Transcript
Matrizes
[email protected] • • • • • • • • • • • • • • • • • •
•
•
• • • •
Matrizes são quadros ou tabelas organizadas com elementos, podendo estes serem números reais, complexos, polinômios, funções ou até mesmo outras matrizes São denotadas por letras maiúsculas e representadas entre parênteses, colchetes ou duas barras Uma matriz A de ordem m x n, representada por A(m,n), possui m.n elementos, dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais) Uma matriz A é representada por A = [aij]. Cada elemento da matriz é aij, onde i refere-e à linha em que ele se encontra e j à coluna, e 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n Matriz linha ou vetor linha é aquela formada por uma só linha, de ordem 1 x n Matriz coluna ou vetor coluna é aquela formada por uma só coluna, de ordem m x 1 Matriz retangular é aquela na qual m≠n Matriz quadrada de ordem n é aquela que possui o número de linhas e o número de colunas iguais a n Em uma matriz quadrada, os elementos aij que possuem i = j, formam a diagonal principal da matriz A Em uma matriz quadrada, os elementos aij de que possuem i + j = n + 1, formam a diagonal secundária de A, onde n indica a ordem da matriz Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde aij = 0 quando i ≠ j, ou seja, com exceção da diagonal principal, todos os elementos são nulos Matriz escalar é uma matriz diagonal com elementos aij (i=j) iguais entre si Matriz identidade ou matriz unidade é uma matriz escalar de ordem n, representada por In, na qual aij = 1 sempre que i = j Matriz nula ou matriz zero é aquela cujos elementos são todos iguais a zero Elementos correspondentes de duas matrizes de mesma ordem são os que possuem o mesmo índice (linha e coluna) Duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais A soma das matrizes A e B, de mesma ordem, denotada por A + B, é a matriz que possui cada elemento como a soma dos elementos correspondentes de A e B Valem as seguintes propriedades da soma: A+B=B+A A + (B + C) = (A + B) + C A + (-A) = O (-A é chamada de oposta de A) A + O = A (O representa uma matriz nula) A multiplicação por escalar de uma matriz A é o produto de um número k, diferente de zero, por esta matriz, formando a matriz B, multiplicando-se todos os elementos de A por k Valem as seguintes propriedades da multiplicação por escalar: k(A + B) = kA + kB (k1 + k2)A = k1A + k2A 0.A = O (O representa uma matriz nula) 1.A = A k1(k2A) = (k1k2)A A multiplicação de duas matrizes A = (aik)mxn e B = (bkj)mxn é a matriz AB = (cij)mxp onde cij = ∑ a b = a b + ⋯ + a b O produto AB existirá se, e somente se, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B A matriz C = AB é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao número de colunas de B Se A é do tipo m x n e B do tipo n x p, com p diferente de m, AB existe, mas BA não
• •
• • •
• • • • • • • •
Em geral, AB ≠ BA. Se AB = BA, A e B comutam Valem as seguintes propriedades da multiplicação: (AB)C = A(BC) (A ± B)C = AC ± BC C(A ± B) = CA ± CB (kA)B = A(kB) = k(AB) O.A = A.O = O (O é uma matriz nula) A.In = In.A = A Se A é uma matriz quadrada de ordem n, A é inversível ou invertível se existir uma matriz A-1, denominada inversa de A, tal que AA-1 = A-1A = In Matriz transposta de Amxn, denotada por Atnxm, é a matriz cujos elementos bij = aji Valem as seguintes propriedades da matriz transposta: (At)t = A (A + B)t = At + Bt (kA)t = kAt (AB)t = BtAt Uma matriz A é simétrica se A = At e anti-simétrica se At = -A Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos aij são nulos para i > j Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos aij são nulos para i < j Matriz ortogonal é a matriz cuja inversa é igual à transposta, ou seja, M-1 = Mt ou M.Mt = Mt.M = I A potência n da matriz A é a matriz obtida pela multiplicação da matriz A n vezes por si mesma Matriz periódica é uma matriz que An = A para n≥2, e o período é n-1 Matriz idempotente é um caso especial de matriz periódica, com período 1, em que A² = A Matriz nehilpotente de índice p é aquela que A² = O, sendo p o menor inteiro positivo para que isso aconteça
