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Circuitos RLC Capítulo·
7.1 - Circuito RLC Série 7.'2- Circuito RLC Paralelo
7
7.3 - Correção do Fator de Potência - Exercícios·Propostos
Neste capítulo, iremos analisar o comportamento dos circuitos RLC série e paralelo, permitindo estudar os circuitos ressonantes e fazer a correção do fator de potência de circuitos indutivos.
7.1 - Circuito RLC Série o circuito RLC série é formado por um resistor, um indutor e um capacitor ligados em série, como mostra a figura 7.1, cuja corrente foi considerada, arbitrariamente, como tendo fase inicial nula. v, i
~ R
v _ L
C
(a) Circuito
j j j
v,
v,
Vc
(b) Diagrama Fasorial Figura 7.1 - Circuito HLC Série
Circuitos RLC
185
Em um circuito RLC série, a tensão total aplicada é a soma vetoria! das tensões no resistor, capacitor e indutor, isto é: vR + vL + Vc Com relação ao diagrama fasorial, sabe-se que:
v
=
•
A tensão no resistor está em fase com a corrente;
•
A tensão no indutor está adiantada de 90° em relação à corrente;
•
A tensão no capacitor está atrasada de 90° em relação à corrente.
Portanto, as tensões v e Vc estão defasadas de 180° entre si, sendo que a soma vetoria! delas é a dITerença entre seus módulos, com fase igual à da tensão de maior módulo. Por exemplo, considerando que VL > Vc' tem-se que:
A figura 7.2 mostra o diagrama de tensões obtido a partir do diagrama fasorial da figura 7.1(b} e o respectivo diagrama de impedância, considerando que VL > VC" v, i
v
(a) Diagrama de Tensões
(b) Diagrama de Impedâncias
Figura 7.2 - Tensões e Impedância no Circuito RLC Série
186
Da figura 7.2(a), pode-se obter o módulo da tensão total aplicada pelo gerador:
Como VL > VC' a defasagem 4>da tensão do gerador em relação à corrente é positiva, porém menor que 90° , devido à influência do resistor. Isto significa que a fase da impedância é também positiva, caracterizando um circuito indutivo, no qual a reatância indutiva predomina sobre a capacitiva. No circuito RLC série, a impedância complexa equivalente do circuito pode ser calculada por:
I
Z
= R+ j(XL -Xél
o módulo
ou
da impedância equivalente do circuito vale:
ou
2
"'1 Z = ~R + ( ro.L - ro.C ) 2
.
A fase da impedância equivalente do circuito vale:
(XL-Xc) 4>= arctg R H
ou
cjl
= arctg
(ro.L-- 1 )
ro.C .
R
o fator de potência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância da figura 7.2(b), e vale:
IFP = cos4>= ~ I De tudo o que foi visto até aqui, podem-se tirar algumas conclusões gerais:
Circuitos RLC
187
=>
o circuito é indutivo
=>
o circuito é capacitivo
=>
o circuito é resistivo
(
(
> 0°); (
< 0°);
= 0°) .
Esta última condição (XL= Xc) é chamada de ressonância, assunto este que será aprofundado em seguida.
Circuito Ressonante Um circuito ressonante é aquele que apresenta a menor oposição possível à passagem de corrente elétrica numa determinada freqüência f o , denominada freqüência de ressonância do circuito. Isto significaque as freqüências maiores e menores que fo encontrarão maior oposição por parte do circuito ressonante. A figura 7.3 mostra um circuito ressonante série no qual é aplicada uma tensão alternada numa determinada freqüência.
R
v (f) -
L
c Figura 7.3· Circuito Ressonante
Série
Quando a freqüência da tensão é tal que XL = Xc' a reatância indutiva é anulada pela reatância capacitiva, já que estão defasadas de 180° . Isto significa que o circuito comporta-se como se fosse uma resistência pura. A freqüência de ressonância fo' na qual este fenômeno ocorre, pode ser determinada da seguinte forma:
188
Como roo
=
21t. fo ,
=>
~ ~
Os gráficos comportamento
z
tem-se que:
da figura
7.4
(2 = f(rol e i = f(rol)
mostram
o
do circuito ressonante série em função da freqüência.
Circuito
CrrOJilO
<:a_
Induüvo
•
freqüência de ressonância do circuito
•
R
••
o
(a) Gráfico da Impedância Figura 7.4 - Comportamento
o (b) Gráfico da Corrente do Circuito Ressonante
Série
Desta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões: •
Na freqüência de ressonância roo' o circuito é puramente resistivo e a oposição à corrente é minima, resultando numa corrente máxima 1M;
•
Abaixo da freqüência de ressonância, a impedância é capacitiva (Xc > XL)e a corrente está adiantada em relação à tensão aplicada;
Circuitos RlC
189
•
Acima da freqüência de ressonância, a impedância é indutiva
(~ > Xc) e a corrente está atrasada em relação à tensão aplicada. Largura de Faixa (LF) e Fator de Qualidade (Q) Define-se largura de faixa (LF) ou banda de freqüência, como sendo:
Onde:
fcs
=)
fei
=)
freqüência de corte superior frequência de corte inferior
Na freqüência de corte, o valor da corrente é aproximadamente 70,7% da corrente de ressonância 1M'como mostra o gráfico da figura 7.5.
0,707.1.
I.
1
LF
Figura 7.5 - Largura áe Faixa áo Circuito Ressonante Este valor 70,7% corresponde a 1M / na corrente máxima.
190
J2 , ou a uma queda
de 3dB
A largura de faixa depende da qualidade da bobina. Uma bobina ideal rem resistência ôhmica nula, porém, na prática, o fio da bobina possui resistência.
o
fator de qualidade QL de uma bobina é definido como
sendo:
Onde:
XLo = 21t. fo.L ~ reatância da bobina na freqüência de ressonância RB
~
resistência ôhmica da bobina
O fator de qualidade Q do circuito é dado por:
IQ=XLoIRr Onde:
Rr ~ resistência ôhmica total do circuito
A largura de faixa do circuito está relacionada com o fator de qualidade através da expressão:
Portanto, quanto maior é a qualidade da bobina, menor é a largura de faixa ou mais aguda é a curva i = f(ro), isto é, melhor é o circuito ressonante, pois ele se torna mais seletivo, como mostra a figura 7.6.
Circuitos RLC
191
Q, Q,>Q,
f
Lf,
Figura 7.6 - Qualidade do Circuito Ressonante Exemplos:
1)
Em um circuito RLC série, tem-se: R = 100n, L = lmH e C = O,lllf . Se a tensão do gerador é 10 V, pedem-se:
LQ:
1000
lmH 10 I.Q:v
O,ll'f
a) Freqüência de ressonância do circuito f o
192
=
1
2n../L.C
1
---==== 2nJlO-3.1O-7
=-
15,915kHz
l'
b) Corrente fomecida pelo geradorna freqüência da ressonância Na ressonância, o circuito é somente resistivo, portanto: Z = R = 1000. I= V =~ = 100mA Z 100
c) Ângulo de defasagem entre tensão do gerador e corrente na ressonância Na ressoância, o circuito é somente resistivo e, portanto, o ângulo de defasagem é zero
(
= O).
d) Corrente e defasagem se f = 20kHz XL
= 21t.f.L = 21t.20.103.1O-3 = 125,70
Xc =
1
fC -
21t. .
1 3
21t.20.l0 .10-
7 -
79,60
Z = R + jül.L - j_1_ = 100 + j125,7 - j79,6 => ül.C Z = 100 + j46,l 0=110 Portanto:
i=~= Z
124,7°
O
10 ~ =909 110 124,7° '
1-24,7° mA
Como XL > XC' nesta freqüência o circuito é indutivo (20kHz> fJ e) Corrente e defasagem se f = 10kHz XL
= 21t.f.L = 21t.lO.103.1O-3 = 62,80
Circuitos RlC
193
Xc
1
1
= 21t. f.C = 21t.10.103.10 7
159,2Q
Z = R + joo.L- j_l_ = 100+ j62,8 - j159,2 => 00. C
Z=100-j96,4Q=138,9 Portanto: '=~= 1 Z
1-43,9° Q 10 ~
138,4
1-43,9°
=7231439° ' ,
mA
Como Xc > Xl' nesta freqüência o circuito é capacitivo (10kHz < fo)' 2)
Em um circuitoRLCsérie, tem-se: VR=6V; Vc=20V; VL =12V e i = 10 10° mA. Pedem-se:
a) Impedância complexa:
R= VR = 6 I 10.10-3
194
600Q
xL
= VL =
12 = 12'·r. 10.10-3' lU.
20 - 21.r. X C = Vc = 10.10lU. 3
:.
X :.
X
C
L
12 =j ,
= -j
kn
2 1.r.
Z=R+jw.L-j_l_=O,6+jl,2-i2=O,6-jO,8 w.C
lU.
kn=l
1-53° kn
b) Tensão aplicada no circuito v=Z.i=l
I-53°.
1O~=10
1-53° V
c) Diagrama fasorial v, i
VclI2V)
53°
,, , I
I (JOrnA)
: -----
v (IOV) )'"
Vcl20V)
Circuitos RlC
195
3)
Dado o circuito ressonante a seguir, pedem-se:
í
-,I
I I I i I I II I ,- JI I
v (_
I
T
L~1001'H
R,,=8U C~5,6nF
a) Freqüência de ressonância
f o
=
1
2rr..JL.C
_r===1~=~ = 212,68kHz 2rr.~100.1O-6.5,6.10-9
b) Fator de qualidade da bobina XLo = 2rr..fo.L = 21t.212,68.103.100.1O-6 = 133,63n
QL
= XLo = RB
133,63 8
167,
c) Fator de qualidade do circuito Q = XLo = 133,63 = 742 RT 10+8 ' d) Largura de faixa do circuito 3
LF = fo = 212,68.10 Q 7,42
196
=
2866kH ' z
I I I I
------~-----
---------
f
o
198,35 I
212,68
1kHz)
227,01
LF~28,66 kHz
J
e) Valor de R para que a largura de faixa seja 10% da freqüência de ressonância LF
=
fo
=)
21,268.103
=
Q Q=
______
XLo
R+RB
3
212,68.10
=)
Q
= 10
Q =)
10
=
133,63
=)
R+8
R
= 5363Q '
7o_2_-_C_iro_u_it_O_R_L_C_P_ar_a_le_lo
,1
o circuito RLC paralelo é formado por um resistor, um indutor e um capacitar ligados em paralelo, como mostra a figura 7.7, cuja tensão foi considerada, arbitrariamente, como tendo fase inicial nula. ~
v_
R
L
c
a) Circuito Circuitos RLC
197
v, i
;c
~
v
;R
;L
(b) Diagrama Fasorial Figura 7.7 - Circuito RLC Paralelo
Em um circuito RLC paralelo, a corrente total fornecida pelo gerador é a soma vetorial das correntes no resistor, capacitor e indutor, isto é: i = iR
+ iL + ic
Com relação ao diagrama fasorial, sabe-se que: •
A corrente no resistor está em fase com a tensão;
•
A corrente no indutor está atrasada de 90° em relação à tensão;
•
A corrente no capacitor está adiantada de 90° em relação à tensão.
Portanto, as correntes iL e ic estão defasadas de 180° entre si, sendo que a soma vetorial delas é a diferença entre seus módulos, com fase igual à da corrente de maior módulo. Por exemplo, considerando que Ic > IL, tem-se que: ic + iL
=
A figura diagrama fasorial considerando que
198
(Ic - 'L)
1900
7.8 mostra o diagrama de correntes obtido a partir do da figura 7. 7(b) e o respectivo diagrama de impedância, Ic > IL.
v, i
v
(b) Diagrama de lmpedâncias
(a) Diagrama de Correntes
Figura 7.8 - Correntes e lmpedância no Circuito RLC Paralelo
Da figura 7. S(a), pode-se obter o módulo da corrente total fomecida pelo gerador:
Como Ic > Il, a defasagem da corrente do gerador em relação à tensão é positiva, porém menor que 90° , devido à influência do resistor. Isto significa que a fase da impedância é negativa, caracterizando um circuito capacitivo, no qual a reatância capacitiva predomina sobre a indutiva. No circuito RLC paralelo, a impedância complexa equivalente do circuito pode ser calculada por:
1 1 1 1 -=-+--+-Z
R
jXl
-jXc
Desenvolvendo-se complexa:
esta expressão,
ou
obtém-se
Z=
a impedância
ro.R.L ro.L+ jR(ro2.L.C-l)
Circuitos RLC
199
o módulo
da impedância equivalente do circuito vale: Z
ro.R.L ~(ro.L)2+ R2(ro2.L.C_l)2
.
A fase da impedância equivalente do circuito vale:
ct R.(ro2.L.C-l) ro.L
'"
~ou
'I' = -ar g
o fator
de potência do circuito pode ser obtido do diagrama de impedância da figura 7. 8(b), e vale:
FP = cosljl= ~
.
(;:Zl
L..:!J
=)
?f
Neste caso, as conclusões que podem ser tiradas são as seguintes:
•
Caso XL > Xc
=)
o circuito é capacitivo (~ < 0°);
•
Caso XL < Xc
=)
o circuito é indutivo (ljl> 0°);
•
Caso XL = Xc
=)
o circuito é resistivo (ljl= 0°) .
Esta última condição também corresponde
à ressonância
do
Para o circuito RLC paralelo valem também as expressões
da
circuito.
freqüência de ressonância
(wo ou 10), isto é:
ou
f = p
1
21t.JL.C
Mas neste caso, como os dispositivos estão em paralelo, os gráficos da impedância e da corrente
7.9.
200
(2 = I(w)
e i = f(w)) são como mostra a ligura
z
Circuito
Circuito
Indutivo
Capadtivo
•
R
~
'"
o (a) Gráfico da lmpedância
I
V m-
m
R
o
'"
"'" (b) Gráfico da Corrente
Figura 7.9 - Comportamento
do Circuito Ressonante
Paralelo
Desta figura, podem-se tirar as seguintes conclusões: •
Na freqüência de ressonância IDo, o circuito é puramente resistivo e a oposiçâo à corrente é màxima, resultando numa corrente mínima 1m;
•
Abaixo da freqüência de ressonância, a impedância é indutiva (Xc> Xl);
Circuifos RlC
201
•
Acima da freqüência de ressonância, capacitiva ~ > Xc).
a impedância
Exemplos: 1)
Dado o circuito a seguir, pedem-se:
R
v~201JEV -
==Xe 500Q
Ikn
a) Corrente complexa em cada componente e corrente total
.
v
20
lQ:.
'c = Xc = 500 1_ 900 =
40 1900
·40 mA =J
20 lQ:... 1-90° = -j100 mA 'L = XL = 200 1900 = 100
.
i = iR
v
+ ic +iL = 20+ j40- j100 = 20- j60 =63,25 1-71,6° mA
b) Impedância complexa
z-~i
202
20lQ: =3162171600 63,25.10-3 1- 71 ,6° ' ,
é
c) Diagrama fasorial v, i
icl40mA)
i,(ZOmA) v (ZOV)
i
163.ZS'Y
iL (IOümA)
2) Dado o circuito a seguir, pedem-se:
v=llO~ 60Hz
R
SA~
c
L
4A~
IOA~
Circuitos RLC
203
a) lmpedância complexa
5" XL = '!I..- = 11O 4 = 27 ,..:.
XL
= j 27 ,5
"
••
L
Xc = '!..- = 110
lc
= lln
:. Xc = -jll
n
10
Módulo:
z=
R.XL·Xc J(XL.Xcl2
_
+ R 2.(X L - Xcl2
J(27,5.ll)2
22.27,5.11 + 222.(27,5 _11)2
Fase: lj>
= -arctg R.(XL - Xc) _ -arctg 22.(27,5 -11) _ -500 XL.XC 27,5.11
b) Corrente complexa fornecida pelo gerador i = ~ = 110 ~ R R 22 ~ i =~=
L
XL
i =~
c i=iR
204
Xc
110 ~
=5
27,5 1900
[Q: =4
= 110 l.Q: -10 11 1-900
=5 A
1-900
=-j4A
1900 = j10 A
+iL +ic =5-j4+j10=5+j6=7,8
1500 A
= 14!l
c) Diagrama fasorial v, i ic(lOA)
i (7,BA)
,.(SAI
i,(4A)
7.3 - Correção do Fator de Potê'lQ:i~ Uma instalação elétrica é, na maioria dos casos, formada por cargas indutivas (motores elétricos), portanto, faz-se necessária uma análise do fator de potência da instalação. A diminuição do fator de potência faz diminuir a potência ativa (real), aumentando a potência reativa, o que implica num aumento de corrente e, pcrtanto, em perdas.
Circuitos RLC
205
Exemplo: Seja um circuito que consome uma potência aparente de 12kVA quando a alimentação é 220V rrns. A corrente consumida vale: 3
1= PAp = 12.10 V 220
-
54 55A ' rms
Se o circuito é só resistivo, toda a potência consumida é igual à potência ativa (real), sendo o FP igual aI, isto é: P = V.l.cos$ = 220.54,55.1 = 12kW Porém, se o circuito é indutivo com FP=0,5, nestas condições, a potência ativa vale: P = 220.54,55.0,5
= 6kW
Se o FP aumentar para 0,85, com a mesma potência aparente, a potência ativa será: P = 220.54,55.0,85
= 10,2kW
Como a potência ativa é a responsável pela transformação de energia elétrica em energia útil, concluímos que o aumento no FP implica no aumento da potência útil, sem aumento de corrente. Existem várias formas de aumentar o FP de uma instalação elétrica, mas aqui só será analisada a correção do fator de potência com a utilização de capacitores. Já foivistoque um indutor atrasa a corrente em relação à tensão. Como o capacitor adianta a corrente em relação à tensão, a ligação adequada de um capacitor num circuitopode compensar o atraso da corrente, reduzindoo ângulo de defasagem e, conseqüentemente, aumentando o fator de potência. Por razões econômicas e práticas, basta manter o FP acima de 0,85, que é o valor mínimo estipulado pelas concessionárias de energia elétrica, abaixo do qual os usuários pagam multa. O cálculo do capacitor de correção é feito da seguinte forma: Considerando-se um circuito com impedância Z cujo ângulo de fase é $1, como mostra a figura 7.10.
206
v, i
v
v
_
z
) (a) Circuito
(b) Diagrama Fasorial
Figura 7.10 - Circuito sem Correção de FP e seu Diagrama Fasorial
o objetivo
é diminuir esse ângulo para I
BC=Oe.tg2
e
Do mesmo diagrama obtemos: AB = 00
-
= AC -
= Oe. tg1- De. tg2= De. (tg1- tg2)
BC
p
-
-
p
Como oe = IR = V e AB = 00 = Ic, resulta que: [c = V .(tg1 - tg2)' Por outro lado, Ic
= - V = V.Ol.C Xc
Igualando-se as duas expressões de le temos:
Este é, portanto, o valor do capacitor necessário para se corrigir o fator de potência do circuito de <1>1 para <1>2 . Exemplos: 1)
Um motor consome uma potência de 5kW em 220V rms com um FP=O,G. Calcular o valor do capacitor que aumenta o FP para 0,9 (f=GOHz).
V=220V~ -
f=60Hz
208
M P~5kW FP=O,6
cos (Pt = 53°=> tg(Pt = 1,33 COS tg 1000 = V.10.cos
=
60° => V
= 200Vrms
=
COS tg2 ' Portanto, a corrente fomecida pelo gerador diminui de 10A para 5,88A, sem diminuir a potência real na carga. c) Potência aparente após a correção do FP PAp = V.I2 = 200.5,88 = 1,176kVA Antes da correção do FP, a potência PAp = V.I1 = 200.10 = 2kVA.
210
aparente
era:
Exercícios Propostos Circuito RlC Série 7.1 - Num circuito RLC série, o ângulo de defasagem entre tensão do gerador e corrente é 60° , sendo: f = 60 Hz, Z e Xc = 2.XL. Determine:
= 200n
R
v _
a) Se o circuito é indutivo ou capacitivo. b) Valor de R, L e C; c) Diagrama fasorial. 7.2 - Dado o circuito a seguir, pedem-se: R=300Q
v=50~V~ f=200Hz
L=5OOmH
a) Impedância complexa;
b) Freqüência de ressonância; c) Corrente complexa.
Circuitos RLC
211
7.3· O circuito de sintonia de um rádio AM tem uma bobina de L = 1OO~H . Quais os limites de um capacitor variável para que a rádio sintonize de 530kHz a 1600kHz? Circuito RLC Paralelo
7.4 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:
v=llOIlEV~ {-60Hz
200
L
c
Xe=-j 200
a) Corrente complexa em cada componente e no gerador; b) Impedância complexa; c) Fator de potência.
7.5 - Dado o circuito a seguir, pedem-se:
v=lO~V~
E-1
lOkll
llJJ0,85)? Se há, qual deve ser o valor do capacitor? c) Se Rv = 1000 , há a necessidde de correção do FP? Se há, qual deve ser o valor do capacitor?
Circuitos RlC
213
7.8 - Uma instalação elétrica alimentada por um gerador de 220V rm/60Hz tem uma potência de 20kV A. Calcule a potência real consumida pela instalação para os seguintes valores de FP:
a) FP=l
b) FP=0,6
c) FP=0,2
7.9 - As características de um motor monofásico são: V= 120V rms, I=10Arms' cos«jl= 0,8. Determine as seguintes caraclerísticas do seu enrolamento: a) Resistência ôhmica; b) Reatância indutiva; c) Impedância.
214
