Material Teórico Ele I E Ii - Parte 4 - Cap4 - Ex5

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Exerc´ıcio 1. Calcule o Campo el´etrico e o Potencial de uma casca esf´erica e construa os gr´aficos E por r e V por r. 1 Figura 1: Casca esf´erica com densidade de carga superficial σ Resolu¸c˜ao. Temos: r2 = z 2 + R2 − 2zR cos θ dq = σds = σR2 senθdθdφ Assim: 1 V (z) = 4πε0 Z2π Zπ 0 σR2 senθdθdφ (z 2 + R2 − 2zR cos θ)1/2 0 π 2πσR2 2  2 (z + R2 − 2zR cos θ)1/2 0 4πε0 2zR h i i p √ σR √ 2 σR hp 2 2 2 2 2 V (z) = z + R + 2zR − z + R − 2zR = (z + R) − (z − R) ε0 2z ε0 2z p σR2 sez > R ⇒ z − R > 0 ⇒ (z − R)2 = z − R ⇒ V (z) = ε0 z V (z) = 2 sez < R ⇒ z−R < 0 ⇒ p (z − R)2 = −(z−R) ⇒ V (z) = σR σR [z + R − (R − z)] = 2ε0 z ε0 O potencial da esfera ´e constante.(Assim temos: ( dentro Q Q σR2 = 4πεo z ,r > R ,r > R εo z 4πεo z 2 e E(z) = V (z) = Q σR = 4πεo R ,r < R 0,r < R εo Podemos ent˜ao, construir os gr´aficos de E e V em fun¸ca˜o de r obtendo assim: Figura 2: gr´afico de E e V por r 3