Transcript
Matrizes
Matriz m x n é uma tabela de m.n elementos dispostos em m linhas e n
colunas.
Matrizes Especiais
Matriz linha: é a matriz formada por uma única linha.
Matriz coluna: é a matriz formada por uma única coluna.
Matriz nula: é a matriz cujo todos os elementos são iguais a zero.
Matriz quadrada: é a matriz que o número de linhas e o número de colunas
é igual. Possui diagonal principal e diagonal secundária.
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujo os elementos da diagonal
principal são 1 e os demais são 0. A matriz identidade é representada
pelo símbolo In.
Matriz Inversa: a matriz inversa segue a seguinte regra, a matriz é
inversível se
A.B = B.A = In, B é a inversa de A, ou B = Aˉ ¹
Matriz Transposta: diz que uma matriz At é a transposta da matriz A
quando os elementos das linhas de A são ordenadamente iguais aos
elementos da coluna de At, e os da coluna de A iguais aos das linhas de
At.
Matriz simétrica ou anti-simétrica: quando os elementos da matriz são
iguais ao da própria transposta, ele é considerada simétrica, quando ela
é igual a sua própria transposta multiplicada por -1, ela é anti-
simétrica.
Operações com Matrizes: Adição e subtração: se somarmos uma matriz A com
outra B, essa soma só será possível se as duas matrizes forem do mesmo
tipo, mesmo número de linhas e colunas, assim a matriz resultante, C,
também será do mesmo tipo e o valor em cada um de seus índices será igual a
soma dos valores de índice correspondente das matrizes A e B.
Da mesma forma procede-se com a subtração, no entanto, invés de somar-
se, subtrai-se.
Multiplicação de um número real por uma matriz: Ao multiplicar-se uma
matriz por um número real k, o resultado dessa multiplicação é encontrado
ao multiplicar-se todos os elementos da matriz k.
Multiplicação de Matrizes: o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = (
bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por
meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de
A pelos elementos da j-ésima coluna.
Determinantes: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se determinante
da matriz A, e se indica por det A, o número obtido a partir de operações
entre os elementos de A, de modo que:
1 – Se A é de ordem 1, então det A é o único elemento de A.
2 – Se A é de ordem 2, então det A é dado pela diferença entre o produto
dos elementos da diagonal principal de A e o produto dos elementos de sua
diagonal secundária.
3 – Se A é de ordem 3, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o
valor de det A:
a) copiamos ao lado da matriz A as suas duas primeiras colunas;
b) multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção
da diagonal principal, multiplicamos, separadamente, os elementos das
outras duas "diagonais";
c) multiplicamos os elementos da diagonal secundária de A, trocando o sinal
do produto obtido. Segundo a direção secundária, multiplicamos,
separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também trocando o
sinal dos produtos;
Esse procedimento é conhecido como Regra de Sarrus.
Determinantes de ordem maior que 3:
Regra de Chio: se o elemento da primeira coluna e primeira linha for igual
a 1, é possível utilizar-se esse método na matriz quadrada reduzindo-a para
uma ordem menor em 1.
Esse é um exemplo de uma matriz de ordem 4, marcada de vermelho para
destacar certas partes. De cada membro do lado debaixo da linha vermelha
irá se reduzir o produto dos valores que estiverem imediatamente acima e a
esquerda da linha direita. Após encontrados os valores em cada membro,
descarta-se os membros acima e a esquerda da linha vermelha, achando se
assim a nova matriz, que não é a mesma, porém contem o mesmo valor de
determinante.
Teorema de Laplace: o determinante de uma matriz quadrada M de ordem igual
ou maior de 3 pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma
fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.
Sistemas Lineares
Considere um conjunto de m equações lineares nas n variáveis x1, x2, ...
xn:
A11X1 + A12X2 + ... A1nXn = B1
A21X1 + A22X2 + ... A2nXn = B2
: : :
Am1X1 + Am2X2 + ... AmnXn = Bm
O sistema acima é dito conjunto de m equações lineares nas n
variáveis.Quando o sistema tem uma solução definida ele é chamado de
sistema possível determinado, quando ele possui infinitas soluções é
chamado de sistema possível indeterminado, quando ele não possui solução
alguma é chamado de sistema impossível.
Matrizes Associadas a um Sistema: Podemos associar o sistema acima a uma
matriz cujos elementos são os coeficientes das equações que formam o
sistema.
Solução de um sistema
Escalonamento: dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um
coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de
coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de
equação para equação.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos
como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente
de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos
todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.c) Repetimos o
processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne
escalonado.Após aplicar a técnica do escalonamento pode-se achar o conjunto
solução facilmente.
Regra de Cramer: A regra de Cramer consiste em um método de resolução de
sistemas lineares que segue o seguinte procedimento. Para solucionar um
sistema forma-se a matriz correspondente aquele sistema, porém ignorando-se
a coluna dos valores independentes, chamamos essa matriz A. Agora formamos
uma matriz X, ao substituir os coeficientes que multiplicam x na matriz
pelos coeficientes independentes. Assim fazemos também com y e z, achando-
se as matrizes Y e Z. Chamamos a determinante da matriz A de D, da matriz X
de Dx, da matriz Y de Dy e da matriz Z de Dz. Assim seguimos a definição: x
= Dx/D ; y = Dy/D ; z = Dz/D; desta forma é possível encontrar os valores
de x, y e z, encontrando o conjunto solução do sistema linear.
Pela regra de Cramer também é possível discutir um sistema da seguinte
forma, se D for igual a 0 o sistema será possível determinado, se for
diferente de 0, o sistema será ou possível indeterminado ou impossível.
Vetores
1. GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
Grandezas escalares são aquelas que para serem determinadas,
necessitam apenas de um número real, acompanhada da unidade de medida. As
vetoriais são aquelas que além do número real, necessitam de direção e
sentido.
2. SEGMENTO
Orientado: é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro
chamado origem (A) do segmento, o segundo chamado (B) extremidade.
Equipolente: conjunto de segmentos orientados que possuem as mesmas
características (módulo, direção e sentido) vb
3. VETOR
Dado um segmento orientado , o conjunto de todos os segmentos
eqüipolentes a este, recebe o nome de vetor. Nota-se um vetor por uma letra
latina minúscula encimada por uma seta.
Seja um vetor temos:
Ex.: A (x1, y1, z1) = (x1, y1, z1) - (x2, y2, z2)
B (x2, y2, z2)
4. CASOS PARTICULARES
Vetores paralelos: indicamos //
Vetores iguais: indicamos
Vetor nulo: indicamos e
Vetor oposto: indicamos por -. Seja um vetor , seu oposto é
- (sentidos contrários).
Vetor unitário: indicamos . Vetor versor
5. SOMA DE VETORES
Sejam dois vetores: (1, 2, 3) e (0, 1, 2), a soma é:
, assim . Temos .
5.1 Propriedades (não geometricamente)
Comutativa:
Associativa:
Elemento neutro:
Elemento oposto:
6. PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR
Seja k um escalar qualquer, e (x,y,z): , com *
1. Propriedades:
, com e *
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. COPLANARIDADE DE VETORES
Os vetores , e são coplanares se tiverem imagens
geométricas paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar: dois vetores são
sempre coplanares, enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares.
Sob a forma de coordenadas, verefica-se o determinante das coordenadas dos
vetores, e se for zero, os pontos são coplanares.
8. MÓDULO DE UM VETOR
" "
O módulo de um vetor pode também ser definido como a raiz quadrada do
produto escalar do vetor consigo mesmo. Seja : , assim:
9. PRODUTO INTERNO (ESCALAR)
É a multiplicação de 2 ou mais vetores, resultando em um número escalar
(real). Assim definimos o produto interno: , onde (ângulo
formado entre e .
10. PRODUTO EXTERNO
O produto vetorial ou externo de dois vetores u e v não paralelos entre
si, é um comas seguintes características quanto:
À direção: o vetor é perpendicular aos vetores e .
Sentido: os vetores , e , nesta ordem, formam um triedo
positivo.
Ao módulo: , onde é a medida do ângulo entre e .
11. PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO VETOR
O vetor projeção de sobre é dado por: proj
Ponto
A Geometria é a Ciência da extensão. O espaço é extenso sem interrupção
e sem limite. Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. O
ponto não tem dimensão.
A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a idéia do que é um
ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.
Em Desenho Geométrico o ponto é representado pela interseção de duas
pequenas linhas e nomeado por uma letra maiúscula.
A cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado (x,y) de
números reais. Escrevemos P(x,y) para indicar esse fato.
1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
A distância entre os pontos A() e B(), a qual indicaremos por
, é definida por:
2. PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
Dado o segmento , o ponto médio desse segmento é:
Para verificar se três pontos são colineares, basta calcular a
determinante dos pares ordenados dos pontos. Se tal determinante for zero,
os pontos são colineares.
Reta
A linha reta é a mais simples de todas as linhas Um fio esticado representa
bem a sua imagem. Ela pode ser traçada com o auxílio de uma régua.
Imagine agora uma linha reta infinita, sem começo, sem fim, sem espessura.
É assim que se concebe uma reta em matemática.
A representação de uma linha reta em Desenho Geométrico é feita através de
setas nas extremidades e nomeada por uma letra minúscula.
3. EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
A equação de uma reta r é: , onde:
m é a tangente do ângulo formado entre a reta r e o eixo das abscissas
(x). É chamado coeficiente angular (ou declividade) da reta r.
n é a ordenada do ponto em que a reta r corta o eixo das ordenadas (y). É
chamado coeficiente linear de r.
4. EQUAÇÃO GERAL DA RETA
Consideremos a reta r, caracterizada por dois de seus pontos, A() e
B(). Sendo P(x,y) um ponto genérico de r, os pontos A, B e P
apresentam a condição de alinhamento:
Desenvolvendo o determinante, teremos: , como , são valores
reais fixos, temos a equação:
Para determinar o ponto de interseção entre retas, basta se resolver o
sistema das suas equações, o que dará as coordenadas do ponto de
interseção.
5. PARALELISMO
O coeficiente angular de retas paralelas são iguais.
6. PERPENDICULARIDADE
Duas retas perpendiculares (r e s) possuem coeficientes angulares tal que:
7. ÂNGULO ENTRE RETAS
Sendo o ângulo formado pelas retas r e s, definimos a equação:
8. DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Adotando a reta r: e o ponto P(), a distância entre eles é
indicada por:
ELIPSE
Dados dois pontos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a
distância entre eles. Elipse é o conjunto dos pontos de α cuja soma das
distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
F1 e F2 são os focos da elipse, e a distância entre eles é a distância
focal (2c).
é o eixo maior da elipse, e sua medida é a soma que consta na
definição (2a).
é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b.
O é o centro da elipse.
O número é chamado excentricidade da elipse, definido por:
Pelo triângulo B1OF2 notamos: a² = b² + c²
1. Equação da elipse com centro na origem (eq. reduzida)
Com focos no eixo das abscissas (x):
Com focos no eixo das coordenadas (y):
2. Equação da elipse com centro fora da origem (eq. geral)
Com eixos paralelos ao eixo x:
Com eixos paralelos ao eixo y: , onde xo e yo são as ordenadas do
centro da elipse.
HIPÉRBOLE
Dados dois pontos F1 e F2, pertencentes a um plano α, seja 2c a
distância entre eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos de α cuja diferença
(em valor absoluto) das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a <
2c).
F1 e F2 são os focos, e a distância entre eles é 2c.
é o eixo real ou transverso, e sua medida é 2a
é o eixo imaginário e sua medida é 2b
O é o centro da hipérbole
A excentricidade é definida por:
Pelo triângulo B1OA2 notamos: a2 + b2 = c2
1. Equação da hipérbole com centro na origem (eq. reduzida)
Com focos no eixo x:
Com focos no eixo y:
2. Equação da hipérbole com centro fora da origem (eq. geral)
Com eixos paralelos ao eixo x:
Com eixos paralelos ao eixo y:
PARÁBOLA
Dados um ponto F e uma reta d, pertencentes a um plano α, com F
d, seja p a distância entre F e d. Parábola é o conjunto dos pontos de α
que estão à mesma distância de F e de d.
F é o foco, d é a diretriz, p é o parâmetro, V é o vértice, e a reta
é o eixo de simetria. Podemos notar que: VF =
1. Equação da parábola com vértice na origem (eq. reduzida)
Com foco no eixo x:
Com foco no eixo y:
2. Equação da parábola com centro fora da origem (eq. geral)
Com // x:
Com // y:
