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OPERAÇÕES UNITÁRIAS NA INDÚSTRIA DE ALIMENTOS
Livro de Exercícios Escoamento de Água - Rede de Distribuição 1. Introdução Esta é uma versáo ampliada do problema de escoamento em uma rede de distribuição de água, tal como mostrado na Figura abaixo. Neste caso, os coeficientes de fricção (f) não serão especificados a priori. O problema estabelecido é o cálculo da vazão de água nos pontos C e E. Os comprimentos dos trechos (L), os diâmetros dos tubos nos trechos (D) são epecificados, bem como a vazão no ponto A. As vazões nos demais trechos, bem como em C e E são incógnitas. No geral, a equação da continuidade deve ser satisfeita: QA = QC + QD , bem como em cada ponto em que a vazão é dividida. C QC
A QA
Q AB
L AB
D AB
QB
fAB
Q BC
B
L BC
D BC
fBC
Q DC L DC
Q BD
Q AE L AE
D DC
L BD D AE
fDC
D BD f AE QE
fBD Q ED
L ED
E
D ED
fED D QD
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2. Parâmetros Físicos Comprimento
Diâmetro
Chute: Vazão e Coeficiente de Fricção
LAB := 3000ft
DAB := 4.in
QAB := 0.6ft ⋅ s
LBC := 4000ft
DBC := 5.in
QBC := 0.6ft ⋅ s
LAE := 2000ft
DAE := 6.in
QAE := 0.6ft ⋅ s
LED := 3000ft
DED := 8.in
QED := 0.6ft ⋅ s
LDC := 5000ft
DDC := 6.in
QDC := 0.6ft ⋅ s
LBD := 3000ft
DBD := 7.in
QBD := 0.6ft ⋅ s
Vazão que entra em A:
QA := 1.2ft ⋅ s
3 −1
3 −1 3 −1
3 −1
3 −1
3 −1
3 −1
fAB := 0.06 fBC := 0.06 fAE := 0.06 fED := 0.06 fDC := 0.06 fBD := 0.06
3 −1
QE := 0.6ft ⋅ s
3 −1
QC := 0.6ft ⋅ s −5
Rugosidade do Tubo
ε := 4.6⋅ 10
Densidade da água
ρ := 997.08kg⋅ m
Viscosidade da água
μ := 0.8937⋅ 10
(aço comercial)
⋅m −3
( T := 25) °C
−3
Pa⋅ s
3. Formulação Matemática do Problema Há quatorze incógnitas neste sistema. As incógnitas são: As vazões volumétricas (QC, QE), as vazõe nos trechos ( QAB, QBC, QAE, QED, QDC, QBD),e os coeficientes de fricção( fAB, fBC, fAE, fED, fDC, fBD). A equação da continuidade deve ser assegurada: QA = QC + QE
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A continuidade nos trechos também deve ser assegurada nos pontos em que há divisão do escoamento: QA = QAB + QAE
QAB = QBD + QBC
QAE = QE + QED
QDC = QED + QBD
QC = QBC + QDC
QC = QED + QBD + QDC + QBC
A soma algébrica da queda de pressão em torno de um circuito (loop) deve ser zero: Para o ponto C: h LAB + hLBC − h LAE − h LED − h LDC = 0 Para o ponto D: h LAB + hLBD − hLAE − h LED = 0 Para o ponto B:
h LBC − h LBD − h LDC = 0
A perda de energia mecânica em cada trecho é calculada por meio da equação de Darcy-Weisback: 2
hL = f ⋅
L V ⋅ D 2⋅ g
A velocidade da água é alculada em função da vazão volumétrica: V( Q , D) := 4 ⋅
Q 2
π⋅ D
O número de Reynolds em cada trecho depende da velocidade e do diâmetro do tubo:
NRe( Q , D) :=
ρ⋅ V( Q , D) ⋅ D μ
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Nota: O módulo da vazão em NRe é necessário, pois o escoamento pode ser na direção oposta ao suposto para escrever a continuidade nos pontos em que há divisão da vazão. A perda de energia mecânica é calculada em função do coeficiente de fricção, do compirmento do tubo, do diâmetro do tubo e da velcodidade de escoamento: −2
Gravidade
g := 9.80665m⋅ s
h L( f , L , D , Q) := 4 ⋅ f ⋅
L D
2 1
⋅ ( V( Q , D) ) ⋅
2⋅ g
O coerficiente de fricção é calculado por meio da equação de Colebrook:
1 4⋅ f
+ 2 ⋅ log
ε
3.7⋅ D
+
=0 NRe( Q , D) ⋅ 4 ⋅ f 2.51
Na forma de uma função:
F( f , Q , D) :=
Re ← NRe( Q , D) x←
1 4⋅ f
y← z←
ε 3.7⋅ D 2.51 Re⋅ 4 ⋅ f
w ← x + 2 ⋅ log( y + z) return w
4. Solução do Sistema de Equações Given Equações que asseguram a continuidade QA = QC + QE QA = QAB + QAE QAE = QE + QED
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QC = QBC + QDC QAB = QBD + QBC QDC = QED + QBD Queda de pressão em determinado loop é zero. Para o ponto C
(
)
(
)
h L fAB , LAB , DAB , QAB + hL fBC , LBC , DBC , QBC ... + −h L fAE , LAE , DAE , QAE − h L fED , LED , DED , QED − h L fDC , LDC , DDC , QDC
(
(
)
(
)
(
=0
))
Para o ponto D
(
)
(
)
(
)
h L fAB , LAB , DAB , QAB + hL fBD , LBD , DBD , QBD − hL fAE , LAE , DAE , QAE ... = 0 + h L fED , LED , DED , QED
(
)
Para o ponto B
(
)
(
)
(
)
h L fBC , LBC , DBC , QBC − h L fBD , LBD , DBD , QBD − h L fDC , LDC , DDC , QDC = 0 Coeficientes de fricção nos trechos do circuito.
(
)
(
)
(
)
(
)
F fAB , QAB , DAB − fAB = 0
F fBC , QBC , DBC − fBC = 0
F fAE , QAE , DAE − fAE = 0
F fED , QED , DED − fED = 0
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(
)
(
)
F fDC , QDC , DDC − fDC = 0 F fBD , QBD , DBD − fBD = 0
QC QE QAB Q BC QAE QED Q DC := Find Q , Q , Q , Q , Q , Q , Q , Q , f , f , f , f , f , f ( C E AB BC AE ED DC BD AB BC AE ED DC BD) QBD fAB f BC fAE fED f DC fBD
Nota: Observar que foi suposto que o escoamento é turbulento em todos os trechos, e dessa forma o coeficiente de fricção foi calculado por meio da equação de Colebrook.
Nota: Observar que TOL e CTOL (veja opções da planilha de trabalho) afetam a convergência do sistema de equações não lineares.
−3
TOL = 2 × 10
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−3
CTOL = 2 × 10
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5. Resultado da Solução das Equações 3 −1
QA = 1.2⋅ ft ⋅ s
3 −1
QC = 0.261⋅ ft ⋅ s
3 −1
3 −1
QAB = 0.257⋅ ft ⋅ s
3 −1
QBC = 0.115⋅ ft ⋅ s
3 −1
QE = 0.939⋅ ft ⋅ s
QAE = 0.943⋅ ft ⋅ s
L QA − QC − QE = −0⋅ min
QED = 0.0039⋅ ft ⋅ s
Nota: A continuidade foi atendida.
QDC = 0.145⋅ ft ⋅ s
3 −1
3 −1
3 −1
QBD = 0.141⋅ ft ⋅ s
Nota: qualquer sinal negativo para uma vazão indica que o escoamento é oposto ao estabelecido no balanço. TOL e CTOL pode afetar o sinal da vazão.
fAB = 0.005
L QAB = 436.1⋅ min
fBC = 0.0059
L QBC = 195.7⋅ min
fAE = 0.0043
L QAE = 1602.7⋅ min
fED = 0.0171
L QED = 6.7⋅ min
fDC = 0.0058
L QDC = 247⋅ min
fBD = 0.006
L QBD = 240.4⋅ min
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5. Verificando o Número de Reynolds 5
(
)
NReAB = 1.016 × 10
(
)
NReBC = 3.648 × 10
(
)
NReAE = 2.49 × 10
(
)
NReED = 776.4
(
)
NReDC = 3.838 × 10
(
)
NReBD = 3.201 × 10
NReAB := NRe QAB , DAB
NReBC := NRe QBC , DBC
NReAE := NRe QAE , DAE
NReED := NRe QED , DED
NReDC := NRe QDC , DDC
NReBD := NRe QBD , DBD
4
5
4
4
Observar que a suposição de escoamento turbulento não é válida para o trecho ED.
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