo a ser contido, podendo ser formada por materiais como madeira, aço ou concreto. As paredes podem ser flexíveis ou rígidas. No primeiro tipo enquadram−se as cortinas de estacas prancha e similares e no segundo as paredes diagrama. Longarina é o elemento linear, longitudinal, em que a parede se apóia. Estroncas ou escoras são elementos de apoio das longarinas. Dispõem−se, portanto, no plano vertical das longarinas, sendo perpendiculares às mesmas e podem ser constituídas de barras de madeira ou aço (fig. 5.24a). E sco ras o u e stron ca s
Escoras inclinadas
V ig a de solida rizaç ão
(a)
(b)
Tirante
Ancoragem
(c) Figura 5.24 – Escoramento de escavações. As estroncas são elementos submetidos à compressão e ao peso próprio. Em escavações estreitas, os momentos devidos ao peso próprio são pequenos, porém em escavações largas isso pode ter grande interferência, sendo necessário pensar em apoios e
137
contraventamentos para essas estroncas, o que diminui o espaço útil dentro da escavação. Nestas situações, tem−se utilizado tirantes ancorados no terreno (fig. 5.24c). Outra alternativa mais simples, consiste na colocação de escoras inclinadas e apoiadas no fundo da escavação. (fig. 5.24b). Tirantes são elementos lineares introduzidos no maciço contido e ancorados em profundidade por meio de um trecho alargado, denominado bulbo, os quais trabalham a tração (fig 5.24c) Uma vez definido o tipo de parede, deve−se definir o tipo de escoramento a empregar. O mais comum é utilizar estroncas, porém devido a problemas tais como largura da vala, circulação interior e deslocamentos da parede pode−se optar por tirantes ancorados no solo. A conjugação de perfis metálicos (H ou I) com pranchões de madeira, suportados por estroncas a diferentes profundidade, é um dos tipos de escoramento flexível mais utilizado. Na fig. 5.25, estão apresentados, em planta e corte, esquemas de implantação desse tipo de estrutura de arrimo.
Figura 5.25 – Escoramento com estaca e pranchões de madeira. Modificado de Gaioto, 1993. Como visto, o escoramento é normalmente usado para suportar as paredes das escavações, sendo a estabilidade assegurada por meio de estacas ou escoras agindo transversalmente a escavação (figs 5.24 e 5.25). A estaca é, inicialmente, cravada no terreno. Em seguida, inicia−se a escavação, que prossegue até a colocação do primeiro nível de estroncas. Quando o primeiro nível de estroncas é instalado, a profundidade da escavação é ainda pequena e, as deformações da massa de solo são praticamente nulas, portanto, o estado original de tensões permanece praticamente inalterado (repouso). Ao prosseguir a escavação até a profundidade do segundo nível de estroncas, a rigidez da primeira estronca impede os deslocamentos da parte superior do escoramento, porém a profundidade da escavação gera esforços laterais suficientes para provocar um deslocamento dos perfis para dentro da escavação (fig. 5.26a). Á medida que a escavação continua, mais se acentuam os deslocamentos, de forma que quando se atinge o fundo da vala, o estado do escoramento se encontra na posição AB‘ (giro em torno do topo) e normalmente nos níveis inferiores, esses deslocamentos são suficientes para mobilizar a situação de equilíbrio plástico ativo de Rankine. Assim, nos escoramentos, temos uma situação de equilíbrio elástico, próximo à superficie, e uma situação de equilíbrio plástico, a maiores profundidades e os diagramas de
138
esforços laterais têm uma forma diferente da especificada nas teorias tradicionais (fig. 5.26b). Na parte superior desenvolvem−se pressões que mais se aproximam do repouso (portanto mais elevadas), resultando um diagrama teórico de forma parabólica, por conseguinte, com o máximo aproximadamente no centro da altura da parede. Esse fenômeno de transferência de pressões de um nível que passou pela condição de ruptura, para outro nível adjacente, é conhecido como arqueamento.
A 1 2 3
B‘
B
(a) (b) Figura 5.26 – Distribuição das pressões laterais resultantes das deformações de uma vala escorada.
Como pode−se observar, as condições de deformação da teoria de Rankine não são satisfeitas e, portanto, essa teoria não pode ser usada para o cálculo de esforços laterais em valas escoradas. Segundo a teoria de Rankine, a pressão lateral sobre uma estrutura de contenção varia linearmente com a profundidade. Entretanto, os resultados obtidos da instrumentação instalada em escoramentos de valas tem demonstrado, frequentemente, que as maiores pressões ocorrem à meia altura, e às vezes, na parte superior dessas estruturas. A interpretação dessas medidas indica que distribuição de tensões está diretamente relacionada com as deformações sofridas pela estrutura de arrimo durante o processo construtivo. Interferem nessas deformações o tempo decorrido entre a escavação e a colocação das estroncas, a forma de colocação das estroncas e as variações da temperatura. O procedimento usual para avaliação dos esforços laterais em escavações com escoramentos é semi−empírico, sendo baseado em medidas de cargas que atuavam nas estroncas, em grande número de escavações feitas em areia e argila. A partir dos esforços medidos, criaram−se diagramas para vários tipos de solos. Tais diagramas fornecem, geralmente, valores conservadores. Os diagramas de esforços laterais no solo mais utilizados são devidos a Therzaghi & Peck (1967), em que os carregamentos são em função do tipo de solo, conforme mostrado na fig. 5.27. Observar que os diagramas aparentes apresentados referem−se exclusivamente aos esforços devido ao solo. Havendo água e/ou sobrecarga a sua contribuição também deve ser levada em conta. O esforço lateral em solos arenosos, segundo Terzaghi & Peck, apresenta uma distribuição uniforme e constante e vale 0,65 vezes o valor obtido pela teoria de Rankine (0,65.ka.γ.h). Já em solo argiloso, o comportamento da escavação depende do valor do número de estabilidade (N= γ.H/c), onde c é a coesão da argila adjacente à escavação. Se o número de estabilidade é menor que 4 (N<4), a argila adjacente à escavação deve estar em equilíbrio elástico e para essa condição, Terzaghi & Peck recomendam a utilização do diagrama da fig.5.27b . Se N>4, uma zona de plastificação pode ser esperada próxima da base da escavação e o diagrama da fig. 5.27c deve ser usado. Em geral o valor de m na fig. 5.27c
139
deve ser tomado como unitário (um), entretanto, em casos de argilas moles normalmente consolidadas m=0,4 (isto quando γ.h/c >4). AREIA
ARGILA RIJA FISSURADA
ARGILA MOLE A MÉDIA
0,25 H
H
H
0,50 H
0,25 H H
0,75 H
0,25 H 0,2 a 0,4. γ. H
0,65 ka. γ. H
4c ’ k Ø 1Ù m Ú H
K‘ γ. H
(a) (b) (c) Figura 5.27 – Diagrama de esforços laterais para dimensionamento dos elementos de escavações escoradas. No dimensionamento estrutural dos perfis, pode−se considera−lo como uma viga contínua com a parte superior em balanço e intermediariamente apoiado nas estroncas e a parte inferior em balanço ou com as condições de apoio determinadas pela profundidade de embutimento do perfil (ficha). Um processo rápido para determinação dos esforços sobre as estroncas está representado na fig. 5.28.
Pb
1o. apoio
Pa
li
apoio (i) . li/2 ln
. ln/2
lj . lj/2 apoio (u) lu . lu/2
P
Pb, Pa, P, Q, Qu... resultantes das forças devido às tensões nas áreas indicadas
Q Qu
Forças nas estroncas na primeira: P1 = Pb+Pa na intermediária: Pi = P na última: Pu = Q/2+Qu
Figura 5.28 – Processo simplificado para determinação dos esforços nas estroncas. ¶&·¸· Ó>·Û ·ÔǾÁ Ð ¿ Í!¿ ÅÌÁ`ÅhÈÅNÁRÂyÔÂÄÁRÎ`ÁRÕÖÈÂeÔÇÂļ:½Á`ÅNÁRÂ
Além do cálculo estrutural das partes componentes do escoramento, é necessário realizar verificações, tais como: profundidade de embutimento da ficha, estabilidade do fundo da escavação (levantamento e piping), escorregamento de todo o sistema, deslocamento da parede. a) Verificação da ficha
140
Os perfis metálicos com pranchões de madeira, não constituem, abaixo da escavação, uma parede contínua como as estacas prancha. A resistência mobilizada pela ficha (f) se concentra em torno dos perfis, que são cravados isoladamente, dessa forma, é necessário verificar o empuxo passivo disponível para garantir o apoio do perfil. Uma forma de cálculo proposta por Weissenbach, considerando perfil com aba bo =30cm e espaçamento entre perfis L>1,50m, é dada pelas expressões: E p ª 7,0 f 2 (para areia úmida de densidade média) E p ª 3,5 f
2
(para areia submersa de densidade média)
(5.39) (5.40)
Para outros tipos de solos, outras larguras de aba e espaçamento entre estacas inferiores a 1,50m, deve−se utilizar fatores de correções nas fórmulas acima (f1, f2 e f3): f1 (correção devido ao solo): 2,0 − Margas em blocos (c>10kN/m2) 1,5 − Areia (Dr >70%) 0,6 − Silte e argila f 2ª
b (b= largura da aba do perfil − cm) 30
f 2ª
L (L= espaçamento entre perfis − m) 1,5
Na verificação da ficha procura−se um fator de segurança mínimo de 1,5. b) Ruptura do fundo Este mecanismo de ruptura normalmente tem maior importância quando o fundo da escavação se encontra em argila mole, não se revelando condicionante de projeto para outros tipos de solo. O mecanismo de ruptura associado a este fenômeno pode ser assemelhado a ruptura de fundação direta, que está esquematizado na fig. 5.29.
Figura 5.29 – Estabilidade do fundo da escavação. Modificado de Caputo, 1981. Nestes casos, o coeficiente de segurança da vala com relação ao mecanismo de ruptura de fundo pode ser obtido através da comparação do carregamento do lado externo da vala
141
com a capacidade de carga do solo calculada, por exemplo, através da teoria geral de capacidade de carga de Terzaghi. Para as condições da fig. 5.29, o coeficiente de segurança é dado por: Fs ª
c Nc ¬
¬
H« q
(5.41)
onde Nc pode ser obtido conforme sugerido por Skempton e que está apresentado na fig. 5.30.
q
H
B
Figura 5.30 Fatores de capacidade de carga segundo skempton. Modificado de Caputo, 1981. É importante ressaltar que a ficha da parede de contenção tem atuação favorável no sentido de aumentar o coeficiente de segurança contra a ruptura de fundo, uma vez que esta aumenta a estabilidade pelo acréscimo de sobrecarga. Em solos arenosos, em presença de água, o fluxo para dentro da escavação, pela base, tenderá a promover o aparecimento de areia movediça. Há necessidade, portanto, de impedir que as pressões neutras geradas superem o peso total de solo no fundo da escavação. O controle da percolação de água, o aumento da ficha e a colocação de filtros são medidas que auxiliam a garantir a estabilidade do fundo da escavação. c) Estabilidade geral A estabilidade de todo o sistema pode ser calculada por qualquer método de cálculo de equilíbrio limite, normalmente empregado para avaliação da estabilidade de taludes. Nos casos normais os valores mais aceitos para o coeficiente de segurança são 1,3 para obras provisorias, e 1,5, para obras permanentes.
¶&·¸· Ó>· ºF·ÔÇÂÄÁRÎ`ÁRÕÖÈÂeļ ʦ¾ÁÍ ÜNÅhÈÂ
142
Nas escavações a céu aberto, é sempre mais econômico prever a execução de taludes sem ou com bermas do que paredes verticais escoradas ou ancoradas, levando−se sempre em consideração a resistência ao cisalhamento do solo. A tabela 5.3 apresenta algumas indicações sobre as inclinações admissíveis do talude, em função da profundidade da escavação e das características do solo (peso específico, ângulo de atrito e coesão). Tabela 5.3 − Sugestões de inclinações admissíveis de taludes sem escoramentos. γ (kN/m3)
Solo
Areia muito fina
φ (graus)
18
Silte
22,5
20
Argila mole
20
19
Argila rija
15
20
10
Coesão (kPa)
Profundidade da escavação (m)
Inclinação do talude
10
0,0 − 3,0 3,0 − 6,0 6,0 − 9,0 9,0 − 12,0 12,0 − 15,0
1:1,5 1:1,75 1:1,9 1:2,2 1:2,5
15
0,0 − 3,0 3,0 − 6,0 6,0 − 9,0 9,0 − 12,0 12,0 − 15,0
1:1,5 1:1,5 1:1,8 1:2,15 1:2,5
25
0,0 − 3,0 3,0 − 6,0 6,0 − 9,0 9,0 − 12,0 12,0 − 15,0
1:1,5 1:1,5 1:1,5 1:1,8 1:2,4
35
0,0 − 3,0 3,0 − 6,0 6,0 − 9,0 9,0 − 12,0 12,0 − 15,0
1:1,5 1:1,5 1:1,5 1:1,8 1:2,6
ÝÌÞßNÞ àhÞ áNÞâäãå æ"ç7è`é7ê.é7ë é7ì@íãî.ï!ê.ðëIé7ì&ç7ñ0ëIòó"ðë:ô ë:õö:å
A escavação em solos permanece verticalmente, sem suporte, até que a profundidade atinja a chamada profundidade crítica (Hcr). Supondo que a ruptura ocorra segundo uma superfície plama, a altura crítica é dada por: Hcr ª
4c
÷
tg 45 «
2
(5.42)
No caso de solo puramente coesivo (φ=0°), a altura crítica resulta em: Hcr ª
4c
(5.43)
De acordo com Terzaghi, a altura crítica será:
143
Hcr ª
2,67c
÷
tg 45 «
2
(5.44)
Para solo argiloso (φ=0°), tem−se: Hcr ª
2,67c
(5.45)
144
6. ESTABILIDADE DE TALUDES ¸&·ÛÆ·7øhÀy¾½¼ ÅNÜNÕùR¼
As superfícies de terrenos não horizontais, conhecidas genericamente como taludes, podem ser agrupadas em duas categorias: taludes naturais (aqueles formados pela ação da natureza, sem interferência humana, denominados genericamente de encostas), ou artificiais (formados ou modificados, pela ação direta do homem, com por exemplo os taludes de corte e aterro). Graças ao desnível existente no terreno, estes taludes são submetidos a forças gravitacionais e eventualmente de percolação, que tendem a mover o solo para baixo, instabilizando−o. Quando a resistência do solo não é suficiente para conter a ação destas forças instabilizantes, uma parte do terreno passa a se mover em relação a outra, ocorrendo a ruptura. De acordo com a velocidade de movimento da parte do solo instável, os movimentos de terra podem ser classificados em: rastejo, escorregamento e desmoronamento. Os rastejos são movimentos bastante lentos e contínuos que ocorrem nas camadas superficiais do maciço, não ocorrendo necessariamente uma ruptura clássica, com separação das massas estável e instável do solo. Os movimentos devido ao rastejo são geralmente da ordem de alguns milímetros por ano, mas são capazes de provocar encurvamento em árvores, deslocamento de cercas, rupturas de tubulações ancoradas na superfície do terreno, etc. A velocidade de rastejo é afetada por diversos fatores, tais como, a geometria do talude, as características tensão−deformação do solo, e as condições de umidade do solo, que por sua vez são afetadas pelo clima da região. Já os desmoronamentos são movimentos rápidos, resultante da ação da gravidade sobre a massa de solo que se destaca do restante do maciço e rola talude abaixo, acumulando−se no pé da encosta. Os escorregamentos, por sua vez, são movimentos que podem ser lentos ou rápidos e procedem do deslocamento de uma cunha de solo que se movimenta em relação ao resto do maciço, segundo uma superfície de ruptura bem definida. A fig. 6.1 ilustra os tipos mais importantes de superfície de escorregamento. A forma da superfície de ruptura pode ser circular ou não circular, quando em presença de solo homogêneo e não homogêneo, respectivamente.
Superfície circular
Superfície plana
Superfície composta
Figura 6.1 − Tipos de superfícies de ruptura.
145
ú
ú
ú
ú
Taludes íngremes geralmente apresentam superfícies de ruptura plana, enquanto que taludes suaves escorregam segundo superfícies cilíndricas. A presença de um extrato com resistência significativamente diferente, como por exemplo a ocorrência de um extrato de solo mole, ou de um contato rocha−solo, ou mesmo as estruturas herdadas da rocha mãe pelo solo podem condicionar a forma e a posição da superfície de ruptura. Os escorregamentos de taludes são normalmente causados por uma redução da resistência interna do solo que se opõe ao movimento da massa deslizante e/ou por um acréscimo das solicitações externas aplicadas ao maciço. Dessa forma, pode−se dizer que os escorregamentos podem ocorrer devido a ações externas, internas ou mistas. As ações instabilizantes externas são aquelas que alteram o estado de tensão atuante sobre o maciço, como por exemplo o aumento da inclinação do talude, disposição de material ao longo da sua crista e os efeitos sísmicos. Estas alterações podem resultar num acréscimo de tensões cisalhantes que igualando ou superando a resistência intrínseca do solo levam o maciço à condição de ruptura. As ações internas são aquelas que atuam reduzindo a resistência ao cisalhamento do solo constituinte do talude sem mudar o seu aspecto geométrico. Estas causas podem ser, por exemplo, o aumento da pressão na água intersticial ou o decréscimo da coesão do solo, causado pela continuação do processo de intemperismo ou pelo aumento do seu grau de saturação (redução da coesão aparente do solo). O fenômeno de liquefação das areias e a erosão interna do maciço são chamados de causas intermediárias, pois não se enquadram em nenhuma das duas categorias descritas anteriormente. A ação da água tem sido uma das maiores responsáveis na ocorrência de muitos escorregamentos de taludes. Ao infiltrar em um maciço de terra, a água, pode produzir os seguintes efeitos potencializadores da ocorrência de deslizamentos de terra: introdução de uma força de percolação, no sentido do escorregamento; aumento do peso específico do solo e, portanto, da componente da força da gravidade que atua na direção do escorregamento; perda de resistência do solo por encharcamento; diminuição da resistência efetiva do solo pelo desenvolvimento das pressões neutras; Além da água, outro agente importante na instabilização de taludes é a ação antrópica, que pode alterar a geometria dos taludes, realizando cortes, escavações e aterros, perfurando túneis, alterando a cobertura vegetal, etc. Os taludes podem eventualmente por si só manterem suas conformações geométricas estáveis. Em caso negativo, contudo, será necessário estabilizá−los. Isto requer a construção de obras que vão desde uma simples mudança em sua geometria (retaludamento), incluindo− se, por vezes, bermas, que além de alterar a forma geométrica permitem fazer a drenagem superficial do maciço, até obras de contenção, abrangendo os muros de arrimo, placas de ancoragem, os escoramentos, etc. Nos projetos de estabilização o fundamental é atuar sobre os mecanismos instabilizadores, eliminando as causas com obras ou medidas para melhorar a segurança. Se a ação instabilizadora é a percolação de água no maciço, devem ser convenientes obras de drenagem profunda e/ou impermeabilização a montante do talude. Os efeitos de erosão podem ser combatidos adotando proteção vegetal com gramíneas e rede de drenagem superficial com canaletas, descidas d‘água, linhas de declive, etc. Se o deslizamento ocorrer por efeito das forças gravitacionais, o retaludamento deve ser a primeira opção a ser pensada. Nas obras de estabilização é importante considerar também as soluções mais simples, às vezes, elas são as mais adequadas. As obras mais caras só se justificam quando o processo de instabilização não pode ser controlado pelas obras mais simples ou quando as condições geológicas e geotécnicas obrigam a utilização de obras mais complexas.
146
A segurança de um maciço é usualmente quantificada através de um número, o qual é denominado fator de segurança (FS). Através deste número, busca−se determinar a razão entre a resistência ao cisalhamento disponível (s= c+ σ tg φ) e os esforços atuantes ao longo da superfície potencial de ruptura, ou seja: FS û
Resistência disponível Esforços atuantes
(6.1)
A resistência disponível na superfície de ruptura pode ser explicitada através das forças resultantes da coesão e atrito do solo, produto dos parâmetros de resistência pela área (A) da superfície provável de ruptura. Como veremos, alguns métodos de cálculo de estabilidade atestam o equilíbrio dos taludes através da somatória de forças que atuam sobre eles, assim temos: FS û
FR FA
(6.2)
Já em outros métodos, o FS é obtido através da razão entre os momentos devido as forças que atuando sobre a cunha tendem a mantê−la em equilíbrio (MR) e o momento das forças que tendem instabilizá−la (MA). Esses momentos são tomados em relação a um ponto situado fora do talude. FS û
MR MA
(6.3)
Um maciço com fator de segurança igual à unidade está na condição de equilíbrio limite, ou seja, os esforços atuantes são iguais à resistência disponível. Em outras palavras, este maciço está na iminência de ruptura. Por outro lado, do ponto de vista conceitual, taludes com fator de segurança acima da unidade são seguros e abaixo da unidade “deveriam” ter rompido. É importante ressaltar que tanto a quantificação da resistência do maciço como a quantificação dos esforços atuantes admitem simplificações e erros. Como o problema admite erros, deve−se trabalhar a favor da segurança. Dessa forma, a fração do fator de segurança que ultrapassa a unidade é um artifício para substituir as incerteza e fenômenos que não possam ser levados em conta na análise. O cálculo da estabilidade dos taludes de terra pode consistir, por exemplo, na determinação do ângulo de inclinação sob o qual o talude mantém−se em equilíbrio plástico, logicamente considerando as condições peculiares de cada talude e a influência das pressões neutras provenientes da submersão, percolação, adensamento ou deformações de cisalhamento. Isto se dará, se em todos os pontos do maciço taludado, as tensões de cisalhamento igualarem as resistências ao cisalhamento. O talude existente será considerado estável se o seu ângulo de inclinação for menor, dentro de certa segurança, que o talude de equilibrio calculado; e instável no caso contrário.
ü&ý þ>ýÿ
As análises da estabilidade de um talude são usualmente realizadas segundo a abordagem do equilíbrio limite, que é uma ferramenta da teoria da plasticidade para análises de corpos rígidos que admite como hipóteses:
147
Existência de uma superfície de escorregamento de forma conhecida (plana, circular, espiral−logarítmica ou mista), que delimita, acima dela, a porção instável do maciço. Esta massa de solo instável, sob a ação da gravidade, move−se como um corpo rígido; Emprego do critério de resistência de Mohr−Coulomb ao longo da superfície de ruptura pré−fixada; As análises de estabilidade são feitas no plano, considerando−se uma seção típica do maciço situada entre dois planos verticais e paralelos de espessura unitária. Estuda−se o equilibrio da porção do solo acima da superfície de ruptura pré fixada, assumindo −se os valores das forças atuantes e calculando−se a força de cisalhamento resistente necessária. Esta força necessária é comparada com a resistência ao cisalhamento disponível, o que resulta num coeficiente de segurança. Para que ocorra a ruptura é necessário que a soma das forças (ou dos momentos), que tendem a produzir o escorregamento, superam ou igualem a soma das forças (ou dos momentos) resistentes, devidas à resistência ao cisalhamento do solo ao longo da superfície em análise. Apresenta−se nos próximos itens os principais métodos de análise de estabilidade de taludes desenvolvidos a partir dos conceitos de equilíbrio limite. A maioria desses métodos quantificam o fator de segurança ao longo de uma dada superfície por uma função de cálculo e, através de um algoritmo de busca, localiza a superfície de menor FS.
! " # %$ &
ü&ý þ>ý Fÿ
Um talude é considerado infinito quando a relação entre as suas grandezas geométricas, extensão e espessura, for muito grande. Nestes taludes, a superfície de ruptura é admitida como sendo paralela á superfície do terreno. Para analisar a estabilidade de um talude considerado infinito (fig. 6.2), inclinado de um ângulo i com a horizontal e profundidade h, consideremos um elemento isolado desse talude e as tensões que atuam sobre as três faces deste elemento.
NT b C
h w =h 1 .cos 2 (i)
A
W
Fd
.i Fe h1
h
D B
T N bo
U
Figura 6.2 − Talude infinito com percolação de água. O nível de água é paralelo á superficie do terreno. Assim, quando há percolação de água através do maciço, assume−se uma rede de percolação constituída de linhas de fluxo paralelas ao talude e as equipotenciais perpendiculares à ele. As forças nas duas faces verticais são iguais e se equilibram, pois se assim não fosse, as tensões em planos verticais dependeriam da posição ao longo do talude, o que seria contrário à hipótese de que todo o
148
talude se move como uma só massa. Assim, somente as tensões na face BD, devem ser consideradas, juntamente com o peso, no equilibrio do elemento de solo. As tensões induzidas pelo peso da cunha ABDC sobre a face BD tem como força resultante W, que atua verticalmente no ponto médio do segmento BD. A esta força se opõe a reação do resto do maciço sobre a cunha, R, que por ser a única força vertical deve ter o mesmo ponto de aplicação de W. As forças de empuxo lateral (Fe e Fd), são iguais e tem a mesma linha de ação. Para o elemento considerado temos:
Força peso:
' (*) b + h ) b)(
Wû
h h1
1
(6.4) sat
Componente normal da força peso:
)
N û W cos i
' ) (,) b + h ) b )-( ) cos i
û
h h1
(6.5)
sat
1
Componente cisalhante da força peso:
)
T û W sen i
' (.) b + h ) b)( ) sen i
û
h h1
(6.6)
sat
1
Tensão normal na base do elemento:
/
N BD
û
n
mas como,
BD û
b cos i
, então temos:
/ (.) b ) h ' h + h ) b)( ) cos i 0 .( ) h ' h + h ) ( ) cos b 2
n
1
û
sat
1
1
1
2
sat
(6.7) i
Tensão cisalhante na base do elemento, eq. 6.8:
1
T û BD û
(,) b) h ' h + h ) b) ( ) cos i ) sen i 0 ( h ' h + h ) ( b 1
sat
1
1
1
sat
)
cos i sen i
Pressão neutra na base do elemento:
(
u û
)
hw û h1 cos 2 i
w
ou
uû
( ) h ) cos w
1
2
(6.9)
i
As pressões neutras que atuam no elemento de solo ABCD estão representadas na fig. 6.2. Note−se que no elemento da fig. 6.2, a resultante dessas pressões na face AB é igual e oposta à face CD, restando apenas as pressões na face BD, cuja resultante vale:
)
U û u BD û mas como
( ) h ) BD) cos w
BD û
1
b cos i
2
i
(6.10)
, podemos escrever a eq. 6.11.
149
( ) h ) b) cos i
Uû
w
(6.11)
1
Resistência ao cisalhamento ao longo do plano de ruptura, em termos de tensão efetiva:
1
f
û
c’
+ / ' u ) tan 2
(6.12)
’
Para que ocorra o escorregamento é necessário que as tensões cisalhantes devido à força peso (τ) se iguale à resistência ao cisalhamento (τf) do solo ao longo de BD. Assim, podemos escrever:
FS û
1 1
f
û
c’
+ (,) h ' h + h ) ( ) cos i ' ( ) h ) cos i ) tan 2 (*) h ' h + h ) ( ) sen i ) cos i 2
1
2
sat
1
1
w
’
(6.13)
1
sat
1
Esta equação pode ser reescrita sobre a forma da eq. 6.14.
+ (*) h ) cos i ' .( ) h ) cos i + ( ) h ) cos i ' ( ) h ) cos i tan 2 (.) h ' h + h )( ) sen i ) cos i c (.) h ' h + ( ) h ) tan 2 (6.14) + (,) h ' h + h ) ( ) sen i ) cos i (.) h ' h + ( ) h ) tan i ’
FS û
2
c
2
2
sat
1
1
1
1
sat
’
’
FS û
sub
1
1
1
’
2
w
1
sat
1
sat
1
1
A equação acima é uma expressão geral que fornece o valor do fator de segurança para a situação mais completa. As soluções particulares podem ser obtidas a partir dela fazendo nulos os termos não participantes, ou substituindo adequadamente os termos. No caso de talude constituído de solo não saturado e com coesão, o γsub e γsat devem ser substituídos por γ. Após simplificações dos termos, obteremos a eq. 6.15. FS û
’
c h sen i cos i
(.) )
)
+
tan
2
’
tan i
(6.15)
No caso de solo não saturado e não coesivo (c’=0), então teremos o coeficiente de segurança dado pelo eq. 6.16. FS û
tan
2
’
(6.16)
tan i
No caso de solo saturado (nível de água coincidente com a superfície do terreno) e não coesivo (c’=0), o fator de segurança do talude será determinado pela eq. 6.17, obtida a partir das devidas substituições na eq. 6.14. FS û
( ) tan 2 ( ) tan i sub
sat
’
(6.17)
150
É importante observar que, nos casos de solo não coesivo (c’=0), o fator de segurança não depende da profundidade h. Na eq. 6.16, nota−se, também, que para ocorrer escorregamento é necessário que o ângulo de atrito do solo seja inferior ao do talude (φ < i).
354 674 698;:=<>@?>A?>ABCEDFB GIH>A?JKL<DNME<>
O método do círculo de atrito, ou método de Taylor, admite superfície de ruptura circular e analisa a estabilidade do corpo rígido formado pelo solo situado acima desta superfície. Traçando−se uma superfície potencial de ruptura circular com centro O e raio r (fig. 6.3), verifica−se que a cunha de ruptura, AEB, está sob a ação das seguintes forças:
Figura 6.3 − Método do círculo de atrito. Modificado de Caputo, 1981. • • •
força peso (W) da massa que tende a deslizar, com direção, sentido, módulo e ponto de aplicação conhecidos; força de atrito F, cuja direção faz um ângulo φ com a normal à superfície de deslizamento e portanto tangência um círculo de centro O e raio r.sen(φ). O módulo de F é desconhecido; força resultante da coesão do solo (C) que se desenvolve ao longo da superfície de ruptura e que constitui do produto da coesão do solo pelo comprimento do arco de AB, isto é C=c.L. A resultante C tem sentido de atuação conhecido e direção da corda AB. O ponto de aplicação dista do centro O de um valor a, determinado considerando−se a igualdade entre o momento resultante e o momento da resultante, dado pela expressão: aû r
) LcL
(6.18)
onde, Lc é o comprimento da corda AB.
151
Para haver equilíbrio, estas três forças devem concorrer em um mesmo ponto (M), interseção de W com C. Torna−se, assim, possível, pelo traçado do polígono de forças (W, F e Cm), determinar−se a força Cm e, conseqüentemente, a coesão cm necessária para que o talude esteja em equilíbrio. Comparando−a com a coesão existente c, tem−se fator de segurança em termos de coesão para o círculo estudado: FS c û
c cm
(6.19)
Pode−se, também, adotando um valor de φm menor que o φ do solo, definir um fator de segurança em relação ao atrito:
O
FS û
tan tan
2
2
(6.20) m
O fator de segurança para o círculo estudado é definido por um valor de FSc = FSφ. Deve−se ressaltar que para se definir o fator de segurança do maciço é necessário realizar uma busca da superfície crítica, a qual deve conduzir para o meno valor de F.S. possível para a configuração geométrica considerada. Utilizando um processo matemático de tentativas, Taylor, baseado no método do círculo de atrito, elaborou dois gráficos que correlacionam o número de estabilidade (N) com o ângulo de inclinação do talude. As hipóteses embutidas nas soluções apresentadas são: talude homogêneo e sem percolação de água (análise em termos de tensões totais), superfície de ruptura cilíndrica e envoltória de resistência do solo τ=c+σ tan φ. Os gráficos elaborados por Taylor são apresentados nas fig.s 6.4 e 6.5. Na fig. 6.4 temos o caso do círculo de ruptura passando pelo pé do talude, já na fig. 6.5, temos o caso de rupturas profundas em argilas moles (φ=0). O emprego destes gráficos é alto explicativo e existem esquemas indicando qual o caso a que pertence cada talude e quais as curvas que deverão ser utilizadas. Para a utilização do gráfico da fig. 6.4, calcula−se, primeiramente, o número de estabilidade (N), definido como: Nû
cm
(*) H
(6.21)
onde: cm é coesão mobilizada (cm=c/FS), c é a coesão do solo, γ é o seu peso específico do solo e H é a altura do talude. Com o número de estabilidade e com o ângulo de atrito do material, encontra−se no gráfico, o talude i estável. Pode−se, inversamente, a partir do talude existente e do ângulo de atrito disponível, calcular o valor de N’ necessário para a sua estabilidade. Se o valor de N disponível for maior que o N’ necessário a estabilidade do talude está assegurada. O gráfico da fig. 6.5 permite o cálculo da estabilidade de taludes em terrenos moles (caracterizados por φ =0, indicando a hipótese de carregamento rápido do solo, sem a possibilidade de dissipação das pressões neutras) e em duas situações definidas pelos esquemas apresentados ao lado deste gráfico. Se a superfície de ruptura for limitada por uma camada mais resistente a uma profundidade D+H, deverão ser utilizadas as linhas cheias do gráfico. No caso da superfície de ruptura passar pelo pé do talude, utilizam−se as linhas tracejadas. Quando a camada resistente encontra−se ao nível da base do talude ou acima, a superfície de ruptura passará acima do pé do talude. Neste caso, a solução pode ser obtida usando−se as curvas tracejadas.
152
Figura 6.4 − Gráfico de Taylor − Ruptura pelo pé do talude. Modificado de Venkatramaiah, 1993.
Figura 6.5 − Gráfico de Taylor − Rupturas profundas. Modificado de Caputo, 1985.
153
O método de Taylor fornece valores razoavelmente aproximados de fator de segurança para os casos em que as condições de campo se aproximam das condições idealizadas pelo método: solo homogêneo sem a presença de água. Para situações de campo mais elaboradas, com diferentes camadas e presença de água, deve−se lançar mão de métodos mais elaborados, como por exemplo o método das fatias, que veremos a seguir.
354 674 PQ8;:=<>@?>A?KRTSK< MEKR
Os métodos das fatias são os mais aplicados a problemas práticos, principalmente por sua flexibilidade em analisar problemas com diversas camadas de solos com propriedades diferentes, variação da resistência em uma mesma camada, diferentes configurações de pressão neutra, diversas formas de superfície de ruptura, etc. Estes métodos são assim denominados por dividirem a massa de solo acima da superfície de ruptura em fatias, como ilustrado na fig. 6.6, para efeito de integração numérica. Nesta figura, estão apresentados os esforços atuantes em uma fatia genérica e o equilíbrio de forças nessa fatia. Tais forças são: Peso total da fatia W; Força normal na base da fatia, N, (N=σ.bo). Em geral, essa força tem duas componentes, a força normal efetiva N’, (N’=σ’.bo) e força devida à pressão neutra U, U=u.bo, onde u é a pressão neutra no centro da base da fatia e bo é o comprimento da base; Força cisalhante na base da fatia T, (T = τi bo), onde τι é a tensão cisalhante na base da fatia e bo é o comprimento da base da fatia). Componente vertical da força lateral Xi, Xi+1 Componente horizontal da força lateral Ei, Ei +1. Como pode observar qualquer força externa pode ser incluída na análise de equilíbrio da fatia e a superfície de ruptura pode ter uma forma qualquer: circular (método de Bishop, Fellenius), mista (método de Janbu).
UWVXYV
Z []_^ ` [ \[ \ []_^ Z[
b
acb
h
Ni ‘
Ti
.boi
Figura 6.6 − Método das fatias: superfície de ruptura e esforços envolvidos. Modificado de Geo−Slope (1999). O fator de segurança é definido como a razão entre a tensão cisalhante de ruptura e a tensão cisalhante atuante na base de cada fatia. FS û
1 1
i
r
m
i
û
c’i
+ / ) tan 2 1 i ’ i
m
’ i
(6.22)
154
Note−se que a definição do fator de segurança envolve apenas os esforços na base da fatia, como pode ser observado na fig. 6.6. A maioria dos métodos das fatias admite o fator de segurança como constante ao longo da superfície de ruptura. Isto implica em considerar um valor de fator de segurança representativo da segurança de toda a superfície, ou seja, o valor do fator de segurança deve funcionar como uma espécie média. A divisão do maciço em fatias é apenas para facilitar o processo de integração numérica. Para determinar o valor do fator de segurança utilizam−se os fundamentos da estática, ou seja, o equilíbrio de forças nas duas direções e o equilíbrio de momentos, além do critério de ruptura de Mohr−coulomb. Para uma superfície potencial de ruptura qualquer, dividida em n fatias, o problema é indeterminado, pois tem−se 3n equações de equilíbrio e 6n−3 incógnitas, como apresentado a seguir: Equações
Incógnitas
n
equilíbrio de forças horizontais
n
força normal na base da fatia (N)
n
equilíbrio de forças verticais
n
força cisalhante na base da fatia (T)
n
equilíbrio de momentos
n
ponto de aplicação da normal (N)
n−1
força horizontal interfatias (Ei)
n−1
forca vertical interfatias (Xi)
n−1
ponto de aplicação de Ei
3n: equações
6n−3: incógnitas
Para resolução do sistema, adota−se geralmente as seguintes hipóteses: Caso a fatia seja suficientemente delgada, pode−se admitir o ponto de aplicação de N, no centro da base da fatia. Com isso passamos a ter 5n−3 incógnitas e 3n equações. A tensão cisalhante na base da fatia pode ser obtida em função dos parâmetros de resistência do solo e de um fator de segurança, conservado constante ao longo de toda a superfície de ruptura. Assim teremos mais uma incógnita (Fs) e mais uma equação (τ=c´+σ‘ tan φ‘), resultando em 5n−2 incógnitas e 4n equações. Existe uma relação entre os esforços normais e tangenciais nas laterais das fatias a qual pode ser definida por uma função f(x) multiplicada por uma constante, λ, que funciona como um tipo de fator de escala da função f(x), onde x indica a posição ao longo da superfície de ruptura: Xi Ei
ed ) f x û
(6.23)
onde, λ: constante relacionada com a inclinação das forças resultantes nas laterais das fatias; f(x): função empírica de modificação da inclinação das forças entre as fatias. Temos agora: n−1 equações e uma incógnita (λ), o que resulta em 5n−1 equações e incógnitas, fazendo portanto o sistema estaticamente determinado. Vários autores propuseram soluções para este problema adotando hipóteses simplificadoras diferentes, o que acabou resultando em diferentes métodos de análise, conforme veremos a seguir. Algumas destas soluções não atendem a todas equações de equilíbrio.
155
354 674 P 4fg8;:h< >@?>A?!JijJhHE JhkMGIR
Uma das primeiras soluções do tipo método das fatias foi proposta por Fellenius, o qual admitiu que as forças entre fatias são iguais e opostas, ou seja os esforços interfatias são desprezados. O fator de segurança é determinado diretamente pelo equilíbrio de momentos em torno do centro geométrico do círculo estudado. O equilíbrio de forças não é garantido. Consideremos o caso mais genérico de taludes com percolação de água. O valor da pressão neutra ao longo da superfície de ruptura é obtido traçando−se a rede de percolação e, em cada ponto desta superfície, toma−se o valor da carga piezométrica, hw. Após a divisão do maciço em fatias, pode−se determinar o peso (W) de cada fatia, que é decomposto em sua base, em uma força tangencial (T) e uma normal (N). Desprezando as forças laterais entre as fatias (E, X) pode−se determinar o equilíbrio de momentos em torno do centro geométrico do círculo. Desta forma, fazendo o equilíbrio de momentos resistentes temos (ver fig 6.6):
) + / ) tan 2 ) R
)
Mr û
bo c’
Tr Rû
’
’
û
R
) + ) 2
c’ bo N ’ tan
’
(6.24)
A eq. 6.24 envolve a força normal efetiva atuante na base da fatia, que é dada por: N
’
û
'
) l ' u ) bo
N U û W cos
(6.25)
Do equilibrio de momento devido às forças atuantes obtém−se: Ma û
)
Tm Rû R
)
) l
(6.26)
W sin
Sendo o fator de segurança de Fellenius dado pela relação entre momentos resistentes e atuantes, então podemos escrever a eq. 6.27. FS û
) + W ) cosW sinl ' l u) bo ) tan 2 )
{ c’ bo
’
}
(6.27)
Havendo qualquer esforço externo ao talude, como por exemplo uma sobrecarga ou uma berma em uma região que englobe a superfície de ruptura analisada, considera−se a sua interferência incluindo−o no somatório dos momentos, instabilizantes, Ma. No caso de maciços heterogêneos, constituídos de dois ou mais solos, considera−se os diferentes pesos específicos no cálculo do peso da fatia e utiliza−se para cada trecho da superfície de ruptura a envoltória de resistência ao cisalhamento do solo da base. A determinação do coeficiente de segurança é feita por tentativas, pesquisando−se uma série de círculos, com diferentes centros. Para cada centro, deve−se também calcular os coeficientes de segurança para diferentes raios. A pesquisa do centro do círculo que representa o coeficiente de segurança mínimo é feita considerando uma malha de pontos equidistantes, que permitem o traçado de isolinhas de igual coeficiente de segurança, em torno do valor mínimo (fig. 6.7).
156
1.757
Figura 6.7 − Busca da superfície crítica (F.S. mínimo). Modificado do Geo−slope (1999).
354 674 P 4 6m8;:h< >@?>A?!JnoMERNp!>rq O método proposto por BISHOP (1955), conhecido como método de Bishop simplificado, admite, para uma superfície circular, que não existem esforços cisalhantes interfatias (X), somente esforços normais (E), (ver Fig. 6.6). O fator de segurança é determinado tomando−se o somatório de momentos, em torno do centro geométrico do círculo estudado, e garantindo que este somatório seja igual a zero. O método garante ainda o equilíbrio de forças na vertical. Fazendo−se o equilibrio de momentos chega−se na eq. 6.28, idêntica à eq. 6.27, obtida do método de Fellenius,
) + W ) cosW sinl ' l u) bo ) tan 2 )
{ c’ bo
FS û
’
}
(6.28)
Para este caso, porém, o valor de N’ (N’= W. cosα−u.bo), utilizado no método de Fellenius, é substituído pelo valor obtido fazendo−se o equilibrio das forças na direção vertical. Assim temos: W
+ X' Xs i
i 1
û
) l + N ) cos l + u ) bo cos l
T m sin
’
(6.29)
sendo: Tm a força devido à resistência ao cisalhamento mobilizada, a qual é dada por: T mû
) + FS) 2
c’ bo N ’ tan
’
(6.30)
Substituindo a eq. 6.30 em 6.29 e rearranjando de tal forma a explicitar N’, obteremos a eq. 6.31.
157
+ X ' X s ' u) cos l + FSc ) sin l sin l ) tan 2 cos l + FS ’
W N
’
û
i
bo
i 1
(6.31)
’
Levando o valor de N’ na eq. 6.28 e considerando que b= bo. cos(α), após alguns rearranjos teremos a eq. 6.32.
) l )
) + W ' u) b + X ' X s ) tan 2 Mt
c’ b
FS û
1 W sin
i
’
(6.32)
i 1
onde, Mα é dado pela eq. 6.33 M
t û
cos
l +
l ) tan 2 FS
sin
’
(6.33)
Para a resolução da eq. 6.32 é necessário determinar os valores de Xi −Xi+1, o que pode ser feito por aproximações sucessivas, satisfazendo a condição Σ(Xi −Xi+1)=0. Este método é conhecido como método de Bishop rigoroso, pouco usado na prática. Como visto, no método rigoroso os esforços cisalhante interfatias são encontrados através de aproximações sucessivas, de forma a garantir que o somatório de forças cisalhantes e normais interfatias, ao longo de toda a superfície de ruptura, seja igual a zero. O método garantiria assim o equilíbrio de forças e de momentos. Um processo variante do método descrito acima, denomina−se de Método de Bishop Simplificado, o qual consiste em considerar (Xi −Xi+1)=0. Desta forma, a expressão geral para calculo do fator de segurança (eq. 6.32) pode ser reescrita sob a forma da eq. 6.34. FS û
) l )
1 W sin
) + W ' Mut) b ) tan 2
c’ b
’
(6.34)
Como o fator de segurança aparece em ambos os lados das equações 6.32 e 6.34, (Mα depende do fator de segurança), deve−se adotar um processo de aproximação sucessiva para se obter o valor correto de FS para o método de Bishop Simplificado. As análises são feitas atribuindo−se inicialmente um valor arbitrário a FS para o cálculo de Mα, o que vai resultar em um valor calculado de FS, geralmente diferente do arbitrado. Com este novo valor calcula−se Mα e assim procede−se sucessivamente até obter−se o valor final de FS igual ao arbitrado. O método converge rapidamente para uma solução única, de modo que, em geral, 3 ou 4 tentativas é suficiente para se obter um valor aproximadamente constante para FS. Como uma primeira estimativa do valor de FS, é comum adotar−se o valor obtido pelo método de Fellenius, ou seja: FS(Bishop, 1a interação)=FSFellenius. A fig. 6.8 permite a determinação gráfica de Mα, em função da inclinação de cada fatia, do ângulo de atrito do solo da base da superfície de escorregamento e do Fator de Segurança estimado para a superfície de escorregamento. Como procedimento prático recomenda−se dividir o talude em cerca de 10 fatias, a partir deste valor há pouco ganho na precisão e um considerável aumento dos cálculos. Cada par de valores, centro e raio de círculo hipotético, conduz a um valor de fator de segurança. O
158
valor critico de FS será obtido por tentativas, considerando−se o menor valor obtido para cada centro, no traçado das isolinhas de Fator de Segurança.
Figura 6.8 − Gráfico para determinação de Mα. Modificado de Gaioto, (1993) Desenhado o talude em escala, determina−se uma malha de centros potenciais; em seguida, escolhe−se um centro e um raio que determinarão uma superfície de deslizamento e calcula−se o fator de segurança para essa superfície. Mantendo−se o centro do círculo, adota− se um novo raio e determina−se um novo fator de segurança. Prossegue variando o raio até obter−se o FS mínimo. Escolhe−se um novo centro e repete−se os passos anteriores, até percorrer toda a malha desejada. Após a determinação dos valores mínimos de FS para cada centro, traçam−se curvas que unem os fatores de segurança iguais, com o objetivo de determinar a posição do centro que fornece o menor deles (ver fig 6.7). Devido a natureza repetitiva dos cálculos e necessidade de trabalhar com várias superfícies de ruptura, os métodos das fatias tornam−se particularmente adequados para solução por computador.
354 674 P 4 Pu8;:h< >@?>Av5qJ=k!B JhD
É um método que atende às condições de equilíbrio de forças e de momentos. O método de SPENCER assume que a inclinação das forças resistentes nas laterais das fatias é constante, isto é: f(x)=1 e λ≠0. O método de Spencer pode ser compreendido como um caso particular do método de MORGENSTERN & PRICE (1965) para a função f(x) constante, conforme veremos a seguir.
354 674 P 4 wm8;:h< >@?>AxyJhDNKH?!J*z{IGIMEH C|rDFME>A}~MME<J8;>@DNLJhkRF< JhDNk
DNMEBJ
O método Geral de Equilíbrio Limite (GLE − “General Limit Equilibrium Method of Slices”), é um método rigoroso de cálculo, proposto por MORGENSTERN & PRICE (1965). Os demais métodos vistos anteriormente, isto é, os métodos de Fellenius, Bishop simplificado, Janbu simplificado e Spencer podem facilmente ser considerados como casos particulares deste ultimo método.
159
O GLE atende a todas a equações de equilíbrio e a superfície de ruptura pode ter uma forma qualquer (circular, não circular ou composta). Os esforços normais e cisalhantes interfatias mantêm uma relação definida por uma função f(x), como veremos a seguir. A fig. 6.9 apresenta as forças agindo numa superficie de ruptura composta. As seguintes variáveis associadas a cada fatia devem ser definidas: W = peso total da fatia de largura b e altura h, N = força normal total na base da fatia de comprimento bo, Tm= força cisalhante mobilizada na base da fatia. Esta é uma percentagem da resistência ao cisalhamento definida pela equação de Mohr−Coulomb, ( eq. 6.30), E = força horizontal interfatia, sendo o subscrito n designando o lado esquerdo e n+1 designando o lado direito, X = força vertical interfatia, sendo o subscrito n designando o lado esquerdo e n+1 designando o lado direito, D = carga externa linear (força por unidade de comprimento) kW = força dinâmica horizontal devido ao efeito sísmico aplicada no centro de cada fatia, R = braço de alavanca de momento associado à força cisalhante mobilizada Sm, f = braço de alavanca de momento associado à força normal N, x = distância horizontal da fatia ao centro de rotação, e = distância vertical do centróide de cada fatia ao centro de rotação, d = distância perpendicular entre a carga externa aplicada ao centro de rotação, h = altura correspondente ao centro da base de cada fatia, A = resultante da pressão hidrostática, a = distância perpendicular da resultante da pressão hidrostática ao centro de rotação (o subscrito L significando o lado esquerdo e o R, lado direito) ω = ângulo da carga linear com a horizontal α = ângulo entre a tangente ao centro da base de cada fatia e a horizontal. O GLE usa as seguintes equações da estática para obtenção do fator de segurança: Equilíbrio de forças na direção vertical em cada fatia, o qual permite explicitar o valor da força normal na base da fatia (N), dado pela eq. 6.35. W
N
’
û
+ X ' X s ' u ) cos l + ) l sin l ) tan 2 cos l + FS i
c’ sin FS
i 1
bo
+ D ) sin l
(6.35)
’
Equilíbrio de forças na direção horizontal em cada fatia, o qual permite explicitar a força normal interfatia (E), dado pela equação abaixo (eq. 6.36):
En
s
+ c ) bo ' u ) bo)FStan 2 ’
û 1
En
’
cos
l + N ) tan 2 ) cos l ' sin l ' kW + D) cos FS ’
(6.36) Equilíbrio de momento num ponto arbitrário acima do maciço, considerando todas as fatias, o que permite explicitar o Fator de segurança em relação ao momento (FSM):
160
FS M û
+ N ' u ) bo ) R ) tan 2 ) ) W) x' N) f+ kW ) e D ) d A ) a c’ bo R
’
(6.37)
Figura 6.10 − Representação das forças agindo numa superfície de ruptura composta. Modificado do Geo−slope, 1999. Somatório, considerando todas as fatias, das forças na direção horizontal, o qual permite definir o Fator de Segurança com relação a força FSF. ’
FS F û
) N ) sin l l + + NkW' u') boD) coscos l ) tan A2 ) )
c bo cos
’
(6.38)
Os esforços normais e cisalhantes interfatias mantêm uma relação definida por uma função f(x), onde x indica a posição ao longo da superfície de ruptura. Durante o processo de solução, um fator de escala λ é determinado. Este fator λ define a magnitude da inclinação da força interfatias resultante. Como já exposto, os esforços interfatias se relacionam pela eq. 6.39. Xi Ei
ed ) f x û
(6.39)
A fig. 6.10 ilustra algumas das funções típicas de inclinação de forças interfatias. Pode−se calcular, para cada valor de λ, um fator de segurança para o equilíbrio de momentos e um fator de segurança para o equilíbrio de forças. O método admite que existe um valor de λ para o qual o valor do fator de segurança de forças é igual ao fator de segurança de momentos. Em geral adota−se um procedimento de cálculo para determinação do valor de λ que atende às duas equações de fator de segurança. Primeiro calculam−se os fatores de segurança relativos a forças e a momentos para diferentes valores de λ. Ajusta−se um polinômio a cada um dos conjuntos de pontos de FS versus λ. O valor de λ que leva estes dois polinômios ao mesmo valor de fator de segurança define a resposta para o problema. Observa−se na fig. 6.11 que para λ=0 as expressões para os fatores de segurança relativos aos
161
momentos e às forças representam os resultados do método de Bishop simplificado e o método de Janbu simplificado, respectivamente. O método de Fellenius pode ser representado como um ponto no eixo λ=0. É importante ressaltar que análises de estabilidade feitas empregando métodos que satisfazem todas as condições de equilíbrio apresentam diferenças nos resultados inferiores a 5%; o método de Bishop simplificado, apesar de não satisfazer todas as condições de equilíbrio, obtém resultados com precisão semelhante. O método de Fellenius apresenta erros em relação aos métodos rigorosos de até 50% para condições de pressão neutra elevadas, não sendo recomendada a sua utilização na prática da engenharia. Pode−se também notar na fig. 6.11, que a inclinação da curva FSM versus λ é menor do que aquela obtida para a curva FSF versus λ . Isto ocorre para a maioria dos casos estudados e explica os melhores resultados obtidos pelo método de Bishop simplificado (equilíbrio de momentos), em comparação com o método de Jambu simplificado (equilíbrio de forças).
X/E
λ=0.5
λ=0.5
x
x
f(x) trapezoidal
f(x) especificada
λ=1 λ=1
i
X/E
i
X/E
θ
λ=1
λ=1
X/E
@ θ r i
f(x) senoidal
f(x) constante
λ=0.5
λ=0.5
x
x
Figura 6.11− Funções de inclinação de força interfatias típicas. Modificado de Lins, 1996. tan θι=λ f(xi)
2,30
θ Bishop Simplificado
θ
2,20
FS
Fm
Morgenstern & Price
2,10
2,00
Ff
Fellenius 1,90 0,00
0,10
0,30
0,20
0,40
0,50
λ
Janbu Simplificado
Figura 6.11 − Variação de FSM e FSM com λ. Modificado do Geo−slope, 1999.
354 Pu >@kRNME?!J=DFKL@J=RcLJhDNKMER
162
A grande maioria das análises de estabilidade de taludes é realizada assumindo superfícies de ruptura de projeção circular ou poligonal, ou seja, admitindo−se um estado plano de deformações. Pode−se dizer, porém que observações de campo mostram que a configuração de ruptura, na maioria dos casos, é claramente tridimensional e a análise plana pode não ser a mais representativa. Para estudar estas situações, vários autores adaptaram os métodos das fatias para uma situação tridimensional, criando o método das colunas, onde a massa deslizante é dividida em colunas que têm esforços atuando entre colunas e na sua base. Uma consequência destas observações é que as superficies de deslizamento observadas em campo tendem a ter uma área resistente maior do que aquelas prismáticas ou cilíndricas. Assim, pode−se dizer que para boa parte dos casos considerados, uma análise bidimensional irá levar a resultados conservadores. O cálculo do FS obtido a partir dos métodos de análise de estabilidade apresentados anterirormente é feita em termos determinísticos, isto é, uma análise de estabilidade nos diz se o talude rompe ou não. Entretanto, existem incertezas concernentes ao cálculo do Fator de Segurança, que estão relacionadas com a quantificação das resistências ao cisalhamento das camadas consideradas (principalmente a inferência de parâmetros de resistência representativos), configuração geométrica do problema e a quantificação das solicitações (influência do método de cálculo e das construções existentes e futuras, com suas respectivas cargas permanentes e acidentais). Dessa forma, uma análise em termos probabilísticos poderia ter um melhor significado, permitindo atrelar um valor de FS a uma dada probabilidade de ruptura do maciço. No caso de uma análise determinística, para efeito de projeto, usualmente adotam−se valores mínimos de Fator de Segurança como referência. Os valores de FS adotados são geralmente uma função dos riscos de prejuízos (humanos e materiais) que trariam a ruptura da obra e das restrições de recalques das estruturas assentes na crista do talude. A grande maioria das análises de estabilidade realizadas utilizam parâmetros de resistência obtidos para a condição saturada do solo. Embora esta condição consista na situação mais crítica de ocorrência em campo, boa parte dos taludes, principalmente em áreas tropicais e semiáridas, permanecem em condições não saturadas a maior parte do tempo. Neste casos, temos uma variação da resistência do solo com a sucção e/ou umidade durante as diversas épocas do ano. Nas épocas de chuva, o Fator de Segurança do talude tem o seu valor reduzido, o contrário ocorrendo nos períodos de baixa precipitação. Isto é explicado pelo fato de que os solos, principalmente aqueles com uma considerável quantidade de finos, tem o seu valor de coesão altamente variável com a sua umidade, no sentido de que quanto menor a umidade maior a resistência ao cisalhamento. Pode−se dizer que, se por um lado, o emprego de parâmetros de resistência para a condição não saturada do solo em um cálculo rigoroso da estabilidade de um maciço exigiria uma análise de infiltração da água no solo, para uma dada chuva crítica ou a análise da eficácia de um determinado tratamento de impermeabilização do talude, obtendo−se uma distribuição de umidades no maciço, atrelada a um determinado tempo de recorrência, por outro, a despeito de certas hipótese simplificadoras, abordagens mais simples podem ser utilizadas. Assim é que é valida a realização de ensaios triaxiais ou de cisalhamento direto, utilizando−se de amostras não saturadas, na umidade de campo, por exemplo. Estes ensaios, principalmente se realizados em conjunto com a determinação da sucção do solo, nos dão um indicativo de quanto o solo pode ganhar em resistência ao cisalhamento com a sucção, e nos fornecem dados valiosos no julgamento de que solução adotar para um determinado local (se uma obra de proteção ou de estabilização ou uma obra de contenção propriamente
163
dita). Vale ressaltar que diversos trabalhos têm sido publicados na literatura, mostrando novas maneiras de estimativa da resistência não saturada dos solos, como a partir da curva característica de sucção (Fredlund, et al., 1995; Öberg & Sällfors, 1997 e Machado & Vilar, 1998). Por outro lado, outros trabalhos têm apontado para o desenvolvimento de técnicas laboratoriais e de campo que permitem a obtenção da curva característica de sucção e mesmo da curva de condutividade hidráulica do solo em um tempo bastante inferior ao despendido atualmente (Fourie & Papageorgian, 1995 e Machado & Dourado, 2001). de Em áreas muito valorizadas esta solução pode ser preferível à adoção de estruturas de contenção do talude. A análise da estabilidade de um talude pode ser feita em termos de tensões totais ou em termos de tensões efetivas. Deve−se, portanto, estudar qual é a condição mais crítica para definição dos parâmetros de resistência a serem usados. No caso de parâmetros efetivos de resistência, a pressão neutra pode ser levada em conta através do traçado de rede de fluxo (resolução gráfica); “Grid” de pressões neutras observadas em campo a partir de piezômetros ou estimativa da posição da linha freática. Os métodos mais elaborados para cálculo de estabilidade como os métodos de Spencer, Janbu, GLE, MEF apresentam resultados para o fator de segurança bem semelhantes, com variações inferiores a 5%. O método de Bishop, apesar de não satisfazer todas as equações de equilibrio, apresenta precisão semelhante.
164
− BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
ABGE. Ensaios de permeabilidade em solos: Orientações para a execução no campo, 1a. Tentativa, boletim no. 4, 38p, 1981.. ALMEIDA, M.S.S. (1996). Aterros sobre solos moles. Rio de Janeiro:UFRJ. ATKINSON, J. H. and BRANSBY, P. L. The mechanic of soils − An introduction to critical state soil mechanics.ed. McGraw−Hill, 1978. BARATA, F. E. Propriedades mecânicas dos solos. Ed. Livros técnicos e científicos S.A. Rio de Janeiro, 1984. BISHOP, A. W. The use of the slip circle in the stability analysis of slopes. Geotechnique, vol. 5, no 1, 1955. BISHOP, A. W. & BEJERRUM, L. The relevance of the triaxial test to the solution of stability problems. Proc. ASCE Conf. on Shear Strength of Cohesive Soils, Boulder, p 437 − 501, 1960. BISHOP, A. W. & HENKEL, D. J. The measurement of soil properties in the triaxial a. test. 2 ed., Edward Armold, London, 227p, 1962. BUENO, B. S. & VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Gráfica EESC/USP, vols. 1e 2. São Carlos, 1985. CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações. Ed. Livros técnicos e científicos S.A, Vols. 1, 2 e 3. Rio de Janeiro, 1981. CASAGRANDE, A. Research on the Atterberg limits of soils. Public Roads, vol.13, No.8, pp.121−136, 1932. CASAGRANDE, A. Seepage through dams. Journal of the new England water works association. Vol. LI, no. 2, 1937. CASAGRANDE, A. Classification and identification of soils, Transations ASCE, vol. 113, p.901−992, 1948. CEDERGREN, H.R. Seepage, drainage, and flow nets. 2nd ed., John Wiley & Sons: New York., 533p, 1977. CRIAG, R. F. Soil mechanics. Chapman & Hall, London, 1992. CRUZ, P.T. 100 Barragens Brasileiras. São Paulo: Oficina de textos, USP, São Paulo, 1996. DE LIMA, M. J. C. P. Prospecção Geotécnica do sub−solo. ed. LTC, Rio de Janeiro, 1983. FANG, H.Y. Foundation Engineering Handbook, Ed. Van Nostrand Reinhold, New York, 1991. FELLENIUS, W. Calculation of the stability of earth dams. Trans. 2nd Cong. On large Dams, Washington, 1936. FOURIE, A. B. & PAPAGEORGIAN, G. A technique for the rapid determination of the soil moisture retention relationship and hydraulic conductivity of unsaturated soils. Proc. of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995. FREDLUND, D. G. & RAHARDJO, H. Soil Mechanics for unsaturated soils. John Wiley & Sons, New York, 1993. FREDLUND, D. G.; VANAPALLI, S. K.; XING, A. And PUFAHL, D. E. Predicting the shear strength function for unsaturated soils using the soil water characteristic curve. Proc. of the 1st Int. Conf. on unsaturated soils. Paris, 1995. GAIOTO, N. Estruturas de Arrimo e Empuxo de terra. EESC− USP, 40p, 1993. GEO−SLOPE INTERNACTIONAL USER GUIDE. Alberta, Canadá, 1999. GRUPO de GEOTECNIA DO DCTM – Notas de aula de mecânica de solos. Versão anterior existente no DCTM. HACHICH, W. C.; FALCONI, F.F.; SAES, J.L.; FROTA, R. G. Q.; CARVALHO, C. S. & NIYAMA, S. Fundações − teoria prática. ed. Pini, São Paulo, 1996.
165
HAZEN, A. Discussion on dams and sand foundations. Transactions of ASCE, vol. 72, 1911. HEAD, K.H. Manual of laboratory soil testing, Penetch Press, London, vol. 1 a 3, 1980. HOLTZ, R. & KOVACS. An introduction to Geotechnical Engineering. Prentice Hall, New Jersey, 1981. JÁKY, J. Pressures in silos. II ICSMFE, vol I, p. 103, 1948. LAMBE, T. W. & WHITMAN, R. V. Soil Mechanics. John, Wiley & Sons, Inc. New York, 1969. LEONARDS, G.A. Engineering properties of soils. Foundation Engineering. ed. G.A.. Leonards, McGraw−Hill, p. 66−240, 1962. LIBARDI, P. L. Potenciais de água no solo, série didática no. 007, Dpto de Engenharia Rural, Piracicaba, São Paulo, 1993. LINS, P. G. C. (1996). Considerações sobre a aplicação do método dos elementos finitos à análise de estabilidade de taludes. Dissertação de mestrado − EESC− USP, 129p, 1996. MACHADO, S. L. Alguns conceitos de mecânica dos solos dos estados críticos. Gráfica EESC/USP. São Carlos, 1997. MACHADO, S. L. e DOURADO, K. A. Novas técnicas para obtenção da curva característica de sucção do solo. 4o Simpósio Brasileiro de Solos não Saturados. Porto Alegre − RS, 2001. MACHADO, S. L. & VILAR, O. M. Resistência ao cisalhamento de solos não saturados: Ensaios de laboratório e determinação expedita. Solos e Rochas, V(21), No (2), agosto de 1998. MITCHELL, J.K. Fundamentals of soils behavior. John Wiley & Sons, 422p, 1976. MOLITERNO, A. Caderno de Muros de Arrimo. Editora Edgard Blucher Ltda. MORGENSTERN, N. R. And PRICE, V. E. The analysis of the stability of general slip surfaces. Geotechnique, vol. 13, no 2, 1965. NOGUEIRA, J. B. Mecânica dos solos − Ensaios de laboratório. EESC − USP, 248p, 1995. ÖBERG, A. L. & SÄLLFORS, G. A. Determination of shear strength parameters of unsaturated silts and sands based on the water retention curve. Geotechnical Testing Journal, GTJODJ, Vol. 20, No 1, 1997. ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à mecânica dos solos dos estados críticos. Ed. Livros técnicos e científicos S.A, Rio de Janeiro, 1993. PERLOFF, W. H. & BARON, W. Soil Mechanics − Principles and Applications. John Wiley & Sons: New York., 745p, 1976. PINTO, C. S. Resistência ao cisalhamento dos solos. Politécnica − USP, São Paulo. PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos. Oficina de textos, USP, São Paulo, 2000. RESAL, J. La Poussé de terres. Paris, 1910. ROWE, P. W The stress dilatancy relation for static equilibrium of a assembly of particles in contact. Proc. Royal Soc., A269, pp 500−527, 1962. SKEMPTON, A.W. The porepressure coefficients A and B, Geotechnique, vol.4:4, p.143−147, 1954. TAYLOR, D.W. Fundamentals of soil mechanics, John Wiley & Sons, 700p, 1948. TERZAGHI, K. & PECK, R.B. Soil mechanics in engineering pratice. John Wiley & Sons, New York, 2a. Ed, 1967. TERZAGHI, K. Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons, New York, 1943. TSCHEBOTARIOFF, G. P. Foundations, Retaining and Earth Structures. Ed. Mcgraw−Hill Kogakusha, Ltd, VARGAS, M. Introdução à mecânica dos solos. Ed. Mcgraw−Hill, USP, 1977.
166
VENKATRAMAIAH, C. Geotechnical Engineering. John, Wiley & Sons, Inc. New York, 1993.
