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Exerc´ıcio 1. (Griffiths, Problem 7.29) Suponha que o circuito mostrado na Figura 1 foi conectado por um longo tempo quando, no tempo t = 0, a chave S ´e mudada, ignorando a bateria.
Figura 1: Circuito L-R (a) Qual a corrente em qualquer tempo subsequente t? (b) Qual ´e a energia total dissipada no resistor? (c) Mostre que esta energia ´e igual a originalmente armazenada no indutor.
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Resolu¸c˜ao. (a) Com o circuito conectado por um longo tempo, o indutor atua como um curto-circuito. Assim, a corrente inicial, que passa no tempo t=0 ´e dada por: ε0 R Ao mudar a chave, a energia armazenada no indutor ´e dissipada no resistor. A equa¸c˜ao do circuito R-L ´e dada por: I0 =
dI + RI = 0 dt Cuja solu¸ca˜o, com a condi¸c˜ao inicial I(0) = I0 , ´e: L
dI dt dI L I I L ln I 0 I ln I0
= −RI
L
= −R dt = −Rt R = − t L R
I = I0 e− L t ε0 − R t I = e L R (b) A potˆencia dissipada no resistor, em cada instante t, ´e dada por:
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P = RI 2 ε 2 2R 0 P = R e− L t R ε2 2R P = 0 e− L t R Assim, a energia total dissipada ser´a:
Z∞ E =
P dt 0
Z∞ E =
ε20 − 2R t e L dt R
0
ε20 L − 2R t ∞ e L E = − R 2R 0 ε20 L E = 2R2 (c) A energia originalmente armazenada no indutor ´e:
LI02 E = 2 L ε0 2 E = 2 R ε20 L E = 2R2 Que ´e a mesma resposta do ´ıtem (b).
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