Material Teórico Ele I E Ii - Parte 4 - Cap11 - Ex7

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Exerc´ıcio 1. Em s´erie com um indutor de indutˆancia L est˜ao n capacitores em paralelo de capacitˆancias C1 , C2 , . . . , Cn . Calcule a frequˆencia natural desse circuito. Qual o an´alogo mecˆanico desse sistema? Repita o exerc´ıcio com os capacitorem em s´erie. 1 Resolu¸c˜ao. A capacitˆancia equivalente ´e a soma das capacitˆancias. Ceq = C1 + C2 + · · · + Cn Percorrendo o circuito uma vez obtemos dI Q −L =0 Ceq dt Mas I = − dQ . Ent˜ao, reescrevendo a equa¸ca˜o diferencial, obtemos dt d2 Q Q +L =0 Ceq dt 1 d2 Q + Q=0 dt LCeq Logo: s ω= 1 = LCeq s 1 L(C1 + C2 + · · · + Cn ) Observando a EDO, vemos que ela ´e idˆentica a de um sistema massa mola no qual um objeto de massa L est´a preso a uma mola (ou um arranjo 1 1 de molas) de tal forma que keq = , nesse caso, keq = . Ceq C1 + C2 + · · · + Cn No caso dos capacitores estarem em s´erie a u ´nica coisa que se altera ´e a 1 1 1 + +···+ . Assim capacitˆancia equivalente. Nesse novo caso Ceq = C1 C2 Cn s v u 1 1 u  ω= =u  1 1 1 LCeq t L + + ··· + C1 C2 Cn O an´alogo mecˆanico ´e exatamente o mesmo, um sistema massa mola com um objeto de massa L e uma mola (ou arranjo de molas) de tal forma que 2 keq = 1 1 , nesse novo caso, keq = . 1 1 1 Ceq + + ··· + C1 C2 Cn 3