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Exerc´ıcio 1. Como no exerc´ıcio anterior, encontre o vetor deslocamento el´etrico, o campo el´etrico, a polariza¸c˜ao, as cargas induzidas e a capacitˆancia de um capacitor de placas paralelas, de distˆancia d e a´rea A, preenchido com material de constante diel´etrica k = ax + b onde x ´e a distˆancia na dire¸ca˜o perpendicular a`s placas.
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Figura 1: Esquema ~ que independe da polariza¸ca˜o, Resolu¸c˜ao. Inicialmente devemos calcular D, assim, pela lei de gauss, temos: I
~ DdS =Q
~ = Q ~n D A ~ pois D ~ = εE, ~ logo: Com D em m˜aos, podemos calcular E, ~ = E
Q Q ~n = ~n Aε0 k Aε0 (ax + b)
~ = ε0 E ~ + P~ : Al´em disso, como D Q Q ax + b − 1 Q − = A Ax ax + b A Com P em m˜aos podemos calcular σp e ρp : P =
P~ · ~n = −σp Assim, na placa superior: σp = −
ad + b − 1 Q ad + b A 2
E na inferior: b−1Q b A Al´em disso, como ∇P = −ρp , ent˜ao: σp =
ρp = −∇P = −
a Q (ax + b)2 A
Por fim, devemos encontrar a capacitˆancia. Podemos fazer isso, considerando o nosso capacitor uma associa¸ca˜o em s´erie de capacitores menores, assim, a capacitˆancia desse capacitor menor ´e: C = (ax + b)ε0
A d
Logo: 1 = Ce q
Zd
d dx Aε0 (ax + b)
0
Ent˜ao: Ce q =
ε0 Aa d.ln ad+b b
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